2017年广东省深圳市高考数学一模试卷理科解析版
2017年广东高考理科数学真题及答案
2017年广东高考理科数学真题及答案注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x <},则A. {|0}A B x x =<B. A B =RC. {|1}A B x x =>D. A B =∅ 【答案】A 【难度】容易【点评】本题在高考数学(理)提高班讲座 第一章《集合》中有详细讲解,在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
2.如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图,正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是 A.14 B. π8 C. 12 D. π4【答案】B 【难度】容易【点评】本题在高考数学(理)提高班讲座 第十四章《概率》中有详细讲解,在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
3.设有下面四个命题1:p 若复数z 满足1z∈R ,则z ∈R ;2:p 若复数z 满足2z ∈R ,则z ∈R ;3:p 若复数12,z z 满足12z z ∈R ,则12z z =; 4:p 若复数z ∈R ,则z ∈R .其中的真命题为A.13,p pB.14,p pC.23,p pD.24,p p 【答案】B 【难度】中等【点评】本题在高考数学(理)提高班讲座中有详细讲解,在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
4.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=,648S =,则{}n a 的公差为 A .1B .2C .4D .8【答案】C 【难度】容易【点评】本题在高考数学(理)提高班讲座 第六章《数列》中有详细讲解,在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
2017年广东省XX市高考数学一模试卷(理科)含答案解析
高考数学一模试卷(理科)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集为R,集合M={﹣1,0,1,3},N={x|x2﹣x﹣2≥0},则M∩∁R N=()A.{﹣1,0,1,3}B.{0,1,3}C.{﹣1,0,1}D.{0,1}2.设i是虚数单位,若(2a+i)(1﹣2i)是纯虚数,则实数a=()A.1 B.﹣1 C.4 D.﹣43.已知一组数据a、b、9、10、11的平均数为10,方差为2,则|a﹣b|=()A.2 B.4 C.8 D.124.ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为2的正方体,AC1、BD1相交于O,在正方体内(含正方体表面)随机取一点M,OM≤1的概率p=()A.B.C.D.5.《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.某“堑堵”的三视图如图,则它的表面积为()A.2 B.4+2C.4+4D.6+46.等差数列中{a n},a1=2,公差为d,则“d=4”是“a1,a2,a5成等比数列”的()A.充要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件7.F是抛物线y2=4x的焦点,P、Q是抛物线上两点,|PF|=2,|QF|=5,则|PQ|=()A.3B.4C.3或D.3或48.若的(x2+a)(x﹣)10展开式中x6的系数为﹣30,则常数a=()A.﹣4 B.﹣3 C.2 D.39.四面体ABCD中∠BAC=∠BAD=∠CAD=60°,AB=2,AC=3,AD=4,则四面体ABCD的体积V=()A.2B.2C.4 D.410.到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是()A.直线B.椭圆C.抛物线D.双曲线11.函数f(x)=sinωxcosωx+cos2ωx(ω>0)(ω>0)在区间[,]的值域是[﹣,],则常数ω所有可能的值的个数是()A.0 B.1 C.2 D.412.已知函数f(x)的图象与函数y=x3﹣3x2+2的图象关于点(,0)对称,过点(1,t)仅能作曲线y=f(x)的一条切线,则实数t的取值范围是()A.(﹣3,﹣2)B.[﹣3,﹣2] C.(﹣∞,﹣3)∪(﹣2,+∞)D.(﹣∞,﹣3)∪[﹣2,+∞)三、填空题:本题共4小题,每小题5分.13.偶函数f(x)在(0,+∞)单调递减,f(1)=0,不等式f(x)>0的解集为.14.正项数列{a n}满足a1=,a1+a2+…+a n=2a n a n,则通项a n=.+115.某个部件由3个型号相同的电子元件并联而成,3个电子元件中有一个正常工作,则改部件正常工作,已知这种电子元件的使用年限ξ(单位:年)服从正态分布,且使用年限少于3年的概率和多于9年的概率都是0.2.那么该部件能正常工作的时间超过9年的概率为.16.若向量、满足|+|=2,|﹣|=3,则||•||的取值范围是.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12分)△ABC的内角A、B、C所对的边分别是,a、b、c,△ABC的面积S=•.(Ⅰ)求A 的大小; (Ⅱ)若b +c=5,a=,求△ABC 的面积的大小.18.(12分)为了摸清整个江门大道的交通状况,工作人员随机选取20处路段,在给定的测试时间内记录到机动车的通行数量情况如下(单位:辆): 147 161 170 180 163 172 178 167 191 182 181 173 174 165 158 154 159 189 168 169 (Ⅰ)完成如下频数分布表,并作频率分布直方图;(Ⅱ)现用分层抽样的方法从通行数量区间为[165,175)、[175,185)及[185,195)的路段中取出7处加以优化,再从这7处中随机选2处安装智能交通信号灯,设所取出的7处中,通行数量区间为[165,175)路段安装智能交通信号灯的数量为随机变量X (单位:盏),试求随机变量X 的分布列与数学期望E (X ).19.(12分)如图,多面体EF ﹣ABCD 中,ABCD 是正方形,AC 、BD 相交于O ,EF ∥AC ,点E 在AC 上的射影恰好是线段AO 的中点. (Ⅰ)求证:BD ⊥平面ACF ;(Ⅱ)若直线AE 与平面ABCD 所成的角为60°,求平面DEF 与平面ABCD 所成角的正弦值.20.(12分)设函数f(x)=e x﹣ax,a是常数.(Ⅰ)若a=1,且曲线y=f(x)的切线l经过坐标原点(0,0),求该切线的方程;(Ⅱ)讨论f(x)的零点的个数.21.(12分)椭圆E: +=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1、F2,D为椭圆短轴上的一个顶点,DF1的延长线与椭圆相交于G.△DGF2的周长为8,|DF1|=3|GF1|.(Ⅰ)求椭圆E的方程;(Ⅱ)过椭圆E的左顶点A作椭圆E的两条互相垂直的弦AB、AC,试问直线BC是否恒过定点?若是,求出此定点的坐标;若不是,请说明理由.请考生在第22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分。
2017年全国统一高考数学 理科 新课标1 (解析版)
2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)(2017?新课标Ⅰ)已知集合A={x|x <1},B={x|3x <1},则( ) A .A ∩B={x|x <0} B .A ∪B=R C .A ∪B={x|x >1} D .A ∩B=?2.(5分)(2017?新课标Ⅰ)如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( )A .B .C .D .3.(5分)(2017?新课标Ⅰ)设有下面四个命题 p 1:若复数z 满足∈R ,则z ∈R ; p 2:若复数z 满足z 2∈R ,则z ∈R ; p 3:若复数z 1,z 2满足z 1z 2∈R ,则z 1=;p 4:若复数z ∈R ,则∈R . 其中的真命题为( )A .p 1,p 3B .p 1,p 4C .p 2,p 3D .p 2,p 44.(5分)(2017?新课标Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4+a 5=24,S 6=48,则{a n }的公差为( ) A .1 B .2C .4D .85.(5分)(2017?新课标Ⅰ)函数f (x )在(﹣∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f (1)=﹣1,则满足﹣1≤f (x ﹣2)≤1的x 的取值范围是( ) A .[﹣2,2]B .[﹣1,1]C .[0,4]D .[1,3]6.(5分)(2017?新课标Ⅰ)(1+)(1+x )6展开式中x 2的系数为( )A .15B .20C .30D .357.(5分)(2017?新课标Ⅰ)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( )A.10 B.12 C.14 D.168.(5分)(2017?新课标Ⅰ)如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n>1000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入()A.A>1000和n=n+1 B.A>1000和n=n+2C.A≤1000和n=n+1 D.A≤1000和n=n+29.(5分)(2017?新课标Ⅰ)已知曲线C1:y=cosx,C2:y=sin(2x+),则下面结论正确的是()A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C210.(5分)(2017?新课标Ⅰ)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A、B两点,直线l2与C交于D、E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16 B.14 C.12 D.1011.(5分)(2017?新课标Ⅰ)设x、y、z为正数,且2x=3y=5z,则()A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z12.(5分)(2017?新课标Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是()A.440 B.330 C.220 D.110二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)(2017?新课标Ⅰ)已知向量,的夹角为60°,||=2,||=1,则|+2|= .14.(5分)(2017?新课标Ⅰ)设x,y满足约束条件,则z=3x﹣2y的最小值为.15.(5分)(2017?新课标Ⅰ)已知双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为.16.(5分)(2017?新课标Ⅰ)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D、E、F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.17.(12分)(2017?新课标Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为.(1)求sinBsinC;(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.18.(12分)(2017?新课标Ⅰ)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.19.(12分)(2017?新课标Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性;(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:经计算得==9.97,s==≈0.212,其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2, (16)用样本平均数作为μ的估计值,用样本标准差s作为σ的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除(﹣3+3)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ﹣3σ<Z<μ+3σ)=0.9974,0.997416≈0.9592,≈0.09.20.(12分)(2017?新课标Ⅰ)已知椭圆C:+=1(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(﹣1,),P4(1,)中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程;(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1,证明:l过定点.21.(12分)(2017?新课标Ⅰ)已知函数f(x)=ae2x+(a﹣2)e x﹣x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.[选修4-4,坐标系与参数方程](2017?新课标Ⅰ)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为,22.(10分)(θ为参数),直线l的参数方程为,(t为参数).(1)若a=﹣1,求C与l的交点坐标;(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.[选修4-5:不等式选讲]23.(2017?新课标Ⅰ)已知函数f(x)=﹣x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x﹣1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[﹣1,1],求a的取值范围.2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)(2017?新课标Ⅰ)已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},则()A.A∩B={x|x<0} B.A∪B=R C.A∪B={x|x>1} D.A∩B=?【考点】1E:交集及其运算.【专题】11 :计算题;37 :集合思想;4O:定义法;5J :集合.【分析】先分别求出集合A和B,再求出A∩B和A∪B,由此能求出结果.【解答】解:∵集合A={x|x<1},B={x|3x<1}={x|x<0},∴A∩B={x|x<0},故A正确,D错误;A∪B={x|x<1},故B和C都错误.故选:A.【点评】本题考查交集和并集求法及应用,是基础题,解题时要认真审题,注意交集、并集定义的合理运用.2.(5分)(2017?新课标Ⅰ)如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( )A .B .C .D .【考点】CF :几何概型.【专题】35 :转化思想;4O :定义法;5I :概率与统计.【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积,结合几何概型的概率公式进行求解即可.【解答】解:根据图象的对称性知,黑色部分为圆面积的一半,设圆的半径为1,则正方形的边长为2, 则黑色部分的面积S=,则对应概率P==,故选:B .【点评】本题主要考查几何概型的概率计算,根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键.3.(5分)(2017?新课标Ⅰ)设有下面四个命题 p 1:若复数z 满足∈R ,则z ∈R ; p 2:若复数z 满足z 2∈R ,则z ∈R ; p 3:若复数z 1,z 2满足z 1z 2∈R ,则z 1=;p 4:若复数z ∈R ,则∈R . 其中的真命题为( )A .p 1,p 3B .p 1,p 4C .p 2,p 3D .p 2,p 4【考点】2K :命题的真假判断与应用;A1:虚数单位i 、复数;A5:复数的运算. 【专题】2A :探究型;5L :简易逻辑;5N :数系的扩充和复数.【分析】根据复数的分类,有复数性质,逐一分析给定四个命题的真假,可得答案. 【解答】解:若复数z 满足∈R ,则z ∈R ,故命题p 1为真命题;p 2:复数z=i满足z2=﹣1∈R,则z?R,故命题p2为假命题;p 3:若复数z1=i,z2=2i满足z1z2∈R,但z1≠,故命题p3为假命题;p 4:若复数z∈R,则=z∈R,故命题p4为真命题.故选:B.【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了复数的运算,复数的分类,复数的运算性质,难度不大,属于基础题.4.(5分)(2017?新课标Ⅰ)记Sn 为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为()A.1 B.2 C.4 D.8【考点】85:等差数列的前n项和;84:等差数列的通项公式.【专题】11 :计算题;34 :方程思想;4O:定义法;54 :等差数列与等比数列.【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组,求出首项和公差,由此能求出{an}的公差.【解答】解:∵Sn 为等差数列{an}的前n项和,a4+a5=24,S6=48,∴,解得a1=﹣2,d=4,∴{an}的公差为4.故选:C.【点评】本题考查等差数列的面公式的求法及应用,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用.5.(5分)(2017?新课标Ⅰ)函数f(x)在(﹣∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)=﹣1,则满足﹣1≤f(x﹣2)≤1的x的取值范围是()A.[﹣2,2] B.[﹣1,1] C.[0,4] D.[1,3]【考点】3P:抽象函数及其应用.【专题】35 :转化思想;4R:转化法;51 :函数的性质及应用.【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性,可将不等式﹣1≤f(x﹣2)≤1化为﹣1≤x ﹣2≤1,解得答案.【解答】解:∵函数f(x)为奇函数.若f(1)=﹣1,则f(﹣1)=1,又∵函数f(x)在(﹣∞,+∞)单调递减,﹣1≤f(x﹣2)≤1,∴f(1)≤f(x﹣2)≤f(﹣1),∴﹣1≤x﹣2≤1,解得:x∈[1,3],故选:D.【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用,函数的单调性,函数的奇偶性,难度中档.6.(5分)(2017?新课标Ⅰ)(1+)(1+x)6展开式中x2的系数为()A.15 B.20 C.30 D.35【考点】DA:二项式定理.【专题】35 :转化思想;4R:转化法.【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可.【解答】解:(1+)(1+x)6展开式中:若(1+)=(1+x﹣2)提供常数项1,则(1+x)6提供含有x2的项,可得展开式中x2的系数:若(1+)提供x﹣2项,则(1+x)6提供含有x4的项,可得展开式中x2的系数:由(1+x)6通项公式可得.可知r=2时,可得展开式中x2的系数为.可知r=4时,可得展开式中x2的系数为.(1+)(1+x)6展开式中x2的系数为:15+15=30.故选:C.【点评】本题主要考查二项式定理的知识点,通项公式的灵活运用.属于基础题.7.(5分)(2017?新课标Ⅰ)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为()A.10 B.12 C.14 D.16【考点】L!:由三视图求面积、体积.【专题】11 :计算题;31 :数形结合;44 :数形结合法;5Q :立体几何.【分析】由三视图可得直观图,由图形可知该立体图中只有两个相同的梯形的面,根据梯形的面积公式计算即可【解答】解:由三视图可画出直观图,该立体图中只有两个相同的梯形的面,S=×2×(2+4)=6,梯形∴这些梯形的面积之和为6×2=12,故选:B.【点评】本题考查了体积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.8.(5分)(2017?新课标Ⅰ)如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n>1000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入()A.A>1000和n=n+1 B.A>1000和n=n+2C.A≤1000和n=n+1 D.A≤1000和n=n+2【考点】EF:程序框图.【专题】11 :计算题;38 :对应思想;49 :综合法;5K :算法和程序框图.【分析】通过要求A>1000时输出且框图中在“否”时输出确定“”内不能输入“A>1000”,进而通过偶数的特征确定n=n+2.【解答】解:因为要求A>1000时输出,且框图中在“否”时输出,所以“”内不能输入“A>1000”,又要求n为偶数,且n的初始值为0,所以“”中n依次加2可保证其为偶数,所以D选项满足要求,故选:D.【点评】本题考查程序框图,属于基础题,意在让大部分考生得分.9.(5分)(2017?新课标Ⅰ)已知曲线C1:y=cosx,C2:y=sin(2x+),则下面结论正确的是()A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2【考点】HJ:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.【专题】11 :计算题;35 :转化思想;57 :三角函数的图像与性质.【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可.【解答】解:把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=cos2x图象,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到函数y=cos2(x+)=cos(2x+)=sin(2x+)的图象,即曲线C2,故选:D.【点评】本题考查三角函数的图象变换,诱导公式的应用,考查计算能力.10.(5分)(2017?新课标Ⅰ)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A、B两点,直线l2与C交于D、E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16 B.14 C.12 D.10【考点】K8:抛物线的性质.【专题】11 :计算题;34 :方程思想;4R:转化法;5D :圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】方法一:根据题意可判断当A 与D ,B ,E 关于x 轴对称,即直线DE 的斜率为1,|AB|+|DE|最小,根据弦长公式计算即可.方法二:设直线l 1的倾斜角为θ,则l 2的倾斜角为 +θ,利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB|,|DE|,整理求得答案【解答】解:如图,l 1⊥l 2,直线l 1与C 交于A 、B 两点, 直线l 2与C 交于D 、E 两点, 要使|AB|+|DE|最小,则A 与D ,B ,E 关于x 轴对称,即直线DE 的斜率为1, 又直线l 2过点(1,0), 则直线l 2的方程为y=x ﹣1, 联立方程组,则y 2﹣4y ﹣4=0,∴y 1+y 2=4,y 1y 2=﹣4,∴|DE|=?|y 1﹣y 2|=×=8,∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16,方法二:设直线l 1的倾斜角为θ,则l 2的倾斜角为 +θ,根据焦点弦长公式可得|AB|==|DE|===∴|AB|+|DE|=+==,∵0<sin 22θ≤1,∴当θ=45°时,|AB|+|DE|的最小,最小为16, 故选:A .【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系,弦长公式,对于过焦点的弦,能熟练掌握相关的结论,解决问题事半功倍属于中档题. 11.(5分)(2017?新课标Ⅰ)设x 、y 、z 为正数,且2x =3y =5z ,则( )A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z【考点】72:不等式比较大小.【专题】35 :转化思想;51 :函数的性质及应用;59 :不等式的解法及应用.【分析】x、y、z为正数,令2x=3y=5z=k>1.lgk>0.可得x=,y=,z=.可得3y=,2x=,5z=.根据==,>=.即可得出大小关系.另解:x、y、z为正数,令2x=3y=5z=k>1.lgk>0.可得x=,y=,z=.==>1,可得2x>3y,同理可得5z>2x.【解答】解:x、y、z为正数,令2x=3y=5z=k>1.lgk>0.则x=,y=,z=.∴3y=,2x=,5z=.∵==,>=.∴>lg>>0.∴3y<2x<5z.另解:x、y、z为正数,令2x=3y=5z=k>1.lgk>0.则x=,y=,z=.∴==>1,可得2x>3y,==>1.可得5z>2x.综上可得:5z>2x>3y.解法三:对k取特殊值,也可以比较出大小关系.故选:D.【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.12.(5分)(2017?新课标Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N :N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( ) A .440 B .330 C .220 D .110 【考点】8E :数列的求和.【专题】35 :转化思想;4R :转化法;54 :等差数列与等比数列.【分析】方法一:由数列的性质,求得数列{b n }的通项公式及前n 项和,可知当N 为时(n ∈N +),数列{a n }的前N 项和为数列{b n }的前n 项和,即为2n+1﹣n ﹣2,容易得到N >100时,n ≥14,分别判断,即可求得该款软件的激活码;方法二:由题意求得数列的每一项,及前n 项和S n =2n+1﹣2﹣n ,及项数,由题意可知:2n+1为2的整数幂.只需将﹣2﹣n 消去即可,分别即可求得N 的值. 【解答】解:设该数列为{an },设b n =+…+=2n+1﹣1,(n ∈N +),则=a i ,由题意可设数列{a n }的前N 项和为S N ,数列{b n }的前n 项和为T n ,则T n =21﹣1+22﹣1+…+2n+1﹣1=2n+1﹣n ﹣2, 可知当N 为时(n ∈N +),数列{a n }的前N 项和为数列{b n }的前n 项和,即为2n+1﹣n ﹣2,容易得到N >100时,n ≥14, A 项,由=435,440=435+5,可知S 440=T 29+b 5=230﹣29﹣2+25﹣1=230,故A 项符合题意. B 项,仿上可知=325,可知S 330=T 25+b 5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4,显然不为2的整数幂,故B项不符合题意.C项,仿上可知=210,可知S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23,显然不为2的整数幂,故C项不符合题意.D项,仿上可知=105,可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15,显然不为2的整数幂,故D项不符合题意.