四年级下册数学课件思维拓展训练：整数的分拆 全国通用
组合数学幻灯片44整数的拆分课件
定义4.7 1. 用 Pk(n) 表 示 n 拆 分 成 1,2,… ， k 的 允 许 重 复的方法数。 2.用Po(n)表示n拆分成奇整数的方法数。 3.用Pd(n)表示n拆分成不同的整数的方法数。 4.用Pt(n)表示n拆分成2的不同幂(即1，2，4， 8，…)的方法数。
由上面的讨论和定理4.2即可得
,1
x2
1 1
x4 x2
1
x3
1 1
x6 x3
,1
x4
1 1
x8 x4
,
(1
x)(1
x2
)(1
x3
)(1
x4
)
1 x2 1 x
1 1
x4 x2
1 1
x6 x3
1 1
x8 x4
上式的左端正好是Pd(n)的普通母函数(由定理4.3 的推论1)，而上式的右端，可将分子分母的所有偶 次幂约去就得到
1 22
1 32
1
1
1 x2 dx
2
故有log f ( x) 2x 1 x
而f ( x) p(n)xn p(n)xn n0
故有log p(n) log f ( x) n log x 2x n log x 1 x
而对于w>1时，有 log w w 1
• 于是有 log x log 1 1 1 1 x
1 (1 x )(1 x3 )(1 x5 )(1 x7 )
这正好是P0(n)的普通母函数(由推论4)。
∴Po(n)=Pd(n)
以上我们证明了把n拆分成奇整数的和的方 式数等于把n拆分成不相同的整数的和的 方式数。
• 7=5+1+1
7=6+1
7=3+3+1
整数的拆分(三、四年级)
整数的分拆【例1】（★★）把10个相同的乒乓球分成两堆，每堆至少有一个乒乓球，有多少种不同的分法？【拓展1】（★★）把10个相同的乒乓球分成三堆，每堆至少有一个乒乓球，有多少种不同的分法？【例2】（★★★）妈妈买了15根相同的巧克力，明明和黄黄都特别喜欢吃。
他俩把所有巧克力都吃完，有多少种不同的情况（每人至少吃3根）？【拓展2】（★★★）把20本相同的故事书放在一个三层书架上，每层至少放5本，那么有多少种不同的放法？【例3】（★★★）一个农民准备用一根长36米的铁丝网围成一块长方形的菜地，要求长方形的长和宽都是自然数。
这块菜地的面积最大是多少平方米？【拓展3】（★★★）用一段木栅栏围出一个面积是36平方米的长方形，要求每条边都是整数，那么这个长方形的周长最短是多少？【例4】（★★★）把17分成若干个整数的和，并且使乘积最大，那么这个乘积最大可能是多少？【拓展4】（★★★）把10拆成若干个可重复的自然数的和，使这些自然数的乘积最大，那么这个乘积最大可能是多少？【例5】（★★★★）把25分成若干个不同的整数的和，并且使乘积最大，那么这个乘积最大可能是多少？【拓展5】（★★★★）把40分成若干个不同的整数的和，并且使乘积最大，应该怎么拆分？【拓展5】（★★★★）把43分成若干个不同的整数的和，并且使乘积最大，应该怎么拆分？小测试1.（★★）把15件相同的衣服分成两堆，每堆至少有1件衣服，有多少种不同的分法？2.（★★★）把11张相同的照片分成三堆，每堆至少有2张照片，有多少种不同的分法？3.（★★★）把21枝相同的铅笔分给明明和黄黄两位同学，每人至少分得6枝，有多少种不同的分法？4.（★★★）把18只小狗关在三个铁笼子里，每个笼子至少关4只，那么有多少种不同的关法？5.（★★★）有一段20米长的木栅栏，围出一个长方形，要求长方形的长和宽都是自然数，那么这个长方形的面积最大是多少？6.（★★★）两个自然数的积为60，这两个数分别可能是多少？它们的和最大可以为多少？最小呢？7.（★★★）把19分成几个可重复自然数的和，再求出这些数的乘积，要使得到的乘积尽可能大，问：这个乘积是多少？8.（★★★）把14分成若干个可重复的整数的和，并且使乘积最大，那么这个乘积最大可能是多少？9.（★★★★）（1）把20分成若干个不同的整数的和，并且使乘积最大，那么这个乘积最大可能是多少？（2）把21分成若干个不同的整数的和，并且使乘积最大，那么这个乘积最大可能是多少？（3）把26分成若干个不同的整数的和，并且使乘积最大，那么这个乘积最大可能是多少？。
整数的分拆
第4讲整数的分拆整数的分拆，就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，就是自然数的一个分拆。
整数的分拆是古老而又有趣的问题，其中最著名的是哥德巴赫猜想。
在国内外数学竞赛中，整数分拆的问题常常以各种形式出现，如，存在性问题、计数问题、最优化问题等。
例1 电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播几天？分析与解：由于希望播出的天数尽可能地多，所以，在每天播出的集数互不相等的条件下，每天播放的集数应尽可能地少。
我们知道，1+2+3+4+5+6+7=28。
如果各天播出的集数分别为1，2，3，4，5，6，7时，那么七天共可播出28集，还剩2集未播出。
由于已有过一天播出2集的情形，因此，这余下的2集不能再单独于一天播出，而只好把它们分到以前的日子，通过改动某一天或某二天播出的集数，来解决这个问题。
例如，各天播出的集数安排为1，2，3，4，5，7，8或1，2，3，4，5，6，9都可以。
所以最多可以播7天。
