2018年南京盐城高三二模数学试卷及答案
南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学参考答案
南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学参考答案说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．(－∞，2) 2． 5 3．3 4．16 5．38 6．－9 7． 2 8．79．43 10．(－1，1) 11． 2 12． 6 13．2或-18 14．[－4，0) 二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)解：（1）设f (x )的周期为T ，则T 2＝7π12－π12＝π2，所以T ＝π．又T ＝2πω，所以ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)． …………………………………3分因为点(π12，2)在函数图象上，所以2sin(2×π12＋φ)＝2，即sin(π6＋φ)＝1．因为－π2＜φ＜π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝2sin(2x ＋π3)．…………………………………7分（2）由f (α2)＝－65，得sin(α＋π3)＝－35．因为2π3＜α＜7π6，所以π＜α＋π3＜3π2，所以cos(α＋π3)＝－1－sin 2(α＋π3)＝－45． ………………………………10分所以cos α＝cos[(α＋π3)－π3]＝cos(α＋π3)cos π3＋sin(α＋π3) sin π3＝－45×12＋(－35)×32＝－33＋410． ………………………………14分16．(本小题满分14分)（1）解法一：取CE 中点F ，连接FB ，MF .因为M 为DE 的中点，F 为CE 的中点，所以MF ∥CD 且MF ＝12CD ． ……………………………………2分又因为在矩形ABCD 中，N 为AB 的中点， 所以BN ∥CD 且BN ＝12CD ，所以MF ∥BN 且MF ＝BN ，所以四边形BNMF 为平行四边形，所以MN ∥BF ． ……………………………………4分 又MN ⊄平面BEC ，BF ⊂平面BEC ，所以MN ∥平面BEC ． ……………………………………6分 解法二：取AE 中点G ，连接MG ，GN .因为G 为AE 的中点，M 为DE 的中点，所以MG ∥AD ． 又因为在矩形ABCD 中，BC ∥AD ，所以MG ∥BC ． 又因为MG ⊄平面BEC ，BC ⊂平面BEC ，所以MG ∥平面BEC ． ……………………………………2分 因为G 为AE 的中点，N 为AB 的中点，所以GN ∥BE ．又因为GN ⊄平面BEC ，BE ⊂平面BEC ，所以GN ∥平面BEC ． 又因为MG ∩GN ＝G ，MG ，GN ⊂平面GMN ，所以平面GMN ∥平面BEC ． ……………………………………4分 又因为MN ⊂平面GMN ，所以MN ∥平面BEC ． ……………………………………6分 （2）因为四边形ABCD 为矩形，所以BC ⊥AB ．因为平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD ∩平面ABE ＝AB ，BC ⊂平面ABCD ，且BC ⊥AB ， 所以BC ⊥平面ABE ． ……………………………………8分 因为AH ⊂平面ABE ，所以BC ⊥AH ．因为AB ＝AE ，H 为BE 的中点，所以BE ⊥AH ． ……………………………………10分 因为BC ∩BE ＝B ，BC ⊂平面BEC ，BE ⊂平面BEC ，所以AH ⊥平面BEC ． ……………………………………12分 又因为CE ⊂平面BEC ，所以AH ⊥CE ． ……………………………………14分 17．(本小题满分14分)解：设商场A 、B 的面积分别为S 1、S 2，点P 到A 、B 的距离分别为d 1、d 2，则S 2＝λS 1，m 1＝k S 1 d 12，m 2＝k S 2d 22，k 为常数，k ＞0．（1）在△P AB 中，AB ＝10，P A ＝15，∠P AB ＝60o ，由余弦定理，得d 22＝PB 2＝AB 2＋P A 2－2AB ·P A cos60°＝102＋152－2×10×15×12＝175． …………………………2分又d 12＝P A 2＝225，此时，m 1－m 2＝k S 1 d 12－k S 2 d 22＝k S 1 d 12－k λS 1 d 22＝kS 1(1 d 12－λd 22)， …………………………4分将λ＝12，d 12＝225，d 22＝175代入，得m 1－m 2＝kS 1(1225－1350)．因为kS 1＞0，所以m 1＞m 2，即居住在P 点处的居民不在商场B 相对于A 的“更强吸引区域”内． …………………6分（2）解法一：以AB 所在直线为x 轴，A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A (0，0)，B (10，0)，设P (x ，y )，由m 1＜m 2得，k S 1 d 12＜k S 2d 22，将S 2＝λS 1代入，得d 22＜λd 12．……8分代入坐标，得(x －10)2＋y 2＜λ(x 2＋y 2)，化简得(1－λ) x 2＋(1－λ) y 2－20x ＋100＜0． ……………………10分 因为0＜λ＜1，配方得 (x －101－λ)2＋y 2＜(10λ1－λ)2， 所以商场B 相对于A 的“更强吸引区域”是：圆心为C (101－λ，0)，半径为r 1＝10λ1－λ的圆的内部．与商场B 相距2 km 以内的区域(含边界)是：圆心为B (10，0)，半径为r 2＝2的圆的内部及圆周．由题设，圆B 内含于圆C ，即BC ＜| r 1－r 2|． …………………………12分 因为0＜λ＜1，所以101－λ－10＜10λ1－λ－2，整理得4λ－5λ＋1＜0，解得116＜λ＜1．所以，所求λ的取值范围是(116，1)． …………………………14分解法二：要使与商场B 相距2 km 以内的区域(含边界)均为商场B 相对于A 的“更强吸引区域”， 则当d 2≤2时，不等式m 1＜m 2恒成立．由m 1＜m 2，得k S 1 d 12＜k S 2 d 22＝k λS 1 d 22，化简得d 12＞d 22λ． …………………………8分设∠PBA ＝θ，则d 12＝P A 2＝AB 2＋PB 2－2AB ·PB cos θ＝100＋d 22－20d 2cos θ， …………………………10分所以100＋d 22－20d 2cos θ＞d 22λ，即100＋d 22－d 22λ20d 2＞cos θ．上式对于任意的θ∈[0，π]恒成立，则有100＋d 22－d 22λ20d 2＞1， ………………………12分即1－1λ＞20·1d 2－100·(1d 2)2＝－100(1d 2－110)2＋1 (*)．由于d 2≤2，所以1d 2≥12．当1d 2＝12时，不等式(*)右端的最大值为－15， 所以1－1λ＞－15，解得λ＞116．又0＜λ＜1，所以λ的取值范围是(116，1)． ………………………14分18．(本小题满分16分)解：（1）因为⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a ＝2，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝1，(第17题)所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1． …………………………2分解法一：（2）由（1）得A (0，1)．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，C (x 0，y 0)，其中x 0，y 0均不为0，且x 1≠x 2． 因为P ，Q 两点都在椭圆E 上，所以x 12＋2y 12＝2 且x 22＋2y 22＝2，两式相减得y 2－y 1x 2－x 1×y 0x 0＝－12． …………………………4分又y 2－y 1x 2－x 1＝y 0－m x 0 ，所以y 0－m x 0×y 0x 0＝－12， …………………………6分即x 02＝2y 0(m －y 0)． ①又AC ⊥OC ，所以y 0－1x 0×y 0x 0＝－1， …………………………8分即x 02＝y 0(1－y 0)． ②由①②得y 0＝2m －1，x 02＝(1－2m ) (2m －2)∈(0，2)，所以12＜m ＜1． …………………………10分（3）设B (x 3，y 3)，点B 在椭圆E 上，所以x 32＋2y 32＝2．又AC ⊥OC ，所以y 3－1x 3×y 0x 0＝－1，即y 3＝－x 0y 0x 3＋1，代入上式消去y 3，得x 3＝4x 0y 0y 20＋2x 20， …………………………12分 所以S 1S 2＝12AO ×|x 3| 12AO ×|x 0|＝|x 3x 0|＝|4y 0y 20＋2x 20|．由（2）知y 0＝2m －1，x 02＝(1－2m ) (2m －2)，12＜m ＜1，所以S 1S 2＝|4(2m －1)(2m －1)2＋2(1－2m )(2m －2) |＝|43－2m |＝43－2m ． …………………………14分因为S 1S 2＝83，所以43－2m ＝83，解得m ＝34，此时y 0＝2m －1＝12，x 02＝(1－2m ) (2m －2)＝14，所以x 0＝±12，所以C 点坐标为(±12，12)，D 点坐标为(0，34)，所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋34． …………………………16分解法二：（2）由（1）得A (0，1)．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，C (x 0，y 0)．设直线l 方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，将其与椭圆E 的方程联立，消去y 得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0 (*)，所以x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2， …………………………4分所以x 0＝x 1＋x 22＝－2km 1＋2k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m 1＋2k 2，即C (－2km 1＋2k 2，m1＋2k 2)， 所以k AC ＝y 0－1x 0＝m1＋2k 2－1－2km 1＋2k 2＝2k 2＋1－m2km ． …………………………6分又因为k OC ＝y 0x 0＝m 1＋2k 2－2km 1＋2k 2＝－12k，且AC ⊥OC ，所以k AC ×k OC ＝2k 2＋1－m 2km ×(－12k)＝－1，整理得m ＝2k 2＋14k 2＋1． …………………………8分因为k ≠0，则m ＝2k 2＋14k 2＋1＝4k 2＋1－2k 24k 2＋1＝1－2k 24k 2＋1＝1－12＋12k 2 ∈(12，1)，此时△＝8(2k 2＋1－m )＞0，所以实数m 的取值范围为(12，1)． …………………………10分（3）设B (x 3，y 3)，k AB ＝－1k OC ＝2k ，所以直线AB 的方程为y ＝2kx ＋1，与椭圆E 方程联立解得x ＝－8k 1＋8k 2或0（舍），即x 3＝－8k1＋8k 2． …………………12分 又因为x 0＝－2km 1＋2k 2＝－2k 1＋2k 2×2k 2＋14k 2＋1＝－2k1＋4k 2，所以S 1S 2＝12AO ×|x 3| 12AO ×|x 0|＝|－8k 1＋8k 2－2k 1＋4k 2|＝4＋16k 21＋8k 2． …………………………14分因为S 1S 2＝83，所以4＋16k 21＋8k 2＝83，解得k ＝±12，此时m ＝2k 2＋14k 2＋1＝34，D 点坐标为(0，34)，所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋34． …………………………16分19．(本小题满分16分)（1）解：y ＝f (x )＋2x ＝x e x ，由y ′＝(1+ x )e x ＝0，解得x ＝－1.所以当x ＝－1时，f (x )取得极小值－1e ． ………………………2分（2）解：F (x )＝f (x )＋g (x )＝x e x －x －ln x ＋k ，F ′(x )＝(x ＋1)(e x －1x)，设h (x )＝e x －1x (x ＞0)，则h ′(x )＝e x ＋1x 2＞0恒成立，所以函数h (x )在(0，＋∞)上单调递增．又h (12)＝e －2＜0，h (1)＝e －1＞0，且h (x )的图像在(0，＋∞)上不间断，因此h (x )在(0，＋∞)上存在唯一的零点x 0∈(12，1)，且e x＝1x 0．……………………4分当x ∈(0，x 0)时，h (x )＜0，即F ′(x )＜0；当x ∈(x 0，＋∞)时，h (x )＞0，即F ′(x )＞0， 所以F (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，于是x ＝x 0时，函数F (x )取极(最)小值为F (x 0)＝x 0e x 0－x 0－ln x 0＋k ……………………6分＝1－x 0－ln 1ex 0＋k ＝1＋k ．因为F (x )＞0的解集为(0，＋∞)，所以1＋k ＞0，即k ＞－1． ……………………8分 （3）证明：由（2）知m ＝x 0，①当1＋k ≥0，即k ≥－1时，F (x )≥0恒成立，于是G (x )＝F (x )＋ln x ＝x e x －x ＋k ，G ′(x )＝(x ＋1)e x －1．因为x ∈(0，m )，所以x ＋1＞1，e x ＞1，于是G ′(x )＞0恒成立，所以函数G (x )在(0，m )上单调递增． ……………………10分 ②当1＋k ＜0，即k ＜－1时，0＜e k ＜12＜x 0＝m ，F (e k )＝e k ( e e k－1)＞0，F (m )＝F (x 0)＝1＋k ＜0， 又F (x )在(0，m )上单调递减且图像不间断，所以F (x )在(0，m )上存在唯一的零点x 1． ……………………12分 当0＜x ≤x 1时，F (x )≥0，G (x )＝F (x )＋ln x ＝x e x －x ＋k ，G ′(x )＝(x ＋1)e x －1， 因为0＜x ≤x 1，所以x ＋1＞1，e x ＞1，于是G ′(x )＞0恒成立，所以函数G (x )在(0，x 1]上单调递增； ① ……………………14分 当x 1≤x ＜m 时，F (x )≤0，G (x )＝－F (x )＋ln x ，G ′(x )＝－F ′(x )＋1x，由（2）知，当x 1≤x ＜m 时，F ′(x )＜0，于是G ′(x )＞0恒成立， 所以函数G (x )在[x 1，m )上单调递增； ② 设任意s ，t ∈(0，m )，且s ＜t ， 若t ≤x 1，则由①知G (s )＜G (t ),若s ＜x 1＜t ，则由①知G (s )＜G (x 1)，由②知G (x 1)＜G (t )，于是G (s )＜G (t ), 若x 1≤s ，由②知G (s )＜G (t ), 因此总有G (s )＜G (t ),所以G (x )在(0，m )上单调递增．综上，函数G (x )在(0，m )上单调递增． ………………………16分20．(本小题满分16分)（1）解：因为b n (2)－b n (1)＝1，所以(a n ＋a n ＋2)－(a n ＋a n ＋1)＝1，即a n ＋2－a n ＋1＝1， 因此数列{a n ＋1}是公差为1的等差数列，所以b n (4)－b n (1)＝(a n ＋a n ＋4)－(a n ＋a n ＋1) ＝a n ＋4－a n ＋1＝3． ……………………2分 （2）（i ）解：因为b n ＋1(k )＝2b n (k )，所以a n ＋1＋a n ＋1＋k ＝2(a n ＋a n ＋k )，分别令k ＝1及k ＝2，得⎩⎨⎧a n ＋1＋a n ＋2＝2(a n ＋a n ＋1)， ①a n ＋1＋a n ＋3＝2(a n ＋a n ＋2)， ②……………………4分由①得a n ＋2＋a n ＋3＝2(a n ＋1＋a n ＋2)， ③ …………………………6分 ③－②得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )， ④ …………………………8分 ①－④得2a n ＋1＝4a n ，即a n ＋1＝2a n ，又a 1＝2，所以a n ＝2n ． …………………………10分（ii ）证明：假设集合A 与集合B 中含有相同的元素，不妨设b n (k )＝5b m (k ＋2)，n ，m ∈N*， 即a n ＋a n ＋k ＝5(a m ＋a m ＋k ＋2)， 于是2n ＋2n ＋k ＝5(2m ＋2m＋k ＋2)，整理得2n －m＝5(1＋2k ＋2)1＋2k. …………………………12分因为5(1＋2k ＋2)1＋2k ＝5(4－31＋2k )∈[15，20)，即2n －m∈[15，20)， 因为n ，m ∈N*，从而n －m ＝4， …………………………14分 所以5(1＋2k ＋2)1＋2k＝16，即4×2k ＝11． 由于k 为正整数，所以上式不成立，因此集合A 与集合B 中不含有相同的元素，即A ∩B ＝∅．…………………………16分南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试 数学附加题参考答案及评分标准 2018.03说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域．．．．．．内．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：连结OD ，因为OD ＝OA ，所以∠OAD ＝∠ODA ．因为AD 平分∠BAE ，所以∠OAD ＝∠EAD ， ………………3分 所以∠EAD ＝∠ODA ，所以OD ∥AE . ………………5分 又因为AE ⊥DE ，所以DE ⊥OD ． ………………8分 又因为OD 为半径，所以DE 是圆O 的切线． ………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1a －12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝λ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 ，所以⎩⎨⎧1＋a ＝λ，－1＋2＝λ，解方程组得⎩⎨⎧a ＝0，λ＝1． …………………………5分所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－1 2 ，所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－3 4． …………………………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：因为直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝3t ＋2(t 为参数)，所以直线l 的普通方程为y ＝3x ＋2． ……………………………3分又因为圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos θ，y ＝a sin θ(a ＞0，θ为参数)，所以圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝a 2． ……………………………6分 因为圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝1， ……………………………8分 所以1＋a ＝3，解得a ＝2． ……………………………10分D ．选修4—5：不等式选讲解：方法一：|x －1|＋|x |≥|x －1－x |＝1，当且仅当x (x －1)≤0，即0≤x ≤1时取等号． ……………………………4分 |y －1|＋|y ＋1|≥|y －1－y －1|＝2，当且仅当(y －1)(y ＋1)≤0，即－1≤y ≤1时取等号． ……………………………8分 所以|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥3， 当且仅当0≤x ≤1，－1≤y ≤1时取等号，所以|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3． …………………………10分 方法二：因为f (x )＝|x －1|＋|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，1，0≤x ＜1，1－2x ，x ＜0，所以f (x )min ＝1． …………………………4分 因为g (y )＝|y －1|＋|y ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2y ，y ≥1，2，－1≤y ＜1，－2y ，y ＜－1，所以g (y )min ＝2． …………………………8分 综上，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3． …………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．（本小题满分10分）解：（1）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．P (X ＝0)＝(1－12)×(1－13)×(1－14)＝14，P (X ＝1)＝12×(1－13)×(1－14)＋(1－12)×13×(1－14)＋(1－12)×(1－13)×14＝1124，P (X ＝2)＝(1－12)×13×14＋12×(1－13)×14＋12×13×(1－14)＝14，P (X ＝3)＝12×13×14＝124．所以，随机变量X 的分布列为X 的数学期望E (X )＝0×14＋1×1124＋2×14＋3×124＝1312． …………………………5分（2）设Y 表示乙击中目标的个数，由（1）亦可知，P (Y ＝0)＝14，P (Y ＝1)＝1124，P (Y ＝2)＝14．则P (X ＝0，Y ＝2)＝14×14＝116，P (X ＝1，Y ＝1)＝1124×1124＝121576，P (X ＝2，Y ＝0)＝14×14＝116， …………………………8分所以P (X ＋Y ＝2)＝P (X ＝0，Y ＝2)＋P (X ＝1，Y ＝1)＋P (X ＝2，Y ＝0)＝193576．所以，甲乙两人共击中目标数为2个的概率为193576． …………………………10分23．（本小题满分10分）解：（1）当n ＝7时，M ＝{1，2，…，7 }，数列T 的个数为C 27×A 22＝42． ………………………………2分（2）当k ＝1时，则a 1＞a 2，a 2＜a 3＜…＜a n ，此时a 2为1，a 1共有n －1种选法，余下的n －2个数，按从小到大依次排列，共有1种，因此k ＝1时，符合条件的数列T 共有n －1＝C 1n －1个． ……………………………3分当2≤k ≤n －2时，则a 1＜a 2＜…＜a k ，a k ＞a k ＋1，a k ＋1＜a k ＋2＜…＜a n ，从集合M 中任取k 个数，按从小到大的顺序排列， 再将余下的n －k 个数，按从小到大的顺序排列，即得满足条件a 1＜a 2＜…＜a k ，a k ＋1＜a k ＋2＜…＜a n 的数列的个数为C k n C n －k n －k ，这里包含了a k ＜a k ＋1即a 1＜a 2＜…＜a k ＜a k ＋1＜a k ＋2＜…＜a n 的情形，因此符合条件的数列T 的个数为C k n C n －k n －k －1＝C k n －1． ………………………………7分当k ＝n －1时，则a 1＜a 2＜…＜a n －1，a n －1＞a n此时a n －1为n ，a n 共有n －1种选法，余下的n －2个数，按从小到大依次排列，共有1种，因此k ＝n －1时，符合条件的数列T 共有n －1＝C n －1n －1个．…………………………8分于是所有符合条件的数列T 的个数为：C 1n －1＋C 2n －1＋…＋C n －1n －1＝C 1n ＋C 2n ＋…＋C n －1n －n ＋1 ＝2n －C 0n －C n n －n ＋1＝2n －n －1． ………………………………10分。
2018年3月南京盐城二模数学
2018届高三年级第二次模拟考试(九)数学参考答案1. (－∞，2)2. 53. 34. 165. 38 6. －97. 2 8. 7 9. 43 10. (－1，1) 11. 212. 6 13. 2或－18 14. [－4，0)15. 解析：(1) 设f(x)的周期为T ，则T 2＝7π12－π12＝π2，所以T ＝π.又T ＝2πω，所以ω＝2，所以f(x)＝2sin (2x ＋φ)．(3分)因为点⎝⎛⎭⎫π12，2在函数图象上， 所以2sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝1.因为－π2<φ<π2，所以φ＝π3，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.(7分)(2) 由f ⎝⎛⎭⎫α2＝－65得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－35.因为2π3<α<7π6，所以π<α＋π3<3π2，所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－45. (10分)所以cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π3－π3＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3cos π3＋sin (α＋π3)sin π3＝－45×12＋⎝⎛⎭⎫－35×32 ＝－33＋410.(14分)16. 解析：(1) 取CE 的中点F ，连接FB ，MF. 因为M 为DE 的中点，F 为EC 的中点， 所以MF ∥CD 且MF ＝12CD.(2分)因为在矩形ABCD 中，N 为AB 的中点， 所以BN ∥CD 且BN ＝12CD ，所以MF ∥BN 且MF ＝BN ，所以四边形BNMF 为平行四边形， 所以MN ∥BF.(4分)又MN ⊄平面BEC ，BF ⊂平面BEC ， 所以MN ∥平面BEC.(6分)(2) 因为四边形ABCD 为矩形，所以BC ⊥AB ，因为平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD ∩平面ABE ＝AB ，BC ⊂平面ABCD ，且BC ⊥AB ，所以BC ⊥平面ABE.(8分)因为AH ⊂平面ABE ，所以BC ⊥AH.因为AB ＝AE ，H 为BE 的中点，所以BE ⊥AH.(10分) 因为BC ∩BE ＝B ，BC ⊂平面BEC ，BE ⊂平面BEC ， 所以AH ⊥平面BEC.(12分)因为CE ⊂平面BEC ，所以AH ⊥CE.(14分)17. 解析：设商场A ，B 的面积分别为S 1，S 2，点P 到A ，B 的距离分别为d 1，d 2，则S 2＝λS 1，m 1＝k S 1d 21，m 2＝k S 2d 22，k 为常数，k>0.(1) 在△PAB 中，AB ＝10，PA ＝15，∠PAB ＝60°，由余弦定理，得d 22＝PB 2＝AB 2＋PA 2－2AB·PA cos 60°＝102＋152－2×10×15×12＝175.(2分)又d 21＝PA 2＝225，此时，m 1－m 2＝k S 1d 21－k λS 1d 22＝kS 1(1d 21－λd 22)，(4分)将λ＝12，d 21＝225，d 22＝175代入，得m 1－m 2＝kS 1⎝⎛⎭⎫1225－1350. 因为kS 1>0，所以m 1>m 2，即居住在点P 处的居民不在商场B 相对于A 的“更强吸引区域”内．(6分)(2) 要使与商场B 相距2km 的区域(含边界)均为商场B 相对于A 的“更强吸引区域”， 则当d 2≤2时，不等式m 1<m 2恒成立． 由m 1<m 2，得k S 1d 21<k S 2d 22＝k λS 1d 22，化简得d 21>d 22λ.(8分)设∠PBA ＝θ，在△PAB 中，由余弦定理，得d 21＝PA 2＝AB 2＋PB 2－2AB·PB cos θ＝100＋d 22－20d 2cos θ，(10分) 所以100＋d 22－20d 2cos θ>d 22λ，即100＋d 22－d 22λ20d 2>cos θ.上式对于任意的θ∈(0，π)恒成立，则有100＋d 22－d 22λ20d 2>1，(12分)即1－1λ>20·1d 2－100·⎝⎛⎭⎫1d 22＝－100(1d 2－110)2＋1，(*) 由于0≤d 2≤2，所以1d 2≥12.当1d 2＝12时，不等式(*)右端的最大值为－15， 所以1－1λ>－15，解得λ>116.又0<λ<1，所以λ的取值范围是⎝⎛⎭⎫116，1.(14分) 18. 解析：(1) 因为⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a ＝2，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2分)(2) 由(1)得A(0，1)．设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，C(x 0，y 0)． 设直线l 方程为y ＝kx ＋m(k ≠0)，将其与椭圆E 的方程联立，消去y 得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，(*)所以x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，(4分)所以x 0＝x 1＋x 22＝－2km 1＋2k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m 1＋2k 2，即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2km 1＋2k 2，m 1＋2k 2.所以k AC ＝y 0－1x 0＝m1＋2k 2－1－2km1＋2k 2＝2k 2＋1－m2km .(6分)因为k OC ＝y 0x 0＝m 1＋2k 2－2km 1＋2k2 ＝－12k，且AC ⊥OC ，所以k AC ×k OC ＝2k 2＋1－m 2km ×⎝⎛⎭⎫－12k ＝－1，整理得m ＝2k 2＋14k 2＋1.(8分)因为k ≠0，则m ＝2k 2＋14k 2＋1＝4k 2＋1－2k 24k 2＋1＝1－2k 24k 2＋1＝1－12＋12k 2 ∈⎝⎛⎭⎫12，1， 所以实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，1.(10分) (3) 设B(x 3，y 3)， k AB ＝－1k OC＝2k ，所以直线AB 的方程为y ＝2kx ＋1， 与椭圆方程联立解得x ＝－8k 1＋8k 2或0(舍)，即x 3＝－8k1＋8k 2.(12分) 因为x 0＝－2km 1＋2k 2＝－2k 1＋2k 2×2k 2＋14k 2＋1＝－2k1＋4k 2，所以S 1S 2＝ 12AO ×|x 3|12AO ×|x 0|＝ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪－8k 1＋8k 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪ －2k 1＋4k 2＝4＋16k 21＋8k 2.(14分)因为S 1S 2＝83，所以4＋16k 21＋8k2＝83，解得k ＝±12，此时m ＝2k 2＋14k 2＋1＝34，点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，34. 所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋34.(16分)19. 解析：(1) y ＝f(x)＋2x ＝x e x ，由y′＝(1＋x)e x ＝0，解得x ＝－1. 当x所以当x ＝－1时，f(x)取得极小值－1e.(2分)(2) F(x)＝f(x)＋g(x)＝x e x －x －ln x ＋k ，F ′(x)＝(x ＋1)⎝⎛⎭⎫e x －1x . 设h(x)＝e x －1x (x>0)，则h′(x)＝e x ＋1x 2>0恒成立，所以函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增．又h ⎝⎛⎭⎫12＝e －2<0，h(1)＝e －1>0，且h(x)的图象在(0，＋∞)上不间断， 因此h(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零点x 0∈⎝⎛⎭⎫12，1，且e x 0＝1x 0，(4分) 当x ∈(0，x 0)时，h(x)<0，即F′(x)<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，h(x)>0，即F′(x)>0.所以F(x)在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增， 于是x ＝x 0时，函数F(x)取极(最)小值为 F(x 0)＝x 0e x 0－x 0－ln x 0＋k ＝1－x 0－ln1e x 0＋k ＝1＋k ，(6分) 因为F(x)>0的解集为(0，＋∞)， 所以1＋k>0，即k>－1.(8分) (3) 由(2)知m ＝x 0.(i ) 当1＋k ≥0，即k ≥－1时，F(x)≥0恒成立，于是G(x)＝F(x)＋ln x ＝x e x －x ＋k ，G ′(x)＝(x ＋1)e x －1. 因为x ∈(0，m)，所以x ＋1>1，e x >1， 于是G ′(x)>0恒成立，所以函数G(x)在(0，m)上单调递增．(10分) (ii ) 当1＋k<0，即k<－1时，0<e k <12<x 0＝m ，F(e k )＝e k (ee k －1)>0，F(m)＝F(x 0)＝1＋k<0. 又F(x)在(0，m)上单调递减且图象不间断， 所以F(x)在(0，m)上存在唯一的零点x 1，(12分)当0<x ≤x 1时，F(x)≥0，G(x)＝F(x)＋ln x ＝x e x －x ＋k ，G ′(x)＝(x ＋1)e x －1. 