第十届中国东南地区数学奥林匹克试题解答

第十届东南数学奥林匹克解答

第一天

(2013年7月27日 上午8：00－12：00) 江西 鹰潭

1. 实数,a b 使得方程3

2

0x ax bx a -+-=有三个正实根．求32331

a a

b a

b -++的

最小值．

（杨晓鸣提供）

解 设方程320x ax bx a -+-=的三个正实根分别为123,,x x x ，则由根与系数的关系可得

123122313123,,x x x a x x x x x x b x x x a ++=++==，

故0,0a b >>．

由2123122313()3()x x x x x x x x x ++≥++知：23a b ≥．

又由123a x x x =++≥=

a ≥

32331a ab a b -++23(3)31

a a

b a a b -++=

+332333113

a a a a

a a

b ++≥≥=≥++

当9a b ==

综上所述，所求的最小值为．

2. 如图，在ABC ∆中，AB AC >，内切圆I 与BC 边切于点D ，AD 交内切圆I 于另一点E ，圆I 的切线EP 交BC 的延长线于点P ，CF 平行PE 交AD 于点

F ，直线BF 交圆I 于点,M N ，点M 在线段BF 上，线段PM 与圆I 交于另一

点Q ．证明：ENP ENQ ∠=∠． （张鹏程提供）

证法1 设圆I 与,AC AB 分别切于点,S T 联结,,ST AI IT ，设ST 与AI 交

于点G ，则,I

T A T T G A I

⊥⊥，从而有2AG AI AT AD AE ⋅==⋅，所以,,,I G E D

四点共圆．

又,IE PE ID PD ⊥⊥，所以,,,I E P D 四点共圆，从而,,,,I G E P D 五点共圆．

所以90IGP IEP ∠=∠=，即IG PG ⊥

，

从而,,P S T 三点共线．

直线PST 截ABC ∆，由梅涅劳斯定理知，

1AS CP BT SC PB TA

⋅⋅=， 又,,AS AT CS CD BT BD ===，所以有

1PC BD

PB CD

⋅=． ① 设BN 的延长线交PE 于点H ，直线BFH 截PDE ∆，由梅涅劳斯定理知，

1PH EF DB

HE FD BP

⋅⋅=． 因为CF 平行于BE ，所以

EF PC

FD CD

=，从而有 1PH PC DB

HE CD BP

⋅⋅=． ② 由①、②知，PH HE =，故22PH HE HM HN ==⋅，所以

PH HN

HM PH

=，PHN ∆∽MHP ∆，HPN HMP NEQ ∠=∠=∠， 又PEN EQN ∠=∠，所以ENP ENQ ∠=∠．

证法2 设圆I 与,AC AB 分别切于点,S T ，则由PI AD ⊥知

2222222PA PD IA ID IA IT AT -=-=-=，

所以2222222PA AT PD IP ID IP IT -==-=-，从而AI PT ⊥．又AI ST ⊥，所以

,,P S T 三点共线．

以下同证法1．

3. 数列{}n a 满足：21211

(1)1,2,(2,3,

)n

n n n a a a a n a +-+-====．证明：该数

列任意两个相邻项的平方和仍是该数列中的一个项．

（陶平生提供）

证 由211

(1)n n n n a a a +-+-=得2

11(1)(2,3,

,)n n n n a a a n +-=+-=，于是

2222112n n n n n n n n a a a a a a a a --------=212

12

12(1)n n n n n a a a a -----+--=

2

11312

n n n n n a a a

a a ------=132n n n a a a ----==

31

2

2a a a -=

=，

故122(3)n n n a a a n --=+≥．从而

12345671,2,5,12,29,70,169,

a a a a a a a =======，

可见2222221232353475,29,169a a a a a a a a a +==+==+==，故猜想22

121n n n a a a +++=．

令22

121()n n n f n a a a ++=+-，于是

(1)()f n f n +-2222

1223121n n n n n n a a a a a a +++++=+---+

222321()()()n n n n n n a a a a a a ++++=-+--

12222()2n n n n a a a a +++=+-2()g n =，

① 其中1222()()n n n n g n a a a a +++=+-．进一步有

(1)()g n g n +-231241222()()n n n n n n n n a a a a a a a a +++++++=+--++

231232n n n n n a a a a a ++++=--22112123(2)(2)2n n n n n n n a a a a a a a +++++++=+---

22

21232222(1)n n n a a a f n +++=+-=+．

② 由①、②知

4(1)2(1)2()f n g n g n +=+-(2)(1)(1)()f n f n f n f n =+-+-++，

即(2)6(1)()f n f n f n +=+-．由于(1)(2)0f f ==，根据递推式可知()0f n =，

即22

121n n n a a a +++=．证毕．

4. 十二个杂技演员编号分别为1,2,

,12，将他们按适当方式分别围成

,A B 两个圈，每圈6人，其中B 圈的每个演员分别站在A 圈相邻两个演员的肩

膀上．如果B 圈中每个演员的编号分别等于他脚下两个演员的编号之和，就称这样搭配成的结构为一个“塔”，问总共能搭配成多少个结构不相同的“塔”？ （注：旋转或对称后的塔属于同一种结构．以8个人的情况为例，画一个圆，将底层演员编号填在圈内，上层演员编号填在圈外，那么以下三个图均是“塔”，但后两个图分别可由第一个图经旋转或对称而得，故它们属于同一种结构．） （陶平生提供）

解 将组,A B 中的元素和分别记为,x y ，则有2y x =，所以

3121278x x y =+=++

+=，26x =．

显然有1,2A ∈，11,12B ∈，设{}1,2,,,,A a b c d =，其中a b c d <<<，则

1

23

45678

1234

5

6

781

2345

678