高二数学数列专题练习题(含答案)
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高中数学《数列》专题练习1.与的关系:,已知求,应分时;n S n a 11(1)(1)n n n S n a S S n -=⎧⎪=⎨->⎪⎩n S n a 1=n 1a =1S 时,=两步,最后考虑是否满足后面的.2≥n n a 1--n n S S 1a n a 2.等差等比数列等差数列等比数列定义()1n n a a d--=2n ≥*1()n na q n N a +=∈通项,dn a a n )1(1-+=(),()n m a a n m d n m =+->mn m n n n q a a q a a --==,11中项如果成等差数列,那么叫做与,,a A b A a 的等差中项.。
b 2a b A +=等差中项的设法:da a d a +-,,如果成等比数列,那么叫做与的等,,a G b G a b 比中项.abG =2等比中项的设法:,,aq a aq前项n 和,)(21n n a a nS +=d n n na S n 2)1(1-+=时;时1=q 1,na S n =1≠q qqa a q q a S n n n --=--=11)1(,11*(,,,,)m n p q a a a a m n p q N m n p q +=+∈+=+若,则2m p q =+qp ma a a +=2若,则q p n m +=+qp nm a a a a =2*2,,(,,,)m p q m p q a a a p q n m N =+=⋅∈若则有性质、、为等差数列n S 2n n S S -32n n S S -、、为等比数列n S 2n n S S -32n n S S -函数看数列12221()()22n n a dn a d An B d d s n a n An Bn=+-=+=+-=+111(1)11nn n n n n a a q Aq q a as q A Aq q q q===-=-≠--判定方法(1)定义法:证明为常数;)(*1N n a a n n ∈-+(2)等差中项:证明,*11(2N n a a a n n n ∈+=+-)2≥n (1)定义法:证明为一个常数)(*1N n a a n n ∈+(2)等比中项:证明21n n a a -=*1(,2)n a n N n +⋅∈≥(3)通项公式:均是不为0常数)(,nn a cq c q =3.数列通项公式求法:(1)定义法(利用等差、等比数列的定义);(2)累加法;(3)累乘法(型);n n n c a a =+1(4)利用公式;(5)构造法(型);(6)倒数法等11(1)(1)n n n S n a S S n -=⎧⎪=⎨->⎪⎩b ka a n n +=+14.数列求和(1)公式法;(2)分组求和法;(3)错位相减法;(4)裂项求和法;(5)倒序相加法。
高二数学数列专题练习题(含答案)
高二数学数列专题练习题(含答案)高中数学《数列》专题练1.数列基本概念已知数列的前n项和S_n和第n项a_n之间的关系为:a_n=S_n-S_{n-1} (n>1),当n=1时,a_1=S_1.通过这个关系式可以求出任意一项的值。
2.等差数列和等比数列等差数列和等比数列是两种常见的数列类型。
对于等差数列,有通项公式a_n=a_1+(n-1)d,其中d为公差。
对于等比数列,有通项公式a_n=a_1*q^{n-1},其中q为公比。
如果a、G、b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项。
如果a、A、b、B成等差数列,那么A、B叫做a、b的等差中项。
3.求和公式对于等差数列,前n项和S_n=n(a_1+a_n)/2.对于等比数列,前n项和S_n=a_1(1-q^n)/(1-q),其中q不等于1.另外,对于等差数列,S_n、S_{2n}-S_n、S_{3n}-S_{2n}构成等差数列;对于等比数列,S_n、S_{2n}/S_n、S_{3n}/S_{2n}构成等比数列。
4.数列的函数看法数列可以看作是一个函数,通常有以下几种形式:a_n=dn+(a_1-d),a_n=An^2+Bn+C,a_n=a_1q^n,a_n=k*n+b。
5.判定方法对于数列的常数项,可以使用定义法证明;对于等差中项,可以证明2a_n=a_{n-1}+a_{n+1};对于等比中项,可以证明2a_n=a_{n-1}*a_{n+1}。
最后,对于数列的通项公式,可以使用数学归纳法证明。
1.数列基本概念和通项公式数列是按照一定规律排列的一列数,通常用{ }表示。
其中,第n项表示为an,公差为d,公比为q。
常用的数列有等差数列和等比数列。
等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d,其中a1为首项,d为公差。
等比数列的通项公式为an = a1q^(n-1),其中a1为首项,q为公比。
2.数列求和公式数列求和是指将数列中的所有项加起来的操作。
高中数学《数列》练习题(含答案解析)
高中数学《数列》练习题(含答案解析)一、单选题1.已知等差数列{an }的前n 项和为Sn ,且48S S =13,则816S S =( )A .310 B .37C .13D .122.已知等比数列{an }的前n 项和为Sn ,则“Sn +1>Sn ”是“{an }单调递增”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件3.现有下列说法:①元素有三个以上的数集就是一个数列; ①数列1,1,1,1,…是无穷数列; ①每个数列都有通项公式;①根据一个数列的前若干项,只能写出唯一的通项公式; ①数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数. 其中正确的有( ). A .0个B .1个C .2个D .3个4.数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1(1)(21)n n a n +=-⋅+,则2021S =( )A .2020B .2021C .2022D .20235.已知等差数列{}n a 中,6819,27a a ==,则数列{}n a 的公差为( ) A .2B .3C .4D .56.标准对数视力表(如图)采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式.标准对数视力表各行为正方形“E ”字视标,且从视力5.1的视标所在行开始往上,每一行“E ”的边长都是下方一行“E ”的边长的视力4.0的视标边长为a ,则视力4.9的视标边长为( )A .4510aB .91010aC .4510a -D .91010a -7.已知数列{}n a ,2141n n a n n ,则下列说法正确的是( )A .此数列没有最大项B .此数列的最大项是3aC .此数列没有最小项D .此数列的最小项是2a8.已知{}n a 是等差数列,公差0d >,其前n 项和为n S ,若2a 、52a+、172a +成等比数列,()12n n n a S +=,则不正确的是( ) A .1d= B .1020a = C .2n S n n =+ D .当2n ≥时,32n n S a ≥9.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,112a =,对任意的*n ∈N 都有1(2)n n na n a +=+,则2021S =( ) A .20192020B .20202021C .20212022D .1010101110.等差数列{}n a 前n 项和为n S , 281112a a a ++=,则13S =( ) A .32B .42C .52D .62二、填空题11.已知a 是1,2的等差中项,b 是1-,16-的等比中项,则ab 等于___________. 12.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若65210,6Sa a =+=,则d =_________.13.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若891715a a =,则1517S S =______.14.已知等差数列{}n a 的前n 项和为nS,且1516a a +=-,936S =-,则n S 的最小值是______.三、解答题15.已知数列{}n a 为等差数列,{}n b 是公比为2的等比数列,且满足11221,5a b b a ==+=(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; (2)令n n n c a b =+求数列{}n c 的前n 项和n S ;16.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =,55S =-. (1)求{}n a 的通项公式;(2)2n nb a =-+求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 17.某公司2021年年初花费25万元引进一种新的设备,设备投入后每年的收益均为21万元.若2021年为第1年,且该公司第()n n *∈N 年需要支付的设备维修和工人工资等费用总和n a (单位:万元)的情况如图所示.(1)求n a ;(2)引进这种设备后,第几年该公司开始获利? 18.设{}n a 是首项为1的等比数列,数列{}n b 满足3nn na b =.已知1a ,23a ,39a 成等差数列. (1)求{}n a 和{}nb 的通项公式;(2)记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和.证明:2nn S T <.参考答案与解析:1.A【分析】运用等差数列前n 项和公式进行求解即可. 【详解】设等差数列{an }的公差为d , ①41181461582832a d a d a d S S +==⇒=+,显然0d ≠, ①8161182820283161204012010a d d d a d S d S d ++===++, 故选:A 2.D【分析】由110++>⇒>n n n S S a ,举反例102=>n na 和12nn a =-即可得出结果 【详解】110++>⇒>n n n S S a ,例如102=>n na ,但是数列{}n a 不单调递增,故不充分; 数列{}n a 单调递增,例如12n na =-,但是1n n S S +<,故不必要; 故选:D 3.B【分析】根据给定条件,利用数列的定义逐一分析各个命题,判断作答.【详解】对于①,数列是按一定次序排成的一列数,而数集的元素无顺序性,①不正确; 对于①,由无穷数列的意义知,数列1,1,1,1,…是无穷数列,①正确; 对于①0.1,0.01,0.001,0.0001,得到的不足近似值,依次排成一列得到的数列没有通项公式,①不正确;对于①,前4项为1,1,1,1的数列通项公式可以为1,N n a n =∈,cos 2π,N n b n n *=∈等,即根据一个数列的前若干项,写出的通项公式可以不唯一,①不正确;对于①,有些数列是有穷数列,不可以看着是一个定义在正整数集上的函数,①不正确, 所以说法正确的个数是1. 故选:B 4.D【分析】根据数列{}n a 的通项公式,可求得12342,2a aa a +=-+=-,依此类推,即可求解.【详解】①1(1)(21)n n a n +=-⋅+,故12343,5,7,9a a a a ==-==-故202112320202021S a a a a a =+++⋅⋅⋅++357940414043=-+-+⋅⋅⋅-+2101040432023=-⨯+=.故选:D. 5.C【分析】利用862d a a =-,直接计算公差即可. 【详解】等差数列{}n a 中,6819,27aa ==,设公差为d ,则86227198d a a =-=-=,即4d =.故选:C. 6.D【分析】由等比数列的通项公式计算.【详解】设第n 行视标边长为n a ,第n 1-行视标边长为()12n a n -≥,由题意可得()12n n a n -=≥,则()1101102nn a n a --=≥,则数列{}n a 为首项为a ,公比为11010-的等比数列, 所以101191010101010a a a ---⎛⎫== ⎪⎝⎭,则视力4.9的视标边长为91010a -,故选:D. 7.B【分析】令10t n =-≥,则1n t =+,22641411ttyt t t t ,然后利用函数的知识可得答案. 【详解】令10t n =-≥,则1n t =+,22,641411tty tt t t当0=t 时,0y = 当0t >时,146y t t=++,由双勾函数的知识可得y 在()02,上单调递增,在()2,+∞上单调递减 所以当2t =即3n =时,y 取得最大值, 所以此数列的最大项是3a ,最小项为10a = 故选:B . 8.A【分析】利用等差数列的求和公式可得出1n a na =,可得出10d a =>,根据已知条件求出1a 的值,可求得n a 、n S 的表达式,然后逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为{}n a 是等差数列,则()()1122nn n n a n a a S ++==,所以,1n a na =, 所以,110n n d a a a +=-=>,因为()()2521722a a a +=+,可得()()2111522172a a a +=+,整理可得21191640a a --=,因为10a >,故12d a ==,A 错;12n a na n ==,则1020a =,B 对;()()112nn n a S n n +==+,C 对;当2n ≥时,()233202n n S a n n n n n -=+-=-≥,即32n n S a ≥,D 对.故选:A. 9.C【解析】由1(2)n n na n a +=+,可得1(1)(1)(2)n n n n a n n a ++=++,数列{}(1)n n n a +为常数列,令1n =,可得1(1)21n n n a a +==,进而可得1(1)n a n n =+,利用裂项求和即可求解.【详解】数列{}n a 满足112a =,对任意的*n ∈N 都有1(2)n n na n a +=+, 则有1(1)(1)(2)n n n n a n n a ++=++,可得数列{}(1)n n n a +为常数列, 有1(1)2n n n a a +=,得(1)1n n n a +=,得1(1)n a n n =+,又由111(1)1n a n n n n ==-++,所以20211111112021112232021202220222022S =-+-+⋅⋅⋅-=-=.故选:C【点睛】方法点睛:数列求和的方法(1)倒序相加法:如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法(2)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求;(3)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时,中间的一些项可相互抵消,从而求得其和; (4)分组转化法:一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组转换法分别求和再相加减;(5)并项求和法:一个数列的前n 项和可以两两结合求解,则称之为并项求和,形如()()1nn a f n =-类型,可采用两项合并求解. 10.C【分析】将2811a a a ++化成1a 和d 的形式,得到二者关系,求得7a ,利用13713S a =求得结果. 【详解】()()28111111()71031812a a a a d a d a d a d ++=+++++=+=164a d ∴+=,即74a = ()1131371313134522a a S a +∴===⨯= 故选:C.【点睛】思路点睛:该题考查的是有关数列的问题,解题思路如下:(1)根据题中所给的条件,结合等差数列通项公式,将其转化为关于首项与公差的式子; (2)化简求得数列的某一项;(3)结合等差数列求和公式,得到和与项的关系,求得结果. 11.6±【分析】根据等差和等比中项的定义求出,a b 得值,即可求解. 【详解】因为a 是1,2的等差中项,所以12322a +==, 因为b 是1-,16-的等比中项,所以2(1)(16)16b =-⨯-=,4b =±,所以6ab =±.故答案为:6±. 12.1【分析】由等差中项性质可求4a ,又510S =依据等差数列的前n 项和公式及通项公式列方程即可求得公差 【详解】由266a a +=有43a =,而510S = ①结合等差数列的前n 项和公式及通项公式113322a d a d +=⎧⎨+=⎩即可得1d = 故答案为:1【点睛】本题考查了等差数列,利用等差中项求项,结合已知条件、前n 项和公式、通项公式求公差13.1【分析】利用等差数列性质及前n 项和公式计算作答.【详解】在等差数列{}n a 中,891715a a =,所以1151511588117171179915(15(152152117(17)(1717)2))2a a S a a a a a a S a a a a ++⨯====⋅=++⨯. 故答案为:1 14.42-【分析】根据给定条件求出等差数列{}n a 的首项、公差,探求数列{}n a 的单调性即可计算作答.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,由1591636a a S +=-⎧⎨=-⎩得112416989362a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩,解得1122a d =-⎧⎨=⎩, 因此,()1212214n a n n =-+-⨯=-,令0n a =,解得7n =,于是得数列{}n a 是递增等差数列,其前6项为负,第7项为0,从第8项开始为正, 所以6S 或7S 最小,最小值为()656122422⨯⨯-+⨯=-. 故答案为:42-15.(1)21n a n =-,12n n b -=(2)221nn S n =+-【分析】(1)根据等差数列和等比数列的通项公式得到2d =,根据通项公式的求法得到结果;(2)1221n n n n c a b n -+=+=-分组求和即可.【详解】(1)设{}n a 的公差为d , 由已知,有215d ++=解得2d =,所以{}n a 的通项公式为21,n a n n *=-∈N , {}n b 的通项公式为12,n n b n -*=∈N .(2)1221n n n n c a b n -+=+=-,分组求和,分别根据等比数列求和公式与等差数列求和公式得到:212(121)21122n n n n n S n -+-=+=+--.16.(1)2n a n =-;(2)1n nT n =+.【解析】(1)由30S =,55S =-,可得113230254552a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=-⎪⎩求出1,a d ,从而可得{}n a 的通项公式;(2)由(1)可得n b n =,从而可得11111(1)1n n b b n n n n +==-++,然后利用裂项相消求和法可求得n T 【详解】解:(1)设等差数列{}n a 的公差为d , 因为30S =,55S =-.所以113230254552a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=-⎪⎩,化简得11021a d a d +=⎧⎨+=-⎩,解得111a d =⎧⎨=-⎩,所以1(1)1(1)(1)2n a a n d n n =+-=+--=-, (2)由(1)可知2(2)2n n b a n n =-+=--+=, 所以11111(1)1n n b b n n n n +==-++, 所以111111(1)()()1223111n nT n n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++ 【点睛】此题考查等差数列前n 项和的基本量计算,考查裂项相消求和法的应用,考查计算能力,属于基础题17.