等和线解决的平面向量专题

1、【2014宁波二模理17】已知点O 是△ABC 的外接圆圆心，且AB=3，AC=4．若存在非零实数．．．．x 、y ，使得AO xAB y AC =+，且21x y +=，则cos ∠BAC=．解答：取AC 中点D ，则有2AO xAB y AC xAB y AD =+=+，而21x y +=，得点B,O,D 三点共线，已知点O 是△ABC 的外心，可得BD AC ⊥，故有BC=AB=3，AC=4，求得2cos 3BAC ∠=.2、【2014杭州二模文8理6】设O △ABC 的外心（三角形外接圆的圆心）.若3131+=，则BAC ∠的度数为（） A.30°B.45°C.60°D.90°解答：取AC 中点D ，则有1233AO AB AD =+，得点B,O,D 三点共线，已知点O 是△ABC 的外心，可得BD AC ⊥，即有AO=BO=2DO ，故可求得60BAC ∠=︒. 3、【2009浙江理样卷6】已知AOB ∆，点P 在直线AB 上，且满足()2OP tPA tOB t R =+∈，则PAPB=（）A.13B.12C.2D.3解答：由已知212t OP OA tOB t =++，点P 在直线AB 上，得2112tt t+=+，解得1t =-或12t =.当1t =-时，可得1122OA OP OB =+，此时A 为PB 中点，PA PB =12；当12t =时，可得1122OP OA OB =+，此时P 为AB 中点，PA PB=1. 4、【2014浙江省六校联考理17】已知O 为ABC ∆的外心，2AB a =，2(0)AC a a=>，120BAC ∠=，若AO xAB yAC =+(x ,y 为实数)，则x y +的最小值为_____．解答：如图，设AOBC E =，EO m =，AO R =，则易知()11R R AO AE x AB y AC R m R m ==+--，其中111x y +=，,2R m R ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故由已知可得Rx y R m+=-，所求取值范围是[)2,+∞. 5、【2013学年第一学期末宁波理17】已知O 为ABC ∆的外心，120,2,4=∠==BAC AC AB 。

若21λλ+=，则=+21λλ__________.解法1：如图，设AOBC E =，EO m =，AO R =，AF BC ⊥于F 点，OG BC ⊥于G 点，则易知()11R RAO AE x AB y AC R m R m==+--，其中111x y +=，由已知可求得3OG =，7AF =，故可求得121316R AF OG OG R m AF AF λλ++===+=-. 解法2：212212AO AB AB AC AB AO AC AB AC AC λλλλ⎧⋅=+⋅⎪⎨⎪⋅=⋅+⎩，得12128164244λλλλ=-⎧⎨=-+⎩，解得125686λλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故12136λλ+=. 解法3：设()0,0A ，()4,0B，(C -，外心O 是AB 中垂线2x =和AC 中垂线y x =的交点O ⎛ ⎝⎭，得AO ⎛= ⎝⎭，()4,0AB =，(AC =-，得12122433λλλ=-⎧⎪⎨=⎪⎩，有误，重解【变式1】、已知向量a,b 的夹角为23π，且|a |=4，|b|=2，|a-c |=|b-c |=|c |，若c=x a +y b ，则x+y=136. 6、【2013学年第一学期月考宁海县正学中学文17】已知a ，b 为平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()λc +a=c +b (∈λ)R ，则|c |的最小值为解答：如图，由已知111c b a λλλ--=+--，设a OA =，b OB =，c OC -=，则点C 在直线AB上，得c OC =有最小值2. 7、【2012年稽阳联考15】A ，B ，P 是直线l 上不同的三点，点O 在直线l 外，若(23),()OP mAP m OB m R =+-∈，则||||PB PA =2。

