《微分几何》陈维桓习题及答案

微分几何陈维桓习题答案

微分⼏何陈维桓习题答案习题答案2p. 58 习题3.12. 在球⾯2222{(,,)|1}S x y z x y z =++=上，命(0,0,1)N =，(0,0,1)S =-. 对于⾚道平⾯上的任意⼀点(,,0)p u v =，可以作为⼀的⼀条直线经过,N p 两点，它与球⾯有唯⼀的交点，记为p '.(1) 证明：点p '的坐标是2221u x u v =++，2221v y u v =++，222211u v z u v +-=++，并且它给出了球⾯上去掉北极N 的剩余部分的正则参数表⽰；(2) 求球⾯上去掉南极S 的剩余部分的类似的正则参数表⽰；(3) 求上⾯两种正则参数表⽰在公共部分的参数变换；(4) 证明球⾯是可定向曲⾯.证明. (1) 设(,)r u v Op '=. 如图，,,N p p '三点共线，故有t ∈使得(1)Op tOp t ON '=+-. (1)由于21Op ON =='，222u v Op =+，0Op ON '?=，0t ≠，取上式两边的模长平⽅，得222/(1)t u v =++. 从⽽22222221(,,)(,,0)(0,0,1)11u v x y z Op u v u v u v +-'==+++++ 22222222221,,111u v u v u v u v u v ??+-= ?++++++??，2(,)u v ∈. (2)由(1)可知(,,1)(0,0,1)(,,1)r Op tNp ON t u v tu tv t '==+=-+=-，⼜2()dt t udu vdv =-+，所以2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =--+，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =--+，332(1,0,)(0,1,)(0,0,1)u v r r t u u t v v t ?=--+22222(,,()1)(,,1)0t tu tv t u v t tu tv t t r =-+-=--=-≠. (3)因此(,)r r u v =给出了2\{}S N 的正则参数表⽰.(2)令(,,0)q u v =是,S p '两点连线与⾚道平⾯的交点. 同理，有(1)(,,1)Op t Oq t OS t u t v t '=+-=-，222/(1)t u v =++，22222222221(,,),,111u v u v r x y z Op u v u v u v ??--'=== ?++++++??，2(,)u v ∈. (4)2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =-+，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =-+， 332(1,0,)(0,1,)(0,0,1)u v r r t u u t v v t ?=----+22222(,,1())(,,1)0t t u t v t u v t t u t v t t r =-+=-=≠. (5) 因此(4)给出了2\{}S S 的正则参数表⽰.(3) 由(2)和(4)式可得2222()()1u v u v ++=，从⽽上⾯两种正则参数表⽰在公共部分2\{,}S N S 上的参数变换公式为22u u u v =+，22v v u v=+. (6) 由(3)和(5)可知22222222222(,)(1)10(,)(1)()u v t u v u v t u v u v ?++=-=-=-注. 如果采⽤复坐标，令,z u i v w u i v =+=-，则上⾯的参数变换可写成1/w z =. 这就是⼴义复平⾯上的共形变换.(4) 在2\{}S N 上采⽤(1)式给出的正则参数表⽰，在2\{}S S 上采⽤正则参数表⽰22222222221(,).,,111u v u v r u v u v u v u v ??---= ?++++++??则在公共部分的参数变换公式为22u u u v =+，22v v u v-=+. (4) 由于{}22\{},\{}S N S S 构成2S 的开覆盖，并且22222222222222222()()2222()()(,)10(,)()v u uv u v u v uv v u u v u v u v u v u v -++--++?==>?+，所以2S 是可定向的. □ 5 写出单叶双曲⾯2222221x y z a b c+-=和双曲抛物⾯22222x y z a b =-作为直纹⾯的参数⽅程.解. (1) 对单叶双曲⾯，取腰椭圆()(cos ,sin ,0)a u a u b u =，(0,2)u π∈为准线. 设直母线的⽅向向量为()()(),(),()l u aX u bY u cZ u =. 则直纹⾯的参数⽅程为()(,)()()(cos ()),(sin ()),()r u v a u vl u a u vX u b u vY u cvZ u =+=++.由于(,)r u v 的分量满⾜单叶双曲⾯的⽅程，可得222(cos ())(sin ())(())1u vX u u vY u vZ u +++-=，v ?∈.由v 得任意性得到cos ()sin ()0uX u uY u +=，222()()()X u Y u Z u +=.因此():():()sin :cos :1X u Y u Z u u u =-±. 取()()sin ,cos ,l u a u b u c =-得()(,)(cos sin ),(sin cos ),r u v a u v u b u v u cv =-+，(,)(0,2)u v π∈?.(2) 对双曲抛物⾯，令()x a u v =+，()y b u v =-，则2z uv =. 曲⾯的参数⽅程为 ()(,)(),(),2r u v a u v b u v uv =+-(,,0)(,,2)(,,0)(,,2)au bu v a b u av bv u a b v =+-=-+，2(,)u v ∈.p. 94 习题3.21. 证明：⼀个正则参数曲⾯S 是球⾯?它的所有法线都经过⼀个固定点.证明. “?”设S 是球⾯，参数⽅程为(,)r u v ，球⼼为a ，半径为R . 则有22((,))r u v a R -=，,u v D ?∈. (1)微分可得()0u r r a -=，()0v r r a -=. (2)所以()//u v r a r r -?，从⽽u v r a r r λ-=?，即有函数(,)u v λλ=使得(,)(,)[(,)][(,)]u v a r u v u v r u v r u v λ=-?. (3)这说明球⼼a 在它的所有法线上.“?” 设S 的所有法线都经过⼀个固定点a . 则有函数(,)u v λλ=使得(3)式成⽴，即有u v r a r r λ-=?. 分别⽤,u v r r 作积，可得(2).这说明2()0d r a -=，从⽽(1)式成⽴，其中0R >(否则S 只是⼀个点，不是正则曲⾯)是常数. 因此S 是以a 为球⼼，以R 为半径的球⾯，或球⾯的⼀部分. □3. 证明：⼀个正则参数曲⾯S 是旋转⾯?它的所有法线都与⼀条固定直线相交.证明. “?”设S 是旋转⾯，旋转轴L 为z 轴. 它的参数⽅程为()(,)()cos ,()sin ,()r u v f v u f v u g v =，(()0)f v >.因为()()sin ,cos ,0u r f v u u =-，()()cos ,()sin ,()v r f v u f v u g v '''=，()()()cos ,()sin ,()u v r r f v g v u g v u f v '''?=-，所以S 上任意⼀点(,)r u v 处的法线N 的参数⽅程为()(,)[(,)(,)]u v X t r u v t r u v r u v =+?.由于z 轴的参数⽅程为()(0,0,1)Y s s s k ==，并且()()cos ()sin ()()0()cos ()sin (),,001u v f v u f v u g v f v g v u g v u f v r r r k '''==-?，所以L 与N 共⾯. 如果L 与N 处处平⾏，则()//u v r r k ?，从⽽()0g v '=. 此时S 是垂直于z 轴的平⾯()z g v c ==. 所以当S 不是垂直于z 轴的平⾯时，旋转⾯S 的所有法线都与z 轴相交.“?” 通过选取坐标系，不妨设固定直线为z 轴. 设S 的参数⽅程为(,)((,),(,),(,))r u v x u v y u v z u v =，(,)u v D ∈.由条件，S 的所有法线都与z 轴相交，所以法线不能与z 轴平⾏，即00(,)(,)(,)(,),,//(,)(,)(,)u v u v y z x z x y r r u v u v u v -?= ?(0,0,1)，00(,)u v D ?∈. 因此00(,)(,)(,)u v y z u v ??，00(,) (,)(,)u v x z u v ??不能全为零. 不妨设在00(,)u v 点邻近(,)0(,)y z u v ?≠?. 通过参数变换，曲⾯的参数⽅程可以写成(,)((,),,)r u v x u v u v =，(,)u v D ∈. (1)于是 (),1,0u u r x =，(),0,1v v r x =，()1,,u v u v r r x x ?=--.因为所有法线都与z 轴相交，()0,,u v r r r k ≡?，即有0u xx u +=. 这说明22x u +是⼀个仅仅依赖于v 的函数. 设222()x u f v +=，其中()0f v >. 作参数变换()cos ,u f v v v θ==. 由上式得()sin x f v θ=，S 的参数⽅程(1)可以改写为(,)(()sin ,()cos ,)r v f v f v v θθθ=.这是⼀个旋转⾯，由yOz 平⾯上的母线()y f z =绕z 轴旋转⽽得. □5. 设S 是圆锥⾯(cos ,sin ,)r v u v u v =，:,t C u v e ==是S 上的⼀条曲线.(1) 将曲线C 的切向量⽤,u v r r 的线性组合表⽰出来；(2) 证明：C 的切向量平分了u r 和v r 的夹⾓.(1) 解. C 的参数⽅程为 ()()),sin(2),),1t t t t r e e e t e ==.C 的切向量为()()cos(2),sin(2),1),02(2,)(2,).t t t t t u v r e t t r t e e r t e '=+-=+(2) 证明. 因为(sin ,cos ,0),(cos ,sin ,1)u v r v u v u r u u =-=，在曲线C 上每⼀点t 处，()(2,)),0t t u r t e e =-，()(2,)),1t v r t e =.由上可知2t e r ='. 所以222cos (,)22t u u t u r r e r r r e r '?'∠==='(,)4u r r π'∠=； 2cos (,)222t v v t v r r e r r r e r '?'∠==='，(,)(,)4v u r r r r π''∠==∠. □ p. 104 习题3.3 2. 设球⾯的参数⽅程是22222222222222,,au av u v a r u v a u v a u v a ??+-= ?++++++??. 求它的第⼀基本形式.解. 记2222/()t u v a =++. 则(,,)(0,0,1)r at u v a =-+，2u t ut =-，2v t vt =-，(,,)(1,0,0)u u r at u v a at =-+，(,,)(0,1,0)v v r at u v a at =-+.所以()22222222222222224()2()u u u a E r a t u v a a t t u a t a t u v a ==++++==++， 222222()0u v u v u v F r r a t t u v a a t t v a t t u =?=++++=，()22222222222222224()2()v v v a G r a t u v a a t t v a t a t u v a ==++++==++，从⽽2222222224I ()()a Edu Gdv du dv u v a =+=+++. 5. 设在曲⾯上⼀点(,)u v ，由微分,du dv 的⼆次⽅程22(,)2(,)(,)0P u v du Q u v dudv R u v dv ++= (1)确定了在该点的两个切⽅向. 证明：这两个切⽅向彼此正交?函数,,P Q R 满⾜20ER FQ GP -+=，其中,,E F G 是曲⾯的第⼀基本形式.证明. 由条件，⼆次⽅程(1)有两个互异的实根:du dv 和:u v δδ，因此可以分解为两个⼀次因⼦的乘积：2211222()()Pdu Qdudv Rdv A du B dv A du B dv ++=++. (2)其中1122,,,A B A B 是关于变量(,)u v 的函数. 因为上式是关于⽂字,du dv 的⼆次多项式，⽐较两边的系数，得12P A A =，12212Q A B A B =+，12R B B =. (3)由(2)可知(1)所确定两个切⽅向为11::du dv B A =-，22::u v B A δδ=-. (4)这两个切⽅向彼此正交()0Edu u F du v dv u Gdv v δδδδ+++= (课本(3.18))12121212()0EB B F B A A B GA A ?-++= (由(4)式)20ER FQ GP ?-+=. (由(3)式) □8. 已知曲⾯的第⼀基本形式为2222I ()du u a dv =++.(1) 求曲线1:0C u v +=与2:0C u v -=的交⾓；(2) 求曲线21:C u av =，22:C u av =-和3:1C v =所围成的曲边三⾓形的各个边长和各个⾓.(3) 求曲线1:C u av =，2:C u av =-和3:1C v =所围成的曲边三⾓形的⾯积.解. (1) 已知221,0,E F G u a ===+. 因为交点为(,)(0,0)u v =. 在交点处2G a =. 对于1C ，du dv =-；对于2C ，u v δδ=. 所以它们的切⽅向,dr r δ满⾜22221cos (,)1dr r a dr r a dr r du δδδ?-∠===±+. 于是它们的交⾓为221arccos 1a a -+，或221arccos 1a a -+. (2) 不妨设常数0a >. 如图，在曲纹坐标下，1C 与2C 的交点为(0,0)O ，1C 与3C 的交点为(,1)A a ，C 与C 的交点为(,1)B a -.0O ∠=.在A 点220du avdv adv ==<，0,0u v δδ<=，所以2cos dr r A dr r du δδ?∠===在B 点220du avdv adv =-=->，0,0u v δδ>=，2cos dr r B dr r du δδ?∠===所以0O ∠=，A B ∠=∠=.曲线1C ，2C ，3C 的弧长分别为22212()()C L C a L C ===??， 33()2a C a L C du a -===??.注. 在90版中，本题为212:a C u v =，222:a C u v =-，3:1C v =，故112712260()(2)()a C L C a v dv a L C ===+==??， /23/2()a C a L C du a -===??.(3) 因为d σ，所以曲边三⾓形的⾯积110002av AOB A d σ?-===(1200ln av u a a dv ?=+??(120ln a v dv ?=+(()(13/2222130ln 1ln 1.a v v v a =+-+=++?? p. 110 习题3.41. 设空间曲线()r r s =以弧长s 为参数，曲率是κ. 写出它的切线曲⾯的参数⽅程，使得相应的参数曲线构成正交曲线⽹.解. 设曲线()r s 的Frenet 标架是{};,,r αβγ. 则它的切线曲⾯参数⽅程可写为(,)()()R s t r s t s α=+.由s R t ακβ=+，t R α=可得它的第⼀基本形式2222I (1())2t s ds dsdt dt κ=+++. (1)直母线(即t -曲线)0s δ=的正交轨线的微分⽅程为0ds dt +=，即()0d s t +=. 为此，作参数变换u s =，v s t =+. 则逆变换为s u =，t v u =-，切线曲⾯的参数⽅程为(,)()()()R u v r u v u u α=+-.在新参数下，(,)()()()()()()()()u R u v u u v u u u v u u u αακβκβ=-+-=-，(,)()v R u v u α=.第⼀基本形式化为2222I ()()v u u du dv κ=-+.所以参数曲线构成正交曲线⽹. 也可将s u =，t v u =-直接代⼊(1)式得到上式：22222222I [1()()]2()()()()v u u du du dv du dv du v u u du dv κκ=+-+-+-=-+.3. 求曲线(cos sin ,sin cos ,)r v u k u v u k u ku =-+的参数曲线的正交轨线，其中0k >是常数.解. (sin cos ,cos sin ,)u r v u k u v u k u k =---，(cos ,sin ,0)v r u u =.第⼀基本形式为2222I (2)v k du kdudv dv =+-+.u -曲线0v δ=的正交轨线的微分⽅程为0Edu Fdv +=，即22(2)0v k du kdv +-=. 解这个微分⽅程：222kdv du d v k ===+，得到u -曲线的过00(,)u v 的正交轨线为00)v u u v =-+.v -曲线0u δ=的正交轨线的微分⽅程为0Fdu Gdv +=，即kdu dv =. 过00(,)u v 的正交轨线为00()v k u u v =-+. p. 110 习题3.51. 证明：在悬链⾯(cosh cos ,cosh sin ,)r a t a t at θθ=，(,)(0,2)t θπ∈?与正螺⾯(cos ,sin ,)r v u v u au =，(,)(0,2)u v π∈之间存在保长对应.证明. 悬链⾯的第⼀基本形式为22221I [(sinh cos cosh sin )(sinh sin cosh cos )]a t dt t d t dt t d dt θθθθθθ=-+++ 2222cosh ()a t dt d θ=+.正螺⾯的第⼀基本形式为222222222I (sin cos )(cos sin )()v udu udv v udu udv a du a v du dv =-++++=++2222()a v du ??=++. 对正螺⾯作参数变换，令,sinh u v a t θ==. 则(,)cosh 0(,)u v a t t θ?=-≠?，参数变换是可允许的. 由于,cosh du d dv a tdt θ===，正螺⾯的第⼀基本形式化为2222222221I ()cosh ()I a v a t d dt du θ??=+=+=+. 根据定理5.3，在悬链⾯与正螺⾯之间存在保长对应. 对应关系式为,sinh u v a t θ==. □p. 110 习题3.51. 判断下列曲⾯中哪些是可展曲⾯？说明理由. (1) ()2234233,2,v u v r u u uv u =+++； (2) ()cos ()sin ,sin ()cos ,2r v u v v v u v v u v =-++++；(3) ()(),(),2r a u v b u v uv =+-； (4) ()cos ,sin ,sin 2r u v u v v =.解. (1) ()()234236()(),2,1,3,2v v u r a u a u u u u u u '=+=+.所以它是可展曲⾯，因为它是正则曲线()234(),2,a u u u u =(0u ≠)的切线⾯.(2) ()()()()()cos ,sin ,sin ,cos ,1r u v a v ua v v v v v v '=++=+-，其中()()cos ,sin ,a v v v v =是圆柱螺线，u u v =+. 所以它是可展曲⾯.(3) 令()(),,0a u au bu =，()(),,2l u a b u =-. 则()()r a u v l u =+，直接计算得()2(),(),()ab a u l u l u =-''.当0ab ≠时，它是马鞍⾯，()0(),(),()a u l u l u ≠''，所以不是可展曲⾯. 当0a =或0b =时，它是平⾯，所以是可展曲⾯. 当0a =且0b =时，它不是正则曲⾯.(4) 令()()0,0,sin 2a v v =，()()cos ,sin ,0l v v v =. 则()()r a v u l v =+. 由于()2cos20,,v a l l =≠''，它不是可展曲⾯. □。

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习题答案1p.41 习题2.31. 求下列曲线的曲率：(2) ()323()3,3,3r t t t t t t =-+；(4) ()33()cos ,sin ,cos2r t t t t =.解. (2) ()22()31,2,1r t t t t '=-+，)2|()|321r t t '=+,()()6,1,r t t t ''=-, ()22()()181,2,1r t r t t t t '''⨯=--+,)2|()()|1r t r t t '''⨯=+, 2213(1)t κ=+. (4) ()1()s i n 23c o s ,3s i n ,42r t t t t '=--，5|()||sin2|2r t t '=, ()()1()cos23cos ,3sin ,4sin 23sin ,3cos ,02r t t t t t t t ''=--+, ()()21()()sin 23cos ,3sin ,43sin ,3cos ,04r t r t t t t t t '''⨯=--⨯ ()23s i n 24c o s ,4s i n ,34t t t =--， 25|()()|sin 24r t r t t '''⨯=，225|sin 2|t κ=，(2(21)t k π≠+). 4. 求曲线222229,3x y z x z ⎧++=⎪⎨-=⎪⎩在()2,2,1处的曲率和密切平面方程. 解. 设曲线的弧长参数方程为()()(),(),()r s x s y s z s =, ()(0)2,2,1r =，0(0)r α=，00(0)r κβ=. 则(),(),()x s y s z s 满足题给的方程组，所以有2222212,26x y y z +=+=.对上式求导得 22220,20,1xx yy yy zz x y z +=+=++=. (1) 再求导，得22222(2),2(2),0xx yy x y yy zz y z xx yy zz +=-++=-+++=. (2)在()2,2,1处，由(1)解出2x y z =-=，13x =±. 不妨设122333,,x y z ==-=. 所以()()01,,1,2,23x y z α==-. 代入(2)得 2242,,22033x y y z x y z +=-+=--+=. 所以001(0)(0,1,1)3r κβ==--，0κ=，01,1)β=--. 于是)000(0,1,1)1)1,2,2γαβ=⨯=⨯--=--. 所以在()2,2,1处，曲率为02κ=，密切平面方程为4(2)(2)(1)0x y z -+---=，即490x y z +--=. 7. 证明：若一条正则曲线在各点的切线都经过一个固定点，则它必定是一条直线.证明. 设曲线C 的弧长参数方程为()r r s =，它的Frenet 标架为{};,,r αβγ，曲率和挠率分别为,κτ. 再设定点为a (常向量). 由条件，a 和()r s 都在C 的过()r s 点的切线上，所以(())//()r s a s α-. 故可设()()()r s a s s λα=+.对上式求导，利用Frenet 公式可得()()()()()()s s s s s s αλαλκβ=+.所以()0s κ=，C 是直线. □p. 47 习题2.41. 计算习题2.3第1题中各曲线的挠率.(2) ()323()3,3,3r t t t t t t =-+；(4) ()33()cos ,sin ,cos2r t t t t =.解. (2) ()22()31,2,1r t t t t '=-+，)2|()|321r t t '=+,()()6,1,r t t t ''=-, ()22()()181,2,1r t r t t t t '''⨯=--+，()2|()()|1821r t r t t '''⨯=+，()()61,0,1r t '''=-，()216(),(),()r t r t r t ''''''=，()()222(),(),()1|()()|31r t r t r t r t r t t τ''''''=='''⨯+. 223(1)t +(4) ()1()s i n 23c o s ,3s i n ,42r t t t t '=--，5|()||sin2|2r t t '=, ()()1()cos23cos ,3sin ,4sin 23sin ,3cos ,02r t t t t t t t ''=--+, ()()21()()sin 23cos ,3sin ,43sin ,3cos ,04r t r t t t t t t '''⨯=--⨯ ()23s i n 24c o s ,4s i n ,34t t t =--， ()()()2sin23cos ,3sin ,42cos23sin ,3cos ,0r t t t t t t t '''=---+()1s i n 23c o s ,3s i n ,02t t t +-， 25|()()|sin 24r t r t t '''⨯=，()332(),(),()t r t r t r t ''''''=， ()2(),(),()|()()|25sin2r t r t r t r t r t tτ''''''=='''⨯, (2(21)t k π≠+).4. 假定()r r s =是正则弧长参数曲线，它的挠率0τ≠，曲率κ不是常数，并且222111d a ds κτκ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， (1) 其中a 为常数. 证明该曲线落在一个球面上.证明. 由条件(1)，求导得1111110d d d d ds ds ds ds κκττκκ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 因为κ不是常数，上式说明110d d ds ds τκτκ⎡⎤⎛⎫+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. (2) 设它的Frenet 标架为{};,,r αβγ. 考虑向量函数 111()()()()()()()d r s r s s s s s s ds βγκκτ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. (3) 对上式求导，利用Frenet 公式和(2)式，得111111[]()0d d d d r ds ds ds ds αβκατγγτβκττκκκ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=++-+++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 所以r c =是常向量. 代入(3)得到111()()()()()()d c r s s s s s s ds βγκκτ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭， ()2222111()d a r s c ds κτκ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 这说明()r s 在以c 为中心，以a 为半径的球面上. □ 10. 设()r t 是单位球面上经度为t ，纬度为2t π-的点的轨迹. 求它的参数方程，并计算它的曲率和挠率. 解. 单位球面的参数方程为cos cos ,cos sin ,sin x y z θϕθϕθ===，(,)[/2,/2][,]θϕππππ∈-⨯-. 其中ϕ为经度，θ为纬度. 将,2t t πϕθ==-代入，得曲线的参数方程 ()2()sin cos ,sin ,cos r t t t t t =. 于是()()cos2,sin 2,sin r t t t t '=-，|()|1r t '=+.()()2sin 2,2cos2,cos r t t t t ''=--，()()()2sin cos2cos sin 2,2sin sin 2cos cos2,2r t r t t t t t t t t t '''⨯=-+()()2s i n c o s 2(0,0,1)c o s 2,s i n 2,0s i n 2,c o s ,0t t t t t t =++-， |()()|cos r t r t '''⨯=()()4sin (0,0,1)4cos2,4sin 2,sin cos2,sin 2,0r t t t t t t t '''==-+--,()6sin (),(),()t r t r t r t ''''''=-.32cos |()()||()|1sin r t r t r t t κ'''⨯=='+ ()222(),(),()6sin |()()|cos 4(1sin )r t r t r t t r t r t t t τ''''''-=='''⨯++. p. 55 习题2.5 1，6. 设正则曲线C 的曲率κ处处不为零. 则下述命题是等价的：(a )C 是一般螺线(即C 的切向量与固定方向成定角)；(b )C 的主法线与固定平面平行；(c )C 的挠率与曲率之比:τκ是常数.证明. 设曲线C 的弧长参数方程为()r r s =，它的Frenet 标架为{};,,r αβγ，曲率和挠率分别为0,κτ≠.(a )⇒(b ). 设固定方向的单位向量为n . 则cos (,)n n αα=∠是常数. 因为0κ≠，求导得到0n β=，即主法线方向与固定方向n 垂直. 所以主法线与以n 为法向量的一个固定平面垂直.(b )⇒(c ). 设固定平面的单位法向量为n . 则0n β=. 于是()0d n n dsακβ==. 这说明cos n αθ=是常数，其中(,)n θα=∠. 因为0n β=，可设()()()()n s s s s λαμγ=+.用()s α与等式两边作内积，得()()cos s s n λαθ==是常数. 再由n 是单位向量可知222()1()sin s s μλθ=-=也是常数. 不妨设sin μθ=，则上式成为cos ()sin ()n s s θαθγ=+求导得到0[cos ()sin ()]()s s s θκθτβ=-.所以():()cot s s τκθ=是常数. (c )⇒(a ). 设():()cot s s τκθ=是常数. 令()cos ()sin ()n s s s θαθγ=+.则()[cos ()sin ()]()0n s ss s θκθτβ'=-=.所以n 是常向量，从而切方向α与固定方向n 成定角(,)n θα=∠. □ 4. 证明：曲线()(3sin ,2cos sin )r t t t t t =+-和曲线122()(2cos ,2sin ,)uu r u u =-可以通过刚体运动彼此重合.证明. 对曲线1:C 11()r r u =作参数变换2u v =，可知1C 是圆柱螺线： 1(2cos ,2sin ,2)r v v v =-. (2,2a b ==-)它的曲率和挠率分别为114κ=，114τ=-. 因此只要证明曲线:C ()r r t =的曲率14κ=，挠率14τ=-，从而根据曲线论基本定理，它们可以通过刚体运动彼此重直接计算可得()(1,2sin ,cos )r t t t t '=+-，|()|22r t '=，()(3s i n ,2co s ,si n )r t t t t ''=--， ()()(23c o s 2,n ,232c o s )r t rt t t t '''⨯=--- 2(1,2sin cos )t t t =-，|()()|42r t r t '''⨯=，14κ=. ()(,2sin ,cos )r t t t t '''=-，()8(),(),()r t r t r t ''''''=-，14τ=-. □ 注. 此类证明题，一般是由等式1()()t u κκ=确定一个函数()u u t =，然后证明1()(())t u t ττ=.p. 63 习题2.6 2. 作正则参数曲线C 关于一张平面的对称曲线C *. 证明：曲线C 和C *在对应点的曲率相同，挠率的绝对值相同而符号相反. 证明. 设曲线C 的弧长参数方程为()r r s =，它的Frenet 标架为{};,,r αβγ，曲率和挠率分别为0,κτ≠. 再设∏是过定点a ，以n 为单位法向量的平面. 由上图可见()r s OR =在n 方向的投影向量[()]PR n r s n =⋅，从而()r s 在平面∏上的投影向量()()[()]OP r s PR r s n r s n =-=-⋅.同理，a 在n 方向的投影向量()PQ n a n =⋅. 用11()r s OR =表示()r s 关于平面∏的对称点. 由于Q 是R 和1R 的中点，12PR PR PQ +=，所以111()2()[()]2()[()]()2[()]2().r s OR OP PR OP PQ PRr s n r s n n a n n r s n r s n r s n n a n ==+=+-=-⋅+⋅-⋅=-⋅+⋅()r s 1()r s na QR求导得1()()2[()]r s s n s n αα'=-⋅，2221|()|14[()]4[()]1r s n s n s αα'=-⋅+⋅=.所以s 也是C *的弧长参数. 设C *的Frenet 标架为{}1111;,,r αβγ，曲率和挠率分别为1κ和1τ. 则112()r n n ααα==-⋅.再求导，得1112()[2()]n n n n κβααακββ==-⋅=-⋅.于是11||2()n n κακββκ==-⋅=，12()n n βββ=-⋅.由此得1112()2()2[()()]2[()]2()2(),n n n n n n n n n n n n n γαβγαββαγβααβγαβγγγγ=⨯=-⋅⨯-⋅⨯=-⋅-⋅⨯=-⨯⨯⨯=-⨯⨯=-+⋅ 2111[2()][2()][2()]n n n n n n τβγββτβτβτββτ=-⋅=-+⋅-⋅=--⋅=-. 所以有1κκ=，1ττ=-. □3. 如果正则参数曲线的向径()r s 关于弧长s 的n 阶导数是()()()()()()()()n n n n r s a s s b s s c s s αβγ=++，求它的1n +阶导数.解. 由Frenet 公式可得(1)()()()().n n n n n n n n n n n n n n r a a b b c c a b b a c c b ακββκατγγτβκακτβτγ+=+++-++-=-++-++p. 69 习题2.74. 假定曲线:()C r r s =和曲线:()C r r s =的曲率处处不为零，且它们之间存在一一对应，使得曲线C 在每一点的主法线是曲线C 在对应点的次法线. 证明：曲线C 和C 在对应点之间的距离λ为常数，并且曲线C 的曲率和挠率满足关系式22()κλκτ=+.证明. 设曲线C 和C 的弧长参数方程分别为()r r s =和11()r r s =，它们之间的一一对应由函数关系()s s s =给出. 再设它们的Frenet 标架分别为{};,,r αβγ和{}1111;,,r αβγ，曲率和挠率分别为,κτ和11,κτ.由条件，可设1(())()()()r s s r s f s s β=+， (1)1(())()s s s γεβ=， (2)其中1ε=±. 对(1)式两边求导，得1()s f f ααβκατγ''=++-+. (3)再用(2)两边分别与(1)两边作内积，得0f '=，所以f 为常值函数. 这说明C 和C 在对应点之间的距离1|(())()|||r s s r s f λ-==为常数.将(3)重写为1(1)s f f ακατγ'=-+. (4)上式再求导，得22111(1)s s f f f f ακβκακκβτγτβ'''''+=-+-+-.用(2)两边分别与上式两边作内积，得22()f κκτ=+. 因为0κ>，所以0f f λ==>，即有22()κλκτ=+. □8. 证明：圆柱螺线的渐伸线是落在与其轴线垂直的平面内的一条曲线，并且它也是圆柱螺线所在圆柱面与该平面的交线的渐伸线.证明. 1.以圆柱螺线的轴线为z 轴，建立空间直角坐标系. 它的参数方程为()(cos ,sin ,)r t a t a t bt =.因为()(sin ,cos ,)r t a t a t b '=-，2|()|r t a '=从0t =开始计算的弧长为()s t . 由于单位切向量为()sin ,cos ,)t a t a t b α=-，根据定理7.3，渐伸线方程为1()()(())()(cos ,sin ,)sin ,cos ,)r t r t c s t t a t a t bt a t a t b α=+-=+-，其中c 是任意一个取定的常数. 记c =则渐伸线方程可以写成1()(cos ,sin ,)()(sin ,cos ,)r t a t a t bt c t a t a t b =+-- ()cos ()sin ,sin ()cos ,a t a c t t a t a c t t cb =--+-. (1)它是落在与其轴线(z 轴)垂直的平面z cb =内的一条曲线.2. 圆柱螺线所在圆柱面与该平面的交线是平面z cb =内的一个圆()(cos ,sin ,)r t a t a t cb =.它的弧长为()s t at =. 单位切向量为()(sin ,cos ,0)t t t α=-.所以它的一般的渐伸线方程为()1()()(())()cos ()sin ,sin ()cos ,r t r t c s t t a t c at t a t c at t cb α=+-==--+-. (2) 在(2)中取c ac =，就得到上面的渐伸线(1). □注. 在工业上，圆的渐伸线一般被用来作为齿轮的齿廓线.p.75 习题2.81. 求下列平面曲线的相对曲率r κ. (2) 双曲线：(cosh ,sinh )r a t b t =，t ∈R .(4) 摆线：((sin ),(1cos ))r a t t a t =--，[0,2]t π∈.(6) 曳物线：()cos ,ln(sec tan )sin r a t a t t a t =+-，[0,/2)t π∈.解. (2) (sinh ,cosh )r a t b t '=，(cosh ,sinh )r a t b t ''=， 2||sinh r a '=22223/2(sinh cosh )r ab a t b t κ=-+. (4) (1cos ,sin )r a t t '=-，(sin ,cos )r a t t ''=，22(1cos r a κ=-(0,2)t π∈. (6) 1sin (1,tan )sin ,cos cos r a a t t t t t ⎛⎫'==--- ⎪⎝⎭，||tan r a t '=， 2cos (1,tan )sin (0,sec )r a t t a t t ''=-+，11cot tan r a t a tκ-=-=-，(0,/2)t π∈. 2. 设平面曲线在极坐标系下的方程是()ρρθ=，其中ρ是极距，θ是极角. 求曲线的相对曲率的表达式.解. ()()()()(),()()cos ,()sin cos ,sin r x y ρθθθρθθρθθθθ===， ()()()(sin ,cos )cos ,sin r ρθρθθθθθ''=+-， 2||(r ρθ'=， ()()()2()(sin ,cos )()cos ,sin cos ,sin r ρθρθθθρθθθθθ'''''=+-- ()()2()(sin ,cos )()()cos ,sin ρθθθρθρθθθ'''=+--，22223/2()2()()()[()()]r ρθρθρθρθκρθρθ'''+-='+. 6. 已知平面曲线的相对曲率()r s κ=s 是弧长参数，求它的参数方程.解. 令0()()arcsin s r s d s θκξξ==⎰，则sin(())s s θ=，cos(())s θ=，[1,1]s ∈-.因此所求曲线的弧长参数方程为()2001(cos(()),sin(())))arcsin 2s s r d d s s θξθξξξξ===+⎰⎰. 8. 求圆222:C x y a +=的渐伸线.解. 习题2.7第8题已经求得圆(cos ,sin )r a t a t =的渐伸线方程为 ()1()()(())()cos ()sin ,sin ()cos r t r t c s t t a t c at t a t c at t α=+-==--+-. 特别，常数0c =的那一条渐伸线为()1()()()()cos sin ,sin cos r t r t s t t a t t t t t t α=-=+-.。

