六年级下册数学试题-15讲 圆和扇形(含答案)全国通用

第十五讲 圆和扇形

研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积．

圆的面积2πr =；扇形的面积2π360n

r =⨯；

圆的周长2πr =；扇形的弧长2π360

n

r =⨯．

一、 跟曲线有关的图形元素：

①扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分．我们经

常说的12圆、14圆、1

6

圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个

圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是360

n

．

比如：扇形的面积=所在圆的面积360n

⨯；

扇形中的弧长部分=所在圆的周长360n

⨯

扇形的周长=所在圆的周长360

n

⨯+2⨯半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长) ②弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积．

一般来说，弓形面积=扇形面积-三角形面积．(除了半圆)

③”弯角”：如图： 弯角的面积=正方形-扇形

④”谷子”：如图： “谷子”的面积=弓形面积2⨯

一、常用的思想方法：

①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的) ②等积变形(割补、平移、旋转等) ③借来还去(加减法)

④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)

板块一 平移、旋转、割补、对称在曲线型面积中的应用

【例 1】 下图中每一个小正方形的面积是1平方厘米，那么格线部分的面积是多少平方厘米？

【解析】 割补法．如右图，格线部分的面积是36平方厘米．

【例 2】 (2007年西城实验考题)在一个边长为2厘米的正方形内，分别以它的三条边为直径向内作三

个半圆，则图中阴影部分的面积为 平方厘米．

【解析】 采用割补法．如果将阴影半圆中的2个弓形移到下面的等腰直角三角形中，那么就形成两个

相同的等腰直角三角形，所以阴影部分的面积等于两个等腰直角三角形的面积和，即正方形

面积的一半，所以阴影部分的面积等于21

222

⨯=平方厘米．

【例 3】 计算图中阴影部分的面积(单位：分米)．

A A

【解析】 将右边的扇形向左平移，如图所示．两个阴影部分拼成—个直角梯形． ()5105275237.5+⨯÷=÷=(平方分米)．

【例 4】 求图中阴影部分的面积．

【解析】 如图，连接BD ，可知阴影部分的面积与三角形BCD 的面积相等，即为1112123622

⨯⨯⨯=．

【例 5】 求如图中阴影部分的面积．(圆周率取3.14

)

【解析】 可将左下橄榄型的阴影部分剖开，两部分分别顺逆时针90︒，则阴影部分转化为四分之一圆减

去一个等腰直角三角形，所以阴影部分的面积为211

π444 4.5642

⨯⨯-⨯⨯=．

【例 6】 求下列各图中阴影部分的面积．

(1)

1010

(2)

b

a

【解析】 在图(1)中，阴影部分经过切割平移变成了一个底为10，高为5的三角形，利用三角形面积公

式可以求得110

102522

S =⨯⨯=阴影；

在图(2)中，阴影部分经过切割平移变成了一个长为b ，宽为a 的长方形，利用长方形面积公式可以求得S a b ab =⨯=阴影．

【例 7】 如图，长方形ABCD 的长是8cm ，则阴影部分的面积是 2cm ．(π 3.14=)

【解析】 阴影部分的面积实际上是右上图阴影部分面积的一半，所以求出右上图中阴影部分面积再除

以2即可．

长方形的长等于两个圆直径，宽等于1个圆直径，所以右图的阴影部分的面积等于：

()2

882822π2 6.88⨯÷-÷÷⨯⨯=

所以左图阴影部分的面积等于6.882 3.44÷=平方厘米．

【例 8】 求右图中阴影部分的面积．(π取3)

45︒

45︒20cm

【解析】 看到这道题，一下就会知道解决方法就是求出空白部分的面积，再通过作差来求出阴影部分

面积，因为阴影部分非常不规则，无法入手． 这样，平移和旋转就成了我们首选的方法．

(法1)我们只用将两个半径为10厘米的四分之一圆减去空白的①、②部分面积之和即可，其中①、②面积相等．易知①、②部分均是等腰直角三角形，但是①部分的直角边AB 的长度未知．单独求①部分面积不易，于是我们将①、②部分平移至一起，如右下图所示，则①、②部

分变为一个以AC 为直角边的等腰直角三角形，而AC 为四分之一圆的半径，所以有AC =10．两

个四分之一圆的面积和为150，而①、②部分的面积和为1

1010502

⨯⨯=，所以阴影部分的面

积为15050100-=(平方厘米)．

(法2)欲求图①中阴影部分的面积，可将左半图形绕B 点逆时针方向旋转180°，使A 与C 重合，从而构成如右图②的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积．

所以阴影部分面积为211

10101010022

π⨯⨯-⨯⨯=(平方厘米)．

A

板块二 曲线型面积计算

【例 9】 如图，已知扇形BAC 的面积是半圆ADB 面积的

3

4

倍，则角CAB 的度数是________． D

C

B

A

【解析】 设半圆ADB 的半径为1，则半圆面积为21ππ122⨯=，扇形BAC 的面积为π42π

233

⨯=．因为扇

形BAC 的面积为2π360n r ⨯，所以，22π

π23603

n ⨯⨯=

，得到60n =，即角CAB 的度数是60度．

【例 10】 如下图，直角三角形ABC 的两条直角边分别长6和7，分别以,B C 为圆心，2为半径画

圆，已知图中阴影部分的面积是17，那么角A 是多少度(π3=)

【解析】 1

67212

ABC S =⨯⨯=△, 三角形ABC 内两扇形面积和为21174-=，

根据扇形面积公式两扇形面积和为2π24360B C

∠+∠⨯⨯=°

,

所以120B C ∠+∠=°,60A ∠=°.