孙训方材料力学每章小结

3)扭转与弯曲的组合变形

r 3 1 3 2 4 2 圆


形
M T W
2
2
r4
2
3
2
截 4)扭转与弯曲的组合变形 面 r3
r4
M 0.75T W
2
2
N M 2 T 2 ( ) ( ) A W W
若双向弯曲 先合成M总
5．弯曲中心是薄壁截面横弯时，横截面上剪 应力的合力作用点。因此横弯作用的薄壁 截面梁，发生平面弯曲的充要条件是： 1）横向载荷过弯曲中心； 2）平行于形心主轴。
本章小结（弯曲变形）
1．本章是在小变形和材料为线弹性的条件下研 究梁的变形，并且忽略剪力的影响，平面假 设仍然成立。 变形后梁横截面的形心沿垂直梁轴线方 向的位移称为挠度；横截面变形前后的夹角 称为转角 。梁的轴线在变形后成为一条连续 光滑的曲线，称为挠度曲线。挠度曲线与转 角的关系为 dy
3.梁进行强度计算时，主要是满足正应力的强度
条件
max
M max [ ] Wz
某些特殊情况下，还要校核是否满足剪应力 Fs ,max S * z max 的强度条件 max
I zb
4．根据强度条件表达式，提高构件弯曲强度的主 要措施是：减小最大弯矩；提高抗弯截面系数 和材料性能。
2
2
主平面 方位: 剪应力极值:
极大 1 极小 2
tan 2 0
2 xy
x y

x
y 4 xy
2 2
1 极大 极小 2
•图解法(应力圆)
应力圆上某一点的坐标值对 应着微元某一截面上的正应力和切应力.
注意:点面对应、转向对应及二倍角对应
剪应力为零的面. • 主平面：


