第24章圆学习知识完整编辑归纳

第24章圆

第一节圆的有关性质

知识点一：圆的定义

1、圆可以看作是到定点（圆心O）的距离等于定长（半径r）的点的集合。

2、圆的特征

（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径）。

（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。

注意：（1）圆指的是圆周，即一条封闭的曲线，而不是圆面。

（2）“圆上的点”指圆周上的点，圆心不在圆周上。

知识点二：圆的相关概念

1、弦与直径：连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。

2、弧、半圆、优弧、劣弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。大于半圆的弧（用三个点表示）叫优弧；小于半圆的弧叫做劣弧．

注意：半圆是弧，但弧不一定是半圆。半圆既不是优弧，也不是劣弧。

3、等圆：能够重合的两个圆叫做等圆周。

4、等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

知识点三：圆的对称性

1、圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。

注意：（1）圆的对称轴有无数条

（2）因为直径是弦，弦是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”或说成“圆的对称轴是经过圆心的直线”。

2、圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心，不仅如此，把圆绕圆心旋转任意一个

角度，所得的图形都与原图形重合。

知识点四：垂径定理及推论（重点）

1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图，AB是⊙O的直径，CD 是⊙O的弦，AB交CD于点E，若

AB⊥CD，则CE=DE，CB=DB，AC=AD

注意：（1）这里的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线或线段，其本质是“过圆心”。

（2）垂径定理中的“弦”为直径时，结论仍成立。

B

2、垂径定理的推论：如图：CD 是非直径的弦，AB 是直径，若CE=DE ，则AB ⊥CD ，CB=DB ，AC=AD 。

注意：被平分的弦不是直径，因为直径是弦，两直径互相平分，结论就不成立，如图 直径AB 平分CD ，但AB 不垂直于CD 。

重点剖析

3、垂径定理的推论2：

圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ，∴AC =BD

知识点五：弧、弦、圆心角之间的关系（重点、难点）

1、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等， 所对的弧也相等。如图，在⊙O 中，若∠AOB=∠COD ，则AB=CD ，AB=CD.

2、推论：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。

（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。 定理和推论可概括为：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所以的其余各组量也相等。

知识点六：圆周角定理及其推论

1、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 如图：∠ACB=

21∠AOB ，∠ADB=2

1

∠AOB. 2、圆周角定理的推论：

（1）同弧或等弧所对的圆周角相等。

（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. 如图，若AB 为直径，则∠C=∠D=90°；若∠C 或∠D 为90°，则AB 是直径。 1、圆的内接四边形性质：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

D

即：在⊙O 中，

∵四边形ABCD 是内接四边形

∴180C BAD ∠+∠=︒ 180B D ∠+∠=︒ DAE C ∠=∠

第二节 点和圆、直线和圆的位置关系

知识点一：圆的确定

1、过一点作圆：只要以点A 外的任意一点

为圆心，以这一点与点A 的距离为半径作圆就可以 作出，这样的圆有无数个。

2、过两点作圆：经过两个点A ，B 作圆，只要以线段 AB 垂直平分线上任意一点为圆心，以这一点与点A 或 点B 的距离为半径作圆就可以，这样有圆也有无数个。

3、过不在同一直线上的三点作圆：过不在同一直线上的 三点A 、B 、C 作圆，圆心到这三个点的距离相等，因此， 圆心在线段AB ，BC 的垂直平分线的交点O 处，以O 为 圆心，以OA （或OB ，OC ）为半径可作出经过A 、B 、C 三点的圆，这样的圆有且只有一个。

4、要想过四点作圆，应先作出经过不在同一条直线上的三点的圆，如果第四到圆心的距离等于半径，则第四个点在圆上，否则不在圆上。

方法归纳：确定一个圆的圆心的方法，只需作出此圆任意两条弦的垂直平分线，其交点就是圆心。

知识点二：三角形的外接圆

1、三角形的外接圆：经过三角形三个项点可以作一个圆，

2、这个圆叫做三角形的外接圆。

E

D

C

B

A

3、三角形的外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边

的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心，如图：⊙O是

△ABC的外接圆，点O是△ABC的外心。

（1）三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于外接圆的半径。

（2）一个三角形有且只有一个外接圆，而一个圆却有无数个内接三角形。

（3）三角形外心的位置：锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心是斜边中点。

知识点三：反证法：

（1）假设命题的结论不成立

（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；

（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确。

知识点四：直线和圆的位置关系

1、直线与圆相离⇔d r

>⇔无交点；

2、直线与圆相切⇔d r

=⇔有一个交点；

3、直线与圆相交⇔d r

<⇔有两个交点；

d

r d=r r d

知识点五：切线的性质与判定定理

1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线；

（1）两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可

即：∵MN OA

⊥且MN过半径OA外端

∴MN是⊙O的切线

（2）切线判定方法：（1）数量关系：若圆心到直线的距离

d等于半径r，则直线是圆的切线。

（2）切线的判定定理：经过半径外端

且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

（提示：在判定切线时，往往需要添加辅助线。）

2、切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径（如上图）

推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理：

即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。N

M

O