九年级数学下册第二十七章相似27.2相似三角形的性质作业1新版新人教版

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初三数学下册(人教版)第二十七章相似27.2知识点总结含同步练习及答案

分析：以 P 、B 、Q 为顶点的三角形和 △ABC 相似，有 △BP Q ∽ △BAC 和
△BP Q ∽ △BCA
△BP Q ∽ △BCA 两种情况．
解：① △BP Q ∽ △BAC，则
BP BQ ，即 2t = 2(6 − t)，解得 t = 3 ； = AB BC BP BQ ② △BP Q ∽ △BCA，则有，6(6 − t) = 12 × 2t，解得 t = 1.2， = BC AB 所以当 t = 3 秒或 t = 1.2 秒时以 P 、B 、Q 为顶点的三角形和 △ABC 相似．
(
)．
A．4 对
答案： C 解析：图中有
B．5 对
C．6 对
D．7 对
6 对三角形相似：△ABD ∽ △ACE，△BP E ∽ △CP D，△CP D ∽ △CAE， △CP D ∽ △BAD，△BP E ∽ △BAD，△BP E ∽ △CAE．
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3. 如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是边 AD 的中点，EC 交对角线 BD 于点 F ，则
(
)
EF : F C 等于 (
)
A．3 : 2
答案： D
B．3 : 1
C．1 : 1
D．1 : 2
4. 如图，△ABC 中，AB 、 AC 边上的高 CE 、 BD 相交于 P 点，图中所有的相似三角形共有
例题：如果两个相似三角形对应高的比是 3 : 2，那么它们的面积比是________；它们的周长比是 ______；对应角平分线的比是_______．解：9 : 4；3 : 2；3 : 2．下列条件，不能判定 △ABC 与 △DEF 相似的是（） ∘ ∘ ∘ A. ∠C = ∠F = 90 ，∠A = 55 ，∠D = 35 B. ∠C = ∠F = 90∘ ，AB = 10，BC = 6，DE = 15 ，EF = 9

九年级数学下册第二十七章相似27.2相似三角形27.2.2相似三角形的性质练习新人教版

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《27。

2.2相似三角形的性质》分层练习一．基础题1.已知△ABC ∽△A ′B ′C ′,BD 和B ′D ′是它们的对应中线，且C A AC ''=23，B ′D ′=4，则BD 的长为。

2.已知△ABC ∽△A ′B ′C ′,AD 和A ′D ′是它们的对应角平分线,且AD=8 cm ， A ′D ′=3 cm.，则△ABC 与△A ′B ′C ′对应高的比为 . 3。

两个相似三角形的相似比为2∶3,它们周长的差是25，那么较大三角形的周长是________，这两个三角形的面积比为 .4。

把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的21倍，那么边长应缩小到原来的________倍。

5。

已知ABC △与DEF △相似且面积比为4∶25，则ABC △与DEF △的相似比为。

6。

已知ABC A B C '''△∽△且1:2ABC A B C S S '''=△△:,则:AB A B ''= 。

7.在ABC △和DEF △中，22AB DE AC DF A D ==∠=∠，，，如果ABC △的周长是16,面积是12，那么DEF △的周长、面积依次为（） A ．8，3 B ．8，6 C ．4,3 D ．4，68。

