TSP问题

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tsp的名词解释

tsp的名词解释TSP，全称为Traveling Salesman Problem，即旅行推销员问题，是一种经典的组合优化问题。

它的提出源于实际销售业务中的需要，也是计算机科学与运筹学中重要的研究对象。

TSP的目标是，在给定一系列城市和计算城市之间的距离的情况下，找到一条最短路径，使得推销员能够访问每个城市一次，最后回到起始城市。

TSP的解决方法解决TSP问题的方法有很多，其中一种经典的方法是穷举法，也称为暴力搜索算法。

穷举法的思想是通过遍历所有可能的路径来寻找最优解。

然而，随着城市数量的增加，路径的组合呈指数级增长，使得穷举法的计算复杂度非常高。

因此，通常需要借助其他启发式算法和优化技术来求解。

除了穷举法，另一种常见的求解TSP的方法是基于贪婪算法的近似解法。

贪婪算法的思想是每次选择距离当前位置最近的未访问城市作为下一个目的地，直到所有城市都被访问过。

然而，贪婪算法只能得到一个较优解，而非最优解。

为了提高解的质量，可以结合其他优化技术，如局部搜索和模拟退火算法。

TSP的应用领域TSP在实际应用中有着广泛的应用领域，尤其在物流领域。

例如，快递员在派送货物时需要找到最佳路线，以节省时间和资源。

通过对TSP的研究和应用，可以帮助快递公司提高派送效率，减少成本。

除了物流领域，TSP也在其他领域中发挥着重要的作用。

在电路设计中，TSP 可以用于确定最佳元件的布局顺序，以减少信号传输的距离和延迟。

在生物学研究中，TSP被用于解决DNA测序的问题，以确定最佳的读取顺序。

此外，TSP还有在机器人路径规划、旅游规划等领域中的应用。

TSP的挑战和发展尽管TSP已经成为组合优化问题中的经典问题之一，但它仍然存在着许多挑战和待解决的问题。

随着数据规模的增大和实际问题的复杂性的增加，如何求解更大规模、更复杂的TSP问题仍然是一个挑战。

目前，学者们正在不断探索和研究改进TSP求解算法的方法，以提高求解效率和解的质量。

除了算法的改进，近年来，一些新的技术也被应用到TSP的求解中。

TSP的几种求解方法及其优缺点

TSP的几种求解方法及其优缺点一、什么是TSP问题旅行商问题，简称TSP，即给定n个城市和两两城市之间的距离，要求确定一条经过各城市当且仅当一次的最短路线。

其图论描述为：给定图G=（V，A），其中V为顶点集，A 为各顶点相互连接组成的边集，设D=（dij）是由顶点i和顶点j之间的距离所组成的距离矩阵，要求确定一条长度最短的Hamilton回路，即遍历所有顶点当且仅当一次的最短距离。

旅行商问题可分为如下两类：1）对称旅行商问题（dij=dji，Πi，j=1，2，3，⋯，n）；2）非对称旅行商问题（dij≠dji，ϖi，j=1，2，3，⋯，n）。

非对称旅行商问题较难求解，我们一般是探讨对称旅行商问题的求解。

若对于城市V={v1，v2，v3，⋯，v n}的一个访问顺序为T={t1，t2，t3，⋯，t i，⋯，t n}，其中t i∈V（i=1，2，3，⋯，n），且记t n+1=t1，则旅行商问题的数学模型为：minL=。

TSP是一个典型的组合优化问题，并且是一个NP完全难题，是诸多领域内出现的多种复杂问题的集中概括和简化形式，并且已成为各种启发式的搜索、优化算法的间接比较标准。

因此，快速、有效地解决TSP有着重要的理论价值和极高的实际应用价值。

二、主要求解方法基于TSP的问题特性，构造型算法成为最先开发的求解算法，如最近邻点、最近合并、最近插入、最远插入、最近添加、贪婪插入等。

但是，由于构造型算法优化质量较差，迄今为止已开发了许多性能较好的改进型搜索算法，主要有：1）模拟退火算法2）禁忌搜索算法3）Hopfield神经网络优化算法4）蚁群算法5）遗传算法6）混合优化策略2.1 模拟退火算法方法1）编码选择：采用描述TSP解的最常用的一种策略——路径编码。

2）SA状态产生函数的设计：对于基于路径编码的SA状态产生函数操作，可将其设计为：①互换操作（SWAP）；②逆序操作（INV）；③插入操作（INS）。

3）SA状态接受函数的设计：min{1，exp（-△/t）}>random[0，1]准则是作为接受新状态的条件最常用的方案，其中△为新旧状态的目标值差，t为”温度”。

