材料力学5

M B y c2 t max 24.3 MPa Iz (kNm) M B yc c max 53 MPa Iz 20
10
C点：
4FRD=20×3－10×2×1
t max
M C yc 26.4 MPa Iz
FRD＝10kN
例： 以F力将置放于地面的钢筋提起。若钢筋单位 长度的重量为q，当b=2a时，试求所需的F力。
FS
FS
FS
槽钢（开口薄壁截面）：
FS
弯曲中心：截面上弯曲剪应力向某点化简，若合力矩
为零，则该点为弯曲中心。 弯曲中心的性质：
i) 与材料载荷无关，仅与截面形状有关。
ii) 载荷只有作用在弯曲中心才只发生弯曲。
iii) 载荷不作用在弯曲中心，将发生弯曲与扭转的组合 变形。
弯曲中心：
若横向力作用平面不是纵向对称面，
2
max
ql / 8 3ql 2 bh / 6 4bh2
2
ql / 2 3ql 3 max 2 bh 4bh
[τ]=(0.5~1)[σ]
max / max l / h
§5.6 提高弯曲强度的措施
弯曲正应力是控制梁的强度的主要因素， 提高弯曲强度的方法：降低σ F一定，减小M；M一定，增大Wz 合理安排梁的受力情况 设计合理的截面 等强度梁的概念
即使是形心主惯性平面，杆件除弯曲变形 外，还将发生扭转变形。 只有当横向力通过截面内某一特定点A 时，杆件才只有弯曲而无扭转变形。这一 特定点叫做弯曲中心或剪切中心，简称弯 心。
常见薄壁截面弯曲中心的位置：
三、圆截面
FS
• 切应力分布及方向 • 最大切应力： 中性轴
max
Fs Fs 4 4 = 3 πR 2 3 A
M
M+dM
τ´ x dx
FN 2
* A dA M dM A y 1dA M dM S z 1 1 Iz Iz
z y τ´ y1 x
沿轴向平衡： FN1 F N 2 b dx 0
τ
dx b y
σdA
dM 剪应力互等： I z b dx I zb
3. 强度条件：
max [ ] 正应力起控制作用，优先考虑：
剪应力一般可满足，校核
需校核剪应力的情况：
max [ ]
i) 短跨度梁或载荷在支座附近。 ii）腹板薄而高的型钢。 iii）复合梁的结合面。
求：σmax/τmax 解： Mmax＝ql2/8
q l
b
h
Fsmax=ql/2
y )d
Me
(bb bb) / bb
( y )d d y d
Me
• 推导