故选A.方法二:由题意可知:,,,…,根据等比数列前n项和公式,求得每项和分别为:21﹣1,22﹣1,23﹣1,…,2n﹣1,每项含有的项数为:1,2,3,…,n,总共的项数为N=1+2+3+…+n=,所有项数的和为Sn:21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=(21+22+23+…+2n)﹣n=﹣n=2n+1﹣2﹣n,由题意可知:2n+1为2的整数幂.只需将﹣2﹣n消去即可,则①1+2+(﹣2﹣n)=0,解得:n=1,总共有+2=3,不满足N>100,②1+2+4+(﹣2﹣n)=0,解得:n=5,总共有+3=18,不满足N>100,③1+2+4+8+(﹣2﹣n)=0,解得:n=13,总共有+4=95,不满足N>100,④1+2+4+8+16+(﹣2﹣n)=0,解得:n=29,总共有+5=440,满足N>100,∴该款软件的激活码440.故选:A.【点评】本题考查数列的应用,等差数列与等比数列的前n项和,考查计算能力,属于难题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)(2017?新课标Ⅰ)已知向量,的夹角为60°,||=2,||=1,则|+2|= 2.【考点】9P:平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.【专题】31 :数形结合;4O:定义法;5A :平面向量及应用.【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可.【解答】解:【解法一】向量,的夹角为60°,且||=2,||=1,∴=+4?+4=22+4×2×1×cos60°+4×12=12,∴|+2|=2.【解法二】根据题意画出图形,如图所示;结合图形=+=+2;在△OAC中,由余弦定理得||==2,即|+2|=2.故答案为:2.【点评】本题考查了平面向量的数量积的应用问题,解题时应利用数量积求出模长,是基础题.14.(5分)(2017?新课标Ⅰ)设x,y满足约束条件,则z=3x﹣2y的最小值为﹣5 .【考点】7C:简单线性规划.【专题】11 :计算题;31 :数形结合;35 :转化思想;5T :不等式.【分析】由约束条件作出可行域,由图得到最优解,求出最优解的坐标,数形结合得答案.【解答】解:由x,y满足约束条件作出可行域如图,由图可知,目标函数的最优解为A,联立,解得A(﹣1,1).∴z=3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5.故答案为:﹣5.【点评】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.15.(5分)(2017?新课标Ⅰ)已知双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为.【考点】KC:双曲线的性质.【专题】11 :计算题;35 :转化思想;49 :综合法;5D :圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】利用已知条件,转化求解A到渐近线的距离,推出a,c的关系,然后求解双曲线的离心率即可.【解答】解:双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的右顶点为A(a,0),以A为圆心,b为半径做圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°,可得A到渐近线bx+ay=0的距离为:bcos30°=,可得:=,即,可得离心率为:e=.故答案为:.【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,点到直线的距离公式以及圆的方程的应用,考查转化思想以及计算能力.16.(5分)(2017?新课标Ⅰ)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D、E、F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为4cm3.【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积.【专题】11 :计算题;35 :转化思想;49 :综合法;5E :圆锥曲线中的最值与范围问题.【分析】由题,连接OD,交BC于点G,由题意得OD⊥BC,OG=BC,设OG=x,则=3,BC=2x,DG=5﹣x,三棱锥的高h=,求出S△ABCV==,令f(x)=25x4﹣10x5,x∈(0,),f′(x)=100x3﹣50x4,f(x)≤f(2)=80,由此能求出体积最大值.【解答】解:由题意,连接OD,交BC于点G,由题意得OD⊥BC,OG=BC,即OG的长度与BC的长度成正比,设OG=x,则BC=2x,DG=5﹣x,三棱锥的高h===,=3,则V===,令f(x)=25x4﹣10x5,x∈(0,),f′(x)=100x3﹣50x4,令f′(x)≥0,即x4﹣2x3≤0,解得x≤2,则f(x)≤f(2)=80,∴V≤=4cm3,∴体积最大值为4cm3.故答案为:4cm3.【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、函数性质、导数等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,是中档题.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.17.(12分)(2017?新课标Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为.(1)求sinBsinC;(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.【考点】HP:正弦定理;HR:余弦定理.【专题】11 :计算题;33 :函数思想;4R:转化法;56 :三角函数的求值;58 :解三角形.【分析】(1)根据三角形面积公式和正弦定理可得答案,(2)根据两角余弦公式可得cosA=,即可求出A=,再根据正弦定理可得bc=8,根据余弦定理即可求出b+c,问题得以解决.【解答】解:(1)由三角形的面积公式可得S=acsinB=,△ABC∴3csinBsinA=2a,由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA,∵sinA≠0,∴sinBsinC=;(2)∵6cosBcosC=1,∴cosBcosC=,∴cosBcosC﹣sinBsinC=﹣=﹣,∴cos(B+C)=﹣,∴cosA=,∵0<A<π,∴A=,∵===2R==2,∴sinBsinC=?===,∴bc=8,∵a2=b2+c2﹣2bccosA,∴b2+c2﹣bc=9,∴(b+c)2=9+3cb=9+24=33,∴b+c=∴周长a+b+c=3+.【点评】本题考查了三角形的面积公式和两角和的余弦公式和诱导公式和正弦定理余弦定理,考查了学生的运算能力,属于中档题.18.(12分)(2017?新课标Ⅰ)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.【考点】MJ:二面角的平面角及求法;LY:平面与平面垂直.【专题】15 :综合题;31 :数形结合;41 :向量法;5G :空间角.【分析】(1)由已知可得PA⊥AB,PD⊥CD,再由AB∥CD,得AB⊥PD,利用线面垂直的判定可得AB⊥平面PAD,进一步得到平面PAB⊥平面PAD;(2)由已知可得四边形ABCD为平行四边形,由(1)知AB⊥平面PAD,得到AB⊥AD,则四边形ABCD为矩形,设PA=AB=2a,则AD=.取AD中点O,BC中点E,连接PO、OE,以O为坐标原点,分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,求出平面PBC的一个法向量,再证明PD⊥平面PAB,得为平面PAB的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PB﹣C的余弦值.【解答】(1)证明:∵∠BAP=∠CDP=90°,∴PA⊥AB,PD⊥CD,∵AB∥CD,∴AB⊥PD,又∵PA∩PD=P,且PA?平面PAD,PD?平面PAD,∴AB⊥平面PAD,又AB?平面PAB,∴平面PAB⊥平面PAD;(2)解:∵AB∥CD,AB=CD,∴四边形ABCD为平行四边形,由(1)知AB⊥平面PAD,∴AB⊥AD,则四边形ABCD为矩形,在△APD中,由PA=PD,∠APD=90°,可得△PAD为等腰直角三角形,设PA=AB=2a,则AD=.取AD中点O,BC中点E,连接PO、OE,以O为坐标原点,分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,则:D(),B (),P(0,0,),C().,,.设平面PBC的一个法向量为,由,得,取y=1,得.∵AB⊥平面PAD,AD?平面PAD,∴AB⊥PD,又PD⊥PA,PA∩AB=A,∴PD⊥平面PAB,则为平面PAB 的一个法向量,.∴cos <>==.由图可知,二面角A﹣PB﹣C为钝角,∴二面角A﹣PB﹣C 的余弦值为.【点评】本题考查平面与平面垂直的判定,考查空间想象能力和思维能力,训练了利用空间向量求二面角的平面角,是中档题.19.(12分)(2017?新课标Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性;(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:经计算得==9.97,s==≈0.212,其中x为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2, (16)i用样本平均数作为μ的估计值,用样本标准差s作为σ的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除(﹣3+3)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ﹣3σ<Z<μ+3σ)=0.9974,0.997416≈0.9592,≈0.09.【考点】CP:正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.【专题】11 :计算题;35 :转化思想;4A :数学模型法;5I :概率与统计.【分析】(1)通过P(X=0)可求出P(X≥1)=1﹣P(X=0)=0.0408,利用二项分布的期望公式计算可得结论;(2)(ⅰ)由(1)及知落在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理;(ⅱ)通过样本平均数、样本标准差s估计、可知(﹣3+3)=(9.334,10.606),进而需剔除(﹣3+3)之外的数据9.22,利用公式计算即得结论.【解答】解:(1)由题可知尺寸落在(μ﹣3σ,μ+3σ)之内的概率为0.9974,则落在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的概率为1﹣0.9974=0.0026,因为P(X=0)=×(1﹣0.9974)0×0.997416≈0.9592,所以P(X≥1)=1﹣P(X=0)=0.0408,又因为X~B(16,0.0026),所以E(X)=16×0.0026=0.0416;(2)(ⅰ)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(﹣3+3)之外的概率只有0.0026,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(﹣3+3)之外的零件的概率只有0.0408,发生的概率很小.因此一旦发生这种状况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的. (ⅱ)由=9.97,s ≈0.212,得μ的估计值为=9.97,σ的估计值为=0.212,由样本数据可以看出一个 零件的尺寸在(﹣3+3)之外,因此需对当天的生产过程进行检查.剔除(﹣3+3)之外的数据9.22,剩下的数据的平均数为(16×9.97﹣9.22)=10.02, 因此μ的估计值为10.02.2=16×0.2122+16×9.972≈1591.134,剔除(﹣3+3)之外的数据9.22,剩下的数据的样本方差为(1591.134﹣9.222﹣15×10.022)≈0.008, 因此σ的估计值为≈0.09.【点评】本题考查正态分布,考查二项分布,考查方差、标准差,考查概率的计算,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题. 20.(12分)(2017?新课标Ⅰ)已知椭圆C :+=1(a >b >0),四点P 1(1,1),P 2(0,1),P 3(﹣1,),P 4(1,)中恰有三点在椭圆C 上.(1)求C 的方程;(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ,B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为﹣1,证明:l 过定点.【考点】KI :圆锥曲线的综合;K3:椭圆的标准方程.【专题】14 :证明题;35 :转化思想;49 :综合法;5E :圆锥曲线中的最值与范围问题.【分析】(1)根据椭圆的对称性,得到P 2(0,1),P 3(﹣1,),P 4(1,)三点在椭圆C 上.把P 2(0,1),P 3(﹣1,)代入椭圆C ,求出a 2=4,b 2=1,由此能求出椭圆C 的方程.(2)当斜率不存在时,不满足;当斜率存在时,设l :y=kx+t ,(t ≠1),联立,得(1+4k 2)x 2+8ktx+4t 2﹣4=0,由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程,结合已知条件能证明直线l 过定点(2,﹣1). 【解答】解:(1)根据椭圆的对称性,P 3(﹣1,),P 4(1,)两点必在椭圆C上,又P 4的横坐标为1,∴椭圆必不过P 1(1,1), ∴P 2(0,1),P 3(﹣1,),P 4(1,)三点在椭圆C 上.把P 2(0,1),P 3(﹣1,)代入椭圆C ,得:,解得a 2=4,b 2=1,∴椭圆C 的方程为=1.证明:(2)①当斜率不存在时,设l :x=m ,A (m ,y A ),B (m ,﹣y A ), ∵直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为﹣1, ∴===﹣1,解得m=2,此时l 过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足. ②当斜率存在时,设l :y=kx+t ,(t ≠1),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 联立,整理,得(1+4k 2)x 2+8ktx+4t 2﹣4=0,,x 1x 2=,则==。
2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版)
2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},则( )A.A∩B={x|x<0}B.A∪B=R C.A∪B={x|x>1}D.A∩B=∅2.(5分)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( )A.B.C.D.3.(5分)设有下面四个命题p1:若复数z满足∈R,则z∈R;p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;p 3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=;p4:若复数z∈R,则∈R.其中的真命题为( )A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p4 4.(5分)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{a n}的公差为( )A.1B.2C.4D.85.(5分)函数f(x)在(﹣∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)=﹣1,则满足﹣1≤f(x﹣2)≤1的x的取值范围是( )A.[﹣2,2]B.[﹣1,1]C.[0,4]D.[1,3]6.(5分)(1+)(1+x)6展开式中x2的系数为( )A.15B.20C.30D.357.(5分)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( )A.10B.12C.14D.168.(5分)如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n>1000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入( )A.A>1000和n=n+1B.A>1000和n=n+2C.A≤1000和n=n+1D.A≤1000和n=n+29.(5分)已知曲线C1:y=cosx,C2:y=sin(2x+),则下面结论正确的是( )A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C210.(5分)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A、B两点,直线l2与C交于D、E两点,则|AB|+|DE|的最小值为( )A.16B.14C.12D.1011.(5分)设x、y、z为正数,且2x=3y=5z,则( )A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z 12.(5分)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( )A.440B.330C.220D.110二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)已知向量,的夹角为60°,||=2,||=1,则|+2|= .14.(5分)设x,y满足约束条件,则z=3x﹣2y的最小值为 .15.(5分)已知双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为 .16.(5分)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC ,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D、E、F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为 .三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.17.(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为.(1)求sinBsinC;(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.18.(12分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.19.(12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性;(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得==9.97,s==≈0.212,其中x i为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2, (16)用样本平均数作为μ的估计值,用样本标准差s作为σ的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除(﹣3+3)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ﹣3σ<Z<μ+3σ)=0.9974,0.997416≈0.9592,≈0.09.20.(12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(﹣1,),P4(1,)中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程;(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1,证明:l过定点.21.(12分)已知函数f(x)=ae2x+(a﹣2)e x﹣x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.[选修4-4,坐标系与参数方程]22.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为,(θ为参数),直线l的参数方程为,(t为参数).(1)若a=﹣1,求C与l的交点坐标;(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.[选修4-5:不等式选讲]23.已知函数f(x)=﹣x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x﹣1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[﹣1,1],求a的取值范围.2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},则( )A.A∩B={x|x<0}B.A∪B=R C.A∪B={x|x>1}D.A∩B=∅【考点】1E:交集及其运算.【专题】11:计算题;37:集合思想;4O:定义法;5J:集合.【分析】先分别求出集合A和B,再求出A∩B和A∪B,由此能求出结果.【解答】解:∵集合A={x|x<1},B={x|3x<1}={x|x<0},∴A∩B={x|x<0},故A正确,D错误;A∪B={x|x<1},故B和C都错误.故选:A.【点评】本题考查交集和并集求法及应用,是基础题,解题时要认真审题,注意交集、并集定义的合理运用.2.(5分)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( )A.B.C.D.【考点】CF:几何概型.【专题】35:转化思想;4O:定义法;5I:概率与统计.【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积,结合几何概型的概率公式进行求解即可.【解答】解:根据图象的对称性知,黑色部分为圆面积的一半,设圆的半径为1,则正方形的边长为2,则黑色部分的面积S=,则对应概率P==,故选:B.【点评】本题主要考查几何概型的概率计算,根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键.3.(5分)设有下面四个命题p1:若复数z满足∈R,则z∈R;p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;p 3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=;p4:若复数z∈R,则∈R.其中的真命题为( )A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p4【考点】2K:命题的真假判断与应用;A1:虚数单位i、复数;A5:复数的运算.【专题】2A:探究型;5L:简易逻辑;5N:数系的扩充和复数.【分析】根据复数的分类,有复数性质,逐一分析给定四个命题的真假,可得答案.【解答】解:若复数z满足∈R,则z∈R,故命题p1为真命题;p2:复数z=i满足z2=﹣1∈R,则z∉R,故命题p2为假命题;p 3:若复数z1=i,z2=2i满足z1z2∈R,但z1≠,故命题p3为假命题;p4:若复数z∈R,则=z∈R,故命题p4为真命题.故选:B.【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了复数的运算,复数的分类,复数的运算性质,难度不大,属于基础题.4.(5分)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{a n}的公差为( )A.1B.2C.4D.8【考点】84:等差数列的通项公式;85:等差数列的前n项和.【专题】11:计算题;34:方程思想;4O:定义法;54:等差数列与等比数列.【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组,求出首项和公差,由此能求出{a n}的公差.【解答】解:∵S n为等差数列{a n}的前n项和,a4+a5=24,S6=48,∴,解得a1=﹣2,d=4,∴{a n}的公差为4.故选:C.【点评】本题考查等差数列公式的求法及应用,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用.5.(5分)函数f(x)在(﹣∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)=﹣1,则满足﹣1≤f(x﹣2)≤1的x的取值范围是( )A.[﹣2,2]B.[﹣1,1]C.[0,4]D.[1,3]【考点】3P:抽象函数及其应用.【专题】35:转化思想;4R:转化法;51:函数的性质及应用.【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性,可将不等式﹣1≤f(x﹣2)≤1化为﹣1≤x﹣2≤1,解得答案.【解答】解:∵函数f(x)为奇函数.若f(1)=﹣1,则f(﹣1)=1,又∵函数f(x)在(﹣∞,+∞)单调递减,﹣1≤f(x﹣2)≤1,∴f(1)≤f(x﹣2)≤f(﹣1),∴﹣1≤x﹣2≤1,解得:x∈[1,3],故选:D.【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用,函数的单调性,函数的奇偶性,难度中档.6.(5分)(1+)(1+x)6展开式中x2的系数为( )A.15B.20C.30D.35【考点】DA:二项式定理.【专题】35:转化思想;4R:转化法.【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可.【解答】解:(1+)(1+x)6展开式中:若(1+)=(1+x﹣2)提供常数项1,则(1+x)6提供含有x2的项,可得展开式中x2的系数:若(1+)提供x﹣2项,则(1+x)6提供含有x4的项,可得展开式中x2的系数:由(1+x)6通项公式可得.可知r=2时,可得展开式中x2的系数为.可知r=4时,可得展开式中x2的系数为.(1+)(1+x)6展开式中x2的系数为:15+15=30.故选:C.【点评】本题主要考查二项式定理的知识点,通项公式的灵活运用.属于基础题.7.(5分)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( )A.10B.12C.14D.16【考点】L!:由三视图求面积、体积.【专题】11:计算题;31:数形结合;44:数形结合法;5Q:立体几何.【分析】由三视图可得直观图,由图形可知该立体图中只有两个相同的梯形的面,根据梯形的面积公式计算即可【解答】解:由三视图可画出直观图,该立体图中只有两个相同的梯形的面,S梯形=×2×(2+4)=6,∴这些梯形的面积之和为6×2=12,故选:B.【点评】本题考查了体积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 8.