高考数学 函数及其性质

高考数学 函数及其性质

1．函数f (x )＝

－x 2＋9x ＋10－

2

ln (x －1)

的定义域为( )

A ．[1,10]

B ．[1,2)∪(2,10]

C ．(1,10]

D ．(1,2)∪(2,10] D

[要使原函数有意义，则⎩⎨⎧

－x 2＋9x ＋10≥0，

x －1＞0，

x －1≠1，

解得1＜x ≤10且x ≠2，

所以函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,10]．]

2．(2019·长春质检)已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是( )

A ．(－∞，1]

B ．(－∞，－1]

C ．[－1，＋∞)

D ．[1，＋∞)

A [因为函数f (x )在(－∞，－1)上是单调函数，所以－a ≥－1，解得a ≤1.] 3．设f (x )－x 2＝g (x )，x ∈R ，若函数f (x )为偶函数，则g (x )的解析式可以为( ) A ．x 3

B ．cos x

C ．1＋x

D ．x e x

B [由题意知，两个偶函数差是偶函数，因此只要g (x )为偶函数即可，由选项可知，只有选项B 的函数为偶函数，故选B.]

4．(2019·济宁调研)函数f (x )＝lg 12(x 2－4)的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(2，＋∞)

D ．(－∞，－2)

D [由复合函数的单调性，要使f (x )单调递增，需⎩⎨⎧

x 2

－4>0，

x <0，

解得x <－2.

故选D.]

5．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧

2cos πx ，x ≤0，f (x －1)＋1，x >0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫

43的值为( )

A ．－1

B ．1

C.32

D.5

2

B [依题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋1＋1＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋2＝2×⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－12＋2

＝1，故选B.]

6．(2019·天水模拟)已知f (x )＝e x －e －x

2，则下列正确的是( ) A ．奇函数，在R 上为增函数 B.偶函数，在R 上为增函数 C ．奇函数，在R 上为减函数 D.偶函数，在R 上为减函数

A [定义域为R ，∵f (－x )＝e －x －e x

2 ＝－f (x )，

∴f (x )是奇函数，∵e x 是R 上的增函数，－e －x

也是R 上的增函数，∴e x

－e

－x 2

是R 上的增函数，故选A.]

7．(2018·兰州模拟)定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2 )－f (x 1)x 2－x 1

<0，则( )

A ．f (3)＜f (－2)＜f (1)

B ．f (1)＜f (－2)＜f (3)

C ．f (－2)＜f (1)＜f (3)

D ．f (3)＜f (1)＜f (－2)

A [∵f (x )是偶函数∴f (－2)＝ f (2)，又∵任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2 )－f (x 1)x 2－x 1<0，∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数，又∵1＜2＜3∴f (1)＞f (2)＝f (－

2)＞f (3)，故选A.]

8．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧

(1－2a )x ＋3a ，x ＜1，

ln x ，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范

围是( )

A.⎣⎢⎡

⎭⎪⎫－1，12 B.⎝ ⎛

⎭⎪⎫－1，12 C ．(－∞，－1]

D.⎝ ⎛

⎭

⎪⎫0，12 A [法一：当x ≥1时，ln x ≥0，要使函数f (x )＝⎩⎨⎧

(1－2a )x ＋3a ，x ＜1，

ln x ，x ≥1的

值域为R ，只需⎩⎨⎧

1－2a ＞0，1－2a ＋3a ≥0，

解得－1≤a ＜1

2.

法二：取a ＝－1，则函数f (x )的值域为R ，所以a ＝－1满足题意，排除B 、D ；取a ＝－2，则函数f (x )的值域为(－∞，－1)∪[0，＋∞)，所以a ＝－2不满足题意，排除C ，故选A.]

9．函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在(－1,3)上的解集为( )

A ．(1,3)

B ．(－1,1)

C ．(－1,0)∪(1,3)

D ．(－1,0)∪(0,1)

C [作出函数f (x )的图象如图所示．

当x ∈(－1,0)时，由xf (x )>0得x ∈(－1,0)；当x ∈(0,1)时，由xf (x )>0得x ∈∅；当x ∈(1,3)时，由xf (x )>0得x ∈(1,3)．故x ∈(－1,0)∪(1,3)．]

10．(2019·龙岩模拟)若f (x )＝ax 2＋x ＋2x 为奇函数，则f (x )在(0，＋∞)上的最小值是________．

22 [∵f (x )＝ax 2＋x ＋2

x 为奇函数，∴f (x )＋f (－x )＝0， ∴2ax 2＝0，x ≠0，解得a ＝0，∴f (x )＝x ＋2

x .

∵x ＞0，∴f (x )＝x ＋2

x ≥22，当且仅当x ＝2时等号成立．]

11．设曲线y ＝f (x )与曲线y ＝x 2＋a (x >0)关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＝2f (－1)，则a ＝________.

2

3

[依题意得，曲线y ＝f (x )即为－x ＝(－y )2＋a (y <0)，化简后得y ＝－－x －a ，即f (x )＝－－x －a ，于是有－2－a ＝－21－a ，解得a ＝2

3.] 12．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件f ⎝ ⎛⎭⎪⎫

x ＋32＝－f (x )，且函数y ＝

f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

x －34为奇函数，给出以下四个命题： ①函数f (x )是周期函数；