微分几何陈维桓新编习题答案-完整版-完整版

习题答案 2p. 58 习题3.12. 在球面2222{(,,)|1}S x y z x y z 上，命(0,0,1)N ，(0,0,1)S . 对于赤道平面上的任意一点(,,0)p u v ，可以作为一的一条直线经过,N p 两点，它与球面有唯一的交点，记为p . (1) 证明：点p 的坐标是2221u xuv，2221v yuv，222211u v zuv，并且它给出了球面上去掉北极N 的剩余部分的正则参数表示；(2) 求球面上去掉南极S 的剩余部分的类似的正则参数表示；(3) 求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换；(4) 证明球面是可定向曲面.证明. (1) 设(,)r u v Op . 如图，,,N p p 三点共线，故有tR 使得(1)OptOpt ON .(1)由于21Op ON ，222uv Op，0Op ON，0t，取上式两边的模长平方，得222/(1)tuv. 从而22222222221,,111uvu v uvuvuv，2(,)u v R .(2)由(1)可知(,,1)(0,0,1)(,,1)rOptNp ON t u v tu tv t ，又2()dtt uduvdv ，所以2(,,1)(1,0,0)ur t u u v t ，2(,,1)(0,1,0)vr t v u v t ，22222(,,()1)(,,1)0t tu tv t u v t tu tv t t r. (3)因此(,)r r u v 给出了2{}SN 的正则参数表示.(2)令(,,0)q u v 是,S p 两点连线与赤道平面的交点. 同理，有(1)(,,1)Opt Oqt OS t u t v t ，222/(1)t uv，22222222221(,,),,111u v u vr x y z Opuvuvuv ，2(,)u v R .(4)2(,,1)(1,0,0)ur t u u v t ，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t ，22222(,,1())(,,1)0t t u t v t uv t t u t v tt r. (5)因此(4)给出了2{}S S 的正则参数表示.(3) 由(2)和(4)式可得2222()()1uv uv ，从而上面两种正则参数表示在公共部分2{,}S N S 上的参数变换公式为22uuuv，22v vuv. (6)由(3)和(5)可知22222222222(,)(1)10(,)(1)()u v t u v u v tuvuv .所以参数变换是可允许的，并且是改变定向的参数变换.注. 如果采用复坐标，令,z u i v w u i v ，则上面的参数变换可写成1/w z . 这就是广义复平面上的共形变换.(4) 在2{}SN 上采用(1)式给出的正则参数表示，在2{}SS 上采用正则参数表示则在公共部分的参数变换公式为22uuu v，22v vuv. (4)由于22\{},\{}S N S S 构成2S 的开覆盖，并且22222222222222222()()2222()()(,)10(,)()v u uv u v u v uv v u u v u v u v u v u v ，所以2S 是可定向的. □5 写出单叶双曲面2222221x y z abc和双曲抛物面22222x y zab作为直纹面的参数方程.解. (1) 对单叶双曲面，取腰椭圆()(cos ,sin ,0)a u a u b u ，(0,2)u 为准线. 设直母线的方向向量为()(),(),()l u aX u bY u cZ u . 则直纹面的参数方程为(,)()()(cos ()),(sin ()),()r u v a u vl u a u vX u b uvY u cvZ u . 由于(,)r u v 的分量满足单叶双曲面的方程，可得222(cos ())(sin ())(())1uvX u u vY u vZ u ，v R.由v 得任意性得到cos ()sin ()0uX u uY u ，222()()()X u Y u Z u .因此():():()sin :cos :1X u Y u Z u u u . 取()sin ,cos ,l u a u b u c 得(,)(cos sin ),(sin cos ),r u v a uv u b u v u cv ，(,)(0,2)u v R .(2) 对双曲抛物面，令()xa uv ，()yb uv ，则2zuv. 曲面的参数方程为(,,0)(,,2)(,,0)(,,2)au bu v a b u av bv u a b v ，2(,)u v R .p. 94 习题3.21. 证明：一个正则参数曲面S 是球面它的所有法线都经过一个固定点.证明. “”设S 是球面，参数方程为(,)r u v ，球心为a ，半径为R. 则有22((,))r u v a R ，,u v D . (1) 微分可得()0u r ra ，()0v r ra . (2) 所以()//uv ra r r ，从而uv rar r ，即有函数(,)u v 使得(,)(,)[(,)][(,)]u v ar u v u v r u v r u v .(3)这说明球心a 在它的所有法线上.“”设S 的所有法线都经过一个固定点a. 则有函数(,)u v 使得(3)式成立，即有u v rar r . 分别用,u v r r 作内积，可得(2). 这说明2()0d ra ，从而(1)式成立，其中0R (否则S 只是一个点，不是正则曲面)是常数. 因此S 是以a 为球心，以R 为半径的球面，或球面的一部分. □3. 证明：一个正则参数曲面S 是旋转面它的所有法线都与一条固定直线相交.证明. “”设S 是旋转面，旋转轴L 为z 轴. 它的参数方程为(,)()cos ,()sin ,()r u v f v u f v u g v ，(()0)f v .因为()sin ,cos ,0ur f v u u ，()cos ,()sin ,()vr f v u f v u g v ，()()cos ,()sin ,()uvr r f v g v u g v u f v ，所以S 上任意一点(,)r u v 处的法线N的参数方程为()(,)[(,)(,)]u v X t r u v t r u v r u v .由于z 轴的参数方程为()(0,0,1)Y s s sk ，并且()cos ()sin ()()0()cos ()sin (),,01uv f v uf v ug v f v g v u g v uf v r r r k ，所以L 与N共面. 如果L 与N处处平行，则()//uv r r k ，从而()0g v . 此时S 是垂直于z 轴的平面()zg v c . 所以当S 不是垂直于z 轴的平面时，旋转面S 的所有法线都与z 轴相交.“”通过选取坐标系，不妨设固定直线为z 轴. 设S 的参数方程为(,)((,),(,),(,))r u v x u v y u v z u v ，(,)u v D .由条件，S 的所有法线都与z 轴相交，所以法线不能与z 轴平行，即00(,)(,)(,)(,),,//(,)(,)(,)uvu v y z x z x y r r u v u v u v (0,0,1)，00(,)u v D . 因此00(,)(,)(,)u v y z u v ，00(,)(,)(,)u v x z u v 不能全为零. 不妨设在00(,)u v 点邻近(,)0(,)y z u v . 通过参数变换，曲面的参数方程可以写成(,)((,),,)r u v x u v u v ，(,)u v D .(1)于是,1,0uu r x ，,0,1vv r x ，1,,u v u v r r x x .因为所有法线都与z 轴相交，0,,uv r r r k，即有0uxx u. 这说明22xu 是一个仅仅依赖于v 的函数. 设222()xuf v ，其中()0f v . 作参数变换()cos ,uf v vv . 由上式得()sinxf v ，S 的参数方程(1)可以改写为(,)(()sin ,()cos ,)r v f v f v v .这是一个旋转面，由yOz 平面上的母线()y f z 绕z 轴旋转而得.□5. 设S 是圆锥面(cos ,sin ,)r v u v u v ，:2,tC ut ve 是S 上的一条曲线.(1) 将曲线C 的切向量用,u v r r 的线性组合表示出来；(2)证明：C 的切向量平分了u r 和v r 的夹角. (1)解.C 的参数方程为cos(2),sin(2),cos(2),sin(2),1ttttre e t e t et t .C 的切向量为(2)证明.因为(sin ,cos ,0),(cos ,sin ,1)uvr v u v u r u u ，在曲线C 上每一点t 处，(2,)sin(2),cos(2),0ttu r t e et t ，(2,)cos(2),sin(2),1tv r t e t t .由上可知2t e r. 所以2221cos (,)22tu u t ur r e r r r e r ，(,)4u r r ；21cos (,)222tvv t vrr er r r e r ，(,)(,)4v u r r r r . □p. 104 习题3.3 2. 设球面的参数方程是22222222222222,,au av u v a ruvauvauva.求它的第一基本形式.解. 记2222/()tu v a . 则(,,)(0,0,1)r at u v a ，2ut ut ，2v t vt ，(,,)(1,0,0)uu r at u v a at ，(,,)(0,1,0)vv r at u v a at .所以22222222222222224()2()u u u a E r a t uva a t t ua ta tuva ，222222()0uv u v u vF r r a t tuva a t t v a t t u ，22222222222222224()2()vv v a G r a t uva a t t va ta tuva ，从而2222222224I()()a EduGdvdudv uva .5. 设在曲面上一点(,)u v ，由微分,du dv 的二次方程22(,)2(,)(,)0P u v duQ u v dudv R u v dv (1)确定了在该点的两个切方向. 证明：这两个切方向彼此正交函数,,P Q R 满足20ERFQGP，其中,,E F G 是曲面的第一基本形式.证明.由条件，二次方程(1)有两个互异的实根:du dv 和:u v ，因此可以分解为两个一次因子的乘积：2211222()()PduQdudv RdvA duB dv A du B dv . (2)其中1122,,,A B A B 是关于变量(,)u v 的函数. 因为上式是关于文字,du dv 的二次多项式，比较两边的系数，得12PA A ，12212Q A B A B ，12RB B .(3) 由(2)可知(1)所确定两个切方向为11::du dvB A ，22::u vB A .(4)这两个切方向彼此正交()Edu u F du v dv u Gdv v (课本(3.18)) 12121212()0E B B F B A A B G A A(由(4)式) 20ERFQGP.(由(3)式)□8. 已知曲面的第一基本形式为2222I ()duu a dv .(1) 求曲线1:0C u v与2:0C uv的交角；(2) 求曲线21:C u av ，22:C u av 和3:1C v 所围成的曲边三角形的各个边长和各个内角.(3) 求曲线1:C u av ，2:C u av 和3:1C v所围成的曲边三角形的面积.解. (1) 已知221,0,E FGua . 因为交点为(,)(0,0)u v . 在交点处2Ga .对于1C ，dudv ；对于2C ，uv. 所以它们的切方向,dr r 满足2222222221cos (,)1dr r du u a dv v adr r adrrdua dvuav.于是它们的交角为221arccos1aa，或221arccos1a a.(2) 不妨设常数0a. 如图，在曲纹坐标下，1C 与2C 的交点为(0,0)O ，1C 与3C 的交点为(,1)A a ，2C 与3C 的交点为(,1)B a .因为是计算内角，在O 点20,0du avdvdv . 同理，0,0uv，所以内角0O .在A 点220du avdv adv ，0,0uv，所以222222cos 6()dr r du uAdr r duua dvu.在B 点220duavdv adv ，0,0u v，222222cos 6()dr r du u Bdrrduua dvu.所以0O，arccos 2/3AB.曲线1C ，2C ，3C 的弧长分别为11222224120()()41()C L C duua dv avvdvL C ，322223()()2a C a L C duua dv du a.注.在90版中，本题为212:a C u v ，222:a C uv ，3:1C v，故1112222242711242600()()1(2)()a C L C duua dva vvdvv dv aL C ，3/222223/2()()a C a L C duu a dvdu a.(3) 因为22d ua dudv ，所以曲边三角形的面积p. 110 习题3.4 1. 设空间曲线()rr s 以弧长s 为参数，曲率是. 写出它的切线曲面的参数方程，使得相应的参数曲线构成正交曲线网.解. 设曲线()r s 的Frenet 标架是;,,r . 则它的切线曲面参数方程可写为(,)()()R s t r s ts . 由sR t，t R 可得它的第一基本形式2222I(1())2ts dsdsdtdt . (1)直母线(即t -曲线)0s的正交轨线的微分方程为0ds dt，即()0d st . 为此，作参数变换u s ，v s t . 则逆变换为s u ，t v u ，切线曲面的参数方程为(,)()()()R u v r u v u u .在新参数下，(,)()()()()()()()()u R u v u u v u u u v u u u ，(,)()v R u v u . 第一基本形式化为2222I()()v u u dudv .所以参数曲线构成正交曲线网. 也可将su ，t vu 直接代入(1)式得到上式：22222222I [1()()]2()()()()v u u du du dv du dvdu v u u dudv .3. 求曲线(cos sin ,sin cos ,)r v u k u v u k u ku 的参数曲线的正交轨线，其中0k 是常数.解.(sin cos ,cos sin ,)ur v u k u v uk u k ，(cos ,sin ,0)v r u u . 第一基本形式为2222I (2)vk dukdudvdv .u -曲线0v 的正交轨线的微分方程为0EduFdv，即22(2)0vk dukdv .解这个微分方程：2222111arctan222221v kv v kdv dud dvkkk，得到u -曲线的过00(,)u v 的正交轨线为002tan 2()vk u u v .v -曲线0u 的正交轨线的微分方程为0Fdu Gdv，即kdudv. 过00(,)u v 的正交轨线为00()v k uu v .p. 110 习题3.51. 证明：在悬链面(cosh cos ,cosh sin ,)ra t a t at ，(,)(0,2)t R与正螺面(cos ,sin ,)rv u v u au ，(,)(0,2)u v R之间存在保长对应.证明. 悬链面的第一基本形式为2222cosh ()a t dtd . 正螺面的第一基本形式为222222()dvav dua v .对正螺面作参数变换，令,sinh uva t . 则(,)cosh 0(,)u v a tt ，参数变换是可允许的. 由于222,cosh 1sinh du d dva tdta tdtav dt ，正螺面的第一基本形式化为222222222122I ()cosh ()I dv av a t ddt duav.根据定理5.3，在悬链面与正螺面之间存在保长对应. 对应关系式为,sinh u v a t . □p. 110 习题3.51. 判断下列曲面中哪些是可展曲面？说明理由.(1) 2234233,2,vu v r uuuv u；(2) cos ()sin ,sin ()cos ,2r v u v v v uv v uv ；(3) (),(),2ra uv b uv uv ；(4) cos ,sin ,sin 2ru v u v v .解. (1) 234236()(),2,1,3,2v v u ra u au u u uu u.所以它是可展曲面，因为它是正则曲线234(),2,a u u u u(0u )的切线面.(2) ()()()cos ,sin ,sin ,cos ,1r u v a v ua v v v vv v ，其中()cos ,sin ,a v v v v 是圆柱螺线，u u v. 所以它是可展曲面.(3)令(),,0a u au bu ，(),,2l u a b u .则()()ra u v l u ，直接计算得2(),(),()ab a u l u l u .当0ab 时，它是马鞍面，0(),(),()a u l u l u ，所以不是可展曲面.当0a 或0b 时，它是平面，所以是可展曲面.当0a且0b 时，它不是正则曲面.(4)令()0,0,sin 2a v v ，()cos ,sin ,0l v v v . 则()()r a v u l v . 由于2cos20,,va l l，它不是可展曲面.□2. 考虑双参数直线族xuz v ，33uyvz，其中,u v 是直线族的参数.(1) 求参数u 和v 之间的关系，使得由此得到的单参数直线族是一个可展曲面的直母线族；(2) 确定相应的可展曲面的类型.解. (1) 对于固定的参数,u v ，该双参数直线族中的一条直线(,)L u v 可以写成点向式：3(/3)(,):1x vyu z L u v u v.设所求的函数关系为()vf u . 则得到一个单参数直线族(,())uL L u f u ，它们构成的直纹面S 的方程为3(,),(),1(),/3,0r u t t u f u f u u .于是S 是可展曲面222200()1210f u ufufu f u c u f f ，其中c 是任意常数. 即所求的函数关系为22uvc .(2) 此时S 的参数方程为(,)()()r u t a u t l u ，其中3(),(),(),1(),/3,0a u l u u f u f u u ，2()(/2)f u u c .由于()()0,1,l u l u f uff，S 不是柱面.如果S 是锥面，则有函数()t t u 使得()()()a u t u l u c ，其中c 为常向量.于是2,,at ltlfutt uf tt f t ，从而0t，0tt 是常数. 由此得00ut ，矛盾. 因此S 是切线曲面. 事实上，记2()(/2)f u u c ，其中1. 则2()(1,,0)(),,0a u u u ul u u u .取新的准线23()()(),,26u ub u a u ul uc cu u .则22()(),,,,122uu b u l u u c u c .于是S 的参数方程为()()()()()()()()rb u ut l u b u ut b u b u t b u ，其中(,)(,)u t u ut 是新的参数. □8. 证明：由挠率不为零的正则曲线的主法线族和次法线族分别生成的直纹面都不是可展曲面.证明. 设正则曲线C 的弧长参数方程为()a s ，曲率和挠率分别为,，Frenet 标架为;,,a .它的主法线族生成的直纹面是1:()()S ra s t s . 因为()0(),(),()()()()(),(),()s s s s s s s a s s s ，所以1S 不是可展曲面. 同理，由可知它的次法线族生成的直纹面2:()()S ra s t s 不是可展曲面. □。

微分几何陈维桓习题答案3

习题答案3p. 148 习题4.11. 求下列曲面的第二基本形式：(1)√旋转椭球面：()cos cos ,cos sin ,sin r a a b ϕθϕθϕ=；(2) 旋转椭圆抛物面：()2212,,()r u v u v =+； (3) 双曲抛物面：()(),(),2r a u v a u v uv =+-；(4)√一般柱面：()(),(),r f u g u v =；(5)√劈锥曲面：()cos ,sin ,()r u v u v f v =. 解. (1) ()cos sin ,cos ,0r a θϕθθ=-，()sin cos ,sin sin ,cos r a a b ϕϕθϕθϕ=--，()cos cos cos ,cos sin ,sin r r a b b a θϕϕϕθϕθϕ⨯=，22(,)ππϕ⇒∈-)21cos cos ,cos sin ,sin sin n b b a a ϕθϕθϕ=.又 ()cos cos ,sin ,0r a θθϕθθ=-，()sin sin ,cos ,0r a θϕϕθθ=-，()cos cos ,cos sin ,sin r a a b ϕϕϕθϕθϕ=-.所以222cos ab L b ϕ-=+，0M =，N =， )222II cos d d ϕθϕ=+. (2) ()1,0,u r u =，()0,1,v r v =，(),,1u v r r u v ⨯=--，)2,,11n u v u =--+. ()0,0,1uu r =，0uv r =，()0,0,1vv r =，)22II 1du dv u v =++.(3) (),,2u r a a v =，(),,2v r a a u =-，()2,,u v r r a u v v u a ⨯=+--. 不妨设0a >. 则)2,,22n u v v u a a v =+--++，0uu vv r r ==，()0,0,2uv r =，4II adudv-=.(4) (),,0u r f g ''=，()0,0,1v r =，(),,0u v r r g f ''⨯=-，)21,,0n g f f ''=-'+， (),,0uu r f g ''''=，0uv vv r r ==，2II =.(5) ()cos ,sin ,0u r v v =，()sin ,cos ,v r u v u v f '=-，()sin ,cos ,u v r r f v f v u ''⨯=-，)2sin ,cos ,n f v f v u f ''=-'+， 0uu r =，()sin ,cos ,0uv r v v =-，()cos ,sin ,vv r u v u v f ''=--，)222II 2f dudv uf dv f u ='''-+'+. □ 2. 求下列曲面的第二基本形式：(3) 3xyz k =，0k ≠是常数.解. 由条件知在曲面上30xyz k =≠，并且0yzdx xzdy xydz ++=，即 1110x dx y dy z dz ---++=. (1)因此3111(,,)(,,)yz zx xy k x y z ---=是曲面的法向量. 不妨设0k >. 则单位法向量()2221/2111(),,n x y z x y z -------=++.于是()()2221/22221/2111222[()]().,,,,dn d x y z x y z x y z x dx y dy z dz --------------=++-++ 由于()111(,,),,dr x y z dx dy dz ---=⊥，故曲面的第二基本形式为()2221/2222222II ()dr dn x y z x dx y dy z dz -------=-⋅=++++.如果由(1)解出111()z dz x dx y dy ---=-+，再代入上式可得222211222222II x dx x y----+==++ 22222222||xy x = □3. 求曲线()r r s =的切线曲面的第二基本形式，其中s 是该曲线的弧长参数. 解. 设正则曲线()r r s =的曲率和挠率分别为,κτ，Frenet 标架为{};,,a αβγ，它的切线曲面的参数方程为 (,)()()R s t r s t s α=+.则()dR ds dt t αακβ=++，s R t ακβ=+，t R α=，s t R R t κγ⨯=-，0t >.n γ=-，dn ds τβ=，2II dR dn t ds κτ=-⋅=-. □6. 证明：如果在可展曲面S 上存在两个不同的单参数直线族，则S 是平面.证明. 设可展曲面S 的参数方程为()()r a u vl u =+. 则沿着直母线S 的单位法向量n 是常向量，即()n n u =. 所以第二类基本量中0,0u v v v M r n N r n =-⋅≡=-⋅≡.剩下的只要证明0L ≡，从而由定理1.1，S 是平面.为此，设在S 上任一固定点00(,)u v ，异于直母线的另一族直线中过该点的直线L 的弧长参数方程为(),()u u s v v s ==，并且00(0),(0)u u v v ==. 则L 在0s =处的单位切向量是00000000(0)(,)(0)(,)(0)[()()](0)()(0)u v r r u v u r u v v a u v l u u l u v '''''''=+=++，它不能与S 在00(,)u v 的直母线的切向量0()l u 平行，故(0)0u '≠.另一方面，因为L 是直线，有0r r '''⨯=，即//r r '''. 所以00(0)(,)0r n u v ''⋅=. 于是在00(,)u v 点成立()()20u v u r n r n r u r v n u Lu ''''''''=⋅=-⋅=-+⋅=.因为(0)0u '≠，可得00(,)0L u v =. 由于点00(,)u v 是任意的，可知0L ≡. □ p. 157 习题4.21. 设悬链面的方程是()22222,ln(r u v v a u u a =+++，求它的第一、第二基本形式，并求它在点(0,0)处沿切向量2u v dr r r =+的法曲率.解. 不妨设0a >. 令sinh u a t =，则cosh a t =，(sinh cosh )tu a t t ae +=+=，ln(ln t u a =+-，cosh du dt a t ==. (1) 悬链面的方程可化为()cosh cos ,cosh sin ,ln r a t v t v t a =+，于是()sinh cos ,sinh sin ,1t r a t v t v =，()cosh sin ,cos ,0v r a t v v =-()2cosh cos ,sin ,sinh t v r r a t v v t ⨯=--，()1cosh cos ,sin ,sinh n t v v t -=--.()cosh cos ,cosh sin ,0tt r a t v t v =，()sinh sin ,cos ,0tv r a t v v =-，()cosh cos ,sin ,0vv r a t v v =-.2222222222I cosh cosh ()a t dt a t dv du u a dv =+=++222222II a adt adv du adv u a=-+=-++. 在点(0,0)处，切向量2u v dr r r =+中2,1du dv ==，曲面的法曲率222244II 4II ,I 4,I (4)n a a a a a a a a κ--=-+==+==+. □ 注. 参数(,)t v 是悬链面的等温坐标，并且参数网是正交的曲率线网. 此时22cosh ,0,E G a t F M L N a =====-=-，2121cosh a t κκ=-=，241cosh K a t=-，0H =. 4. 设曲面1S 和曲面2S 的交线为C . 设p 为曲线C 上一点，假定曲面1S 和曲面2S 在点p 处沿曲线C 的切方向的法曲率分别1κ是和2κ. 如果曲面1S 和曲面2S 在点p 处的法向量的夹角是θ，求曲线C 在点p 处的曲率κ.βγ1n 2n ϕθβγ1n 2n ϕθ解. 设在p 点C 的Frenet 标架为{};,,r αβγ，曲率为0κ≠，曲面12,S S 的单位法向量分别为12,n n . 因为12,,n n β均垂直于C 的切方向，所以它们共面. 不妨设绕着α由β到1n 的有向角为ϕ，到2n 的有向角为ϕθ+，02ϕϕθπ≤<+≤. 令11(,)n θβ=∠，22(,)n θβ=∠. 则11cos κκθ=，22cos κκθ=.于是1sin κθκ==2sin κθ==. 当0θπ<<时，只有种情况：(1)[,]πϕϕθ∈+，即ϕπϕθ≤≤+. 此时1θϕ=，22()θπϕθ=-+，所以122θθπθ+=-. 则2222121212cos cos()cos cos sin sin κθκθθκθθκθθ=+=-12κκ=-. (1) 因此()2222221212()()cos κκκκκκκθ--=-.化简得42224221212()cos 2cos κκκκκθκκκθ-+=-. 因此κ=(2)[,]πϕϕθ∉+，即ϕπ>或πϕθ>+. 此时12θπϕ=-，22()θπϕθ=-+或1θϕ=，2θϕθ=+，所以12θθθ-=±. 则同理有212cos κθκκ= (2)κ=当0θ=(或θπ=)时，有12θθ=(或12θθπ+=)，从而12κκ=(或12κκ=-). 此时(2)式(或(1)式)成为恒等式，无法确定κ. □7. 设C 是曲面S 上的一条非直线的渐近线，其参数方程为(),()u u s v v s ==，其中s 是弧长参数. 证明：C 的挠率是22()()()()s u s v s u s E F G L M Nτ''''-=. 证明. 设曲面S 的参数方程为(,)r r u v =，单位法向量为(,)n u v . 设C 的弧长参数方程为(),()u u s v v s ==，Frenet 标架为{};,,r αβγ，曲率为0κ≠. 由于C 是S 上的渐近线，根据定理2.4，有()()s n s γε=，其中1ε=±，():((),())n s n u s v s =. 根据Frenet 公式，()()(),,,,n n r τγβγγαγγα'''=-⋅=-⋅⨯==''.利用Lagrange 恒等式，可得()2,,()()()()()()u v u v u v v u EG F r r n r r r n r r n r r r n r r τ''''''''-=⨯=⨯⋅⨯=⋅⋅-⋅⋅. 将u v r r u r v '''=+，u v n n u n v '''=+代入上式，得()()()()Lu Mv Fu Gv Mu Nv Eu Fv ''''''''=-+++++ 22Eu Fv Fu Gv E F E G F G u u v v Lu Mv Mu Nv L M L N M N''''++''''==++''''++ 22v u v u EF G L M N''''-=. □ p. 166 习题4.31. 求抛物面2212()z ax by =+在原点处的法曲率和主曲率.解. 曲面的参数方程为()2212,,()r x y ax by =+，故 (1,0,)x r ax =，(0,1,)y r by =，(,,1)x y r r ax by ⨯=--，211()(,,1)ax n ax by ++=--.(0,0,)xx r a =，0xy r =，(0,0,)yy r b =所以在原点处22I(0,0,,)dx dy dx dy =+，22II(0,0,,)dx dy adx bdy =+，2222II (0,0,,)I n adx bdy dx dy dx dyκ+==+. 不妨设a b ≤. 因为在原点处222222(0,0,,)n dx dy a dx dy a b b dx dy dx dy κ≤=+≤++，且(0,0,1,0),(0,0,0,1)n n a b κκ==，所以,a b 分别是法曲率的最大、最小值，因而是抛物面在原点的主曲率. □注. 在原点0F M ==，从而根据下一节定理4.2立即可知主曲率是,a b .4. 证明：曲面S 上任意一点p 的某个邻域内都有正交参数系(,)u v ，使得参数曲线在点p 处的切方向是曲面S 在该点的两个彼此正交的主方向. 证明. 根据第三章定理4.2，在S 上任意一点p 的某个邻域内都有正交参数系. 假设这个正交参数系是(,)u v . 如果p 点是脐点，则任何方向都是主方向，从而这个正交参数系(,)u v 的参数曲线在点p 处的切方向是曲面S 在该点的两个彼此正交的主方向.设p 点不是脐点. 则在点p 处有两个单位正交的主向量12,e e . 设111222,u v u v e a r b r e a r b r =+=+.作参数变换12u a u a v =+，12v b u b v =+.由于1122(,)0(,)a b u v a b u v ∂=≠∂，上述参数变换是可允许的. 在新参数下， 11u v u u v u v u u r r r a r b r ∂∂∂∂=+=+，22uvv u v u v v v r r r a r b r ∂∂∂∂=+=+.特别在p 点，有12,u v r e r e ==，是曲面S 在p 点的两个彼此正交的单位主向量.由于1212u v F r r a a E bb G =⋅=+，参数系(,)u v 不一定是正交参数，只知道在p 点120u v F r r e e =⋅=⋅=.因此还要作一次参数变换，取u -曲线及其正交轨线作为参数曲线. 考虑1次微分式Edu Fdv +. 根据常微分方程知识，存在积分因子(,)u v λλ=使得()Edu Fdv λ+是一个全微分，即有函数(,)u u u v =使得()du Edu Fdv λ=+.现在作参数变换(,)u u u v =，v v =. 则0(,)0(,)1E u v u vF λλ∂=≠∂，参数变换是可允许的. 在新参数下，11()du E du Fdv λ--=-，dv dv =，所以211122222I ()1()() Fdv du Fdvdu Gdv du du Fdv FE du Fdv dv Gdv EF duG dv E E λλλλ---=+++=-+-+⎛⎫=+- ⎪⎝⎭这说明参数系(,)u v 是正交的. 因为在p 点，0F =，有111u v u u v u u u r r r r e E E λλ∂∂∂∂=+==，2u v v u v u v v v F r r r r r e E ∂∂∂∂=+=-+=，所以,u v r r 是曲面S 在p 点的两个彼此正交的主方向. □5. 设在曲面S 的一个固定点p 的切方向与一个主方向的夹角为θ，该切方向所对应的法曲率记为()n κθ，证明：201()2n d H πκθθπ=⎰，其中12()/2H κκ=+. 证明. 根据Euler 公式，2212()cos sin n κθκθκθ=+. 所以有2222120011()(cos sin )22n d d ππκθθκθκθθππ=+⎰⎰ 212120111[(1cos2)(1cos2)]()222d H πκθκθθκκπ=++-=+=⎰. □ p. 175 习题4.42. 求旋转面():()cos ,()sin ,()S r g s g s f s θθ=的高斯曲率K ，其中s 为平面曲线():(),0,()C r g s f s =的弧长参数.解. ()cos ,sin ,s r g g f θθ'''=，()sin ,cos ,0r g θθθ=-， (1)()cos ,sin ,s r r g f f g θθθ'''⨯=--.因为曲面S 是正则的，所以()0g s ≠，不妨设()0g s >. 因为s 是C 的弧长参数，所以221f g ''+=，0f f g g ''''''+=，r f g f g κ''''''-=-， (2)其中r κ是C 的相对曲率. 因此曲面的单位法向量为()cos ,sin ,n f f g θθ'''=--.()cos ,sin ,s n f f g θθ''''''=--，()sin ,cos ,0n f θθθ'=-. (3)由(1)，(2)和(3)可知1E =，0F =，2G g =，r L κ=，0M =，N g f '=.根据定理4.3，S 的主曲率为1r κκ=，2/f g κ'=，Gauss 曲率为()r f f f g f g K g gκ''''''''-==. □ 4. 求双曲抛物面()(),(),2r a u v b u v uv =+-的Gauss 曲率K ，平均曲率H ，主曲率12,κκ和它们所对应的主方向.解. 因为(,,2)u r a b v =， (,,2)v r a b u =-.所以2224E a b v =++，224F a b uv =-+，2224G a b u =++.又()2(),(),u v r r b u v a u v ab ⨯=+---，)2(),(),n b u v a u v ab EG =+----，其中 22222224[()()]EG F b u v a u v a b -=++-+. 因为0uu r =，(0,0,2)uv r =，0vv r =，所以 20,L N M EG F ===-.于是()22222222222222216()()LN M a b a b K EG F b u v a u v a b EG F -==-=--⎡⎤++-+-⎣⎦， 22223/2223/22222224(4)4(4)()()()MF ab a b uv ab a b uv H EG F EG F b u v a u v a b --+-+===--⎡⎤++-+⎣⎦. 因为0M <，()()2222222222()()M F LN M EG FM EG H KEG F EG F ----==--2EG F -=-，所以主曲率1223/2222222(4).2()()H ab a b uv b u v a u v a b κ=+⎡-++⎣⎦=⎡⎤++-+⎣⎦对应的主方向为1111:():()():du dv F M E L F M E κκκκ=---=--，11.F M κ-====. 所以:du dv ==同理，另一个主曲率为2223/22222222(4)(2()()ab a b uv M F EG F b u v a u v a b κ⎡-+--⎣⎦==-⎡⎤++-+⎣⎦，对应的主方向为:u v δδ== □注. 由0L N ==可知参数曲线网是渐近曲线网，而主方向是渐近方向的二等分角方向，所以主方向:du dv 和:u v δδ是参数曲线的二等分角轨线方程22Edu Gdv =的两个根.由此可得求解主曲率的另一方法：将du dv ==()()0E L du F M dv λλ-+-=，即 ()Edu Fdv Ldu Mdv λ+=+，得到对应于主方向:du dv =1Mdv Edu Fdv κ===+，以及对应于主方向:du dv =2κ=6. 在曲面:(,)S r r u v =上每一点沿法线截取长度为λ(足够小的正数)的一段，它们的端点的轨迹构成一个曲面S ，称为原曲面S 的平行曲面，其方程是(,)(,)(,)r u v r u v n u v λ=+，2(,)u v D ∈⊂.从点(,)r u v 到(,)r u v 的对应记为σ.(1) 证明：曲面S 和曲面S 在对应点的切平面互相平行；(2) 证明：对应σ把曲面S 上的曲率线映为曲面S 上的曲率线；(3) 证明：曲面S 和曲面S 在对应点的Gauss 曲率和平均曲率有下列关系：212K K H K λλ=-+，212H K H H Kλλλ-=-+. 证明. (1) 因为u u u r r n λ=+，v v v r r n λ=+， (1)所以2()u v u v u v v u u v r r r r r n r n n n λλ⨯=⨯+⨯+⨯+⨯.当0λ=时，0u v u v r r r r ⨯=⨯≠. 因此对每一点00(,)u v D ∈，存在该点的邻域U D ⊂，使得当λ足够小时，0u v r r ⨯≠，从而S 是正则曲面.由(1)可见0,0u v r n r n ⋅=⋅=，所以在对应点S 和S 的切平面互相平行.(2) 设:(),()C u u s v v s ==是S 上的任意一条曲率线. 则由Rodriques 定理，有((),())((),())((),())n u s v s u s v s r u s v s κ''=-， (2)其中((),())u s v s κ是曲面S 在((),())u s v s 点的主曲率.对应σ把S 上的曲率线C 映为曲面S 上的曲线C ，它的方程为((),())((),())((),())r u s v s r u s v s n u s v s λ=+.因此()((),())((),())((),())((),())1((),())r u s v s r u s v s n u s v s r u s v s u s v s λλκ''''=+=-. (3) 上面已经证明了沿着C ，((),())n u s v s 也是S 的单位法向量. 结合(2)和(3)可得((),())((),())((),())1((),())u s v s n u s v s r u s v s u s v s κλκ''=--. (4) 根据Rodriques 定理，C 也是S 上的曲率线.(3) 用W 和W 分别表示曲面S 和S 上的Weingarten 变换. 设12,κκ是曲面S 在任意一点00(,)r u v 的两个主曲率，对应于1κ的主方向是:du dv . 则沿着该切方向，有1()dr W dr dn κ==-.另一方面，沿着该切方向，有1(1)dr dr dn dr λλκ=+=-.所以在曲面S 上 111()1W dr dn dr dr κκλκ=-==-. 这说明:du dv 是曲面S 在点00(,)r u v 的主方向，对应的主曲率是1111κκλκ=-. 同理，曲面S 在点00(,)r u v 的另一个主曲率是 2221κκλκ=-. 于是在对应点，曲面S 的Gauss 曲率和平均曲率分别为1212212(1)(1)12K K H Kκκκκλκλκλλ===---+， 121221212(1)(1)22(1)(1)12H K H H Kκκκλκκλκλλκλκλλ+-+--===---+. □ 注. 本题的结论是局部的：对每一点00(,)u v D ∈，为了保证S 是正则曲面，只能在该点的某个邻域U D ⊂上，取λ足够小，才有这些结论. p. 184 习题4.5 3. 研究习题4.4中第5题的管状曲面上各种类型点的分布情况. 解. 管状曲面S 的参数方程为(,)()[cos ()sin ()]R s r s s s θλθβθγ=++，其中()r s 是一条弧长参数曲线，{}();(),(),()r s s s s αβγ是它的Frenet 标架，0λ>是一个常数. 设该参数曲线的曲率和挠率分别是κ和τ. 因为[cos ()sin ]s R αλθκατγτθβ=+-+-(1cos )(sin cos )λκθαλτθβθγ=-+-+，(sin cos )R θλθβθγ=-+，所以(1cos )(cos sin )s R R θλλκθθβθγ⨯=--+.取λ充分小，使得1cos 0λκθ->，从而S 是正则曲面，单位法向量为(cos sin )n θβθγ=-+.于是cos (sin cos )s n κθατθβθγ=+-，sin cos n θθβθγ=-， 2cos (1cos )L κθλκθλτ=--+，M λτ=，N λ=.由于2cos (1cos )LN M λκθλκθ-=--，并且(1cos )0λκλκθ->，所以(1) 当/2θπ=±时，0K =，这些点是抛物点. 它们构成两条正则曲线：/2()()()R s r s s πλγ=+和/2()()()R s r s s πλγ-=-.由于0N λ=≠，曲面上没有平点.(2) 当322ππθ<<时，0K >，这些点是椭圆点.(3) 当22ππθ-<<时，0K <，这些点是双曲点. □p. 190 习题4.62.(1) 证明：1cos ln cos ay z a ax=是极小曲面，其中a 是常数. 该曲面称为Scherk 曲面. (2) 证明：形如()()z f x g y =+的极小曲面必定是Scherk 曲面.(1) 证明. Scherk 曲面的参数方程为()1,,(lncos lncos )a x y ay ax r -=. 故()1,0,tan x r ax =，()0,1,tan y r ay =-，()tan ,tan ,1y x r r ax ay ⨯=-，)22tan ,tan ,11tan tan n ax ay ax ay =-++.()()22,0,0,0,sec 0,0,sec yy xx xy r r r a ay a ax ===-.因此22sec ,tan tan ,sec E ax F ax ay G ay ==-=，222sec a axL =，0M =，22sec a N -=由于20LG MF NE -+=，所以0H =，Scherk 曲面是极小曲面. □(2) 证明. 曲面的参数方程为(),,()()r x y f x g y =+. 故()(),1,0,()0,1,()y x r r f x g y ''==，()(),(),1y x r r f x g y ''⨯=--，)22(),(),11()()n f x g y f x g y ''=--''++.()(),0,0,0,()0,0,()yy xx xy r r r f x g y ''''===.因此221(),()(),1()E f x F f x g y G g y ''''=+==+，22,0()()L M f x g y ==''++，21()N f x ='++. 由0H =得到0EN GL +=，即22()()01()1()g y f x f x g y ''''+=''⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦.上式可化为22()()1()1()f xg y f x g y ''''=-''++. (1)由于上式左边是x 的函数，右边是y 的函数，故只能是常数. 设此常数为a . 当0a =时，由(1)可知1()f x Ax C =+，2()g y By C =+，其中12,,,A B C C 是常数.于是该极小曲面是平面z Ax By C =++，其中12C C C =+. (不是Scherk 曲面)下面设0a ≠. 由(1)得2(1)f a f '''=+. 令arctan f ϕ'=，即tan f ϕ'=. 则有()22sec sec tan f a ϕϕϕϕ''''===.于是()x ax c ϕ=+. 在x 轴方向作一平移，可设0c =. 从而()tan()f x ax '=，积分得1()ln cos f x ax a=-.同理，由2()1()g y a g y ''=-'⎡⎤+⎣⎦可得1()ln cos g y ay a=.于是1cos ()()ln cos ayz f x g y a ax=+=. □4. (1) 证明：正螺面()cos ,sin ,r u v u v bv =是极小曲面.(2) 证明：形如x z f y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的极小曲面必定是正螺面.(1) 证明. 因为()cos ,sin ,0u r v v =，()sin ,cos ,v r u v u v b =-，所以1E =，0F =，22G u b =+.又()sin ,cos ,u v r r b v b v u ⨯=-，)21sin ,cos ,n b v b v u u b=-+，0uu r =，()sin ,cos ,0uv r v v =-，()cos ,sin ,0vv r u v v =-，所以0L =，M =，0N =.因此0H =，正螺面是极小曲面. □(2) 证明. 曲面的参数方程为()(),,x y r x y f=. 故()11,0,x r y f -='，()20,1,y r xy f -='-，()12,,1y x r r y f xy f --⨯=''-，)124222,,11()n y fxy f y f x y ---=''-'++. ()20,0,xx r y f -=''，()230,0,xy r y f xy f --='''--，()3240,0,2yy r xy f x y f --='''+. 所以221E y f -'=+，32F xy f -'=-，2421G x y f -'=+，2y L -=，3M -=，4N -=. 由20LG MF NE -+=得到224262422(1)2()(1)(2)0y f x y f xy f y f x f xy y f y f x f -----'''''''''''+-++++=，[化简：24242222(1)2()(1)(2)0f x y f xy f y f x f xy y f y f x f ----'''''''''''+-++++=， 242242222233123[12(1)]22()0f x y f x y f x y y f xy f xy f y f -------''''''''+-++-++=，] 即有221(1)20f x y xy f --'''++=.如果0f '=，则(/)z f x y c ==. 它表示一个平面，不是正螺面. 设0f '≠. 则上式可化为12221f uv f u v --''=-'+，即222ln |()|ln(1)1d df d d ϕϕϕϕϕϕ'=-=-++，其中1xy ϕ-=. 所以2()1af ϕϕ'=+，其中a 是积分常数. 再积分一次，得()arctan z f a C ϕϕ==+.通过在z 轴方向作一平移，不妨设积分常数0C =. 于是tan x z y aϕ==. 在xy 平面上取极坐标：cos ,sin x u v y u v ==，则2z v k a ππ=-+，即 (21)2a k z av π+=-+. 再次沿z 轴方向作一平移，就得到曲面的参数方程()cos ,sin ,r u v u v bv =，其中b a =-. 它是正螺面. □6. 推导极小曲面(,)z f x y =所满足的微分方程22(1)2(1)0y xx x y xy x yy f f f f f f f +-++=.解. 曲面的参数方程为(),,(,)r x y f x y =. 故()1,0,x x r f =，()0,1,y y f r =，(),,1x y y x f f r r --⨯=，),,11x y x f f n f --=+. ()0,0,xx xx r f =，()0,0,xy xy f r =，()0,0,yy yy f r =.所以21x E f =+，x y F f f =，21y G f =+，xxf L =，xyf M =，f N =由20LG MF NE -+=得到22(1)2(1)0y xx x y xy x yy f f f f f f f +-++=. □。