(5分)如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n>1000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入( )A.A>1000和n=n+1B.A>1000和n=n+2C.A≤1000和n=n+1D.A≤1000和n=n+2【考点】EF:程序框图.【专题】11:计算题;38:对应思想;49:综合法;5K:算法和程序框图.【分析】通过要求A>1000时输出且框图中在“否”时输出确定“”内不能输入“A>1000”,进而通过偶数的特征确定n=n+2.【解答】解:因为要求A>1000时输出,且框图中在“否”时输出,所以“”内不能输入“A>1000”,又要求n为偶数,且n的初始值为0,所以“”中n依次加2可保证其为偶数,所以D选项满足要求,故选:D.【点评】本题考查程序框图,属于基础题,意在让大部分考生得分.9.(5分)已知曲线C1:y=cosx,C2:y=sin(2x+),则下面结论正确的是( )A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2【考点】HJ:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.【专题】11:计算题;35:转化思想;57:三角函数的图像与性质.【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可.【解答】解:把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=cos2x图象,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到函数y=cos2(x+)=cos(2x+)=sin(2x+)的图象,即曲线C2,故选:D.【点评】本题考查三角函数的图象变换,诱导公式的应用,考查计算能力.10.(5分)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A、B两点,直线l2与C交于D、E两点,则|AB|+|DE|的最小值为( )A.16B.14C.12D.10【考点】K8:抛物线的性质.【专题】11:计算题;34:方程思想;4R:转化法;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】方法一:根据题意可判断当A与D,B,E关于x轴对称,即直线DE的斜率为1,|AB|+|DE|最小,根据弦长公式计算即可.方法二:设直线l1的倾斜角为θ,则l2的倾斜角为+θ,利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB|,|DE|,整理求得答案【解答】解:如图,l1⊥l2,直线l1与C交于A、B两点,直线l2与C交于D、E两点,要使|AB|+|DE|最小,则A与D,B,E关于x轴对称,即直线DE的斜率为1,又直线l2过点(1,0),则直线l2的方程为y=x﹣1,联立方程组,则y2﹣4y﹣4=0,∴y1+y2=4,y1y2=﹣4,∴|DE|=•|y1﹣y2|=×=8,∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16,方法二:设直线l1的倾斜角为θ,则l2的倾斜角为+θ,根据焦点弦长公式可得|AB|==|DE|===∴|AB|+|DE|=+==,∵0<sin22θ≤1,∴当θ=45°时,|AB|+|DE|的最小,最小为16,故选:A.【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系,弦长公式,对于过焦点的弦,能熟练掌握相关的结论,解决问题事半功倍属于中档题. 11.(5分)设x、y、z为正数,且2x=3y=5z,则( )A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z【考点】72:不等式比较大小.【专题】35:转化思想;51:函数的性质及应用;59:不等式的解法及应用.【分析】x、y、z为正数,令2x=3y=5z=k>1.lgk>0.可得x=,y=,z=.可得3y=,2x=,5z=.根据==,>=.即可得出大小关系.另解:x、y、z为正数,令2x=3y=5z=k>1.lgk>0.可得x=,y=,z=.==>1,可得2x>3y,同理可得5z>2x.【解答】解:x、y、z为正数,令2x=3y=5z=k>1.lgk>0.则x=,y=,z=.∴3y=,2x=,5z=.∵==,>=.∴>lg>>0.∴3y<2x<5z.另解:x、y、z为正数,令2x=3y=5z=k>1.lgk>0.则x=,y=,z=.∴==>1,可得2x>3y,==>1.可得5z>2x.综上可得:5z>2x>3y.解法三:对k取特殊值,也可以比较出大小关系.故选:D.【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.12.(5分)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( )A.440B.330C.220D.110【考点】8E:数列的求和.【专题】35:转化思想;4R:转化法;54:等差数列与等比数列.【分析】方法一:由数列的性质,求得数列{b n}的通项公式及前n项和,可知当N为时(n∈N+),数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和,即为2n+1﹣n﹣2,容易得到N>100时,n≥14,分别判断,即可求得该款软件的激活码;方法二:由题意求得数列的每一项,及前n项和S n=2n+1﹣2﹣n,及项数,由题意可知:2n+1为2的整数幂.只需将﹣2﹣n消去即可,分别即可求得N的值.【解答】解:设该数列为{a n},设b n=+…+=2n+1﹣1,(n∈N+),则=a i,由题意可设数列{a n}的前N项和为S N,数列{b n}的前n项和为T n,则T n=21﹣1+22﹣1+…+2n+1﹣1=2n+1﹣n﹣2,可知当N为时(n∈N+),数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和,即为2n+1﹣n﹣2,容易得到N>100时,n≥14,A项,由=435,440=435+5,可知S440=T29+b5=230﹣29﹣2+25﹣1=230,故A 项符合题意.B项,仿上可知=325,可知S330=T25+b5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4,显然不为2的整数幂,故B项不符合题意.C项,仿上可知=210,可知S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23,显然不为2的整数幂,故C项不符合题意.D项,仿上可知=105,可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15,显然不为2的整数幂,故D项不符合题意.故选A.方法二:由题意可知:,,,…,根据等比数列前n项和公式,求得每项和分别为:21﹣1,22﹣1,23﹣1,…,2n﹣1,每项含有的项数为:1,2,3,…,n,总共的项数为N=1+2+3+…+n=,所有项数的和为S n:21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=(21+22+23+…+2n)﹣n=﹣n=2n+1﹣2﹣n,由题意可知:2n+1为2的整数幂.只需将﹣2﹣n消去即可,则①1+2+(﹣2﹣n)=0,解得:n=1,总共有+2=3,不满足N>100,②1+2+4+(﹣2﹣n)=0,解得:n=5,总共有+3=18,不满足N>100,③1+2+4+8+(﹣2﹣n)=0,解得:n=13,总共有+4=95,不满足N>100,④1+2+4+8+16+(﹣2﹣n)=0,解得:n=29,总共有+5=440,满足N>100,∴该款软件的激活码440.故选:A.【点评】本题考查数列的应用,等差数列与等比数列的前n项和,考查计算能力,属于难题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)已知向量,的夹角为60°,||=2,||=1,则|+2|= 2 .【考点】9O:平面向量数量积的性质及其运算.【专题】31:数形结合;4O:定义法;5A:平面向量及应用.【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可.【解答】解:【解法一】向量,的夹角为60°,且||=2,||=1,∴=+4•+4=22+4×2×1×cos60°+4×12=12,∴|+2|=2.【解法二】根据题意画出图形,如图所示;结合图形=+=+2;在△OAC中,由余弦定理得||==2,即|+2|=2.故答案为:2.【点评】本题考查了平面向量的数量积的应用问题,解题时应利用数量积求出模长,是基础题.14.(5分)设x,y满足约束条件,则z=3x﹣2y的最小值为 ﹣5 .【考点】7C:简单线性规划.【专题】11:计算题;31:数形结合;35:转化思想;5T:不等式.【分析】由约束条件作出可行域,由图得到最优解,求出最优解的坐标,数形结合得答案.【解答】解:由x,y满足约束条件作出可行域如图,由图可知,目标函数的最优解为A,联立,解得A(﹣1,1).∴z=3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5.故答案为:﹣5.【点评】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.15.(5分)已知双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为 .【考点】KC:双曲线的性质.【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】利用已知条件,转化求解A到渐近线的距离,推出a,c的关系,然后求解双曲线的离心率即可.【解答】解:双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的右顶点为A(a,0),以A为圆心,b为半径做圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°,可得A到渐近线bx+ay=0的距离为:bcos30°=,可得:=,即,可得离心率为:e=.故答案为:.【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,点到直线的距离公式以及圆的方程的应用,考查转化思想以及计算能力.16.(5分)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC ,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D、E、F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为 4cm3 .【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积.【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;5E:圆锥曲线中的最值与范围问题.【分析】法一:由题,连接OD,交BC于点G,由题意得OD⊥BC,OG=BC,设OG=x,则BC=2x,DG=5﹣x,三棱锥的高h=,求出S△ABC=3,V==,令f(x)=25x4﹣10x5,x∈(0,),f′(x)=100x3﹣50x4,f(x)≤f(2)=80,由此能求出体积最大值.法二:设正三角形的边长为x,则OG=,FG=SG=5﹣,SO=h===,由此能示出三棱锥的体积的最大值.【解答】解法一:由题意,连接OD,交BC于点G,由题意得OD⊥BC,OG=BC,即OG的长度与BC的长度成正比,设OG=x,则BC=2x,DG=5﹣x,三棱锥的高h===,=3,则V===,令f(x)=25x4﹣10x5,x∈(0,),f′(x)=100x3﹣50x4,令f′(x)≥0,即x4﹣2x3≤0,解得x≤2,则f(x)≤f(2)=80,∴V≤=4cm3,∴体积最大值为4cm3.故答案为:4cm3.解法二:如图,设正三角形的边长为x,则OG=,∴FG=SG=5﹣,SO=h===,∴三棱锥的体积V===,令b(x)=5x4﹣,则,令b'(x)=0,则4x3﹣=0,解得x=4,∴(cm3).故答案为:4cm3.【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、函数性质、导数等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,是中档题.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.17.(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为.(1)求sinBsinC;(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.【考点】HP:正弦定理;HR:余弦定理.【专题】11:计算题;33:函数思想;4R:转化法;56:三角函数的求值;58:解三角形.【分析】(1)根据三角形面积公式和正弦定理可得答案,(2)根据两角余弦公式可得cosA=,即可求出A=,再根据正弦定理可得bc=8,根据余弦定理即可求出b+c,问题得以解决.【解答】解:(1)由三角形的面积公式可得S△ABC=acsinB=,∴3csinBsinA=2a,由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA,∵sinA≠0,∴sinBsinC=;(2)∵6cosBcosC=1,∴cosBcosC=,∴cosBcosC﹣sinBsinC=﹣=﹣,∴cos(B+C)=﹣,∴cosA=,∵0<A<π,∴A=,∵===2R==2,∴sinBsinC=•===,∴bc=8,∵a2=b2+c2﹣2bccosA,∴b2+c2﹣bc=9,∴(b+c)2=9+3cb=9+24=33,∴b+c=∴周长a+b+c=3+.【点评】本题考查了三角形的面积公式和两角和的余弦公式和诱导公式和正弦定理余弦定理,考查了学生的运算能力,属于中档题.18.(12分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.【考点】LY:平面与平面垂直;MJ:二面角的平面角及求法.【专题】15:综合题;31:数形结合;41:向量法;5G:空间角.【分析】(1)由已知可得PA⊥AB,PD⊥CD,再由AB∥CD,得AB⊥PD,利用线面垂直的判定可得AB⊥平面PAD,进一步得到平面PAB⊥平面PAD;(2)由已知可得四边形ABCD为平行四边形,由(1)知AB⊥平面PAD,得到AB ⊥AD,则四边形ABCD为矩形,设PA=AB=2a,则AD=.取AD中点O,BC中点E,连接PO、OE,以O为坐标原点,分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,求出平面PBC的一个法向量,再证明PD⊥平面PAB,得为平面PAB的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PB﹣C的余弦值.【解答】(1)证明:∵∠BAP=∠CDP=90°,∴PA⊥AB,PD⊥CD,∵AB∥CD,∴AB⊥PD,又∵PA∩PD=P,且PA⊂平面PAD,PD⊂平面PAD,∴AB⊥平面PAD,又AB⊂平面PAB,∴平面PAB⊥平面PAD;(2)解:∵AB∥CD,AB=CD,∴四边形ABCD为平行四边形,由(1)知AB⊥平面PAD,∴AB⊥AD,则四边形ABCD为矩形,在△APD中,由PA=PD,∠APD=90°,可得△PAD为等腰直角三角形,设PA=AB=2a,则AD=.取AD中点O,BC中点E,连接PO、OE,以O为坐标原点,分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,则:D(),B(),P(0,0,),C().,,.设平面PBC的一个法向量为,由,得,取y=1,得.∵AB⊥平面PAD,AD⊂平面PAD,∴AB⊥PD,又PD⊥PA,PA∩AB=A,∴PD⊥平面PAB,则为平面PAB的一个法向量,.∴cos<>==.由图可知,二面角A﹣PB﹣C为钝角,∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为.【点评】本题考查平面与平面垂直的判定,考查空间想象能力和思维能力,训练了利用空间向量求二面角的平面角,是中档题.19.(12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性;(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得==9.97,s==≈0.212,其中x i为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2, (16)用样本平均数作为μ的估计值,用样本标准差s作为σ的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除(﹣3+3)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ﹣3σ<Z<μ+3σ)=0.9974,0.997416≈0.9592,≈0.09.【考点】CP:正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.【专题】11:计算题;35:转化思想;4A:数学模型法;5I:概率与统计.【分析】(1)通过P(X=0)可求出P(X≥1)=1﹣P(X=0)=0.0408,利用二项分布的期望公式计算可得结论;(2)(ⅰ)由(1)及知落在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理;(ⅱ)通过样本平均数、样本标准差s估计、可知(﹣3+3)=(9.334,10.606),进而需剔除(﹣3+3)之外的数据9.22,利用公式计算即得结论.【解答】解:(1)由题可知尺寸落在(μ﹣3σ,μ+3σ)之内的概率为0.9974,则落在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的概率为1﹣0.9974=0.0026,因为P(X=0)=×(1﹣0.9974)0×0.997416≈0.9592,所以P(X≥1)=1﹣P(X=0)=0.0408,又因为X~B(16,0.0026),所以E(X)=16×0.0026=0.0416;(2)(ⅰ)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(﹣3+3)之外的概率只有0.0026,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(﹣3+3)之外的零件的概率只有0.0408,发生的概率很小.因此一旦发生这种状况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.(ⅱ)由=9.97,s≈0.212,得μ的估计值为=9.97,σ的估计值为=0.212,由样本数据可以看出一个零件的尺寸在(﹣3+3)之外,因此需对当天的生产过程进行检查.剔除(﹣3+3)之外的数据9.22,剩下的数据的平均数为(16×9.97﹣9.22)=10.02,因此μ的估计值为10.02.2=16×0.2122+16×9.972≈1591.134,剔除(﹣3+3)之外的数据9.22,剩下的数据的样本方差为(1591.134﹣9.222﹣15×10.022)≈0.008,因此σ的估计值为≈0.09.【点评】本题考查正态分布,考查二项分布,考查方差、标准差,考查概率的计算,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题.20.(12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(﹣1,),P4(1,)中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程;(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1,证明:l过定点.【考点】K3:椭圆的标准方程;KI:圆锥曲线的综合.【专题】14:证明题;35:转化思想;49:综合法;5E:圆锥曲线中的最值与范围问题.【分析】(1)根据椭圆的对称性,得到P2(0,1),P3(﹣1,),P4(1,)三点在椭圆C上.把P2(0,1),P3(﹣1,)代入椭圆C,求出a2=4,b2=1,由此能求出椭圆C的方程.(2)当斜率不存在时,不满足;当斜率存在时,设l:y=kx+t,(t≠1),联立,得(1+4k2)x2+8ktx+4t2﹣4=0,由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程,结合已知条件能证明直线l过定点(2,﹣1).【解答】解:(1)根据椭圆的对称性,P3(﹣1,),P4(1,)两点必在椭圆C上,又P4的横坐标为1,∴椭圆必不过P1(1,1),∴P2(0,1),P3(﹣1,),P4(1,)三点在椭圆C上.把P2(0,1),P3(﹣1,)代入椭圆C,得:,解得a2=4,b2=1,∴椭圆C的方程为=1.证明:(2)①当斜率不存在时,设l:x=m,A(m,y A),B(m,﹣y A),∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1,∴===﹣1,解得m=2,此时l过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足.②当斜率存在时,设l:y=kx+t,(t≠1),A(x1,y1),B(x2,y2),联立,整理,得(1+4k2)x2+8ktx+4t2﹣4=0,,x1x2=,则=====﹣1,又t≠1,∴t=﹣2k﹣1,此时△=﹣64k,存在k,使得△>0成立,∴直线l的方程为y=kx﹣2k﹣1,当x=2时,y=﹣1,∴l过定点(2,﹣1).【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线方程位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想,是中档题.21.(12分)已知函数f(x)=ae2x+(a﹣2)e x﹣x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.【考点】52:函数零点的判定定理;6B:利用导数研究函数的单调性.【专题】32:分类讨论;35:转化思想;4R:转化法;53:导数的综合应用.【分析】(1)求导,根据导数与函数单调性的关系,分类讨论,即可求得f(x)单调性;(2)由(1)可知:当a>0时才有两个零点,根据函数的单调性求得f(x)最小值,由f(x)min<0,g(a)=alna+a﹣1,a>0,求导,由g(a)min=g(e﹣2)=e﹣2lne﹣2+e﹣2﹣1=﹣﹣1,g(1)=0,即可求得a的取值范围.(1)求导,根据导数与函数单调性的关系,分类讨论,即可求得f(x)单调性;(2)分类讨论,根据函数的单调性及函数零点的判断,分别求得函数的零点,即可求得a的取值范围.【解答】解:(1)由f(x)=ae2x+(a﹣2)e x﹣x,求导f′(x)=2ae2x+(a﹣2)e x﹣1。
2017年广东省深圳市三校联考高三理科一模数学试卷
2017年广东省深圳市三校联考高三理科一模数学试卷一、选择题(共12小题;共60分)1. 已知集合,,则A. B.C. D.2. 命题“,”的否定是A. ,B. ,C. ,D. ,3. 函数的定义域为A. B. C. D.4. 定积分A. B. C. D.5. 函数的零点所在的大致区间是A. B.C. 和D.6. 已知,,,则,,的大小关系为A. B. C. D.7. 已知命题:不等式的解集为,则实数;命题:“”是“”的必要不充分条件,则下列命题正确的是A. B.C. D.8. 已知,,则下列结论正确的是A. 是偶函数B. 是奇函数C. 是偶函数D. 是奇函数9. 函数的一段大致图象是A. B.C. D.10. 已知,函数为偶函数,则的值是A. B. C. D.11. 直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点,如果函数的图象恰好通过个格点,则称函数为阶格点函数.下列函数:①;②;③;④.其中是一阶格点函数的有A. ①②B. ①④C. ①②④D. ①②③④12. 定义区间的长度为单调递增,函数的定义域与值域都是,则区间取最大长度时实数的值A. B. C. D.二、填空题(共4小题;共20分)13. .14. 设函数,则.15. 设函数的最大值为,最小值为,则.16. 在平面直角坐标系中,直线是曲线的切线,则当时,实数的最小值是.三、解答题(共8小题;共104分)17. 设:实数满足,:实数满足.(1)若,且为真,求实数的取值范围;(2)若其中且是的充分不必要条件,求实数的取值范围.18. 已知函数为常数,且函数的图象过点.(1)求的值;(2)若,且,求满足条件的的值.19. 已知三次函数过点,且函数在点处的切线恰好是直线.(1)求函数的解析式;(2)设函数,若函数在区间上有两个零点,求实数的取值范围.20. 已知函数满足(其中,).(1)求的表达式;(2)对于函数,当时,,求实数的取值范围.(3)当时,的值为负数,求的取值范围.21. 设,曲线在点处的切线与直线垂直.(1)求的值;(2)若,恒成立,求的范围;(3)求证:.22. 如图,是圆的直径,是弦,的平分线交圆于点,,交的延长线于点,交于点.(1)求证:是圆的切线;(2)若,的半径为,,求的值.23. 在平面直角坐标系中,直线过点且倾斜角为,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,直线与曲线相交于,两点;(1)曲线的直角坐标方程;(2)若,求直线的倾斜角的值.24. 设函数.(1)求不等式的解集;(2)若存在使不等式成立,求实数的取值范围.答案第一部分1. C2. D3. C4. B5. B【解析】从图象和端点函数值两个方面判断.首先观察与的图象如图可知它们的交点只有一个,又,,,则,所以在内有零点.6. A7. D8. D 【解析】,,A.,.,不满足函数的奇偶性的定义,是非奇非偶函数.B.,.,不满足奇偶性的定义.C.,不满足函数的奇偶性定义.D.,,函数是奇函数.9. A 10. B【解析】由已知 .又,所以,得.11. C 【解析】通过的格点为;通过的格点为;通过的格点为.12. D 【解析】由题意得,函数的定义域是,因为是其定义域的子集,所以或.因为在上是增函数,所以由条件得则,是方程的同号相异的实数根,即,是方程同号相异的实数根.所以,,则,解得或.所以所以的最大值为,此时,解得,即在区间的最大长度为时,的值是.第二部分13.14.15.16.【解析】因为直线是曲线的切线.令切点为,所以,,,.设函数,则.当时,;当时,;当时,..所以函数在上单调递减,在上单调递增.所以的最小值为,所以的最小值为.第三部分17. (1)由得,当时,,即为真时实数的取值范围是.由,得,得,即为真时实数的取值范围是,若为真,则真且真,所以实数的取值范围是.(2)由得,若是的充分不必要条件,则,且,设,,则,又或,或,则,且.所以实数的取值范围是.18. (1)由已知得,解得.(2)由(1)知,又,则,即,即,令,则,即,又,故,即,解得.19. (1)函数在点处的切线恰好是,所以有:,所以,所以所以(2)依题意得:原命题可等价于方程在上有两个不同的解.即在区间有两个不同的解.考察函数令所以或,又所以在单调递增,令所以,又所以在单调递减.所以所以在区间上有两个不同的解.所以20. (1)设,则,代入原函数得,,则.(2)当时,是增函数,是减函数且,所以是定义域上的增函数,同理,当时,也是上的增函数,又,则为奇函数,由得:,所以解得,则实数的取值范围是.(3)因为是增函数,所以时,,又当时,的值为负数,所以,则解得且,所以的取值范围是且.21. (1)由题设,,所以,.(2),,.即.设,即,,①若,则,,这与题设矛盾;②若,方程的判别式,当,即时,,∴在上单调递减,∴,即不等式成立.当时,方程,其根当单调递增,,与题设矛盾.综上所述,.(3)由(2)知,当时,时,成立.不妨令,所以累加可得22. (1)连接,因为是圆的直径,是弦,的平分线交圆于点,所以,所以,又,所以,又为半径,所以是圆的切线.(2)连接,在中,,,所以.又因为,所以,由圆的切割线定理得:,所以.23. (1)因为,所以.所以,所以.所以曲线的直角坐标方程为.(2)当时,直线:,所以,所以舍.当时,设,则:,即,所以圆心到直线的距离.由得:,解得:,所以,因为,所以或.24. (1)由得,所以或解得或,所以不等式的解集为.(2)令,则.所以,因为存在使不等式成立,所以,所以.。
