长郡中学招生数学试题

合集下载

长郡中学小升初招生考试数学真题试卷(有答案)

长郡中学小升初招生考试数学真题试卷（卷面满分：100分考试时间：100分钟）一、填空(1×20=20分)1、王林的电脑的密码是一个四位数abcd，其中a是最小的奇数，B是所有自然数的公因数，c是最小质数与最小合数的和，d是偶数中质数的平方，这个密码是（1164这个数分解质因数是（）2、如果在比例尺为1：15000的图纸上，画一条长8厘米的直线表示一条马路，这条马路实际长（）米；在马路的旁边画一个边长为2厘米的正方形麦田图，这个麦田的实际面积是（）公顷。

；3、有一天，五（1）班出席48人，缺席2人，出勤率是（），第二天缺勤率是2%，有（）人缺席。

4、王老师的月工资是1800元，若个人所得税法规定每月收入超过800元的部分按比例缴纳个人所得税，那么刘老师每月交税后实得工资是（1750）元。

若他把5000元人民币存入银行3年，年利率是2.5%，到期交纳20%的税后可得利息（）元。

5、一个长方体的棱长总和是48厘米，它的长、宽、高的比是3：2：1，这个长方体的表面积是（）平方体积是（）立方厘米。

6、用黑、白两种正方形的瓷砖拼成大的正方形图形，要求中间用白瓷砖，四周一圈用黑瓷砖。

（如图所示）如果所拼的图形中用了400块白瓷砖，那么黑瓷砖用了（）块；如果所拼的图形中用了400块黑瓷砖，那么白瓷砖用了（）块。

7、一个长方体长6分米、宽5分米、高4分米，把它分成两个长方体，表面积最小增加（）平方分米，最多增加（）平方分米。

8、把一张长75厘米，宽45厘米的木板截成相同大小的正方形木板，而且没有剩余，能截成的最大的正方形木板的边长是（），总共可截成( ）块。

9、一项工程，甲队单独做10天完工，乙队单独做15完工。

现在甲、乙两队合作，中途甲队因有其他任务曾经离开过若干天，这样共用了9天才完成全部工程。

甲队中途离开了( )天。

10、长、宽、高分别为50厘米、40厘米、60厘米的长方体水箱中装有A、B两个进水管，先开A管，过一段时间后两管齐开。

2022-2023学年湖南省长沙市长郡教育集团九年级(上)入学数学试卷(word版含解析)

2022-2023学年湖南省长沙市长郡教育集团九年级（上）入学数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.新冠疑似病例需在定点医院隔离观察，要掌握他在一周内的体温是否稳定，则医生需要了解这位病人7天体温的( )A. 中位数B. 平均数C. 方差D. 众数2.对于函数y=−4x+3，下列结论正确的是( )A. 它的图象必经过点(−1,1)B. 它的图象不经过第三象限C. 当x>0时，y>0D. y随x的增大而增大3.下列配方中，变形正确的是( )A. x2+2x=(x+1)2B. x2−4x−3=(x−2)2+1C. 2x2+4x+3=2(x+1)2+1D. −x2+2x=−(x+1)2−14.下列叙述错误的是( )A. 菱形的四条边都相等B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形C. 矩形的对角线相等D. 一个角是直角的四边形是矩形5.已知点A(1,y1)，B(2,y2)在抛物线y=(x+1)2+2上，则下列结论正确的是( )A. 2>y1>y2B. 2>y2>y1C. y1>y2>2D. y2>y1>26.如图，在Rt△ABC中，D、E分别是直角边BC、AC的中点，若DE=10，则AB边上的中线CP的长为( )A. 5B. 6C. 5√3D. 107.一元二次方程(a−2)x2−2x+a2−4=0的一个根是0，则a的值是( )A. 2B. 1C. 2或−2D. −28.将一组数据中的每一个数据都加上3，那么所得的新数据组与原数据组相比，没有改变大小的统计量是( )A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差9.在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+b与二次函数y=bx2+a的大致图象可以是( )A. B. C. D.10.已知二次函数y=kx2−6x−9的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为( )A. k>−1B. k>−1且k≠0C. k≥−1D. k≥−1且k≠011.若实数x，y满足(x+y)(x+y−1)=2，则x+y的值为( )A. −1B. 2C. −1或2D. −2或112.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点，<0；与y轴交于点C，且OA=OC，则下列结论：①abc>0；②b2−4ac4a.其中正确的结论有( )③ac−b+1=0；④OA⋅OB=−caA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.小张同学的射击成绩为5，7，9，10，7，则这组数据的众数是______．14.将二次函数y=x2−3的图象向右平移3个单位，再向上平移5个单位后，所得抛物线的表达式是______．15.一张长方形照片长21cm，宽10cm，配一个镜框，镜框的四条边宽度都相等，且镜框的面积是照片本身面积的四分之一，求镜框的宽度．设镜框的宽度为x cm，依题意可列方程为______(化为一般式)16.如图，四边形纸片ABCD中，∠C=∠D=90°，AD=3，BC=9，CD=8，点E在BC上，且AE⊥BC.将四边形纸片ABCD沿AE折叠，点C、D分别落在点C′、D′处，C′D′与AB交于点F，则BF长为______．17. 直线y =−x +m 与y =nx +4n(n ≠0)的交点的横坐标为−2.则关于x 的不等式−x +m >nx +4n >0的解集为______．18. 如图，已知直线l 1：y =kx +b 与直线l 2：y =−12x +m 都经过C(−65,85)，直线l 1交y 轴于点B(0,4)，交x 轴于点A ，直线l 2与y 轴交于点D ，P 为y 轴上任意一点，连接PA 、PC ，有以下说法：①方程组{y =kx +b y =−12x +m 的解为{x =−65y =85； ②△BCD 为直角三角形； ③S △ABD =6；④当PA +PC 的值最小时，点P 的坐标为(0,1)．其中正确的说法是______.(填序号)三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。

长郡初三入学考试数学试卷

一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知等差数列{an}中，a1=3，公差d=2，则a10的值为（）A. 21B. 23C. 25D. 272. 若函数f(x)=2x+1在x=1时的切线斜率为3，则f(x)的解析式为（）A. f(x)=2x+3B. f(x)=2x-1C. f(x)=3x+1D. f(x)=3x-13. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=4，b=5，则c的最大值为（）A. 9B. 8C. 7D. 64. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，则f(-2)的值为（）A. -3B. 3C. 7D. 115. 若log2(x+1)+log2(x-1)=3，则x的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 66. 已知等比数列{an}中，a1=1，公比q=2，则a4的值为（）A. 8B. 4C. 2D. 17. 若函数g(x)=x^3-3x^2+4x-2在x=1时的导数为0，则g(x)的极值点为（）A. x=1B. x=2C. x=3D. x=48. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，b=4，c=5，则角A的度数为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°9. 若函数h(x)=x^2-2x+1在x=1时的切线斜率为0，则h(x)的极值点为（）A. x=1B. x=2C. x=3D. x=410. 已知等差数列{an}中，a1=2，公差d=3，则a10的值为（）A. 28B. 30C. 32D. 34二、填空题（每题5分，共50分）1. 若函数f(x)=x^2-4x+3在x=2时的切线斜率为2，则f(x)的解析式为________。

2. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=5，b=6，c=7，则角B的度数为________。

3. 已知等比数列{an}中，a1=3，公比q=2，则a5的值为________。

长郡中学初一新生(小升初)招生考试数学卷21

长郡中学初一新生（小升初）招生考试数学卷21一、题型概述长郡中学初一新生（小升初）招生考试数学卷21，总共包括了单选题、多选题、填空题、计算题等四种题型，其中单选题和多选题为非计算题，填空题和计算题为计算题。

各题型相关信息如下表所示：题型题号范围考察内容题量单选题 1 - 10 平面几何、代数10多选题11 - 20 几何关系10填空题21 - 25 质因数分解 5计算题26 - 30 有理数运算 5总计数量––30二、考点解析1. 单选题题号1-5题目1-5为平面几何和代数方面的题目。

主要考察学生对平面几何和代数的基本概念的掌握程度。

包括直线、角、三角形等，以及代数方面的多项式展开、因式分解等。

题号6-10题目6-10为平面几何和代数方面的题目。

主要考察学生对平面几何和代数的基本运用能力。

包括求三角形面积、判断正方形等，以及代数方面的方程求解、求平均数等。

2. 多选题题号11-15题目11-15主要考察学生对几何大关系的掌握能力。

包括相交线段、夹角、垂直平行等几何关系的判断和应用。

题号16-20题目16-20主要考察学生对几何大关系的应用能力。

包括线段相等、三角形面积等几何知识的应用。

题号21-25题目21-25为质因数分解的填空题。

主要考察学生对质因数分解的掌握和计算能力。

4. 计算题题号26-30题目26-30为有理数运算的计算题。

主要考察学生对有理数的四则运算和约分能力。

三、解题技巧1. 单选题题号1-5对于平面几何和代数的题目，需要学生具有扎实的基础知识和运用能力。

在平面几何方面，学生应该注意掌握直线、角、三角形的相关概念。

在代数方面，学生应该注意掌握多项式展开、因式分解等基本知识点。

题号6-10在平面几何方面，学生应该能够灵活运用三角形、正方形等图形的相关面积公式进行求解。

在代数方面，学生应该具备方程求解、求平均数等技能。

2. 多选题题号11-15对于几何大关系的题目，学生应该注意判断相交线段、垂直平行等关系的性质，为解题提供依据。

湖南省(长郡中学中考提前招生提前招生数学模拟试卷

湖南省（长郡中学中考提前招生提前招生数学模拟试卷一、选择题1．用足量的CO 还原8.0g 某种铁的氧化物，生成的气体全部被足量的澄清石灰水吸收，得到沉淀12.5g ，则这种铁的氧化物可能是 A ．FeOB ．Fe 2O 3与Fe 3O 4的混合物C ．FeO 与Fe 3O 4的混合物D ．Fe 3O 42．将CO 通入盛有12.0g 的Fe 2O 3的试管内，加热至固体完全变黑后停止加热，继续通入CO 至试管冷却，并同时将反应后的气体通入足量NaOH 溶液中，溶液质量增重6.6g 。

Fe 2O 3还原过程中转化过程：Fe 2O 3→Fe 3O 4 →FeO →Fe 。

下列说法错误的是A ．反应后的黑色固体为混合物B ．试管中残留固体质量为10.8gC ．实验过程中参加反应的CO 的质量为4.2gD ．反应后固体中加入足量的稀盐酸产生气体的质量为0.15g3．现有一包由5.6g 铁、7.2g 镁、1.0g 碳混合而成的粉末，把它加入一定量的CuCl 2溶液中。

实验结束后，测得剩余固体中含有三种物质。

则剩余固体的质量不可能是A ．26. 2gB ．26.6gC ．26. 0gD ．25. 8g4．实验室有一包含杂质的碳酸氢钠样品50g （杂质不含钠元素，受热不变化），其中钠元素的质量分数为23%，180℃时，将样品加热一段时间后称得固体质量为43.8g ，则分解的碳酸氢钠占原碳酸氢钠的质量分数为（已知323222NaHCO Na CO +H O+CO Δ ） A ．60%B ．47.3%C ．40%D ．33.6% 5．用数形结合的方法表示某些化学知识直观、简明、易记．下列用数轴表示正确的是（）A ．不同物质的着火点：B ．硫及其化合物与化合价的关系：C ．50g19.6%的稀硫酸与足量的金属反应产生氢气的质量：D ．物质形成溶液的pH ：6．下列四个图象，分别对应四种操作过程，其中正确的是（）A．向pH＝2的酸溶液中不断加水B．向NaOH溶液中逐滴加入稀盐酸C．向一定量的水中持续加入食盐（m表示食盐的质量，A%表示溶质质量分数）D．等质量的锌、铁与足量的稀硫酸反应，产生氢气的质量随反应时间t的变化7．已知反应前后分子变化的微观示意图如下所示，下列说法错误．．的是A．反应前后元素种类不变B．A是有机物，C、D是无机物C．点燃前要先检验A的纯度，防止爆炸D．此反应中A和B的化学计量数之比等于1：18．下列图像不能正确反映其对应变化关系的是A B C DA．用等质量、等浓度的过氧化氢溶液在有无催化剂条件下制氧气B．一定质量的红磷在密闭容器中燃烧C．向等质量、等浓度的稀硫酸中分别逐渐加入锌粉和铁粉D．向一定质量的氯化铜和稀盐酸的混合溶液中逐滴加入氢氧化钠溶液9．将Mg和Ag的混合物放入Zn(NO3)2和Cu(NO3)2的混合溶液中，预测其充分反应后所得滤渣和滤液的组成成分如下，其中不合理的是（）A．若滤液为蓝色，则滤渣中含有2种固体B．若滤液为无色，则滤渣中可能含有3种固体C．若滤渣中加入稀盐酸，产生气泡，则滤液中最多含有2种溶质D．若滤渣中加入稀盐酸，无气泡，则滤液中至少含有1种溶质10．工业上利用生产钛白的副产品硫酸亚铁制备还原铁粉的流程如图下列说法不正确的是A．“转化”时在溶液中生成了FeCO3沉淀，该反应的基本反应类型是复分解反应B．“过滤”后得到的滤液中的溶质只有（NH4）2SO4C．“干燥”过程中有少量的FeCO3转化为FeOOH和CO2，此时与FeCO3反应的物质有O2和H2OD．取14．06g还原铁粉（仅含有Fe和少量Fe x C）在氧气流中充分加热，得到0.22gCO2，另取相同质量的还原铁粉与足量稀硫酸充分反应（Fe x C与稀硫酸不反应），得到0.48gH2，则Fe x C的化学式是Fe2C11．童童同学将一定量的氧化铜粉末加入到100g溶质的质量分数为14%的稀硫酸中，充分反应后固体全部消失，为了避免该废液排放造成污染，他又向废液中加入20g铁粉,充分反应后过滤，滤渣的质量为20g，加稀硫酸时所消耗的氧化铜质量是()A．8g B．10g C．12g D．14g12．在AlCl3溶液中逐滴加入NaOH溶液至过量，发生如下反应：3NaOH+AlCl3=Al(OH)3↓+3NaCl, Al(OH)3+NaOH=NaAlO2+2H2O。

湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高一上学期入学考试数学试题

湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高一上学期入学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．15B．．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的坐标为和C，已知点A(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)若6AE=，23CE=，求»AC14．为了了解学生关注热点新闻的情况，“两会”期间，小明对班级同学一周内收看“两会”新闻的次数情况作了调查，调查结果统计如图所示（其中男生收看数没有标出）.根据上述信息，解答下列各题：(1)该班级女生人数是________，女生收看“两会”新闻次数的中位数是________；(2)对于某个群体，我们把一周内收看某热点新闻次数不低于3次的人数占其所在群体总人数的百分比叫做该群体对某热点新闻的“关注指数”.如果该班级男生对“两会”新闻的“关注指数”比女生低5%，试求该班级男生人数；(3)为进一步分析该班级男、女生收看“两会”新闻次数的特点，小明给出了男生的部分统计量（如表）.(1)当AP经过CD的中点N时，求点P的坐标；(2)在（1）的条件下，已知二次函数2y x=-+AH右侧的抛物线沿AH对折，交y轴于点M，(1)求出此函数图象的顶点坐标（用含(2)当4a=时，此函数图象交x轴于点为x轴下方图象上一点，过点P作(3)点(21,3)---，(0,3) M a aN a--再根据两点之间，线段最短可得蚂蚁沿台阶面爬行到点的最短路程是此长方形的对角线B长，然后运用勾股定理可完成解答．【详解】如图所示：三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为(23)315+´=，则蚂蚁沿台阶面爬行到点的最短路程是此长方形的对角线长．B点的最短路程为x，可设蚂蚁沿台阶面爬行到B，由勾股定理得：2222x=+=201525解得：25x=，即蚂蚁沿台阶面爬行到B点的最短路程为25．故选：C7．C【分析】过点C作CH y^轴于点H，过点A作AG y^轴于点G，易证()@V V，AGO OHC AAS根据全等三角形的性质，求出点C坐标，利用待定系数法求解即可．【详解】过点C作CH y^轴于点G，如图所示：^轴于点H，过点A作AG y则有90CHO OGA Ð=Ð=°，90HCO HOC \Ð+Ð=°，ABCO Q 是正方形，OA OC \=，90COA Ð=°，90COH AOG \Ð+Ð=°，AOG HCO \Ð=Ð，()AGO OHC AAS \@V V ，HC OG \=，HO GA =，(1,2)A -Q ，1GA \=，2OG =，(2,1)C \，将A ，C 点坐标代入y kx b =+，得221k b k b +=-ìí+=î，解得3k =，在矩形AOCD中，AO则APH ATPÐ=Ð=Ð∴90Ð+Ð=APT HPJV V∽，四ATP PJH==,AT OJ AO TJAM AM=¢，由6,3AO AD==可得点代入二次函数2y x bx =-+236y x x=-++.由（1）可知45MAM¢Ð=答案第161页，共22页。

长沙市长郡中学中考招生考试数学卷

长郡中学高新入学试卷（十三）一、选择题（每题5分，共30分）1、(2=x，则X的值为（）A 整数B 负数C 0D 不能确定2、有一枚质地均匀的正四面体骰子的各个面上依次标有数字—1,1,3,4.随机抛掷这枚骰子两次，第一次着地一面的数字m记做p点的横坐标，第二次着地一面的数字n记做p点的纵坐标，则点p（m,n）落在由抛物线y=14-x2+14x+3与直线y=14-x--34所围成的区域（含边界）中的概率为（）A516B716C916D11163、方程x2—x=1x的解的情况是（）A 仅有一根B 仅有一负根C 有一正根一负根D 无实根4、如图，把长为8cm的矩形按虚线对折，按如图的虚线剪出一个直角梯形，打开得到一个等腰梯形，减掉部分的面积为6cm2，则打开后梯形的周长是（）A (10+B (10C 22D 185、如图，等边三角形ABC的边长为3，p为边BC上一点，且BP=1，D为边AC上一点，若∠APD=60°，则CD的长为（）A 32B23C12D346、小欣骑车上学，路上要经过两座山梁，行走的路线如图1所示，若上山的速度为v1，平均速度为v2，下山的速度为v3（v1<v2<v3）,则小欣骑车上学的路程s与所用时间t的函数关系式可能是图2中的二、填空题（每题6分，共36分）7、已知实数a,b,x,y满足a+b=x+y, ax+by=5,则（a2+b2）x+y(ab2+x2)_________8、如图，点Q在直线y=--x上运动，点A的坐标为（2,0）当线段AQ最短时，点Q的坐标为__________9、如图，在ABC中，AC=BC, ∠C=20°，又点M,N分别在AC,BC上，且满足∠BAN=50°，∠ABM=60°，则∠NMB=__________10、某次慈善捐款晚会上，每人吃了半盘米饭，三分之一盘蔬菜和四分之一盘肉，此聚会总共提供了65盘食物，则这次捐款晚会共有_______人参加11、若不等式 2x —3>0 无解，则m 的取值范围________x--m ≤012、如图，在Rt ABC 中, ∠ABC=90°，AB=8，BC=6，分别以A,C 为圆心，2AC 的长为半径作圆，将Rt ABC 截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为________(保留 )三、解答题（13、14题各11分，15题12分）13、传销是一种危害性极大的非法商业诈骗活动，国家是明令禁止的。

湖南长沙长郡中学初一实验班招生考试数学试题

( )＇ ()( 3 - 2 ) cm ，⊙O 与这两个圆都相切，3 + 2 cm 和12、以 O 为圆心的两个同心圆的半径分别为长郡中学初一理科实验班招生试卷(时量： 60 分钟；满分：100 分注意合理分配时间 )一、选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题 6 分，共 36 分）１、平面内有 4 条相交直线，它们的交点最多有 m 个，最少有 n 个，则 m －n=（）A ．7B ．5C ．4D ．3 2、若（x －1）2的算术平方根是x －1，则x 的取值范围是（） A ．x ＜1 B ．x≤1 C ．x ＞1 D ．x≥13、直角三角形纸片的两直角边长分别为 6，8，现将 △ A BC 如图那样折叠，使点 A 与点 B 重合，折痕为 DE ，则 CE 的长为（）CA ．1B ． 2C ．74 D ．32 68E4、下列五个命题：（第 3 题）BA（1）若直角三角形的两条边长为 3 和 4，则第三边长是 5； D（2） a 2 ＝a （a ≥0）；（3）若点 P （a ，b ）在第三象限，则点 P （－a ，－b ＋1）在第一象限；（4）顺次连结对角线互相垂直且相等的四边形各边中点的四边形是正方形；（5）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等。

其中正确命题的个数是（） A ．2 个 B ．3 个 C ．4 个 D ．5 个5、已知抛物线 y = x 2 + bx + c 的系数满足 2b - c = 5 ，则这条抛物线一定经过点（)A ． (-2,-1)B ． (-1,-2)C ． (2,-1)D ． (-2,1) 6、关于 x 、y 的方程 x 2+xy+y 2=29 的整数解（x 、y ）的组数为（）A 、2组B 、3组C 、4组D 、无穷多组二.填空题：(每题 5 分，共 30 分)7、观察分析下列数据，寻找规律：已知一列实数１、 5 、3、 13 、 17 、……，则第n 个数是__________； 8、如图所示，菱形 A BCD 边长为 a ，点 O 在对角线 AC 上一点，且 OA=a ，OB=OC=OD=1,则 a 等于（） 9、如图，在 Rt ∆ABC 中，D 为斜边 AB 上一点，AD ＝5，BD ＝4，四边形 CEDF 为正方形，则图中阴影部分的面积为；第 8 题图第 9 题图第 10 题图10、如图 1 所示，在直角梯形 ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=90°，动点 P 从点 B 出发，沿梯形的边由 B→C→D→A 运动，设点 P 运动的路程为 △x ， ABP 的面积为 y ，把 y 看作 x 的函数，函数图象如图 2 所示，则△ABC 的面积为111、若不论 x 取何值时，分式总有意义，则 m 的取值范围是_________x 2 - 2 x + m - 32 21则⊙O 1 的半径是（仔细想想）三、解答题（本大题共3题，13、14题11分，15每题12分，共34分）13、某仪器厂计划制造A、B两种型号的仪器共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于制造仪器，两种型号的制造成本和售价如下表：成本（万元/套）售价（万元/套）A2530B2834（1）该厂对这两种型号仪器有哪几种制造方案？（2）该厂应该选用哪种方案制造可获得利润最大？（3）根据市场调查，每套B型仪器的售价不会改变，每套A型仪器的售价将会提高a万元（a>0），且所制造的两种仪器可全部售出，问该厂又将如何制造才能获得最大利润？14、一自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000千米后该轮胎报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000千米后该轮胎报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎。

长郡中学小升初招生考试数学真题试卷(有答案)

；3、有一天，五（1）班出席48人，缺席2人，出勤率是（），第二天缺勤率是2%，有（）人缺席。

4、王老师的月工资是1800元，若个人所得税法规定每月收入超过800元的部分按比例缴纳个人所得税，那么刘老师每月交税后实得工资是（1750）元。

若他把5000元人民币存入银行3年，年利率是2.5%，到期交纳20%的税后可得利息（）元。

5、一个长方体的棱长总和是48厘米，它的长、宽、高的比是3：2：1，这个长方体的表面积是（）平方体积是（）立方厘米。

6、用黑、白两种正方形的瓷砖拼成大的正方形图形，要求中间用白瓷砖，四周一圈用黑瓷砖。

（如图所示）如果所拼的图形中用了400块白瓷砖，那么黑瓷砖用了（）块；如果所拼的图形中用了400块黑瓷砖，那么白瓷砖用了（）块。

7、一个长方体长6分米、宽5分米、高4分米，把它分成两个长方体，表面积最小增加（）平方分米，最多增加（）平方分米。

8、把一张长75厘米，宽45厘米的木板截成相同大小的正方形木板，而且没有剩余，能截成的最大的正方形木板的边长是（），总共可截成( ）块。

9、一项工程，甲队单独做10天完工，乙队单独做15完工。

现在甲、乙两队合作，中途甲队因有其他任务曾经离开过若干天，这样共用了9天才完成全部工程。

甲队中途离开了( )天。

10、长、宽、高分别为50厘米、40厘米、60厘米的长方体水箱中装有A、B两个进水管，先开A管，过一段时间后两管齐开。

湖南长郡外国语学校2024-2025学年九年级上学期入学考试数学试题(解析版)

