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实变函数与泛函分析基础ppt课件
(1) 当f(x)为简单函数时，
n
n
令f
(x)
i 1
ci Ei (x)(其中E
i 1
Ei
,
Ei可测且两两不交）
0, 及每个Ei，作Ei中的闭子集Fi，使m(Ei
Fi
)
n
(i 1,2, , n
当x∈Ei时，f(x)=ci，所以f(x)在Fi上连续，而Fi为两
两不交闭集，故f(x)在 n 上连续，显然F为闭集，
且有
F
i 1
Fi
n
n
n
n
n
m( i 1
Ei
i 1
Fi
)
m(( i 1
Ei
Fi ))
i 1
m( Ei
Fi )
6 i 1
n
(2)当f(x)为有界可测函数时， 存在简单函数列{φn(x)} 在E上一致收敛于f(x)，
利用(1)的结果知
0, 及每个n (x)，存在闭集Fn E，
使m(E
Fn )
),当x
(ai
,
bi
),
ai
,
bi有限,,
f
(ai
),
f (bi ),
当x (ai ,bi ),bi , 当x (ai ,bi ),ai .
则g(x)满足要求，且在R上连续.（参见课本p1091）
注2：鲁津定理的逆定理成立。
设f(x)为E上几乎处处有限的实函数，若 0, 闭集F E，
2n
且n (x)在Fn上连续
பைடு நூலகம்
令F
n 1
Fn，则F
E，且m(E F )
m(E Fn )
n 1
n 1
n
n
令f
(x)
i 1
ci Ei (x)(其中E
i 1
Ei
,
Ei可测且两两不交）
0, 及每个Ei，作Ei中的闭子集Fi，使m(Ei
Fi
)
n
(i 1,2, , n
当x∈Ei时，f(x)=ci，所以f(x)在Fi上连续，而Fi为两
两不交闭集，故f(x)在 n 上连续，显然F为闭集，
且有
F
i 1
Fi
n
n
n
n
n
m( i 1
Ei
i 1
Fi
)
m(( i 1
Ei
Fi ))
i 1
m( Ei
Fi )
6 i 1
n
(2)当f(x)为有界可测函数时， 存在简单函数列{φn(x)} 在E上一致收敛于f(x)，
利用(1)的结果知
0, 及每个n (x)，存在闭集Fn E，
使m(E
Fn )
),当x
(ai
,
bi
),
ai
,
bi有限,,
f
(ai
),
f (bi ),
当x (ai ,bi ),bi , 当x (ai ,bi ),ai .
则g(x)满足要求，且在R上连续.（参见课本p1091）
注2：鲁津定理的逆定理成立。
设f(x)为E上几乎处处有限的实函数，若 0, 闭集F E，
2n
且n (x)在Fn上连续
பைடு நூலகம்
令F
n 1
Fn，则F
E，且m(E F )
m(E Fn )
n 1
n 1
泛函分析第一讲
线性算子和线性泛函
第二章 泛函分析
绪论
2.1 距离空间
第二章 泛函分析
一、距离空间的定义
lim
n
xn
x
0, N, 当 n 时N,有
dx, y x y
x y 0, x y 0当且仅当 x y
xy yx
xy xz zy
xn x
第二章 泛函分析
第一节 距离空间
一、距离空间的定义
第一节 距离空间
一、距离空间的定义
例2.1.2 设 X ,d 是距离空间，对任意 x, y X ，源自定义x,y
d
1+d
x,xy, y ，则
X
,
也是距离空间.
证明 三角不等式 d(x, y) d(x, z) d(z, y)，
第二章 泛函分析
第一节 距离空间
一、距离空间的定义
例2.1.3 空间l p p 1.
x0 X. 如果d (xn , x0 ) 0, n , 则称该点列 xn
收敛于 x0 , 并记为
lim
n
xn
x0
或
xn x0 n
定理1 距离空间 X ,d 中,收敛点列的极限是唯一的.
第二章 泛函分析
第一节 距离空间
二、距离空间中的收敛
例2.1.5 在Rn 中，点列的收敛为按坐标收敛.
♣ 泛函分析在微分方程、概率论、函数论、计算 数学、控制论、最优化理论、连续介质力学、量 子物理等以及一些工程技术学科都有重要作用.