2017年全国统一高考新课标版Ⅰ卷全国1卷理科数学试卷及参考答案与解析
2017年全国统一高考新课标版Ⅰ卷全国1卷理科数学试卷及参考答案与解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},则( )A.A∩B={x|x<0}B.A∪B=RC.A∪B={x|x>1}D.A∩B=∅2.(5分)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( )A. B. C. D.3.(5分)设有下面四个命题p1:若复数z满足∈R,则z∈R;p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;p 3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=;p4:若复数z∈R,则∈R. 其中的真命题为( )A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p44.(5分)记Sn 为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为( )A.1B.2C.4D.85.(5分)函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是( )A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]6.(5分)(1+)(1+x)6展开式中x2的系数为( )A.15B.20C.30D.357.(5分)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( )A.10B.12C.14D.168.(5分)如图程序框图是为了求出满足3n-2n>1000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入( )A.A>1000和n=n+1B.A>1000和n=n+2C.A≤1000和n=n+1D.A≤1000和n=n+29.(5分)已知曲线C1:y=cosx,C2:y=sin(2x+),则下面结论正确的是( )A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C210.(5分)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A、B两点,直线l2与C交于D、E两点,则|AB|+|DE|的最小值为( ) A.16 B.14 C.12 D.1011.(5分)设x、y、z为正数,且2x=3y=5z,则( )A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z12.(5分)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( )A.440B.330C.220D.110二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)已知向量,的夹角为60°,||=2,||=1,则|+2|=.14.(5分)设x,y满足约束条件,则z=3x-2y的最小值为.15.(5分)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为. 16.(5分)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D、E、F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.17.(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为.(1)求sinBsinC;(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.18.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A-PB-C的余弦值.19.(12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性;经计算得==9.97,s==≈0.212,其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2, (16)用样本平均数作为μ的估计值,用样本标准差s作为σ的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除(-3+3)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-3σ<Z<μ+3σ)=0.9974,0.997416≈0.9592,≈0.09.20.(12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(-1,),P4(1,)中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程;(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明:l过定点.21.(12分)已知函数f(x)=ae2x+(a-2)e x-x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.[选修4-4,坐标系与参数方程]22.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为,(θ为参数),直线l的参数方程为,(t为参数).(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.[选修4-5:不等式选讲]23.已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围.2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},则( )A.A∩B={x|x<0}B.A∪B=RC.A∪B={x|x>1}D.A∩B=∅【分析】先分别求出集合A和B,再求出A∩B和A∪B,由此能求出结果.【解答】解:∵集合A={x|x<1},B={x|3x<1}={x|x<0},∴A∩B={x|x<0},故A正确,D错误;A∪B={x|x<1},故B和C都错误.故选:A.【点评】本题考查交集和并集求法及应用,是基础题,解题时要认真审题,注意交集、并集定义的合理运用.2.(5分)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( )A. B. C. D.【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积,结合几何概型的概率公式进行求解即可. 【解答】解:根据图象的对称性知,黑色部分为圆面积的一半,设圆的半径为1,则正方形的边长为2,则黑色部分的面积S=,则对应概率P==,故选:B.【点评】本题主要考查几何概型的概率计算,根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键.3.(5分)设有下面四个命题p1:若复数z满足∈R,则z∈R;p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;p 3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=;p4:若复数z∈R,则∈R. 其中的真命题为( )A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p4【分析】根据复数的分类,有复数性质,逐一分析给定四个命题的真假,可得答案.【解答】解:若复数z满足∈R,则z∈R,故命题p1为真命题;p 2:复数z=i满足z2=-1∈R,则z∉R,故命题p2为假命题;p 3:若复数z1=i,z2=2i满足z1z2∈R,但z1≠,故命题p3为假命题;p 4:若复数z∈R,则=z∈R,故命题p4为真命题.故选:B.【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了复数的运算,复数的分类,复数的运算性质,难度不大,属于基础题.4.(5分)记Sn 为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为( )A.1B.2C.4D.8【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组,求出首项和公差,由此能求出{an}的公差.【解答】解:∵Sn 为等差数列{an}的前n项和,a4+a5=24,S6=48,∴,解得a1=-2,d=4,∴{an}的公差为4.故选:C.【点评】本题考查等差数列的面公式的求法及应用,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用.5.(5分)函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是( )A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性,可将不等式-1≤f(x-2)≤1化为-1≤x-2≤1,解得答案.【解答】解:∵函数f(x)为奇函数.若f(1)=-1,则f(-1)=1,又∵函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,-1≤f(x-2)≤1,∴f(1)≤f(x-2)≤f(-1),∴-1≤x-2≤1,解得:x∈[1,3],故选:D.【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用,函数的单调性,函数的奇偶性,难度中档.6.(5分)(1+)(1+x)6展开式中x2的系数为( )A.15B.20C.30D.35【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可.【解答】解:(1+)(1+x)6展开式中:若(1+)=(1+x-2)提供常数项1,则(1+x)6提供含有x2的项,可得展开式中x2的系数:若(1+)提供x-2项,则(1+x)6提供含有x4的项,可得展开式中x2的系数:由(1+x)6通项公式可得.可知r=2时,可得展开式中x2的系数为.可知r=4时,可得展开式中x2的系数为.(1+)(1+x)6展开式中x2的系数为:15+15=30.故选:C.【点评】本题主要考查二项式定理的知识点,通项公式的灵活运用.属于基础题.7.(5分)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( )A.10B.12C.14D.16【分析】由三视图可得直观图,由图形可知该立体图中只有两个相同的梯形的面,根据梯形的面积公式计算即可【解答】解:由三视图可画出直观图,该立体图中只有两个相同的梯形的面,=×2×(2+4)=6,S梯形∴这些梯形的面积之和为6×2=12,故选:B.【点评】本题考查了体积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.8.(5分)如图程序框图是为了求出满足3n-2n>1000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入( )A.A>1000和n=n+1B.A>1000和n=n+2C.A≤1000和n=n+1D.A≤1000和n=n+2【分析】通过要求A>1000时输出且框图中在“否”时输出确定“”内不能输入“A>1000”,进而通过偶数的特征确定n=n+2.【解答】解:因为要求A>1000时输出,且框图中在“否”时输出,所以“”内不能输入“A>1000”,又要求n为偶数,且n的初始值为0,所以“”中n依次加2可保证其为偶数,所以D选项满足要求,故选:D.【点评】本题考查程序框图,属于基础题,意在让大部分考生得分.9.(5分)已知曲线C 1:y =cosx,C 2:y =sin(2x +),则下面结论正确的是( )A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C 2【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可.【解答】解:把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到函数y =cos2x 图象,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到函数y =cos2(x +)=cos(2x +)=sin(2x+)的图象,即曲线C 2, 故选:D.【点评】本题考查三角函数的图象变换,诱导公式的应用,考查计算能力.10.(5分)已知F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点,过F 作两条互相垂直的直线l 1,l 2,直线l 1与C 交于A 、B 两点,直线l 2与C 交于D 、E 两点,则|AB|+|DE|的最小值为( ) A.16 B.14 C.12 D.10【分析】方法一:根据题意可判断当A 与D,B,E 关于x 轴对称,即直线DE 的斜率为1,|AB|+|DE|最小,根据弦长公式计算即可.方法二:设直线l 1的倾斜角为θ,则l 2的倾斜角为 +θ,利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB|,|DE|,整理求得答案【解答】解:如图,l 1⊥l 2,直线l 1与C 交于A 、B 两点, 直线l 2与C 交于D 、E 两点, 要使|AB|+|DE|最小,则A 与D,B,E 关于x 轴对称,即直线DE 的斜率为1, 又直线l 2过点(1,0),则直线l 2的方程为y =x -1,联立方程组,则y 2-4y -4=0,∴y 1+y 2=4,y 1y 2=-4, ∴|DE|=•|y 1-y 2|=×=8,∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16,方法二:设直线l 1的倾斜角为θ,则l 2的倾斜角为 +θ,根据焦点弦长公式可得|AB|==|DE|===∴|AB|+|DE|=+==,∵0<sin 22θ≤1,∴当θ=45°时,|AB|+|DE|的最小,最小为16, 故选:A.【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系,弦长公式,对于过焦点的弦,能熟练掌握相关的结论,解决问题事半功倍属于中档题.11.(5分)设x 、y 、z 为正数,且2x =3y =5z ,则( )A.2x <3y <5zB.5z <2x <3yC.3y <5z <2xD.3y <2x <5z 【分析】x 、y 、z 为正数,令2x =3y =5z =k >1.lgk >0.可得x =,y =,z =.可得3y =,2x =,5z =.根据==,>=.即可得出大小关系.另解:x 、y 、z 为正数,令2x =3y =5z =k >1.lgk >0.可得x =,y =,z =.==>1,可得2x>3y,同理可得5z>2x.【解答】解:x、y、z为正数,令2x=3y=5z=k>1.lgk>0.则x=,y=,z=.∴3y=,2x=,5z=.∵==,>=.∴>lg>>0.∴3y<2x<5z.另解:x、y、z为正数,令2x=3y=5z=k>1.lgk>0.则x=,y=,z=.∴==>1,可得2x>3y,==>1.可得5z>2x.综上可得:5z>2x>3y.解法三:对k取特殊值,也可以比较出大小关系.故选:D.【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.12.(5分)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( )A.440B.330C.220D.110【分析】方法一:由数列的性质,求得数列{bn}的通项公式及前n项和,可知当N为时(n∈N+),数列{an}的前N项和为数列{bn}的前n项和,即为2n+1-n-2,容易得到N>100时,n≥14,分别判断,即可求得该款软件的激活码;方法二:由题意求得数列的每一项,及前n项和Sn=2n+1-2-n,及项数,由题意可知:2n+1为2的整数幂.只需将-2-n消去即可,分别即可求得N的值.【解答】解:设该数列为{an },设bn=+…+=2n+1-1,(n∈N+),则=ai ,由题意可设数列{an }的前N项和为SN,数列{bn}的前n项和为Tn,则Tn=21-1+22-1+…+2n+1-1=2n+1-n-2,可知当N为时(n∈N+),数列{an}的前N项和为数列{bn}的前n项和,即为2n+1-n-2,容易得到N>100时,n≥14,A项,由=435,440=435+5,可知S440=T29+b5=230-29-2+25-1=230,故A项符合题意.B项,仿上可知=325,可知S330=T25+b5=226-25-2+25-1=226+4,显然不为2的整数幂,故B项不符合题意.C项,仿上可知=210,可知S220=T20+b10=221-20-2+210-1=221+210-23,显然不为2的整数幂,故C项不符合题意.D项,仿上可知=105,可知S110=T14+b5=215-14-2+25-1=215+15,显然不为2的整数幂,故D项不符合题意.故选A.方法二:由题意可知:,,,…,根据等比数列前n项和公式,求得每项和分别为:21-1,22-1,23-1,…,2n-1,每项含有的项数为:1,2,3,…,n,总共的项数为N=1+2+3+…+n=,所有项数的和为Sn:21-1+22-1+23-1+…+2n-1=(21+22+23+…+2n)-n=-n=2n+1-2-n,由题意可知:2n+1为2的整数幂.只需将-2-n消去即可,则①1+2+(-2-n)=0,解得:n=1,总共有+2=3,不满足N>100,②1+2+4+(-2-n)=0,解得:n=5,总共有+3=18,不满足N>100,③1+2+4+8+(-2-n)=0,解得:n=13,总共有+4=95,不满足N>100,④1+2+4+8+16+(-2-n)=0,解得:n=29,总共有+5=440,满足N>100, ∴该款软件的激活码440.故选:A.【点评】本题考查数列的应用,等差数列与等比数列的前n项和,考查计算能力,属于难题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)已知向量,的夹角为60°,||=2,||=1,则|+2|=2.【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可.【解答】解:【解法一】向量,的夹角为60°,且||=2,||=1,∴=+4•+4=22+4×2×1×cos60°+4×12=12,∴|+2|=2.【解法二】根据题意画出图形,如图所示;结合图形=+=+2;在△OAC中,由余弦定理得||==2,即|+2|=2.故答案为:2.【点评】本题考查了平面向量的数量积的应用问题,解题时应利用数量积求出模长,是基础题.14.(5分)设x,y满足约束条件,则z=3x-2y的最小值为-5 .【分析】由约束条件作出可行域,由图得到最优解,求出最优解的坐标,数形结合得答案.【解答】解:由x,y满足约束条件作出可行域如图,由图可知,目标函数的最优解为A,联立,解得A(-1,1).∴z=3x-2y的最小值为-3×1-2×1=-5.故答案为:-5.【点评】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.15.(5分)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为.【分析】利用已知条件,转化求解A到渐近线的距离,推出a,c的关系,然后求解双曲线的离心率即可.【解答】解:双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右顶点为A(a,0),以A为圆心,b为半径做圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°,可得A到渐近线bx+ay=0的距离为:bcos30°=,可得:=,即,可得离心率为:e=.故答案为:.【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,点到直线的距离公式以及圆的方程的应用,考查转化思想以及计算能力.16.(5分)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D、E、F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为4cm3.【分析】由题,连接OD,交BC于点G,由题意得OD⊥BC,OG=BC,设OG=x,则BC=2x,DG=3,V==,令=5-x,三棱锥的高h=,求出S△ABCf(x)=25x4-10x5,x∈(0,),f′(x)=100x3-50x4,f(x)≤f(2)=80,由此能求出体积最大值.【解答】解:由题意,连接OD,交BC于点G,由题意得OD⊥BC,OG=BC,即OG的长度与BC的长度成正比,设OG=x,则BC=2x,DG=5-x,三棱锥的高h===,=3,则V===,令f(x)=25x4-10x5,x∈(0,),f′(x)=100x3-50x4,令f′(x)≥0,即x4-2x3≤0,解得x≤2,则f(x)≤f(2)=80,∴V≤=4cm3,∴体积最大值为4cm3.故答案为:4cm3.【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、函数性质、导数等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,是中档题.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.17.(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为.(1)求sinBsinC;(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.【分析】(1)根据三角形面积公式和正弦定理可得答案,(2)根据两角余弦公式可得cosA=,即可求出A=,再根据正弦定理可得bc=8,根据余弦定理即可求出b+c,问题得以解决.=acsinB=,【解答】解:(1)由三角形的面积公式可得S△ABC∴3csinBsinA=2a,由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA,∵sinA≠0,∴sinBsinC=;(2)∵6cosBcosC=1,∴cosBcosC=,∴cosBcosC-sinBsinC=-=-,∴cos(B+C)=-,∴cosA=,∵0<A<π,∴A=,∵===2R==2,∴sinBsinC=•===,∴bc=8,∵a2=b2+c2-2bccosA,∴b2+c2-bc=9,∴(b+c)2=9+3cb=9+24=33,∴b+c=∴周长a+b+c=3+.【点评】本题考查了三角形的面积公式和两角和的余弦公式和诱导公式和正弦定理余弦定理,考查了学生的运算能力,属于中档题.18.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A-PB-C的余弦值.【分析】(1)由已知可得PA⊥AB,PD⊥CD,再由AB∥CD,得AB⊥PD,利用线面垂直的判定可得AB ⊥平面PAD,进一步得到平面PAB⊥平面PAD;(2)由已知可得四边形ABCD为平行四边形,由(1)知AB⊥平面PAD,得到AB⊥AD,则四边形ABCD 为矩形,设PA=AB=2a,则AD=.取AD中点O,BC中点E,连接PO、OE,以O为坐标原点,分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,求出平面PBC的一个法向量,再证明PD⊥平面PAB,得为平面PAB的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得二面角A-PB-C的余弦值.【解答】(1)证明:∵∠BAP=∠CDP=90°,∴PA⊥AB,PD⊥CD,∵AB∥CD,∴AB⊥PD,又∵PA∩PD=P,且PA⊂平面PAD,PD⊂平面PAD,∴AB⊥平面PAD,又AB⊂平面PAB,∴平面PAB⊥平面PAD;(2)解:∵AB∥CD,AB=CD,∴四边形ABCD为平行四边形,由(1)知AB⊥平面PAD,∴AB⊥AD,则四边形ABCD为矩形,在△APD中,由PA=PD,∠APD=90°,可得△PAD为等腰直角三角形,设PA=AB=2a,则AD=.取AD中点O,BC中点E,连接PO、OE,以O为坐标原点,分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,则:D(),B(),P(0,0,),C().,,.设平面PBC的一个法向量为,由,得,取y=1,得.∵AB⊥平面PAD,AD⊂平面PAD,∴AB⊥PD,又PD⊥PA,PA∩AB=A,∴PD⊥平面PAB,则为平面PAB的一个法向量,.∴cos<>==.由图可知,二面角A-PB-C为钝角,∴二面角A-PB-C的余弦值为.【点评】本题考查平面与平面垂直的判定,考查空间想象能力和思维能力,训练了利用空间向量求二面角的平面角,是中档题.19.(12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性;经计算得==9.97,s==≈0.212,其中x为i抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2, (16)用样本平均数作为μ的估计值,用样本标准差s作为σ的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除(-3+3)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-3σ<Z<μ+3σ)=0.9974,0.997416≈0.9592,≈0.09.【分析】(1)通过P(X=0)可求出P(X≥1)=1-P(X=0)=0.0408,利用二项分布的期望公式计算可得结论;(2)(ⅰ)由(1)及知落在(μ-3σ,μ+3σ)之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理;(ⅱ)通过样本平均数、样本标准差s估计、可知(-3+3)=(9.334,10.606),进而需剔除(-3+3)之外的数据9.22,利用公式计算即得结论.【解答】解:(1)由题可知尺寸落在(μ-3σ,μ+3σ)之内的概率为0.9974,则落在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率为1-0.9974=0.0026,因为P(X=0)=×(1-0.9974)0×0.997416≈0.9592,所以P(X≥1)=1-P(X=0)=0.0408,又因为X~B(16,0.0026),所以E(X)=16×0.0026=0.0416;(2)(ⅰ)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(-3+3)之外的概率只有0.0026,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(-3+3)之外的零件的概率只有0.0408,发生的概率很小.