微分几何陈维桓习题答案

习题答案2p. 58 习题3.12. 在球面2222{(,,)|1}S x y z x y z =++=上，命(0,0,1)N =，(0,0,1)S =-. 对于赤道平面上的任意一点(,,0)p u v =，可以作为一的一条直线经过,N p 两点，它与球面有唯一的交点，记为p '.(1) 证明：点p '的坐标是2221u x u v =++，2221v y u v =++，222211u v z u v +-=++，并且它给出了球面上去掉北极N 的剩余部分的正则参数表示；(2) 求球面上去掉南极S 的剩余部分的类似的正则参数表示；(3) 求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换；(4) 证明球面是可定向曲面.证明. (1) 设(,)r u v Op '=. 如图，,,N p p '三点共线，故有t ∈使得(1)Op tOp t ON '=+-. (1)由于21Op ON =='，222u v Op =+，0Op ON '⋅=，0t ≠，取上式两边的模长平方，得222/(1)t u v =++. 从而22222221(,,)(,,0)(0,0,1)11u v x y z Op u v u v u v +-'==+++++ 22222222221,,111u v u v u v u v u v ⎛⎫+-= ⎪++++++⎝⎭，2(,)u v ∈. (2)由(1)可知(,,1)(0,0,1)(,,1)r Op tNp ON t u v tu tv t '==+=-+=-，又2()dt t udu vdv =-+，所以2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =--+，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =--+，332(1,0,)(0,1,)(0,0,1)u v r r t u u t v v t ⨯=--+22222(,,()1)(,,1)0t tu tv t u v t tu tv t t r =-+-=--=-≠. (3)因此(,)r r u v =给出了2\{}S N 的正则参数表示.(2)令(,,0)q u v =是,S p '两点连线与赤道平面的交点. 同理，有(1)(,,1)Op t Oq t OS t u t v t '=+-=-，222/(1)t u v =++，22222222221(,,),,111u v u v r x y z Op u v u v u v ⎛⎫--'=== ⎪++++++⎝⎭，2(,)u v ∈. (4)2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =-+，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =-+， 332(1,0,)(0,1,)(0,0,1)u v r r t u u t v v t ⨯=----+22222(,,1())(,,1)0t t u t v t u v t t u t v t t r =-+=-=≠. (5) 因此(4)给出了2\{}S S 的正则参数表示.(3) 由(2)和(4)式可得2222()()1u v u v ++=，从而上面两种正则参数表示在公共部分2\{,}S N S 上的参数变换公式为22u u u v =+，22v v u v=+. (6) 由(3)和(5)可知22222222222(,)(1)10(,)(1)()u v t u v u v t u v u v ∂++=-=-=-<∂+++. 所以参数变换是可允许的，并且是改变定向的参数变换.注. 如果采用复坐标，令,z u i v w u i v =+=-，则上面的参数变换可写成1/w z =. 这就是广义复平面上的共形变换.(4) 在2\{}S N 上采用(1)式给出的正则参数表示，在2\{}S S 上采用正则参数表示22222222221(,).,,111u v u v r u v u v u v u v ⎛⎫---= ⎪++++++⎝⎭则在公共部分的参数变换公式为22u u u v =+，22v v u v -=+. (4) 由于{}22\{},\{}S N S S 构成2S 的开覆盖，并且22222222222222222()()2222()()(,)10(,)()v u uv u v u v uv v u u v u v u v u v u v -++--++∂==>∂+，所以2S 是可定向的. □ 5 写出单叶双曲面2222221x y z a b c+-=和双曲抛物面22222x y z a b =-作为直纹面的参数方程.解. (1) 对单叶双曲面，取腰椭圆()(cos ,sin ,0)a u a u b u =，(0,2)u π∈为准线. 设直母线的方向向量为()()(),(),()l u aX u bY u cZ u =. 则直纹面的参数方程为()(,)()()(cos ()),(sin ()),()r u v a u vl u a u vX u b u vY u cvZ u =+=++.由于(,)r u v 的分量满足单叶双曲面的方程，可得222(cos ())(sin ())(())1u vX u u vY u vZ u +++-=，v ∀∈.由v 得任意性得到cos ()sin ()0uX u uY u +=，222()()()X u Y u Z u +=.因此():():()sin :cos :1X u Y u Z u u u =-±. 取()()sin ,cos ,l u a u b u c =-得()(,)(cos sin ),(sin cos ),r u v a u v u b u v u cv =-+，(,)(0,2)u v π∈⨯.(2) 对双曲抛物面，令()x a u v =+，()y b u v =-，则2z uv =. 曲面的参数方程为 ()(,)(),(),2r u v a u v b u v uv =+-(,,0)(,,2)(,,0)(,,2)au bu v a b u av bv u a b v =+-=-+，2(,)u v ∈.p. 94 习题3.21. 证明：一个正则参数曲面S 是球面⇔它的所有法线都经过一个固定点.证明. “⇒”设S 是球面，参数方程为(,)r u v ，球心为a ，半径为R . 则有22((,))r u v a R -=，,u v D ∀∈. (1)微分可得()0u r r a -=，()0v r r a -=. (2)所以()//u v r a r r -⨯，从而u v r a r r λ-=⨯，即有函数(,)u v λλ=使得(,)(,)[(,)][(,)]u v a r u v u v r u v r u v λ=-⨯. (3)这说明球心a 在它的所有法线上.“⇐” 设S 的所有法线都经过一个固定点a . 则有函数(,)u v λλ=使得(3)式成立，即有u v r a r r λ-=⨯. 分别用,u v r r 作内积，可得(2). 这说明2()0d r a -=，从而(1)式成立，其中0R >(否则S 只是一个点，不是正则曲面)是常数. 因此S 是以a 为球心，以R 为半径的球面，或球面的一部分. □3. 证明：一个正则参数曲面S 是旋转面⇔它的所有法线都与一条固定直线相交.证明. “⇒”设S 是旋转面，旋转轴L 为z 轴. 它的参数方程为()(,)()cos ,()sin ,()r u v f v u f v u g v =，(()0)f v >.因为()()sin ,cos ,0u r f v u u =-，()()cos ,()sin ,()v r f v u f v u g v '''=，()()()cos ,()sin ,()u v r r f v g v u g v u f v '''⨯=-，所以S 上任意一点(,)r u v 处的法线N 的参数方程为()(,)[(,)(,)]u v X t r u v t r u v r u v =+⨯.由于z 轴的参数方程为()(0,0,1)Y s s s k ==，并且()()cos ()sin ()()0()cos ()sin (),,001u v f v u f v u g v f v g v u g v u f v r r r k '''==-⨯，所以L 与N 共面. 如果L 与N 处处平行，则()//u v r r k ⨯，从而()0g v '=. 此时S 是垂直于z 轴的平面()z g v c ==. 所以当S 不是垂直于z 轴的平面时，旋转面S 的所有法线都与z 轴相交.“⇐” 通过选取坐标系，不妨设固定直线为z 轴. 设S 的参数方程为(,)((,),(,),(,))r u v x u v y u v z u v =，(,)u v D ∈.由条件，S 的所有法线都与z 轴相交，所以法线不能与z 轴平行，即00(,)(,)(,)(,),,//(,)(,)(,)u v u v y z x z x y r r u v u v u v ∂∂∂⎛⎫-⨯= ⎪∂∂∂⎝⎭(0,0,1)，00(,)u v D ∀∈. 因此00(,)(,)(,)u v y z u v ∂∂，00(,)(,)(,)u v x z u v ∂∂不能全为零. 不妨设在00(,)u v 点邻近(,)0(,)y z u v ∂≠∂. 通过参数变换，曲面的参数方程可以写成(,)((,),,)r u v x u v u v =，(,)u v D ∈. (1)于是 (),1,0u u r x =，(),0,1v v r x =，()1,,u v u v r r x x ⨯=--.因为所有法线都与z 轴相交，()0,,u v r r r k ≡⨯，即有0u xx u +=. 这说明22x u +是一个仅仅依赖于v 的函数. 设222()x u f v +=，其中()0f v >. 作参数变换()cos ,u f v v v θ==. 由上式得()sin x f v θ=，S 的参数方程(1)可以改写为(,)(()sin ,()cos ,)r v f v f v v θθθ=.这是一个旋转面，由yOz 平面上的母线()y f z =绕z 轴旋转而得. □5. 设S 是圆锥面(cos ,sin ,)r v u v u v =，:,t C u v e ==是S 上的一条曲线.(1) 将曲线C 的切向量用,u v r r 的线性组合表示出来；(2) 证明：C 的切向量平分了u r 和v r 的夹角.(1) 解. C 的参数方程为 ()()),),),1t t t t r e e e e ==.C 的切向量为()()cos(2),sin(2),1),02(2,)(2,).t t t t t u v r e t t r t e e r t e '=+-=+(2) 证明. 因为(sin ,cos ,0),(cos ,sin ,1)u v r v u v u r u u =-=，在曲线C 上每一点t 处，()(2,)),0t t u r t e e =-，()(2,)),1t v r t e =.由上可知2t e r ='. 所以222cos (,)2t u u tu r r e r r r e r '⋅'∠==='(,)4u r r π'∠=； 2cos (,)22t v v t v r r e r r r e r '⋅'∠==='，(,)(,)4v u r r r r π''∠==∠. □ p. 104 习题3.32. 设球面的参数方程是22222222222222,,au av u v a r u v a u v a u v a ⎛⎫+-= ⎪++++++⎝⎭. 求它的第一基本形式.解. 记2222/()t u v a =++. 则(,,)(0,0,1)r at u v a =-+，2u t ut =-，2v t vt =-，(,,)(1,0,0)u u r at u v a at =-+，(,,)(0,1,0)v v r at u v a at =-+.所以()22222222222222224()2()u u u a E r a t u v a a t t u a t a t u v a ==++++==++， 222222()0u v u v u v F r r a t t u v a a t t v a t t u =⋅=++++=， ()22222222222222224()2()v v v a G r a t u v a a t t v a t a t u v a ==++++==++，从而2222222224I ()()a Edu Gdv du dv u v a =+=+++. 5. 设在曲面上一点(,)u v ，由微分,du dv 的二次方程22(,)2(,)(,)0P u v du Q u v dudv R u v dv ++= (1)确定了在该点的两个切方向. 证明：这两个切方向彼此正交⇔函数,,P Q R 满足20ER FQ GP -+=，其中,,E F G 是曲面的第一基本形式.证明. 由条件，二次方程(1)有两个互异的实根:du dv 和:u v δδ，因此可以分解为两个一次因子的乘积：2211222()()Pdu Qdudv Rdv A du B dv A du B dv ++=++. (2)其中1122,,,A B A B 是关于变量(,)u v 的函数. 因为上式是关于文字,du dv 的二次多项式，比较两边的系数，得12P A A =，12212Q A B A B =+，12R B B =. (3)由(2)可知(1)所确定两个切方向为11::du dv B A =-，22::u v B A δδ=-. (4)这两个切方向彼此正交⇔()0Edu u F du v dv u Gdv v δδδδ+++= (课本(3.18))12121212()0EB B F B A A B GA A ⇔-++= (由(4)式)20ER FQ GP ⇔-+=. (由(3)式) □8. 已知曲面的第一基本形式为2222I ()du u a dv =++.(1) 求曲线1:0C u v +=与2:0C u v -=的交角；(2) 求曲线21:C u av =，22:C u av =-和3:1C v =所围成的曲边三角形的各个边长和各个内角.(3) 求曲线1:C u av =，2:C u av =-和3:1C v =所围成的曲边三角形的面积. 解. (1) 已知221,0,E F G u a ===+. 因为交点为(,)(0,0)u v =. 在交点处2G a =. 对于1C ，du dv =-；对于2C ，u v δδ=. 所以它们的切方向,dr r δ满足22221cos (,)1dr r a dr r a dr r du δδδ⋅-∠===±+. 于是它们的交角为221arccos 1a a -+，或221arccos 1a a -+. (2) 不妨设常数0a >. 如图，在曲纹坐标下，1C 与2C 的交点为(0,0)O ，1C 与3C 的交点为(,1)A a ，C 与C 的交点为(,1)B a -.O 20,0du avdv dv ==>0,0u v =>角0O ∠=.在A 点220du avdv adv ==<，0,0u v δδ<=，所以2cos dr r A dr r du δδ⋅∠===. 在B 点220du avdv adv =-=->，0,0u v δδ>=，2cos dr r B dr r du δδ⋅∠===所以0O ∠=，A B ∠=∠=.曲线1C ，2C ，3C 的弧长分别为12()()C L C a L C ===⎰⎰， 3()2a C a L C du a -===⎰⎰.注. 在90版中，本题为212:a C u v =，222:a C u v =-，3:1C v =，故112712260()(2)()a C L C a v dv a L C ===+==⎰⎰⎰， 3/23/2()a C a L C du a -===⎰⎰.(3) 因为d σ=，所以曲边三角形的面积110002av AOB A d σ∆-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰(1200ln av ua a dv ⎡=+⎢⎣⎰(120ln a v dv ⎡=+⎢⎣⎰(()(13/2222130ln 1ln 1.a v v v a ⎡⎤⎡=+-+=++⎢⎥⎣⎣⎦ p. 110 习题3.41. 设空间曲线()r r s =以弧长s 为参数，曲率是κ. 写出它的切线曲面的参数方程，使得相应的参数曲线构成正交曲线网.解. 设曲线()r s 的Frenet 标架是{};,,r αβγ. 则它的切线曲面参数方程可写为(,)()()R s t r s t s α=+.由s R t ακβ=+，t R α=可得它的第一基本形式2222I (1())2t s ds dsdt dt κ=+++. (1)直母线(即t -曲线)0s δ=的正交轨线的微分方程为0ds dt +=，即()0d s t +=. 为此，作参数变换u s =，v s t =+. 则逆变换为s u =，t v u =-，切线曲面的参数方程为(,)()()()R u v r u v u u α=+-.在新参数下，(,)()()()()()()()()u R u v u u v u u u v u u u αακβκβ=-+-=-，(,)()v R u v u α=.第一基本形式化为2222I ()()v u u du dv κ=-+.所以参数曲线构成正交曲线网. 也可将s u =，t v u =-直接代入(1)式得到上式：22222222I [1()()]2()()()()v u u du du dv du dv du v u u du dv κκ=+-+-+-=-+.3. 求曲线(cos sin ,sin cos ,)r v u k u v u k u ku =-+的参数曲线的正交轨线，其中0k >是常数.解. (sin cos ,cos sin ,)u r v u k u v u k u k =---，(cos ,sin ,0)v r u u =.第一基本形式为2222I (2)v k du kdudv dv =+-+.u -曲线0v δ=的正交轨线的微分方程为0Edu Fdv +=，即22(2)0v k du kdv +-=. 解这个微分方程：222kdv du d v k ===+，得到u -曲线的过00(,)u v 的正交轨线为00)v u u v -+.v -曲线0u δ=的正交轨线的微分方程为0Fdu Gdv +=，即kdu dv =. 过00(,)u v 的正交轨线为00()v k u u v =-+.p. 110 习题3.51. 证明：在悬链面(cosh cos ,cosh sin ,)r a t a t at θθ=，(,)(0,2)t θπ∈⨯与正螺面(cos ,sin ,)r v u v u au =，(,)(0,2)u v π∈⨯之间存在保长对应.证明. 悬链面的第一基本形式为22221I [(sinh cos cosh sin )(sinh sin cosh cos )]a t dt t d t dt t d dt θθθθθθ=-+++2222cosh ()a t dt d θ=+.正螺面的第一基本形式为222222222I (sin cos )(cos sin )()v udu udv v udu udv a du a v du dv =-++++=++2222()a v du ⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 对正螺面作参数变换，令,sinh u v a t θ==. 则(,)cosh 0(,)u v a t t θ∂=-≠∂，参数变换是可允许的. 由于,cosh du d dv a tdt θ===，正螺面的第一基本形式化为2222222221I ()cosh ()I a v a t d dt du θ⎡⎤=+=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 根据定理5.3，在悬链面与正螺面之间存在保长对应. 对应关系式为,sinh u v a t θ==. □p. 110 习题3.51. 判断下列曲面中哪些是可展曲面？说明理由. (1) ()2234233,2,v u v r u u uv u =+++； (2) ()cos ()sin ,sin ()cos ,2r v u v v v u v v u v =-++++；(3) ()(),(),2r a u v b u v uv =+-； (4) ()cos ,sin ,sin 2r u v u v v =.解. (1) ()()234236()(),2,1,3,2v v u r a u a u u u u u u '=+=+.所以它是可展曲面，因为它是正则曲线()234(),2,a u u u u =(0u ≠)的切线面.(2) ()()()()()cos ,sin ,sin ,cos ,1r u v a v ua v v v v v v '=++=+-，其中()()cos ,sin ,a v v v v =是圆柱螺线，u u v =+. 所以它是可展曲面.(3) 令()(),,0a u au bu =，()(),,2l u a b u =-. 则()()r a u v l u =+，直接计算得()2(),(),()ab a u l u l u =-''.当0ab ≠时，它是马鞍面，()0(),(),()a u l u l u ≠''，所以不是可展曲面.当0a =或0b =时，它是平面，所以是可展曲面.当0a =且0b =时，它不是正则曲面.(4) 令()()0,0,sin 2a v v =，()()cos ,sin ,0l v v v =. 则()()r a v u l v =+. 由于()2cos20,,v a l l =≠''，它不是可展曲面. □2. 考虑双参数直线族x uz v =+，33u y vz =+，其中,u v 是直线族的参数. (1) 求参数u 和v 之间的关系，使得由此得到的单参数直线族是一个可展曲面的直母线族；(2) 确定相应的可展曲面的类型.解. (1) 对于固定的参数,u v ，该双参数直线族中的一条直线(,)L u v 可以写成点向式：3(/3)(,):1x v y u z L u v u v --==. 设所求的函数关系为()v f u =. 则得到一个单参数直线族{}(,())u L L u f u =，它们构成的直纹面S 的方程为()()3(,),(),1(),/3,0r u t t u f u f u u =+.于是S 是可展曲面222200()1210f u u f u f u f u c u f f '''⇔=⇔=⇔=±⇔=±+'，其中c 是任意常数. 即所求的函数关系为22u v c =±+. (2) 此时S 的参数方程为(,)()()r u t a u t l u =+，其中()()3(),(),(),1(),/3,0a u l u u f u f u u ==，2()(/2)f u u c =±+.由于()()()0,1,l u l u f uf f '''⨯=≠--，S 不是柱面.如果S 是锥面，则有函数()t t u =使得()()()a u t u l u c +=，其中c 为常向量. 于是()20,,a t l tl f ut t u f t t f t '''=++='''''++++，从而0t '=，0t t =是常数. 由此得00u t ±+=，矛盾.因此S 是切线曲面. 事实上，记2()(/2)f u u c ε=+，其中1ε=±. 则()2()(1,,0)(),,0a u u u ul u u u εεεε''===.取新的准线23()()(),,26u u b u a u ul u c cu u εεεε⎛⎫=-=-+--- ⎪⎝⎭. 则22()(),,,,122u u b u l u u c u c εεεεεε⎛⎫⎛⎫'==-=-----+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 于是S 的参数方程为()()()()()()()()r b u u t l u b u u t b u b u t b u εεε''=++=-+=+，其中(,)(,)u t u u t ε=--是新的参数. □8. 证明：由挠率不为零的正则曲线的主法线族和次法线族分别生成的直纹面都不是可展曲面.证明. 设正则曲线C 的弧长参数方程为()a s ，曲率和挠率分别为,κτ，Frenet 标架为{};,,a αβγ.它的主法线族生成的直纹面是1:()()S r a s t s β=+. 因为()()()0(),(),()()()()(),(),()s s s s s s s a s s s ταβκατγββ==≠-+，所以1S 不是可展曲面.同理，由()()()0(),(),()(),(),()()s a s s s s s s s τγγαγτβ==≠-可知它的次法线族生成的直纹面2:()()S r a s t s γ=+不是可展曲面. □。

微分几何初步课后答案(陈维桓著) 北京大学出版社

2 2

dr r (t ) 1 (3cos 2 t sin t ,3sin 2 t cos t , 2sin 2t ). ds | r (t ) | | 5sin t cos t |
3.设曲线 c 是下面两个曲面的交线：
x2 y 2 z 2 1, x ach , a, b 0. 求 c 从点 (a, 0, 0) 到点 2 a b a
y y (t ) y (h( x)) f ( x) , z z (t ) z (h( x)) g ( x) .
即曲线在 t0 的一个邻域内可表示成 y f ( x) , z g ( x) .
5.求曲线
x2 y 2 z 2 1 , z 0 的参数方程. 2 2 x y x

1 3
3
1 2
2
t

c (1, 0, 6). 1 1 r (t ) ( t 3 1, t 2 , et 6). 3 2
§2.3 曲线的曲率和 Frenet 标架 1.求曲线的曲率：
a . a 0 t 3 2 3 （2） r = 3t t ,3t ,3t t .
证明：设曲线 c ： r r (t ) ,点 P 对应 t t0 . 在 c 与 l 所在平面内 , 作 l1 / / l , 记 l1 c r r (t ) | t t0 t11 , t0 t12

.再作
li / / l ,s.t. dist (li 1 , li ) dist (l , li ) ,记 li c r r (t ) | t t0 ti1 , t0 ti 2 , i 2,3, 4,