因为0<x ≤x 1，所以x ＋1>1，e x >1， 于是G′(x)>0恒成立，所以函数G(x)在(0，x 1]上单调递增；①(14分)当x 1≤x<m 时，F(x)≤0，G(x)＝－F(x)＋ln x ，G ′(x)＝－F′(x)＋1x ，由(2)知，当x 1≤x<m 时，F ′(x)<0，于是G ′(x)>0恒成立， 所以函数G(x)在[x 1，m)上单调递增；② 设任意s ，t ∈(0，m)，且s ，t ， 若t ≤x 1，则由①G(s)<G(t)， 若s<x 1<t ，则由①知G(s)<G(t)， 由②知G(x 1)<G(t)，于是G(s)<G(t)． 若x 1≤s ，由②知G(s)<G(t)． 因为总有G(s)<G(t)，所以G(x)在(0，m)上单调递增．综上可知，函数G(x)在(0，m)上单调递增．(16分) 20. 解析：(1) 因为b n (2)－b n (1)＝1，所以(a n ＋a n ＋2)－(a n ＋a n ＋1)＝1，即a n ＋2－a n ＋1＝1， 因此数列{a n ＋1}是公差为1的等差数列，所以b n (4)－b n (1)＝(a n ＋a n ＋4)－(a n ＋a n ＋1)＝a n ＋4－a n ＋1＝3.(2分) (2) (i ) 因为b n ＋1(k)＝2b n (k)，所以a n ＋1＋a n ＋1＋k ＝2(a n ＋a n ＋k )， 分别令k ＝1及k ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＋a n ＋2＝2（a n ＋a n ＋1），a n ＋1＋a n ＋3＝2（a n ＋a n ＋2），①②(4分) 由①得a n ＋2＋a n ＋3＝2(a n ＋1＋a n ＋2)，③(6分) ③－②得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )，④(8分) ①－④得2a n ＋1＝4a n ，即a n ＋1＝2a n .因此数列{a n } 是公比为2的等比数列． 又a 1＝2，所以a n ＝2n .(10分)(ii ) 假设集合A 与集合B 中含有相同的元素，不妨设b n (k)＝5b m (k ＋2)，n ，m ∈N *，即a n ＋a n ＋k ＝5(a m ＋a m ＋k ＋2)，于是2n ＋2n ＋k ＝5(2m ＋2m ＋k ＋2)，整理得2n －m＝5（1＋2k ＋2）1＋2k.(12分)因为5（1＋2k ＋2）1＋2k＝5⎝⎛⎭⎫4－31＋2k ∈[15，20)，即2n －m∈[15，20)． 因为n ，m ∈N *，从而n －m ＝4，(14分) 所以5（1＋2k ＋2）1＋2k＝16，即4×2k ＝11. 由于k 为正整数，所以上式不成立，因此集合A 与集合B 中不含有相同的元素，即A ∩B ＝∅.(16分) 21. A. 解析：连结OD.因为OD ＝OA ，所以∠OAD ＝∠ODA. 因为AD 平分∠BAE ，所以∠OAD ＝∠EAD ，(3分) 所以∠EAD ＝∠ODA ，所以OD ∥AE.(5分) 因为AE ⊥DE ，所以DE ⊥OD.(8分)又因为OD 为半径，所以DE 是圆O 的切线．(10分)B. 解析：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a －12⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝λ，－1＋2＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，λ＝1.(5分) 所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－12，所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－34.(10分)C. 解析：因为直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝3t ＋2(t 为参数)，所以直线l 的普通方程为y ＝3x ＋2.(3分)因为圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝a sin θ(a >0，θ为参数)，所以圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝a 2.(6分)因为圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝1，(8分) 所以1＋a ＝3，解得a ＝2.(10分) D. 解析：|x －1|＋|x |≥|x －1－x |＝1，当且仅当x (x －1)≤0，即0≤x ≤1时取等号．(4分) |y －1|＋|y ＋1|≥|y －1－y －1|＝2，当且仅当(y －1)(y ＋1)≤0，即－1≤y ≤1时取等号．(8分) 所以|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥3，当且仅当0≤x ≤1，－1≤y ≤1时取等号，所以|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3.(10分)22. 解析：(1) 随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3. P(X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13×(1－14)＝14. P(X ＝1)＝12×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－12×13×⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13×14＝1124， P(X ＝2)＝⎝⎛⎭⎫1－12×13×14＋12×⎝⎛⎭⎫1－13×14＋12×13×⎝⎛⎭⎫1－14＝14， P(X ＝3)＝12×13×14＝124.所以随机变量X 的分布列为X 的数学期望E(X)＝0×14＋1×1124＋2×14＋3×124＝1312.(5分)(2) 设Y 表示乙击中目标的个数．由(1)亦可知，P(Y ＝0)＝14，P(Y ＝1)＝1124，P(Y ＝2)＝14.则P(X ＝0，Y ＝2)＝14×14＝116，P(X ＝1，Y ＝1)＝1124×1124＝121576，P(X ＝2，Y ＝0)＝14×14＝116，(8分)所以P(X ＋Y ＝2)＝P(X ＝0，Y ＝2)＋P(X ＝1，Y ＝1)＋P(X ＝2，Y ＝0)＝193576.所以甲、乙两人共击中目标数为2个的概率为193576.(10分)23. 解析：(1) 当n ＝7时，M ＝{1，2，…，7}，数列T 的个数为C 27×A 22＝42.(2分)(2) 当k ＝1时，则a 1>a 2，a 2<a 3<…<a n ，此时a 2为1，a 1共有(n －1)种选法，余下的(n －2)个数，按从小到大依次排列，共有1种，因此k ＝1时，符合条件的数列T 共有n －1＝C 1n －1(个)．(3分)当2≤k ≤n －2时，则a 1<a 2<…<a k ，a k >a k ＋1，a k ＋1<a k ＋2<…<a n ， 从集合M 中任取k 个数，按从小到大的顺序排列， 再将余下的(n －k)个数，按从小到大的顺序排列．即得满足条件a 1<a 2<…<a k ，a k ＋1<a k ＋2<…<a n 的数列的个数为C k n C n －kn －k ， 这里包含了a k <a k ＋1，即a 1<a 2<…<a k <a k ＋1<a k ＋2<…<a n 的情形，因此符合条件的数列T 的个数为C k n C n －k n －k －1＝C kn －1.(7分) 当k ＝n －1时，即a 1<a 2<…<a n －1，a n －1>a n .此时a n －1为n ，a n 共有(n －1)种选法，余下的(n －2)个数，按从小到大依次排列，共有1种，因此当k ＝n －1时，符合条件的数列T 共有n －1＝C n －1n －1(个)．(8分) 于是所有符合条件的数列T 的个数为： C 1n －1＋C 2n －1＋…＋C n －1n －1＝C 1n ＋C 2n ＋…＋C n －1n －n ＋1＝2n －C 0n －C nn －n ＋1 ＝2n －n －1.(10分)。
南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学附加题
南京市、盐城市 2018 届高三年级第二次模拟考试数学附加题2018.03注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用．2．本试卷共40 分，考试时间30 分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．．．．21．【选做题】在 A、 B、 C 、 D 四小题中只能选做 2 题，每小题10 分，共计卷纸指20 分．请在答．．．．定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．．．．．A．选修 4— 1：几何证明选讲如图， AB 是圆 O 的直径， AC 是弦，∠ BAC 的平分线 AD 交圆 O 于点 D， DE⊥ AC 且交 AC 的延长线于点 E，求证： DE 是圆 O 的切线．B．选修 4— 2：矩阵与变换已知α＝11a为矩阵 A＝－1属于实数λ的一个特征向量，求λ和 A2．12C．选修 4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程为x＝ t，(t 为参数 )，圆 C 的参数方程为x＝ acosθ，y＝3t＋ 2y＝ asinθ(a＞ 0，θ为参数 )，点 P 是圆 C 上的任意一点．若点P 到直线 l 距离的最大值为3，求 a 的值．D．选修 4—5：不等式选讲对任意 x， y∈R，求 |x－ 1|＋ |x|＋ |y－1|＋ |y＋ 1|的最小值．高三数学附加题第1页（共 2页）【必做题】第22 题、第 23 题，每题10 分，共计20 分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出．．．．．．．．文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10 分）甲，乙两人站在P 点处分别向A，B，C 三个目标进行射击，每人向三个目标各射击一次．每人每次射击每个目标均相互独立，且两人各自击中A， B， C 的概率分别都为1，1， 1．234（ 1）设 X 表示甲击中目标的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（ 2）求甲乙两人共击中目标数为 2 个的概率．23．（本小题满分10 分）已知 n∈N * ，且 n≥ 4，数列 T： a1，a2，，a n中的每一项均在集合M＝ {1 ，2，，n }中，且任意两项不相等．（ 1）若 n＝ 7，且 a2＜ a3＜a4＜ a5＜ a6，求数列T 的个数；（ 2）若数列T 中存在唯一的a k（ k∈N *，且 k＜n），满足a k＞ a k＋1，求所有符合条件的数列T 的个数．高三数学附加题第2页（共 2页）。
南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学与答案
南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数 学 2018.03注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n i ＝1∑n (x i －－x )2，其中－x ＝1ni ＝1∑nx i ；锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．函数f (x )＝lg(2－x )的定义域为▲________．2．已知复数z 满足z1＋2i ＝i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为 ▲ ．3．执行如图所示的算法流程图，则输出a 的值为 ▲ ． 4．某学生5次数学考试成绩的茎叶图如图所示，则这组数据的方差为▲________．5．3名教师被随机派往甲、乙两地支教，每名教师只能被派往其中一个地方，则恰有2名教师被派往甲地的概率为 ▲ ．6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 15＝30，a 7＝1，则S 9的值为▲________．7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若b sin A sin B ＋a cos 2B ＝2c ，则a c的值为▲________． 8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 2－y 2b2＝1 (b ＞0) 的两条渐近线与圆O ：222x y +=的四个交点依次为A ，B ，C ，D ．若矩形ABCD 的面积为b ，则b 的值为 ▲ ．9．在边长为4的正方形ABCD 内剪去四个全等的等腰三角形（如图1中阴影部分），折叠成底面边长为2的正四棱锥S -EFGH （如图2），则正四棱锥S －EFGH 的体积为▲________．(第4题)10．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2＋x ．若f (a )＋f (－a )＜4，则实数a 的取值范围为▲________．11．在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝mx ＋1(m ＞0)在x ＝1处的切线为l ，则点(2，－1) 到直线l的距离的最大值为▲________．12．如图，在△ABC 中，边BC 的四等分点依次为D ，E ，F ．若AB →·AC →＝2，AD →·AF →＝5，则AE 的长为▲________．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 为圆C ：(x ＋4)2＋(y －a )2＝16上两个动点，且AB ＝211．若直线l ：y ＝2x 上存在唯一的一个点P ，使得PA →＋PB →＝OC →，则实数a 的值为▲________． A DBCE FGH(图1)SEFGH(图2)(第9题)(第12题)14．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 3＋3x 2＋t ，x ＜0，x ， x ≥0，t ∈R ．若函数g (x )＝f (f (x )－1)恰有4个不同的零点，则t 的取值范围为▲________．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内） 15．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示，直线x ＝π，x ＝7π是其相邻的两条对称轴．（1）求函数f (x )的解析式；（2）若f (α2)＝－65，且2π3＜α＜7π6，求cos α的值．16.（本小题满分14分）如图，矩形ABCD 所在平面与三角形ABE 所在平面互相垂直，AE ＝AB ，M ，N ，H 分别为DE ，AB ，BE 的中点．（1）求证：MN ∥平面BEC ； （2）求证：AH ⊥CE ．BED AHCMN（第15题）17．(本小题满分14分)调查某地居民每年到商场购物次数m 与商场面积S 、到商场距离d 的关系，得到关系式m ＝k ×S d 2(k 为常数)．如图，某投资者计划在与商场A 相距10km 的新区新建商场B ，且商场B 的面积与商场A 的面积之比为λ (0＜λ＜1)．记“每年居民到商场A 购物的次数”、“每年居民到商场B 购物的次数”分别为m 1、m 2，称满足m 1＜m 2的区域叫做商场B 相对于A 的“更强吸引区域”． （1）已知P 与A 相距15km ，且∠PAB ＝60o ．当λ＝12时，居住在P 点处的居民是否在商场B 相对于A 的“更强吸引区域”内？请说明理由；（2）若要使与商场B 相距2 km 以内的区域(含边界)均为商场B 相对于A 的“更强吸引区域”，求λ的取值范围．18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为2 2，上顶点A 到右焦点的距离为 2 ．过点D (0，m )(m ≠0)作不垂直于x 轴，y 轴的直线l 交椭圆E 于P ，Q 两点，C 为线段PQ 的中点，且AC ⊥OC ．（1）求椭圆E 的方程； （2）求实数m 的取值范围；AB(第17题)（3）延长AC 交椭圆E 于点B ，记△AOB 与△AOC 的面积分别为S 1，S 2，若S 1S 2＝83，求直线l 的方程．19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝x (e x －2)，g (x )＝x －ln x ＋k ，k ∈R ，e 为自然对数的底．记函数F (x )＝f (x )＋g (x )．（1）求函数y ＝f (x )＋2x 的极小值；（2）若F (x )＞0的解集为(0，+∞)，求k 的取值范围；（3）记F (x )的极值点为m ．求证：函数G (x )＝|F (x )|＋ln x 在区间(0，m )上单调递增．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)20．(本小题满分16分)对于数列{a n }，定义b n (k )＝a n ＋a n ＋k ，其中n ，k ∈N*． （1）若b n (2)－b n (1)＝1，n ∈N*，求b n (4)－b n (1)的值； （2）若a 1＝2，且对任意的n ，k ∈N*，都有b n ＋1(k )＝2b n (k )．（i ）求数列{a n }的通项公式；（ii ）设k 为给定的正整数，记集合A ＝{b n (k )|n ∈N*}，B ＝{5b n (k ＋2)|n ∈N*}，(第18题)求证：A∩B＝ ．南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学附加题2018.03注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用．2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷纸指定．．．．区域内．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲如图，AB是圆O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交圆O于点D，DE⊥AC且交AC的延长线于点E，求证：DE是圆O的切线．B ．选修4—2：矩阵与变换已知α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11为矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 a －1 2属于实数λ的一个特征向量，求λ和A 2．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝3t ＋2(t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos θ，y ＝a sin θ(a ＞0，θ为参数)，点P 是圆C 上的任意一点．若点P 到直线l 距离的最大值为3，求a 的值．D ．选修4—5：不等式选讲对任意x ，y ∈R ，求|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）甲，乙两人站在P 点处分别向A ，B ，C 三个目标进行射击，每人向三个目标各射击一次．每人每次射击每个目标均相互独立，且两人各自击中A ，B ，C 的概率分别都为12，13，14．（1）设X 表示甲击中目标的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望； （2）求甲乙两人共击中目标数为2个的概率．23．（本小题满分10分）已知n ∈N *，且n ≥4，数列T ：a 1，a 2，…，a n 中的每一项均在集合M ＝{1，2，…，n }中， 且任意两项不相等．（1）若n ＝7，且a 2＜a 3＜a 4＜a 5＜a 6，求数列T 的个数；（2）若数列T 中存在唯一的a k （k ∈N *，且k ＜n ），满足a k ＞a k ＋1，求所有符合条件的数列T的个数．南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学参考答案说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．(－∞，2) 2． 5 3．3 4．16 5．386．－9 7． 28．7 9．4310．(－1，1) 11．2 12． 6 13．2或-18 14．[－4，0)二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)解：（1）设f (x )的周期为T ，则T 2＝7π12－π12＝π2，所以T ＝π．又T ＝2πω，所以ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)． …………………………………3分因为点(π12，2)在函数图象上，所以2sin(2×π12＋φ)＝2，即sin(π6＋φ)＝1．因为－π2＜φ＜π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝2sin(2x ＋π3)．…………………………………7分（2）由f (α2)＝－65，得sin(α＋π3)＝－35．因为2π3＜α＜7π6，所以π＜α＋π3＜3π2，所以cos(α＋π3)＝－1－sin 2(α＋π3)＝－45． ………………………………10分所以cos α＝cos[(α＋π3)－π3]＝cos(α＋π3)cos π3＋sin(α＋π3) sin π3＝－45×12＋(－35)×32＝－33＋410． ………………………………14分16．(本小题满分14分) （1）解法一：取CE 中点F ，连接FB ，MF .因为M 为DE 的中点，F 为CE 的中点，所以MF ∥CD 且MF ＝12CD ． ……………………………………2分又因为在矩形ABCD 中，N 为AB 的中点， 所以BN ∥CD 且BN ＝12CD ，所以MF ∥BN 且MF ＝BN ，所以四边形BNMF 为平行四边形， 所以MN ∥BF ． ……………………………………4分 又MN 平面BEC ，BF 平面BEC ，所以MN ∥平面BEC ． ……………………………………6分 解法二：取AE 中点G ，连接MG ，GN .因为G 为AE 的中点，M 为DE 的中点，所以MG ∥AD ． 又因为在矩形ABCD 中，BC ∥AD ，所以MG ∥BC ． 又因为MG 平面BEC ，BC平面BEC ，所以MG ∥平面BEC ． ……………………………………2分 因为G 为AE 的中点，N 为AB 的中点，所以GN ∥BE ． 又因为GN 平面BEC ，BE 平面BEC ，所以GN ∥平面BEC ． 又因为MG ∩GN ＝G ，MG ，GN 平面GMN ，所以平面GMN ∥平面BEC ． ……………………………………4分 又因为MN 平面GMN ，所以MN ∥平面BEC ． ……………………………………6分 （2）因为四边形ABCD 为矩形，所以BC ⊥AB ．因为平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD ∩平面ABE ＝AB ，BC 平面ABCD ，且BC ⊥AB ， 所以BC ⊥平面ABE ． ……………………………………8分因为AH 平面ABE ，所以BC ⊥AH ．因为AB ＝AE ，H 为BE 的中点，所以BE ⊥AH ． ……………………………………10分 因为BC ∩BE ＝B ，BC 平面BEC ，BE平面BEC ，所以AH ⊥平面BEC ． ……………………………………12分 又因为CE 平面BEC ，所以AH ⊥CE ． ……………………………………14分17．(本小题满分14分)解：设商场A 、B 的面积分别为S 1、S 2，点P 到A 、B 的距离分别为d 1、d 2，则S 2＝λS 1，m 1＝kS 1d 12，m 2＝kS 2d 22，k 为常数，k ＞0．（1）在△PAB 中，AB ＝10，PA ＝15，∠PAB ＝60o ，由余弦定理，得d 22＝PB 2＝AB 2＋PA 2－2AB ·PA cos60°＝102＋152－2×10×15×12＝175． …………………………2分 又d 12＝PA 2＝225， 此时，m 1－m 2＝kS 1 d 12－kS 2 d 22＝kS 1 d 12－kλS 1 d 22＝kS 1(1d 12－λd 22)， (4)分将λ＝12，d 12＝225，d 22＝175代入，得m 1－m 2＝kS 1(1225－1350)．因为kS 1＞0，所以m 1＞m 2，即居住在P 点处的居民不在商场B 相对于A 的“更强吸引区域”内． …………………6分 （2）解法一：以AB 所在直线为x 轴，A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A (0，0)，B (10，0)，设P (x ，y )，(第17题)由m1＜m2得，k S1d12＜kS2d22，将S2＝λS1代入，得d22＜λd12．……8分代入坐标，得(x－10)2＋y2＜λ(x2＋y2)，化简得(1－λ) x2＋(1－λ) y2－20x＋100＜0．……………………10分因为0＜λ＜1，配方得(x－101－λ)2＋y2＜(10λ1－λ)2，所以商场B相对于A的“更强吸引区域”是：圆心为C(101－λ，0)，半径为r1＝10λ1－λ的圆的内部．与商场B相距2 km以内的区域(含边界)是：圆心为B(10，0)，半径为r2＝2的圆的内部及圆周．由题设，圆B内含于圆C，即BC＜| r1－r2|．…………………………12分因为0＜λ＜1，所以101－λ－10＜10λ1－λ－2，整理得4λ－5λ＋1＜0，解得116＜λ＜1．所以，所求λ的取值范围是(116，1)．…………………………14分解法二：要使与商场B相距2 km以内的区域(含边界)均为商场B相对于A的“更强吸引区域”，则当d2≤2时，不等式m1＜m2恒成立．由m1＜m2，得k S1d12＜kS2d22＝kλS1d22，化简得d12＞d22λ．…………………………8分设∠PBA＝θ，则d12＝PA2＝AB2＋PB2－2AB·PB cosθ＝100＋d22－20d2cosθ，…………………………10分所以100＋d 22－20d 2cos θ＞d 22λ，即100＋d 22－d 22λ20d 2＞cos θ．上式对于任意的θ∈[0，π]恒成立，则有100＋d 22－d 22λ20d 2＞1， ………………………12分即1－1λ＞20·1d 2－100·(1d 2)2＝－100(1d 2－110)2＋1 (*)．由于d 2≤2，所以1d 2≥12．当1d 2＝12时，不等式(*)右端的最大值为－15， 所以1－1λ＞－15，解得λ＞116．又0＜λ＜1，所以λ的取值范围是(116，1)． ………………………14分18．(本小题满分16分)解：（1）因为⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a ＝2，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1． …………………………2分解法一：（2）由（1）得A (0，1)．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，C (x 0，y 0)，其中x 0，y 0均不为0，且x 1≠x 2． 因为P ，Q 两点都在椭圆E 上，所以x 12＋2y 12＝2 且x 22＋2y 22＝2，两式相减得y 2－y 1x 2－x 1×y 0x 0＝－12． …………………………4分又y 2－y 1x 2－x 1＝y 0－m x 0，所以y 0－m x 0×y 0x 0＝－12， …………………………6分 即x 02＝2y 0(m －y 0)． ① 又AC ⊥OC ，所以y 0－1x 0×y 0x 0＝－1， …………………………8分即x 02＝y 0(1－y 0)． ②由①②得y 0＝2m －1，x 02＝(1－2m ) (2m －2)∈(0，2)，所以12＜m ＜1． …………………………10分（3）设B (x 3，y 3)，点B 在椭圆E 上，所以x 32＋2y 32＝2．又AC ⊥OC ，所以y 3－1x 3×y 0x 0＝－1，即y 3＝－x 0y 0x 3＋1，代入上式消去y 3，得x 3＝4x 0y 0y 20＋2x 20， …………………………12分所以S 1S 2＝12AO ×|x 3|12AO ×|x 0|＝|x 3x 0|＝|4y 0y 20＋2x 20|．由（2）知y 0＝2m －1，x 02＝(1－2m ) (2m －2)，12＜m ＜1， 所以S 1S 2＝|4(2m －1)(2m －1)2＋2(1－2m )(2m －2) |＝|43－2m |＝43－2m． (14)分因为S 1S 2＝83，所以43－2m ＝83，解得m ＝34，此时y 0＝2m －1＝12，x 02＝(1－2m ) (2m －2)＝14，所以x 0＝±12，所以C 点坐标为(±12，12)，D 点坐标为(0，34)，所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋34． …………………………16分解法二：（2）由（1）得A (0，1)．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，C (x 0，y 0)．设直线l 方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，将其与椭圆E 的方程联立，消去y 得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0 (*)， 所以x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2， …………………………4分所以x 0＝x 1＋x 22＝－2km1＋2k2，y 0＝kx 0＋m ＝m1＋2k 2，即C (－2km 1＋2k 2，m1＋2k2)， 所以k AC ＝y 0－1x 0＝m1＋2k 2－1－2km 1＋2k 2＝2k 2＋1－m2km． …………………………6分又因为k OC ＝y 0x 0＝m1＋2k 2－2km 1＋2k 2＝－12k，且AC ⊥OC ， 所以k AC ×k OC ＝2k 2＋1－m 2km ×(－12k)＝－1，整理得m ＝2k 2＋14k 2＋1． …………………………8分因为k ≠0，则m ＝2k 2＋14k 2＋1＝4k 2＋1－2k 24k 2＋1＝1－2k 24k 2＋1＝1－12＋12k 2∈(12，1)，此时△＝8(2k 2＋1－m )＞0，所以实数m 的取值范围为(12，1)． …………………………10分（3）设B (x 3，y 3)，k AB ＝－1k OC＝2k ，所以直线AB 的方程为y ＝2kx ＋1，与椭圆E 方程联立解得x ＝－8k 1＋8k 2或0（舍），即x 3＝－8k1＋8k2． (12)分又因为x 0＝－2km1＋2k 2＝－2k1＋2k 2×2k 2＋14k 2＋1＝－2k1＋4k 2，所以S 1S 2＝12AO ×|x 3|12AO ×|x 0|＝|－8k1＋8k 2－2k 1＋4k 2|＝4＋16k 21＋8k 2． …………………………14分因为S 1S 2＝83，所以4＋16k 21＋8k 2＝83，解得k ＝±12，此时m ＝2k 2＋14k 2＋1＝34，D 点坐标为(0，34)，所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋34． …………………………16分19．(本小题满分16分)（1）解：y ＝f (x )＋2x ＝x e x ，由y ′＝(1+ x )e x ＝0，解得x ＝－1.列表如下：所以当x ＝－1时，f (x )取得极小值－1e． ………………………2分（2）解：F (x )＝f (x )＋g (x )＝x e x －x －ln x ＋k ，F ′(x )＝(x ＋1)(e x －1x)，设h (x )＝e x －1x (x ＞0)，则h ′(x )＝e x ＋1x2＞0恒成立，所以函数h (x )在(0，＋∞)上单调递增． 又h (12)＝e －2＜0，h (1)＝e －1＞0，且h (x )的图像在(0，＋∞)上不间断，因此h (x )在(0，＋∞)上存在唯一的零点x 0∈(12，1)，且e x＝1x 0．……………………4分当x ∈(0，x 0)时，h (x )＜0，即F ′(x )＜0；当x ∈(x 0，＋∞)时，h (x )＞0，即F ′(x )＞0， 所以F (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，于是x ＝x 0时，函数F (x )取极(最)小值为F (x 0)＝x 0e x 0－x 0－ln x 0＋k ……………………6分 ＝1－x 0－ln 1ex 0＋k ＝1＋k ．因为F (x )＞0的解集为(0，＋∞)，所以1＋k ＞0，即k ＞－1． ……………………8分 （3）证明：由（2）知m ＝x 0，①当1＋k ≥0，即k ≥－1时，F (x )≥0恒成立，于是G (x )＝F (x )＋ln x ＝x e x －x ＋k ，G ′(x )＝(x ＋1)e x －1．因为x ∈(0，m )，所以x ＋1＞1，e x ＞1，于是G ′(x )＞0恒成立，所以函数G (x )在(0，m )上单调递增． ……………………10分 ②当1＋k ＜0，即k ＜－1时，0＜e k ＜12＜x 0＝m ， F (e k )＝e k ( e e k－1)＞0，F (m )＝F (x 0)＝1＋k ＜0，又F (x )在(0，m )上单调递减且图像不间断，所以F (x )在(0，m )上存在唯一的零点x 1． ……………………12分 当0＜x ≤x 1时，F (x )≥0，G (x )＝F (x )＋ln x ＝x e x －x ＋k ，G ′(x )＝(x ＋1)e x －1， 因为0＜x ≤x 1，所以x ＋1＞1，e x ＞1，于是G ′(x )＞0恒成立，所以函数G (x )在(0，x 1]上单调递增； ① ……………………14分 当x 1≤x ＜m 时，F (x )≤0，G (x )＝－F (x )＋ln x ，G ′(x )＝－F ′(x )＋1x，由（2）知，当x 1≤x ＜m 时，F ′(x )＜0，于是G ′(x )＞0恒成立， 所以函数G (x )在[x 1，m )上单调递增； ② 设任意s ，t ∈(0，m )，且s ＜t ， 若t ≤x 1，则由①知G (s )＜G (t ),若s ＜x 1＜t ，则由①知G (s )＜G (x 1)，由②知G (x 1)＜G (t )，于是G (s )＜G (t ), 若x 1≤s ，由②知G (s )＜G (t ), 因此总有G (s )＜G (t ),所以G (x )在(0，m )上单调递增．