2017年中国东南地区数学奥林匹克试题及参考答案
历届东南数学奥林匹克试题
目录2004年东南数学奥林匹克 (2)2005年东南数学奥林匹克 (4)2006年东南数学奥林匹克 (6)2007年东南数学奥林匹克 (9)2008年东南数学奥林匹克 (11)2009年东南数学奥林匹克 (14)2010年东南数学奥林匹克 (16)2011年东南数学奥林匹克 (18)2012年东南数学奥林匹克 (20)2004年东南数学奥林匹克1.设实数a、b、c满足a2+2b2+3c2=32，求证：3−a+9−b+27−c≥1.2.设D是△ABC的边BC上的一点，点P在线段AD上，过点D作一直线分别与线段AB、PB交于点M、E，与线段AC、PC的延长线交于点F、N.如果DE=DF，求证：DM=DN.3.(1)是否存在正整数的无穷数列{a n}，使得对任意的正整数n都有a n+12≥2a n a n+2.(2)是否存在正无理数的无穷数列{a n}，使得对任意的正整数n都有a n+12≥2a n a n+2.4.给定大于2004的正整数n，将1,2,3,⋯,n2分别填入n×n棋盘（由n行n列方格构成）的方格中，使每个方格恰有一个数.如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数，且大于它所在列至少2004个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”.求棋盘中“优格”个数的最大值.5.已知不等式√2(2a+3)ccc(θ−π4)+6ssnθ+ccsθ−2csn2θ<3a+ 6对于θ∈�0,π2�恒成立，求a的取值范围.6.设点D为等腰△ABC的底边BC上一点，F为过A、D、C三点的圆在△ABC内的弧上一点，过B、D、F三点的元与边AB交于点E.求证：CD⋅EE+DE⋅AE=AD⋅AE.7.N支球队要矩形主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有一场主场比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进行多场客场比赛.但如果某周内该球队有主场比赛，在这一周内不能安排该球队的客场比赛.如果4周内能够完成全部比赛，球n的值.注：A、B两队在A方场地矩形的比赛，称为A的主场比赛，B的客场比赛.8.求满足x−y x+y+y−z y+z+z−u z+u>0，且1≤x、y、z、u≤10的所有四元有序整数组(x,y,z,u)的个数.2005年东南数学奥林匹克1.(1)设a∈R.求证：抛物线y=x2+(a+2)x−2a+1都经过一个顶点，且顶点都落在一条抛物线上.(2)若关于x的方程y=x2+(a+2)x−2a+1=0有两个不等实根，求其较大根的取值范围.（吴伟朝供题）2.⊙O与直线l相离，作OO⊥l，P为垂足.设点Q是l上任意一点（不与点P重合），过点Q作⊙O的两条切线QA、QB，A、B为切点，AB与OP相交于点K.过点P作OP⊥QB，ON⊥QA，M、N为垂足.求证：直线MN平分线段KP.（裘宗沪供题）3.设n(n≥3)是正整数，集合P={1,2,⋯,2n}.求最小的正整数k，使得对于M的任何一个k元子集，其中必有4个互不相同的元素之和等于4n+1.（张鹏程供题）4.试求满足a2+b2+c2=2005，且a≤b≤c的所有三元正整数数组(a,b,c).（陶平生供题）5.已知直线l与单位圆⊙O相切于点P，点A与⊙O在直线l的，且A到直线l的距离为ℎ(ℎ>2)，从点A作⊙O的两条切线，分别与直线l交于B、C两点.求线段PB与线段PC的长度之乘积.（冷岗松司林供题）6.将数集A=�a1,a2,⋯,a n�中所有元素的算术平均值记为O(A)�O(A)=a1+a2+⋯+a n n�.若B是A的非空子集，且P(B)=P(A)，则称B是A的一个“均衡子集”.试求数集P={1,2,3,4,5,6,7,8,9}的所有“均衡子集”的个数.（陶平生供题）7.(1) 讨论关于x的方程|x+1|+|x+2|+|x+3|=a的根的个数；(2) 设a1,a2,⋯,a n为等差数列，且|a1|+|a2|+⋯+|a n|=|a1+1|+|a2+1|+⋯+|a n+1|=|a1−2|+|a2−2|+⋯+|a n−2|=507.求项数n的最大值.（林常供题）8.设0<α、β、γ<π2，且csn3α+csn3β+csn3γ=1.求证tan2α+tan2β+tan2γ≥3√32.（李胜宏供题）2006年东南数学奥林匹克1. 设a >b >0，f (x )=2(a+b )x+2ab 4x+a+b .证明：存在唯一的正数x ，使得f (x )=�a 13+b 132�3. （李胜宏 供题）2. 如图1，在△ABC 中，∠ABC =90°，D 、G 是边CA 上的亮点，连结BD 、BG .过点A 、G 分别作BD 的垂涎，垂足分别为E 、F ，连结CF .若BE =EE ，求证：∠ABG =∠DEC .图13. 一副纸牌共52张，其中，“方块”、“梅花”、“红心”、“黑桃”每种花色的牌个13张，标号依次是2,3,⋯,10,J ,Q ,K ,A .相同花色、相邻标号的两张牌称为“同花顺”牌，并且A 与2也算同花顺牌（即A 可以当成1使用）.试确定，从这副牌中取出13张牌，使每种标号的牌都出现，并且不含同花顺取牌方法数.（陶平生 供题）4. 对任意正整数n ，设a n 是方程x 3+x n =1的实数根.求证： (1) a n+1>a n ;(2) ∑1(s+1)a i n s=1<a n .（李胜宏 供题）5. 如图2，在△ABC 中，∠A =60°，△ABC 的内切圆⊙I 分别切边AB 、AC 于点D 、E ，直线DE 分别与直线BI 、CI 相交于点F 、G .证明：EG =12BC .图2 6. 求最小的实数m ，使得对于满足a +b +c =1的任意正实数a 、b 、c ，都有m (a 3+b 3+c 3)≥6(a 2+c 2+c 2)+1. （熊 斌 供题）7. (1) 求不定方程mn +nn +mn =2(m +n +n )的正整数解(m ,n ,n )的组数； (2) 对于给定的整数k (k >1)，证明：不定方程mn +nn +mn =k (m +n +n )至少有3k +1组正整数解(m ,n ,n ). （吴伟朝 供题） 8. 对于周长为n (n ∈N +)的圆，称满足如下条件的最小的正整数p n 个点A 1,A 2,⋯,A p n ，对于1,2,⋯,n −1中的每一个整数m ，都存在两个点A s 、A j (1≤s 、j ≤p n ).以A s 和A j 为端点的一条弧长等于m ，圆周上每相邻两点间的弧长顺次构成的序列T n =�a 1,a 2,⋯,a p n �称为“圆剖分序列”.列入，当n =13，圆剖分数为p 13=4，图3中所标数字为相B邻两点之间的弧长，圆剖分序列为T 13=(1,3,2,7), (1,2,6,4)，求p 21和p 31，并给出一个相应的圆剖分序列.