微分几何_陈维桓_习题答案

习题答案1p.41 习题2.3 1. 求下列曲线的曲率：(2) ()323()3,3,3r t t t t t t =−+；(4) ()33()cos ,sin ,cos2r t t t t =.解. (2) ()22()31,2,1r t t t t '=−+，)2|()|321r t t '=+,()()6,1,r t t t ''=−, ()22()()181,2,1r t r t t t t '''⨯=−−+,)2|()()|181r t r t t '''⨯=+, 2213(1)t κ=+.(4) ()1()sin 23cos ,3sin ,42r t t t t '=−−，5|()||sin 2|2r t t '=,()()1()cos23cos ,3sin ,4sin 23sin ,3cos ,02r t t t t t t t ''=−−+,()()21()()sin 23cos ,3sin ,43sin ,3cos ,04r t r t t t t t t '''⨯=−−⨯()23sin 24cos ,4sin ,34t t t =−−，25|()()|sin 24r t r t t '''⨯=，225|sin 2|t κ=，(2(21)t k π≠+). 4. 求曲线222229,3x y z x z ⎧++=⎪⎨−=⎪⎩在()2,2,1处的曲率和密切平面方程. 解. 设曲线的弧长参数方程为()()(),(),()r s x s y s z s =, ()(0)2,2,1r =，0(0)r α=，00(0)r κβ=. 则(),(),()x s y s z s 满足题给的方程组，所以有2222212,26x y y z +=+=.对上式求导得22220,20,1xx yy yy zz x y z +=+=++=. (1)再求导，得22222(2),2(2),0xx yy x y yy zz y z xx yy zz +=−++=−+++=. (2)在()2,2,1处，由(1)解出2x y z =−=，13x =±. 不妨设122333,,x y z ==−=. 所以()()01,,1,2,23x y z α==−.代入(2)得2242,,22033x y y z x y z +=−+=−−+=.所以001(0)(0,1,1)3r κβ==−−，03κ=，01,1)β=−−. 于是()0001(0,1,1)1)1,2,232γαβ=⨯=⨯−−=−−.所以在()2,2,1处，曲率为03κ=，密切平面方程为4(2)(2)(1)0x y z −+−−−=，即490x y z +−−=.7. 证明：若一条正则曲线在各点的切线都经过一个固定点，则它必定是一条直线. 证明. 设曲线C 的弧长参数方程为()r r s =，它的Frenet 标架为{};,,r αβγ，曲率和挠率分别为,κτ. 再设定点为a (常向量). 由条件，a 和()r s 都在C 的过()r s 点的切线上，所以(())//()r s a s α−. 故可设()()()r s a s s λα=+.对上式求导，利用Frenet 公式可得()()()()()()s s s s s s αλαλκβ=+.所以()0s κ=，C 是直线. □ p. 47 习题2.41. 计算习题2.3第1题中各曲线的挠率.(2) ()323()3,3,3r t t t t t t =−+；(4) ()33()cos ,sin ,cos2r t t t t =.解. (2) ()22()31,2,1r t t t t '=−+，)2|()|321r t t '=+,()()6,1,r t t t ''=−, ()22()()181,2,1r t r t t t t '''⨯=−−+，)2|()()|181r t r t t '''⨯=+，()()61,0,1r t '''=−，()216(),(),()r t r t r t ''''''=，()()222(),(),()1|()()|31r t r t r t r t r t t τ''''''=='''⨯+. (4) ()1()sin 23cos ,3sin ,42r t t t t '=−−，5|()||sin 2|2r t t '=,()()1()cos23cos ,3sin ,4sin 23sin ,3cos ,02r t t t t t t t ''=−−+,()()21()()sin 23cos ,3sin ,43sin ,3cos ,04r t r t t t t t t '''⨯=−−⨯()23sin 24cos ,4sin ,34t t t =−−，()()()2sin 23cos ,3sin ,42cos23sin ,3cos ,0r t t t t t t t '''=−−−+ ()1sin 23cos ,3sin ,02t t t +−，25|()()|sin 24r t r t t '''⨯=，()332(),(),()4t r t r t r t ''''''=，()2(),(),()|()()|r t r t r t r t r t τ''''''=='''⨯, (2(21)t k π≠+). 4. 假定()r r s =是正则弧长参数曲线，它的挠率0τ≠，曲率κ不是常数，并且222111d a ds κτκ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， (1) 其中a 为常数. 证明该曲线落在一个球面上.证明. 由条件(1)，求导得1111110d d d d ds ds ds ds κκττκκ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 因为κ不是常数，上式说明110d d ds ds τκτκ⎡⎤⎛⎫+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. (2) 设它的Frenet 标架为{};,,r αβγ. 考虑向量函数111()()()()()()()d r s r s s s s s s ds βγκκτ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. (3) 对上式求导，利用Frenet 公式和(2)式，得111111[]()0d d d d r ds ds ds ds αβκατγγτβκττκκκ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=++−+++−= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.所以r c =是常向量. 代入(3)得到111()()()()()()d c r s s s s s s ds βγκκτ⎛⎫−=+ ⎪⎝⎭， ()2222111()d a r s c ds κτκ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=− ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 这说明()r s 在以c 为中心，以a 为半径的球面上. □10. 设()r t 是单位球面上经度为t ，纬度为2t π−的点的轨迹. 求它的参数方程，并计算它的曲率和挠率.解. 单位球面的参数方程为cos cos ,cos sin ,sin x y z θϕθϕθ===，(,)[/2,/2][,]θϕππππ∈−⨯−. 其中ϕ为经度，θ为纬度. 将,2t t πϕθ==−代入，得曲线的参数方程()2()sin cos ,sin ,cos r t t t t t =.于是()()cos2,sin 2,sin r t t t t '=−，|()|1r t '=+.()()2sin 2,2cos2,cos r t t t t ''=−−，()()()2sin cos2cos sin 2,2sin sin 2cos cos2,2r t r t t t t t t t t t '''⨯=−+()()2sin cos 2(0,0,1)cos2,sin 2,0sin 2,cos2,0t t t t t t =++−，|()()|cos r t r t '''⨯=.()()()4sin (0,0,1)4cos2,4sin 2,sin cos2,sin 2,0r t t t t t t t '''==−+−−,()6sin (),(),()t r t r t r t ''''''=−.所以32cos |()()||()|1sin r t r t r t t κ'''⨯=='+， ()222(),(),()6sin |()()|cos 4(1sin )r t r t r t tr t r t t t τ''''''−=='''⨯++. p. 55 习题2.51，6. 设正则曲线C 的曲率κ处处不为零. 则下述命题是等价的：(a )C 是一般螺线(即C 的切向量与固定方向成定角)； (b )C 的主法线与固定平面平行； (c )C 的挠率与曲率之比:τκ是常数.证明. 设曲线C 的弧长参数方程为()r r s =，它的Frenet 标架为{};,,r αβγ，曲率和挠率分别为0,κτ≠.(a )⇒(b ). 设固定方向的单位向量为n . 则cos (,)n n αα=∠是常数. 因为0κ≠，求导得到0n β=，即主法线方向与固定方向n 垂直. 所以主法线与以n 为法向量的一个固定平面垂直.(b )⇒(c ). 设固定平面的单位法向量为n . 则0n β=. 于是()0d n n dsακβ==. 这说明cos n αθ=是常数，其中(,)n θα=∠. 因为0n β=，可设()()()()n s s s s λαμγ=+.用()s α与等式两边作内积，得()()cos s s n λαθ==是常数. 再由n 是单位向量可知222()1()sin s s μλθ=−=也是常数. 不妨设sin μθ=，则上式成为cos ()sin ()n s s θαθγ=+求导得到0[cos ()sin ()]()s s s θκθτβ=−.所以():()cot s s τκθ=是常数.(c )⇒(a ). 设():()cot s s τκθ=是常数. 令()cos ()sin ()n s s s θαθγ=+. 则()[cos ()sin ()]()0n s ss s θκθτβ'=−=.所以n 是常向量，从而切方向α与固定方向n 成定角(,)n θα=∠. □ 4. 证明：曲线()(,2cos sin )r t t t t t =+−和曲线122()(2cos ,2sin ,)u u r u u =−可以通过刚体运动彼此重合.证明. 对曲线1:C 11()r r u =作参数变换2u v =，可知1C 是圆柱螺线：1(2cos ,2sin ,2)r v v v =−. (2,2a b ==−)它的曲率和挠率分别为114κ=，114τ=−. 因此只要证明曲线:C ()r r t =的曲率14κ=，挠率14τ=−，从而根据曲线论基本定理，它们可以通过刚体运动彼此重合. 直接计算可得()(1,2sin ,cos )r t t t t '=+−，|()|22r t '=，()(3sin ,2cos ,sin )r t t t t ''=−−， ()()(23cos 2,4sin ,2cos )r t r t t t t '''⨯=−−−−2(1,2sin cos )t t t =−+，|()()|42r t r t '''⨯=，14κ=.()(,2sin ,cos )r t t t t '''=−，()8(),(),()r t r t r t ''''''=−，14τ=−. □注. 此类证明题，一般是由等式1()()t u κκ=确定一个函数()u u t =，然后证明1()(())t u t ττ=. p. 63 习题 2.62. 作正则参数曲线C 关于一张平面的对称曲线C *. 证明：曲线C 和C *在对应点的曲率相同，挠率的绝对值相同而符号相反.证明. 设曲线C 的弧长参数方程为()r r s =，它的Frenet 标架为{};,,r αβγ，曲率和挠率分别为0,κτ≠. 再设∏是过定点a ，以n 为单位法向量的平面. 由上图可见()r s OR =在n 方向的投影向量[()]PR n r s n =⋅，从而()r s 在平面∏上的投影向量()()[()]OP r s PR r s n r s n =−=−⋅.同理，a 在n 方向的投影向量()PQ n a n =⋅. 用11()r s OR =表示()r s 关于平面∏的对称点. 由于Q 是R 和1R 的中点，12PR PR PQ +=，所以111()2()[()]2()[()]()2[()]2().r s OR OP PR OP PQ PRr s n r s n n a n n r s n r s n r s n n a n ==+=+−=−⋅+⋅−⋅=−⋅+⋅ 求导得1()()2[()]r s s n s n αα'=−⋅，2221|()|14[()]4[()]1r s n s n s αα'=−⋅+⋅=.()r s 1()r s naQ1R R所以s 也是C *的弧长参数. 设C *的Frenet 标架为{}1111;,,r αβγ，曲率和挠率分别为1κ和1τ. 则112()r n n ααα==−⋅.再求导，得1112()[2()]n n n n κβααακββ==−⋅=−⋅.于是11||2()n n κακββκ==−⋅=，12()n n βββ=−⋅.由此得1112()2()2[()()]2[()]2()2(),n n n n n n nn n n n n n γαβγαββαγβααβγαβγγγγ=⨯=−⋅⨯−⋅⨯=−⋅−⋅⨯=−⨯⨯⨯=−⨯⨯=−+⋅2111[2()][2()][2()]n n n n n n τβγββτβτβτββτ=−⋅=−+⋅−⋅=−−⋅=−. 所以有1κκ=，1ττ=−. □3. 如果正则参数曲线的向径()r s 关于弧长s 的n 阶导数是()()()()()()()()n n n n r s a s s b s s c s s αβγ=++，求它的1n +阶导数.解. 由Frenet 公式可得(1)()()()().n n n n n n n n n n n n n n r a a b b c c a b b a c c b ακββκατγγτβκακτβτγ+=+++−++−=−++−++p. 69 习题2.74. 假定曲线:()C r r s =和曲线:()C r r s =的曲率处处不为零，且它们之间存在一一对应，使得曲线C 在每一点的主法线是曲线C 在对应点的次法线. 证明：曲线C 和C 在对应点之间的距离λ为常数，并且曲线C 的曲率和挠率满足关系式22()κλκτ=+.证明. 设曲线C 和C 的弧长参数方程分别为()r r s =和11()r r s =，它们之间的一一对应由函数关系()s s s =给出. 再设它们的Frenet 标架分别为{};,,r αβγ和{}1111;,,r αβγ，曲率和挠率分别为,κτ和11,κτ.由条件，可设1(())()()()r s s r s f s s β=+， (1)1(())()s s s γεβ=， (2)其中1ε=±. 对(1)式两边求导，得1()s f f ααβκατγ''=++−+. (3) 再用(2)两边分别与(1)两边作内积，得0f '=，所以f 为常值函数. 这说明C 和C 在对应点之间的距离1|(())()|||r s s r s f λ−==为常数.将(3)重写为1(1)s f f ακατγ'=−+. (4)上式再求导，得22111(1)s s f f f f ακβκακκβτγτβ'''''+=−+−+−.用(2)两边分别与上式两边作内积，得22()f κκτ=+. 因为0κ>，所以0f f λ==>，即有22()κλκτ=+. □8. 证明：圆柱螺线的渐伸线是落在与其轴线垂直的平面内的一条曲线，并且它也是圆柱螺线所在圆柱面与该平面的交线的渐伸线.证明. 1.以圆柱螺线的轴线为z 轴，建立空间直角坐标系. 它的参数方程为()(cos ,sin ,)r t a t a t bt =. 因为()(sin ,cos ,)r t a t a t b '=−，2|()|r t a '=，从0t =开始计算的弧长为()s t =. 由于单位切向量为21()sin ,cos ,)t a t a t b a α=−，根据定理7.3，渐伸线方程为1()()(())()(cos ,sin ,)sin ,cos ,)r t r t c s t t a t a t bt a t a t b α=+−=+−，其中c 是任意一个取定的常数. 记c =. 则渐伸线方程可以写成1()(cos ,sin ,)()(sin ,cos ,)r t a t a t bt c t a t a t b =+−−()cos ()sin ,sin ()cos ,a t a c t t a t a c t t cb =−−+−. (1)它是落在与其轴线(z 轴)垂直的平面z cb =内的一条曲线.2. 圆柱螺线所在圆柱面与该平面的交线是平面z cb =内的一个圆()(cos ,sin ,)r t a t a t cb =.它的弧长为()s t at =. 单位切向量为()(sin ,cos ,0)t t t α=−.所以它的一般的渐伸线方程为()1()()(())()cos ()sin ,sin ()cos ,r t r t c s t t a t c at t a t c at t cb α=+−==−−+−. (2)在(2)中取c ac =，就得到上面的渐伸线(1). □ 注. 在工业上，圆的渐伸线一般被用来作为齿轮的齿廓线. p.75 习题2.81. 求下列平面曲线的相对曲率r κ. (2) 双曲线：(cosh ,sinh )r a t b t =，t ∈.(4) 摆线：((sin ),(1cos ))r a t t a t =−−，[0,2]t π∈.(6) 曳物线：()cos ,ln(sec tan )sin r a t a t t a t =+−，[0,/2)t π∈.解. (2) (sinh ,cosh )r a t b t '=，(cosh ,sinh )r a t b t ''=，2||sinh r a '=，22223/2(sinh cosh )r aba tb t κ=−+.(4) (1cos ,sin )r a t t '=−，(sin ,cos )r a t t ''=，r κ=(0,2)t π∈. (6) 1sin (1,tan )sin ,cos cos r a a t t t t t ⎛⎫'==−−− ⎪⎝⎭，||tan r a t '=， 2cos (1,tan )sin (0,sec )r a t t a t t ''=−+，11cot tan r a t a tκ−=−=−，(0,/2)t π∈.2. 设平面曲线在极坐标系下的方程是()ρρθ=，其中ρ是极距，θ是极角. 求曲线的相对曲率的表达式.解. ()()()()(),()()cos ,()sin cos ,sin r x y ρθθθρθθρθθθθ===，()()()(sin ,cos )cos ,sin r ρθρθθθθθ''=+−， 2||(r ρθ'=， ()()()2()(sin ,cos )()cos ,sin cos ,sin r ρθρθθθρθθθθθ'''''=+−−()()2()(sin ,cos )()()cos ,sin ρθθθρθρθθθ'''=+−−，22223/2()2()()()[()()]r ρθρθρθρθκρθρθ'''+−='+. 6. 已知平面曲线的相对曲率()r s κ=s 是弧长参数，求它的参数方程.解. 令0()()arcsin sr s d s θκξξ==⎰，则sin(())s s θ=，cos(())s θ=[1,1]s ∈−.因此所求曲线的弧长参数方程为()2001(cos(()),sin(())))arcsin 2s s r d d s s θξθξξξξ===+⎰⎰.8. 求圆222:C x y a +=的渐伸线.解. 习题2.7第8题已经求得圆(cos ,sin )r a t a t =的渐伸线方程为 ()1()()(())()cos ()sin ,sin ()cos r t r t c s t t a t c at t a t c at t α=+−==−−+−. 特别，常数0c =的那一条渐伸线为()1()()()()cos sin ,sin cos r t r t s t t a t t t t t t α=−=+−.习题答案2p. 58 习题3.12. 在球面2222{(,,)|1}S x y z x y z =++=上，命(0,0,1)N =，(0,0,1)S =−. 对于赤道平面上的任意一点(,,0)p u v =，可以作为一的一条直线经过,N p 两点，它与球面有唯一的交点，记为p '. (1) 证明：点p '的坐标是2221u x u v =++，2221vy u v =++，222211u v z u v +−=++，并且它给出了球面上去掉北极N 的剩余部分的正则参数表示； (2) 求球面上去掉南极S 的剩余部分的类似的正则参数表示； (3) 求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换； (4) 证明球面是可定向曲面.证明. (1) 设(,)r u v Op '=. 如图，,,N p p '三点共线，故有t ∈使得(1)Op tOp t ON '=+−. (1) 由于21Op ON =='，222u v Op =+，0Op ON '⋅=，0t ≠，取上式两边的模长平方，得222/(1)t u v =++. 从而22222221(,,)(,,0)(0,0,1)11u v x y z Op u v u v u v +−'==+++++ 22222222221,,111u v u v u v u v u v ⎛⎫+−= ⎪++++++⎝⎭，2(,)u v ∈. (2)由(1)可知(,,1)(0,0,1)(,,1)r Op tNp ON t u v tu tv t '==+=−+=−，又2()dt t udu vdv =−+，所以2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =−−+，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =−−+，332(1,0,)(0,1,)(0,0,1)u v r r t u u t v v t ⨯=−−+22222(,,()1)(,,1)0t tu tv t u v t tu tv t t r =−+−=−−=−≠. (3)因此(,)r r u v =给出了2\{}S N 的正则参数表示.(2)令(,,0)q u v =是,S p '两点连线与赤道平面的交点. 同理，有(1)(,,1)Op t Oq t OS t u t v t '=+−=−，222/(1)t u v =++，22222222221(,,),,111u v u vr x y z Op u v u v u v ⎛⎫−−'=== ⎪++++++⎝⎭，2(,)u v ∈. (4)2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =−+，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =−+，332(1,0,)(0,1,)(0,0,1)u v r r t u u t v v t ⨯=−−−−+22222(,,1())(,,1)0t t u t v t u v t t u t v t t r =−+=−=≠. (5)因此(4)给出了2\{}S S 的正则参数表示.(3) 由(2)和(4)式可得2222()()1u v u v ++=，从而上面两种正则参数表示在公共部分2\{,}S N S 上的参数变换公式为22u u u v =+，22vv u v =+. (6) 由(3)和(5)可知22222222222(,)(1)10(,)(1)()u v t u v u v t u v u v ∂++=−=−=−<∂+++. 所以参数变换是可允许的，并且是改变定向的参数变换.注. 如果采用复坐标，令,z u i v w u i v =+=−，则上面的参数变换可写成1/w z =. 这就是广义复平面上的共形变换.(4) 在2\{}S N 上采用(1)式给出的正则参数表示，在2\{}S S 上采用正则参数表示22222222221(,).,,111u v u v r u v u v u v u v ⎛⎫−−−= ⎪++++++⎝⎭则在公共部分的参数变换公式为22u u u v =+，22vv u v−=+. (4) 由于{}22\{},\{}S N S S 构成2S 的开覆盖，并且22222222222222222()()2222()()(,)10(,)()v u uv u v u v uv v u u v u v u v u v u v −++−−++∂==>∂+，所以2S 是可定向的. □5 写出单叶双曲面2222221x y z a b c+−=和双曲抛物面22222x y z a b =−作为直纹面的参数方程.解. (1) 对单叶双曲面，取腰椭圆()(cos ,sin ,0)a u a u b u =，(0,2)u π∈为准线. 设直母线的方向向量为()()(),(),()l u aX u bY u cZ u =. 则直纹面的参数方程为()(,)()()(cos ()),(sin ()),()r u v a u vl u a u vX u b u vY u cvZ u =+=++.由于(,)r u v 的分量满足单叶双曲面的方程，可得222(cos ())(sin ())(())1u vX u u vY u vZ u +++−=，v ∀∈.由v 得任意性得到cos ()sin ()0uX u uY u +=，222()()()X u Y u Z u +=.因此():():()sin :cos :1X u Y u Z u u u =−±. 取()()sin ,cos ,l u a u b u c =−得()(,)(cos sin ),(sin cos ),r u v a u v u b u v u cv =−+，(,)(0,2)u v π∈⨯. (2) 对双曲抛物面，令()x a u v =+，()y b u v =−，则2z uv =. 曲面的参数方程为()(,)(),(),2r u v a u v b u v uv =+−(,,0)(,,2)(,,0)(,,2)au bu v a b u av bv u a b v =+−=−+，2(,)u v ∈.p. 94 习题3.21. 证明：一个正则参数曲面S 是球面⇔它的所有法线都经过一个固定点. 证明. “⇒”设S 是球面，参数方程为(,)r u v ，球心为a ，半径为R . 则有22((,))r u v a R −=，,u v D ∀∈. (1)微分可得()0u r r a −=，()0v r r a −=. (2)所以()//u v r a r r −⨯，从而u v r a r r λ−=⨯，即有函数(,)u v λλ=使得(,)(,)[(,)][(,)]u v a r u v u v r u v r u v λ=−⨯. (3)这说明球心a 在它的所有法线上.“⇐” 设S 的所有法线都经过一个固定点a . 则有函数(,)u v λλ=使得(3)式成立，即有u v r a r r λ−=⨯. 分别用,u v r r 作内积，可得(2). 这说明2()0d r a −=，从而(1)式成立，其中0R >(否则S 只是一个点，不是正则曲面)是常数. 因此S 是以a 为球心，以R 为半径的球面，或球面的一部分. □3. 证明：一个正则参数曲面S 是旋转面⇔它的所有法线都与一条固定直线相交.证明. “⇒”设S 是旋转面，旋转轴L 为z 轴. 它的参数方程为()(,)()cos ,()sin ,()r u v f v u f v u g v =，(()0)f v >.因为()()sin ,cos ,0u r f v u u =−，()()cos ,()sin ,()v r f v u f v u g v '''=，()()()cos ,()sin ,()u v r r f v g v u g v u f v '''⨯=−，所以S 上任意一点(,)r u v 处的法线N 的参数方程为()(,)[(,)(,)]u v X t r u v t r u v r u v =+⨯.由于z 轴的参数方程为()(0,0,1)Y s s s k ==，并且()()cos ()sin ()()0()cos ()sin (),,001u v f v u f v u g v f v g v u g v u f v r r r k '''==−⨯，所以L 与N 共面. 如果L 与N 处处平行，则()//u v r r k ⨯，从而()0g v '=. 此时S 是垂直于z 轴的平面()z g v c ==. 所以当S 不是垂直于z 轴的平面时，旋转面S 的所有法线都与z 轴相交.“⇐” 通过选取坐标系，不妨设固定直线为z 轴. 设S 的参数方程为(,)((,),(,),(,))r u v x u v y u v z u v =，(,)u v D ∈.由条件，S 的所有法线都与z 轴相交，所以法线不能与z 轴平行，即00(,)(,)(,)(,),,//(,)(,)(,)u v u v y z x z x y r r u v u v u v ∂∂∂⎛⎫−⨯= ⎪∂∂∂⎝⎭(0,0,1)，00(,)u v D ∀∈. 因此00(,)(,)(,)u v y z u v ∂∂，00(,)(,)(,)u v x z u v ∂∂不能全为零. 不妨设在00(,)u v 点邻近(,)0(,)y z u v ∂≠∂.通过参数变换，曲面的参数方程可以写成(,)((,),,)r u v x u v u v =，(,)u v D ∈. (1)于是(),1,0u u r x =，(),0,1v v r x =，()1,,u v u v r r x x ⨯=−−. 因为所有法线都与z 轴相交，()0,,u v r r r k ≡⨯，即有0u xx u +=. 这说明22x u +是一个仅仅依赖于v 的函数. 设222()x u f v +=，其中()0f v >. 作参数变换()cos ,u f v v v θ==. 由上式得()sin x f v θ=，S 的参数方程(1)可以改写为(,)(()sin ,()cos ,)r vf v f v v θθθ=.这是一个旋转面，由yOz 平面上的母线()y f z =绕z 轴旋转而得. □5. 设S 是圆锥面(cos ,sin ,)r v u v u v =，:,t C u v e ==是S 上的一条曲线.(1) 将曲线C 的切向量用,u v r r 的线性组合表示出来； (2) 证明：C 的切向量平分了u r 和v r 的夹角. (1) 解. C 的参数方程为()()),),),1t t t t r e e e e ==.C 的切向量为()()cos(2),sin(2),1),02(2,)(2,).t ttttu v r e t t r t e e r t e '=+−=+(2)证明. 因为(sin ,cos ,0),(cos ,sin ,1)u v r v u v u r u u =−=，在曲线C 上每一点t 处，()(2,)),0t t u r t e e =−，()(2,)),1t v r t e =.由上可知2t e r ='. 所以222cos (,)2t u u tur r e r r r e r '⋅'∠==='(,)4u r r π'∠=； 2cos (,)22t v v t v r r e r r r e r '⋅'∠==='，(,)(,)4v u r r r r π''∠==∠. □ p. 104 习题3.3 2. 设球面的参数方程是22222222222222,,au av u v a r u v a u v a u v a ⎛⎫+−= ⎪++++++⎝⎭. 求它的第一基本形式.解. 记2222/()t u v a =++. 则(,,)(0,0,1)r at u v a =−+，2u t ut =−，2v t vt =−， (,,)(1,0,0)u u r at u v a at =−+，(,,)(0,1,0)v v r at u v a at =−+.所以()22222222222222224()2()u u u a E r a t u v a a t t u a t a t u v a ==++++==++， 222222()0u v u v u v F r r a t t u v a a t t v a t t u =⋅=++++=，()22222222222222224()2()v v v a G r a t u v a a t t v a t a t u v a ==++++==++，从而2222222224I ()()a Edu Gdv du dv u v a =+=+++. 5. 设在曲面上一点(,)u v ，由微分,du dv 的二次方程22(,)2(,)(,)0P u v du Q u v dudv R u v dv ++= (1)确定了在该点的两个切方向. 证明：这两个切方向彼此正交⇔函数,,P Q R 满足20ER FQ GP −+=，其中,,E F G 是曲面的第一基本形式.证明. 由条件，二次方程(1)有两个互异的实根:du dv 和:u v δδ，因此可以分解为两个一次因子的乘积：2211222()()Pdu Qdudv Rdv A du B dv A du B dv ++=++. (2)其中1122,,,A B A B 是关于变量(,)u v 的函数. 因为上式是关于文字,du dv 的二次多项式，比较两边的系数，得12P A A =，12212Q A B A B =+，12R B B =. (3)由(2)可知(1)所确定两个切方向为11::du dv B A =−，22::u v B A δδ=−. (4)这两个切方向彼此正交⇔()0Edu u F du v dv u Gdv v δδδδ+++= (课本(3.18)) 12121212()0EB B F B A A B GA A ⇔−++= (由(4)式)20ER FQ GP ⇔−+=. (由(3)式) □8. 已知曲面的第一基本形式为2222I ()du u a dv =++.(1) 求曲线1:0C u v +=与2:0C u v −=的交角；(2) 求曲线21:C u av =，22:C u av =−和3:1C v =所围成的曲边三角形的各个边长和各个内角.(3) 求曲线1:C u av =，2:C u av =−和3:1C v =所围成的曲边三角形的面积. 解. (1) 已知221,0,E F G u a ===+. 因为交点为(,)(0,0)u v =. 在交点处2G a =. 对于1C ，du dv =−；对于2C ，u v δδ=. 所以它们的切方向,dr r δ满足22221cos (,)1dr ra dr r a dr r du δδδ⋅−∠===±+. 于是它们的交角为221arccos 1a a −+，或221arccos 1a a −+. (2) 不妨设常数0a >. 如图，在曲纹坐标下，1C 与2C 的交点为(0,0)O ，1C 与3C 的交点为(,1)A a ，C 与C 的交点为(,1)B a −.因为是计算内角，在O 点20,0du avdv dv ==>. 同理，0,0u v =>，所以内角0O ∠=.在A 点220du avdv adv ==<，0,0u v δδ<=，所以2cos dr r A dr r du δδ⋅∠===在B 点220du avdv adv =−=−>，0,0u v δδ>=，2cos dr r B dr r du δδ⋅∠===. 所以0O ∠=，A B ∠=∠=. 曲线1C ，2C ，3C 的弧长分别为1120()()C L C a L C ===⎰⎰，3()2a C aL C du a −===⎰⎰.注. 在90版中，本题为212:a C u v =，222:a C u v =−，3:1C v =，故127 122600()(2)()aCL C a v dv a L C ===+==⎰⎰⎰，3/23/2()aC aL C du a−===⎰⎰.(3)因为dσ=，所以曲边三角形的面积110002avAOBA dσ∆−===⎰⎰⎰⎰⎰⎰(1200lnavuaa dv⎡=++⎢⎣⎰(12lna v dv⎡=++⎢⎣⎰(()(13/222213ln1ln1.a v v v a⎡⎤⎡=+−+=++⎢⎥⎣⎣⎦p. 110 习题3.41. 设空间曲线()r r s=以弧长s为参数，曲率是κ. 写出它的切线曲面的参数方程，使得相应的参数曲线构成正交曲线网.解. 设曲线()r s的Frenet标架是{};,,rαβγ. 则它的切线曲面参数方程可写为(,)()()R s t r s t sα=+.由s R tακβ=+，t Rα=可得它的第一基本形式2222I(1())2t s ds dsdt dtκ=+++. (1) 直母线(即t-曲线)0sδ=的正交轨线的微分方程为0ds dt+=，即()0d s t+=. 为此，作参数变换u s=，v s t=+. 则逆变换为s u=，t v u=−，切线曲面的参数方程为(,)()()()R u v r u v u uα=+−.在新参数下，(,)()()()()()()()()uR u v u u v u u u v u u uαακβκβ=−+−=−，(,)()vR u v uα=.第一基本形式化为2222I()()v u u du dvκ=−+.所以参数曲线构成正交曲线网. 也可将s u=，t v u=−直接代入(1)式得到上式：22222222 I[1()()]2()()()()v u u du du dv du dv du v u u du dvκκ=+−+−+−=−+. 3. 求曲线(cos sin,sin cos,)r v u k u v u k u ku=−+的参数曲线的正交轨线，其中0k>是常数.解.(sin cos,cos sin,)ur v u k u v u k u k=−−−，(cos,sin,0)vr u u=.第一基本形式为2222I(2)v k du kdudv dv=+−+.u-曲线0vδ=的正交轨线的微分方程为0Edu Fdv+=，即22(2)0v k du kdv+−=. 解这个微分方程：222kdvdu dv k===+，得到u -曲线的过00(,)u v 的正交轨线为00)v u u v =−+.v -曲线0u δ=的正交轨线的微分方程为0Fdu Gdv +=，即kdu dv =. 过00(,)u v 的正交轨线为00()v k u u v =−+.p. 110 习题3.51. 证明：在悬链面(cosh cos ,cosh sin ,)r a t a t at θθ=，(,)(0,2)t θπ∈⨯与正螺面(cos ,sin ,)r v u v u au =，(,)(0,2)u v π∈⨯之间存在保长对应.证明. 悬链面的第一基本形式为22221I [(sinh cos cosh sin )(sinh sin cosh cos )]a t dt t d t dt t d dt θθθθθθ=−+++ 2222cosh ()a t dt d θ=+.正螺面的第一基本形式为222222222I (sin cos )(cos sin )()v udu udv v udu udv a du a v du dv =−++++=++2222()a v du ⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 对正螺面作参数变换，令,sinh u v a t θ==. 则(,)cosh 0(,)u v a t t θ∂=−≠∂，参数变换是可允许的. 由于,cosh du d dv a tdt θ====，正螺面的第一基本形式化为2222222221I ()cosh ()I a v a t d dt du θ⎡⎤=+=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 根据定理5.3，在悬链面与正螺面之间存在保长对应. 对应关系式为,sinh u v a t θ==. □p. 110 习题3.51. 判断下列曲面中哪些是可展曲面？说明理由.(1) ()2234233,2,vu v r u u uv u =+++； (2) ()cos ()sin ,sin ()cos ,2r v u v v v u v v u v =−++++；(3) ()(),(),2r a u v b u v uv =+−； (4) ()cos ,sin ,sin 2r u v u v v =.解. (1) ()()234236()(),2,1,3,2v v u r a u a u u u u u u '=+=+.所以它是可展曲面，因为它是正则曲线()234(),2,a u u u u =(0u ≠)的切线面. (2) ()()()()()cos ,sin ,sin ,cos ,1r u v a v ua v v v v v v '=++=+−，其中()()cos ,sin ,a v v v v =是圆柱螺线，u u v =+. 所以它是可展曲面.(3) 令()(),,0a u au bu =，()(),,2l u a b u =−.则()()r a u v l u =+，直接计算得()2(),(),()ab a u l u l u =−''.当0ab ≠时，它是马鞍面，()0(),(),()a u l u l u ≠''，所以不是可展曲面. 当0a =或0b =时，它是平面，所以是可展曲面. 当0a =且0b =时，它不是正则曲面.(4) 令()()0,0,sin 2a v v =，()()cos ,sin ,0l v v v =. 则()()r a v ul v =+. 由于()2cos20,,v a l l =≠''，它不是可展曲面. □2. 考虑双参数直线族x uz v =+，33u y vz =+，其中,u v 是直线族的参数.(1) 求参数u 和v 之间的关系，使得由此得到的单参数直线族是一个可展曲面的直母线族；(2) 确定相应的可展曲面的类型.解. (1) 对于固定的参数,u v ，该双参数直线族中的一条直线(,)L u v 可以写成点向式：3(/3)(,):1x v y u zL u v u v −−==.设所求的函数关系为()v f u =. 则得到一个单参数直线族{}(,())u L L u f u =，它们构成的直纹面S 的方程为()()3(,),(),1(),/3,0r u t t u f u f u u =+. 于是S 是可展曲面22220()1210f u u f u f u f u c u f f '''⇔=⇔=⇔=±⇔=±+'，其中c 是任意常数. 即所求的函数关系为22u v c =±+.(2) 此时S 的参数方程为(,)()()r u t a u t l u =+，其中()()3(),(),(),1(),/3,0a u l u u f u f u u ==，2()(/2)f u u c =±+. 由于()()()0,1,l u l u f uf f '''⨯=≠−−，S 不是柱面.如果S 是锥面，则有函数()t t u =使得()()()a u t u l u c +=，其中c 为常向量. 于是()20,,a t l t l f ut t u f t t f t '''=++='''''++++，从而0t '=，0t t =是常数. 由此得00u t ±+=，矛盾.因此S 是切线曲面. 事实上，记2()(/2)f u u c ε=+，其中1ε=±. 则()2()(1,,0)(),,0a u u u ul u u u εεεε''===.取新的准线23()()(),,26u u b u a u ul u c cu u εεεε⎛⎫=−=−+−−− ⎪⎝⎭.则22()(),,,,122u u b u l u u c u c εεεεεε⎛⎫⎛⎫'==−=−−−−−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.于是S 的参数方程为()()()()()()()()r b u u t l u b u u t b u b u t b u εεε''=++=−+=+，其中(,)(,)u t u u t ε=−−是新的参数. □8. 证明：由挠率不为零的正则曲线的主法线族和次法线族分别生成的直纹面都不是可展曲面.证明. 设正则曲线C 的弧长参数方程为()a s ，曲率和挠率分别为,κτ，Frenet 标架为{};,,a αβγ.它的主法线族生成的直纹面是1:()()S r a s t s β=+. 因为()()()0(),(),()()()()(),(),()s s s s s s s a s s s ταβκατγββ==≠−+，所以1S 不是可展曲面. 同理，由()()()0(),(),()(),(),()()s a s s s s s s s τγγαγτβ==≠−可知它的次法线族生成的直纹面2:()()S r a s t s γ=+不是可展曲面. □习题答案3p. 148 习题4.11. 求下列曲面的第二基本形式：(1)√旋转椭球面：()cos cos ,cos sin ,sin r a a b ϕθϕθϕ=；(2) 旋转椭圆抛物面：()2212,,()r u v u v =+； (3) 双曲抛物面：()(),(),2r a u v a u v uv =+−；(4)√一般柱面：()(),(),r f u g u v =；(5)√劈锥曲面：()cos ,sin ,()r u v u v f v =. 解. (1) ()cos sin ,cos ,0r a θϕθθ=−，()sin cos ,sin sin ,cos r a a b ϕϕθϕθϕ=−−，()cos cos cos ,cos sin ,sin r r a b b a θϕϕϕθϕθϕ⨯=，22(,)ππϕ⇒∈−)2cos cos ,cos sin ,sin sin n b b a a ϕθϕθϕ=.又()cos cos ,sin ,0r a θθϕθθ=−，()sin sin ,cos ,0r a θϕϕθθ=−，()cos cos ,cos sin ,sin r a a b ϕϕϕθϕθϕ=−.所以2L =，0M=，N =，)222II cos d d ϕθϕ=+. (2) ()1,0,u r u =，()0,1,v r v =，(),,1u v r r u v ⨯=−−，)21,,11n u v u =−−+.()0,0,1uu r =，0uv r =，()0,0,1vv r =，)22II 1du dv u =++.(3) (),,2u r a a v =，(),,2v r a a u =−，()2,,u v r r a u v v u a ⨯=+−−. 不妨设0a >. 则)2,,2n u v v u a a =+−−+，0uu vv r r ==，()0,0,2uv r =，II 22a u v=++. (4) (),,0u r f g ''=，()0,0,1v r =，(),,0u v r r g f ''⨯=−，)21,,0n g f f ''=−'+， (),,0uu r f g ''''=，0uv vv r r ==，2II ''''''=.(5) ()cos ,sin ,0u r v v =，()sin ,cos ,v r u v u v f '=−，()sin ,cos ,u v r r f v f v u ''⨯=−，)21sin ,cos ,n f v f v u f ''=−'+，0uu r=，()sin ,cos ,0uv r v v =−，()cos ,sin ,vv r u v u v f ''=−−，)2II 2f dudv uf dv ='''−+. □ 2. 求下列曲面的第二基本形式：(3) 3xyz k =，0k ≠是常数.解. 由条件知在曲面上30xyz k =≠，并且0yzdx xzdy xydz ++=，即 1110x dx y dy z dz −−−++=. (1)因此3111(,,)(,,)yz zx xy k x y z −−−=是曲面的法向量. 不妨设0k >. 则单位法向量()2221/2111(),,n x y z x y z −−−−−−−=++.于是()()2221/22221/2111222[()]().,,,,dn d x y z x y z x y z x dx y dy z dz −−−−−−−−−−−−−−=++−++由于()111(,,),,dr x y z dx dy dz −−−=⊥，故曲面的第二基本形式为()2221/2222222II ()dr dn x y z x dx y dy z dz −−−−−−−=−⋅=++++.如果由(1)解出111()z dz x dx y dy −−−=−+，再代入上式可得222211222222II −−−−==22222222||xy x =. □3. 求曲线()r r s =的切线曲面的第二基本形式，其中s 是该曲线的弧长参数. 解. 设正则曲线()r r s =的曲率和挠率分别为,κτ，Frenet 标架为{};,,a αβγ，它的切线曲面的参数方程为(,)()()R s t r s t s α=+.则()dR ds dt t αακβ=++，s R t ακβ=+，t R α=，s t R R t κγ⨯=−，0t >.n γ=−，dn ds τβ=，2II dR dn t ds κτ=−⋅=−. □6. 证明：如果在可展曲面S 上存在两个不同的单参数直线族，则S 是平面. 证明. 设可展曲面S 的参数方程为()()r a u vl u =+. 则沿着直母线S 的单位法向量n 是常向量，即()n n u =. 所以第二类基本量中0,0u v v v M r n N r n =−⋅≡=−⋅≡. 剩下的只要证明0L ≡，从而由定理1.1，S 是平面.为此，设在S 上任一固定点00(,)u v ，异于直母线的另一族直线中过该点的直线L 的弧长参数方程为(),()u u s v v s ==，并且00(0),(0)u u v v ==. 则L 在0s =处的单位切向量是00000000(0)(,)(0)(,)(0)[()()](0)()(0)u v r r u v u r u v v a u v l u u l u v '''''''=+=++，它不能与S 在00(,)u v 的直母线的切向量0()l u 平行，故(0)0u '≠.另一方面，因为L 是直线，有0r r '''⨯=，即//r r '''. 所以00(0)(,)0r n u v ''⋅=. 于是在00(,)u v 点成立()()20u v u r n r n r u r v n u Lu ''''''''=⋅=−⋅=−+⋅=.因为(0)0u '≠，可得00(,)0L u v =. 由于点00(,)u v 是任意的，可知0L ≡. □ p. 157 习题4.21. 设悬链面的方程是()222,ln()r u v v a u u a =+++，求它的第一、第二基本形式，并求它在点(0,0)处沿切向量2u v dr r r =+的法曲率.解. 不妨设0a >. 令sinh u a t =，则cosh a t =，(sinh cosh )t u a t t ae +=+=，ln(ln t u a =+−，cosh dudt a t ==. (1) 悬链面的方程可化为()cosh cos ,cosh sin ,ln r a t v t v t a =+，于是()sinh cos ,sinh sin ,1t r a t v t v =，()cosh sin ,cos ,0v r a t v v =− ()2cosh cos ,sin ,sinh t v r r a t v v t ⨯=−−，()1cosh cos ,sin ,sinh n t v v t −=−−.()cosh cos ,cosh sin ,0tt r a t v t v =，()sinh sin ,cos ,0tv r a t v v =−，()cosh cos ,sin ,0vv r a t v v =−.2222222222I cosh cosh ()a t dt a t dv du u a dv =+=++222222II aadt adv du adv u a=−+=−++. 在点(0,0)处，切向量2u v dr r r =+中2,1du dv ==，曲面的法曲率222244II 4II ,I 4,I (4)n a a a a a a a a κ−−=−+==+==+. □ 注. 参数(,)t v 是悬链面的等温坐标，并且参数网是正交的曲率线网. 此时22cosh ,0,E G a t F M L N a =====−=−，2121cosh a t κκ=−=，241cosh K a t =−，0H =. 4. 设曲面1S 和曲面2S 的交线为C . 设p 为曲线C 上一点，假定曲面1S 和曲面2S 在点p 处沿曲线C 的切方向的法曲率分别1κ是和2κ. 如果曲面1S 和曲面2S 在点p 处的法向量的夹角是θ，求曲线C 在点p 处的曲率κ.解. 设在p 点C 的Frenet 标架为{};,,r αβγ，曲率为0κ≠，曲面12,S S 的单位法向量分别为12,n n . 因为12,,n n β均垂直于C 的切方向，所以它们共面. 不妨设绕着α由β到1n 的有向角为ϕ，到2n 的有向角为ϕθ+，02ϕϕθπ≤<+≤. 令11(,)n θβ=∠，22(,)n θβ=∠. 则11cos κκθ=，22cos κκθ=.于是1sin κθ==2sin κθ==当0θπ<<时，只有种情况：(1)[,]πϕϕθ∈+，即ϕπϕθ≤≤+. 此时1θϕ=，22()θπϕθ=−+，所以122θθπθ+=−. 则2222121212cos cos()cos cos sin sin κθκθθκθθκθθ=+=−12κκ=−(1)因此()2222221212()()cos κκκκκκκθ−−=−.化简得42224221212()cos 2cos κκκκκθκκκθ−+=−. 因此 κ=(2)[,]πϕϕθ∉+，即ϕπ>或πϕθ>+. 此时12θπϕ=−，22()θπϕθ=−+或1θϕ=，2θϕθ=+，所以12θθθ−=±. 则同理有212cos κθκκ=+， (2)κ=当0θ=(或θπ=)时，有12θθ=(或12θθπ+=)，从而12κκ=(或12κκ=−). 此时(2)式(或(1)式)成为恒等式，无法确定κ. □7. 设C 是曲面S 上的一条非直线的渐近线，其参数方程为(),()u u s v v s ==，其中s 是弧长参数. 证明：C 的挠率是βγ1n 2n ϕθβγ1n 2n ϕθ22()()()()s u s v s u s E F G L M Nτ''''−=. 证明. 设曲面S 的参数方程为(,)r r u v =，单位法向量为(,)n u v . 设C 的弧长参数方程为(),()u u s v v s ==，Frenet 标架为{};,,r αβγ，曲率为0κ≠. 由于C是S 上的渐近线，根据定理2.4，有()()s n s γε=，其中1ε=±，():((),())n s n u s v s =. 根据Frenet 公式，()()(),,,,n n r τγβγγαγγα'''=−⋅=−⋅⨯==''.利用Lagrange 恒等式，可得()2,,()()()()()()u v u v u v v u EGF r r n r r r n r r n r r r n r r τ''''''''−=⨯=⨯⋅⨯=⋅⋅−⋅⋅.将u v r r u r v '''=+，u v n n u n v '''=+代入上式，得()()()()Lu Mv Fu Gv Mu Nv Eu Fv ''''''''=−+++++22Eu Fv Fu Gv E F E G F G u u v v Lu Mv Mu Nv L M L N M N''''++''''==++''''++ 22v u v u EF G LMN''''−=. □ p. 166 习题4.31. 求抛物面2212()z ax by =+在原点处的法曲率和主曲率.解. 曲面的参数方程为()2212,,()r x y ax by =+，故 (1,0,)x r ax =，(0,1,)y r by =，(,,1)x y r r ax by ⨯=−−，211()(,,1)ax n ax by ++=−−.(0,0,)xx r a =，0xy r =，(0,0,)yy r b =所以在原点处22I(0,0,,)dx dy dx dy =+，22II(0,0,,)dx dy adx bdy =+，2222II (0,0,,)I n adx bdy dx dy dx dyκ+==+. 不妨设a b ≤. 因为在原点处222222(0,0,,)n dx dy a dx dy a b b dx dy dx dy κ≤=+≤++，且(0,0,1,0),(0,0,0,1)n n a b κκ==，所以,a b 分别是法曲率的最大、最小值，因而是抛物面在原点的主曲率. □注. 在原点0F M ==，从而根据下一节定理4.2立即可知主曲率是,a b . 4. 证明：曲面S 上任意一点p 的某个邻域内都有正交参数系(,)u v ，使得参数曲线在点p 处的切方向是曲面S 在该点的两个彼此正交的主方向.证明. 根据第三章定理4.2，在S 上任意一点p 的某个邻域内都有正交参数。