因此一旦发生这种状况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.(ⅱ)由=9.97,s≈0.212,得μ的估计值为=9.97,σ的估计值为=0.212,由样本数据可以看出一个零件的尺寸在(-3+3)之外,因此需对当天的生产过程进行检查.剔除(-3+3)之外的数据9.22,剩下的数据的平均数为(16×9.97-9.22)=10.02,因此μ的估计值为10.02.2=16×0.2122+16×9.972≈1591.134,剔除(-3+3)之外的数据9.22,剩下的数据的样本方差为(1591.134-9.222-15×10.022)≈0.008,因此σ的估计值为≈0.09.【点评】本题考查正态分布,考查二项分布,考查方差、标准差,考查概率的计算,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题.20.(12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(-1,),P4(1,)中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程;(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明:l过定点.【分析】(1)根据椭圆的对称性,得到P2(0,1),P3(-1,),P4(1,)三点在椭圆C上.把P 2(0,1),P3(-1,)代入椭圆C,求出a2=4,b2=1,由此能求出椭圆C的方程.(2)当斜率不存在时,不满足;当斜率存在时,设l:y=kx+t,(t≠1),联立,得(1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0,由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程,结合已知条件能证明直线l过定点(2,-1).【解答】解:(1)根据椭圆的对称性,P3(-1,),P4(1,)两点必在椭圆C上,又P4的横坐标为1,∴椭圆必不过P1(1,1),∴P2(0,1),P3(-1,),P4(1,)三点在椭圆C上.把P2(0,1),P3(-1,)代入椭圆C,得:,解得a2=4,b2=1, ∴椭圆C的方程为=1.证明:(2)①当斜率不存在时,设l:x=m,A(m,yA ),B(m,-yA),∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,∴===-1,解得m=2,此时l过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足.②当斜率存在时,设l:y=kx+t,(t≠1),A(x1,y1),B(x2,y2),联立,整理,得(1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0,,x1x2=,则=====-1,又t≠1,∴t=-2k-1,此时△=-64k,存在k,使得△>0成立,∴直线l的方程为y=kx-2k-1,当x=2时,y=-1,∴l过定点(2,-1).【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线方程位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想,是中档题.21.(12分)已知函数f(x)=ae2x+(a-2)e x-x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.【分析】(1)求导,根据导数与函数单调性的关系,分类讨论,即可求得f(x)单调性;<(2)由(1)可知:当a>0时才有两个零点,根据函数的单调性求得f(x)最小值,由f(x)min=g(e-2)=e-2lne-2+e-2-1=--1,g(1)=0, 0,g(a)=alna+a-1,a>0,求导,由g(a)min即可求得a的取值范围.(1)求导,根据导数与函数单调性的关系,分类讨论,即可求得f(x)单调性;(2)分类讨论,根据函数的单调性及函数零点的判断,分别求得函数的零点,即可求得a的取值范围.【解答】解:(1)由f(x)=ae2x+(a-2)e x-x,求导f′(x)=2ae2x+(a-2)e x-1,当a=0时,f′(x)=-2e x-1<0,∴当x∈R,f(x)单调递减,当a>0时,f′(x)=(2e x+1)(ae x-1)=2a(e x+)(e x-),令f′(x)=0,解得:x=ln,当f′(x)>0,解得:x>ln,当f′(x)<0,解得:x<ln,∴x∈(-∞,ln)时,f(x)单调递减,x∈(ln,+∞)单调递增;当a<0时,f′(x)=2a(e x+)(e x-)<0,恒成立,∴当x∈R,f(x)单调递减,综上可知:当a≤0时,f(x)在R单调减函数,当a>0时,f(x)在(-∞,ln)是减函数,在(ln,+∞)是增函数;(2)①若a≤0时,由(1)可知:f(x)最多有一个零点,当a>0时,f(x)=ae2x+(a-2)e x-x,当x→-∞时,e2x→0,e x→0,∴当x→-∞时,f(x)→+∞,当x→∞,e2x→+∞,且远远大于e x和x,∴当x→∞,f(x)→+∞,∴函数有两个零点,f(x)的最小值小于0即可,由f(x)在(-∞,ln)是减函数,在(ln,+∞)是增函数,∴f(x)=f(ln)=a×()+(a-2)×-ln<0,min∴1--ln<0,即ln+-1>0,设t=,则g(t)=lnt+t-1,(t>0),求导g′(t)=+1,由g(1)=0,∴t=>1,解得:0<a<1,∴a的取值范围(0,1).方法二:(1)由f(x)=ae2x+(a-2)e x-x,求导f′(x)=2ae2x+(a-2)e x-1,当a=0时,f′(x)=-2e x-1<0,∴当x∈R,f(x)单调递减,当a>0时,f′(x)=(2e x+1)(ae x-1)=2a(e x+)(e x-),令f′(x)=0,解得:x=-lna,当f′(x)>0,解得:x>-lna,当f′(x)<0,解得:x<-lna,∴x∈(-∞,-lna)时,f(x)单调递减,x∈(-lna,+∞)单调递增;当a<0时,f′(x)=2a(e x+)(e x-)<0,恒成立,∴当x∈R,f(x)单调递减,综上可知:当a≤0时,f(x)在R单调减函数,当a>0时,f(x)在(-∞,-lna)是减函数,在(-lna,+∞)是增函数;(2)①若a≤0时,由(1)可知:f(x)最多有一个零点,=f(-lna)=1--ln, ②当a>0时,由(1)可知:当x=-lna时,f(x)取得最小值,f(x)min当a=1,时,f(-lna)=0,故f(x)只有一个零点,当a∈(1,+∞)时,由1--ln>0,即f(-lna)>0,故f(x)没有零点,当a∈(0,1)时,1--ln<0,f(-lna)<0,由f(-2)=ae-4+(a-2)e-2+2>-2e-2+2>0, 故f(x)在(-∞,-lna)有一个零点,假设存在正整数n0,满足n>ln(-1),则f(n)=(a+a-2)-n>-n>-n>0,由ln(-1)>-lna,因此在(-lna,+∞)有一个零点.∴a的取值范围(0,1).【点评】本题考查导数的综合应用,考查利用导数求函数单调性及最值,考查函数零点的判断,考查计算能力,考查分类讨论思想,属于中档题.[选修4-4,坐标系与参数方程]22.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为,(θ为参数),直线l的参数方程为,(t为参数).(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.【分析】(1)将曲线C的参数方程化为标准方程,直线l的参数方程化为一般方程,联立两方程可以求得焦点坐标;(2)曲线C上的点可以表示成P(3cosθ,sinθ),θ∈[0,2π),运用点到直线距离公式可以表示出P到直线l的距离,再结合距离最大值为进行分析,可以求出a的值.【解答】解:(1)曲线C的参数方程为(θ为参数),化为标准方程是:+y2=1;a=-1时,直线l的参数方程化为一般方程是:x+4y-3=0;联立方程,解得或,所以椭圆C和直线l的交点为(3,0)和(-,).(2)l的参数方程(t为参数)化为一般方程是:x+4y-a-4=0,椭圆C上的任一点P可以表示成P(3cosθ,sinθ),θ∈[0,2π),所以点P到直线l的距离d为:。
深圳市2017届高三年级第一次调研考试(理数)
深圳市2017届高三年级第一次调研考试数学(理科)本试卷共23小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号,并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区,请保持条形码整洁、 不污损.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.3.非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再做答.5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}{}22,4,,6,8,B |9180A x x x ==-+≤,则A B =( )A . {}2,4B .{}4,6C .{}6,8D .{}2,82.若复数()12a i a R i+∈+为纯虚数,其中i 为虚数单位,则a = ( ) A . 2 B . 3 C .-2 D .-33.袋中装有大小相同的四个球,四个球上分别标有数字“2”,“3”,“4”,“6”.现从中随机选取三个球,则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是( )A .14 B .12 C .13 D . 234.等比数列{}n a 的前n 项和为,31b a S n n +⋅=-则a b = ( ) A .-3 B . -1 C. 1 D .35.直线():40l kx y k R ++=∈是圆22:4460C x y x y ++-+=的一条对称轴,过点()0,A k 作斜率为1的直线m ,则直线m 被圆C 所截得的弦长为 ( )A .22B .2 C. 6 D .266.祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家,他在实践的基础上提出了体积计算的原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是,如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等,那么这两个几何体的体积相等.此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时,需要构造一个满足条件的几何体,已知该几何体三视图如图所示,用一个与该几何体的下底面平行相距为()02h h <<的平面截该几何体,则截面面积为 ( )A .4πB .2h πC. ()22h π- D .()24h π- 7.函数x x f x x cos 1212)(⋅-+=的图象大致是( )8.已知0,0a b c >><,下列不等关系中正确的是 ( )A .ac bc >B .c c a b >C. ()()log log a b a c b c ->- D .a b a c b c>-- 9.执行如图所示的程序框图,若输入2017p =,则输出i 的值为( )A . 335B .336 C. 337 D .33810.已知F 是双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的右焦点,过点F 作E 的一条渐近线的垂线,垂足为P ,线段PF 与E 相交于点Q ,记点Q 到E 的两条渐近线的距离之积为2d ,若2FP d =,则该双曲线的离心率是( )A 2B .2 C. 3 D .411.已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -,球O 与该正方体的各个面相切,则平面1ACB 截此球所得的截面的面积为( )A .83π B .53π C. 43π D .23π 12.已知函数()2,0,x x f x x e e=≠为自然对数的底数,关于x 的方程()()20f x f x λ+=有四个相异实根,则实数λ的取值范围是( ) A .),(e 20 B .),22(+∞ C.),2(+∞+ee D .),42(22+∞+e e第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答。
2017年广东高考(理科)数学试题及答案
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷5页,23小题,满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型(B )填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x<},则A .{|0}AB x x =< B .A B =RC .{|1}AB x x =>D .AB =∅2.如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是A .14B .π8C .12D .π43.设有下面四个命题1p :若复数z 满足1z ∈R ,则z ∈R ;2p :若复数z 满足2z ∈R ,则z ∈R ;3p :若复数12,z z 满足12z z ∈R ,则12z z =; 4p :若复数z ∈R ,则z ∈R .其中的真命题为 A .13,p pB .14,p pC .23,p pD .24,p p4.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=,648S =,则{}n a 的公差为A .1B .2C .4D .85.函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减,且为奇函数.若(11)f =-,则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A .[2,2]-B .[1,1]-C .[0,4]D .[1,3]6.621(1)(1)x x ++展开式中2x 的系数为A .15B .20C .30D .357.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为A .10B .12C .14D .168.右面程序框图是为了求出满足3n −2n >1000的最小偶数n ,那么在和两个空白框中,可以分别填入A .A >1 000和n =n+1B .A >1 000和n =n +2C .A ≤1 000和n =n +1D .A ≤1 000和n =n +29.已知曲线C 1:y =cos x ,C 2:y =sin (2x +2π3),则下面结论正确的是A .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2B .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2C .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2D .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 210.已知F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点,过F 作两条互相垂直的直线l 1,l 2,直线l 1与C 交于A 、B 两点,直线l 2与C 交于D 、E 两点,则|AB |+|DE |的最小值为 A .16B .14C .12D .1011.设xyz 为正数,且235x y z==,则A .2x <3y <5zB .5z <2x <3yC .3y <5z <2xD .3y <2x <5z12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N :N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A .440B .330C .220D .110二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
广东省深圳市2017年高考数学一模试卷文科 含解析 精品
2017年广东省深圳市高考数学一模试卷(文科)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合A={2,4,6,8},B={x|x2﹣9x+18≤0},则A∩B=()A.{2,4}B.{4,6}C.{6,8}D.{2,8}2.若复数(a∈R)为纯虚数,其中i为虚数单位,则a=()A.﹣3 B.﹣2 C.2 D.33.袋中装有大小相同的四个球,四个球上分别标有数字“2”,“3”,“4”,“6”.现从中随机选取三个球,则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是()A.B.C.D.4.设a=0.23,b=log0.30.2,c=log30.2,则a,b,c大小关系正确的是()A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.c>b>a5.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cosC=,a=1,c=2,则△ABC的面积为()A.B.C.D.6.若双曲线的焦点到渐近线的距离是焦距的,则该双曲线的离心率为()A.B.C.2 D.7.将函数y=sin(6x+)的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍,再向右平移个单位,得到的函数的一个对称中心()A.B.C.()D.()8.函数f(x)=•cosx的图象大致是()A.B.C.D.9.祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家,他在实践的基础上提出了体积计算的原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是,如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等,那么这两个几何体的体积相等.此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时,需要构造一个满足条件的几何体,已知该几何体三视图如图所示,用一个与该几何体的下底面平行相距为h(0<h<2)的平面截该几何体,则截面面积为()A.4πB.πh2C.π(2﹣h)2D.π(4﹣h)210.执行如图所示的程序框图,若输入p=2017,则输出i的值为()A.335 B.336 C.337 D.33811.已知棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1,球O与该正方体的各个面相切,则平面ACB1截此球所得的截面的面积为()A. B. C. D.12.若f(x)=sin3x+acos2x在(0,π)上存在最小值,则实数a的取值范围是()A.(0,)B.(0,]C.[,+∞)D.(0,+∞)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分,将答案填在答题纸上13.已知向量=(1,2),=(x,3),若⊥,则|+|=.14.已知α是锐角,且cos(α+)=,则cos(α﹣)=.15.直线ax﹣y+3=0与圆(x﹣2)2+(y﹣a)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥2,则实数a的取值范围是.16.若实数x,y满足不等式组,目标函数z=kx﹣y的最大值为12,最小值为0,则实数k=.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12分)设S n为数列{a n}的前n项和,且S n=2a n﹣n+1(n∈N*),b n=a n+1.(1)求数列{b n}的通项公式;(2)求数列{nb n}的前n项和T n.18.(12分)如图,四边形ABCD为菱形,四边形ACEF为平行四边形,设BD与AC相交于点G,AB=BD=2,AE=,∠EAD=∠EAB.(1)证明:平面ACEF⊥平面ABCD;(2)若∠EAG=60°,求三棱锥F﹣BDE的体积.19.(12分)某市为了鼓励市民节约用电,实行“阶梯式”电价,将该市每户居民的月用电量划分为三档,月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费,超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费,超过400度的部分按1.0元/度收费.(1)求某户居民用电费用y(单位:元)关于月用电量x(单位:度)的函数解析式;(2)为了了解居民的用电情况,通过抽样,获得了今年1月份100户居民每户的用电量,统计分析后得到如图所示的频率分布直方图,若这100户居民中,今年1月份用电费用不超过260元的点80%,求a,b的值;(3)在满足(2)的条件下,若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率,且同组中的数据用该组区间的中点值代替,记Y为该居民用户1月份的用电费用,求Y的分布列和数学期望.20.(12分)已成椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率为.其右顶点与上顶点的距离为,过点P(0,2)的直线l与椭圆C相交于A、B两点.(1)求椭圆C的方程;(2)设M是AB中点,且Q点的坐标为(,0),当QM⊥AB时,求直线l 的方程.21.(12分)已知函数f(x)=(ax+1)lnx﹣ax+3,a∈R,g(x)是f(x)的导函数,e为自然对数的底数.(1)讨论g(x)的单调性;(2)当a>e时,证明:g(e﹣a)>0;(3)当a>e时,判断函数f(x)零点的个数,并说明理由.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.(10分)在直角坐标系中xOy中,曲线E的参数方程为(α为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)写出曲线E的普通方程和极坐标方程;(2)若直线l与曲线E相交于点A、B两点,且OA⊥OB,求证: +为定值,并求出这个定值.[选修4-5:不等式选讲]23.已知f(x)=|x+a|,g(x)=|x+3|﹣x.(1)当a=1,解不等式f(x)<g(x);(2)对任意x∈[﹣1,1],f(x)<g(x)恒成立,求a的取值范围.2017年广东省深圳市高考数学一模试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合A={2,4,6,8},B={x|x2﹣9x+18≤0},则A∩B=()A.{2,4}B.{4,6}C.{6,8}D.{2,8}【考点】交集及其运算.【分析】求出B中不等式的解集确定出B,找出A与B的交集即可.【解答】解:∵A={2,4,6,8},B={x|x2﹣9x+18≤0}={x|(x﹣3)(x﹣6)≤0}={x|3≤x≤6},∴A∩B={4,6},故选:B.【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.2.若复数(a∈R)为纯虚数,其中i为虚数单位,则a=()A.﹣3 B.﹣2 C.2 D.3【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】由复数代数形式的乘除运算化简复数,又根据复数(a∈R)为纯虚数,列出方程组,求解即可得答案.【解答】解:==,∵复数(a∈R)为纯虚数,∴,解得:a=﹣2.故选:B.【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题.3.袋中装有大小相同的四个球,四个球上分别标有数字“2”,“3”,“4”,“6”.现从中随机选取三个球,则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是()A.B.C.D.【考点】古典概型及其概率计算公式.【分析】现从中随机选取三个球,基本事件总数n==4,所选的三个球上的数字能构成等差数列包含的基本事件的个数,由此能求出所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率.【解答】解:袋中装有大小相同的四个球,四个球上分别标有数字“2”,“3”,“4”,“6”,现从中随机选取三个球,基本事件总数n==4,所选的三个球上的数字能构成等差数列包含的基本事件有:(2,3,4),(2,4,6),共有2个,∴所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是p==.故选:C.【点评】本题考查概率的求法及应用,是基础题,解题时要认真审题,注意等可能事件概率计算公式的合理运用.4.设a=0.23,b=log0.30.2,c=log30.2,则a,b,c大小关系正确的是()A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.c>b>a【考点】对数值大小的比较.【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出.【解答】解:a=0.23=0.008,b=log0.30.2>log0.30.3=1,c=log30.2<1,∴b>a>c,故选:B.【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.5.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cosC=,a=1,c=2,则△ABC的面积为()A.B.C.D.【考点】正弦定理.【分析】由题意cosC=,a=1,c=2,余弦定理求解b,正弦定理在求解sinB,那么△ABC的面积即可.【解答】解:由题意cosC=,a=1,c=2,那么:sinC=,cosC==,解得b=2.由,可得sinB=,那么△ABC的面积=故选A【点评】本题主要考查了余弦定理,正弦定理的运用,属于基础题.6.若双曲线的焦点到渐近线的距离是焦距的,则该双曲线的离心率为()A.B.C.2 D.【考点】双曲线的简单性质.【分析】利用双曲线的焦点到渐近线的距离是焦距的,列出关系式求解离心率即可.【解答】解:设双曲线方程:,可得渐近线方程为:bx﹣ay=0,焦点坐标(c,0),双曲线的焦点到渐近线的距离是焦距的,可得:,整理得:5b2=4c2,即c2=5a2,解得e=.故选:D.【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,考查计算能力.7.将函数y=sin(6x+)的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍,再向右平移个单位,得到的函数的一个对称中心()A.B.C.()D.()【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换;正弦函数的对称性.【分析】先根据三角函数图象变换规律写出所得函数的解析式,再根据三角函数的性质进行验证:若f(a)=0,则(a,0)为一个对称中心,确定选项.【解答】解:函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍得到图象的解析式为再向右平移个单位得到图象的解析式为=sin2x当x=时,y=sinπ=0,所以是函数y=sin2x的一个对称中心.故选A.【点评】本题考查了三角函数图象变换规律,三角函数图象、性质.是三角函数中的重点知识,在试题中出现的频率相当高.8.