(1)2n a n =;(2)第2年该公司开始获利.【分析】(1)根据题意得出数列的首项和公差,进而求得通项公式 (2)根据题意算出总利润,进而令总利润大于0,解出不等式即可. 【详解】(1)由题意知,数列{}n a 是12a =,公差2d =的等差数列, 所以()()112122n a a n d n n =+-=+-⨯=.(2)设引进这种设备后,净利润与年数n 的关系为()F n ,则()()2121222520252n n F n n n n n -⎡⎤=-+⨯-=--⎢⎥⎣⎦. 令()0F n >得220250n n -+<,解得1010n -<+ 又因为n *∈N ,所以2n =,3,4,…,18, 即第2年该公司开始获利.18.(1)11()3n n a -=,3n nn b =;(2)证明见解析. 【分析】(1)利用等差数列的性质及1a 得到29610q q -+=,解方程即可; (2)利用公式法、错位相减法分别求出,n n S T ,再作差比较即可.【详解】(1)因为{}n a 是首项为1的等比数列且1a ,23a ,39a 成等差数列,所以21369a a a =+,所以211169a q a a q =+,即29610q q -+=,解得13q =,所以11()3n n a -=,所以33n n n na nb ==. (2)[方法一]:作差后利用错位相减法求和211213333n n n n nT --=++++,012111111223333-⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭n n S , 230121123111112333323333n n n n S n T -⎛⎫⎛⎫-=++++-++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭012111012222333---++++111233---+n nn n .设0121111101212222Γ3333------=++++n n n , ① 则1231111012112222Γ33333-----=++++n nn . ①由①-①得1121113312111113322Γ13233332313--⎛⎫--- ⎪⎛⎫⎝⎭=-++++-=-+- ⎪⎝⎭-n n n n n n n . 所以211312Γ432323----=--=-⨯⨯⨯n n n n n n . 因此10232323--=-=-<⨯⨯n n n n nS n n nT . 故2nn S T <. [方法二]【最优解】:公式法和错位相减求和法证明:由(1)可得11(1)313(1)12313n n n S ⨯-==--,211213333n n n n n T --=++++,① 231112133333n n n n n T +-=++++,① ①-①得23121111333333n n n n T +=++++- 1111(1)1133(1)1323313n n n n n n ++-=-=---, 所以31(1)4323n n n n T =--⋅, 所以2n n S T -=3131(1)(1)043234323n n n n n n ----=-<⋅⋅, 所以2n n S T <. [方法三]:构造裂项法由(①)知13⎛⎫= ⎪⎝⎭n n b n ,令1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭n n c n ,且1+=-n n n b c c ,即1111()[(1)]333αβαβ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n n n n ,通过等式左右两边系数比对易得33,24αβ==,所以331243n n c n ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 则12113314423nn n n n T b b b c c +⎛⎫⎛⎫=+++=-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,下同方法二. [方法四]:导函数法设()231()1-=++++=-n n x x f x x x x x x ,由于()()()()()()1221'111'11(1)'1(1)1n n n n n x x x x x x x x nx n x x x x +⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⨯--+-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥==---⎢⎥⎣⎦, 则12121(1)()123(1)+-+-+=++++='-n nn nx n x f x x x nx x . 又1111333-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n n b n n ,所以2112311111233333n n n T b b b b n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++=+⨯+⨯++⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦12111(1)11133333113n nn n f +⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⋅=⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭' 13113311(1)4334423n n n n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦,下同方法二.【整体点评】本题主要考查数列的求和,涉及到等差数列的性质,错位相减法求数列的和,考查学生的数学运算能力,是一道中档题,其中证明不等式时采用作差法,或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择,关键是要看如何消项化简的更为简洁.(2)的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和,进而证得结论;方法二根据数列的不同特点,分别利用公式法和错位相减法求得,n nS T,然后证得结论,为最优解;方法三采用构造数列裂项求和的方法,关键是构造1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭nnc n,使1+=-n n nb c c,求得nT的表达式,这是错位相减法的一种替代方法,方法四利用导数方法求和,也是代替错位相减求和法的一种方法.。
【必刷题】2024高二数学上册数列与数学归纳法专项专题训练(含答案)
【必刷题】2024高二数学上册数列与数学归纳法专项专题训练(含答案)试题部分一、选择题:1. 已知数列{an}为等差数列,a1=3,a5=15,则公差d为()A. 3B. 4C. 5D. 62. 数列{an}的通项公式为an = 2n 1,则数列{an}的前5项和为()A. 25B. 30C. 35D. 403. 若数列{an}满足an+1 = 2an,且a1=1,则数列{an}是()A. 等差数列B. 等比数列C. 既不是等差数列也不是等比数列D. 无法确定4. 用数学归纳法证明1+3+5+…+(2n1)=n²,下列步骤中错误的是()A. 验证n=1时等式成立B. 假设n=k时等式成立C. 证明n=k+1时等式成立D. 直接得出结论1+3+5+…+(2n1)=n²5. 已知数列{an}的通项公式为an = n² + n,则数列{an+1 an}的前5项和为()A. 20B. 25C. 30D. 356. 数列{an}为等比数列,a1=2,a3=8,则a5=()A. 16B. 24C. 32D. 647. 已知数列{an}满足an+2 = an+1 + an,a1=1,a2=1,则a5=()A. 3B. 4C. 5D. 68. 若数列{an}的通项公式为an = 3n 2,则数列{an}的前n项和为()A. n(3n1)/2B. n(3n+1)/2C. n(3n2)/2D. n(3n+2)/29. 用数学归纳法证明等式2^n > n²,下列步骤中错误的是()A. 验证n=1时等式成立B. 假设n=k时等式成立C. 证明n=k+1时等式成立D. 直接得出结论2^n > n²10. 已知数列{an}的通项公式为an = 2^n,则数列{an+1 / an}的值为()A. 1B. 2C. 3D. 4二、判断题:1. 数列{an}的通项公式为an = n²,则数列{an}是等差数列。
高二数学数列试题答案及解析
高二数学数列试题答案及解析1.定义一种运算&,对于,满足以下性质:(1)2&2=1,(2)(&2=(&2)+3,则2008&2的数值为【答案】-3008【解析】(&2=(&2)+3,即(&2)=(&2-3,则 2&2,4&2,6&2,(&2)构成等差数列,(&2)=2&2+(1004-1)*(-3)=-30082.已知等差数列{an }的前n 项和Sn满足S3=0,S5=-5.(1)求{an}的通项公式;(2)求数列的前n 项和【答案】(1);(2)【解析】(1)设等差数列的首项,公差分别是,代入公式;(2)将和代入通项公式,整理,第二步是裂项相消,整理.试题解析:(1)因为S3=0,S5=-5。
(6分)(2)所以数列的前n项和…+=…+=。
(6分)【考点】1.等差数列的前n项和;2.等差数列的通项公式;3.裂项相消法求和.3.已知数列是首项为的等比数列,是的前项和,且,则数列的前项和为A.或B.或C.D.【答案】A【解析】显然,则,解得,则成等比数列,其公比为,则其前5项和为或.【考点】等比数列的求和公式.4.已知数列的前项和为,.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设数列的前项和为,,点在直线上,若存在,使不等式成立,求实数的最大值.【答案】(1);(2)4.【解析】(1)利用进行求解;(2)先利用点在直线上求得的通项,再利用求得,再利用错位相减法进行求和.试题解析:(Ⅰ)(1)(2)(2)-(1)得,即,成等比数列,公比为..(Ⅱ)由题意得:,成等差数列,公差为.首项,,,当时,,当时,成立,.,令,只需.(3)(4)(3)-(4)得:.为递增数列,且 ,,实数的最大值为.【考点】1.的应用;(2)错位相减法.5.已知正项数列的前项和为,对任意,有.(1)求数列的通项公式;(2)令,设的前项和为,求证:【答案】(1)(2)证明见解析.【解析】第一问根据题中所给的条件,令取时,对应的式子写出,之后两式相减,可得相邻两项的差为常数,从而得到数列为等差数列,令,可得数列的首项,从而求得数列的通项公式,第二问对式子进行分母有理化,化简可得,再求和,中间项就消没了,从而证得结果.试题解析:(1)由可得,,两式相减得,整理得,根据数列是正项数列,所以有,且有,所以数列是以为首项,以为公比的等比数列,所以有;(2)【考点】求数列的通项公式,数列求和问题.6.等差数列中,,则前7项的和()A.B.28C.63D.36【答案】C【解析】由等差中项可得, .故C正确.【考点】1等差数列的性质;2等差数列的前项和.7.(本小题满分12分)已知是一个等差数列,且。
高二数学数列试题答案及解析
高二数学数列试题答案及解析1.设等差数列的公差为d,前项和为,等比数列的公比为.已知,,,.(Ⅰ)求数列,的通项公式;(Ⅱ)当时,记,求数列的前项和.【答案】(Ⅰ)或;(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)由题意有,即,解得或故或.(Ⅱ)由,知,,故,于是,①.②①-②可得,故.【考点】本题综合考查等差数列、等比数列和错位相减法求和,属中档题.2.已知数列的前项和构成数列,若,则数列的通项公式________.【答案】【解析】当时,,当时,,综上所述,,故答案为.【考点】数列通项与前项和之间的关系以及公式的应用.【方法点睛】本题主要考查数列通项与前项和之间的关系以及公式的应用,属于难题.已知求的一般步骤:(1)当时,由求的值;(2)当时,由,求得的表达式;(3)检验的值是否满足(2)中的表达式,若不满足则分段表示;(4)写出的完整表达式.3.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案:则第n个图案中有白色地面砖块.【答案】4n+2【解析】第个图案有块,第个图案有块,第个图案有块,所以第个图案有块【考点】观察数列的通项4.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共为3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为升.【答案】【解析】由题意可知,解得,所以.【考点】等差数列通项公式.5.在等差数列{an }中,S15>0,S16<0,则使an>0成立的n的最大值为 ().A.6B.7C.8D.9【答案】C【解析】依题意得S15==15a8>0,即a8>0;S16==8(a1+a16)=8(a8+a9)<0,即a8+a9<0,a9<-a8<0.因此使an>0成立的n的最大值是8,选C.6.已知数列是等比数列,,是和的等差中项.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.【答案】(1)(2)【解析】(1)求等比数列通项公式,一般方法为待定系数法,即列出两个独立条件,解方程组即可,本题可利用等比数列通项公式广义定义求解,即,而是和的等差中项,都转化为:(2)先代入求解,再根据错位相减法求和,注意项的符号变化,项数的确定.试题解析:(1)设数列的公比为,因为,所以,.因为是和的等差中项,所以.即,化简得.因为公比,所以.所以().(2)因为,所以.所以.则,①. ②①-②得,,所以.【考点】等比数列通项公式,错位相减法求和7.等差数列,的前n项和分别为和,若则=________.【答案】.【解析】根据等差数列的性质,由.【考点】等差数列的性质.8.数列的一个通项公式是()A.B.C.D.【答案】B【解析】设此数列为,其符号为其绝对值为,可得通项公式.选B【考点】数列的通项公式9.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著,书中有如下问题:今有女子善织,日增等尺,七日织28尺,第二日,第五日,第八日所织之和为15尺,则第九日所织尺数为A.8B.9C.10D.11【答案】B【解析】该数列为等差数列,且,即,解得.【考点】等差数列,数学文化.10.等差数列{an}共有2n+1项,其中奇数项之和为4,偶数项之和为3,则n的值是()A.3B.5C.7D.9【答案】A【解析】利用等差数列的求和公式和性质得出,代入已知的值即可.解:设数列公差为d,首项为a1,奇数项共n+1项,其和为S奇===(n+1)an+1=4,①偶数项共n项,其和为S偶===nan+1=3,②得,,解得n=3故选A【考点】等差数列的前n项和.11.数列的一个通项公式是()A.B.C.D.【答案】B【解析】观察数列的前6项知,该数列是以1为首项2为公比的等比数列,所以.故选B.【考点】观察法求数列的通项公式.12.数列是等差数列,若,且它的前项和有最大值,那么当取得最小正值时,值等于( )A.11B.17C.19D.21【答案】C【解析】由于前项和有最大值,所以,根据,有,,,所以,,结合选项可知,选C.【考点】等差数列的基本性质.13.设等差数列的公差为d,若数列为递减数列,则()A.B.C.D.【答案】C【解析】因为是等差数列,则,又由于为递减数列,所以,故选C.【考点】1.等差数列的概念;2.递减数列.14.设数列{an },{bn}都是等差数列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,那么由an+bn所组成的数列的第37项的值为()A.0B.37C.100D.-37【答案】C【解析】数列{an }和{bn}都是等差数列,所以是等差数列,首项,所以数列是常数列,所以第37项的值为100【考点】等差数列15.设是等差数列的前项和,已知,则等于()A.13B.35C.49D.63【答案】C【解析】依题意有,解得,所以.【考点】等差数列的基本概念.【易错点晴】本题主要考查等差数列的基本概念. 在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为和等基本量,通过建立方程(组)获得解.即等差数列的通项公式及前项和公式,共涉及五个量,知其中三个就能求另外两个,即知三求二,多利用方程组的思想,体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型,解决此类问题需要抓住基本量、,掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节,常通过“设而不求,整体代入”来简化运算.16.设等差数列{an }的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36.则a7+a8+a9等于()A.63B.45C.36D.27【答案】B【解析】设公差为d,则解得a1=1,d=2,则a7+a8+a9=3a8=3(a1+7d)=45.17.已知等差数列中,,公差,则使前项和为取最小值的正整数的值是()A.4和5B.5和6C.6和7D.7和8【答案】C【解析】,所以使前项和取最小值的正整数的值为6和7【考点】数列性质18.设是等差数列的前项和,已知,则等于()A.13B.35C.49D.63【答案】C【解析】依题意有,解得,所以.【考点】等差数列的基本概念.【易错点晴】本题主要考查等差数列的基本概念. 在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为和等基本量,通过建立方程(组)获得解.即等差数列的通项公式及前项和公式,共涉及五个量,知其中三个就能求另外两个,即知三求二,多利用方程组的思想,体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型,解决此类问题需要抓住基本量、,掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节,常通过“设而不求,整体代入”来简化运算.19.已知数列的通项公式为,记数列的前项和为,若对任意的恒成立,则实数的取值范围_________.【答案】【解析】由题意可得,,即求的最大值,所以当n=3时,,所以,填。
高二数学数列综合测试题(解析版)
7.已知 分别是等差数列 与 的前 项和,且 ,则 ()
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】因为数列 是等差数列,所以 ,
所以 ,
又因为 分别是等差数列 与 的前 项和,且 ,
所以 ,
故选: .
8.已知数列 满足 ,则满足 的 的最大取值为()
11.一个弹性小球从 高处自由落下,每次着地后又跳回原来高度的 再落下.设它第 次着地时,经过的总路程记为 ,则当 时,下面说法正确的是()
A. B. C. 的最小值为 D. 的最小值为250
【答案】BC
【详解】由题可知,第一次着地时, ;第二次着地时, ;
第三次着地时, ;……
第 次着地后,
则 ,显然 ,又 是关于 的增函数, ,故当 时, 的最小值为 ;
A.39B.45C.48D.51
【答案】D
【详解】设该塔群共有n阶,自上而下每一阶的塔数所构成的数列为 ,依题意可知 , ,…, 成等差数列,且公差为2, ,
则 ,解得 .