y

2）物理方程： 3）平衡方程：
E Ey /
M ydA
F N dA 0
3）平衡方程：
Ey /
F N dA E ydA 0 S z ydA 0
2 ( h 2 d ) * Sz b [h2 (h 2d )2 ] d [ y2 ] 8 2 4
max min
F s bh 2 1 2 ( b d )( h 2 d ) I zb 8 8 Fs b (h d )d I zb 2
§5.4 弯曲剪应力
• 对于横力弯曲情况，FS不为零，截面上必然存 在剪应力τ，分别对不同形状截面进行讨论。 一、 矩形截面 假定： a） τ平行于FS b） τ仅沿高度变化
FS
推导：
* F N1 A dA M A y 1dA M S z 1 Iz 1 Iz
My1 左侧： M I z ( M dM ) y1 右侧：M+dM Iz
F1=9kN
F2=4kN y1
B
需校核： B：σc、 σt C： σt
例: 把直径 d=1mm的钢丝绕在直径为2m的卷筒上，试 计算该钢丝中产生的最大应力。设E=200GPa。
解：(1)
y
E
max E d / 2 100 MPa
(2)
1 ＝M EI
max M EI E d / 2 100MPa W W
200×30×(215－yc) =200×30×(yc-100)
yc=157.5mm
I zc 1 20 3 3 (4.25 1.5) 2 20 3 1 3 20 3 5.75 2 20 3 12 12
Izc=6013cm4
B点：
yc=157.5mm
yc2=230-yc=72.5mm
＝M
W
W d 32
3
200 F II III υ85 υ95 I 110 A F MI
950 υ88
F 115
IV F B
MIV
FRA1265=P1065+P115 MI=FRA0.2=4.72kNm
FRA=23.6kN
FRB=27kN
MIV=FRB0.115=3.11kNm
FRA FRB 已知： 80 20 z y2 [σt]=30MPa 120 A B C [σc]=160MPa 1m 1m 1m M 2.5 Iz=763cm4 (kNm) x y1=52mm 校核强度 4 FRA=2.5kN 解： FRA2=91-41 MC=FRA 1=2.5(kNm) MB=-F2 1=-4(kNm) C
F
Fb=q(a+b)2/2
b=2a
F=2.25qa
例 简支梁在跨中受集中载荷F =30kN，l=8m，[σ]=120 MPa。 （1）试为梁选择工字钢型号。 （ 2 ）当提高为 40kN 时，原工字钢型号不变，试问采 取什么措施使梁仍能满足强度条件
F F
Fl 4
F (l - a ) 4
1）合理安排支承：
各截面中最大切应力：
max
矩形：k=3/2
Fs k A
圆形：k=4/3
工字形：k=1
最大切应力统一公式：
max
* F s max S z max
I zb
四、切应力强度条件
max [ ]
max
* F s max S z max
I zb
[ ]
梁的强度条件小结 1. 应力公式：
ql2/8
x
MII
MI
x 最佳：
3 2 2 2 2 1 ql 0.02145 ql 2 l 0.2071l M I M II 8 2
x 0.2l M I
1 2 ql 0.025 ql 2 40 M原
M II
1 2 ql 0.02 ql 2 50
1 2 ql 0.125 ql 2 8
铸铁：[σc]>[σt] 用T形截面 注意：如何放置
等强度梁的概念: 使各截面σmax=[σ]，变截面梁W(x)
max
M ( x) [ ] W ( x)
M ( x) W ( x) [ ]
Fs A
A——腹板的面积
2. 翼缘板中的切应力 （ 1 ）由于上、下自由表面没有 ，而且翼缘很薄壁， 平行FS的剪应力就是有，也一定很小 ； （2）平行翼缘长边的切应力是主要的，但最大切应力 小于腹板上的最大切应力，所以一般不求。
FS
的方向改变象连通管里的液流一样，称之为“剪流” 。
My 正应力： Iz
M 最大值在距中 max 性轴最远处: W
剪应力：
* Fs S z
I zb
Fs 最大值在 max k 中性轴处: A
2. 危险截面： 对于正应力σ：
i） Mmax处， ii）截面突然变化处
iii） 铸铁：正负Mmax处 对于剪应力τ： i） Fsmax处， ii）截面突然变化处
例 : 当 20号槽钢受纯弯曲变形时，测出 A、 B两点间 长度的改变为 Δl=27×10¯3mm ，材料的 E=200GPa 。 试求梁截面上的弯矩M。
50 M 5 M y0
y0=1.95cm
I=144cm4
y=1.45cm
ε=Δl/l=0.54 ×10－3 M=10.7kNm
My E I
2）分散载荷：
F F/l F
l/2
l Pl/4
l
Pl/8
l Fl/8
Fl/8
3）载荷靠近支座：
F
l/6 5l/6
5Fl/36
1）提高W/A 由表5.1可查得不同截面的W/A，从正 应力考虑，相同高度，材料远离中性 轴为好。 2）利用材料拉压强度不同的特性
t max y1 [ t ] c max y2 [ c ]
z 轴通过形心——中性轴过形心
M ydA E y 2 dA EI z /
1 M EI z
My EI z
My Iz
E E M y z dA yzdA I yz 0 ——y为主惯轴


总结：
• 应力应变沿高度线性变化，中间有零应力应变层
o
a b M
• 纵向纤维间无正应力
c d
§5.2 纯弯曲时的正应力
• 建立坐标系： x轴——轴线
y轴——对称轴（向下） z轴——中性轴（未定） 设 ρ——中性层的曲率半径 （未定）
Me
• 推导
1）变形几何关系： 变形前：
bb dx oo oo d
变形后： bb ( 应变：
二、工字截面梁的剪应力 1. 腹板的剪应力
d
h
腹板 d
y