2017年广东省深圳市高考数学一模试卷(文科) 有答案

2017年广东省深圳市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={2，4，6，8}，B={x|x2﹣9x+18≤0}，则A∩B=（）A．{2，4}B．{4，6}C．{6，8}D．{2，8}2．若复数（a∈R）为纯虚数，其中i为虚数单位，则a=（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．33．袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”．现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（）A．B．C．D．4．设a=0.23，b=log0.30.2，c=log30.2，则a，b，c大小关系正确的是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosC=，a=1，c=2，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．6．若双曲线的焦点到渐近线的距离是焦距的，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．7．将函数y=sin（6x+）的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心（）A．B．C．（）D．（）8．函数f（x）=•cosx的图象大致是（）A．B．C．D．9．祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．此即祖暅原理．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h（0＜h＜2）的平面截该几何体，则截面面积为（）A．4πB．πh2C．π（2﹣h）2D．π（4﹣h）210．执行如图所示的程序框图，若输入p=2017，则输出i的值为（）A．335 B．336 C．337 D．33811．已知棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，球O与该正方体的各个面相切，则平面ACB1截此球所得的截面的面积为（）A．B．C．D．12．若f（x）=sin3x+acos2x在（0，π）上存在最小值，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，]C．[，+∞）D．（0，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．已知向量=（1，2），=（x，3），若⊥，则|+|=．14．已知α是锐角，且cos（α+）=，则cos（α﹣）=．15．直线ax﹣y+3=0与圆（x﹣2）2+（y﹣a）2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则实数a的取值范围是．16．若实数x，y满足不等式组，目标函数z=kx﹣y的最大值为12，最小值为0，则实数k=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）设S n为数列{a n}的前n项和，且S n=2a n﹣n+1（n∈N*），b n=a n+1．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{nb n}的前n项和T n．18．（12分）如图，四边形ABCD为菱形，四边形ACEF为平行四边形，设BD与AC相交于点G，AB=BD=2，AE=，∠EAD=∠EAB．（1）证明：平面ACEF⊥平面ABCD；（2）若∠EAG=60°，求三棱锥F﹣BDE的体积．19．（12分）某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费．（1）求某户居民用电费用y（单位：元）关于月用电量x（单位：度）的函数解析式；（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的点80%，求a，b的值；（3）在满足（2）的条件下，若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点值代替，记Y为该居民用户1月份的用电费用，求Y 的分布列和数学期望．20．（12分）已成椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为．其右顶点与上顶点的距离为，过点P（0，2）的直线l与椭圆C相交于A、B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）设M是AB中点，且Q点的坐标为（，0），当QM⊥AB时，求直线l的方程．21．（12分）已知函数f（x）=（ax+1）lnx﹣ax+3，a∈R，g（x）是f（x）的导函数，e为自然对数的底数．（1）讨论g（x）的单调性；（2）当a＞e时，证明：g（e﹣a）＞0；（3）当a＞e时，判断函数f（x）零点的个数，并说明理由．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系中xOy中，曲线E的参数方程为（α为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线E的普通方程和极坐标方程；（2）若直线l与曲线E相交于点A、B两点，且OA⊥OB，求证： +为定值，并求出这个定值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|x+a|，g（x）=|x+3|﹣x．（1）当a=1，解不等式f（x）＜g（x）；（2）对任意x∈[﹣1，1]，f（x）＜g（x）恒成立，求a的取值范围．2017年广东省深圳市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={2，4，6，8}，B={x|x2﹣9x+18≤0}，则A∩B=（）A．{2，4}B．{4，6}C．{6，8}D．