故最下面三价的塔数之和为 .故选:D
4.等比数列 的前 项和为 , , ,则 为()
A. B. C. D.28或-21
ห้องสมุดไป่ตู้【答案】A
数列复习训练题
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中只有一个
1.等差数列 中,已知 ,则 ()
A.36B.27C.18D.9
【答案】B
【详解】解:由题得 .故选:B
2.若数列 满足 , , ,则 的值为()
A.-3B.-2C.-1D.2
【答案】C
【详解】由 得 ,故有
高二数学数列试题答案及解析
高二数学数列试题答案及解析1.已知等比数列的前项为,,,则= .【答案】31【解析】【考点】等比数列通项公式求和公式2.在数列中,已知等于的个位数,则的值是()A.8B.6C.4D.2【答案】A【解析】根据已知条件可知,,,,,,,,,因此次数列从第三项起,以循环,则为还余下,所以的值为.【考点】简单逻辑连接词.3.观察下列各式:,,则的末两位数字为()A.01B.43C.07D.49【答案】B【解析】根据题意得,,发现的末两位数字是49,的末两位数字是43,的末两位数字是01,,的末两位数字为43,故选B。
【考点】归纳推理4.数列{an }满足a1=2,an+1=an2+6an+6(n∈N×)(Ⅰ)设Cn =log5(an+3),求证{Cn}是等比数列;(Ⅱ)求数列{an}的通项公式;(Ⅲ)设,数列{bn }的前n项的和为Tn,求证:.【答案】(Ⅰ)证明如下;(Ⅱ);(Ⅲ)证明如下;【解析】(I)由已知可得,,利用构造法,令,则可得,从而可证数列为等比数列;(II)由(I)可先求数列,代入可求;(III)把(II)中的结果代入整理可得,,则代入相消可证;试题解析:(Ⅰ)由得,于是,即,因此是以2为公比的等比数列;(Ⅱ)又,于是,即,因此,即;(Ⅲ)因为,于是,又,即;【考点】•数列的求和 等比关系的确定 数列递推式5.(本小题满分12分)已知首项都是1的两个数列,,满足.(1)令,求数列的通项公式;(2)若,求数列的前n项和【答案】(1);(2)【解析】(1)将已知条件变形可得,由等差数列的定义可知数列即数列是等差数列.由等差数列的通项公式可求得.(2)由已知可求得,分析的通项公式可知应用错位相减法求数列前项和.试题解析:(1)因为,,所以,即,所以数列是以首相,公差的等差数列,故.(2)由知,于是数列前项和两式相减可得所以【考点】1等差数列的定义,通项公式;2错位相减法求数列的和.6.已知数列满足条件,则.【答案】【解析】,可知数列是以为首相,以1为公差的等差数列...【考点】1构造法求数列的通项公式;2等差数列的定义;3等差数列的通项公式.7.设是等差数列的前n项和,若()A.B.C.D.【答案】A【解析】设等差数列的首项为,由等差数列的性质得:,,∴.【考点】等差数列的性质.8.等差数列中,,则中的最大值是()A.B.或C.D.【答案】A【解析】因为是等差数列,,又,所以中的最大值是.【考点】等差数列的前项的和9.已知数列满足,,若,则().A.B.C.D.【答案】A【解析】,故选A【考点】递推公式求数列各项10.已知数列满足,则.【答案】【解析】时,当时由得,两式相减得,经验证符合上式,因此通项公式为【考点】数列的通项公式求法11.(本小题满分为10分)设等差数列的公差为,前项和为,等比数列的公比为.已知,,,.(Ⅰ)求数列,的通项公式;(Ⅱ)当时,记,求数列的前项和.【答案】(Ⅰ)或(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)将已知条件转化为等差数列的首项和公差表示,通过解方程组得到基本量,从而得到通项公式;(Ⅱ)将数列,的通项公式代入得到,根据特点采用错位相减法求和试题解析:(Ⅰ)由题意有,即,解得或,故或(Ⅱ)由知,故,于是,①∴②∴由①-②可得故【考点】1.等差等比数列通项公式;2.错位相减法求和【方法点睛】在等差等比数列中由各项满足的条件求通项公式时,一般将已知条件转化为基本量,首项和公差公比表示,通过解方程组得到基本量的值,从而确定通项公式,解决非等差等比数列求和问题,主要有两种思路:其一,转化的思想,即将一般数列设法转化为等差或等比数列,这一思想方法往往通过通项分解(即分组求和)或错位相减来完成,其二,不能转化为等差等比数列的,往往通过裂项相消法,倒序相加法来求和12.已知数列是各项均为正数的等差数列,其中,且成等比数列;数列的前项和为,满足.(1)求数列、的通项公式;(2)如果,设数列的前项和为,求证:.【答案】(1),;(2)详见解析.【解析】(1)由成等比数列可得成等比数列,将其转化为关于公差的方程即可求得公差,由等差数列的通项公式可求得.由公式即可求得与间关系式.由等比数列的定义可知为等比数列,从而可得.(2)由题意可知应用错位相减法求和.比较大小应用作差法即即可.试题解析:解:(1)设数列的公差为,依条件有,即,解得(舍)或,所以.由,得,当时,,解得,当时,,所以,所以数列是首项为,公比为的等比数列,故.(2)由(1)知,,所以①②得.又.所以,所以.【考点】1等差数列的通项公式;2等比数列的定义,通项公式;3错位相减法求和.13.在等比数列{bn }中,S4=4,S8=20,那么S12= .【答案】84【解析】由等比数列性质可知成等比数列,所以代入已知数据得【考点】等比数列性质14.已知数列满足,.令.(1)求证:数列为等差数列;(2)求证:.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】(1)现将代入可得,再展开,两边同除以即可证数列为等差数列;(2)先由(1)可得数列的通项公式,进而可得的通项公式,再利用裂项法可得,进而可证明.试题解析:(Ⅰ),(Ⅱ)由(Ⅰ)知,由于于是【考点】1、等差数列的定义;2、等差数列的通项公式;3、数列的“裂项”求和;4、不等式的证明.15.已知数列是首项为的等比数列,其前项和为,且,则数列的前5项和为A.或B.或C.D.【答案】D【解析】由可知公比,数列是等比数列,公比为,首项为1,所以【考点】等比数列及求和16.(2015秋•宁德校级期中)已知公差不为零的等差数列{an },若a1=1,且a1,a2,a5成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn =2n,求数列{an+bn}的前n项和Sn.【答案】(1)an =1+2(n﹣1)=2n﹣1;(2)Sn=n2+2n+1﹣2.【解析】(1)通过a2=1+d、a5=1+4d,利用a1,a2,a5成等比数列计算可知公差d=2,进而可得结论;(2)分别利用等差数列、等比数列的求和公式计算,相加即可.解:(1)依题意可知,a2=1+d,a5=1+4d,∵a1,a2,a5成等比数列,∴(1+d)2=1+4d,即d2=2d,解得:d=2或d=0(舍),∴an=1+2(n﹣1)=2n﹣1;(2)由(1)可知等差数列{an }的前n项和Pn==n2,∵bn=2n,∴数列{bn }的前n项和Qn==2n+1﹣2,∴Sn=n2+2n+1﹣2.【考点】数列的求和;等差数列的通项公式.17.函数图象上存在不同三点到原点的距离构成等比数列,则以下不可能成为公比的数是A.B.C.D.【答案】B【解析】根据平面几何切割线定理,从圆外一点做圆的切线和割线,则切线长是割线与它的圆外部分的比例中项,原点做半圆的切线长为设割线与半圆的另外两个交点到原点的距离分别是,则,设,所以,所以,根据图像分析,或是分别得到或,只有不在范围内,故选B.【考点】1.等比数列的性质;2.切割线定理.18.已知等差数列的公差为,且,若,则()A.8B.4C.6D.12【答案】A【解析】根据等差数列的性质可知,即,又,所以.【考点】等差数列的性质.19.在数列中,,则等于()A.B.C.D.【答案】D【解析】试题分析,,,,,,,故选D.【考点】数列通项及归纳推理.【思路点晴】本题主要考查数列通项的基本含意,属于难题,解题时一定要注意的三个特点:(1)正负间隔出现;(2)分母成公差为等差数列;(3)每增加“”,就增加两项.解决本题是利用特点(3)可知在的基础上多出了两项得出结论的.20.已知各项不为0的等差数列,满足,数列是等比数列且,则()A.16B.8C.4D.2【答案】A【解析】【考点】等比数列等差数列性质21.(2015秋•滑县期末)设等差数列{an }的前n项和为Sn,若a1=﹣3,ak+1=,Sk=﹣12,则正整数k=()A.10B.11C.12D.13【答案】D【解析】根据数列的概念直接求解.解:∵等差数列{an }的前n项和为Sn,a1=﹣3,,∴解得k=13.故选:D.【考点】等差数列的性质.22.(2007•山东)设数列{an }满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1an=,n∈N*.(1)求数列{an}的通项;(2)设,求数列{bn }的前n项和Sn.【答案】(1).(2).【解析】(1)由a1+3a2+32a3+…+3n﹣1an=⇒当n≥2时,a1+3a2+32a3+…+3n﹣2an﹣1=,两式作差求出数列{an}的通项.(2)由(1)的结论可知数列{bn}的通项.再用错位相减法求和即可.解:(1)∵a1+3a2+32a3+…+3n﹣1an=,①∴当n≥2时,a1+3a2+32a3+…+3n﹣2an﹣1=.②①﹣②,得3n﹣1an=,所以(n≥2),在①中,令n=1,得也满足上式.∴.(2)∵,∴bn=n•3n.∴Sn =3+2×32+3×33+…+n•3n.③∴3Sn =32+2×33+3×34+…+n•3n+1.④④﹣③,得2Sn=n•3n+1﹣(3+32+33+…+3n),即2Sn=n•3n+1﹣.∴.【考点】数列的求和;数列递推式.23.已知数列的前项和.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)记,若对于一切的正整数,总有成立,求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)由利用能求出an=3n;(Ⅱ)先求出再求出中的最大值为,由此能求出实数m的取值范围试题解析:(Ⅰ)当时,,∴,又时,满足上式,所以.(Ⅱ),当时,,当时,,∴时,,时,,时,,∴中的最大值为.要使对于一切的正整数恒成立,只需,∴.【考点】1.数列的求和;2.数列递推式24.已知为等比数列,是它的前项和.若,且与的等差中项为,则等于( )A.B.C.D.【答案】C【解析】由,得,即;与的等差中项为,可得,得;所以,,得.故选C.【考点】等比数列的通项公式和前n项和公式;等差中项.25.已知等差数列中,等于()A.15B.30C.31D.64【答案】A【解析】根据等差数列的性质,得,所以.故选A.【考点】等差数列的性质.26.已知满足,,(1)求证:是等比数列;(2)求这个数列的通项公式.【答案】(1)见解析;(2).【解析】(1)由已知,变形为;且,所以;即数列是首项为4,公比为2的等比数列;(2)由(1)知:,所以.试题解析:(1)证明:由已知,变形为;且,所以;即数列是首项为4,公比为2的等比数列;(2)由(1)知:数列是首项为4,公比为2的等比数列,所以,所以.【考点】等比数列的定义;数列的通项公式.27.若数列满足,若数列的最小项为1,则的值为 .【答案】【解析】由题意得,数列,令,则,由,解得,此时函数单调递增;由,解得,此时函数单调递减,所以对于来说,最小值是或中的最小值,又,所以为的最小值,即,解得.【考点】利用导数研究函数的单调性及其极值(最值).【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题,着重考查了转化与化归的思想方法和推理与运算能力,属于中档试题,本题的解答中,根据给定的数列,转化为函数,利用导数研究函数的单调性,确定函数的单调性,得出数列的最小值,列出方程即可求解实数的值.28.已知等差数列中,.(1)求数列的通项公式及前项和的表达式;(2)记数列的前项和为,求的值.【答案】(1)(2)【解析】(1)由已知条件利用等差数列的通项公式求出首项与公差,由此能求出数列的通项公式及前n项和的表达式;(2)由(1)得,由此利用裂项求和法能求出的值试题解析:(1)∵等差数列中,,∴,解得,∴..(2)由(1)得,∴∴.【考点】数列的求和;等差数列的性质29.等差数列中,,则的值是()A.15B.30C.31D.64【答案】A【解析】由题意,根据等差数列的性质得,所以,故选A.【考点】等差数列的性质.30.已知数列的前项和,.(1)求的通项公式;(2)若,,求数列的前项和.【答案】(1),;(2),.【解析】(1)利用当时,和时,,即可求解的通项公式;(2)由(1)得,利用乘公比错位相减法,即可求解数列的和.试题解析:(1)由,得当时,;当时,,.所以,.(2)由(1)知,,.所以,,.故,.【考点】等差数列的通项公式;数列的求和.31.已知等差数列的公差为前n项的和为Sn,若则d = ,= ,Sn= .【答案】; ;.【解析】由题意,可知,可知,所以,.【考点】等差数列的通项公式和前项和.32.等差数列{an }中,,{bn}为等比数列,且b7=a7,则b6b8的值为()A.4B.2C.16D.8【答案】A【解析】由于是等差数列,所以,所以,或,又是等比数列,所以,.故选A.【考点】等差数列与等比数列的性质.33.已知数列各项均为正数,为其前项和,且对任意的,都有.(1)求数列的通项公式;(2)若对任意的恒成立,求实数的最大值.【答案】(1);(2)实数的最大值为.【解析】(1)利用的关系求出通项公式;(2)通过恒成立转化为求的最小值.试题解析:解:(1)当时,,又各项均为正数;数列是等差数列,;(2),若对于任意的恒成立,则法(一):令,因,所以数的最大值为【考点】1.利用的关系求出通项公式;2.恒成立问题的转化.34.对于等差数列有如下命题:“若是等差数列,,是互不相等的正整数,则有”.类比此命题,给出等比数列相应的一个正确命题是:“若是等比数列,,是互不相等的正整数,则有”.【答案】【解析】由类比推理的格式可知,等差数列是差,则等比数列是比,等差数列的差是,则等比数列的商是,故应填答案.【考点】类比推理及运用.【易错点晴】本题是一道合情推理中的类比推理题,类比的内容是等差数列与等比数列的之间的类比.所谓类比推理是指运用两个或两类对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其它方面也相似或相同的推理方法.本题的解答就是借助等差和等比数列之间的这种相似进行类比推理的.解答时将差与比进行类比,将零与进行类比,从而使得问题巧妙获解.当然这需要对类比的内涵具有较为深刻的理解和把握.35.已知数列是等比数列,是1和3的等差中项,则=A.B.C.D.【答案】D【解析】由是1和3的等差中项,得,则;由数列是等比数列,得.故选D.【考点】等差数列和等比数列的性质.36.已知等比数列中,各项都是正数,且成等差数列,则()A.B.C.D.【解析】因为等比数列中,各项都是正数,且成等差数列,所以,得,因此,故选A.【考点】1、等比数列的通项公式;2、等比、等差数列的性质.37.在等差数列中,.(1)数列的前多少项和最大?(2)求数列的前项和;【答案】(1)数列的前项和最大;(2).【解析】(1)根据题设条件,列出方程组,求得,利用等差数列的通项公式,求得通项公式,令,得出当时,,当时,,即可得到结论;(2)当,时,求得,当,时,数列的前项和为,即可得出结论.试题解析:(1)由,得,∴,令,得,∴当,时,,当,时,,∴数列的前17项和最大;(2)当,时,;当,时,,∴当,时,数列的前项和为;当,时,数列的前项和为,故.【考点】等差数列的通项公式;数列的求和.【方法点晴】本题主要考查了等差数列的通项公式的应用、数列的求和,其中解答中着重考查了分类讨论的数学思想、函数与方程思想的应用,以及学生的推理与运算能力和分析问题、解答问题的能力,试题有一点的难度,属于中档试题,本题的解答中,求出数列的通项公式,根据通项公式判断出数列的正项与负项,合理分类讨论是解答的关键.38.设数列是集合中所有的数从小到大排列成的数列,即,,,,,,…,将数列中各项按照上小下大,左小右大的原则排成如下等腰直角三角形数表:410 1228 30 36…的值为()A.B.C.D.【解析】试题分析:因为且,所以在第行,第个数,因此根据数表的数据的规律可知,应填.【考点】归纳猜想等合情推理及运用.【易错点晴】本题以等腰直角三角形数列为背景,考查的是归纳猜想的合情推理等知识的综合运用的综合问题.求解时充分借助题设条件中的有效信息,利用题设观察出每一行的数的特征和规律为,然后再确定数列中的项是第行,第个数,最后再运用数列中各项的规律,写出数.39.等差数列的前n项和为,若,则等于()A.12B.18C.24D.42【答案】C【解析】等差数列的前n项和为,则也成等差数列,即,,有,选C.【考点】等差数列的性质40.在数列中,,,则的值为()A.49B.50C.51D.52【答案】D【解析】由,得,故数列为首项为,公差为的等差数列,所以.故选 D.【考点】数列递推式.41.若是等差数列,下列数列中仍为等差数列的有()①;②;③(,为常数);④.A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】根据等差数列的定义,对于①当时,不是等差数列;②是常数,故是等差数列;③是常数,故是等差数列;④是常数,故是等差数列.故选:C.【考点】等差关系的确定.【方法点睛】本题主要考查了等差数列的定义和性质以及等差数列的判定,注重强调对基础的考查,属于容易题;一般地,如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于一个常数,那么这个数列就是等差数列,通过定义逐个验证;或者由等差数列通项公式的性质:若数列为等差数列,也可得到结果.42.在等差数列中,已知,则=A.10B.18C.20D.28【答案】C【解析】由题意得,设等差数列的公差为,则,则,故选C.【考点】等差数列的通项公式.43.已知数列的前项和为,,等差数列中,,且,又成等比数列.(1)求数列,的通项公式;(2)求数列的前项和.【答案】(1);(2).【解析】(1)由题意可知,利用恒等式构造出两者作差得出,从而可求出数列的通项公式,数列的通项公式可通过联立方程组求解;(2)可利用错位相减法对前项和进行处理进而求解.试题解析:(1)∵,∴,∴,∴,而,∴.