函数f(x)=•cosx的图象大致是()A.B.C.D.【考点】函数的图象.【分析】先判断函数的奇偶性,再判断函数值,问题得以解决.【解答】解:f(﹣x)=•cos(﹣x)=•cosx=﹣f(x),∴f(x)为奇函数,∴函数f(x)的图象关于原点对称,当x∈(0,)时,cosx>0,>0,∴f(x)>0在(0,)上恒成立,故选:C【点评】本题考查了函数图象的识别,关键是掌握函数的奇偶性和函数值,属于基础题9.祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家,他在实践的基础上提出了体积计算的原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是,如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等,那么这两个几何体的体积相等.此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时,需要构造一个满足条件的几何体,已知该几何体三视图如图所示,用一个与该几何体的下底面平行相距为h(0<h<2)的平面截该几何体,则截面面积为()A.4πB.πh2C.π(2﹣h)2D.π(4﹣h)2【考点】由三视图求面积、体积.【分析】由题意,首先得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥,得到截面为圆环,明确其半径求面积.【解答】解:由已知得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥,底面半径为2高为2,设截面的圆环,小圆半径为r,则为\frac{h}{2}=\frac{r}{2}$,得到r=h,所以截面圆的面积为πh2;故选B.【点评】本题考查了几何体得到三视图以及截面面积的求法;关键是明确几何体形状,然后得到截面的性质以及相关的数据求面积.10.执行如图所示的程序框图,若输入p=2017,则输出i的值为()A.335 B.336 C.337 D.338【考点】程序框图.【分析】根据题意,模拟程序框图的运行过程,即可得出输出i的值.【解答】解:模拟程序的运行,可得程序框图的功能是统计1到2017这些数中能同时被2和3整除的数的个数i,由于:2017=336×6+1,故程序框图输出的i的值为337.故选:C.【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时模拟程序框图的运行过程,正确得出程序框图的功能是解题的关键,属于基础题.11.已知棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1,球O与该正方体的各个面相切,则平面ACB1截此球所得的截面的面积为()A. B. C. D.【考点】球的体积和表面积.【分析】求出平面ACB1截此球所得的截面的圆的半径,即可求出平面ACB1截此球所得的截面的面积.【解答】解:由题意,球心与B的距离为=,B到平面ACB1的距离为=,球的半径为1,球心到平面ACB1的距离为﹣=,∴平面ACB1截此球所得的截面的圆的半径为=,∴平面ACB1截此球所得的截面的面积为=,故选D.【点评】本题考查平面ACB1截此球所得的截面的面积,考查学生的计算能力,属于中档题.12.若f(x)=sin3x+acos2x在(0,π)上存在最小值,则实数a的取值范围是()A.(0,)B.(0,]C.[,+∞)D.(0,+∞)【考点】三角函数的最值.【分析】设t=sinx,由x∈(0,π)和正弦函数的性质求出t的范围,将t代入f (x)后求出函数的导数,求出临界点,根据条件判断出函数的单调性,由导数与函数单调性的关系列出不等式,求出实数a的取值范围.【解答】解:设t=sinx,由x∈(0,π)得t∈(0,1],∵f(x)=sin3x+acos2x=sin3x+a(1﹣sin2x),∴f(x)变为:y=t3﹣at2+a,则y′=3t2﹣2at=t(3t﹣2a),由y′=0得,t=0或t=,∵f(x)=sin3x+acos2x在(0,π)上存在最小值,∴函数y=t3﹣at2+a在(0,1]上递减或先减后增,即>0,得a>0,∴实数a的取值范围是(0,+∞),故选:D.【点评】本题考查正弦函数的性质,导数与函数单调性的关系,以及构造法、换元法的应用,考查化简、变形能力.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分,将答案填在答题纸上13.已知向量=(1,2),=(x,3),若⊥,则|+|=5.【考点】平面向量的坐标运算.【分析】⊥,可得=0,解得x.再利用向量模的计算公式即可得出.【解答】解:∵⊥,∴=x+6=0,解得x=﹣6.∴=(﹣5,5).∴|+|==5.故答案为:5.【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量模的计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.14.已知α是锐角,且cos(α+)=,则cos(α﹣)=.【考点】两角和与差的余弦函数.【分析】由已知利用诱导公式可求sin(α﹣)=,结合角的范围,利用同角三角函数基本关系式计算可解.【解答】解:∵cos(α+)=sin[﹣(α+)]=sin(α﹣)=,∵α是锐角,α﹣∈(﹣,),∴cos(α﹣)===.故答案为:.【点评】本题主要考查了诱导公式,同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用,考查了转化思想,属于基础题.15.直线ax﹣y+3=0与圆(x﹣2)2+(y﹣a)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥2,则实数a的取值范围是a≤﹣.【考点】直线与圆相交的性质.【分析】由圆的方程找出圆心坐标与半径r,利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d,利用|MN|≥2,建立不等式,即可得到a的范围.【解答】解:由圆的方程得:圆心(2,a),半径r=2,∵圆心到直线ax﹣y+3=0的距离d=,|MN|≥2,∴,解得:a≤﹣,故答案为:a≤﹣.【点评】此题考查了直线与圆相交的性质,涉及的知识有:圆的标准方程,点到直线的距离公式,垂径定理,勾股定理,熟练掌握公式及定理是解本题的关键.16.若实数x,y满足不等式组,目标函数z=kx﹣y的最大值为12,最小值为0,则实数k=3.【考点】简单线性规划.【分析】先画出可行域,得到角点坐标.利用k与0的大小,分类讨论,结合目标函数的最值求解即可.【解答】解:实数x,y满足不等式组的可行域如图:得:A(1,3),B(1,﹣2),C(4,0).①当k=0时,目标函数z=kx﹣y的最大值为12,最小值为0,不满足题意.②当k>0时,目标函数z=kx﹣y的最大值为12,最小值为0,当直线z=kx﹣y过C(4,0)时,Z取得最大值12.当直线z=kx﹣y过A(3,1)时,Z取得最小值0.可得k=3,满足题意.③当k<0时,目标函数z=kx﹣y的最大值为12,最小值为0,当直线z=kx﹣y过C(4,0)时,Z取得最大值12.可得k=﹣3,当直线z=kx﹣y过,B(1,﹣2)时,Z取得最小值0.可得k=﹣2,无解.综上k=3故答案为:3.【点评】本题主要考查简单线性规划以及分类讨论思想.解决本题计算量较大.属于中档题.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12分)(2017•深圳一模)设S n为数列{a n}的前n项和,且S n=2a n﹣n+1(n∈N*),b n=a n+1.(1)求数列{b n}的通项公式;(2)求数列{nb n}的前n项和T n.【考点】数列的求和;数列递推式.【分析】(1)求出数列的首项,利用通项与和的关系,推出数列b n的等比数列,求解通项公式.(2)利用错位相减法求解数列的和即可.【解答】解:(1)当n=1时,a1=S1=2a1﹣1+1,易得a1=0,b1=1;当n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣n+1﹣[2a n﹣1﹣n+1+1],整理得a n=2a n﹣1+1,∴b n=a n+1=2(a n﹣1+1)=2b n﹣1,∴数列{b n}构成以首项为b1=1,公比为2等比数列,∴数列{b n}的通项公式b n=2n﹣1,n∈N•;(2)由(1)知b n=2n﹣1,则nb n=n•2n﹣1,则T n=1×20+2×21+3×22+…+n•2n﹣1,①∴2T n=1×2+2×22+3×23+…+n×2n,②由①﹣②得:﹣T n=20+21+22+23+…+2n﹣1﹣n•2n==2n﹣1﹣n•2n,∴T n=(n﹣1)2n+1.【点评】本题考查数列的递推关系式的应用,数列求和,考查计算能力.18.(12分)(2017•深圳一模)如图,四边形ABCD为菱形,四边形ACEF为平行四边形,设BD与AC相交于点G,AB=BD=2,AE=,∠EAD=∠EAB.(1)证明:平面ACEF⊥平面ABCD;(2)若∠EAG=60°,求三棱锥F﹣BDE的体积.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定.【分析】(1)连接EG,说明BD⊥AC,证明BD⊥ED,推出BD⊥平面ACFE,然后证明平面ACEF⊥平面ABCD;=2V C (2)说明点F到平面BDE的距离为点C到平面BDE的距离的两倍,利用V F﹣BDE,转化求解三棱锥F﹣BDE的体积即可.﹣BDE【解答】解:(1)证明:连接EG ,∵四边形ABCD 为菱形, ∵AD=AB ,BD ⊥AC ,DG=GB , 在△EAD 和△EAB 中,AD=AB ,AE=AE ,∠EAD=∠EAB , ∴△EAD ≌△EAB , ∴ED=EB , ∴BD ⊥ED , ∵AC ∩EG=G , ∴BD ⊥平面ACFE , ∵BD ⊂平面ABCD , ∴平面ACEF ⊥平面ABCD ;(2)∵EF ∥GC ,EF=2GC ,∴点F 到平面BDE 的距离为点C 到平面BDE 的距离的两倍,所以V F ﹣BDE =2V C ﹣BDE ,作EH ⊥AC ,∵平面ACEF ⊥平面ABCD ,EH ⊥平面ABCD ,∴V C ﹣BDE =V E ﹣BCD ==,∴三棱锥F ﹣BDE 的体积为.【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用,几何体的体积的求法,考查空间想象能力以及计算能力.19.(12分)(2017•深圳一模)某市为了鼓励市民节约用电,实行“阶梯式”电价,将该市每户居民的月用电量划分为三档,月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费,超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费,超过400度的部分按1.0元/度收费.(1)求某户居民用电费用y(单位:元)关于月用电量x(单位:度)的函数解析式;(2)为了了解居民的用电情况,通过抽样,获得了今年1月份100户居民每户的用电量,统计分析后得到如图所示的频率分布直方图,若这100户居民中,今年1月份用电费用不超过260元的点80%,求a,b的值;(3)在满足(2)的条件下,若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率,且同组中的数据用该组区间的中点值代替,记Y为该居民用户1月份的用电费用,求Y的分布列和数学期望.【考点】离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图;离散型随机变量及其分布列.【分析】(1)利用分段函数的性质即可得出.(2)利用(1),结合频率分布直方图的性质即可得出.(3)由题意可知X可取50,150,250,350,450,550.结合频率分布直方图的性质即可得出.【解答】解:(1)当0≤x≤200时,y=0.5x;当200<x≤400时,y=0.5×200+0.8×(x﹣200)=0.8x﹣60,当x>400时,y=0.5×200+0.8×200+1.0×(x﹣400)=x﹣140,所以y与x之间的函数解析式为:y=.(2)由(1)可知:当y=260时,x=400,则P(x≤400)=0.80,结合频率分布直方图可知:0.1+2×100b+0.3=0.8,100a+0.05=0.2,∴a=0.0015,b=0.0020.(3)由题意可知X 可取50,150,250,350,450,550.当x=50时,y=0.5×50=25,∴P (y=25)=0.1,当x=150时,y=0.5×150=75,∴P (y=75)=0.2,当x=250时,y=0.5×200+0.8×50=140,∴P (y=140)=0.3,当x=350时,y=0.5×200+0.8×150=220,∴P (y=220)=0.2,当x=450时,y=0.5×200+0.8×200+1.0×50=310,∴P (y=310)=0.15, 当x=550时,y=0.5×200×0.8×200+1.0×150=410,∴P (y=410)=0.05. 故Y 的概率分布列为:所以随机变量Y 的数学期望EY=25×0.1+75×0.2+140×0.3+220×0.2+310×0.15+410×0.05=170.5.【点评】本题考查了分段函数的性质、频率分布直方图的性质、随机变量的分布列及其数学期望,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.20.(12分)(2017•深圳一模)已成椭圆C :+=1(a >b >0)的离心率为.其右顶点与上顶点的距离为,过点P (0,2)的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点.(1)求椭圆C 的方程;(2)设M 是AB 中点,且Q 点的坐标为(,0),当QM ⊥AB 时,求直线l 的方程.【考点】直线与椭圆的位置关系;椭圆的标准方程.【分析】(1)椭圆的离心率为.其右顶点与上顶点的距离为,列出方程组,求出a=,b=,由此能求出椭圆C 的方程.(2)若直线l 的斜率不存在,直线方程为x=0;若直线l 的斜率存在,设其方程为y=kx+2,与椭圆方程联立,得(2+3k2)x2+12kx+6=0,由此利用根的判别式、韦达定理、直线垂直,结合已知条件能求出直线l的方程.【解答】解:(1)∵椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率为.其右顶点与上顶点的距离为,∴由题意知:,解得a=,b=,∴椭圆C的方程为:.(2)①若直线l的斜率不存在,此时M为原点,满足QM⊥AB,∴方程为x=0;②若直线l的斜率存在,设其方程为y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),将直线方程与椭圆方程联立,得(2+3k2)x2+12kx+6=0,△=72k2﹣48>0,,设M(x0,y0),则,,由QM⊥AB,知,化简得3k2+5k+2=0,解得k=﹣1或k=﹣,将结果代入△=72k2﹣48>0验证,舍掉k=﹣,此时,直线l的方程为x+y﹣2=0,综上所述,直线l的方程为x=0或x+y﹣2=0.【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查直线方程的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意根的判别式、韦达定理、直线垂直、椭圆等知识点的合理运用.21.(12分)(2017•深圳一模)已知函数f(x)=(ax+1)lnx﹣ax+3,a∈R,g (x)是f(x)的导函数,e为自然对数的底数.(1)讨论g(x)的单调性;(2)当a>e时,证明:g(e﹣a)>0;(3)当a>e时,判断函数f(x)零点的个数,并说明理由.【考点】利用导数研究函数的单调性;根的存在性及根的个数判断.【分析】(1)求导,由导数与函数单调性的关系,即可求得g(x)的单调区间;(2)由g(e﹣a)=﹣a2+e a,构造函数h(x)=﹣x2+e x,求导,当x>e时,h′(x)>0,函数单调递增,即可求得h(x)=﹣x2+e x>﹣e2+e e>0,(3)由(1)可知,函数最小值为g()=0,故g(x)恰有两个零点x1,x2,则可判断x1,x2是函数的极大值和极小值,由函数零点的存在定理,求得函数f (x)只有一个零点.【解答】解:(1)对函数f(x),求导得g(x)=f′(x)=alnx+,g′(x)=﹣=,①当a≤0时,g′(x)<0,故g(x)在(0,+∞)上为减函数;②当a>0时,′(x)>0,可得x>,故g(x)的减区间为(0,),增区间为(,+∞);(2)证明:g(e﹣a)=﹣a2+e a,设h(x)=﹣x2+e x,则h′(x)=e x﹣2x,易知当x>e时,h′(x)>0,函数h(x)单调递增,h(x)=﹣x2+e x>﹣e2+e e>0,∴g(e﹣a)>0;(3)由(1)可知,当a>e时,g(x)是先减再增的函数,其最小值为g()=aln+a=a(ln+1)<0,而此时g()=1+,g(e﹣a)>0,且e﹣a<<,故g(x)恰有两个零点x1,x2,∵当x∈(0,x1)时,f′(x)=g(x)>0;当x∈(x1,x2)时,f′(x)=g(x)<0;当x∈(x2,+∞)时,f′(x)=g(x)>0,∴f(x)在x1,x2两点分别取到极大值和极小值,且x1∈(0,),由g(x1)=alnx1+=0,知a=﹣,∴f(x1)=(ax1+1)lnx1﹣ax1+3=lnx1++2,∵lnx1<0,∴lnx1+≤﹣2,但当lnx1+=﹣2时,lnx1=,则a=e,不合题意,所以f(x1)<0,故函数f(x)的图象与x轴不可能有两个交点.∴函数f(x)只有一个零点.【点评】本题考查导数的综合应用,考查导数与函数的单调性及及的关系,考查函数零点的判断,考查计算能力,属于中档题.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.(10分)(2017•深圳一模)在直角坐标系中xOy中,曲线E的参数方程为(α为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)写出曲线E的普通方程和极坐标方程;(2)若直线l与曲线E相交于点A、B两点,且OA⊥OB,求证: +为定值,并求出这个定值.【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程.【分析】(1)曲线E的参数方程消去参数,能求出曲线E的普通方程,进而能求出曲线E的极坐标方程.(2)不妨设设点A,B的极坐标分别为A(ρ1,θ),B(),从而得到,由此能证明(定值).【解答】解:(1)∵曲线E的参数方程为(α为参数),∴消去参数得曲线E的普通方程为,∴曲线E的极坐标方程为,∴所求的极坐标方程为3ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=12.(2)证明:不妨设设点A,B的极坐标分别为A(ρ1,θ),B(),则,即,∴=,即(定值).【点评】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的互化,考查代数式和为定值的证明,是中档题,解题时要认真审题,注意普通方程、极坐标方程的互化公式的合理运用.[选修4-5:不等式选讲]23.(2017•深圳一模)已知f(x)=|x+a|,g(x)=|x+3|﹣x.(1)当a=1,解不等式f(x)<g(x);(2)对任意x∈[﹣1,1],f(x)<g(x)恒成立,求a的取值范围.【考点】绝对值不等式的解法;函数恒成立问题.【分析】(1)把a=1代入f(x)后化简f(x)<g(x),对x分类讨论,分别去掉绝对值求出x的范围,最后再求并集可得答案;(2)由条件求出g(x),由绝对值不等式的解法化简|x+a|<3,求出a的表达式,由x的范围和恒成立求出a的取值范围.【解答】解:(1)当a=1,f(x)=|x+1|,由f(x)<g(x)可得|x+1|<|x+3|﹣x,即|x+3|﹣|x+1|﹣x>0,当x≤﹣3时,原不等式等价于﹣x﹣2>0,即x<﹣2,∴x≤﹣3,当﹣3<x<﹣1时,原不等式等价于x+4>0,即x>﹣4,∴﹣3<x<﹣1,当x≥﹣1时,原不等式等价于﹣x+2>0,即x<2,∴﹣1≤x<2,综上所述,不等式的解集为(﹣∞,2);(2)当x∈[﹣1,1]时,g(x)=|x+3|﹣x=3,∵对任意x∈[﹣1,1],f(x)<g(x)恒成立,∴对任意x∈[﹣1,1],|x+a|<3恒成立,∴﹣3<x+a<3,即﹣3﹣x<a<3﹣x,当x∈[﹣1,1]时恒成立,∴a的取值范围﹣2<a<2.【点评】本题考查绝对值不等式的解法,恒成立问题转化为求最值问题,以及分类讨论思想,考查化简、变形能力.。
2017高考全国1卷理科数学试题与答案解析[精校解析版]
2016年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷I)理科数学注意事项:1、 答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴 在答题卡上的指定位置•用2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑•2、 选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑•写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域内均无效3、 填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内 •写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效•4、 选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑.答案写在答题 卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效5、 考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交第I 卷一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的• 1.设集合 Ax 2x4x 30 , x 2x 3 0 ,则 AI B(A )3,3(B )3?(C )(D ) 3,322222.设(1 i)x1 yi ,其中 x, y 是实数,则 x yi(A ) 1(B )(C )(D ) 23. 已知等差数列 a n 前9项的和为27, a io 8,则3100(A ) 100(B ) 99(C ) 98( D ) 974. 某公司的班车在 7:00 , 8:00 , 8:30发车,小明在 7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到 达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是1(A ) 3 (B ) 2 (C ) I ( D ) 45.已知方程2y1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离4,则n 的取值范围(A) 1,3 (B) 1,、、3 (C) 0,3 (D) 0^.36. 如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是2^ ,则它的表面积是3(A 17(B)18 (C) 20 (D) 287. 函数y 2x2在2,2的图像大致为(A) a c b c(B) ab c ba c(C) alog b C blog a c (D log a c log b C9.执行右面的程序框图,如果输入的x 0, y 1,n 1,则输出(A) y 2x (B) y 3x (C) y 4x (D) y 5x10.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于DE两点.已知| AE|= 4DE|=2 .,5,则C的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)811.平面过正方体ABCDABCD 的顶点A, //平面CBD,I平面ABC=m I平面AB BA=n,则m n所成角的正弦值为(22 (B)2),x— 为f (x)的零点,x 4为y f (x)图5像的对称轴,且f (x)在 ,二单调,18 36二、填空题:本大题共 3小题,每小题5分2 2 213.设向量 a =(m 1) , b =(1,2),且 |a +b | =| a | +| b | ,15.设等比数列 a n 满足 a 1+a 3=10, a 2+a 4=5,贝V aa ^16.某高科技企业生产产品 A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5kg , 乙材料1kg ,用5个工时;生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ,乙材料0.3kg ,用3个工时.生产一件产品A 的利润为2100元,生产一件产品 B 的利润为900元.该企业现有甲材料 150kg ,乙材料90kg ,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 .解答题:解答应写出文字说明 ,证明过程或演算步骤.(A ) 11 (B ) 9 (C ) 7 (D ) 514. (2x .x)5的展开式中,x 3的系数是(用数字填写答案)12.已知函数 f(x) sin( x+ )(0,的最大值为则n r…a n 的最大值为17.(本小题满分为12 分)ABC 的内角A , B, C 的对边分别为 a , b , c ,已知 2cos C(acosB+b cos A) c.(I )求 C;(II )若 c -.7 ,ABC 的面积为,求 ABC 的周长.218.(本小题满分为12分)如图,在以 A , B, C, D E , F 为顶点的五面体中,面 ABEF 为正方形,AF =2FD, AFD 90°,且二面角D -AF-E 与二面角G BE F 都是60° .(I )证明:平面 ABEF 平面EFDC (II )求二面角E -BGA 的余弦值.元.19.(本小题满分12分)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰•机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元•在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元•现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,门表示购买2台机器的同时购买的易损零件数•(I )求X的分布列;(II )若要求P(X n) 0.5,确定n的最小值;(III )以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n 19与n 20之中选其一,应选用哪个?20. (本小题满分12分)设圆x2 y2 2x 15 0的圆心为A直线I过点B(1,0 )且与x轴不重合,I交圆A于CD两点,过B作AC的平行线交AD于点E(I)证明EA EB为定值,并写出点E的轨迹方程;(II )设点E的轨迹为曲线C,直线I交C于MN两点,过B且与I垂直的直线与圆A交于P,Q 两点,求四边形MPN(面积的取值范围.221. (本小题满分12分)已知函数fx x 2 e x a x 1有两个零点.(I)求a的取值范围;(II)设X1,X2是f x的两个零点,证明:x1 x2 2.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分22.(本小题满分10分)选修4-1 :几何证明选讲1如图,△ OAB是等腰三角形,/ AOB120。
深圳市2017届高三年级第一次调研考试(理数)
