高考数学解三角形：正余弦定理专题(四)

A
300
450
600
1200
1350
sin A
1
2
2
3
3
2
2
2
2
2
cos A
3
2
2 2
1 2
1 2
2 2
tan A
3
1
3
3
3
1
1500 1 2
3 2
3 3
（Ⅱ）单位： rad 的特殊角三角函数值。
A
6
4
sin A
1
2
2
2
cos A
3
2
2
2
tan A
3
1
3
2
3
5
3
3
4
6
3
3
2
1
2
2
2
2
1 2
1 2
2
3
（Ⅰ）已知： a 边和 b 边的长度。
（Ⅱ）已知： A 角。 A 角的已知方法有四种：
①已知 A 角的大小；
②已知 sin A 的值；
③已知 cos A 的值；
④已知 tan A 的值。
解法设计：第一步：计算 sin A 的值。
①已知 A 角的大小，计算 sin A 的值。如下表所示：
3
A
300
450
没有能力判断锐钝角
方法二：大边对大角。
已知 sin A ，自身没有能力判断锐钝角，判断其锐钝角的方法：大边对大角。
大边对大角的内容：在三角形中，边越大，对角越大。
已知三角形的两条边 a 和 b ，判断 a 的对角 A 的锐钝角方法： （Ⅰ） a b A B A 不是最大角 A 是锐角； （Ⅱ） a b A B A 是较大的角 A 是锐角或者钝角，需要分类讨论。
600
B 角的大小：单位 rad
6
4
3
第二种情况： b a B A B 是最大角 B 是锐角或者钝角。分类讨论：
(tan 2
A
1) cos2
A
1
cos 2
A
1 tan 2 A
1
。
第一种情况： tan A 0 A 是锐角 cos A 0 cos A
1
。
tan 2 A 1
sin A tan A cos A tan A
1
。
tan 2 A 1
第二种情况： tan A 0 A 是钝角 cos A 0 cos A
无论 A 角是锐角还是钝角 sin A 0 sin A 1 cos2 A 。
④已知 tan A 的值，计算 sin A 的值。 根据三角函数同角之间的基本关系得到： tan A sin A sin A tan A cos A ， cos A sin 2 A cos2 A 1 (tan A cos A)2 cos2 A 1 tan 2 A cos2 A cos2 A 1
第三步：计算 B 的大小， cos B 的值， tan B 的值。
①通过第二步计算的 sin B 的值计算 B 角的大小。
根据大边对大角判断角 B 的锐钝角。
第一种情况： b a B A B 不是最大角 B 是锐角：如下表所示：
sin B 的值
1
2
3
2
2
2
B 角的大小：单位 0
300
450
题型使用知识点四：三角函数两角和差公式。
正弦两角和差： sin( ) sin cos sin cos
sin( ) sin cos sin cos
余弦两角和差： cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin
2
2
3
ห้องสมุดไป่ตู้
3
1
3
3
题型使用知识点三：一个角的三角函数与另外两个角和的同名三角函数之间的关系。
1
关系一：在三角形中一个角的正弦等于另外两个角和的正弦。
① sin A sin(B C) ；② sin B sin( A C) ；③ sin C sin( A B) 。
关系二：在三角形中一个角的余弦等于另外两个角和的余弦的相反数。
方法三：钝角占位法。
（Ⅰ）钝角未出现时：已知正弦的角是锐角或者钝角，需要分类讨论；
（Ⅱ）钝角已经出现时：已知正弦的角是锐角。
题型使用知识点八：三角形面积公式。
S ① ABC
1 2
ab sin C
S ② ABC
1 2
ac sin
B
S ③ ABC
1 bc sin 2
A
第二部分：题型结构和解法剖析
题型：在 ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c 。
① cos A cos(B C) ；② cos B cos( A C) ；③ cos C cos( A B) 。
关系三：在三角形中一个角的正切等于另外两个角和的正切的相反数。
① tan A tan(B C) ；② tan B tan( A C) ；③ tan C tan( A B) 。
正切两角和差：
tan(
)
tan tan 1 tan tan
tan(
)
tan tan 1 tan tan
题型使用知识点五：三角函数同角之间的基本关系。
① sin 2
cos 2
1；②
tan
sin cos
。
题型使用知识点六：三角形内角三角函数正负。
A
锐角
钝角
sin A
正
正
cos A
1
。
tan 2 A 1
sin A tan A cos A tan A ( 1 ) 。 tan 2 A 1
第二步：计算 sin B 的值。 根据正弦定理得到： a b ， a 已知， b 已知， sin A 第一步已经计算，只有 sin B 未知
sin A sin B
4
a sin B b sin A sin B b sin A 。 a
正
负
tan A
正
负
题型使用知识点七：三角形内角的锐钝角判断方法。
方法一：自身判断。
已知条件
锐角
已知 A
A (00 ,900 )
A (0, ) 2
2
钝角
A (900 ,1800 )
A
(
,
)
2
已知 cos A 已知 tan A 已知 sin A
cos A 0
cos A 0
tan A 0
tan A 0
高考数学解三角形：正余弦定理专题（四）
题型：已知两边和其中一边的对角。
第一部分：题型使用知识点讲解
题型使用知识点一：正弦定理。
①a b； sin A sin B
②a c ； sin A sin C
③b c 。 sin B sin C
题型使用知识点二：特殊角三角函数值。 （Ⅰ）单位： 0 的特殊角三角函数值。
600
1200
1350
1500
sin A
1
2
2
3
3
2
1
2
2
2
2
2
A
6
sin A
1
2
2
3
5
4
3
3
4
6
2
3
3
2
1
2
2
2
2
2
②已知 sin A 的值，直接进入第二步。 ③已知 cos A 的值，计算 sin A 的值。
根据三角函数同角之间的基本关系得到： sin 2 A cos2 A 1 sin 2 A 1 cos2 A ，