旅行商问题(TSP)

iS jS
除起点和终点外，各边不构成圈

xij

0, 1

(7 1) (7 2) (7 3)
5
0 8 5 9 12 14 12 16 17 22
8
0
9 15 17
8
11
18
14
22

5 9 0 7 9 11 7 12 12 17
9 15 7 0
lingo解决旅行商问题 model: sets: city/1..6/:u; link(city,city):dist,x; endsets data: dist=99999,702,454,842,2396,1196,
702,99999,324,1093,2136,764, 454,324,99999,1137,2180,798, 842,1093,1137,99999,1616,1857, 2396,2136,2180,1616,99999,2900, 1196,764,798,1857,2900,99999; enddata
C=v1,v2,…,vi,vj,…,vj-1,vi+1,vj+1,…,vm,v1 （3）C0C,重复步骤（2），直到条件不满足为止，最后得到的C即为所求。
例对下图的K6,用二边逐次修正法求较优H圈.
较优H圈: 其权为W(C3)=192
分析: 这个解的近似程度可用最优H圈的权的下界与
其比较而得出.即利用最小生成树可得最优H圈的一个下界.
设C是G的一个最优H圈，则对G的任一顶点v, C-v是
G-v的生成树.如果T是G-v的最小生成树,且e1是e2与v关联
的边中权最小的两条边,则w(T)+w(e1)+w(e2)将是w(C)

邮递员问题

邮递员问题简介邮递员问题（Travelling Salesman Problem，TSP）是一个著名的组合优化问题，被称为计算机科学中的经典问题之一。

该问题起源于邮递员在一天内送货的最短路径问题。

邮递员需要从一个起点出发，经过所有的目标点，最后回到起点。

问题的目标是找到一条最短的路径，使得所有目标点都被访问，同时回到起点。

TSP问题涉及到组合爆炸，通常在计算上是NP难的。

问题描述给定一个有向图和一个起点，邮递员需要从起点出发经过所有的节点，最后回到起点。

每条边的权重表示从一个节点到另一个节点的距离。

找到一条最短路径，使得所有的节点都被访问且回到起点。

解决方法1. 枚举法枚举法是最简单的解决TSP问题的方法。

它通过遍历所有可能的路径，计算每条路径的总长度，并返回最短路径的长度和路径本身。

然而，由于TSP问题是NP难的，当图的规模增加时，枚举法的计算复杂度呈指数增长，很难在合理的时间内求解。

2. 动态规划法动态规划法是解决TSP问题的常用方法之一。

该方法通过将问题划分为子问题，并使用递归的方式求解。

具体而言，我们可以定义一个状态数组dp，其中dp[S][i]表示从起点到节点i，经过节点集合S中的所有节点，最后回到起点的最短路径长度。

那么，我们可以使用如下的递推关系来计算dp数组：dp[S][i] = min(dp[S-{i}][j] + dis(j, i))，其中j∈S，j≠i通过不断更新dp数组，最终可以得到从起点出发经过所有节点并回到起点的最短路径长度。

3. 遗传算法遗传算法是一种启发式优化算法，被广泛应用于解决TSP问题。

它模拟生物进化的过程，通过基因交叉、变异等操作，生成新的个体，并通过评估函数对个体进行选择。

遗传算法的优点是能够在较短的时间内找到接近最优解的解，但不能保证找到全局最优解。

4. 改进算法针对TSP问题，还有一些改进的算法，如蚁群算法、模拟退火算法、禁忌搜索等。

这些算法在不同的问题实例上可能会有更好的表现。

TSP问题模型

一、问题描述TSP ，即Traveling Saleman Problem ，也就是旅行商问题，又译为旅行推销员问题、货郎担问题，简称为TSP 问题，是最基本的路线问题。

TSP 的历史很久，最早的描述是1759年欧拉研究的骑士周游问题，即对于国际象棋棋盘中的64个方格，走访64个方格一次且仅一次，并且最终返回到起始点。

TSP 问题指一个旅行商，n 个城市。

旅行商要从这一个出发地出发，择一条路径（哈密顿回路），对n 个城市中的每一个城市进行一次且仅一次的访问，最后回到出发地.其目标是得到所有可行路径之中的最小路径，或旅行时间最短，或旅行费用最少等。

