2022年新课标人教版高中数学必修一全套优秀教案(全册)

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高中人教版数学必修一教案

高中人教版数学必修一教案教学内容：一元二次方程教学目标：1. 理解一元二次方程的概念和特征；2. 掌握一元二次方程的解法；3. 运用一元二次方程解决实际问题；4. 培养学生的数学思维和分析问题的能力。

教学重点：1. 一元二次方程的定义和特征；2. 一元二次方程的解法；3. 实际问题中一元二次方程的应用。

教学难点：1. 掌握一元二次方程解法的步骤和方法；2. 运用一元二次方程解决实际问题的能力。

教学准备：1. 教材《高中数学必修一》；2. 教师准备多媒体教学课件；3. 学生复印教材相关内容。

教学过程：一、导入（5分钟）教师通过引入实际问题，引导学生思考并提出问题，引出一元二次方程的概念。

二、讲解（15分钟）1. 介绍一元二次方程的定义和特征；2. 讲解一元二次方程的解法，包括配方法、公式法和完全平方式；3. 给出实例，引导学生掌握一元二次方程的解法过程。

三、练习（20分钟）1. 布置课堂练习题，让学生独立完成；2. 针对难点问题进行讲解和解答。

四、应用（15分钟）1. 提出一个实际问题，要求学生建立对应的一元二次方程；2. 学生分组讨论，找出解决问题的方法和步骤；3. 收集学生的解答，让学生互相交流和学习。

五、总结（5分钟）教师针对本节课的内容和学生的表现进行总结，强调重点和难点，引导学生复习。

六、作业（5分钟）布置相关作业，巩固本节课内容。

教学反思：教师应根据学生的实际情况，灵活调整教学方法和步骤，确保学生能够掌握和应用一元二次方程的知识。

同时，引导学生主动思考和解决问题，培养他们的数学能力和创新精神。

新人教版高一数学必修一教案(实用13篇)

新人教版高一数学必修一教案（实用13篇）高一数学必修二教案(1)理解函数的概念;。

(2)了解区间的概念;。

2、目标解析。

(2)了解区间的概念就是指能够体会用区间表示数集的意义和作用;。

【问题诊断分析】在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是函数的概念及符号的理解，产生这一问题的原因是：函数本身就是一个抽象的概念，对学生来说一个难点。

要解决这一问题，就要在通过从实际问题中抽象概况函数的概念，培养学生的抽象概况能力，其中关键是理论联系实际，把抽象转化为具体。

【教学过程】。

问题1：一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标.炮弹的射高为845m，且炮弹距离地面的高度h(单位：m)随时间t(单位：s)变化的规律是：h=130t-5t2.1.1这里的变量t的变化范围是什么?变量h的变化范围是什么?试用集合表示?1.2高度变量h与时间变量t之间的对应关系是否为函数?若是，其自变量是什么?设计意图：通过以上问题，让学生正确理解让学生体会用解析式或图象刻画两个变量之间的依赖关系，从问题的实际意义可知，在t的变化范围内任给一个t，按照给定的对应关系，都有的一个高度h与之对应。

问题2：分析教科书中的实例(2)，引导学生看图并启发：在t的变化t 按照给定的图象，都有的一个臭氧层空洞面积s与之相对应。

问题3：要求学生仿照实例(1)、(2)，描述实例(3)中恩格尔系数和时间的关系。

设计意图：通过这些问题，让学生理解得到函数的定义，培养学生的归纳、概况的能力。

高一数学必修一第三章教案细胞膜、细胞壁、细胞核、细胞质均不是细胞器。

一、细胞器之间分工。

1.线粒体：细胞进行有氧呼吸的主要场所。

双层膜(内膜向内折叠形成脊)，分布在动植物细胞体内。

2.叶绿体：进行光合作用，“能量转换站”，双层膜，分布在植物的叶肉细胞。

3.内质网：蛋白质合成和加工，以及脂质合成的“车间”，单层膜，动植物都有。

分为光面内质网和粗面内质网(上有核糖体附着)。

人教版高一数学必修一教案(优秀4篇)

人教版高一数学必修一教案(优秀4篇)人教版高一数学必修一教案篇一教学目的：(1)理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集与交集；(2)能用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。

课型：新授课教学重点：集合的交集与并集的概念；教学难点：集合的交集与并集“是什么”，“为什么”，“怎样做”;教学过程：一、引入课题我们两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加法运算，类比实数的加法运算，两个集合是否也可以“相加”呢？思考(P9思考题)，引入并集概念。

二、新课教学1、并集一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集(Union)记作：A∪B 读作：“A并B”即：A∪B={x|x∪A，或x∪B}Venn图表示：说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合(重复元素只看成一个元素)。

例题1求集合A与B的并集① A={6，8，10，12} B={3，6，9，12}② A={x|-1≤x≤2} B={x|0≤x≤3}(过度)问题：在上图中我们除了研究集合A与B的并集外，它们的公共部分(即问号部分)还应是我们所关心的，我们称其为集合A与B的交集。

2、交集一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集(intersection)。

记作：A∩B 读作：“A交B”即：A∩B={x|∪A，且x∪B}交集的Venn图表示说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合。

例题2求集合A与B的交集③ A={6，8，10，12} B={3，6，9，12}④ A={x|-1≤x≤2} B={x|0≤x≤3}拓展：求下列各图中集合A与B的并集与交集(用彩笔图出)说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集3、例题讲解例3(P12例1)：理解所给集合的含义，可借助venn图分析例4 P12例2)：先“化简”所给集合，搞清楚各自所含元素后，再进行运算。

高中数学新课标必修一教案

高中数学新课标必修一教案
教学内容：高中数学新课标必修一第四章
教学目标：
1. 熟练掌握函数的定义和性质；
2. 能够根据给定的函数图象，判断其为函数或非函数；
3. 能够解决实际问题，运用函数的性质进行分析和计算。

教学重点：
1. 函数的定义和性质；
2. 判断一个图象是否为函数；
3. 函数的应用。

教学难点：
1. 通过实际问题描述和解决函数的性质；
2. 运用函数的性质解决实际问题。

教学准备：
1. 教材：高中数学新课标必修一；
2. 教具：黑板、彩色粉笔、投影仪等；
3. 学生练习册。

教学过程：
一、导入（5分钟）
教师通过举例说明函数在日常生活中的应用，引入函数的概念。

二、讲解（15分钟）
1. 回顾函数的定义和性质；
2. 解释如何通过图象来判断一个图象是否为函数。

三、练习（20分钟）
1. 让学生在黑板上画出几个函数图象，并判断是否为函数；
2. 让学生做若干练习题，检验他们对函数的理解程度。

四、应用（15分钟）
1. 通过实际问题描述，引导学生运用函数的性质解决问题；
2. 让学生在生活中找到更多函数的例子，并尝试解决相关问题。

五、总结（5分钟）
教师总结本节课的重点和难点，强调函数的重要性和应用。

六、作业布置（5分钟）
布置适量练习题，并要求学生认真复习本节课内容。

教学反思：
本节课主要围绕函数的定义和性质展开，通过实际例子和练习问题来巩固学生的理解和应用能力。

在教学中要注意引导学生主动思考和解决问题，培养他们的分析和解决问题的能力。

高中数学必修一教案全套优秀6篇

高中数学必修一教案全套优秀6篇高一上册数学教案篇一一、教材《直线与圆的位置关系》是高中人教版必修2第四章第二节的内容，直线和圆的位置关系是本章的重点内容之一。

从知识体系上看，它既是点与圆的位置关系的延续与提高，又是学习切线的判定定理、圆与圆的位置关系的基础。

从数学思想方法层面上看它运用运动变化的观点揭示了知识的发生过程以及相关知识间的内在联系，渗透了数形结合、分类讨论、类比、化归等数学思想方法，有助于提高学生的思维品质。

二、学情学生初中已经接触过直线与圆相交、相切、相离的定义和判定；且在上节的学习过程中掌握了点的坐标、直线的方程、圆的方程以及点到直线的距离公式；掌握利用方程组的方法来求直线的交点；具有用坐标法研究点与圆的位置关系的基础；具有一定的数形结合解题思想的基础。

三、教学目标(一)知识与技能目标能够准确用图形表示出直线与圆的三种位置关系；可以利用联立方程的方法和求点到直线的距离的方法简单判断出直线与圆的关系。

(二)过程与方法目标经历操作、观察、探索、总结直线与圆的位置关系的判断方法，从而锻炼观察、比较、概括的逻辑思维能力。

(三)情感态度价值观目标激发求知欲和学习兴趣，锻炼积极探索、发现新知识、总结规律的能力，解题时养成归纳总结的良好习惯。

四、教学重难点(一)重点用解析法研究直线与圆的位置关系。

(二)难点体会用解析法解决问题的数学思想。

五、教学方法根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助信息技术工具，以几何画板为平台，通过图形的动态演示，变抽象为直观，为学生的数学探究与数学思维提供支持。

在教学中采用小组合作学习的方式，这样可以为不同认知基础的学生提供学习机会，同时有利于发挥各层次学生的作用，教师始终坚持启发式教学原则，设计一系列问题串，以引导学生的数学思维活动。

高中数学必修1教案篇二一、教材分析本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修1》(人教A版)《1.2.1函数的概念》共3课时，本节课是第1课时。

高中数学必修1教案最新人教版高一数学必修一教案(大全(优秀11篇)

高中数学必修1教案最新人教版高一数学必修一教案(大全（优秀11篇）高中数学必修一教案全套篇一本节课力的合成，是在学生了解力的基本性质和常见几种力的基础上，通过等效替代思想，研究多个力的合成方法，是对前几节内容的深化。

本节重点介绍力的合成法则——平行四边形定则，但实际这是所有矢量运算的共同工具，为学习其他矢量的运算奠定了基础。

更重要的是，力的合成是解决力学问题的基础，对今后牛顿运动定律、平衡问题、动量与能量问题的理解和应用都会产生重要影响。

因此，这节课承前启后，在整个高中物理学习中占据着非常重要的地位。

二、教学目标定位为了让学生充分进行实验探究，体验获取知识的过程，本节内容分两课时来完成，今天我说课的内容为本节内容的第一课时。

根据上述教材分析，考虑到学生的实际情况，在本节课的教学过程中，我制定了如下教学目标：一、知识与技能.理解合力、分力、力的合成的概念。

理解力的合成本质上是从等效的角度进行力的替代。

.探究求合力的方法——力的平行四边形定则，会用平行四边形定则求合力。

二、过程与方法.通过学习合力和分力的概念，了解物理学常用的方法——等效替代法。

.通过实验探究方案的设计与实施，体验科学探究的过程。

三、情感态度与价值观.培养学生的合作精神，激发学生学习兴趣，形成良好的学习方法和习惯。

.培养认真细致、实事求是的实验态度。

根据以上分析确定本节课的重点与难点如下：一、重点.合力和分力的概念以及它们的关系。

.实验探究力的合成所遵循的法则。

二、难点平行四边形定则的理解和运用。

三、重、难点突破方法——教法简介本堂课的重、难点为实验探究力的合成所遵循的法则——平行四边形定则，为了实现重难点的突破，让学生真正理解平行四边形定则，就要让学生亲自体验规律获得的过程。