图3（陶平生 供题）73112007年东南数学奥林匹克1. 试求实数a 的个数，使得对于每个a ，关于x 的三次方程x 3=ax +a +1都有满足|x |<1000的偶数根.2. 如图1所示，设C 、D 是以O 为圆心、AB 为半径的半圆上的任意两点，过点B 作⊙O 的切线交直线CD 于P ，直线PO 于直线CA ，AD 分别交于点E 、F .证明：OE =OF .图13. 设a s =msn �k +s k �k ∈N ∗�，试求S n 2=[a 1]+[a 2]+⋯+[a n 2]的值.4. 试求最小的正整数n ，使得对于满足条件∑a s n s=1=2007的任一个具有n 项的正整数数列a 1,a 2,⋯,a n ，其中必有连续若干项之和等于30. 5. 设函数f (x )满足：f (x +1)−f (x )=2x +1(x ∈R )，且当x ∈[0,1]时有|f (x )|≤1，证明：当x ∈R 时，有|f (x )|≤2+x 2.6. 如图，在直角三角形ABC 中，D 是斜边AB 的中点，PB ⊥AB ，MD 交AC 于N ；MC 的延长线交AB 于E .证明：∠DBN =∠BCE .7. 试求满足下列条件的三元数组(a ,b ,c )：E(1) a<b<c，且当a,b,c为质数；(2) a+1,b+1,c+1构成等比数列.8.设正实数a,b,c满足：abc=1，求证：对于整数k≥2，有a k a+b+b k b+c+c k c+a≥32.2008年东南数学奥林匹克1.已知集合S={1,2,⋯,3n}，n是正整数，T是S的子集，满足：对任意的x、y、z∈T（x、y、z可以相同），都有x+y+z∉T.求所有这种集合T的元素个数的最大值.（李胜宏供题）2.设数列{a n}满足a1=1,a n+1=2a n+n(1+2n)(n=1,2,⋯).试求通项a n的表达式.（吴伟朝供题）3.在△ABC中，BC>AB，BD平分∠ABC交AC于点D，AQ⊥BO，垂足为Q，M是边AC的中点，E是边BC的中点.若△PQM的外接圆⊙O与AC的另一个交点为H.求证：O、H、E、M四点共圆.（郑仲义供题）4.设正整数m、n≥2，对于任一个n元整数集A=�a1,a2,⋯,a n�，取每一对不同的数a s、a j(j>s)，作差a j−a s.由这C n2个差按从小到大.衍生数列顺序排成的一个数列，称为集合A的“衍生数列”，记为A生A生中能被m整除的数的个数记为A生(m).5.证明：对于任一正整数m(m≥2)，n圆整数集A=�a1,a2,⋯,a n�及B={1,2,⋯,n}所对应的A生及B生，满足不等式A生(m)≥B生(m)（陶平生供题）6.求出最大的正数λ，使得对于满足x2+y2+z2=1的任何实数x、y、z成立不等式|λxy+yz|≤√52. （张正杰供题）7. 如图1，△ABC 的内切圆⊙I 分别切BC 、AC 于点M 、N ，E 、F 分别为边AB 、AC 的中点，D 是针线EF 于BI 的交点.证明：M 、N 、D 三点共线.图1（张鹏程 供题） 8. 杰克(Jack )船长与他的海盗们掠夺到6个珍宝箱A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6，其中A s (s =1,2,⋯,6)内有金币a s 枚（诸a s 互不相等）.海盗们设计了一种箱子的布局图（如图2），并推派一人和船长轮流拿珍宝箱.每次可任意拿走不与两个或两个以上的箱子相连的整个箱子.如果船长最后所取得的金币不少于海盗们所取得的金币，那么船长获胜.问：若船长先拿，他是否有适当的取法保证获胜?图2 （孙文先 供题）9. 设n 为正整数，f (n )表示满足以下条件的n 位数（称为波形数）a 1a 2⋯a n �������������的个数：a 1a 2 a 3 a 4a 6 a 5i.每一位数码a s∈{1,2,3,4}，且a s≠a s+1(s=1,2,⋯);ii.当n≥3时，a s−a s+1与a s+1−a s+2(s=1,2,⋯)的符号相反.(1)求f(10)的值；(2)确定f(2008)被13除得的余数.（陶平生供题）2009年东南数学奥林匹克1.试求满足方程x2−2xy+126y2=2009的所有整数对(x,y).（张鹏程供题）2.在凸五边形ABCDE中，已知AB=DE，BC=EA，AB≠EA，且B、C、D、E四点共圆.证明：A、B、C、D四点共圆的充分必要条件是AC=AD.（熊斌供题）3.设x,y,z∈R+，√a=x(y−z)2，√b=y(z−x)2,√c=z(x−y)2；求证：a2+b2+c2≥2(ab+bc+ca). （唐立华供题）4.在一个圆周上给定十二个红点；求n的最小值，使得存在以红点为顶点的n个三角形，满足：以红点为顶点的每条弦，都是其中某个三角形的一条边.（陶平生供题）5.设1,2,⋯,9的所有排列X=�x1,x2,⋯,x9�的集合为A；∀X∈A,记f(X)=x1+2x2+3x3+⋯+9x9，P={f(X)|X∈A}；求|P|. （其中|P|表示集合M的元素个数）.6.已知⊙O、⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆；证明：过⊙O上的任意一点D，都可作一个△DEF，使得⊙O、⊙I分别是△DEF的外接圆和内切圆.（陶平生供题）7.设f(x,y,z)=x(2y−z)1+x+3y+y(2z−x)1+y+3z+z(2x−y)1+z+3x，其中x,y,z≥0，且x+y+z=1.求f(x,y,z)的最大值和最小值.（李胜宏供题）8.在8×8方格表中，最少需要挖去几个小方格，才能使得无法从剩余的方格表中裁剪出一片形状如下完整的T型五方连块？（孙文先供题）2010年东南数学奥林匹克1. 设a 、b 、c ∈{0,1,⋯9}.若二次方程ax 2+bx +c =0有有理根，证明：三位数abc�����不是质数. （张鹏程 供题）2. 对于集合A ={a 1,a 2,⋯,a m }，记O (A )=a 1a 2⋯a m .设A 1,A 2,⋯A n (n =C 201099)是集合{1,2,⋯,2010}的所有99元子集.求证：2011|∑O (A s )n s=1. （叶永南 供题）3. 如图1，已知△ABC 内切圆⊙I 分别与边AB 、BC 切于点F 、D ，之心啊AD 、CF 分别于⊙I 交于另一点H 、K.求证：FD⋅HK FH⋅DK =3.图1 （熊 斌 供题）4. 设正整数a 、b 满足1≤a <b ≤100.若存在正整数k ，使得ab |a k +b k ，则称数对(a ,b )是“好数对”.求所有好数对的个数.（熊 斌 供题）5. 如图2，△ABC 为直角三角形，∠ACB =90°，M 1、M 2为△ABC 内任意两点，M 为线段M 1M 2的中点，直线BM 1、BM 2、BM 与AC 分别交于点N 1、N 2、N.