综上，函数G (x )在(0，m )上单调递增． ………………………16分20．(本小题满分16分)（1）解：因为b n (2)－b n (1)＝1，所以(a n ＋a n ＋2)－(a n ＋a n ＋1)＝1，即a n ＋2－a n ＋1＝1， 因此数列{a n ＋1}是公差为1的等差数列，所以b n (4)－b n (1)＝(a n ＋a n ＋4)－(a n ＋a n ＋1) ＝a n ＋4－a n ＋1＝3． ……………………2分 （2）（i ）解：因为b n ＋1(k )＝2b n (k )，所以a n ＋1＋a n ＋1＋k ＝2(a n ＋a n ＋k )，分别令k ＝1及k ＝2，得⎩⎨⎧a n ＋1＋a n ＋2＝2(a n ＋a n ＋1)， ①a n ＋1＋a n ＋3＝2(a n ＋a n ＋2)， ② ……………………4分由①得a n ＋2＋a n ＋3＝2(a n ＋1＋a n ＋2)， ③ …………………………6分 ③－②得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )， ④ …………………………8分 ①－④得2a n ＋1＝4a n ，即a n ＋1＝2a n ，又a 1＝2，所以a n ＝2n ． …………………………10分（ii ）证明：假设集合A 与集合B 中含有相同的元素，不妨设b n (k )＝5b m (k ＋2)，n ，m ∈N*，即a n ＋a n ＋k ＝5(a m ＋a m ＋k ＋2)，于是2n ＋2n ＋k ＝5(2m ＋2m ＋k ＋2)， 整理得2n －m ＝5(1＋2k ＋2)1＋2k. …………………………12分因为5(1＋2k ＋2)1＋2k ＝5(4－31＋2k )∈[15，20)，即2n －m ∈[15，20)， 因为n ，m ∈N*，从而n －m ＝4， …………………………14分 所以5(1＋2k ＋2)1＋2k ＝16，即4×2k ＝11． 由于k 为正整数，所以上式不成立，因此集合A 与集合B 中不含有相同的元素，即A ∩B ＝∅．…………………………16分南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试 数学附加题参考答案及评分标准 2018.03说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指定．．．．区域内．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：连结OD ，因为OD ＝OA ，所以∠OAD ＝∠ODA ．因为AD 平分∠BAE ，所以∠OAD ＝∠EAD ， ………………3分 所以∠EAD ＝∠ODA ，所以OD ∥AE . ………………5分 又因为AE ⊥DE ，所以DE ⊥OD ． ………………8分 又因为OD 为半径，所以DE 是圆O 的切线． ………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：因为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 a －1 2 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝λ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11 ，所以⎩⎨⎧1＋a ＝λ，－1＋2＝λ， 解方程组得⎩⎨⎧a ＝0，λ＝1．…………………………5分所以A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 0－1 2 ，所以A 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 0－3 4． …………………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：因为直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝3t ＋2(t 为参数)，所以直线l 的普通方程为y ＝3x ＋2． ……………………………3分又因为圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos θ，y ＝a sin θ(a ＞0，θ为参数)，所以圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝a 2． ……………………………6分 因为圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝1， ……………………………8分 所以1＋a ＝3，解得a ＝2． ……………………………10分D ．选修4—5：不等式选讲解：方法一：|x －1|＋|x |≥|x －1－x |＝1，当且仅当x (x －1)≤0，即0≤x ≤1时取等号． ……………………………4分 |y －1|＋|y ＋1|≥|y －1－y －1|＝2，当且仅当(y －1)(y ＋1)≤0，即－1≤y ≤1时取等号． ……………………………8分 所以|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥3， 当且仅当0≤x ≤1，－1≤y ≤1时取等号，所以|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3． …………………………10分 方法二：因为f (x )＝|x －1|＋|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，1，0≤x ＜1，1－2x ，x ＜0，所以f (x )min ＝1． …………………………4分因为g (y )＝|y －1|＋|y ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2y ，y ≥1，2，－1≤y ＜1，－2y ，y ＜－1，所以g (y )min ＝2． …………………………8分 综上，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3． …………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．（本小题满分10分）解：（1）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．P (X ＝0)＝(1－12)×(1－13)×(1－14)＝14，P (X ＝1)＝12×(1－13)×(1－14)＋(1－12)×13×(1－14)＋(1－12)×(1－13)×14＝1124，P (X ＝2)＝(1－12)×13×14＋12×(1－13)×14＋12×13×(1－14)＝14，P (X ＝3)＝12×13×14＝124． 所以，随机变量X 的分布列为X 的数学期望E (X )＝0×14＋1×1124＋2×14＋3×124＝1312． …………………………5分 （2）设Y 表示乙击中目标的个数，由（1）亦可知，P (Y ＝0)＝14，P (Y ＝1)＝1124，P (Y ＝2)＝14．则P (X ＝0，Y ＝2)＝14×14＝116，P (X ＝1，Y ＝1)＝1124×1124＝121576， P (X ＝2，Y ＝0)＝14×14＝116， …………………………8分所以P (X ＋Y ＝2)＝P (X ＝0，Y ＝2)＋P (X ＝1，Y ＝1)＋P (X ＝2，Y ＝0)＝193576．所以，甲乙两人共击中目标数为2个的概率为193576． …………………………10分23．（本小题满分10分）解：（1）当n ＝7时，M ＝{1，2，…，7 }，数列T 的个数为C 27×A 22＝42． ………………………………2分（2）当k ＝1时，则a 1＞a 2，a 2＜a 3＜…＜a n ，此时a 2为1，a 1共有n －1种选法，余下的n －2个数，按从小到大依次排列，共有1种，因此k ＝1时，符合条件的数列T 共有n －1＝C 1n －1个． ……………………………3分当2≤k ≤n －2时，则a 1＜a 2＜…＜a k ，a k ＞a k ＋1，a k ＋1＜a k ＋2＜…＜a n ，从集合M 中任取k 个数，按从小到大的顺序排列， 再将余下的n －k 个数，按从小到大的顺序排列，即得满足条件a 1＜a 2＜…＜a k ，a k ＋1＜a k ＋2＜…＜a n 的数列的个数为C k n C n －k n －k ，这里包含了a k ＜a k ＋1即a 1＜a 2＜…＜a k ＜a k ＋1＜a k ＋2＜…＜a n 的情形，因此符合条件的数列T 的个数为C k n C n －k n －k －1＝C k n －1． ………………………………7分当k ＝n －1时，则a 1＜a 2＜…＜a n －1，a n －1＞a n此时a n －1为n ，a n 共有n －1种选法，余下的n －2个数，按从小到大依次排列，共有1种，因此k＝n－1时，符合条件的数列T共有n－1＝C n－1n－1个．…………………………8分于是所有符合条件的数列T的个数为：C1n－1＋C2n－1＋…＋C n－1n－1＝C1n＋C2n＋…＋C n－1n－n＋1＝2n－C0n－C n n－n＋1＝2n－n－1．………………………………10分。
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盐城市2018/2018学年度高三第二次调研考试数 学 试 题第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题: 本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的.1.设全集}4,3,2,1{=U 两个集合}2{=A ，}4,3,2{=B ，则 等于A. {1}B. {1，3，4}C. {2}D. {3，4}2. 在ABC ∆中,c AB b AC a BC ===,,,如果4,3==b a ,那么“5=c ”是“ABC ∆为直角三角形”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D.既不是充分又不是必要条件3. 若()421x+的展开式的第3项为12，则x 等于A.3log 312 B. 21C. 6log 4D. 2 4.抛物线x y 42=上点)2,(a P 到焦点F 的距离为A. 1B. 2 C .4 D .8 5.已知数列}{n a 的通项公式为*∈-=N n n a n ,32，其前n 项和为n S ，则使48>n S 成立的n 的最小值为 A .7 B. 8C. 9D. 106. 函数)0(1)(2>++=x x x x f 的反函数是A. )1()1(21)(1≥+=-x x x x fB. )1()1(21)(1>+=-x x x x fC. )1()1(21)(1>-=-x x x x f D. )1()1(21)(1<-=-x xx x f 7. 已知函数),(cos sin 2ππ-∈+=x x x y 则下列正确的是A. 是偶函数，有最大值为45B. 是偶函数，有最小值为45C. 是偶函数，有最大值为2D. 是奇函数，没有最小值8. 设0,0>>b a ，则以下不等式中不恒成立．．．．的是 A. ab b a 2≥+ B. ab b a 222-≥+ C.2222b a b a +≥+ D. 223322ab b a b a -≥- 9.已知两个函数)(x f 和)(x g 的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表.填写下列)]([x f g 的表格,其三个数依次为A. 3,1,2 B . 2,1,3 C. 1,2,3 D. 3,2,110. 如果x 、y 满足⎩⎨⎧>+>-00y x y x ，则有A. 0222>++x y xB. 0222<++x y xC. 0222>-+x y xD. 0222<-+x y x11. 已知向量,是两个不共线的非零向量, 向量||||b a =.则向量用向量,一定可以表示为A. n m +=且1,,=+∈n m R n m .B. ⎭⎫⎝⎛-=λR ∈λ C. ⎭⎫⎝⎛+=c λ R ∈λ D. ⎭⎫⎝⎛-=c λ R ∈<λλ,0, 或 ⎭⎫⎝⎛+=c λ R ∈>λλ,0 12. 现要给四棱锥ABCD P -的五个面涂上颜色，要求相邻的面涂不同的颜色，可供选择的颜色共有4种，则不同的涂色方案的种数共有A. 36B. 48C. 72D. 96第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题:本大题共4小题，每小题4分共16分. 13.函数)23(log 13-=x y 的定义域是 ▲ .14.已知)sin 22,cos 22(αα++=，R ∈α，（O 为坐标原点），向量满足=+，则动点Q 的轨迹方程是 ▲ .15.对共有10人的一个数学小组做一次数学测验，测试题由10道单项选择题构成，每答对1题得5分，答则这次测试的平均成绩为 ▲ . 16.在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，如果底边正方形ABCD 的边长为2=AB ，侧棱21=AA ，则下列四个命题：①1AA 与1BC 成ο45角； ② 1AA 与1BC 的距离为2 ； ③ 二面角C AB C --1为22arctan； ④ ⊥D B 1平面AC D 1.则正确命题的序号为 ▲ .三、解答题:本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. ( 本小题满分12分)已知α为钝角，β锐角，且31sin =α，41cos =β. （Ⅰ）求βα2cos 2cos +的值;（Ⅱ）求)2sin(βα+的值.18．( 本小题满分12分)型的人，其他不同血型的人不能互相输血.小明是B 型血，若小明需要输血，问： (Ⅰ)任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少？(Ⅱ)任找两个人，当中至少有一个人，其血可以输给小明的概率是多少？19. ( 本小题满分12分) 如图，三棱锥ABC D -中，ABC ∆是边长为4的正三角形，3=AD ，E 为AB 的中点，ABC AD 平面⊥.(Ⅰ) 求证：平面ABD CDE 平面⊥;(Ⅱ) 求直线AD 和平面CDE 所成的角的大小； (Ⅲ) 求点A 到平面BCD 的距离.20. ( 本小题满分12分)已知正数数列{}n a 中，21=a .若关于x 的方程0412)(12=++-+n n a x a x )(+∈N n 有相等的实根. (Ⅰ)求3,2a a 的值; （Ⅱ）求证3211111111321<++++++++n a a a a )(+∈N n .21. ( 本小题满分12分)已知双曲线1C 的方程为1822=-y x ，椭圆2C 长轴的两个端点恰好为双曲线1C 的两个焦点. （Ⅰ）如果椭圆2C 的两个焦点又是双曲线的两个顶点，求椭圆2C 的方程;（Ⅱ）如果椭圆2C 的方程为1922=+by x ，且椭圆2C 上存在两点A ，B 关于直线1-=x y 对称，求b 取值范围.22.( 本小题满分14分)已知函数1163)(23--+=ax x ax x f ,1263)(2++=x x x g ,和直线m ：9+=kx y .又0)1(=-'f . (Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)是否存在k 的值，使直线m 既是曲线y =f （x ）的切线，又是y =g (x ) 的切线；如果存在，求出k 的值；如果不存在,说明理由.(Ⅲ)如果对于所有2-≥x 的x ,都有)(9)(x g kx x f ≤+≤成立，求k 的取值范围.盐城市2018/2018学年度高三第二次调研考试数 学 试 卷 答 案1.D2.A3.B4.B5.C6.C7.A8.D9.D 10.A 11.C 12.C 13. ),1()1,32(+∞ 14. 044422=++++y x y x 15. 42 16. ②③ 17解. （Ⅰ）βα2cos 2cos +=1cos 2sin 2122-+-βα=9121612⋅-⋅=727- （Ⅱ）由题设条件得 322cos -=α，415sin =β 则βαβαβαsin 2cos cos 2sin )2sin(+=+=βαβααsin )sin 21(cos cos sin 22-+=415)9121(41)322(312⋅-+⋅-⋅⋅=3624157- 解(Ⅰ)对于任一个人，其血型为A ，B ，AB ，O 型的事件分别记为////,,,D C B A ，它们是互斥的，由已知，有28.0)(/=A P ，29.0)(/=B P 08.0)(/=C P 35.0)(/=D P因为B ，O 型血可以输给B 型血的人，故“可以输给B 型血的人”为事件//D B + 根据互斥事件的加法公式，有)(//D B P +==+35.029.064.0. 所以任何一人.其血可以输给小明的概率64.0(Ⅱ) 由于A ，AB 型血不能输给B 型血的人，一个人“不能输给B 型的人”为事件//C A +)()()(////C P A P C A P +=+=36.008.028.0=+“任何两个人，其中至少有一个人，可以输给小明”的事件记为E ，他的对立事件为：两个人都不能输血给小明，则=)(E P 36.036.01⋅-=8704.0.所以，任何二个人，其中至少有一个人，其血可以输给小明的概率为8704.0 答：略19.解：(Ⅰ) ABC AD 平面⊥，ABC CE 平面⊂ ∴CE AD ⊥，又 ABC ∆为正三角形，E 为AB 的中点，∴AB CE ⊥ 而A AD AB =⋂ ∴A B D CE 平面⊥，又CDE CE 平面⊂ ∴ABD CDE 平面平面⊥（Ⅱ）由（Ⅰ）得ABD CDE 平面平面⊥，∴AD 在平面CDE 上的射影为DE 所以ADE ∠即为所成的角.ADE ∆为∆Rt ，且AE=2，AD=3，32tan =∠∴ADE ∴32arctan=∠ADE ，即直线AD 与平面CDE 所成的角为32arctan （Ⅲ）取AB 的中点M ，连接DM ，过C 点在平面DCM 内作DM CN ⊥于N证得DCM AB 平面⊥，所以ABD CN 平面⊥CM=32，DM=21，CM DC CN DM ⋅=⋅所以3621=⋅CN 776=CN （ 20.解：(Ⅰ)由题意得0121=--=∆+n n a a 得121+=+n n a a 得52=a ，113=a （Ⅱ）由于121+=+n n a a =1)12(21++-n a =12212++-n a =12)12(222+++-n a =1222223+++-n a =12222211+++++-- n n na =212121--++n n =123-⋅n ∴1231-⋅=+n n a 则n a a a a ++++++++11111111321 =)21212121(31120-+++n =11)21(131--n =))21(1(32n -32<所以3211111111321<++++++++n a a a a21.解（Ⅰ）在双曲线1C 的方程1822=-y x 中3,1==c a ，则椭圆2C 方程为18922=+y x （Ⅱ）椭圆2C 方程为)90(1922<<=+b by x ， A 、B 点所在直线方程设为m x y +-=， 代入椭圆2C 方程得0)(918)9(22=-+-+b m mx x b由0))(9(36)18(22>-+-=∆b m b m 得92+<b m 设),(),,(2211y x B y x A 那么91821+=+b m x x ， 99221+=+b m x x ，所以b bm y y +=+9221将99221+=+b m x x ，bbmy y +=+9221代入直线1-=x y 得b b m -+=99再将bb m -+=99代入92+<b m 得072192>+-b b ，解得27319+>b （舍去）或27319-<b ， 90<<b ∴ 273190-<<b22.解：（Ⅰ）因为a x ax x f 663)(2-+=',所以0)1(=-'f 即0663=--a a ,所以a =－2.(Ⅱ)因为直线m 恒过点（0，9）.先求直线m 是y =g (x ) 的切线.设切点为)1263,(0200++x x x ,因为66)(00+='x x g .所以切线方程为))(66()1263(00020x x x x x y -+=++-,将点（0，9）代入得10±=x . 当10-=x 时，切线方程为y =9, 当10=x 时，切线方程为y =12x +9.由0)(/=x f 得012662=++-x x ，即有2,1=-=x x 当1-=x 时，)(x f y =的切线18-=y ，当2=x 时， )(x f y =的切线方程为9=y ∴9=y 是公切线，又由12)(/=x f 得1212662=++-x x ∴0=x 或1=x ， 当0=x 时)(x f y =的切线为1112-=x y ，当1=x 时)(x f y =的切线为1012-=x y ，∴912+=x y ，不是公切线 综上所述 0=k 时9=y 是两曲线的公切线(Ⅲ).（1）)(9x g kx ≤+得3632++≤x x kx ，当0=x ，不等式恒成立，R k ∈.当02<≤-x 时，不等式为6)1(3++≥xx k ， 而6])(1)[(36)1(3+-+--=++x x x x 0623=+⋅-≤0≥∴k 当0>x 时，不等式为6)1(3++≤x x k ， 126)1(3≥++xx ∴12≤k∴当2-≥x 时,)(9x g kx ≤+恒成立，则120≤≤k（2）由9)(+≤kx x f 得111232923-++-≥+x x x kx当0=x 时，119-≥恒成立，R k ∈，当02<≤-x 时有xx x k 2012322-++-≤ 设x x x x h 201232)(2-++-==x x 208105)43(22-+--，当02<≤-x 时8105)43(22+--x 为增函数，x20-也为增函数∴8)2()(=-≥h x h∴要使9)(+≤kx x f 在02<≤-x 上恒成立，则8≤k由上述过程只要考虑80≤≤k ，则当0>x 时12166)(2/++-=x x x f =)2)(1(6-+-x x∴在]2,0(∈x 时0)(/>x f ，在),2(+∞时0)(/<x f ∴)(x f 在2=x 时有极大值即)(x f 在),0(+∞上的最大值，又9)2(=f ，即9)(≤x f 而当0>x ,0≥k 时99>+kx ，∴9)(+≤kx x f 一定成立综上所述80≤≤k .。
9.江苏省南京市、盐城市、连云港市2018届高三年级第二次模拟考试数学与评分标准
南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数 学 2018.03一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．函数f (x )＝lg(2－x )的定义域为▲________．2．已知复数z 满足z 1＋2i ＝i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为 ▲ ．3．执行如图所示的算法流程图，则输出a 的值为 ▲ ．4．某学生5次数学考试成绩的茎叶图如图所示，则这组数据的方差为▲________．5．3名教师被随机派往甲、乙两地支教，每名教师只能被派往其中一个地方，则恰有2名教师被派往甲地的概率为 ▲ ．6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 15＝30，a 7＝1，则S 9的值为▲________．7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若b sin A sin B ＋a cos 2B ＝2c ，则ac 的值为▲________．8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 2－y 2b2＝1 (b ＞0) 的两条渐近线与圆O ：222x y +=的四个交点依次为A ，B ，C ，D ．若矩形ABCD 的面积为b ，则b 的值为 ▲ ．9．在边长为4的正方形ABCD 内剪去四个全等的等腰三角形（如图1中阴影部分），折叠成底面边长为2的正四棱锥S -EFGH （如图2），则正四棱锥S －EFGH 的体积为▲________．(第3题)(第4题) ABEF GHSFG10．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2＋x ．若f (a )＋f (－a )＜4，则实数a 的取值范围为▲________．11．在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝m x ＋1(m ＞0)在x ＝1处的切线为l ，则点(2，－1) 到直线l 的距离的最大值为▲________．12．如图，在△ABC 中，边BC 的四等分点依次为D ，E ，F ．若AB →·AC →＝2，AD →·AF →＝5，则AE 的长为▲________．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 为圆C ：(x ＋4)2＋(y －a )2＝16上两个动点，且AB ＝211．若直线l ：y ＝2x 上存在唯一的一个点P ，使得P A →＋PB →＝OC →，则实数a 的值为▲________．14．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 3＋3x 2＋t ，x ＜0，x ， x ≥0，t ∈R ．若函数g (x )＝f (f (x )－1)恰有4个不同的零点，则t的取值范围为▲________．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内） 15．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示，直线x ＝π12，x ＝7π12是其相邻的两条对称轴．（1）求函数f (x )的解析式；（2）若f (α2)＝－65，且2π3＜α＜7π6，求cos α的值．（第15题） (第12题)16.（本小题满分14分）如图，矩形ABCD 所在平面与三角形ABE 所在平面互相垂直，AE ＝AB ，M ，N ，H 分别为DE ，AB ，BE 的中点．（1）求证：MN ∥平面BEC ； （2）求证：AH ⊥CE ．17．(本小题满分14分)调查某地居民每年到商场购物次数m 与商场面积S 、到商场距离d 的关系，得到关系式m ＝k ×Sd 2(k 为常数)．如图，某投资者计划在与商场A 相距10km 的新区新建商场B ，且商场B 的面积与商场A 的面积之比为λ (0＜λ＜1)．记“每年居民到商场A 购物的次数”、“每年居民到商场B 购物的次数”分别为m 1、m 2，称满足m 1＜m 2的区域叫做商场B 相对于A 的“更强吸引区域”． （1）已知P 与A 相距15km ，且∠P AB ＝60o ．当λ＝12时，居住在P 点处的居民是否在商场B 相对于A 的“更强吸引区域”内？请说明理由；（2）若要使与商场B 相距2 km 以内的区域(含边界)均为商场B 相对于A 的“更强吸引区域”，求λ的取值范围．（第16题） BEDAHCMNAB(第17题)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为 22，上顶点A 到右焦点的距离为 2 ．过点D (0，m )(m ≠0)作不垂直于x 轴，y 轴的直线l 交椭圆E 于P ，Q 两点，C 为线段PQ 的中点，且AC ⊥OC ． （1）求椭圆E 的方程； （2）求实数m 的取值范围；（3）延长AC 交椭圆E 于点B ，记△AOB 与△AOC 的面积分别为S 1，S 2，若S 1S 2＝83，求直线l 的方程．(第18题)已知函数f (x)＝x(e x－2)，g (x)＝x－ln x＋k，k∈R，e为自然对数的底．记函数F(x)＝f(x)＋g (x)．（1）求函数y＝f (x)＋2x的极小值；（2）若F(x)＞0的解集为(0，+∞)，求k的取值范围；（3）记F(x)的极值点为m．求证：函数G(x)＝|F(x)|＋ln x在区间(0，m)上单调递增．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)对于数列{a n}，定义b n(k)＝a n＋a n＋k，其中n，k∈N*．（1）若b n(2)－b n(1)＝1，n∈N*，求b n(4)－b n(1)的值；（2）若a1＝2，且对任意的n，k∈N*，都有b n＋1(k)＝2b n(k)．（i）求数列{a n}的通项公式；（ii）设k为给定的正整数，记集合A＝{b n(k)|n∈N*}，B＝{5b n(k＋2)|n∈N*}，求证：A∩B＝ ．南京市、盐城市2018届高三第二次模拟考试数学附加题21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分，请在答题纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．B．选修4-2:矩阵与变换已知a=为矩阵A=属于实数λ的一个特征向量，求λ和A2．C．选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线，的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为 (a>0，θ为参数)，点P是圆C上的任意一点，若点P到直线，距离的最大值为3，求a的值，【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）甲，乙两人站在P点处分别向A，B，C三个目标进行射击，每人向兰个目标各射击一次，每人每次射击每个目标均相互独立，且两人各自击中A，B，C的概率分别都为(1)设X表示甲击中目标的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)求甲乙两人共击中目标数为2个的概率．23．（本小题满分10分）已知n∈N*，且n≥4，数列T：a1，a2，…，a n中的每一项均在集合M={l，2，…，n}中，且任意两项不相等．(1)若n=7,且a2<a3<a4<a5<a6，求数列T的个数；(2)若数列T中存在唯一的a k(k∈N*，且k<n)，满足a k >a k+1，求所有符合条件的数列T的个数.南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学参考答案说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．(－∞，2) 2． 5 3．3 4．16 5．38 6．－9 7． 2 8．79．43 10．(－1，1) 11． 2 12． 6 13．2或-18 14．[－4，0) 二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)解：（1）设f (x )的周期为T ，则T 2＝7π12－π12＝π2，所以T ＝π．又T ＝2πω，所以ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)． …………………………………3分因为点(π12，2)在函数图象上，所以2sin(2×π12＋φ)＝2，即sin(π6＋φ)＝1．因为－π2＜φ＜π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝2sin(2x ＋π3)．…………………………………7分（2）由f (α2)＝－65，得sin(α＋π3)＝－35．因为2π3＜α＜7π6，所以π＜α＋π3＜3π2，所以cos(α＋π3)＝－1－sin 2(α＋π3)＝－45． ………………………………10分所以cos α＝cos[(α＋π3)－π3]＝cos(α＋π3)cos π3＋sin(α＋π3) sin π3＝－45×12＋(－35)×32＝－33＋410． ………………………………14分16．(本小题满分14分)（1）解法一：取CE 中点F ，连接FB ，MF .因为M 为DE 的中点，F 为CE 的中点，所以MF ∥CD 且MF ＝12CD ． ……………………………………2分又因为在矩形ABCD 中，N 为AB 的中点， 所以BN ∥CD 且BN ＝12CD ，所以MF ∥BN 且MF ＝BN ，所以四边形BNMF 为平行四边形，所以MN ∥BF ． ……………………………………4分 又MN ⊄平面BEC ，BF ⊂平面BEC ，所以MN ∥平面BEC ． ……………………………………6分 解法二：取AE 中点G ，连接MG ，GN .因为G 为AE 的中点，M 为DE 的中点，所以MG ∥AD ． 又因为在矩形ABCD 中，BC ∥AD ，所以MG ∥BC ． 又因为MG ⊄平面BEC ，BC ⊂平面BEC ，所以MG ∥平面BEC ． ……………………………………2分 因为G 为AE 的中点，N 为AB 的中点，所以GN ∥BE ．又因为GN ⊄平面BEC ，BE ⊂平面BEC ，所以GN ∥平面BEC ． 又因为MG ∩GN ＝G ，MG ，GN ⊂平面GMN ，所以平面GMN ∥平面BEC ． ……………………………………4分 又因为MN ⊂平面GMN ，所以MN ∥平面BEC ． ……………………………………6分 （2）因为四边形ABCD 为矩形，所以BC ⊥AB ．因为平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD ∩平面ABE ＝AB ，BC ⊂平面ABCD ，且BC ⊥AB ， 所以BC ⊥平面ABE ． ……………………………………8分 因为AH ⊂平面ABE ，所以BC ⊥AH ．