第6章连续时间系统的系统函数(2013)

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第六章连续时间系统的频域分析

j
低通滤波器
0
0
1/RC
2/RC
3/RC
4/RC

随着频率的增加，系统的幅度响应|H(j)|不断减小，说明信号的频率越高，信号通过该系统的损耗也就越大。由于|H(j(1/RC))|=0.707，所以把c=1/RC称为该系统的3db截频。
6.2 系统的频域响应
系统的时域分析是在时间域内进行，可以比较直观的得到系统响应的波形。其求解系统零状态响应的方法是利用卷积分析法，将信号分解为加权的冲激信号的叠加，是直接求响应的时域积分的方法，系统的频域分析方法是在频率域内进行，先求频率域的响应 Y ( j ) H ( j ) F ( j ) ，再利用傅里叶反变换求零状态响应的间接方法。
式表明，对于一个线性时不变系统，在频率为 0 的基本信号 e j0t 激励下的零状态响应是基本信号 e j0t 乘以一个与时间t无关的常数系数 H ( j0 ) 仍然是同频率的基本信号
yzs (t ) H ( j0 )e j0t 只不过基本信号经过 H ( j0 ) 修正，而 H ( j0 ) 可由系统的系统函数 H ( j ) 得到。
【例6-3】已知系统的系统函数 H ( j )
1 试分别求在信号 j 1
sint, sin 2t, sin3t 作用下，系统的稳态响应。
解：根据系统的系统函数可知系统的幅频特性和相频特性分别为
| H ( j ) | 1 12
( ) arctan
对于激励信号
sin t
电路的分析
对于基本电路元件电阻、电容和电感构成的电路系统，必须要研究这三种元件上的电压与电流的频谱关系。 i L (t ) iC (t ) i R (t )

第六章连续时间系统的系统函数

如果h(t)不绝对可积必引起系统的不稳定，
所以，必须满足

h(t)dt

4、渐近稳定与临界稳定
h(t)绝对可积，应满足 limh(t) 0 t
h(t)可允许有孤立的冲激函数存在，除此之外h(t)也应是有限的，即：
h(t) M t M为有限的正整数
满足上述条件的系统称渐近稳定。
Z(s)
1

1 1
sC
1 C
s2
s 1 s
1
R sL
RC LC
1
s
c (s p1)(s p2 )
1 ( 1 )2,
z1 0 ,
p1,2
RC
RC 2
LC
1 ( 1 )2 1 2RC 2RC LC
令：

1 2RC
其中 0
1 , Q 0L ， 1 (0 )
LC
R
Q 0
再从系统函数的极零点分布来考察：前面已求得：
Z(s) 1
s
c (s p1)( s p2 )
z1 0 , p1,2 j 02 2

1 2RC
,
0

1 LC
，
0
) e j()
Ak
k 1
m
Bi
m
n
其中 H ( j) H0
i 1 n
，()
i
k
Ak
i 1
k 1
k 1
当ω沿虚轴变化时|H(jω)|，φ(ω)也随之变
化。因此，由系统函数的矢量图可以估计出系统的幅频特性和相频特性曲线。

连续系统的系统函数

连续系统的系统函数二、系统函数与时域响应由§5.4和§6.4可知，系统自由（固有）响应的函数（或序列）形式由()0=⋅A 的根确定，亦即由()⋅H 的极点确定，而冲激响应或单位序列响应的函数形式也由()⋅H 的极点确定。

下面讨论()⋅H 极点的位置与其所对应的响应（自由响应、冲激响应、单位序列响应等）的函数（序列）形式。

1. 连续系统连续系统的系统函数()s H 的极点，按其在s 平面上的位置可分为：左半开平面（不含虚轴的左半平面）、虚轴和有半开平面三类。

在左半开平面的极点有负实极点和共轭复极点（其实部为负）。

若系统函数有负实单极点()0>-=ααp ，则()s A 有因子()α+s ，其所对应的响应（自由响应、冲激响应等）函数为()t Ae t εα-；如有一对共轭复极点βαj p ±-=2,1，则()s A 中有因子()[]22βα++s ，其所对应的响应函数为()()t t Aetεθβα+-cos ，式中A 、θ为常数，响应均按指数衰减，当∞→t 时趋近于零。

