2018年第十五届东南地区数学奥林匹克试题

The 15th China Southeast Mathematical Olympiad
福建，泉州
第一天（2018年7月30日8:00-12:00）
高一年级试卷
1. 设c 是实数,若存在[]1,2x ∈,使得max ,25c c x x x x ⎧
⎫+++≥⎨⎬⎩⎭
．求c 的取值范围．这里{}max ,a b 表示实数a 、b 中的较大者．
2. 在平面直角坐标系中,若某点的横坐标与纵坐标均为有理数,则称该点为有理点,否则称之为无理点．在平面直角坐标系中任作一个五边形,在它的五个顶点中,有理点和无理点哪个多？请证明你的结论．
3. 锐角ABC △内接于⊙O ()AB AC <,BAC ∠的平分线于BC 相交于点T ,AT 的中点是M ,点P 在ABC △内,满足PB PC ⊥．过P 作AP 的垂线,D 、E 是该垂线上不同于P 的两点,满足BD BP =,CE CP =．若直线AO 平分线段DE ．证明：直线AO 与AMP △的外接圆相切．
4. 是否存在集合*A N ⊆,使得对每个正整数n ,{},2,3,,15A n n n n ⋂恰含有一个元素？证明你的结论．
The 15th China Southeast Mathematical Olympiad
福建，泉州
第二天（2018年7月31日8:00-12:00）
高一年级试卷
5. 设{}n a 为非负实数列．定义21k k i i X a ==∑,212k k k i i Y a i =⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
∑,1,2,
k =．证明：对任意正整数n ,有100n n n n i i i i X Y Y X −==≤−
≤∑∑．这里,[]x 表示不超过实数x 的最大整数．
6. 在ABC △中,AB AC =,⊙O 的圆心是边BC 的中点,且与AB 、AC 分别相切于点E 、F ．点G 在⊙O 上,使得AG EG ⊥,过G 作⊙O 的切线,与AC 相交于点K ．证明：直线BK 平分线段EF ．
7. 一次会议共有24人参加,每两人之间或者握手一次,或者不握手．会议结束后发现,总共出现了216次握手,且任意握过手的两个人P 、Q ,在剩下的22人中,恰与P 、Q 之一握过手的不超过10人．一个朋友圈指的是会议中3个两两之间握过手的人所构成的集合．求这24个人中朋友圈个数的最小可能值．
8. 设m 为给定的正整数,对正整数l ,记()()()()4142451m l A l l l =+⨯+⨯
⨯+．证明：存在无穷多个正整数l ,使得55
m l l A 且515m l +不整除l A ．并求出满足条件的l 的最小值．
The 15th China Southeast Mathematical Olympiad
福建，泉州
第一天（2018年7月30日8:00-12:00）
高二年级试卷
1. 在平面直角坐标系中,若某点的横坐标与纵坐标均为有理数,则称该点为有理点,否则称之为无理点．在平面直角坐标系中任作一个五边形,在它的五个顶点中,有理点和无理点哪个多？请证明你的结论．
2. 设a 是实数,数列123,,,a a a 满足
()()1110,00n n n
n n a a a a a a a +⎧−≠⎪==⎨⎪=⎩
,1,2,3,n
=
求所有实数a ,使得对任意的正整数n ,均有1n a <．
3. ABC △内接于⊙O ,90ABC ∠>︒,M 是BC 的中点, 点P 在ABC △内, 满足PB PC ⊥．过P 作AP 的垂线,D 、E 是该垂线上不同于P 的两点,满足BD BP =,CE CP =．若四边形ADOE 是平行四边形．证明：OPE AMB ∠=∠．
4. 是否存在集合*A N ⊆,使得对每个正整数n ,{},2,3,,15A n n n n ⋂恰含有一个元素,且存在无穷多个正整数m ,使得{},2018m m A +⊆？证明你的结论．
The 15th China Southeast Mathematical Olympiad
福建，泉州
第二天（2018年7月31日8:00-12:00）
高二年级试卷
5. 在ABC △中,AB AC =,⊙O 的圆心是边BC 的中点,且与AB 、AC 分别相切于点E 、F ．点G 在⊙O 上,使得AG EG ⊥,过G 作⊙O 的切线,与AC 相交于点K ．证明：直线BK 平分线段EF ．
6. 给定正整数2m ≥．一次会议共有3m 人出席, 每两人之间或者握手一次,或者不握手． 对正整数()31n n m ≤−,若存在其中的n 个人,他们握手的次数分别是1,2,,n ,则称这次会议是“n -有趣的” ．若对一切可能发生的n -有趣的会议,总存在三名参与者两两握过手, 求n 的最小值．
7. 对正整数m 、n ,用(),f m n 表示满足xyz x y z m =+++,{}
max ,,x y z n ≤的有序整数组(),,x y z 的个数．问：是否存在正整数m 、n ,使得(),2018f m n =？证明你的结论．
8. 已知正实数1C ≥和为非负实数列{}n a 满足：对任意实数1x ≥,有 []1lg x k k x x x a Cx k =⎡⎤−≤⎢⎥⎣⎦
∑．
证明：对任意实数1y ≥,有
[]13y k k a Cy =<∑．这里,[]x 表示不超过实数x 的最大整数．。