因此，本堂课在学法上采用学生自主探究的实验归纳法——通过重现获取知识和方法的思维过程，让学生亲自去体验、探究、归纳总结。

体现学生主体性。

实验归纳法的步骤如下。

人教版高一数学必修一教案优秀4篇

人教版高一数学必修一教案优秀4篇人教版高一数学必修一教案篇一教学目标1.使学生掌握的概念，图象和性质。

(1)能根据定义判断形如什么样的函数是，了解对底数的限制条件的合理性，明确的定义域。

(2)能在基本性质的指导下，用列表描点法画出的图象，能从数形两方面认识的性质。

(3)能利用的性质比较某些幂形数的大小，会利用的图象画出形如的图象。

2.通过对的概念图象性质的学习，培养学生观察，分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法。

3.通过对的研究，让学生认识到数学的应用价值，激发学生学习数学的兴趣。

使学生善于从现实生活中数学的发现问题，解决问题。

教学建议教材分析(1)是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，它是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它既是函数概念及性质的第一次应用，也是今后学习对数函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以应重点研究。

(2)本节的教学重点是在理解定义的基础上掌握的图象和性质。

难点是对底数在和时，函数值变化情况的区分。

(3)是学生完全陌生的一类函数，对于这样的函数应怎样进行较为系统的理论研究是学生面临的重要问题，所以从的研究过程中得到相应的结论固然重要，但更为重要的是要了解系统研究一类函数的方法，所以在教学中要特别让学生去体会研究的方法，以便能将其迁移到其他函数的研究。

教法建议(1)关于的定义按照课本上说法它是一种形式定义即解析式的特征必须是的样子，不能有一点差异，诸如，等都不是。

(2)对底数的限制条件的理解与认识也是认识的重要内容。

如果有可能尽量让学生自己去研究对底数，指数都有什么限制要求，教师再给予补充或用具体例子加以说明，因为对这个条件的认识不仅关系到对的认识及性质的分类讨论，还关系到后面学习对数函数中底数的认识，所以一定要真正了解它的由来。

关于图象的绘制，虽然是用列表描点法，但在具体教学中应避免描点前的盲目列表计算，也应避免盲目的连点成线，要把表列在关键之处，要把点连在恰当之处，所以应在列表描点前先把函数的性质作一些简单的讨论，取得对要画图象的存在范围，大致特征，变化趋势的大概认识后，以此为指导再列表计算，描点得图象。

新课标人教A版高中数学必修1全套教案1

新课标高中数学必修1教案目录第一章集合与函数概念 (1)§1.1.1集合的含义与表示 (3)§1.1.2集合间的基本关系 (5)§1.1.3集合的基本运算 (7)§1.2.1函数的概念 (9)§1.2.2函数的表示法 (13)§1.2.2映射 (15)§1．3．1函数的最大（小）值 (19)§1.3.1函数的单调性 (21)§1．3．2函数的奇偶性 (25)第二章基本初等函数（Ⅰ） (29)§2.1.1指数（第1—2课时） (31)第2课时 (33)第3课时 (35)2.1.2指数函数及其性质（2个课时） (37)第1课时 (37)第2课时 (40)对数（第1课时） (42)对数（第2课时） (44)§2.2.2对数函数及其性质（第1、2课时） (47)对数函数（第3课时） (51)幂函数 (53)小结与复习 (57)第三章函数的应用 (61)§3.1.1方程的根与函数的零点 (63)§3.1.2用二分法求方程的近似解 (67)§3.2.1几类不同增长的函数模型 (69)§3.2.2函数模型的应用实例（Ⅰ） (71)3.2.2函数模型的应用实例（Ⅱ） (73)§3.2.2函数模型的应用实例（Ⅲ） (75)第一章集合与函数概念一. 课标要求：本章将集合作为一种语言来学习，使学生感受用集合表示数学内容时的简洁性、准确性，帮助学生学会用集合语言描述数学对象，发展学生运用数学语言进行交流的能力.函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，强调结合实际问题，使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法，从而发展学生对变量数学的认识.1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，掌握某些数集的专用符号.2. 理解集合的表示法，能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，培养学生分析、比较、归纳的逻辑思维能力.4、能在具体情境中，了解全集与空集的含义.5、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集, 培养学生从具体到抽象的思维能力.6. 理解在给定集合中，一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.7. 能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.8. 学会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义；了解函数构成的三要素，了解映射的概念；体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；会求一些简单函数的定义域和值域，并熟练使用区间表示法.9. 了解函数的一些基本表示法（列表法、图象法、分析法），并能在实际情境中，恰当地进行选择；会用描点法画一些简单函数的图象.10. 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.11. 结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形.12. 学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法.13. 通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例.二. 编写意图与教学建议1. 教材不涉及集合论理论，只将集合作为一种语言来学习，要求学生能够使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，从而体会集合语言的简洁性和准确性，发展运用数学语言进行交流的能力. 教材力求紧密结合学生的生活经验和已有数学知识，通过列举丰富的实例，使学生了解集合的含义，理解并掌握集合间的基本关系及集合的基本运算.教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例出发，让学生对函数概念有充分的感性基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念，这样比较符合学生的认识规律，同时有利于培养学生的抽象概括的能力，增强学生应用数学的意识，教学中要高度重视数学概念的背景教学.2. 教材尽量创设使学生运用集合语言进行表达和交流的情境和机会，并注意运用Venn图表达集合的关系及运算，帮助学生借助直观图示认识抽象概念. 教学中，要充分体现这种直观的数学思想，发挥图形在子集以及集合运算教学中的直观作用。

人教版高中数学必修①教案学案

人教版高中数学必修①教案-学案一、教学目标1. 理解有理数的概念，掌握有理数的运算方法。

2. 了解实数的概念，能够正确运用实数解决问题。

3. 理解绝对值的概念，掌握绝对值的运算方法。

二、教学内容1. 有理数：整数、分数的概念与运算。

2. 实数：实数的概念、实数的运算。

3. 绝对值：绝对值的概念、绝对值的运算。

三、教学重点与难点1. 重点：有理数的概念，实数的概念，绝对值的概念。

2. 难点：有理数的运算，实数的运算，绝对值的运算。

四、教学方法1. 采用问题导入法，引导学生思考和探索。

2. 通过例题讲解，让学生理解和掌握运算方法。

3. 利用练习题进行巩固，提高学生的解题能力。

五、教学过程1. 引入：讲解有理数的概念，引导学生理解有理数的定义和特点。

2. 讲解整数的运算方法，包括加法、减法、乘法、除法。

3. 讲解分数的运算方法，包括加法、减法、乘法、除法。

4. 引入实数的概念，讲解实数的运算方法，包括加法、减法、乘法、除法。

5. 引入绝对值的概念，讲解绝对值的运算方法，包括绝对值的定义和计算方法。

6. 通过例题讲解，让学生理解和掌握有理数、实数和绝对值的运算方法。

7. 布置练习题，让学生巩固所学内容，提高解题能力。

教学评价：通过课堂讲解、练习题和作业的完成情况，评价学生对有理数、实数和绝对值的概念和运算方法的掌握程度。

六、教学目标1. 掌握函数的概念，理解函数的性质。

2. 学会使用函数关系式，解决实际问题。

3. 理解一次函数和二次函数的概念，掌握它们的性质和图像。

七、教学内容1. 函数：函数的概念，函数的性质。

2. 一次函数：一次函数的定义，一次函数的性质，一次函数的图像。

3. 二次函数：二次函数的定义，二次函数的性质，二次函数的图像。

八、教学重点与难点1. 重点：函数的概念，一次函数和二次函数的性质和图像。

2. 难点：理解函数的性质，掌握一次函数和二次函数的图像分析。

九、教学方法1. 采用案例分析法，通过实际问题引入函数概念。

【新教材】2022版人教A版数学选择性必修第一册全册分课时教学案(共30课时)