长郡外国语实验中学初三作业检查练习一、选择题（共10小题，在下列各题的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1. 的结果是（）A. 10B.C.D. 20 【答案】B【解析】．2. 二次函数2(1)3y x =−+图象的顶点坐标是（）A. (1,3)B. (1,3)−C. (1,3)−D. (1,3)−− 【答案】A【解析】【分析】根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标.【详解】∵2(1)3y x =−+，∴二次函数图象顶点坐标为：(1,3).故答案为A.【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a （x-h ）2+k 中，对称轴为x=h ，顶点坐标为（h ，k ）．3. 下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是直角三角形的是（）A. a ＝1.5，b ＝2，c ＝3B. a ＝7，b ＝24，c ＝25C. a ＝6，b ＝8，c ＝10D. a ＝3，b ＝4，c ＝5【答案】A【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．【详解】解：A ．∵1.52+22≠32，∴该三角形不是直角三角形，故A 选项符合题意；B ．∵72+242＝252，∴该三角形是直角三角形，故B 选项不符合题意；C ．∵62+82＝102，∴该三角形是直角三角形，故C 选项不符合题意；D ．∵32+42＝52，∴该三角形是直角三角形，故D 选项不符合题意．【点睛】本题考查直角三角形的判定，掌握勾股定理是本题解题关键．4. 一次函数y ＝﹣3x +5的图象不经过的象限是（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】一次项系数-3＜0，则图象经过二、四象限；常数项5＞0，则图象还过第一象限．【详解】解：∵-3＜0，∴图象经过二、四象限；又∵5＞0，∴直线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，图象还过第一象限．所以一次函数y=-3x+5的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．故选C ．【点睛】一次函数的图象经过第几象限，取决于x 的系数及常数是大于0或是小于0．可借助草图分析解答．5. 有意义，则的取值范围是（）．A. x >0B. 2x ≥−C. 2x ≥D. 2x ≤ 【答案】D【解析】【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件解答．有意义，∴20x −≥，∴2x ≤，故选：D ．【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零，熟记条件是解题的关键．6. 如图，为测量位于一水塘旁的两点,A B 间的距离，在地面上确定点O ，分别取,OA OB 的中点,C D ，量得20m CD =，则,A B 之间的距离是（）A. 5mB. 10mC. 20mD. 40m【分析】本题考查三角形中位线定理，根据三角形中位线定理解答即可，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．【详解】解：∵,C D 分别是,OA OB 的中点，∴CD 是ABO 的中位线，∴222040cm AB CD ==×=，∴,A B 之间的距离是40cm ，故选：D ．7. 一组数据:5 、4、3、4、6 、8，这组数据的中位数、众数分别是（）A. 4. 5，4B. 3.5，4C. 4，4D. 5，4【答案】A【解析】【分析】（1）把给出的此组数据中的数按从小到大（或从大到小）的顺序排列，由于数据个数是6，6是偶数，所以处于中间两个数的平均数就是此组数据的中位数；（2）在此组数据中出现次数最多的那个数就是此组数据的众数．【详解】（13，4，4，5，6，8，所以这组数据的中位数是：（4+5）÷2=4.5；（2）此组数据中出现次数最多的数是4，所以4就是此组数据的众数．故选A ．【点睛】此题主要考查了中位数与众数的意义与求解方法．8. 如图，在平面直角坐标系中、四边形OABC 为菱形，O 为原点，A 点坐标为（8，0），∠AOC ＝60°，则对角线交点E 的坐标为（）A.（4， B. （4） C. （6）D. （6，【分析】过点E 作EF ⊥ x 轴于点F ，由直角三角形的性质求出EF 长和OF 长即可．【详解】解：过点E 作EF ⊥x 轴于点F ，∵四边形OABC 为菱形，∠AOC =60°，∴∠AOE =12∠AOC =30°，OB ⊥AC ，∠F AE =60°， ∴∠AEF =30°∵A (8,0)，∴AO =8，∴AE=12AO =12×8=4，∴AF =12AE =2，E F ， ∴OF =AO−AF =8−2=6，∴(6,E ．故选：D【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理及含30°直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．9. 如图，一次函数1y x b =+与一次函数24y kx =+的图象交于点()13P ，，则关于x 的不等式4x b kx +>+的解集是（）A. 3x >B. 3x <C. xx >1D. xx <1【答案】C【解析】【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：用函数图象，写出一次函数1y x b =+的图象在一次函数24y kx =+的图象上方所对应的自变量的范围即可．【详解】解：根据图象得，当xx >1时，12y y >，即：关于x 的不等式4x b kx +>+的解集为xx >1．故选C ．10. 如图，ABC 为等边三角形，点P 从点A 出发沿A B C →→路径匀速运动到点C ，到达点C 时停止运动，过点P 作PQ AC ⊥于点Q .若APQ △的面积为y ，AQ 的长为x ，则下列能反映y 与x 之间的大致图象是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分两种情况讨论点P 从点A 出发运动到点B 之前；P 点过了B 点向C 点运动．【详解】解：∵ABC 为等边三角形，PQ AC ⊥于点Q ，∴设AQ x =，则tan 60PQ AQ =⋅°=，∴点P 从点A 出发运动到点B 之前，212y x x ==， ∴此时函数图像为顶点在原点，开口向上的抛物线，排除A 、B ；设ABC 的边长为m ，则当>2m x 时，P 点过了B 点向C 点运动，如图所示，则CQm x =−，∴)tan 60PQ CQ m x =⋅°−， ∴)212y x m x x −==，此时函数图像为开口向下的抛物线，∵选项C 此阶段的图象仍然为开口向上的抛物线，选项D 为开口向下的抛物线，∴D 正确．故选：D ．【点睛】本题考查了动点轨迹的函数图像，正确表示出y 和x 之间的关系是解题关键．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11. 若1x=−，则221x x ++=______________．【答案】2【解析】【分析】将221x x ++进行配方，然后代入1x =−计算即可．【详解】解：()22211x x x +++，将1x=−代入()21x +得)2112+=，故答案为：2．【点睛】本题考查了代数式求值，完全平方公式，将221x x ++进行配方变形是解题的关键．12. 如图，在平行四边形ABCD 中，4cm,7cm AB AD ==，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，交CD 的延长线于点F ，则DF =_____cm ．【答案】3【解析】【分析】先证明CB CF =，再结合平行四边形的性质，计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴,,BC AD AB CF AB CD =∥，∴ABF BFC ∠=∠，∵BF 平分ABC ∠，∴ABF CBF ∠=∠，∴BFC CBF ∠=∠，∴CB CF =，∵CF CD DF =+，∴AD AB DF =+，∴()743cm DF =−=，故答案为：3．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角的平分线的意义，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 13. 二次函数y=2x 2 -4x+5,当﹣3≤x ≤4时，y 的最大值是___________，最小值是___________.【答案】 ①. 35 ②. 3【解析】【分析】先求出二次函数的对称轴为直线x=2，然后根据二次函数的增减性解答即可．【详解】解：抛物线的对称轴为41222b x a −=−=−=×， 20a = ＞， ∴x ＜1时，y 随x 的增大而减小，x ＞1时，y 随x 的增大而增大，∴在-3≤x≤4内，x=1时，y 有最小值，x=-3时y 有最大值，分别是y=2-4+5=3和y=2×9-4×（-3）+5=35．故答案为35，3．【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，根据函数解析式求出对称轴解析式是解题的关键．14. 如图，抛物线2y ax =与直线y bx c =+两个交点坐标分别为()3,9A −，()1,1B ，则关于x 的方程20ax bx c −−=的解为__________．【答案】123,1x x =−= 【解析】【分析】由关于x 的方程20ax bx c −−=可化为2ax bx c =+，根据二次函数与一次函数的交点坐标可直接求解方程的解．【详解】解：∵抛物线2y ax =与直线y bx c =+的两个交点坐标分别为()3,9A −，()1,1B ， ∴联立二次函数及一次函数解析式可得2ax bx c =+，即20ax bx c −−=， ∴关于x 的方程20ax bx c −−=的解为123,1x x =−=；故答案为123,1x x =−=．【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数，熟练掌握二次函数与一次函数的交点问题是解题的关键． 15. 设a ，b 是方程220240x x +−=的两个实数根，则22a a b ++的值为______．【答案】2023【解析】【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数的关系，先根据一元二次方程的解得到22024a a +=，的利用根与系数关系得到1a b +=−，则()()222a a b a a a b +++=++，再利用整体代入的方法计算即可．熟练掌握一元二次方程的解及根与系数的关系是解题的关键．【详解】∵a ，b 是方程220240x x +−=的两个实数根，∴220240a a +−=，111a b +=−=−， ∴22024a a +=，∴22a a b ++ ()()2a a a b +++ 20241−2023=故答案为：2023．16. 如图，在平面直角坐标系中，点(2,4)A 在抛物线2y ax =上，过点A 作y 轴的垂线，交抛物线于另一点B ，点C 、D 在线段AB 上，分别过点C 、D 作x 轴的垂线交抛物线于E 、F 两点．当四边形CDFE 为正方形时，线段CD 的长为_________．【答案】2−+【解析】【分析】点(2,4)A 代入抛物线中求出解析式为2y x =，再设CD =2x ，进而求得E 点坐标为(x ,4-2x )，代入2y x =中即可求解．【详解】解：将点(2,4)A 代入抛物线2y ax =中，解得1a =，∴抛物线解析式为2y x =，设CD 、EF 分别与y 轴交于点M 和点N ，当四边形CDFE 为正方形时，设CD =2x ，则CM=x=NE ，NO=MO-MN =4-2x ，此时E 点坐标为(x ,4-2x )，代入抛物线2y x =中，得到：242x x -=，解得11x =−+21x =−(负值舍去)，∴22CD x ==-+，故答案为：2−+．【点睛】本题考查二次函数图像上点的坐标及正方形边长相等等知识点，属于基础题，熟练掌握二次函数的图像及性质是解决本题的关键．三．解答题（本大题共8个小题，第17、18题每小题8分，第19、20、21、22题每小题9分，第23、24题每小题10分，共72分。