第二章 泛函分析
绪论
二、泛函分析课程内容 1.空间 集合 + 一定的结构
距离空间 赋范线性空间 内积空间 Banach空间 Hilbert空间
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应用泛函分析薛小平哈工大胡适耕华中科技大程曹宗北京工大以上学校图书馆都有当然还有外文的不列举了泛函分析导论及应用泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的数学分支用的统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化运用代数学几何学等学科的观点和方法研究分析学的课题可以看作无限维的分析学
• 可数基数a，连续基数c。
• 主要结论：1.可数集的子集至多可数； 2.有限或可数多个可数集合的并是可数集； 3.有限个可数集的直积是可数集； 4. 无限集必于它的某真子集对等，含可数子集；
可数集的例子：整数集，有理数集，n维欧式空间中 的有理点集。
实数的基本定理：确界存在原理、单调有界原理、 闭区间套引理、聚点定理、有限覆盖定理等等都 当成已知
距离空间的拓扑
• 空间引入距离，才有了空间上映射的连续性概念 （开集的原像是开集）
• 称X的子集B(x,r)={y;p(x,y)<r}为以x为心半径为r的 开球
• 称X的子集S(x,r)={y; p(x,y)=r}为以x为心半径为r的 有着很大优越和方便之处，但并不完全一致。如:离散距离空间中的球 面只有两种可能：空集或全空间
• 紧集的连续象是紧集 • 紧集上的连续函数是一致连续的，能取到最大值
和最小值。 • 空间X是有限维的当且仅当X的闭单位球是紧集。 • 非紧的空间，可以通过一点紧致化，进而利用紧
空间的性质来研究
小结
• 我们讨论距离空间的基本性质 • 距离空间就是赋予距离的集合，是三维立体空间
概念的推广，二者既有相同又不完全相同。
• Zorn引理是集论的一个重要工具，与选择公理，良序原理都是彼此等价的,主要应用于 数学上存在性定理的证明，而不具体描述寻求的方法。
• 可数基数a，连续基数c。
• 主要结论：1.可数集的子集至多可数； 2.有限或可数多个可数集合的并是可数集； 3.有限个可数集的直积是可数集； 4. 无限集必于它的某真子集对等，含可数子集；
可数集的例子：整数集，有理数集，n维欧式空间中 的有理点集。
实数的基本定理：确界存在原理、单调有界原理、 闭区间套引理、聚点定理、有限覆盖定理等等都 当成已知
距离空间的拓扑
• 空间引入距离，才有了空间上映射的连续性概念 （开集的原像是开集）
• 称X的子集B(x,r)={y;p(x,y)<r}为以x为心半径为r的 开球
• 称X的子集S(x,r)={y; p(x,y)=r}为以x为心半径为r的 有着很大优越和方便之处，但并不完全一致。如:离散距离空间中的球 面只有两种可能：空集或全空间
• 紧集的连续象是紧集 • 紧集上的连续函数是一致连续的，能取到最大值
和最小值。 • 空间X是有限维的当且仅当X的闭单位球是紧集。 • 非紧的空间，可以通过一点紧致化，进而利用紧
空间的性质来研究
小结
• 我们讨论距离空间的基本性质 • 距离空间就是赋予距离的集合，是三维立体空间
概念的推广，二者既有相同又不完全相同。
• Zorn引理是集论的一个重要工具，与选择公理，良序原理都是彼此等价的,主要应用于 数学上存在性定理的证明，而不具体描述寻求的方法。
实变函数与泛函分析基础ppt课件
证明：不妨设f单调增，对任意a∈R
令Ia inf{ x | f (x) a}
由f单调增知下面的集合为可测集
E { [ f a]
E [ I a ,) 当I a {x| f ( x)a} E ( I a ,) 当I a {x| f ( x)a}
a
1
/ I a x1 x2
10
⒊可测函数的等价描述
定理1：设f(x)是可测集E上的广义实函数，则 f(x)在E上可测
16
⑵可测函数类关于四则运算封闭
即:若f(x),g(x)是E上的可测函数,
则f(x)+g(x) , f(x) -g(x) , f(x)g(x) , f(x)/g(x)
仍为E上的可测函数。
a-g(x) r f(x)
证明：先证： a
R, E[
f
ga]
E[ f
可测，
a g ]
猜想：E[ f ag] rQ(E[ f r] E[agr] )。
可测集E上的连续函数f(x)定为可测函数
证明：任取x∈E[f>a], 则f(x)>a,由连续性假设知，
对 f (x) a, x 0, 使得f (O(x,x ) E) O( f (x), ) (a,)
即O( x,x ) E E[ f a]
令G O xE[ f a] ( x,x )
1 ， n
）
E[ f
为可测集。
]
12
注：重要方法：将集合分解为某些集合
的并、交、差等，从而利用已知条件。
如：用分解法证明：
f , g均为E上可测函数，则E[ f g]为E上可测集。
事实上，E[
f
g]
(
rQ
E[
实变函数与泛函分析基础(课堂PPT)
i 1
Ei
,{Ei
}两两不交的闭集族
.若f k
:
Ek
R为连续函数，
n
令f (x)
fk (x) : x Ek，则f
(
x)： k 1
Ek
R上的连续函数。
n
证明：取x0
k 1
Ek
,
0,
由于k0
N
,
使得：x0
k0，而f
k0
在Ek
上为连续的，
0
对此，1 0,
使
得：x
U
(
x0
,
1）
Ek
，必有
0
|
fk0 (x)
第四章 可测函数
第三节 可测函数的构造
1
可测函数 可测集E上的连续函数为可测函数。 简单函数是可测函数。 可测函数当且仅当可表示成一列简单函数列的极限。
问：可测函数是否可表示成一列连续函数的极限？
2
鲁津定理 设f(x)为E上几乎处处有限的可测函数，则 0, 闭集F E，
使得 m(E-F)<ε且f(x)在F上连续。
x 1处的任意去心邻域（1 ，1）（1，1 ） {x | f (x) g(x)}c {x | f (x) g(x)}
f (1 0) 0 f (1 0) 1。(矛盾）
15
5.设m(E) ,{ fk (x)}为E上可测函数，则
lim
n
fk
(x)
0, a.e.于E
0，有lim j
Ak
,
m( A)
m( k 1
Ak
)
lim
k
m( Ak
)
0, k0, k k0使得：| m( A) m( Ak ) | m( A Ak ) .