第一章空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算 1.1.1 空间向量及其线性运算素养目标·定方向课程标准学法解读1．了解空间向量的概念． 2．掌握空间向量的线性运算．1．了解空间向量的概念．(数学抽象)2．经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程．(逻辑推理)3．掌握空间向量线性运算的法则和运算律．(数学运算) 4．掌握共线向量定理和共面向量定理，会证明空间三点共线、四点共面．(数学抽象)必备知识·探新知知识点1 空间向量的概念1．定义：在空间，具有__大小__和__方向__的量叫做空间向量． 2．长度或模：向量的__大小__． 3．表示方法：(1)几何表示法：空间向量用__有向线段__表示；(2)字母表示法：用字母a ，b ，c ，…表示；若向量a 的起点是A ，终点是B ，也可记作AB →，其模记为|a |或|AB →|．4．几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量 __长度为0__的向量叫做零向量．记为0 单位向量 __模为1__的向量叫做单位向量相反向量与向量a 长度__相等__而方向__相反__的向量，叫做a 的相反向量，记为－a共线向量(平行向量)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a ，都有0∥a相等向量方向__相同__且模__相等__的向量叫做相等向量思考1：单位向量都相等吗？提示：不一定．单位向量的模虽然都为1，但是方向各异．知识点2 空间向量的线性运算空间向量的线性运算加法a＋b＝OA→＋AB→＝OB→减法a－b＝OA→－OC→＝CA→数乘当λ＞0时，λa＝λOA→＝PQ→；当λ＜0时，λa＝λOA→＝MN→；当λ＝0时，λa＝0运算律交换律：a＋b＝b＋a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb思考2：怎样作图表示三个向量的和，作出的和向量是否与相加的顺序有关？提示：可以利用三角形法则和平行四边形法则作出三个向量的和．加法运算是对有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变．思考3：由数乘λa＝0，可否得出λ＝0?提示：不能．λa＝0⇔λ＝0或a＝0．知识点3 共线向量1．空间两个向量共线的充要条件对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得__a＝λb__．2．直线的方向向量在直线l上取非零向量a，我们把__与向量a平行的非零向量__称为直线l的方向向量．思考4：对于空间向量a，b，c，若a∥b且b∥c，是否可以得到a∥c?提示：不能．若b＝0，则对任意向量a，c都有a∥b且b∥c．思考5：怎样利用向量共线证明A，B，C三点共线？提示：只需证明向量AB→，BC→(不唯一)共线即可．知识点4 共面向量1．共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA →所在的直线OA 与直线l 平行或重合，那么称向量a 平行于直线l ．如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α．平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．2．向量共面的充要条件如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使__p ＝x a ＋y b __．思考6：空间中的两个向量是不是共面向量？提示：是．空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量．关键能力·攻重难题型探究题型一空间向量及相关概念的理解典例1 给出下列命题：①在同一条直线上的单位向量都相等；②只有零向量的模等于0；③在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD 1→与BC 1→是相等向量；④在空间四边形ABCD 中，AB →与CD →是相反向量；⑤在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，与AA 1→的模一定相等的向量一共有4个．其中正确命题的序号为 __②③__．[解析] ①错误，在同一条直线上的单位向量，方向可能相同，也可能相反，故它们不一定相等；②正确，零向量的模等于0，模等于0的向量只有零向量； ③正确，AD 1→与BC 1→的模相等，方向相同；④错误，空间四边形ABCD 中，AB →与CD →的模不一定相等，方向也不一定相反；⑤错误，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，与AA 1→的模一定相等的向量是A 1A →，BB 1→，B 1B →，CC 1→，C 1C →，一共有5个．[规律方法] 空间向量概念的辨析(1)向量的两个要素是大小与方向，两者缺一不可； (2)单位向量的方向虽然不一定相同，但长度一定为1；(3)两个向量的模相等，即它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件；(4)由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的，但向量的模是可以比较大小的．【对点训练】❶ 给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们起点相同，终点也相同； ②若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ； ③在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→； ④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中不正确的命题的个数是( C ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] 当两向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但当两个向量相等时，它们的起点和终点均不一定相同，故①错；根据向量相等的定义知不仅需要模相等，而且需要方向相同，故②错；根据正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量AC →与A 1C 1→的方向相同，模也相等，必有AC →＝A 1C 1→，故③正确；命题④显然正确；空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错．题型二空间向量的线性运算典例2 如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD→＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：①AC 1→；②AP →；③A 1N →．[分析] 根据数乘向量及三角形法则，平行四边形法则求解． [解析] ①AC 1→＝AB →＋BB 1→＋B 1C 1→＝AB →＋AA 1→＋AD →＝a ＋b ＋c ． ②AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝AA 1→＋AD →＋12AB →＝a ＋c ＋12b ．③A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →＝－AA 1→＋AB →＋12AD →＝－a ＋b ＋12c ．[规律方法] 空间向量线性运算的技巧和思路 (1)空间向量加法、减法运算的两个技巧①巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使有关向量首尾相接，从而便于运算．②巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法、减法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．(2)化简空间向量的常用思路①分组：合理分组，以便灵活运用三角形法则、平行四边形法则进行化简．②多边形法则：在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可利用多边形法则，若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和．③走边路：灵活运用空间向量的加法、减法法则，尽量走边路(即沿几何体的边选择途径)．【对点训练】❷ (2020·山东潍坊学年高二期末)已知四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，设P A →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，则PD →＝( B )A ．a ＋b ＋cB ．a －b ＋cC ．a ＋b －cD ．－a ＋b ＋c[解析] 如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，P A →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，则PD →＝P A →＋AD →＝P A →＋BC →＝P A →＋(PC →－PB →)＝P A →－PB →＋PC →＝a －b ＋c ．故选B ．题型三空间共线向量定理及其应用典例3 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，点F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →．求证：E ，F ，B 三点共线．[分析] 可通过证明EF →与EB →共线来证明E ，F ，B 三点共线． [证明] 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ．因为A 1E →＝2ED 1→，A 1F →＝23FC →，所以A 1E →＝23A 1D 1→，A 1F →＝25A 1C →，所以A 1E →＝23AD →＝23b ，A 1F →＝25(AC →－AA 1→)＝25(AB →＋AD →－AA 1→)＝25a ＋25b －25c ．所以EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a －415b －25c＝25⎝⎛⎭⎫a －23b －c ．又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ．∴EF →＝25EB →，又∵EF →与EB →有公共点E ，∴E ，F ，B 三点共线．[规律方法] 1．判断向量共线的策略(1)熟记共线向量充要条件：①a ∥b ，b ≠0，则存在唯一实数λ使a ＝λb ；②若存在唯一实数λ，使a ＝λb ，b ≠0，则a ∥b ．(2)判断向量共线的关键是找到实数λ． 2．证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P 、A 、B 可通过证明下列结论来证明三点共线． (1)存在实数λ，使P A →＝λPB →成立．(2)对空间任一点O ，有OP →＝OA →＋tAB →(t ∈R )． (3)对空间任一点O ，有OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1)．【对点训练】❸ 如图所示，ABCD －ABEF 都是平行四边形，且不共面，M 、N 分别是AC 、BF 的中点，判断CE →与MN →是否共线？[解析] M 、N 分别是AC 、BF 的中点，而四边形ABCD 、ABEF 都是平行四边形， ∴MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →．又∵MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →，∴12CA →＋AF →＋12FB →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →． ∴CE →＝CA →＋2AF →＋FB →＝2(MA →＋AF →＋FN →)． ∴CE →＝2MN →，∴CE →∥MN →，即CE →与MN →共线．题型四空间向量共面定理及其应用典例4 已知A ，B ，C 三点不共线，平面ABC 外的一点M 满足OM →＝12OA →＋13OB→＋16OC →．(1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内．[分析] 要证明三个向量MA →，MB →，MC →共面，只需证明存在实数x ，y ，使MA →＝xMB →＋yMC →，证明了三个向量共面，即可说明点M 就在平面内．[解析] (1)因为OM →＝12OA →＋13OB →＋16OC →，所以6OM →＝3OA →＋2OB →＋OC →，所以3OA →－3OM →＝(2OM →－2OB →)＋(OM →－OC →)，因此3MA →＝2BM →＋CM →＝－2MB →－MC →．故向量MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知向量MA →，MB →，MC →共面，三个向量又有公共点M ，故M ，A ，B ，C 共面，即点M 在平面ABC 内．[规律方法] 1．证明点P 在平面ABC 内，可以用AP →＝xAB →＋yAC →，也可以用OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →，若用OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则必须满足x ＋y ＋z ＝1．2．判定三个向量共面一般用p ＝x a ＋y b ，证明三线共面常用AP →＝xAB →＋yAC →，证明四点共面常用OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)．【对点训练】❹ 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 、Q 分别为A 1D 1、D 1C 1、AA 1、CC 1的中点，用向量方法证明M 、N 、P 、Q 四点共面．[解析] 令D 1A 1→＝a ，D 1C 1→＝b ，D 1D →＝c ， ∵M 、N 、P 、Q 均为棱的中点，∴MN →＝12b －12a ，MP →＝MA 1→＋A 1P →＝12a ＋12c ，MQ →＝MD 1→＋D 1C 1→＋C 1Q →＝－12a ＋b ＋12c ．令MQ →＝λMN →＋μMP →，则－12a ＋b ＋12c ＝12(μ－λ)a ＋12λb ＋12μc ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧12(μ－λ)＝－1212λ＝112μ＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2μ＝1．∴MQ →＝2MN →＋MP →，因此向量MQ →、MN →、MP →共面， ∴四点M 、N 、P 、Q 共面．易错警示混淆平面向量与空间向量致错典例5 已知非零空间向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝e 1＋e 2，AC →＝2e 1＋8e 2，AD→＝3e 1－3e 2，那么下列结论正确的是( B )A ．