常微分方程在数学建模中的应用论文正稿

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论文题目：常微分方程在数学建模中的应用姓名：

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常微分方程是数学理论（特别是微积分）联系实际的重要工具，它不仅与几何学、力学、电子技术、自动控制、星际航行、甚至和化学、生物学、农业以及经济学都有着密切的联系。本文结合实践背景，建立数学模型，并利用所得结果去解释某些实际问题。

关键字常微分方程、人口预测模型、市场价格模型、混合溶液的数学模型、震动模型

第一章人口预测模型

第二章市场价格模型

第三章混合溶液的数学模型第四章震动模型

绪论

当我们描述实际对象的某些特性随时间（或空间）而演变的过程、分析它的变化规律、预测它的未来性态，研究它的控制手段时，通常要建立对象的动态模型。建模时首先要根据建模目的和对问题的具体分析作出简化假设，然后按照对象在的或可以类比的其他对象的规律列出微分方程，求出方程的解并将结果翻译回实际对象，就可以进行描述、分析、预测或控制了。

事实上在微分方程课程中，解所谓应用题时我们遇到简单的建立动态模型问题，例如“一质量为m的物体自高h处自由下落，初速度是零，设阻力与下落速度的平方成正比，比例系数为k，求下落速度随时间的变化规律。”又如“容器有盐水100L,含盐10kg,令以3L/min的速度从一管放进净水，以2L/min的速度从另一管抽出盐水，设容器盐水浓度始终是均匀的，求容器含盐量随时间变化规律。”本文讨论的是常微分方程在数学建模中的应用。

第一章 人口预测模型

由于资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长,为了得到人口预测模型,必须首先搞清影响人口增长的因素,而影响人口增长的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素,如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手.因此,先把问题简化,建立比较粗糙的模型,再逐步修改,得到较完善的模型.

例1（马尔萨斯（Malthus ）模型） 英国人口统计学家马尔萨斯（1766—1834）在担任牧师期间,查看了教堂100多年人口出生统计资料,发现人口出生率是一个常数,于1789年在《人口原理》一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型,他的基本假设是：在人口自然增长过程中,净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数,即单位时间人口的增长量与人口成正比,比例系数设为r ,在此假设下,推导并求解人口随时间变化的数学模型.

解 设时刻t 的人口为)(t N ,把)(t N 当作连续、可微函数处理（因人口总数很大,可近似地这样处理,此乃离散变量连续化处理）,据马尔萨斯的假设,在t 到t t ∆+时间段,人口的增长量为

t t rN t N t t N ∆=-∆+)()()(,

并设0t t =时刻的人口为0N ,于是 ⎪⎩⎪⎨⎧==．

，00)(d d N t N rN t N

这就是马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为

)(00e )(t t r N t N -=,

此式表明人口以指数规律随时间无限增长.

模型检验：据估计1961年地球上的人口总数为91006.3⨯,而在以后7年中,人口总数以每年2%的速度增长,这样19610=t ,901006.3⨯=N ,02.0=r ,于是

)1961(02.09e 1006.3)(-⨯=t t N .

这个公式非常准确地反映了在1700—1961年间世界人口总数.因为,这期间

地球上的人口大约每35年翻一番,而上式断定34.6年增加一倍（请读者证明这一点）．

但是,后来人们以美国人口为例,用马尔萨斯模型计算结果与人口资料比较,却发现有很大的差异,尤其是在用此模型预测较遥远的未来地球人口总数时,发现更令人不可思议的问题,如按此模型计算,到2670年,地球上将有36 000亿人口.如果地球表面全是陆地（事实上,地球表面还有80%被水覆盖）,我们也只得互相踩着肩膀站成两层了,这是非常荒谬的,因此,这一模型应该修改.

例2（逻辑Logistic 模型） 马尔萨斯模型为什么不能预测未来的人口呢？这主要是地球上的各种资源只能供一定数量的人生活,随着人口的增加,自然资源环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著,如果当人口较少时,人口的自然增长率可以看作常数的话,那么当人口增加到一定数量以后,这个增长率就要随人口的增加而减小.因此,应对马尔萨斯模型中关于净增长率为常数的假设进行修改.

1838年,荷兰生物数学家韦尔侯斯特(Verhulst)引入常数m N ,用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数（一般说来,一个国家工业化程度越高,它的生

活空间就越大,食物就越多,从而m N 就越大）,并假设将增长率等于⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-m N t N r )(1,

即净增长率随着)(t N 的增加而减小,当m N t N →)(时,净增长率趋于零,按此假定建立人口预测模型.

解 由韦尔侯斯特假定,马尔萨斯模型应改为

⎪⎩

⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，，000)(1d d N t N N N N r t N

上式就是逻辑模型,该方程可分离变量,其解为,

)(00e 11)(t t r m m

N N N t N --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=.

下面,我们对模型作一简要分析.

（1）当∞→t ,m N t N →)(,即无论人口的初值如何,人口总数趋向于极限值

m N ；

（2）当m N N <<0时,

01d d >⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=N N N r t N m ,这说明)(t N 是时间t 的单调递增函数； （3）由于N N N N N r t N m m ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211d d 222,所以当2m N N <时,0d d 22>t N ,t N d d 单增；当2m N N >时,0d d 22

N d d 由增变减,在2m N 处最大,也就是说在人口总数达到极限值一半以前是加速生长期,过这一点后,生长的速率逐渐变小,并且迟早会达到零,这是减速生长期；

（4）用该模型检验美国从1790年到1950年的人口,发现模型计算的结果与实际人口在1930年以前都非常吻合,自从1930年以后,误差愈来愈大,一个明显的原因是在20世纪60年代美国的实际人口数已经突破了20世纪初所设的极限人口.由此可见该模型的缺点之一是m N 不易确定,事实上,随着一个国家经济的腾飞,它所拥有的食物就越丰富, m N 的值也就越大；

(5）用逻辑模型来预测世界未来人口总数.某生物学家估计,029.0=r ,又当人口总数为91006.3⨯时,人口每年以2%的速率增长,由逻辑模型得 ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=m N N r t N N 1d d 1, 即 ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⨯-=m N 91006.31029.002.0, 从而得 91086.9⨯=m N ,

即世界人口总数极限值近100亿.

值得说明的是：人也是一种生物,因此,上面关于人口模型的讨论,原则上也可以用于在自然环境下单一物种生存着的其他生物,如森林中的树木、池塘中的鱼等,逻辑模型有着广泛的应用.