∴数列是以为首项,为公比的等比数列,∴,∴,在等差数列中,∵,∴,又因为成等比数列,设等差数列的公差为,∴,解得或.∵,∴舍去,取,∴,∴.(2)由(1)知,,①,②①-②得,∴.【考点】1.等差数列的综合;2.等比数列的综合;3.错位相减法的运用.【方法点睛】本题主要考查的是等差数列的综合,等比数列的综合,错位相减法求数列前项和,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题,对于数列中给出的递推关系式求数列的通项公式,我们要熟练掌握常见的九种递推关系式求数列的通项公式的方法,只有求出了通项公式后面才能求数列前项和,另一方面凡是遇到等差数列和等比数列相乘做为一个数列,求这个数列的前项和,只有一个方法,错位相减的方法求解,因此正确求出数列的通项公式是解此类题目的关键.44.已知数列满足,前项和是,则满足不等式的最小正整数为______【答案】7【解析】根据题意,,化简可得;则是首项为,公比为的等比数列,进而可得,即;依题意,即,且n∈N*,分析可得n>7;即满足不等式的最小正整数n是7【考点】数列的应用;数列的求和45.设等差数列的前项和,且满足,对任意正整数,都有,则的值为()A.B.C.D.【答案】D【解析】由等差数列的求和公式及性质,可得,所以,同理可得,所以,所以,对任意正整数,都有,则,故选D.【考点】等差数列的求和公式.46.已知函数满足且.(1)当时,求的表达式;(2)设,,求证:…;(3)设,,为的前项和,当最大时,求的值.【答案】(1);(2)证明见解析;(3)或时取得最大值.【解析】(1)令,则,得到,即,即可利用等比数列的通项公式,求的表达式;(2)由(1)可知,利用乘公比错位相减法求解数列的和,即可证明结论;(3)由(1)可得,得到数列是一个首项是,公差为的等差数列,判定出时,当时,当时,即可得出的值.试题解析:(1)令,则,∴,即,∴(3分)(2)证明:设,则(5分)∴∴即(8分)(3)由(1)可得,∴数列是一个首项是4,公差为的等差数列,∴当时,当时,当时(10分)故或时取得最大值18. (12分)【考点】数列的综合问题.【方法点晴】本题主要考查了数列的综合应用问题,其中解答中涉及到抽象函数的性质的应用,等比数列的通项公式、数列的乘公比错位相减法求和和数列的性质等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力,试题有一定的难度,属于难题,其中合理赋值、准确计算是解答本题的关键.47.在等比数列中,,则()A.5B.6C.7D.8【答案】C【解析】由等比数列的通项公式,令,解得,故选C.【考点】等比数列的通项公式.48.设数列前项和为,如果那么_____________.【答案】【解析】由,即,所以当时,,两式相减,可得,即,所以,又因为,所以.【考点】数列通项公式的应用.【方法点晴】本题主要考查了数列通项公式的应用,其中解答中涉及数列的递推关系式的应用、数列的累积法等知识点的综合考查,着重考查学生分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力,试题有一定的难度,属于中档试题,本题的解答中,利用数列的递推关系式,得到,进而得到是解答的关键.49.在等差数列中,,,则的前项和()A.B.C.D.【答案】D【解析】由,即,解得,所以的前项和,故选D.【考点】等差数列的前项和.50.给出下列命题:①是的内角,且,则;②是等比数列,则也为等比数列;③在数列中,如果前项和,则此数列是一个公差为的等差数列;④是所在平面上一定点,动点P满足:,,则直线一定通过的内心;则上述命题中正确的有(填上所有正确命题的序号).【答案】①④【解析】①中,根据三角形的性质可得,再由正弦定理可得,所以是正确的;②中,当等比数列的公比为时,此时,此时数列不是等比数列,所以是错误的;③中,由,则此数列从第二项开始是一个公差为的等差数列,所以是错误的;④中,是所在平面上一定点,动点满足:,,则直线为角的平分线,所以一定通过的内心,所以是正确的,故选①④.【考点】命题的真假判定.【方法点晴】本题主要考查了命题的真假判定,其中解答中涉及到平面向量的运算、三角形的正弦定理、等比数列的定义、以及等差数列的判定及前项和公式,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力,试题有一定的难度,属于中档试题,其中熟记数列的概念和向量的基本运算是解答的关键.51.在数列中,已知对任意,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】由于,所以,两式相减得,所以是以为首项,公比为的等比数列,其前项和为.【考点】等比数列.52.设为等差数列的前项和,若,则().A.13B.14C.15D.16【答案】C【解析】设等差数列的首项是、公差是,因为,所以,解得,则=-1+8×2=15【考点】等差数列的性质;等差数列的前n项和53.《张邱建算经》是我国古代数学著作,大约创作于公元五世纪.书中有如下问题:“今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月,日织九匹三丈,问日益几何?”该题大意是:一女子擅长织布,一天比一天织的快,而且每天增加的量都一样,已知第一天织了五尺,一个月后,共织布390尺,问该女子每天增加尺.(一月按30天计)【答案】【解析】由题意得,女子织布两构成一个等差等数列,设等差数列的公差为,则一个月的织布总量为,即,解得.【考点】等差数列的求和的应用.【方法点晴】本题主要考查了数列的实际应用问题,其中解答中等差数列数列的通项公式、等差数列的求和公式等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、以及转化与化归思想的应用,本题的解答中把实际问题转化为女子织布两构成一个等差等数列,再根据等差数列的求和公式,求出公差是解答的关键,属于基础题.54.设等比数列的前项和为,,且,,成等差数列,数列满足.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.【答案】(1);(2).【解析】(1)设数列的公比为,由,,称等差数列,求解,即可求解数列的通项公式;(2)由(1)可知,利用乘公比错位相减法,求解数列的和.试题解析:(1)设数列的公比为,∵,,称等差数列,∴,∴,∵,∴,∴,∴.(2)设数列的前项和为,则,又,∴,,两式相减得w,∴.【考点】等比数列的通项公式;数列求和.【方法点晴】本题主要考查了等比数列的通项公式及数列求和,其中解答中涉及到等比数列的通项公式、等比数列的性质、数列的乘公比错位相减法求和、等知识点的综合考查,着重中考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及学生转化与化归思想的应用,本题的解答中利用乘公比错位相减法求得数列的和,准确计算是解答的关键,试题有一定的难度,属于中档试题.55.已知数列中,,,其前项和满足.(1)求证:数列为等差数列,并求的通项公式;(2)设为数列的前项和,求;(3)若对一切恒成立,求实数的最小值.【答案】(1);(2);(3)【解析】(1)利用等差数列的定义证明数列,并求数列的通项公式.(2)利用裂项法求数列的和.(3)将不等式条件转化为,进而求实数的最小值.试题解析:解:⑴由已知,,且,∴数列是以为首项,公差为1的等差数列,∴…………3分⑵,………………6分⑶∵,∴,∴,又,∴的最小值为.【考点】1.数列的求和;2.等差数列的性质.56.已知是等差数列,是等比数列,且,,,.(1)求的通项公式;(2)设,求数列的前项和.【答案】(1);(2).【解析】(1)借助题设条件运用等差数列等比数列的有关知识求解;(2)借助题设运用等差数列等比数列的求和公式探求.试题解析:(1)等比数列的公比,所以,,设等差数列的公差为,因为,,所以,即,所以……………………………………………………………………5分(2)由(1)知,,,因此,从而数列的前项和.…………………10分【考点】等差数列等比数列的通项及前项和公式等有关知识的综合运用.57.已知(为常数,且),设是首项为4,公差为2的等差数列.(Ⅰ)求证:数列是等比数列;(Ⅱ)若,记数列的前n项和为,当时,求;【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)【解析】(1)根据等差数列的通项公式可求得f(x)的解析式,进而求得,进而根据推断出数列是以为首项,为公比的等比数列;(2)把(1)中的代入求得,把m代入,进而利用错位相减法求得.试题解析:(Ⅰ)由题意即∴∴∵且,∴为非零常数,∴数列是以为首项,为公比的等比数列(Ⅱ)由题意,当∴①①式乘以2,得②②-①并整理,得。
高二数学数列试题答案及解析
高二数学数列试题答案及解析1.在数列{an }中,a1=2,,则an=()A.2+lnn B.2+(n-1)lnn C.2+nlnn D.1+n+lnn【答案】A【解析】因为根据已知a1=2,,运用累加法可知an=2+lnn 选A.2.在等比数列中,已知,则该数列的前15项的和。
【答案】11【解析】因为在等比数列中,已知,则根据连续三项的和依然成等比数列可知,该数列的前15项的和11.故答案为11.3.三个数a,b,c既是等差数列,又是等比数列,则a,b,c间的关系为 ( )A.b-a=c-b B.b2=acC.a=b=c D.a=b=c≠0【答案】D【解析】由于此数列即是等差数列,又是等比数列,所以此数列是一定是非零常数列,所以a=b=c≠0.4.设数列的前项和为,则 .【答案】1007【解析】.5.已知等比数列满足,且,则当时, .【答案】【解析】因为6.数列的一个通项公式是( )A.B.C.D.【答案】D【解析】分别观察分子和分母规律可看出通项公式为.7.(本题满分14分)已知数列前项和(1)求数列的通项公式;(2)令,求证:数列{}的前n项和.【答案】(1);(2)见解析。
【解析】(1)由可求出的通项公式.(2)在(1)的基础上,可知,然后采用裂项求和的方法求和即可.(1)数列的通项公式是(2)由(1)知当时,8.在等比数列中,,则()A.B.C.D.【答案】A【解析】主要考查等比数列的概念、通项公式及前n项求和公式。
解:由得,所以,,从而=,故选A。
9.在等比数列中,已知,则= ()A.8B.-8C.D. 16【答案】A【解析】主要考查等比数列的概念、通项公式。
解:因为,所以,,,故选A。
10.等差数列中,,则等于()A. 11B. 9C. 9或18D. 18【答案】B【解析】主要考查等差数列的概念、通项公式及前n项求和公式。
解:由,所以等于9,故选B。
11.。
【答案】2550【解析】主要考查等差数列的概念、通项公式及前n项求和公式。
高二数学数列练习题(含答案)
高二《数列》专题1.n S 与n a 的关系:11(1)(1)n n n S n a S S n -=⎧⎪=⎨->⎪⎩ ,已知n S 求n a ,应分1=n 时1a = ;2≥n 时,n a =两步,最后考虑1a 是否满足后面的n a . 2.等差等比数列3.数列通项公式求法。
(1)定义法(利用等差、等比数列的定义);(2)累加法 (3)累乘法(n n n c a a =+1型);(4)利用公式11(1)(1)n n n S n a S S n -=⎧⎪=⎨->⎪⎩;(5)构造法(b ka a n n +=+1型)(6) 倒数法 等4.数列求和 (1)公式法;(2)分组求和法;(3)错位相减法;(4)裂项求和法;(5)倒序相加法。
5. n S 的最值问题:在等差数列{}n a 中,有关n S 的最值问题——常用邻项变号法求解:(1)当0,01<>d a 时,满足⎩⎨⎧≤≥+001m m a a 的项数m 使得m S 取最大值.(2)当 0,01><d a 时,满足⎩⎨⎧≥≤+001m m a a 的项数m 使得m S 取最小值。
也可以直接表示n S ,利用二次函数配方求最值。
在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
6.数列的实际应用现实生活中涉及到银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、图形面积、等实际问题,常考虑用数列的知识来解决.训练题一、选择题1.已知等差数列{}n a 的前三项依次为1a -、1a +、23a +,则2011是这个数列的 ( B ) A.第1006项B.第1007项C. 第1008项D. 第1009项2.在等比数列}{n a 中,485756=-=+a a a a ,则10S 等于 (A ) A .1023 B .1024 C .511 D .5123.若{a n }为等差数列,且a 7-2a 4=-1,a 3=0,则公差d =( )A .-2B .-12 C.12 D .2由等差中项的定义结合已知条件可知2a 4=a 5+a 3,∴2d =a 7-a 5=-1,即d =-12.故选B.4.已知等差数列{a n }的公差为正数,且a 3·a 7=-12,a 4+a 6=-4,则S 20为( A )A.180B.-180C.90D.-905.(2010青岛市)已知{}n a 为等差数列,若π=++951a a a ,则28cos()a a +的值为( A ) A .21-B .23-C .21D .236.在等比数列{a n }中,若a 3a 5a 7a 9a 11=243,则a 29a 11的值为( )A .9B .1C .2D .3 解析 由等比数列性质可知a 3a 5a 7a 9a 11=a 57=243,所以得a 7=3,又a 29a 11=a 7a 11a 11=a 7,故选D.7.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1+a 5=12S 5,且a 9=20,则S 11=( )A .260B .220C .130D .110解析 ∵S 5=a 1+a 52×5,又∵12S 5=a 1+a 5,∴a 1+a 5=0.∴a 3=0,∴S 11=a 1+a 112×11=a 3+a 92×11=0+202×11=110,故选D.8各项均不为零的等差数列{a n }中,若a 2n -a n -1-a n +1=0(n ∈N *,n ≥2),则S 2 009等于A .0B .2C .2 009D .4 018解析 各项均不为零的等差数列{a n },由于a 2n -a n -1-a n +1=0(n ∈N *,n ≥2),则a 2n -2a n=0,a n =2,S 2 009=4 018,故选D.9.数列{a n }是等比数列且a n >0,a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=25,那么a 3+a 5的值等于A .5B .10C .15D .20解析 由于a 2a 4=a 23,a 4a 6=a 25,所以a 2·a 4+2a 3·a 5+a 4·a 6=a 23+2a 3a 5+a 25=(a 3+a 5)2=25.所以a 3+a 5=±5.又a n >0,所以a 3+a 5=5.所以选A.10. 首项为1,公差不为0的等差数列{a n }中,a 3,a 4,a 6是一个等比数列的前三项,则这个等比数列的第四项是( )A .8B .-8C .-6D .不确定答案 B解析 a 24=a 3·a 6⇒(1+3d )2=(1+2d )·(1+5d ) ⇒d (d +1)=0⇒d =-1,∴a 3=-1,a 4=-2,∴q =2.∴a 6=a 4·q =-4,第四项为a 6·q =-8.11.在△ABC 中,tan A 是以-4为第三项,4为第七项的等差数列的公差,tan B 是以31为第三项,9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是(B ) A.钝角三角形 B.锐角三角形C.等腰三角形D.非等腰的直角三角形12、(2009澄海)记等差数列{}n a 的前项和为n s ,若103s s =,且公差不为0,则当n s 取最大值时,=n ( )CA .4或5B .5或6C .6或7D .7或813.在等差数列{a n }中,前n 项和为S n ,且S 2 011=-2 011,a 1 007=3,则S 2 012的值为A .1 006B .-2 012C .2 012D .-1 006答案 C 解析 方法一 设等差数列的首项为a 1,公差为d ,根据题意可得, ⎩⎪⎨⎪⎧S 2 011=2 011a 1+2 011×(2 011-1)2d =-2 011,a 1 007=a 1+1 006d =3,即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+1 005d =-1,a 1+1 006d =3,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-4 021,d =4. 所以,S 2 012=2 012a 1+2 012×(2 012-1)2d=2 012×(-4 021)+2 012×2 011×2 =2 012×(4 022-4 021)=2012.方法二 由S 2 011=2 011(a 1+a 2 011)2=2 011a 1 006=-2 011, 解得a 1 006=-1,则S 2 012=2 012(a 1+a 2 012)2=2 012(a 1 006+a 1 007)2=2 012×(-1+3)2=2 012.14.设函数f (x )满足f (n +1)=2f (n )+n 2(n ∈N*),且f (1)=2,则f (20)=( B ) A .95 B .97 C .105D .192解析f (n +1)=f (n )+n 2,∴⎩⎪⎨⎪⎧f (20)=f (19)+192,f (19)=f (18)+182,……f (2)=f (1)+12.累加,得f (20)=f (1)+(12+22+…+192)=f (1)+19×204=97.15.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1)1log 2+=+n S n (,则通项公式为(B )A.)(2*N n a n n ∈= B. ⎩⎨⎧≥==)2(2)1(3n n a n nC. )(2*1N n a n n ∈=+ D. 以上都不正确16.