求证：M 1N 1BM 1M 2N 2BM 22MN BM .图2 （裘宗沪 供题）6. 设Z +为正整数集合，定义：a 1=2,a n+1=msn �λ�∑1a i n s=1+1λ<1,λ∈Z +�(n =1,2,⋯). 求证：a n+1=a n 2−a n +1. （李胜宏 供题）7. 设n 是一个正整数，实数a 1,a 2,⋯,a n 和n 1,n 2,⋯,n n 满足：a 1≤a 2≤⋯≤a n 和n 1≤r 2≤⋯≤n n .求证：∑∑==≥n i nj j i j i r r a a 110),min(（朱华伟 供题）8. 在一个圆周上给定8个点A 1,A 2,⋯,A 8.求最小的正整数n ，使得以这8个点为顶点的任意n 个三角形中，必存在两个有公共边的三角形.（陶平生 供题）21B2011年东南数学奥林匹克1.已知min x∈R ax2+b√x2+1=3.（1）求b的取值范围；（2）对给定的b，求a.2.已知a、b、c为两两互质的正整数，且a2|(b3+c3),b2|(a3+ c3),c2|(a3+b3)求a、b、c的值.3.设集合P={1,2,3,⋯,50}，正整数n满足：M的任意一个35元子集中至少存在两个不同的元素a,b,使a+b=n或a−b=n.求出所有这样的n.4.如图1，过△ABC的外心O任作一直线，分别与边AB,AC相交于M,N，E,F分别是BN,CM的中点.证明：∠EOE=∠A.图15. 如图2，设AA0,BB0,CC0是△ABC的三条角平分线，自A0作A0A1∥BB0,A0A2∥CC0,A1,A2分别在AC,AB上，直线A1A2∩BC=A3;类似得到点B3,C3．证明：A3,B3,C3三点共线．图26．设O 1,O 2,⋯,O n 为平面上n 个定点，M 是该平面内线段AB 上任一点，记|O s P |为点O s 与M 的距离，s =1,2,3,⋯,n ，证明：≤∑∑∑===ni i ni i n i i B P A P M P 111,max . 7．设数列{a n }满足：a 1=a 2=1,a n =7a n−1−a n−2,n >3．证明：对于每个n ∈N ∗,a n +a n+1+2皆为完全平方数．8．将时钟盘面上标有数字1,2,⋯,12的十二个点，分别用红、黄、蓝、绿四种颜色各染三个点，现以这些点为顶点构造n 个凸四边形，使其满足：(1) 每个四边形的四个顶点四色都有；(2) 任何三个四边形，都存在某一色，该色的三个顶点所标数字各不相同．求n 的最大值．32012年东南数学奥林匹克1. 求一个三元整数组(l ,m ,n )(1<l <m <n )，使得∑k l k=1，∑k m k=l+1，∑k n k=m+1依次成等比数列.2. 如图1，△ABC 的内切圆I 在边AB ，BC ，CA 上的切点分别是D ，E ，F ，直线EF 与直线AI ，BI ，DI 分别相交于点M ，N ，K .证明：DP ⋅KE =DN ⋅KE .图1 3. 对于合数n ,记f (n )为其最小的三个正约数之和，g (n )为其最大的两个正约数之和.求所有的正合数n ，使得g (n )等于f (n )的某个正整数次幂.4. 已知实数a ，b ，c ，d 满足：对任意实数x ，均有acccx +bccc 2x +cccc 3x +dccc 4x ≤1， 求a +b -c +d 的最大值.当a +b -c +d 取最大值时，求实数a ，b ，c ，d 的值.5. 如果非负整数m 及其各位数字之和均为6的倍数，则称m 为“六合数”.求小于2012的非负整数中“六合数”的个数.6. 求正整数n 的最小值，使得A东南数学奥林匹克�n−20112012−�n−20122011<�n−201320113−�n−201120133.7.如图2，△ABC中，D为边AC上一点且∠ABD=∠C，点E在边AB上且BE=DE，设M为CD重点，AA⊥DE于点H.已知AA=2−√3，AB=1，求∠APE的度数.图2设m是正整数，n=2m−1，O n={1,2,⋯,n}为数轴上n个点所成的集合.一个蚱蜢在这些点上跳跃，每步从一个点跳到与之相邻的点.求m的最大值，使对任意x,y∈O n，从点x跳2012步到点y的跳法种数为偶数（允许中途经过点x，y）.。
首届中国东南地区高中数学奥林匹克
首届中国东南地区数学奥林匹克第一天一、设实数a 、b 、c 满足2223232a b c ++=，求证：39271a b c---++≥ 二、设D 是ABC ∆的边BC 上的一点，点P 在线段AD 上，过点D 作一直线分别与线段AB 、PB 交于点M 、E ，与线段AC 、PC 的延长线交于点F 、N 。
如果DE=DF ， 求证：DM=DN三、（1）是否存在正整数的无穷数列{}n a ，使得对任意的正整数n 都有2122n n n a a a ++≥。
（2）是否存在正无理数的无穷数列{}n a ，使得对任意的正整数n 都有2122n n n a a a ++≥。
四、给定大于2004的正整数n ，将1、2、3、…、2n 分别填入n ×n 棋盘（由n 行n 列方格构成）的方格中，使每个方格恰有一个数。
如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数，且大于它所在列至少2004个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”。
求棋盘中“优格”个数的最大值。
第二天（2004年7月11日 8：00 — 12：00 温州）五、已知不等式63)cos()2sin 2364sin cos a a πθθθθ+-+-<++对于0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求a 的取值范围。
六、设点D 为等腰ABC ∆的底边BC 上一点，F 为过A 、D 、C 三点的圆在ABC ∆内的弧上一点，过B 、D 、F 三点的圆与边AB 交于点E 。
求证：CD EF DF AE BD AF ⋅+⋅=⋅七、n 支球队要举行主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有一场主场比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进行多场客场比赛。
但如果某周内该球队有主场比赛，在这一周内不能安排该球队的客场比赛。
如果4周内能够完成全部比赛，球n 的最大值。
注：A 、B 两队在A 方场地举行的比赛，称为A 的主场比赛，B 的客场比赛。
第四届中国东南地区数学奥林匹克
反证 , 若存在 x1 ≠ x2 , 使得 其中 x1 , x2 为偶数,则
3 x13 − 1 x2 −1 , = x1 + 1 x2 + 1
2 2 ( x1 − x2 )( x12 x2 + x1 x2 + x12 + x2 + x1 x2 + 1) = 0.