它们的波形见图8.5-1。

如()s H 在左半开面有r 重极点，则()s A 中有因子()rs α+或()[]rs 22βα++，它们所对应的响应函数分别为()t et A tj j εα-或()()()1,,2,1,0cos -=+-r j t t et A tjj εθβα，式中j A 、jθ为常数。

用罗必塔法则不难证明，当∞→t 时，它们均趋于零。

()s H 在虚轴上的单极点0=p 或βj p ±=2,1，相应于()s A 的因子为s 或22β+s ，它们所对应的响应函数分别为()t A ε或()()t t A εθβ+cos ，其幅度不随时间变化（见图8.5-1）。

()s H 在虚轴上的r 重极点，相应于()s A 的因子为rs或()rs 22β+，其所对应的响应函数分别为()t t A j j ε或()()t t t A j j j εθβ+cos ，它们都随t 的增长而增大。

线性系统理论-郑大钟(第二版)(2013)

从作用时间 1.连续时间系统类型的角度 2.离散时间系统
连续系统按其参数 1.集中参数系统: 属有穷维系统的空间分布类型 2.分布参数系统: 属于无穷维系统
本书中仅限于研究线性系统和集中参数系统
线性系统线性系统理论的研究对象为线性系统，其模型方程具有线性属性即满足叠加原理。若表征系统的数学描述为L 系统模型系统模型是对系统或其部分属性的一个简化描述 ①系统模型的作用：仿真、预测预报、综合和设计控制器
状态和状态空间的定义状态变量组: 一个动力学系统的状态变量组定义为能完全表征其时间域行为的一个最小内部变量组
u1
yq
u2
up
x1, x2 ,, xn
y2
yq
状态：一个动力学系统的状态定义为由其状态变量组 x1 (t ), x2 t ,, xn (t )
所组成的一个列向量
x1 ( x n (t )
(1)整体性
1.结构上的整体性
(2)抽象性
(3)相对性在系统的定义中, 所谓“系统” 和“部分”这种称谓具有相对属性。
作为系统控制理论的研究对象，系统常常抽去 2.系统行为和功能由整体所决定了具体系统的物理，自然和社会含义，而把它抽象为一个一般意义下的系统而加以研究。
动态系统：所谓动态系统，就是运动状态按确定规律或确定统计规律随时间演化的一类系统——动力学系统。动态系统是系统控制理论所研究的主体，其行为有各类变量间的关系来表征。系统变量可区分为三类形式
1.2 线性系统理论的基本概貌
线性系统理论是一门以研究线性系统的分析与综合的理论和方法为基本任务的学科。
线性系统理论着重研究线性系统状态的运动规律和改变这种规律的可能性和方法，以建立和揭示系统结构、参数、行为和性能间确定的和定量的关系。主要内容: 数学模型 → 分析理论 → 发展过程: 主要学派: 状态空间法几何理论把对线性系统的研究转化为状态空间中的相应几何问题, 并采用几何语言来对系统进行描述,分析和综合综合理论

§4.5 连续时间LTI系统的系统函数

五．零极点与系统频率响应的关系
已知系统的零极点图如图所示，例：已知系统的零极点图如图所示，定性画出各系统对应的幅频特性
jω jω jω
0
σ
0
σ
0
σ
(a)
jω
(b)
jω
(c )
jω
0σLeabharlann 0σ0σ
(d )
( e)
(f)
五．零极点与系统频率响应的关系
解：对应系统的幅频特性为
jω
H (ω )
0
σ
0
H (ω )
两系统函数仅是零点不同，两系统函数仅是零点不同，它们对应的冲激响应仅是响应幅度和相位不同，幅度和相位不同，响应波形的模式均为衰减振荡模式
五．零极点与系统频率响应的关系
频率特性频率特性指系统在正弦信号激励下稳态响应随信号频率的变化情况。频率特性指系统在正弦信号激励下稳态响应随信号频率的变化情况。主要是指幅频特性和相频特性。主要是指幅频特性和相频特性。在系统是稳定的前提下，在系统是稳定的前提下，系统频率响应和系统函数的关系为
解得
1 Ω 1F
I3(s) x(t) I2 (s) 1 Ω - I1(s) 1 Ω
+ 1F
I2 (s) s2 + 2s +1 H(s) = = 2 X(s) s +5s + 2
三.系统函数的应用
求系统的响应：求系统的响应：方法一：方法一：方法二：方法二：即 x(t )
H(s) →h(t) → y(t) = x(t) ∗h(t) Y(s) = H(s)X(s) → y(t)
2.极点的影响极点的影响
1 H(s) = , s