一种细胞每3分钟分裂一次,一个分裂成两个,如果把一个这种细胞放入某个容器内,恰好一小时充满该容器,如果开始把2个这种细胞放入该容器内,则细胞充满该容器的时间为 ( D ) A .15分钟 B .30分钟 C .45分钟 D .57分钟 二、填空题1、等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2=1,a 3=3,则S 4= 8.2.(2008·广东理,2)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=21,S 4=20,则S 6= . 48 3..(2010广州一模).在等比数列{}n a 中,11a =,公比2q =,若64n a =,则n 的值为 .7 4.(2008·海南、宁夏理,4)设等比数列{a n }的公比q =2,前n 项和为S n ,则24a S = . 2155.等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ,若S n T n =2n 3n +1,则a 100b 100=________.答案 199299 解析 a 100b 100=a 1+a 1992b 1+b 1992=S 199T 199=1992996、数列{}n a 的前n 项和记为()11,1,211n n n S a a S n +==+≥则{}n a 的通项公式 解:(Ⅰ)由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥,两式相减得()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥又21213a S =+= ∴213a a = 故{}n a 是首项为1,公比为3得等比数列 ∴13n n a -=7.已知各项都为正数的等比数列{a n }中,a 2·a 4=4,a 1+a 2+a 3=14,则满足a n ·a n +1·a n +2>19的最大正整数n 的值为________.答案 4解析 设等比数列{a n }的公比为q ,其中q >0,依题意得a 23=a 2·a 4=4.又a 3>0,因此a 3=a 1q 2=2,a 1+a 2=a 1+a 1q =12,由此解得q =12,a 1=8,a n =8×(12)n -1=24-n ,a n ·a n +1·a n +2=29-3n .由于2-3=18>19,因此要使29-3n >19,只要9-3n ≥-3,即n ≤4,于是满足a n ·a n +1·a n +2>19的最大正整数n 的值为4.8.等比数列{a n }的首项为a 1=1,前n 项和为S n ,若S 10S 5=3132,则公比q 等于________.答案 -12 解析 因为S 10S 5=3132,所以S 10-S 5S 5=31-3232=-132,即q 5=(-12)5,所以q =-12.三、解答题1(2010山东理数)(18)(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 满足:37a =,5726a a +=,{}n a 的前n 项和为n S . (Ⅰ)求n a 及n S ; (Ⅱ)令b n =211n a -(n ∈N *),求数列{}n b 的前n 项和n T . 1【解析】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ,因为37a =,5726a a +=,所以有112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩,解得13,2a d ==, 所以321)=2n+1n a n =+-(;n S =n(n-1)3n+22⨯=2n +2n 。
高中数学数列经典题型专题训练试题(含答案)
高中数学数列经典题型专题训练试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________说明:1、本试卷包括第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分100分。
考试时间120分钟。
2、考生请将第Ⅰ卷选择题的正确选项填在答题框内,第Ⅱ卷直接答在试卷上。
考试结束后,只收第Ⅱ卷第Ⅰ卷(选择题)一.单选题(共15小题,每题2分,共30分)1.数列{a n},已知对任意正整数n,a1+a2+a3+…+a n=2n-1,则a12+a22+a32+…+a n2等于()A.(2n-1)2B.C.D.4n-12.若{a n}为等比数列a5•a11=3,a3+a13=4,则=()A.3B.C.3或D.-3或-3.已知各项均为正数的等比数列{a n},a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=()A.B.7C.6D.4.等差数列{a n}中,a1=1,a3=4,则公差d等于()A.1B.2C.D.5.数列的前n项和为S n,a n=,则S n≥0的最小正整数n的值为()6.若数列{a n}的前n项和S n=2n2-2n,则数列{a n}是()A.公差为4的等差数列B.公差为2的等差数列C.公比为4的等比数列D.公比为2的等比数列7.已知数列{a n}的前n项和S n=2n-1,则此数列奇数项的前n项和为()A.B.C.D.8.在等比数列{a n} 中,a1=4,公比为q,前n项和为S n,若数列{S n+2}也是等比数列,则q 等于()A.2B.-2C.3D.-39.在数列{a n}中,a1=2,a2=2,a n+2-a n=1+(-1)n,n∈N*,则S60的值为()A.990B.1000C.1100D.9910.若数列{a n}是公差为2的等差数列,则数列是()A.公比为4的等比数列B.公比为2的等比数列C.公比为的等比数列D.公比为的等比数列11.在数列{a n}中,a1=0,a n=4a n-1+3,则此数列的第5项是()A.252B.255C.215D.52212.数列{a n}、{b n}满足a n•b n=1,a n=n2+3n+2,则{b n}的前10项之和等于()A.B.C.D.13.等比数列{a n}中,a1+a2=8,a3-a1=16,则a3等于()14.已知在等比数列{a n}中,S n为其前n项和,且a4=2S3+3,a5=2S4+3,则此数列的公比q为()A.2B.C.3D.15.数列{a n}的通项,则数列{a n}中的最大项是()A.第9项B.第8项和第9项C.第10项D.第9项和第10项二.填空题(共10小题,每题2分,共20分)16.已知等差数列{a n},有a1+a2+a3=8,a4+a5+a6=-4,则a13+a14+a15=______.17.在等差数列{a n}中,a3+a5+a7+a9+a11=20,则a1+a13=______.18.数列{a n}的通项公式为a n=2n+2n-1,则数列a n的前n项和为______.19.数列{a n}中,a1=1,a n+1=2a n+1,则通项a n=______.20.数列{a n}是公差不为0的等差数列,且a2+a6=a8,则=______.21.已知数列{a n},a n+1=2a n+1,且a1=1,则a10=______.22.设正项等比数列{an}的公比为q,且,则公比q=______.23.已知数列{a n}满足a1=3,a n+1=2a n+1,则数列{a n}的通项公式a n=______.24.数列{a n}为等差数列,已知a3+2a8+a9=20,则a7______.25.设数列{a n}为正项等比数列,且a n+2=a n+1+a n,则其公比q=______.第Ⅱ卷(非选择题)三.简答题(共5小题,50分)26.(10分)已知等差数列{a n},前n项和为S n=n2+Bn,a7=14.(1)求B、a n;(2)设c n=n•,求T n=c1+c2+…+c n.27.(8分)已知等差数列{a n}满足:a5=11,a2+a6=18(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)若b n=a n+3n,求数列{b n}的前n项和S n.28.(7分)已知数列{a n}是公差不为0的等差数列,a1=2,且a2,a3,a4+1成等比数列.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)设b n=,求数列{b n}的前n项和S n.29.(12分)已知数列{a n}满足.(1)求a2,a3,a4的值;(2)求证:数列{a n-2}是等比数列;(3)求a n,并求{a n}前n项和S n.30.(12分)在数列{a n}中,a1=16,数列{b n}是公差为-1的等差数列,且b n=log2a n(Ⅰ)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(Ⅱ)在数列{b n}中,若存在正整数p,q使b p=q,b q=p(p>q),求p,q得值;(Ⅲ)若记c n=a n•b n,求数列{c n}的前n项的和S n.参考答案一.单选题(共__小题)1.数列{a n},已知对任意正整数n,a1+a2+a3+…+a n=2n-1,则a12+a22+a32+…+a n2等于()A.(2n-1)2B.C.D.4n-1答案:C解析:解:∵a1+a2+a3+…+a n=2n-1…①∴a1+a2+a3+…+a n-1=2n-1-1…②,①-②得a n=2n-1,∴a n2=22n-2,∴数列{a n2}是以1为首项,4为公比的等比数列,∴a12+a22+a32+…+a n2==,故选C.2.若{a n}为等比数列a5•a11=3,a3+a13=4,则=()A.3B.C.3或D.-3或-答案:C解析:解:∵{a n}为等比数列a5•a11=3,∴a3•a13=3①∵a3+a13=4②由①②得a3=3,a13=1或a3=1,a13=3∴q10=或3,∴=或3,故选C.3.已知各项均为正数的等比数列{a n},a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=()A.B.7C.6D.答案:A解析:解:a1a2a3=5⇒a23=5;a7a8a9=10⇒a83=10,a52=a2a8,∴,∴,故选A.4.等差数列{a n}中,a1=1,a3=4,则公差d等于()A.1B.2C.D.答案:D解析:解:∵数列{a n}是等差数列,a1=1,a3=4,∴a3=a1+2d,即4=1+2d,解得d=.故选:D.5.数列的前n项和为S n,a n=,则S n≥0的最小正整数n的值为()A.12B.13C.14D.15答案:A解析:解:令a n=<0,解得n≤6,当n>7时,a n>0,且a6+a7=a5+a8=a4+a9=a3+a10=a2+a11=a1+a12=0,所以S12=0,S13>0,即使S n≥0的最小正整数n=12.故选A.6.若数列{a n}的前n项和S n=2n2-2n,则数列{a n}是()A.公差为4的等差数列B.公差为2的等差数列C.公比为4的等比数列D.公比为2的等比数列答案:A解析:解:∵S n=2n2-2n,则S n-S n-1=a n=2n2-2n-[2(n-1)2-2(n-1)]=4n-4故数列{a n}是公差为4的等差数列故选A.7.已知数列{a n}的前n项和S n=2n-1,则此数列奇数项的前n项和为()A.B.C.D.答案:C解析:解:当n=1时,a1=S1=21-1=1,当n≥2时,a n=Sn-Sn-1=2n-1-(2n-1-1)=2•2n-1-2n-1=2n-1,对n=1也适合∴a n=2n-1,∴数列{a n}是等比数列,此数列奇数项也构成等比数列,且首项为1,公比为4.∴此数列奇数项的前n项和为==故选C8.在等比数列{a n} 中,a1=4,公比为q,前n项和为S n,若数列{S n+2}也是等比数列,则q 等于()A.2B.-2C.3D.-3答案:C解析:解:由题意可得q≠1由数列{S n+2}也是等比数列可得s1+2,s2+2,s3+2成等比数列则(s2+2)2=(S1+2)(S3+2)代入等比数列的前n项和公式整理可得(6+4q)2=24(1+q+q2)+12解可得q=3故选C.9.在数列{a n}中,a1=2,a2=2,a n+2-a n=1+(-1)n,n∈N*,则S60的值为()A.990B.1000C.1100D.99答案:A解析:解:当n为奇数时,a n+2-a n=1+(-1)n=0,可得a1=a3=…=a59=2.当n为偶数时,a n+2-a n=1+(-1)n=2,∴数列{a2n}为等差数列,首项为2,公差为2,∴a2+a4+…+a60=30×2+=930.∴S60=(a1+a3+…+a59)+(a2+a4+…+a60)=30×2+930=990.故选:A.10.若数列{a n}是公差为2的等差数列,则数列是()A.公比为4的等比数列B.公比为2的等比数列C.公比为的等比数列D.公比为的等比数列答案:A解析:解:∵数列{a n}是公差为2的等差数列∴a n=a1+2(n-1)∴∴数列是公比为4的等比数列故选A11.在数列{a n}中,a1=0,a n=4a n-1+3,则此数列的第5项是()A.252B.255C.215D.522答案:B解析:解:由a n=4a n-1+3可得a n+1=4a n-1+4=4(a n-1+1),故可得=4,由题意可得a1+1=1即数列{a n+1}为首项为1,公比为4的等比数列,故可得a5+1=44=256,故a5=255故选B12.数列{a n}、{b n}满足a n•b n=1,a n=n2+3n+2,则{b n}的前10项之和等于()A.B.C.D.答案:B解析:解:∵a n•b n=1∴b n==∴s10==(-)+=-=故选项为B.13.等比数列{a n}中,a1+a2=8,a3-a1=16,则a3等于()A.20B.18C.10D.8答案:B解析:解:设等比数列{a n}的公比为q,∵a1+a2=8,a3-a1=16,∴,解得,∴=2×32=18.故选:B.14.已知在等比数列{a n}中,S n为其前n项和,且a4=2S3+3,a5=2S4+3,则此数列的公比q为()A.2B.C.3D.答案:C解析:解:∵a4=2S3+3,a5=2S4+3,即2S4=a5-3,2S3=a4-3∴2S4-2S3=a5-3-(a4-3)=a5-a4=2a4,即3a4=a5∴3a4=a4q解得q=3,故选C15.数列{a n}的通项,则数列{a n}中的最大项是()A.第9项B.第8项和第9项C.第10项D.第9项和第10项答案:D解析:解:由题意得=,∵n是正整数,∴=当且仅当时取等号,此时,∵当n=9时,=19;当n=9时,=19,则当n=9或10时,取到最小值是19,而取到最大值.故选D.二.填空题(共__小题)16.已知等差数列{a n},有a1+a2+a3=8,a4+a5+a6=-4,则a13+a14+a15=______.答案:-40解析:解:设等差数列{a n}的公差为d,∵a1+a2+a3=8,a4+a5+a6=-4,∵a4+a5+a6=(a1+3d)+(a2+3d)+(a3+3d)=a1+a2+a3+9d,∴-4=8+9d,解得d=-,∴a13+a14+a15=a1+a2+a3+36d=8-×36=-40,故答案为:-4017.在等差数列{a n}中,a3+a5+a7+a9+a11=20,则a1+a13=______.答案:8解析:解:由等差数列的性质可得a3+a5+a7+a9+a11=(a3+a11)+a7+(a5+a9)=2a7+a7+2a7=5a7=20∴a7=4∴a1+a13=2a7=8故答案为:818.(2015秋•岳阳校级月考)数列{a n}的通项公式为a n=2n+2n-1,则数列a n的前n项和为______.答案:2n+n2-1解析:解:数列a n的前n项和S n=(2+22+23+…+2n)+[1+3+5+…+(2n-1)]=+=2n-1+n2.故答案为:2n-1+n2.19.数列{a n}中,a1=1,a n+1=2a n+1,则通项a n=______.答案:2n-1解析:解:由题可得,a n+1+1=2(a n+1),则=2,又a1=1,则a1+1=2,所以数列{a n+1}是以2为首项、公比的等比数列,所以a n+1=2•2n-1=2n,则a n=2n-1.故答案为:2n-1.20.数列{a n}是公差不为0的等差数列,且a2+a6=a8,则=______.答案:3解析:解:设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,由a2+a6=a8,得a1+d+a1+5d=a1+7d,即a1=d,所以==.故答案为3.21.已知数列{a n},a n+1=2a n+1,且a1=1,则a10=______.答案:1023解析:解:由题意,两边同加1得:a n+1+1=2(a n+1),∵a1+1=2∴{a n+1}是以2为首项,以2为等比数列∴a n+1=2•2n-1=2n∴a n=2n-1∴a10=1024-1=1023.故答案为:1023.22.设正项等比数列{an}的公比为q,且,则公比q=______.答案:解析:解:由题意知得∴6q2-q-1=0∴q=或q=-(与正项等比数列矛盾,舍去).故答案为:23.已知数列{a n}满足a1=3,a n+1=2a n+1,则数列{a n}的通项公式a n=______.答案:2n+1-1解析:解:由题意知a n+1=2a n+1,则a n+1+1=2a n+1+1=2(a n+1)∴=2,且a1+1=4,∴数列{a n+1}是以4为首项,以2为公比的等比数列.则有a n+1=4×2n-1=2n+1,∴a n=2n+1-1.24.数列{a n}为等差数列,已知a3+2a8+a9=20,则a7______.答案:=5解析:解:等差数列{a n}中,∵a3+2a8+a9=20,∴(a1+2d)+2(a1+7d)+(a1+8d)=4a1+24d=4(a1+6d)=4a7=20,∴a7=5.故答案为:5.25.设数列{a n}为正项等比数列,且a n+2=a n+1+a n,则其公比q=______.答案:解析:解:由题设条件知a1+a1q=a1q2,∵a1>0,∴q2-q-1=0解得,∵数列{a n}为正项等比数列,∴.故答案:.三.简答题(共__小题)26.