长郡中学2024-2025学年高一上学期入学分班考试数学试卷与答案

时量：90分钟满分100长郡中学2024-2025学年高一上学期入学分班考试数学试卷分一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符题目要求的.1. 《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿日兆．”说明了大数之间的关系：1亿1=万1万，1兆1=万1×万1×亿．若1兆10m=，则m 的值为（） A. 4B. 8C. 12D. 162. 二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒大寒），若从二十四个节气中随机抽取一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（） A.12B.112C.16D.143. 如图，矩形ABCD 中，3AB =，1AD =，AB 在数轴上，若以点A 为圆心，对角线AC 的长为半径作弧交数轴的正半轴于M ，则点M 所表示的数为（）A. 2B.1−C.D.14. 若关于x 的不等式组()532223x x x x a + ≥−+<+恰好只有四个整数解，则a 的取值范围是（）A. 53a <−B. 5433a −≤<− C. 523a −<−≤D. 523a −<<−5. 在ABC ，3AC =，4BC =，5AB =，点P 在ABC 内，分别以A ，B ，P 为圆心画圆，圆A 的半径为1，圆B 的半径为2，圆P 的半径为3，圆A 与圆P 内切，圆P 与圆B 的关系是（） A. 内含B. 相交C. 外切D. 相离6. 对于正整数k 定义一种运算：1()[][]44k k f k +=−，例：313(3)[][]44f +=−，[]x 表示不超过x 的最大整数，例：[3.9]3=，[ 1.8]2−=−．则下列结论错误的是（） A. ()10f =B. ()0f k =或1C. ()()4f k f k +=D. ()()1f k f k +≥7. 如图，点A 为反比例函数()10y x x=−<图象上的一点，连接AO ，过点O 作OA 的垂线与反比例函数()40yx x=>的图象交于点B ，则AO BO 的值（）A12B.14C.D.138. 若二次函数的解析式为()()()2215y x m x m =−−≤≤，且函数图象过点(),p q 和点()4,p q +，则q 的取值范围是（） A. 124q −≤≤B. 50q −≤≤C. 54q −≤≤D. 123q −≤≤二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．9 分解因式：432449a a a −+−=______．10. 直线1:1l y x =−与x 轴交于点A ，将直线1l 绕点A 逆时针旋转15°，得到直线2l ，则直线2l 对应的函数表达式是______． 11. 若关于x 分式方程22411x a x ax x −−+−=−+的解为整数，则整数a =______． 12. 如图，已知两条平行线1l ，2l ，点A 是1l 上的定点，2AB l ⊥于点B ，点C ，D 分别是1l ，2l 上的动点，且满足AC BD =，连接CD 交线段AB 于点E ，BH CD ⊥于点H ，则当BAH ∠最大时，sin BAH ∠的值为______．..的三、解答题：本题共4小题，共52分．应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13. 某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段.（1）初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制），对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析下面给出了部分信息.a 教师评委打分：86 88 90 91 91 91 91 92 92 98b .学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组8285x ≤<，第2组8588x ≤<，第3组8891x ≤<，第4组9194x ≤<，第5组9497x ≤<，第6组97100x ≤≤）；平均数中位数众数教师评委 91 91 m 学生评委90.8n93c .评委打分的平均数、中位数、众数如上：根据以上信息，回答下列问题：①m 的值为______，n 的值位于学生评委打分数据分组的第______组；②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为x ，则x ______91（填“>”“=”或“<”）；（2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决.赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：评1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 93 90 92 93 92 乙 91 92 92 92 92 丙90949094k若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是______，表中k （k 为整数）的值为______.14. 根据以下素材，探索完成任务——如何设计摇椅的椅背和坐垫长度？素材一：某公司设计制作一款摇椅，图1为效果图，图2为其侧面设计图，其中FC 为椅背，EC 为坐垫，C ，D 为焊接点，且CD 与AB 平行，支架AC ，BD 所在直线交于圆弧形底座所在圆的圆心O ．设计方案中，要求A ，B 两点离地面高度均为5厘米，A ，B 两点之间距离为70厘米；素材二：经研究，53OCF ∠=°时，舒适感最佳．现用来制作椅背FC 和坐垫EC 的材料总长度为160厘米，设计时有以下要求：（1）椅背长度小于坐垫长度；（2）为安全起见，摇椅后摇至底座与地面相切于点A 时（如图3），F 点比E 点在竖直方向上至少高出12厘米．（sin530.8°≈，cos530.6°≈，tan53 1.3°≈）任务：（1）根据素材求底座半径OA ；（2）计算图3中点B 距离地面的高度；（3）①求椅背FC 的长度范围；（结果精确到0.1m ） ②设计一种符合要求的方案．15. 定义：在平面直角坐标系中，直线x m =与某函数图象交点记为点P ，作该函数图象中点P 及点P 右侧部分关于直线x m =的轴对称图形，与原函数图象上的点P 及点P 右侧部分共同构成一个新函数的图象，称这个新函数为原函数关于直线x m =的“迭代函数”．例如：图1是函数1y x =+的图象，则它关于直线0x =的“迭代函数”的图象如图2所示，可以得出它的“迭代函数”的解析式为()()10,10.x x y x x +≥ =−+<（1）函数1y x =+关于直线1x =的“迭代函数”的解析式为______．（2）若函数243y x x =−++关于直线x m =的“迭代函数”图象经过()1,0−，则m =______．（3）已知正方形ABCD 的顶点分别为：(),A a a ，(),B a a −，(),C a a −−，(),D a a −，其中0a >．①若函数6y x=关于直线2x =−的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 的边有3个公共点，求a 的值； ②若6a =，函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，求n 的取值范围．16. 已知抛物线2y x bx c =−++与x 轴交于点()1,0A −，()3,0B ．（1）如图1，抛物线与y 轴交于点C ，点P 为线段OC 上一点（不与端点重合），直线PA ，PB 分别交抛物线于点E ，D ，设PAD △面积为1S ，PBE △面积为2S ，求12S S 的值；（2）如图2，点K 是抛物线对称轴与x 轴的交点，过点K 的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点M ，N ，过抛物线顶点G 作直线//l x 轴，点Q 是直线l 上一动点求QM QN +的最小值．的一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符题目要求的.1. 《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿日兆．”说明了大数之间的关系：1亿1=万长郡中学2024-2025学年高一上学期入学分班考试数学试卷答案1万，1兆1=万1×万1×亿．若1兆10m=，则m 的值为（） B. 8 C. 12 D. 16【分析】由指数幂的运算性质即可求解. 【详解】1万=410，所以1亿=810A. 4【答案】D，所以1兆=8816101010×=，所以16m =. 故选：D2. 二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒大寒），若从二十四个节气中随机抽取一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（） A.12B.112C.16D.14【详解】从二十四个节气中随机抽取一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为【答案】D 【分析】根据概率的计算公式即可求解.61244=，故选：D3. 如图，矩形ABCD 中，3AB =，1AD =，AB 在数轴上，若以点A 为圆心，对角线AC 的长为半径作弧交数轴的正半轴于M ，则点M 所表示的数为（）B.1−C.D.1【分析】利用勾股定理和数轴的知识求得正确答案A. 2【答案】B.【详解】由于AC =，所以点M所表示的数为)231+−=−.故选：B4. 若关于x 的不等式组()532223x x x x a + ≥−+<+恰好只有四个整数解，则a 的取值范围是（）A. 53a <−B. 5433a −≤<− C. 523a −<−≤D. 523a −<<−【分析】化简不等式组，由条件列不等式求a 的取值范围【答案】C. 【详解】解不等式532x x +≥−，得11x ≤，解不等式()223x x a +<+，得23x a >−，由已知可得7238a ≤−<，所以523a −<−≤.故选：C.5. 在ABC ，3AC =，4BC =，5AB =，点P 在ABC 内，分别以A ，B ，P 为圆心画圆，圆A 的半径为1，圆B 的半径为2，圆P 的半径为3，圆A 与圆P 内切，圆P 与圆B 的关系是（） B. 相交 C. 外切 D. 相离A. 内含【答案】B【分析】由题意条件分析两圆圆心距与两半径和差的大小关系即可得. 【详解】由圆A 与圆P 内切，则312PA =−=，5AB =，又点P 在ABC 内，则PA PB AB +>，且PB AB <，所以523PB AB PA >−=−=，且5PB <，则3232PB −<<+，由圆B 的半径为2，圆P 的半径为3，所以圆P 与圆B 相交. 故选：B.6. 对于正整数k 定义一种运算：1()[][]44k k f k +=−，例：313(3)[][]44f +=−，[]x 表示不超过x 的最大整数，例：[3.9]3=，[ 1.8]2−=−．则下列结论错误的是（） A. ()10f =B. ()0f k =或1C. ()()4f k f k +=D. ()()1f k f k +≥【详解】对于A ，【答案】D 【分析】根据给定的定义，逐项计算判断即可.11(1)[][]00024f =−=−=，A 正确；对于B ，取4,1,2,3,4k n i i =+=，n 为自然数，当4i =时，1()[1][1][1]044f k n n ++−+，当3i =时，33()[1][]1([])144f k n n n n =+−+=+−+=，当1,2i =时，11()[][][]([])04444i i i if k n n n n ++=+−+=+−+=，B 正确；对于C ，11(4)[1][1]1[](1[])()4444k k k kf k f k +++=+−+=+−+=，C 正确；对于D ，414313(31)[][]0,(3)[][]14444f f +++=−==−=，即(31)(3)f f +<，D 错误.故选：D7. 如图，点A 为反比例函数()10y x x=−<图象上的一点，连接AO ，过点O 作OA 的垂线与反比例函数()40yx x=>的图象交于点B ，则AO BO 的值（）A.12B.14C.D.13【分析】设【答案】A121214,,,A x B x x x −，由,A B 两点分别做x 轴的垂线，垂足分别为,E F ，由AO BO ⊥，得∽∠ AOE OBF ，由==AEEO AO OFBF BO，可得答案. 【详解】设AA �xx 1,−1xx 1�,BB �xx 2,4xx 2�(xx <0,xx 2>0)，由,A B 两点分别做x 轴的垂线，垂足分别为,E F ，且()()12,0,,0E x F x ，因为AO BO ⊥，所以,∠=∠∠=∠AOE OBF OAE BOF ，所以∽∠ AOE OBF ，所以AE EO OF BF =，可得112214−−=x x x x ，即22124x x =，所以122x x =−，所以12121211==−==−=A Ex x x OA BO OFx.故选：A.8. 若二次函数的解析式为()()()2215y x m x m =−−≤≤，且函数图象过点(),p q 和点()4,p q +，则q 的取值范围是（） A. 124q −≤≤ B. 50q −≤≤C. 54q −≤≤D. 123q −≤≤【答案】A 【分析】由二次函数解析式可求得对称轴为x =m +1，进而可得412p p m ++=+，由函数图象过点(),p q ，可得2(1)4q m =−−+，可求q 的取值范围.【详解】因为二次函数解析式为()()()2215y x m x m =−−≤≤，所以二次函数的对称轴为1x m =+，函数图象过点(),p q 和点()4,p q +，故点(),p q 和点()4,p q +关于直线1x m =+对称，所以412p p m ++=+，所以1[0,4]p m −∈，又()()()()2222121223(1)4q p m p m m m m m m =−−=−−−−=−++=−−+，当1m =，max 4q =，当5m =，min 12q =−，所以124q −≤≤. 故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．9. 分解因式：432449a a a −+−=______．【答案】2(23)(1)(3)a a a a −++−【详解】【分析】根据给定条件，利用公式法及十字相乘法分解因式即可得解.43222222449(2)9(23)(23)(23)(1)(3)a a a a a a a a a a a a a −+−=−−=−+−−=−++−. 故答案为：2(23)(1)(3)a a a a −++−的10. 直线1:1l y x =−与x 轴交于点A ，将直线1l 绕点A 逆时针旋转15°，得到直线2l ，则直线2l 对应的函数表达式是______．【答案】y=【详解】直线【分析】先求得l 2的倾斜角，进而求得直线l 2对应的函数表达式.1:1l y x =−与x 轴交于点 1,0A ，直线1:1l y x =−的斜率为1，倾斜角为45°，所以2l 的倾斜角为60°所以直线2l对应的函数表达式是)1y x =−=.故答案为：y=−22411x ax a x x −−+−=−+的解为整数，则整数a =______．【分析】由分式方程有意义可知1x ≠且1x ≠−，再化简方程求解11. 若关于x 的分式方程【答案】±12x a=，由,a x 均为整数可求.【详解】则方程241x a x −−−1x ≠且1x ≠−. 方程可化为222211x a x ax x −−+−=+−+，即2211a a x x −+=−+，解得2x a=，由1x ≠且1x ≠−，所以2a ≠且2a ≠−.由a 为整数，且x 为整数，则当1a =−，2x =−，或当1a =，2x =时满足题意. 所以1a =±. 故答案为：1±.12. 如图，已知两条平行线1l ，2l ，点A 是1l 上的定点，2AB l ⊥于点B ，点C ，D 分别是1l ，2l 上的动点，且满足AC BD =，连接CD 交线段AB 于点E ，BH CD ⊥于点H ，则当BAH ∠最大时，sin BAH ∠的值为______．【答案】13【分析】因为BH CD ⊥于点H ，所以点 H 在以BE 为直径的圆上运动, 当 AH 与圆 O 相切时, BAH ∠ 最大，据此在OHA 求解即可. 【详解】12//,//,AC BD l l∴ 四边形 ACBD 是平行四边形 12AE BE AB ∴==A 为定点, 且 2//AB l AE ∴ 为定值,BH CD ⊥ 90BHE ∠∴=, 如图，取BE 的中点O ,则点 H 在以BE 为直径的圆上运动,此时 1123OE BE OA ==, 当 AH 与圆 O 相切时, BAH ∠ 最大1sin 3OH BAH OA ∠∴==故答案为：13.三、解答题：本题共4小题，共52分．应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13. 某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段.（1）初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制），对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析下面给出了部分信息.a .教师评委打分：86 88 90 91 91 91 91 92 92 98b .学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组8285x ≤<，第2组8588x ≤<，第3组8891x ≤<，第4组9194x ≤<，第5组9497x ≤<，第6组97100x ≤≤）；平均数中位数众数教师评委 91 91 m 学生评委90.8n93c .评委打分的平均数、中位数、众数如上：根据以上信息，回答下列问题：①m 的值为______，n 的值位于学生评委打分数据分组的第______组；②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为x ，则x ______91（填“>”“=”或“<”）；（2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：评1评委2评委3评委4评委5甲 93 90 92 93 92 乙9192929292丙 90 94 90 94 k则1(8890919191919292)90.758x =×+++++++=，91x ∴<.【小问2详解】甲选手的平均数为1(9390929392)925×+++=，乙选手的平均数为1(9192929292)91.85×++++=，因为丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，所以三位选手中排序最靠前的是甲，且丙的平均数大于或等于乙的平均数，因为5名专业评委给乙选手的打分为91,92,92,92,92，乙选手的方差2221[4(9291.8)(9191.8)]0.165S =××−+−=乙， 5名专业评委给丙选手的打分为90,94,90,94,k ，所以乙选手的方差小于丙选手的方差，所以丙选手的平均数大于乙选手的平均数，小于或等于甲选手的平均数，∴9390929392909490949192929292k ++++≥++++>++++，9291k ∴≥>， k 为整数，若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是______，表中k （k 为整数）的值为______.