微分几何初步课后答案(陈维桓著) 北京大学出版社

2

C (c1 , c2 , c3 ) 成定角,则
1 2 , 若 r t t (1, 2 , 2 ) * (t ) 与单位常向量 1 2t 2
cos (r* (t ), C ) r * (t ) C
1 (c1 2c2t 2c3t 2 ) a , a 为常数 2 1 2t
c12 c2 2 c32 1
则 c1 c3 a
2 , c2 0 . 2 2 2 , 0, ) 的方向始终成定角 . 2 2 4
所以, r (t ) 的切线与 (

l 是曲 3.设平面曲线 c 与同一平面的一条曲线 l 相交于正则点 P ,且落在直线 l 的一侧.证明：线 c 在点 P 的切线.
2 2

dr r (t ) 1 (3cos 2 t sin t ,3sin 2 t cos t , 2sin 2t ). ds | r (t ) | | 5sin t cos t |
3.设曲线 c 是下面两个曲面的交线：
x2 y 2 z 2 1, x ach , a, b 0. 求 c 从点 (a, 0, 0) 到点 2 a b a
2a 4 2a 2 2a 2 r (t ) r (t ) t4 , t3 , t2 . | r (t ) r (t ) | 2t 2 . 2 3 2 a t 1 | r (t ) |
（2） r (t ) (3 3t , 6t ,3 3t ), r (t ) 6t , 6, 6t ,
( x, y, z ) 的弧长.
t t , y bsh a a t t c 的参数方程为 r (t ) (ach , bsh , t ) a a t b t r (t ) ( sh , ch ,1) a a a

[整理]微分几何陈维桓

习题答案1p.41 习题2.31. 求下列曲线的曲率：(2) ()323()3,3,3r t t t t t t =-+；(4) ()33()cos ,sin ,cos2r t t t t =.解. (2) ()22()31,2,1r t t t t '=-+，)2|()|321r t t '=+,()()6,1,r t t t ''=-, ()22()()181,2,1r t r t t t t '''⨯=--+,)2|()()|1r t r t t '''⨯=+, 2213(1)t κ=+. (4) ()1()s i n 23c o s ,3s i n ,42r t t t t '=--，5|()||sin2|2r t t '=, ()()1()cos23cos ,3sin ,4sin 23sin ,3cos ,02r t t t t t t t ''=--+, ()()21()()sin 23cos ,3sin ,43sin ,3cos ,04r t r t t t t t t '''⨯=--⨯ ()23s i n 24c o s ,4s i n ,34t t t =--， 25|()()|sin 24r t r t t '''⨯=，225|sin 2|t κ=，(2(21)t k π≠+). 4. 求曲线222229,3x y z x z ⎧++=⎪⎨-=⎪⎩在()2,2,1处的曲率和密切平面方程. 解. 设曲线的弧长参数方程为()()(),(),()r s x s y s z s =, ()(0)2,2,1r =，0(0)r α=，00(0)r κβ=. 则(),(),()x s y s z s 满足题给的方程组，所以有2222212,26x y y z +=+=.对上式求导得 22220,20,1xx yy yy zz x y z +=+=++=. (1) 再求导，得22222(2),2(2),0xx yy x y yy zz y z xx yy zz +=-++=-+++=. (2)在()2,2,1处，由(1)解出2x y z =-=，13x =±. 不妨设122333,,x y z ==-=. 所以()()01,,1,2,23x y z α==-. 代入(2)得 2242,,22033x y y z x y z +=-+=--+=. 所以001(0)(0,1,1)3r κβ==--，0κ=，01,1)β=--. 于是)000(0,1,1)1)1,2,2γαβ=⨯=⨯--=--. 所以在()2,2,1处，曲率为02κ=，密切平面方程为4(2)(2)(1)0x y z -+---=，即490x y z +--=. 7. 证明：若一条正则曲线在各点的切线都经过一个固定点，则它必定是一条直线.证明. 设曲线C 的弧长参数方程为()r r s =，它的Frenet 标架为{};,,r αβγ，曲率和挠率分别为,κτ. 再设定点为a (常向量). 由条件，a 和()r s 都在C 的过()r s 点的切线上，所以(())//()r s a s α-. 故可设()()()r s a s s λα=+.对上式求导，利用Frenet 公式可得()()()()()()s s s s s s αλαλκβ=+.所以()0s κ=，C 是直线. □p. 47 习题2.41. 计算习题2.3第1题中各曲线的挠率.(2) ()323()3,3,3r t t t t t t =-+；(4) ()33()cos ,sin ,cos2r t t t t =.解. (2) ()22()31,2,1r t t t t '=-+，)2|()|321r t t '=+,()()6,1,r t t t ''=-, ()22()()181,2,1r t r t t t t '''⨯=--+，()2|()()|1821r t r t t '''⨯=+，()()61,0,1r t '''=-，()216(),(),()r t r t r t ''''''=，()()222(),(),()1|()()|31r t r t r t r t r t t τ''''''=='''⨯+. 223(1)t +(4) ()1()s i n 23c o s ,3s i n ,42r t t t t '=--，5|()||sin2|2r t t '=, ()()1()cos23cos ,3sin ,4sin 23sin ,3cos ,02r t t t t t t t ''=--+, ()()21()()sin 23cos ,3sin ,43sin ,3cos ,04r t r t t t t t t '''⨯=--⨯ ()23s i n 24c o s ,4s i n ,34t t t =--， ()()()2sin23cos ,3sin ,42cos23sin ,3cos ,0r t t t t t t t '''=---+()1s i n 23c o s ,3s i n ,02t t t +-， 25|()()|sin 24r t r t t '''⨯=，()332(),(),()t r t r t r t ''''''=， ()2(),(),()|()()|25sin2r t r t r t r t r t tτ''''''=='''⨯, (2(21)t k π≠+).4. 假定()r r s =是正则弧长参数曲线，它的挠率0τ≠，曲率κ不是常数，并且222111d a ds κτκ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， (1) 其中a 为常数. 证明该曲线落在一个球面上.证明. 由条件(1)，求导得1111110d d d d ds ds ds ds κκττκκ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 因为κ不是常数，上式说明110d d ds ds τκτκ⎡⎤⎛⎫+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. (2) 设它的Frenet 标架为{};,,r αβγ. 考虑向量函数 111()()()()()()()d r s r s s s s s s ds βγκκτ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. (3) 对上式求导，利用Frenet 公式和(2)式，得111111[]()0d d d d r ds ds ds ds αβκατγγτβκττκκκ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=++-+++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 所以r c =是常向量. 代入(3)得到111()()()()()()d c r s s s s s s ds βγκκτ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭， ()2222111()d a r s c ds κτκ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 这说明()r s 在以c 为中心，以a 为半径的球面上. □ 10. 设()r t 是单位球面上经度为t ，纬度为2t π-的点的轨迹. 求它的参数方程，并计算它的曲率和挠率. 解. 单位球面的参数方程为cos cos ,cos sin ,sin x y z θϕθϕθ===，(,)[/2,/2][,]θϕππππ∈-⨯-. 其中ϕ为经度，θ为纬度. 将,2t t πϕθ==-代入，得曲线的参数方程 ()2()sin cos ,sin ,cos r t t t t t =. 于是()()cos2,sin 2,sin r t t t t '=-，|()|1r t '=+.()()2sin 2,2cos2,cos r t t t t ''=--，()()()2sin cos2cos sin 2,2sin sin 2cos cos2,2r t r t t t t t t t t t '''⨯=-+()()2s i n c o s 2(0,0,1)c o s 2,s i n 2,0s i n 2,c o s ,0t t t t t t =++-， |()()|cos r t r t '''⨯=()()4sin (0,0,1)4cos2,4sin 2,sin cos2,sin 2,0r t t t t t t t '''==-+--,()6sin (),(),()t r t r t r t ''''''=-.32cos |()()||()|1sin r t r t r t t κ'''⨯=='+ ()222(),(),()6sin |()()|cos 4(1sin )r t r t r t t r t r t t t τ''''''-=='''⨯++. p. 55 习题2.5 1，6. 设正则曲线C 的曲率κ处处不为零. 则下述命题是等价的：(a )C 是一般螺线(即C 的切向量与固定方向成定角)；(b )C 的主法线与固定平面平行；(c )C 的挠率与曲率之比:τκ是常数.证明. 设曲线C 的弧长参数方程为()r r s =，它的Frenet 标架为{};,,r αβγ，曲率和挠率分别为0,κτ≠.(a )⇒(b ). 设固定方向的单位向量为n . 则cos (,)n n αα=∠是常数. 因为0κ≠，求导得到0n β=，即主法线方向与固定方向n 垂直. 所以主法线与以n 为法向量的一个固定平面垂直.(b )⇒(c ). 设固定平面的单位法向量为n . 则0n β=. 于是()0d n n dsακβ==. 这说明cos n αθ=是常数，其中(,)n θα=∠. 因为0n β=，可设()()()()n s s s s λαμγ=+.用()s α与等式两边作内积，得()()cos s s n λαθ==是常数. 再由n 是单位向量可知222()1()sin s s μλθ=-=也是常数. 不妨设sin μθ=，则上式成为cos ()sin ()n s s θαθγ=+求导得到0[cos ()sin ()]()s s s θκθτβ=-.所以():()cot s s τκθ=是常数. (c )⇒(a ). 设():()cot s s τκθ=是常数. 令()cos ()sin ()n s s s θαθγ=+.则()[cos ()sin ()]()0n s ss s θκθτβ'=-=.所以n 是常向量，从而切方向α与固定方向n 成定角(,)n θα=∠. □ 4. 证明：曲线()(3sin ,2cos sin )r t t t t t =+-和曲线122()(2cos ,2sin ,)uu r u u =-可以通过刚体运动彼此重合.证明. 对曲线1:C 11()r r u =作参数变换2u v =，可知1C 是圆柱螺线： 1(2cos ,2sin ,2)r v v v =-. (2,2a b ==-)它的曲率和挠率分别为114κ=，114τ=-. 因此只要证明曲线:C ()r r t =的曲率14κ=，挠率14τ=-，从而根据曲线论基本定理，它们可以通过刚体运动彼此重直接计算可得()(1,2sin ,cos )r t t t t '=+-，|()|22r t '=，()(3s i n ,2co s ,si n )r t t t t ''=--， ()()(23c o s 2,n ,232c o s )r t rt t t t '''⨯=--- 2(1,2sin cos )t t t =-，|()()|42r t r t '''⨯=，14κ=. ()(,2sin ,cos )r t t t t '''=-，()8(),(),()r t r t r t ''''''=-，14τ=-. □ 注. 此类证明题，一般是由等式1()()t u κκ=确定一个函数()u u t =，然后证明1()(())t u t ττ=.p. 63 习题2.6 2. 作正则参数曲线C 关于一张平面的对称曲线C *. 证明：曲线C 和C *在对应点的曲率相同，挠率的绝对值相同而符号相反. 证明. 设曲线C 的弧长参数方程为()r r s =，它的Frenet 标架为{};,,r αβγ，曲率和挠率分别为0,κτ≠. 再设∏是过定点a ，以n 为单位法向量的平面. 由上图可见()r s OR =在n 方向的投影向量[()]PR n r s n =⋅，从而()r s 在平面∏上的投影向量()()[()]OP r s PR r s n r s n =-=-⋅.同理，a 在n 方向的投影向量()PQ n a n =⋅. 用11()r s OR =表示()r s 关于平面∏的对称点. 由于Q 是R 和1R 的中点，12PR PR PQ +=，所以111()2()[()]2()[()]()2[()]2().r s OR OP PR OP PQ PRr s n r s n n a n n r s n r s n r s n n a n ==+=+-=-⋅+⋅-⋅=-⋅+⋅()r s 1()r s na QR求导得1()()2[()]r s s n s n αα'=-⋅，2221|()|14[()]4[()]1r s n s n s αα'=-⋅+⋅=.所以s 也是C *的弧长参数. 设C *的Frenet 标架为{}1111;,,r αβγ，曲率和挠率分别为1κ和1τ. 则112()r n n ααα==-⋅.再求导，得1112()[2()]n n n n κβααακββ==-⋅=-⋅.于是11||2()n n κακββκ==-⋅=，12()n n βββ=-⋅.由此得1112()2()2[()()]2[()]2()2(),n n n n n n n n n n n n n γαβγαββαγβααβγαβγγγγ=⨯=-⋅⨯-⋅⨯=-⋅-⋅⨯=-⨯⨯⨯=-⨯⨯=-+⋅ 2111[2()][2()][2()]n n n n n n τβγββτβτβτββτ=-⋅=-+⋅-⋅=--⋅=-. 所以有1κκ=，1ττ=-. □3. 如果正则参数曲线的向径()r s 关于弧长s 的n 阶导数是()()()()()()()()n n n n r s a s s b s s c s s αβγ=++，求它的1n +阶导数.解. 由Frenet 公式可得(1)()()()().n n n n n n n n n n n n n n r a a b b c c a b b a c c b ακββκατγγτβκακτβτγ+=+++-++-=-++-++p. 69 习题2.74. 假定曲线:()C r r s =和曲线:()C r r s =的曲率处处不为零，且它们之间存在一一对应，使得曲线C 在每一点的主法线是曲线C 在对应点的次法线. 证明：曲线C 和C 在对应点之间的距离λ为常数，并且曲线C 的曲率和挠率满足关系式22()κλκτ=+.证明. 设曲线C 和C 的弧长参数方程分别为()r r s =和11()r r s =，它们之间的一一对应由函数关系()s s s =给出. 再设它们的Frenet 标架分别为{};,,r αβγ和{}1111;,,r αβγ，曲率和挠率分别为,κτ和11,κτ.由条件，可设1(())()()()r s s r s f s s β=+， (1)1(())()s s s γεβ=， (2)其中1ε=±. 对(1)式两边求导，得1()s f f ααβκατγ''=++-+. (3)再用(2)两边分别与(1)两边作内积，得0f '=，所以f 为常值函数. 这说明C 和C 在对应点之间的距离1|(())()|||r s s r s f λ-==为常数.将(3)重写为1(1)s f f ακατγ'=-+. (4)上式再求导，得22111(1)s s f f f f ακβκακκβτγτβ'''''+=-+-+-.用(2)两边分别与上式两边作内积，得22()f κκτ=+. 因为0κ>，所以0f f λ==>，即有22()κλκτ=+. □8. 证明：圆柱螺线的渐伸线是落在与其轴线垂直的平面内的一条曲线，并且它也是圆柱螺线所在圆柱面与该平面的交线的渐伸线.证明. 1.以圆柱螺线的轴线为z 轴，建立空间直角坐标系. 它的参数方程为()(cos ,sin ,)r t a t a t bt =.因为()(sin ,cos ,)r t a t a t b '=-，2|()|r t a '=从0t =开始计算的弧长为()s t . 由于单位切向量为()sin ,cos ,)t a t a t b α=-，根据定理7.3，渐伸线方程为1()()(())()(cos ,sin ,)sin ,cos ,)r t r t c s t t a t a t bt a t a t b α=+-=+-，其中c 是任意一个取定的常数. 记c =则渐伸线方程可以写成1()(cos ,sin ,)()(sin ,cos ,)r t a t a t bt c t a t a t b =+-- ()cos ()sin ,sin ()cos ,a t a c t t a t a c t t cb =--+-. (1)它是落在与其轴线(z 轴)垂直的平面z cb =内的一条曲线.2. 圆柱螺线所在圆柱面与该平面的交线是平面z cb =内的一个圆()(cos ,sin ,)r t a t a t cb =.它的弧长为()s t at =. 单位切向量为()(sin ,cos ,0)t t t α=-.所以它的一般的渐伸线方程为()1()()(())()cos ()sin ,sin ()cos ,r t r t c s t t a t c at t a t c at t cb α=+-==--+-. (2) 在(2)中取c ac =，就得到上面的渐伸线(1). □注. 在工业上，圆的渐伸线一般被用来作为齿轮的齿廓线.p.75 习题2.81. 求下列平面曲线的相对曲率r κ. (2) 双曲线：(cosh ,sinh )r a t b t =，t ∈R .(4) 摆线：((sin ),(1cos ))r a t t a t =--，[0,2]t π∈.(6) 曳物线：()cos ,ln(sec tan )sin r a t a t t a t =+-，[0,/2)t π∈.解. (2) (sinh ,cosh )r a t b t '=，(cosh ,sinh )r a t b t ''=， 2||sinh r a '=22223/2(sinh cosh )r ab a t b t κ=-+. (4) (1cos ,sin )r a t t '=-，(sin ,cos )r a t t ''=，22(1cos r a κ=-(0,2)t π∈. (6) 1sin (1,tan )sin ,cos cos r a a t t t t t ⎛⎫'==--- ⎪⎝⎭，||tan r a t '=， 2cos (1,tan )sin (0,sec )r a t t a t t ''=-+，11cot tan r a t a tκ-=-=-，(0,/2)t π∈. 2. 设平面曲线在极坐标系下的方程是()ρρθ=，其中ρ是极距，θ是极角. 求曲线的相对曲率的表达式.解. ()()()()(),()()cos ,()sin cos ,sin r x y ρθθθρθθρθθθθ===， ()()()(sin ,cos )cos ,sin r ρθρθθθθθ''=+-， 2||(r ρθ'=， ()()()2()(sin ,cos )()cos ,sin cos ,sin r ρθρθθθρθθθθθ'''''=+-- ()()2()(sin ,cos )()()cos ,sin ρθθθρθρθθθ'''=+--，22223/2()2()()()[()()]r ρθρθρθρθκρθρθ'''+-='+. 6. 已知平面曲线的相对曲率()r s κ=s 是弧长参数，求它的参数方程.解. 令0()()arcsin s r s d s θκξξ==⎰，则sin(())s s θ=，cos(())s θ=，[1,1]s ∈-.因此所求曲线的弧长参数方程为()2001(cos(()),sin(())))arcsin 2s s r d d s s θξθξξξξ===+⎰⎰. 8. 求圆222:C x y a +=的渐伸线.解. 习题2.7第8题已经求得圆(cos ,sin )r a t a t =的渐伸线方程为 ()1()()(())()cos ()sin ,sin ()cos r t r t c s t t a t c at t a t c at t α=+-==--+-. 特别，常数0c =的那一条渐伸线为()1()()()()cos sin ,sin cos r t r t s t t a t t t t t t α=-=+-.。

《微分几何》陈维桓习题及答案

§ 6.1 测地曲率1. 证明：旋转面上纬线的测地曲率是常数。

证明：设旋转面方程为{()cos ,()sin ,()}r f v u f v u g v =，22222()()(()())()f v du f v g v dv ''I =++，222(),()()E f v G f v g v ''==+纬线即u—曲线：0v v =（常数），其测地曲率为2'2'21ln 1ln 22u g E f k v v G f g∂∂=-=-∂∂+ 0'2'2000'()()()()f v f v f vg v =-+为常数。

2、证明：在球面S(cos cos ,cos sin ,sin )r a u v a u v a u =，,0222u v πππ-<<<< 上，曲线C的测地曲率可表示成()()sin(())g d s dv s k u s ds dsθ=- ，其中((),())u s v s 是球面S 上曲线C 的参数方程，s是曲线C 的弧长参数，()s θ是曲线C 与球面上经线（即u -曲线）之间的夹角。

证明易求出2E a =, 0F =,22cos G a u =,因此1ln 1ln cos sin 22g d E G k ds v u G Eθθθ∂∂=-+∂∂221ln(cos )sin 2d a u ds a uθθ∂=+∂sin sin cos d u ds a uθθ=-，而11sin sin cos dv dsa u Gθθ==，故 sin gd dv ku ds dsθ=-。

3、证明：在曲面S 的一般参数系(,)u v 下，曲线:(),()C u u s v v s ==的测地曲率是(()()()()()())g k g Bu s Av s u s v s v s u s ''''''''=-+-，其中s是曲线C 的弧长参数，2g EG F =-，并且12112111222(())2()()(())A u s u s v s v s ''''=Γ+Γ+Γ，22222111222(())2()()(())B u s u s v s v s ''''=Γ+Γ+Γ特别是，参数曲线的测地曲率分别为2311(())u g k g u s '=Γ，1322(())vg kg v s '=-Γ 。