已知等差数列{a n},前n项和为S n=n2+Bn,a7=14.(1)求B、a n;(2)设c n=n•,求T n=c1+c2+…+c n.答案:解:(1)∵a7=14.即a7=S7-S6=72+7B-62-6B=14.解得B=1,当n=1时,a1=S1=2;当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n.n=1时也适合∴a n=2n(2)由(1)c n=n•=n•4n,T n=c1+c2+…+c n.=1•41+2•42+3•43+…n•4n①4T n=1•42+2•43+3•44+…(n-1)•4n+n•4n+1,②①-②得-3T n=41+42+43+…4n-n•4n+1=-n•4n+1=•4n+1∴T n=•4n+1解析:解:(1)∵a7=14.即a7=S7-S6=72+7B-62-6B=14.解得B=1,当n=1时,a1=S1=2;当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n.n=1时也适合∴a n=2n(2)由(1)c n=n•=n•4n,T n=c1+c2+…+c n.=1•41+2•42+3•43+…n•4n①4T n=1•42+2•43+3•44+…(n-1)•4n+n•4n+1,②①-②得-3T n=41+42+43+…4n-n•4n+1=-n•4n+1=•4n+1∴T n=•4n+127.已知等差数列{a n}满足:a5=11,a2+a6=18(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)若b n=a n+3n,求数列{b n}的前n项和S n.答案:解:(Ⅰ)设等差数列{a n}的公差为d,∵a5=11,a2+a6=18,∴,解得a1=3,d=2.∴a1=2n+1.(Ⅱ)由(I)可得:b n=2n+1+3n.∴S n=[3+5+…+(2n+1)]+(3+32+…+3n)=+=n2+2n+-.解析:解:(Ⅰ)设等差数列{a n}的公差为d,∵a5=11,a2+a6=18,∴,解得a1=3,d=2.∴a1=2n+1.(Ⅱ)由(I)可得:b n=2n+1+3n.∴S n=[3+5+…+(2n+1)]+(3+32+…+3n)=+=n2+2n+-.28.已知数列{a n}是公差不为0的等差数列,a1=2,且a2,a3,a4+1成等比数列.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)设b n=,求数列{b n}的前n项和S n.答案:解:(Ⅰ)设数列{a n}的公差为d,由a1=2和a2,a3,a4+1成等比数列,得(2+2d)2-(2+d)(3+3d),解得d=2,或d=-1,当d=-1时,a3=0,与a2,a3,a4+1成等比数列矛盾,舍去.∴d=2,∴a n=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n.即数列{a n}的通项公式a n=2n;(Ⅱ)由a n=2n,得b n==,∴S n=b1+b2+b3+…+b n==.解析:解:(Ⅰ)设数列{a n}的公差为d,由a1=2和a2,a3,a4+1成等比数列,得(2+2d)2-(2+d)(3+3d),解得d=2,或d=-1,当d=-1时,a3=0,与a2,a3,a4+1成等比数列矛盾,舍去.∴d=2,∴a n=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n.即数列{a n}的通项公式a n=2n;(Ⅱ)由a n=2n,得b n==,∴S n=b1+b2+b3+…+b n==.29.已知数列{a n}满足.(1)求a2,a3,a4的值;(2)求证:数列{a n-2}是等比数列;(3)求a n,并求{a n}前n项和S n.答案:解:(1)∵数列{a n}满足,∴.…(3分)(2)∵,又a1-2=-1,∴数列{a n-2}是以-1为首项,为公比的等比数列.…(7分)(注:文字叙述不全扣1分)(3)由(2)得,…(9分)∴.…(12分)解析:解:(1)∵数列{a n}满足,∴.…(3分)(2)∵,又a1-2=-1,∴数列{a n-2}是以-1为首项,为公比的等比数列.…(7分)(注:文字叙述不全扣1分)(3)由(2)得,…(9分)∴.…(12分)30.在数列{a n}中,a1=16,数列{b n}是公差为-1的等差数列,且b n=log2a n(Ⅰ)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(Ⅱ)在数列{b n}中,若存在正整数p,q使b p=q,b q=p(p>q),求p,q得值;(Ⅲ)若记c n=a n•b n,求数列{c n}的前n项的和S n.答案:解:(Ⅰ)数列{a n}中,a1=16,数列{b n}是公差为-1的等差数列,且b n=log2a n;∴b n+1=log2a n+1,∴b n+1-b n=log2a n+1-log2a n=log2=-1;∴=,∴{a n}是等比数列,通项公式为a n=16×=;∴{b n}的通项公式b n=log2a n=log2=5-n;(Ⅱ)数列{b n}中,∵b n=5-n,假设存在正整数p,q使b p=q,b q=p(p>q),则,解得,或;(Ⅲ)∵a n=,b n=5-n,∴c n=a n•b n=(5-n)×;∴{c n}的前n项和S n=4×+3×+2×+…+[5-(n-1)]×+(5-n)×①,∴s n=4×+3×+2×+…+[5-(n-1)]×+(5-n)×②;①-②得:s n=4×----…--(5-n)×=64--(5-n)×=48+(n-3)×;∴s n=96+(n-3)×.解析:解:(Ⅰ)数列{a n}中,a1=16,数列{b n}是公差为-1的等差数列,且b n=log2a n;∴b n+1=log2a n+1,∴b n+1-b n=log2a n+1-log2a n=log2=-1;∴=,∴{a n}是等比数列,通项公式为a n=16×=;∴{b n}的通项公式b n=log2a n=log2=5-n;(Ⅱ)数列{b n}中,∵b n=5-n,假设存在正整数p,q使b p=q,b q=p(p>q),则,解得,或;(Ⅲ)∵a n=,b n=5-n,∴c n=a n•b n=(5-n)×;∴{c n}的前n项和S n=4×+3×+2×+…+[5-(n-1)]×+(5-n)×①,∴s n=4×+3×+2×+…+[5-(n-1)]×+(5-n)×②;①-②得:s n=4×----…--(5-n)×=64--(5-n)×=48+(n-3)×;∴s n=96+(n-3)×.。
【必刷题】2024高二数学上册数列求和技巧专项专题训练(含答案)
【必刷题】2024高二数学上册数列求和技巧专项专题训练(含答案)试题部分一、选择题:1. 已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn = n^2 + n,则数列{an}的通项公式为()A. an = 2nB. an = 2n + 1C. an = n + 1D. an = n^22. 等差数列{an}的前5项和为35,第5项为15,则数列的公差为()A. 2B. 3C. 4D. 53. 已知数列{an}的通项公式为an = 3n 2,则数列的前10项和为()A. 85B. 95C. 105D. 1154. 等比数列{an}的首项为2,公比为3,前4项和为()A. 80B. 81C. 82D. 835. 数列{an}的通项公式为an = 2^n,则数列的前5项和为()A. 30B. 31C. 32D. 336. 已知数列{an}的通项公式为an = n^2 + n,则数列的前6项和为()A. 126B. 136C. 146D. 1567. 等差数列{an}的公差为2,第7项为17,则数列的前7项和为()A. 84B. 88C. 92D. 968. 等比数列{an}的首项为3,公比为1/2,前5项和为()A. 15/2B. 17/2C. 19/2D. 21/29. 数列{an}的通项公式为an = n(n+1),则数列的前4项和为()A. 20B. 24C. 28D. 3210. 已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn = n^3 + n^2,则数列{an}的通项公式为()A. an = 3n^2 + 2nB. an = 3n^2 + 3nC. an = 2n^2 + 3nD. an = 2n^2 + 2n二、判断题:1. 等差数列的前n项和公式为Sn = n(a1 + an)/2。
()2. 等比数列的前n项和公式为Sn = a1(1 q^n)/(1 q),其中q为公比。
()3. 数列{an}的通项公式为an = 2n,则数列的前n项和为n^2。
高二数学数列试题答案及解析
高二数学数列试题答案及解析1.等比数列的前项和为,且成等差数列.若,则=()A.7B.8C.15D.16【答案】C【解析】∵成等差数列,∴,∴,即,∴,∴.【考点】等差数列的性质、等比数列的前n项和.2.将一个骰子连续抛掷三次,它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为.【答案】【解析】一个骰子连续抛掷三次它落地时向上的点数情况共有种, 若落地时向上的点数依次成等差数列时情况有: 可能为连续的三个数组成的递增数列,还可能不连续的三个数组成的递增数列, .同理可得以上两种情况的递减数列,另外还有可能是三个数相同的常数列,所以共有种情况,所以所求概率为.【考点】1排列组合;2概率.3.在等比数列中,对于任意都有,则.【答案】【解析】令,得;由等比数列的性质,得.【考点】1.赋值法;2.等比数列的性质.4.已知数列满足,则= ()A.B.C.D.【答案】【解析】∵,∴,∴,所以数列的奇数项与偶数项分别成等比数列,公比为2,又,故,所以.【考点】递推公式,等比数列,分组求和,等比数列的前项和5.已知为等比数列,,,则()A.B.C.D.【答案】D【解析】因为为等比数列,所以,或.设公比为,当时,,当时,综上可得.故D正确.【考点】1等比数列的通项公式;2等比数列的性质.6.已知数列中,函数.(1)若正项数列满足,试求出,,,由此归纳出通项,并加以证明;,且,求证:(2)若正项数列满足(n∈N*),数列的前项和为Tn.【答案】(1)证明详见解析;(2)证明详见解析.【解析】本题主要考查数列的通项及前n项和等基础知识,考查学生的运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题.第一问,通过对两边同时取倒数、变形可知数列是以1为首项、为公比的等比数列,进而计算可得结论;第二问,通过(n∈N*)变形可知,进而累乘得:,进而,通过裂项、放缩可知,并项相加即得结论.试题解析:(1)依题意,,,,由此归纳得出:;证明如下:∵,∴,∴,∴数列是以1为首项、为公比的等比数列,∴,∴;(2)∵(n∈N*),∴,∴,累乘得:,∴,即,∴,∵,∴.【考点】数列的求和;归纳推理.7.设数列的前项和为,已知(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)若数列满足,数列的前项和为.求【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)由可得,,而,则(Ⅱ)由及可得利用错位相减即可求出结果,即可求出结果.试题解析:(Ⅰ)由可得,而,则(Ⅱ)由及可得..【考点】1.数列的递推公式;2.错位相减法求和.【方法点睛】本题主要考查了利用数列递推公式求出数列的通项公式,在解决此类问题时,一般利用来求数列的通项公式;在数列求和时如果通项公式可换成,其中数列分别是等差数列和等比数列,一般采用错位相减法进行求和.8.(本小题满分12分)已知正项数列的首项为,前项和为满足.(1)求证:为等差数列,并求数列的通项公式;(2)记数列的前项和为,若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】(1)当时,由代入已知式分解因式可得,由此可证数列是等差数列,并求出数列的通项公式,再由即可求出数列数列的通项公式;(2)由,即用裂项相消法求出,又可得,解之即可.试题解析:(1)当时,,即,数列是首项为,公差为的等差数列,故,故,当时也成立,(6分)(2), (8分)(10分)又,,解得或,即所求实数的取值范围为(12分)【考点】1.与关系;2.等差数列的定义与性质;3.裂项相消法求和;4.数列与不等式.【名师】本题主要考查数列中与关系、等差数列的定义与性质、裂项相消法求和以及数列与不等式的综合应用等知识.解题时首先利用与关系进行转化,得到数列前后项之间的关系,从而讲明数列是等差数列,进一步求出数列的退项公式;由于数列是等差数列,所以在求数列的前项和为时,可用裂项相消法求解.9.(本小题满分12分)等差数列的前n项和记为,已知,求n.【答案】【解析】本题主要考查等差数列的通项公式及前n项和公式等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.利用等差数列的通项公式将和展开,列出方程组,解出和d的值,即得到等差数列的通项公式,由,利用等差数列的前n项和得,解方程求得项数n的值.试题解析:由,得方程组,解得,所以.,得,解得或(舍去).【考点】等差数列的通项公式及前n项和公式.10.数列1,,,,,,,,,……的前100项之和为()A.10B.C.11D.【答案】A【解析】观察数列特点可知分母为1的有一项,分母为3的有三项,分母为5的有五项,以此类推分母为的有项,所以,即分母为19的分数写完后刚好100项,因此前100项求和时将分母相同的分组求和可得到和为10【考点】数列求和11.在等比数列{an }中,如果a1+a2=40,a3+a4=60,那么a5+a6=()A.80B.90C.95D.100【答案】B【解析】等比数列中【考点】等比数列性质12.(本题满分13分)设数列和满足:,(1)求数列和的通项公式;(2)当时,不等式恒成立,试求常数的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】(1)由已知可得,又因为,所以为首项为,公比为的等比数列,从而可得的通项公式;由可得当时,两式相减得,,当时也满足,.记,又因为,所以,再将其左右两边同时乘以得,然后利用错位相减得,,可化简得即,,.试题解析:(1),为首项为,公比为的等比数列,又①令令②①-②得,,当时,满足此式。
最全面高二数学数列练习题(含答案)(精华版)
高二 《数列 》专题(n 1) S 1 S nS n 求 a n , 应分 n 1 时 a 1; n 2 时 ,1 . S n 与 a n 的关系 : a n, 已知 S n (n 1)1 a n =两步 , 最后考虑 a 1 是否满足后面的 a n .2. 等差等比数列等差数列 等比数列a n a nN *)1 q(n d ( n2 )定义a n a n 1通项a na 1 ( n 1)d , a na m (n m)d ,( n m),如果 a, G,b 成等比数列 , 那么 G 叫做 a 与 a, A, b A 叫做 a 与 b 的 等差中如果 成等差数列 , 那么 a b b 的等比中项 . 项. 中项 A 。
2aq等比中项的设法 : , a , aq等差中项的设法 :前 nn 2n( n 1) 2, S n( a 1a n ) S nna 1d项和 m n p q , 则若 性*a m a na p a q (m, n, p ,q N , m n p q)若2*若 2m q,则有ap a p a q ,( p, q , n , m N )质m2m p q , 则S n 、 S 2nS n 、 S 3 nS 2 n 为等差数列S n 、 S 2 n S n 、 S 3nS 2n 为等比数列函数a 1 qnq nAqa a ndn 2(a 1 d) An B n看数dd 222 a 1a 1 qs nn( a 1) n An Bnq n Aq n(q s A 1)2n1 q 1 列a n N * ) 1( n为一个常数 (1 )定义法 :证明*N ) (n 为一个常数 ; ( 1 ) 定义法 : 证明 a a a n 1n n( 2 ) 中项 : 证 明*( 2 ) 等 差 中 项 : 证 明 2a na n a n 1 (n N ,1 2*ana n a n 1 (n N , n 2)判定1 n 2)n(c , q 均是不为 0 常(3 )通项公式 : a ncq方法*b ( k , b 为常数 ( 3 ) 通项公式 : a n kn )( n N )数) 2*n( A, B 为常数 )( n N ( 4 ) s nAnBn s n AqA )(A,q( 4 )为 常 数 ,0,1 )A 0,q 3. 数列通项公式求法 。
高二数学数列练习题及答案
的公差为d;如果它的前n项和Sn=-n2;那么 ()
A、 B、
C、 D、
二、填空题
1.等差数列{an}中;a1=-1;a7=8;则a8=____。
2.在1和25间加入5个数;使它们成等差数列;则通项公式an=____。
3.在2和30间加入两个正数;使前三个数成等比数列;后三个数成等差数列;则加入的这两数是____。
必修5第二章《数列》 练习题
一、选择题
1.数列1;3;6;10;的一个通项公式是:( )
A. B. C. D.
2.若三个连续整数和为48;则紧随它们后面的三个连续整数的和是( )
A.48B.46C.54D.57
3.等差数列的前三项依次为a-1;a+1;2a+3;则a的值为( )
A.1B.-1C.0D.2
(2)b1=log3a1=4
-
7、(1)设企业原有资金为a;调整后第n年的资金为an(n=1;2…)。
则a1=a(1+300%)=4a;a2=a1(1+100%)=8a;
a3=a2 ;a4=a3 ;
∴经过4年后;企业资金是原来资金的 倍。
(2)若每年损失资金的5%;则第n年的产量与第(n-1)年的产量之间的关系为
(1)证明{bn}为等差数列
(2)若S11 S12;且S11最大;求{bn}的公差d的范围
7、某企业经过调整后;第一年的资金增长率为300%;以后每年的资金增长率都是前一年增长率的 .(1)经过4年后;企业资金是原来资金的多少倍?(2)如果由于某种原因;每年损失资金的5%;那么经过多少年后企业的资金开始下降?