因为AB ＝AE ，H 为BE 的中点，所以BE ⊥AH ． ……………………………………10分 因为BC ∩BE ＝B ，BC ⊂平面BEC ，BE ⊂平面BEC ，所以AH ⊥平面BEC ． ……………………………………12分 又因为CE ⊂平面BEC ，所以AH ⊥CE ． ……………………………………14分 17．(本小题满分14分)解：设商场A 、B 的面积分别为S 1、S 2，点P 到A 、B 的距离分别为d 1、d 2，则S 2＝λS 1，m 1＝k S 1 d 12，m 2＝k S 2d 22，k 为常数，k ＞0．（1）在△P AB 中，AB ＝10，P A ＝15，∠P AB ＝60o ，由余弦定理，得d 22＝PB 2＝AB 2＋P A 2－2AB ·P A cos60°＝102＋152－2×10×15×12＝175． …………………………2分又d 12＝P A 2＝225，此时，m 1－m 2＝k S 1 d 12－k S 2 d 22＝k S 1 d 12－k λS 1 d 22＝kS 1(1 d 12－λd 22)， …………………………4分将λ＝12，d 12＝225，d 22＝175代入，得m 1－m 2＝kS 1(1225－1350)．因为kS 1＞0，所以m 1＞m 2，即居住在P 点处的居民不在商场B 相对于A 的“更强吸引区域”内． …………………6分 （2）解法一：以AB 所在直线为x 轴，A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A (0，0)，B (10，0)，设P (x ，y )，由m 1＜m 2得，k S 1 d 12＜k S 2d 22，将S 2＝λS 1代入，得d 22＜λd 12．……8分代入坐标，得(x －10)2＋y 2＜λ(x 2＋y 2)，化简得(1－λ) x 2＋(1－λ) y 2－20x ＋100＜0． ……………………10分 因为0＜λ＜1，配方得 (x －101－λ)2＋y 2＜(10λ1－λ)2， 所以商场B 相对于A 的“更强吸引区域”是：圆心为C (101－λ，0)，半径为r 1＝10λ1－λ的圆的内部．与商场B 相距2 km 以内的区域(含边界)是：圆心为B (10，0)，半径为r 2＝2的圆的内部及圆周．由题设，圆B 内含于圆C ，即BC ＜| r 1－r 2|． …………………………12分 因为0＜λ＜1，所以101－λ－10＜10λ1－λ－2，整理得4λ－5λ＋1＜0，解得116＜λ＜1．所以，所求λ的取值范围是(116，1)． …………………………14分解法二：要使与商场B 相距2 km 以内的区域(含边界)均为商场B 相对于A 的“更强吸引区域”， 则当d 2≤2时，不等式m 1＜m 2恒成立．由m 1＜m 2，得k S 1 d 12＜k S 2 d 22＝k λS 1 d 22，化简得d 12＞d 22λ． …………………………8分设∠PBA ＝θ，则d 12＝P A 2＝AB 2＋PB 2－2AB ·PB cos θ＝100＋d 22－20d 2cos θ， …………………………10分 所以100＋d 22－20d 2cos θ＞d 22λ，即100＋d 22－d 22λ20d 2＞cos θ．上式对于任意的θ∈[0，π]恒成立，则有100＋d 22－d 22λ20d 2＞1， ………………………12分即1－1λ＞20·1d 2－100·(1d 2)2＝－100(1d 2－110)2＋1 (*)．由于d 2≤2，所以1d 2≥12．当1d 2＝12时，不等式(*)右端的最大值为－15， 所以1－1λ＞－15，解得λ＞116．又0＜λ＜1，所以λ的取值范围是(116，1)． ………………………14分(第17题)18．(本小题满分16分)解：（1）因为⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a ＝2，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1． …………………………2分解法一：（2）由（1）得A (0，1)．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，C (x 0，y 0)，其中x 0，y 0均不为0，且x 1≠x 2． 因为P ，Q 两点都在椭圆E 上，所以x 12＋2y 12＝2 且x 22＋2y 22＝2，两式相减得y 2－y 1x 2－x 1×y 0x 0＝－12． …………………………4分又y 2－y 1x 2－x 1＝y 0－m x 0 ，所以y 0－m x 0×y 0x 0＝－12， …………………………6分即x 02＝2y 0(m －y 0)． ①又AC ⊥OC ，所以y 0－1x 0×y0x 0＝－1， …………………………8分即x 02＝y 0(1－y 0)． ②由①②得y 0＝2m －1，x 02＝(1－2m ) (2m －2)∈(0，2)，所以12＜m ＜1． …………………………10分（3）设B (x 3，y 3)，点B 在椭圆E 上，所以x 32＋2y 32＝2．又AC ⊥OC ，所以y 3－1x 3×y 0x 0＝－1，即y 3＝－x0y 0x 3＋1，代入上式消去y 3，得x 3＝4x 0y0y 20＋2x 20， …………………………12分所以S 1S 2＝12AO ×|x 3| 12AO ×|x 0|＝|x 3x 0|＝|4y 0y 20＋2x 20|．由（2）知y 0＝2m －1，x 02＝(1－2m ) (2m －2)，12＜m ＜1，所以S 1S 2＝|4(2m －1)(2m －1)2＋2(1－2m )(2m －2) |＝|43－2m |＝43－2m ． …………………………14分 因为S 1S 2＝83，所以43－2m ＝83，解得m ＝34，此时y 0＝2m －1＝12，x 02＝(1－2m ) (2m －2)＝14，所以x 0＝±12，所以C 点坐标为(±12，12)，D 点坐标为(0，34)，所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋34． …………………………16分解法二：（2）由（1）得A (0，1)．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，C (x 0，y 0)．设直线l 方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，将其与椭圆E 的方程联立，消去y 得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0 (*)，所以x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2， …………………………4分所以x 0＝x 1＋x 22＝－2km 1＋2k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m 1＋2k 2，即C (－2km 1＋2k 2，m1＋2k 2)， 所以k AC ＝y 0－1x 0＝m1＋2k 2－1－2km 1＋2k 2＝2k 2＋1－m2km ． …………………………6分又因为k OC ＝y 0x 0＝m 1＋2k 2－2km 1＋2k 2＝－12k，且AC ⊥OC ，所以k AC ×k OC ＝2k 2＋1－m 2km ×(－12k)＝－1，整理得m ＝2k 2＋14k 2＋1． …………………………8分因为k ≠0，则m ＝2k 2＋14k 2＋1＝4k 2＋1－2k 24k 2＋1＝1－2k 24k 2＋1＝1－12＋12k 2 ∈(12，1)， 此时△＝8(2k 2＋1－m )＞0，所以实数m 的取值范围为(12，1)． …………………………10分（3）设B (x 3，y 3)，k AB ＝－1k OC ＝2k ，所以直线AB 的方程为y ＝2kx ＋1，与椭圆E 方程联立解得x ＝－8k 1＋8k 2或0（舍），即x 3＝－8k1＋8k 2． …………………12分 又因为x 0＝－2km 1＋2k 2＝－2k 1＋2k 2×2k 2＋14k 2＋1＝－2k1＋4k 2，所以S 1S 2＝12AO ×|x 3| 12AO ×|x 0|＝|－8k 1＋8k 2－2k 1＋4k 2|＝4＋16k 21＋8k 2． …………………………14分因为S 1S 2＝83，所以4＋16k 21＋8k 2＝83，解得k ＝±12， 此时m ＝2k 2＋14k 2＋1＝34，D 点坐标为(0，34)，所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋34． …………………………16分19．(本小题满分16分)（1）解：y ＝f (x )＋2x ＝x e x ，由y ′＝(1+ x )e x ＝0，解得x ＝－1.所以当x ＝－1时，f (x )取得极小值－1e ． ………………………2分（2）解：F (x )＝f (x )＋g (x )＝x e x －x －ln x ＋k ，F ′(x )＝(x ＋1)(e x －1x)，设h (x )＝e x －1x (x ＞0)，则h ′(x )＝e x ＋1x 2＞0恒成立，所以函数h (x )在(0，＋∞)上单调递增．又h (12)＝e －2＜0，h (1)＝e －1＞0，且h (x )的图像在(0，＋∞)上不间断，因此h (x )在(0，＋∞)上存在唯一的零点x 0∈(12，1)，且e x＝1x 0．……………………4分当x ∈(0，x 0)时，h (x )＜0，即F ′(x )＜0；当x ∈(x 0，＋∞)时，h (x )＞0，即F ′(x )＞0， 所以F (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，于是x ＝x 0时，函数F (x )取极(最)小值为F (x 0)＝x 0e x 0－x 0－ln x 0＋k ……………………6分＝1－x 0－ln 1ex 0＋k ＝1＋k ．因为F (x )＞0的解集为(0，＋∞)，所以1＋k ＞0，即k ＞－1． ……………………8分 （3）证明：由（2）知m ＝x 0，①当1＋k ≥0，即k ≥－1时，F (x )≥0恒成立，于是G (x )＝F (x )＋ln x ＝x e x －x ＋k ，G ′(x )＝(x ＋1)e x －1．因为x ∈(0，m )，所以x ＋1＞1，e x ＞1，于是G ′(x )＞0恒成立，所以函数G (x )在(0，m )上单调递增． ……………………10分 ②当1＋k ＜0，即k ＜－1时，0＜e k ＜12＜x 0＝m ，F (e k )＝e k ( e e k－1)＞0，F (m )＝F (x 0)＝1＋k ＜0， 又F (x )在(0，m )上单调递减且图像不间断，所以F (x )在(0，m )上存在唯一的零点x 1． ……………………12分 当0＜x ≤x 1时，F (x )≥0，G (x )＝F (x )＋ln x ＝x e x －x ＋k ，G ′(x )＝(x ＋1)e x －1， 因为0＜x ≤x 1，所以x ＋1＞1，e x ＞1，于是G ′(x )＞0恒成立，所以函数G (x )在(0，x 1]上单调递增； ① ……………………14分 当x 1≤x ＜m 时，F (x )≤0，G (x )＝－F (x )＋ln x ，G ′(x )＝－F ′(x )＋1x ，由（2）知，当x 1≤x ＜m 时，F ′(x )＜0，于是G ′(x )＞0恒成立， 所以函数G (x )在[x 1，m )上单调递增； ② 设任意s ，t ∈(0，m )，且s ＜t ， 若t ≤x 1，则由①知G (s )＜G (t ),若s ＜x 1＜t ，则由①知G (s )＜G (x 1)，由②知G (x 1)＜G (t )，于是G (s )＜G (t ),若x 1≤s ，由②知G (s )＜G (t ), 因此总有G (s )＜G (t ),所以G (x )在(0，m )上单调递增．综上，函数G (x )在(0，m )上单调递增． ………………………16分20．(本小题满分16分)（1）解：因为b n (2)－b n (1)＝1，所以(a n ＋a n ＋2)－(a n ＋a n ＋1)＝1，即a n ＋2－a n ＋1＝1， 因此数列{a n ＋1}是公差为1的等差数列，所以b n (4)－b n (1)＝(a n ＋a n ＋4)－(a n ＋a n ＋1) ＝a n ＋4－a n ＋1＝3． ……………………2分 （2）（i ）解：因为b n ＋1(k )＝2b n (k )，所以a n ＋1＋a n ＋1＋k ＝2(a n ＋a n ＋k )，分别令k ＝1及k ＝2，得⎩⎨⎧a n ＋1＋a n ＋2＝2(a n ＋a n ＋1)， ①a n ＋1＋a n ＋3＝2(a n ＋a n ＋2)， ②……………………4分由①得a n ＋2＋a n ＋3＝2(a n ＋1＋a n ＋2)， ③ …………………………6分 ③－②得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )， ④ …………………………8分 ①－④得2a n ＋1＝4a n ，即a n ＋1＝2a n ，又a 1＝2，所以a n ＝2n ． …………………………10分（ii ）证明：假设集合A 与集合B 中含有相同的元素，不妨设b n (k )＝5b m (k ＋2)，n ，m ∈N*， 即a n ＋a n ＋k ＝5(a m ＋a m ＋k ＋2)， 于是2n ＋2n ＋k ＝5(2m ＋2m＋k ＋2)，整理得2n －m＝5(1＋2k ＋2)1＋2k. …………………………12分因为5(1＋2k ＋2)1＋2k ＝5(4－31＋2k )∈[15，20)，即2n －m∈[15，20)， 因为n ，m ∈N*，从而n －m ＝4， …………………………14分 所以5(1＋2k ＋2)1＋2k＝16，即4×2k ＝11． 由于k 为正整数，所以上式不成立，因此集合A 与集合B 中不含有相同的元素，即A ∩B ＝∅．…………………………16分南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试 数学附加题参考答案及评分标准 2018.03说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域．．．．．．内．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：连结OD ，因为OD ＝OA ，所以∠OAD ＝∠ODA ．因为AD 平分∠BAE ，所以∠OAD ＝∠EAD ， ………………3分 所以∠EAD ＝∠ODA ，所以OD ∥AE . ………………5分 又因为AE ⊥DE ，所以DE ⊥OD ． ………………8分 又因为OD 为半径，所以DE 是圆O 的切线． ………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1a －12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝λ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 ，所以⎩⎨⎧1＋a ＝λ，－1＋2＝λ，解方程组得⎩⎨⎧a ＝0，λ＝1． …………………………5分所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－1 2 ，所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－3 4． …………………………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：因为直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝3t ＋2(t 为参数)，所以直线l 的普通方程为y ＝3x ＋2． ……………………………3分又因为圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos θ，y ＝a sin θ(a ＞0，θ为参数)，所以圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝a 2． ……………………………6分 因为圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝1， ……………………………8分 所以1＋a ＝3，解得a ＝2．……………………………10分D ．选修4—5：不等式选讲解：方法一：|x －1|＋|x |≥|x －1－x |＝1，当且仅当x (x －1)≤0，即0≤x ≤1时取等号． ……………………………4分 |y －1|＋|y ＋1|≥|y －1－y －1|＝2，当且仅当(y －1)(y ＋1)≤0，即－1≤y ≤1时取等号． ……………………………8分 所以|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥3， 当且仅当0≤x ≤1，－1≤y ≤1时取等号，所以|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3． …………………………10分 方法二：因为f (x )＝|x －1|＋|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，1，0≤x ＜1，1－2x ，x ＜0，所以f (x )min ＝1． …………………………4分 因为g (y )＝|y －1|＋|y ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2y ，y ≥1，2，－1≤y ＜1，－2y ，y ＜－1，所以g (y )min ＝2． …………………………8分 综上，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3． …………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．（本小题满分10分）解：（1）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．P (X ＝0)＝(1－12)×(1－13)×(1－14)＝14，P (X ＝1)＝12×(1－13)×(1－14)＋(1－12)×13×(1－14)＋(1－12)×(1－13)×14＝1124，P (X ＝2)＝(1－12)×13×14＋12×(1－13)×14＋12×13×(1－14)＝14，P (X ＝3)＝12×13×14＝124．所以，随机变量X 的分布列为X 的数学期望E (X )＝0×14＋1×1124＋2×14＋3×124＝1312． …………………………5分（2）设Y 表示乙击中目标的个数，由（1）亦可知，P (Y ＝0)＝14，P (Y ＝1)＝1124，P (Y ＝2)＝14．则P (X ＝0，Y ＝2)＝14×14＝116，P (X ＝1，Y ＝1)＝1124×1124＝121576，P (X ＝2，Y ＝0)＝14×14＝116， …………………………8分所以P (X ＋Y ＝2)＝P (X ＝0，Y ＝2)＋P (X ＝1，Y ＝1)＋P (X ＝2，Y ＝0)＝193576．所以，甲乙两人共击中目标数为2个的概率为193576． …………………………10分23．（本小题满分10分）解：（1）当n ＝7时，M ＝{1，2，…，7 }，数列T 的个数为C 27×A 22＝42． ………………………………2分（2）当k ＝1时，则a 1＞a 2，a 2＜a 3＜…＜a n ，此时a 2为1，a 1共有n －1种选法，余下的n －2个数，按从小到大依次排列，共有1种，因此k ＝1时，符合条件的数列T 共有n －1＝C 1n －1个． ……………………………3分当2≤k ≤n －2时，则a 1＜a 2＜…＜a k ，a k ＞a k ＋1，a k ＋1＜a k ＋2＜…＜a n ，从集合M 中任取k 个数，按从小到大的顺序排列， 再将余下的n －k 个数，按从小到大的顺序排列，即得满足条件a 1＜a 2＜…＜a k ，a k ＋1＜a k ＋2＜…＜a n 的数列的个数为C k n C n －k n －k ，这里包含了a k ＜a k ＋1即a 1＜a 2＜…＜a k ＜a k ＋1＜a k ＋2＜…＜a n 的情形，因此符合条件的数列T 的个数为C k n C n －k n －k －1＝C k n －1． ………………………………7分当k ＝n －1时，则a 1＜a 2＜…＜a n －1，a n －1＞a n此时a n －1为n ，a n 共有n －1种选法，余下的n －2个数，按从小到大依次排列，共有1种，因此k ＝n －1时，符合条件的数列T 共有n －1＝C n －1n －1个．…………………………8分于是所有符合条件的数列T 的个数为：C 1n －1＋C 2n －1＋…＋C n －1n －1＝C 1n ＋C 2n ＋…＋C n －1n －n ＋1 ＝2n －C 0n －C n n －n ＋1＝2n －n －1． ………………………………10分。
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江苏省盐城中学2018届高三年级第二次模拟考试数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第一卷从第1页到第2页，第二卷从2页到第3页.考试结束后，将答题卡和答题纸一并交回.满分150分.考试时间120分钟.第一卷 (选择题，共50分)注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上.用2B 铅笔将答题卡试卷类型（A ）填涂在答题卡上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知{|1}A x x =<，}0))(2(|{≤--=a x x x B ，若1≤a 则=B A （A ）{|2}x x ≤ （B ）{|1}x x ≤ （C ） {|2}x x ≥ （D ）{|1}x x ≥2.设21cos ),0,2(=-∈απα，则=+)6tan(πα （A ）3 （B ）33 （C ）3- （D ）33- 3.设等差数列}{n a 的前n 项和是n S ，且0864=++a a a ，则6S 与5S 的大小关系是 （A ）56S S < （B ） 56S S > （C ） 56S S = （D ）无法确定 4.设b a 、表示直线，βα、表示平面，则βα//的充分条件是 （A ）b a b a //,,βα⊂⊂ （B ）βα⊥⊥b a b a ,,// （C ）αββα//,//,,b a b a ⊂⊂ （D ）αβ⊥⊥⊥b a b a ,,5.与直线34-=x y 平行的曲线23-+=x x y 的切线方程是（A ）04=-y x （B ）044=--y x（C ）024=--y x （D ）04=-y x 或044=--y x6.将函数x y 2cos =的图象沿向量a平移得到函数1)62sin(--=πx y 的图象，则向量a可以是 （A ）)1,3(-π（B ）)1,6(π （C ）)1,3(--π （D ）)1,6(π-7.若实数y x 、满足：⎩⎨⎧≤+≥+1022y x y x ，则y x +2的最小值是 （A ）2-（B ）22-（C ）5- （D ）52- 8.某水电站的蓄水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示．已知某天0点到6点进行机组试运行，且该水池的蓄水量与时间（时间单位：小时）的关系如图丙所示：丙乙甲给出以下三个判断:①0点到3点只进水不出水；②3点到4点，不进水只出水；③4点到6点不进水不出水. 则上述判断中一定正确的是（A ）① （B ）② （C ）①③ （D ）②③ 9.设函数xxx x f -+⋅=11ln)(，若)()(21x f x f >，则下列不等式必定成立的是 （A ）21x x > （B ）21x x < （C ）2221x x > （D ）2221x x < 10.已知数列{}n a 的通项公式是)193)(72(10--=n n a n ，则该数列的最大项和最小项的和为 （A ）73- （B ）75- （C ）79- （D ）1-第二卷 (非选择题，共100分)注意事项：1． 请用书写黑色字迹的0.5毫米的签字笔在答题纸上指定区域内作答，在试题上作答一律无效.2． 作图题可先用2B 铅笔作答。
南京市盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学试卷及答案
2018届南京、盐城高三年级第二次模拟考试数学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：样本数据x1，x2，…，x n的方差s2＝1n∑ni＝1(x i－x)2，其中x＝1n∑ni＝1x i.锥体体积公式：V＝13Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 函数f(x)＝lg(2－x)的定义域为________．2. 已知复数z满足z1＋2i＝i，其中i为虚数单位，则复数z的模为________．3. 执行如图所示的算法流程图，则输出a的值为________．(第3题)4. 某学生5次数学考试成绩的茎叶图如图所示，则这组数据的方差为________．(第4题)5. 3名教师被随机派往甲、乙两地支教，每名教师只能被派往其中一个地方，则恰有2名教师被派往甲地的概率为________．6. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 15＝30，a 7＝1，则S 9的值为________．7. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若b sin A sin B ＋a cos 2B ＝2c ，则ac 的值为________．8. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 2－y 2b2＝1(b>0)的两条渐近线与圆O ：x 2＋y 2＝2的四个交点依次为A ，B ，C ，D.若矩形ABCD 的面积为b ，则b 的值为________．9. 在边长为4的正方形ABCD 内剪去四个全等的等腰三角形(如图1中阴影部分)，折叠成底面边长为2的正四棱锥SEFGH(如图2)，则正四棱锥SEFGH 的体积为________．图1图210. 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2＋x .若f (a )＋f (－a )<4，则实数a 的取值范围为________．11. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝mx ＋1(m>0)在x ＝1处的切线为l ，则点(2，－1)到直线l 的距离的最大值为________．12. 如图，在△ABC 中，边BC 的四等分点依次为D ，E ，F.若AB →·AC →＝2，AD →·AF →＝5，则AE 长为________．13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 为圆C ：(x ＋4)2＋(y －a)2＝16上两个动点，且AB ＝211.若直线l ：y ＝2x 上存在唯一一个点P ，使得PA →＋PB →＝OC →，则实数a 的值为________．14. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋3x 2＋t ，x<0，x ， x ≥0(t ∈R)．若函数g (x )＝f (f (x )－1)恰有4个不同的零点，则t 的取值范围为________．二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)已知函数f(x)＝2sin (ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，直线x ＝π12，x ＝7π12是其相邻的两条对称轴．(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 若f ⎝⎛⎭⎫α2＝－65，且2π3<α<7π6，求cos α的值．16. (本小题满分14分)如图，矩形ABCD 所在平面与三角形ABE 所在平面互相垂直，AE ＝AB ，M ，N ，H 分别为DE ，AB ，BE 的中点．(1) 求证：MN ∥平面BEC ； (2) 求证：AH ⊥CE.17. (本小题满分14分)调查某地居民每年到商场购物次数m 与商场面积S 、到商场距离d 的关系，得到关系式m ＝k ×Sd 2(k 为常数)．如图，某投资者计划在与商场A 相距10 km 的新区新建商场B ，且商场B 的面积与商场A 的面积之比为λ(0<λ<1)．记“每年居民到商场A 购物的次数”“每年居民到商场B 购物的次数”分别为m 1、m 2，称满足m 1<m 2的区域叫作商场B 相对于A 的“更强吸引区域”．(1) 已知P 与商场A 相距15 km ，且∠PAB ＝60°.当λ＝12时，居住在点P 处的居民是否在商场B 相对于A 的“更强吸引区域”内请说明理由；(2) 若要使与商场B 相距2 km 以内的区域(含边界)均为商场B 相对于A 的“更强吸引区域”，求实数λ的取值范围．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，上顶点A 到右焦点的距离为 2.过点D(0，m )(m≠0)作不垂直于x 轴，y 轴的直线l 交椭圆E 于P ，Q 两点，C 为线段PQ 的中点，且AC ⊥OC.(1) 求椭圆E 的方程；(2) 求实数m 的取值范围；(3) 延长AC 交椭圆E 于点B ，记△AOB 与△AOC 的面积分别为S 1，S 2，若S 1S 2＝83，求直线l 的方程．19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝x(e x －2)，g(x)＝x －ln x ＋k ，k ∈R ，其中e 为自然对数的底数．记函数F (x )＝f (x )＋g (x )．(1) 求函数y ＝f (x )＋2x 的极小值；(2) 若F (x )>0的解集为(0，＋∞)，求k 的取值范围；(3) 记F (x )的极值点为m ，求证：函数G (x )＝|F (x )|＋ln x 在区间(0，m )上单调递增．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)对于数列{a n}，定义b n(k)＝a n＋a n＋k，其中n，k∈N*.(1) 若b n(2) －b n(1) ＝1，n∈N*，求b n(4)－b n(1)的值；(2) 若a1＝2，且对任意的n，k∈N*，都有b n＋1(k)＝2b n(k)．(i) 求数列{a n}的通项公式；(ii) 设k为给定的正整数，记集合A＝{b n(k)|n∈N*}，B＝{5b n(k＋2)|n∈N*}，求证：A∩B ＝.2018届南京、盐城高三年级第二次模拟考试数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A . [选修41：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，AB 是圆O 的直径，AC 是弦，∠BAC 的平分线AD 交圆O 于点D ，DE ⊥AC 且交AC 的延长线于点E ，求证：DE 是圆O 的切线．B . [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)已知α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a －12属于实数λ的一个特征向量，求λ和A 2.C. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝3t ＋2(t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝a sin θ(a >0，θ为参数)，P 是圆C 上的任意一点．若点P 到直线l 距离的最大值为3，求a 的值．D. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分)对任意x，y∈R，求|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)甲、乙两人站在点P处分别向A，B，C三个目标进行射击，每人向三个目标各射击一次，每人每次射击每个目标均相互独立，且两人各自击中A，B，C的概率分别都为12，13，14.(1) 设X表示甲击中目标的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2) 求甲、乙两人共击中目标数为2个的概率．23. (本小题满分10分)已知n∈N*，且n≥4，数列T：a1，a2，…，a n中的每一项均在集合M＝{1，2，…，n}中，且任意两项不相等．(1) 若n＝7，且a2<a3<a4<a5<a6，求数列T的个数；(2) 若数列T中存在唯一的a k(k∈N*，且k<n)，满足a k>a k＋1，求所有符合条件的数列T 的个数.2018届南京、盐城高三年级第二次模拟考试数学参考答案1. (－∞，2)2. 53. 34. 165. 38 6. －97. 2 8. 7 9. 43 10. (－1，1) 11.212.6 13. 2或－18 14. [－4，0)15. 解析：(1) 设f(x)的周期为T ，则T 2＝7π12－π12＝π2，所以T ＝π. 又T ＝2πω，所以ω＝2，所以f(x)＝2sin (2x ＋φ)．(3分)因为点⎝⎛⎭⎫π12，2在函数图象上，所以2sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝1. 因为－π2<φ<π2，所以φ＝π3，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.(7分)(2) 由f ⎝⎛⎭⎫α2＝－65得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－35.因为2π3<α<7π6，所以π<α＋π3<3π2， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－45. (10分)所以cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π3－π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3cos π3＋sin (α＋π3)sin π3＝－45×12＋⎝⎛⎭⎫－35×32＝－33＋410.