{2，8}【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：∵A={2，4，6，8}，B={x|x2﹣9x+18≤0}={x|（x﹣3）（x﹣6）≤0}={x|3≤x ≤6}，∴A∩B={4，6}，故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．若复数（a∈R）为纯虚数，其中i为虚数单位，则a=（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由复数代数形式的乘除运算化简复数，又根据复数（a∈R）为纯虚数，列出方程组，求解即可得答案．【解答】解：==，∵复数（a∈R）为纯虚数，∴，解得：a=﹣2．故选：B．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”．现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】现从中随机选取三个球，基本事件总数n==4，所选的三个球上的数字能构成等差数列包含的基本事件的个数，由此能求出所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率．【解答】解：袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”，现从中随机选取三个球，基本事件总数n==4，所选的三个球上的数字能构成等差数列包含的基本事件有：（2，3，4），（2，4，6），共有2个，∴所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是p==．故选：C．【点评】本题考查概率的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．4．设a=0.23，b=log0.30.2，c=log30.2，则a，b，c大小关系正确的是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：a=0.23=0.008，b=log0.30.2＞log0.30.3=1，c=log30.2＜1，∴b＞a＞c，故选：B．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosC=，a=1，c=2，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．【考点】正弦定理．【分析】由题意cosC=，a=1，c=2，余弦定理求解b，正弦定理在求解sinB，那么△ABC的面积即可．【解答】解：由题意cosC=，a=1，c=2，那么：sinC=，cosC==，解得b=2．由，可得sinB=，那么△ABC的面积=故选A【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理的运用，属于基础题．6．若双曲线的焦点到渐近线的距离是焦距的，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的焦点到渐近线的距离是焦距的，列出关系式求解离心率即可．【解答】解：设双曲线方程：，可得渐近线方程为：bx﹣ay=0，焦点坐标（c，0），双曲线的焦点到渐近线的距离是焦距的，可得：，整理得：5b2=4c2，即c2=5a2，解得e=．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．7．将函数y=sin（6x+）的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心（）A．B．C．（）D．（）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的对称性．【分析】先根据三角函数图象变换规律写出所得函数的解析式，再根据三角函数的性质进行验证：若f （a ）=0，则（a ，0）为一个对称中心，确定选项．【解答】解：函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍得到图象的解析式为再向右平移个单位得到图象的解析式为=sin2x当x=时，y=sin π=0，所以是函数y=sin2x 的一个对称中心．故选A ．【点评】本题考查了三角函数图象变换规律，三角函数图象、性质．是三角函数中的重点知识，在试题中出现的频率相当高．8．函数f （x ）=•cosx 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】函数的图象．【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数值，问题得以解决．【解答】解：f （﹣x ）=•cos （﹣x ）=•cosx=﹣f （x ），∴f （x ）为奇函数，∴函数f （x ）的图象关于原点对称，当x∈（0，）时，cosx＞0，＞0，∴f（x）＞0在（0，）上恒成立，故选：C【点评】本题考查了函数图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数值，属于基础题9．祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．此即祖暅原理．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h（0＜h＜2）的平面截该几何体，则截面面积为（）A．4πB．πh2C．π（2﹣h）2D．π（4﹣h）2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意，首先得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，得到截面为圆环，明确其半径求面积．【解答】解：由已知得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，底面半径为2高为2，设截面的圆环，小圆半径为r，则为\frac{h}{2}=\frac{r}{2}$，得到r=h，所以截面圆的面积为πh2；故选B．【点评】本题考查了几何体得到三视图以及截面面积的求法；关键是明确几何体形状，然后得到截面的性质以及相关的数据求面积．10．执行如图所示的程序框图，若输入p=2017，则输出i的值为（）A．335 B．336 C．337 D．