A、1 B、2 C、3 D、4
中;如果 ; ;那么 ()
高二数学数列试题答案及解析
高二数学数列试题答案及解析1.下列解析式中不是数列,的通项公式的是()A.B.C.D.【答案】A【解析】根据正负号变化规律,【考点】本题主要考查数列的概念及数列的简单表示法。
点评:集合与数列是两个不同的概念,数列中的数具有有序性,数列可以看做是一个定义域为正整数集(或其有限子集)的函数。
2.已知数列,,则 .【答案】29【解析】因为,所以,解得k=2,即,所以29。
【考点】本题主要考查数列的概念、数列的简单表示法及待定系数法。
点评:先利用待定系数法求得式中的k,再利用通项公式确定所求项。
3.已知数列满足,,则 .【答案】【解析】因为,,所以=,=6,=。
【考点】本题主要考查数列的概念、数列的简单表示法。
点评:方法明确,细心计算。
根据递推关系逐步确定所求项。
4.已知数列中,,,通项是项数的一次函数,①求的通项公式,并求;②若是由组成,试归纳的一个通项公式.【答案】(1);(2)【解析】设,则,解得,∴,∴,又∵,,,,即为5,9,13,17,…,∴.【考点】本题主要考查数列的概念、数列的简单表示法及待定系数法。
点评:先利用待定系数法求得式中的k,b,再利用通项公式确定所求项,并归纳出新数列的通项公式。
5.已知满足,,试写出该数列的前项,并用观察法写出这个数列的一个通项公式.【答案】【解析】∵,,∴,,,,∴猜得【考点】本题主要考查数列的概念、数列的简单表示法。
点评:先利用递推公式写出数列的前5项,在归纳出数列的通项公式。
6.在等比数列{an }中,已知Sn=3n+b,则b的值为_______.【答案】b=-1.【解析】a1=S1=3+b,n≥2时,an=Sn-Sn-1=2×3n-1.a n为等比数列,∴a1适合通项,2×31-1=3+b,∴b=-1.【考点】本题主要考查等比数列的概念及通项公式。
点评:已知数列的前项的和Sn求通项公式,属于数列的基本问题,要特别注意检验n=1的情况是否适合的式子。
高二数学数列试题答案及解析
高二数学数列试题答案及解析1.已知是等比数列,,则公比q=()A.B.C.2D.-2【答案】B【解析】由等比数列通项公式可知【考点】等比数列通项公式2.已知正项数列的前项和为,对任意,有.(1)求数列的通项公式;(2)令,设的前项和为,求证:【答案】(1)(2)证明见解析.【解析】第一问根据题中所给的条件,令取时,对应的式子写出,之后两式相减,可得相邻两项的差为常数,从而得到数列为等差数列,令,可得数列的首项,从而求得数列的通项公式,第二问对式子进行分母有理化,化简可得,再求和,中间项就消没了,从而证得结果.试题解析:(1)由可得,,两式相减得,整理得,根据数列是正项数列,所以有,且有,所以数列是以为首项,以为公比的等比数列,所以有;(2)【考点】求数列的通项公式,数列求和问题.3.在等差数列中,已知,则该数列前11项和=.【答案】88【解析】∵,∴.【考点】等差数列的性质、等差数列的前n项和.的值为()4.设数列的前n项和,则a9A.15B.17C.49D.64【答案】B【解析】由已知得,.故选B.【考点】数列项与和的关系,即().5.设是等差数列的前n项和,已知,,则等于()A.13B.35C.49D.63【答案】C【解析】因为数列是等差数列,所以∴,则.故选C.【考点】等差中项的应用.【方法点睛】等差数列无难题,只要记住设首项和公差,进行基本量运算即可.但同时注意,对等差数列的性质应熟记并能灵活运用,这样能够快速、准确的求解.例如:本题运用到等差中项,很容易求出,而后运用当n为奇数时,,则.通过本题感受性质运用在解题过程中的作用.6.删除正整数数列1,2,3,……中的所有完全平方数,得到一个新数列.这个新数列的第2015项是()A.2058B.2059C.2060D.2061【答案】C【解析】由题意可得,这些数可以写为:,2,3,,5,6,7,8,… 第k个平方数与第k+1个平方数之间有2k个正整数,而数列,2,3,,5,6,7,8,…共有2025项,去掉45个平方数后,还剩余1980个数所以去掉平方数后第2015项应在2025后的第35个数,即是原来数列的第2060项,即为2060.【考点】数列的概念及简单表示法7.已知数列{an }的前n项和Sn=a n-1(a是不为零的常数),则数列{an}()A.一定是等差数列B.一定是等比数列C.或者是等差数列,或者是等比数列D.既非等差数列,也非等比数列【答案】C【解析】当时,,,∴数列是等差数列.当时,,∴数列是等比数列.综上所述,数列或是等差数列或是等比数列【考点】等差数列等比数列的判定8.等差数列的首项为,公差为d,若数列为递减数列,则()A.B.C.D.【答案】D【解析】数列为递减数列,故选D 【考点】等差数列性质9.设数列则是这个数列的()A.第六项B.第七项C.第八项D.第九项【答案】B【解析】由数列前几项可知通项公式为时,为数列第七项【考点】数列通项公式10.已知数列的通项(),我们把使为整数的叫做优数,则在内所有优数的和为()A.B.C.D.【答案】C【解析】因为,所以.令(),则.由,得(),所以(),所以所求优数的和为==,故选C.【考点】1、对数的运算;2、换底公式;3、等比数列的前项和.11.已知数列的前项和(),数列的前项和().(Ⅰ)求数列的前项和;(Ⅱ)求数列的前项和.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)先由,求得,再用裂项法求即可求得数列的前项和;(Ⅱ)先由,求得,再用错位相减法即可求得数列的前项和.试题解析:(Ⅰ)∵=,又,满足上式,∴.∵,∴数列的前项和为:=.………6分(Ⅱ)∵=,又,满足上式,∴,∴,∴数列的前项和为①,②,-②,得===,∴.【考点】1、数列的通项与前项和的关系;2、裂项法与位相减法求数列的和.【方法点睛】裂项相消法:具体的操作方法是将数列的通项分成两个式子的代数差,即,然后累加抵消掉中间的许多项.错位相减法:形如的数列,其中是等差数列,是等比数列,则可在求和等式两边同乘的公比,然后两等式错位相减.即如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项的积构成的数列,求此数列的前项和可利用.12.已知正项等比数列满足:,若存在两项,使得,则的最小值为.【答案】【解析】【考点】1.等比数列性质;2.均值不等式求最值13.数列1,3,6,10,…的一个通项公式是()=n2-(n-1)A.anB.a=n2-1n=C.anD.a=n【答案】C【解析】A、B、D中,当时,均不成立,故选C.【考点】求数列的通项公式.14.已知数列是递增的等比数列,满足,且是.的等差中项,数列满足,其前n项和为,且.(1)求数列,的通项公式;(2)数列的前n项和为,若不等式对一切恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1);(2)【解析】(1)利用是.的等差中项,求出公比,可求数列的通项公式;数列为等差数列,公差d=1,可求数列的通项公式;(2)不等式化为,可得,对一切恒成立,利用不等式,即可得出结论.试题解析:(1)设等比数列的公比为q,则q>1,,∵是和的等差中项,∴,即.∵q>1,∴q=2,∴.依题意,数列为等差数列,公差d=1,又,∴,∴,∴∵,∴.不等式化为.∵,∴对一切恒成立.而,当且仅当即n=2时等式成立.∴.【考点】数列与不等式综合【方法点睛】1、恒成立问题的转化:恒成立;2、能成立问题的转化:能成立;3、恰成立问题的转化:在M上恰成立的解集为M另一转化方法:若在D上恰成立,等价于在D上的最小值,若在D上恰成立,则等价于在D上的最大值.4、设函数、,对任意的,存在,使得,则5、设函数、,对任意的,存在,使得,则6、设函数、,存在,存在,使得,则7、设函数、,存在,存在,使得,则8、若不等式在区间D上恒成立,则等价于在区间D上函数和图象在函数图象上方;若不等式在区间D上恒成立,则等价于在区间D上函数和图象在函数图象下方;15.设是数列的前项和,.(1)求的通项;(2)设,求数列的前项和.【答案】(1);(2)【解析】(1)当时,由,代入已知整理可得即,结合等差数列的通项公式可求,进而可求当时,在对时求,从而可求(2)由于,可利用裂项求和即可.试题解析:(1)时,,整理得,,∴数列是以2为公差的等差数列,其首项为.(2)由(1)知,.【考点】利用递推公式求解数列的通项公式,裂项求和方法的应用.【方法点睛】(1)给出与的关系,求,常用思路:一是利用转化为的递推关系,再求其通项公式;二是转化为的递推关系,先求出与的关系,再求;(2)观测数列的特点形式,看使用什么方法求和.使用裂项法求和时,要注意正负项相消时消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点,实质上造成正负相消是此法的根源和目的.16.在等比数列中,.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设,且为递增数列,若,求证:.【答案】(Ⅰ)当时,,当时,;(Ⅱ)证明见解析.【解析】本题第(1)小题设计为求数列的通项公式,需要对q进行分类讨论,这是本题的亮点进行化简,这类需要结合对数和易错点;第(2)小题设计为数列型不等式的证明,首先要对bn的运算法则,然后利用裂项相消法求数列数列{c}前n项和,最后进行放缩法证得不等式.n试题解析:(Ⅰ)当时,.当时,.(Ⅱ)由题意知,,∴.∴.∴.【考点】等比数列的通项公式和前n项和,不等式的证明,对数的运算法则.17.(2015•新余二模)已知等差数列{an }的公差d≠0,且a1,a3,a13成等比数列,若a1=1,Sn是数列{an}前n项的和,则(n∈N+)的最小值为()A.4B.3C.2﹣2D.【答案】A【解析】由题意得(1+2d)2=1+12d,求出公差d的值,得到数列{an}的通项公式,前n项和,从而可得,换元,利用基本不等式,即可求出函数的最小值.解:∵a1=1,a1、a3、a13成等比数列,∴(1+2d)2=1+12d.得d=2或d=0(舍去),∴an=2n﹣1,∴Sn==n2,∴=.令t=n+1,则=t+﹣2≥6﹣2=4当且仅当t=3,即n=2时,∴的最小值为4.故选:A.【考点】等差数列的性质.18.在各项均为正数的等比数列中,,则等于()A.5B.6C.7D.8【答案】C【解析】因为等比数列满足,所以,则,故正确选项为C.【考点】1、等比数列性质的运用;2、对数的运算.19.已知数列满足(),则()A.B.C.D.【答案】D【解析】时,;当时,.所以,解得,.故D正确.【考点】数列.20.已知等差数列的前项和为,且.(1)求数列的通项公式;(2)记,的前项和为,求.【答案】(1);(2).【解析】(1)先设的首项为,公差为,利用等差数列的通项公式和求和公式得到关于的方程组进行求解;(2)先求出,再利用等比数列的求和公式进行求解.试题解析:(1)根据已知条件,先设的首项为,公差为,则,得(2)易知:,则有【考点】1.等差数列;2.等比数列.21.已知数列满足,则的前10项和等于()A.B.C.D.【答案】C【解析】由题设,得,又,所以数列是首项为,公比为的等比数列,所数列的前项和为,故选C.【考点】等比数列的概念及等比数列前项和.【方法点晴】本题主要考查了等比数列的概念及等比数列的前项公式的应用,属于基础性试题,解答此类问题的关键首项根据数列的定义判定此数列为等差数列或等比数列,然后利用等差或等比数列的前n项和公式求解,本题的解答中,由,得,可判定数列为公比的等比数列,然后用等比数列的求和公式求解数列的前项和.22.(2015秋•宁德校级期中)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若角A,B,C成等差数列,边a,b,c成等比数列,则sinA•sinC的值为()A.B.C.D.【答案】A【解析】依题意,可求得B=,利用正弦定理即可求得sinAsinC;另解,求得B=,利用余弦定理=cosB可求得a2+c2﹣ac=ac,从而可求得答案.解:∵△ABC中,A,B,C成等差数列,∴2B=A+C,又A+B+C=π,∴B=,又b2=ac,由正弦定理得sinAsinC=sin2B=另解:b2=ac,=cosB==,由此得a2+c2﹣ac=ac,得a=c,所以A=B=C,sinAsinC=.故选:A.【考点】余弦定理;正弦定理.23.(2015秋•新余期末)已知等差数列{an }各项均为整数,其公差d>0,a3=4,且a1,a3,ak(k>3)成等比数列{bn}的前三项.(1)求数列{an }与{bn}的通项公式;(2)将数列{an }与{bn}的相同项去掉,剩下的项依次构成新数列{cn},数列{cn}的前n项和Sn.求S30.【答案】(1)an =n+1,bn=2n;(2)603.【解析】(1)通过a1,a3,ak(k>3)成等比数列可知16=(4﹣2d)[4+d(k﹣3)],化简可知d=2﹣,利用d∈Z可知d=1,进而计算可得结论;(2)利用所求值为数列{an }的前35项和减去数列{bn}的前5项和,进而计算可得结论.解:(1)依题意,=a1ak ,∴16=(4﹣2d)[4+d(k﹣3)],整理得:d=2﹣,又∵d∈Z,∴k=7或k=1(舍),即d=1,∴an =a3+(n﹣3)d=n+1,又∵等比数列{bn}的公比q==,∴bn=2n;(2)令数列{an }的前n项和为An,数列{bn}的前n项和为Bn,由(1)可知a1=b1,a3=b2,a7=b3,a15=b4,a31=b5,则S30=A35﹣B5=603.【考点】数列的求和;等差数列的通项公式.24.(2015秋•汕头校级期中)Sn 为数列{an}的前n项和,已知an>2,且an2+4n=4Sn+1.(1)求证:{an}为等差数列;(2)设bn =,求数列{bn}的前n项和.【答案】(1)见解析;(2)Tn=.【解析】(1)利用递推关系可得,又an>2,即可证明.(2)利用“裂项求和”即可得出.(1)证明:由,①可得,②②﹣①得,即,∵an >2,∴an+1﹣2=an,即an+1﹣an=2,∴{an}为等差数列.(2)解:由已知得a12+4=4a1+1,即,解得a1=1(舍)或a1=3,∴an=3+2(n﹣1)=2n+1,∴bn===,∴数列{bn }的前n项和Tn=+…+==.【考点】数列的求和.25.已知数列是公比为2的等比数列,若,则=()A.1B.2C.3D.43【答案】B【解析】根据等比数列的通项公式,可得,显然.故选B.【考点】等比数列的通项公式.26.已知等差数列的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2=()A.-4B.-6C.-8D.-10【答案】B【解析】由题意可得【考点】等差数列通项公式27.数列{an }满足:a1=2,an+1=(n∈N*)其前n项积为Tn,则T2014=()A.﹣6B.﹣C.D.6【答案】A【解析】根据数列{an }满足a1=2,an+1=(n∈N*),可得数列{an}是周期为4的周期数列,且a 1a2a3a4=1,即可得出结论.解:∵a1=2,an+1=(n∈N*),∴a2=﹣3,a3=﹣,a4=,a5=2,…,∴数列{an }是周期为4的周期数列,且a1a2a3a4=1,∵2014=4×503+2,∴T2014=﹣6.故选:A.【考点】数列递推式.28.已知数列{an }的前n项和是,则数a4= .【答案】8【解析】由已知数列的前n项和,结合an =Sn﹣Sn﹣1(n≥2)求解.解:由,得.故答案为:8.【考点】数列递推式.29.观察数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…的特点,按此规律,则第100项为()A.10B.14C.13D.100【答案】B【解析】因为,显然是关于的增函数,又因为,所以第项为,故选B.【考点】数列的通项公式.30.定义为n个正数的“均倒数”.若已知数列的前n项的“均倒数”为,又,则 =()A.B.C.D.【答案】C【解析】由已知得,;当时,,验证知当时也成立,;,,.故选C.