由 于 x1 ≠ x2 , 则 x1 − x2 ≠ 0 , 又 因 为
即数列 {an } 严格单增,由于 k + m 2 / k ≥ 2m ,(当
k = m 时取得等号),故 am2 = 2m(m ∈ N * ) ;又当
33
E
《福建中学数学》2007 年第 9 月
m(m + 1) = 2m + 1 ,而在 k ≤ k m 或 k ≥ m + 1 时, (k − m)(k − m − 1) ≥ 0 ,即 k 2 m(m + 1) −(2m + 1)k + m(m + 1) ≥ 0 ,亦即 k + ≥ k 2m + 1 , 所以 am2 + m = 2m + 1 , 南地区数学奥 林匹克
第二天 (2007 年 7 月 28 日,8:00-12:00,浙江 镇海)
列 a1 , a2 , , an ,其中必有连续的若干项之和等 于 30.(陶平生供题) 解 首先,我们可以构造一个具有 1017 项 的整数数列 a1 , a2 , , a1017 ,使其中不存在和为
线 PO 与直线 CA, AD 分别交于点 E , F . D P 证明 OE = OF M C (张鹏程供题) 另证 如图, A B 过 O 作 OM ⊥ O CD 于 M ,连结 BC , BM , BD, BE ,因为 OM ⊥ CD, PB ⊥ AB , 所以 O, B, P, M E 四点共圆,于是 ∠BMP = ∠BOP = ∠AOE , ∠EAO = ∠BDM , 所以 ∆OAE ∽ ∆MDB , AE AO AB = = , BD DM CD 从而 ∆BAE ∽ ∆CDB , ∠EBA = ∠BCD = ∠BAD , OE OB 所以 AD // BE , = = 1, OF OA 即 OE = OF . 证明 如图,作 OM ⊥ CD 于 M ,作 MN // AD ,设 MN ∩ BA = N , CN ∩ DA = K ,连 BC , BM ,则 ∠NBC = ∠ADC = ∠NMC ,因此 N , B, M , C 共圆;又由 O, B, P, M 共圆,得 ∠OPM = ∠OBM = 180° − ∠MCN , 所以 CN // OP , 于是 CN AN NK … … ① , 因 M 为 CD 的 中 = = OE AO OF 点 , MN DK , 则 N 为 CK 的 中 点 ; 故 由 ① 得, OE = OF . 三、设 ai = min{k + i / k k ∈ N * } ,试求 S n2
第六届中国东南地区数学奥林匹克
的三边 . 由 b + c - a = - ( y + z) ( z - x ) ( x - y ) ,
c + a - b = - ( z + x ) ( x - y ) ( y - z) , a + b - c = - ( x + y ) ( y - z) ( z - x ) ,
参考答案
第一天
1. 设整数对 ( x, y ) 满足方程 2 2 x - 2 xy + 126 y - 2 009 = 0, ① 将其看作关于 x 的一元二次方程 ,其判别式 Δ = 500 ( 42 - y2 ) + 36 的值应为一完全平方数 . 2 2 若 y > 4 ,则 Δ < 0. 2 2 2 2 2 2 若 y < 4 ,则 y 可取 0, 1 , 2 , 3 . 相应的 Δ值分别为 8 036, 7 536, 6 036, 3 536,它们皆不为平方数 . 2 2 2 2 因此 ,当 y = 4 时 ,Δ = 500 4 - y + 36 2 = 6 为完全平方数 . 若 y = 4, y = - 4,方程 ① 分别化为 2 2 x - 8 x + 7 = 0, x + 8 x + 7 = 0. 分别解得 x = 1 或 7, x = - 1 或 - 7. 综上 ,满足原方程的全部整数对为 x, y = 1, 4 , 7, 4 , - 1, - 4 , - 7, - 4 . 2. 必要性 . 若 A、 B、 C、 D 四点共圆 , 则由 AB = D E, B C = EA ,得 BAC = EDA , ACB = DA E. 所以 , AB C = D EA ] AC = AD. 充分性 . 记 B、 C、 D、 E 所共的圆为 O. 若 AC = AD ,则圆心 O 在 CD 的中垂线 AH 上 . 如图 3, 设点 B 关于 AH 的对称点为 F. 则点 F 在 O 上 . 因为 AB ≠EA ,即
东南数奥试题1—5届
首届中国东南地区数学奥林匹克第一天（2004年7月10日 8：00 — 12：00 温州）1、设实数a 、b 、c 满足2223232a b c ++=，求证：39271a b c---++≥2、设D 是ABC ∆的边BC 上的一点，点P 在线段AD 上，过点D 作一直线分别与线段AB 、PB 交于点M 、E ，与线段AC 、PC 的延长线交于点F 、N 。
如果DE=DF ，求证：DM=DN3、（1）是否存在正整数的无穷数列{}na ，使得对任意的正整数n 都有2122n n n aa a ++≥。
（2）是否存在正无理数的无穷数列{}na ，使得对任意的正整数n 都有2122n n n a a a ++≥。
4、给定大于2004的正整数n ，将1、2、3、…、2n 分别填入n ×n 棋盘（由n 行n 列方格构成）的方格中，使每个方格恰有一个数。
如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数，且大于它所在列至少2004个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”。
求棋盘中“优格”个数的最大值。
B首届中国东南地区数学奥林匹克第二天（2004年7月11日 8：00 — 12：00 温州） 5、已知不等式63)cos()2sin 2364sin cos a a πθθθθ+-+-<++对于0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求a 的取值范围。
6、设点D 为等腰ABC ∆的底边BC 上一点，F 为过A 、D 、C 三点的圆在ABC ∆内的弧上一点，过B 、D 、F 三点的圆与边AB 交于点E 。
求证：CD EF DF AE BD AF ⋅+⋅=⋅7、n 支球队要举行主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有一场主场比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进行多场客场比赛。
但如果某周内该球队有主场比赛，在这一周内不能安排该球队的客场比赛。
如果4周内能够完成全部比赛，球n 的最大值。
第八届中国东南地区数学奥林匹克试题
第一天〔2011年7月27日上午8：00—12：00〕宁波·北仑()()()卢兴江供题，求对给定的的取值范围求一、已知.2131min 22a b b xb ax R x =++∈()()()()杨晓鸣供题的值。