A ，B ，C ，D 四点共线 B ．A ，B ，C ，D 四点共面 C ．A ，B ，C ，D 四点不共面 D ．无法确定[错解] ∵AB →＝e 1＋e 2，AC →＋AD →＝5e 1＋5e 2＝5AB →， ∴A ，B ，C ，D 四点共线．故选A ．[辨析] 在平面向量中，若a ＝λb (b ≠0)，则a 与b 共线；在空间向量中，若a ＝λb ＋μc (b 与c 不共线)，则a ，b ，c 共面．[正解] 由错解知AB →＝15AC →＋15AD →，则AB →，AC →，AD →共面．从而A ，B ，C ，D 四点共面．1.1.2 空间向量的数量积运算素养目标·定方向课程标准学法解读掌握空间向量的数量积运算． 1．理解空间两个向量夹角的定义．(直观想象)2．掌握空间向量数量积的定义、性质、运算律，会求空间向量的数量积．(数学运算)3．能够运用空间向量的数量积解决夹角与距离问题．(数学运算)必备知识·探新知知识点1 空间向量的夹角1．定义：已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则__∠AOB __叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉．2．范围：__0≤〈a ，b 〉≤π__．特别地，当〈a ，b 〉＝π2时，a ⊥b ．思考1：当〈a ，b 〉＝0和〈a ，b 〉＝π时，向量a 与b 有什么关系？提示：当〈a ，b 〉＝0时，a 与b 同向；当〈a ，b 〉＝π时，a 与b 反向．知识点2 空间向量的数量积定义已知两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a ·b ．即a ·b ＝__|a ||b |cos 〈a ，b 〉__规定：零向量与任何向量的数量积都为0性质①a ⊥b ⇔__a ·b ＝0__ ②a ·a ＝a 2＝|a |2 运算律①(λa )·b ＝λ(a ·b )，λ∈R②a ·b ＝b ·a (交换律)③a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c (分配律)提示：不满足结合律，(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )是错误的．思考3：对于向量a ，b ，若a ·b ＝k ，能否写成a ＝kb ⎝⎛⎭⎫或b ＝k a ？提示：不能，向量没有除法．知识点3 向量a 的投影1．如图(1)，在空间，向量a 向向量b 投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b 共线的向量c ，c ＝|a |cos 〈a ，b 〉b|b |，向量c 称为向量a 在向量b 上的投影向量．类似地，可以将向量a 向直线l 投影(如图(2))．2．如图(3)，向量a 向平面β投影，就是分别由向量a 的起点A 和终点B 作平面β的垂线，垂足分别为A ′，B ′，得到A ′B ′→，向量A ′B ′→称为向量a 在平面β上的投影向量．这时，向量a ，A ′B ′→的夹角就是向量a 所在直线与平面β所成的角．关键能力·攻重难题型探究题型一求空间向量的数量积典例1 已知三棱锥O －ABC 的各个侧面都是等边三角形，且棱长为2，点M ，N ，P 分别为AB ，BC ，CA 的中点．试求：(1)OA →·OB →；(2)NP →·AB →； (3)OB →·AC →；(4)OC →·MP →．[分析] 求出每个向量的模及它们的夹角，然后按照数量积的定义求解，必要时，对向量进行分解．[解析] (1)OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos 〈OA →，OB →〉＝|OA →||OB →|cos ∠AOB ＝2×2×cos 60°＝2． (2)NP →·AB →＝|NP →||AB →|cos 〈NP →，AB →〉＝|NP →||AB →|cos 180°＝1×2×(－1)＝－2． (3)OB →·AC →＝OB →·(OC →－OA →)＝OB →·OC →－OB →·OA → ＝2×2×cos ∠BOC －2×2×cos ∠BOA ＝0． (4)OC →·MP →＝OC →·12BC →＝12OC →·BC →＝12OC →·(OC →－OB →) ＝12(OC →2－OC →·OB →)＝12×(22－2)＝1． [规律方法] 空间向量运算的方法与步骤方法：(1)利用定义，直接利用a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉并结合运算律进行计算．(2)利用图形，计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．(3)利用向量分解，在几何体中进行向量的数量积运算时，要充分利用几何体的性质，把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算．步骤：①首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的线性组合形式； ②利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积； ③代入a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉求解．【对点训练】❶ (1)已知a ＝3p －2q ，b ＝p ＋q ，p 和q 是相互垂直的单位向量，则a ·b ＝( A )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求下列数量积：①AB →·BA 1→＝__－1__；②AB →·BC 1→＝__0__．[解析] (2)①根据题意知，|AB →|＝1，|BA 1→|＝2，〈AB →，BA 1→〉＝135°，所以AB →·BA 1→＝1×2×cos 135°＝－1；②在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， AB ⊥BC ，AB ⊥CC 1，所以AB →·BC 1→＝AB →·(BC →＋CC 1→) ＝AB →·BC →＋AB →·CC 1→＝0．题型二利用数量积求夹角典例2 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求向量BC 1→与AC →的夹角的大小．[分析] 求两个向量的夹角，可以把其中一个向量平移到与另一个向量的起点重合，从而转化为求平面角的大小；也可以用两个向量的数量积定义a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，求出cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |的值，然后确定〈a ，b 〉的大小．[解析] (方法1)因为AD 1→＝BC 1→，所以∠D 1AC 即为向量BC 1→与AC →的夹角．因为△D 1AC 为等边三角形，所以∠D 1AC ＝π3，即〈BC 1→，AC →〉＝π3．所以向量BC 1→与AC →的夹角为π3．(方法2)设正方体的棱长为1，则BC 1→·AC →＝(BC →＋CC 1→)·(AB →＋BC →) ＝(AD →＋AA 1→)·(AB →＋AD →)＝AD →·AB →＋|AD →|2＋AA 1→·AB →＋AA 1→·AD → ＝0＋|AD →|2＋0＋0＝|AD →|2＝1．又|BC 1→|＝2，|AC →|＝2，所以cos 〈BC 1→，AC →〉＝BC 1→·AC →|BC 1→||AC →|＝12×2＝12．因为〈BC 1→，AC →〉∈[0，π]，所以〈BC 1→，AC →〉＝π3．所以向量BC 1→与AC →的夹角为π3．[规律方法] 两个非零向量夹角求法的两个途径(1)转化求角：把向量夹角转化为平面几何中的对应角，利用解三角形的知识求解． (2)利用数量积求夹角：运用公式cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |进行求解．【对点训练】❷ (1)已知a ，b 是异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a ，b 所成的角是 __60°__．(2)已知空间四边形OABC 各边及对角线长都相等，E ，F 分别为AB ，OC 的中点，则向量OE →与向量BF →夹角的余弦值为 __－23__．[解析] (1)AB →＝AC →＋CD →＋DB →，所以CD →·AB →＝CD →·(AC →＋CD →＋DB →) ＝|CD →|2＝1，所以cos 〈CD →，AB →〉＝CD →·AB →|CD →||AB →|＝12，所以异面直线a ，b 所成角是60°．(2)设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c 且|a |＝|b |＝|c |＝1，易知∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝π3，则a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12．因为OE →＝12(OA →＋OB →)＝12(a ＋b )，BF →＝OF →－OB →＝12OC →－OB →＝12c －b ，|OE →|＝|BF →|＝32，所以OE →·BF →＝12(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫12c －b ＝14a ·c ＋14b ·c －12a ·b －12b 2＝－12．设OE →与BF →的夹角为θ，cos θ＝OE →·BF →|OE →||BF →|＝－1232×32＝－23．所以向量OE →与向量BF →夹角的余弦值为－23．题型三空间向量数量积的应用角度1 利用数量积证明空间中的垂直关系典例3 已知三棱锥O －ABC 中，∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ，且OA ＝OB ＝OC ．M 、N 分别是OA 、BC 的中点，G 是MN 的中点，求证：OG ⊥BC ．[分析] 要证OG ⊥BC ，只要证OG →·BC →＝0，关键是把OG →、BC →用一组基向量OA →、OB →、OC →表示出来．[解析] 如图所示，连接ON ，设∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝θ，又设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则|a |＝|b |＝|c |， ∴a ·b ＝b ·c ＝a ·c ＝|a |2cos θ，又OG →＝12(OM →＋ON →)＝12[12OA →＋12(OB →＋OC →)]＝14(a ＋b ＋c )． BC →＝c －b ，∴OG →·BC →＝14(a ＋b ＋c )(c －b )，＝14(a ·c －a ·b －b 2＋c 2)＝0． ∴OG ⊥BC ．[规律方法] 证明两直线垂直，求两直线夹角，其关键环节都是取两直线的方向向量，将其用一组容易求数量积的不共面向量线性表示，证明两直线垂直，即证两直线方向向量的数量积为0；求两直线夹角利用两向量的夹角公式求解，需注意两向量夹角范围是[0，π]．【对点训练】❸ 已知空间四边形OABC 中，M 、N 、P 、Q 分别为BC 、AC 、OA 、OB 的中点，若AB ＝OC ，求证：PM ⊥QN ．[证明]如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，又P 、M 分别为OA ，BC 的中点． ∴PM →＝OM →－OP →＝12(b ＋c )－12a＝12[(b －a )＋c ]．同理，QN →＝12(a ＋c )－12b＝－12[(b －a )－c ]．∴PM →·QN →＝－14[|b －a |2－|c |2]，又AB ＝OC ，即|b －a |＝|c |． ∴PM →·QN →＝0．∴PM →⊥QN →，即PM ⊥QN ．角度2 利用数量积求距离典例4 如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，沿着它的对角线AC 将△ACD 折起，使AB 与CD 成60°角，求此时B ，D 间的距离．[解析] 因为∠ACD ＝90°，所以AC →·CD →＝0，同理可得AC →·BA →＝0．因为AB 与CD 成60°角，所以〈BA →，CD →〉＝60°或〈BA →，CD →〉＝120°．又BD →＝BA →＋AC →＋CD →，所以|BD →|2＝|BA →|2＋|AC →|2＋|CD →|2＋2BA →·AC →＋2BA →·CD →＋2AC →·CD →＝3＋2×1×1×cos 〈BA →，CD →〉．所以当〈BA →，CD →〉＝60°时，|BD →|2＝4，此时B ，D 间的距离为2；当〈BA →，CD →〉＝120°时，|BD →|2＝2，此时B ，D 间的距离为2．[规律方法] 用数量积求两点间距离的步骤(1)用向量表示此距离．(2)用其他向量表示此向量．(3)用公式a ·a ＝|a |2，求|a |．(4)|a |即为所求距离．【对点训练】❹如图，已知一个60°的二面角的棱上有两点A ，B ，AC ，BD 分别是在这两个面内且垂直于AB 的线段．又知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，求CD 的长．[解析] 因为CA ⊥AB ，BD ⊥AB ，所以〈CA →，BD →〉＝120°．因为CD →＝CA →＋AB →＋BD →，且CA →·AB →＝0，BD →·AB →＝0，所以|CD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·BD → ＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2|CA →||BD →|cos 〈CA →，BD →〉＝62＋42＋82＋2×6×8×⎝⎛⎭⎫－12＝68，所以|CD →|＝217，故CD 的长为217．易错警示忽视向量方向，造成错误角度典例5 (2021·山东潍坊检测)如图所示，在空间四边形ABCD 中，每条边的长度和两条对角线的长度都等于1，M ，N 分别为AB ，AD 的中点，则MN →·DC →＝__－14__．[错解] ∠BDC 是BD →与DC →的夹角，从而MN →·DC →＝12cos 60°＝14．[辨析] 向量的夹角定义中，必须把两向量平移至有公共起点，如图所示，∠AOB 是OA →与OB →的夹角，而AO →与OB →的夹角为∠AOB 的补角．[正解] MN →·DC →＝12BD →·DC →＝12|BD →|·|DC →|·cos 〈BD →，DC →〉＝12cos 120°＝－14．1.2 空间向量基本定理素养目标·定方向课程标准学法解读1．了解空间向量基本定理及其意义． 2．掌握空间向量的正交分解．1．掌握空间向量基本定理．(数学抽象) 2．了解空间向量正交分解的含义．(数学抽象) 3．会用空间向量基本定理解决有关问题．(逻辑推理)必备知识·探新知知识点1 空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c __不共面__，那么对任意一个空间向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得p ＝__x a ＋y b ＋z c __．我们把{a ，b ，c }叫做空间的一个__基底__，a ，b ，c 都叫做基向量．