初中数学《图形的剪拼》讲义及练习

本讲主要学习三大图形处理方法：
1．理解掌握图形的分割； 2．理解掌握图形的拼合； 3．理解图形的剪拼．
本讲中很多类型的题目还要求同学们去动手尝试．通过本讲知识的学习，让同学们了解不同图形的分割、拼合、剪拼的方法，锻炼同学们的平面想象能力以及增强学生的动手操作能力． 把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割．
反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合． 将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼． 我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考．
如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称点，把图形先分少，再分多．图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合数量来分割图形．如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，先拼少的，再拼多的．如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法．
板块一 图形的分割
【例 1】 用一条线段把一个长方形平均分割成两块，一共有多少种不同的分割法？
B
A
O
【解析】 怎样把一个图形按照规定的要求分割成若干部分呢？这就是图形的分割问题．按照规定的要求合
理分割图形，是很讲究技巧的，多做这种有趣的训练，可以培养学生的创造性思维，发展空间观念，丰富想象，提高观察能力．
这道题要求把长方形平均分割成两块，过长方形中心的任意一条直线都可以把长方形平均分割成两块，根据这点给出如下分法(如右图)： ⑴ 做长方形的两条对角线，设交点为O
⑵ 过O 点任作一条直线AB ，直线AB 将长方形平均分割成两块．
知识点拨
例题精讲
教学目标
第四讲：图形的剪拼
可见用线段平分长方形的分法是无穷多的．
【巩固】画一条直线，将六边形分成大小相等、形状相同的两部分，这样的直线有 条． 【解析】 无数条．任何过六边形中心的直线均符合要求．
【例 2】 把任意一个三角形分成面积相等的4个小三角形，有许多种分法．请你画出4种不同的分法． 【解析】 根据等底等高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成4个等底等高的小三角形，它们
的面积必定相等．而要得到这4个等底等高的小三角形，只需把原三角形的某条边四等分，再将各分点与这边相对的顶点连接起来就行了．根据上面的分析，可得如左下图所示的三种分法．又因为4 1 4 22=⨯=⨯，所以，如果我们把每一个小三角形的面积看做1，那么14⨯就可以视为把三角形的面积直接分成4等份，即分成4个面积为1的小三角形；而22⨯可以视为先把原三角形分成两等份，再把每一份分别分成两等份．根据前面的分析，在每次等分时，都要想办法找等底等高的三角形． 根据上面的分析，又可以得到如右下图的另两种分法．
A
B C C B A
A
B
C
【例 3
】 怎样把一个等边三角形分别分成8块和9
块形状、大小都一样的三角形．
→ 【解析】 ⑴分成8块的方法是：先取各边的中点并把它们连接起来，得到4个大小、形状相同的三角形，
然后再把每一个三角形分成两部分，得到如左上图所示的图形．
⑵分成9块的方法是：先把每边三等分，然后再把分点彼此连接起来，得到加上右上图所示的符合条件的图形．
【例 4】 下图是一个直角梯形，请你画一条线段，把它分成两个形状相同并且面积相等的四边形．
3
21D
C B
A 1
F
E 2
21D C B A
【解析】 直角梯形的上底为1，下底为2，要分成两个相同的四边形，需要一条边可以分成1和2，AD 边
长正好为3，所以AD 边分成两段，找到AD 的三等分点E ，现在，CD AE =，DE AB =，BF EF =，
所以还要找到BC 的中点F ，连接EF ，就把梯形ABCD 分成完全相同的两部分．如右上图．
【例 5】 在一块长方形的地里有一正方形的水池(如下图)．
试画一条直线把除开水池外的这块地平分成两
块．
A
O
【解析】 用连对角线的办法找出这块长方形地的中心O 和正方形水池的中心A ．过O 、A 画一条直线，这
条直线正好能把除开水池外的这块地平分为两块(如右上图)．
【例 6】 把下图四等分，要求剪成的每个小图形形状、大小都一样．除了剪正方形外，你还有别的方法吗？
20
60
40
20
20
【解析】 先把图形分成2040⨯相等的两块，每一块中再分成相等的两份，这样就不难分成四块了，如右上图．
【例 7】 下图是一个34⨯的方格纸，请用四种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小