主单元体:各侧面上只有正应力作用,而无剪应 力作用的单元体. 平面应力状态:两个主应力不等于零的应力状态. 三向应力状态:三个主应力不等于零的应力状态. 强度理论:关于材料破坏原因的假设及计算方法。
二.平面应力状态
•解析法 其基本方法为截面法，利用平衡条件 可求得任意斜截面上应力表达式： .
3．画剪力、弯矩图的方法可以分为二种：根据 剪力、弯矩方程作图和利用q、Fs、M间的微分 关系作图。无论用哪种方法，其作图步骤可以 分为四步; 1）求支座反力； 2）分段列方程或分段利用微分关系确定曲线形 状； 3）求控制截面内力，绘Fs 、M图; 4）确定 Fs max 和 M max ;
4．均布载荷不连续处，集中力（包括支座反力） 和集中力偶作用处为分段处。通常每段的两个 端截面即为控制截面。当内力图为曲线时，内 力取得极值的截面亦为控制截面。
由以上运算可以看出，梁的挠度曲线取决于两个 因素：受力（弯矩）和边界条件。
3．在小变形和弹性范围内，梁的位移与载荷为 线性关系，可以用叠加法求梁的位移：将梁 的载荷分为若干种简单载荷，分别求出各简 单载荷的位移，将它们叠加起来即为原载荷 产生的位移。
4.根据求梁挠曲线的积分计算可以看出，提高梁刚 度主要措施为：减小梁的跨度和弯矩；提高梁的抗 弯刚度
dx
2．根据小挠度微分方程:
d2y EI 2 M ( x) dx
积分一次得转角方程为：
dy EI EI M ( x)dx C dx
再积分一次得挠度方程为：
EI y M ( x)dxdx Cx D
若梁的弯矩分了n段，每段积分有两个常数，共有 2n个常数；而梁有2个边界条件；n段，(n-1)个内 点，每一内点有两个光滑连续条件，又有2(n-1) 个光滑连续条件，这样一共有2n定常数的条件。
圆轴扭转：
剪应力公式
Hale Waihona Puke Baidu
T I
变形公式
Tl GI P
强度条件
max
刚度条件
T WP
T 180 GI P
Tl GI P
其中剪切胡克定律，危险剪应力均依赖扭转 实验研究。 5.对非圆截面杆的扭转应掌握以下要点： 翘曲现象； 自由扭转与约束扭转的基本特点； 矩形截面杆扭转剪应力的分布特点。
本章小结（弯曲应力）
1.受弯构件横截面上有两种内力——弯矩和剪力。 弯矩M在横截面上产生正应力 ；剪力在横截 面上产生剪应力 。 2. 已知横截面上的内力，求横截面上的应力属于 静不定问题，必须利用变形关系、物理关系和 静力平衡关系。 弯矩产生的正应力是影响强度和刚度的主 要因素，故对弯曲正应力进行了较严格的推导。 剪力产生的剪应力对梁的强度和刚度的影响是 次要因素，故对剪应力公式没作严格推导，先 假定了剪应力的分布规律，然后用平衡关系直 接求出剪应力的计算公式。
一.基本概念
• 应力状态:是指通过“一点”不同截面上的
应力情况.它可以用围绕该点三对相互垂直 的微面构成的微正六面体来表示. • 应力分析:是根据已知应力状态求解任意指 定斜截面上应力。 • 主应力:即正应力极值，或剪应力为零的微 面上的正应力，平面一般应力状态一般有 两个非零主应力 ,另一主应力为零.
(第一强度理论) (第二强度理论) (第三强度理论) (第四强度理论) 适用于脆性材料 适用于塑性材料
本章小结（组合变形）
• 本章处理组合变形构件的强度和变形问题， 以强度问题为主。 • 按照圣维南原理和叠加原理可以将组合变形 问题分解为两种以上的基本变形问题来处理。 • 根据叠加原理，可以运用叠加法来处理组合 变形问题的条件是①线弹性材料，加载在弹 性范围内，即服从胡克定律；②小变形，保 证内力、变形等与诸外载加载次序无关。
二.解题步骤：
•列静平衡方程
•从变形几何方面列变形协调方程 •利用力与变形之间的关系，列补充方程 •联立平衡方程、补充方程，即可求未知力 •强度、刚度的计算与静定问题相同
三.超静定结构的特点:
各杆的内力按其刚度分配； 温度变化，制造不准确等都可能使杆内产生
初应力。
本章小结（应力状态和强度理论）
2
形状改变能密度
1 2 2 2 vd 1 2 2 3 3 1 6E
六.强度理论
r1 1 [ ]
r 2 1 ( 2 3 ) [ ]
r 3 1 3 [ ]
1 3 3 2 1 E
五.应变能密度
对于线弹性、小变形条件下，对各向同性 材料，应变能密度表达式为
1 1 1 v 11 2 2 3 3 vv vd 2 2 2
体积改变能密度 1 2
vv 6E
1 2 3
三.三向应力状态
有三个非零主应力: 1 2 3 最大正应力: 最大剪应力:
。
max 1
max 1 3
2
四.广义胡克定律 描述线弹性材料在弹性范围内，小变形 条件下的应力分量与应变分量的关系。对 于各向同性材料,有 1 1 1 2 3 E 1 2 2 1 3 E
N M 2 T 2 ( ) 0.75( ) A W W
•（偏心拉、压问题的）截面核心 当压力作用在此区域内时，横截面上无拉应力
ay 截面核心 az
yP y0 z P z0 1 2 0 2 iz iy
4．强度计算是材料力学研究的重要问题， 轴向拉伸和压缩时，构件的强度条件是
max
FN ( ) max σ A

它是进行强度校核、选定截面尺寸和 确定许可载荷的依据。
本章小结（扭转构件）
1.受扭物体的受力和变形特点 2.扭矩计算，扭矩图绘制 3.通过对受扭薄壁圆筒的分析引入： ·纯剪切单元体和剪应力及剪应力互等定 理 ·剪应变和剪切胡克定律它们是研究圆轴 扭转时应力和变形的理论基础，也是材料力学 4.在平面假设下，利用上述基本概念和规律得到 中重要的基本概念和基本规律。
本章小结（绪论）
1．材料力学研究的问题是构件的强度、刚度和稳 定性。 2．构成构件的材料是可变形固体。 3．对材料所作的基本假设是：均匀性假设，连续 性假设及各向同性假设。 4．材料力学研究的构件主要是杆件，且是小变形 杆件。 5．内力是指在外力作用下，物体内部各部分之间 的相互作用；显示和确定内力可用截面法；应力 是单位面积上的内力。点应力可用正应力与 剪应力表示。
max
如对矩形类截面: max 2)拉伸（压缩）与弯曲
M y ,max Wy