通信工程专业函授(业余)本科教学大纲

（二）参考书目
[1]《概率论与数理统计》,印凡成、夏乐天主编，河海大学校出版社，2000
[2]《概率论与数理统计》，浙江大学编，1989.8(第二版)
[3]《概率论与数理统计》,陈希孺编著,中国科学技术大学出版社，1992.5
[4]《概率论与数理统计教程》，魏宗舒编，高等教育出版社，1983.10
[5]沈恒范主编，《概率论与数理统计》，高等教育出版社
三、开课对象通信工程专业函授本科
四、学时分配
总学时：168学时其中面授：42学时自学：126学时
五、教学内容与基本要求、教学的重点和难点
第1章绪论（面授4学时、自学12学时）
教学内容：
§1-1信号传输系统
§1-2信号的概念
§1-3系统的概念
§1-4线性非时变系统的分析
教学重点和难点：深刻理解信号和系统的概念以及两者的关系，初步理解信号分析和系统的方法，掌握信号的分类情况。深刻理解和熟练掌握并且能熟练运用线性非时变系统的五条重要性质。
[6]同济大学数学系主编，《概率论与数理统计》，高等教育出版社
复变函数与积分变换教学大纲
一、课程类别专业必修课
二、教学目的
本课程讲述复变函数的基本理论和两种常用的积分变换及其应用。内容包括复数与复变函数，解析函数及其充要条件，复变函数的积分与计算，柯西-古萨基本定理及复合闭路原理，柯西积分公式及解析函数的高阶导数公式，复数项级数和复函数项级数（泰勒级数和罗伦级数），留数及其在定积分计算上的应用，共形映射，傅立叶变换及其性质，拉普拉斯变换及性质与应用。本课程是继高等数学之后的数学类课。其目的是用积分变换等手段简化复杂问题的处理方法。坚持的原则是以应用为目的，在教学过程中培养学生分析问题，解决问题的能力。

连续时间系统的系统函数

第六章连续时间系统的系统函数§6-1 引言一、系统函数的定义系统函数H(s)定义为系统的零状态响应R(s)与激励E(s)之间的比值：)()()(s E s R s H =二、电网络系统的系统函数的分类三、)(s H 、)(p H 、)(ωj H 、)(t h 之间关系 1、)(p H 与)(s H 形式相同，含义不同； 2、)(s H 中当ωj s =时，就得到了系统特性在频域中的表达形式)(ωj H ；3、H(s)是)(t h 的像函数，)(t h 是H(s)的原函数。

所以，得到了H(s)以后，就可以得到)(p H 、)(ωj H 和)(t h 。

通过H(s) 可以对系统进行综合和分析。

§6-2 系统函数的表示法系统函数可以用数学表达式表达，也可以用图示的方法表达。

前者比较简单，但是无法直接看出系统的特性。

后者可以直接表示出系统的特性，便于对系统的性能进行深入研究。

常用的图示法有三种：频率特性，复轨迹，极零图。

一、频率特性z 正如第四章中所见，系统特性可以用反映幅度特性随频率变化规律的幅频特性曲线和反映相位特性随频率变化规律的相频特性曲线描述。

z 频率特性主要用于研究系统的频率特性分析。

z 对于)(s H ，没有必要研究其随任意复频率变化的规律，只需要令ωj s =，得到)(ωj H ，研究沿s 平面虚轴变化的规律。

z 对于一般的（电）系统，)(s H 为s 的有理函数，其幅频特性为ω的偶函数，相频特性为ω的奇函数。

所以，只要画出0≥ω部分即可。

z 频率特性曲线有时也在对数尺度的坐标系中作出，称为波特图。

见§6-4。

z 对于因果系统而言，)(ωj H 的实部和虚部相互联系，知道其中一个，就可以推导出另一个。

证明：对于因果系统，有：)()()(t t h t h ε⋅=ωωπωωωπωπδωπωωπδωπω1*)(21)(211*)(21)(*)(211)(*)(21)(j H j j H j j H j H j j H j H +=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∴ ωωπω1*)(21)(21j H jj H =∴[]ωωπωωπωωωπωω1*)(11*)(11*)()(1)()(j R j j X j jX j R j j jX j R −=+=+∴ ∫∫∞+∞−+∞∞−−−=−=−==∴λλωλπωωπωλλωλπωωπωd j R j R j X d j X j X j R )(11*)(1)()(11*)(1)( 根据上面两个的公式，可以从)(ωj R 计算出)(ωj X 或反之。