如图1，图2所示，为一个5个城市的TSP 问题描述（仅画出两种方案），显然图1和图2的路线都满足遍及所有城市的要求，但是图2的路线长度要远小于图1的路线长度，而解TSP 问题的目的就是求出遍及所有城市的长度最短的路线方案。

该问题的模型可以表示为下述0/1整数规划模型：2 4 1 图13 5 1 24 35 图2{}(,j)A {:(,)}{j:(,)}{(,):,}min(1)..1(2)1(3)||12|U |||2(4)0,1ij ij i ij i i j A ij i j A ij i j A i U j U ij c x st x j Vx i Vx U V x ∈∈∈∈∈∈=∈=∈≤-≤≤-∈∑∑∑∑n ：所要访问的城市数目。

V ：所有访问的城市集。

.U ：所有访问的城市集的真子集，即V U ⊂。

A ：连接任意两个点的弧组成的集合。

()j i ：所要访问的第()j i 个城市，即V j i ∈,。

ij c ：相邻两个城市间距离。

如果 j i =，则0=ij c 。

()⎩⎨⎧=其他城市城市后紧接着访问如果访问01,j i j i X二、总结和展望禁忌搜索算法是对人类思维过程本身的一种模拟，其特点是采用了禁忌技术，它通过对一些局部最优解的禁忌达到接纳一部分较差解，从而跳出局部搜索的目的。

回溯法旅行商问题（TSP问题）

回溯法旅⾏商问题（TSP问题）学习链接：、今天早上做了⽆数个梦，然后被紧紧地吸附在床上。

挣扎⼀番后爬起来，已经是9点了。

然后我开始研究旅⾏商问题。

在⼀个⽆向图中找到⼀个可以遍历所有节点的⼀个最短回路。

理论上说可以⽤全排列列出所有解的下标，然后⼀个⼀个试，时间复杂度o(n!)。

但是可以⽤回溯法，⽤【约束函数】（constraint）判断当前路径是否连通，⽤【界限函数】（bound）判断当前路径是否⽐已经求得的最短路径⼩。

这两个判断任意⼀个不符，则做“剪枝操作”（不再对后续节点进⾏遍历）。

可以看出回溯法⽐穷举要⾼明的多。

这个回溯法和⼋皇后问题也有⼀些区别。

TSP问题需要构造⼀棵排列树：根节点为｛０｝第⼀层｛０,１｝第⼆层｛０,１,２｝，｛０,２,１｝第三层｛０,１,２,３｝，｛０,１,３,２｝，｛０,２,１,３｝，｛０,２,３,１｝，｛０,３,１,２｝，｛０,３,２,１｝……并且回溯法要求对图进⾏ＤＦＳ操作，即深度优先搜索。

因为需要⾸先⾸次找到最深处的节点，才能设置当前最优解，好让后续问题能有参考。

Java代码：1public class Main {23public static void main(String[] args) {4int[][] adjMatrix={5 {0,20,6,4},6 {20,0,5,10},7 {6,5,0,15},8 {4,10,15,0},9 };10 TSP problem=new TSP(adjMatrix);111213 }14 }1516class TSP{17int vexnum=0;//顶点数⽬18int adjMatrix[][];19 TSP(int[][] adjMat){20 adjMatrix=adjMat;21 vexnum=adjMatrix.length;22int init[]={0};23 Backtrack(1,init);24int a;25 a=0;26 }27int bestCost=0;28int[] bestX;//最优解向量29boolean isTraverseDeep=false;30//回溯法递归31//初始x：[0]32void Backtrack(int t,int[] x){//对顶点t进⾏操作，⽗结点的解向量是x，33if(t>=vexnum){//解向量的第⼀个元素应该是初始顶点，如0，最后⼀个元素也是034 x[t]=0;//最后⼀个节点赋值：0。

TSP问题

TSP（旅行商）问题
旅行商问题，即TSP问题(Travelling Salesman Problem)又译为旅行推销员问题、货郎担问题，是数学领域中著名问题之一。

假设有一个旅行商人要拜访n个城市，他必须选择所要走的路径，路径的限制是每个城市只能拜访一次，而且最后要回到原来出发的城市。

路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值。

TSP问题是一个组合优化问题。

该问题可以被证明具有NP计算复杂性。

因此，任何能使该问题的求解得以简化的方法，都将受到高度的评价和关注。

旅行推销员问题是数图论中最著名的问题之一，即“已给一个n个点的完全图，每条边都有一个长度，求总长度最短的经过每个顶点正好一次的封闭回路”。

Edmonds，Cook和Karp 等人发现，这批难题有一个值得注意的性质，对其中一个问题存在有效算法时，每个问题都会有有效算法。

迄今为止，这类问题中没有一个找到有效算法。

倾向于接受NP完全问题(NP-Complete或NPC)和NP难题(NP-Hard或NPH)不存在有效算法这一猜想，认为这类问题的大型实例不能用精确算法求解，必须寻求这类问题的有效的近似算法。