、、求两两互质，且、、二、已知正整数c b a b a c c a b c b a c b a ,,,332332332+++ {}()李胜宏供题或，使得、不同元素元子集，至少存在两个的任意一个，，，，，使得集三、求所有正整数.3550321n b a n b a b a M n =-=+⋯=()陶平生供题证明：中点，、分别为、。
若于交、于交任作直线外心四、如图，过EOF A CM BN F E N AC M AB MN O ABC ∠=∠∆其次天〔2011年7月28日上午8：00—12：00〕宁波·北仑()陶平生供题。
三点共线、、。
证明：、类似地得到设、类似得到上、分别在、，作。
自、、于、、别交是其三条角平分线，分、、中，五、△ 3333332121210200100000000.,//,//C B A C B A BC A A B B AB AC A A CC A A BB A A A C B A AB CA BC CC BB AA ABC = ()()∑∑∑===⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=n i n i n i i i ii B P A P M P B A AB AB M n n i P 111.,max ,...,2,1金蒙伟供题证明：两点之间的距离。
、为平面上上任一点，记为此平面内线段个顶点，为平面上六、设{}()()陶平生供题皆为完全平方数。
，证明：。
满足：七、设数列12121237,1+*--++∈∀≥-===n n n n n n a a N n n a a a a a a()()()陶平生供题最大值试求互不相同。
点所标数字使得染有该颜色的三个，都存在某一种颜色，对其中任意三个四边形颜色各不相同。
中国东南数学奥林匹克
以上只是《中国东南数学奥林匹克》中的一小部分精彩内容。这本书不仅适合 对数学有兴趣的学生阅读，也适合数学教育工作者和数学爱好者参考。它展示 了数学的深度和广度，激发了人们对数学的热爱和探索欲望。
阅读感受
数学，这门充满逻辑与智慧的学科，一直是我深感兴趣的领域。而当我接触到 《中国东南数学奥林匹克》这本书时，我更是被其深深吸引。这本书不仅展示 了中国东南地区数学奥林匹克的精彩赛事，也揭示了数学竞赛背后所蕴含的深 厚数学文化和教育理念。
书中描述的比赛场景，让我感受到了数学的魅力和挑战。每一道题目都是对参 赛者数学知识和思维能力的严峻考验。而参赛者们则在解题过程中展现出了他 们的聪明才智和团队合作精神。他们不畏艰难，敢于挑战，这种精神让我深受 启发。
《中国东南数学奥林匹克》还让我认识到了数学竞赛对于培养学生的重要性。 通过参加数学竞赛，学生们不仅能够提升自己的数学水平，还能够锻炼自己的 思维能力和解决问题的能力。同时，数学竞赛也是培养学生团队合作精神和竞 争意识的重要途径。这种全面培养的理念，让我对数学竞赛有了更深的认识和 理解。
《中国东南数学奥林匹克》这本书的目录结构充分体现了其作为一本数学竞赛 教材的独特价值。目录的系统性、针对性和实用性为读者提供了全面的数学竞 赛知识和技能指导，是数学爱好者不可多得的宝贵资料。通过深入学习和实践 目录中所涵盖的内容，读者不仅能够扎实数学基础，还能够提升解题能力和竞 赛水平，为未来的数学学习和研究奠定坚实的基础。
内容摘要
除了传统的数学竞赛领域，本书还介绍了数学竞赛中的一些新兴领域和热点问题，如数学游戏、 密码学、图论等。这些内容的加入，不仅丰富了本书的知识体系，也激发了读者对数学的兴趣和 热情。 本书还注重培养学生的数学思维和解题策略。通过对经典案例的分析和总结，本书引导学生形成 正确的数学思维方式，提高他们的问题解决能力。本书还提供了许多实用的解题技巧和策略，帮 助学生在竞赛中取得更好的成绩。 《中国东南数学奥林匹克》是一本全面、系统、实用的数学竞赛辅导书籍。无论是对数学有浓厚 兴趣的学生，还是准备参加数学竞赛的学生，本书都是一本不可多得的好书。通过阅读本书，读 者不仅能够提升数学竞赛的应试能力，还能够拓展数学视野，培养数学思维和解决问题的能力。
【】2017秋季世界青少年奥林匹克数学竞赛(中国区)拔赛 初赛试卷 九年级数学试卷 - 答案
系∕总分要1．在实数范围内方程x+y-1+z-2=(x+y+z)的解为（b2（x1+x2+……+x1999），BC、AC于H、K.则DEBC+CA+AB=内2．在圆内接四边形ABCD中，AB=AD，且AC=1，∠ACD=60°，则S四边形的值为（dx姓∕封A、32D、2D、校∕赛∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕绝密★启用前注意事项：世界青少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛初赛试卷A、1-2B、3-3C、5-3D、2-2二、填空题。
（每题6分，共30分）1．方程x2-ax+4a=0仅有整数根的所有正实数a为16、18、25（6分）∕〇∕：∕式∕方∕∕联〇∕班∕∕∕级∕年线〇订〇装〇1、考生按要求用黑色、蓝色圆珠笔或钢笔在密封线内填好考生的相关信息。
2、考试时间90分钟。
3、本试卷共4页，满分100分。
4、不得在答卷上做任何标记。
5、考生超出答题区域答题将不得分。
阅卷人6、考生在考试期间不得作弊，否则试卷记零分处理。
初中九年级试题题答一、选择题。
（把相应答案的序号填在括号里，每题5分，共25分）1）。
（5分）2不A.x=1，y=1，z=3B.x=1，y=2，z=3C.x=2，y=1，z=2D.x=2，y=2，z=3）ABCD12．已知实数x，，……x，满足x-1+x-1+……+x-1=121999121999则x1+2x2+……+1999x1999的值为3998000。
（6分）3．△过ABC内一点P，作DE//BC交AB、AC于D、E，作GF//AC交AB、BC于G、F。
作HK//AB交FG KH2。
（6分）4．设x、y是实数。
且x2+xy+y²=3，那么x2-xy+y²的取值范围是1≤x2-xy+y²≤9（6分）5．现有一养鱼池，河水以固定的流量不停的向池塘里流水。
现池塘有一定深度的水，若用一台抽水机则一小时后能把鱼池里的水抽干；若用两台抽水机则20分钟正好能把水池的水抽完；若用三台抽水机，那么抽完池中的水用时12分钟。
第七届中国东南地区数学奥林匹克
由余弦定理得
=妒[ t 一虹瓷‰铲】 DP：BD2+BF2—2BD．BFcos B
一 垒型三三
一( 苴+) ，) ( Y+彳) 。
堡坐．垒望
故婴塑：鲻 丛吐丝垃盟
”FH·DK
DF DF
ADⅦ ’CF％
= Y 丽 者 惫 百 “ ．一 DP( x+) ( y+z)
①…
理得
KF· HD=DF·HK+FH·DK．
2010年第12期
第 七 届 中国 东 南 地 区 数 学 奥林 匹 克
中圈分类号：C- 424．79 文献标识码：A 文章编号：1005—6416( 2010)12—0029—04
第一天
1．设口、b、c∈{ 0，1，…，9) ．若二次方程
a, x2+h+c=0有有理根，证明：三位数abc不
是质数．
BC切于点F、D， 直线AD、CF分别
与O， 交于另一点
图l
日、K．求证：
FD·HK，． FH． DK—J ‘