连续系统的系统函数

下面讨论()⋅H 极点的位置与其所对应的响应（自由响应、冲激响应、单位序列响应等）的函数（序列）形式。

1. 连续系统连续系统的系统函数()s H 的极点，按其在s 平面上的位置可分为：左半开平面（不含虚轴的左半平面）、虚轴和有半开平面三类。

在左半开平面的极点有负实极点和共轭复极点（其实部为负）。

它们的波形见图8.5-1。

用罗必塔法则不难证明，当∞→t 时，它们均趋于零。

第六章连续时间系统的系统函数

1 y2 (t ) = L−1[Y2 ( s )] = t sin(ω0t )u (t ) 2
显然，输出不是有界信号，所以系统不稳定。
二、反馈系统指系统的输出或部分输出反过来馈送到输入处，从而环系统。引起输出本身变化的闭环系统。 E (s ) R (s ) +
Y (s )
∑
G (s )
−
H (s )
∏(s − z ) ∏(s − p )
j =1 j i=1 n i
m
其中： zi 称为系统函数的零点； pj 称为系统函数的极点。零极点图极点
jω
零点
σ
×
0
×
×
6.3 系统函数极点和零点的分布与系统时域特性的关系
定对实轴成镜像对称。一、H (s )的极点和零点的分布必定对实轴成镜像对称。
由证： H ( s ) = ais i ∑ aj s j ∑
jω
σ
低通
0
H ( jω )
ω
z σ jω z σ
高通
0
全通
H ( jω )
ω ω
0
一个极点，由此可见一阶网络具有一个极点，对于无源网络该极点总位于负实数轴上，网络，总位于负实数轴上，其零点决定了网络是低通网络，高通网络还是全通网络。通网络还是全通网络。
a0 低通 p1 s 2 + b1s + b 0 p 2 σ 0 ω H ( jω ) jω 2 p1 a2s 同理可推得高通 σ 2 s + b1s + b 0 p2 z1、z 2 0 H ( jω ) ω 二阶网络函数 jω a1 s p1 带通 2 σ a 2 s + a1 s + a 0 z = 2 H ( s） = s 2 + b1s + b 0 p2 0 ω jω s + b1s + b 0 2 H ( jω ) a2s + a0 p1 z1 带阻 σ 2 z2 s + b1s + b 0 p 2 0 w0 ω a 2 s 2 + a1 s + a 0 p 1 j ω z 1 H ( jω ) σ 全通 s 2 + b1s + b0 p 2 z2 零点与极点对于 jω轴互为镜像

[计算机资料]第6章连续时间系统的系统函数

* 所以，不仅系统的相频特性是各个零点或极点的相频特性的叠加，而且。

所以，。

* 其中第一项是固定的常数，可以暂时不考虑；对第二项，有：如果频率也取对数，则高频渐近线是一个斜率为20的直线，其与低频渐近线（横坐标）的交点为: * 相频特性:同样可以得到相频特性在对数坐标下也可以近似表示为两段折线； * 单个极点的波特图与单个零点的波特图相似，只不过折线方向相反。

* 思考：重根如何处理？ ? ? 利用计算机技术，可以很容易地得到任何系统的频率特性曲线和波特图，不用通过上面的方法画了。

但是，其中的一些结论在实际工作中依然有很重要参考价值。

* 如果系统对于有限（有界）的激励（即存在常数Me，使得|e(t)| Me在任意t的条件下都成立），有有限的响应（即存在常数Mr，使|r(t)| Mr 在任意t的条件下都成立，则称该系统为稳定系统。