【答案】（1）①91；4；②<（2）甲；92【分析】（1）①根据众数以及中位数的定义解答即可；②根据算术平均数的定义求出8名教师评委打分的平均数，即可得出答案；（2）根据方差的定义和平均数的意义求解即可.【小问1详解】①由题意得，教师评委打分中91出现的次数最多，故众数m =91；45名学生评委打分数据的中位数是第23个数，故n 的值位于学生评委打分数据分组的第4组；②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为x ，k ∴的值为92.14. 根据以下素材，探索完成任务——如何设计摇椅的椅背和坐垫长度？素材一：某公司设计制作一款摇椅，图1为效果图，图2为其侧面设计图，其中FC 为椅背，EC 为坐垫，C ，D 为焊接点，且CD 与AB 平行，支架AC ，BD 所在直线交于圆弧形底座所在圆的圆心O ．设计方案中，要求A ，B 两点离地面高度均为5厘米，A ，B 两点之间距离为70厘米；素材二：经研究，53OCF ∠=°时，舒适感最佳．现用来制作椅背FC 和坐垫EC 的材料总长度为160厘米，设计时有以下要求：（1）椅背长度小于坐垫长度；（2）为安全起见，摇椅后摇至底座与地面相切于点A 时（如图3），F 点比E 点在竖直方向上至少高出12厘米．（sin530.8°≈，cos530.6°≈，tan53 1.3°≈）任务：（1）根据素材求底座半径OA ；（2）计算图3中点B 距离地面的高度；（3）①求椅背FC 的长度范围；（结果精确到0.1m ） ②设计一种符合要求的方案．【答案】（1）125厘米；（3）①64.580FC ≤<；②70cm ，90cm （答案不唯一）．【分析】（1）根据四边形AHNB 为矩形，35AG BG ==厘米，5AH GM ==厘米，设底座半径（2）19.6厘米OA r =厘米，则OM OA r ==厘米，由勾股定理求出r 即可得出答案；（2）由四边形ANBK 为矩形，进而得AK BN h ==，()125cm,125cm OK h OB =−=，然后在直角三角形中由勾股定理列出关于h 的方程，解方程求出h 即可得出答案；（3）①过F 作FP OA ⊥于P ，过点E 作EQ OA ⊥于Q ，先求出cos cos 0.28QCD OAB ∠=∠=，设椅背FC x =厘米，则坐垫(160)EC x =−，即可得0.60.28(160)12x x −−≥，由此解得64.5x ≥，据此可得椅背FC 的长度范围；②在①中椅背FC 的长度范围任取一个FC 的值，再计算出EC 的值即可，例如取70FC =厘米，则1607090EC =−=（厘米）；（答案不唯一，只要在FC 的长度范围内即可）．【小问1详解】过点A 作AH 垂直地面于H ，过点O 作OG AB ⊥于G ，OG 的延长线于地面交于点M ，如图所示：AB 平行于地面，∴四边形AHNB 为矩形，1352AG BG AB ===厘米， 5AH GM ==厘米，设底座半径OA r =厘米，则OM OA r ==厘米，(5)OG OM GM r ∴=−=−厘米，在Rt OAG ∆中，OA r =厘米，35AG =厘米，(5)OGr =−厘米，由勾股定理得：222OA OG AG =+，即：222(5)35r r =−+，解得：125r =，∴底座半径OA 的长度为125厘米；【小问2详解】过点B 作BN 垂直地面于N ，BK OA ⊥于K ，如图所示：设BN h =，底座与地面相切于点A ，OA ∴垂直地面于点A ，∴四边形ANBK 为矩形，AK BN h ∴==，由任务一可知：125cm,125OA OB OK OA AK h ==∴==--，在Rt ABK △中，cm,=70cm AK h AB =，由勾股定理得：2222270BK AB AK h =−=−，在Rt OBK 中，()125cm,125cm OK h OB =−=，由勾股定理得：22222125(125)BK OB OK h =−=−−，222270125(125)h h ∴−=−−，解得：19.6h =，∴点B 距离地面的高度为19.6厘米；【小问3详解】①过F 作FP OA ⊥于P ，过点E 作EQ OA ⊥于Q ，如图所示：//CD AB ，QCD OAB ∴∠=∠，由任务②可知：19.6AK h ==厘米，70AB =厘米，在Rt ABK △中，19.6cos 0.2870AK OAB AB ∠===， cos cos 0.28QCD OAB ∴∠=∠=，椅背FC 和坐垫EC 的材料总长度为160厘米， ∴设椅背FC x =厘米，则坐垫(160)EC x =−，椅背长度小于坐垫长度，160x x ∴<−，解得：80x <，在Rt CQE △中，cos 0.28CQQCD CE∠==， 0.280.28(160)CQ CE x ∴==−厘米，在Rt CFP △中，cos CPOCF CF∠=， cos cos530.6CP CF OCF x x ∴=⋅∠=⋅°≈（厘米）， F 点比E 点在竖直方向上至少高出12厘米，12AP AN ∴−≥，即：()12AC CP AC CQ +−+≥，12CP CQ ∴−≥，0.60.28(160)12x x ∴−−≥，解得：64.5x ≥，又80x < ，64.580x ∴≤≤，即：64.580FC ≤≤，∴椅背FC 的长度范围是：64.580FC ≤<；②由于64.580FC ≤<，故取70cm FC =，则1607090cm EC ==-．15. 定义：在平面直角坐标系中，直线x m =与某函数图象交点记为点P ，作该函数图象中点P 及点P 右侧部分关于直线x m =的轴对称图形，与原函数图象上的点P 及点P 右侧部分共同构成一个新函数的图象，称这个新函数为原函数关于直线x m =的“迭代函数”．例如：图1是函数1y x =+的图象，则它关于直线0x =的“迭代函数”的图象如图2所示，可以得出它的“迭代函数”的解析式为()()10,10.x x y x x +≥ =−+<（1）函数1y x =+关于直线1x =的“迭代函数”的解析式为______．（2）若函数243y x x =−++关于直线x m =的“迭代函数”图象经过()1,0−，则m =______．（3）已知正方形ABCD 的顶点分别为：(),A a a ，(),B a a −，(),C a a −−，(),D a a −，其中0a >．①若函数6y x=关于直线2x =−的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 的边有3个公共点，求a 的值； ②若6a =，函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，求n 的取值范围．【答案】（1）1,13,1x x y x x +≥ =−+<（2）m =m =，()5,1,12−∞−∪−.【分析】（1）取点()2,3M ，()3,4N ，求两点关于1x =的对称点，利用待定系数法求左侧图象的解析式，（3）①3；②由此可得结论；（2）判断点()1,0−与函数243y x x =−++的图象的关系，再求()1,0−关于直线x m =的对称点，由条件列方程求m 即可；（3）①求函数6y x=关于直线2x =−的“迭代函数”的解析式，作函数图象，观察图象确定a 的值； ②分别在0n >，0n =，0n <时求函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”解析式，讨论n ，由条件确定n 的范围.小问1详解】在函数1y x =+的图象上位于1x =右侧的部分上取点()2,3M ，()3,4N ，点()2,3M 关于直线1x =对称点为(0,3)，点()3,4N 关于直线1x =的对称点为()1,4−，设函数1y x =+，1x >的图象关于1x =对称的图象的解析式为,1y kx b x =+<，则34b k b = −+=，解得13k b =− = ，所以函数1y x =+关于直线1x =的“迭代函数”的解析式为1,13,1x x y x x +≥ =−+<；【的【小问2详解】取1x =−可得，2431432y x x =−++=−−+=−，故函数243y x x =−++的图象不过点()1,0−，又点()1,0−关于直线x m =的对称点为()21,0m +，由已知可得()()20214213m m =−++++，1m >−，所以m =或m =，【小问3详解】①当0x >或20x −≤<时，函数6y x =关于直线2x =−的“迭代函数”的图象的解析式为6y x =，当2x <−时，设点EE (xx ,yy )在函数6y x=关于直线2x =−的“迭代函数”的图象上，则点()4,x y −−在函数6y x=的图象上，所以64y x=−−，所以函数6y x =关于直线2x =−的“迭代函数”的解析式为[)()()6,2,00,6,,24x xy x x∞∞ ∈−∪+ =∈−− −− ，作函数6y x=关于直线2x =−的“迭代函数”的图象如下：观察图象可得3a =时，函数6y x=关于直线2x =−的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 的边有3个公共点，②若0n >，当x n ≥时，函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象的解析式为6y x=，当0x <或0x n <<时，设点EE (xx ,yy )在函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象上，则点()2,n x y −在函数6y x=的图象上，所以62y n x=−，所以函数6y x =关于直线x n =“迭代函数”的解析式为()()()6,,6,,00,2x n xy x n n x∞∞ ∈+ =∈−∪ − ，当6n >时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得，函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有2个公共点，的当6n =时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得，函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有2个公共点，当16n <<时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得，函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有2个公共点，当1n =时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得，函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有3个公共点，当01n <<时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得，函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，当0n =时，函数6y x =关于直线xx =0的“迭代函数”的解析式为6,06,0x xy x x> =−< ，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得，函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，若0n <，当0n x ≤<或0x >时，函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象的解析式为6y x=，当x n <时，设点EE (xx ,yy )在函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象上，则点()2,n x y −在函数6y x=的图象上，所以62y n x=−，所以函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的解析式为[)()()6,,00,6,,2x n xy x n n x∞∞ ∈∪+ = ∈− − ，当10n −<<时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得，函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，当1n =−时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得，函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有5个公共点，当512n−<<−时，作函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象可得，函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有6个公共点，当52n=−时，作函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象可得，函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有5个公共点，当7522n−<<−时，作函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象可得，函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有4个公共点，当72n=−时，作函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象可得，函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有4个公共点，当762n −<<−时，作函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得，函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，当6n =−时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得，函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，当6n <−时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得，函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，综上，n 的取值范围为()51,12∞−−∪−，. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.16. 已知抛物线2y x bx c =−++与x 轴交于点()1,0A −，()3,0B ．（1）如图1，抛物线与y 轴交于点C ，点P 为线段OC 上一点（不与端点重合），直线PA ，PB 分别交抛物线于点E ，D ，设PAD △面积为1S ，PBE △面积为2S ，求12S S 的值；（2）如图2，点K 是抛物线的对称轴与x 轴的交点，过点K 的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点M ，N ，过抛物线顶点G 作直线//l x 轴，点Q 是直线l 上一动点求QM QN +的最小值．【答案】（1）19（2）析式为y px p 【分析】（1）把点A (−1,0)，B (3,0)代入抛物线方程，解出抛物线的解析式，设P (0,p )，求出直线AP 解=+，联立方程223y px p y x x =+ =−++，可得2(3,4)E p p p −−+，同理可得234(,)393p p pD −−+，即可得1S ，2S ，化简可得结果；（2）作点N 关于直线l 的对称点N ′，连接MN ′，过M 点作MF NN ′⊥于F ，求出(1,0)K ，设直线MN解析式为y kx d =+，把点K 坐标代入即可知直线MN 的解析式y kx k =−，设2(,23)M m m m −++，2(,23)N n n n −++，求出2(,25)N n n n ′−+，可得QM QN QM QN MN ′′+=+≥，结合2(,23)F n m m −++，可得222421780MN MF N F k k =+=++′′，从而得到QM QN +的最小值. 【小问1详解】把点()1,0A −，()3,0B 代入抛物线方程2y x bx c =−++得：10930b c b c −−+= −++=，解得：23b c = =，所以抛物线方程为：223y x x =−++，设(0,)P p ，直线AP 解析式为11y k x b =+，把点()1,0A −，(0,)P p 代入得：1110k b b p −+= = ，所以线AP 解析式为y px p =+，联立223y px p y x x =+ =−++ ，解得：10x y =−=或234x p y p p =− =−+ ，所以2(3,4)E p p p −−+，设直线BP 解析式为22y k x b =+ 把点()3,0B ，(0,)P p 代入得：22230k b b p+= = ，直线BP 解析式为3py x p =−+ 联立2323p y x p y x x =−+ =−++ ，解得：30x y = = 或233493p x p p y − = =−+可得234(,)393p p p D −−+，所以221142()2(3)2939ABD ABP D P p p S S S AB y y p p p =−=⋅−=−+−=− ， ()2221()242(3)2ABE ABP E P S S S AB y y p p p p p =−=⋅−=−+−=− ，所以2122192(3)92(3)S p p S p p −=−= 【小问2详解】作点N 关于直线l 的对称点N ′，连接MN ′，过M 点作MF NN ′⊥于F ，如图：因为2223(1)4y x x x =−++=−−+，所以抛物线223y x x =−++的对称轴为1x =，所以(1,0)K ，设直线MN 解析式为y kx d =+，把点(1,0)K 代入得：=0k d +，所以=d k −，所以直线MN 的解析式为y kx k =− 设2(,23)M m m m −++，2(,23)N n n n −++，联立223y x x y kx k =−++ =−，可得2(2)30x k x k +−−−= 则2m n k +=−，3mn k =−−，因为N ，N ′关于直线l ：4y =对称，所以2(,25)N n n n ′−+，则QM QN QM QN MN ′′+=+≥，又2(,23)F n m m −++，所以222()2N F m n m n +−++′，FM m n =−，在Rt MFN ′ 中，2222222()2()2MN MF N F m n m n m n =+=−++−++ ′ ′，222()4()22()2m n mn m n mn m n =+−++−−++222(2)4(3)(2)2(3)2(2)2k k k k k =−−−−+−−−−−−+ 421780k k =++所以当0k =时，2MN ′最小为80，此时MN ′=所以QM QN +≥，即QM QN +的最小值为。