说明：本题实际上是问，把正整数30分拆成互不相等的正整数之和时，最多能写成几项之和？也可以问，把一个正整数拆成若干个整数之和时，有多少种分拆的办法？例如：5=1+1+1+1+1=1+1+1+2，=1+2+2 =1+1+3=2+3 =1+4，共有6种分拆法（不计分成的整数相加的顺序）。
例2 有面值为1分、2分、5分的硬币各4枚，用它们去支付2角3分。
问：有多少种不同的支付方法？分析与解：要付2角3分钱，最多只能使用4枚5分币。
因为全部1分和2分币都用上时，共值12分，所以最少要用3枚5分币。
当使用3枚5分币时，5×3=15，23-15=8，所以使用2分币最多4枚，最少2枚，可有23=15+（2+2+2+2），23=15+（2+2+2+1+1），23=15+（2+2+1+1+1+1），共3种支付方法。
当使用4枚5分币时，5×4=20，23-20=3，所以最多使用1枚2分币，或不使用，从而可有23=20+（2+1），23=20+（1+1+1），共2种支付方法。
思维训练整数的拆分
整数的分拆例1 小兵和小军用玩具枪做打靶游戏，见下图所示.他们每人打了两发子弹.小兵共打中6环，小军共打中5环.又知没有哪两发子弹打到同一环带内，并且弹无虚发.你知道他俩打中的都是哪几环吗？例2 有人以为8是个吉利数字，他们得到的东西的数量都能要够用“8”表示才好.现有200块糖要分发给一些人，请你帮助想一个吉利的分糖方案.例3 从1～9九个数中选取，将11写成两个不同的自然数之和，有多少种不同的写法？例4将12分拆成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的分拆方式，请把它们一一列出.例5将21分拆成四个不同的自然数相加之和，但四个自然数只能从1～9中选取，问共有多少种不同的分拆方式，请你一一列出.自我挑战1．把1000个鸡蛋放到五只筐子里，每只筐子里的鸡蛋数都由数字8组成，请你想一想该怎样分？2.把15分拆成不大于9的两个整数之和，有多少种不同的分拆方式，请一一列出.3.将15分拆成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的分拆方式，请一一列出.4.将15分拆成不大于9的四个不同的自然数之和，有多少种不同的分拆方式，请一一列出.作业1.将15分拆成不大于9的三个不同的自然数之和有多少种不同分拆方式，请一一列出.2.将15分拆成四个不同的自然数之和，有多少种不同的分拆方式，请一一列出.3.把15个玻璃球分成数量不同的4堆，共有多少种不同的分法？（此题是美国小学数学奥林匹克试题）.4.七只箱子分别放有1个、2个、4个、8个、16个、32个、64个苹果.现在要从这七只箱子里取出87个苹果，但每只箱子内的苹果要么全部取走，要么不取，你看怎么取法？5.把100个馒头分装在七个盒里，要求每个盒里装的馒头的数目都带有6字，想想看，应该怎样分？（思考）6.（1，1，8）是一个和为10的三元自然数组.如果不考虑数字排列的顺序，即把（1，1，8）与（1，8，1）及（8，1，1）看成是相同的三元自然组.那么和为10的自然数组共有多少个？。
第05讲 整数分拆
第五讲 整数分拆整数分拆这一讲属于奥数七大重点专题——计数的基础；培养同学们有序思考问题的能力——思考问题时要按照一定的顺序，才能做到不重复不遗漏。
本讲涉及到三方面的内容：1.与整数分拆相关的计数问题（这是本讲的重点）；2.与整数分拆相关的应用题（如何分析题意把实际问题转化成数学问题）；3.与整数分拆相关的最值（最大与最小）问题（数论中最值问题的基础）；一、 与整数分拆相关的计数问题数数计数最重要的是按照一定的顺序，才能做到不重复不遗漏。
超常123班学案一：将15个玻璃球分成数量不同的4堆，共有多少种不同的分法？分析与答：本题相当于把15拆成4个互不相同的非0自然数相加，问有多少种不同的分拆方法？（注意不能有0，否则就不是4堆了）15=1+2+3+9（注意拆分顺序：几个数由小到大排列或有大到小排列保证不重复）=1+2+4+8（注意变化顺序：尽可能多的固定前面的数，变化最后两个数，并且按顺序依次调整，保证不遗漏）=1+2+5+7（1、2开头的已经没有了，即变化后两个数已经调整不出来其他结果，再按顺序调整倒数第三个数）=1+3+4+7=1+3+5+6（只变化后三个数已经调整不出来了，最后再调整第一个数） =2+3+4+6小结：本题不难，希望同学们通过本题理解整数分拆的枚举顺序。
有序枚举，不重不漏。
例1：从1~12这十二个自然数中选取，把26分拆成四个不同自然数之和。
分析与答：体会本题和上题的区别：上题没有给范围，而这道题要求数的范围在1~12之间。
这时孩子们通常会有两种入手角度：（1）26=1+2+11+12（2）26=12+11+2+1那么哪个角度拆分起来既容易且迅速呢？是第二种。
方法一里26=1+后三个数，相当于把25分拆成后三个数的和，而方法而里26=12+后三个数，相当于把14分拆成后三个数的和，明显14较容易分拆一些。
所以，一般地，如果没有限定数的范围，按照从小到大的分拆顺序相对容易些，而限定数的范围，按照从大到小相对容易些。
四年级下册数学精品课件-思维拓展训练：4.2整数的分拆 全国通用 (17页PPT)
例3：张大伯想用60米长的竹篱笆围一个长方形的院子，准备利用他家的一 面墙，如图。请问：这个院子面积最大是多少?