思考1：零向量能否作为基向量？提示：不能．零向量与任意两个向量a ，b 都共面．知识点2 空间向量的正交分解1．单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量__两两垂直__，且长度都是__1__，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i ，j ，k }表示．2．向量的正交分解由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a ，均可以分解为三个向量x i ，y j ，z k 使得a ＝x i ＋y j ＋z k ．像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．知识点3 证明平行、共线、共面问题(1)对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使__a ＝λb __． (2)如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使__p ＝x a ＋y b __．思考2：怎样利用向量共线、向量共面解决几何中的证明平行、共线、共面问题？提示：平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题．知识点4 求夹角、证明垂直问题(1)θ为a ，b 的夹角，则__cos θ＝a ·b|a ||b |__．(2)若a ，b 是非零向量，则a ⊥b ⇔__a ·b ＝0__．思考3：怎样利用向量的数量积解决几何中的求夹角、证明垂直问题？提示：几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围．知识点5 求距离(长度)问题|a |＝a ·a (|AB →|＝AB →·AB→)．思考4：怎样利用向量的数量积解决几何中的求距离(长度)问题？提示：几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用数量积可以求得．关键能力·攻重难题型探究题型一基底的判断典例1 (1)设x ＝a ＋b ，y ＝b ＋c ，z ＝c ＋a ，且{a ，b ，c }是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a ，b ，x }，②{x ，y ，z }，③{b ，c ，z }，④{x ，y ，a ＋b ＋c }．其中可以作为空间一个基底的向量组有( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(2)已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA →，OB →，OC →}能否作为空间的一个基底．[解析](1)如图所示，令a ＝AB →，b ＝AA 1→，c ＝AD →，则x ＝AB 1→，y ＝AD 1→，z ＝AC →，a ＋b ＋c ＝AC 1→．由于A ，B 1，C ，D 1四点不共面，可知向量x ，y ，z 也不共面，同理b ，c ，z 和x ，y ，a ＋b ＋c 也不共面，由于A ，B ，B 1，A 1四点共面知a ，b ，x 共面，故选C ．(2)设OA →＝xOB →＋yOC →，则e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3)，即e 1＋2e 2－e 3＝(y －3x )e 1＋(x ＋y )e 2＋(2x －y )e 3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y －3x ＝1，x ＋y ＝2，2x －y ＝－1，此方程组无解．即不存在实数x ，y ，使得OA →＝xOB →＋yOC →，所以OA →，OB →，OC →不共面．所以{OA →，OB →，OC →}能作为空间的一个基底．[规律方法] 判断基底的基本思路及方法(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．②假设a ＝λb ＋μc ，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．【对点训练】❶ 若{a ，b ，c }是空间的一个基底，试判断{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能否作为空间的一个基底．[解析] 假设a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 共面，则存在实数λ，μ，使得a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )，即a ＋b ＝μa ＋λb ＋(λ＋μ)c ．∵{a ，b ，c }是空间的一个基底，∴a ，b ，c 不共面． ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝μ，1＝λ，0＝λ＋μ，此方程组无解．即不存在实数λ，μ，使得a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )， ∴a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面．故{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能作为空间的一个基底．题型二用基底表示空间向量典例2如图所示，四棱锥P －OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC ，设OA →＝a ，OC →＝b ，OP →＝c ，点E ，F 分别是PC ，PB 的中点，试用a ，b ，c 表示：BF →，BE →，AE →，EF →．[分析] 利用图形寻找待求向量与a ，b ，c 的关系→利用向量运算进行拆分→直至向量用a ，b ，c 表示[解析]连接BO ，则BF →＝12BP →＝12(BO →＋OP →)＝12(c －b －a )＝－12a －12b ＋12c ．BE →＝BC →＋CE →＝BC →＋12CP →＝BC →＋12(CO →＋OP →)＝－a －12b ＋12c ．AE →＝AP →＋PE →＝AO →＋OP →＋12(PO →＋OC →)＝－a ＋c ＋12(－c ＋b )＝－a ＋12b ＋12c ．EF →＝12CB →＝12OA →＝12a ．[规律方法] 用基底表示空间向量的解题策略1．空间中，任一向量都可以用一个基底表示，且只要基底确定，则表示形式是唯一的． 2．用基底表示空间向量时，一般要结合图形，运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则，以及数乘向量的运算法则，逐步向基向量过渡，直至全部用基向量表示．3．在空间几何体中选择基底时，通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底，例如，在正方体、长方体、平行六面体、四面体中，一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底．【对点训练】❷ 如图，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，E 为A 1D 1的中点，F 为BC 1与B 1C 的交点．(1)用基底{a ，b ，c }表示向量DB 1→，BE →，AF →； (2)化简DD 1→＋DB →＋CD →，并在图中标出化简结果． [解析] (1)DB 1→＝DC →＋CB 1→＝DC →＋BB 1→－BC →＝a －b ＋c ． BE →＝BA →＋AA 1→＋A 1E →＝－a ＋12b ＋c ．AF →＝AB →＋BF →＝a ＋12(b ＋c )＝a ＋12b ＋12c ．(2)DD 1→＋DB →＋CD →＝DD 1→＋(CD →＋DB →) ＝DD 1→＋CB →＝DD 1→＋D 1A 1→＝DA 1→．如图，连接DA 1，则DA 1→即为所求．题型三空间向量基本定理的应用角度1 利用空间向量基本定理证明位置关系典例3 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点，求证：EF ⊥AB 1．[证明] 设AB →＝a ，AA 1→＝b ，AD →＝c ，则EF →＝EB 1→＋B 1F →＝12(BB 1→＋B 1D 1→)＝12(AA 1→＋BD →)＝12(AA 1→＋AD →－AB →)＝12(－a ＋b ＋c )，AB 1→＝AB →＋BB 1→＝AB →＋AA 1→＝a ＋b ．所以EF →·AB 1→＝12(－a ＋b ＋c )·(a ＋b )＝12(|b |2－|a |2)＝0．所以EF →⊥AB 1→，即EF ⊥AB 1．角度2 求距离、夹角典例4 如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°．(1)求AC 1的长；(2)求BD 1与AC 所成角的余弦值．[解析] (1)设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°，所以a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12．|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝1＋1＋1＋2×⎝⎛⎭⎫12＋12＋12＝6，所以|AC 1→|＝6，即AC 1的长为6． (2)BD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ，所以|BD 1→|＝2，|AC →|＝3，BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b )＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1．所以cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→||AC →|＝66．所以AC 与BD 1所成角的余弦值为66． [规律方法] 应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行，可求两条异面直线所成的角等．首先根据几何体的特点，选择一个基底，把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示．(1)若证明线线垂直，只需证明两向量数量积为0． (2)若证明线线平行，只需证明两向量共线．(3)若要求异面直线所成的角，则转化为两向量的夹角(或其补角)．【对点训练】❸ 在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是DD 1，BD 的中点，点G 在棱CD 上，且CG ＝13CD ．(1)证明：EF ⊥B 1C ；(2)求EF 与C 1G 所成角的余弦值．[解析] (1)证明：设DA →＝i ，DC →＝j ，DD 1→＝k ，则{i ，j ，k }构成空间的一个正交基底．所以EF →＝ED →＋DF →＝－12k ＋12(DA →＋AB →)＝12i ＋12j －12k ，B 1C →＝B 1B →＋BC →＝－i －k ，所以EF →·B 1C →＝⎝⎛⎭⎫12i ＋12j －12k ·(－i －k ) ＝－12|i |2＋12|k |2＝0，所以EF ⊥B 1C ．(2)解：EF →＝12i ＋12j －12k ，C 1G →＝C 1C →＋CG →＝－k －13j ，|EF →|2＝⎝⎛⎭⎫12i ＋12j －12k 2＝14|i |2＋14|j |2＋14|k |2＝3，|EF →|＝3，|C 1G →|2＝⎝⎛⎭⎫－k －13j 2＝|k |2＋19|j |2＝4＋49＝409，|C 1G →|＝2103， ∴cos 〈EF →，C 1G →〉＝EF →·C 1G →|EF →|·|C 1G →|＝⎝⎛⎭⎫12i ＋12j －12k ·⎝⎛⎭⎫－k －13j 3×2103＝432303＝3015． ∴EF 与C 1G 所成角的余弦值为3015．1.3 空间向量及其运算的坐标表示1.3.1 空间直角坐标系素养目标·定方向课程标准学法解读1．了解空间直角坐标系．2．会用空间直角坐标系刻画点的位置．1．了解空间直角坐标系的建系方式．(直观想象)2．掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．(直观想象)3．能在空间直角坐标系中求出点的坐标和已知坐标作出点．(直观想象)必备知识·探新知知识点1 空间直角坐标系1．空间直角坐标系及相关概念(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O 和一个单位正交基底{i ，j ，k }，以O 为原点，分别以i ，j ，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：__x 轴、y 轴、z 轴__．它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个__空间直角坐标系Oxyz __．(2)相关概念：__O __叫做原点，i ，j ，k 都叫做坐标向量，通过__每两个坐标轴__的平面叫做坐标平面，分别称为__Oxy __平面、__Oyz __平面、__Ozx __平面，它们把空间分成八个部分．2．右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向__x 轴__的正方向，食指指向__y 轴__的正方向，如果中指指向__z 轴__的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．思考1：空间直角坐标系有什么作用？提示：可以通过空间直角坐标系将空间点、直线、平面数量化，将空间位置关系解析化．知识点2 空间一点的坐标在空间直角坐标系Oxyz 中，i ，j ，k 为坐标单位向量，对空间任意一点A ，对应一个向量OA →，且点A 的位置由向量OA →唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使OA →＝x i ＋y j ＋z k ．在单位正交基底{i ，j ，k }下与向量OA →对应的__有序实数组(x ，y ，z )__叫做点A 在此空间直角坐标系中的坐标，记作__A (x ，y ，z )__，其中__x __叫做点A 的横坐标，__y __叫做点A 的纵坐标．__z __叫做点A 的竖坐标．思考2：空间直角坐标系中，坐标轴上的点的坐标有何特征？提示：x 轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0，即(x,0,0)． y 轴上的点的横坐标、竖坐标都为0，即(0，y,0)． z 轴上的点的横坐标、纵坐标都为0，即(0,0，z )．知识点3 空间向量的坐标在空间直角坐标系Oxyz 中，给定向量a ，作OA →＝a ．由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使a ＝x i ＋y j ＋z k ．有序实数组(x ，y ，z )叫做a 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标，上式可简记作a ＝(x ，y ，z )．思考3：空间向量的坐标和点的坐标有什么关系？提示：点A 在空间直角坐标系中的坐标为(x ，y ，z )，那么向量OA →的坐标也为(x ，y ，z )．。