此类问题中，经典的还有子集和问题;；Hamilton回路问题；最大团问题。

TSP的几种求解方法及其优缺点

v1.0 可编辑可修改TSP的几种求解方法及其优缺点一、什么是TSP问题旅行商问题，简称TSP，即给定n个城市和两两城市之间的距离，要求确定一条经过各城市当且仅当一次的最短路线。

其图论描述为：给定图G=（V，A），其中V为顶点集，A为各顶点相互连接组成的边集，设D=（dij）是由顶点i和顶点j之间的距离所组成的距离矩阵，要求确定一条长度最短的Hamilton回路，即遍历所有顶点当且仅当一次的最短距离。

旅行商问题可分为如下两类：1）对称旅行商问题（dij=dji，Πi，j=1，2，3，⋯，n）；2）非对称旅行商问题（dij≠dji，ϖi，j=1，2，3，⋯，n）。

非对称旅行商问题较难求解，我们一般是探讨对称旅行商问题的求解。

因此，快速、有效地解决TSP有着重要的理论价值和极高的实际应用价值。

二、主要求解方法基于TSP的问题特性，构造型算法成为最先开发的求解算法，如最近邻点、最近合并、最近插入、最远插入、最近添加、贪婪插入等。

但是，由于构造型算法优化质量较差，迄今为止已开发了许多性能较好的改进型搜索算法，主要有：1）模拟退火算法2）禁忌搜索算法3）Hopfield神经网络优化算法4）蚁群算法5）遗传算法6）混合优化策略模拟退火算法方法1）编码选择：采用描述TSP解的最常用的一种策略——路径编码。

2）SA状态产生函数的设计：对于基于路径编码的SA状态产生函数操作，可将其设计为：①互换操作（SWAP）；②逆序操作（INV）；③插入操作（INS）。

TSP的几种求解方法及其优缺点

其图论描述为：给定图G=（V，A），其中V为顶点集，A为各顶点相互连接组成的边集，设D=（dij）是由顶点i和顶点j之间的距离所组成的距离矩阵，要求确定一条长度最短的Hamilton回路，即遍历所有顶点当且仅当一次的最短距离。

旅行商问题可分为如下两类：1）对称旅行商问题（dij=dji，Πi，j=1，2，3，?，n）；2）非对称旅行商问题（dij≠dji，?i，j=1，2，3，?，n）。

非对称旅行商问题较难求解，我们一般是探讨对称旅行商问题的求解。

若对于城市V={v1，v2，v3，?，v n}的一个访问顺序为T={t1，t2，t3，?，t i，?，t n}，其中t i∈V（i=1，2，3，?，n），且记t n+1=t1，则旅行商问题的数学模型为：minL=。

因此，快速、有效地解决TSP有着重要的理论价值和极高的实际应用价值。

二、主要求解方法基于TSP的问题特性，构造型算法成为最先开发的求解算法，如最近邻点、最近合并、最近插入、最远插入、最近添加、贪婪插入等。

2）SA状态产生函数的设计：对于基于路径编码的SA状态产生函数操作，可将其设计为：①互换操作（SWAP）；②逆序操作（INV）；③插入操作（INS）。

3）SA状态接受函数的设计：min{1，exp（-△/t）}>random[0，1]准则是作为接受新状态的条件最常用的方案，其中△为新旧状态的目标值差，t为”温度”。

TSP的几种求解方法及其优缺点

旅行商问题可分为如下两类：1）对称旅行商问题（dij=dji，Πi，j=1，2，3，⋯，n）；2）非对称旅行商问题（dij≠dji，ϖi，j=1，2，3，⋯，n）。

非对称旅行商问题较难求解，我们一般是探讨对称旅行商问题的求解。

因此，快速、有效地解决TSP有着重要的理论价值和极高的实际应用价值。

二、主要求解方法基于TSP的问题特性，构造型算法成为最先开发的求解算法，如最近邻点、最近合并、最近插入、最远插入、最近添加、贪婪插入等。

但是，由于构造型算法优化质量较差，迄今为止已开发了许多性能较好的改进型搜索算法，主要有：1）模拟退火算法2）禁忌搜索算法3）Hopfield神经网络优化算法4）蚁群算法5）遗传算法6）混合优化策略2.1模拟退火算法方法1）编码选择：采用描述TSP解的最常用的一种策略——路径编码。