(14分)16. 解析：(1) 取CE 的中点F ，连接FB ，MF. 因为M 为DE 的中点，F 为EC 的中点， 所以MF ∥CD 且MF ＝12CD.(2分) 因为在矩形ABCD 中，N 为AB 的中点， 所以BN ∥CD 且BN ＝12CD ，所以MF ∥BN 且MF ＝BN ，所以四边形BNMF 为平行四边形， 所以MN ∥BF.(4分)又MN 平面BEC ，BF 平面BEC ， 所以MN ∥平面BEC.(6分)(2) 因为四边形ABCD 为矩形，所以BC ⊥AB ，因为平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD∩平面ABE ＝AB ，BC 平面ABCD ，且BC ⊥AB ， 所以BC ⊥平面ABE.(8分)因为AH 平面ABE ，所以BC ⊥AH.因为AB ＝AE ，H 为BE 的中点，所以BE ⊥AH.(10分) 因为BC∩BE ＝B ，BC 平面BEC ，BE 平面BEC ， 所以AH ⊥平面BEC.(12分)因为CE 平面BEC ，所以AH ⊥CE.(14分)17. 解析：设商场A ，B 的面积分别为S 1，S 2，点P 到A ，B 的距离分别为d 1，d 2，则S 2＝λS 1，m 1＝k S 1d 21，m 2＝k S 2d 22，k 为常数，k>0.(1) 在△PAB 中，AB ＝10，PA ＝15，∠PAB ＝60°，由余弦定理，得d 22＝PB 2＝AB 2＋PA 2－2AB·PA cos 60°＝102＋152－2×10×15×12＝175.(2分) 又d 21＝PA 2＝225，此时，m 1－m 2＝k S 1d 21－k λS 1d 22＝kS 1(1d 21－λd 22)，(4分)将λ＝12，d 21＝225，d 22＝175代入，得m 1－m 2＝kS 1⎝⎛⎭⎫1225－1350. 因为kS 1>0，所以m 1>m 2，即居住在点P 处的居民不在商场B 相对于A 的“更强吸引区域”内．(6分)(2) 要使与商场B 相距2km 的区域(含边界)均为商场B 相对于A 的“更强吸引区域”， 则当d 2≤2时，不等式m 1<m 2恒成立． 由m 1<m 2，得k S 1d 21<k S 2d 22＝k λS 1d 22，化简得d 21>d 22λ.(8分)设∠PBA ＝θ，在△PAB 中，由余弦定理，得d 21＝PA 2＝AB 2＋PB 2－2AB·PB cos θ＝100＋d 22－20d 2cos θ，(10分)所以100＋d 22－20d 2cos θ>d 22λ，即100＋d 22－d 22λ20d 2>cos θ.上式对于任意的θ∈(0，π)恒成立，则有100＋d 22－d 22λ20d 2>1，(12分)即1－1λ>20·1d 2－100·⎝⎛⎭⎫1d 22＝－100(1d 2－110)2＋1，(*) 由于0≤d 2≤2，所以1d 2≥12.当1d 2＝12时，不等式(*)右端的最大值为－15，所以1－1λ>－15，解得λ>116.又0<λ<1，所以λ的取值范围是⎝⎛⎭⎫116，1.(14分) 18. 解析：(1) 因为⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a ＝2，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2分)(2) 由(1)得A(0，1)．设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，C(x 0，y 0)．设直线l 方程为y ＝kx ＋m(k≠0)，将其与椭圆E 的方程联立，消去y 得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，(*) 所以x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，(4分)所以x 0＝x 1＋x 22＝－2km 1＋2k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m 1＋2k 2，即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2km 1＋2k 2，m 1＋2k 2. 所以k AC ＝y 0－1x 0＝ m 1＋2k 2－1－2km 1＋2k 2 ＝2k 2＋1－m2km .(6分)因为k OC ＝y 0x 0＝m1＋2k 2－2km 1＋2k 2＝－12k ，且AC ⊥OC ，所以k AC ×k OC ＝2k 2＋1－m 2km ×⎝⎛⎭⎫－12k ＝－1，整理得m ＝2k 2＋14k 2＋1.(8分)因为k≠0，则m ＝2k 2＋14k 2＋1＝4k 2＋1－2k 24k 2＋1＝1－2k 24k 2＋1＝1－12＋12k 2∈⎝⎛⎭⎫12，1， 所以实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，1.(10分) (3) 设B(x 3，y 3)，k AB ＝－1k OC＝2k ，所以直线AB 的方程为y ＝2kx ＋1，与椭圆方程联立解得x ＝－8k 1＋8k 2或0(舍)，即x 3＝－8k1＋8k 2.(12分) 因为x 0＝－2km 1＋2k 2＝－2k 1＋2k 2×2k 2＋14k 2＋1＝－2k1＋4k 2，所以S 1S 2＝ 12AO ×|x 3|12AO ×|x 0|＝ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪－8k 1＋8k 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪ －2k 1＋4k 2＝4＋16k 21＋8k 2.(14分)因为S 1S 2＝83，所以4＋16k 21＋8k 2＝83，解得k ＝±12，此时m ＝2k 2＋14k 2＋1＝34，点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，34.所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋34.(16分)19. 解析：(1) y ＝f(x)＋2x ＝x e x ，由y′＝(1＋x)e x ＝0，解得x ＝－1. 当x所以当x ＝－1时，f(x)取得极小值－1e .(2分)(2) F(x)＝f(x)＋g(x)＝x e x －x －ln x ＋k ，F ′(x)＝(x ＋1)⎝⎛⎭⎫e x －1x .设h(x)＝e x －1x (x>0)，则h′(x)＝e x ＋1x 2>0恒成立， 所以函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增．又h ⎝⎛⎭⎫12＝e －2<0，h(1)＝e －1>0，且h(x)的图象在(0，＋∞)上不间断， 因此h(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零点x 0∈⎝⎛⎭⎫12，1，且e x 0＝1x 0，(4分)当x ∈(0，x 0)时，h(x)<0，即F′(x)<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，h(x)>0，即F′(x)>0.所以F(x)在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增， 于是x ＝x 0时，函数F(x)取极(最)小值为 F(x 0)＝x 0e x 0－x 0－ln x 0＋k ＝1－x 0－ln 1e x 0＋k ＝1＋k ，(6分)因为F(x)>0的解集为(0，＋∞)， 所以1＋k>0，即k>－1.(8分) (3) 由(2)知m ＝x 0.(i ) 当1＋k≥0，即k≥－1时，F (x)≥0恒成立，于是G(x)＝F(x)＋ln x ＝x e x －x ＋k ，G ′(x)＝(x ＋1)e x －1. 因为x ∈(0，m)，所以x ＋1>1，e x >1， 于是G ′(x)>0恒成立，所以函数G(x)在(0，m)上单调递增．(10分) (ii ) 当1＋k<0，即k<－1时，0<e k <12<x 0＝m ，F(e k )＝e k (ee k －1)>0，F(m)＝F(x 0)＝1＋k<0. 又F(x)在(0，m)上单调递减且图象不间断， 所以F(x)在(0，m)上存在唯一的零点x 1，(12分)当0<x≤x 1时，F (x)≥0，G(x)＝F(x)＋ln x ＝x e x －x ＋k ，G ′(x)＝(x ＋1)e x －1. 因为0<x≤x 1，所以x ＋1>1，e x >1， 于是G′(x)>0恒成立，所以函数G(x)在(0，x 1]上单调递增；①(14分)当x 1≤x<m 时，F(x)≤0，G(x)＝－F(x)＋ln x ，G ′(x)＝－F′(x)＋1x ， 由(2)知，当x 1≤x<m 时，F ′(x)<0，于是G ′(x)>0恒成立， 所以函数G(x)在[x 1，m)上单调递增；② 设任意s ，t ∈(0，m)，且s ，t ， 若t≤x 1，则由①G(s)<G(t)，若s<x 1<t ，则由①知G(s)<G(t)， 由②知G(x 1)<G(t)，于是G(s)<G(t)． 若x 1≤s ，由②知G(s)<G(t)． 因为总有G(s)<G(t)，所以G(x)在(0，m)上单调递增．综上可知，函数G(x)在(0，m)上单调递增．(16分) 20. 解析：(1) 因为b n (2)－b n (1)＝1，所以(a n ＋a n ＋2)－(a n ＋a n ＋1)＝1，即a n ＋2－a n ＋1＝1， 因此数列{a n ＋1}是公差为1的等差数列，所以b n (4)－b n (1)＝(a n ＋a n ＋4)－(a n ＋a n ＋1)＝a n ＋4－a n ＋1＝3.(2分) (2) (i ) 因为b n ＋1(k)＝2b n (k)，所以a n ＋1＋a n ＋1＋k ＝2(a n ＋a n ＋k )， 分别令k ＝1及k ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＋a n ＋2＝2（a n ＋a n ＋1），a n ＋1＋a n ＋3＝2（a n ＋a n ＋2），①②(4分) 由①得a n ＋2＋a n ＋3＝2(a n ＋1＋a n ＋2)，③(6分) ③－②得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )，④(8分) ①－④得2a n ＋1＝4a n ，即a n ＋1＝2a n . 因此数列{a n } 是公比为2的等比数列． 又a 1＝2，所以a n ＝2n .(10分)(ii ) 假设集合A 与集合B 中含有相同的元素，不妨设b n (k)＝5b m (k ＋2)，n ，m ∈N *，即a n ＋a n ＋k ＝5(a m ＋a m ＋k ＋2)，于是2n ＋2n ＋k ＝5(2m ＋2m ＋k ＋2)，整理得2n －m ＝5（1＋2k ＋2）1＋2k.(12分)因为5（1＋2k ＋2）1＋2k＝5⎝⎛⎭⎫4－31＋2k ∈[15，20)，即2n －m ∈[15，20)． 因为n ，m ∈N *，从而n －m ＝4，(14分) 所以5（1＋2k ＋2）1＋2k＝16，即4×2k ＝11.由于k 为正整数，所以上式不成立，因此集合A 与集合B 中不含有相同的元素，即A ∩B ＝.(16分) 21. A. 解析：连结OD.因为OD ＝OA ，所以∠OAD ＝∠ODA. 因为AD 平分∠BAE ，所以∠OAD ＝∠EAD ，(3分) 所以∠EAD ＝∠ODA ，所以OD ∥AE.(5分) 因为AE ⊥DE ，所以DE ⊥OD.(8分)又因为OD 为半径，所以DE 是圆O 的切线．(10分)B. 解析：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a －12⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝λ，－1＋2＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，λ＝1.(5分) 所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－12，所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－34.(10分)C. 解析：因为直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝3t ＋2(t 为参数)，所以直线l 的普通方程为y ＝3x ＋2.(3分)因为圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝a sin θ(a >0，θ为参数)，所以圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝a 2.(6分)因为圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝1，(8分) 所以1＋a ＝3，解得a ＝2.(10分)D. 解析：|x －1|＋|x |≥|x －1－x |＝1，当且仅当x (x －1)≤0，即0≤x ≤1时取等号．(4分) |y －1|＋|y ＋1|≥|y －1－y －1|＝2，当且仅当(y －1)(y ＋1)≤0，即－1≤y ≤1时取等号．(8分) 所以|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥3， 当且仅当0≤x ≤1，－1≤y ≤1时取等号，所以|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3.(10分) 22. 解析：(1) 随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3. P(X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13×(1－14)＝14.P(X ＝1)＝12×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－12×13×⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13×14＝1124，P(X ＝2)＝⎝⎛⎭⎫1－12×13×14＋12×⎝⎛⎭⎫1－13×14＋12×13×⎝⎛⎭⎫1－14＝14，P(X ＝3)＝12×13×14＝124. 所以随机变量X 的分布列为X 的数学期望E(X)＝0×14＋1×1124＋2×14＋3×124＝1312.(5分) (2) 设Y 表示乙击中目标的个数．由(1)亦可知，P(Y ＝0)＝14，P(Y ＝1)＝1124，P(Y ＝2)＝14. 则P(X ＝0，Y ＝2)＝14×14＝116，P(X ＝1，Y ＝1)＝1124×1124＝121576， P(X ＝2，Y ＝0)＝14×14＝116，(8分)所以P(X ＋Y ＝2)＝P(X ＝0，Y ＝2)＋P(X ＝1，Y ＝1)＋P(X ＝2，Y ＝0)＝193576. 所以甲、乙两人共击中目标数为2个的概率为193576.(10分)23. 解析：(1) 当n ＝7时，M ＝{1，2，…，7}，数列T 的个数为C 27×A 22＝42.(2分)(2) 当k ＝1时，则a 1>a 2，a 2<a 3<…<a n ， 此时a 2为1，a 1共有(n －1)种选法，余下的(n －2)个数，按从小到大依次排列，共有1种，因此k ＝1时，符合条件的数列T 共有n －1＝C 1n －1(个)．(3分)当2≤k≤n －2时，则a 1<a 2<…<a k ，a k >a k ＋1，a k ＋1<a k ＋2<…<a n ， 从集合M 中任取k 个数，按从小到大的顺序排列， 再将余下的(n －k)个数，按从小到大的顺序排列．即得满足条件a 1<a 2<…<a k ，a k ＋1<a k ＋2<…<a n 的数列的个数为C k n C n －kn －k ， 这里包含了a k <a k ＋1，即a 1<a 2<…<a k <a k ＋1<a k ＋2<…<a n 的情形，因此符合条件的数列T 的个数为C k n C n －k n －k －1＝C kn －1.(7分) 当k ＝n －1时，即a 1<a 2<…<a n －1，a n －1>a n .此时a n －1为n ，a n 共有(n －1)种选法，余下的(n －2)个数，按从小到大依次排列，共有1种，因此当k ＝n －1时，符合条件的数列T 共有n －1＝C n －1n －1(个)．(8分) 于是所有符合条件的数列T 的个数为：C 1n －1＋C 2n －1＋…＋C n －1n －1 ＝C 1n ＋C 2n ＋…＋C n －1n －n ＋1＝2n －C 0n －C nn －n ＋1 ＝2n －n －1.(10分)。
江苏省2018届高三数学二模试卷 含解析
2018年江苏省高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则集合A∩B中元素的个数为．2．已知复数z满足（2﹣3i）z=3+2i（i是虚数单位），则z的模为．3．已知一组数据8，10，9，12，11，那么这组数据的方差为．4．运行如图所示的伪代码，其输出的结果S为．5．袋中有形状、大小都相同的四只球，其中有1只红球，3只白球，若从中随机一次摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．6．已知，那么tanβ的值为．7．已知正六棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正六棱锥的表面积为．8．在三角形ABC中，，则的最小值为．9．已知数列{a n}的首项为1，等比数列{b n}满足，且b1018=1，则a2018的值为．10．已知正数a，b满足2ab+b2=b+1，则a+5b的最小值为．11．已知函数，若方程f（x）=﹣x有且仅有一解，则实数a的取值范围为．12．在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），动点P满足PA=2PO，动点Q（3a，4a+5）（a ∈R），则线段PQ长度的最小值为．13．已知椭圆的离心率为，长轴AB上2018个等分点从左到右依次为点M1，M2，…，M2018，过M1点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P1，P2两点，P1点在x轴上方；过M2点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P3，P4两点，P3点在x 轴上方；以此类推，过M2018点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P4189，P4180两点，P4189点在x轴上方，则4180条直线AP1，AP2，…，AP4180的斜率乘积为．14．已知函数f（x）=x|x﹣a|，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则实数a的取值范围为．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．在△ABC中，角A、B、C分别是边a、b、c的对角，且3a=2b．（Ⅰ）若B=60°，求sinC的值；（Ⅱ）若，求sin（A﹣B）的值．16．如图，平行四边形ABCD⊥平面CDE，AD⊥DE．（I）求证：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）若M为线段BE中点，N为线段CE的一个三等分点，求证：MN不可能与平面ABCD 平行．17．已知椭圆的离心率为e，直线l：y=ex+a与x，y轴分别交于A、B点．（Ⅰ）求证：直线l与椭圆C有且仅有一个交点；（Ⅱ）设T为直线l与椭圆C的交点，若AT=eAB，求椭圆C的离心率；（Ⅲ）求证：直线l：y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a．18．如图，，点O处为一雷达站，测控范围为一个圆形区域（含边界），雷达开机时测控半径r随时间t变化函数为r=3t km，且半径增大到81km 时不再变化．一架无人侦察机从C点处开始沿CD方向飞行，其飞行速度为15km/min．（Ⅰ）当无人侦察机在CD上飞行t分钟至点E时，试用t和θ表示无人侦察机到O点的距离OE；（Ⅱ）若无人侦察机在C点处雷达就开始开机，且θ=，则雷达是否能测控到无人侦察机？请说明理由．19．已知数列{a n }满足．数列{a n }前n 项和为S n ．（Ⅰ） 求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若a m a m +1=a m +2，求正整数m 的值； （Ⅲ）是否存在正整数m ，使得恰好为数列{a n }中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由．20．已知函数f （x ）=xlnx ﹣ax 2+a （a ∈R ），其导函数为f ′（x ）． （Ⅰ）求函数g （x ）=f ′（x ）+（2a ﹣1）x 的极值；（Ⅱ）当x ＞1时，关于x 的不等式f （x ）＜0恒成立，求a 的取值范围．三.附加题部分【选做题】（本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）A ．[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分） 21．若AB 为定圆O 一条弦（非直径），AB=4，点N 在线段AB 上移动，∠ONF=90°，NF 与圆O 相交于点F ，求NF 的最大值．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 22．已知矩阵，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为=，属于特征值1的一个特征向量为=．求A 的逆矩阵．C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．过点P （﹣3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线ρ2cos2θ=4相交于A 、B 两点．求线段AB 的长．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分） 24．设 x ，y ，z ∈R +，且x +y +z=1，求证：．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．一个袋中有若干个红球与白球，一次试验为从中摸出一个球并放回袋中，摸出红球概率为p ，摸出白球概率为q ，摸出红球加1分，摸出白球减1分，现记“n 次试验总得分为S n ”． （Ⅰ）当时，记ξ=|S 3|，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅱ）当时，求S 8=2且S i ≥0（i=1，2，3，4）的概率．26．数列{a n }各项均为正数，，且对任意的n ∈N *，有．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，是否存在n∈N*，使得a n＞1，若存在，试求出n的最小值，若不存在，请说明理由．2018年江苏省高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则集合A∩B中元素的个数为3．【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集，即可作出判断．【解答】解：由A中不等式解得：﹣2＜x＜2，即A=（﹣2，2），∵B={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣1，0，1}，则集合A∩B中元素的个数为3，故答案为：32．已知复数z满足（2﹣3i）z=3+2i（i是虚数单位），则z的模为1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据向量的复数运算和向量的模即可求出．【解答】解：（2﹣3i）z=3+2i，∴z====i，∴|z|=1，故答案为：1．3．已知一组数据8，10，9，12，11，那么这组数据的方差为2．【考点】极差、方差与标准差．【分析】先求出这组数据的平均数，由此能求出这组数据的方差．【解答】解：∵一组数据8，10，9，12，11，∴这组数据的平均数=（8+10+9+12+11）=10，这组数据的方差为S2= [（8﹣10）2+（10﹣10）2+（9﹣10）2+（12﹣10）2+（11﹣10）2]=2．故答案为：2．4．运行如图所示的伪代码，其输出的结果S为15．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序代码可得：程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：当l=1时，满足进行循环的条件，S=3，l=4；当l=4时，满足进行循环的条件，S=9，l=7；当l=7时，满足进行循环的条件，S=15，l=10；当l=10时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为15．故答案为：155．袋中有形状、大小都相同的四只球，其中有1只红球，3只白球，若从中随机一次摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出这2只球颜色不同包含的基本事件个数，由此能求出这2只球颜色不同的概率．【解答】解：∵袋中有形状、大小都相同的四只球，其中有1只红球，3只白球，从中随机一次摸出2只球，∴基本事件总数n==6，这2只球颜色不同包含的基本事件个数m==3，∴这2只球颜色不同的概率为p==．故答案为：．6．已知，那么tanβ的值为3．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由已知，利用同角三角函数基本关系式可求cosα，tanα的值，利用两角和的正切函数公式即可化简求值．【解答】解：∵，∴cosα=﹣=﹣，tanα==﹣2，∴tan（α+β）===，整理可得：tanβ=3．故答案为：3．7．已知正六棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正六棱锥的表面积为+12．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】利用勾股定理可得侧面三角形的斜高h，利用等腰三角形与等边三角形的面积计算公式即可得出．【解答】解：侧面三角形的斜高h==2，∴该正六棱锥的表面积S=+6×=+12，故答案为： +12．8．在三角形ABC中，，则的最小值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可根据条件得到，而由可得到，两边平方并进行数量积的运算便可得到，这样根据不等式a2+b2≥2ab即可得出的范围，从而得出的范围，即得出的最小值．【解答】解：根据条件，=；∴；由得，；∴；∴==，当且仅当即时取“=”；∴；∴的最小值为．故答案为：．9．已知数列{a n}的首项为1，等比数列{b n}满足，且b1018=1，则a2018的值为1．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知结合，得到a2018=b1b2…b2018=（b1b2018）•（b2b2018）…（b1018b1018）•b1018，结合b1018=1，以及等比数列的性质求得答案．【解答】解：，且a1=1，得b1=，b2=，∴a3=a2b2=b1b2，b3=，∴a4=a3b3=b1b2b3，…a n=b1b2…b n．﹣1∴a2018=b1b2…b2018=（b1b2018）•（b2b2018）…（b1018b1018）•b1018，∵b1018=1，∴b1b2018=b2b2018=…=b1018b1018=（b1018）2=1，∴a2018=1，故答案为：1．10．已知正数a，b满足2ab+b2=b+1，则a+5b的最小值为．【考点】基本不等式．【分析】正数a，b满足2ab+b2=b+1，可得：a=＞0．则a+5b=+5b=+，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵正数a，b满足2ab+b2=b+1，∴a=＞0．则a+5b=+5b=+≥+=，当且仅当b=，a=2时取等号．故答案为：．11．已知函数，若方程f（x）=﹣x有且仅有一解，则实数a的取值范围为a≥﹣1或a=﹣2．．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据指数函数的图象，结合图象的平移可知当a≥﹣1时，2x+a在x≤0时，与y=﹣x 有一交点，而x++a在x＞0无交点，符合题意；再考虑当a＜﹣1时的情况，结合图象的平移和二次函数的知识求出a的取值．【解答】解：根据指数函数的图象易知：当a≥﹣1时，y=2x+a在x≤0时，与y=﹣x有一交点，y=x++a在x＞0与y=﹣x无交点，符合题意；当a＜﹣1时，只需x++a=﹣x有且仅有一根，△=a2﹣8=0，解得a=﹣2．故答案为a≥﹣1或a=﹣2．12．在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），动点P满足PA=2PO，动点Q（3a，4a+5）（a ∈R），则线段PQ长度的最小值为0．【考点】两点间距离公式的应用．【分析】求出圆的方程并化为标准形式，由条件求得点Q（3a，4a+5）到圆心（﹣1，0）的距离d的最小值，将d的最小值减去圆的半径，即为所求．【解答】解：∵点A（3，0），动点P满足PA=2PO，设P（x，y），则有（x﹣3）2+y2=4x2+4y2，∴（x+1）2+y2=4，表示以（﹣1，0）为圆心、半径等于2的圆．点Q（3a，4a+5）到圆心（﹣1，0）的距离d==≥，故距离d可以是2，此时PQ=0，故线段PQ长度的最小值为0．13．已知椭圆的离心率为，长轴AB上2018个等分点从左到右依次为点M1，M2，…，M2018，过M1点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P1，P2两点，P1点在x轴上方；过M2点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P3，P4两点，P3点在x 轴上方；以此类推，过M2018点作斜率为k（k≠0）的直线，交椭圆C于P4189，P4180两点，P4189点在x轴上方，则4180条直线AP1，AP2，…，AP4180的斜率乘积为﹣2﹣2018．【考点】椭圆的简单性质．【分析】运用椭圆的离心率公式，可得a2=2b2=2c2，设M n的坐标为（t，0），直线方程为y=k （x﹣t），代入椭圆方程，运用韦达定理，再由直线的斜率公式，化简整理，可得•=，再由等分点，设出t的坐标，化简整理，计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得e==，可得a2=2b2=2c2，设M n的坐标为（t，0），直线方程为y=k（x﹣t），代入椭圆方程x2+2y2=2b2，可得（1+2k2）x2﹣4tk2x+2k2t2﹣2b2=0，即有x1+x2=，x1x2=，•=•======，可令t=﹣，﹣，…，﹣，﹣，0，，，…，，，即有AP1，AP2，…，AP4180的斜率乘积为•（•…•）••（•…•）=﹣．故答案为：﹣2﹣2018．14．已知函数f（x）=x|x﹣a|，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则实数a的取值范围为[3，+∞）．【考点】分段函数的应用．【分析】根据凸函数和凹函数的定义，作出函数f（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：满足条件有的函数为凸函数，f（x）=，作出函数f（x）的图象，由图象知当x≤a时，函数f（x）为凸函数，当x≥a时，函数f（x）为凹函数，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则a≥3即可，故实数a的取值范围是[3，+∞），故答案为：[3，+∞）二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．在△ABC中，角A、B、C分别是边a、b、c的对角，且3a=2b．（Ⅰ）若B=60°，求sinC的值；（Ⅱ）若，求sin（A﹣B）的值．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知可得3sinA=2sinB，由已知可求sinA，利用大边对大角可得A为锐角，可求cosA，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式即可求sinC的值．（Ⅱ）由已知及正弦定理可求a=，余弦定理可求c=，利用余弦定理可得cosB=0，从而可求sinB=1，sinA=，利用大边对大角及同角三角函数基本关系式可求cosA，利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．【解答】（本题满分为14分）解：（Ⅰ）在△ABC中，∵3a=2b，∴3sinA=2sinB又∵B=60°，代入得3sinA=2sin60°，解得sinA=．∵a：b=2：3，∴A＜B，即cosA=，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=．…（Ⅱ）∵3a=2b，可得：a=，，∴==，解得：c2=，c=，∴cosB===0，可得：sinB=1，∵3sinA=2sinB=2，可得：sinA=，A为锐角，可得cosA==．∴sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB=﹣cosA=﹣．…16．如图，平行四边形ABCD⊥平面CDE，AD⊥DE．（I）求证：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）若M为线段BE中点，N为线段CE的一个三等分点，求证：MN不可能与平面ABCD 平行．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的性质．【分析】（1）在平面ABCD内过A作CD的垂线AP，则AP⊥平面CDE，于是AP⊥DE，结合AD⊥DE，得出DE⊥平面ABCD；（2）使用反证法证明，假设MN∥平面ABCD，由线面平行的性质得MN∥BC，与已知矛盾．