338【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出输出i的值．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是统计1到2017这些数中能同时被2和3整除的数的个数i，由于：2017=336×6+1，故程序框图输出的i的值为337．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时模拟程序框图的运行过程，正确得出程序框图的功能是解题的关键，属于基础题．11．已知棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，球O与该正方体的各个面相切，则平面ACB1截此球所得的截面的面积为（）A．B．C．D．【考点】球的体积和表面积．【分析】求出平面ACB1截此球所得的截面的圆的半径，即可求出平面ACB1截此球所得的截面的面积．【解答】解：由题意，球心与B 的距离为=，B 到平面ACB 1的距离为=，球的半径为1，球心到平面ACB 1的距离为﹣=，∴平面ACB 1截此球所得的截面的圆的半径为=，∴平面ACB 1截此球所得的截面的面积为=， 故选D ．【点评】本题考查平面ACB 1截此球所得的截面的面积，考查学生的计算能力，属于中档题．12．若f （x ）=sin 3x +acos 2x 在（0，π）上存在最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，）B ．（0，]C ．[，+∞）D ．（0，+∞）【考点】三角函数的最值．【分析】设t=sinx ，由x ∈（0，π）和正弦函数的性质求出t 的范围，将t 代入f （x ）后求出函数的导数，求出临界点，根据条件判断出函数的单调性，由导数与函数单调性的关系列出不等式，求出实数a 的取值范围．【解答】解：设t=sinx ，由x ∈（0，π）得t ∈（0，1]， ∵f （x ）=sin 3x +acos 2x=sin 3x +a （1﹣sin 2x ）， ∴f （x ）变为：y=t 3﹣at 2+a ， 则y′=3t 2﹣2at=t （3t ﹣2a ），由y′=0得，t=0或t=，∵f （x ）=sin 3x +acos 2x 在（0，π）上存在最小值， ∴函数y=t 3﹣at 2+a 在（0，1]上递减或先减后增，即＞0，得a ＞0，∴实数a 的取值范围是（0，+∞）， 故选：D ．【点评】本题考查正弦函数的性质，导数与函数单调性的关系，以及构造法、换元法的应用，考查化简、变形能力．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．已知向量=（1，2），=（x ，3），若⊥，则|+|= 5．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】⊥，可得=0，解得x．再利用向量模的计算公式即可得出．【解答】解：∵⊥，∴=x+6=0，解得x=﹣6．∴=（﹣5，5）．∴|+|==5．故答案为：5．【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．已知α是锐角，且cos（α+）=，则cos（α﹣）=．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】由已知利用诱导公式可求sin（α﹣）=，结合角的范围，利用同角三角函数基本关系式计算可解．【解答】解：∵cos（α+）=sin[﹣（α+）]=sin（α﹣）=，∵α是锐角，α﹣∈（﹣，），∴cos（α﹣）===．故答案为：．【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．15．直线ax﹣y+3=0与圆（x﹣2）2+（y﹣a）2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则实数a的取值范围是a≤﹣．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】由圆的方程找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，利用|MN|≥2，建立不等式，即可得到a的范围．【解答】解：由圆的方程得：圆心（2，a），半径r=2，∵圆心到直线ax﹣y+3=0的距离d=，|MN|≥2，∴，解得：a≤﹣，故答案为：a≤﹣．【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．16．若实数x，y满足不等式组，目标函数z=kx﹣y的最大值为12，最小值为0，则实数k=3．【考点】简单线性规划．【分析】先画出可行域，得到角点坐标．利用k与0的大小，分类讨论，结合目标函数的最值求解即可．【解答】解：实数x，y满足不等式组的可行域如图：得：A（1，3），B（1，﹣2），C（4，0）．①当k=0时，目标函数z=kx﹣y的最大值为12，最小值为0，不满足题意．②当k＞0时，目标函数z=kx﹣y的最大值为12，最小值为0，当直线z=kx﹣y过C（4，0）时，Z取得最大值12．当直线z=kx﹣y过A（3，1）时，Z取得最小值0．可得k=3，满足题意．③当k＜0时，目标函数z=kx﹣y的最大值为12，最小值为0，当直线z=kx﹣y过C（4，0）时，Z取得最大值12．可得k=﹣3，当直线z=kx﹣y过，B（1，﹣2）时，Z取得最小值0．可得k=﹣2，无解．综上k=3故答案为：3．【点评】本题主要考查简单线性规划以及分类讨论思想．解决本题计算量较大．属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）（2017•深圳一模）设S n为数列{a n}的前n项和，且S n=2a n﹣n+1（n∈N*），b n=a n+1．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{nb n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）求出数列的首项，利用通项与和的关系，推出数列b n的等比数列，求解通项公式．（2）利用错位相减法求解数列的和即可．