2）SA状态产生函数的设计：对于基于路径编码的SA状态产生函数操作，可将其设计为：①互换操作（SW AP）；②逆序操作（INV）；③插入操作（INS）。

3）SA状态接受函数的设计：min{1，exp（-△/t）}>random[0，1]准则是作为接受新状态的条件最常用的方案，其中△为新旧状态的目标值差，t为”温度”。

tsp

一、问题描述旅行商问题，即TSP问题（Travelling Salesman Problem）是指对给定一组n个城市和它们两两之间的直达距离，寻找一条闭合的旅程，使得每个城市刚好经过一次而且总的旅行距离最短。

此问题是典型NPC组合优化问题（NPC=Non-deterministic Polynomial complete，即是多项式复杂程度的非确定性完全问题。

）。

优化问题有三个基本要素：变量、约束和目标函数。

在求解过程中，选定的基本参数称为变量；对变量取值的限制成为约束；表示可行方案衡量标准的函数成为目标函数。

二、问题分析与建模TSP问题的数学描述为：在一个边赋权的带权图中，寻找最小汉密尔顿回路。

对于N个城市的TSP问题，其城市的数目应为N。

若N个城市中，每两个城市之间都有连通的路径，其连通路径数目应为n*(n-1)/2。

而对于含有个顶点无向连接图来说，其完全图的边数也为n*(n-1)/2，因此可以用含有n个顶点的完全连通无向图来形象的描绘TSP问题的已知条件，而此完全连通无向图中每条边上的权值，可以表示TSP问题中每两个顶点之间的路径长度。

因此在其后的设计中，使用带权的完全无向连通图来分析TSP问题的求解过程。

一棵生成树是连通图的一个极小连通子图，它含有连通图中的全部n个顶点，一个连通图的最小生成树，是此图所有生成树中代价和最小的一棵生成树。

它与TSP问题所求路径有许多相同之处，它们都必须经过所有的n个顶点，n个顶点之间都是相互连通(但在TSP问题中，路径为回路)，并且路径长度为最短。

因此，对于TSP问题的求解，可以借助于最小生成树的求解方法。

三、求解问题的算法用最小生成树解决TSP问题。

构造最小生成树可以有多种，其中一种为普里姆(Prim)算法。

算法的描述为:：在含有n(n>1)个顶点的完全连通无向图中，任意选择一个顶点Vi作为起始点，在与顶点Vi相关联的n-1条边中，选择一条权值最小的边ei，此边可连接V i及图中另一个顶点Vj，然后在与V i或Vj相关联除ei以外的所有边中，选择权值最小的边ej，ej又可连接另外一个顶点(边的选则还要保证树中没有环的产生)。

TSP的几种求解方法及其优缺点

TSP的几种求解方法及其优缺点TSP（Traveling Salesman Problem）是一种NP-hard问题，其目标是找到一条路径，使得旅行商经过所有城市并返回原始城市的总距离最小。