人教版数学九年级下册第27章相似 27.2 相似三角形 27.2.2相似三角形的判定同步训

第27章相似 27.2 相似三角形 27.2.2相似三角形的判定同步训练1. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，则图中相似三角形共有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对2. 如图，点P 是▱ABCD 边AB 上的一点，射线CP 交DA 的延长线于点E ，则图中相似的三角形有( )A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对3．如图，在△ABC 中，∠AED ＝∠B ，则下列等式成立的是( )A.DE BC ＝AD DB B ．AE BC ＝AD BD C.DE CB ＝AE AB D ．AD AB ＝AE AC 4. 下列各组图形中有可能不相似的是( ) A ．各有一个角是45°的两个等腰三角形 B ．各有一个角是60°的两个等腰三角形 C ．各有一个角是105°的两个等腰三角形 D ．两个等腰直角三角形5. 如图，∠1＝∠2＝∠3，则图中共有相似三角形( )A ．1对B ．2对 C.3对 D ．4对6. 如图，正方形ABCD 中，M 为BC 上一点，ME ⊥AM ，ME 交AD 的延长线于点E ，若AB ＝12，BM ＝5，则DE 的长为( )A ．18B ．1095 C.965 D ．2537. 如图，有三个三角形，其中相似的是 .8. 如图，∠1＝∠2，∠B ＝∠E ，△ABC 与△AED 相似吗？为什么？9. 如图，正方形ABCD 中，点E 、F 、G 分别在AB 、BC 、CD 上，且∠EFG ＝90°.求证：△EFB ∽△FCG.10. 如图已知，在△ABC 中，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，BE 交CD 于点O.求证：△ABE ∽△OCE.11．如图，在▱ABCD 中，AD ＝10cm ，CD ＝5cm ，E 为AD 上一点，且BE ＝BC ，CE ＝CD ，则DE ＝ cm.12．如图，正方形ABCD 中，BC ＝2，点M 是边AB 的中点，连接DM ，DM 与AC 交于点P ，点E 在DC 上，点F 在DP 上，且∠DFE ＝45°，若PF ＝56，则CE ＝ . 13. 如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，E 为边AD 上一点．若∠1＝∠B ，CD ＝CE ，试说明△ACE ∽△BAD.14. 如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD.(1)证明：∠BDC＝∠PDC；(2)若AC与BD相交于点E，AB＝1，CE∶CP＝2∶3，求AE的长．参考答案： 1---6 CDCAD B 7. ①与②8. 解：△ABC ∽△AED ，∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DAC ＝∠2＋∠DAC ，∴∠BAC ＝∠EAD ，在△ABC 和△AED 中，∵∠B ＝∠E ，∠BAC ＝∠EAD ，∴△ABC ∽△AED. 9. 证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B ＝∠C ＝90°，∴BEF ＋∠BFE ＝90°，∵∠EFG ＝90°，∴∠BFE ＝∠CFG ，∴△EFB ∽△FCG.10. 证明：因为CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，所以∠AEB ＝∠ADC ＝90°.又∠A ＝∠A ，所以∠ABE ＝∠OCE.又因为∠AEB ＝∠OEC ，所以△ABE ∽△OCE. 11. 2.5 12. 7613. 证明：∵CD ＝CE ，∴∠CED ＝∠CDE ，即∠B ＋∠3＝∠1＋∠2，又∠1＝∠B ，∴∠2＝∠3，∴△ACE ∽△BAD.14. (1)证明：∵AB ＝AD ，AC 平分∠BAD ，∴AC ⊥BD ，∴∠ACD ＋∠BDC ＝90°，∵AC ＝AD ，∴∠ACD ＝∠ADC ，∴∠ADC ＋∠BDC ＝90°，∵PD ⊥AD ，∴∠ADC ＋∠PDC ＝90°，∴∠BDC ＝∠PDC ；(2)解：过点C 作CM ⊥PD 于点M ，∵∠BDC ＝∠PDC ，∴CE ＝CM ，∵∠CMP ＝∠ADP ＝90°，∠P ＝∠P ，∴△CPM ∽△APD ，∴ CM AD ＝PCPA ，设CM ＝CE ＝x ，∵CE ∶CP ＝2∶3，∴PC ＝32x ，∵AB ＝AD ＝AC ＝1，∴x 1＝32x 32x ＋1，解得：x ＝13，故AE ＝1－13＝23.。