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E
E
E
等号相等当且仅当它们线性相关
24
例子
• 以出租车距离定义的平面距离空间; • 序列空间 l ,l p , p 1 • 函数空间C[a,b]; • 离散距离空间; • R上函数|x-y|^2；|x-y|^1/2是距离吗？ • Hamming距离：X为所有0和1构成的三元序组所构成的集合
（总数为8）,元素x，y的距离是x，y中不同的对应分量的个数。 • 在开关和自动化理论以及编码理论中都有重要的应用。
• 可数基数a，连续基数c。
9
• 主要结论：1.可数集的子集至多可数； 2.有限或可数多个可数集合的并是可数集； 3.有限个可数集的直积是可数集； 4. 无限集必于它的某真子集对等，含可数子集；
可数集的例子：整数集，有理数集，n维欧式空间中 的有理点集。
实数的基本定理：确界存在原理、单调有界原理、 闭区间套引理、聚点定理、有限覆盖定理等等都 当成已知
• 今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术 的学科中，起着重要的作用，已成为近代分析的 基础之一。
• 泛函分析的最基本的内容：三个空间，四个定理
5
第一章 预备知识
1.集合
• 所谓集合，是指具有某种特定性质事物的全体， 构成集合的“事物”称为集合的元素。
• 集合的表示方法：1.列举法；2.描述法。 • 相关的概念和符号：集合相等，子集，真子集，
的参考书。
11
12
选择公理
• 泛函分析的研究必须首先承认一些事情 • 选择公理：设C为一个由非空集合所组成的集合,
那么，我们可以从每一个在C中的集合中，都选 择一个元素和其所在的集合配成有序对来组成一 个新的集合。 • Zorn引理：设（P,>）是偏序集，若P的每一个全 序子集在P中都有上界，则P必有极大元 • 良序原理：所有集合能被良序化。换句话说，对 每一个集合来说，都存在一种排序方法，使得它 的所有子集都有极小元素
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• 研究的空间的目的，在于把由实际问题归纳出来 的某些集合抽象为具有某种属性的空间，从而利 用数学上已有的结论去分析他们的性质。
• 如：关于点的收敛性就与自控控制系统的输入输 出稳定性、控制算法的收敛性等密切相关。
• 下面我们介绍的这个结论，不仅在数学上，在其 它的学科也能看到广泛的应用。
定理证明：随便给定一点x 0，压缩算子T 逐次作用，得到了一个 Cauchy列，由空间X的完备性，极限点x *存在且唯一,不动点就
得到了.(Tx*, x*) (Txn ,Tx*) (Txn , x*) 0。
该定理（Banach压缩映射原理）就是某一类映射的不动点存在
性和唯一性的问题，不动点可以通过迭代序列求出。实际应用
中T未必是，但T n0是压缩时，命题仍然成立。 注：1.该原理是求解代数方程、微分方程、积分方程、以及数值
同胚变化下是保持不变的 • 练习：证明从离散空间X到任意距离空间Y
的映射T是连续映射。
证明稠密性具有传递性，即若A在B中稠密，B在C中稠密，则A 在C中稠密。
不可分空间的例子：有界数列空间在最大值定义的距离下 是不可分的。
注： Cauchy序列一定是有界序列，如果有收敛的子列，那么 Cauchy序列必是收敛的
• 若空间X本身是紧（列紧）集，则称X是紧（列紧） 空间。
• 例：实直线R是完备的距离空间，但不是紧的， 也不是列紧的；R中任意有界闭集M按R的距离是 紧空间，有界开集N是列紧的。
• 在欧式空间中，有界性和列紧性是一致的。
距离空间的紧性
• 直接从定义判定一个集合的紧性比较困难。 • 称距离空间X的子集A是全有界的，对任意
常用的几个公式
• 赫尔德不等式：p,q>1,1/p+1/q=1,则
• 如：关于点的收敛性就与自控控制系统的输入输 出稳定性、控制算法的收敛性等密切相关。
• 下面我们介绍的这个结论，不仅在数学上，在其 它的学科也能看到广泛的应用。
定理证明：随便给定一点x 0，压缩算子T 逐次作用，得到了一个 Cauchy列，由空间X的完备性，极限点x *存在且唯一,不动点就
得到了.(Tx*, x*) (Txn ,Tx*) (Txn , x*) 0。
该定理（Banach压缩映射原理）就是某一类映射的不动点存在
性和唯一性的问题，不动点可以通过迭代序列求出。实际应用
中T未必是，但T n0是压缩时，命题仍然成立。 注：1.该原理是求解代数方程、微分方程、积分方程、以及数值
同胚变化下是保持不变的 • 练习：证明从离散空间X到任意距离空间Y
的映射T是连续映射。
证明稠密性具有传递性，即若A在B中稠密，B在C中稠密，则A 在C中稠密。
不可分空间的例子：有界数列空间在最大值定义的距离下 是不可分的。
注： Cauchy序列一定是有界序列，如果有收敛的子列，那么 Cauchy序列必是收敛的
• 若空间X本身是紧（列紧）集，则称X是紧（列紧） 空间。
• 例：实直线R是完备的距离空间，但不是紧的， 也不是列紧的；R中任意有界闭集M按R的距离是 紧空间，有界开集N是列紧的。
• 在欧式空间中，有界性和列紧性是一致的。
距离空间的紧性
• 直接从定义判定一个集合的紧性比较困难。 • 称距离空间X的子集A是全有界的，对任意
常用的几个公式
• 赫尔德不等式：p,q>1,1/p+1/q=1,则