( 熊斌供题)
4．设正整数a, b满足1≤D<b≤100．若
存在正整数k，使得口6 I ( 口‘+b‘) ，则称数对
( 口，b) 是“好数对”．求所有好数对的个数． ( 熊斌供题)
第二天
5．如图2，△ABC为直角三角形，／ACB
( 李胜宏供题) 7．设／／, 是一个正整数，实数口l ，口2，…，口。 和r l ，r 2，…，r 。满足： 口l ≤口2≤…≤口。j FⅡ0≤r 1≤r 2≤…≤r 。．
求证：∑∑ai ai mi n(r ；，o) ≥o．
( 朱华伟供题)
8．在一个圆周上给定8个点A。，A：，…，
第十届中国东南地区数学奥林匹克试题解答
第十届东南数学奥林匹克解答第一天(2013年7月27日 上午8：00－12：00) 江西 鹰潭1. 实数,a b 使得方程320x ax bx a -+-=有三个正实根．求32331a ab ab -++的最小值．（杨晓鸣提供）解 设方程320x ax bx a -+-=的三个正实根分别为123,,x x x ，则由根与系数的关系可得123122313123,,x x x a x x x x x x b x x x a ++=++==，故0,0a b >>．由2123122313()3()x x x x x x x x x ++≥++知：23a b ≥． 又由3312312333a x x x x x x a =++≥=知：33a ≥．因此32331a ab a b -++23(3)31a a b a a b -++=+33233393113a a a aa ab ++≥≥=≥++， 当33,9a b ==，即方程三个根均为3时等号成立．综上所述，所求的最小值为93．2. 如图，在ABC ∆中，AB AC >，内切圆I 与BC 边切于点D ，AD 交内切圆I 于另一点E ，圆I 的切线EP 交BC 的延长线于点P ，CF 平行PE 交AD 于点F ，直线BF 交圆I 于点,M N ，点M 在线段BF 上，线段PM 与圆I 交于另一点Q ．证明：ENP ENQ ∠=∠． （张鹏程提供）证法1 设圆I 与,AC AB 分别切于点,S T 联结,,ST AI IT ，设ST 与AI 交于点G ，则,IT AT TG AI ⊥⊥，从而有2AG AI AT AD AE ⋅==⋅，所以,,,I G E D 四点共圆．又,IE PE ID PD ⊥⊥，所以,,,I E P D 四点共圆，从而,,,,I G E P D 五点共圆．所以90IGP IEP ∠=∠=，即IG PG ⊥，从而,,P S T 三点共线．直线PST 截ABC ∆，由梅涅劳斯定理知，1AS CP BT SC PB TA⋅⋅=， 又,,AS AT CS CD BT BD ===，所以有1PC BDPB CD⋅=． ① 设BN 的延长线交PE 于点H ，直线BFH 截PDE ∆，由梅涅劳斯定理知，1PH EF DBHE FD BP⋅⋅=． 因为CF 平行于BE ，所以EF PCFD CD=，从而有 1PH PC DBHE CD BP⋅⋅=．② 由①、②知，PH HE =，故22PH HE HM HN ==⋅，所以PH HNHM PH=，PHN ∆∽MHP ∆，HPN HMP NEQ ∠=∠=∠， 又PEN EQN ∠=∠，所以ENP ENQ ∠=∠．证法2 设圆I 与,AC AB 分别切于点,S T ，则由PI AD ⊥知2222222PA PD IA ID IA IT AT -=-=-=，所以2222222PA AT PD IP ID IP IT -==-=-，从而AI PT ⊥．又AI ST ⊥，所以,,P S T 三点共线．以下同证法1．3. 数列{}n a 满足：21211(1)1,2,(2,3,)nn n n a a a a n a +-+-====．证明：该数列任意两个相邻项的平方和仍是该数列中的一个项．（陶平生提供）证 由211(1)n n n n a a a +-+-=得211(1)(2,3,,)n n n na a a n +-=+-=，于是2222112n n n n n n n n a a a a a a a a --------=2121212(1)n n n n n a a a a -----+--=211312n n n n n a a aa a ------=132n n n a a a ----==3122a a a -==，故122(3)n n n a a a n --=+≥．从而12345671,2,5,12,29,70,169,a a a a a a a =======，可见2222221232353475,29,169a a a a a a a a a +==+==+==，故猜想22121n n n a a a +++=．令22121()n n n f n a a a ++=+-，于是(1)()f n f n +-22221223121n n n n n n a a a a a a +++++=+---+222321()()()n n n n n n a a a a a a ++++=-+--12222()2n n n n a a a a +++=+-2()g n =， ①其中1222()()n n n n g n a a a a +++=+-．进一步有(1)()g n g n +-231241222()()n n n n n n n n a a a a a a a a +++++++=+--++ 231232n n n n n a a a a a ++++=--22112123(2)(2)2n n n n n n n a a a a a a a +++++++=+---2221232222(1)n n n a a a f n +++=+-=+．② 由①、②知4(1)2(1)2()f n g n g n +=+-(2)(1)(1)()f n f n f n f n =+-+-++，即(2)6(1)()f n f n f n +=+-．由于(1)(2)0f f ==，根据递推式可知()0f n =，即22121n n n a a a +++=．证毕．4. 十二个杂技演员编号分别为1,2,,12，将他们按适当方式分别围成,A B 两个圈，每圈6人，其中B 圈的每个演员分别站在A 圈相邻两个演员的肩膀上．如果B 圈中每个演员的编号分别等于他脚下两个演员的编号之和，就称这样搭配成的结构为一个“塔”，问总共能搭配成多少个结构不相同的“塔”？ （注：旋转或对称后的塔属于同一种结构．以8个人的情况为例，画一个圆，将底层演员编号填在圈内，上层演员编号填在圈外，那么以下三个图均是“塔”，但后两个图分别可由第一个图经旋转或对称而得，故它们属于同一种结构．） （陶平生提供）解 将组,A B 中的元素和分别记为,x y ，则有2y x =，所以3121278x x y =+=+++=，26x =．显然有1,2A ∈，11,12B ∈，设{}1,2,,,,A a b c d =，其中a b c d <<<，则12345678123456781234567823a b c d +++=，且3,810a d ≥≤≤（若7d ≤，则456722a b c d +++≤+++=，矛盾）．