人教版九年级数学下册27.2 相似三角形同步练习及答案【推荐】

27.2 相似三角形专题一相似形中的开放题1．如图，在正方形网2．格中，点A、B、C、D都是格点，点E是线段AC上任意一点．如果AD=1，那么当AE= 时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．1．已知：如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上.连接DE并延长交BC 的延长线于点F，连接DC、BE，∠BDE+∠BCE=180°.(1)写出图中三对相似三角形（注意：不得添加字母和线）；(2)请你在所找出的相似三角形中选取一对，说明它们相似的理由.专题二相似形中的实际应用题3．如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度x，需先求出内孔的直径AB，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）去量，若OA:OC=OB:OD=n，且量得CD=b，求厚度x.专题三相似形中的探究规律题4．某班在布置新年联欢晚会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30 cm，AB＝50 cm，依次裁下宽为1 cm的矩形纸条a1、a2、a2…若使裁得的矩形纸条的长都不小于5 cm，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数是( )A．24 B．25 C．26 D．275．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．（1）如图①，四边形DEFG为△ABC的内接正方形，求正方形的边长；（2）如图②，正方形DKHG，EKHF组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长；（3）如图③，三个正方形组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长；（4）如图④，n个正方形组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长．专题四相似形中的阅读理解题6．某校研究性学习小组在研究相似图形时，发现相似三角形的定义、判定及其性质，可以拓展到扇形的相似中去，例如，可以定义：圆心角相等且半径和弧长对应成比例的两个扇形叫相似扇形；相似扇形有性质：弧长比等于半径比，面积比等于半径比的平方…，请你协助他们探索下列问题：(1)写出判定扇形相似的一种方法：若，则两个扇形相似；(2)有两个圆心角相同的扇形，其中一个半径为a，弧长为m，另一个半径为2a，则它的弧长为；(3)如图1，是—完全打开的纸扇，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB为30cm,现要做一个和它形状相同，面积是它的一半的纸扇（如图2），求新做纸扇（扇形）的圆心角和半径.图1 图2专题五相似形中的操作题7．宽与长的比是215的矩形叫黄金矩形，心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感．现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：第一步：作一个正方形ABCD；第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；第四步：过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F．请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形．8．如图①，将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，得到△ABD和△ECF，固定△ABD，并把△ABD与△ECF叠放在一起．（1）操作：如图②，将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F在BD边上方左右旋转，设旋转时FC交BA于点H（H点不与B点重合），FE交DA于点G（G点不与D点重合）．求证：BH•GD=BF2；（2）操作：如图③，△ECF的顶点F在△ABD的BD边上滑动（F点不与B、D点重合），且CF始终经过点A，过点A作AG∥CE，交FE于点G，连接DG．探究：FD+DG= DB，请给予证明．专题六相似形中的综合题 9．正方形ABCD 的边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，且始终保持AM ⊥MN ．当BM = 时，四边形ABCN 的面积最大．10．如图，在锐角△ABC 中，AC 是最短边，以AC 的中点O 为圆心，21AC 长为半径作⊙O ，交BC 于E ，过O 作OD ∥BC 交⊙O 于D ，连接AE 、AD 、DC ．（1）求证：D 是 AE的中点；（2）求证：∠DAO =∠B +∠BAD ；（3）若21=∆∆OCD CEF S S ，且AC =4，求CF 的长.【知识要点】1．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例. 2．平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等. 3．平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 4．如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.5．如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 6．