实变函数与泛函分析课件
间的定义
巴拿赫空间的性质
巴拿赫空间与连续线性映射
连续线性映射
连续线性映射的定义
连续线性映射的性质
线性算子的谱理论
03 空间上的算子与变换
有界线性算子
有界线性算子的定义：在某空 间上有界且线性
重要性质：有界线性算子可以 扩展为全空间上的有界线性算
子
谱定理：有界线性算子的谱分 解定理
空间上的算子与变换部分的习题与解答
01
02
总结词：空间上的算子 与变换部分主要涉及线 性算子、有界算子、 紧 算子等不同类型的算子 的定义、性质和计算方 法，以及空间上的变换 和约化定理的应用。
详细描述
03
04
05
1. 线性算子的定义和性 2. 有界算子和紧算子的 质，包括线性算子的有 定义和性质，以及在各 界性、紧性、谱性质等， 种空间中的存在性和构 以及在各种空间（例如， 造方法。 Hilbert空间、Banach 空间等）中的应用。
映射与变换
序关系
介绍映射的概念及基本性质，如一一映射、 满射、单射等。
讨论集合中的序关系，如偏序、全序、反 对称序等，以及相关的概念如最大元、最 小元、上界、下界等。
实数函数
01
函数的定义
介绍函数的概念及基本性质，如定 义域、值域、单调性等。
函数的极限
介绍函数极限的定义、性质及其计 算方法。
03
02
03
线性空间
01
数乘性质
02
中间元素性质
03
正交性
内积空间与Hilbert空间
内积空间的定义
1
内积空间的定义
2
正交性
3
内积空间与Hilbert空间
巴拿赫空间的性质
巴拿赫空间与连续线性映射
连续线性映射
连续线性映射的定义
连续线性映射的性质
线性算子的谱理论
03 空间上的算子与变换
有界线性算子
有界线性算子的定义：在某空 间上有界且线性
重要性质：有界线性算子可以 扩展为全空间上的有界线性算
子
谱定理：有界线性算子的谱分 解定理
空间上的算子与变换部分的习题与解答
01
02
总结词：空间上的算子 与变换部分主要涉及线 性算子、有界算子、 紧 算子等不同类型的算子 的定义、性质和计算方 法，以及空间上的变换 和约化定理的应用。
详细描述
03
04
05
1. 线性算子的定义和性 2. 有界算子和紧算子的 质，包括线性算子的有 定义和性质，以及在各 界性、紧性、谱性质等， 种空间中的存在性和构 以及在各种空间（例如， 造方法。 Hilbert空间、Banach 空间等）中的应用。
映射与变换
序关系
介绍映射的概念及基本性质，如一一映射、 满射、单射等。
讨论集合中的序关系，如偏序、全序、反 对称序等，以及相关的概念如最大元、最 小元、上界、下界等。
实数函数
01
函数的定义
介绍函数的概念及基本性质，如定 义域、值域、单调性等。
函数的极限
介绍函数极限的定义、性质及其计 算方法。
03
02
03
线性空间
01
数乘性质
02
中间元素性质
03
正交性
内积空间与Hilbert空间
内积空间的定义
1
内积空间的定义
2
正交性
3
内积空间与Hilbert空间
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傅里叶变换与小波变换的应用
傅里叶变换的应用
傅里叶变换在信号处理、图像处理、语音处理等领域 有着广泛的应用。例如，在信号处理中，可以通过傅 里叶变换将信号从时域转换到频域，从而方便地进行 信号的分析和合成。在图像处理中，可以通过傅里叶 变换对图像进行频域滤波，从而实现图像的降噪和增 强。在语音处理中，可以通过傅里叶变换对语音信号 进行分析和处理，从而实现语音的识别、压缩和加密 等任务。
REPORTING
在物理学中的应用：量子力学与相对论
量子力学
泛函分析在量子力学中有着广泛的应用，如波函数的形式化 描述、薛定谔方程的推导等。
相对论
泛函分析也被用于相对论中的时空变换和场方程的构造，以 及在广义相对论中研究黑洞的性质等。
在工程学中的应用：控制理论、电气工程等
控制理论
泛函分析在控制理论中有着重要的应用 ，如研究系统的稳定性、时域响应等。
PART 05
泛函分析在信号处理中的 应用
REPORTING
信号处理的基本概念
信号的定义与分类
信号是传递或表达某些信息的数据或数据流。它可以分为 离散信号和连续信号，离散信号是离散时间点的数据，而 连续信号是连续时间点的数据。
信号处理的定义与目的
信号处理是对信号进行变换、分析和解释的过程，目的是 从原始信号中提取有用的信息，或者将原始信号变换为另 一种形式，使其更易于分析和理解。
其他应用
泛函分析还可以应用于滤波器设计、压缩感知等领域。例如，基于小波变换的压缩感知方 法可以在保持信号质量的同时，实现信号的压缩和存储。
实例分析：信号的傅里叶变换与小波变换
傅里叶变换的基本原理
傅里叶变换是一种将时域信号转换到频域的方法。它将一个时域信号表示为一系列不同频率的正弦和 余弦函数的线性组合。通过傅里叶变换，我们可以将信号从时域转换到频域，从而可以更好地分析信 号的频率特性。
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用。
.
4
2、为什么给研究生开设泛函分析 计算机应用技术解决什么？ 遇到的问题越来越复杂 涉及的知识门类多 现代数学的作用越来越突出
.
5
例1：
信号处 理技术 数学
通信技术
计算机技术
网络技术
.
6
例2：
抽象代数 数理逻辑
密码学理论
信息安全
.