【解答】证明：（1）过A作AP⊥CD，垂足为P，∵平面ABCD⊥平面CDE，平面ABCD∩平面CDE=CD，AP⊂平面ABCD，AP⊥CD，∴AP⊥平面CDE，∵DE⊂平面CDE，∴AP⊥DE，又∵DE⊥AD，AD⊂平面ABCD，AP⊂平面ABCD，AD∩AP=A，∴DE⊥平面ABCD．（2）假设MN∥平面ABCD，∵MN⊂平面BCE，平面BCE∩平面ABCD=BC，∴MN∥BC，∴，与M是BE的中点，N是CE的三等分点相矛盾．∴MN不可能与平面ABCD平行．17．已知椭圆的离心率为e，直线l：y=ex+a与x，y轴分别交于A、B点．（Ⅰ）求证：直线l与椭圆C有且仅有一个交点；（Ⅱ）设T为直线l与椭圆C的交点，若AT=eAB，求椭圆C的离心率；（Ⅲ）求证：直线l：y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）将直线l：y=ex+a代入椭圆方程，运用判别式，结合离心率公式，化简整理即可得证；（Ⅱ）由直线l：y=ex+a，可得A（﹣，0），B（0，a），运用向量共线的坐标表示，解方程可得离心率；（Ⅲ）设F2（c，0）关于直线y=ex+a的对称点为F'（m，n），运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1和中点坐标公式，求得F'的坐标，计算|F'F1|，即可得到所求最小值．【解答】解：（Ⅰ）证明：直线l：y=ex+a代入椭圆，可得（b2+a2e2）x2+2ea3+a4﹣a2b2=0，可得判别式为4a2e6﹣4（b2+a2e2）（a4﹣a2b2）=﹣4（a4b2﹣a2b4﹣a4e2b2）=﹣4[a2b2（a2﹣b2）﹣a2c2b2]=0，即有直线l与椭圆C有且仅有一个交点；（Ⅱ）由直线l：y=ex+a，可得A（﹣，0），B（0，a），由（Ⅰ）可得x T=﹣=﹣=﹣ea，由=e，可得﹣ea+=e（0+），即e2+e﹣1=0，解得e=（负的舍去）：（Ⅲ）证明：设F2（c，0）关于直线y=ex+a的对称点为F'（m，n），即有=﹣，=+a，结合e=，b2+c2=a2，解得m=﹣c，n=2a，即为F'（﹣c，2a），则|F'F1|=2a．故直线l：y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a．18．如图，，点O处为一雷达站，测控范围为一个圆形区域（含边界），雷达开机时测控半径r随时间t变化函数为r=3t km，且半径增大到81km 时不再变化．一架无人侦察机从C点处开始沿CD方向飞行，其飞行速度为15km/min．（Ⅰ） 当无人侦察机在CD 上飞行t 分钟至点E 时，试用t 和θ表示无人侦察机到O 点的距离OE ；（Ⅱ）若无人侦察机在C 点处雷达就开始开机，且θ=，则雷达是否能测控到无人侦察机？请说明理由．【考点】解三角形的实际应用． 【分析】（I ）在△OCE 中，CE=15t ，使用余弦定理表示出OE ；（II ）令f （t ）=OE 2﹣r 2，通过导数判断f （t ）的单调性计算f （t ）的最小值，判断OE 与测控半径r 的大小关系． 【解答】解：（I ）在△OCE 中，CE=15t ，OC=90，由余弦定理得OE 2=OC 2+CE 2﹣2OC •CEcos θ=8100+225t 2﹣2700tcos θ． ∴OE=．（II ）令f （t ）=OE 2﹣r 2=225t 2﹣1350t +8100﹣9t 3，令r=3t =81，解得t=9．∴0≤t ≤9 ∴f ′（t ）=﹣27t 2+450t ﹣1350=﹣27（t ﹣）2+1875﹣1350＜0．∴f （t ）在[0，9]上是减函数．f （9）=225×92﹣1350×9+8100﹣9×93＞0． ∴当0≤t ≤9时，f （t ）＞0，即OE ＞r ． ∴雷达不能测控到无人侦察机．19．已知数列{a n }满足．数列{a n }前n 项和为S n ．（Ⅰ） 求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若a m a m +1=a m +2，求正整数m 的值； （Ⅲ）是否存在正整数m ，使得恰好为数列{a n }中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由． 【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）化简可得数列{a n }的奇数项构成以1为首项，2为公差的等差数列，数列{a n }的偶数项构成以2为首项，3为公比的等比数列，从而写出通项公式；（Ⅱ）分类讨论即方程的解；=3m﹣1﹣1+m2，从而可得（Ⅲ）化简S2m=1+2+3+6+…+2m﹣1+2•3m﹣1=3m﹣1+m2，S2m﹣1=1+，从而讨论求值．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴数列{a n}的奇数项构成以1为首项，2为公差的等差数列，数列{a n}的偶数项构成以2为首项，3为公比的等比数列，故a n=；=m•2•m﹣1=m+2，（Ⅱ）若m为奇数，则a m a m+1无解；=（m+1）2•m﹣2=2•m，若m为偶数，则a m a m+1即=2，解得，m=2；综上所述，m=2；（Ⅲ）由题意知，S2m=1+2+3+6+…+2m﹣1+2•3m﹣1=（1+3+5+…+2m﹣1）+（2+6+18+…+2•3m﹣1）=•m+=3m﹣1+m2，=1+2+3+6+…+2m﹣1S2m﹣1=（1+3+5+…+2m﹣1）+（2+6+18+…+2•3m﹣2）=•m+﹣2•3m﹣1=3m﹣1﹣1+m2，故==1+，若m=1，则=3=a3，若=1时，即m=2时，=2=a2，所有满足条件的m值为1，2．20．已知函数f（x）=xlnx﹣ax2+a（a∈R），其导函数为f′（x）．（Ⅰ）求函数g（x）=f′（x）+（2a﹣1）x的极值；（Ⅱ）当x＞1时，关于x的不等式f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出满足条件的a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）由题知x＞0，f'（x）=lnx﹣2ax+1，则g（x）=f'（x）+2a（x﹣1）=lnx﹣x+1，，当0＜x＜1时，，g（x）为增函数；当x＞1时，，g（x）为减函数．所以当x=1时，g（x）有极大值g（1）=0，g（x）无极小值．（Ⅱ）由题意，f'（x）=lnx﹣2ax+1，（ⅰ）当a≤0时，f'（x）=lnx﹣2ax+1＞0在x＞1时恒成立，则f（x）在（1，+∞）上单调递增，所以f（x）＞f（1）=0在（1，+∞）上恒成立，与已知矛盾，故a≤0不符合题意．（ⅱ）当a＞0时，令φ（x）=f'（x）=lnx﹣2ax+1，则，且．①当2a≥1，即时，，于是φ（x）在x∈（1，+∞）上单调递减，所以φ（x）＜φ（1）=1﹣2a≤0，即f'（x）＜0在x∈（1，+∞）上成立．则f（x）在x∈（1，+∞）上单调递减，所以f（x）＜f（1）=0在x∈（1，+∞）上成立，符合题意．②当0＜2a＜1，即时，＞1，，若，则φ'（x）＞0，φ（x）在上单调递增；若，则φ'（x）＜0，φ（x）在上单调递减．又φ（1）=1﹣2a＞0，所以φ（x）＞0在上恒成立，即f'（x）＞0在上恒成立，所以f（x）在上单调递增，则f（x）＞f（1）=0在上恒成立，所以不符合题意．综上所述，a的取值范围．三.附加题部分【选做题】（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）A．[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分）21．若AB为定圆O一条弦（非直径），AB=4，点N在线段AB上移动，∠ONF=90°，NF与圆O相交于点F，求NF的最大值．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由NF=，线段OF的长为定值，得到需求解线段ON长度的最小值，由此能求出结果．【解答】解：∵ON⊥NF，∴NF=，∵线段OF的长为定值，即需求解线段ON长度的最小值，弦中点到圆心的距离最短，此时N为BE的中点，点F与点B或E重合，∴|NF|max=|BE|=2．B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．已知矩阵，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为=，属于特征值1的一个特征向量为=．求A的逆矩阵．【考点】特征向量的意义．【分析】根据矩阵特征值和特征向量的性质代入列方程组，求得a、b、c和d的值，求得矩阵A，丨A丨及A*，由A﹣1=×A*，即可求得A﹣1．【解答】解：矩阵A属于特征值6的一个特征向量为=，∴=6，即=，属于特征值1的一个特征向量为=．∴=，=，∴，解得：，矩阵A=，丨A丨==6，A*=，A﹣1=×A*=，∴A﹣1=．C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．过点P（﹣3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线ρ2cos2θ=4相交于A、B两点．求线段AB 的长．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】过点P（﹣3，0）且倾斜角为30°的直线的参数方程为：（t为参数）．曲线ρ2cos2θ=4即ρ2（cos2α﹣sin2α）=4，把y=ρsinθ，x=ρcosθ代入化为直角坐标方程．把直线参数方程代入可得：t2﹣6t+10=0，利用|AB|=|t1﹣t2|=即可得出．【解答】解：过点P（﹣3，0）且倾斜角为30°的直线的参数方程为：（t为参数），曲线ρ2cos2θ=4即ρ2（cos2α﹣sin2α）=4化为x2﹣y2=4，把直线参数方程代入可得：t2﹣6t+10=0，∴t1+t2=6，t1t2=10．∴|AB|=|t1﹣t2|===．D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．设x，y，z∈R+，且x+y+z=1，求证：．【考点】不等式的证明．【分析】由x，y，z∈R+，且x+y+z=1，可得+≥2=2x，同理可得+≥2y， +≥2z，累加即可得证．【解答】证明：由x，y，z∈R+，且x+y+z=1，可得+≥2=2x，同理可得+≥2y，+≥2z，三式相加，可得+++x+y+z≥2（x+y+z），即为++≥x+y+z，则++≥1成立．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．一个袋中有若干个红球与白球，一次试验为从中摸出一个球并放回袋中，摸出红球概率为p，摸出白球概率为q，摸出红球加1分，摸出白球减1分，现记“n次试验总得分为S n”．（Ⅰ）当时，记ξ=|S3|，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅱ）当时，求S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4）的概率．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）当时，ξ=|S3|的可能取值为1，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．（Ⅱ）由题意前8次试验5次摸到红球，3次摸到白球，并且满足下列条件：若第一次和第三次摸到红球，其余六次可任意有3次摸到红球，另3次摸到白球；若第一次和第二次摸到红球，第二次摸到白球，则后五次可任意三次摸到红球，另两次摸到白球．由此能求出S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4）的概率．【解答】解：（Ⅰ）当时，ξ=|S3|的可能取值为1，3，P（ξ=1）=+=，P（ξ=3）==，∴ξ的分布列为：ξ 1 3PEξ==．（Ⅱ）∵，S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4），∴前8次试验5次摸到红球，3次摸到白球，并且满足下列条件：若第一次和第三次摸到红球，其余六次可任意有3次摸到红球，另3次摸到白球，若第一次和第二次摸到红球，第二次摸到白球，则后五次可任意三次摸到红球，另两次摸到白球，∴S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4）的概率：p=（）•（）5•（）3=．26．数列{a n}各项均为正数，，且对任意的n∈N*，有．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，是否存在n∈N*，使得a n＞1，若存在，试求出n的最小值，若不存在，请说明理由．【考点】数列递推式．【分析】（1）把已知数列递推式取倒数，可得，然后利用累加法证得答案；=a n+a n2＞a n，然后利用放缩法得a1＜a2＜…a2018（2）把代入已知递推式，得a n+1＜1＜a2018＜a2019＜…，从而说明存在n∈N*，使得a n＞1，且n的最小值为2018．【解答】（1）证明：由，得，即，∴，，…，累加得：，即，∵a n＞0，∴；∴数列a n单调递增，=a n+a n2＞a n，（2）解：当时，a n+1得，=a n+a n2，得由a n+1，∴，∵a i＞0（i=1，2，…，2018），∴，则a2018＜1；又，∴×2018=1．即a2018＞1．即数列{a n}满足a1＜a2＜…a2018＜1＜a2018＜a2019＜…，综上所述，存在n∈N*，使得a n＞1，且n的最小值为2018．2018年10月17日。
盐城市高三第二次调研测试题.doc
南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 参考公式：柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面积,h 为高.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合{}|(4)0A x x x =-<，{}0,1,5B =，则A B =I ▲ ．2．设复数(,z a i a R i =+∈为虚数单位），若(1)i z +⋅为纯虚数，则a 的值为 ▲ ． 3．为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的学生人数为 ▲ ．4．执行如图所示的伪代码，若0x =，则输出的y 的值为 ▲ ．5．口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为 ▲ ．6．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22145x y -=的右焦点重合，则实数p 的值为 ▲ ． 时间(单位:分钟)50 60 70 80 90 100 0.035 a0.0200.0100.005第3题图 第4题图7．设函数1x xy e a e =+-的值域为A ，若[0,)A ⊆+∞，则实数a 的取值范围是 ▲ ．8．已知锐角,αβ满足()()tan 1tan 12αβ--=，则αβ+的值为 ▲ ．9．若函数sin y x ω=在区间[0,2]π上单调递增，则实数ω的取值范围是 ▲ ．10．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若{}n a 的前2017项中的奇数项和为2018，则2017S 的值为 ▲ ．11．设函数()f x 是偶函数，当x ≥0时，()f x =(3),03,31,>3x x x x x-≤≤⎧⎪⎨-+⎪⎩，若函数()y f x m =-有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy中，若直线(y k x =-上存在一点P ，圆22(1)1x y +-=上存在一点Q ，满足3OP OQ =，则实数k 的最小值为 ▲ ．13．如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若,,,A B C D 四点均位于图中的“晶格点”处，且,A B 的位置所图所示，则⋅的最大值为 ▲ ．14．若不等式2sin sin sin 19sin sin k B A C B C +>对任意ABC ∆都成立，则实数k 的最小值为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，点,M N 分别是11,AB A B 的中点.（1）求证：BN ∥平面1A MC ； （2）若11A M AB ⊥，求证：11AB A C ⊥.16．(本小题满分14分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c已知c =. （1）若2C B =，求cos B 的值； （2）若AB AC CA CB ⋅=⋅，求cos()4B π+的值．第13题图 ABCA 1B 1C 1MN第15题图17．(本小题满分14分)有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB 长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD （如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好．．能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF 是以O 为圆心、120EOF ∠=︒的扇形，且弧»EF,¼GH 分别与边BC ,AD 相切于点M ,N ． （1）当BE 长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当BE 的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的下顶点为B ，点,M N 是椭圆上异于点B 的动点，直线,BM BN 分别与x 轴交于点,P Q ，且点Q 是线段OP 的中点．当点N运动到点2处时，点Q的坐标为(3． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线MN 交y 轴于点D ，当点,M N 均在y 轴右侧，且2DN NM =时，求直线BM 的方程．第17题-图甲 F 第17题-图乙19．(本小题满分16分)设数列{}n a 满足221121()n n n a a a a a λ+-=+-，其中2n …，且n N ∈，λ为常数.（1）若{}n a 是等差数列，且公差0d ≠，求λ的值；（2）若1231,2,4a a a ===，且存在[3,7]r ∈，使得n m a n r ⋅-卪对任意的*n N ∈都成立，求m 的最小值；（3）若0λ≠，且数列{}n a 不是常数列，如果存在正整数T ，使得n T n a a +=对任意的*n N ∈均成立. 求所有满足条件的数列{}n a 中T 的最小值.20．(本小题满分16分)设函数()ln f x x =，()bg x ax c x=+-（,,a b c R ∈）. （1）当0c =时，若函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，求,a b 的值； （2）当3b a =-时，若对任意0(1,)x ∈+∞和任意(0,3)a ∈，总存在不相等的正实数12,x x ，使得120()()()g x g x f x ==，求c 的最小值；（3）当1a =时，设函数()y f x =与()y g x =的图象交于11(,),A x y 2212(,)()B x y x x <两点．求证：122121x x x b x x x -<<-.南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）A .（选修4-1：几何证明选讲）如图，已知AB 为⊙O 的直径，直线DE 与⊙O 相切于点E ，AD 垂直DE 于点D . 若4DE =，求切点E 到直径AB 的距离EF ．B .（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵 2 00 1⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，求圆221x y +=在矩阵M 的变换下所得的曲线方程.C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线cos()13πρθ+=与曲线r ρ=(0r >)相切，求r 的值.D ．(选修4-5：不等式选讲）已知实数,x y 满足2231x y +=，求当x y +取最大值时x 的值.A B ED F O· 第21(A)图[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O ，OP ⊥底面ABCD ，点M 为PC 中点，4,2,4AC BD OP ===. （1）求直线AP 与BM 所成角的余弦值；（2）求平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值．23．（本小题满分10分）已知n N *∈，()0112112r r n nn n n n n n n n nf n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．（1）求()1,f ()2,f ()3f 的值；（2）试猜想()f n 的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．M A C D O P 第22题图南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．{}1 2．1 3．1200 4．1 5．236．6 7．(,2]-∞8．34π 9．1(0,]4 10．4034 11．9[1,)412． 13．24 14．100二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．证明：（1）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以11//AB A B ，且11AB A B =，又点,M N 分别是11,AB A B 的中点，所以1MB A N =，且1//MB A N ． 所以四边形1A NBM是平行四边形，从而1//A M BN ． ……………4分又BN ⊄平面1A M C，1A M ⊂平面1A M C ，所以BN ∥面1A MC ． ……………6分（2）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1AA ⊥底面ABC ，而1AA ⊂侧面11ABB A ，所以侧面11ABB A ⊥底面ABC ．又CA CB =，且M 是AB 的中点，所以CM AB ⊥．则由侧面11ABB A ⊥底面ABC ，侧面11ABB A 底面ABC AB =，CM AB ⊥，且CM ⊂底面ABC，得CM ⊥侧面11ABB A ． ……………8分又1AB ⊂侧面11ABB A ，所以1AB CM ⊥． ……………10分又11AB A M ⊥，1,A M MC ⊂平面1A MC ，且1A M MC M =，所以1AB ⊥平面1A M C ． ……………12分又1AC ⊂平面1A MC，所以11AB A C ⊥． ……………14分16．解：（1）因为2c b =，则由正弦定理，得sin C B =． ……………2分 又2C B =，所以s i n 2s iB B =，即4sn c o s 5s i n B B =． ……………4分 又B 是ABC ∆的内角，所以s i n B >，故c o s 4B =． ……………6分（2）因为AB AC CA CB ⋅=⋅， 所以cos cos cb A ba C =，则由余弦定理，得222222b c a b a c +-=+-，得a c =． ……………10分从而223cos 25a c bB ac+-===， (12)分又0B π<<，所以4sin 5B ==． 从而3c o 4B Bπ+=． ……………14分17．解：（1）在图甲中，连接MO 交EF 于点T ．设OE OF OM R ===，在Rt OET ∆中，因为1602EOT EOF ∠=∠=︒，所以2ROT =，则2RM T O MO T =-=． 从而2R B EMT==，即22R BE ==. ……………2分故所得柱体的底面积OEF OEF S S S ∆=-扇形22114sin120323R R ππ=-︒=. ……………4分 又所得柱体的高4EG =，所以V S EG =⨯=163π-答：当BE 长为1分米时，折卷成的包装盒的容积为163π-. …………………6分（2）设BE x =，则2R x =，所以所得柱体的底面积OEF OEF S S S ∆=-扇形222114sin120(323R R x ππ=-︒=.又所得柱体的高62EG x =-，所以V S =⨯=328(3)3x x π--+，其中03x <<. …………………10分令32()3,(0,3)f x x x x =-+∈，则由2()363(2)0f x x x x x '=-+=--=，解得2x =. …………………12分答：当BE 的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大. …………………14分 18．解：（1）由N Q ，得直线NQ 的方程为32y x =…………………2分 令0x =，得点B 的坐标为(0,．所以椭圆的方程为22213x y a +=． …………………4分 将点N的坐标)2代入，得222213a +=，解得24a =． 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=． …………………8分 （2）方法一：设直线BM 的斜率为(0)k k >，则直线BM 的方程为y kx =在y kx =0y =，得P x k =，而点Q 是线段OP 的中点，所以2Q x k=． 所以直线BN 的斜率(3)2B B Qk k ===． ………………10分联立22143y kx x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y，得22(34)0k x +-=，解得M x =． 用2k 代k ，得2163316N x k =+． ………………12分又2DN NM =，所以2()N M N x x x =-，得23M N x x =． ………………14分故222334316k k ⨯=⨯++，又0k >，解得2k =． 所以直线BM的方程为2y x =-． ………………16分 方法二：设点,M N 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ．由(0,B ，得直线BN的方程为1y x =0y =，得P x =．同理，得Q x =．而点Q 是线段OP的中点，所以2P Qx x =，故= …………………10分又2DN NM =，所以2122()x x x =-，得21203x x =>4=解得21433y y =+． …………………12分将21212343x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入到椭圆C的方程中，得2211(41927x y ++=． 又22114(1)3y x =-，所以21214(1)(431927y y -+=21120y +=，解得1y=（舍）或13y=．又1x>，所以点M的坐标为(33M．……………14分故直线BM的方程为2y x=-．…………………16分19．解：（1）由题意，可得22()()n n na a d a d dλ=+-+，化简得2(1)0dλ-=，又0d≠，所以1λ=. ………………4分（2）将1231,2,4a a a===代入条件，可得414λ=⨯+，解得0λ=，所以211n n na a a+-=，所以数列{}n a是首项为1，公比2q=的等比数列，所以12nna-=. ……6分欲存在[3,7]r∈，使得12nm n r-⋅-…，即12nr n m--⋅…对任意*n N∈都成立，则172nn m--⋅…，所以172nnm--…对任意*n N∈都成立. ………………8分令172n nnb--=，则11678222n n n n nn n nb b+-----=-=，所以当8n>时，1n nb b+<；当8n=时，98b b=；当8n<时，1n nb b+>．所以nb的最大值为981128b b==，所以m的最小值为1128. ………………10分（3）因为数列{}n a不是常数列，所以2T…．①若2T=，则2n na a+=恒成立，从而31a a=，42a a=，所以22221212221221()()a a a aa a a aλλ⎧=+-⎪⎨=+-⎪⎩，所以221()0a aλ-=，又0λ≠，所以21a a=，可得{}n a是常数列．矛盾．所以2T=不合题意. ………………12分②若3T=，取*1,322,31()3,3nn ka n k k Nn k=-⎧⎪==-∈⎨⎪-=⎩（*），满足3n na a+=恒成立．………………14分由2221321()a a a a aλ=+-，得7λ=．则条件式变为2117n n na a a+-=+．由221(3)7=⨯-+，知223132321()k k k a a a a a λ--=+-； 由2(3)217-=⨯+，知223313121()k k k a a a a a λ-+=+-； 由21(3)27=-⨯+，知223133221()k k k a a a a a λ++=+-．所以，数列（*）适合题意． 所以T的最小值为3. ………………16分20．解：（1）由()ln f x x =，得(1)0f =，又1()f x x'=，所以(1)1f '=，. 当c =时，()b g x ax x=+，所以2()bg x a x'=-，所以(1)g a b '=-. ………………2分因为函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，所以(1)(1)(1)f g f g ''=⎧⎨=⎩，即10a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. ………………4分 （2）当01x >时，则0()0f x >，又3b a =-，设0()t f x =，则题意可转化为方程3(0)aax c t t x-+-=>在(0,)+∞上有相异两实根12,x x ． ………………6分即关于x 的方程2()(3)0(0)ax c t x a t -++-=>在(0,)+∞上有相异两实根12,x x ．所以2121203()4(3)030a c t a a c t x x a ax x a <<⎧⎪∆=+-->⎪⎪+⎨+=>⎪⎪-=>⎪⎩，得203()4(3)0a c t a a c t <<⎧⎪+>-⎨⎪+>⎩， 所以3)c a t >--对(0,),(0,3)t a ∈+∞∈恒成立． ………………8分因为03a <<，所以23=（当且仅当32a =时取等号）， 又0t -<，所以t 的取值范围是(,3)-∞，所以3c …． 故c 的最小值为3. ………………10分（3）当1a =时，因为函数()f x 与()g x 的图象交于,A B 两点，所以111222ln ln b x x c x b x x cx ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式相减，得211221ln ln (1)x x b x x x x -=--. ………………12分要证明122121x x x b x x x -<<-，即证211221212121ln ln (1)x x x x x x x x x x x x --<-<--，即证212211ln ln 11x x x x x x -<<-，即证1222111l n 1x x x x x x -<<-. ………………14分令21x t x =，则1t >，此时即证11ln 1t t t-<<-． 令1()ln 1t t t ϕ=+-，所以22111()0t t t t tϕ-'=-=>，所以当1t >时，函数()t ϕ单调递增．又(1)0ϕ=，所以1()ln 10t t tϕ=+->，即11ln t t-<成立； 再令()ln 1m t t t =-+，所以11()10tm t t t-'=-=<，所以当1t >时，函数()m t 单调递减，又(1)0m =，所以()ln 10m t t t =-+<，即ln 1t t <-也成立．综上所述，实数12,x x 满足122x x x b x x x -<<-. ………………16分附加题答案21．（A ）解：如图，连接AE ，OE ，因为直线DE 与⊙O 相切于点E ，所以DE OE ⊥，又因为AD 垂直DE 于D ，所以//AD OE ，所以DAE OEA ∠=∠，① 在⊙O 中OE OA =，所以OEA OAE ∠=∠，② ………………5分 由①②得DAE ∠OAE =∠，即DAE ∠FAE =∠， 又ADE AFE ∠=∠，AE AE =，所以ADE AFE ∆≅∆，所以DE FE =，又4DE =，所以4FE =， 即E 到直径AB 的距离为4. ………………10分（B ）解：设()00,P x y 是圆221x y +=上任意一点，则22001x y +=，ABE DF O · 第21(A)图设点()00,P x y 在矩阵M 对应的变换下所得的点为(),Q x y ，则002 00 1x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即002x x y y =⎧⎨=⎩，解得0012x xy y⎧=⎪⎨⎪=⎩， ………………5分 代入22001x y +=，得2214x y +=，即为所求的曲线方程. ………………10分（C ）解：以极点O 为原点，极轴Ox 为x 轴建立平面直角坐标系，由cos()13πρθ+=，得(cos cossin sin )133ππρθθ-=， 得直线的直角坐标方程为20x -=． ………………5分曲线r ρ=，即圆222x y r +=，所以圆心到直线的距离为1d ==．因为直线c o s ()13πρθ+=与曲线r ρ=（0r >）相切，所以r d =，即1r =. ……………10分（D）解：由柯西不等式，得22222[)][1](1x x ++≥⨯+， 即2224(3)()3x y x y +≥+． 