* 稳定系统的H(s)的极点只能分布在s?平面的左半平面（即各个极点的实部应该小于零）。

对于三阶或以上系统，求根是很烦琐的。

于是就有了以下描述的代数稳定性判据。

设H(s)的分母为D(s)的有理代数方程 * 稳定系统的H(s)的极点只能分布在s?平面的左半平面（即各个极点的实部应该小于零）。

对于三阶或以上系统，求根是很烦琐的。

于是就有了以下描述的代数稳定性判据。

设H(s)的分母为D(s)的有理代数方程 * 思考另外一种方法 * 大小相等，符号相反的一对实根，或一对共轭虚根，或对称于虚轴的重共轭复根。

大小相等，位置径向相反的根可以通过求解辅助方程得到。

辅助方程应为偶次数的。

l????? 如果在计算中出现了一个全零行，则说明系统在虚轴上有极点，系统最多是临界稳定的。

可以直接认为系统是不稳定的（如果将临界稳定划归于不稳定之列），或者对系统是否临界稳定作出进一步判定，步骤如下： * 这说明该系统的系统函数在虚轴上有四个单极点分别为土j及土j ，系统为 * 利用罗斯―霍维茨稳定性判据还可以讨论个别参数对稳定性的影响，从而求得这些参数的取值范围。

(信号与系统课程)第六章连续系统的系统函数：第1讲

s6 j5)(s 3
j5)
K
s2
s6 6s 34
Z (s)
L
由Z(0)=3, 得K=17。再由电路有：
Z(s)
1 (sL R) sC R sL 1
LC
sL R s2 RC
s
1
1 C
(s R) L
(s2 R s
1
)
sC
L LC
比较以上两式的系数得：
6 3
1 K , C 1 F 1 34, L 1 H R 6, R 3
1 2
Em
| H ( j0 ) |e j[ ( ) ]
系统的稳态响应：
rss (t) 2 | K1 | cos(0t K1) Em | H ( j0 ) | cos[0t ( )]
第六章第1讲
17
例3
对于一个 H
(s)
s2
s
2 4s
4
的系统，求出下列输入的稳态响应
rss (t) 。 (1) e(t) 8 cos 2t (2) e(t) 4 (t) 8 cos(2t 15)
H(s)的零、极点分布如图所示。
j
j2
1
0
j2
第六章第1讲
5
例3
方法一
已知电路的输入阻抗Z(s)的零、极点如图所示，已知 Z(0)=3，则电路的R =__3_____; L =_0_._5_H__; C =_1_/_1_7_F_。
解一：由电路求阻抗
R
Z (s)
1 (sL sC R sL
Rzs (s)
H (s)
1
s
Rh (s)
Rp (s)
其中，Rh (s) 为自由响应，由系统函数的极点决定。

连续时间系统的系统函数课件

传递函数的零点和极点
掌握传递函数的零点和极点的概念及其在系统分析中的作用。
极点、零点和增益
1 2
极点和零点的定义
了解极点和零点的定义及其在系统函数中的作用。
增益的概念
掌握增益的概念及其在系统分析中的应用。
3
极点、零点和增益的关系
了解极点、零点和增益之间的关系及其对系统性能的影响。
03
系统函数的分析方法
通过系统函数，可以分析系统的频率响应、稳定性、阻尼特性等性能指标。
控制系统的设计
系统函数是控制系统设计的基础，通过改变系统函数可以设计出不同性能的控制系统。
系统辨识
通过对实际系统的输入输出数据进行辨识，可以得到系统的系统函数，进而进行系统分析和控制。
02
系统函数的数学表达
微分方程与系统函数的关系
频率响应分析
频率响应的定义
01
频率响应是系统对正弦波输入的稳态响应，它反映了系统在不
同频率下的输出振幅和相位变化。
频率响应的求解方法
02
通过拉普拉斯变换将时域系统函数转化为复频域系统函数，然
后求解出系统的幅频特性和相频特性。
频率响应分析的意义
03
频率响应是系统稳定性和性能的重要指标，通过对频率响应的
线性时不变性分析
线性时不变性的定义
如果系统对于任何输入信号的响应都是线性的，并且具有时不变性，则称该系统是线性时不变系统。
线性时不变性的性质
线性时不变系统具有叠加性、均匀性和时不变性等性质。
线性时不变性分析的意义
线性时不变性是许多控制系统的重要性质，通过对线性时不变性的分析可以了解系统的控制性能和稳定性特性。
描述
三阶系统函数，由电阻R、电容C 、电感L和阻尼电阻Rd组成。

第六章连续时间系统的系统函数

i(t) L
I (s) LS Li(0)
LS
i(0)
I (s)
s
u(t) u(t) L di(t) dt
U (s)
U (s)
SL — —电感元件的复频域阻抗
U[s] LsI (s) Li(0)
例1：如图示电路已处稳态，t 0时开关k由“1”到“2”，
试求输出电压u0(t)的零输入响应u0zi(t)，零状态响应u0zs(t)
yx(t)满足的微分方程为
y"x
(t
)