深圳市2017届高三年级第一次调研考试数学(理科)本试卷共23小题,满分150分.考试用时120分钟. 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名 和考生号,并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区,请保持条形码整洁、 不污损.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上. 3.非选择题必须用毫米黑色字迹的签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和 涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再做答. 5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}{}22,4,,6,8,B |9180A x x x ==-+≤,则AB =( )A . {}2,4B .{}4,6C .{}6,8D .{}2,8 2.若复数()12a ia R i+∈+为纯虚数,其中i 为虚数单位,则a = ( ) A . 2 B . 3 C .-2 D .-33.袋中装有大小相同的四个球,四个球上分别标有数字“2”,“3”,“4”,“6”.现从中随机选取三个球,则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是( )A .14 B .12 C .13 D . 234.等比数列{}n a 的前n 项和为,31b a S n n +⋅=-则a b= ( )A .-3B . -1 C. 1 D .35.直线():40l kx y k R ++=∈是圆22:4460C x y x y ++-+=的一条对称轴,过点()0,A k 作斜率为1的直线m ,则直线m 被圆C 所截得的弦长为 ( )A .22B .2 C. 6 D .266.祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家,他在实践的基础上提出了体积计算的原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是,如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等,那么这两个几何体的体积相等.此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时,需要构造一个满足条件的几何体,已知该几何体三视图如图所示,用一个与该几何体的下底面平行相距为()02h h <<的平面截该几何体, 则截面面积为 ( )A .4πB .2h π C. ()22h π- D .()24h π-7.函数x x f xx cos 1212)(⋅-+=的图象大致是( )8.已知0,0a b c >><,下列不等关系中正确的是 ( ) A .ac bc > B .c c a b > C. ()()log log a b a c b c ->- D .a ba cb c>-- 9.执行如图所示的程序框图,若输入2017p =,则输出i 的值为( ) A . 335 B .336 C. 337 D .33810.已知F 是双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的右焦点,过点F 作E 的一条渐近线的垂线,垂足为P ,线段PF 与E 相交于点Q ,记点Q 到E 的两条渐近线的距离之积为2d ,若2FP d =,则该双曲线的离心率是( )A 2B .2 C. 3 D .411.已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -,球O 与该正方体的各个面相切,则平面1ACB 截此球所得的截面的面积为( )A .83π B .53π C. 43π D .23π12.已知函数()2,0,x x f x x e e=≠为自然对数的底数,关于x ()()0f x f x λ=有四个相异实根,则实数λ的取值范围是( )A .),(e 20 B .),22(+∞ C.),2(+∞+ee D .),42(22+∞+e e 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答。
2017广东高考理科数学真题及解析
2017年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.若集合,,则().A.B.C.D.2.若复数(是虚数单位),则().A.B.C.D.3.下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是().A.B.C.D.4.袋中共有个除了颜色外完全相同的球,其中有个白球,个红球.从袋中任取个球,所取的个球中恰有个白球,个红球的概率为().A.B.C.D.5.平行于直线且与圆相切的直线的方程是().A.或B.或C.或D.或6.若变量,满足约束条件,则的最小值为().A.B.C.D.7.已知双曲线的离心率,且其右焦点为,则双曲线的方程为().A.B.C.D.8.若空间中个不同的点两两距离都相等,则正整数的取值().A.至多等于B.至多等于C.等于D.大于二、填空题(本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.)(一)必做题(11~13题)9.在的展开式中,的系数为__________.10.在等差数列中,若,则__________.11.设的内角,,的对边分别为,,.若,,,则__________.12.某高三毕业班有人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了__________条毕业留言.(用数字作答)13.已知随机变量服从二项分布,若,,则__________.(二)选做题(14、15题,考生只能从中选作一题)14.(坐标系与参数方程选做题)已知直线的极坐标方程为,点的极坐标为,则点到直线的距离为__________.15.(几何证明选讲选做题)如图,已知是圆的直径,,是圆的切线,切点为,.过圆心作的平行线,分别交和于点和点,则__________.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.16.(本小题满分12分)在平面直角坐标系中,已知向量,,.(Ⅰ)若,求的值;(Ⅱ)若与的夹角为,求的值.17.(本小题满分分)某工厂名工人年龄数据如下表工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄1 40 10 36 19 27 28 342 44 11 31 20 43 29 393 40 12 38 21 41 30 434 41 13 39 22 37 31 385 33 14 43 23 34 32 426 40 15 45 24 42 33 537 45 16 39 25 37 34 378 42 17 38 26 44 35 499 43 18 36 27 42 36 39(Ⅰ)用系统抽样法从名工人中抽取容量为的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为,列出样本的年龄数据;(Ⅱ)计算(Ⅰ)中样本的均值和方差;(Ⅲ)名工人中年龄在和之间有多少人?所占百分比是多少(精确到0.01%)?18.(本小题满分分)如图2,三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直,,,,点是的中点,点、分别在线段、上,且,.(Ⅰ)证明:;(Ⅱ)求二面角的正切值;(Ⅲ)求直线与直线所成角的余弦值.19.(本小题满分分)设,函数.(Ⅰ)求的单调区间;(Ⅱ)证明在上仅有一个零点;(Ⅲ)若曲线在点处的切线与轴平行,且在点处的切线与直线平行,(是坐标原点),证明:.20.(本小题满分分)已知过原点的动直线与圆:相交于不同的两个点、.(Ⅰ)求圆的圆心坐标;(Ⅱ)求线段的中点的轨迹的方程;(Ⅲ)是否存在实数,使得直线:与曲线只有一个交点?若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由.21.(本小题满分分)数列满足:,.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求数列的前项和;(Ⅲ)令,(),证明:数列的前项和满足.2017年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)一、选择题(满分40分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 D A D B A B C B二、填空题(满分30分)9.10.11.12.13.14.15.三、解答题(满分80分)16.(本小题满分13分)解:(Ⅰ)由题意得,则,,则,,.(Ⅱ), ,, ,.17.(本小题满分13分)解:(Ⅰ)(Ⅱ),.(Ⅲ), ,在上有23个,占.18.(本小题满分14分)证明:(Ⅰ)在中且为中点,所以,又因为平面平面,平面平面,平面所以平面,又因为平面,所以.(Ⅱ)由(Ⅰ)知平面所以又因为且所以平面所以,所以为二面角的平面角.在中,所以(Ⅲ)连结,则在中,因为,所以所以直线与直线所成角即为直线与直线所成角在中,由余弦定理得19.(本小题满分分)解:(1),所以对,恒成立,所以的单调递增区间为.(2)由题知,所以,由(1)知,在上单调递增,所以在有且只有一个零点.(3),设点,则,解的.所以,所以,令,则由得当时,当时,所以的最小值为所以所以,所以即所以,得证.20.(本小题满分分)解:(1)圆的标准方程为所以圆的圆心坐标为.(2)设动直线的方程为,联立得,则,所以,的取值范围为,设,两点坐标分别为,,则由韦达定理得,所以则线段中点轨迹的参数方程为:,所以,的方程为,.(Ⅲ)当直线与曲线相切时,只有一个交点,此时圆心到直线的距离为.得.直线过定点则,所以.21.(本题满分14分)解:(),,,()时,与原式想减得,也符合上式,所以()所以()时,故下面只需证明()只需证明,不等式左边不等式右边,所以原式成立.2017年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)选填解析一、选择题1.【答案】D【解析】,所以.故选D.2.【答案】A【解析】,所以.故选A.3.【答案】D【解析】为偶函数,为奇函数为偶函数,所以答案选D.故选D.4.【答案】B【解析】.故选B5.【答案】A【解析】与直线平行的直线可以设为,圆圆心坐标为半径为直线与圆相切所以圆心到直线的距离等于半径即:所以求的.故选A.6.【答案】B【解析】由图知过点时取得最小值.故答案为B.7.【答案】C【解析】因为离心率又所以,即得,所以即.故答案选C.8.【答案】B二、填空题9.【答案】【解析】,所以,系数为.故答案为.10.【答案】【解析】,则,所以.故答案为.11.【答案】【解析】因为,则或,因为,所以,则.由正弦定理得,.故答案为.12.【答案】【解析】因为人两两之间要互写留言,所以每人要写条,一共有条留言.故答案为13.【答案】【解析】,,解得.故答案为14.【答案】【解析】,,由点到直线距离公式得.故答案为15.【答案】【解析】连结,由题得,,,则.故答案为。
广东省深圳市高考数学一模试卷(理科)(解析版)
2017 年广东省深圳市高考数学一模试卷(理科)一、选择题:本大题共 12 个小题,每题 5 分,共 60 分 .在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项切合题目要求的 .1.若会合 A={2 , 4, 6, 8} ,B={x|x 2﹣ 9x+18 ≤ 0} ,则 A ∩B= ()A.{2, 4} B.{4, 6} C.{6,8} D.{2 ,8}2.若复数( a∈ R)为纯虚数,此中i 为虚数单位,则 a=()A . 2B . 3 C.﹣ 2 D.﹣33.袋中装有大小同样的四个球,四个球上分别标有数字“ 2,”“ 3,”“ 4,”“ 6,”现从中随机选取三个球,则所选的三个球上的数字能组成等差数列的概率是()A .B .C. D .n n=a?3n﹣1=()4.等比数列 {a } 的前 n 项和为S +b ,则A.﹣ 3 B.﹣ 1 C. 1 D .32 2的一条对称轴,过点 A (0, k)5.直线 l: kx+y+4=0 ( k∈ R)是圆 C: x +y +4x ﹣4y+6=0作斜率为 1 的直线 m,则直线 m 被圆 C 所截得的弦长为()A .B .C. D .26.祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家,他在实践的基础上提出了体积计算的原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是,假如两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等,那么这两个几何体的体积相等.此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时,需要构造一个知足条件的几何体,已知该几何体三视图以下图,用一个与该几何体的下底面平行相距为 h(0< h< 2)的平面截该几何体,则截面面积为()A . 4π2 2 2B .πh C.π( 2﹣ h) D .π( 4﹣ h)7.函数 f( x)=?cosx 的图象大概是()A.B.C.D.8.已知 a>b> 0 , c<0,以下不等关系中正确的选项是()c> b cA . ac> bcB . aC. log a(a﹣ c)> log b( b﹣ c)D.>9.履行以下图的程序框图,若输入p=2017 ,则输出i 的值为()A . 335B . 336C. 337 D .33810.已知 F 是双曲线E:﹣=1( a> 0,b> 0)的右焦点,过点 F 作 E 的一条渐近线的垂线,垂足为P,线段 PF 与 E 订交于点Q,记点 Q 到 E 的两条渐近线的距离之积为d2,若|FP|=2d,则该双曲线的离心率是()A.B.2C.3D.411.已知棱长为2的正方体ABCD ﹣ A 1B1C1D1,球 O 与该正方体的各个面相切,则平面ACB 1 截此球所得的截面的面积为()A.B.C.D.12.已知函数f(x)=,x≠ 0,e为自然对数的底数,对于x的方程+﹣λ =0 有四个相异实根,则实数λ的取值范围是()A .( 0,)B .(2,+∞)C.( e+,+∞) D .(+,+∞)二、填空题:本大题共 4 小题,每题 5 分,满分20 分,将答案填在答题纸上13.已知向量=( 1, 2),=( x, 3),若⊥,则|+|= .14.(﹣) 5 的二项睁开式中,含x 的一次项的系数为(用数字作答).15.若实数x, y 知足不等式组,目标函数z=kx ﹣ y 的最大值为12,最小值为 0,则实数 k= .﹣( n+2) a 2 < a 对 ? n∈=λn16.已知数列 {a n} 知足 na n+2 +2n),此中 a1=1 ,a2=2,若 a n n+1n(*恒成立,则实数λ.N 的取值范围是三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.△ ABC 的内角 A 、 B、 C 的对边分别为a、 b、 c,已知 2a=csinA ﹣ acosC.(1)求 C;(2)若 c= ,求△ ABC 的面积 S 的最大值.18.如图,四边形ABCD 为菱形,四边形ACEFAB=BD=2 , AE=,∠ EAD=∠EAB.为平行四边形,设BD 与AC 订交于点G,(1)证明:平面 ACEF ⊥平面 ABCD ;(2)若 AE 与平面 ABCD 所成角为 60°,求二面角 B ﹣EF﹣ D 的余弦值.19.某市为了鼓舞市民节俭用电,推行“阶梯式”电价,将该市每户居民的月用电量区分为三档,月用电量不超出200 度的部分按0.5 元 /度收费,超出200 度但不超出400 度的部分按0.8 元 /度收费,超出400 度的部分按 1.0 元 /度收费.(1)求某户居民用电花费y(单位:元)对于月用电量x(单位:度)的函数分析式;(2)为了认识居民的用电状况,经过抽样,获取了今年 1 月份100 户居民每户的用电量,统计剖析后获取以下图的频次散布直方图,若这100 户居民中,今年 1 月份用电花费不超过 260 元的点80% ,求a, b 的值;(3)在知足( 2)的条件下,若以这100 户居民用电量的频次取代该月全市居民用户用电量的概率,且同组中的数据用该组区间的中点值取代,记Y 为该居民用户 1 月份的用电花费,求 Y 的散布列和数学希望.20.已成椭圆C:+=1( a> b> 0)的左右极点分别为A 1、A 2,上下极点分别为 B 2/B 1,左右焦点分别为 F1、 F2,此中长轴长为4,且圆 O: x2+y 2= 为菱形 A 1B 1A 2B2的内切圆.(1 )求椭圆 C 的方程;(2 )点 N( n, 0)为 x 轴正半轴上一点,过点N 作椭圆 C 的切线 l,记右焦点 F2在 l 上的射影为 H,若△ F1HN 的面积不小于n2,求 n 的取值范围.21.已知函数 f ( x) =xlnx , e 为自然对数的底数.(1 )求曲线 y=f ( x)在 x=e﹣2处的切线方程;(2 )对于 x 的不等式 f (x)≥λ( x﹣ 1)在( 0 ,+∞)上恒成立,务实数λ的值;(3 )对于 x 的方程 f ( x) =a 有两个实根 x1, x2,求证: |x1﹣ x2|< 2a+1+e﹣2.[ 选修 4-4:坐标系与参数方程]22.在直角坐标系中xOy 中,已知曲线 E 经过点P( 1,),其参数方程为(α为参数),以原点O 为极点, x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系.(1)求曲线 E 的极坐标方程;(2)若直线 l 交 E 于点 A 、B,且 OA ⊥OB ,求证:+为定值,并求出这个定值.[ 选修 4-5:不等式选讲]23.已知 f ( x) =|x+a|, g(x) =|x+3| ﹣x,记对于x 的不等式f( x)< g(x)的解集为M .(1)若 a﹣3∈ M ,务实数 a 的取值范围;(2)若 [ ﹣ 1, 1] ? M ,务实数 a 的取值范围.2017 年广东省深圳市高考数学一模试卷(理科)参照答案与试题分析一、选择题:本大题共12 个小题,每题 5 分,共60 分 .在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项切合题目要求的.1.若会合A={2 , 4, 6, 8} ,B={x|x 2﹣9x+18≤0},则A∩B=()A.{2, 4}B.{4, 6} 【考点】交集及其运算.【剖析】求出 B 中不等式的解集确立出C.{6,8}B ,找出 A 与 B 的交集即可.D.{2 ,8}【解答】解:∵A={2 , 4, 6, 8} , B={x|x 2﹣9x+18≤0}={x| ( x﹣ 3)( x﹣ 6)≤ 0}={x|3 ≤ x ≤6} ,∴A ∩B={4 ,6},应选: B.2.若复数( a∈R)为纯虚数,此中i 为虚数单位,则a=()A.2B.3 C.﹣ 2 D.﹣3【考点】复数代数形式的乘除运算.【剖析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数,依据已知条件列出方程组,求解即可得答案.【解答】解:= = ,∵复数( a∈ R)为纯虚数,∴,解得: a=﹣ 2.应选: C.3.袋中装有大小同样的四个球,四个球上分别标有数字“ 2,”“ 3,”“ 4,”“ 6,”现从中随机选取三个球,则所选的三个球上的数字能组成等差数列的概率是()A.B.C.D.【考点】列举法计算基本领件数及事件发生的概率.【剖析】现从中随机选用三个球,基本领件总数n==4 ,所选的三个球上的数字能组成等差数列包括的基本领件的个数,由此能求出所选的三个球上的数字能组成等差数列的概率.【解答】解:袋中装有大小同样的四个球,四个球上分别标有数字“2,”“3”,“4”,“6,”现从中随机选用三个球,基本领件总数n==4,所选的三个球上的数字能组成等差数列包括的基本领件有:(2, 3, 4),( 2, 4, 6),共有 2 个,∴所选的三个球上的数字能组成等差数列的概率是p= =.应选: B.4.等比数列 {a n} 的前 n 项和为 S n=a?3n﹣1+b ,则=()A.﹣ 3 B.﹣ 1 C. 1 D .3【考点】等比数列的通项公式.【剖析】由等比数列{a n} 的前 n 项和求出前 3 项,由此能求出利用等比数列{a n} 中,,能求出.【解答】解:∵等比数列 {a n} 的前 n 项和为 S n=a?3n﹣1 +b,∴a1=S1=a+b,a2=S2﹣S1=3a+b﹣ a﹣ b=2a,a3=S3﹣S2=9a+b﹣ 3a﹣b=6a,∵等比数列 {a n} 中,,∴( 2a)2=( a+b)× 6a,解得=﹣ 3.应选: A.5.直线 l: kx+y+4=0 ( k∈ R)是圆 C: x2+y 2+4x ﹣4y+6=0 的一条对称轴,过点A (0, k)作斜率为 1 的直线 m,则直线 m 被圆 C 所截得的弦长为()A .B .C. D .2【考点】直线与圆的地点关系.【剖析】求出圆的标准方程可得圆心和半径,由直线l: kx+y+4=0 经过圆 C 的圆心(﹣ 2,2),求得 k 的值,可得点 A 的坐标,求出圆心到直线的距离,即可得出结论.2 2 2 2【解答】解:∵圆 C: x +y +4x ﹣4y+6=0 ,即( x+2) +( y﹣ 2)=2 ,表示以 C(﹣ 2, 2)为圆心、半径等于的圆.由题意可得,直线 l: kx+y+4=0 经过圆 C 的圆心(﹣ 2,2),故有﹣ 2k+2+4=0 ,∴ k=3 ,点 A (0,3).直线 m: y=x+3 ,圆心到直线的距离d= = ,∴直线 m 被圆 C 所截得的弦长为 2 = .应选: C.6.祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家,他在实践的基础上提出了体积计算的原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是,假如两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等,那么这两个几何体的体积相等.此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时,需要构造一个知足条件的几何体,已知该几何体三视图以下图,用一个与该几何体的下底面平行相距为h(0< h< 2)的平面截该几何体,则截面面积为()A . 4π2C.π( 2﹣ h)2D .π( 4﹣ h)2 B .πh【考点】由三视图求面积、体积.【剖析】由题意,第一获取几何体为一个圆柱挖去一个圆锥,获取截面为圆,明确其半径求面积.【解答】解:由已知获取几何体为一个圆柱挖去一个圆锥,底面半径为 2 高为 2,设截面的圆半径为 r,则,获取 r=h,因此截面圆的面积为2 πh;应选 B.7.函数 f( x)=?cosx 的图象大概是()A.B.C.D.【考点】函数的图象.【剖析】先判断函数的奇偶性,再判断函数值,问题得以解决.【解答】解: f (﹣ x) =?cos(﹣ x) =?cosx=﹣ f( x),∴f (x)为奇函数,∴函数 f( x)的图象对于原点对称,当 x∈( 0,)时,cosx>0,>0,∴f (x)> 0 在( 0,)上恒成立,应选: C8.已知 a>b> 0, c<0,以下不等关系中正确的选项是()A . ac> bcB . a c> b cC. log a(a﹣ c)> log b( b﹣ c)D.>【考点】不等式的基天性质.【剖析】依据不等式的性质求出a( b﹣ c)> b( a﹣c)以及 a﹣ c> b﹣c> 0,从而求出答案.【解答】解:∵a> b> 0, c< 0,﹣ c> 0,∴a﹣ c> b﹣c>0, ac< bc,故 a( b﹣ c)> b( a﹣ c),故>,应选: D.9.履行以下图的程序框图,若输入p=2017 ,则输出i 的值为()A.335 B.336 C. 337 D .338【考点】程序框图.【剖析】依据题意,模拟程序框图的运转过程,即可得出输出i 的值.【解答】解:模拟程序的运转,可得程序框图的功能是统计 1 到 2017 这些数中能同时被 2 和 3 整除的数的个数i ,因为: 2017=336× 6+1,故程序框图输出的i 的值为 336.应选: B.10.已知 F 是双曲线E:﹣=1( a> 0,b> 0)的右焦点,过点 F 作E 的一条渐近线的垂线,垂足为 P,线段 PF 与 E 订交于点若|FP|=2d,则该双曲线的离心率是(A. B.2Q,记点)C. 3Q 到E 的两条渐近线的距离之积为D .4d2,【考点】双曲线的简单性质.【剖析】 E 上随意一点Q( x,y)到两条渐近线的距离之积为d1d2===d 2,F( c, 0)到渐近线bx﹣ ay=0 的距离为=b=2d,求出可求双曲线的离心率.【解答】解:E 上随意一点Q( x,y)到两条渐近线的距离之积为d1d2===d2,F( c, 0)到渐近线bx﹣ ay=0 的距离为=b=2d,∴,∴e= =2,应选 B.11.已知棱长为2的正方体ABCD ﹣ A 1B1C1D1,球 O 与该正方体的各个面相切,则平面ACB 1 截此球所得的截面的面积为()A.B.C.D.【考点】球的体积和表面积.【剖析】求出平面ACB 1截此球所得的截面的圆的半径,即可求出平面ACB 1截此球所得的截面的面积.【解答】解:由题意,球心与 B 的距离为=,B到平面ACB1的距离为=,球的半径为1,球心到平面ACB 1的距离为﹣=,∴平面ACB 1截此球所得的截面的圆的半径为=,∴平面 ACB 1截此球所得的截面的面积为=,应选 A.12.已知函数f(x)=,x≠ 0,e为自然对数的底数,对于x的方程+﹣λ =0有四个相异实根,则实数λ的取值范围是()A.(0,) B .(2 , +∞)C.( e+ , +∞) D .(+,+∞)【考点】根的存在性及根的个数判断.【剖析】求导数,确立函数的单一性,可得 x=2 时,函数获得极大值,对于 x 的方程+ ﹣λ =0有四个相异实根,则t+ ﹣λ =0的一根在( 0,),另一根在(,+∞)之间,即可得出结论.【解答】解:由题意, f ′( x) = ,∴x< 0 或 x> 2 时, f ′( x)< 0,函数单一递减,0< x<2 时, f ′( x)> 0,函数单一递加,∴x=2 时,函数获得极大值,对于 x 的方程+ ﹣λ=0有四个相异实根,则t+ ﹣λ=0的一根在( 0,),另一根在(, +∞)之间,∴λ e+,,∴ >应选: C.二、填空题:本大题共 4 小题,每题 5 分,满分20 分,将答案填在答题纸上13.已知向量=( 1, 2), =( x, 3),若⊥,则| +|= 5.【考点】平面向量的坐标运算.【剖析】⊥,可得=0 ,解得x.再利用向量模的计算公式即可得出.【解答】解:∵⊥,∴=x+6=0 ,解得x=﹣ 6.∴=(﹣ 5, 5).∴|+|= =5 .故答案为: 5.14.(﹣)5的二项睁开式中,含x 的一次项的系数为﹣5(用数字作答).【考点】二项式系数的性质.【剖析】写出二项睁开式的通项,由x 的指数等于 1 求得 r 值,则答案可求.【解答】解:(﹣)5的二项睁开式中,通项公式为:T r+1 =??=(﹣ 1)r? ?,令=1,得 r=1 ;∴二项式(﹣)5的睁开式中含x 的一次项系数为:﹣1? =﹣ 5.故答案为:﹣ 5.15.若实数x, y 知足不等式组,目标函数z=kx ﹣ y 的最大值为12,最小值为 0,则实数k= 3.【考点】简单线性规划.【剖析】先画出可行域,获取角点坐标.利用k 与0 的大小,分类议论,联合目标函数的最值求解即可.【解答】解:实数x,y 知足不等式组的可行域如图:得: A ( 1,3), B( 1,﹣2), C( 4, 0).①当 k=0 时,目标函数z=kx ﹣ y 的最大值为12,最小值为0,不知足题意.②当 k> 0 时,目标函数 z=kx ﹣ y 的最大值为 12,最小值为 0,当直线 z=kx ﹣ y 过 C(4, 0)时,Z 获得最大值 12.当直线 z=kx ﹣y 过 A ( 3,1)时, Z 获得最小值0.可得 k=3 ,知足题意.③当 k< 0 时,目标函数 z=kx ﹣ y 的最大值为 12,最小值为 0,当直线 z=kx ﹣ y 过 C(4, 0)时,Z 获得最大值 12.可得 k= ﹣ 3,当直线 z=kx ﹣y 过, B( 1,﹣ 2)时, Z 获得最小值0.