湖南省长沙市长郡双语实验中学2025届九年级数学第一学期开学考试试题【含答案】

湖南省长沙市长郡双语实验中学2025届九年级数学第一学期开学考试试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）周长为的正方形对角线的长是（）A ．B ．C ．D ．2、（4分）如图1，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝AC ＝m ，DE ＝DF ＝n ，∠BAC ＝∠EDF ，点D 与点A 重合，点E ，F 分别在AB ，AC 边上，将图1中的△DEF 沿射线AC 的方向平移，使点D 与点C 重合，得到图2，下列结论不正确的是()A ．△DEF 平移的距离是m B ．图2中，CB 平分∠ACE C ．△DEF 平移的距离是n D ．图2中，EF ∥BC 3、（4分）如图，A ，B ，C 三点在正方形网格线的交点处，若将ACB ∆绕点A 逆时针旋转得到AC B ''∆，则C '点的坐标为（）A ．51,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．81,3⎛⎫⎪⎝⎭C ．(1,1+D ．(1,3-4、（4分）某数学兴趣小组6名成员通过一次数学竞赛进行组内评比，他们的成绩分别是89，92，91，93，96，91，则关于这组数据说法正确的是（）A ．中位数是92.5B ．平均数是92C ．众数是96D ．方差是55、（4分）下列说法中正确的是（）A ．在△ABC 中，AB 2+BC 2＝AC 2B ．在Rt △ABC 中，AB 2+BC 2＝AC 2C ．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB 2+BC 2＝AC 2D ．AB 、BC 、AC 是△ABC 的三边，若AB 2+BC 2＝AC 2，则△ABC 是直角三角形6、（4分）若平行四边形的两个内角的度数之比为1：5，则其中较小的内角是（）A ．30B ．45C ．60D ．907、（4分）若一个多边形的内角和等于720°，则这个多边形的边数是（）A ．5B ．6C ．7D ．88、（4分）某组数据方差的计算公式是(22221281[(4)(4)4)8S x x x ⎤=-+-+⋯-⎦中，则该组数据的总和为()A ．32B ．8C ．4D ．2二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）已知一组数据3，5，9，10，x ，12的众数是9，则这组数据的平均数是___________．10、（4分）计算=_______.11、（4分）a 的取值范围是______．12、（4分）正十边形的外角和为__________．13、（4分）方程x 2＝x 的解是_____．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）倡导健康生活推进全民健身，某社区去年购进A ，B 两种健身器材若干件，经了解，B 种健身器材的单价是A 种健身器材的1．5倍，用7200元购买A 种健身器材比用5400元购买B 种健身器材多10件．（1）A ，B 两种健身器材的单价分别是多少元？（2）若今年两种健身器材的单价和去年保持不变，该社区计划再购进A ，B 两种健身器材共50件，且费用不超过21000元，请问：A 种健身器材至少要购买多少件？15、（8分）如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，AE ⊥BC ，AF ⊥DC ，垂足分别是E ，F ，并且BE=DF ，求证；四边形ABCD 是菱形．16、（8分）计算（1）分解因式：2232x y xy y -+；（2）解不等式组2(1)431212x x x x +-<⎧⎪⎨-≤+⎪⎩．17、（10分）在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系．销售量y（千克）…34.83229.628…售价x（元/千克）…22.62425.226…（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量．（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？18、（10分）武汉某文化旅游公司为了在军运会期间更好地宣传武汉，在工厂定制了一批具有浓郁的武汉特色的商品．为了了解市场情况，该公司向市场投放A ，B 型商品共250件进行试销，A 型商品成本价160元/件，B 商品成本价150元/件，其中A 型商品的件数不大于B 型的件数，且不小于80件，已知A 型商品的售价为240元／件，B 型商品的售价为220元／件，且全部售出．设投放A 型商品x 件，该公司销售这批商品的利润y 元．（1）直接写出y 与x 之间的函数关系式：_______；（2）为了使这批商品的利润最大，该公司应该向市场投放多少件A 型商品？最大利润是多少？（3）该公司决定在试销活动中每售出一件A 型商品，就从一件A 型商品的利润中捐献慈善资金a 元，当该公司售完这250件商品并捐献资金后获得的最大收益为18000元时，求a 的值．B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）因式分解：224x x -=_________．20、（4分）设a 是π可以用π表示为______.21、（4分）已知关于x 的一元二次方程(2)0mx x x ++=有两个相等的实数根，则m 的值是__________．22、（4分）已知点P （-1，m ）,Q （-2，n ）都在反比例函数2y x =-的图像上，则m____n （填“>”或“<”或“=”）．23、（4分）在湖的两侧有A，B 两个消防栓，为测定它们之间的距离，小明在岸上任选一点C，并量取了AC 中点D 和BC 中点E 之间的距离为16米，则A，B 之间的距离应为_________米．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）已知：如图，在四边形ABCD 中AB CD =，过A 作AE BD ⊥交BD 于点E ，过C 作CF BD ⊥交BD 于F ，且AE CF =.求证：四边形ABCD 是平行四边形.25、（10分）已知关于x 的方程x 2－（m ＋2）x ＋（2m －1）=1．（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．26、（12分）定义：如果一条直线与一条曲线有且只有一个交点，且曲线位于直线的同旁，称之为直线与曲线相切，这条直线叫做曲线的切线，直线与曲线的唯一交点叫做切点．（1）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，以点3(0,)A -为圆心，5为半径作圆A ，交x 轴的负半轴于点B ，求过点B 的圆A 的切线的解析式；（2）若抛物线2y ax =（0a ≠）与直线y kx b =+（0k ≠）相切于点()2,2，求直线的解析式；（3）若函数()21124y x n k x m k =+--++-的图象与直线y x =-相切，且当12n -≤≤时，m 的最小值为k ，求k 的值．一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、D【解析】先根据正方形的性质得到正方形的边长为1cm，然后根据勾股定理得到正方形对角线的长．【详解】解：∵正方形的周长为4cm，∴正方形的边长为1cm，∴正方形的对角线的长为=cm．故选：D．本题考查了正方形的性质和勾股定理，根据正方形的四条边相等得出直角三角形的两直角边长是解决此题的关键．2、C【解析】根据平移的性质即可得到结论．【详解】∵AD=AC=m，∴△DEF平移的距离是m，故A正确，C错误，∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC，∵DE∥AB，∴∠EDB=∠ABC，∴∠ACB=∠ECB，∴CB平分∠ACE，故B正确；由平移的性质得到EF∥BC，故D正确．故选C．本题考查了平移的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练正确平移的性质是解题的关键．3、C 【解析】根据旋转的性质可得AC=AC′，求出AC 的长，得到C′的纵坐标，再根据点A 的横坐标可得结果.【详解】解：如图，=由于旋转，∴，∵A （1，1），∴C′（1+1），故选C.本题考查了旋转的性质，解题的关键是根据旋转的性质得到AC=AC′.4、B 【解析】试题解析：这组数据按照从小到大的顺序排列为：89，91，91，92，93，96，则中位数为：91+92=91.52，故A 错误；平均数为：89+91+91+92+93+96=926，故B 正确；众数为：91，故C 错误；方差S 2=2222221[(8992)(9192)(9192)(9292)(9392)(9692)]6-+-+-+-+-+-=143，故D 错误．故选A ．5、D【解析】根据勾股定理即可解答【详解】A 、在△ABC 中，不一定能够得到AB 2+BC 2＝AC 2，故选项错误；B 、在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB 2+BC 2＝AC 2，故选项错误；C 、在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB 2+BC 2＝AC 2，故选项错误；D 、AB 、BC 、AC 是△ABC 的三边，若AB 2+BC 2＝AC 2，则△ABC 是直角三角形，故选项正确．故选：D ．此题考查勾股定理，解题关键在于掌握勾股定理的内容6、A 【解析】根据平行四边形的性质即可求解.【详解】设较小的角为x ，则另一个角为5x ，∵平行四边形的对角互补，∴x+5x=180°，解得x=30°，故选A 此题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是熟知平行四边形的对角互补.7、B 【解析】试题分析：根据内角和定理180°×（n-2）即可求得．解：180°×（n-2）=720°，解得n=1．考点：多边形的内角和定理．8、A 【解析】样本方差(2222121[()()n S x x x x x x n ⎤=-+-+⋯+-⎦，其中n 是这个样本的容量，x 是样本的平均数.利用此公式直接求解．【详解】由(22221281[(4)(4)4)8S x x x ⎤=-+-+⋯-⎦知共有8个数据，这8个数据的平均数为4，则该组数据的综合为4832⨯=，故选：A ．本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的计算公式及公式中的字母所表示的意义．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、1．【解析】试题分析：：∵数据3，5，9，10，x ，12的众数是9，∴x=9，∴这组数据的平均数是（3+5+9+10+9+12）÷6=1．故答案是1．考点：1.算术平均数2.众数．10、【解析】利用二次根式的减法法则计算即可.【详解】解：原式=-=故答案为：本题考查二次根式的减法运算，熟练掌握二次根式的减法运算法则是解题关键.11、52a ≥-.【解析】a ≥0.【详解】解：由题意得2a +5≥0，解得：52a ≥-.故答案为52a ≥-.本题考查了二次根式的意义和性质，对于二次根式而言，关键是要注意两个非负性：一是a ≥0≥0；在各地试卷中是高频考点.12、360°【解析】根据多边形的外角和是360°即可求出答案．【详解】∵任意多边形的外角和都是360°，∴正十边形的外交和是360°，故答案为：360°．此题考查多边形的外角和定理，熟记定理是解题的关键．13、x1＝0，x2＝1【解析】利用因式分解法解该一元二次方程即可.【详解】解：x2＝x，移项得：x2﹣x＝0，分解因式得：x（x﹣1）＝0，可得x＝0或x﹣1＝0，解得：x1＝0，x2＝1．故答案为：x1＝0，x2＝1本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解题的关键.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）A，B单价分别是360元，540元；（2）34件．【解析】（1）设A种型号健身器材的单价为x元/套，B种型号健身器材的单价为1．5x元/套，根据“B种健身器材的单价是A种健身器材的1．5倍，用7200元购买A种健身器材比用5400元购买B种健身器材多10件”，即可得出关于x，y的分式方程，解之即可得出结论；（2）设购买A种型号健身器材m套，则购买B种型号的健身器材(50﹣m)套，根据总价＝单价×数量结合这次购买两种健身器材的总费用不超过21000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．【详解】解：（1）设A种型号健身器材的单价为x元/套，B种型号健身器材的单价为1．5x元/套，根据题意，可得：72005400101.5x x-=，解得：x＝360，经检验x＝360是原方程的根，1.5×360＝540(元)，因此，A，B两种健身器材的单价分别是360元，540元；（2）设购买A种型号健身器材m套，则购买B种型号的健身器材(50﹣m)套，根据题意，可得：360m+540(50﹣m)≤21000，解得：m≥1 33 3，因此，A种型号健身器材至少购买34套．本题考查的知识点是分式方程以及一元一次不等式的实际应用，读懂题意，找出题目中的等量关系式是解此题的关键．15、见解析【解析】平行四边形的对角相等，得∠B=∠D，结合AE⊥BC，AF⊥DC和BE=DF，由角边角定理证明△ABE全等△ADF，再由全等三角形对应边相等得DA=AB，最后根据邻边相等的平行四边形是菱形判定四边形ABCD是菱形.【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，∵AE⊥BC，AF⊥DC∴∠AEB=∠AFD=90°又∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF(AAS)∴DA=AB，∴平行四边形ABCD是菱形此题主要考查菱形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质及菱形的判定定理.16、（1）y（x−y）1；（1）−3≤x＜1．【解析】（1）直接提取公因式y，再利用公式法分解因式得出答案；（1）分别解不等式进而得出不等式组的解集．【详解】解：（1）x1y−1xy1＋y3＝y（x1−1xy＋y1）＝y （x−y ）1；（1）2(1)431212x x x x +-<⎧⎪⎨-≤+⎪⎩①②，解①得：x ＜1，解②得：x≥−3，故不等式组的解集为：−3≤x ＜1．此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式、不等式组的解法，正确掌握解题方法是解题关键．17、（1）当天该水果的销售量为2千克；（2）如果某天销售这种水果获利150元，该天水果的售价为3元．【解析】（1）根据表格内的数据，利用待定系数法可求出y 与x 之间的函数关系式，再代入x=23.5即可求出结论；（2）根据总利润每千克利润销售数量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】（1）设y 与x 之间的函数关系式为y=kx+b ，将（22.6，34.8）、（24，32）代入y=kx+b ，22.634.82432k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：280k b =-⎧⎨=⎩，∴y 与x 之间的函数关系式为y=﹣2x+1．当x=23.5时，y=﹣2x+1=2．答：当天该水果的销售量为2千克．（2）根据题意得：（x ﹣20）（﹣2x+1）=150，解得：x 1=35，x 2=3．∵20≤x ≤32，∴x=3．答：如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为3元．本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据表格内的数据，利用待定系数法求出一次函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．18、（1）()101750080125y x x =+≤≤；（2）应投放125件A ，最大利润为18750元；（3）满足条件时a 的值为6【解析】（1）根据利润=（售价-成本）⨯数量即可求出y 与x 之间的函数关系式.（2）y 与x 之间是一次函数关系式，根据一次函数的性质可知当x=125时y 有最大值；（3）捐献资金后获得的收益为1017500y x ax =+-()1017500a x =-+；当100a ->时125x =时y 有最大值18000，即可求出a 值.【详解】（1）()101750080125y x x =+≤≤（2）由题意可知80250x x -≤≤，即80125x ≤≤由一次函数的性质可知．x 越大，y 越大当125x =时12501750018750y =+=∴应投放125件A ，最大利润为18750元．（3）一共捐出ax 元∴1017500y x ax =+-()1017500a x =-+∴当100a -<时()1017500y a x =-+最大值小于18000当100a ->时125x =时y 有最大值．即()12510500a -=∴6a =即满足条件时a 的值为6.本题考查一次函数的应用知识，解题的关键是理解题意，学会构建一次函数解决问题．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、2(2)x x -【解析】直接提取公因式即可．【详解】2242(2)x x x x -=-．故答案为：2(2)x x -．本题考查了因式分解——提取公因式法，掌握知识点是解题关键．20、1π+【解析】根据题意用π表示出a ，代入原式化简计算即可得到结果．【详解】解：根据题意得：a=3π-，则原式==1π+，故答案为：1π+.此题考查了估算无理数的大小，根据题意表示出a 是解本题的关键．21、12-【解析】根据方程有两个相等的实数根，可得b 2-4ac=0，方程化为一般形式后代入求解即可.【详解】原方程化为一般形式为：mx 2+(2m+1)x=0，∵方程有两个相等的实数根∴（2m+1）2-4m×0=012m =-本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根的判别式，本题属于基础题型．22、＞【解析】根据反比例函数的图像特点即可求解.【详解】∵点P （-1，m ）,Q （-2，n ）都在反比例函数2y x =-的图像上，又-1＞-2，反比例函数在x ＜0时，y 随x 的增大而增大，∴m ＞n 此题主要考查反比例函数的图像，解题的关键是熟知反比例函数的图像特点.23、32【解析】分析：可得DE 是△ABC 的中位线,然后根据三角形的中位线定理,可得DE∥AB,且AB=2DE,再根据DE 的长度为16米,即可求出A、B 两地之间的距离.详解：∵D、E 分别是CA,CB 的中点,∴DE 是△ABC 的中位线,∴DE∥AB,且AB=2DE,∵DE=16米,∴AB=32米.故答案是:32.点睛：本题考查了三角形的中位线定理的应用，解答本题的关键是：明确三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、证明见解析.【解析】根据HL 证明Rt ABE Rt CDF ∆∆≌，从而得到ABE CDF ∠=∠，再根据平等线的判断得到AB CD ∕∕，从而得到结论.【详解】∵AE BD ⊥，CF BD ⊥，∴90AEB CFD ∠=∠=︒，在Rt ABE ∆和Rt CDF ∆中，AB CD AE CF =⎧⎨=⎩∴()Rt ABE Rt CDF HL ∆∆≌∴ABE CDF ∠=∠，∴AB CD ∕∕，∵AB CD =，∴四边形ABCD 是平行四边形．考查了平行四边形的判断，解题关键是证明Rt ABE Rt CDF ∆∆≌得到ABE CDF ∠=∠，从而证明AB CD ∕∕.25、（1）见详解；（2）4＋或4＋【解析】（1）根据关于x 的方程x 2－（m ＋2）x ＋（2m －1）=1的根的判别式的符号来证明结论.（2）根据一元二次方程的解的定义求得m 值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根.分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是2、3时，②当该直角三角形的直角边和斜边分别是2、3时，由勾股定理求出得该直角三角形的另一边，再根据三角形的周长公式进行计算.【详解】解：（1）证明：∵△=（m ＋2）2－4（2m －1）=（m －2）2＋4，∴在实数范围内，m 无论取何值，（m －2）2+4≥4＞1，即△＞1.∴关于x 的方程x 2－（m ＋2）x ＋（2m －1）=1恒有两个不相等的实数根.（2）∵此方程的一个根是1，∴12－1×（m ＋2）＋（2m －1）=1，解得，m=2，则方程的另一根为：m ＋2－1=2+1=3.①当该直角三角形的两直角边是1、3，该直角三角形的周长为1＋3=4.②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为1＋3＋=4＋.26、（1）41633y x =+；（2）22y x =-；（3）1或3【解析】（1）连接AB ，由3OA =、5AB =可求4OB =，即(4,0)B -．因为AB ⊥过点B 的A 切线，故有90ABE AOB ∠=∠=︒，再加公共角OAB ∠，可证OAB BAE ∆∆∽，由对应边成比例可求AE 的长，进而得点E 坐标，即可求直线BE 解析式．（2）分别把点(2,2)代入抛物线和直线解析式，求得抛物线解析式为212y x =，直线解析式可消去b 得22y kx k =+-．由于直线与抛物线相切（只有一个交点），故联立解析式得到关于x 的方程有两个相等的实数根，即△0=，即求得k 的值．（3）因为二次函数图象与直线相切，所以把二次函数和直线解析式联立，得到关于x 的方程有两个相等是实数根，即△0=，整理得式子2()2m n k k =--+，可看作m 关于n 的二次函数，对应抛物线开口向上，对称轴为直线x k =．分类讨论对称轴在12n - 左侧、中间、右侧三种情况，画出图形得：①当对称轴在1-左侧即1k <-时，由图象可知12n - 时m 随n 的增大而增大，所以1n =-时m 取得最小值，把1n =-、m k =代入得到关于k 的方程，方程无解；②当对称轴在12n - 范围内时，n k =时即取得最小值k ，得方程2k k -+=，解得：1k =；③当对称轴在2的右侧即2k >时，由图象可知12n - 时m 随n 的增大而减小，所以2n =时m 取得最小值，把2n =、m k =代入即求得k 的值．【详解】解：（1）如图1，连接AB ，记过点B 的A 切线交y 轴于点E 5AB ∴=，90ABE ∠=︒(0,3)A -，90AOB ∠=︒3OA ∴=4OB ∴===(4,0)B ∴-OAB BAE ∠=∠，90AOB ABE ∠=∠=︒OAB BAE∴∆∆∽∴AB OA AE BA =253AB BA AE OA ∴==2516333OE AE OA ∴=-=-=16(0,)3E ∴设直线BE 解析式为：163y kx =+16403k ∴-+=，解得：43k =∴过点B 的A 的切线的解析式为41633y x =+;（2）抛物线2y ax =经过点(2,2)42a ∴=，解得：12a =∴抛物线解析式：212y x =直线y kx b =+经过点(2,2)22k b ∴+=，可得：22b k =-∴直线解析式为：22y kx k =+-直线与抛物线相切∴关于x 的方程21222x kx k =+-有两个相等的实数根方程整理得：22440x kx k -+-=∴△2(2)4(44)0k k =---=解得：122k k ==∴直线解析式为22y x =-；（3）函数21(1)24y x n k x m k =+--++-的图象与直线y x =-相切∴关于x 的方程21(1)24x n k x m k x +--++-=-有两个相等的实数根方程整理得：21()204x n k x m k +-++-=∴△21()4(2)04n k m k =--⨯+-=整理得：2()2m n k k =--+，可看作m 关于n 的二次函数，对应抛物线开口向上，对称轴为直线x k =当12n - 时，m 的最小值为k ①如图2，当1k <-时，在12n - 时m 随n 的增大而增大1n ∴=-时，m 取得最小值k 2(1)2k k k ∴---+=，方程无解；②如图3，当12k - 时，n k =时，m 取得最小值k 2k k ∴-+=，解得：1k =；③如图4，当2k >时，在12n - 时m 随n 的增大而减小2n ∴=时，m 取得最小值k 2(2)2k k k ∴--+=，解得：13k =+，23k =-（舍去）综上所述，k的值为1或3 ．本题考查了圆的切线的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的解法及根与系数的关系，二次函数的图象与性质．第（3）题的解题关键是根据相切列得方程并得到含m、n的等式，转化为m关于n的二次函数，再根据画图讨论抛物线对称轴情况进行解题．。