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有一种成立。

(2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

(3)集合相等：构成两个集合的元素完全一样
4. 元素与集合的关系;
(1)假如a是集合A的元素，就说a属于(belong to)A，记作
a∈A(2)假如a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to)A，记作a A(或a A)
5. 常用数集及其记法
非负整数集(或自然数集)，记作N
正整数集，记作N_或N+;
整数集，记作Z
有理数集，记作Q
实数集，记作R
(二)集合的表示方法
我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来许多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。

(1) 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。

如：{1，2，3，4，5}，{_2，3_+2，5y3-_，_2+y2}，…;
思索2，引入描述法
说明：集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时。

(数学教案)新课标高中数学必修1教案

新课标高中数学必修1教案通过将含绝对值的不等式同解变形为不含绝对值的不等式，培养学生化归的思想和转化的能力;一起看看新课标高中数学必修1教案!欢送查阅!新课标高中数学必修1教案1教学目标(1)掌握与( )型的绝对值不等式的解法.(2)掌握与( )型的绝对值不等式的解法.(3)通过用数轴来表示含绝对值不等式的解集，培养学生数形结合的能力;(4)通过将含绝对值的不等式同解变形为不含绝对值的不等式，培养学生化归的思想和转化的能力;教学重点：型的不等式的解法;教学难点：利用绝对值的意义分析、解决问题.教学过程设计教师活动学生活动设计意图一、导入新课【提问】正数的绝对值什么负数的绝对值是什么零的绝对值是什么举例说明【概括】口答绝对值的概念是解与〔〕型绝对值不等值的概念，为解这种类型的绝对值不等式做好铺垫．二、新课【导入】2的绝对值等于几－2的绝对值等于几绝对值等于2的数是谁在数轴上表示出来．【讲述】求绝对值等于2的数可以用方程来表示，这样的方程叫做绝对值方程．显然，它的解有二个，一个是2，另一个是－2．【提问】如何解绝对值方程．【设问】解绝对值不等式，由绝对值的意义你能在数轴上画出它的解吗这个绝对值不等式的解集怎样表示【讲述】根据绝对值的意义，由右面的数轴可以看出，不等式的解集就是表示数轴上到原点的距离小于2的点的集合．【设问】解绝对值不等式，由绝对值的意义你能在数轴上画出它的解吗这个绝对值不等式的解集怎样表示【质疑】的解集有几局部为什么也是它的解集【讲述】这个集合中的数都比－2小，从数轴上可以明显看出它们的绝对值都比2大，所以是解集的一局部．在解时容易出现只求出这局部解集，而丢掉这部解集的错误．【练习】解以下不等式：〔1〕；〔2〕【设问】如果在中的，也就是怎样解【点拨】可以把看成一个整体，也就是把看成，按照的解法来解．所以，原不等式的解集是【设问】如果中的是，也就是怎样解【点拨】可以把看成一个整体，也就是把看成，按照的解法来解．，或，由得由得所以，原不等式的解集是口答．画出数轴后在数轴上表示绝对值等于2的数．画出数轴，思考答案不等式的解集表示为画出数轴思考答案不等式的解集为或表示为，或笔答〔1〕〔2〕，或笔答笔答根据绝对值的意义自然引出绝对值方程〔〕的解法．由浅入深，循序渐进，在〔〕型绝对值方程的根底上引出〔〕型绝对值方程的解法．针对解〔〕绝对值不等式学生常出现的情况，运用数轴质疑、解惑．落实会正确解出与〔〕绝对值不等式的教学目标．在将看成一个整体的关键处点拨、启发，使学生主动地进行练习．继续强化将看成一个整体继续强化解不等式时不要犯丢掉这局部解的错误．三、课堂练习解以下不等式：〔1〕；〔2〕笔答〔1〕；〔2〕检查教学目标落实情况．四、小结的解集是；的解集是解绝对值不等式注意不要丢掉这局部解集．或型的绝对值不等式，假设把看成一个整体一个字母，就可以归结为或型绝对值不等式的解法．五、作业1．阅读课本含绝对值不等式解法．2．习题2、3、4课堂教学设计说明1.抓住解型绝对值不等式的关键是绝对值的意义，为此首先通过复习让学生掌握好绝对值的意义，为解绝对值不等式打下牢固的根底.2.在解与绝对值不等式中的关键处设问、质疑、点拨，让学生融会贯穿的掌握它们解法之间的内在联系，以到达提高学生解题能力的目的.3.针对学生解( )绝对值不等式容易出现丢掉这局部解集的错误，在教学中应根据绝对值的意义从数轴进行突破，并在练习中纠正这个错误，以提高学生的运算能力.新课标高中数学必修1教案2教学目标：(1)理解子集、真子集、补集、两个集合相等概念;(2)了解全集、空集的意义，(3)掌握有关子集、全集、补集的符号及表示方法，会用它们正确表示一些简单的集合，培养学生的符号表示的能力;(4)会求集合的子集、真子集，会求全集中子集在全集中的补集;(5)能判断两集合间的包含、相等关系，并会用符号及图形(文氏图)准确地表示出来，培养学生的数学结合的数学思想;(6)培养学生用集合的观点分析问题、解决问题的能力.教学重点：子集、补集的概念教学难点：弄清元素与子集、属于与包含之间的区别教学用具：幻灯机教学过程设计(一)导入新课上节课我们学习了集合、元素、集合中元素的三性、元素与集合的关系等知识.【提出问题】(投影打出)，，，问：1.哪些集合表示方法是列举法.2.哪些集合表示方法是描述法.3.将集M、集从集P用图示法表示.4.分别说出各集合中的元素.5.将每个集合中的元素与该集合的关系用符号表示出来.将集N中元素3与集M的关系用符号表示出来.6.集M中元素与集N有何关系.集M中元素与集P有何关系. 【找学生答复】1.集合M和集合N;(口答)2.集合P;(口答)3.(笔练结合板演)4.集M中元素有-1，1;集N中元素有-1，1，3;集P中元素有-1，1.(口答)5. ，，，，，，，(笔练结合板演)6.集M中任何元素都是集N的元素.集M中任何元素都是集P的元素.(口答)【引入】在上面见到的集M与集N;集M与集P通过元素建立了某种关系，而具有这种关系的两个集合在今后学习中会经常出现，本节将研究有关两个集合间关系的问题.(二)新授知识1.子集(1)子集定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B 包含集合A。

高中数学必修一全册教案

预备课：高中入学第一课（学法指导）教学目的：了解高中阶段数学学习目标和基本能力要求，了解新课程标准的基本思路，了解高考意向，掌握高中数学学习基本方法，激发学生学习数学兴趣，强调布置有关数学学习要求和安排。

教学过程：一、欢迎词：1、祝贺同学们通过自己的努力，从初中升入到高中进行更深层次的学习。

希望同学们能够继续努力，坚持不懈，圆满度过高中三年的学习和生活，并祝愿同学们在这三年中次次取得优异成绩，并最终实现自己的宏伟目标。

2、我是你们的数学老师，我姓陈。

从今天开始我将会和同学们一起努力，帮助每一位同学实现自己的目标3、本节课我将和大家谈几个问题：为什么要学数学？如何学数学？高中数学知识结构？本期数学教学活动安排？作业要求？二、几个问题：1. 什么是数学：数学是一门研究空间图形和数量关系的科学2. 为什么要学数学：数学是各科的研究工具，它渗透到我们生活中的各个领域；计算机等高科技应用的需要；生活实践应用的需要。

对个人而言，它可以训练我们的思维，培养我们的运算能力、逻辑思维能力、空间想像能力、分析和解决实际问题的能力；在学习数学的过程中得到的训练和修养会很好的帮助我们学习其他理论，数学素质的提高对于个人能力的发展也是至关重要的。

3. 如何学数学：请几个同学发表自己的看法，共同完善归纳得出：抓好自学和预习；带着问题认真听课；独立完成作业；及时复习。

注重自学能力的培养，在学习中有的放矢，形成学习能力。

善于提问，善于对比，善于总结高中数学由于高考要求，学习时与初中有所不同，精通书本知识外，还要适当加大难度，即能够思考完成一些课后练习册，教材上每章复习参考题一定要题题会做。

适当阅读一些课外资料，如订阅一份数学报刊，购买一本同步辅导资料.5. 本期学习任务：本学期我们要学习的是高中数学必修课程5个模块中的必修1，内容包括“集合与函数的概念”“基本初等函数（1）”“函数的应用”三个章节，共36课时，约一个半月时间。

2022高一数学教案设计5篇

2022高一数学教案设计5篇高一新生要根据自己的条件，以及高中阶段学科知识交叉多、综合性强，以及考查的知识和思维触点广的特点，找寻一套行之有效的学习方法。

下面是小编给大家整理的2022高一数学教案，希望能给大家带来帮助。

2022高一数学教案1目标：(1)使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法(2)使学生初步了解“属于”关系的意义(3)使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义重点：集合的基本概念教学过程：1.引入(1)章头导言(2)集合论与集合论的-----康托尔(有关介绍可引用附录中的内容)2.讲授新课阅读教材，并思考下列问题：(1)有那些概念?(2)有那些符号?(3)集合中元素的特性是什么?(4)如何给集合分类?(一)有关概念:1、集合的概念(1)对象：我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号，都可以称作对象.(2)集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合.(3)元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素.集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、……2、元素与集合的关系(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A(2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作要注意“∈”的方向，不能把a∈A颠倒过来写.3、集合中元素的特性(1)确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了.(2)互异性：集合中的元素一定是不同的.(3)无序性：集合中的元素没有固定的顺序.4、集合分类根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类：(1)把不含任何元素的集合叫做空集Ф(2)含有有限个元素的集合叫做有限集(3)含有无穷个元素的集合叫做无限集注：应区分，0等符号的含义5、常用数集及其表示方法(1)非负整数集(自然数集)：全体非负整数的集合.记作N(2)正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N_或N+(3)整数集：全体整数的集合.记作Z(4)有理数集：全体有理数的集合.记作Q(5)实数集：全体实数的集合.记作R注：(1)自然数集包括数0.(2)非负整数集内排除0的集.记作N_或N+，Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z_课堂练习：教材第5页练习A、B小结：本节课我们了解集合论的发展，学习了集合的概念及有关性质课后作业：第十页习题1-1B第3题2022高一数学教案2一、教材分析1.教学内容本节课内容教材共分两课时进行，这是第一课时，该课时主要学习函数的单调性的的概念，依据函数图象判断函数的单调性和应用定义证明函数的单调性。