【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=2a1﹣1+1，易得a1=0，b1=1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣n+1﹣[2a n﹣1﹣n+1+1]，整理得a n=2a n﹣1+1，∴b n=a n+1=2（a n﹣1+1）=2b n﹣1，∴数列{b n}构成以首项为b1=1，公比为2等比数列，∴数列{b n}的通项公式b n=2n﹣1，n∈N•；（2）由（1）知b n=2n﹣1，则nb n=n•2n﹣1，则T n=1×20+2×21+3×22+…+n•2n﹣1，①∴2T n=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，②由①﹣②得：﹣T n=20+21+22+23+…+2n﹣1﹣n•2n==2n﹣1﹣n•2n，∴T n=（n﹣1）2n+1．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力．18．（12分）（2017•深圳一模）如图，四边形ABCD为菱形，四边形ACEF为平行四边形，设BD与AC相交于点G，AB=BD=2，AE=，∠EAD=∠EAB．（1）证明：平面ACEF⊥平面ABCD；（2）若∠EAG=60°，求三棱锥F﹣BDE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）连接EG，说明BD⊥AC，证明BD⊥ED，推出BD⊥平面ACFE，然后证明平面ACEF⊥平面ABCD；（2）说明点F到平面BDE的距离为点C到平面BDE的距离的两倍，利用V F﹣BDE =2V C﹣BDE，转化求解三棱锥F﹣BDE的体积即可．【解答】解：（1）证明：连接EG，∵四边形ABCD为菱形，∵AD=AB，BD⊥AC，DG=GB，在△EAD和△EAB中，AD=AB，AE=AE，∠EAD=∠EAB，∴△EAD≌△EAB，∴ED=EB，∴BD⊥ED，∵AC∩EG=G，∴BD⊥平面ACFE，∵BD ⊂平面ABCD ， ∴平面ACEF ⊥平面ABCD ；（2）∵EF ∥GC ，EF=2GC ，∴点F 到平面BDE 的距离为点C 到平面BDE 的距离的两倍， 所以V F ﹣BDE =2V C ﹣BDE ，作EH ⊥AC ，∵平面ACEF ⊥平面ABCD ，EH ⊥平面ABCD ，∴V C ﹣BDE =V E ﹣BCD ==，∴三棱锥F ﹣BDE 的体积为．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．19．（12分）（2017•深圳一模）某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费．（1）求某户居民用电费用y （单位：元）关于月用电量x （单位：度）的函数解析式； （2）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的点80%，求a ，b 的值；（3）在满足（2）的条件下，若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点值代替，记Y 为该居民用户1月份的用电费用，求Y 的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列． 【分析】（1）利用分段函数的性质即可得出．（2）利用（1），结合频率分布直方图的性质即可得出．（3）由题意可知X 可取50，150，250，350，450，550．结合频率分布直方图的性质即可得出．【解答】解：（1）当0≤x ≤200时，y=0.5x ；当200＜x ≤400时，y=0.5×200+0.8×（x ﹣200）=0.8x ﹣60，当x＞400时，y=0.5×200+0.8×200+1.0×（x﹣400）=x﹣140，所以y与x之间的函数解析式为：y=．（2）由（1）可知：当y=260时，x=400，则P（x≤400）=0.80，结合频率分布直方图可知：0.1+2×100b+0.3=0.8，100a+0.05=0.2，∴a=0.0015，b=0.0020．（3）由题意可知X可取50，150，250，350，450，550．当x=50时，y=0.5×50=25，∴P（y=25）=0.1，当x=150时，y=0.5×150=75，∴P（y=75）=0.2，当x=250时，y=0.5×200+0.8×50=140，∴P（y=140）=0.3，当x=350时，y=0.5×200+0.8×150=220，∴P（y=220）=0.2，当x=450时，y=0.5×200+0.8×200+1.0×50=310，∴P（y=310）=0.15，当x=550时，y=0.5×200×0.8×200+1.0×150=410，∴P（y=410）=0.05．故Y的概率分布列为：EY=25×0.1+75×0.2+140×0.3+220×0.2+310×0.15+410×0.05=170.5．【点评】本题考查了分段函数的性质、频率分布直方图的性质、随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）（2017•深圳一模）已成椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为．其右顶点与上顶点的距离为，过点P（0，2）的直线l与椭圆C相交于A、B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）设M是AB中点，且Q点的坐标为（，0），当QM⊥AB时，求直线l的方程．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）椭圆的离心率为．其右顶点与上顶点的距离为，列出方程组，求出a=，b=，由此能求出椭圆C的方程．（2）若直线l的斜率不存在，直线方程为x=0；若直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+2，与椭圆方程联立，得（2+3k2）x2+12kx+6=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线垂直，结合已知条件能求出直线l的方程．【解答】解：（1）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为．其右顶点与上顶点的距离为，∴由题意知：，解得a=，b=，∴椭圆C的方程为：．