微分几何_陈维桓_习题答案

习题答案1p.41 习题2.3 1. 求下列曲线的曲率：(2) ()323()3,3,3r t t t t t t =−+；(4) ()33()cos ,sin ,cos2r t t t t =.解. (2) ()22()31,2,1r t t t t '=−+，)2|()|321r t t '=+,()()6,1,r t t t ''=−, ()22()()181,2,1r t r t t t t '''⨯=−−+,)2|()()|181r t r t t '''⨯=+, 2213(1)t κ=+.(4) ()1()sin 23cos ,3sin ,42r t t t t '=−−，5|()||sin 2|2r t t '=,()()1()cos23cos ,3sin ,4sin 23sin ,3cos ,02r t t t t t t t ''=−−+,()()21()()sin 23cos ,3sin ,43sin ,3cos ,04r t r t t t t t t '''⨯=−−⨯()23sin 24cos ,4sin ,34t t t =−−，25|()()|sin 24r t r t t '''⨯=，225|sin 2|t κ=，(2(21)t k π≠+). 4. 求曲线222229,3x y z x z ⎧++=⎪⎨−=⎪⎩在()2,2,1处的曲率和密切平面方程. 解. 设曲线的弧长参数方程为()()(),(),()r s x s y s z s =, ()(0)2,2,1r =，0(0)r α=，00(0)r κβ=. 则(),(),()x s y s z s 满足题给的方程组，所以有2222212,26x y y z +=+=.对上式求导得22220,20,1xx yy yy zz x y z +=+=++=. (1)再求导，得22222(2),2(2),0xx yy x y yy zz y z xx yy zz +=−++=−+++=. (2)在()2,2,1处，由(1)解出2x y z =−=，13x =±. 不妨设122333,,x y z ==−=. 所以()()01,,1,2,23x y z α==−.代入(2)得2242,,22033x y y z x y z +=−+=−−+=.所以001(0)(0,1,1)3r κβ==−−，03κ=，01,1)β=−−. 于是()0001(0,1,1)1)1,2,232γαβ=⨯=⨯−−=−−.所以在()2,2,1处，曲率为03κ=，密切平面方程为4(2)(2)(1)0x y z −+−−−=，即490x y z +−−=.7. 证明：若一条正则曲线在各点的切线都经过一个固定点，则它必定是一条直线. 证明. 设曲线C 的弧长参数方程为()r r s =，它的Frenet 标架为{};,,r αβγ，曲率和挠率分别为,κτ. 再设定点为a (常向量). 由条件，a 和()r s 都在C 的过()r s 点的切线上，所以(())//()r s a s α−. 故可设()()()r s a s s λα=+.对上式求导，利用Frenet 公式可得()()()()()()s s s s s s αλαλκβ=+.所以()0s κ=，C 是直线. □ p. 47 习题2.41. 计算习题2.3第1题中各曲线的挠率.(2) ()323()3,3,3r t t t t t t =−+；(4) ()33()cos ,sin ,cos2r t t t t =.解. (2) ()22()31,2,1r t t t t '=−+，)2|()|321r t t '=+,()()6,1,r t t t ''=−, ()22()()181,2,1r t r t t t t '''⨯=−−+，)2|()()|181r t r t t '''⨯=+，()()61,0,1r t '''=−，()216(),(),()r t r t r t ''''''=，()()222(),(),()1|()()|31r t r t r t r t r t t τ''''''=='''⨯+. (4) ()1()sin 23cos ,3sin ,42r t t t t '=−−，5|()||sin 2|2r t t '=,()()1()cos23cos ,3sin ,4sin 23sin ,3cos ,02r t t t t t t t ''=−−+,()()21()()sin 23cos ,3sin ,43sin ,3cos ,04r t r t t t t t t '''⨯=−−⨯()23sin 24cos ,4sin ,34t t t =−−，()()()2sin 23cos ,3sin ,42cos23sin ,3cos ,0r t t t t t t t '''=−−−+ ()1sin 23cos ,3sin ,02t t t +−，25|()()|sin 24r t r t t '''⨯=，()332(),(),()4t r t r t r t ''''''=，()2(),(),()|()()|r t r t r t r t r t τ''''''=='''⨯, (2(21)t k π≠+). 4. 假定()r r s =是正则弧长参数曲线，它的挠率0τ≠，曲率κ不是常数，并且222111d a ds κτκ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， (1) 其中a 为常数. 证明该曲线落在一个球面上.证明. 由条件(1)，求导得1111110d d d d ds ds ds ds κκττκκ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 因为κ不是常数，上式说明110d d ds ds τκτκ⎡⎤⎛⎫+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. (2) 设它的Frenet 标架为{};,,r αβγ. 考虑向量函数111()()()()()()()d r s r s s s s s s ds βγκκτ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. (3) 对上式求导，利用Frenet 公式和(2)式，得111111[]()0d d d d r ds ds ds ds αβκατγγτβκττκκκ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=++−+++−= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.所以r c =是常向量. 代入(3)得到111()()()()()()d c r s s s s s s ds βγκκτ⎛⎫−=+ ⎪⎝⎭， ()2222111()d a r s c ds κτκ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=− ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 这说明()r s 在以c 为中心，以a 为半径的球面上. □10. 设()r t 是单位球面上经度为t ，纬度为2t π−的点的轨迹. 求它的参数方程，并计算它的曲率和挠率.解. 单位球面的参数方程为cos cos ,cos sin ,sin x y z θϕθϕθ===，(,)[/2,/2][,]θϕππππ∈−⨯−. 其中ϕ为经度，θ为纬度. 将,2t t πϕθ==−代入，得曲线的参数方程()2()sin cos ,sin ,cos r t t t t t =.于是()()cos2,sin 2,sin r t t t t '=−，|()|1r t '=+.()()2sin 2,2cos2,cos r t t t t ''=−−，()()()2sin cos2cos sin 2,2sin sin 2cos cos2,2r t r t t t t t t t t t '''⨯=−+()()2sin cos 2(0,0,1)cos2,sin 2,0sin 2,cos2,0t t t t t t =++−，|()()|cos r t r t '''⨯=.()()()4sin (0,0,1)4cos2,4sin 2,sin cos2,sin 2,0r t t t t t t t '''==−+−−,()6sin (),(),()t r t r t r t ''''''=−.所以32cos |()()||()|1sin r t r t r t t κ'''⨯=='+， ()222(),(),()6sin |()()|cos 4(1sin )r t r t r t tr t r t t t τ''''''−=='''⨯++. p. 55 习题2.51，6. 设正则曲线C 的曲率κ处处不为零. 则下述命题是等价的：(a )C 是一般螺线(即C 的切向量与固定方向成定角)； (b )C 的主法线与固定平面平行； (c )C 的挠率与曲率之比:τκ是常数.证明. 设曲线C 的弧长参数方程为()r r s =，它的Frenet 标架为{};,,r αβγ，曲率和挠率分别为0,κτ≠.(a )⇒(b ). 设固定方向的单位向量为n . 则cos (,)n n αα=∠是常数. 因为0κ≠，求导得到0n β=，即主法线方向与固定方向n 垂直. 所以主法线与以n 为法向量的一个固定平面垂直.(b )⇒(c ). 设固定平面的单位法向量为n . 则0n β=. 于是()0d n n dsακβ==. 这说明cos n αθ=是常数，其中(,)n θα=∠. 因为0n β=，可设()()()()n s s s s λαμγ=+.用()s α与等式两边作内积，得()()cos s s n λαθ==是常数. 再由n 是单位向量可知222()1()sin s s μλθ=−=也是常数. 不妨设sin μθ=，则上式成为cos ()sin ()n s s θαθγ=+求导得到0[cos ()sin ()]()s s s θκθτβ=−.所以():()cot s s τκθ=是常数.(c )⇒(a ). 设():()cot s s τκθ=是常数. 令()cos ()sin ()n s s s θαθγ=+. 则()[cos ()sin ()]()0n s ss s θκθτβ'=−=.所以n 是常向量，从而切方向α与固定方向n 成定角(,)n θα=∠. □ 4. 证明：曲线()(,2cos sin )r t t t t t =+−和曲线122()(2cos ,2sin ,)u u r u u =−可以通过刚体运动彼此重合.证明. 对曲线1:C 11()r r u =作参数变换2u v =，可知1C 是圆柱螺线：1(2cos ,2sin ,2)r v v v =−. (2,2a b ==−)它的曲率和挠率分别为114κ=，114τ=−. 因此只要证明曲线:C ()r r t =的曲率14κ=，挠率14τ=−，从而根据曲线论基本定理，它们可以通过刚体运动彼此重合. 直接计算可得()(1,2sin ,cos )r t t t t '=+−，|()|22r t '=，()(3sin ,2cos ,sin )r t t t t ''=−−， ()()(23cos 2,4sin ,2cos )r t r t t t t '''⨯=−−−−2(1,2sin cos )t t t =−+，|()()|42r t r t '''⨯=，14κ=.()(,2sin ,cos )r t t t t '''=−，()8(),(),()r t r t r t ''''''=−，14τ=−. □注. 此类证明题，一般是由等式1()()t u κκ=确定一个函数()u u t =，然后证明1()(())t u t ττ=. p. 63 习题 2.62. 作正则参数曲线C 关于一张平面的对称曲线C *. 证明：曲线C 和C *在对应点的曲率相同，挠率的绝对值相同而符号相反.证明. 设曲线C 的弧长参数方程为()r r s =，它的Frenet 标架为{};,,r αβγ，曲率和挠率分别为0,κτ≠. 再设∏是过定点a ，以n 为单位法向量的平面. 由上图可见()r s OR =在n 方向的投影向量[()]PR n r s n =⋅，从而()r s 在平面∏上的投影向量()()[()]OP r s PR r s n r s n =−=−⋅.同理，a 在n 方向的投影向量()PQ n a n =⋅. 用11()r s OR =表示()r s 关于平面∏的对称点. 由于Q 是R 和1R 的中点，12PR PR PQ +=，所以111()2()[()]2()[()]()2[()]2().r s OR OP PR OP PQ PRr s n r s n n a n n r s n r s n r s n n a n ==+=+−=−⋅+⋅−⋅=−⋅+⋅ 求导得1()()2[()]r s s n s n αα'=−⋅，2221|()|14[()]4[()]1r s n s n s αα'=−⋅+⋅=.()r s 1()r s naQ1R R所以s 也是C *的弧长参数. 设C *的Frenet 标架为{}1111;,,r αβγ，曲率和挠率分别为1κ和1τ. 则112()r n n ααα==−⋅.再求导，得1112()[2()]n n n n κβααακββ==−⋅=−⋅.于是11||2()n n κακββκ==−⋅=，12()n n βββ=−⋅.由此得1112()2()2[()()]2[()]2()2(),n n n n n n nn n n n n n γαβγαββαγβααβγαβγγγγ=⨯=−⋅⨯−⋅⨯=−⋅−⋅⨯=−⨯⨯⨯=−⨯⨯=−+⋅2111[2()][2()][2()]n n n n n n τβγββτβτβτββτ=−⋅=−+⋅−⋅=−−⋅=−. 所以有1κκ=，1ττ=−. □3. 如果正则参数曲线的向径()r s 关于弧长s 的n 阶导数是()()()()()()()()n n n n r s a s s b s s c s s αβγ=++，求它的1n +阶导数.解. 由Frenet 公式可得(1)()()()().n n n n n n n n n n n n n n r a a b b c c a b b a c c b ακββκατγγτβκακτβτγ+=+++−++−=−++−++p. 69 习题2.74. 假定曲线:()C r r s =和曲线:()C r r s =的曲率处处不为零，且它们之间存在一一对应，使得曲线C 在每一点的主法线是曲线C 在对应点的次法线. 证明：曲线C 和C 在对应点之间的距离λ为常数，并且曲线C 的曲率和挠率满足关系式22()κλκτ=+.证明. 设曲线C 和C 的弧长参数方程分别为()r r s =和11()r r s =，它们之间的一一对应由函数关系()s s s =给出. 再设它们的Frenet 标架分别为{};,,r αβγ和{}1111;,,r αβγ，曲率和挠率分别为,κτ和11,κτ.由条件，可设1(())()()()r s s r s f s s β=+， (1)1(())()s s s γεβ=， (2)其中1ε=±. 对(1)式两边求导，得1()s f f ααβκατγ''=++−+. (3) 再用(2)两边分别与(1)两边作内积，得0f '=，所以f 为常值函数. 这说明C 和C 在对应点之间的距离1|(())()|||r s s r s f λ−==为常数.将(3)重写为1(1)s f f ακατγ'=−+. (4)上式再求导，得22111(1)s s f f f f ακβκακκβτγτβ'''''+=−+−+−.用(2)两边分别与上式两边作内积，得22()f κκτ=+. 因为0κ>，所以0f f λ==>，即有22()κλκτ=+. □8. 证明：圆柱螺线的渐伸线是落在与其轴线垂直的平面内的一条曲线，并且它也是圆柱螺线所在圆柱面与该平面的交线的渐伸线.证明. 1.以圆柱螺线的轴线为z 轴，建立空间直角坐标系. 它的参数方程为()(cos ,sin ,)r t a t a t bt =. 因为()(sin ,cos ,)r t a t a t b '=−，2|()|r t a '=，从0t =开始计算的弧长为()s t =. 由于单位切向量为21()sin ,cos ,)t a t a t b a α=−，根据定理7.3，渐伸线方程为1()()(())()(cos ,sin ,)sin ,cos ,)r t r t c s t t a t a t bt a t a t b α=+−=+−，其中c 是任意一个取定的常数. 记c =. 则渐伸线方程可以写成1()(cos ,sin ,)()(sin ,cos ,)r t a t a t bt c t a t a t b =+−−()cos ()sin ,sin ()cos ,a t a c t t a t a c t t cb =−−+−. (1)它是落在与其轴线(z 轴)垂直的平面z cb =内的一条曲线.2. 圆柱螺线所在圆柱面与该平面的交线是平面z cb =内的一个圆()(cos ,sin ,)r t a t a t cb =.它的弧长为()s t at =. 单位切向量为()(sin ,cos ,0)t t t α=−.所以它的一般的渐伸线方程为()1()()(())()cos ()sin ,sin ()cos ,r t r t c s t t a t c at t a t c at t cb α=+−==−−+−. (2)在(2)中取c ac =，就得到上面的渐伸线(1). □ 注. 在工业上，圆的渐伸线一般被用来作为齿轮的齿廓线. p.75 习题2.81. 求下列平面曲线的相对曲率r κ. (2) 双曲线：(cosh ,sinh )r a t b t =，t ∈.(4) 摆线：((sin ),(1cos ))r a t t a t =−−，[0,2]t π∈.(6) 曳物线：()cos ,ln(sec tan )sin r a t a t t a t =+−，[0,/2)t π∈.解. (2) (sinh ,cosh )r a t b t '=，(cosh ,sinh )r a t b t ''=，2||sinh r a '=，22223/2(sinh cosh )r aba tb t κ=−+.(4) (1cos ,sin )r a t t '=−，(sin ,cos )r a t t ''=，r κ=(0,2)t π∈. (6) 1sin (1,tan )sin ,cos cos r a a t t t t t ⎛⎫'==−−− ⎪⎝⎭，||tan r a t '=， 2cos (1,tan )sin (0,sec )r a t t a t t ''=−+，11cot tan r a t a tκ−=−=−，(0,/2)t π∈.2. 设平面曲线在极坐标系下的方程是()ρρθ=，其中ρ是极距，θ是极角. 求曲线的相对曲率的表达式.解. ()()()()(),()()cos ,()sin cos ,sin r x y ρθθθρθθρθθθθ===，()()()(sin ,cos )cos ,sin r ρθρθθθθθ''=+−， 2||(r ρθ'=， ()()()2()(sin ,cos )()cos ,sin cos ,sin r ρθρθθθρθθθθθ'''''=+−−()()2()(sin ,cos )()()cos ,sin ρθθθρθρθθθ'''=+−−，22223/2()2()()()[()()]r ρθρθρθρθκρθρθ'''+−='+. 6. 已知平面曲线的相对曲率()r s κ=s 是弧长参数，求它的参数方程.解. 令0()()arcsin sr s d s θκξξ==⎰，则sin(())s s θ=，cos(())s θ=[1,1]s ∈−.因此所求曲线的弧长参数方程为()2001(cos(()),sin(())))arcsin 2s s r d d s s θξθξξξξ===+⎰⎰.8. 求圆222:C x y a +=的渐伸线.解. 习题2.7第8题已经求得圆(cos ,sin )r a t a t =的渐伸线方程为 ()1()()(())()cos ()sin ,sin ()cos r t r t c s t t a t c at t a t c at t α=+−==−−+−. 特别，常数0c =的那一条渐伸线为()1()()()()cos sin ,sin cos r t r t s t t a t t t t t t α=−=+−.习题答案2p. 58 习题3.12. 在球面2222{(,,)|1}S x y z x y z =++=上，命(0,0,1)N =，(0,0,1)S =−. 对于赤道平面上的任意一点(,,0)p u v =，可以作为一的一条直线经过,N p 两点，它与球面有唯一的交点，记为p '. (1) 证明：点p '的坐标是2221u x u v =++，2221vy u v =++，222211u v z u v +−=++，并且它给出了球面上去掉北极N 的剩余部分的正则参数表示； (2) 求球面上去掉南极S 的剩余部分的类似的正则参数表示； (3) 求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换； (4) 证明球面是可定向曲面.证明. (1) 设(,)r u v Op '=. 如图，,,N p p '三点共线，故有t ∈使得(1)Op tOp t ON '=+−. (1) 由于21Op ON =='，222u v Op =+，0Op ON '⋅=，0t ≠，取上式两边的模长平方，得222/(1)t u v =++. 从而22222221(,,)(,,0)(0,0,1)11u v x y z Op u v u v u v +−'==+++++ 22222222221,,111u v u v u v u v u v ⎛⎫+−= ⎪++++++⎝⎭，2(,)u v ∈. (2)由(1)可知(,,1)(0,0,1)(,,1)r Op tNp ON t u v tu tv t '==+=−+=−，又2()dt t udu vdv =−+，所以2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =−−+，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =−−+，332(1,0,)(0,1,)(0,0,1)u v r r t u u t v v t ⨯=−−+22222(,,()1)(,,1)0t tu tv t u v t tu tv t t r =−+−=−−=−≠. (3)因此(,)r r u v =给出了2\{}S N 的正则参数表示.(2)令(,,0)q u v =是,S p '两点连线与赤道平面的交点. 同理，有(1)(,,1)Op t Oq t OS t u t v t '=+−=−，222/(1)t u v =++，22222222221(,,),,111u v u vr x y z Op u v u v u v ⎛⎫−−'=== ⎪++++++⎝⎭，2(,)u v ∈. (4)2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =−+，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =−+，332(1,0,)(0,1,)(0,0,1)u v r r t u u t v v t ⨯=−−−−+22222(,,1())(,,1)0t t u t v t u v t t u t v t t r =−+=−=≠. (5)因此(4)给出了2\{}S S 的正则参数表示.(3) 由(2)和(4)式可得2222()()1u v u v ++=，从而上面两种正则参数表示在公共部分2\{,}S N S 上的参数变换公式为22u u u v =+，22vv u v =+. (6) 由(3)和(5)可知22222222222(,)(1)10(,)(1)()u v t u v u v t u v u v ∂++=−=−=−<∂+++. 所以参数变换是可允许的，并且是改变定向的参数变换.注. 如果采用复坐标，令,z u i v w u i v =+=−，则上面的参数变换可写成1/w z =. 这就是广义复平面上的共形变换.(4) 在2\{}S N 上采用(1)式给出的正则参数表示，在2\{}S S 上采用正则参数表示22222222221(,).,,111u v u v r u v u v u v u v ⎛⎫−−−= ⎪++++++⎝⎭则在公共部分的参数变换公式为22u u u v =+，22vv u v−=+. (4) 由于{}22\{},\{}S N S S 构成2S 的开覆盖，并且22222222222222222()()2222()()(,)10(,)()v u uv u v u v uv v u u v u v u v u v u v −++−−++∂==>∂+，所以2S 是可定向的. □5 写出单叶双曲面2222221x y z a b c+−=和双曲抛物面22222x y z a b =−作为直纹面的参数方程.解. (1) 对单叶双曲面，取腰椭圆()(cos ,sin ,0)a u a u b u =，(0,2)u π∈为准线. 设直母线的方向向量为()()(),(),()l u aX u bY u cZ u =. 则直纹面的参数方程为()(,)()()(cos ()),(sin ()),()r u v a u vl u a u vX u b u vY u cvZ u =+=++.由于(,)r u v 的分量满足单叶双曲面的方程，可得222(cos ())(sin ())(())1u vX u u vY u vZ u +++−=，v ∀∈.由v 得任意性得到cos ()sin ()0uX u uY u +=，222()()()X u Y u Z u +=.因此():():()sin :cos :1X u Y u Z u u u =−±. 取()()sin ,cos ,l u a u b u c =−得()(,)(cos sin ),(sin cos ),r u v a u v u b u v u cv =−+，(,)(0,2)u v π∈⨯. (2) 对双曲抛物面，令()x a u v =+，()y b u v =−，则2z uv =. 曲面的参数方程为()(,)(),(),2r u v a u v b u v uv =+−(,,0)(,,2)(,,0)(,,2)au bu v a b u av bv u a b v =+−=−+，2(,)u v ∈.p. 94 习题3.21. 证明：一个正则参数曲面S 是球面⇔它的所有法线都经过一个固定点. 证明. “⇒”设S 是球面，参数方程为(,)r u v ，球心为a ，半径为R . 则有22((,))r u v a R −=，,u v D ∀∈. (1)微分可得()0u r r a −=，()0v r r a −=. (2)所以()//u v r a r r −⨯，从而u v r a r r λ−=⨯，即有函数(,)u v λλ=使得(,)(,)[(,)][(,)]u v a r u v u v r u v r u v λ=−⨯. (3)这说明球心a 在它的所有法线上.“⇐” 设S 的所有法线都经过一个固定点a . 则有函数(,)u v λλ=使得(3)式成立，即有u v r a r r λ−=⨯. 分别用,u v r r 作内积，可得(2). 这说明2()0d r a −=，从而(1)式成立，其中0R >(否则S 只是一个点，不是正则曲面)是常数. 因此S 是以a 为球心，以R 为半径的球面，或球面的一部分. □3. 证明：一个正则参数曲面S 是旋转面⇔它的所有法线都与一条固定直线相交.证明. “⇒”设S 是旋转面，旋转轴L 为z 轴. 它的参数方程为()(,)()cos ,()sin ,()r u v f v u f v u g v =，(()0)f v >.因为()()sin ,cos ,0u r f v u u =−，()()cos ,()sin ,()v r f v u f v u g v '''=，()()()cos ,()sin ,()u v r r f v g v u g v u f v '''⨯=−，所以S 上任意一点(,)r u v 处的法线N 的参数方程为()(,)[(,)(,)]u v X t r u v t r u v r u v =+⨯.由于z 轴的参数方程为()(0,0,1)Y s s s k ==，并且()()cos ()sin ()()0()cos ()sin (),,001u v f v u f v u g v f v g v u g v u f v r r r k '''==−⨯，所以L 与N 共面. 如果L 与N 处处平行，则()//u v r r k ⨯，从而()0g v '=. 此时S 是垂直于z 轴的平面()z g v c ==. 所以当S 不是垂直于z 轴的平面时，旋转面S 的所有法线都与z 轴相交.“⇐” 通过选取坐标系，不妨设固定直线为z 轴. 设S 的参数方程为(,)((,),(,),(,))r u v x u v y u v z u v =，(,)u v D ∈.由条件，S 的所有法线都与z 轴相交，所以法线不能与z 轴平行，即00(,)(,)(,)(,),,//(,)(,)(,)u v u v y z x z x y r r u v u v u v ∂∂∂⎛⎫−⨯= ⎪∂∂∂⎝⎭(0,0,1)，00(,)u v D ∀∈. 因此00(,)(,)(,)u v y z u v ∂∂，00(,)(,)(,)u v x z u v ∂∂不能全为零. 不妨设在00(,)u v 点邻近(,)0(,)y z u v ∂≠∂.通过参数变换，曲面的参数方程可以写成(,)((,),,)r u v x u v u v =，(,)u v D ∈. (1)于是(),1,0u u r x =，(),0,1v v r x =，()1,,u v u v r r x x ⨯=−−. 因为所有法线都与z 轴相交，()0,,u v r r r k ≡⨯，即有0u xx u +=. 这说明22x u +是一个仅仅依赖于v 的函数. 设222()x u f v +=，其中()0f v >. 作参数变换()cos ,u f v v v θ==. 由上式得()sin x f v θ=，S 的参数方程(1)可以改写为(,)(()sin ,()cos ,)r vf v f v v θθθ=.这是一个旋转面，由yOz 平面上的母线()y f z =绕z 轴旋转而得. □5. 设S 是圆锥面(cos ,sin ,)r v u v u v =，:,t C u v e ==是S 上的一条曲线.(1) 将曲线C 的切向量用,u v r r 的线性组合表示出来； (2) 证明：C 的切向量平分了u r 和v r 的夹角. (1) 解. C 的参数方程为()()),),),1t t t t r e e e e ==.C 的切向量为()()cos(2),sin(2),1),02(2,)(2,).t ttttu v r e t t r t e e r t e '=+−=+(2)证明. 因为(sin ,cos ,0),(cos ,sin ,1)u v r v u v u r u u =−=，在曲线C 上每一点t 处，()(2,)),0t t u r t e e =−，()(2,)),1t v r t e =.由上可知2t e r ='. 所以222cos (,)2t u u tur r e r r r e r '⋅'∠==='(,)4u r r π'∠=； 2cos (,)22t v v t v r r e r r r e r '⋅'∠==='，(,)(,)4v u r r r r π''∠==∠. □ p. 104 习题3.3 2. 设球面的参数方程是22222222222222,,au av u v a r u v a u v a u v a ⎛⎫+−= ⎪++++++⎝⎭. 求它的第一基本形式.解. 记2222/()t u v a =++. 则(,,)(0,0,1)r at u v a =−+，2u t ut =−，2v t vt =−， (,,)(1,0,0)u u r at u v a at =−+，(,,)(0,1,0)v v r at u v a at =−+.所以()22222222222222224()2()u u u a E r a t u v a a t t u a t a t u v a ==++++==++， 222222()0u v u v u v F r r a t t u v a a t t v a t t u =⋅=++++=，()22222222222222224()2()v v v a G r a t u v a a t t v a t a t u v a ==++++==++，从而2222222224I ()()a Edu Gdv du dv u v a =+=+++. 5. 设在曲面上一点(,)u v ，由微分,du dv 的二次方程22(,)2(,)(,)0P u v du Q u v dudv R u v dv ++= (1)确定了在该点的两个切方向. 证明：这两个切方向彼此正交⇔函数,,P Q R 满足20ER FQ GP −+=，其中,,E F G 是曲面的第一基本形式.证明. 由条件，二次方程(1)有两个互异的实根:du dv 和:u v δδ，因此可以分解为两个一次因子的乘积：2211222()()Pdu Qdudv Rdv A du B dv A du B dv ++=++. (2)其中1122,,,A B A B 是关于变量(,)u v 的函数. 因为上式是关于文字,du dv 的二次多项式，比较两边的系数，得12P A A =，12212Q A B A B =+，12R B B =. (3)由(2)可知(1)所确定两个切方向为11::du dv B A =−，22::u v B A δδ=−. (4)这两个切方向彼此正交⇔()0Edu u F du v dv u Gdv v δδδδ+++= (课本(3.18)) 12121212()0EB B F B A A B GA A ⇔−++= (由(4)式)20ER FQ GP ⇔−+=. (由(3)式) □8. 已知曲面的第一基本形式为2222I ()du u a dv =++.(1) 求曲线1:0C u v +=与2:0C u v −=的交角；(2) 求曲线21:C u av =，22:C u av =−和3:1C v =所围成的曲边三角形的各个边长和各个内角.(3) 求曲线1:C u av =，2:C u av =−和3:1C v =所围成的曲边三角形的面积. 解. (1) 已知221,0,E F G u a ===+. 因为交点为(,)(0,0)u v =. 在交点处2G a =. 对于1C ，du dv =−；对于2C ，u v δδ=. 所以它们的切方向,dr r δ满足22221cos (,)1dr ra dr r a dr r du δδδ⋅−∠===±+. 于是它们的交角为221arccos 1a a −+，或221arccos 1a a −+. (2) 不妨设常数0a >. 如图，在曲纹坐标下，1C 与2C 的交点为(0,0)O ，1C 与3C 的交点为(,1)A a ，C 与C 的交点为(,1)B a −.因为是计算内角，在O 点20,0du avdv dv ==>. 同理，0,0u v =>，所以内角0O ∠=.在A 点220du avdv adv ==<，0,0u v δδ<=，所以2cos dr r A dr r du δδ⋅∠===在B 点220du avdv adv =−=−>，0,0u v δδ>=，2cos dr r B dr r du δδ⋅∠===. 所以0O ∠=，A B ∠=∠=. 曲线1C ，2C ，3C 的弧长分别为1120()()C L C a L C ===⎰⎰，3()2a C aL C du a −===⎰⎰.注. 在90版中，本题为212:a C u v =，222:a C u v =−，3:1C v =，故127 122600()(2)()aCL C a v dv a L C ===+==⎰⎰⎰，3/23/2()aC aL C du a−===⎰⎰.(3)因为dσ=，所以曲边三角形的面积110002avAOBA dσ∆−===⎰⎰⎰⎰⎰⎰(1200lnavuaa dv⎡=++⎢⎣⎰(12lna v dv⎡=++⎢⎣⎰(()(13/222213ln1ln1.a v v v a⎡⎤⎡=+−+=++⎢⎥⎣⎣⎦p. 110 习题3.41. 设空间曲线()r r s=以弧长s为参数，曲率是κ. 写出它的切线曲面的参数方程，使得相应的参数曲线构成正交曲线网.解. 设曲线()r s的Frenet标架是{};,,rαβγ. 则它的切线曲面参数方程可写为(,)()()R s t r s t sα=+.由s R tακβ=+，t Rα=可得它的第一基本形式2222I(1())2t s ds dsdt dtκ=+++. (1) 直母线(即t-曲线)0sδ=的正交轨线的微分方程为0ds dt+=，即()0d s t+=. 为此，作参数变换u s=，v s t=+. 则逆变换为s u=，t v u=−，切线曲面的参数方程为(,)()()()R u v r u v u uα=+−.在新参数下，(,)()()()()()()()()uR u v u u v u u u v u u uαακβκβ=−+−=−，(,)()vR u v uα=.第一基本形式化为2222I()()v u u du dvκ=−+.所以参数曲线构成正交曲线网. 也可将s u=，t v u=−直接代入(1)式得到上式：22222222 I[1()()]2()()()()v u u du du dv du dv du v u u du dvκκ=+−+−+−=−+. 3. 求曲线(cos sin,sin cos,)r v u k u v u k u ku=−+的参数曲线的正交轨线，其中0k>是常数.解.(sin cos,cos sin,)ur v u k u v u k u k=−−−，(cos,sin,0)vr u u=.第一基本形式为2222I(2)v k du kdudv dv=+−+.u-曲线0vδ=的正交轨线的微分方程为0Edu Fdv+=，即22(2)0v k du kdv+−=. 解这个微分方程：222kdvdu dv k===+，得到u -曲线的过00(,)u v 的正交轨线为00)v u u v =−+.v -曲线0u δ=的正交轨线的微分方程为0Fdu Gdv +=，即kdu dv =. 过00(,)u v 的正交轨线为00()v k u u v =−+.p. 110 习题3.51. 证明：在悬链面(cosh cos ,cosh sin ,)r a t a t at θθ=，(,)(0,2)t θπ∈⨯与正螺面(cos ,sin ,)r v u v u au =，(,)(0,2)u v π∈⨯之间存在保长对应.证明. 悬链面的第一基本形式为22221I [(sinh cos cosh sin )(sinh sin cosh cos )]a t dt t d t dt t d dt θθθθθθ=−+++ 2222cosh ()a t dt d θ=+.正螺面的第一基本形式为222222222I (sin cos )(cos sin )()v udu udv v udu udv a du a v du dv =−++++=++2222()a v du ⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 对正螺面作参数变换，令,sinh u v a t θ==. 则(,)cosh 0(,)u v a t t θ∂=−≠∂，参数变换是可允许的. 由于,cosh du d dv a tdt θ====，正螺面的第一基本形式化为2222222221I ()cosh ()I a v a t d dt du θ⎡⎤=+=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 根据定理5.3，在悬链面与正螺面之间存在保长对应. 对应关系式为,sinh u v a t θ==. □p. 110 习题3.51. 判断下列曲面中哪些是可展曲面？说明理由.(1) ()2234233,2,vu v r u u uv u =+++； (2) ()cos ()sin ,sin ()cos ,2r v u v v v u v v u v =−++++；(3) ()(),(),2r a u v b u v uv =+−； (4) ()cos ,sin ,sin 2r u v u v v =.解. (1) ()()234236()(),2,1,3,2v v u r a u a u u u u u u '=+=+.所以它是可展曲面，因为它是正则曲线()234(),2,a u u u u =(0u ≠)的切线面. (2) ()()()()()cos ,sin ,sin ,cos ,1r u v a v ua v v v v v v '=++=+−，其中()()cos ,sin ,a v v v v =是圆柱螺线，u u v =+. 所以它是可展曲面.(3) 令()(),,0a u au bu =，()(),,2l u a b u =−.则()()r a u v l u =+，直接计算得()2(),(),()ab a u l u l u =−''.当0ab ≠时，它是马鞍面，()0(),(),()a u l u l u ≠''，所以不是可展曲面. 当0a =或0b =时，它是平面，所以是可展曲面. 当0a =且0b =时，它不是正则曲面.(4) 令()()0,0,sin 2a v v =，()()cos ,sin ,0l v v v =. 则()()r a v ul v =+. 由于()2cos20,,v a l l =≠''，它不是可展曲面. □2. 考虑双参数直线族x uz v =+，33u y vz =+，其中,u v 是直线族的参数.(1) 求参数u 和v 之间的关系，使得由此得到的单参数直线族是一个可展曲面的直母线族；(2) 确定相应的可展曲面的类型.解. (1) 对于固定的参数,u v ，该双参数直线族中的一条直线(,)L u v 可以写成点向式：3(/3)(,):1x v y u zL u v u v −−==.设所求的函数关系为()v f u =. 则得到一个单参数直线族{}(,())u L L u f u =，它们构成的直纹面S 的方程为()()3(,),(),1(),/3,0r u t t u f u f u u =+. 于是S 是可展曲面22220()1210f u u f u f u f u c u f f '''⇔=⇔=⇔=±⇔=±+'，其中c 是任意常数. 即所求的函数关系为22u v c =±+.(2) 此时S 的参数方程为(,)()()r u t a u t l u =+，其中()()3(),(),(),1(),/3,0a u l u u f u f u u ==，2()(/2)f u u c =±+. 由于()()()0,1,l u l u f uf f '''⨯=≠−−，S 不是柱面.如果S 是锥面，则有函数()t t u =使得()()()a u t u l u c +=，其中c 为常向量. 于是()20,,a t l t l f ut t u f t t f t '''=++='''''++++，从而0t '=，0t t =是常数. 由此得00u t ±+=，矛盾.因此S 是切线曲面. 事实上，记2()(/2)f u u c ε=+，其中1ε=±. 则()2()(1,,0)(),,0a u u u ul u u u εεεε''===.取新的准线23()()(),,26u u b u a u ul u c cu u εεεε⎛⎫=−=−+−−− ⎪⎝⎭.则22()(),,,,122u u b u l u u c u c εεεεεε⎛⎫⎛⎫'==−=−−−−−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.于是S 的参数方程为()()()()()()()()r b u u t l u b u u t b u b u t b u εεε''=++=−+=+，其中(,)(,)u t u u t ε=−−是新的参数. □8. 证明：由挠率不为零的正则曲线的主法线族和次法线族分别生成的直纹面都不是可展曲面.证明. 设正则曲线C 的弧长参数方程为()a s ，曲率和挠率分别为,κτ，Frenet 标架为{};,,a αβγ.它的主法线族生成的直纹面是1:()()S r a s t s β=+. 因为()()()0(),(),()()()()(),(),()s s s s s s s a s s s ταβκατγββ==≠−+，所以1S 不是可展曲面. 同理，由()()()0(),(),()(),(),()()s a s s s s s s s τγγαγτβ==≠−可知它的次法线族生成的直纹面2:()()S r a s t s γ=+不是可展曲面. □习题答案3p. 148 习题4.11. 求下列曲面的第二基本形式：(1)√旋转椭球面：()cos cos ,cos sin ,sin r a a b ϕθϕθϕ=；(2) 旋转椭圆抛物面：()2212,,()r u v u v =+； (3) 双曲抛物面：()(),(),2r a u v a u v uv =+−；(4)√一般柱面：()(),(),r f u g u v =；(5)√劈锥曲面：()cos ,sin ,()r u v u v f v =. 解. (1) ()cos sin ,cos ,0r a θϕθθ=−，()sin cos ,sin sin ,cos r a a b ϕϕθϕθϕ=−−，()cos cos cos ,cos sin ,sin r r a b b a θϕϕϕθϕθϕ⨯=，22(,)ππϕ⇒∈−)2cos cos ,cos sin ,sin sin n b b a a ϕθϕθϕ=.又()cos cos ,sin ,0r a θθϕθθ=−，()sin sin ,cos ,0r a θϕϕθθ=−，()cos cos ,cos sin ,sin r a a b ϕϕϕθϕθϕ=−.所以2L =，0M=，N =，)222II cos d d ϕθϕ=+. (2) ()1,0,u r u =，()0,1,v r v =，(),,1u v r r u v ⨯=−−，)21,,11n u v u =−−+.()0,0,1uu r =，0uv r =，()0,0,1vv r =，)22II 1du dv u =++.(3) (),,2u r a a v =，(),,2v r a a u =−，()2,,u v r r a u v v u a ⨯=+−−. 不妨设0a >. 则)2,,2n u v v u a a =+−−+，0uu vv r r ==，()0,0,2uv r =，II 22a u v=++. (4) (),,0u r f g ''=，()0,0,1v r =，(),,0u v r r g f ''⨯=−，)21,,0n g f f ''=−'+， (),,0uu r f g ''''=，0uv vv r r ==，2II ''''''=.(5) ()cos ,sin ,0u r v v =，()sin ,cos ,v r u v u v f '=−，()sin ,cos ,u v r r f v f v u ''⨯=−，)21sin ,cos ,n f v f v u f ''=−'+，0uu r=，()sin ,cos ,0uv r v v =−，()cos ,sin ,vv r u v u v f ''=−−，)2II 2f dudv uf dv ='''−+. □ 2. 求下列曲面的第二基本形式：(3) 3xyz k =，0k ≠是常数.解. 由条件知在曲面上30xyz k =≠，并且0yzdx xzdy xydz ++=，即 1110x dx y dy z dz −−−++=. (1)因此3111(,,)(,,)yz zx xy k x y z −−−=是曲面的法向量. 不妨设0k >. 则单位法向量()2221/2111(),,n x y z x y z −−−−−−−=++.于是()()2221/22221/2111222[()]().,,,,dn d x y z x y z x y z x dx y dy z dz −−−−−−−−−−−−−−=++−++由于()111(,,),,dr x y z dx dy dz −−−=⊥，故曲面的第二基本形式为()2221/2222222II ()dr dn x y z x dx y dy z dz −−−−−−−=−⋅=++++.如果由(1)解出111()z dz x dx y dy −−−=−+，再代入上式可得222211222222II −−−−==22222222||xy x =. □3. 求曲线()r r s =的切线曲面的第二基本形式，其中s 是该曲线的弧长参数. 解. 设正则曲线()r r s =的曲率和挠率分别为,κτ，Frenet 标架为{};,,a αβγ，它的切线曲面的参数方程为(,)()()R s t r s t s α=+.则()dR ds dt t αακβ=++，s R t ακβ=+，t R α=，s t R R t κγ⨯=−，0t >.n γ=−，dn ds τβ=，2II dR dn t ds κτ=−⋅=−. □6. 证明：如果在可展曲面S 上存在两个不同的单参数直线族，则S 是平面. 证明. 设可展曲面S 的参数方程为()()r a u vl u =+. 则沿着直母线S 的单位法向量n 是常向量，即()n n u =. 所以第二类基本量中0,0u v v v M r n N r n =−⋅≡=−⋅≡. 剩下的只要证明0L ≡，从而由定理1.1，S 是平面.为此，设在S 上任一固定点00(,)u v ，异于直母线的另一族直线中过该点的直线L 的弧长参数方程为(),()u u s v v s ==，并且00(0),(0)u u v v ==. 则L 在0s =处的单位切向量是00000000(0)(,)(0)(,)(0)[()()](0)()(0)u v r r u v u r u v v a u v l u u l u v '''''''=+=++，它不能与S 在00(,)u v 的直母线的切向量0()l u 平行，故(0)0u '≠.另一方面，因为L 是直线，有0r r '''⨯=，即//r r '''. 所以00(0)(,)0r n u v ''⋅=. 于是在00(,)u v 点成立()()20u v u r n r n r u r v n u Lu ''''''''=⋅=−⋅=−+⋅=.因为(0)0u '≠，可得00(,)0L u v =. 由于点00(,)u v 是任意的，可知0L ≡. □ p. 157 习题4.21. 设悬链面的方程是()222,ln()r u v v a u u a =+++，求它的第一、第二基本形式，并求它在点(0,0)处沿切向量2u v dr r r =+的法曲率.解. 不妨设0a >. 令sinh u a t =，则cosh a t =，(sinh cosh )t u a t t ae +=+=，ln(ln t u a =+−，cosh dudt a t ==. (1) 悬链面的方程可化为()cosh cos ,cosh sin ,ln r a t v t v t a =+，于是()sinh cos ,sinh sin ,1t r a t v t v =，()cosh sin ,cos ,0v r a t v v =− ()2cosh cos ,sin ,sinh t v r r a t v v t ⨯=−−，()1cosh cos ,sin ,sinh n t v v t −=−−.()cosh cos ,cosh sin ,0tt r a t v t v =，()sinh sin ,cos ,0tv r a t v v =−，()cosh cos ,sin ,0vv r a t v v =−.2222222222I cosh cosh ()a t dt a t dv du u a dv =+=++222222II aadt adv du adv u a=−+=−++. 在点(0,0)处，切向量2u v dr r r =+中2,1du dv ==，曲面的法曲率222244II 4II ,I 4,I (4)n a a a a a a a a κ−−=−+==+==+. □ 注. 参数(,)t v 是悬链面的等温坐标，并且参数网是正交的曲率线网. 此时22cosh ,0,E G a t F M L N a =====−=−，2121cosh a t κκ=−=，241cosh K a t =−，0H =. 4. 设曲面1S 和曲面2S 的交线为C . 设p 为曲线C 上一点，假定曲面1S 和曲面2S 在点p 处沿曲线C 的切方向的法曲率分别1κ是和2κ. 如果曲面1S 和曲面2S 在点p 处的法向量的夹角是θ，求曲线C 在点p 处的曲率κ.解. 设在p 点C 的Frenet 标架为{};,,r αβγ，曲率为0κ≠，曲面12,S S 的单位法向量分别为12,n n . 因为12,,n n β均垂直于C 的切方向，所以它们共面. 不妨设绕着α由β到1n 的有向角为ϕ，到2n 的有向角为ϕθ+，02ϕϕθπ≤<+≤. 令11(,)n θβ=∠，22(,)n θβ=∠. 则11cos κκθ=，22cos κκθ=.于是1sin κθ==2sin κθ==当0θπ<<时，只有种情况：(1)[,]πϕϕθ∈+，即ϕπϕθ≤≤+. 此时1θϕ=，22()θπϕθ=−+，所以122θθπθ+=−. 则2222121212cos cos()cos cos sin sin κθκθθκθθκθθ=+=−12κκ=−(1)因此()2222221212()()cos κκκκκκκθ−−=−.化简得42224221212()cos 2cos κκκκκθκκκθ−+=−. 因此 κ=(2)[,]πϕϕθ∉+，即ϕπ>或πϕθ>+. 此时12θπϕ=−，22()θπϕθ=−+或1θϕ=，2θϕθ=+，所以12θθθ−=±. 则同理有212cos κθκκ=+， (2)κ=当0θ=(或θπ=)时，有12θθ=(或12θθπ+=)，从而12κκ=(或12κκ=−). 此时(2)式(或(1)式)成为恒等式，无法确定κ. □7. 设C 是曲面S 上的一条非直线的渐近线，其参数方程为(),()u u s v v s ==，其中s 是弧长参数. 证明：C 的挠率是βγ1n 2n ϕθβγ1n 2n ϕθ22()()()()s u s v s u s E F G L M Nτ''''−=. 证明. 设曲面S 的参数方程为(,)r r u v =，单位法向量为(,)n u v . 设C 的弧长参数方程为(),()u u s v v s ==，Frenet 标架为{};,,r αβγ，曲率为0κ≠. 由于C是S 上的渐近线，根据定理2.4，有()()s n s γε=，其中1ε=±，():((),())n s n u s v s =. 根据Frenet 公式，()()(),,,,n n r τγβγγαγγα'''=−⋅=−⋅⨯==''.利用Lagrange 恒等式，可得()2,,()()()()()()u v u v u v v u EGF r r n r r r n r r n r r r n r r τ''''''''−=⨯=⨯⋅⨯=⋅⋅−⋅⋅.将u v r r u r v '''=+，u v n n u n v '''=+代入上式，得()()()()Lu Mv Fu Gv Mu Nv Eu Fv ''''''''=−+++++22Eu Fv Fu Gv E F E G F G u u v v Lu Mv Mu Nv L M L N M N''''++''''==++''''++ 22v u v u EF G LMN''''−=. □ p. 166 习题4.31. 求抛物面2212()z ax by =+在原点处的法曲率和主曲率.解. 曲面的参数方程为()2212,,()r x y ax by =+，故 (1,0,)x r ax =，(0,1,)y r by =，(,,1)x y r r ax by ⨯=−−，211()(,,1)ax n ax by ++=−−.(0,0,)xx r a =，0xy r =，(0,0,)yy r b =所以在原点处22I(0,0,,)dx dy dx dy =+，22II(0,0,,)dx dy adx bdy =+，2222II (0,0,,)I n adx bdy dx dy dx dyκ+==+. 不妨设a b ≤. 因为在原点处222222(0,0,,)n dx dy a dx dy a b b dx dy dx dy κ≤=+≤++，且(0,0,1,0),(0,0,0,1)n n a b κκ==，所以,a b 分别是法曲率的最大、最小值，因而是抛物面在原点的主曲率. □注. 在原点0F M ==，从而根据下一节定理4.2立即可知主曲率是,a b . 4. 证明：曲面S 上任意一点p 的某个邻域内都有正交参数系(,)u v ，使得参数曲线在点p 处的切方向是曲面S 在该点的两个彼此正交的主方向.证明. 根据第三章定理4.2，在S 上任意一点p 的某个邻域内都有正交参数。

微分几何初步课后答案(陈维桓着) 北京大学出版社

| r (t ) r (t ) | 3 . 3 25 | sin t cos t | | r (t ) |
2.求曲线的密切平面方程：（1） r (t )= a cos t , a sin t , bt , a b 0.
2 2

（2） r (t )= a cos t , b sin t , e
（1） r = at , a 2 ln t , （3） r = a t sin t , a 1 cos t , bt . a 0 （4） r = cos t ,sin t , cos 2t . 解：（1） r (t ) (a,

3
3

2a a 2a 2a , 2 ), r (t ) 0, 2 , 3 , t t t t
2 2

dr r (t ) 1 (3cos 2 t sin t ,3sin 2 t cos t , 2sin 2t ). ds | r (t ) | | 5sin t cos t |
3.设曲线 c 是下面两个曲面的交线：
x2 y 2 z 2 1, x ach , a, b 0. 求 c 从点 (a, 0, 0) 到点 2 a b a
( x, y, z ) 的弧长.
t t , y bsh a a t t c 的参数方程为 r (t ) (ach , bsh , t ) a a t b t r (t ) ( sh , ch ,1) a a a
解：：令 z t ,则 x ach
z a 2 b2 t z ch dt a 2 b 2 sh s | r (t ) | dt 0 0 a a a