长郡中学初一新生(小升初)招生考试数学卷2

长郡中学初一新生 (小升初) 招生考试数学卷2长郡中学是中国湖南省长沙市的一所著名的中学，其小升初考试是该地区各小学生都渴望进入的目标。

本文将着重介绍该校招生考试数学卷2部分的相关信息，希望对即将参加该考试的小升初学生有所帮助。

考试时间长郡中学初一新生招生考试通常在每年的五月份举行。

具体的考试时间请以官方通知为准。

考试内容长郡中学初一新生招生考试数学卷2共分为两部分，本文仅介绍第二部分的考试内容：第二部分：数学数学部分共分为两个部分，要求考生在规定时间内完成。

第一部分：选择题选择题部分共有20题，每题2分，共40分。

考生需要根据题目要求，在ABCD四个选项中选择一个正确答案。

第二部分：填空题填空题部分共有10道填空题，每空2分，共20分。

考生需要根据题目要求，在空中填上正确的数字或符号等。

考试难度长郡中学初一新生招生考试的数学部分难度相对较高。

其中选择题以基础知识和思维能力为主，考查了各年级数学的基础知识和思维能力。

填空题部分则更加注重考生的思维能力和解题能力，需要考生有一定的观察力和分析能力。

做题技巧为了能够在考试中取得好成绩，考生需要有一定的做题技巧。

选择题对于选择题部分，建议考生注意以下几点：1.仔细阅读题目，确定题目意思和要求。

2.将四个选项都看一遍，排除明显不正确的答案。

3.根据自己的数学知识和思维能力，确定最有可能的答案。

4.多做题，多练习，提高自己的做题速度和准确率。

填空题对于填空题部分，建议考生注意以下几点：1.仔细阅读题目，确定题目意思和要求。

2.将已知条件列出来，理清思路。

3.列方程的时候，注意符号的使用和运算符的优先级。

4.在填写答案之前，再次确认计算过程和答案是否正确。

5.多做题，多练习，熟练掌握各种解题方法和技巧。

本文介绍了长郡中学初一新生招生考试数学卷2的相关信息，包括考试时间、考试内容、考试难度及做题技巧等。

相信通过本文的介绍，考生们能够更加全面地了解该考试，并在考试中取得好的成绩。

长沙市长郡中学中考招生考试数学卷

长郡中学高新入学试卷（一）一、选择题（每题6分，共36分）1、若代数式()()211x xx-+-的值为零，则x的取值范围应为（）A X=2或X= 1B X=C X=D X=22、如图1：三角行ABC中，ABC∠、∠ACB的平分线交与p点，∠BPC=134°，则∠BAC=( )度A 68B 80C 88D 463、世界杯足球赛小组赛规定，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分，小组赛完后，总积分最高的2个队出线进入下轮比赛，如果总积分相同，还有按净胜球数排序，一个队要保证出线，这个队至少要积（）分A 8B 7C 6D 54、若正数a、b满足ab=a+b+3，则a2+b2的最小值为（）A -7B 2C 9D 185、直线12Y X K=+与x轴的交点分别为A、B，如果s AOB1，那么k的取值范围是（）A B 0<K C K D K或k6、如图，四边形ABCD内接与圆o，AB为直径，AB=4，AD=DC=1，则弦BC=( )A 3.5B D二、填空题（每题5分，共30分）7、如图，已知三角形ABC 中AB=AC,D 是BC 上一点，且AD=DB,DC=CA,则∠BAC=________8、已知关于x 的方程232x m x x -=--有一个正整数解的正整数m 的可能取值共有（）个9、一元钱的硬币的直径约为24mm ，则它完全覆盖住的正三角形的边长最大不能超过（）mm （保留根号）10、已知：x+y=2, 2y 2—y —4=0 ,则 x y y-的值=____________ 11、已知：a=12m+1 , b=12m+2 , c=12m+3 ,则a 2+2ab+b 2—2ac+c 2—2bc 的值=________ 12、如图：四边形ABCD 中，AB=3，BC=4，∠B=∠C=120°，CD=5，则四边形ABCD 的面积为___________三、解答题（本大题共3题，13、14题11分，15题12分，共34分）13、甲、乙、丙三人各有邮票若干枚，要求互相赠送，先由甲送给乙、丙，所给的枚数等于乙，丙原来各有的邮票数；然后根据同样的游戏规则再由乙送给乙、丙现有的邮票数，最后由丙送给甲、乙现有的邮票数。