7
例3：
高层
图像理解
中层
图像分析
底层
图像处理
图像中对象属 性及相互关系 分析、判别
则称 (x,z)为 x, y 间的距离，称R为距离空间，其
中的元素也称为点。
.
14
第一章 距离空间
例1：设 R 1 为非空实数集，对其中任意两个实数 x, y 定义距离：
(x,y)|xy|
即为通常意义下的距离，称欧氏距离。 另外，还可以用另一种方式来定义距离：
1(x,y)1| x| xyy| |
.
定义1：在距离空间R中，若任一Cauchy列都在R 中有极限，则称距离空间是完备的。
定义2：设R，R1都是距离空间，如果存在一个由
R到R1的映射T，使一切 x, yR 有
1(T,T x) y(x,y)
其中 1, 分别为R，R1上的距离，则称T
为R到R1的等距映射，这时，称R与R1为 等距。
.
23
第一章 距离空间
距离空间的完备化定理： 对每个距离空间R，必存在一个完备的距离空
间R0，使得R等距于R0中的一个稠密子空间R1，并 称R0为R的完备化空间，若除去等距不计，则R0是 惟一的。
.
24
第一章 距离空间
1.4 距离空间的稠密性与可分性 稠密性：
.
4
2、为什么给研究生开设泛函分析 计算机应用技术解决什么？ 遇到的问题越来越复杂 涉及的知识门类多 现代数学的作用越来越突出
.
5
例1：
信号处 理技术 数学
通信技术
计算机技术
网络技术
.
6
例2：
抽象代数 数理逻辑
密码学理论
信息安全
.
7
例3：
高层
图像理解
中层
图像分析
底层
图像处理
图像中对象属 性及相互关系 分析、判别
则称 (x,z)为 x, y 间的距离，称R为距离空间，其
中的元素也称为点。
.
14
第一章 距离空间
例1：设 R 1 为非空实数集，对其中任意两个实数 x, y 定义距离：
(x,y)|xy|
即为通常意义下的距离，称欧氏距离。 另外，还可以用另一种方式来定义距离：
1(x,y)1| x| xyy| |
.
定义1：在距离空间R中，若任一Cauchy列都在R 中有极限，则称距离空间是完备的。
定义2：设R，R1都是距离空间，如果存在一个由
R到R1的映射T，使一切 x, yR 有
1(T,T x) y(x,y)
其中 1, 分别为R，R1上的距离，则称T
为R到R1的等距映射，这时，称R与R1为 等距。
.
23
第一章 距离空间
距离空间的完备化定理： 对每个距离空间R，必存在一个完备的距离空
间R0，使得R等距于R0中的一个稠密子空间R1，并 称R0为R的完备化空间，若除去等距不计，则R0是 惟一的。
.
24
第一章 距离空间
1.4 距离空间的稠密性与可分性 稠密性：
复变函数泛函分析课件
• Zorn引理是集论的一个重要工具，与选择公理，良序原理都是彼此等价的,主要应用于 数学上存在性定理的证明，而不具体描述寻求的方法。
基本空间和基本定理
• 距离空间（度量空间） • 线性赋范空间、Banach空间 • 内积空间、Hilbert空间
例子
• • • • • •
•
以出租车距离定义的平面距离空间; 序列空间 l , l p , p 1 函数空间C[a,b]; H , Lp , p 1 离散距离空间; R上函数|x-y|^2；|x-y|^1/2是距离吗？ Hamming距离：X为所有0和1构成的三元序组所构成的集合（总数为8）,元素
|| F (t , x1 (t ), u(t )) F (t, x2 (t ), u(t )) || X M (u) || x1(t) x2 (t) || X 其中M (u) 0, x1 (t ), x1 (t ) X
• 注：只要常微分方程满足定理条件，就可以利用 数值积分和迭代算法来求方程的近似解（Picard 逐次逼近法）
泛函分析
• 泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之 间满足各种拓扑和代数条件的映射的数学分支， 用的统一的观点把古典分析的基本概念和方法一 般化，运用代数学、几何学等学科的观点和方法 研究分析学的课题，可以看作无限维的分析学。 • 今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术 的学科中，起着重要的作用，已成为近代分析的 基础之一。 • 泛函分析的最基本的内容：三个空间，四个定理
dt
值条件 x t0 x0 的连续函数解，其中
< min a,
D {( x, y) : a x b, y }.
动态控制系统状态轨线的存在性和唯一性
基本空间和基本定理
• 距离空间（度量空间） • 线性赋范空间、Banach空间 • 内积空间、Hilbert空间
例子
• • • • • •
•
以出租车距离定义的平面距离空间; 序列空间 l , l p , p 1 函数空间C[a,b]; H , Lp , p 1 离散距离空间; R上函数|x-y|^2；|x-y|^1/2是距离吗？ Hamming距离：X为所有0和1构成的三元序组所构成的集合（总数为8）,元素
|| F (t , x1 (t ), u(t )) F (t, x2 (t ), u(t )) || X M (u) || x1(t) x2 (t) || X 其中M (u) 0, x1 (t ), x1 (t ) X
• 注：只要常微分方程满足定理条件，就可以利用 数值积分和迭代算法来求方程的近似解（Picard 逐次逼近法）
泛函分析
• 泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之 间满足各种拓扑和代数条件的映射的数学分支， 用的统一的观点把古典分析的基本概念和方法一 般化，运用代数学、几何学等学科的观点和方法 研究分析学的课题，可以看作无限维的分析学。 • 今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术 的学科中，起着重要的作用，已成为近代分析的 基础之一。 • 泛函分析的最基本的内容：三个空间，四个定理
dt
值条件 x t0 x0 的连续函数解，其中
< min a,
D {( x, y) : a x b, y }.