5
y
' x
(t
)

6
y
x
(t
)

0
yx(t)的初始条件yx(0-)=y(0-)、yx’(0-)=y′(0-)。
yf(t)满足的微分方程为
y"x (t) 5y'f (t) 6y f (t) 3 f '(t) f (t)
由于f(t)为因果信号，所以f(0-)=0，yf(0-)=y′f(0-)=0。
y a1 y a0 y b1x b0 x
引入一辅助函数q, 使q满足方程（1） q a1q a0q x (1)
则y满足（2）式 y b1q b0q
X q q

b1
q

b2
将(1)、(2)代入原方程即可证明
y

a1
a0
以上讨论的框图是直接根据系统的微分方程或系统函数作出的，一般称为直接模拟框图。
2s

6
3V

s 2
U 0(s)
1
2s
6
S 3V

连续时间系统系统函数

令从-∞变化到+∞ ，将H(j)在复平面上的点随之变化产生的轨迹称为复轨迹。
1、复轨迹主要用于反馈系统稳定性分析。
2、H(j)在=0处的相位一定为零， H(j0)一定是实数,落在实轴上。
3、复轨迹一定是关于实轴对称
三、极零图将H(jw)的极点和零点在复平面上表示出来
H(s) N(s) D(s)
例:判断稳定性
H (s)
3
(s 2)(s 1)
H (s)
3
(s 2)(s 1)
-2 -1
Im[s] Re[s]
Im[s] Re[s]
12
六、自由响应与强迫响应
u
m
(s zl ) (s z j )
Rzs (s) E(s).H (s)
l 1 v
. j 1 n
(s pk ) (s pi )
k 1
i 1
来自H(s) 的极点
Rzs (s)
n i 1
ki s pi

v k 1
kk s pk
来自E(s) 的极点
自由响应
n
v
强迫响应
rzs (t) kie pit kke pkt
i 1
k 1
一、系统频率响应特性
H( j) H(s) |s j | H( j) | e j()
偶
奇
若： e(t) Em cost,
r(t)=Rmcos [t+()]=Em|H(j)| cos [ t+()]
例1：RLC串联电路

I
R
＋

U
－
jL
j 1
C

第六章连续系统的系统函数

广义上，系统函数的极点个数与零点个数相等。
§3 零极点分布与系统时域特性的关系

零极点与冲激响应
冲激响应与系统函数的关系为(设H(s)具有单极点)
h(t )
1
[ H ( s)]
1
n Ki [ ] K i e pit i 1 s pi i 1
n
冲激响应的性质完全由系统函数的极点决定。 pi 称为系统的自然频率或固有频率。
2
, R( ) 0, X ( ) 0
当从到变化时，复轨迹顺时针方向绕圆两圈。复轨迹主要用于系统稳定性分析。
系统函数的零点和极点图
系统函数一般是一个实系数有理分式，即
bm s m bm 1s m 1 b1s b0 H (s) an s n an 1s n 1 a1s a0
H(s)、H(jω)、H(p)、h(t)间关系
H(s) 、 H(p)、 H(jω) 、 h(t) 间关系
（1）H(s) 与 H(p) 具有相同的形式，只是将复变量 s 用算符 p 代替；
（2）H(s) 中当 s = jω时，就得到了系统特性在频域中的表达形式 H(j ω)；
（3）H(s) 是 h(t) 的LT，h(t) 是的原函数。 H(s) 的求法（1）已知系统的微分方程求H(s)；
| 讨论： (1) 当时，H ( j ) | 0, ( ) , R( ) 0, X ( ) 0

2 (2) 当 0时，H ( j ) | R, ( ) 0, R( ) R, X ( ) 0 |
(3) 当 0 时，H ( j ) | 0, ( ) | (4) 当 0 时，H ( j ) | 0, ( ) |

第六章连续时间系统的系统函数(文正)

若有符号变化，系统不稳定。
20
例：K何值时候系统稳定
S 3 5S 2 4S k 0
1 5 20 k 5 k
系统稳定条件为
4 k 0 0
20 k k 5 k 20 k 5
20 k 0 5 k 0
故 0 k 20
例：已知某因果系统函数
第六章
连续时间系统的系统函数
主要内容