方格的完整．
【解析】 分成的两块每块有1226÷=(个)小格，并且这两块要关于中心点对称，大小和形状完全一样，我
们从对称线入手，介绍一种分割技巧——染色法，先选中一个小格，找它关于中心点或中心线的对称位置，标上相应的符号．当找它关于中心线的对称位置时是一种情况，关于中心点的对称位置是另一种情况，具体如下图所示．
【例 8】 下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样的
四部分．
【解析】 要求把阴影部分分成四个大小、形状都相同的四个图形，先不考虑形状，大小相同也就是面积相
等，也就是把整个图形的面积分成四份，分割后的每一部分占一份．考虑先把阴影部分分成12个小正方形再分成四份，这样每份正好有3个小正方形．再看形状，三个小正方形只能排成“－”形或者“∟”形．答案如下图．
【例 9】 下图是由五个正方形组成的图形．把它分成形状、大小都相同的四个图形，应怎样分？
【解析】 如果不考虑分成的四个图形的形状，只考虑它们的面积，这就要求把原来五个正方形分成四个面
积相等的图形，每个图形的面积应是1个多正方形．我们把每个正方形各分成四个面积相等的小正方形，分成的每块图形应有五个这样的小正方形．根据图形的对称性，我们很快就能得到如右上图的分法．也可以将中间的正方形分成四个小正方形，如右上图．
【例 10】 已知左下图是由同样大小的5个正方形组成的．试将图形分割成4块形状、大小都一样的图
形．
【解析】 已知图形是由同样大小的5个正方形组成的，要分成4块同样大小的图形，则每块图形是
5
4
个正方形．由此想到，若把每个正方形都分成4等份，则分割成的每一块中应包含5份．再稍经试验，即得右上图的解(图内部的实线为分割线)．
【例 11】
下图是由18个小正方形组成的图形，请你把它分成6个完全相同的图形．
【解析】 通过计算，18÷6=3，说明基本形状是由三个小正方形组成，三个正方形有两种形式：
与
，
通过观察，上面的图形具有对称性，不可能分成6个
，再由6结合染色法，如下图．
6
6
6
55
54443
3
32221
11
【例 12】 一个正三角形形状的土地上有四棵大树(如下图所示)，现要把这块正三角形的土地分成和它
形状相同的四小块，并且要求每块地中都要有一棵大树．应怎样分？
【解析】 由于土地的形状为正三角形，由题意可知，把大三角形的面积分成四份，每一块占一份，且形状
与原三角形相同，于是我们想到取大正三角形的各边中点，依次连接各边中点，即可将这块大正三角形的土地分成与它相等的四份，如右上图所示．
【总结】本题若死守三角形面积等于底⨯高的一半，则无以下手，引导学生转换一下思考角度，取原三角
形各边中点，将原三角形分成面积相等的四部分，问题即可解决．
【例 13】 将下图分割成大小、形状相同的三块，使每一小块中都含有一个○．
【解析】 图中一共有18个小方格，要求分割成大小、形状相同的三块，每一块有：1836÷=(块)，而且
分割成大小、形状相同的三块，可以看出图形的中心点是O ，而且上面的部分是对称的，但是只有5块，需要对称的再加上一块，再由图形的特点，可以判断应分为右下图的三部分．
O
【例 14】 请把下面这个长方形沿方格线剪成形状、大小都相同的4块，使每一块内都含有“奥数读本”
这四个字中的一个，该怎么剪？
本
读数
奥
【解析】 图中“奥数”与“读本”中的两个字都是挨着的，所以肯定要在它们中间分割，因此，首先在他
们中间划出分割线，因为要将这个长方形分成大小、形状完全相同的4块，因为长方形是64⨯的，所以分割后的每一块都有6小块组成，可以考虑先把长方形分成相同的两部分，再把每一部分分成相同的两部分，如下图所示．
本
读数
奥
答案不唯一．
板块二 图形的拼合
【例 15】 用两块大小一样的等腰直角三角形能拼成几种常见的图形？ 【解析】 建议用等腰直角三角板，把不同的边进行重合，不要漏掉旋转重合，或者准备一些等腰直角三角
形的纸片，由学生拼接后贴到黑板上，见下图：
【例 16】
下面哪些图形自身用4次就能拼成一个正方形？
【解析】 用4块图(4)和图(5)那样的图形显然能够拼成一个大正方形．其实用图(1)、图(2)、图(3)也能
拼成一个大正方形，拼法见下图．
【例 17】
用下面的3个图形，拼成右边的大正方形．
【解析】 首先数一数所有的空格数，一共只有16个，只能组成44⨯的正方形，使用目标倒推法，在右边
的大正方形中拼图，仍然使用染色法，相当于把已知图形往右边的大正方形中放，这样就很容易拼合了，如下图：
【例 18】
有6个完全相同的
，你能将它们拼成下面的形状吗？
【解析】 利用染色法以及图形的对称性，对称轴两侧都有三个小图形，按照下面的顺序标号即可完成．
11
1
1＇1＇
1＇→
2222＇
2＇
2＇11
1
1＇1＇1＇→
3＇3＇3＇33
322
22＇2＇
2＇11
1
1＇1＇1＇
【例 19】
(保良局亚洲区城市小学数学邀请赛)三种塑料板的型号如图：
(A ) (B ) (C )