动态控制系统状态轨线的存在性和唯一性
泛函分析第三讲
定理4（Arzela-Ascoli定理）Ca,b中的子集
A 是列紧集当且仅当 A中函数是一致有界和 等度连续的.
如果存在 M 0，使得 f A和x a,b， 有 f x M，则称函数族 A是一致有界的.
如果 0, 存在 0, x, y a,b，f A， 只要 dx, y , 就有 f x f y ,
对于x x1, x2 ,, xn ，定义
x x1 2 x2 2 xn 2 ，
则 Rn是Banach空间.
第二章 泛函分析
第二节 赋范线性空间及Banach空间
一、赋范线性空间
例2 空间Ca,b.对于xtCa,b，定义
x max xt at b
则 Ca, b是Banach空间.
第二章 泛函分析
第一节 距离空间
二、紧集与列紧集
定义5 设 X , d 是一个距离空间，A, B X.
0是给定的数, 如果对 A 中的任何点 x，必有 B中
的点 x，使得dx, x ，则称 B是 A的一个 -网.
定义6 设 X , d 是一个距离空间，A X.
如果对任意 0，A中总存在有限的 - 网，
二、紧集与列紧集
定理6 设A 是距离空间 X的紧集，f : A R是连续的，则 (1) f 在 A上有界； (2) f在 A 上可取到最大值和最小值.
第二章 泛函分析
第一节 距离空间
2.2 赋范线性空间及Banach空间
第二章 泛函分析
一、赋范线性空间
1. 赋范线性空间的定义
定义1 设 X 是复（或实）的线性空间，
一、赋范线性空间
3. Banach空间的定义 定义3 设 X 为赋范线性空间， d是由范数 诱导的距离，如果X是完备的距离空间， 称 X 为Banach空间.
A 是列紧集当且仅当 A中函数是一致有界和 等度连续的.
如果存在 M 0，使得 f A和x a,b， 有 f x M，则称函数族 A是一致有界的.
如果 0, 存在 0, x, y a,b，f A， 只要 dx, y , 就有 f x f y ,
对于x x1, x2 ,, xn ，定义
x x1 2 x2 2 xn 2 ，
则 Rn是Banach空间.
第二章 泛函分析
第二节 赋范线性空间及Banach空间
一、赋范线性空间
例2 空间Ca,b.对于xtCa,b，定义
x max xt at b
则 Ca, b是Banach空间.
第二章 泛函分析
第一节 距离空间
二、紧集与列紧集
定义5 设 X , d 是一个距离空间，A, B X.
0是给定的数, 如果对 A 中的任何点 x，必有 B中
的点 x，使得dx, x ，则称 B是 A的一个 -网.
定义6 设 X , d 是一个距离空间，A X.
如果对任意 0，A中总存在有限的 - 网，
二、紧集与列紧集
定理6 设A 是距离空间 X的紧集，f : A R是连续的，则 (1) f 在 A上有界； (2) f在 A 上可取到最大值和最小值.
第二章 泛函分析
第一节 距离空间
2.2 赋范线性空间及Banach空间
第二章 泛函分析
一、赋范线性空间
1. 赋范线性空间的定义
定义1 设 X 是复（或实）的线性空间，
一、赋范线性空间
3. Banach空间的定义 定义3 设 X 为赋范线性空间， d是由范数 诱导的距离，如果X是完备的距离空间， 称 X 为Banach空间.
2021泛函分析与应用.完整资料PPT
在电学理论和经典调节原理中，一种广泛适用的频域分 析方法要求把函数的定义域由实数扩展到复数，而复变函数 论则是专门讨论复变函数性态的数学分支，它给包括 Fourier变换和Laplace变换在内的各种频域分析方法，提供 了坚实的理论基础。同样，电学理论和经典调节原理的对象， 一般也只具有限多自由度。
泛函分析与应用
泛函分析的研究对象
何谓“泛函分析”？根据关肇直先生给出的定义，“泛 函分析是研究无穷维线性空间上的泛函数与算子理论的一门 分析数学。无穷维线性空间是描述具无限多自由度的物理系 统的数学工具。因此，泛函分析是定量地研究诸如连续介质 力学、电磁场理论等一类具有无穷多自由度的物理系统的有 力工具”
一类特殊的度量空间称为“赋范线性空间”，它兼有线性 空间的代数结构和赋范数的拓扑结构，是用以描述具无限多自 由度运动过程的一般数学工具。而在赋范线性空间中，又有一 类更接近有限维空间（欧氏空间）特性的无限维线性空间，称 为“内积空间”，其上定义了内积，类似欧氏空间上பைடு நூலகம்量间的 标量积，从而可以引入向量间的夹角、向量直交等概念。对各 种抽象空间的研究，是泛函分析的研究内容之一。
泛函分析的研究内容
其次要把有限维空间上的线性变换推广到一般度量空间上 的算子理论，特别是赋范线性空间上的线性算子理论。事实上， 相当广泛的一类实际系统，都可以用某些抽象空间，以及存在 于这些空间上的算子描述。算子理论，特别是线性算子理论， 这是泛函分析的主要研究内容。算子的性态，诸如连续性、有 界性、紧性和闭性等，又是算子理论研究的重点。
本课程的特时点与可学习能方法产生的行为。这样的一类函数或称函数类、函数空间
控制理论所研究的问题，可以概括为系统分析、系统综合、建模和优化。
其次要把有同限维样空间具上的无线性限变换多推广自到一由般度度量空。间上而的算定子理义论，于特别其是赋上范线的性空泛间上函的线数性算或子理算论。子，则可
泛函分析与应用
泛函分析的研究对象
何谓“泛函分析”？根据关肇直先生给出的定义，“泛 函分析是研究无穷维线性空间上的泛函数与算子理论的一门 分析数学。无穷维线性空间是描述具无限多自由度的物理系 统的数学工具。因此，泛函分析是定量地研究诸如连续介质 力学、电磁场理论等一类具有无穷多自由度的物理系统的有 力工具”
一类特殊的度量空间称为“赋范线性空间”，它兼有线性 空间的代数结构和赋范数的拓扑结构，是用以描述具无限多自 由度运动过程的一般数学工具。而在赋范线性空间中，又有一 类更接近有限维空间（欧氏空间）特性的无限维线性空间，称 为“内积空间”，其上定义了内积，类似欧氏空间上பைடு நூலகம்量间的 标量积，从而可以引入向量间的夹角、向量直交等概念。对各 种抽象空间的研究，是泛函分析的研究内容之一。