由于TSP在实际应用中具有广泛的应用，很多研究者提出了多种方法来解决TSP问题。

本文将介绍几种常见的TSP求解方法及其优缺点。

1.枚举法枚举法是最简单直观的方法，它遍历所有可能的路径，并选择总距离最小的路径作为最优解。

由于TSP问题的解空间随问题规模呈指数级增长，这种方法只适用于规模较小的问题。

枚举法的优点是保证找到最优解，缺点是耗时较长。

2.最近邻法最近邻法从一个起始城市出发，每次选择与当前城市距离最近的未访问城市作为下一个城市。

直到所有城市都被访问一遍，并返回原始城市。

最近邻法的优点是简单易实现，缺点是容易陷入局部最优解，从而得不到整体最优解。

3.插入法插入法从初始路径开始，将未访问的城市不断插入到已访问城市之间，直到所有城市都被访问一遍。

插入方法有多种，比如最短边插入、最长边插入和最佳位置插入等。

插入法的优点是相对于最近邻法来说，可以得到更好的解。

缺点是算法复杂度较高，计算时间较长。

4.遗传算法遗传算法是一种群体智能算法，模拟生物进化的过程，通过遗传操作寻找优秀的解。

在TSP问题中，遗传算法可以将城市路径看作染色体，并通过选择、交叉和变异等操作进行优化。

遗传算法的优点是能够快速找到次优解，并且对于规模较大的问题也适用。

缺点是需要调节大量参数，算法收敛速度较慢。

5.动态规划动态规划是一种由上而下的分治思想，将原问题分解为若干子问题，通过求解子问题的最优解来求解原问题。

在TSP问题中，可以通过建立状态转移方程来求解最优路径。

动态规划的优点是求解过程中可以剪枝，避免重复计算，能够得到精确解。

缺点是算法时间复杂度较高，不适用于大规模问题。

以上是几种常见的TSP求解方法及其优缺点。

不同的方法适用于不同的问题规模和实际应用场景。

tsp问题

TSP问题求解旅行商问题(traveling saleman problem,简称tsp)：已知n个城市之间的相互距离，现有一个推销员必须遍访这n个城市，并且每个城市只能访问一次，最后又必须返回出发城市。

如何安排他对这些城市的访问次序，可使其旅行路线的总长度最短？用图论的术语来说，假设有一个图g=(v,e)，其中v是顶点集，e是边集，设d=(dij)是由顶点i和顶点j之间的距离所组成的距离矩阵，旅行商问题就是求出一条通过所有顶点且每个顶点只通过一次的具有最短距离的回路。

这个问题可分为对称旅行商问题(dij=dji,,任意i,j=1,2,3，…,n)和非对称旅行商问题(dij≠dji,,任意i,j=1,2,3，…,n)。

若对于城市v={v1,v2,v3,…,vn}的一个访问顺序为t=(t1,t2,t3,…,ti,…,tn),其中ti∈v(i=1,2,3,…,n)，且记tn+1= t1，则旅行商问题的数学模型为：min l=σd(t(i),t(i+1))（i=1,…,n）旅行商问题是一个典型的组合优化问题，并且是一个np难问题，其可能的路径数目与城市数目n是成指数型增长的，所以一般很难精确地求出其最优解，本文采用遗传算法求其近似解。

一．遗传算法：初始化过程：用v1,v2,v3,…,vn代表所选n个城市。

定义整数pop-size作为染色体的个数，并且随机产生pop-size个初始染色体，每个染色体为1到18的整数组成的随机序列。

适应度f的计算：对种群中的每个染色体vi，计算其适应度，f=σd(t(i),t(i+1)).评价函数eval(vi)：用来对种群中的每个染色体vi设定一个概率，以使该染色体被选中的可能性与其种群中其它染色体的适应性成比例，既通过轮盘赌，适应性强的染色体被选择产生后台的机会要大，设alpha∈(0,1)，本文定义基于序的评价函数为eval(vi)=alpha*(1-alpha).^(i-1) 。

TSP的几种求解方法及其优缺点

其图论描述为：给定图G=（V，A），其中V 为顶点集，A为各顶点相互连接组成的边集，设D=（dij）是由顶点i和顶点j之间的距离所组成的距离矩阵，要求确定一条长度最短的Hamilton回路，即遍历所有顶点当且仅当一次的最短距离。

旅行商问题可分为如下两类：1）对称旅行商问题（dij=dji，Πi，j=1，2，3，，n）；2）非对称旅行商问题（dij≠dji，i，j=1，2，3，，n）。

非对称旅行商问题较难求解，我们一般是探讨对称旅行商问题的求解。

若对于城市V={v1，v2，v3，，v n}的一个访问顺序为T={t1，t2，t3，，t i，，t n}，其中t i∈V（i=1，2，3，，n），且记t n+1=t1，则旅行商问题的数学模型为：minL=。

因此，快速、有效地解决TSP有着重要的理论价值和极高的实际应用价值。

二、主要求解方法基于TSP的问题特性，构造型算法成为最先开发的求解算法，如最近邻点、最近合并、最近插入、最远插入、最近添加、贪婪插入等。

2）SA状态产生函数的设计：对于基于路径编码的SA状态产生函数操作，可将其设计为：①互换操作（SWAP）；②逆序操作（INV）；③插入操作（INS）。

3）SA状态接受函数的设计：min{1，exp（-△/t）}>random[0，1]准则是作为接受新状态的条件最常用的方案，其中△为新旧状态的目标值差，t为”温度”。

tsp问题有几种方案

TSP问题有几种方案引言TSP（Traveling Salesman Problem，旅行商问题）是指给定一系列城市和每对城市之间的距离，找出一条最短路径，使得旅行商可以从起始城市出发，经过每个城市恰好一次，最后回到起始城市。