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数学必修一精品教案

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2022年新课标人教版高中数学必修一全套优秀教案（全册）备课资料［备选例题］【例1】判断下列集合是有限集还是无限集,并用适当的方法表示:(1)被3除余1的自然数组成的集合;(2)由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合;(3)二次函数y=x 2+2x-10的图象上的所有点组成的集合;(4)设a 、b 是非零实数,求y=||||||ab ab b b a a ++的所有值组成的集合. 思路分析：本题主要考查集合的表示法和集合的分类.用列举法与描述法表示集合时,一要分清元素是什么,二要明确元素满足的条件是什么.解：(1)被3除余1的自然数有无数个,这些自然数可以表示为3n+1(n ∈N ).用描述法表示为{x|x=3n+1,n ∈N }.(2)由题意得满足条件的正整数有:3,5,7,11,13,17,19.则此集合中的元素有7个,用列举法表示为{3,5,7,11,13,17,19}.(3)满足条件的点有无数个,则此集合中有无数个元素,可用描述法来表示.通常用有序数对(x,y)表示点,那么满足条件的点组成的集合表示为{(x,y)|y=x 2+2x-10}.(4)当ab<0时,y=||||||ab ab b b a a ++=-1;当ab>0时,则a>0,b>0或a<0,b<0. 若a>0,b>0,则有y=||||||ab ab b b a a ++=3;若a<0,b<0,则有y=||||||ab ab b b a a ++=-1. ∴y=||||||ab ab b b a a ++的所有值组成的集合共有两个元素-1和3.则用列举法表示为{-1,3}.【例2】定义A-B={x|x ∈A,x ∉B},若M={1,2,3,4,5},N={2,3,6},试用列举法表示集合N-M.分析:应用集合A-B={x|x ∈A,x ∉B}与集合A 、B 的关系来解决.依据定义知N-M 就是集合N 中除去集合M 和集合N 的公共元素组成的集合.观察集合M 、N,它们的公共元素是2,3.集合N 中除去元素2,3还剩下元素6,则N-M={6}.答案：{6}.(设计者：张新军)设计方案（二）教学过程导入新课思路1.在初中代数不等式的解法一节中提到:一般地,一个含有未知数的不等式的所有的解,组成这个不等式的解的集合,简称这个不等式的解集.不等式解集的定义中涉及到“集合”,那么,集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容.今天我们开始学习集合,引出课题.思路2.开场白:集合是现代数学的基本语言,它可以简洁、准确地表达数学内容.这个词听起来比较陌生,其实在初中我们已经有所接触,比如自然数集、有理数集,一元一次不等式x-3>5的解集,这些都是集合.还有,我们学过的圆的定义是什么？(提问学生)圆是到一个定点的距离等于定长的点的集合.接着点出课题.推进新课新知探究提出问题教师利用多媒体设备向学生投影出下面实例,这5个实例的共同特征是什么?(1)1~20以内的所有质数;(2)我国古代的四大发明;(3)所有的安理会常任理事国;(4)所有的正方形;(5)北京大学2004年9月入学的全体学生.活动：教师组织学生分小组讨论,每个小组选出一位同学发表本组的讨论结果,在此基础上,师生共同概括出5个实例的特征,并给出集合的含义.引导过程:①一般地,指定的某些对象的全体称为集合(简称为集),集合中的每个对象叫做这个集合的元素.②集合常用大写字母A,B,C,D,…表示,元素常用小写字母a,b,c,d,…表示.③集合的表示法:a.自然语言(5个实例);b.字母表示法.④集合元素的性质:a.确定性:即任给一个元素和一个集合,那么这个元素和这个集合的关系只有两种:这个元素要么属于这个集合,要么不属于这个集合;b.互异性:一个给定集合的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的;c.无序性:集合中的元素是没有顺序的.⑤集合相等:如果两个集合中的元素完全相同,那么这两个集合是相等的.⑥元素与集合的关系:“属于”和“不属于”分别用“∈”和“∉”表示.元素确定性的符号语言表述为:对任意元素a和集合A,要么a∈A,要么a∉A.⑦在初中我们学过了一些数的集合,国际标准化组织(ISO)制定了常用数集的记法:自然数集(包含零):N,正整数集:N*(N+),整数集:Z,有理数集:Q,实数集:R.因此字母N、Z、Q、R不能再表示其他的集合,否则会出现混乱的局面.提出问题(1)请列举出“小于5的所有自然数组成的集合A”.(2)你能写出不等式2-x>3的所有解吗？怎样表示这个不等式的解集？活动：学生回答后,教师指出:①在数学中,为书写规范,我们把封闭曲线简化为一个大括号,然后把元素一一列举出来,元素与元素之间用逗号隔开写在大括号内来表示这个集合.这种表示集合的方法称为列举法.如本例可表示为A={0,1,2,3,4}.②描述法:将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来,写成{x|p(x)}的形式.其中x为元素的一般特征,p(x)为x满足的条件.如数集常用{x|p(x)}表示,点集常用{(x,y)|p(x,y)}表示.应用示例思路11.课本第3页例1.思路分析：用相应的数学知识明确集合中的元素,再写在大括号内. 点评：本题主要考查集合表示法中的列举法.如果一个集合是有限集,并且元素的个数较少时,通常选择列举法表示,其特点是非常显明地表示出了集合中的元素,是常用的表示法;列举法表示集合的步骤:(1)用字母表示集合;(2)明确集合中的元素;(3)把集合中所有元素写在大括号“{}”内,并写成A={……}的形式.变式训练请试一试用列举法表示下列集合:9∈N};(1)A={x∈N|且x9(2)B={y|y=-x2+6,x∈N,y∈N};(3)C={(x,y)|y=-x2+6,x∈N,y∈N}.分析:本题考查列举法与描述法的相互转化.明确各个集合中的元素后再写在大括号内.9均为自然数;(1)集合A中元素x满足9x(2)集合B中y值为函数y=-x2+6的函数值的集合;(3)集合C中元素为点,抛物线上横、纵坐标均为自然数的点.答案：(1)A={0,6,8};(2)B={2,5,6};(3)C={(0,6),(1,5),(2,2)}.2.课本第4页例2.思路分析：本题重点学习用描述法表示集合.用一个小写英文字母表示集合中的元素,作为集合中元素的代表符号,找到集合中元素的共同特征,并把共同特征用数学符号来表达,然后写在大括号“{}”内.点评：本题主要考查集合的表示方法,以及应用知识解决问题的能力;描述法表示集合的步骤:(1)用字母分别表示集合和元素,(2)用数学符号表达集合元素的共同特征;(3)在大括号内先写上集合中元素的代表符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.并写成A={…|…}的形式;描述法适合表示有无数个元素的集合,当集合中的元素个数较少时,通常用列举法表示.变式训练课本P5练习2.思路21.下列所给对象不能构成集合的是( )A.一个平面内的所有点B.所有大于零的正数C.某校高一(4)班的高个子学生D.某一天到商场买过货物的顾客思路分析：本题考查集合中元素的确定性.由集合的含义,可知组成集合的元素必须是明确的,不能模棱两可.在A中对于任何一个点要么在这个平面内,要么不在这个平面内,因而它可以组成一个集合;在B中由于大于零的正数很明确,因此B也能组成一个集合;C中由于“高个子”没有一个确定的标准,因而不能判定一个学生到底是不是高个子,故它不能组成集合;而D中对于任何一个顾客在这一天是否到过某商场,以及是否买过货物是非常明确的,因此它也能组成一个集合.答案：C变式训练下列各组对象中不能构成集合的是( )A.高一(1)班全体女生B.高一(1)班全体学生家长C.高一(1)班开设的所有课程D.高一(1)班身高较高的男同学分析:判断所给对象能否构成集合的问题,只需根据构成集合的条件,即集合中元素的确定性便可以解决.因为A、B、C中所给对象都是确定的,从而可以构成集合;而D中所给对象不确定,原因是找不到衡量学生身高较高的标准,故不能构成集合.若将D中“身高较高的男同学”改为“身高175 cm以上的男同学”,则能构成集合.答案：D2.用另一种形式表示下列集合:(1){绝对值不大于3的整数};(2){所有被3整除的数};(3){x|x=|x|,x∈Z且x<5};(4){x|(3x-5)(x+2)(x2+3)=0,x∈Z};(5){(x,y)|x+y=6,x>0,y>0,x∈Z,y∈Z}.思路分析：用列举法与描述法表示集合时,一要分清元素是什么,二要明确元素满足的条件是什么.答案：(1){绝对值不大于3的整数}还可以表示为{x||x|≤3,x∈Z},也可表示为{-3,-2,-1,0,1,2,3}.(2){x|x=3n,n∈Z}.(3)∵x=|x|,∴x≥0.又∵x∈Z且x<5,∴{x|x=|x|,x∈Z且x<5}还可以表示为{0,1,2,3,4}.(4){-2}.(5){(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.变式训练用适当的形式表示下列集合:(1)绝对值不大于3的整数组成的集合;(2)所有被3整除的数组成的集合;(3)方程(3x-5)(x+2)(x 2+3)=0实数解组成的集合;(4)一次函数y=x+6图象上所有点组成的集合.分析:元素较少的有限集宜采用列举法;对无限集或元素较多的有限集宜采用描述法.答案：(1){x||x|≤3,x ∈Z }或{-3,-2,-1,0,1,2,3};(2){x|x=3n,n ∈Z }; (3){35,-2};(4){(x,y)|y=x+6}.3.已知集合A={x|ax 2-3x+2=0,a ∈R},若A 中至少有一个元素,求a 的取值范围.思路分析：对于方程ax 2-3x+2=0,a ∈R 的解,要看这个方程左边的x 2的系数,a=0和a≠0方程的根的情况是不一样的,则集合A 的元素也不相同,所以首先要分类讨论.解：当a=0时,原方程为-3x+2=0⇒x=32,符合题意;当a≠0时,方程ax 2-3x+2=0为一元二次方程,则⎩⎨⎧≥-≠.089,0a a 解得a≠0且a≤89.综上所得a 的取值范围是{a|a≤89}.4.用适当的方法表示下列集合:(1)方程组⎩⎨⎧=+=82y 3x 14,3y -2x 的解集; (2)1000以内被3除余2的正整数所组成的集合;(3)直角坐标平面上在第二象限内的点所组成的集合;(4)所有正方形;(5)直角坐标平面上在直线x=1和x=-1的两侧的点所组成的集合. 分析:本题考查集合的表示方法.所谓适当的表示方法,就是较简单、较明了的表示方法.由于方程组⎩⎨⎧=+=82y 3x 14,3y -2x 的解为x=4,y=-2.故(1)宜用列举法;(2)中尽管是有限集,但由于它的元素个数较多,所以用列举法表示是不明智的,故用描述法;(3)和(5)也宜用描述法;而(4)则宜用列举法为好.解：(1){(4,-2)};(2){x|x=3k+2,k ∈N 且x<1000};(3){(x,y)|x<0且y>0};(4){正方形};(5){(x,y)|x<-1或x>１}.知能训练课本P 5练习1、2.拓展提升1.已知A={x ∈R |x=abc abc bc bc ac ac ab ab c c b b a a ||||||||||||||++++++,abc≠0},用列举法表示集合A.分析:解决本题的关键是去掉绝对值符号,需分类讨论.解：题目中x 的取值取决于a 、b 、c 的正负情况,可分成以下几种情况讨论:(1)a 、b 、c 全为正时,x=7;(2)a 、b 、c 两正一负时,x=-1;(3)a、b、c一正两负时,x=-1;(4)a、b、c全为负时,x=-1.∴A={7,-1}.注意：(2)、(3)中又包括多种情况(a、b、c各自的正负情况),解题时应考虑全面.2.已知集合C={x|x=a+b,a∈A,b∈B}.