系统函数及其表示方法系统函数零极点分布与时域特性

系统函数零极点分布与频响特性
系统的稳定性及判定方法

一、系统函数及其表示方法
1、系统函数定义
E (s)
H ( s)
R( s ) H ( s) E ( s)
策动点函数：激励与响应在同一端口时
R(s) E(s) H (s)
各行按下列公式计算 Bn 1 An An－2 An 1 An 1 Bn 1 Cn 1 An Bn－2 An 1 An 1 C n 1 An－3 1 An 2 An 1 Bn 1 An 2 Bn 2 Dn 1 An Cn－2 An 1 An 1 Dn 1 Bn－3 1 An 1 C n 1 An 2 A n 2 C n 2
1
1 2

0

1 Rc

零极点图
() 1
c
( )

0
c
1 Rc

45o 90o
幅频特性
相频特性
极点越靠近零极点图的虚轴，则其时域响应衰减越慢，而其幅频特性的截止频率越低。由此可见：p1, c, 具有内在联系。

连续时间系统的系统函数

第六章连续时间系统的系统函数系统的响应一方面与激励有关，同时也与系统本身有关。

系统函数就是描述系统本身特性的，它在电路与系统理论中占有重要地位。

本章将介绍系统函数的定义、物理意义、分类、求法、零点与极点概念及其应用；最后介绍系统稳定性的概念及其判定方法。

6.1 系统函数的定义与分类6.1.1 定义图6.1所示零状态系统，)(t x 为激励，)(t y 为零状态响应，设系统的单位冲激励响应为()h t ，则有)()()(t x t h t y *=对上式等号两端同时求拉氏变换，并设)]([)(t y L s Y =，)]([)(t h L s H =，)]([)(t x L s X =，则有 )()()(s X s H s Y = （6.1）故有)()()(s X s Y s H =（6.2） ()H s 称为复频域系统函数，简称系统函数。

可见系统函数()H s 就是系统零状态响应)(t y 的象函数)(s Y 与激励)(t x 的象函数)(s X 之比，也是系统单位冲激响应()h t 的拉氏变换。

由于()H s 是响应与激励的两个象函数之比，所以()H s 与系统的激励和响应的具体数值无关，它只与系统本身的结构与元件参数有关。

它充分、完整地描述了系统本身的特性。

因此，研究系统的特性，也就归结为对()H s 进行研究。

6.1.2 )(s H 的又一物理意义设系统的激励ste t x =)(，ste 称为s 域本征信号或单元信号。

此时系统的零状态响应为τττd e h e t h t y t s st )()()()(-∞∞-⎰=*=τττd e h es st-∞∞-⎰=)()(s H e st= （6.3）式中)]([)()(t h L d e h s H s ==-∞∞-⎰τττ，为()h t 的拉氏变换。

可见，()H s 就是当激励为st e 时系统零状态图6.1(t x )(t y响应的加权函数。

连续时间系统的系统函数

§ 稳定性
例6-4
求系统的零、极点，并绘制零、极点分布图，并判断系统的稳定性。
H(s)(s3)ss(2 22s2)
解：系统的零点为：
s2
系统的极点为：
s1 1j, s2 1j,s3 3
系统的零、极点分布图为：
例6-5
解:
§ 劳斯稳定判据
4、根据稳定的充分与零上一行的元素
s6 1 8 20 16 组成辅助多项式：
s5 2 12 16
P(s)=2s4+12s2+16
s4 s3 s2
2 08 6
12 20 4 16
16
代入
dPds(s)=8s3+24s 系统有虚根,不稳定。
s1 8/3 s0 16
劳斯表中某行同乘以某正数，不影响系统稳定性的判断。
(1) s3+20s2+9s+100=0
劳斯表如下： s3 1 9 s2 20 100 s1 4 s0 100 系统稳定。
劳斯表如下：
s4 1 18 5
s3 8 16
s2 16 5
s1
216 16
s0 5 系统稳定。
§ 劳斯稳定判据
例6-8 系统如图所示，试确定系统稳定放大
倍数K的取值范围。R(s)
解：劳斯表为:
s3 1 1 s2 2 2 s1 εb31 s0 b241 系统有一对纯虚根
不稳定
b31=
2*1 -2*1 2
=0ε(
)
b41=
2*ε -2*0 ε
=2
通过因式分解验证: s3+2s2+s+2=0 (s+2)(s2+1)=0
s1=-2 s2.3=±j

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