长郡中学理科实验班招生考试数学试卷

长郡中学理科实验班招生考试数学试卷满分：100 时量：70min一、选择题（本题有8小题，每小题4分，共32分） 1．函数y ＝1x -图象的大致形状是（）A B C D2．小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆(阴影)区域的概率为（）A 、21B 、π63C 、π93D 、π33 3．满足不等式3002005<n的最大整数n 等于（）（A ）8 （B ）9 （C ）10 （D ）11 4．甲、乙两车分别从A ，B 两车站同时开出相向而行，相遇后甲驶1小时到达B 站，乙再驶4小时到达A 站. 那么，甲车速是乙车速的（A ）4倍（B ）3倍（C ）2倍（D ）1.5倍 5．图中的矩形被分成四部分，其中三部分面积分别为2，3，4，那么，阴影三角形的面积为（）（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）86．如图，AB ，CD 分别是⊙O 的直径和弦，AD ，BC 相交于点E ，∠AEC=α，则△CDE 与△ABE 的面积比为（）（A ）cos α （B ）sin α （C ）cos 2α （D ）sin 2α7．两杯等量的液体，一杯是咖啡，一杯是奶油. 舀一勺奶油到咖啡杯里，搅匀后舀一勺混合液注入到奶油杯里. 这时，设咖啡杯里的奶油量为a ，奶油杯里的咖啡量为b ，那么a 和 b 的大小为（）（A ）b a > （B ）b a < （C ）b a = （D ）与勺子大小有关8．设A ，B ，C 是三角形的三个内角，满足B C B A 23,53<>，这个三角形是（）（A ）锐角三角形（B ）钝角三角形（C ）直角三角形（D ）都有可能二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）9．用数字1，2，3，4，5，6，7，8不重复地填写在下面连等式的方框中，使这个连等式成立：1＋□＋□=9＋□＋□=8＋□＋□=6＋□＋□10．如图，正三角形与正六边形的边长分别为2和1，正六边形的顶点O 是正三角形的中心，则四边形OABC 的面积等于 ______ . 11．计算：622633++++= ________ .yxOy xOy xOyxO……………..………….密………………..…………….封……………………………..线…………………….12．五支篮球队举行单循坏赛（就是每两队必须比赛1场，并且只比赛一场），当赛程进行到某天时，A 队已赛了4场，B 队已赛了3场，C 队已赛了2场，D 队已赛了1场，那么到这天为止一共已经赛了 __ 场，E 队比赛了 ___ 场.13．已知∠AOB=30°,C 是射线OB 上的一点，且OC=4，若以C 为圆心，半径为r 的圆与射线OA 有两个不同的交点，则r 的取值范围是_____________ 14．如图，△ABC 为等腰直角三角形，若AD=31AC ，CE=31BC ，则∠1 __ ∠2 （填“>”、“<”或“=”）三．解答题（共38分） 15. （１２分）今年长沙市筹备60周年国庆，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A B ，两种园艺造型共50个摆放在五一大道两侧，已知搭配一个A 种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B 种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．（2）若搭配一个A 种造型的成本是800元，搭配一个B 种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？１６．（１２分）如图，ABC △是O 的内接三角形，AC BC =，D 为O 中AB 上一点，延长DA 至点E ，使CE CD =．（1）求证：AE BD =；（2）若AC BC ⊥，求证：2AD BD CD +=．（第14题）ＥＡＯＢ１７．（１４分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．点P从点B出发沿折线段BA-AD-DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q向上作射线QK⊥BC，交折线段CD-DA-AB于点E．点P、Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当点P到达终点C时，求t的值，并指出此时BQ的长；（2）当点P运动到AD上时，t为何值能使PQ∥DC ？（3）设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S，分别求出点E运动到CD、DA上时，S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（4）△PQE能否成为直角三角形？若能，写出t的取值范围；若不能，请说明理由．参考答案选择题 D C D C C C C B 9． 110．33 11． 26 12． 6场，2场 13．2r <≤ 14．＝1５．（１）解：设搭配A 种造型x 个，则B 种造型为(50)x -个，依题意，得：8050(50)34904090(50)2950x x x x +-⎧⎨+-⎩≤≤ ，解这个不等式组，得：3331x x ⎧⎨⎩≤≥，3133x ∴≤≤ x 是整数，x ∴可取313233，，，∴可设计三种搭配方案： ①A 种园艺造型31个 B 种园艺造型19个 ②A 种园艺造型32个 B 种园艺造型18个 ③A 种园艺造型33个 B 种园艺造型17个．（2）应选择方案③，成本最低，最低成本为42720元１６．证明：（1）在ABC △中，CAB CBA ∠=∠．在ECD △中，CAB CBA ∠=∠．CBA CDE ∠=∠，（同弧上的圆周角相等），ACB ECD ∴∠=∠． ACB ACD ECD ADE ∴∠-∠=∠-∠．ACE BCD∴∠=∠．在ACE △和BCD △中，ACE BCD CE CD AC BC ∠=∠==；； ACE BCD ∴△≌△．AE BD ∴=．（2）若AC BC ACB ECD ∠=∠⊥，．9045ECD CED CDE ∴∠=∴∠=∠=，． DE ∴=，又AD BD AD EA ED +=+=AD BD ∴+=１７．解：（1）t =（50＋75＋50）÷5=35（秒）时，点P 到达终点C ．此时，QC=35×3=105，∴BQ 的长为135－105=30．（2）如图8，若PQ ∥DC ，又AD∥BC ，则四边形PQCD 为平行四边形，从而PD=QC ，由QC=3t ，BA+AP=5t 得50＋75－5t=3t，解得t=1258．经检验，当t=1258时，有PQ ∥DC ．（3）①当点E 在CD 上运动时，如图9．分别过点A 、D 作AF ⊥BC 于点F ，DH ⊥BC 于点H ，则四边形 ADHF 为矩形，且△ABF ≌△DCH ，从而FH= AD=75，于是BF=CH=30．∴DH=AF=40．Q CDH=4t．又QC=3t，从而QE=QC·tanC=3t·CH（注：用相似三角形求解亦可）QE·QC=6t2；∴S=S⊿QCE =12②当点E在DA上运动时，如图8．过点D作DH⊥BC于点H，由①知DH=40，CH=30，又QC=3t，从而ED=QH=QC－CH=3t－30．(ED＋QC)DH =120 t－600．∴S= S梯形QCDE =12（4）△PQE能成为直角三角形．。

2024-2-长郡中学高二入学考试数学试卷

A ．AC BE ⊥B ．//EF 平面ABCDC ．AEF △的面积与BEF △D ．三棱锥E ABF -的体积为定值三、填空题（本题共413．数列{}n a 中，若11a =14．在622(1)x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，15．已知函数()2ln f x x =16．给图中A ，B ，C ，D ，域不同色．若有5种颜色可供选择，则共有19．某高校的大一学生在军训结束前，需要进行各项过关测试，其中射击过关测试规定：每位测试的大学生最多有两次射击机会，第一次射击击中靶标，立即停止射击，射击测试过关，得5分；第一次未击中靶标，继续进行第二次射击，若击中靶标，立即停止射击，射击测试过关，得4分；若未击中靶标，射击测试未能过关，得2分.现有一个班组的12位大学生进行射击过关测试，假设每位大学生两次射击击中靶标的概率分别为m ，0.5，每位大学生射击测试过关的概率为p .(1)设该班组中恰有9人通过射击过关测试的概率为()f p ，求()f p 取最大值时p 和m 的值；(2)在（1）的结果下，求该班组通过射击过关测试所得总分的平均数.(1)若E为棱SB的中点，求证：PE(2)在棱SA上是否存在点M，使得平面存在，指出点M的位置并给以证明；若不存在，请说明理由(1)求C的方程；T t作两条互相垂直的直线分别与双曲线相交于点(2)如图．过双曲线左支内一点(),0点C，D．当直线AB，CD均不平行于坐标轴时，直线两点，证明：P，Q两点关于x轴对称．22．已知函数()()ln 2f x a x x =+-.（1）当1a =时，求()f x 的最大值；（2）设点()()11,A x f x 和()()22,B x f x 是曲线()y f x =上不同的两点，且()()12f x f x =，若12ak x x <+恒成立，求实数k 的取值范围.。

2024-2025学年湖南省长沙市-长郡外国语学校九年级上学期入学考试数学试题

2024-2025学年湖南省长沙市-长郡外国语学校九年级上学期入学考试数学试题 1.化简的结果是（）A ．B ．C ．D ．2.二次函数图象的顶点坐标是（）A ．B ．C ．D ．3.下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是直角三角形的是（）A ．a ＝1.5，b ＝2，c ＝3B ．a ＝7，b ＝24，c ＝25C ．a ＝6，b ＝8，c ＝10D ．a ＝3，b ＝4，c ＝54.一次函数y ＝﹣3x +5的图象不经过的象限是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5.要使式子有意义，则的取值范围是（）．A ．x >0B ．C ．D ．6.如图，为测量位于一水塘旁的两点间的距离，在地面上确定点，分别取的中点，量得，则之间的距离是（）A ．B ．C ．D ．7.一组数据:5、4、3、4、6、8，这组数据的中位数、众数分别是（）A ．4.5，4B ．3.5，4C ．4，4D ．5，48.如图，在平面直角坐标系中、四边形OABC 为菱形，O 为原点，A 点坐标为（8，0），∠AOC ＝60°，则对角线交点E 的坐标为（）A ．（4，2）B ．（2，4）C ．（2，6）D ．（6，2）9.如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于x的不等式的解集是（）A．B．C．D．10.如图，为等边三角形，点从点出发沿路径匀速运动到点，到达点时停止运动，过点作于点.若的面积为，的长为，则下列能反映与之间的大致图象是（）A．B．C．D．11.若，则______________．12.如图，在平行四边形中，，的平分线交于点E，交的延长线于点F，则_____cm．13.二次函数y=2x2-4x+5,当﹣3≤x≤4时，y的最大值是___________，最小值是___________.14.如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为__________．15.设a，b是方程的两个实数根，则的值为______．16.如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F 两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为_________．17.解方程：(1)(2)18.近日遵义某中学为更好地落实“双减”政策，提高课后服务质量，对部分家长进行关于对学校课后服务质量满意度的问卷调查，在此次调查中对问卷选项做了数据分析，其中A 为非常满意、B为比较满意、C为一般、D为不太满意．并绘制了如下的两幅不完整的统计图，请根据图中的相关信息解决下列问题：“课后服务满意度调查”条形统计图“课后服务满意度调查”扇形统计图(1)参与这次调查的学生家长共计______人，扇形统计图中C所对应扇形的圆心角的度数是______．(2)将图中的统计图补充完整．(3)若该校学生共有900名，请估计对课后服务比较满意和非常满意的家长共多少人？19.如图，在平行四边形中，，M、N分别是和的中点．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，求平行四边形的面积．20.已知关于的一元二次方程有实数根．（1）求的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值．21.已知抛物线（为常数）与轴交于两点，且线段的长为．(1)求的值：(2)若该抛物线的顶点为，求的面积．22.某商场将进价为25元的台灯以40元出售，1月份销售256个，2、3月份销售量持续走高，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到400个．(1)求2、3这两个月销售量的月平均增长率；(2)该商场决定从4月份进行降价促销，经调查发现，台灯价格在3月份的基础上，每个降价1元，销售量可增加4个，若商场要想使4月份销售这种台灯获利4200元，则台灯售价应定为多少元？23.我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横，纵坐标相等的点称为“朴实点”，横，纵坐标互为相反数的点称为“沉毅点”，把函数图象至少经过一个“朴实点”和一个“沉毅点”的函数称为“朴实沉毅函数”．(1)函数是一个“朴实沉毅函数”，求出该函数图象上的“朴实点”和“沉毅点”：(2)已知二次函数图象可以由二次函数平移得到，二次函数的顶点就是一个“朴实点”，并且该函数图象还经过一个“沉毅点”，求该二次函数的解析式：(3)已知二次函数（为常数，）图象的顶点为，与轴交于点，经过点的直线上存在无数个“朴实点”，当，函数有最小值，求的值．24.如图，，三角形的顶点、顶点分别在直线、直线上，点在直线与直线之间，平分．(1)如图（1），已知平分，，则______；(2)如图（2），已知点为延长线上一点，且，求的度数；(3)在（2）问的条件下，将绕点顺时针以每秒的速度旋转得到，当落在射线上时停止旋转，直接写出旋转过程中与的边平行时的值．。