微分几何陈维桓习题答案

习题答案1p.41 习题2.3 1. 求下列曲线的曲率：(2) ()323()3,3,3r t t t t t t =−+；(4) ()33()cos ,sin ,cos2r t t t t =.解. (2) ()22()31,2,1r t t t t '=−+，)2|()|321r t t '=+,()()6,1,r t t t ''=−, ()22()()181,2,1r t r t t t t '''⨯=−−+,)2|()()|181r t r t t '''⨯=+, 2213(1)t κ=+.(4) ()1()sin 23cos ,3sin ,42r t t t t '=−−，5|()||sin 2|2r t t '=,()()1()cos23cos ,3sin ,4sin 23sin ,3cos ,02r t t t t t t t ''=−−+,()()21()()sin 23cos ,3sin ,43sin ,3cos ,04r t r t t t t t t '''⨯=−−⨯()23sin 24cos ,4sin ,34t t t =−−，25|()()|sin 24r t r t t '''⨯=，225|sin 2|t κ=，(2(21)t k π≠+). 4. 求曲线222229,3x y z x z ⎧++=⎪⎨−=⎪⎩在()2,2,1处的曲率和密切平面方程. 解. 设曲线的弧长参数方程为()()(),(),()r s x s y s z s =, ()(0)2,2,1r =，0(0)r α=，00(0)r κβ=. 则(),(),()x s y s z s 满足题给的方程组，所以有2222212,26x y y z +=+=.对上式求导得22220,20,1xx yy yy zz x y z +=+=++=. (1)再求导，得22222(2),2(2),0xx yy x y yy zz y z xx yy zz +=−++=−+++=. (2)在()2,2,1处，由(1)解出2x y z =−=，13x =±. 不妨设122333,,x y z ==−=. 所以()()01,,1,2,23x y z α==−.代入(2)得2242,,22033x y y z x y z +=−+=−−+=.所以001(0)(0,1,1)3r κβ==−−，03κ=，01,1)β=−−. 于是()0001(0,1,1)1)1,2,232γαβ=⨯=⨯−−=−−.所以在()2,2,1处，曲率为03κ=，密切平面方程为4(2)(2)(1)0x y z −+−−−=，即490x y z +−−=.7. 证明：若一条正则曲线在各点的切线都经过一个固定点，则它必定是一条直线. 证明. 设曲线C 的弧长参数方程为()r r s =，它的Frenet 标架为{};,,r αβγ，曲率和挠率分别为,κτ. 再设定点为a (常向量). 由条件，a 和()r s 都在C 的过()r s 点的切线上，所以(())//()r s a s α−. 故可设()()()r s a s s λα=+.对上式求导，利用Frenet 公式可得()()()()()()s s s s s s αλαλκβ=+.所以()0s κ=，C 是直线. □ p. 47 习题2.41. 计算习题2.3第1题中各曲线的挠率.(2) ()323()3,3,3r t t t t t t =−+；(4) ()33()cos ,sin ,cos2r t t t t =.解. (2) ()22()31,2,1r t t t t '=−+，)2|()|321r t t '=+,()()6,1,r t t t ''=−, ()22()()181,2,1r t r t t t t '''⨯=−−+，)2|()()|181r t r t t '''⨯=+，()()61,0,1r t '''=−，()216(),(),()r t r t r t ''''''=，()()222(),(),()1|()()|31r t r t r t r t r t t τ''''''=='''⨯+. (4) ()1()sin 23cos ,3sin ,42r t t t t '=−−，5|()||sin 2|2r t t '=,()()1()cos23cos ,3sin ,4sin 23sin ,3cos ,02r t t t t t t t ''=−−+,()()21()()sin 23cos ,3sin ,43sin ,3cos ,04r t r t t t t t t '''⨯=−−⨯()23sin 24cos ,4sin ,34t t t =−−，()()()2sin 23cos ,3sin ,42cos23sin ,3cos ,0r t t t t t t t '''=−−−+ ()1sin 23cos ,3sin ,02t t t +−，25|()()|sin 24r t r t t '''⨯=，()332(),(),()4t r t r t r t ''''''=，()2(),(),()|()()|r t r t r t r t r t τ''''''=='''⨯, (2(21)t k π≠+). 4. 假定()r r s =是正则弧长参数曲线，它的挠率0τ≠，曲率κ不是常数，并且222111d a ds κτκ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， (1) 其中a 为常数. 证明该曲线落在一个球面上.证明. 由条件(1)，求导得1111110d d d d ds ds ds ds κκττκκ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 因为κ不是常数，上式说明110d d ds ds τκτκ⎡⎤⎛⎫+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. (2) 设它的Frenet 标架为{};,,r αβγ. 考虑向量函数111()()()()()()()d r s r s s s s s s ds βγκκτ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. (3) 对上式求导，利用Frenet 公式和(2)式，得111111[]()0d d d d r ds ds ds ds αβκατγγτβκττκκκ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=++−+++−= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.所以r c =是常向量. 代入(3)得到111()()()()()()d c r s s s s s s ds βγκκτ⎛⎫−=+ ⎪⎝⎭， ()2222111()d a r s c ds κτκ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=− ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 这说明()r s 在以c 为中心，以a 为半径的球面上. □10. 设()r t 是单位球面上经度为t ，纬度为2t π−的点的轨迹. 求它的参数方程，并计算它的曲率和挠率.解. 单位球面的参数方程为cos cos ,cos sin ,sin x y z θϕθϕθ===，(,)[/2,/2][,]θϕππππ∈−⨯−. 其中ϕ为经度，θ为纬度. 将,2t t πϕθ==−代入，得曲线的参数方程()2()sin cos ,sin ,cos r t t t t t =.于是()()cos2,sin 2,sin r t t t t '=−，|()|1r t '=+.()()2sin 2,2cos2,cos r t t t t ''=−−，()()()2sin cos2cos sin 2,2sin sin 2cos cos2,2r t r t t t t t t t t t '''⨯=−+()()2sin cos 2(0,0,1)cos2,sin 2,0sin 2,cos2,0t t t t t t =++−，|()()|cos r t r t '''⨯=.()()()4sin (0,0,1)4cos2,4sin 2,sin cos2,sin 2,0r t t t t t t t '''==−+−−,()6sin (),(),()t r t r t r t ''''''=−.所以32cos |()()||()|1sin r t r t r t t κ'''⨯=='+， ()222(),(),()6sin |()()|cos 4(1sin )r t r t r t tr t r t t t τ''''''−=='''⨯++. p. 55 习题2.51，6. 设正则曲线C 的曲率κ处处不为零. 则下述命题是等价的：(a )C 是一般螺线(即C 的切向量与固定方向成定角)； (b )C 的主法线与固定平面平行； (c )C 的挠率与曲率之比:τκ是常数.证明. 设曲线C 的弧长参数方程为()r r s =，它的Frenet 标架为{};,,r αβγ，曲率和挠率分别为0,κτ≠.(a )⇒(b ). 设固定方向的单位向量为n . 则cos (,)n n αα=∠是常数. 因为0κ≠，求导得到0n β=，即主法线方向与固定方向n 垂直. 所以主法线与以n 为法向量的一个固定平面垂直.(b )⇒(c ). 设固定平面的单位法向量为n . 则0n β=. 于是()0d n n dsακβ==. 这说明cos n αθ=是常数，其中(,)n θα=∠. 因为0n β=，可设()()()()n s s s s λαμγ=+.用()s α与等式两边作内积，得()()cos s s n λαθ==是常数. 再由n 是单位向量可知222()1()sin s s μλθ=−=也是常数. 不妨设sin μθ=，则上式成为cos ()sin ()n s s θαθγ=+求导得到0[cos ()sin ()]()s s s θκθτβ=−.所以():()cot s s τκθ=是常数.(c )⇒(a ). 设():()cot s s τκθ=是常数. 令()cos ()sin ()n s s s θαθγ=+. 则()[cos ()sin ()]()0n s ss s θκθτβ'=−=.所以n 是常向量，从而切方向α与固定方向n 成定角(,)n θα=∠. □ 4. 证明：曲线()(,2cos sin )r t t t t t =+−和曲线122()(2cos ,2sin ,)u u r u u =−可以通过刚体运动彼此重合.证明. 对曲线1:C 11()r r u =作参数变换2u v =，可知1C 是圆柱螺线：1(2cos ,2sin ,2)r v v v =−. (2,2a b ==−)它的曲率和挠率分别为114κ=，114τ=−. 因此只要证明曲线:C ()r r t =的曲率14κ=，挠率14τ=−，从而根据曲线论基本定理，它们可以通过刚体运动彼此重合. 直接计算可得()(1,2sin ,cos )r t t t t '=+−，|()|22r t '=，()(3sin ,2cos ,sin )r t t t t ''=−−， ()()(23cos 2,4sin ,2cos )r t r t t t t '''⨯=−−−−2(1,2sin cos )t t t =−+，|()()|42r t r t '''⨯=，14κ=.()(,2sin ,cos )r t t t t '''=−，()8(),(),()r t r t r t ''''''=−，14τ=−. □注. 此类证明题，一般是由等式1()()t u κκ=确定一个函数()u u t =，然后证明1()(())t u t ττ=. p. 63 习题 2.62. 作正则参数曲线C 关于一张平面的对称曲线C *. 证明：曲线C 和C *在对应点的曲率相同，挠率的绝对值相同而符号相反.证明. 设曲线C 的弧长参数方程为()r r s =，它的Frenet 标架为{};,,r αβγ，曲率和挠率分别为0,κτ≠. 再设∏是过定点a ，以n 为单位法向量的平面. 由上图可见()r s OR =在n 方向的投影向量[()]PR n r s n =⋅，从而()r s 在平面∏上的投影向量()()[()]OP r s PR r s n r s n =−=−⋅.同理，a 在n 方向的投影向量()PQ n a n =⋅. 用11()r s OR =表示()r s 关于平面∏的对称点. 由于Q 是R 和1R 的中点，12PR PR PQ +=，所以111()2()[()]2()[()]()2[()]2().r s OR OP PR OP PQ PRr s n r s n n a n n r s n r s n r s n n a n ==+=+−=−⋅+⋅−⋅=−⋅+⋅ 求导得1()()2[()]r s s n s n αα'=−⋅，2221|()|14[()]4[()]1r s n s n s αα'=−⋅+⋅=.()r s 1()r s naQ1R R所以s 也是C *的弧长参数. 设C *的Frenet 标架为{}1111;,,r αβγ，曲率和挠率分别为1κ和1τ. 则112()r n n ααα==−⋅.再求导，得1112()[2()]n n n n κβααακββ==−⋅=−⋅.于是11||2()n n κακββκ==−⋅=，12()n n βββ=−⋅.由此得1112()2()2[()()]2[()]2()2(),n n n n n n nn n n n n n γαβγαββαγβααβγαβγγγγ=⨯=−⋅⨯−⋅⨯=−⋅−⋅⨯=−⨯⨯⨯=−⨯⨯=−+⋅2111[2()][2()][2()]n n n n n n τβγββτβτβτββτ=−⋅=−+⋅−⋅=−−⋅=−. 所以有1κκ=，1ττ=−. □3. 如果正则参数曲线的向径()r s 关于弧长s 的n 阶导数是()()()()()()()()n n n n r s a s s b s s c s s αβγ=++，求它的1n +阶导数.解. 由Frenet 公式可得(1)()()()().n n n n n n n n n n n n n n r a a b b c c a b b a c c b ακββκατγγτβκακτβτγ+=+++−++−=−++−++p. 69 习题2.74. 假定曲线:()C r r s =和曲线:()C r r s =的曲率处处不为零，且它们之间存在一一对应，使得曲线C 在每一点的主法线是曲线C 在对应点的次法线. 证明：曲线C 和C 在对应点之间的距离λ为常数，并且曲线C 的曲率和挠率满足关系式22()κλκτ=+.证明. 设曲线C 和C 的弧长参数方程分别为()r r s =和11()r r s =，它们之间的一一对应由函数关系()s s s =给出. 再设它们的Frenet 标架分别为{};,,r αβγ和{}1111;,,r αβγ，曲率和挠率分别为,κτ和11,κτ.由条件，可设1(())()()()r s s r s f s s β=+， (1)1(())()s s s γεβ=， (2)其中1ε=±. 对(1)式两边求导，得1()s f f ααβκατγ''=++−+. (3) 再用(2)两边分别与(1)两边作内积，得0f '=，所以f 为常值函数. 这说明C 和C 在对应点之间的距离1|(())()|||r s s r s f λ−==为常数.将(3)重写为1(1)s f f ακατγ'=−+. (4)上式再求导，得22111(1)s s f f f f ακβκακκβτγτβ'''''+=−+−+−.用(2)两边分别与上式两边作内积，得22()f κκτ=+. 因为0κ>，所以0f f λ==>，即有22()κλκτ=+. □8. 证明：圆柱螺线的渐伸线是落在与其轴线垂直的平面内的一条曲线，并且它也是圆柱螺线所在圆柱面与该平面的交线的渐伸线.证明. 1.以圆柱螺线的轴线为z 轴，建立空间直角坐标系. 它的参数方程为()(cos ,sin ,)r t a t a t bt =. 因为()(sin ,cos ,)r t a t a t b '=−，2|()|r t a '=，从0t =开始计算的弧长为()s t =. 由于单位切向量为21()sin ,cos ,)t a t a t b a α=−，根据定理7.3，渐伸线方程为1()()(())()(cos ,sin ,)sin ,cos ,)r t r t c s t t a t a t bt a t a t b α=+−=+−，其中c 是任意一个取定的常数. 记c =. 则渐伸线方程可以写成1()(cos ,sin ,)()(sin ,cos ,)r t a t a t bt c t a t a t b =+−−()cos ()sin ,sin ()cos ,a t a c t t a t a c t t cb =−−+−. (1)它是落在与其轴线(z 轴)垂直的平面z cb =内的一条曲线.2. 圆柱螺线所在圆柱面与该平面的交线是平面z cb =内的一个圆()(cos ,sin ,)r t a t a t cb =.它的弧长为()s t at =. 单位切向量为()(sin ,cos ,0)t t t α=−.所以它的一般的渐伸线方程为()1()()(())()cos ()sin ,sin ()cos ,r t r t c s t t a t c at t a t c at t cb α=+−==−−+−. (2)在(2)中取c ac =，就得到上面的渐伸线(1). □ 注. 在工业上，圆的渐伸线一般被用来作为齿轮的齿廓线. p.75 习题2.81. 求下列平面曲线的相对曲率r κ. (2) 双曲线：(cosh ,sinh )r a t b t =，t ∈.(4) 摆线：((sin ),(1cos ))r a t t a t =−−，[0,2]t π∈.(6) 曳物线：()cos ,ln(sec tan )sin r a t a t t a t =+−，[0,/2)t π∈.解. (2) (sinh ,cosh )r a t b t '=，(cosh ,sinh )r a t b t ''=，2||sinh r a '=，22223/2(sinh cosh )r aba tb t κ=−+.(4) (1cos ,sin )r a t t '=−，(sin ,cos )r a t t ''=，r κ=(0,2)t π∈. (6) 1sin (1,tan )sin ,cos cos r a a t t t t t ⎛⎫'==−−− ⎪⎝⎭，||tan r a t '=， 2cos (1,tan )sin (0,sec )r a t t a t t ''=−+，11cot tan r a t a tκ−=−=−，(0,/2)t π∈.2. 设平面曲线在极坐标系下的方程是()ρρθ=，其中ρ是极距，θ是极角. 求曲线的相对曲率的表达式.解. ()()()()(),()()cos ,()sin cos ,sin r x y ρθθθρθθρθθθθ===，()()()(sin ,cos )cos ,sin r ρθρθθθθθ''=+−， 2||(r ρθ'=， ()()()2()(sin ,cos )()cos ,sin cos ,sin r ρθρθθθρθθθθθ'''''=+−−()()2()(sin ,cos )()()cos ,sin ρθθθρθρθθθ'''=+−−，22223/2()2()()()[()()]r ρθρθρθρθκρθρθ'''+−='+. 6. 已知平面曲线的相对曲率()r s κ=s 是弧长参数，求它的参数方程.解. 令0()()arcsin sr s d s θκξξ==⎰，则sin(())s s θ=，cos(())s θ=[1,1]s ∈−.因此所求曲线的弧长参数方程为()2001(cos(()),sin(())))arcsin 2s s r d d s s θξθξξξξ===+⎰⎰.8. 求圆222:C x y a +=的渐伸线.解. 习题2.7第8题已经求得圆(cos ,sin )r a t a t =的渐伸线方程为 ()1()()(())()cos ()sin ,sin ()cos r t r t c s t t a t c at t a t c at t α=+−==−−+−. 特别，常数0c =的那一条渐伸线为()1()()()()cos sin ,sin cos r t r t s t t a t t t t t t α=−=+−.习题答案2p. 58 习题3.12. 在球面2222{(,,)|1}S x y z x y z =++=上，命(0,0,1)N =，(0,0,1)S =−. 对于赤道平面上的任意一点(,,0)p u v =，可以作为一的一条直线经过,N p 两点，它与球面有唯一的交点，记为p '. (1) 证明：点p '的坐标是2221u x u v =++，2221vy u v =++，222211u v z u v +−=++，并且它给出了球面上去掉北极N 的剩余部分的正则参数表示； (2) 求球面上去掉南极S 的剩余部分的类似的正则参数表示； (3) 求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换； (4) 证明球面是可定向曲面.证明. (1) 设(,)r u v Op '=. 如图，,,N p p '三点共线，故有t ∈使得(1)Op tOp t ON '=+−. (1) 由于21Op ON =='，222u v Op =+，0Op ON '⋅=，0t ≠，取上式两边的模长平方，得222/(1)t u v =++. 从而22222221(,,)(,,0)(0,0,1)11u v x y z Op u v u v u v +−'==+++++ 22222222221,,111u v u v u v u v u v ⎛⎫+−= ⎪++++++⎝⎭，2(,)u v ∈. (2)由(1)可知(,,1)(0,0,1)(,,1)r Op tNp ON t u v tu tv t '==+=−+=−，又2()dt t udu vdv =−+，所以2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =−−+，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =−−+，332(1,0,)(0,1,)(0,0,1)u v r r t u u t v v t ⨯=−−+22222(,,()1)(,,1)0t tu tv t u v t tu tv t t r =−+−=−−=−≠. (3)因此(,)r r u v =给出了2\{}S N 的正则参数表示.(2)令(,,0)q u v =是,S p '两点连线与赤道平面的交点. 同理，有(1)(,,1)Op t Oq t OS t u t v t '=+−=−，222/(1)t u v =++，22222222221(,,),,111u v u vr x y z Op u v u v u v ⎛⎫−−'=== ⎪++++++⎝⎭，2(,)u v ∈. (4)2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =−+，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =−+，332(1,0,)(0,1,)(0,0,1)u v r r t u u t v v t ⨯=−−−−+22222(,,1())(,,1)0t t u t v t u v t t u t v t t r =−+=−=≠. (5)因此(4)给出了2\{}S S 的正则参数表示.(3) 由(2)和(4)式可得2222()()1u v u v ++=，从而上面两种正则参数表示在公共部分2\{,}S N S 上的参数变换公式为22u u u v =+，22vv u v =+. (6) 由(3)和(5)可知22222222222(,)(1)10(,)(1)()u v t u v u v t u v u v ∂++=−=−=−<∂+++. 所以参数变换是可允许的，并且是改变定向的参数变换.注. 如果采用复坐标，令,z u i v w u i v =+=−，则上面的参数变换可写成1/w z =. 这就是广义复平面上的共形变换.(4) 在2\{}S N 上采用(1)式给出的正则参数表示，在2\{}S S 上采用正则参数表示22222222221(,).,,111u v u v r u v u v u v u v ⎛⎫−−−= ⎪++++++⎝⎭则在公共部分的参数变换公式为22u u u v =+，22vv u v−=+. (4) 由于{}22\{},\{}S N S S 构成2S 的开覆盖，并且22222222222222222()()2222()()(,)10(,)()v u uv u v u v uv v u u v u v u v u v u v −++−−++∂==>∂+，所以2S 是可定向的. □5 写出单叶双曲面2222221x y z a b c+−=和双曲抛物面22222x y z a b =−作为直纹面的参数方程.解. (1) 对单叶双曲面，取腰椭圆()(cos ,sin ,0)a u a u b u =，(0,2)u π∈为准线. 设直母线的方向向量为()()(),(),()l u aX u bY u cZ u =. 则直纹面的参数方程为()(,)()()(cos ()),(sin ()),()r u v a u vl u a u vX u b u vY u cvZ u =+=++.由于(,)r u v 的分量满足单叶双曲面的方程，可得222(cos ())(sin ())(())1u vX u u vY u vZ u +++−=，v ∀∈.由v 得任意性得到cos ()sin ()0uX u uY u +=，222()()()X u Y u Z u +=.因此():():()sin :cos :1X u Y u Z u u u =−±. 取()()sin ,cos ,l u a u b u c =−得()(,)(cos sin ),(sin cos ),r u v a u v u b u v u cv =−+，(,)(0,2)u v π∈⨯. (2) 对双曲抛物面，令()x a u v =+，()y b u v =−，则2z uv =. 曲面的参数方程为()(,)(),(),2r u v a u v b u v uv =+−(,,0)(,,2)(,,0)(,,2)au bu v a b u av bv u a b v =+−=−+，2(,)u v ∈.p. 94 习题3.21. 证明：一个正则参数曲面S 是球面⇔它的所有法线都经过一个固定点. 证明. “⇒”设S 是球面，参数方程为(,)r u v ，球心为a ，半径为R . 则有22((,))r u v a R −=，,u v D ∀∈. (1)微分可得()0u r r a −=，()0v r r a −=. (2)所以()//u v r a r r −⨯，从而u v r a r r λ−=⨯，即有函数(,)u v λλ=使得(,)(,)[(,)][(,)]u v a r u v u v r u v r u v λ=−⨯. (3)这说明球心a 在它的所有法线上.“⇐” 设S 的所有法线都经过一个固定点a . 则有函数(,)u v λλ=使得(3)式成立，即有u v r a r r λ−=⨯. 分别用,u v r r 作内积，可得(2). 这说明2()0d r a −=，从而(1)式成立，其中0R >(否则S 只是一个点，不是正则曲面)是常数. 因此S 是以a 为球心，以R 为半径的球面，或球面的一部分. □3. 证明：一个正则参数曲面S 是旋转面⇔它的所有法线都与一条固定直线相交.证明. “⇒”设S 是旋转面，旋转轴L 为z 轴. 它的参数方程为()(,)()cos ,()sin ,()r u v f v u f v u g v =，(()0)f v >.因为()()sin ,cos ,0u r f v u u =−，()()cos ,()sin ,()v r f v u f v u g v '''=，()()()cos ,()sin ,()u v r r f v g v u g v u f v '''⨯=−，所以S 上任意一点(,)r u v 处的法线N 的参数方程为()(,)[(,)(,)]u v X t r u v t r u v r u v =+⨯.由于z 轴的参数方程为()(0,0,1)Y s s s k ==，并且()()cos ()sin ()()0()cos ()sin (),,001u v f v u f v u g v f v g v u g v u f v r r r k '''==−⨯，所以L 与N 共面. 如果L 与N 处处平行，则()//u v r r k ⨯，从而()0g v '=. 此时S 是垂直于z 轴的平面()z g v c ==. 所以当S 不是垂直于z 轴的平面时，旋转面S 的所有法线都与z 轴相交.“⇐” 通过选取坐标系，不妨设固定直线为z 轴. 设S 的参数方程为(,)((,),(,),(,))r u v x u v y u v z u v =，(,)u v D ∈.由条件，S 的所有法线都与z 轴相交，所以法线不能与z 轴平行，即00(,)(,)(,)(,),,//(,)(,)(,)u v u v y z x z x y r r u v u v u v ∂∂∂⎛⎫−⨯= ⎪∂∂∂⎝⎭(0,0,1)，00(,)u v D ∀∈. 因此00(,)(,)(,)u v y z u v ∂∂，00(,)(,)(,)u v x z u v ∂∂不能全为零. 不妨设在00(,)u v 点邻近(,)0(,)y z u v ∂≠∂.通过参数变换，曲面的参数方程可以写成(,)((,),,)r u v x u v u v =，(,)u v D ∈. (1)于是(),1,0u u r x =，(),0,1v v r x =，()1,,u v u v r r x x ⨯=−−. 因为所有法线都与z 轴相交，()0,,u v r r r k ≡⨯，即有0u xx u +=. 这说明22x u +是一个仅仅依赖于v 的函数. 设222()x u f v +=，其中()0f v >. 作参数变换()cos ,u f v v v θ==. 由上式得()sin x f v θ=，S 的参数方程(1)可以改写为(,)(()sin ,()cos ,)r vf v f v v θθθ=.这是一个旋转面，由yOz 平面上的母线()y f z =绕z 轴旋转而得. □5. 设S 是圆锥面(cos ,sin ,)r v u v u v =，:,t C u v e ==是S 上的一条曲线.(1) 将曲线C 的切向量用,u v r r 的线性组合表示出来； (2) 证明：C 的切向量平分了u r 和v r 的夹角. (1) 解. C 的参数方程为()()),),),1t t t t r e e e e ==.C 的切向量为()()cos(2),sin(2),1),02(2,)(2,).t ttttu v r e t t r t e e r t e '=+−=+(2)证明. 因为(sin ,cos ,0),(cos ,sin ,1)u v r v u v u r u u =−=，在曲线C 上每一点t 处，()(2,)),0t t u r t e e =−，()(2,)),1t v r t e =.由上可知2t e r ='. 所以222cos (,)2t u u tur r e r r r e r '⋅'∠==='(,)4u r r π'∠=； 2cos (,)22t v v t v r r e r r r e r '⋅'∠==='，(,)(,)4v u r r r r π''∠==∠. □ p. 104 习题3.3 2. 设球面的参数方程是22222222222222,,au av u v a r u v a u v a u v a ⎛⎫+−= ⎪++++++⎝⎭. 求它的第一基本形式.解. 记2222/()t u v a =++. 则(,,)(0,0,1)r at u v a =−+，2u t ut =−，2v t vt =−， (,,)(1,0,0)u u r at u v a at =−+，(,,)(0,1,0)v v r at u v a at =−+.所以()22222222222222224()2()u u u a E r a t u v a a t t u a t a t u v a ==++++==++， 222222()0u v u v u v F r r a t t u v a a t t v a t t u =⋅=++++=，()22222222222222224()2()v v v a G r a t u v a a t t v a t a t u v a ==++++==++，从而2222222224I ()()a Edu Gdv du dv u v a =+=+++. 5. 设在曲面上一点(,)u v ，由微分,du dv 的二次方程22(,)2(,)(,)0P u v du Q u v dudv R u v dv ++= (1)确定了在该点的两个切方向. 证明：这两个切方向彼此正交⇔函数,,P Q R 满足20ER FQ GP −+=，其中,,E F G 是曲面的第一基本形式.证明. 由条件，二次方程(1)有两个互异的实根:du dv 和:u v δδ，因此可以分解为两个一次因子的乘积：2211222()()Pdu Qdudv Rdv A du B dv A du B dv ++=++. (2)其中1122,,,A B A B 是关于变量(,)u v 的函数. 因为上式是关于文字,du dv 的二次多项式，比较两边的系数，得12P A A =，12212Q A B A B =+，12R B B =. (3)由(2)可知(1)所确定两个切方向为11::du dv B A =−，22::u v B A δδ=−. (4)这两个切方向彼此正交⇔()0Edu u F du v dv u Gdv v δδδδ+++= (课本(3.18)) 12121212()0EB B F B A A B GA A ⇔−++= (由(4)式)20ER FQ GP ⇔−+=. (由(3)式) □8. 已知曲面的第一基本形式为2222I ()du u a dv =++.(1) 求曲线1:0C u v +=与2:0C u v −=的交角；(2) 求曲线21:C u av =，22:C u av =−和3:1C v =所围成的曲边三角形的各个边长和各个内角.(3) 求曲线1:C u av =，2:C u av =−和3:1C v =所围成的曲边三角形的面积. 解. (1) 已知221,0,E F G u a ===+. 因为交点为(,)(0,0)u v =. 在交点处2G a =. 对于1C ，du dv =−；对于2C ，u v δδ=. 所以它们的切方向,dr r δ满足22221cos (,)1dr ra dr r a dr r du δδδ⋅−∠===±+. 于是它们的交角为221arccos 1a a −+，或221arccos 1a a −+. (2) 不妨设常数0a >. 如图，在曲纹坐标下，1C 与2C 的交点为(0,0)O ，1C 与3C 的交点为(,1)A a ，C 与C 的交点为(,1)B a −.因为是计算内角，在O 点20,0du avdv dv ==>. 同理，0,0u v =>，所以内角0O ∠=.在A 点220du avdv adv ==<，0,0u v δδ<=，所以2cos dr r A dr r du δδ⋅∠===在B 点220du avdv adv =−=−>，0,0u v δδ>=，2cos dr r B dr r du δδ⋅∠===. 所以0O ∠=，A B ∠=∠=. 曲线1C ，2C ，3C 的弧长分别为1120()()C L C a L C ===⎰⎰，3()2a C aL C du a −===⎰⎰.注. 在90版中，本题为212:a C u v =，222:a C u v =−，3:1C v =，故127 122600()(2)()aCL C a v dv a L C ===+==⎰⎰⎰，3/23/2()aC aL C du a−===⎰⎰.(3)因为dσ=，所以曲边三角形的面积110002avAOBA dσ∆−===⎰⎰⎰⎰⎰⎰(1200lnavuaa dv⎡=++⎢⎣⎰(12lna v dv⎡=++⎢⎣⎰(()(13/222213ln1ln1.a v v v a⎡⎤⎡=+−+=++⎢⎥⎣⎣⎦p. 110 习题3.41. 设空间曲线()r r s=以弧长s为参数，曲率是κ. 写出它的切线曲面的参数方程，使得相应的参数曲线构成正交曲线网.解. 设曲线()r s的Frenet标架是{};,,rαβγ. 则它的切线曲面参数方程可写为(,)()()R s t r s t sα=+.由s R tακβ=+，t Rα=可得它的第一基本形式2222I(1())2t s ds dsdt dtκ=+++. (1) 直母线(即t-曲线)0sδ=的正交轨线的微分方程为0ds dt+=，即()0d s t+=. 为此，作参数变换u s=，v s t=+. 则逆变换为s u=，t v u=−，切线曲面的参数方程为(,)()()()R u v r u v u uα=+−.在新参数下，(,)()()()()()()()()uR u v u u v u u u v u u uαακβκβ=−+−=−，(,)()vR u v uα=.第一基本形式化为2222I()()v u u du dvκ=−+.所以参数曲线构成正交曲线网. 也可将s u=，t v u=−直接代入(1)式得到上式：22222222 I[1()()]2()()()()v u u du du dv du dv du v u u du dvκκ=+−+−+−=−+. 3. 求曲线(cos sin,sin cos,)r v u k u v u k u ku=−+的参数曲线的正交轨线，其中0k>是常数.解.(sin cos,cos sin,)ur v u k u v u k u k=−−−，(cos,sin,0)vr u u=.第一基本形式为2222I(2)v k du kdudv dv=+−+.u-曲线0vδ=的正交轨线的微分方程为0Edu Fdv+=，即22(2)0v k du kdv+−=. 解这个微分方程：222kdvdu dv k===+，得到u -曲线的过00(,)u v 的正交轨线为00)v u u v =−+.v -曲线0u δ=的正交轨线的微分方程为0Fdu Gdv +=，即kdu dv =. 过00(,)u v 的正交轨线为00()v k u u v =−+.p. 110 习题3.51. 证明：在悬链面(cosh cos ,cosh sin ,)r a t a t at θθ=，(,)(0,2)t θπ∈⨯与正螺面(cos ,sin ,)r v u v u au =，(,)(0,2)u v π∈⨯之间存在保长对应.证明. 悬链面的第一基本形式为22221I [(sinh cos cosh sin )(sinh sin cosh cos )]a t dt t d t dt t d dt θθθθθθ=−+++ 2222cosh ()a t dt d θ=+.正螺面的第一基本形式为222222222I (sin cos )(cos sin )()v udu udv v udu udv a du a v du dv =−++++=++2222()a v du ⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 对正螺面作参数变换，令,sinh u v a t θ==. 则(,)cosh 0(,)u v a t t θ∂=−≠∂，参数变换是可允许的. 由于,cosh du d dv a tdt θ====，正螺面的第一基本形式化为2222222221I ()cosh ()I a v a t d dt du θ⎡⎤=+=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 根据定理5.3，在悬链面与正螺面之间存在保长对应. 对应关系式为,sinh u v a t θ==. □p. 110 习题3.51. 判断下列曲面中哪些是可展曲面？说明理由.(1) ()2234233,2,vu v r u u uv u =+++； (2) ()cos ()sin ,sin ()cos ,2r v u v v v u v v u v =−++++；(3) ()(),(),2r a u v b u v uv =+−； (4) ()cos ,sin ,sin 2r u v u v v =.解. (1) ()()234236()(),2,1,3,2v v u r a u a u u u u u u '=+=+.所以它是可展曲面，因为它是正则曲线()234(),2,a u u u u =(0u ≠)的切线面. (2) ()()()()()cos ,sin ,sin ,cos ,1r u v a v ua v v v v v v '=++=+−，其中()()cos ,sin ,a v v v v =是圆柱螺线，u u v =+. 所以它是可展曲面.(3) 令()(),,0a u au bu =，()(),,2l u a b u =−.则()()r a u v l u =+，直接计算得()2(),(),()ab a u l u l u =−''.当0ab ≠时，它是马鞍面，()0(),(),()a u l u l u ≠''，所以不是可展曲面. 当0a =或0b =时，它是平面，所以是可展曲面. 当0a =且0b =时，它不是正则曲面.(4) 令()()0,0,sin 2a v v =，()()cos ,sin ,0l v v v =. 则()()r a v ul v =+. 由于()2cos20,,v a l l =≠''，它不是可展曲面. □2. 考虑双参数直线族x uz v =+，33u y vz =+，其中,u v 是直线族的参数.(1) 求参数u 和v 之间的关系，使得由此得到的单参数直线族是一个可展曲面的直母线族；(2) 确定相应的可展曲面的类型.解. (1) 对于固定的参数,u v ，该双参数直线族中的一条直线(,)L u v 可以写成点向式：3(/3)(,):1x v y u zL u v u v −−==.设所求的函数关系为()v f u =. 则得到一个单参数直线族{}(,())u L L u f u =，它们构成的直纹面S 的方程为()()3(,),(),1(),/3,0r u t t u f u f u u =+. 于是S 是可展曲面22220()1210f u u f u f u f u c u f f '''⇔=⇔=⇔=±⇔=±+'，其中c 是任意常数. 即所求的函数关系为22u v c =±+.(2) 此时S 的参数方程为(,)()()r u t a u t l u =+，其中()()3(),(),(),1(),/3,0a u l u u f u f u u ==，2()(/2)f u u c =±+. 由于()()()0,1,l u l u f uf f '''⨯=≠−−，S 不是柱面.如果S 是锥面，则有函数()t t u =使得()()()a u t u l u c +=，其中c 为常向量. 于是()20,,a t l t l f ut t u f t t f t '''=++='''''++++，从而0t '=，0t t =是常数. 由此得00u t ±+=，矛盾.因此S 是切线曲面. 事实上，记2()(/2)f u u c ε=+，其中1ε=±. 则()2()(1,,0)(),,0a u u u ul u u u εεεε''===.取新的准线23()()(),,26u u b u a u ul u c cu u εεεε⎛⎫=−=−+−−− ⎪⎝⎭.则22()(),,,,122u u b u l u u c u c εεεεεε⎛⎫⎛⎫'==−=−−−−−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.于是S 的参数方程为()()()()()()()()r b u u t l u b u u t b u b u t b u εεε''=++=−+=+，其中(,)(,)u t u u t ε=−−是新的参数. □8. 证明：由挠率不为零的正则曲线的主法线族和次法线族分别生成的直纹面都不是可展曲面.证明. 设正则曲线C 的弧长参数方程为()a s ，曲率和挠率分别为,κτ，Frenet 标架为{};,,a αβγ.它的主法线族生成的直纹面是1:()()S r a s t s β=+. 因为()()()0(),(),()()()()(),(),()s s s s s s s a s s s ταβκατγββ==≠−+，所以1S 不是可展曲面. 同理，由()()()0(),(),()(),(),()()s a s s s s s s s τγγαγτβ==≠−可知它的次法线族生成的直纹面2:()()S r a s t s γ=+不是可展曲面. □习题答案3p. 148 习题4.11. 求下列曲面的第二基本形式：(1)√旋转椭球面：()cos cos ,cos sin ,sin r a a b ϕθϕθϕ=；(2) 旋转椭圆抛物面：()2212,,()r u v u v =+； (3) 双曲抛物面：()(),(),2r a u v a u v uv =+−；(4)√一般柱面：()(),(),r f u g u v =；(5)√劈锥曲面：()cos ,sin ,()r u v u v f v =. 解. (1) ()cos sin ,cos ,0r a θϕθθ=−，()sin cos ,sin sin ,cos r a a b ϕϕθϕθϕ=−−，()cos cos cos ,cos sin ,sin r r a b b a θϕϕϕθϕθϕ⨯=，22(,)ππϕ⇒∈−)2cos cos ,cos sin ,sin sin n b b a a ϕθϕθϕ=.又()cos cos ,sin ,0r a θθϕθθ=−，()sin sin ,cos ,0r a θϕϕθθ=−，()cos cos ,cos sin ,sin r a a b ϕϕϕθϕθϕ=−.所以2L =，0M=，N =，)222II cos d d ϕθϕ=+. (2) ()1,0,u r u =，()0,1,v r v =，(),,1u v r r u v ⨯=−−，)21,,11n u v u =−−+.()0,0,1uu r =，0uv r =，()0,0,1vv r =，)22II 1du dv u =++.(3) (),,2u r a a v =，(),,2v r a a u =−，()2,,u v r r a u v v u a ⨯=+−−. 不妨设0a >. 则)2,,2n u v v u a a =+−−+，0uu vv r r ==，()0,0,2uv r =，II 22a u v=++. (4) (),,0u r f g ''=，()0,0,1v r =，(),,0u v r r g f ''⨯=−，)21,,0n g f f ''=−'+， (),,0uu r f g ''''=，0uv vv r r ==，2II ''''''=.(5) ()cos ,sin ,0u r v v =，()sin ,cos ,v r u v u v f '=−，()sin ,cos ,u v r r f v f v u ''⨯=−，)21sin ,cos ,n f v f v u f ''=−'+，0uu r=，()sin ,cos ,0uv r v v =−，()cos ,sin ,vv r u v u v f ''=−−，)2II 2f dudv uf dv ='''−+. □ 2. 求下列曲面的第二基本形式：(3) 3xyz k =，0k ≠是常数.解. 由条件知在曲面上30xyz k =≠，并且0yzdx xzdy xydz ++=，即 1110x dx y dy z dz −−−++=. (1)因此3111(,,)(,,)yz zx xy k x y z −−−=是曲面的法向量. 不妨设0k >. 则单位法向量()2221/2111(),,n x y z x y z −−−−−−−=++.于是()()2221/22221/2111222[()]().,,,,dn d x y z x y z x y z x dx y dy z dz −−−−−−−−−−−−−−=++−++由于()111(,,),,dr x y z dx dy dz −−−=⊥，故曲面的第二基本形式为()2221/2222222II ()dr dn x y z x dx y dy z dz −−−−−−−=−⋅=++++.如果由(1)解出111()z dz x dx y dy −−−=−+，再代入上式可得222211222222II −−−−==22222222||xy x =. □3. 求曲线()r r s =的切线曲面的第二基本形式，其中s 是该曲线的弧长参数. 解. 设正则曲线()r r s =的曲率和挠率分别为,κτ，Frenet 标架为{};,,a αβγ，它的切线曲面的参数方程为(,)()()R s t r s t s α=+.则()dR ds dt t αακβ=++，s R t ακβ=+，t R α=，s t R R t κγ⨯=−，0t >.n γ=−，dn ds τβ=，2II dR dn t ds κτ=−⋅=−. □6. 证明：如果在可展曲面S 上存在两个不同的单参数直线族，则S 是平面. 证明. 设可展曲面S 的参数方程为()()r a u vl u =+. 则沿着直母线S 的单位法向量n 是常向量，即()n n u =. 所以第二类基本量中0,0u v v v M r n N r n =−⋅≡=−⋅≡. 剩下的只要证明0L ≡，从而由定理1.1，S 是平面.为此，设在S 上任一固定点00(,)u v ，异于直母线的另一族直线中过该点的直线L 的弧长参数方程为(),()u u s v v s ==，并且00(0),(0)u u v v ==. 则L 在0s =处的单位切向量是00000000(0)(,)(0)(,)(0)[()()](0)()(0)u v r r u v u r u v v a u v l u u l u v '''''''=+=++，它不能与S 在00(,)u v 的直母线的切向量0()l u 平行，故(0)0u '≠.另一方面，因为L 是直线，有0r r '''⨯=，即//r r '''. 所以00(0)(,)0r n u v ''⋅=. 于是在00(,)u v 点成立()()20u v u r n r n r u r v n u Lu ''''''''=⋅=−⋅=−+⋅=.因为(0)0u '≠，可得00(,)0L u v =. 由于点00(,)u v 是任意的，可知0L ≡. □ p. 157 习题4.21. 设悬链面的方程是()222,ln()r u v v a u u a =+++，求它的第一、第二基本形式，并求它在点(0,0)处沿切向量2u v dr r r =+的法曲率.解. 不妨设0a >. 令sinh u a t =，则cosh a t =，(sinh cosh )t u a t t ae +=+=，ln(ln t u a =+−，cosh dudt a t ==. (1) 悬链面的方程可化为()cosh cos ,cosh sin ,ln r a t v t v t a =+，于是()sinh cos ,sinh sin ,1t r a t v t v =，()cosh sin ,cos ,0v r a t v v =− ()2cosh cos ,sin ,sinh t v r r a t v v t ⨯=−−，()1cosh cos ,sin ,sinh n t v v t −=−−.()cosh cos ,cosh sin ,0tt r a t v t v =，()sinh sin ,cos ,0tv r a t v v =−，()cosh cos ,sin ,0vv r a t v v =−.2222222222I cosh cosh ()a t dt a t dv du u a dv =+=++222222II aadt adv du adv u a=−+=−++. 在点(0,0)处，切向量2u v dr r r =+中2,1du dv ==，曲面的法曲率222244II 4II ,I 4,I (4)n a a a a a a a a κ−−=−+==+==+. □ 注. 参数(,)t v 是悬链面的等温坐标，并且参数网是正交的曲率线网. 此时22cosh ,0,E G a t F M L N a =====−=−，2121cosh a t κκ=−=，241cosh K a t =−，0H =. 4. 设曲面1S 和曲面2S 的交线为C . 设p 为曲线C 上一点，假定曲面1S 和曲面2S 在点p 处沿曲线C 的切方向的法曲率分别1κ是和2κ. 如果曲面1S 和曲面2S 在点p 处的法向量的夹角是θ，求曲线C 在点p 处的曲率κ.解. 设在p 点C 的Frenet 标架为{};,,r αβγ，曲率为0κ≠，曲面12,S S 的单位法向量分别为12,n n . 因为12,,n n β均垂直于C 的切方向，所以它们共面. 不妨设绕着α由β到1n 的有向角为ϕ，到2n 的有向角为ϕθ+，02ϕϕθπ≤<+≤. 令11(,)n θβ=∠，22(,)n θβ=∠. 则11cos κκθ=，22cos κκθ=.于是1sin κθ==2sin κθ==当0θπ<<时，只有种情况：(1)[,]πϕϕθ∈+，即ϕπϕθ≤≤+. 此时1θϕ=，22()θπϕθ=−+，所以122θθπθ+=−. 则2222121212cos cos()cos cos sin sin κθκθθκθθκθθ=+=−12κκ=−(1)因此()2222221212()()cos κκκκκκκθ−−=−.化简得42224221212()cos 2cos κκκκκθκκκθ−+=−. 因此 κ=(2)[,]πϕϕθ∉+，即ϕπ>或πϕθ>+. 此时12θπϕ=−，22()θπϕθ=−+或1θϕ=，2θϕθ=+，所以12θθθ−=±. 则同理有212cos κθκκ=+， (2)κ=当0θ=(或θπ=)时，有12θθ=(或12θθπ+=)，从而12κκ=(或12κκ=−). 此时(2)式(或(1)式)成为恒等式，无法确定κ. □7. 设C 是曲面S 上的一条非直线的渐近线，其参数方程为(),()u u s v v s ==，其中s 是弧长参数. 证明：C 的挠率是βγ1n 2n ϕθβγ1n 2n ϕθ22()()()()s u s v s u s E F G L M Nτ''''−=. 证明. 设曲面S 的参数方程为(,)r r u v =，单位法向量为(,)n u v . 设C 的弧长参数方程为(),()u u s v v s ==，Frenet 标架为{};,,r αβγ，曲率为0κ≠. 由于C是S 上的渐近线，根据定理2.4，有()()s n s γε=，其中1ε=±，():((),())n s n u s v s =. 根据Frenet 公式，()()(),,,,n n r τγβγγαγγα'''=−⋅=−⋅⨯==''.利用Lagrange 恒等式，可得()2,,()()()()()()u v u v u v v u EGF r r n r r r n r r n r r r n r r τ''''''''−=⨯=⨯⋅⨯=⋅⋅−⋅⋅.将u v r r u r v '''=+，u v n n u n v '''=+代入上式，得()()()()Lu Mv Fu Gv Mu Nv Eu Fv ''''''''=−+++++22Eu Fv Fu Gv E F E G F G u u v v Lu Mv Mu Nv L M L N M N''''++''''==++''''++ 22v u v u EF G LMN''''−=. □ p. 166 习题4.31. 求抛物面2212()z ax by =+在原点处的法曲率和主曲率.解. 曲面的参数方程为()2212,,()r x y ax by =+，故 (1,0,)x r ax =，(0,1,)y r by =，(,,1)x y r r ax by ⨯=−−，211()(,,1)ax n ax by ++=−−.(0,0,)xx r a =，0xy r =，(0,0,)yy r b =所以在原点处22I(0,0,,)dx dy dx dy =+，22II(0,0,,)dx dy adx bdy =+，2222II (0,0,,)I n adx bdy dx dy dx dyκ+==+. 不妨设a b ≤. 因为在原点处222222(0,0,,)n dx dy a dx dy a b b dx dy dx dy κ≤=+≤++，且(0,0,1,0),(0,0,0,1)n n a b κκ==，所以,a b 分别是法曲率的最大、最小值，因而是抛物面在原点的主曲率. □注. 在原点0F M ==，从而根据下一节定理4.2立即可知主曲率是,a b . 4. 证明：曲面S 上任意一点p 的某个邻域内都有正交参数系(,)u v ，使得参数曲线在点p 处的切方向是曲面S 在该点的两个彼此正交的主方向.证明. 根据第三章定理4.2，在S 上任意一点p 的某个邻域内都有正交参数。