已有A 型板30块，要购买B 、C 两种型号板若干，拼成55⨯正方形10个，B 型板每块价格5
元，C 型板每块价格为4元．请你考虑要各买多少块，使所花的总钱数尽可能少，那么购买B 、C 两种板要花多少元？
【解析】 要使花的钱尽可能的少，已有30个A 型板最好能用上，而价格较贵的B 型板尽可能少用，因为A
型与B 型的面积都为3，所以在拼成的55⨯的正方形中，除了C 型外，余下的面积应能被3整除．有25449-⨯=或254121-⨯=能被3整除知，只能用4块C 型板或1块C 型板，考虑尽可能多地使用A 型板，有如下图1、图2 的拼法：
B
C C
C
C B A
A
A A
A
A B
C A
图1 图2
图1的拼法要花445226⨯+⨯=(元)，图2的拼法要花459+=(元)，因为只有30块A 型板，所以
在10快55⨯的正方形中，图2的拼法只能有4块，剩下6块用图1拼法，共需：94266192⨯+⨯=(元)
【例 20】
试用图a 中的8个相等的直角三角形，拼成图b 中的空心正八边形和图c 中的空心正八角星．
【解析】 把一个直角三角形的斜边与另一个直角三角形的一条直角边重合，同时，斜边上的一个锐角顶点
与直角顶点重合，像这样依次摆放下去，便可得空心正八边形．若把一个直角三角形的斜边与另一个直角三角形的直角边的一部分重合，但顶点均不重合，依次摆放下去，便可由这八个相等的直角三角形组成空心正八角星．
练习1. 把任意一个三角形分成面积相等的2个小三角形，有许多种分法．请你画出3种不同的分法．
A
B C
C B A
C
B
A
【解析】 根据等底等高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成2个等底等高的小三角形，它们
的面积必定相等．而要得到这2个等底等高的小三角形，只需找出原三角形的某条边的中点与这边相对的顶点连接起来就行了．根据上面的分析，可得如图所示的三种分法．
课后练习
练习2. 右图是一个44⨯的方格纸，请用六种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小
方格的完整．
【解析】 因为要分割成完全相同的两块，即大小、形状完全相同．方格纸一共有4416⨯=(个)小格，所以
分成的两块每块有1628÷=(个)小格，并且这两块要关于中心点对称，大小和形状完全一样，应用染色法，从中心点的一侧入手染色，逐步推进．(建议教师同时呈现六幅空的44⨯格图，不同的变化在不同的图上同时呈现)如下图：
3＇
2＇5＇1＇6＇7＇3
2654
18＇874＇
3＇
328＇17546
86＇5＇1＇4＇2＇
7＇
8＇
3
12＇2764
5
85＇6＇3＇7＇1＇4＇
4＇
322＇15647
8
7＇6＇3＇
5＇1＇8＇ 3＇
277＇14538
68＇5＇2＇
4＇1＇
6＇ 6＇
781＇15463
23＇4＇7＇
5＇8＇
2＇
练习3. 下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样的
两部分．如果分三部分呢？
【解析】 从形状，面积两方面综合考虑，很容易就能得到答案．答案如右上图．
练习4. 用3个等腰直角三角形拼图，要求边与边完全重合，能拼出几种图形？ 【解析】 这种类型的题需要学生亲自操作，建议教师准备材料与学生互动．一共可以拼成如下图的几种形状：
测试1、图中是由三个正三角形组成的梯形．你能把它分割成4个形状相同、面积相等的梯形吗？
月测备选
【解析】 这道题的要点在于通过计算解决问题，要求把原来三个正三角形分成四个大小、形状都相同的四
个梯形，先不考虑形状，大小相同也就是面积相等，即把整个梯形的面积分成四份，分割后的每一个梯形占一份，可以考虑把每一个三角形的面积分成四份，再把三个正三角形中的每一个小三角形合成要求的梯形，这种类型的题目可以从中点入手，找到每个正三角形的中点并连接，如右上图．
测试2、用同样大小的四块等腰直角三角板，能否拼出一个三角形、一个正方形、一个长方形、一个梯形、一个平行四边形五种图形？若能，画出示意图． 【解析】 能用四块同样大小的等腰直角三角板拼出一个三角形、一个正方形、一个长方形、一个梯形、一
个平行四边形五种图形．建议用等腰直角三角板，把不同的边进行重合，不要漏掉旋转重合，或者准备一些等腰直角三角形的纸片，由学生拼接后贴到黑板上，具体拼法如图所示．
测试3、用“四连块”拼成一个正方形，按编号画入右边图中．
④
③
②①
【解析】 首先数一数所有的空格数，一共只有16个，只能组成44 的正方形，目标倒推，在右边的大正
方形中拼图，仍然使用染色法，相当于把已知图形往右边的大正方形中放，这样就很容易拼成了，注意标号的位置，具体如下图所示：
①
→
①
③
→①
③
②
→①
③
④
②
测试4、把右图剪成形状、大小相等的8个小图形，怎么剪？作出分出的小图形．
【解析】 总格数为12，用总格数除以8，得到每个小图形应该是一个半小正方形，根据平均一个小图形的
格数作图，如右图．。