M z ,max Wz

FN
max FN ,max min A
2 2 M Z ,max M Y ,max
W

[ t ] [ c ]
FN
max FN M z ,max M y ,max [ t ] [ c ] min A Wz Wy
1 x y 1 x y cos 2 xy sin 2 2 2
1 x y sin s 2 xy cos 2 2
正应力极值:
极大 1 1 x y 极小 2 2

x
y 4 xy
本章小结（简单超静定结构）
一.基本概念
• 超静定结构或系统：用静力学平衡方程无法 确定全部约束力和内力的结构或结构系统。 • 静定结构或系统：其全部约束反力与内力都 可由静力平衡方程求出的结构或结构系统。 • 多余约束：多于维持平衡所必须的支座或杆 件,称为多余约束。
• 多余约束反力：与多余约束相应的支反力 或内力。
6．对于构件任一点的变形，只有线变形和角 变形两种基本变形。 7．杆件的四种基本变形形式是：拉伸（或压 缩），剪切，扭转以及弯曲。
本章小结（轴向变形构件）
1．本章主要介绍轴向拉伸和压缩时的重要概
念：内力、应力、变形和应变、变形能等。
正应力公式：
FN A
FN L 变形公式或胡克定律： L EA
本章小结（梁的内力） 1．梁在横向载荷作用下，横截面上的内力有剪
力和弯矩，分别用Fs和M表示。求剪力和弯矩 的基本方法是截面法，即用一假想的截面将梁 截为二段，考虑其中任一段的平衡。作用该段 梁上的力既有外力也有内力（ Fs 、M），利 用平衡条件即可求得截面上的剪力和弯矩。 2．内力的正负号是根据变形规定的：使梁产生 顺时针转动的剪力规定为正，反之为负；使梁 下部产生拉伸而上部产生压缩的弯矩规定为正， 反之为负。
• 超静定次数：所有未知约束反力和内力的总 数与结构所能提供的独立的静力平衡方程数 之差。也等于多余约束或多余支反力的数目。 • 基本静定系：解除超静定结构的某些约束后 得到静定结构，称为原超静定结构的基本静 定系（简称为静定基）。静定基的选择可根 据方便来选取，同一问题可以有不同的选择。 • 相当系统：用多余约束力代替多余约束的静 定系统 • 变形协调条件:相当系统在多余未知约束反力 作用处相应的位移应满足原超静定结构的约 束条件.
胡克定律是揭示在比例极限内应力和应变的 关系，它是材料力学最基本的定律之一。
2．材料的力学性能的研究是解决强度和刚 度问题的一个重要方面。对于材料力学性能的
研究一般是通过实验方法，其中拉伸试验是最
主要最基本的一种试验。 3．工程中一般材料分为塑性材料和脆性木料。 塑性材料的强度特征是屈服极限，而脆性材料 只有一个强度指标，强度极限 。
• 叠加法的主要步骤为： 1）将组合变形按基本变形的加载条件或 相应内力分量分解为几种基本变形；
2）根据各基本变形情况下的内力分布， 确定可能危险面；根据危险面上相应内力分 量画出应力分布图，由此找出可能的危险点； 根据叠加原理，得出危险点应力状态； 3）根据构件的材料选取强度理论，由危 险点的应力状态，写出构件在组合变形情况 下的强度条件，进而进行强度计算。 •典型的组合变形问题 1)斜弯曲 中性轴不再与加载轴垂直，并且挠度曲 线不再为加载面内的平面曲线. 强度条件: