(完整版)高中不等式试题和答案

不等式一、选择题：1．不等式(1＋x )(1－|x |)＞0的解集是 A ．{x |0≤x ＜1} B ．{x |x ＜0且x ≠－1} C ．{x |－1＜x ＜1}D ．{x |x <1且x ≠－1}2．直角三角形ABC 的斜边AB ＝2，内切圆半径为r ，则r 的最大值是 A ． 2B ．1C ．22D ．2－13．给出下列三个命题 ①若1->≥b a ，则bba a +≥+11 ②若正整数m 和n 满足n m ≤，则2)(n m n m ≤- ③设),(11y x P 为圆9:221=+y x O 上任一点，圆2O 以),(b a Q 为圆心且半径为1． 当1)()(2121=-+-y b x a 时，圆1O 与圆2O 相切 其中假命题的个数为 A ．0B ．1C ．2D ．34．不等式|2x －log 2x |＜2x ＋|log 2x |的解集为 A ．(1，2) B ．(0，1)C ．(1，+∞)D ．(2，+∞)5．如果x ，y 是实数，那么“xy ＜0”是“|x －y |＝|x |＋|y |”的 A ．充分条件但不是必要条件 B ．必要条件但不是充分条件 C ．充要条件D ．非充分条件非必要条件6．若a ＝ln22，b ＝ln33，c ＝ln55，则A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c7．已知a 、b 、c 满足c b a <<，且a c <0，那么下列选项中不一定成立的是 A ．a b a c > B ．c b a ()-<0C ．c b a b 22< D ．0)(<-c a ac 8．设10<<a ，函数)22(log )(2--=xx a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，log a 3)D ．(log a 3，＋∞)9．某工厂第一年年产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则A ．x ＝2ba + B ．x ≤2b a + C ．x ＞2b a + D ．x ≥2ba + 10．设方程2x ＋x ＋2＝0和方程log 2x ＋x ＋2＝0的根分别为p 和q ，函数f (x )＝(x ＋p )(x ＋q )+2，则A ．f (2)＝f (0)<f (3)B ．f (0)<f (2)<f (3)C ．f (3)<f (0)＝f (2)D ．f (0)<f (3)<f (2)二、填空题：11．对于－1<a <1，使不等式(12)2x ax +<(12)2x +a －1成立的x 的取值范围是_______ ．12．若正整数m 满足m m 102105121<<-，则m ＝ ．(lg2≈0．3010)13．已知{1,0,()1,0,x f x x ≥=-<则不等式)2()2(+⋅++x f x x ≤5的解集是 ．14．已知a ＞0，b ＞0，且2212b a +=，则的最大值是 ．15．对于10<<a ，给出下列四个不等式 ①)11(log )1(log aa a a +<+ ②)11(log )1(log aa a a +>+ ③aaa a 111++<④aaaa111++>其中成立的是 ．三、解答题：16．(本题满分l2分)设函数f (x )|1||1|2--+=x x ，求使f (x )≥22的x 取值范围．17．（本题满分12分）已知函数2()2sin sin 2,[0,2].f x x x x π=+∈求使()f x 为正值的x 的集合．18．（本题满分14分）⑴已知,a b 是正常数，a b ≠，,(0,)x y ∈+∞，求证：222()a b a b x y x y++≥+，指出等号成立的条件；⑵利用⑴的结论求函数29()12f x x x =+-（1(0,)2x ∈）的最小值，指出取最小值时x 的值．19．（本题满分14分）设函数f(x)＝|x－m|－mx，其中m为常数且m<0．⑴解关于x的不等式f(x)<0；⑵试探求f(x)存在最小值的充要条件，并求出相应的最小值．20．(本题满分14分)已知a>0，函数f(x)＝ax－bx2．⑴当b>0时，若对任意x∈R都有f(x)≤1，证明a≤2b；⑵当b>1时，证明对任意x∈[0，1]，都有|f(x)|≤1的充要条件是b－1≤a≤2b；⑶当0<b≤1时，讨论：对任意x∈[0，1]，都有|f(x)|≤1的充要条件．21．(本题满分14分)⑴设函数)10( )1(log )1(log )(22<<--+=x x x x x x f ，求)(x f 的最小值； ⑵设正数n p p p p 2321,,,, 满足12321=++++n p p p p ，证明 n p p p p p p p p n n -≥++++222323222121log log log log ．[不等]符号定，比较技巧深参考答案二、填空题11．x ≤0或x ≥2； 12．155；13．]23,(-∞； 14．415．②④ 三、解答题16．解：由于y ＝2x 是增函数，f (x )≥22等价于|x +1|－|x －1|≥32， ① (2)分(i)当x ≥1时，|x +1|－|x －1|＝2。

∴①式恒成立 (5)分(ii)当－1＜x ＜1时，|x +1|－|x －1|＝2x 。

①式化为2x ≥32，即34≤x <1 (8)分(i)当x ≤－1时，|x +1|－|x －1|＝－2。

∴①式无解 综上，x 的取值范围是[ 34，＋∞)。

……12分17．解：∵()1cos 2sin 2f x x x =-+……………………………………………2分1)4x π=-………………………………………………4分()01)04f x x π∴>⇔->sin(2)42x π⇔->-…………………………………………6分5222444k x k πππππ⇔-+<-<+……………………………8分 34k x k πππ⇔<<+………………………………………………10分 又[0,2].x π∈ ∴37(0,)(,)44x πππ∈⋃………………………………………………12分 18．解：（1）应用二元均值不等式，得22222222()()a b y x x y a b a b a b x y x y ++=+++≥++2()a b =+， 故 222()a b a b x y x y++≥+．当且仅当22y xab x y=，即a b x y =时上式取等号．……………………………………8分（2）由（1）22223(23)()252122(12)f x x x x x +=+≥=-+-． 当且仅当23212x x=-，即15x =时上式取最小值，即min [()]25f x =．……14分 点评：给你一种解题工具，让你应用它来解答某一问题，这是近年考试命题的一种新颖的题型之一，很值得读者深刻反思和领悟当中的思维本质．19．解：（1）由f (x )<0得，|x －m |<mx ，得－mx <x －m <mx ，即⎩⎨⎧(1－m )x <m(1＋m )x >m……2分①当m ＝－1时，2101x <-⎧⇒⎨>-⎩x <－12…………………………………………………3分②当－1< m <0时，11m x mm x m ⎧<⎪⎪-⇒⎨⎪>⎪+⎩m 1+m <x <m 1－m ……………………………………5分③当m <－1时，11m x mm x m ⎧<⎪⎪-⇒⎨⎪<⎪+⎩x <m 1－m ………………………………………………7分综上所述，当m <－1时，不等式解集为{x |x <m1－m} 当m ＝－1时，不等式解集为{x |x <－12}当－1<m <0时，不等式解集为{x |m 1+m <x <m1－m}………………………8分（2）f (x )＝ (1),(1),m x m x mm x m x m --≥⎧⎨-++<⎩∵m <0，∴1－m >0，f (x )在[m ，+∞)上单调递增，要使函数f (x )存在最小值，则f (x )在(－∞，m )上是减函数或常数，∴－(1+m )≤0即m ≥－1，又m <0，∴－1≤m <0．故f (x )存在最小值的充要条件是－1≤m <0，且f (x )min ＝ f (m )＝－m 2． ………14分20．解：⑴对已知二次函数应用配方法，得22()()24a a f x b x b b=--+，当x ∈R 时，f(x)m ax ＝ ba 42，于是，对任意x ∈R 都有f (x )≤1⇔f (x )m ax ＝ba 42≤1⇔ a ≤2b ．………4分⑵用f (x )m ax 、f (x )m in 表示f (x )在[0，1]上的最大值、最小值，则对任意x ∈[0，1]，都有|f (x )|≤1当且仅当max min ()1,()1,f x f x ≤⎧⎨≥-⎩ （*）而 f(x)＝－b(x －2)2ba +b a 42，（x ∈[0，1]）当2b a ≥时，0<ba2≤1，f(x)m ax ＝b a 42，f(x)m in ＝f(0)或f(1)； 当2b<a 时，ba2>1， f(x)m ax ＝ f(1)，f(x)m in ＝f(0)． 于是(*)⇔212,1,4(0)01,(1)1,b b a a b f f a b >≥⎧⎪⎪≤⎪⎨⎪=≥-⎪=-≥-⎪⎩且 或12,(1)1,(0)0 1.b b a f a b f ><⎧⎪=-≤⎨⎪=≥-⎩且⇔b －1≤a ≤2b 或x φ∈⇔b －1≤a ≤2b ．故对任意x ∈[0，1]，都有|f(x)|≤1的充要条件是b －1≤a ≤2b ．……………9分 (３) 由(２)的解答知，对任意x ∈[0，1]，都有|f(x)|≤1当且仅当22001,1,4(0)01,(1)1,b a b a bf f a b ≥><≤⎧⎪⎪≤⎪⎨⎪=≥-⎪=-≥-⎪⎩且 或201,(1)1,(0)0 1.b a b f a b f <<≤⎧⎪=-≤⎨⎪=≥-⎩且 ⇔0<a ≤2b 或2b<a ≤b+1 ⇔0<a ≤b+1．