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 7．相似三角形周长的比等于相似比.相似多边形周长的比等于相似比. 8．相似三角形对应高的比等于相似比.9．相似三角形面积的比等于相似比的平方. 相似多边形面积的比等于相似比的平方.【温馨提示】1．平行线分线段成比例时，一定找准对应线段.2．当已知两个三角形有一组对应角相等，利用夹这个角的两边对应成比例来判定它们相似时，比例式常有两种情况，考虑不全面是遗漏解的主要原因.3．数学猜想需要严密的推理论证说明其正确性，规律的发现与提出需要从特殊到一般的数学归纳思想，平时要养成观察、分析问题的习惯.【方法技巧】1．相似三角形对应角平分线的比等于相似比；相似三角形对应中线的比等于相似比.2．在平面几何中，求图形中等积式或等比式时，一般地首先通过观察找出图形中相似的三角形，再从理论上证明观察结论的正确性，最后运用相似形的性质来解决问题.参考答案 1．22或42 【解析】根据题意得AD =1，AB=3，AC=26， ∵∠A=∠A ，∴若△ADE∽△ABC 时，ACAEAB AD =，即2631AE =，解得AE =22. 若△ADE∽△ACB 时，AB AE AC AD =3AE=，解得AE=42. ∴当AE =22或42时，以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似．2．解：（1）△ADE∽△ACB ，△CEF∽△DBF ，△EFB∽△CFD (不唯一).（2）由∠BDE+∠BCE =180°，可得∠ADE=∠BCE . ∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB ; ∴AC AD =ABAE.∵ ∠A=∠A ， ∴△AEB∽△ADC ;∵∠BDE+∠BC E =180°，∠BCE+∠ECF =180°， ∴∠ECF=∠BDF ，又∠F=∠F ， ∴△CEF∽△DBF ;∴BF EF =DFCF，而∠F=∠F ，∴△EFB∽△CFD . 3．解：∵ OA :OC ＝OB :OD ＝n 且∠AOB＝∠COD,∴△AOB∽△COD .∵ OA:OC ＝AB:CD ＝n ,又∵CD ＝b,∴AB=CD ·n ＝nb ，∴x ＝a －AB 2 ＝a －nb2. 4．C 【解析】设裁成的矩形纸条的总数为n ，且每条纸条的长度都不小于5cm，40(cm)BC ==．设矩形纸条的长边分别与AC 、AB 交于点M 、N ，因为△AMN ∽△ACB ，所以BC MN AC AM =．又因为AM=AC-1·n=30-n ，MN ≥5 cm ，所以4053030≥-n ，得n ≤26.25，所以n 最多取整数26．5．解：（1）在题图①中过点C 作CN ⊥AB 于点N ，交GF 于点M ．因为∠C =90°，AC =4，BC =3，所以AB =5．因为21×5CN=21×3×4，所以CN=512．因为GF∥AB ，所以∠CGF=∠A，∠CFG=∠B ，所以△CGF∽△CAB ，所以ABGFCN CM =．设正方形的边长为x ，则1251255xx -=，解得3760=x ．所以正方形的边长为3760．（2）同（1），有12251255xx -=，解得4960=x ．（3）同（1），有12351255x x -=，解得6160=x ．（4）同（1），有1251255x nx -=，解得n x 122560+=． 6．解：(1)答案不唯一，如“圆心角相等” “半径和弧长对应成比例”(2)由相似扇形的性质知半径和弧长对应成比例，设另一个扇形的弧长为x ，则a a 2=xm,∴x =2m. (3)∵两个扇形相似，∴新做扇形的圆心角与原来扇形的圆心角相等，等于120°. 设新做扇形的半径为γ，则230γ⎛⎫ ⎪⎝⎭=21，γ=152，即新做扇形的半径为152㎝. 7．证明：在正方形ABCD 中，取AB=2a ，∵N 为BC 的中点，∴12NC BC a ==. 在Rt△DNC 中，2222(2)5.ND NC CD a a a =+=+= ∵NE=ND ，∴(51)CE NE CN a =-=-. ∴2152)15(-=-=a a CD CE ，故矩形DCEF 为黄金矩形. 8．解：（1）证明：∵将菱形纸片AB （E ）CD （F ）沿对角线BD （EF ）剪开，∴∠B =∠D .∵将△ECF 的顶点F 固定在△ABD 的BD 边上的中点处，△ECF 绕点F 在BD 边上方左右旋转，∴BF =DF .∵∠HFG =∠B ，∴∠GFD =∠BHF ，∴△BFH∽△DGF ，∴BF BHDG DF=， ∴BH•GD =BF 2.（2）证明：∵AG∥CE ，∴∠FAG∥∠C .∵∠CFE=∠CEF ，∴∠AGF=∠CFE ，∴AF=AG . ∵∠BAD=∠C ，∴∠BAF=∠DAG ，△ABF≌△ADG ，∴FB=DG ，∴FD+DG=DB ， 9．210．解：（1）证明：∵AC 是⊙O 的直径，∴AE ⊥BC. ∵OD ∥BC ，∴AE ⊥OD ，∴D 是 ⌒AE的中点. （2）方法一：证明：如图，延长OD 交AB 于G ，则OG ∥BC .∴∠AGD=∠B .∵OA=OD ，∴∠DAO=∠ADO . ∵∠ADO=∠BAD+∠AGD ，∴∠DAO=∠B +∠BAD. 方法二：证明：如图，延长AD 交BC 于H ，则∠ADO=∠AHC .∵∠AHC=∠B +∠BAD ，∴∠ADO =∠B +∠BAD . ∵OA=OD ，∴∠DAO=∠B +∠BAD . （3） ∵AO=OC ，∴12OCD ACD S S ∆∆=.∵12CEF OCD S S ∆∆=，∴14CEF ACD S S ∆∆=.∵∠ACD=∠FCE ，∠ADC=∠FEC =90°，∴△ACD∽△FCE .∴2CEF ACD S CF S AC ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，即2144CF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴CF =2.。

27.2.2+相似三角形的性质++课件++-2024-2025学年人教版九年级数学下册

位置情况进行分类. 注意多种情况的存在，利用相似找函
数关系往往需要考虑相似比与对应线段的比，以及相似比
与面积比之间的关系.
综合应用创新
题型
4 利用相似三角形的性质解决实际问题
例 7 课本中有一道复习题：如图27.2－37 ①所示，有一
块三角形材料ABC，它的边BC＝120 mm，高AD＝
80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的边
′′

＝＝k
′′
相似比为k
感悟新知
知1－讲
续表
图形
推理
结论
由两角分别相等
的两个三角形相相似三角
对应
似，得 △ABD ∽ 形对应高
高的
AD ， A′D′ 分别为 △A′B′D′ ，再由相的比等于
比
△ABC 和 △A′B′C′ 的似三角形的性质，相似比
－6
3

2
6
3 2
2
) ×24＝ x －
2
12x
＋24.
3
8
3
2
9
8
∴ y＝S△A1MN－S△A1EF＝ x2－( x2－12x＋24＝－ x2＋12x－
24(4 <x<8).
16
易知当x＝时，y最大＝8.
3
16
3
∵ 8>6，∴当x＝时，y最大，y 最大＝8.
综合应用创新
解法提醒
本题运用了分类讨论思想，对点A1与四边形BCNM的
的平分线.
感悟新知
知1－练
例 1 如图27.2－32，在△ABC中，AD是BC边上的高，矩形
EFGH内接于△ABC，且长边FG在BC上，AD与EH的