TSP问题是一个经典的组合优化问题，在计算机科学和运筹学领域被广泛研究。

本文将介绍TSP问题的几种解决方案。

1. 暴力法暴力法是最简单直接的解决TSP问题的方法。

该方法通过枚举所有可能的路径，并计算每个路径的总距离，最后找出最短路径。

但是，由于TSP问题的解空间随着城市数量的增加呈指数级增长，因此暴力法的时间复杂度非常高，不适用于大规模的问题。

2. 穷举法穷举法是改进的暴力法，通过剪枝操作减少了暴力法的时间复杂度。

穷举法一般使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）算法来遍历解空间，并在搜索过程中记录当前路径的总距离。

当搜索到目标节点时，更新最短路径。

穷举法的时间复杂度仍然很高，但相比暴力法有所改善。

3. 动态规划动态规划是一种常用的解决TSP问题的方法。

动态规划通过将原问题划分为若干子问题，并记录每个子问题的最优解，从而通过计算较小规模的问题得到整体问题的最优解。

具体来说，动态规划中的状态转移方程可以表示为：dp[S][i] = min(dp[S-{i}][j] + d[j][i])，其中 S 表示已经访问过的城市集合，i 表示当前城市，j 表示 i 的上一个访问的城市。

通过迭代计算出 dp[S][i]，最后找出使得 dp[S][i] + d[i][0] 最小的 i 值作为最优路径的终点。

4. 贪心算法贪心算法是一种启发式算法，它通过贪心地选择当前最优解来逐步构建整体问题的解。

在TSP问题中，贪心算法每一步都选择离当前城市最近的未访问过的城市，直到遍历完所有城市。

然而，贪心算法并不能保证得到最优解，因为局部最优解并不一定是全局最优解。

5. 遗传算法遗传算法是一种演化算法，模拟生物进化的过程来寻找最优解。

TSP

TSP(旅行商)问题一、问题描述假设有一个旅行商人要拜访n个城市，他必须选择所要走的路径，路径的限制是每个城市只能拜访一次，而且最后要回到原来出发的城市。

路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值。

二、解题思路对于N个城市的TSP问题,其城市的数目应为N。

若N个城市中,每两个城市之间都有连通的路径,其连通路径数目应为n3(n-1)/2。

而对于含有个顶点无向连接图来说,其完全图的边数也为n3(n-1)/2,因此可以用含有n个顶点的完全连通无向图来形象的描绘TSP问题的已知条件,而此完全连通无向图中每条边上的权值,可以表示TSP问题中每两个顶点之间的路径长度。

因此在其后的设计中,使用带权的完全无向连通图来分析TSP问题的求解过程。

需要进行输入的内容有:城市的数目、以及各个城市的基本信息(基本信息应输入各个城市的坐标,在算法中通过坐标来求出每两个城市之间的距离,在输出时并通过坐标来区分各个城市)。

城市的数目用一个变量max可以表示。

对于各个城市的基本信息,因为有max个城市,因此需要用一个数组来存储,数组中各个元素的类型相同,在这个算法设计中用城市的坐标来区分各个城市,因此需要自定义一个数组array2,数组长度为max。

arrar2类型定义如下: struct {intx;//用来存储横坐标 inty;//用来存储纵坐标 }array2[m]在数据结构中,图的存储方式由多种。

对于完全图来说,一般使用邻接矩阵对其进行存储。

邻接矩阵用二维数组存储图中各条边的权值,若顶点之间没有边,其相应位置上存储数据0。

如图1的邻接矩阵存储形式如下:对于完全图,它的邻接矩阵除对角线外,其余位置上的元素数据均不为0,因此采用二维数组来存储TSP问题中的各个顶点之间的路径长度,需设立一个Array1[max][max]的数组,数组中的值需要通过输入的坐标值求得。

三、实验代码#include<stdio.h>int b[100][100];int mins(int p,int n){ int min,i,j;for(i=1;i<=n;i++) b[p][i]=9999;min=b[1][p];j=1;for(i=2;i<=n;i++)if(b[i][p]<min) { min=b[i][p]; j=i; }return(j);}int main(){int a[100][100],i,j,n,x,y,qs,t;for(i=0;i<100;i++)for(j=0;j<100;j++) a[i][j]=9999;printf("请输入城市个数：");scanf("%d",&n);for(i=1;i<=n;i++){ for(j=i+1;j<=n;j++){ printf("请输入第%d个到第%d个城市的距离：",i,j);scanf("%d",&a[i][j]);a[j][i]=a[i][j];}}printf("请输入起始城市：" );scanf("%d",&qs);printf("贪心算法求得的最优路径为：%d->",qs);y=qs;t=0;for(i=0;i<100;i++)for(j=0;j<100;j++) b[i][j]=a[i][j];for(i=1;i<n;i++){ x=mins(y,n);printf("%d->",x);t+=a[y][x];y=x;}printf("%d\n",qs);t+=a[qs][x];printf("路径总长度为：%d\n",t);return 0;}四、运行结果图1 运行结果五、实验总结通过此次练习，对用最小生成树法求解最优二叉树有了更进一步的认识，但实验尚有不足，希望以后能用更简便的算法实现。