长：60÷2=30（米） 宽：30÷2=15（米）
“长+2×宽”的和一定，长与2×宽越接近， 乘积越大。
和为10的两个整数很多啊，两个 整数相乘，积最大的是哪个呢？
把和为10的两个整数分别列举出来， 算出两个整数的积，再进行比较。
例1：两个整数的和是10，这两个数的积最大是多少？
甲数
乙数
积
10
0
0
9
1
9
8
2
16
7
3
21
6
4
24
5
5
25
例1：两个整数的和是10，这两个数的积最大是多少？ 10÷2=5 5×5=25
例5：求乘积为36，和为最小的两个自然数。
1
2
3
36
18
12
37
20
15
4
6
9
6
13
12
小结：把乘积分成几个因数相乘，当几个因数相等或接近时，和最小。
例6：试把1999分拆为8个自然数的和，使其乘积最大。
1999÷8=249......7 1999=250×7+249 答：把1999分拆成7个250和249，乘积最大。
30×15=450（平方米）
答：这个院子面积最大是450平方米。
例4：把12分成几个自然数的和，再求出这些自然数的积，要使乘积尽 可能的大，最大的积是多少？
四年级下册数学课件思维拓展训练：整数的分拆 全国通用 17页
1.花 朝 ， 是 成 都花 会开幕 的日子 地点在 南门外 十二桥 边的青 羊宫花 会期有 一个月 这是一 个成都 青年男 女解放 的时期 花会与 上海的 浴佛节 有点相 像，不 过成都 的是以 卖花为 主，再 辅助着 各种游 艺与各 地的出 产。
答：最大的积是81。
把一个整数分成几个自然数的和，要使它们的积最大， 应当将整数分成若干个3的和，如果最后剩下1，应当将最 后一个3与1分成2个2的和，这时，这些自然数的积最大。
例5：求乘积为36，和为最小的两个自然数。
1
2
3
36
18
12
37
20154696
13
12
小结：把乘积分成几个因数相乘，当几个因数相等或接近时，和最小。
4.联 系 实 际 ， 挖掘 材料的 闪光点 。生活 中有些 事情看 似平淡 无奇， 但它却 是整个 社会的 基础， 对这些 生活素 材进行 多方面 的思考 ，深入 的开掘 ，就能 够从具 体的人 事景物 概括出 人类普 遍的感 情和抽 象的道 理。
5． 重 视 细 节 描写， 于细微 处见大 。这是 很重要 的一个 环节， 因为要 于细微 处见事 物的大 ，往往 是通过 其细部 特征传 达出来 的，写 得越细 致，越 深入， 给读者 留下的 印象就 越深， 所体现 出的道 理就越 深。
2这篇文章用河神见海神的寓言故事说 明哲理 ，通篇 都是设 喻而这 些比喻 又是通 过奔放 新奇的 想象和 浓厚的 浪漫主 义情调 抒写出 来的。 庄子把 一切自 然事物 、神话 传说都 具体化 、人格 化。
整数分拆
整数分拆（严格地讲是自然数分拆）形式多样，解法也很多。
下面谈谈如何利用确定“中间数”法解将一个整数分拆成若干个连续数的问题。
那么什么是“中间数”呢？其实这里的“中间数”也就是平均数。
有的“中间数”是答数中的一个，如：1、2、3、4、5中的“3”便是；也有的“中间数”是为了解题方便虚拟的，并不是答数中的一个，如：4、5、6、7这四个数的“中间数”即为“5.5”。
由此我们可知，奇数个连续自然数的“中间数”是一个整数，而偶数个连续自然数的“中间数”则为小数，并且是某个数的一半。
下面利用这种方法解几道题：一、把一个自然数分拆成指定个数的连续数的和的问题。
例1、把2000分成25个连续偶数的和，这25个数分别什么？分析与解：这道题如果一个一个地试，岂不是很麻烦，我们先求中间数：2000÷25=80，那么80的左边有12个数，右边也有12个数，再加上80本身，正好是25个数，我们又知相邻两个偶数相差2，那么这25个偶数中最小的便为：80—12×2=56，最大的为：80+12×2=104，故所求的这25个数为：56、58、………、80、………、102、104。
例2、把105分成10个连续自然数的和，这10个自然数分别是多少？分析与解：我们仿照例1的办法先求中间数：105÷10=10.5，“10.5”这个数是小数，并不是自然数，很明显“10.5”不是所求的数中的一个，但我们可以把10.5“虚拟”为所求的数中的一个，这样也就是10.5左边有5个数，右边也有5个数，距离10.5最近的分别是10、11，这10个数分别是：6、7、8、9、10、（10.5）、11、12、13、14、15。
二、把一个自然数分拆成若干个自然数的和的形式。
例3、84分拆成2个或2个以上连续自然数的和，有几种？分别是多少？分析与解：此题看上去无从下手解答。