而2231x y +=，所以24()3x y +≤，所以x y ≤+≤ ………………5分由1x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎩，得26x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以当且仅当26x y ==时，max ()x y += 所以当x y +取最大值时x 的值为2x =. ………………10分22．解：（1）因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．又OP ⊥底面ABCD ，以O 为原点，直线,,OA OB OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．则(2,0,0)A ,(0,1,0)B ,(0,0,4)P ,(2,0,0)C -,(1,0,2)M -． 所以(2,0,4)AP =-，(1,1,2)BM =--，10AP BM ⋅=，||25AP =，||6BM =．则cos ,6||||2AP BM AP BM AP BM ⋅<>===． 故直线AP 与BM 所成角的余弦值为6. ………5分 （2）(2,1,0)AB =-，(1,1,2)BM =--．设平面ABM 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00n AB n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2020x y x y z -+=⎧⎨--+=⎩，令2x =，得4y =，3z =．得平面ABM 的一个法向量为(2,4,3)n =．又平面PAC 的一个法向量为(0,1,0)OB =，所以n 4OB ⋅=，||29n =，||1OB =．则cos ,||||29n OB n OB n OB ⋅<>===.故平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值为………………10分 23．解：（1）由条件，()0112112r r n nn n n n n n n n nf n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ ①，在①中令1n =，得()011111f C C ==． ………………1分在①中令2n =，得()011222222226f C C C C =+=，得()23f =． ………………2分在①中令3n =，得()011223333333332330f C C C C C C =++=，得()310f =． ………………3分 （2）猜想()f n =21nn C -（或()f n =121n n C --）． ………………5分 欲证猜想成立，只要证等式011211212n r r n nn n n n n n n n n nC C C C C rC C nC C ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+成立．方法一：当1n =时，等式显然成立，当2n …时，因为11!!(1)!==!()!(1)!()!(1)!()!rr n n r n n n rC n nC r n r r n r r n r --⨯-=⨯=-----（），故11111()r r r r r r n n n n n n rC C rC C nC C -----==．故只需证明00111111211111n r r n n n n n n n n n n n nC nC C nC C nC C nC C ---------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．C第22题图即证00111111211111n r r n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C ---------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．而11r n r n n C C --+=，故即证0111111211111n n n r n r n n n n n n n n n n C C C C C C C C C ---+------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ ②． 由等式211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++可得，左边nx 的系数为21n n C -．而右边1(1)n nxx-++()()0111n nn n C C ------=++++++++，所以nx 的系数为01111111111n n r n r n n n n n n n n n C C C C C C C C ---+-----++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．由211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++恒成立可得②成立. 综上，()21nn f n C -=成立. ………………10分方法二：构造一个组合模型，一个袋中装有21n -个小球，其中n 个是编号为1，2，…，n的白球，其余n －1个是编号为1，2，…，n －1的黑球，现从袋中任意摸出n 个小球，一方面，由分步计数原理其中含有r 个黑球（n r -个白球）的n 个小球的组合的个数为1r n rn nC C --，01r n ≤≤-，由分类计数原理有从袋中任意摸出n 个小球的组合的总数为01111111n n n n n n nn n C C C C C C -----+++．另一方面，从袋中21n -个小球中任意摸出n 个小球的组合的个数为21nn C -． 故0111121111n n n n n n n n nn nC C C C C C C ------=++，即②成立. 余下同方法一. ………………10分方法三：由二项式定理，得0122(1)n n n n n n n x C C x C x C x +=++++ ③．两边求导，得112111(1)2n r r n n n n n n n x C C x rC x nC x ---+=+++++ ④．③×④，得21012212111(1)()(2)n n n r r n n n n n n n n n n n x C C x C x C x C C x rC x nC x ---+=+++++++++⑤．左边n x 的系数为21nn nC -．右边nx 的系数为121112n n r n r n n n n n n n n n C C C C rC C nC C --+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+1021112r r n n n n n n n n n nC C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+0112112r r n nn n n n n n n n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．由⑤恒成立，可得011211212n r r n nn n n n n n n n n nC C C C C rC C nC C ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．故()21nn f n C -=成立. ………………10分。
高三数学-2018届盐城市第二次联考数学试题和答案 精品
盐城市2018/2018学年度高三第二次调研考试数 学 试 题第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题: 本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的.1.设全集}4,3,2,1{=U 两个集合}2{=A ，}4,3,2{=B ，则 等于A. {1}B. {1，3，4}C. {2}D. {3，4}2. 在ABC ∆中,c AB b AC a BC ===,,,如果4,3==b a ,那么“5=c ”是“ABC ∆为直角三角形”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D.既不是充分又不是必要条件3. 若()421x+的展开式的第3项为12，则x 等于A.3log 312 B. 21C. 6log 4D. 2 4.抛物线x y 42=上点)2,(a P 到焦点F 的距离为A. 1B. 2 C .4 D .8 5.已知数列}{n a 的通项公式为*∈-=N n n a n ,32，其前n 项和为n S ，则使48>n S 成立的n 的最小值为 A .7 B. 8C. 9D. 106. 函数)0(1)(2>++=x x x x f 的反函数是A. )1()1(21)(1≥+=-x x x x fB. )1()1(21)(1>+=-x x x x fC. )1()1(21)(1>-=-x x x x f D. )1()1(21)(1<-=-x xx x f 7. 已知函数),(cos sin 2ππ-∈+=x x x y 则下列正确的是A. 是偶函数，有最大值为45B. 是偶函数，有最小值为45C. 是偶函数，有最大值为2D. 是奇函数，没有最小值8. 设0,0>>b a ，则以下不等式中不恒成立．．．．的是 A. ab b a 2≥+ B. ab b a 222-≥+ C.2222b a b a +≥+ D. 223322ab b a b a -≥- 9.已知两个函数)(x f 和)(x g 的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表.填写下列)]([x f g 的表格,其三个数依次为A. 3,1,2 B . 2,1,3 C. 1,2,3 D. 3,2,1 10. 如果x 、y 满足⎩⎨⎧>+>-0y x y x ，则有A. 0222>++x y x B. 0222<++x y x C. 0222>-+x y x D. 0222<-+x y x11. 已知向量,是两个不共线的非零向量, 向量=.则向量用向量,一定可以表示为A. n m +=且1,,=+∈n m R n m .B. ⎭⎫⎝⎛-=||||b a λ R ∈λ C. ⎭⎫⎝⎛+=c λ R ∈λ D. ⎭⎫⎝⎛-=c λ R ∈<λλ,0, 或 ⎭⎫⎝⎛+=c λR ∈>λλ,0 12. 现要给四棱锥ABCD P -的五个面涂上颜色，要求相邻的面涂不同的颜色，可供选择的颜色共有4种，则不同的涂色方案的种数共有A. 36B. 48C. 72D. 96第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题:本大题共4小题，每小题4分共16分. 13.函数)23(log 13-=x y 的定义域是 ▲ .14.已知)sin 22,cos 22(αα++=，R ∈α，（O 为坐标原点），向量满足=+，则动点Q 的轨迹方程是 ▲ .15.对共有10人的一个数学小组做一次数学测验，测试题由10道单项选择题构成，每答对1题得5分，答则这次测试的平均成绩为 ▲ . 16.在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，如果底边正方形ABCD 的边长为2=AB ，侧棱21=AA ，则下列四个命题：①1AA 与1BC 成ο45角； ② 1AA 与1BC 的距离为2 ； ③ 二面角C AB C --1为22arctan； ④ ⊥D B 1平面AC D 1.则正确命题的序号为 ▲ .三、解答题:本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. ( 本小题满分12分)已知α为钝角，β锐角，且31sin =α，41cos =β. （Ⅰ）求βα2cos 2cos +的值;（Ⅱ）求)2sin(βα+的值.18．( 本小题满分12分)型的人，其他不同血型的人不能互相输血.小明是B 型血，若小明需要输血，问： (Ⅰ)任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少？(Ⅱ)任找两个人，当中至少有一个人，其血可以输给小明的概率是多少？19. ( 本小题满分12分) 如图，三棱锥ABC D -中，ABC ∆是边长为4的正三角形，3=AD ，E 为AB 的中点，ABC AD 平面⊥.(Ⅰ) 求证：平面ABD CDE 平面⊥;(Ⅱ) 求直线AD 和平面CDE 所成的角的大小； (Ⅲ) 求点A 到平面BCD 的距离.20. ( 本小题满分12分)已知正数数列{}n a 中，21=a .若关于x 的方程0412)(12=++-+n n a x a x )(+∈N n 有相等的实根. (Ⅰ)求3,2a a 的值; （Ⅱ）求证3211111111321<++++++++n a a a a )(+∈N n .21. ( 本小题满分12分)已知双曲线1C 的方程为1822=-y x ，椭圆2C 长轴的两个端点恰好为双曲线1C 的两个焦点. （Ⅰ）如果椭圆2C 的两个焦点又是双曲线的两个顶点，求椭圆2C 的方程;（Ⅱ）如果椭圆2C 的方程为1922=+by x ，且椭圆2C 上存在两点A ，B 关于直线1-=x y 对称，求b 取值范围.22.( 本小题满分14分)已知函数1163)(23--+=ax x ax x f ,1263)(2++=x x x g ,和直线m ：9+=kx y .又0)1(=-'f . (Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)是否存在k 的值，使直线m 既是曲线y =f （x ）的切线，又是y =g (x ) 的切线；如果存在，求出k 的值；如果不存在,说明理由.(Ⅲ)如果对于所有2-≥x 的x ,都有)(9)(x g kx x f ≤+≤成立，求k 的取值范围.盐城市2018/2018学年度高三第二次调研考试数 学 试 卷 答 案1.D2.A3.B4.B5.C6.C7.A8.D9.D 10.A 11.C 12.C 13. ),1()1,32(+∞ 14. 044422=++++y x y x 15. 42 16. ②③ 17解. （Ⅰ）βα2cos 2cos +=1cos 2sin 2122-+-βα=9121612⋅-⋅=727- （Ⅱ）由题设条件得 322cos -=α，415sin =β 则βαβαβαsin 2cos cos 2sin )2sin(+=+=βαβααsin )sin 21(cos cos sin 22-+=415)9121(41)322(312⋅-+⋅-⋅⋅=3624157- 解(Ⅰ)对于任一个人，其血型为A ，B ，AB ，O 型的事件分别记为////,,,D C B A ，它们是互斥的，由已知，有28.0)(/=A P ，29.0)(/=B P 08.0)(/=C P 35.0)(/=D P因为B ，O 型血可以输给B 型血的人，故“可以输给B 型血的人”为事件//D B + 根据互斥事件的加法公式，有)(//D B P +==+35.029.064.0. 所以任何一人.其血可以输给小明的概率64.0(Ⅱ) 由于A ，AB 型血不能输给B 型血的人，一个人“不能输给B 型的人”为事件//C A +)()()(////C P A P C A P +=+=36.008.028.0=+“任何两个人，其中至少有一个人，可以输给小明”的事件记为E ，他的对立事件为：两个人都不能输血给小明，则=)(E P 36.036.01⋅-=8704.0.所以，任何二个人，其中至少有一个人，其血可以输给小明的概率为8704.0 答：略19.解：(Ⅰ) ABC AD 平面⊥，ABC CE 平面⊂ ∴CE AD ⊥，又 ABC ∆为正三角形，E 为AB 的中点，∴AB CE ⊥ 而A AD AB =⋂ ∴A B D CE 平面⊥，又CDE CE 平面⊂ ∴ABD CDE 平面平面⊥（Ⅱ）由（Ⅰ）得ABD CDE 平面平面⊥，∴AD 在平面CDE 上的射影为DE 所以ADE ∠即为所成的角.ADE ∆为∆Rt ，且AE=2，AD=3，32tan =∠∴ADE ∴32arctan=∠ADE ，即直线AD 与平面CDE 所成的角为32arctan （Ⅲ）取AB 的中点M ，连接DM ，过C 点在平面DCM 内作DM CN ⊥于N证得DCM AB 平面⊥，所以ABD CN 平面⊥CM=32，DM=21，CM DC CN DM ⋅=⋅所以3621=⋅CN 776=CN （ 20.解：(Ⅰ)由题意得0121=--=∆+n n a a 得121+=+n n a a 得52=a ，113=a （Ⅱ）由于121+=+n n a a =1)12(21++-n a =12212++-n a =12)12(222+++-n a =1222223+++-n a =12222211+++++-- n n na =212121--++n n =123-⋅n ∴1231-⋅=+n n a 则n a a a a ++++++++11111111321 =)21212121(31120-+++n=211)21(131--n =))21(1(32n -32<所以3211111111321<++++++++n a a a a 21.解（Ⅰ）在双曲线1C 的方程1822=-y x 中3,1==c a ，则椭圆2C 方程为18922=+y x （Ⅱ）椭圆2C 方程为)90(1922<<=+b by x ， A 、B 点所在直线方程设为m x y +-=， 代入椭圆2C 方程得0)(918)9(22=-+-+b m mx x b由0))(9(36)18(22>-+-=∆b m b m 得92+<b m 设),(),,(2211y x B y x A 那么91821+=+b m x x ， 99221+=+b m x x ，所以b bm y y +=+9221将99221+=+b m x x ，bbmy y +=+9221代入直线1-=x y 得b b m -+=99再将bb m -+=99代入92+<b m 得072192>+-b b ，解得27319+>b （舍去）或27319-<b ， 90<<b ∴ 273190-<<b22.解：（Ⅰ）因为a x ax x f 663)(2-+=',所以0)1(=-'f 即0663=--a a ,所以a =－2.(Ⅱ)因为直线m 恒过点（0，9）.先求直线m 是y =g (x ) 的切线.设切点为)1263,(0200++x x x ,因为66)(00+='x x g .所以切线方程为))(66()1263(00020x x x x x y -+=++-,将点（0，9）代入得10±=x . 当10-=x 时，切线方程为y =9, 当10=x 时，切线方程为y =12x +9. 由0)(/=x f 得012662=++-x x ，即有2,1=-=x x当1-=x 时，)(x f y =的切线18-=y ，当2=x 时， )(x f y =的切线方程为9=y ∴9=y 是公切线，又由12)(/=x f 得1212662=++-x x ∴0=x 或1=x ，当0=x 时)(x f y =的切线为1112-=x y ，当1=x 时)(x f y =的切线为1012-=x y ，∴912+=x y ，不是公切线 综上所述 0=k 时9=y 是两曲线的公切线(Ⅲ).（1）)(9x g kx ≤+得3632++≤x x kx ，当0=x ，不等式恒成立，R k ∈.当02<≤-x 时，不等式为6)1(3++≥xx k ， 而6])(1)[(36)1(3+-+--=++x x x x 0623=+⋅-≤0≥∴k 当0>x 时，不等式为6)1(3++≤x x k ， 126)1(3≥++xx ∴12≤k∴当2-≥x 时,)(9x g kx ≤+恒成立，则120≤≤k（2）由9)(+≤kx x f 得111232923-++-≥+x x x kx当0=x 时，119-≥恒成立，R k ∈，当02<≤-x 时有xx x k 2012322-++-≤ 设x x x x h 201232)(2-++-==x x 208105)43(22-+--，当02<≤-x 时8105)43(22+--x 为增函数，x20-也为增函数∴8)2()(=-≥h x h∴要使9)(+≤kx x f 在02<≤-x 上恒成立，则8≤k由上述过程只要考虑80≤≤k ，则当0>x 时12166)(2/++-=x x x f =)2)(1(6-+-x x∴在]2,0(∈x 时0)(/>x f ，在),2(+∞时0)(/<x f ∴)(x f 在2=x 时有极大值即)(x f 在),0(+∞上的最大值，又9)2(=f ，即9)(≤x f 而当0>x ,0≥k 时99>+kx ，∴9)(+≤kx x f 一定成立 综上所述80≤≤k .。
(完整word)南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学与答案
南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数 学2018.03注意事项：1.本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分.本 试卷满分为160分，考试时间为120分钟.2 .答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内 •试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内.考试结束后，交回答题纸. 参考公式：1 n _ _ 1 n 样本数据X 1 , X 2，…，X n 的方差S 2=—刀(X i - X )2,其中壬=-刀X i ；n i = 1 n i = 11锥体的体积公式：-3Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的 指定位置上）函数f （x ）= lg （2 — x ）的定义域为__▲ z已知复数z 满足 =i ,其中i 为虚数单位，则复数z 的模为 ▲1 + 2i1.2. 3.执行如图所示的算法流程图 ，则输出a 的值为—▲生5次数学考试成绩的茎叶图如图所示，则这组数据的方某学（第3题）（第4题）5. 3名教师被随机派往甲、乙两地支教，每名教师只能被派往其中一个地方，则恰有2名教师被派往甲地的概率为▲.6. 已知等差数列｛a n｝的前n项和为S n.若S i5= 30, a7= 1 ,则S9的值为▲_a7. 在厶ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c.若b s in A s in B+ a cos2B= 2c,贝厂的值为c▲y2J Q Q&在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：x2— &= 1 （b>0）的两条渐近线与圆O：x y 2的四个交点依次为A, B, C, D.若矩形ABCD的面积为b,则b的值为▲.9.在边长为4的正方形ABCD内剪去四个全等的等腰三角形（如图1中阴影部分），折叠成底面边长为、的正四棱锥S-EFGH （如图2）,则正四棱锥S—EFGH的体积为▲ _(图1) (图2)(第9题)f (x)= x2+ x.若f ⑻+ f (-a)v 4,则实数10 .已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，且当x >0时,a的取值范围为▲m11 .在平面直角坐标系xOy中，曲线y= (m > 0)在x= 1处的切线为I,则点(2 , - 1)到直线l长为▲x+ 1的距离的最大值为▲ _12 .如图，在厶ABC中，边BC的四等分点依次为D , E, F.若只B E C = 2, A D A F = 5 ,则AE的xOy中，已知A, B为圆C：(x+ 4)2+ (y —a)2= 16上两个动点，且AB= 13 .在平面直角坐标系2-，11.若直线l: y = 2x上存在唯一的一个点P,使得B A + P B = OC ,则实数a的值为-x 3+ 3x 2 +1, x v 0,14 .已知函数f (x ) =t € R .若函数g (x )= f (f (x )— 1)恰有4个不同的零点，则x ,x>0,t 的取值范围为▲_二、解答题(本大题共6小题，计90分•解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内 ) 15 .(本小题满分14分)n n n 7 n已知函数f (x ) = 2sin( 3X + 0)( 3 > 0, - 2v X 2的部分图象如图所示，直线x =齐,x =齐是其16.(本小题满分14分)如图，矩形ABCD 所在平面与三角形 AB , BE 的中点.(1) 求证：MN //平面BEC; (2) 求证:AH 丄CE相邻的两条对称轴 (1)求函数f (x )的解析式；6 2 n7 n5,且 ~ V a V ~ ,求 COS a 的值.ABE 所在平面互相垂直，AE = AB , M , N , H 分别为DE ,y(第16 题)17 .（本小题满分14分）调查某地居民每年到商场购物次数m 与商场面积S 、到商场距离d 的关系，得到关系式 m = k xSJ （k 为常数）.如图，某投资者计划在与商场 A 相距10km 的新区新建商场 B ,且商场B 的面积 与商场A的面积之比为 入（0 v 忘1） •记 每年居民到商场 A 购物的次数”、每年居民到商场 B 购 物的次数”分别为m 1、m 2,称满足m 1v m 2的区域叫做商场 B 相对于A 的更强吸引区域”.1（1）已知P 与A 相距15km ,且ZPAB= 60°.当 &：时，居住在P 点处的居民是否在商场 B 相对于A 的 更强吸引区域”内？请说明理由；（2）若要使与商场B 相距2 km 以内的区域（含边界）均为商场B 相对于A 的更强吸引区域”的取值范围.18 .（本小题满分16分）x 2 y 2壘如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆E ： 2+ 2= 1（a > b > 0）的离心率为，上顶点A 到右 a 2 b 22焦点的距离为 2 .过点D （0, m ）（m 丸）作不垂直于x 轴，y 轴的直线I 交椭圆E 于P , Q 两点，C 为线段PQ 的中点，且AC 丄OC .（1） 求椭圆E 的方程; （2） 求实数m 的取值范围；，求入B19 .(本小题满分16分)已知函数 f (x )= x (e x — 2), g (x )= x — ln x + k , k € R , e 为自然对数的底.记函数 F (x )= f (x )+ g (x ). (1) 求函数y = f (x ) + 2x 的极小值；(2) 若F (x ) >0的解集为(0, +〜，求k 的取值范围； (3)记F (x )的极值点为m .求证：函数G (x ) =|F (x )|+ In x 在区间(0, m )上单调递增.(极值点是指 函数取极值时对应的自变量的值)20 .(本小题满分16分)对于数列{a n },定义 b n (k )= a n + a n + k ,其中 n , k € N* . (1) 若 b n (2) — b n (1) = 1 , n € N*,求 b n (4) — b n (1)的值； (2) 若 a 1 = 2,且对任意的 n , k € N* ,都有 b n + 1(k )= 2b n (k ).(i )求数列{a n }的通项公式;,记集合 A = {b n (k )|n € N*}, B = {5g(k + 2)|n € N*},程.(3)延长AC 交椭圆E 于点B ,记△ AOB 与厶AOC 的面积分别为S i , S 2,若83, 求直线I 的方(ii )设k 为给定的正整数S 2求证：A n B=南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学附加题2018.03注意事项：1. 附加题供选修物理的考生使用•2 •本试卷共40分，考试时间30分钟.3.答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内.试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内.考试结束后，交回答题纸.21 .选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分.请在答卷纸指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A .选修4 —1 :几何证明选讲如图，AB是圆O的直径，AC是弦，/BAC的平分线AD交圆O于点D, DE丄AC且交AC的延长线于点E,求证：DE是圆O的切线.B.选修4 —2 :矩阵与变换1 1属于实数入的一个特征向量，求入和A2.已知a= 为矩阵A =1 —1C.选修4 —4 :坐标系与参数方程x= t,在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为y = p3t + 2x = a cos 9,y= a sin 9但＞°，9为参数），点P是圆C上的任意一点.若点P到直线1距离的最大值为3，求aD .选修4 —5 :不等式选讲对任意x, y€ R,求|x—1| + |x|+ |y—1| + |y+ 1| 的最小值.必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答卷卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22 .（本小题满分10分）甲，乙两人站在P点处分别向A, B, C三个目标进行射击，每人向三个目标各射击一次•每人每次射击每个目标均相互独立1 1 1 ,且两人各自击中A, B, C的概率分别都为2, 3 ；(2)求甲乙两人共击中目标数为2个的概率•23 •(本小题满分10分)已知n € N*,且n>4,数列T：a i, a?,…，中的每一项均在集合M ={1 , 2，…，n }中，且任意两项不相等.(1) 若n= 7,且a2 v a3< a4< a5< a6,求数列T的个数；(2) 若数列T中存在唯一的a k ( k€ N*,且k< n),满足a k>a k+1,求所有符合条件的数列T 的个数.(1)设X表示甲击中目标的个数,求随机变量X的分布列和数学期望南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学参考答案说明：1. 本解答给出的解法供参考•如果考生的解法与本解答不同 ，可根据试题的主要考查内容比照评分 标准制订相应的评分细则•2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时 ，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半 ；如果后续部分的解答有 较严重的错误，就不再给分.3. 解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数 .4.只给整数分数,填空题不给中间分数指定位置上）、填空题（本大题共14小题，每小题5分,计70分.不需写出解答过程 ，请把答案写在答题纸的4. 164 9.310.（-1，1）13 . 2 或-1814 .[—16 .（本小题满分14分）（1）解法一：取CE 中点F ,连接FB, MF .因为M 为DE 的中点，F 为CE 的中点，4, 0)、解答题（本大题共6小题，计90分•解答应写出必要的文字说明 ,证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内 ）15 .（本小题满分14分）T 7 n n n解：（1）设f （x ）的周期为「则2=秒-穆=2，所以—.2 n 又T =，所以33= 2,所以 f (x ) = 2sin(2 x + 0).3•分nn 因为点（—，2）在函数图象上，所以2sin （2 x —+ 0） = 2 , 1212nnn因为-2<0<2,所以0=3，所以nf (x )= 2sin(2 x + 3).n即叫+0)= 1.7•分a由f （?6 n 3 5,得 sin( a + -)=-5.2 n7 n n 3 n因< a <—,所以 n< a + — < ,3 632所cosa+3)=-..a10•分7t 7tTt nn n所以 cos a = cos[( a +_) —一]= cos( a +一)cos 一 + sin( a +_) sin_3 3 3 3 3 34 13 - 3 =—5 x 2+(—5)x 73.3+ 4 1014..分1 所以MF//CD 且MF=-CD. ...................................... 2•分•2又因为在矩形ABCD中，N为AB的中点，1所以BN//CD 且BN=-CD,2所以MF//BN且MF= BN,所以四边形BNMF为平行四边形，所以MN //BF. ...................................... 4•分-又MN 平面BEC, BF平面BEC所以MN //平面BEC. ...................................... 6•分- 解法二：取AE中点G,连接MG , GN.因为G为AE的中点，M为DE的中点，所以MG //AD.又因为在矩形ABCD中，BC//AD ,所以MG //BC.又因为MG 平面BEC, BC平面BEC,所以MG //平面BEC. ...................................... 2分・因为G为AE的中点，N为AB的中点，所以GN //BE.又因为GN 平面BEC, BE 平面BEC,所以GN //平面BEC.又因为MG n GN = G, MG, GN 平面GMN ,所以平面GMN //平面BEC. ...................................... 4••分-又因为MN 平面GMN ,所以MN //平面BEC. ...................................... 6•分•(2)因为四边形ABCD为矩形，所以BC丄AB.因为平面ABCD丄平面ABE,平面ABCD n平面ABE= AB, BC 平面ABCD,且BC丄AB,所以BC丄平面ABE ...................................... 8分・因为AH 平面ABE ,所以BC 丄AH .S 1 S?则 S 2 = 0 , m 1 = k~—2, m 2= k -—2, k 为常数，k >0.(1)在厶 PAB 中，AB = 10, PA = 15 ,ZPAB= 60°,由余弦定理，得 d 21 2= PB 2 = AB 2 + PA 2— 2ABPA cos60 °1=102+ 152-2 X 10 X 15 k= 175 .2又 d 12 = PA 2= 225 ,S 1S? S 1 XSi1此时，m 1- m 2= k 2 — k 2= k 2 — k 2 = k$(d 12 d 22 d 12 d 22 d 121 1 1将入=一，d 12= 225 , d 22 = 175 代入，得 m 1— m 2= kS 1(— ). 