故当0<b ≤1时，对任意x ∈[0，1]，都有|f(x)|≤1的充要条件为0<a ≤b +1．…14分 点评：含参数的二次函数与绝对值不等式相综合，这是历年高考命题的热点之一．读者在备考复习时，应当重视这类题型的解题技巧，掌握一些解题的套路，领悟当中的变化技能，反复思考参数的处理艺术．21．解：对函数)(x f 求导数：])1(log )1[()log ()(22'--+'='x x x x x f.2ln 12ln 1)1(log log 22-+--=x x ).1(log log 22x x --=于是.0)21(='f当221,()log log (1)0,()2x f x x x f x '<=--<时在区间)21,0(是减函数，当221,()log log (1)0,()2x f x x x f x '>=-->时在区间)1,21(是增函数.所以21)(=x x f 在时取得最小值，1)21(-=f ，（Ⅱ）证法一：用数学归纳法证明.（i ）当n=1时，由（Ⅰ）知命题成立.（ii ）假定当k n =时命题成立，即若正数1,,,221221=+++k k p p p p p p 满足， 则.log log log 222222121k p p p p p p k k -≥+++当1+=k n 时，若正数,1,,,11221221=+++++k k p p p p p p 满足令.,,,,222211221xp q x p q x p q p p p x k k k ===+++= 则k q q q 221,,, 为正数，且.1221=+++k q q q由归纳假定知.log log log 222222121k q q p p p q k k -≥+++kk k k q q q q q q x p p p p p p 222222121222222121log log log (log log log +++=+++ ,log )()log 22x x k x x +-≥+ ①同理，由x p p p k k k -=++++++1122212 可得1122212212log log ++++++k k k k p p p p).1(log )1())(1(2x x k x --+--≥ ②综合①、②两式11222222121log log log +++++k k p p p p p p).1()1(log )1(log ))](1([22+-≥--++--+≥k x x x x k x x即当1+=k n 时命题也成立.根据（i ）、（ii ）可知对一切正整数n 命题成立. 证法二：令函数那么常数)),,0(,0)((log )(log )(22c x c x c x c x x x g ∈>--+=],log )1(log )1(log [)(222c cxc x c x c x c x g +--+=利用（Ⅰ）知，当1(),().22x cx g x c ==即时函数取得最小值对任意都有,0,021>>x x2log 22log log 21221222121x x x x x x x x ++⋅≥+ ]1)()[log (21221-++=x x x x . ① 下面用数学归纳法证明结论.（i ）当n=1时，由（I ）知命题成立.（ii ）设当n=k 时命题成立，即若正数有满足,1,,,221221=+++k k p p p p p p11111112122222212122212122222212122log log log .1,,,, 1.log log log log k k k k k k k k p p p p p p k n k p p p p p p H p p p p p p p p ++++++--+++≥-=++++==++++当时满足令由①得到11111112212221221212212()[log ()1]()[log ()1],()()1,k k k k k k H p p p p p p p p p p p p ++++++---≥++-++++-++++=因为由归纳法假设1111122122212212()log ()()log (),k k k k p p p p p p p p k ++++--++++++≥-得到1112212()(1).k k H k p p p p k +++≥--++++=-+即当1+=k n 时命题也成立. 所以对一切正整数n 命题成立.。