我们先把84分解质因数，84=2×2×3×7由分解式可以看出，84的不同质因数有2、3、7，这就说明能把84分拆成2、3、7的倍数个不同连续自然数的和，但是我们必须明确，有的个数是不符合要求的，例如把84分拆成2个连续自然数的和，无论如何是办不到的，那么我们不妨把其分拆为3、7、8（2×2×2）个连续自然数的和。
组合数学幻灯片44整数的拆分
7=5+2
7=3+1+1+1+1
7=4+3
7=1+1+1+1+1+1+1 7=4+2+1
∴Po(7)=5
Pd(7)=5
于是Po(7)=Pd(7)。
定理4.5 (Sylvester)
对正整数n，有 Pt(n)=1
证明：我们知道，任何正整数都可唯一 地用一个二进制数来表示，而一个二进 制数又可唯一地表成2的幂的和。由此即 得结论。
§4.4整数的拆分
作为母函数应用的一个实例，下面讨论把n 个无区别的球放在一些无区别的盒子中的问 题.
把n个无区别的球分放在一些无区别的盒子中， 究竟有多少种不同的放法?
无区别的盒子意味着，如果有四个相同的球，则 在第一个盒子中放入三个球， 第二个盒子中放入一个球与第一个盒子中放入 一个球，第二个盒子中放入三个球的放法是一 样的。
x3
x6
x9
1 1 x3
(1
1 x)(1 x2 )(1
x3
)
(1
x
x2
)(1
x2
x4
)(1
x3
x6
)
1 x 2x2 3x3 4x4 5x5 7x6
在上式中可以看出xn的系数等于n拆分为1， 2，3的和的方法数。例如x3的系数是3，这 表示整数3拆分成1，2，3的和的方法数是3， 即
定义4.7 1. 用 Pk(n) 表 示 n 拆 分 成 1,2,… ， k 的 允 许 重 复的方法数。 2.用Po(n)表示n拆分成奇整数的方法数。 3.用Pd(n)表示n拆分成不同的整数的方法数。 4.用Pt(n)表示n拆分成2的不同幂(即1，2，4， 8，…)的方法数。
小学教育ppt课件教案,分拆数与小数概念：将整数分拆为小数部分
小数的概念
小数是一种表示分数或带分数 的数，由整数部分、小数点和 小数部分组成。
小数可以表示任意实数，包括 有理数和无理数。
小数在日常生活中的应用也非 常广泛，如价格、测量、科学 计算等。
整数与小数的关系
整数可以看作是小数的特殊情况，即 小数点后为零的整数。
整数和小数在数学中具有密切的联系 ，它们的运算性质也有很多相似之处 。
问题2
为什么在小数点后添加0不会改变小 数的大小？
答
根据小数的性质，在小数的末尾添上 0或去掉0，小数的大小不变。这是小 数的基本性质之一。
问题3
无限不循环小数是什么样的？
答
无限不循环小数是一个无法表示为两 个整数的比的数，它的小数部分没有 规律可循，且不循环。
下节课预告：小数的其他应用
• 小数在生活中的实际应用：小数在日常生活中有着广泛的应用 ，例如测量、计算、价格表示等。下节课我们将探讨小数的这 些应用。
分拆方法二：以百分位为基准
总结词
将整数以百分位为基准进行分拆，小数点左边的数字表示整数部分，小数点右边 的数字表示小数部分。
详细描述
以百分位为基准的分拆方法是将整数分为两部分，小数点左边的数字表示整数部 分，小数点右边的数字表示小数部分。例如，将整数123分拆为小数123.0，其中 12表示整数部分，30表示小数部分。
小数可以表示为整数除以10的任意次 幂，如0.1可以表示为1/10，0.01可 以表示为1/100等。
03
将整数分拆为小数部分
分拆方法一：以十分位为基准
总结词
将整数以十分位为基准进行分拆，小数点左边的数字表示整数部分，小数点右 边的数字表示小数部分。
详细描述
以十分位为基准的分拆方法是将整数分为两部分，小数点左边的数字表示整数 部分，小数点右边的数字表示小数部分。例如，将整数123分拆为小数12.3，其 中1表示整数部分，23表示小数部分。
第四讲 整数的拆分之欧阳理创编
第四讲整数的拆分笔记总结整数的拆分：把自然数分成为若干个自然数之和，每一种表示方法就是一种拆分。
【要求】1.拆成的数的和必须等于这个数n。
2.不允许重复（排列顺序不一样的重复也不可以）：例如：3=2+1.3=1+2只能算一种拆分。
【要点】1.被拆的数 2.拆成多少个数 3.特殊要求一、整数分拆中的计数问题（几种、多少个这样的问题称为计数问题）例1有多少种方法可以把6表示为若干个自然数之和？（不加限制条件的分拆，称为无限制分拆）分类(枚举)法：只能拆成2个至6个数的和。
2个数：6=5+1=4+2=3+3 3个数：6=4+1+1=3+2+1=2+2+24个数：6＝3＋1＋1＋1=2+2+1+1； 5个数：6=2+1+1＋1＋1 6个数：6＝1+1+1+1+1+1因此，把6分拆成若干个自然数之和共有1+3+3＋2+1+1=11种不同的方法。