【考点】数列的通项公式和前n项和.31.已知各项不为零的数列的前项和为,且满足.(1)求数列的通项公式;(2)设数列满足,求数列的前项和.【答案】(1);(2).【解析】(1)已知与的关系,可令求得,当时,由可得到数列的递推式:,这正好是一个等比数列,易得通项公式;(2)由于,是一个等差数列与一个等比数列相乘所得,其前项和可用错位相减法求得,即写出,两边乘以公比,得,两式相减后借助等比数列前项和公式可求得.试题解析:(1)当时,当时,………①………②① -②得数列是首项为2,公比为2的等比数列(2)两式相减得【考点】已知与关系,求通项公式,等比数列的通项公式,错位相减法.32.设数列的前项和为,且方程有一根为(1)求、;(2)求数列的通项公式.【答案】(1),;(2).【解析】(1)分别取,根据方程有一根,,即可求得、;(2)由题设得,,即即当时,,代入上式得,通过计算猜想再用数学归纳法证明这个结论,进而利用当时,,时,,适合上式,即可求得的通项公式.试题解析:(1)时,有一根,于是,解得.时,有一根,于是,解得.(2)由题设,得,即①当时,,代入①得.②由于(1)知.由②可,由此猜想,下面用数学归纳法证明这个结论.(ⅰ)时,已知结论成立.(ⅱ)假设时结论成立,即,当时,由②得,即,故时结论也成立.综上,由(ⅰ)、(ⅱ)可知,对所有正整数都成立,于是当时,,又因为时,,所以的通项公式为.【考点】1、数列的通项公式;2、数列的前项和公式;3、数学归纳法.【易错点睛】本题考查数列的通项公式、数列的前项和公式、数学归纳法,意在考查考生的推理论证能力及运算求解能力,属中档题.利用代入即可求得、;由题设得,,即即当时,,此时一定要注意条件,否则容易出错;代入猜想得后利用数学归纳法证明,证明时第二步一定要用到假设,否则容易出错.33.已知等差数列的公差为负数,且,若经重新排列后依次可成等比数列,求(1)数列的通项;(2)数列的前项和的最大值.【答案】(1);(2).【解析】(1)由知,即,根据三项新排列后依次可成等比数列,分类讨论,即可得,即可求解数列的通项公式;(2)由(1)知,由知前项和最大,即可求解前项和的最大值.试题解析:(1)设数列的公差为,由知即.①当为等比中项时,求得(舍去);②. 当为等比中项时,求得或(舍去);③当为等比中项时,求得或.综上可知,.(2)由知前项和最大,.【考点】等差数列的通项公式即前前项和;等比数列的性质的应用.34.设{an }是等差数列,a1+a3+a5=9,a6=9.则这个数列的前6项和等于()A.12B.24C.36D.48【答案】B【解析】设等差数列的公差为,由等差数列的通项公式可得,即,又,所以,则这个数列的前项和,故选B.【考点】等差数列的前项和;等差数列的通项公式.【方法点晴】本题主要考查了等差数列的通项公式及等差数列的前项和的应用,其中利用等差数列的通项公式,结合已知条件列出关于的方程组,求出和的值是解答本题的关键,着重考查了学生的推理与运算能力,试题有一定的基础性,属于基础题,本题的解答中,设等差数列的公差为,列出方程,求得,进而代入等差数列的前项和公式,求出运算结果.35.数列2,5,11,20,x,47,…中的x值为()A.28B.32C.33D.27【答案】B【解析】根据所给数列中相邻两项的差的规律性,即从第二项起,每一项与前一项的差依次是3的倍数,再进行求解.解:由题意知,数列2,5,11,20,x,47,∴5﹣2=3,11﹣5=6,20﹣11=9,则x﹣20=12,解得x=32,故选B.36.等比数列中,对任意,则()A.B.C.D.【答案】C【解析】,故,是首项为,公比为的等比数列,故.【考点】数列.37.设,则()A.共有项,当时,B.共有项,当时,C.共有项,当时,D.共有项,当时,【答案】D【解析】由题意得,令,则,且共有项,故选D.【考点】数学归纳法的应用.38.数列{an }的前n项和为Sn,若an=,则S100等于()A.B.C.2D.【答案】B【解析】解:∵an==2(﹣),∴S100=2(1﹣+…+)=2(1﹣)=,故选:B【点评】本题主要考查数列求和的计算,利用裂项法是解决本题的关键.39.已知数列是等比数列,是1和3的等差中项,则=A.B.C.D.【答案】D【解析】由是1和3的等差中项,得,则;由数列是等比数列,得.故选D.【考点】等差数列和等比数列的性质.40.已知在等差数列中,,(1)求数列的通项公式;(2)设,求.【答案】(1);(2)2101.【解析】(1)为等差数列,所以可以根据题中条件列方程组,解得,根据通项公式,可求数列的通项公式为,本问考查等差数列基本公式,基本计算,属于对基础知识的考查,为容易题。
高二数学数列试题答案及解析
高二数学数列试题答案及解析1.数列的一个通项公式是A.B.C.D.【答案】D【解析】数列中正负项(先负后正)间隔出现,必有,分母3,5,7,9,……故2n+1,分子3,8,15,24,……恰为,所以数列的一个通项公式是,故选D。
【考点】数列的通项公式。
点评:简单题,利用数列的前几项写出数列的一个通项公式,有时结果不唯一。
2.已知等差数列{an }的前n项的和记为Sn.如果a4=-12,a8=-4.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求Sn的最小值及其相应的n的值;(3)从数列{an }中依次取出a1,a2,a4,a8,…,,…,构成一个新的数列{bn},求{bn}的前n项和.【答案】解:(1)由题意,an=2n-20.(2)由数列{an}的通项公式可知,当n≤9时,an <0,当n=10时,an=0,当n≥11时,an>0.所以当n=9或n=10时,由Sn=-18n+n(n-1)=n2-19n得Sn 取得最小值为S9=S10=-90.(3)记数列{bn }的前n项和为Tn,由题意可知bn==2×2n-1-20=2n-20.所以Tn =b1+b2+b3+…+bn=(21-20)+(22-20)+(23-20)+…+(2n-20)=(21+22+23+…+2n)-20n=-20n=2n+1-20n-2【解析】略3.(本小题满分13分)已知等比数列中,.若,数列前项的和为.(1)若,求的值;(2)求不等式的解集.【答案】(1)(2)【解析】(1)首先将转化为用来表示,解方程组解得的值,得到通项,代入后求得,由通项公式可知是等差数列,求得首项,公差代入前n项和公式可得的值(2)将的首项公差代入,建立关于的不等式,求不等式可得的范围,最后取正整数即可试题解析:(1)得是以为首项,2为公差的等差数列.(2)所求不等式的解集为【考点】等差等比数列通项公式求和公式4.(本小题满分12分)数列的前n项和为,且(1)求数列的通项公式;(2)若数列满足:,求数列的通项公式;(3)令,求数列的 n项和。
高二数学数列练习题及答案
高二数学数列练习题及答案一、选择题1. 已知数列的通项公式为an = 2n + 1,其中n为正整数,则该数列的首项是:a) 1b) 2c) 3d) 42. 数列{an}的前4项依次是3,6,9,12,其通项公式为:a) an = 3nb) an = 3n + 1c) an = 3n - 1d) an = 2n + 13. 数列{an}的公差为2,首项为3,若a4 = 9,则数列的通项公式为:a) an = n + 2b) an = 2n + 1c) an = 3nd) an = 2n + 3二、填空题1. 数列{an}的首项为5,公差为3,若a7 = 23,则数列的通项公式为______。
2. 如果数列{an}满足an + 1 = an + 3,且a2 = 7,那么数列的首项为______。
3. 数列{an}满足公差为-2,首项为6,若a5 = -4,则数列的通项公式为______。
三、解答题1. 求等差数列{an}的前n项和公式。
解析:设数列{an}的首项为a1,公差为d。
根据等差数列的性质,第n项an可以表示为an = a1 + (n - 1)d。
前n项和Sn可以表示为Sn = (a1 + an) * n / 2。
因此,等差数列的前n项和公式为Sn = (a1 + a1 + (n - 1)d) * n / 2。
2. 已知数列{an}的通项公式为an = 2^n,则数列的公差为多少?解析:设数列{an}的首项为a1,通项公比为r。
根据等比数列的性质,第n项an可以表示为an = a1 * r^(n - 1)。
因此,已知通项公式为an = 2^n,可得到a1 * r^(n - 1) = 2^n。
考虑到a1 = 2^0 = 1,将其代入上式,得到r^(n - 1) = 2^(n - 1)。
可得到r = 2,因此数列的公差为2。
四、答案选择题:1. c) 32. a) an = 3n3. b) an = 2n + 1填空题:1. an = 172. a1 = 43. an = 12 - 2n解答题:1. 等差数列的前n项和公式为Sn = (a1 + an) * n / 2。
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高中数学《数列》专题练习
1.n S 与n a 的关系:1
1(1)(1)n n
n S n a S S n -=⎧⎪=⎨
->⎪⎩ ,已知n S 求n a ,应分1=n 时1a =1S ; 2≥n 时,n a =1--n n S S 两步,最后考虑1a 是否满足后面的n a .
2.等差等比数列
3.数列通项公式求法:(1)定义法(利用等差、等比数列的定义);(2)累加法;(3)累乘法(
n n
n c a a =+1
型);(4)利用公式1
1(1)(1)
n n n S n a S S n -=⎧⎪=⎨->⎪⎩;(5)构造法(b ka a n n +=+1型);(6)倒数法等
4.数列求和
(1)公式法;(2)分组求和法;(3)错位相减法;(4)裂项求和法;(5)倒序相加法。
5. n S 的最值问题:在等差数列{}n a 中,有关n S 的最值问题——常用邻项变号法求解:
(1)当0,01<>d a 时,满足⎩⎨
⎧≤≥+001
m m a a
的项数m 使得m S 取最大值. (2)当 0,01><d a 时,满足⎩⎨⎧≥≤+001
m m a a
的项数m 使得m S 取最小值。
也可以直接表示n S ,利用二次函数配方求最值。
在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
一、选择题
1.已知{}n a 为等差数列,若π=++951a a a ,则28cos()a a +的值为( )
A .2
1
-
B .2
3
-
C .21
D .
2
3
2.在等比数列{}n a 中,若,243119753=a a a a a 则=11
29
a a ( )
A .9
B .1
C .2
D .3 3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为,2
1
,551S a a S n =
+且,209=a 则=11S ( ) A .260 B .220 C .130 D .110
4.各项均不为零的等差数列{}n a 中,若),2,(*
112≥∈=--+-n N n a a a n n n 则S 2 009等于( )
A .0
B .2
C .2 009
D .4 018
5.在△ABC 中,tan A 是以4-为第三项,4为第七项的等差数列的公差,tan B 是以3
1
为第三项,9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是( )
A.钝角三角形
B.锐角三角形
C.等腰三角形
D.非等腰的直角三角形
6.记等差数列{}n a 的前项和为n s ,若103s s =,且公差不为0,则当n s 取最大值时,=n ( )
A .4或5
B .5或6
C .6或7
D .7或8
7.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1)1log 2+=+n S n (,则通项公式为( )
A.)(2*N n a n n ∈=
B. ⎩⎨⎧≥==)2(2)
1(3n n a n n C. )(2*
1N n a n n ∈=+ D. 以上都不正确
8.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知2
110m m m a a a -++-=,2138m S -=,则m =( )
A .38
B .20
C .10
D .9
9.设数列{}n a 的前n 项和2
n S n =,则8a 的值为( )
A .15
B .16
C .49
D .64
10.n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,已知3432S a =-,2332S a =-,则公比q =( ) A .3
B .4
C .5
D .6
11.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且41a ,22a ,3a 成等差数列,若,11=a 则4S =( ) A .7 B .8 C .15 D .16
12.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,12n n S a +=,,则n S =( ) A .12-n B .1
)2
3(-n C .1
)
3
2(-n D .
1
2
1-n
二、填空题:
13.已知等比数列{}n a 为递增数列.若,01>a 且,5)(212++=+n n n a a a 则数列{}n a 的公比=q . 14.设等比数列{}n a 的公比,2=q 前n 项和为,n S 则2
4
a S = .
15.数列{}n a 的前n 项和记为()11,1,211n n n S a a S n +==+≥则{}n a 的通项公式 16.等比数列{}n a 的首项为a 1=1,前n 项和为,n S 若S 10S 5=31
32,则公比q 等于________. 三、解答题
17.已知等差数列{}n a 满足:37a =,5726a a +=,{}n a 的前n 项和为n S . (Ⅰ)求n a 及n S ; (Ⅱ)令b n =
2
1
1
n a -(n ∈N *),求数列{}n b 的前n 项和n T . 18.已知等比数列{}n a 的各项均为正数,且2
12326231,9a a a a a +==.
(I )求数列{}n a 的通项公式. (II )设31323log log log n n b a a a =++
+,求数列1
{}n
b 的前n 项和.
19.已知{}n a 为等比数列,256,151==a a ;n S 为等差数列}{n b 的前n 项和,,21=b 8525S S =. (1) 求{}n a 和}{n b 的通项公式; (2) 设n T n n b a b a b a ++=2211,求n T .
20.设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足21441,,n n S a n n N *
+=--∈且2514,,a a a 构成等比数列.
(1)
证明:2a =
(2) 求数列{}n a 的通项公式; (3) 证明:对一切正整数n ,有
1223
111
11
2
n n a a a a a a ++++
<. 21.2a ,5a 是方程2x 02712=+-x 的两根, 数列{}n a 是公差为正的等差数列,数列{}n b 的前n 项和为n T ,且
n T 2
1
1-
=n b ()*∈N n . (1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;
(2)记n c =n a n b ,求数列{}n c 的前n 项和n S . 22.设数列{}n a 满足10a =且111
1.11n n
a a +-=--
(Ⅰ)求{}
n a 的通项公式; (Ⅱ)设1
, 1.n
n n k n k b b S ==
=<∑记S 证明:。