解答：8、【2013杭二中高三适应考理17】如图，在直角梯形ABCD 中，AD AB ⊥，AB ∥DC ，1AD DC ==，2AB =，动点P 在以点C 为圆心，且与直线BD 相切的圆上或圆内移动，设AP AD AB λμ=+（λ，R μ∈），则λμ+取值范围是.解答：设AP BD E =，AE m =，AP n =，则()n n AP AE xAB yAC m m==+，其中1x y +=，得12kn k m λμ++===+，k 表示点P 到BC边的距离，k ⎡∈⎢⎣⎦，得所求取值范围是[]1,2.9、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若,20092a a ⋅+⋅=且A,B,C 三点共线(该直线不过点O),则2010S 等于（D ） A ．2010B ．2008C ．1010D ．100510、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22013,OA a OB a OC =⋅+⋅且A,B,C 三点共线（该直线不过点O ），则2014S 等于（D ） A.2014 B.2012 C.1012 D.100711、如图,在扇形OAB 中,60AOB ︒∠=,C 为弧AB 上的一个动点.若OC -→x OA y OB -→-→=+，则3x y +的取值范围是[1,3]．解答：如图，在OB 上取一点D ，使OB=3OD ，设OC AD E =，OE m =，EC n =，则有()11m n m nOC OE x OA y OD m m++==+，其中111x y +=，另有3OC xOA yOB xOA yOD =+=+，得31m n nx y m m++==+，易知当点C 和点A 重合时n m 达最小值0，当点C 和点B 重合时nm达最大值2，故[]31,3x y +∈.12、如图，四边形OABC 是边长为1的正方形，OD ＝3，点P 为△BCD 内（含边界）的动点，设(,)OP OC OD R αβαβ=+∈，则αβ+的最大值等于4313、在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，若两定点,A B满足2=⋅==OB OA ，则点集{}R ,,2,|∈≤++=μλμλμλP 所表示的区域的面积是316.14、若等边ABC ∆的边长为2，平面内一点M 满足2131+=，则=⋅（C ）A.98B.913C.98-D.913- 15、若等边ABC ∆的边长为32，平面内一点M 满足CA CB CM 3261+=，则=⋅-2．16、若M 为ABC ∆内一点，且满足3144AM AB AC =+，则ABM ∆与ABC ∆的面积之比为1:4．17、设O 是ABC ∆的外心，AO xAB yAC =+，4AB =，6AC =，1212x y +=，则AB AC ⋅=418、已知O 为△ABC若AC y AB x AO +=，且32x +25y =25，则OA =10.19、已知是单位圆上的两点，为圆心，且0120，是圆的一条直径，点在圆内，且满足，则的取值范围是（C ）A ．1[,1)2- B ．[1,1)- C ．3[,0)4- D ．[1,0)-20、已知圆O 的半径为2，A B 、是圆上两点且AOB ∠=23π，MN 是一条直径，点C 在圆内且满足(1)OC OA OB λλ=+-(01)λ<<，则CM CN ⋅的最小值为（C ）A ．－2B ．－1C ．－3D ．－421、已知(0,0)O ，(cos ,sin )A αα，(cos ,sin )B ββ，(cos ,sin )C γγ，若(2)0kOA k OB OC +-+=，(02)k <<，则cos()αβ-的最大值是．22、【2014稽阳联谊理16】在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，以AB 为一边向ABC ∆外作等边ABD ∆,若2BCD ACD ∠=∠，AD AB AC λμ=+,则λμ+=.A B 、O AOB ∠=MN O C (1)OC OA OB λλ=+-(01)λ<<CM CN ⋅解：如图，设点D 关于AC 的对称点为'D ，且'DD 交AC 于点E .设DCA θ∠=，则2,'90,1503,BCD CD D CBD θθθ∠=∠=︒-∠=︒-在',DCD BCD ∆∆中利用正弦定理得'sin(1503)sin 2sin 2sin(90)CD BD DD CDθθθθ︒︒===--从而得sin(1503)sin(90)θθ︒︒-=-，从而1503θ︒-=90θ︒-或150390180θθ︒︒︒-+-=从而得15θ︒=.显然1,2DE AE AB AC λμ===-=,故λμ+=.23、已知ABC ∆中，AB=4，AC=2，若()22AB AC λλ+-的最小值是2，则对于ABC ∆内一点P ，()PA PB PC ⋅+的最小值是______.解：()()()22121AB AC AB AC AB AD λλλλλλ+-=+-⋅=+-的最小值是2， 设()1AE AB AD λλ=+-，则点E 在直线AD 上，AB=4，AC=2，AD=4，故当AE 长度最小为2时，E 为BD 中点，AE BD ⊥，得120BAC ∠=︒，取BC 中点F ，连结AF ，取AF 中点G ，则有：当点P 与点G 重合时，有最小值()22113282AF AB AC-=-+=-.1、ABC ∆内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且3450OA OB OC ++=，则OC AB ⋅=___.解：345OA OB OC +=-，两边平方得0OA OB ⋅=.故()3411155555OC AB OA OB OB OA OA OB ⎛⎫⋅=--⋅-=-+⋅=- ⎪⎝⎭.2、在ABC ∆中，AC=2，BC=6，O 是ABC ∆内一点，且340OA OB OC ++=，则()2OC BA BC ⋅+=_______.解法1：设()3,0B -，()3,0C ，(),A x y ，则由AC=2得()2234x y -+=，由340OA OB OC ++=得3,88x y O +⎛⎫⎪⎝⎭， 得21,88x y OC --⎛⎫= ⎪⎝⎭，()215,BA BC x y +=+， 故()()()2222115163152888x x x x y OC BA BCy -+-++-⋅+=-=()223324408x y ---+==.解法2：如图，取AC 中点D ，取BC 中点E ，()()343260OA OB OC OA OC OB OC OD OE ++=+++=+=，故31314488OC CE CD CB CA =--=--， 223BA BC BC CA BC CA CB +=++=-，得()()22129408OC BA BC CA CB ⋅+=--=.。