(1) 如果8d =，则{}1,2,,,,8,7,15A a b c c a b c =≤++=，于是(,,)a b c(3,5,7)=或(4,5,6)，即{}1,2,3,5,7,8A =或{}1,2,4,5,6,8A =．若{}1,2,3,5,7,8A =，则{}4,6,9,10,11,12B =，由于B 中含4,6,11,12，故A 中必须1、3邻接，1、5邻接，5、7邻接，8、3邻接，这时只有唯一的排法，由此得到一个塔：若{}1,2,4,5,6,8A =，则{}3,7,9,10,11,12B =，类似知A 中必须1、2邻接，5、6邻接，4、8邻接，这时有两种排法，得到两个塔：(2) 如果9d =，则{}1,2,,,,9,8,14A a b c c a b c =≤++=，这时(,,)a b c(3,5,6)=或(3,4,7)，即{}1,2,3,5,6,9A =或{}1,2,3,4,7,9A =．若{}1,2,3,5,6,9A =，则{}4,7,8,10,11,12B =，为得到B 中的4,10,12，A 中必须1、3、9两两邻接，这不可能；若{}1,2,3,4,7,9A =，则{}5,6,8,10,11,12B =，为得到B 中的6,8,12，A 中必须2、4邻接，1、7邻接，9、3邻接，于是有两种排法，得到两个塔：(3) 如果10d =，则{}1,2,,,,10,9,13A a b c c a b c =≤++=，这时，(,,)(3,4,6)a b c =，即{}1,2,3,4,6,10A =，{}5,7,8,9,11,12B =，为得到B中8,9,11,12， A 中必须6、2邻接，6、3邻接，10、1邻接，10、2邻接，只有唯一排法，得到一个塔：因此，结构不相同的“塔”共有6个．125648371110129912101173846521125648371110129125648371110129125648371110129125648371110129第十届东南数学奥林匹克解答第二天(2013年7月28日 上午8：00－12：00) 江西 鹰潭1. 设()1!2!2013!x x x f x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，[]x 表示不超过x 的最大整数．对整 数n ，若关于x 的方程()f x n =有实数解，则称n 为好数．求集合{}1,3,5,,2013中好数的个数． （吴根秀提供）解 先指出两个明显的结论：(a ) 若m 为正整数，x 为实数，则[]x x m m ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；(b ) 对任意整数l 与正偶数m ，有212l l m m +⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦． 下面我们求解原问题． 在结论(a )中令!(1,2,,2013)m k k ==并求和，可知2013201311[]()([])!!k k x x f x f x k k ==⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑， 这表明方程()f x n =有实数解当且仅当方程()f x n =有整数解．以下只需考虑x 为整数的情况．由于[][]201321(1)()11!!k x x f x f x x x k k =⎛+⎫⎡⎤⎡⎤+-=+-+-≥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭∑， ① 所以()()f x x ∈Z 单调递增．下面找整数,a b ，使得(1)0()(1)(1)()2013(1)f a f a f a f b f b f b -<≤<+<<-<≤<+．注意到(1)0(0)f f -<=，所以0a =．又由于611173(1173)1173586195489120122013!k f k =⎡⎤==+++++=≤⎢⎥⎣⎦∑， 611174(1174)1174587195489120142013!k f k =⎡⎤==+++++=>⎢⎥⎣⎦∑， 故1173b =．因此{}1,3,5,,2013中的好数就是{}(0),(1),,(1173)f f f 中的奇数．在①中令2(0,1,,586)x l l ==，由结论(b )知212(22013)!!l l k k k +⎡⎤⎡⎤=≤≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 因此20132212(21)(2)11!!k l l f l f l k k =⎛+⎫⎡⎤⎡⎤+-=+-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭∑， 这说明(2),(21)f l f l +中恰有一个为奇数，从而{}(0),(1),,(1173)f f f 中恰有11745872=个奇数，即集合{}1,3,5,,2013中的好数有587个．2. 设n 为大于1的整数．将前n 个素数从小到大依次记为12,,,n p p p （即12p ，23,p ），令1212n p p p n A p p p ．求所有正整数x ，使得Ax为偶数，且Ax恰有x 个不同的正约数． （何忆捷提供）解 由已知得2|x A ，注意到224n p p n A p p ，故可设1222n n xp p ，其中11,0(2,3,,)ii p in ．此时有 122222n n p p n Ap p x， 故Ax不同的正约数个数为122(3)(1)(1)n np p ．由已知得121222(3)(1)(1)2n nnn p p xp p ． ①下面数学归纳法证明：满足①的数组12(,,,)n必为(1,1,,1)(2)n． (1) 当2n 时，①变为1212(3)(4)23，其中1{0,1}．若10，则223(4)3，无非负整数2满足；若11，则222(4)23，可得21．从而12(,)(1,1)，即2n 时结论成立．(2) 假设1nk 时结论成立（其中3k），则当n k 时，①变为1121221121(3)(1)(1)(1)2k k kk kkk k p p p p p p ． ②若2k，则考虑到 01,011(11)kkk iiik p p p p p i k ，故②的左边不能被k p 整除，但此时②的右边是k p 的倍数，矛盾！若0k，则②变为 1121221121(3)(1)(1)(1)2k kk kk p p p p p ．注意到23,,,k p p p 为奇素数，因此一方面1kp 为偶数，从而上式左边为偶数，而另一方面，右边1221k k p p 为奇数．从而必有11．但此时132，故左边是4的倍数，但右边不是4的倍数，仍矛盾！由上述讨论知，只能1k ，此时②中1k k kk k p p p ，因而 1121221121(3)(1)(1)2k kk k p p p p ．由归纳假设知1211k ．从而1211k k，即当nk 时结论成立． 