2 225 350因为kS 1 > 0,所以m 1> m 2,即居住在P 点处的居民不在商场 B 相对于A 的更强吸引区域”内. ............ 6•分 (2)解法一：以AB 所在直线为x 轴，A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系 则 A (0, 0), B (10 , 0),设 P (x , y ),因为 AB =AE , H 为BE 的中点，所以BE 丄AH . 10•分因为 BC n BE = B , BC 平面 BEC, BE平面 BEC,所以AH 丄平面BEC.12分 又因为 CE 平面BEC,所以AH 丄CE .14分17. (本小题满分 14解：设商场 A 、 B 的面积分别为$、S 2,点P 到A 、B 的距离分别为 d 1、d 2,入d?,4 •分S i S 2由mi < m2得，k 體v k&,将S2 =0代入，得d/vd 2. ••…8分代入坐标,得(x — 10)2 + y 2<心2 + y 2),化简得(1 —片 x 2 + (1 —耳 y 2— 20x + 100 < 0....................... 1-0-分与商场B 相距2 km 以内的区域（含边界）是：圆心为B （10 , 0）,半径为「2 = 2的圆的内部及由题设，圆B 内含于圆C ,即BC < |「1 — Bl .整理得4入—入+1 所以，所求入的取值范围是仏,1）• 解法 要使与商场B 相距2 km 以内的区域 洽边界）均为商场B 相对于A 的更强吸引区域 则当d 2<2时，不等式m 1 < m 2恒成立.S 1 S 2 ?S1d 22 由 m 1 < m 2,得 k —2< k — = k —2,化简得 d 12>——d 12 d 22 d 22入设/PBA = e ,则 d 12= PA = AB 2 + PB 2— 2ABPB cos e = 100 + d 22 — 20 d 2cos e,10 因为0<入< 1,所以 —10 <1 —入 的内部•因为0<入< 1,配方得所以商场 101 —B 相对于A 的更强吸引区域”是：圆心为圆周•12 •分14分 10•分)2+ y 2< ( 10C （L ，0）,半径为 r1 =d 22…100 + d 22 — 一d 2入所以 100 + d 22— 20d 2cos 0> —,即>cos 0.入 20d 211 1 11即 1 —一〉20 ―― 100 (—)2 = — 100( — )2 + 1 (*).入 d 2 d 2 d 2 101 1当旷2时，不等式（*）右端的最大值为—15，1 1 所以1-；＞-15，解得心和.1所以入的取值范围是（16, 1）.......................... 14-分18 .（本小题满分16分）c 卫,解：（1）因为 a 2 所以 c = 1 , b 2 = a 2— c 2= 1,a= - 2,x 2所以椭圆E 的方程为+y 2= 1............................ 2 •分解法一：(2)由(1)得 A (0, 1).设 P (x 1, y 1), Q (X 2, y 2), C (x 0, y °),其中X 0, y ° 均不为 0,且 X 1 壬X 2.因为P, Q 两点都在椭圆 E 上,所以X 12+ 2y 12= 2且X 22 + 2y 22= 2, y 2 — y 1 y 01两式相减得 * = —一................ 4 •分X 2 — X 1 X 0 2上式对于任意的0€[0,n ］恒成立，则有100 + d 22 —d 2220d 2> 1,12-分y2—y1 y0 —m y0 —m y01又一，所:—X2—X1 X0X0 X02即X03= 2y°(m —y°). ①y0—1y0又AC丄OC,所以x =— 1 ,X0X0即X02= y0(1 —y0). ②6•分8 •分由①②得y o = 2m —1, x o2= (1 —2m) (2 m —2) € (0 , 2),1所以v m v 1. I O .分(3)设B(X3, y3)，点B在椭圆E上，所以X32+ 2y32= 2 .y3 —1 y o又AC丄OC,所以X-=—1 ,即y3 =X3 X0 X0—X3 + 1 , y o代入上式消去y3，得X3 =4X o y o2 2?y o + 2x o12••分1 _A0X|X3| S2 所以—= $ X3 4y od LI= 1^—J I.1 X o y°+ 2X2AO x|X o|2由(2)1知y o= 2m —1, X o2= (1 —2m) (2 m —2), ~v m v 1 ,所以S14(2m —1) 4事〔2m-1)2 + 2(1 - 2m)(2m - 2) 1T盲•141),1 3 ；）,D点坐标为（o,；）,1), 13所以直线1的方程为y"2x +4 -............................ 1&分解法(2)由(1)得 A (0, 1).设 P (x i , y i ), Q (X 2, y 2), C (x o , y o ).设直线1方程为y = kx + m (k 丸),将其与椭圆E 的方程联立，消去y 得(1 + 2k 2)x 2 + 4kmx + 2m 2 — 2 = 0 (*), —4km所以x1 + x2=卞， (4)分2 k 2 + 1 — m所以 k AC xkoc =x2 km2k ?+ 1整理得m = —4k 2+ 14 k 2+ 1 — 2 k 2 2 k 2o = 1 — o = 1 — X 1+ X 2 所以x o =2—2 kmm砲，y0= kx0 + m =右 即C ( —21 +2 k 21 + 2k 2)， 所以 k AC =x om1 +2 k 2—2km1 +2 k 22 k 2 + 1 — m2 kmy o又因为k °c =—=x o m1 +2 k 2—2 km1 +2 k 21,且AC 丄OC ,2k2 k 2 + 1 因为k 电则m = R1 1€(:， 1 22 + 214k2+ 1 4k2+1此时△= 8(2k2+ 1 —m)>0,1),1所以实数m 的取值范围为（2, 1）.(3)设 Bg y 3),1k AB =-—= 2k ,所以直线AB 的方程为y = 2kx +1 , k oc—2 km — 2k 2k 2 + 1— 2k又因为X0=1722=齐汞 店;=齐示，$84 + 16 k 2 81因为S 2= 3，所以= 3，解得k =±2, 2k 2+1 3 3此时m = —2 =—, D 点坐标为(0, _),4k 2+1 4 4 1 3所以直线1的方程为y =±2X +4 -19 .（本小题满分16分）(1)解：y = f (x ) + 2x = x e X ,由 y '=1+ x )e X = 0,解得 x =— 1. 列表如下：10 ■分与椭圆E 方程联立解得 x = — 8k1 + 8 k 2或0 （舍）， 即X 38k 1 + 8k 2•1251所以一=5212AO 加1?AOX |x o |—8k1+ 8k 2 4 + 16k 2i-1= 2" —2k 1 + 8k 2 1 + 4k 214••分16•分1所以当x=—1时，f（x）取得极小值一_ . .............. 2•分e1(2)解：F (x )= f (x )+ g (x )= x e x— x — ln x + k , F (x )= (x + 1)(e x—-), x1 1设 h (x )= e x —-(x > 0),则 h 'x ) = e x +~2 > 0 恒成立，x x 2所以函数h (x )在(0,+^)上单调递增1 X 。
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2018年南京盐城高三二模数学试卷及答案(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n ∑n i ＝1(x i －x)2，其中x ＝1n ∑ni ＝1x i . 锥体体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1. 函数f(x)＝lg (2－x)的定义域为________．2. 已知复数z 满足z1＋2i ＝i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为________．3. 执行如图所示的算法流程图，则输出a 的值为________．(第3题)4. 某学生5次数学考试成绩的茎叶图如图所示，则这组数据的方差为________．(第4题)5. 3名教师被随机派往甲、乙两地支教，每名教师只能被派往其中一个地方，则恰有2名教师被派往甲地的概率为________．6. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 15＝30，a 7＝1，则S 9的值为________．7. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若b sin A sin B ＋a cos 2B ＝2c ，则ac 的值为________．8. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 2－y 2b2＝1(b>0)的两条渐近线与圆O ：x 2＋y 2＝2的四个交点依次为A ，B ，C ，D.若矩形ABCD 的面积为b ，则b 的值为________．9. 在边长为4的正方形ABCD 内剪去四个全等的等腰三角形(如图1中阴影部分)，折叠成底面边长为2的正四棱锥SEFGH(如图2)，则正四棱锥SEFGH 的体积为________．图1 图210. 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2＋x .若f (a )＋f (－a )<4，则实数a 的取值范围为________．11. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝mx ＋1(m>0)在x ＝1处的切线为l ，则点(2，－1)到直线l 的距离的最大值为________．12. 如图，在△ABC 中，边BC 的四等分点依次为D ，E ，F.若AB →·AC →＝2，AD →·AF →＝5，则AE 长为________．13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 为圆C ：(x ＋4)2＋(y －a)2＝16上两个动点，且AB ＝211.若直线l ：y ＝2x 上存在唯一一个点P ，使得PA →＋PB →＝OC →，则实数a 的值为________．14. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋3x 2＋t ，x<0，x ， x ≥0(t ∈R)．若函数g (x )＝f (f (x )－1)恰有4个不同的零点，则t 的取值范围为________．二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)已知函数f(x)＝2sin (ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，直线x ＝π12，x ＝7π12是其相邻的两条对称轴． (1) 求函数f(x)的解析式；(2) 若f ⎝⎛⎭⎫α2＝－65，且2π3<α<7π6，求cos α的值．16. (本小题满分14分)如图，矩形ABCD 所在平面与三角形ABE 所在平面互相垂直，AE ＝AB ，M ，N ，H 分别为DE ，AB ，BE 的中点．(1) 求证：MN ∥平面BEC ； (2) 求证：AH ⊥CE.17. (本小题满分14分)调查某地居民每年到商场购物次数m 与商场面积S 、到商场距离d 的关系，得到关系式m ＝k ×Sd 2(k 为常数)．如图，某投资者计划在与商场A 相距10 km 的新区新建商场B ，且商场B 的面积与商场A 的面积之比为λ(0<λ<1)．记“每年居民到商场A 购物的次数”“每年居民到商场B 购物的次数”分别为m 1、m 2，称满足m 1<m 2的区域叫作商场B 相对于A 的“更强吸引区域”．(1) 已知P 与商场A 相距15 km ，且∠PAB ＝60°.当λ＝12时，居住在点P 处的居民是否在商场B 相对于A 的“更强吸引区域”内？请说明理由；(2) 若要使与商场B 相距2 km 以内的区域(含边界)均为商场B 相对于A 的“更强吸引区域”，求实数λ的取值范围．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，上顶点A到右焦点的距离为 2.过点D(0，m)(m ≠0)作不垂直于x 轴，y 轴的直线l 交椭圆E 于P ，Q两点，C 为线段PQ 的中点，且AC ⊥OC.(1) 求椭圆E 的方程；(2) 求实数m 的取值范围；(3) 延长AC 交椭圆E 于点B ，记△AOB 与△AOC 的面积分别为S 1，S 2，若S 1S 2＝83，求直线l 的方程．已知函数f(x)＝x(e x－2)，g(x)＝x－ln x＋k，k∈R，其中e为自然对数的底数．记函数F(x)＝f(x)＋g(x)．(1) 求函数y＝f(x)＋2x的极小值；(2) 若F(x)>0的解集为(0，＋∞)，求k的取值范围；(3) 记F(x)的极值点为m，求证：函数G(x)＝|F(x)|＋ln x在区间(0，m)上单调递增．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)对于数列{a n}，定义b n(k)＝a n＋a n＋k，其中n，k∈N*.(1) 若b n(2) －b n(1) ＝1，n∈N*，求b n(4)－b n(1)的值；(2) 若a1＝2，且对任意的n，k∈N*，都有b n＋1(k)＝2b n(k)．(i) 求数列{a n}的通项公式；(ii) 设k为给定的正整数，记集合A＝{b n(k)|n∈N*}，B＝{5b n(k＋2)|n∈N*}，求证：A∩B ＝∅.2018届高三年级第二次模拟考试(九)数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A . [选修41：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，AB 是圆O 的直径，AC 是弦，∠BAC 的平分线AD 交圆O 于点D ，DE ⊥AC 且交AC 的延长线于点E ，求证：DE 是圆O 的切线．B . [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)已知α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a －12属于实数λ的一个特征向量，求λ和A 2.C. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝3t ＋2(t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝a sin θ(a >0，θ为参数)，P 是圆C 上的任意一点．若点P 到直线l 距离的最大值为3，求a 的值．D. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分)对任意x ，y ∈R ，求|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)甲、乙两人站在点P 处分别向A ，B ，C 三个目标进行射击，每人向三个目标各射击一次，每人每次射击每个目标均相互独立，且两人各自击中A ，B ，C 的概率分别都为12，13，14.(1) 设X 表示甲击中目标的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望； (2) 求甲、乙两人共击中目标数为2个的概率．23. (本小题满分10分)已知n ∈N *，且n ≥4，数列T ：a 1，a 2，…，a n 中的每一项均在集合M ＝{1，2，…，n }中，且任意两项不相等．(1) 若n ＝7，且a 2<a 3<a 4<a 5<a 6，求数列T 的个数；(2) 若数列T 中存在唯一的a k (k ∈N *，且k <n )，满足a k >a k ＋1，求所有符合条件的数列T 的个数.2018届高三年级第二次模拟考试(九)数学参考答案1. (－∞，2)2. 53. 34. 165. 38 6. －97. 2 8. 7 9. 43 10. (－1，1) 11. 212. 6 13. 2或－18 14. [－4，0)15. 解析：(1) 设f(x)的周期为T ，则T 2＝7π12－π12＝π2，所以T ＝π.又T ＝2πω，所以ω＝2，所以f(x)＝2sin (2x ＋φ)．(3分)因为点⎝⎛⎭⎫π12，2在函数图象上，所以2sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝1.因为－π2<φ<π2，所以φ＝π3，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.(7分) (2) 由f ⎝⎛⎭⎫α2＝－65得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－35.因为2π3<α<7π6，所以π<α＋π3<3π2，所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－45. (10分)所以cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π3－π3＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3cos π3＋sin (α＋π3)sin π3＝－45×12＋⎝⎛⎭⎫－35×32 ＝－33＋410.(14分)16. 解析：(1) 取CE 的中点F ，连接FB ，MF. 因为M 为DE 的中点，F 为EC 的中点， 所以MF ∥CD 且MF ＝12CD.(2分)因为在矩形ABCD 中，N 为AB 的中点， 所以BN ∥CD 且BN ＝12CD ，所以MF ∥BN 且MF ＝BN ，所以四边形BNMF 为平行四边形， 所以MN ∥BF.(4分)又MN ⊄平面BEC ，BF ⊂平面BEC ， 所以MN ∥平面BEC.(6分)(2) 因为四边形ABCD 为矩形，所以BC ⊥AB ，因为平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD ∩平面ABE ＝AB ，BC ⊂平面ABCD ，且BC ⊥AB ，所以BC ⊥平面ABE.(8分)因为AH ⊂平面ABE ，所以BC ⊥AH.因为AB ＝AE ，H 为BE 的中点，所以BE ⊥AH.(10分) 因为BC ∩BE ＝B ，BC ⊂平面BEC ，BE ⊂平面BEC ， 所以AH ⊥平面BEC.(12分)因为CE ⊂平面BEC ，所以AH ⊥CE.(14分)17. 解析：设商场A ，B 的面积分别为S 1，S 2，点P 到A ，B 的距离分别为d 1，d 2，则S 2＝λS 1，m 1＝k S 1d 21，m 2＝k S 2d 22，k 为常数，k>0.(1) 在△PAB 中，AB ＝10，PA ＝15，∠PAB ＝60°，由余弦定理，得d 22＝PB 2＝AB 2＋PA 2－2AB·PA cos 60°＝102＋152－2×10×15×12＝175.(2分)又d 21＝PA 2＝225，此时，m 1－m 2＝k S 1d 21－k λS 1d 22＝kS 1(1d 21－λd 22)，(4分)将λ＝12，d 21＝225，d 22＝175代入，得m 1－m 2＝kS 1⎝⎛⎭⎫1225－1350. 因为kS 1>0，所以m 1>m 2，即居住在点P 处的居民不在商场B 相对于A 的“更强吸引区域”内．(6分)(2) 要使与商场B 相距2km 的区域(含边界)均为商场B 相对于A 的“更强吸引区域”， 则当d 2≤2时，不等式m 1<m 2恒成立． 由m 1<m 2，得k S 1d 21<k S 2d 22＝k λS 1d 22，化简得d 21>d 22λ.(8分)设∠PBA ＝θ，在△PAB 中，由余弦定理，得d 21＝PA 2＝AB 2＋PB 2－2AB·PB cos θ＝100＋d 22－20d 2cos θ，(10分)所以100＋d 22－20d 2cos θ>d 22λ，即100＋d 22－d 22λ20d 2>cos θ.上式对于任意的θ∈(0，π)恒成立，则有100＋d 22－d 22λ20d 2>1，(12分)即1－1λ>20·1d 2－100·⎝⎛⎭⎫1d 22＝－100(1d 2－110)2＋1，(*) 由于0≤d 2≤2，所以1d 2≥12.当1d 2＝12时，不等式(*)右端的最大值为－15， 所以1－1λ>－15，解得λ>116.又0<λ<1，所以λ的取值范围是⎝⎛⎭⎫116，1.(14分)18. 解析：(1) 因为⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a ＝2，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2分)(2) 由(1)得A(0，1)．设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，C(x 0，y 0)． 设直线l 方程为y ＝kx ＋m(k ≠0)，将其与椭圆E 的方程联立，消去y 得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，(*)所以x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，(4分)所以x 0＝x 1＋x 22＝－2km 1＋2k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m 1＋2k 2，即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2km 1＋2k 2，m 1＋2k 2.所以k AC ＝y 0－1x 0＝m1＋2k 2－1－2km1＋2k 2＝2k 2＋1－m2km .(6分)因为k OC ＝y 0x 0＝m 1＋2k 2－2km 1＋2k 2 ＝－12k，且AC ⊥OC ，所以k AC ×k OC ＝2k 2＋1－m 2km ×⎝⎛⎭⎫－12k ＝－1，整理得m ＝2k 2＋14k 2＋1.(8分)因为k ≠0，则m ＝2k 2＋14k 2＋1＝4k 2＋1－2k 24k 2＋1＝1－2k 24k 2＋1＝1－12＋12k 2 ∈⎝⎛⎭⎫12，1， 所以实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，1.(10分) (3) 设B(x 3，y 3)， k AB ＝－1k OC＝2k ，所以直线AB 的方程为y ＝2kx ＋1， 与椭圆方程联立解得x ＝－8k 1＋8k 2或0(舍)，即x 3＝－8k1＋8k 2.(12分) 因为x 0＝－2km 1＋2k 2＝－2k 1＋2k 2×2k 2＋14k 2＋1＝－2k1＋4k 2，所以S 1S 2＝ 12AO ×|x 3|12AO ×|x 0|＝ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪－8k 1＋8k 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪ －2k 1＋4k 2＝4＋16k 21＋8k 2.(14分)因为S 1S 2＝83，所以4＋16k 21＋8k 2＝83，解得k ＝±12， 此时m ＝2k 2＋14k 2＋1＝34，点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，34. 所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋34.(16分)19. 解析：(1) y ＝f(x)＋2x ＝x e x ，由y′＝(1＋x)e x ＝0，解得x ＝－1. 当x所以当x ＝－1时，f(x)取得极小值－1e.(2分)(2) F(x)＝f(x)＋g(x)＝x e x －x －ln x ＋k ，F ′(x)＝(x ＋1)⎝⎛⎭⎫e x －1x . 设h(x)＝e x －1x (x>0)，则h′(x)＝e x ＋1x 2>0恒成立，所以函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增．又h ⎝⎛⎭⎫12＝e －2<0，h(1)＝e －1>0，且h(x)的图象在(0，＋∞)上不间断， 因此h(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零点x 0∈⎝⎛⎭⎫12，1，且e x 0＝1x 0，(4分) 当x ∈(0，x 0)时，h(x)<0，即F′(x)<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，h(x)>0，即F′(x)>0.所以F(x)在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增， 于是x ＝x 0时，函数F(x)取极(最)小值为 F(x 0)＝x 0e x 0－x 0－ln x 0＋k ＝1－x 0－ln1e x 0＋k ＝1＋k ，(6分) 因为F(x)>0的解集为(0，＋∞)， 所以1＋k>0，即k>－1.(8分) (3) 由(2)知m ＝x 0.(i ) 当1＋k ≥0，即k ≥－1时，F(x)≥0恒成立，于是G(x)＝F(x)＋ln x ＝x e x －x ＋k ，G ′(x)＝(x ＋1)e x －1. 因为x ∈(0，m)，所以x ＋1>1，e x >1， 于是G ′(x)>0恒成立，所以函数G(x)在(0，m)上单调递增．(10分) (ii ) 当1＋k<0，即k<－1时，0<e k <12<x 0＝m ，F(e k )＝e k (ee k －1)>0，F(m)＝F(x 0)＝1＋k<0. 又F(x)在(0，m)上单调递减且图象不间断， 所以F(x)在(0，m)上存在唯一的零点x 1，(12分)当0<x ≤x 1时，F(x)≥0，G(x)＝F(x)＋ln x ＝x e x －x ＋k ，G ′(x)＝(x ＋1)e x －1. 因为0<x ≤x 1，所以x ＋1>1，e x >1， 于是G′(x)>0恒成立，所以函数G(x)在(0，x 1]上单调递增；①(14分)当x 1≤x<m 时，F(x)≤0，G(x)＝－F(x)＋ln x ，G ′(x)＝－F′(x)＋1x ，由(2)知，当x 1≤x<m 时，F ′(x)<0，于是G ′(x)>0恒成立， 所以函数G(x)在[x 1，m)上单调递增；② 设任意s ，t ∈(0，m)，且s ，t ， 若t ≤x 1，则由①G(s)<G(t)， 若s<x 1<t ，则由①知G(s)<G(t)， 由②知G(x 1)<G(t)，于是G(s)<G(t)． 若x 1≤s ，由②知G(s)<G(t)． 因为总有G(s)<G(t)，所以G(x)在(0，m)上单调递增．综上可知，函数G(x)在(0，m)上单调递增．(16分)20. 解析：(1) 因为b n (2)－b n (1)＝1，所以(a n ＋a n ＋2)－(a n ＋a n ＋1)＝1，即a n ＋2－a n ＋1＝1， 因此数列{a n ＋1}是公差为1的等差数列，所以b n (4)－b n (1)＝(a n ＋a n ＋4)－(a n ＋a n ＋1)＝a n ＋4－a n ＋1＝3.(2分) (2) (i ) 因为b n ＋1(k)＝2b n (k)，所以a n ＋1＋a n ＋1＋k ＝2(a n ＋a n ＋k )， 分别令k ＝1及k ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＋a n ＋2＝2（a n ＋a n ＋1），a n ＋1＋a n ＋3＝2（a n ＋a n ＋2），①②(4分) 由①得a n ＋2＋a n ＋3＝2(a n ＋1＋a n ＋2)，③(6分) ③－②得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )，④(8分) ①－④得2a n ＋1＝4a n ，即a n ＋1＝2a n .因此数列{a n } 是公比为2的等比数列． 又a 1＝2，所以a n ＝2n .(10分)(ii ) 假设集合A 与集合B 中含有相同的元素，不妨设b n (k)＝5b m (k ＋2)，n ，m ∈N *，即a n ＋a n ＋k ＝5(a m ＋a m ＋k ＋2)，于是2n ＋2n ＋k ＝5(2m ＋2m ＋k ＋2)，整理得2n －m＝5（1＋2k ＋2）1＋2k.(12分)因为5（1＋2k ＋2）1＋2k＝5⎝⎛⎭⎫4－31＋2k ∈[15，20)，即2n －m ∈[15，20)． 因为n ，m ∈N *，从而n －m ＝4，(14分) 所以5（1＋2k ＋2）1＋2k＝16，即4×2k ＝11. 由于k 为正整数，所以上式不成立，因此集合A 与集合B 中不含有相同的元素，即A ∩B ＝∅.(16分) 21. A. 解析：连结OD.因为OD ＝OA ，所以∠OAD ＝∠ODA. 因为AD 平分∠BAE ，所以∠OAD ＝∠EAD ，(3分) 所以∠EAD ＝∠ODA ，所以OD ∥AE.(5分) 因为AE ⊥DE ，所以DE ⊥OD.(8分)又因为OD 为半径，所以DE 是圆O 的切线．(10分)B. 解析：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a －12⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝λ，－1＋2＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，λ＝1.(5分)所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－12，所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－34.(10分)C. 解析：因为直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝3t ＋2(t 为参数)，所以直线l 的普通方程为y ＝3x ＋2.(3分)因为圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝a sin θ(a >0，θ为参数)，所以圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝a 2.(6分)因为圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝1，(8分) 所以1＋a ＝3，解得a ＝2.(10分) D. 解析：|x －1|＋|x |≥|x －1－x |＝1，当且仅当x (x －1)≤0，即0≤x ≤1时取等号．(4分) |y －1|＋|y ＋1|≥|y －1－y －1|＝2，当且仅当(y －1)(y ＋1)≤0，即－1≤y ≤1时取等号．(8分) 所以|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥3，当且仅当0≤x ≤1，－1≤y ≤1时取等号，所以|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3.(10分)22. 解析：(1) 随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3. P(X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13×(1－14)＝14. P(X ＝1)＝12×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－12×13×⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13×14＝1124， P(X ＝2)＝⎝⎛⎭⎫1－12×13×14＋12×⎝⎛⎭⎫1－13×14＋12×13×⎝⎛⎭⎫1－14＝14， P(X ＝3)＝12×13×14＝124.所以随机变量XX 的数学期望E(X)＝0×14＋1×1124＋2×14＋3×124＝1312.(5分)(2) 设Y 表示乙击中目标的个数．由(1)亦可知，P(Y ＝0)＝14，P(Y ＝1)＝1124，P(Y ＝2)＝14.则P(X ＝0，Y ＝2)＝14×14＝116，P(X ＝1，Y ＝1)＝1124×1124＝121576，P(X ＝2，Y ＝0)＝14×14＝116，(8分)所以P(X ＋Y ＝2)＝P(X ＝0，Y ＝2)＋P(X ＝1，Y ＝1)＋P(X ＝2，Y ＝0)＝193576.所以甲、乙两人共击中目标数为2个的概率为193576.(10分)23. 解析：(1) 当n ＝7时，M ＝{1，2，…，7}，数列T 的个数为C 27×A 22＝42.(2分) (2) 当k ＝1时，则a 1>a 2，a 2<a 3<…<a n ，此时a 2为1，a 1共有(n －1)种选法，余下的(n －2)个数，按从小到大依次排列，共有1种，因此k ＝1时，符合条件的数列T 共有n －1＝C 1n －1(个)．(3分)当2≤k ≤n －2时，则a 1<a 2<…<a k ，a k >a k ＋1，a k ＋1<a k ＋2<…<a n ，从集合M中任取k个数，按从小到大的顺序排列，再将余下的(n－k)个数，按从小到大的顺序排列．，即得满足条件a1<a2<…<a k，a k＋1<a k＋2<…<a n的数列的个数为C k n C n－kn－k这里包含了a k<a k＋1，即a1<a2<…<a k<a k＋1<a k＋2<…<a n的情形，因此符合条件的数列T的个数为C k n C n－k－1＝C k n－1.(7分)n－k当k＝n－1时，即a1<a2<…<a n－1，a n－1>a n.此时a n－1为n，a n共有(n－1)种选法，余下的(n－2)个数，按从小到大依次排列，共有1种，因此当k＝n－1时，符合条件的数列T共有n－1＝C n－1－1(个)．(8分)n于是所有符合条件的数列T的个数为：－1C1n－1＋C2n－1＋…＋C n－1n＝C1n＋C2n＋…＋C n－1－n＋1n＝2n－C0n－C n n－n＋1＝2n－n－1.(10分)。