九年级数学下册第二十七章相似小利用相似三角形的性质解决几何问题作业新版新人教版

小专题(二)利用相似三角形的性质解决几何问题相似三角形是一种最简单的相似图形,相似三角形有以下几个重要性质:(1)相似三角形的对应角相等,对应边成比例;(2)相似三角形对应线段的比等于它们的相似比,即相似三角形对应边、对应中线、对应角平分线、对应高、对应周长的比都等于相似比;(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方.类型1利用相似三角形求线段的长度1.如图,在△ABC中,AB=AC,BD=CD,CE⊥AB于点E.(1)求证:△ABD∽△CBE;(2)若BD=3,BE=2,求AC的值.解:(1)∵AB=AC,BD=CD,∴AD⊥BC.∵CE⊥AB,∴∠ADB=∠CEB=90°.∵∠B是公共角,∴△ABD∽△CBE.(2)AC=9.2.如图,在△ABC中,AC=4,D为BC边上的一点,CD=2,且△ADC与△ABD的面积比为1∶3.(1)求证:△ADC∽△BAC;(2)当AB=8时,求AD的长度.解:(1)易知BD=3CD=6,∴BC=BD+CD=8,在△ADC与△BAC中,∠ACD=∠BCA,AAAA =AAAA=12,∴△ADC∽△BAC.(2)∵△ADC∽△BAC,∴AAAA =AAAA.又∵AB=8,AC=4,CD=2,∴AD=2×84=4.3.如图,在正方形ABCD中,M为BC上一点,F是AM的中点,EF⊥AM,垂足为F,交AD的延长线于点E,交DC于点N.(1)求证:△ABM∽△EFA;(2)若AB=12,BM=5,求DE的长.解:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠B=90°,AD∥BC,∴∠AMB=∠EAF.又∵∠B=∠AFE,∴△ABM∽△EFA.(2)AM=√122+52=13,AD=12.∵F是AM的中点,∴AF=12AM=6.5.∵△ABM∽△EFA,∴AAAA =AAAA,即56.5=13AA,∴AE=16.9,∴DE=AE-AD=4.9.类型2利用相似三角形证明线段成比例4.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,BE⊥DC,垂足为E,交AC于点F.求证: (1)△ABF∽△BED;(2)AAAA =AAAA.证明:(1)∵四边形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD,AB∥CD,∴△ABF∽△CEF.∵BE⊥DC,∴∠FEC=∠BED.∵∠DBE+∠BDE=∠FCE+∠BDE=90°,∴∠DBE=∠FCE,∴△BED∽△CEF, ∴△ABF∽△BED.(2)∵AB∥CD,∴AAAA =AAAA,∴AAAA=AAAA.∵△ABF∽△BED,∴AAAA =AAAA,∴AAAA=AAAA.5.如图,AB为☉O的直径,点C在☉O上,AD⊥CD于点D,且AC平分∠DAB.求证:(1)直线DC是☉O的切线;(2)AC2=2AD·AO.解:(1)连接OC.∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA.∵AC平分∠DAB,∴∠OAC=∠DAC,∴∠DAC=∠OCA,∴OC∥AD.又∵AD⊥CD,∴OC⊥DC,∴DC是☉O的切线.(2)连接BC.∵AB为☉O的直径,∴AB=2AO,∠ACB=90°.∵AD⊥DC,∴∠ADC=∠ACB=90°.又∵∠DAC=∠CAB,∴△DAC∽△CAB,∴AAAA =AAAA,即AC2=AB·AD.∵AB=2AO,∴AC2=2AD·AO.6.如图,在△ABC中,点D,G分别在边AB,BC上,∠ACD=∠B,AG与CD相交于点F.(1)求证:AC2=AD·AB;(2)若AAAA =AAAA,求证:CG2=DF·BG.证明:(1)∵∠ACD=∠B,∠CAD=∠BAC,∴△ACD∽△ABC,∴AAAA =AAAA,∴AC2=AD·AB.(2)∵△ACD∽△ABC,∴∠ADF=∠ACG.∵AAAA =AAAA,∴△ADF∽△ACG,∴∠DAF=∠CAF,过点C作CH∥AB,交AG的延长线于点H, ∴∠DAF=∠H,∴∠CAF=∠H,∴AC=CH.由CH∥AB得△CHG∽△BAG,∴AAAA =AAAA,∴AAAA=AAAA,∴AAAA=AAAA,∴CG2=DF·BG.类型3利用相似三角形求图形的面积7.如图,已知AC∥BD,AB和CD相交于点E,AC=6,BD=4,F是BC上一点,S△BEF∶S△CEF=2∶3.(1)求EF的长;(2)如果△BEF的面积为4,求△ABC的面积.解:(1)∵AC∥BD,∴△ACE∽△BDE,∴AAAA =AAAA.∵AC=6,BD=4,∴AAAA =64=32.∵△BEF和△CEF同底,且S△BEF∶S△CEF=2∶3,∴AAAA =32,∴AAAA=AAAA,∴AAAA=AAAA.又∵∠ECF=∠DCB,∴△ECF∽△DCB,∴∠CEF=∠D,∴EF∥BD,∴AAAA =AAAA,∴AA4=35,∴EF=125.(2)∵AC∥BD,EF∥BD,∴EF∥AC,∴△BEF∽△BAC,∴A△AAAA△AAA =(AAAA)2=(25)2.∵S△BEF=4,∴S△ABC=25.类型4利用相似三角形解决实际问题8.某社区拟筹资金2000元,计划在一块上、下底分别是10米、20米的梯形空地上种植花木(如图所示),他们想在△AMD和△BMC地带种植单价为10元/米2的太阳花,当△AMD地带种满花后,已经花了500元,请你预算一下,若继续在△BMC地带种植同样的太阳花,资金是否够用?并说明理由.解:资金不够用.理由:∵梯形ABCD中,AD∥BC, ∴△AMD∽△CMB.∵AD=10,BC=20,∴A△AAAA△AAA =(1020)2=14.∵S△AMD=500÷10=50(m2),∴S△BMC=200 m2,还需要资金200×10=2000(元).又∵剩余资金为2000-500=1500<2000,∴资金不够用.9.如图,小亮在晚上由路灯A走向路灯B,当他走到点P时,发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部;当他向前再步行12米到达点Q时,发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部.已知小亮的身高是1.6米,两个路灯的高度都是9.6米,求两个路灯之间的距离.解:在△APM和△ABD中,∵∠DAB是公共角,∠APM=∠ABD=90°,∴△AMP∽△ADB,∴AAAA =AAAA,AA-1221.6=AA9.6,解得AB=18.即两个路灯之间的距离为18米.10.为了测量校园内水平地面上的一棵树的高度,小明在距树5米处立了一根高为3米的标杆,然后小明前后调整自己的位置,当小明与标杆相距1米时,小明眼睛A、标杆顶端F、树的顶端E在同一直线上,已知小明的眼睛距地面1.5米,求树的高度.解:如图,过点A作AH⊥ED,垂足为H,交线段FC于点G.由题知FG∥EH,∴△AFG∽△AEH,∴AA AA =AAAA.又∵AG=BC=1,HG=CD=5,GC=HD=AB=1.5,∴16= 1.5AA,解得HE=9,则ED=DH+HE=1.5+9=10.5.答:树ED的高为10.5米.。