微分几何陈维桓习题答案3

习题答案3p. 148 习题4.11. 求下列曲面的第二基本形式：(1)√旋转椭球面：()cos cos ,cos sin ,sin r a a b ϕθϕθϕ=；(2) 旋转椭圆抛物面：()2212,,()r u v u v =+； (3) 双曲抛物面：()(),(),2r a u v a u v uv =+-；(4)√一般柱面：()(),(),r f u g u v =；(5)√劈锥曲面：()cos ,sin ,()r u v u v f v =. 解. (1) ()cos sin ,cos ,0r a θϕθθ=-，()sin cos ,sin sin ,cos r a a b ϕϕθϕθϕ=--，()cos cos cos ,cos sin ,sin r r a b b a θϕϕϕθϕθϕ⨯=，22(,)ππϕ⇒∈-)21cos cos ,cos sin ,sin sin n b b a a ϕθϕθϕ=.又 ()cos cos ,sin ,0r a θθϕθθ=-，()sin sin ,cos ,0r a θϕϕθθ=-，()cos cos ,cos sin ,sin r a a b ϕϕϕθϕθϕ=-.所以222cos ab L b ϕ-=+，0M =，N =， )222II cos d d ϕθϕ=+. (2) ()1,0,u r u =，()0,1,v r v =，(),,1u v r r u v ⨯=--，)2,,11n u v u =--+. ()0,0,1uu r =，0uv r =，()0,0,1vv r =，)22II 1du dv u v =++.(3) (),,2u r a a v =，(),,2v r a a u =-，()2,,u v r r a u v v u a ⨯=+--. 不妨设0a >. 则)2,,22n u v v u a a v =+--++，0uu vv r r ==，()0,0,2uv r =，4II adudv-=.(4) (),,0u r f g ''=，()0,0,1v r =，(),,0u v r r g f ''⨯=-，)21,,0n g f f ''=-'+， (),,0uu r f g ''''=，0uv vv r r ==，2II =.(5) ()cos ,sin ,0u r v v =，()sin ,cos ,v r u v u v f '=-，()sin ,cos ,u v r r f v f v u ''⨯=-，)2sin ,cos ,n f v f v u f ''=-'+， 0uu r =，()sin ,cos ,0uv r v v =-，()cos ,sin ,vv r u v u v f ''=--，)222II 2f dudv uf dv f u ='''-+'+. □ 2. 求下列曲面的第二基本形式：(3) 3xyz k =，0k ≠是常数.解. 由条件知在曲面上30xyz k =≠，并且0yzdx xzdy xydz ++=，即 1110x dx y dy z dz ---++=. (1)因此3111(,,)(,,)yz zx xy k x y z ---=是曲面的法向量. 不妨设0k >. 则单位法向量()2221/2111(),,n x y z x y z -------=++.于是()()2221/22221/2111222[()]().,,,,dn d x y z x y z x y z x dx y dy z dz --------------=++-++ 由于()111(,,),,dr x y z dx dy dz ---=⊥，故曲面的第二基本形式为()2221/2222222II ()dr dn x y z x dx y dy z dz -------=-⋅=++++.如果由(1)解出111()z dz x dx y dy ---=-+，再代入上式可得222211222222II x dx x y----+==++ 22222222||xy x = □3. 求曲线()r r s =的切线曲面的第二基本形式，其中s 是该曲线的弧长参数. 解. 设正则曲线()r r s =的曲率和挠率分别为,κτ，Frenet 标架为{};,,a αβγ，它的切线曲面的参数方程为 (,)()()R s t r s t s α=+.则()dR ds dt t αακβ=++，s R t ακβ=+，t R α=，s t R R t κγ⨯=-，0t >.n γ=-，dn ds τβ=，2II dR dn t ds κτ=-⋅=-. □6. 证明：如果在可展曲面S 上存在两个不同的单参数直线族，则S 是平面.证明. 设可展曲面S 的参数方程为()()r a u vl u =+. 则沿着直母线S 的单位法向量n 是常向量，即()n n u =. 所以第二类基本量中0,0u v v v M r n N r n =-⋅≡=-⋅≡.剩下的只要证明0L ≡，从而由定理1.1，S 是平面.为此，设在S 上任一固定点00(,)u v ，异于直母线的另一族直线中过该点的直线L 的弧长参数方程为(),()u u s v v s ==，并且00(0),(0)u u v v ==. 则L 在0s =处的单位切向量是00000000(0)(,)(0)(,)(0)[()()](0)()(0)u v r r u v u r u v v a u v l u u l u v '''''''=+=++，它不能与S 在00(,)u v 的直母线的切向量0()l u 平行，故(0)0u '≠.另一方面，因为L 是直线，有0r r '''⨯=，即//r r '''. 所以00(0)(,)0r n u v ''⋅=. 于是在00(,)u v 点成立()()20u v u r n r n r u r v n u Lu ''''''''=⋅=-⋅=-+⋅=.因为(0)0u '≠，可得00(,)0L u v =. 由于点00(,)u v 是任意的，可知0L ≡. □ p. 157 习题4.21. 设悬链面的方程是()22222,ln(r u v v a u u a =+++，求它的第一、第二基本形式，并求它在点(0,0)处沿切向量2u v dr r r =+的法曲率.解. 不妨设0a >. 令sinh u a t =，则cosh a t =，(sinh cosh )tu a t t ae +=+=，ln(ln t u a =+-，cosh du dt a t ==. (1) 悬链面的方程可化为()cosh cos ,cosh sin ,ln r a t v t v t a =+，于是()sinh cos ,sinh sin ,1t r a t v t v =，()cosh sin ,cos ,0v r a t v v =-()2cosh cos ,sin ,sinh t v r r a t v v t ⨯=--，()1cosh cos ,sin ,sinh n t v v t -=--.()cosh cos ,cosh sin ,0tt r a t v t v =，()sinh sin ,cos ,0tv r a t v v =-，()cosh cos ,sin ,0vv r a t v v =-.2222222222I cosh cosh ()a t dt a t dv du u a dv =+=++222222II a adt adv du adv u a=-+=-++. 在点(0,0)处，切向量2u v dr r r =+中2,1du dv ==，曲面的法曲率222244II 4II ,I 4,I (4)n a a a a a a a a κ--=-+==+==+. □ 注. 参数(,)t v 是悬链面的等温坐标，并且参数网是正交的曲率线网. 此时22cosh ,0,E G a t F M L N a =====-=-，2121cosh a t κκ=-=，241cosh K a t=-，0H =. 4. 设曲面1S 和曲面2S 的交线为C . 设p 为曲线C 上一点，假定曲面1S 和曲面2S 在点p 处沿曲线C 的切方向的法曲率分别1κ是和2κ. 如果曲面1S 和曲面2S 在点p 处的法向量的夹角是θ，求曲线C 在点p 处的曲率κ.βγ1n 2n ϕθβγ1n 2n ϕθ解. 设在p 点C 的Frenet 标架为{};,,r αβγ，曲率为0κ≠，曲面12,S S 的单位法向量分别为12,n n . 因为12,,n n β均垂直于C 的切方向，所以它们共面. 不妨设绕着α由β到1n 的有向角为ϕ，到2n 的有向角为ϕθ+，02ϕϕθπ≤<+≤. 令11(,)n θβ=∠，22(,)n θβ=∠. 则11cos κκθ=，22cos κκθ=.于是1sin κθκ==2sin κθ==. 当0θπ<<时，只有种情况：(1)[,]πϕϕθ∈+，即ϕπϕθ≤≤+. 此时1θϕ=，22()θπϕθ=-+，所以122θθπθ+=-. 则2222121212cos cos()cos cos sin sin κθκθθκθθκθθ=+=-12κκ=-. (1) 因此()2222221212()()cos κκκκκκκθ--=-.化简得42224221212()cos 2cos κκκκκθκκκθ-+=-. 因此κ=(2)[,]πϕϕθ∉+，即ϕπ>或πϕθ>+. 此时12θπϕ=-，22()θπϕθ=-+或1θϕ=，2θϕθ=+，所以12θθθ-=±. 则同理有212cos κθκκ= (2)κ=当0θ=(或θπ=)时，有12θθ=(或12θθπ+=)，从而12κκ=(或12κκ=-). 此时(2)式(或(1)式)成为恒等式，无法确定κ. □7. 设C 是曲面S 上的一条非直线的渐近线，其参数方程为(),()u u s v v s ==，其中s 是弧长参数. 证明：C 的挠率是22()()()()s u s v s u s E F G L M Nτ''''-=. 证明. 设曲面S 的参数方程为(,)r r u v =，单位法向量为(,)n u v . 设C 的弧长参数方程为(),()u u s v v s ==，Frenet 标架为{};,,r αβγ，曲率为0κ≠. 由于C 是S 上的渐近线，根据定理2.4，有()()s n s γε=，其中1ε=±，():((),())n s n u s v s =. 根据Frenet 公式，()()(),,,,n n r τγβγγαγγα'''=-⋅=-⋅⨯==''.利用Lagrange 恒等式，可得()2,,()()()()()()u v u v u v v u EG F r r n r r r n r r n r r r n r r τ''''''''-=⨯=⨯⋅⨯=⋅⋅-⋅⋅. 将u v r r u r v '''=+，u v n n u n v '''=+代入上式，得()()()()Lu Mv Fu Gv Mu Nv Eu Fv ''''''''=-+++++ 22Eu Fv Fu Gv E F E G F G u u v v Lu Mv Mu Nv L M L N M N''''++''''==++''''++ 22v u v u EF G L M N''''-=. □ p. 166 习题4.31. 求抛物面2212()z ax by =+在原点处的法曲率和主曲率.解. 曲面的参数方程为()2212,,()r x y ax by =+，故 (1,0,)x r ax =，(0,1,)y r by =，(,,1)x y r r ax by ⨯=--，211()(,,1)ax n ax by ++=--.(0,0,)xx r a =，0xy r =，(0,0,)yy r b =所以在原点处22I(0,0,,)dx dy dx dy =+，22II(0,0,,)dx dy adx bdy =+，2222II (0,0,,)I n adx bdy dx dy dx dyκ+==+. 不妨设a b ≤. 因为在原点处222222(0,0,,)n dx dy a dx dy a b b dx dy dx dy κ≤=+≤++，且(0,0,1,0),(0,0,0,1)n n a b κκ==，所以,a b 分别是法曲率的最大、最小值，因而是抛物面在原点的主曲率. □注. 在原点0F M ==，从而根据下一节定理4.2立即可知主曲率是,a b .4. 证明：曲面S 上任意一点p 的某个邻域内都有正交参数系(,)u v ，使得参数曲线在点p 处的切方向是曲面S 在该点的两个彼此正交的主方向. 证明. 根据第三章定理4.2，在S 上任意一点p 的某个邻域内都有正交参数系. 假设这个正交参数系是(,)u v . 如果p 点是脐点，则任何方向都是主方向，从而这个正交参数系(,)u v 的参数曲线在点p 处的切方向是曲面S 在该点的两个彼此正交的主方向.设p 点不是脐点. 则在点p 处有两个单位正交的主向量12,e e . 设111222,u v u v e a r b r e a r b r =+=+.作参数变换12u a u a v =+，12v b u b v =+.由于1122(,)0(,)a b u v a b u v ∂=≠∂，上述参数变换是可允许的. 在新参数下， 11u v u u v u v u u r r r a r b r ∂∂∂∂=+=+，22uvv u v u v v v r r r a r b r ∂∂∂∂=+=+.特别在p 点，有12,u v r e r e ==，是曲面S 在p 点的两个彼此正交的单位主向量.由于1212u v F r r a a E bb G =⋅=+，参数系(,)u v 不一定是正交参数，只知道在p 点120u v F r r e e =⋅=⋅=.因此还要作一次参数变换，取u -曲线及其正交轨线作为参数曲线. 考虑1次微分式Edu Fdv +. 根据常微分方程知识，存在积分因子(,)u v λλ=使得()Edu Fdv λ+是一个全微分，即有函数(,)u u u v =使得()du Edu Fdv λ=+.现在作参数变换(,)u u u v =，v v =. 则0(,)0(,)1E u v u vF λλ∂=≠∂，参数变换是可允许的. 在新参数下，11()du E du Fdv λ--=-，dv dv =，所以211122222I ()1()() Fdv du Fdvdu Gdv du du Fdv FE du Fdv dv Gdv EF duG dv E E λλλλ---=+++=-+-+⎛⎫=+- ⎪⎝⎭这说明参数系(,)u v 是正交的. 因为在p 点，0F =，有111u v u u v u u u r r r r e E E λλ∂∂∂∂=+==，2u v v u v u v v v F r r r r r e E ∂∂∂∂=+=-+=，所以,u v r r 是曲面S 在p 点的两个彼此正交的主方向. □5. 设在曲面S 的一个固定点p 的切方向与一个主方向的夹角为θ，该切方向所对应的法曲率记为()n κθ，证明：201()2n d H πκθθπ=⎰，其中12()/2H κκ=+. 证明. 根据Euler 公式，2212()cos sin n κθκθκθ=+. 所以有2222120011()(cos sin )22n d d ππκθθκθκθθππ=+⎰⎰ 212120111[(1cos2)(1cos2)]()222d H πκθκθθκκπ=++-=+=⎰. □ p. 175 习题4.42. 求旋转面():()cos ,()sin ,()S r g s g s f s θθ=的高斯曲率K ，其中s 为平面曲线():(),0,()C r g s f s =的弧长参数.解. ()cos ,sin ,s r g g f θθ'''=，()sin ,cos ,0r g θθθ=-， (1)()cos ,sin ,s r r g f f g θθθ'''⨯=--.因为曲面S 是正则的，所以()0g s ≠，不妨设()0g s >. 因为s 是C 的弧长参数，所以221f g ''+=，0f f g g ''''''+=，r f g f g κ''''''-=-， (2)其中r κ是C 的相对曲率. 因此曲面的单位法向量为()cos ,sin ,n f f g θθ'''=--.()cos ,sin ,s n f f g θθ''''''=--，()sin ,cos ,0n f θθθ'=-. (3)由(1)，(2)和(3)可知1E =，0F =，2G g =，r L κ=，0M =，N g f '=.根据定理4.3，S 的主曲率为1r κκ=，2/f g κ'=，Gauss 曲率为()r f f f g f g K g gκ''''''''-==. □ 4. 求双曲抛物面()(),(),2r a u v b u v uv =+-的Gauss 曲率K ，平均曲率H ，主曲率12,κκ和它们所对应的主方向.解. 因为(,,2)u r a b v =， (,,2)v r a b u =-.所以2224E a b v =++，224F a b uv =-+，2224G a b u =++.又()2(),(),u v r r b u v a u v ab ⨯=+---，)2(),(),n b u v a u v ab EG =+----，其中 22222224[()()]EG F b u v a u v a b -=++-+. 因为0uu r =，(0,0,2)uv r =，0vv r =，所以 20,L N M EG F ===-.于是()22222222222222216()()LN M a b a b K EG F b u v a u v a b EG F -==-=--⎡⎤++-+-⎣⎦， 22223/2223/22222224(4)4(4)()()()MF ab a b uv ab a b uv H EG F EG F b u v a u v a b --+-+===--⎡⎤++-+⎣⎦. 因为0M <，()()2222222222()()M F LN M EG FM EG H KEG F EG F ----==--2EG F -=-，所以主曲率1223/2222222(4).2()()H ab a b uv b u v a u v a b κ=+⎡-++⎣⎦=⎡⎤++-+⎣⎦对应的主方向为1111:():()():du dv F M E L F M E κκκκ=---=--，11.F M κ-====. 所以:du dv ==同理，另一个主曲率为2223/22222222(4)(2()()ab a b uv M F EG F b u v a u v a b κ⎡-+--⎣⎦==-⎡⎤++-+⎣⎦，对应的主方向为:u v δδ== □注. 由0L N ==可知参数曲线网是渐近曲线网，而主方向是渐近方向的二等分角方向，所以主方向:du dv 和:u v δδ是参数曲线的二等分角轨线方程22Edu Gdv =的两个根.由此可得求解主曲率的另一方法：将du dv ==()()0E L du F M dv λλ-+-=，即 ()Edu Fdv Ldu Mdv λ+=+，得到对应于主方向:du dv =1Mdv Edu Fdv κ===+，以及对应于主方向:du dv =2κ=6. 在曲面:(,)S r r u v =上每一点沿法线截取长度为λ(足够小的正数)的一段，它们的端点的轨迹构成一个曲面S ，称为原曲面S 的平行曲面，其方程是(,)(,)(,)r u v r u v n u v λ=+，2(,)u v D ∈⊂.从点(,)r u v 到(,)r u v 的对应记为σ.(1) 证明：曲面S 和曲面S 在对应点的切平面互相平行；(2) 证明：对应σ把曲面S 上的曲率线映为曲面S 上的曲率线；(3) 证明：曲面S 和曲面S 在对应点的Gauss 曲率和平均曲率有下列关系：212K K H K λλ=-+，212H K H H Kλλλ-=-+. 证明. (1) 因为u u u r r n λ=+，v v v r r n λ=+， (1)所以2()u v u v u v v u u v r r r r r n r n n n λλ⨯=⨯+⨯+⨯+⨯.当0λ=时，0u v u v r r r r ⨯=⨯≠. 因此对每一点00(,)u v D ∈，存在该点的邻域U D ⊂，使得当λ足够小时，0u v r r ⨯≠，从而S 是正则曲面.由(1)可见0,0u v r n r n ⋅=⋅=，所以在对应点S 和S 的切平面互相平行.(2) 设:(),()C u u s v v s ==是S 上的任意一条曲率线. 则由Rodriques 定理，有((),())((),())((),())n u s v s u s v s r u s v s κ''=-， (2)其中((),())u s v s κ是曲面S 在((),())u s v s 点的主曲率.对应σ把S 上的曲率线C 映为曲面S 上的曲线C ，它的方程为((),())((),())((),())r u s v s r u s v s n u s v s λ=+.因此()((),())((),())((),())((),())1((),())r u s v s r u s v s n u s v s r u s v s u s v s λλκ''''=+=-. (3) 上面已经证明了沿着C ，((),())n u s v s 也是S 的单位法向量. 结合(2)和(3)可得((),())((),())((),())1((),())u s v s n u s v s r u s v s u s v s κλκ''=--. (4) 根据Rodriques 定理，C 也是S 上的曲率线.(3) 用W 和W 分别表示曲面S 和S 上的Weingarten 变换. 设12,κκ是曲面S 在任意一点00(,)r u v 的两个主曲率，对应于1κ的主方向是:du dv . 则沿着该切方向，有1()dr W dr dn κ==-.另一方面，沿着该切方向，有1(1)dr dr dn dr λλκ=+=-.所以在曲面S 上 111()1W dr dn dr dr κκλκ=-==-. 这说明:du dv 是曲面S 在点00(,)r u v 的主方向，对应的主曲率是1111κκλκ=-. 同理，曲面S 在点00(,)r u v 的另一个主曲率是 2221κκλκ=-. 于是在对应点，曲面S 的Gauss 曲率和平均曲率分别为1212212(1)(1)12K K H Kκκκκλκλκλλ===---+， 121221212(1)(1)22(1)(1)12H K H H Kκκκλκκλκλλκλκλλ+-+--===---+. □ 注. 本题的结论是局部的：对每一点00(,)u v D ∈，为了保证S 是正则曲面，只能在该点的某个邻域U D ⊂上，取λ足够小，才有这些结论. p. 184 习题4.5 3. 研究习题4.4中第5题的管状曲面上各种类型点的分布情况. 解. 管状曲面S 的参数方程为(,)()[cos ()sin ()]R s r s s s θλθβθγ=++，其中()r s 是一条弧长参数曲线，{}();(),(),()r s s s s αβγ是它的Frenet 标架，0λ>是一个常数. 设该参数曲线的曲率和挠率分别是κ和τ. 因为[cos ()sin ]s R αλθκατγτθβ=+-+-(1cos )(sin cos )λκθαλτθβθγ=-+-+，(sin cos )R θλθβθγ=-+，所以(1cos )(cos sin )s R R θλλκθθβθγ⨯=--+.取λ充分小，使得1cos 0λκθ->，从而S 是正则曲面，单位法向量为(cos sin )n θβθγ=-+.于是cos (sin cos )s n κθατθβθγ=+-，sin cos n θθβθγ=-， 2cos (1cos )L κθλκθλτ=--+，M λτ=，N λ=.由于2cos (1cos )LN M λκθλκθ-=--，并且(1cos )0λκλκθ->，所以(1) 当/2θπ=±时，0K =，这些点是抛物点. 它们构成两条正则曲线：/2()()()R s r s s πλγ=+和/2()()()R s r s s πλγ-=-.由于0N λ=≠，曲面上没有平点.(2) 当322ππθ<<时，0K >，这些点是椭圆点.(3) 当22ππθ-<<时，0K <，这些点是双曲点. □p. 190 习题4.62.(1) 证明：1cos ln cos ay z a ax=是极小曲面，其中a 是常数. 该曲面称为Scherk 曲面. (2) 证明：形如()()z f x g y =+的极小曲面必定是Scherk 曲面.(1) 证明. Scherk 曲面的参数方程为()1,,(lncos lncos )a x y ay ax r -=. 故()1,0,tan x r ax =，()0,1,tan y r ay =-，()tan ,tan ,1y x r r ax ay ⨯=-，)22tan ,tan ,11tan tan n ax ay ax ay =-++.()()22,0,0,0,sec 0,0,sec yy xx xy r r r a ay a ax ===-.因此22sec ,tan tan ,sec E ax F ax ay G ay ==-=，222sec a axL =，0M =，22sec a N -=由于20LG MF NE -+=，所以0H =，Scherk 曲面是极小曲面. □(2) 证明. 曲面的参数方程为(),,()()r x y f x g y =+. 故()(),1,0,()0,1,()y x r r f x g y ''==，()(),(),1y x r r f x g y ''⨯=--，)22(),(),11()()n f x g y f x g y ''=--''++.()(),0,0,0,()0,0,()yy xx xy r r r f x g y ''''===.因此221(),()(),1()E f x F f x g y G g y ''''=+==+，22,0()()L M f x g y ==''++，21()N f x ='++. 由0H =得到0EN GL +=，即22()()01()1()g y f x f x g y ''''+=''⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦.上式可化为22()()1()1()f xg y f x g y ''''=-''++. (1)由于上式左边是x 的函数，右边是y 的函数，故只能是常数. 设此常数为a . 当0a =时，由(1)可知1()f x Ax C =+，2()g y By C =+，其中12,,,A B C C 是常数.于是该极小曲面是平面z Ax By C =++，其中12C C C =+. (不是Scherk 曲面)下面设0a ≠. 由(1)得2(1)f a f '''=+. 令arctan f ϕ'=，即tan f ϕ'=. 则有()22sec sec tan f a ϕϕϕϕ''''===.于是()x ax c ϕ=+. 在x 轴方向作一平移，可设0c =. 从而()tan()f x ax '=，积分得1()ln cos f x ax a=-.同理，由2()1()g y a g y ''=-'⎡⎤+⎣⎦可得1()ln cos g y ay a=.于是1cos ()()ln cos ayz f x g y a ax=+=. □4. (1) 证明：正螺面()cos ,sin ,r u v u v bv =是极小曲面.(2) 证明：形如x z f y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的极小曲面必定是正螺面.(1) 证明. 因为()cos ,sin ,0u r v v =，()sin ,cos ,v r u v u v b =-，所以1E =，0F =，22G u b =+.又()sin ,cos ,u v r r b v b v u ⨯=-，)21sin ,cos ,n b v b v u u b=-+，0uu r =，()sin ,cos ,0uv r v v =-，()cos ,sin ,0vv r u v v =-，所以0L =，M =，0N =.因此0H =，正螺面是极小曲面. □(2) 证明. 曲面的参数方程为()(),,x y r x y f=. 故()11,0,x r y f -='，()20,1,y r xy f -='-，()12,,1y x r r y f xy f --⨯=''-，)124222,,11()n y fxy f y f x y ---=''-'++. ()20,0,xx r y f -=''，()230,0,xy r y f xy f --='''--，()3240,0,2yy r xy f x y f --='''+. 所以221E y f -'=+，32F xy f -'=-，2421G x y f -'=+，2y L -=，3M -=，4N -=. 由20LG MF NE -+=得到224262422(1)2()(1)(2)0y f x y f xy f y f x f xy y f y f x f -----'''''''''''+-++++=，[化简：24242222(1)2()(1)(2)0f x y f xy f y f x f xy y f y f x f ----'''''''''''+-++++=， 242242222233123[12(1)]22()0f x y f x y f x y y f xy f xy f y f -------''''''''+-++-++=，] 即有221(1)20f x y xy f --'''++=.如果0f '=，则(/)z f x y c ==. 它表示一个平面，不是正螺面. 设0f '≠. 则上式可化为12221f uv f u v --''=-'+，即222ln |()|ln(1)1d df d d ϕϕϕϕϕϕ'=-=-++，其中1xy ϕ-=. 所以2()1af ϕϕ'=+，其中a 是积分常数. 再积分一次，得()arctan z f a C ϕϕ==+.通过在z 轴方向作一平移，不妨设积分常数0C =. 于是tan x z y aϕ==. 在xy 平面上取极坐标：cos ,sin x u v y u v ==，则2z v k a ππ=-+，即 (21)2a k z av π+=-+. 再次沿z 轴方向作一平移，就得到曲面的参数方程()cos ,sin ,r u v u v bv =，其中b a =-. 它是正螺面. □6. 推导极小曲面(,)z f x y =所满足的微分方程22(1)2(1)0y xx x y xy x yy f f f f f f f +-++=.解. 曲面的参数方程为(),,(,)r x y f x y =. 故()1,0,x x r f =，()0,1,y y f r =，(),,1x y y x f f r r --⨯=，),,11x y x f f n f --=+. ()0,0,xx xx r f =，()0,0,xy xy f r =，()0,0,yy yy f r =.所以21x E f =+，x y F f f =，21y G f =+，xxf L =，xyf M =，f N =由20LG MF NE -+=得到22(1)2(1)0y xx x y xy x yy f f f f f f f +-++=. □。

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