三角函数的最值PPT优秀课件

)+2a+b.
由已知 x[0,

2
],
∴2x+ 6 [

6
,
7
6
],
∴-
1 2
≤sin(2x+

6
)≤1.
因此由 f(x) 的值域为 [-5,
1] 可得:
a>0,
a<0,
-2a×(- 12)+2a+b=1, 或
-2a×(-
1 2
)+2a+b=-5,
-2a×1+2a+b=-5,
-2a×1+2a+b=1.
.
仅当
2sin2
x 2
=cos2
x 2
,
即
tan
x 2
=
2 2
(∵0<x<) 时取等号.
∴当 x=2arctan
2 2
时,
y2 取最大值
1267.
∴当 x=2arctan
2 2
时,
y 取最大值
43 9
;
y 无最小值.
3.已知函数 f(x)=cos4x-2cosxsinx-sin4x. (1)求 f(x) 的最小正周
三角函数的最值
一、高考要求
1.能利用三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象 等, 求三角函数的最大值和最小值.
2.能利用换元法求某些三角函数在给定区间上的最大值和 最小值.
3.会把实际问题化归成三角函数的最大值和最小值问题来 解决.
二、重点解析
最值问题是三角中考试频率最高的重点内容之一, 需要综 合运用三角函数概念、图象、性质以及诱导公式、同角三角函 数基本关系式、三角变换等, 也是函数内容的交汇点, 常见方 法有:
1.涉及正、余弦函数以及 asin+bcos, 可考虑利用三角函
数的有界性.
2.形如 y=asin2x+bsinx+c 或 y=acos2x+bsinx+c 的函数可通 过适当变换、配方求解.
3.形如 sinx+cosx, sinxcosx 在关系式中时, 可考虑换元法 处理.
三、知识要点
常见的三角换元
令 t=sinx+cosx, 则 t=
2
sin(x+

4
),
y=t2-1-8t+19=(t-4)2+2.
∵0≤x≤,
∴

4
≤x+

4
≤
5
4
.
∴-
22≤sin(x+

4
)≤1.
∴-1≤t≤
2.
∴当 t=-1, 即 x= 时, y 取最大值 27.
当 t=
2
,
即
x=

4
时,
y 取最小值 20-8
2.
1.若 x2+y2=1, 可设 x=cos, y=sin;
2.若 a≤x2+y2≤b, 可设 x=rcos, y=rsin, a≤r2≤b;
3.对于 1-x2 , 由于 |x|≤1, 可设 x=cos(0≤≤) 或 x=sin
(-

2
≤≤
2);
4.对于
1+x2 ,
可设
x=tan(-
{x | x=2k- 2, kZ};
当 t=3 时,
ymax=f(t)max=
8 3
,
此时,
sinx=1, x 的集合为:
{x
|
x=2k+

2
,
kZ}.
7.函数 的值.
y=sin2x+acosx+
5 8
a-
解:
由已知
y=-cos2x+acosx+
5 8
3 2
(0≤x≤
2)的最大值为
1,
],
∴2x+

4
[

4
,
5
4
].
∴当
2x+

4
=

4
,
即 x=0 时,
f(x) 取得最大值 1;
∴当
2x+

4
=,
即
x=
3
8
时,
f(x) 取得最小值 -
2.
4.设 0≤x≤, 求函数 y=sin2x-8(sinx+cosx)+19 的最大值和最
小值.
解: y=2sinxcosx-8(sinx+cosx)+19.
期;
(2)若 x[0,

2
],
求 f(x) 的最大值、最小值.
解: (1)∵f(x)=cos4x-2cosxsinx-sin4x
=(cos2x-sin2x)(cos2x+sin2x)-sin2x
=cos2x-sin2x
=
2
cos(2x+

4
).
∴f(x) 的最小正周期为 .
(2)∵x[0,

2
(1≤t≤3).
对于任意的 t1, t2[1, 3], 且 t1<t2 有
f(t1)-f(t2)=(t1-
1 t1
)-(t2-
1 t2
)
=(t1-t2)(
1+t1t2 t1t2
) <0.
即 f(t1)-f(t2)<0 f(t1)<f(t2). ∴f(t) 在 [1, 3] 上是增函数.
∴当 t=1 时, ymin=f(t)min=0, 此时, sinx=-1, x 的集合为:

2
<<

2
)
或
x=cot(0<<);
(-

2
5.对于 x2-1 ,
≤<0 或 0<≤
可设

2
);
x=sec(0≤<

2
或

2
<<)
或
x=csc
6.对于 x+y+z=xyz, 由在 △ABC 中, 有 tanA+tanB+tanC=tanA
tanBtanC, 可设 x=tanA, y=tanB, z=tanC(A+B+C=);
求a
a-
1 2
=-(cosx-
a 2
)2+
a2 4
+
5 8
a-
1 2
.
令 t=cosx,
则
y=-(t-
a2)2+
解得: a=2, b=-5 或 a=-2, b=1.
6.求
y=
(1+sinx)(3+sinx) 2+sinx.
解:
y=
sin2x+4sinx+3 2+sinx
=
(2+sinx)2-1 2+sinx
=2+sinx-
1 2+sinx
.
令 2+sinx=t,
则
y=f(t)=t-
1 t
∴当
x=k

4
(kZ)
时,
y 取最小值 5;
y 无最大值.
2.求函数
y=(1+cosx)sin
x 2
(0<x<)
的最值.
解: 由已知 y>0, 只需考察 y2 的最值.
∵y2=4cos2
x 2
cos2
x 2
sin2
x 2
≤2(
2sin2
x 2
+cos2
x 2
+cos2
x 2
3
)3
=
16 27
7.令 t=sinx+cosx, 则 2sinxcosx=t2-1, t[- 2, 2 ].
典型例题
1.求函数 y=2sec2x+cot4x 的最值.
解: y=2(1+tan2x)+cot4x=2+tan2x+tan2x+cot4x
≥2+3 3 tan2xtan2xcot4x =2+3=5.
仅当 tan2x=cot4x, 即 tanx=1 时取等号.
5.已知函数 f(x)=2asin2x-2 3 asinxcosx+a+b(a0) 的定义域
为[0,

2
],
值域为 [-5, 1],
求常数 a, b 的值.
解: f(x)=a(1-cos2x)- 3 asin2x+a+b
=-a(cos2x+ 3 sin2x)+2a+b
=-2asin(2x+

6