贪心算法求解TSP(旅行商问题)

•8）End while
•特殊说明： •程序在访问最后一个节点钱，所访问的行中至少有1个允许访问的节点，依次访问这些节点找到最小即可：在访问最后一个节点后，再次访问，会返回k=0，即实现了访问源节点。所以，各个节点都被访问，且访问路径为一简单回路。
•实例演示：
•例题：
•以4个节点为例，演示算法运行过程（以100表示无大）： •输入连接矩阵：
•主函数代码：
•程序实现：
•程序实现：
•求最短距离函数代码：
Thank you !
•核心算法说明：
•1）输入节点数n和连接矩阵a •2）定义行、列允许矩阵row[n]= {1, …, 1} 、row[n]= {1, …, 1} •3）赋初值： s=0, i=0 •4）While row[i]= 1
•5） j=0,m=a[i][0],k=0 •6）找到第一个允许访问的节点a[i][j] •7）寻找a[i][j~n- 1]中的最小元素
贪心算法求解(TSP) 旅行商问题
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•问题描述
1 •旅行商问题（Traveling Salesman Problem, TSP）：
有一个推销员，要到n个城市推销商品，他要找出一个包含所有n个城市的具有最短路程的环路。
•例如给定一个城市和城市间的距离集合，求经过所有城市恰好一次的最短回路， •即；给定图G= (V，E，W)，其中V为顶点集合， |V|=n， E为边集合，W为边权函数，求集合{1,2 ， …n}的一个排列使得下式最小。
•最优子结构性质(n>=2)：
•设sn是此问题的最优解，那么可以把它分解为
sn=s2+sn- 1 ;
•假设存在s ’n-1为n- 1规模是的最优解，则

tsp问题总结归纳

tsp问题总结归纳TSP（Traveling Salesman Problem，旅行商问题）是一类经典的组合优化问题，在数学和计算机科学领域具有重要的研究价值和实际应用。

本文将从定义、解决方法和应用三个方面，对TSP问题进行总结归纳。

一、定义TSP问题是指给定一系列城市和城市之间的距离，求解经过每个城市一次且路径最短的旅行路线。

该问题可以用图论中的欧拉图和哈密顿图来描述。

在欧拉图中，一笔画问题要求从图的一个顶点开始，经过每个边一次并回到起点；而哈密顿图中，要求从图的一个顶点开始，经过每个顶点一次而路径最短。

二、解决方法1. 穷举法：穷举法是最简单直接的解决TSP问题的方法，即尝试遍历所有可能的路径，并计算每条路径的总距离，从中选出最短的一条。

然而，由于TSP问题的复杂性，穷举法在实际应用中很少使用，因为其时间复杂度随着城市数量的增加而急剧增加。

2. 动态规划：通过将问题分解为子问题，并利用子问题的最优解构建整体最优解。

动态规划方法可以有效地解决TSP问题，但其时间复杂度仍然较高，在大规模问题中难以实施。

3. 遗传算法：遗传算法是一种基于生物进化原理的搜索算法，通过模拟遗传、突变和选择等操作，逐步优化解的质量。

遗传算法在解决TSP问题中具有良好的性能和适应性，能够处理较大规模的问题，但其结果并不一定是全局最优解。

三、应用TSP问题在实际生活和工程领域中有广泛的应用，如物流配送、路径规划、电路布线等。

通过求解TSP问题，可以帮助优化物流运输路线、节约时间和资源成本，提高效率。

结论TSP问题是一个具有理论研究价值和实际应用的经典问题，其求解方法多种多样。

穷举法虽然简单直接，但在实际问题中难以应用；动态规划方法虽然高效，但对于大规模问题仍有限制；遗传算法具有较好的适应性和性能，可以处理较大规模的问题。

TSP问题在实际应用中可以有效地优化物流和路径规划等方面，提高效率和节约成本。

通过对TSP问题的总结归纳，我们可以更好地理解和应用有关组合优化问题的解决方法，推动其在实践中的发展和应用。