《微分几何》陈维桓习题及答案

§ 6.1 测地曲率

1. 证明：旋转面上纬线的测地曲率是常数。

证明： 设旋转面方程为{()cos ,()sin ,()}

r f v u f v u g v =，

22222()()(()())()f v du f v g v dv ''I =++，

222(),()()

E f v G f v g v ''==+

纬线即u

—曲线：0

v v =（常数），

其测地曲率为2

'2'21ln 1ln 22u g E f k v v G f g

∂∂=-=-

∂∂+ 0'2

'2

000'()

()()()

f v f v f v

g v =-

+为常数。

2、

证明：在球面S

(cos cos ,cos sin ,sin )r a u v a u v a u =，

,0222

u v ππ

π-

<<<< 上，曲线

C

的测地曲率可表示成

()()sin(())g d s dv s k u s ds ds

θ=- ， 其中((),())u s v s 是球面S 上曲线C 的参数方程，

s

是曲线C 的弧长参数，

()s θ是曲线C 与球面上经线（即u -曲

线）之间的夹角。

证明 易求出2

E a =, 0

F =,2

2

cos G a u =,

因此

1ln 1ln cos sin 22g d E G k ds v u G E

θθθ∂∂=

-+∂∂

221ln(cos )sin 2d a u ds a u

θθ∂=+∂

sin sin cos d u ds a u

θθ=

-，

而11sin sin cos dv ds

a u G

θθ

==，

故 sin g

d dv k

u ds ds

θ=

-。

3、证明：在曲面S 的一般参数系(,)u v 下，曲线:(),()C u u s v v s ==的测地曲率是

(()()()()()())

g k g Bu s Av s u s v s v s u s ''''''''=-+-，

其中s

是曲线C 的弧长参数，2

g EG F =-，

并且

12

112

11

12

22

(())2()()(())A u s u s v s v s ''''=Γ+Γ+Γ，

2222

2111222(())2()()(())B u s u s v s v s ''''=Γ+Γ+Γ

特别是，参数曲线的测地曲率分别为

2

3

11(())u g k g u s '=Γ，13

22

(())v

g k

g v s '=-Γ 。

证明 设曲面S 参数方程为12(,)r

r u u =，1122:(),()C u u s u u s ==

曲面S 上的曲线的参数方程为1122:(),()

C u u s u u s ==，s 为C 的弧长参数；

n 为S 上沿C 的法向量；

曲线1

2

()((),())r r s r u s u s ==，

而 2

1

()i

i i du r s r ds ='=∑，

2

1k

ij ij k ij k r r b n ==Γ+∑，

22

22

,1

1()j

i i ij i i j i du du d u r s r r ds ds ds ==''=+∑∑，

22

222,,1,11j j k i

i k ij k ij k i j k i j k du du du du d u r b n r ds ds ds ds ds ====Γ++∑∑∑

2

2

2221,1,1

()j j k k i

i ij k ij k i j i j du du d u du du r b n ds ds ds ds ds ====+Γ+∑∑∑，

代入计算(,,)g k r r n '''=

222

22211,1,1,(),j j k i

k i

i i ij k ij i k i j i j du du du d u du du r r b n n ds

ds ds ds ds ds ====⎛⎫=+Γ+ ⎪⎝⎭∑∑∑∑222122,1

[()j i

ij i j du du du d u ds ds ds ds ==+Γ∑

22121122,1

()](,,)j i ij i j du du du d u r r n ds ds ds ds =-+Γ∑，

由此得到

222122,1

[()

j i

g ij i j du du du d u k g ds ds ds ds ==+Γ∑221212,1

()]j

i ij i j du du du d u ds ds ds ds =-+Γ∑，

以上是测地曲率的一般计算公式。 换回参变量12,u u u v ==，即可得到结果。

4．若曲面

S ：(,)r r u v =上曲线C :u = u(t),v = v(t),t 为曲线C

上的任意参数，试导出测地曲率g k 的计算公式。

解 由于(,,)g r r r n κε=⋅= ，

而222',''()ds ds d s

r r r r r dt dt dt

==+ ，

所以

()22332','',[(())](,,)()||'||g ds ds d s ds

r r n r r r n r r n r dt dt dt dt

κ=⨯+==，

所以3

('(),''(),())

()||'()||

g r t r t n t t r t κ=

； 记

12,u u v u ==，

又'i

i

i

du r r dt

=∑，