例2 有多少种方法可以把1994表示为两个自然数之和？解法：采用枚举法并考虑到加法交换律：1994=1993+1=1992+2=…=998＋996=997+997因此，一共有997种方法可以把1994写成两个自然数之和.【拆成2个数规律】：n是双数，有n÷2种拆分；n是单数，有（n-1）÷2种拆分.二、整数分拆中的最值问题（最大和最小的两种极端情况，称为最值问题）例3 50最多能拆成多少个不同的正整数之和？拆“50”没有个数限制，但要求拆成的数个数最多-------也就是尽量拆的最小50=1+2+3+4+5+6+7+8+9+5 最多拆成9个。
例4 试把14分拆为两个自然数之和，使它们的乘积最大14=1＋13，1×13＝13；14=2+12，2×12=24；14=3＋11，3×11=33；14=4＋10，4×10=40；14=5＋9，5×9=45；14=6+8，6×8=48；14=7+7，7×7=49.[结论] 拆成两个数，差越小时，乘积越大；差越大时，乘积越大。
第七讲 整数的分拆
第七讲 整数的分拆1、整数的分拆：把一个整数n 表示为若干个自然数之和的形式，这通常叫整数n 的分拆。
即12m n n n n =+++ (121m n n n ≥≥≥≥ )。
对被加项和项数m 加以一些限制条件，就得到某种特殊类型的分拆。
自然数的分拆是古老而又十分有趣的问题，著名的歌德巴赫猜想实际上是一个分拆问题。
其相关结论如下：(1)一般的，把一个整数表示成两个数相加，当两个数相近或相等的时候，乘积最大，也就是把整数分拆成两个相等或者相差为1的两个整数。
(2)一般的，把自然数m 分成n 个自然数的和，使其乘积最大，则先把m 进行对n 的带余除法，表示成m=np+r ，则分成r 个(p+1)，(n-r)个p 。
(3)把自然数S(S>1)分拆成若干个自然数的和(没有给定是几个)，则分成的数当中最多有两个2，其他的都是3，这样他们的乘积最大。
(4)把自然数分成若干个互不相等的整数，则先把它表示成2+3+4+5+…+r (r≤n )的形式，再把r 一轮一轮的从后往前每个加1即可。
(5)若自然数N 有k 个大于1的奇约数，则N 共有k 种表示为两个或两个以上连续自然数之和的方法。
〖经典例题〗例1、将2006分拆成8个自然数的和的形式，使其乘积最大？分析：要使8个自然数的乘积最大，必须使这8个数中的任意两个数相等或相差1.因为2006÷8=250……6，所以2006=250×8+6，6不能单独存在，所以将6分成6个1，并从后往前加在6个自然数中，2006=250+250+251+251+251+251+251+251。
例2、把60分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小，那么这个最大的质数是几？分析：因为60÷10=6，可以初步判定尽可能小的最大的质数应从能否为7考虑。
60=7×8+2+2.所以最大的数最小是7.〖方法总结〗本题用到了结论(2)，将2006写成8×p+r 的形式，然后余下6，因此有6个251和2个250.当有些特殊要求时，如例2，我们先估算出大致范围，然后再利用结论求解。
小升初数学思维拓展专项训练 专题5整数的裂项和拆分
专题5-整数的裂项和拆分小升初数学思维拓展数论问题专项训练（知识梳理+典题精讲+专项训练）1、整数的列项与分拆：就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，就是自然数的一个分拆．整数的分拆是古老而又有趣的问题，其中最著名的是哥德巴赫猜想．在国内外数学竞赛中，整数分拆的问题常常以各种形式出现，如，存在性问题、计数问题、最优化问题等．【典例一】电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播几天？【分析】由于希望播出的天数尽可能地多，所以，在每天播出的集数互不相等的条件下，每天播放的集数应尽可能地少．【解答】解：因为1+2+3+4+5+6+7=28．如果各天播出的集数分别为1，2，3，4，5，6，7时，那么七天共可播出28集，还剩2集未播出．由于已有过一天播出2集的情形，因此，这余下的2集不能再单独于一天播出，而只好把它们分到以前的日子，通过改动某一天或某二天播出的集数，来解决这个问题．例如，各天播出的集数安排为1，2，3，4，5，7，8或1，2，3，4，5，6，9都可以．所以最多可以播7天．【点评】本题实际上是问，把正整数30分拆成互不相等的正整数之和时，最多能写成几项之和？也可以问，把一个正整数拆成若干个整数之和时，有多少种分拆的办法？