第6章 连续时间系统的系统函数(2013)

线性系统的稳定性
罗斯阵列按如下规则排列： 第 1行 第 2行 第 3行
4 第 2行 an b n an b n-2 2 an b n-4 4

b an n-1 1 c n 1 d n 1
b an-3 n 3 cn 3 d n 3
b an-5 n 5 cn 5 d n 5

12
2

6


1
0
10
5 2 0 0 (其中取 6 6) 6 0 0
线性系统的稳定性
第一列元素两次改变符号 12 12 （由 ，又由 6)，


系统不稳定，且在s平面的右半平面上具有两个极点。
线性系统的稳定性
例6.3
已知一个系统的系统函数为：
k H (s) 3 2 s 5s 4 s k
p i 多重极点时，h(t ) 可能为 2 n pt 2 pt 或 te , t e , t , t ,, t
i i
系统函数的零、极点分布
—— H(s)零、极点分布与h(t)的对应
*表示极点
2阶极点
2阶极点
2阶极点
系统函数的零、极点分布
—— H(s)零、极点分布与h(t)的对应
总之， 若H ( s)极点落于s左半平面（或s右半平面） 则对应h(t )波形为衰减形式（或增长形式）； 若H ( s)一阶极点（或二阶极点）落于虚轴上 则对应h(t )波形为等幅振荡或阶跃（或增长式）； 而H ( s)零点分布仅影响h(t )的幅度和相位， 不影响其t平面波形。
(b)当
1 L 1)若 p1,2 0, 则 H i ( s ) 2 hi (t ) t (t ) s 1 L at hi (t ) te (t ) 2)若p1,2 a, 则 2 ( s a)
2 s L 3)若p1,2 j , 则 2 hi (t ) t sin(t ) (t ) 2 2 (s )

线性系统的稳定性
阵列中第三行的数由下式计算：
1 an an 2 cn 1 an 1 an 1 an 3
cn 3
1 an an 1 an 1
an 4 an 5
……
Baidu Nhomakorabea
线性系统的稳定性
阵列中第四行的数由下式计算：
d n 1
d n 3
……
1 a n 1 c n 1 c n 1
当k取什么值时系统稳定？
线性系统的稳定性
解：分母多项式为：
A( s ) s 5s 4 s k
3 2
如果系统稳定，则
1）各项系数同号：k>0 2）不缺项
线性系统的稳定性
3）罗斯阵列 1 4 0 5 k 0 (20-k)/5 0 0 k 0 0 罗斯这列的首列不变号: (20-k)/5>0且k>0 综上，当0<k<20时，系统稳定。
系统函数的零、极点分布
1 L at 3)若pi a, 则Hi (s) hi (t ) e (t ) s a

(s a)
2 2
—— H(s)零、极点分布与h(t)的对应
L 4)若p1,2 j, 则 2 hi (t ) sin(t ) (t ) 2 s
A 解： B(s) s5 2s4 2s3 4s2 11s 10
多项式中的全部系数均大于零，满足系统稳定的必要条件。
可排出罗斯阵列，并将各行中的s的最高幂次 标在每行的左端－－
线性系统的稳定性
s s s s s s
5 4 3
1 2
2 11 4 10 6 0 （第一元素为零时，用 代替） 12 12 10 0 (其中取4 )
第六章 连续时间系统 的系统函数
本章的内容
1. 系统函数的表示方法 2. 系统函数H(s)的零、极点分布 与h(t)的对应关系 3. 线性系统的稳定性分析
系统函数的表示法
1. 系统函数 m m 1 B( s ) bm s bm 1s b1s b0 H (s) n n 1 A( s ) s an 1s a1s a0 2. 系统函数的图示
A( s ) 2 s s s 6
3 2
1）各项系数同号 2）不缺项
线性系统的稳定性
3）罗斯阵列 2 1 0 1 6 0 -11 0 0 6 0 0 罗斯这列的首列变号，所以，系统不 稳定。
线性系统的稳定性

例6.2 已知某连续时间系统的系统函数为
s 3 2s 2 s 2 H ( s) 5 ， 4 3 2 s 2s 2s 4s 11s 10 试判别此系统的稳定性。
（1）频率特性 （2）零点极点图 （3）复轨迹
H ( j ) H ( s ) | s j
系统函数的零、极点分布
设线性时不变系统的系统函数为 设集总参数线性时不变系统其系统函数为
H ( s)
K (s z j )
m
(s p )
i i 1
j 1 n
其中 z j 为第 j个零点位， pi为第 i个极点位
5)若p1,2 a j, 则
L hi (t) eat sin(t)
(t )
L at 6)若p1,2 a j, 则 h ( t ) e sin(t) (t ) i 2 2 (s a)

系统函数的零、极点分布
—— H(s)零、极点分布与h(t)的对应
线性系统的稳定性
1 稳定系统 的定义：
若系统对任意的有界输入其零状态响应也是有界的，
则称此系统为稳定系统(BIBO) 即对 e(t) Me，其 r(t) Mr , 其中Me，Mr为有界正值
线性系统的稳定性
2 稳定系统 的分类
稳定系统：如H ( s )全部极点落于s左半平面， 则 lim h(t ) 0 t s右半平面 有 不稳定系统：如H ( s )全部极点落于 或在虚轴上具二阶以上极点， h (t ) 则 lim t 临界稳定系统：如H ( s )全部极点落于s平面虚轴上 且只有一阶， 则 lim h(t ) C 0或等幅振荡 t
系统函数的零、极点分布
—— H(s)零、极点分布与h(t)的对应
则 H ( s )部 分 分 式 分 解 后 ， 其各极点将决定一项对应的时间函数
(a) 当一阶
pi
极点时,
h(t ) K i e
i 1
n
pi t
1 L 1)若 pi 0, 则 H i ( s ) (tt) ) hi (t ) u( s 1 L at 2)若pi a, 则 hi (t ) e (t ) sa a>0
A( s ) an s an 1s
n
n 1
a1s a0
则系统稳定的必要条件为（即极点全部位于s左半平面）
1）无缺项； 2）多项式的全部系数
ai 符号相同；
3）罗斯阵列中数字的第一列符号相同。
若罗斯阵列中第一列数字的符号不尽相同， 则符号改变的次数就是具有正实部根极点的个数。
1 a n 1 c n 1 c n 1
a n 3 cn 3
a n 5 cn 5
阵列中其它行的数依此类推
线性系统的稳定性
例6.1
已知一个系统的系统函数为：
2s 1 H (s) 3 2 2s s s 6
判定系统的稳定性。
线性系统的稳定性
解：分母多项式为：
线性系统的稳定性
3
稳定系统的充分必要条件：
1）时域判据：
(绝对可积) h(t ) dt M


2）复频域判据：即 H ( s )极点位于 s左半平面
所有
3）罗斯判据
线性系统的稳定性
4 罗斯阵列稳定性准则 （适合高阶系统）
若系统函数 H ( s ) B ( s ) / A( s ) 的分母多项式，