(1)若A={0,1,2,3},B={6,7,8,9},求集合C中所有元素之和S;(2)若A={0,1,2,3,4,…,2 005},B={5,6,7,8,9},试用代数式表示出集合C 中所有元素之和S;(3)联系高斯求S=1+2+3+4+…+99+100的方法,试求出(2)中的S.思路分析：先用列举法写出集合C,然后解决各个小题.答案：(1)列举法表示集合C={6,7,8,9,10,11,12},进而易求得S=6+7+8+9+10+11+12=63.(2)列举法表示集合C={5,6,7,…,2 013,2 014},由此可得S=5+6+7+…+2 013+2 014.(3)高斯求S=1+2+3+4+…+99+100时,利用1+100=2+99=3+98=…=50+51=101,进而得S=1+2+3+4+…+99+100=101×50=5 050.本题(2)中S=5+6+7+…+2 013+2 014=2 019×1 005=2 029 095.课堂小结在师生互动中,让学生了解或体会下列问题:(1)本节课我们学习过哪些知识内容?(2)你认为学习集合有什么意义？(3)选择集合的表示法时应注意些什么?设计感想本节课是集合的起始课,采用教师启发引导,学生探究学习的教学方法,通过创设情境,引导探究,师生交流,最终形成概念,获得方法.作业1.课本P11习题1.1A组4.2.元素与集合的关系有多少种？如何表示？类似地集合与集合间的关系又有多少种呢？如何表示？请同学们通过预习课本来解答.(设计者：韩双影)模块纵览课标要求1.知识与技能认识和理解集合、映射、函数、幂函数、指数函数、对数函数等概念,认识和理解它们的有关性质和运算.具有一定的把函数应用于实际的能力.2.过程与方法通过背景的给出,通过经历、体验和实践探索过程的展现,通过数学思想方法的渗透,让学生体会过程的重要,并在过程中学习知识,同时领会一定的数学思想和方法.3.情感、态度与价值观教育的根本目的是育人.通过对本模块内容的教学,使学生在学习和运用知识的过程中提高对数学学习的兴趣,并在初中函数的学习基础上,对数学有更深刻的感受,提高说理、批判和质疑精神,形成锲而不舍追求真理的科学态度和习惯,树立良好的情感态度和价值观.内容概述本模块共三章:第一章集合与函数概念;第二章基本初等函数(Ⅰ);第三章函数的应用.本模块为了用集合与对应的语言刻画函数概念,先在第一章给出集合的有关概念、表示、关系和运算等;然后从函数实例出发深化函数概念及其表示,并研究映射概念;进而又给出了函数的性质:单调性、最值、奇偶性,这也是对函数的深化;接下来再回到特殊的函数——几个基本初等函数,继续认识函数,本模块重点涉及了指数函数、对数函数、幂函数;最后专门给出了函数在数学和实际中的一些应用实例,使函数的价值得到体现,也是进一步巩固函数的概念,更加强了数学应用.概括地说,本模块的核心内容是“函数”.函数是描述现实世界最重要、最常用的数学模型,是贯穿整个高中数学的纽带,是学生进一步学习的准备,是未来公民的必需,因此,整个模块以函数作为中心,以函数思想作为指导思想.本模块无论是数还是形都用函数观点来研究,研究它们的变化及其规律.对方程的认识和研究,也是从函数出发,把它与两个函数相结合,把它的解看成两个函数图象的交点的横坐标.这里把函数作为整体来认识,方程则被看成是包含于函数的局部.教学建议教师,对数学应该有自己深入的想法,只有教师深入了才能有教学的浅出;教师,对于教学也应该有自己的想法,唯其有自己的想法,才能发挥自己的特长,教出具有独到想法的学生.1.抓住核心,重点突破由于函数是本模块的重点和核心,因此教师要重视函数的教学,向学生贯彻函数的数学思想,逐步让学生掌握学会函数,更会用函数的思想去解决数学和实际问题.函数概念的教学要从实际背景和定义两个方面帮助学生理解函数的本质,教学中可引导学生联系生活常识,尝试列举具体函数,构建函数的一般定义.要注意：①构成函数的要素和相同函数的含义,②函数的三种表示法的联系、区别与适用性,③分段函数的意义,④映射的概念和判断.教学中应强调对函数概念本质的理解,在求函数定义域、值域时,要控制难度.2.用课本教,而非教课本《普通高中数学课程标准》是在《基础教育课程改革纲要(试行)》的指导下编写的,是数学学科教育目标的具体化,体现数学学科对学生最起码的要求,是编制高考大纲的依据,是数学教学和培养学生数学素质的主要依据,具有指导性.《普通高中数学课程标准》的目标是包含“双基”在内的三维发展目标:知识与技能,过程与方法,情感、态度与价值观.在这种教学过程中,课本仅仅是一种学习工具,是课程标准的具体化,课本内容仅仅是帮助学生实现三维发展目标的一种载体,并不要求学生将课本内容全部掌握.由于高中数学课本版本的多样化,高考数学只能依据高中数学课程标准而不是某个版本的课本来命题.因此在处理新课标课本时,首先要考虑高中数学课程标准的培养目标和具体要求.就课本来说,版本不同,对课程标准的理解就有不同,其处理的方式也就不同,因此,在教学中,要深入钻研课程标准、课本、学生,找准三者的连接点.这样在新课程改革的形势下,课本仅仅是教学的素材,在教学过程中,以课本为依托,把课本当作指导教学的素材和蓝本,创造性地使用、改造课本,最终突破课本,即变“教课本”为“用课本教”,树立“用课本教”的课本观.同时这也要求提醒学生,不要把课本看得过于神圣.3.把学生当成学习的主人独立自主地思考是学习数学的需要,但是合作交流更不能少.在课堂上,教师尽量不要大包大揽,以先知先觉出现,把结论告诉学生,而是推出判断,引导学生独立思考,并在此基础上进行合作和交流,努力实现师生的互动,这是课标的要求也是时代发展的必然.4.强调应用,突出提出、分析和解决问题的能力数学是美的,这正是数学使人兴趣盎然、乐此不疲之处.数学的美,有两个方面:一是其中的思维之美,内在的逻辑和运用逻辑的机智,外在的形式,莫不充满着思维之美;另一方面则是它的作用,它在方方面面的应用.新课标要求强化数学应用,在应用中,应该特别重视实践能力和创造能力的培养;在教学中,要重视动手和一题多解的能力.第一章集合与函数概念本章教材分析通过本章的学习,使学生会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象,并能在自然语言、图形语言、集合语言之间进行转换,体会用集合语言表达数学内容的简洁性、准确性,帮助学生学会用集合语言描述数学对象,发展学生运用数学语言进行交流的能力.通过本章的学习,使学生不仅把函数看成变量之间的依赖关系,同时还会用集合与对应的语言刻画函数,为后续学习奠定基础.函数是高中数学的核心概念,本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习,强调结合实际问题,使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法,从而发展学生对变量数学的认识,培养学生的抽象概括能力,增强学生应用数学的意识.课本力求紧密结合学生的生活经验和已有数学知识,通过列举丰富的实例,强调从实例出发,让学生对集合和函数概念有充分的感性认知基础,再用集合与对应语言抽象出函数概念.课本突出了集合和函数概念的背景教学,这样比较符合学生的认识规律.教学中要高度重视数学概念的背景教学.课本尽量创设使学生运用集合语言和数学符号进行表达和交流的情境和机会,并注意运用Venn图表达集合的关系及运算,用图象表示函数,帮助学生借助直观图示认识抽象概念.课本在例题、习题的教学中注重运用集合和函数的观点研究、处理数学问题,这一观点,一直贯穿到以后的数学学习中.在例题和习题的编排中,渗透了分类讨论思想,让学生体会到分类讨论思想在生活中和数学中的广泛运用,这是学生在初中阶段所缺少的.函数的表示是本章的主要内容之一,课本重视采用不同的表示法(列表法、图象法、分析法),目的是丰富学生对函数的认识,帮助理解抽象的函数概念.在教学中,既要充分发挥图象的直观作用,又要适当地引导学生从代数的角度研究图象,使学生深刻体会数形结合这一重要数学方法.课本将函数推广到了映射,体现了由特殊到一般的思维规律,有利于学生对函数概念学习的连续性.在教学中,要坚持循序渐进,逐步渗透数形结合、分类讨论这方面的训练.对函数的三要素着重从函数的实质上要求理解,而对定义域、值域的繁难计算,特别是人为的过于技巧化的训练不作提倡,要准确把握这方面的要求,防止拔高教学.重视函数与信息技术整合的要求,通过电脑绘制简单函数动态图象,使学生初步感受到信息技术在函数学习中的重要作用.为了体现课本的选择性,在练习题安排上加大了弹性,教师应根据学生实际情况,合理地取舍.本章教学时间约需13课时,具体分配如下(仅供参考):1.1.1 集合的含义与表示约1课时1.1.2 集合间的基本关系约1课时1.1.3 集合的基本运算约2课时1.2.1 函数的概念约2课时1.2.1 函数的表示法约3课时1.3.1 单调性与最大约2课时1.3.2 奇偶性约1课时本章复习约1课时1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示整体设计教学分析集合论是现代数学的一个重要的基础.在高中数学中,集合的初步知识与其他内容有着密切的联系,是学习、掌握和使用数学语言的基础.课本从学生熟悉的集合(自然数的集合、有理数的集合等)出发,结合实例给出元素、集合的含义,课本注重体现逻辑思考的方法,如抽象、概括等.值得注意的问题:由于本小节的新概念、新符号较多,建议教学时先引导学生阅读课本,然后进行交流,让学生在阅读与交流中理解概念并熟悉新符号的使用.在信息技术条件较好的学校,可以利用网络平台让学生交流学习概念后的认识;也可以由教师给出问题,让学生读后回答问题,再由教师给出评价.这样做的目的是培养学生主动学习的习惯,提高阅读与理解、合作与交流的能力.在处理集合问题时,根据需要,及时提示学生运用集合语言进行表述.三维目标1.通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系,能选择集合不同的语言形式描述具体的问题,提高语言转换和抽象概括能力,树立用集合语言表示数学内容的意识.2.了解集合元素的确定性、互异性、无序性,掌握常用数集及其专用符号,并能够用其解决有关问题,提高学生分析问题和解决问题的能力,培养学生的应用意识.重点难点教学重点:集合的基本概念与表示方法.教学难点:选择恰当的方法表示一些简单的集合.课时安排1课时设计方案（一）教学过程导入新课思路1.军训前学校通知:8月15日8点,高一年级学生到操场集合进行军训.试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里,集合是我们常用的一个词语,我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是高二、高三)对象的总体,而不是个别的对象,为此,我们将学习一个新的概念——集合.思路2.首先教师提出问题:在初中,我们已经接触过一些集合,你能举出一些集合的例子吗?引导学生回忆、举例和互相交流自己举的例子.与此同时,教师对学生的活动给予评价.接着教师指出:那么,集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容.推进新课新知探究提出问题①请我们班的全体女生起立！接下来问:“咱班的所有女生能不能构成一个集合啊？”②下面请班上身高在1.75以上的男生起立！他们能不能构成一个集合啊？③其实,生活中有很多东西能构成集合,比如新华字典里所有的汉字可以构成一个集合等等.那么,大家能不能再举出一些生活中的实际例子呢?请你给出集合的含义.④如果用A表示高一(3)班全体学生组成的集合,用a表示高一(3)班的一位同学,b是高一(4)班的一位同学,那么a、b与集合A分别有什么关系?由此看见元素与集合之间有什么关系？⑤世界上最高的山能不能构成一个集合？⑥世界上的高山能不能构成一个集合？⑦问题⑥说明集合中的元素具有什么性质？⑧由实数1、2、3、1组成的集合有几个元素？⑨问题⑧说明集合中的元素具有什么性质？⑩由实数1、2、3组成的集合记为M,由实数3、1、2组成的集合记为N,这两个集合中的元素相同吗？这说明集合中的元素具有什么性质？由此类比实数相等,你发现集合有什么结论？讨论结果：①能.②能.③我们把研究的对象统称为“元素”,那么把一些元素组成的总体叫“集合”.④a是集合A的元素,b不是集合A的元素.学生得出元素与集合的关系有两种:属于和不属于.。