泛函分析的研究内容
其次要把有限维空间上的线性变换推广到一般度量空间上 的算子理论，特别是赋范线性空间上的线性算子理论。事实上， 相当广泛的一类实际系统，都可以用某些抽象空间，以及存在 于这些空间上的算子描述。算子理论，特别是线性算子理论， 这是泛函分析的主要研究内容。算子的性态，诸如连续性、有 界性、紧性和闭性等，又是算子理论研究的重点。
本课程的特时点与可学习能方法产生的行为。这样的一类函数或称函数类、函数空间
控制理论所研究的问题，可以概括为系统分析、系统综合、建模和优化。
其次要把有同限维样空间具上的无线性限变换多推广自到一由般度度量空。间上而的算定子理义论，于特别其是赋上范线的性空泛间上函的线数性算或子理算论。子，则可
泛函分析 课件第一章
n n i 1
i 1
Ai x | 0 x 1
Ai x | 0 x 2
1 1 A x | x （2）设 i , i 1, 2,.... i i
则
1 1 Ai x | x , n n i 1
4、逆映射 设 为A到B上的一一映射.作B到A的映射如下:如果 : x | y 令 : y | x , 确实使唯一的
x 与 y 相对应，即 是映射，
11 1 : B A
则称
是 的逆映射 ，也记为
注：逆映射是反函数概念的推广。例如，任何一个严格单调的函数都可
d c 11 : x b ( x a) c a
故(a,b)与(c,d)对等。
定理 1 对任何集合A、B、C均有
(1) (3) A B B
若
(2) A
A
A
(4) A B, B C A C
定理 2 设{An}和{Bn}是两列分别彼此互不相交的集列，
An
Bn , n 1,2,... ， 则
集合表示方法：
列举法：将其元素一一列举出来。
特征描述法：将元素所具有的特征义命题的形式描述出来。
p Q {x | x q , p Z , q Z , q 0}
定理1：对任何集合A、B、C，均有
（1）A A
（2）A B，B A，则A = B
（3）A B，B C，则A C 其中（2）是经常用于证明两个集合相等。
§2 集合的运算
1、和集或并集 A B x | x A 或 x B
A x | 存在某个 使x A
2、交集
i 1
Ai x | 0 x 1
Ai x | 0 x 2
1 1 A x | x （2）设 i , i 1, 2,.... i i
则
1 1 Ai x | x , n n i 1
4、逆映射 设 为A到B上的一一映射.作B到A的映射如下:如果 : x | y 令 : y | x , 确实使唯一的
x 与 y 相对应，即 是映射，
11 1 : B A
则称
是 的逆映射 ，也记为
注：逆映射是反函数概念的推广。例如，任何一个严格单调的函数都可
d c 11 : x b ( x a) c a
故(a,b)与(c,d)对等。
定理 1 对任何集合A、B、C均有
(1) (3) A B B
若
(2) A
A
A
(4) A B, B C A C
定理 2 设{An}和{Bn}是两列分别彼此互不相交的集列，
An
Bn , n 1,2,... ， 则
集合表示方法：
列举法：将其元素一一列举出来。
特征描述法：将元素所具有的特征义命题的形式描述出来。
p Q {x | x q , p Z , q Z , q 0}
定理1：对任何集合A、B、C，均有
（1）A A
（2）A B，B A，则A = B
（3）A B，B C，则A C 其中（2）是经常用于证明两个集合相等。
§2 集合的运算
1、和集或并集 A B x | x A 或 x B
A x | 存在某个 使x A
2、交集
泛函分析讲义
2.2.5 线性泛函的连续性和有界性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.2.6 赋范空间中的Hahn-Banach定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.2.7 赋范线性空间中的分离性定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
1.6 稠密性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.6.1 稠密性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.1.2 Riesz引理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.2 有界线性算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
目录
iii
3.3 开映照定理、闭图像定理和共鸣定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.3.1 开映照定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.3.2 闭图象定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 3.3.3 共鸣定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
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泛函分析的产生
十九世纪后数学发展进入了一个崭新阶段
对欧几里得第五公设的研究，引出了非欧几何 对于代数方程求解的研究，建立并发展了群论 对数学分析的研究又建立了集合论
二十世纪初出现了把分析学一般化的趋势
瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作 希尔伯特空间的提出
分析学中许多新理论的形成，揭示出分析、几何、代数的许多概念和方 法常常存在相似的地方
泛函分析导 引
泛函分析概览