由(1)、(2)可断定12(,,,)(1,1,,1)n，故所求正整数为 2122nn xp p p p p ．3. 将33正方形任意一个角上的22正方形挖去，剩下的图形称为“角形”（例如，图1就是一个角形）．现于1010方格表（图2）中放置一些两两不重叠的角形，要求角形的边界与方格表的边界或分格线重合．求正整数k 的最大值，使得无论以何种方式放置了k 个角形之后，总能在方格表中再放入一个完整的角形． （何忆捷提供）解 首先有max8k ，这是因为，若按图1的方式放置8个角形，则不能再于方格表中放入另一个角形．下面证明：任意放置7个角形后，仍可再放入一个完整的角形．将1010方格表的第5、6行及第5、6列遮住，留出4个44正方形．当放置7个角形后，由于每个角形不能与两个上述44正方形相交，故根据抽屉原理知，必存在一个44的正方形S ，使得与S 相交的角形至多1个，而角形可被33正方形所包含，故正方形S 被角形所占据的部分必包含于它的某个角上的33正方形．如图2所示，我们可以在S 除去一个角上33正方形后剩余的部分放置一个新的角形．因此7k时符合题意．综上所述，有max 7k ．4. 设整数3n ≥，,,(0,1)αβγ∈，,,0(1,2,,)k k k a b c k n ≥=满足1()nkk k aαα=+≤∑，1()n k k k b ββ=+≤∑，1()nk k k c γγ=+≤∑．若对任意满足上述条件的,,(1,2,,)k k k a b c k n =，均有1()nk k k k k a b c λλ=+≤∑，求λ的最小值．（李胜宏提供）解 令111,,111a b c αβγαβγ===+++，,,0(2,3,,)i i i a b c i n ==，此时条 件成立，故λ须满足(1)111αβγλλαβγ+⋅⋅≤+++，解得 (1)(1)(1)αβγλαβγαβγ≥+++-．记0(1)(1)(1)αβγλαβγαβγ=+++-．下面证明，对任意满足条件的,,k k k a b c ， 1,2,,k n =，有01()nk k kk k a b cλλ=+≤∑． ①由题目条件知131nk k k k k k k a b c αβγαβγ=⎛⎫+++⋅⋅⎪⎝⎭∑ 111333111nnnk k k k k k k k k a b c αβγαβγ===⎛⎫⎛⎫+++⎛⎫≤⋅⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑1≤，这里用到了结论：当,,0(1,2,,)i i i x y z i n ≥=时，有33331111n n n n i i i i i i i i i i x y z x y z ====⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑． ② （为完整起见，我们将②的证明过程附在最后．）因此，为证①，只需证明对1,2,,k n =，有13k k k k k k k k k k a b c a b c λαβγλαβγ+⎛⎫+++≤⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，即()1233()()()k k k k k k k a b c λαβγλαβγ+⎛⎫+++≤ ⎪⎝⎭．③ 事实上，01()()αβγλαβγαββγγα=++++++2()()k k αβγαβγαββγγα≥++++++ ()()()k k k k αβγαβγαβγ=+++-， 因此()()()k k k k λαβγλαβγ++++≤． ④又由于(),(),()k k k k a k b k c ααββγγ+≤+≤+≤，故()2233()()()k k k a b c k k k αβγαβγ⎛⎫≤ ⎪+++⎝⎭．⑤ 由④、⑤可知③成立，从而①成立．综上所述，min 0(1)(1)(1)αβγλλαβγαβγ==+++-．注 ②可以直接用H?lder 来证明，亦可由Cauchy 不等式进行如下推理：233111n n n i i i i i x y ===⎛⎫⎛⎫⎛≥ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝∑∑；23111n n n i i i i i i i z x y z ===⎛⎫⎛⎫⎛≥ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝∑∑；221111n nn n i i i i i i i x y z ====⎛⎛⎛⎫≥= ⎪⎝⎝⎝⎭∑．由以上三式知2231133311111n n n n nni i i i i i i i n i i i i i i ii x y z x y z x y z =======⎛⎛ ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭≥≥⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑．。
十一届东南赛解答
对 k 进行归纳．当 k = 0 时， xs ≤ M ≤
2
s + k +1
∑
i=s
1 2 k 1 s + k +1 xi = xs + ∑ xi ≤ k +1 + + ∑ i i = s +1 2 3 i =1 2
2 k +1 1 = 3 + ∑ 2i ． i =1
，
因此 B, O, P, C 四点共圆，所以 ∠BPO = ∠BCO = ∠CBO = ∠OPN ． 另一方面，对 ∆BCP 及截线 DMN 用梅涅劳斯定理，得 BD CN PM ⋅ ⋅ = 1， DC NP MB 结合 BD = DC , BM = AM , CN = AN 可知， PM MB AM = = ， PN NC AN 即 PA 是 ∠MPN 的外角平分线．又 PO 是 ∠MPN 的平分线，故 OP ⊥ AP ． 4. 设 n 为正整数，非负实数 x1 , x2 , , xn 满足： xi x j ≤ 4 5 证明： x1 + x2 + + xn < ． （金蒙伟提供） 3 证法一：设 max xi = M ．
个 k (0 ≤ k ≤ n − 1) ，使得 S k ≤
S ≤ S k +1 ． 2 令 Tk = S − S k , Tk +1 = S − S k +1 ，则
Sk − Tk + S k +1 − Tk +1 = 2S k − S + 2S k +1 − S = S − 2S k + 2S k +1 − S = 2 xk +1 ≤ 2 ，
第2届中国东南地区数学奥林匹克试题解答
第2届中国东南地区数学奥林匹克试题解答
吴伟朝
【期刊名称】《《中学数学研究》》
【年(卷),期】2005(000)012
【摘要】试题刊干本刊2005年第10期第35页
【总页数】2页(P35-36)
【作者】吴伟朝
【作者单位】广州大学数学与信息科学学院
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
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