2018年南京盐城高三二模数学试卷及答案

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2018年南京盐城高三二模数学试卷及答案

(满分160分,考试时间120分钟)

参考公式:

样本数据x 1,x 2,…,x n 的方差s 2=1n ∑n i =1(x i -x)

2,其中x =1n ∑n

i =1x i . 锥体体积公式:V =1

3

Sh ,其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高.

一、 填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分. 1. 函数f(x)=lg (2-x)的定义域为________.

2. 已知复数z 满足z

1+2i =i ,其中i 为虚数单位,则复数z 的模为________.

3. 执行如图所示的算法流程图,则输出a 的值为________.

(第3题)

4. 某学生5次数学考试成绩的茎叶图如图所示,则这组数据的方差为________.

(第4题)

5. 3名教师被随机派往甲、乙两地支教,每名教师只能被派往其中一个地方,则恰有2名教师被派往甲地的概率为________.

6. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 15=30,a 7=1,则S 9的值为________.

7. 在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.若b sin A sin B +a cos 2B =2c ,则

a

c 的值为________.

8. 在平面直角坐标系xOy 中,双曲线

C :x 2-

y 2

b

2=1(b>0)的两条渐近线与圆O :x 2+y 2=2的四个交点依次为A ,B ,C ,D.若矩形ABCD 的面积为b ,则b 的值为________.

9. 在边长为4的正方形ABCD 内剪去四个全等的等腰三角形(如图1中阴影部分),折叠成底面边长为2的正四棱锥SEFGH(如图2),则正四棱锥SEFGH 的体积为________.

图1 图2

10. 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数,且当x ≥0时,f (x )=x 2+x .若f (a )+f (-a )<4,则实数a 的取值范围为________.

11. 在平面直角坐标系xOy 中,曲线y =m

x +1(m>0)在x =1处的切线为l ,则点(2,-1)

到直线l 的距离的最大值为________.

12. 如图,在△ABC 中,边BC 的四等分点依次为D ,E ,F.若AB →·AC →=2,AD →·AF →

=5,则AE 长为________.

13. 在平面直角坐标系xOy 中,已知A ,B 为圆

C :(x +4)2+(y -a)2=16

上两个动点,

且AB =211.若直线l :y =2x 上存在唯一一个点P ,使得PA →+PB →=OC →

,则实数a 的值为________.

14. 已知函数f(x)=⎩

⎪⎨⎪⎧-x 3+3x 2+t ,x<0,

x , x ≥0(t ∈R).若函数g (x )=f (f (x )-1)恰有4个不同的

零点,则t 的取值范围为________.

二、 解答题:本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. (本小题满分14分)

已知函数f(x)=2sin (ωx +φ)⎝⎛⎭⎫ω>0,-π2<φ<π2的部分图象如图所示,直线x =π

12,x =

12

是其相邻的两条对称轴. (1) 求函数f(x)的解析式;

(2) 若f ⎝⎛⎭⎫α2=-6

5,且2π3<α<7π6

,求cos α的值.

16. (本小题满分14分)

如图,矩形ABCD 所在平面与三角形ABE 所在平面互相垂直,AE =AB ,M ,N ,H 分别为DE ,AB ,BE 的中点.

(1) 求证:MN ∥平面BEC ; (2) 求证:AH ⊥CE.

17. (本小题满分14分)

调查某地居民每年到商场购物次数m 与商场面积S 、到商场距离d 的关系,得到关系式m =k ×S

d 2(k 为常数).如图,某投资者计划在与商场A 相距10 km 的新区新建商场B ,且商

场B 的面积与商场A 的面积之比为λ(0<λ<1).记“每年居民到商场A 购物的次数”“每年居民到商场B 购物的次数”分别为m 1、m 2,称满足m 1

(1) 已知P 与商场A 相距15 km ,且∠PAB =60°.当λ=1

2时,居住在点P 处的居民是否

在商场B 相对于A 的“更强吸引区域”内?请说明理由;

(2) 若要使与商场B 相距2 km 以内的区域(含边界)均为商场B 相对于A 的“更强吸引区域”,求实数λ的取值范围.

如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率为2

2,上顶点A

到右焦点的距离为 2.过点D(0,m)(m ≠0)作不垂直于x 轴,y 轴的直线l 交椭圆E 于P ,Q

两点,C 为线段PQ 的中点,且AC ⊥OC.

(1) 求椭圆E 的方程;

(2) 求实数m 的取值范围;

(3) 延长AC 交椭圆E 于点B ,记△AOB 与△AOC 的面积分别为S 1,S 2,若S 1S 2=8

3,求

直线l 的方程.

已知函数f(x)=x(e x-2),g(x)=x-ln x+k,k∈R,其中e为自然对数的底数.记函数F(x)=f(x)+g(x).

(1) 求函数y=f(x)+2x的极小值;

(2) 若F(x)>0的解集为(0,+∞),求k的取值范围;

(3) 记F(x)的极值点为m,求证:函数G(x)=|F(x)|+ln x在区间(0,m)上单调递增.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)

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