例如：5=1+1+1+1+1=1+1+1+2=1+2+2=1+1+3=2+3=1+4，共有6种分拆法（不计分成的整数相加的顺序）．【典例二】有三个箱子，如果两箱两箱的称它们的重量，分别是15千克、23千克、26千克，那么其中最重的箱子重（）千克．A、18B、9C、15D、17【分析】根据题意明白，三箱两两称重，三次重量，实际是各称了两次，求总重量：（15+23+26）÷2=32，再去掉每次称两箱的重量就是余下那箱的重量，都算出来后，找最重的即可．【解答】解：三箱总重量：（15+23+26）÷2=32（千克），第一次两箱称余下那箱重：32-15=17（千克），第二次两箱称余下那箱重：32-23=9（千克），第三次两箱称余下那箱重：32-26=6（千克），答：最重的箱子重17千克．故选：D．【点评】此题关键是明白两两称实际上每一箱都称了两次，根据三次重量和除以2就能求出三箱总重量，然后根据题意求出即可．【典例三】一次数学考试的满分是100分，6位同学在这次考试中平均得分是91分，这6位同学的得分互不相同，其中有一位同学仅得65分．则得分排在第三名的同学至少得（）分．【分析】要使第三名同学的分数最少，则让其他同学的分数最多即可，根据题意，令第一名是100分，第二名是99分，第六名是65分；然后求出六位同学的总分91乘6，减去100、99、65，最后除以3得94，让第四位、第五位同学分数尽量大94、93，则第三名同学至少得95分，即可得解．【解答】解：91×6=546，546-100-99-65=282，282÷3=94，答：得分排在第三名的同学至少得95分；故答案为：95．【点评】明白要使第三名分数最小，则其他五人的分数必须最大是解决此题的关键．一．选择题（共8小题）1．把2012拆成若干个自然数的和，要使这些数的自然数乘积尽量大，那么下面()拆法正确．A．拆成671个3B．拆成671个3和一个2C．拆成670个3D．拆成670个3和一个22．小亮是一名中学生，他代表学校参加了全市数学竞赛，他说：“我的名次、得分和年龄的乘积是4074。
组合数学-第七节：整数的分拆
组合数学-第七节：整数的分拆2.6 正整数的分拆粗略地说，正整数的分拆就是将⼀个正整数分成⼏个正整数的和。
在本章的前⼏节中已经看到，某些重要和式的求和范围都与正整数的分拆有联系，在2.7节中我们将说明有⼀类分配问题就是“分拆问题”。
分拆问题也是组合论的重要内容之⼀，本节我们将介绍正整数的分拆的概念及其⼀些最基本的性质，在2.7节中再将本节的⼀些结果应⽤到⼀类分配问题。
定义2.6.1正整数n 的⼀个k 分拆是把n 表⽰成k 个正整数的和()121k n n n n k =+++≥ （2.6.1）的⼀种表⽰法，其中()01i n i k >≤≤i n 叫做该分拆的分部量。
如果表达式（2.6.1）是⽆序的，也就是说，对诸i n 任意换位后的表⽰法都只视为⼀种表⽰法，这样的分拆叫做⽆序分拆，或简称为分拆。
反之，若表达式（2.6.1）是有序的，即表达式（2.6.1）右边的和不仅与各项的数值有关，⽽且与各项的次序有关，不同的次序认为是不同的表⽰法，这样的分拆叫做有序分拆。
这时，i n 叫做该有序分拆的第i 个分部量。
n 的k 分拆的个数称为n 的k 分拆数，n 的所有分拆（k 取遍所有可能的值）的个数称为n 的分拆数。
例如：4211121112=++=++=++是4的所有3个有序3分拆。
在4的第⼀个有序3分拆中，第1个分部量为2，第2个和第3个分部量均匀为1。
⽽：4211=++ 是4的唯⼀⼀个3分拆。
2.6.1 有序分拆在这⼀⼩节中，我们介绍n 的有序分拆的计数公式，以及在⼏类限定条件下n 的有序分拆的计数公式。
定理2.6.1 正整数n 的有序k 分拆的个数为11n k -??-。
证明正整数n 分成k 个分部量的⼀个有序分拆：12k n n n n =+++ ，等价于⽅程：12k x x x n +++= 。
的正整数解()12,k n n n ，由2.3节定理2.3.4的证明知，正整数n 的有序k 分拆的个数为11n k -?? ?-??。
第七讲 整数的分拆
第七讲整数的分拆整数分拆是数论中一个既古老又活跃的问题.把自然数n分成为不计顺序的若干个自然数之和n=n1+n2+…＋n m（n1≥n2≥…≥n m≥1）的一种表示法，叫做n的一种分拆.对被加项及项数m加以一些限制条件，就得到某种特殊类型的分拆.早在中世纪，就有关于特殊的整数分拆问题的研究.1742年德国的哥德巴赫提出“每个不小于6的偶数都可以写成两个奇质数的和”，这就是著名的哥德巴赫猜想，中国数学家陈景润在研究中取得了突出的成果.下面我们通过一些例题，简单介绍有关整数分拆的基本知识.一、整数分拆中的计数问题例1 有多少种方法可以把6表示为若干个自然数之和？解：根据分拆的项数分别讨论如下：①把6分拆成一个自然数之和只有1种方式；②把6分拆成两个自然数之和有3种方式6=5+1=4+2=3+3；③把6分拆成3个自然数之和有3种方式6=4+1+1=3+2+1=2+2+2；④把6分拆成4个自然数之和有2种方式6＝3＋1＋1＋1=2+2+1+1；⑤把6分拆成5个自然数之和只有1种方式6=2+1+1＋1＋1；⑥把6分拆成6个自然数之和只有1种方式6＝1+1+1+1+1+1.因此，把6分拆成若干个自然数之和共有1+3+3＋2+1+1=11种不同的方法.说明：本例是不加限制条件的分拆，称为无限制分拆，它是一类重要的分拆.例2 有多少种方法可以把1994表示为两个自然数之和？解法1：采用有限穷举法并考虑到加法交换律：1994=1993+1=1＋1993=1992+2=2＋1992=…=998＋996=996+998=997+997因此，一共有997种方法可以把1994写成两个自然数之和.解法2：构造加法算式：于是，只须考虑从上式右边的1993个加号“+”中每次确定一个，并把其前、后的1分别相加，就可以得到一种分拆方法；再考虑到加法交换律，因此共有997种不同的分拆方式.说明：应用本例的解法，可以得到一般性结论：把自然数n≥2表示为两个自然数之和，一共有k种不同的方式，其中例3 有多少种方法可以把100表示为（有顺序的）3个自然数之和？（例如，把3+5＋92与5+3+92看作为100的不同的表示法）分析 本题仍可运用例1的解法2中的处理办法.解：构造加法算式于是，考虑从上式右边的99个加号“+”中每次选定两个，并把它们所隔开的前、中、后三段的1分别相加，就可以得到一种分拆方法。
第六讲-整数拆分
整数分拆之分类与计数整数的加法拆分加法拆分定义：把一个自然数拆分成两个或几个连续自然数的和〔如3=1+2〕，或拆分成几个不相同的数的和，这类题目统称为整数的拆分。
加法拆分目的：拆分不是目的，目的是通过分类枚举进行拆分然后进行统计计数。
要求同学不但能够通过拆分解决相关的最大最小问题，同时也能通过拆分解决一些应用问题。
[例1]小兵和小军用玩具枪做打靶游戏，见下图所示。
他们每人打了两发子弹。
小兵共打中6环，小军共打中5环。
又知没有哪两发子弹打到同一环带内，并且弹无虚发。
你知道他俩打中的都是哪几环吗？例1图[巩固]强强和明明两人到游乐园玩射击游戏，如下图他们每人打了两发子弹，均击中了靶子(即无脱靶现象)。
强强两发共打了12环，明明两发共打了8环。
又已知没有哪两发子弹打在同一环中，请你推算一下他俩打中的是哪几环？巩固图[例2]有多少种方法可以把1994表示为两个自然数之和？[巩固]将12拆分成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的拆分方式，请把它们一一列出。
[例3]有多少种方法可以把6表示为若干个自然数之和？[巩固]按下面的要求，把自然数6进行拆分。
⑴把6拆成几个自然数相加的形式(0除外)，共有多少种不同的拆分方法？⑵把6拆成几个不完全相同的自然数相加的形式(0除外)，共有多少种不同的拆分方法？⑶把6拆成几个完全不相同的自然数相加的形式(0除外)，共有多少种不同的拆分方法？[例4]按下面的要求，把15进行拆分。
⑴将15拆分成不大于9的三个不同的自然数之和，有多少种不同拆分方式，请一一列出。
⑵将15拆分成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的拆分方式，请一一列出。
[巩固]将15拆分成四个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的拆分方式，请把它们一一列出。
[例5]有七个盘子，每个盘子中分别装有1个、2个、3个、5个、6个、7个和9个梨。
要从这些盘子中取出15个梨，但要求每个盘子中的梨要么都拿，要么都不拿。
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把和为10的两个整数分别列举出来， 算出两个整数的积，再进行比较。
例1：两个整数的和是10，这两个数的积最大是多少？
甲数
乙数
积
10
0
0
9
1
9
8
2
16
7
3
21
6
4
24
5
5
25
例1：两个整数的和是10，这两个数的积最大是多少？ 10÷2=5 5×5=25
12÷4=3 3×3×3×3=81
12÷5=2……2 2×2×2×3×3=72
12÷6=2 2×2×2×2×2×2=64