形成于20世纪30年代的数学分支 从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发 展而来 综合运用了函数论，几何学，代数学的观点
➢ 可看成是无限维向量空间的解析几何及数学分 析
研究内容
无限维向量空间上的函数，算子和极限理论 研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各 种拓扑和代数条件的映射
设 f (x) 是定义在[a, b]上的有界函数
并任在意[a取, bξ]上i 任∈意[x取i-1一,xi]组(i分=1点,2,a…=x,n0<)，x1…作<和xn式-1<xn=b,
n
S f (i )xi
i1
若其极限存在则称Riemann可积
nHale Waihona Puke b(R) a f (x)dx lxim0 i1 f
在数学上，把无限维空间到无限维空间的变换叫做算 子
研究无限维线性空间上的泛函数和算子理论，就产生 了一门新的分析数学，叫做泛函分析。
泛函分析的特点
把古典分析的基本概念和方法
一般化 几何化
从有限维到无穷维
泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具
从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系 统 过渡到无穷自由度系统 现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统
从Riemann积分到Lebesgue积分
Legesgue积分的思想是，优先照顾函数取值， 将函数值相差不大的那些x集中起来，考虑集合Ei
= { x | yi-1<f (x)< yi }，然后求其长度， yi m(Ei)和yi-1 m(Ei)用来近似所对应的那块面积，最后再对所有
的小块积分
Dirichlet函数仍旧可以积分
D(x) 1,
当x为有理 数
0, 当x为 无理数
从Riemann积分到Lebesgue积分
Legesgue积分方法所面临的问题：
给定直线上的点集E，如何定义它的“长度”？ 引 出了集合测度的概念
对于任何实数a和b，点集{ x | a≤f (x)< b}是否
有长度？该问题与函数y = f (x)的性质密切相 关， 引出了可测函数的概念
ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y)
则称ρ(x, y)为x与 y间的距离（或度量），并称X是以ρ为距离 的 距离空间（或度量空间），记成(X, ρ)，或简记为X；X中的
元 素称为X中的点．
距离空间：注记
所谓距离空间，就是在集合X内引入了距离．
在一个集合中，定义距离的方式不唯一。如果对同一个集合 X引入的距离不同那么所构成的距离空间也不同 在集合互中引入距离后，我们就说在X中引入了拓扑结构
(i )xi
从Riemann积分到Lebesgue积分
Riemann积分的思想是，将曲边梯形分成若干个小曲 边梯形，并用每一个小曲边梯形的面积用小矩形来代 替，小矩形的面积之和就是积分值的近似。剖分越精 细，近似程度越好。
不可积分的反例：Dirichlet函数
当x为有理 D(x) 1, 数 该函数太不连续0了, ，在当小x为区间内 变化很大 无理数
距离空间：定义
设X是非空集合，对于X中的任意两元素x与y，按某一法则都对
应唯一的实数ρ(x, y)，并满足以下三条公理（距离公理）：
1. 非负性： ρ(x, y) ≥0， ρ(x, y) =0当且仅当x=y； 2. 对称性： ρ(x, y) =ρ(y, x)；
3. 三角不等式；对任意的x, y, z
泛函分析中的三个“空间”概念
距离空间 Banach空间（完备的赋范线性空间） Hilbert空间（完备的内积空间）
大千世界，具云：三千大千世界。四大部洲之上，加须弥山半腰的四天王天， 及须弥山顶的忉利天，并空间中的夜摩天、兜率天、化乐天、他化自在天等六 天为欲界。再加上层的大梵天、梵众天、梵辅天等，色界初禅天为一世界，千 个世界为小千世界。又一小千世界，具千日、千月、千须弥山、千四大部洲、 千四天王天、千忉利天、千夜摩天、千兜率天、千化乐天、千他化自在天、千 梵天等。又千个小千世界为中千世界，具百万日月、百万须弥山、百万四天下、 百万六欲天、百万初禅天及千个二禅天。又千个中千世界为大千世界，具百亿 日月、百亿须弥山、百亿四天下、百亿六欲天、百亿初禅天、百亿二禅天及千 个三禅天。所谓三千世界，乃小千、中千、大千之所指三数目的千世界。又云 大千，即指三千之中的大为目标，故说「三千大千世界」，略云「大千世界」。
代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性 条 件也极其相似 非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知，n维空间几何的产生允许我们把多 变 函数用几何学的语言解释成多维空间的影响
泛函分析的产生
函数概念被赋予了更为一般的意义
古典分析中的函数概念是指两个数集之间所建立的一种对应 关系 现代数学的发展却是要求建立两个任意集合之间的某种对应 关系
泛函分析的主要研究内容
泛函分析自身
算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、广义函数论
与其他数学学科的关联
微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、计算数学、控 制 论、最优化理论等学科中都有重要的应用，建立群上调和 分析理 论的基本工具
与其他科学学科的关联
连续介质力学、量子物理学，是研究无限个自由度物理系统 的 重要而自然的工具之一
Lp[a,b]空间
表示区间[a,b]绝对值的p次幂L可积函数的全 体，并把几乎处处相等的函数看成是同一个函 数。
x(t) Lp[a, b], b x(t) p dt (p 1)存
a
在
拓展古典分析中的概念
Lebesgue测度
Lebesgue积分
从Riemann积分到Lebesgue积分
Riemann积分的定义：