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相似三角形的性质
1.如图，两个三角形均为等边三角形，并且小三角形的边长是大三角形边长的一半，那么小三角形的面积与大三角形面积的比是_____．
2. 如图中的正三角形和正六边形周长相等，已知正三角形面积为10，那们这个正六边形面积为_____．
3. 如图：己知在直角三角形ABC中，AF=8厘米，EC=15厘米．正方形EDFB的面积是_____平方厘米．
4.如图，将一个三角形(有阴影)的两条边分别延长2倍，得到一个大三角形，这个大三角形的面积是原三角形面积的_____倍．
5.如图是一个平行四边形，BE：EC=1：2，F是DC的中点，三角形ABE的面积是6平方厘米，则三角形AFD的面积是_____平方厘米．
6. 一个三角形底扩大3倍，高扩大2倍，面积就是原来的5倍．_____．
7.一个三角形的底扩大4倍，高缩小2倍，则面积_____倍．
8.一个三角形的面积是1Om：，如果把它的底和高分别扩大到原来的2倍，这个大三角形的面积是_____m2．
(1)一个三角形的底和高都是4cm，它的面积是_____，如果底和高都扩大到原来的2倍，那么这时它的面积是_____．
(2)三角形的面积是60平方厘米，底是15厘米，它的高是_____厘米．
11.一个平行四边形的底是8.5dm，高是4.3dm，它的面积是_____dm2．如果底和高都扩大到原来的10倍，它的面积扩大到原来的_____倍．
参考答案
1.1：4
2.15
3.120
4.9
5.9
6.错误
7.2
8.40
9.（1）8cm2 32cm2
（2）8
10.不变
11. 36.55 100。