6×6=36 4×4×4=64 3×3×3×3=81 2×2×2×3×3=72 2×2×2×2×2×2=64
答：最大的积是81。
把一个整数分成几个自然数的和，要使它们的积最大， 应当将整数分成若干个3的和，如果最后剩下1，应当将最 后一个3与1分成2个2的和，这时，这些自然数的积最大。
2、整数的分拆
张大爷今天买回了3只小羊羔，于是他准备在院子的角落里利用院子的两 堵墙做一个饲养场，张大爷家里刚好有10 米长的竹篱笆，他想用这10米长的 篱笆围成的饲养场面积最大，可以怎样围呢？
甲数
乙数
积
10
0
09Leabharlann 1982
16
7
3
21
6
4
24
5
5
25
例1：两个整数的和是10，这两个数的积最大是多少？
板书：
[教学目标]
1．知识与技能
通过复习加深对乘法意义的认识，复 习巩固1 —9的 乘法口 诀，提 高学生 用数学 知识解 决数学 问题的 能力。 培养学 生认真 、仔细 的学习 习惯。
2．过程与方法
对所学知识技能、思想方法进行总结 与反思 ，系统 认识本 单元的 学习内 容，培 养学生 对所学 知识进 行系统 整理的 能力。
师：今天我们来学习100以内减法中的 不退位 减法。 同学们 先将课 本翻到 17页， 看书上 的图。
教师先提问几个问题引起同学的兴趣 ，如： 大家知 道奥运 会么？ 奥运会 几年举 办一次 ？大家 知不知 道2008 年的奥 运会是 在哪里 举办的 ？2008 年奥运 会哪个 国家取 得的金 牌最多 ？
1、把一个整数分成2个加数，当2个加数相差最小时，它 们的积最大。
2、把一个整数分成几个因数相乘，当几个因数相等或接 近时，和最小。
3、把一个整数分成几个自然数的和，要使它们的积最大， 应当将整数分成若干个3的和，如果最后剩下1，应当将最后 一个3与1分成2个2的和，这时，这些自然数的积最大。
1、教学例1。
答：这两个数的积最大是25。
把一个整数分成2个加数，当2个加数相差最小时，它们 的积最大。
例2：一个周长为58米的长方形，这个长方形的面积最大是多少平方米？
能直接把58分拆吗？
不能，58是两个长与两个宽的和。 根据周长=（长+宽）×2，
可以求出长与宽之和。
知道了长与宽的和，求长方形面积， 也就是求长与宽的积，就可以用 上面的模型了。
例5：求乘积为36，和为最小的两个自然数。
1
2
3
36
18
12
37
20
15
4
6
9
6
13
12
小结：把乘积分成几个因数相乘，当几个因数相等或接近时，和最小。
例6：试把1999分拆为8个自然数的和，使其乘积最大。
1999÷8=249......7 1999=250×7+249 答：把1999分拆成7个250和249，乘积最大。
然后，教 师引导 学生读 金牌榜 。
师：同学们都看完了么？现在请大家 翻到课 本的第1 8页， 看例题1 。
教师板书 ：“美 国比俄 罗斯多 多少枚 金牌？ ”
教师带同 学审清 题意， 弄清条 件和问 题，找 到有用 的数据 。
师：哪位 同学能 告诉老 师这道 题怎么 列竖式 ？
教师根据同学的回答进行总结，板书 ：36－2 3＝。
58÷2=29（米） 29÷2=14（米）……1（米） 14×（14+1）=210（平方米） 答：这个长方形的面积最大是210平方米。
例3：张大伯想用60米长的竹篱笆围一个长方形的院子，准备利用他家的一 面墙，如图。请问：这个院子面积最大是多少?
长：60÷2=30（米） 宽：30÷2=15（米）
“长+2×宽”的和一定，长与2×宽越接近， 乘积越大。
师：现在 我们已 经列出 了算式 ，接下 来就要 计算了 ，怎么 计算呢 ？哪位 同学能 计算出 来，请 举手。
教师引导 同学站 起来说 出自己 的计算 思路， 并进行 总结和 评价。
师：很好，同学们都会用自己的方法 计算这 道题。 今天老 师要向 大家介 绍一个 新的办 法，用 竖式解 决这道 题。这 就是我 们今天 所要学 的:不退 位减法 的竖式 计算方 法。现 在老师 就把这 个算式 的竖式 列出来 。
30×15=450（平方米）
答：这个院子面积最大是450平方米。
例4：把12分成几个自然数的和，再求出这些自然数的积，要使乘积尽 可能的大，最大的积是多少？
没有限制我们分成几个数， 有很多种分法啊，这怎么做？
简单啊，从分成两个数 的情况开始考虑。
12÷2=6 6×6=36
12÷3=4 4×4×4=64
3．情感·态度·价值观
激发学生 的学习 兴趣， 对学生 进行学 习兴趣 的培养 。
[教学重点和难点]
重点：巩固表内乘法,能熟练地用口诀 计算,并 能解决 简单的 实际问 题。