（2）①若直线l的斜率不存在，此时M为原点，满足QM⊥AB，∴方程为x=0；②若直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程与椭圆方程联立，得（2+3k2）x2+12kx+6=0，△=72k2﹣48＞0，，设M（x0，y0），则，，由QM⊥AB，知，化简得3k2+5k+2=0，解得k=﹣1或k=﹣，将结果代入△=72k2﹣48＞0验证，舍掉k=﹣，此时，直线l的方程为x+y﹣2=0，综上所述，直线l的方程为x=0或x+y﹣2=0．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、直线垂直、椭圆等知识点的合理运用．21．（12分）（2017•深圳一模）已知函数f（x）=（ax+1）lnx﹣ax+3，a∈R，g（x）是f（x）的导函数，e为自然对数的底数．（1）讨论g（x）的单调性；（2）当a＞e时，证明：g（e﹣a）＞0；（3）当a＞e时，判断函数f（x）零点的个数，并说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）求导，由导数与函数单调性的关系，即可求得g（x）的单调区间；（2）由g（e﹣a）=﹣a2+e a，构造函数h（x）=﹣x2+e x，求导，当x＞e时，h′（x）＞0，函数单调递增，即可求得h（x）=﹣x2+e x＞﹣e2+e e＞0，（3）由（1）可知，函数最小值为g（）=0，故g（x）恰有两个零点x1，x2，则可判断x1，x2是函数的极大值和极小值，由函数零点的存在定理，求得函数f（x）只有一个零点．【解答】解：（1）对函数f（x），求导得g（x）=f′（x）=alnx+，g′（x）=﹣=，①当a≤0时，g′（x）＜0，故g（x）在（0，+∞）上为减函数；②当a＞0时，′（x）＞0，可得x＞，故g（x）的减区间为（0，），增区间为（，+∞）；（2）证明：g（e﹣a）=﹣a2+e a，设h（x）=﹣x2+e x，则h′（x）=e x﹣2x，易知当x＞e时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增，h（x）=﹣x2+e x＞﹣e2+e e＞0，∴g（e﹣a）＞0；（3）由（1）可知，当a＞e时，g（x）是先减再增的函数，其最小值为g（）=aln+a=a（ln+1）＜0，而此时g（）=1+，g（e﹣a）＞0，且e﹣a＜＜，故g（x）恰有两个零点x1，x2，∵当x∈（0，x1）时，f′（x）=g（x）＞0；当x∈（x1，x2）时，f′（x）=g（x）＜0；当x∈（x2，+∞）时，f′（x）=g（x）＞0，∴f（x）在x1，x2两点分别取到极大值和极小值，且x1∈（0，），由g（x1）=alnx1+=0，知a=﹣，∴f（x1）=（ax1+1）lnx1﹣ax1+3=lnx1++2，∵lnx1＜0，∴lnx1+≤﹣2，但当lnx1+=﹣2时，lnx1=，则a=e，不合题意，所以f（x1）＜0，故函数f（x）的图象与x轴不可能有两个交点．∴函数f（x）只有一个零点．【点评】本题考查导数的综合应用，考查导数与函数的单调性及及的关系，考查函数零点的判断，考查计算能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•深圳一模）在直角坐标系中xOy中，曲线E的参数方程为（α为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线E的普通方程和极坐标方程；（2）若直线l与曲线E相交于点A、B两点，且OA⊥OB，求证： +为定值，并求出这个定值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线E的参数方程消去参数，能求出曲线E的普通方程，进而能求出曲线E的极坐标方程．（2）不妨设设点A，B的极坐标分别为A（ρ1，θ），B（），从而得到，由此能证明（定值）．【解答】解：（1）∵曲线E的参数方程为（α为参数），∴消去参数得曲线E的普通方程为，∴曲线E的极坐标方程为，∴所求的极坐标方程为3ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=12．（2）证明：不妨设设点A，B的极坐标分别为A（ρ1，θ），B（），则，即，∴=，即（定值）．【点评】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的互化，考查代数式和为定值的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意普通方程、极坐标方程的互化公式的合理运用．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•深圳一模）已知f（x）=|x+a|，g（x）=|x+3|﹣x．（1）当a=1，解不等式f（x）＜g（x）；（2）对任意x∈[﹣1，1]，f（x）＜g（x）恒成立，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（1）把a=1代入f（x）后化简f（x）＜g（x），对x分类讨论，分别去掉绝对值求出x的范围，最后再求并集可得答案；（2）由条件求出g（x），由绝对值不等式的解法化简|x+a|＜3，求出a的表达式，由x的范围和恒成立求出a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1，f（x）=|x+1|，由f（x）＜g（x）可得|x+1|＜|x+3|﹣x，即|x+3|﹣|x+1|﹣x＞0，当x≤﹣3时，原不等式等价于﹣x﹣2＞0，即x＜﹣2，∴x≤﹣3，当﹣3＜x＜﹣1时，原不等式等价于x+4＞0，即x＞﹣4，∴﹣3＜x＜﹣1，当x≥﹣1时，原不等式等价于﹣x+2＞0，即x＜2，∴﹣1≤x＜2，综上所述，不等式的解集为（﹣∞，2）；（2）当x∈[﹣1，1]时，g（x）=|x+3|﹣x=3，∵对任意x∈[﹣1，1]，f（x）＜g（x）恒成立，∴对任意x∈[﹣1，1]，|x+a|＜3恒成立，∴﹣3＜x+a＜3，即﹣3﹣x＜a＜3﹣x，当x∈[﹣1，1]时恒成立，∴a的取值范围﹣2＜a＜2．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，恒成立问题转化为求最值问题，以及分类讨论思想，考查化简、变形能力．。