【数学】江苏省南京市、盐城市2017届高考二模试卷(解析版)

江苏省南京市、盐城市2017届高考数学二模试卷

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）函数f（x）=ln的定义域为．

2．（5分）若复数z满足z（1﹣i）=2i（i是虚数单位），是z的共轭复数，则=．3．（5分）某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为．

4．（5分）下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：

不喜欢戏剧喜欢戏剧

男性青年观众4010

女性青年观众4060

现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n个人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n的值为．

5．（5分）根据如图所示的伪代码，输出S的值为．

6．（5分）记公比为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n．若a1=1，S4﹣5S2=0，则S5的值为．

7．（5分）将函数f（x）=sin x的图象向右平移个单位后得到函数y=g（x）的图象，则函数y=f（x）+g（x）的最大值为．

8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，P A⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率k=﹣，则线段PF的长为．

9．（5分）若sin（α﹣）=，α∈（0，），则cosα的值为．

10．（5分）α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题中正确的是（填上所有正确命题的序号）．

①若α∥β，m⊂α，则m∥β；

②若m∥α，n⊂α，则m∥n；

③若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥β；

④若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β．

11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx﹣y+2=0与直线l2：x+ky﹣2=0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x﹣y﹣4=0的距离的最大值为．

12．（5分）若函数f（x）=x2﹣m cos x+m2+3m﹣8有唯一零点，则满足条件的实数m组成的集合为．

13．（5分）已知平面向量=（1，2），=（﹣2，2），则•的最小值为．14．（5分）已知函数f（x）=ln x+（e﹣a）x﹣b，其中e为自然对数的底数．若不等式f（x）≤0恒成立，则的最小值为．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（14分）如图，在△ABC中，D为边BC上一点，AD=6，BD=3，DC=2．

（1）若AD⊥BC，求∠BAC的大小；

（2）若∠ABC=，求△ADC的面积．

16．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面P AB，AP⊥AB．

（1）求证：CD⊥AP；

（2）若CD⊥PD，求证：CD∥平面P AB．

17．（14分）在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a 厘米和b厘米，其中a≥b．

（1）当a=90时，求纸盒侧面积的最大值；

（2）试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．

18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C：+=1经过点（b，2e），其中e为椭圆C的离心率．过点T（1，0）作斜率为k（k＞0）的直线l交椭圆C于A，B两点（A在x轴下方）．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点O且平行于l的直线交椭圆C于点M，N，求的值；

（3）记直线l与y轴的交点为P．若=，求直线l的斜率k．

19．（16分）已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1，其中e为自然对数的底数，a∈R．

（1）若a=e，函数g（x）=（2﹣e）x．

①求函数h（x）=f（x）﹣g（x）的单调区间；

②若函数F（x）=的值域为R，求实数m的取值范围；

（2）若存在实数x1，x2∈[0，2]，使得f（x1）=f（x2），且|x1﹣x2|≥1，求证：e﹣1≤a≤e2﹣e．

20．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}，{c n}满足（n+1）b n=a n+1﹣，（n+2）c n=﹣，其中n∈N*．

（1）若数列{a n}是公差为2的等差数列，求数列{c n}的通项公式；

（2）若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有b n≤λ≤c n，求证：数列{a n}是等差数列．

数学附加题[选做题]在21、22、23、24四小题中只能选做2题，每小题0分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

[选修4-1：几何证明选讲]

21．如图，△ABC的顶点A，C在圆O上，B在圆外，线段AB与圆O交于点M．

（1）若BC是圆O的切线，且AB=8，BC=4，求线段AM的长度；

（2）若线段BC与圆O交于另一点N，且AB=2AC，求证：BN=2MN．

[选修4-2：矩阵与变换]

22．设a，b∈R．若直线l：ax+y﹣7=0在矩阵A=对应的变换作用下，得到的直线为l′：9x+y﹣91=0．求实数a，b的值．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．在平面直角坐标系xOy中，直线l：（t为参数），与曲线C：（k 为参数）交于A，B两点，求线段AB的长．

[选修4-5：不等式选讲]

24．已知a≠b，求证：a4+6a2b2+b4＞4ab（a2+b2）

[必做题]第25题、第26题，每题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

25．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，A1A=AB=2，∠ABC=，E，F分别是BC，A1C的中点．

（1）求异面直线EF，AD所成角的余弦值；

（2）点M在线段A1D上，=λ．若CM∥平面AEF，求实数λ的值．