可得 k=﹣ 2,无解.综上 k=3故答案为: 3.16.已知数列 {a n} 知足 na n+2﹣( n+2) a n=λ( n2 +2n),此中 a1=1,a2=2,若 a n< a n+1对 ? n∈ N*恒成立,则实数λ的取值范围是 [0, +∞).【考点】数列递推式.【剖析】把已知递推式变形,可得数列{} 的奇数项与偶数项均是以λ为公差的等差数列,分类求其通项公式,代入a n< a n+1,分别参数λ求解.【解答】解:由na n+2﹣( n+2) a n=λ(n2+2n) =λn( n+2 ),得,∴数列 {} 的奇数项与偶数项均是以λ为公差的等差数列,∵a1=1, a2=2,∴当 n 为奇数时,,∴;当 n 为偶数时,,∴.当 n 为奇数时,由a n< a n+1,得<,即λ( n﹣1)>﹣ 2.若 n=1 ,λ∈ R,若 n> 1 则λ>,∴ λ≥ 0;当 n 为偶数时,由a n< a n+1,得<,即 3nλ>﹣ 2,∴λ>,即λ≥ 0.综上,λ的取值范围为 [0, +∞).故答案为: [0,+∞).三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.△ ABC 的内角 A 、 B、 C 的对边分别为a、 b、 c,已知2a= csinA ﹣ acosC.(1)求 C;(2)若 c=,求△ ABC的面积S的最大值.【考点】正弦定理;余弦定理.【剖析】( 1)由正弦定理,三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin( C﹣)=1,联合 C 的范围,可得 C 的值.(2)由余弦定理,基本不等式可求ab≤ 1,从而利用三角形面积公式可求△ABC 面积的最大值.【解答】(此题满分为12 分)解:( 1)∵ 2a=csinA ﹣ acosC,∴由正弦定理可得:2sinA=sinCsinA ﹣ sinAcosC , 2分∵s inA ≠ 0,∴可得:2= sinC﹣ cosC,解得:sin( C﹣) =1,∵C∈( 0,π),可得:C﹣∈(﹣,),∴C﹣=,可得:C= . 6分(2)∵由( 1)可得: cosC=﹣,∴由余弦定理,基本不等式可得: 3=b 2+a2+ab≥ 3ab,即:ab≤ 1,(当且仅当b=a 时取等号) 8 分∴S△ABC = absinC=ab≤,可得△ ABC面积的最大值为. 12分18.如图,四边形ABCD 为菱形,四边形ACEF 为平行四边形,设BD 与AC 订交于点G,AB=BD=2 , AE= ,∠ EAD= ∠EAB .(1)证明:平面 ACEF ⊥平面 ABCD ;(2)若 AE 与平面 ABCD 所成角为 60°,求二面角 B ﹣EF﹣ D 的余弦值.【考点】二面角的平面角及求法;平面与平面垂直的判断.【剖析】( 1)连结 EG,由四边形 ABCD 为菱形,可得 AD=AB ,BD ⊥ AC ,DG=GB ,可证△EAD ≌△ EAB ,进一步证明 BD ⊥平面 ACEF ,则平面 ACEF ⊥平面 ABCD ;(2)法一、过 G 作 EF 的垂线,垂足为M ,连结 MB , MG , MD ,可得∠ EAC 为 AE 与面ABCD 所成的角,获取EF⊥平面 BDM ,可得∠ DMB 为二面角 B﹣ EF﹣ D 的平面角,在△ DMB 中,由余弦定理求得∠ BMD 的余弦值,进一步获取二面角 B ﹣EF﹣D 的余弦值;法二、在平面 ABCD 内,过 G 作 AC 的垂线,交 EF 于 M 点,由( 1)可知,平面 ACEF ⊥平面 ABCD ,得 MG ⊥平面 ABCD ,则直线 GM 、GA 、GB 两两相互垂直,分别以 GA 、GB 、GM 为 x、y、z 轴成立空间直角坐标系G﹣ xyz,分别求出平面 BEF 与平面 DEF 的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得二面角B﹣ EF﹣D 的余弦值.【解答】( 1)证明:连结EG,∵四边形 ABCD 为菱形,∴ AD=AB ,BD ⊥ AC , DG=GB ,在△ EAD 和△ EAB 中,AD=AB , AE=AE ,∠ EAD= ∠EAB ,∴△ EAD ≌△ EAB ,∴E D=EB ,则 BD ⊥EG,又 AC ∩ EG=G ,∴ BD ⊥平面ACEF ,∵BD ? 平面 ABCD ,∴平面 ACEF ⊥平面 ABCD ;(2)解法一:过G 作 EF 的垂线,垂足为M ,连结 MB , MG , MD ,易得∠ EAC 为 AE 与面 ABCD 所成的角,∴∠ EAC=60°,∵E F⊥GM , EF⊥ BD ,∴EF ⊥平面 BDM ,∴∠ DMB 为二面角 B﹣ EF﹣ D 的平面角,可求得MG= , DM=BM= ,在△ DMB 中,由余弦定理可得:cos∠BMD= ,∴二面角B﹣EF﹣ D 的余弦值为;解法二:如图,在平面ABCD 内,过G 作AC 的垂线,交EF 于M 点,由( 1)可知,平面ACEF ⊥平面 ABCD ,∵MG ⊥平面 ABCD ,∴直线 GM 、 GA 、GB 两两相互垂直,分别以 GA 、GB、 GM 为 x、 y、 z 轴成立空间直角坐标系G﹣ xyz,可得∠ EAC 为 AE 与平面 ABCD 所成的角,∴∠EAC=60°,则 D ( 0,﹣ 1, 0), B( 0, 1, 0), E(),F(),,,设平面BEF 的一个法向量为,则,取 z=2,可得平面同理可求得平面BEF 的一个法向量为DEF 的一个法向量为,,∴cos<>==,∴二面角 B ﹣ EF﹣ D 的余弦值为.19.某市为了鼓舞市民节俭用电,推行“阶梯式”电价,将该市每户居民的月用电量区分为三档,月用电量不超出200 度的部分按0.5 元 /度收费,超出200 度但不超出400 度的部分按0.8 元 /度收费,超出400 度的部分按 1.0 元 /度收费.(1)求某户居民用电花费y(单位:元)对于月用电量x(单位:度)的函数分析式;(2)为了认识居民的用电状况,经过抽样,获取了今年 1 月份100 户居民每户的用电量,统计剖析后获取以下图的频次散布直方图,若这100 户居民中,今年 1 月份用电花费不超过 260 元的点80% ,求a, b 的值;(3)在知足( 2)的条件下,若以这100 户居民用电量的频次取代该月全市居民用户用电量的概率,且同组中的数据用该组区间的中点值取代,记Y 为该居民用户 1 月份的用电花费,求 Y 的散布列和数学希望.【考点】失散型随机变量的希望与方差;频次散布直方图;失散型随机变量及其散布列.【剖析】( 1)利用分段函数的性质即可得出.(2)利用( 1),联合频次散布直方图的性质即可得出.(3)由题意可知 X 可取 50, 150, 250, 350,450, 550.联合频次散布直方图的性质即可得出.【解答】解:( 1)当 0≤ x≤ 200 时, y=0.5x ;当 200< x≤ 400 时,××( x﹣ 200)=0.8x ﹣ 60,当 x> 400 时,×××( x﹣ 400) =x ﹣ 140,因此 y 与 x 之间的函数分析式为:y=.(2)由( 1)可知:当y=260 时, x=400,则 P(x≤ 400)=0.80 ,联合频次散布直方图可知:0.1+2× 100b+0.3=0.8 ,100a+0.05=0.2 ,∴a=0.0015 ,.(3)由题意可知 X 可取 50, 150,250, 350, 450,550.当x=50 时, y=0.5 × 50=25,∴ P( y=25),当 x=150 时, y=0.5 ×150=75 ,∴ P( y=75),当 x=250 时, y=0.5 ×200+0.8 ×50=140 ,∴ P( y=140 ),当x=350 时, y=0.5 ×200+0.8 ×150=220,∴ P( y=220 ),当 x=450 时, y=0.5 ×200+0.8 ×× 50=310,∴ P( y=310),当 x=550 时,y=0.5 ×200××× 150=410 ,∴ P(y=410 ).故 Y 的概率散布列为:Y 25 75 140 220 310410P因此随机变量Y 的数学希望EY=25 × 0.1+75× 0.2+140× 0.3+220× 0.2+310× 0.15+410× 0.05=170.5 .20.已成椭圆C:+=1( a> b> 0)的左右极点分别为A 1、A 2,上下极点分别为 B 2/B 1,左右焦点分别为F1、 F2,此中长轴长为2 2为菱形 A 1B 1A 2B2的内切圆.4,且圆 O: x +y =(1)求椭圆 C 的方程;(2)点 N( n, 0)为 x 轴正半轴上一点,过点N 作椭圆 C 的切线 l,记右焦点F2在 l 上的射影为 H ,若△ F 1HN 的面积不小于 n 2,求 n 的取值范围.【考点】椭圆的简单性质.【剖析】( 1)由题意求得 a ,直线 A 2B 2 的方程为 ,利用点到直线的距离公式,即可求得 b 的值,求得椭圆C 的方程;(2)设直线方程,代入椭圆方程,由△=0 ,求得 m 和 n 的关系,利用三角形的面积公式,求得 m 的取值范围,代入即可求得n 的取值范围.【解答】解:( 1)由题意知 2a=4,因此 a=2,因此 A 1(﹣ 2, 0),A 2( 2, 0), B 1(0,﹣ b ), B 2( 0,b ),则 直线 A 2B 2 的方程为,即 bx+2y ﹣ 2b=0,因此=,解得 b 2=3 ,故椭圆 C 的方程为;(2)由题意,可设直线l 的方程为 x=my+n , m ≠ 0,联立,消去 x 得( 3m 222+4) y +6mny+3 ( n ﹣ 4)=0,(* )由直线 l 与椭圆 C 相切,得△ =(6mn ) 2﹣ 4× 3×( 3m 2+4 )( n 2﹣ 4)=0,化简得 3m 2﹣ n 2+4=0 ,设点 H (mt+n ,t ),由( 1)知 F 1(﹣ 1,0 ), F 2(1, 0),则 ? =﹣ 1,解得: t=﹣,因此△ F 1HN 的面积 = ( n+1)丨﹣ 丨 =,代入 3m 2﹣ n 2+4=0 ,消去 n 化简得= 丨 m 丨,因此 丨 m 丨≥ n 2= ( 3m 2+4 ),解得 ≤丨 m 丨≤ 2,即 ≤ m 2≤ 4 ,从而 ≤≤ 4,又 n > 0,因此≤ n ≤4,故 n 的取值范围为 [,4].21.已知函数 f ( x ) =xlnx , e 为自然对数的底数.﹣2(2)对于 x 的不等式 f (x )≥ λ( x ﹣ 1)在( 0,+∞)上恒成立,务实数λ的值;( 3)对于 x 的方程 f ( x ) =a 有两个实根 x 1, x 2,求证: |x 1﹣ x 2|< 2a+1+e ﹣2.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程.【剖析】( 1)求出函数的导数,计算 f ′( e ﹣ 2)和 f ( e ﹣2)的值,求出切线方程即可;(2 )求出函数 g ( x )的导数,获取函数的单一区间,求出函数的极小值,从而求出 λ的值即可;(3 )记 h ( x )=f ( x )﹣(﹣ x ﹣e ﹣ 2)=xlnx+x+e ﹣ 2,求出 h ( x )的最小值,获取 a=﹣1=f ( x 2)≥ x 2﹣ 1,获取 |x 1﹣ x 2|=x 2﹣ x 1≤ ﹣,从而证出结论.【解答】解( 1)对函数 f ( x )求导得 f (′ x ) =lnx+1 ,﹣2) =lne ﹣ 21,∴f ′( e +1=﹣﹣ 2﹣ 2﹣ 2﹣ 2,又 f (e ) =e lne=﹣ 2e∴曲线 y=f (x )在 x=e ﹣2 处的切线方程为 y ﹣(﹣ 2e ﹣ 2) =﹣( x ﹣ e ﹣ 2),即 y= ﹣ x ﹣e ﹣2;( 2)记 g ( x ) =f ( x )﹣ λ( x ﹣1) =xlnx ﹣ λ( x ﹣ 1),此中 x > 0,由题意知 g ( x )≥ 0 在( 0,+∞)上恒成立,下边求函数 g ( x )的最小值,对 g ( x )求导得 g ′( x ) =lnx+1 ﹣λ,令 g ′( x ) =0 ,得 x=e λ﹣1,当 x 变化时, g ′( x ), g (x )变化状况列表以下:x( 0,e λ﹣ 1)e λ﹣ 1( e λ﹣1,+∞)g ′( x )﹣ 0 +g ( x )递减极小值递加∴ g ( x ) min =g ( x ) 极小值 =g (e λ﹣ 1) =(λ﹣ 1) e λ﹣ 1﹣ λ( e λ﹣ 1﹣1) =λ﹣e λ﹣1, ∴ λ﹣ e λ﹣ 1≥ 0,记 G ( λ) =λ﹣ e λ﹣1 ,则 G ′( λ) =1﹣ e λ﹣1,令 G ′( λ) =0,得 λ=1,当 λ变化时, G ′(λ), G ( λ)变化状况列表以下:λ 0 1 )1 1 + ∞)( , ( , G ′( λ) +﹣ G (λ)递加 极大值递减∴G ( λ) max =G ( λ)极大值 =G ( 1) =0,故 λ﹣ e λ﹣1≤ 0 当且仅当 λ=1时取等号,又 λ﹣ e λ﹣1≥ 0,从而获取λ=1;(3)先证 f (x )≥﹣ x ﹣e ﹣2 ,记 h ( x )=f ( x )﹣(﹣ x ﹣ e ﹣2) =xlnx+x+e ﹣2,则 h ′( x )=lnx+2 ,令 h ′( x ) =0 ,得 x=e ﹣2,当 x 变化时, h ′( x ), h (x )变化状况列表以下:x﹣2)﹣ 2﹣ 2( 0, e e ( e , +∞)h ′ x ) ﹣ 0+ (h ( x )递减极小值递加﹣ 2) =e ﹣ 2﹣2 ﹣2﹣2∴h ( x ) min =h ( x ) 极小值 =h (e lne +e +e =0,﹣2h ( x )≥ 0 恒成立,即 f ( x )≥﹣ x ﹣ e ,记直线 y=﹣ x ﹣ e ﹣2 ,y=x ﹣ 1 分别与 y=a 交于(, a ),(, a ),不如设 x 1< x 2,则 a=﹣﹣ 2﹣ 2,﹣e =f ( x 1)≥﹣ x 1﹣ e 从而< x 1,当且仅当 a=﹣ 2e ﹣2 时取等号,由( 2)知, f (x )≥ x ﹣1,则 a= ﹣ 1=f ( x 2)≥ x 2 ﹣1,从而 x 2≤,当且仅当 a=0 时取等号,故|x 1﹣ x 2 |=x 2 ﹣x 1 ≤﹣=(a+1)﹣(﹣ a ﹣ e ﹣2) =2a+1+e ﹣2,因等号成立的条件不可以同时知足,故 |x 1﹣ x 2|< 2a+1+e ﹣2 .[ 选修 4-4:坐标系与参数方程 ]22.在直角坐标系中 xOy 中,已知曲线 E 经过点 P ( 1,),其参数方程为(α为参数),以原点O 为极点, x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系.(1)求曲线 E 的极坐标方程;(2)若直线 l 交 E 于点 A 、B,且 OA ⊥OB ,求证:+为定值,并求出这个定值.【考点】参数方程化成一般方程.【剖析】( 1)将点P(1,),代入曲线 E 的方程,求出a2=3,可得曲线 E 的一般方程,即可求曲线 E 的极坐标方程;(2)利用点的极坐标,代入极坐标方程,化简,即可证明结论.【解答】解:( 1)将点 P( 1,),代入曲线 E 的方程:,解得 a2=3,因此曲线 E 的一般方程为=1 ,极坐标方程为=1;(2)不如设点 A , B 的极坐标分别为 A (ρ,θ), B(ρ,),1 2则代入曲线 E 的极坐标方程,可得+ = =,即+ 为定值.[ 选修 4-5:不等式选讲]23.已知 f ( x) =|x+a|, g(x) =|x+3| ﹣x,记对于x 的不等式f( x)< g(x)的解集为M .(1)若 a﹣3∈ M ,务实数 a 的取值范围;(2)若 [ ﹣ 1, 1] ? M ,务实数 a 的取值范围.【考点】绝对值不等式的解法.【剖析】( 1)将 x=a﹣ 3 代入不等式,解对于a 的不等式即可;( 2)获取 |x+a|< 3 恒成立,即﹣ 3﹣ x<a< 3﹣ x,当x∈ [ ﹣ 1, 1] 时恒成立,求出 a 的范围即可.【解答】解:( 1)依题意有:|2a﹣ 3|< |a|﹣( a﹣ 3),若 a≥,则 2a﹣3< 3,∴≤a< 3,若 0≤ a<,则 3﹣ 2a< 3,∴ 0< a<,若a≤ 0,则 3﹣ 2a<﹣ a﹣( a﹣ 3),无解,综上所述, a 的取值范围为( 0, 3);(2)由题意可知,当x∈ [ ﹣ 1, 1]时, f( x)< g( x)恒成立,∴|x+a|< 3 恒成立,即﹣ 3﹣ x<a< 3﹣ x,当 x∈ [ ﹣ 1, 1] 时恒成立,∴﹣ 2< a<2.2017年 3月 19日。
广州深圳一模数学(理科)(含答案)word版
绝密★启用前 试卷类型:A2017年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)本试卷共6页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损,监考教师分发的考生信息条形码是否正确;之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号,同时,将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区,请保持条形码整洁、不污损.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上.不按要求填涂的,答案无效.3.非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上,请注意每题答题空间,预先合理安排;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再做答.漏涂、错涂、多涂的答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回. 参考公式:如果事件A B 、互斥,那么P A B P A P B +=+()()(); 如果事件A B 、相互独立,那么P AB P A P B =()()(); 若柱体的底面积为S ,高为h ,则柱体的体积为V Sh =;若锥体的底面积为S ,高为h ,则锥体的体积为13V Sh =.一、选择题:本大题共8个小题;每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的.1.已知a b ∈R ,,若3i 1i i a b +=+⋅()(其中i 为虚数单位),则A .11a b =-=,B .11a b =-=-,C .11a b ==-,D .11a b ==,2.已知p :“a =,q :“直线0x y +=与圆221x y a +-=()相切”.则p 是q 的A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分也非必要条件3.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若11S =,424SS =,则64S S 的值为A .94B .32C .54D .44.如图,圆222:O x y +=π内的正弦曲线sin y x =与x 轴围成的区域记为M (图中阴影部分),随机往圆O 内投一个点A ,则点A 落在区域M 内的概率是 A .24π B .34π C .22πD .32π 5.在一条公路上每隔10公里有一个仓库,共有5个仓库.一号仓库存有10吨货物,二号仓库存有20吨货物,五号仓库存有40吨货物,其余两个仓库是空的.现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里,若每吨货物运输1公里需要0.5元运输费,则最少需要的运费是A .450元B .500元C .550元D .600元6.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A .2B .1C .23D .1310040020一号 二号 三号 四号五号俯视图正(主)视图 侧(左)视图7.设平面区域D 是由双曲线2214y x -=的两条渐近线和直线680x y --=所围成三角形的边界及内部.当,x y D ∈()时,222x y x ++的最大值为 A .24B .25C .4D .78.已知函数f x ()的定义域为 1 5-[,],部分对应值如下表.f x ()的导函数y f x '=()的图象如图所示.下列关于函数f x ()的命题: ①函数y f x =()是周期函数; ②函数f x ()在0 2[,]是减函数; ③如果当1 x t ∈-[,]时,f x ()的最大值是2,那么t 的最大值为4; ④当12a <<时,函数y f x a =-()有4个零点. 其中真命题的个数有 A .4个 B .3个 C .2个D .1个二、填空题:本大题共7小题,每小题5分,满分30分.本大题分为必做题和选做题两部分.(一)必做题:第9、10、11、12、13题为必做题,每道试题考生都必须作答. 9.已知全集U =R ,集合A 为函数ln 1f x x =-()()的定义域,则U A ð= . 10.设随机变量2~N 1 3X (,),且06P X P X a ≤=>-()(),则实数a 的值为 . 11.在ABC ∆中,已知a b c ,,分别为A ∠,B ∠,C ∠所对的边,S 为ABC ∆的面积.若向量2224 1p a b c q S =+-= ()(),,,满足//p q,则C ∠= .12.已知命题“x ∃∈R ,12x a x -++≤”是假命题,则实数a 的取值范围是 .x-1 0 4 5 f x ()122113.已知a 为如图所示的程序框图中输出的结果,则二项式6(的展开式中含2x 项的系数是 .(注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或 “:=” )(二)选做题:第14、15题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题的得分.14.(坐标系与参数方程)在极坐标系中,设P 是直线 :cos sin 4l ρθθ+=()上任一点,Q是圆24cos 3C ρρθ=-:上任一点,则PQ 的最小值是 . 15.(几何证明选讲)如图,割线PBC 经过圆心O ,1OB PB ==,OB 绕点O 逆时针旋转120︒到OD ,连PD 交圆O 于点E ,则PE = .三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)已知函数cos sin 2424x x f x x ππ=++-+π()()()().(1)求f x ()的最小正周期; (2)若将f x ()的图象向右平移6π个单位,得到函数g x ()的图象,求函数g x ()在区间0π[,]上的最大值和最小值.BCDEPO第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日至23日在深圳举行,为了搞好接待工作,组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者.将这30名志愿者的身高编成如下茎叶图(单位:cm ):男 女9 15 7 7 8 9 9 9 8 16 1 2 4 5 8 9 8 6 5 0 17 2 3 4 5 6 7 4 2 1 18 0 1 1 19若身高在175cm 以上(包括175cm )定义为“高个子”,身高在175cm 以下(不包括175cm )定义为“非高个子”,且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”.(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人,再从这5人中选2人,那么至少有一人是“高个子”的概率是多少?(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者,用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数,试写出ξ的分布列,并求ξ的数学期望.18.(本小题满分14分)如图,AC 是圆O 的直径,点B 在圆O 上,30BAC ∠=︒,BM AC ⊥交AC 于点M ,EA ⊥平面ABC ,//FC EA ,431AC EA FC ===,,.(1)证明:EM BF ⊥;(2)求平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值.ABCE FMO∙已知点F 是椭圆222101x y a a +=>+()的右焦点,点 0M m (,)、0 N n (,)分别是x 轴、y 轴上的动点,且满足0MN NF ⋅= .若点P 满足2OM ON PO =+.(1)求点P 的轨迹C 的方程;(2)设过点F 任作一直线与点P 的轨迹C 交于A 、B 两点,直线OA ,OB 与直线x a =-分别交于点S ,T (O 为坐标原点),试判断FS FT ⋅是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.20.(本小题满分14分)已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列,公差为d ,n S 为其前n 项和,且满足221n n a S -=,n *N ∈.数列{}n b 满足11n n n b a a +=⋅,n T 为数列{}n b 的前n 项和.(1)求1a ,d 和n T ;(2)若对任意的n *N ∈,不等式81n n T n λ<+⋅-()恒成立,求实数λ的取值范围; (3)是否存在正整数m n ,1m n <<(),使得1,,m n T T T 成等比数列?若存在,求出所有m n ,的值;若不存在,请说明理由.21.(本小题满分14分)已知函数ln 1af x x a x =+∈+R ()(). (1)当92a =时,如果函数g x f x k =-()()仅有一个零点,求实数k 的取值范围; (2)当2a =时,试比较f x ()与1的大小;(3)求证:1111ln 135721n n +>+++++ ()n ∈*N ().。
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2017年广东省深圳市高考数学一模试卷(理科)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合A={2,4,6,8},B={x|x2﹣9x+18≤0},则A∩B=()A.{2,4}B.{4,6}C.{6,8}D.{2,8}2.若复数(a∈R)为纯虚数,其中i为虚数单位,则a=()A.2 B.3 C.﹣2 D.﹣33.袋中装有大小相同的四个球,四个球上分别标有数字“2”,“3”,“4”,“6”,现从中随机选取三个球,则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是()A.B.C.D.4.等比数列{a n}的前n项和为S n=a•3n﹣1+b,则=()A.﹣3 B.﹣1 C.1 D.35.直线l:kx+y+4=0(k∈R)是圆C:x2+y2+4x﹣4y+6=0的一条对称轴,过点A (0,k)作斜率为1的直线m,则直线m被圆C所截得的弦长为()A.B.C.D.26.祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家,他在实践的基础上提出了体积计算的原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是,如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等,那么这两个几何体的体积相等.此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时,需要构造一个满足条件的几何体,已知该几何体三视图如图所示,用一个与该几何体的下底面平行相距为h(0<h<2)的平面截该几何体,则截面面积为()A.4πB.πh2C.π(2﹣h)2D.π(4﹣h)27.函数f(x)=•cosx的图象大致是()A.B.C.D.8.已知a>b>0,c<0,下列不等关系中正确的是()A.ac>bc B.a c>b cC.log a(a﹣c)>log b(b﹣c)D.>9.执行如图所示的程序框图,若输入p=2017,则输出i的值为()A.335 B.336 C.337 D.33810.已知F是双曲线E:﹣=1(a>0,b>0)的右焦点,过点F作E的一条渐近线的垂线,垂足为P,线段PF与E相交于点Q,记点Q到E的两条渐近线的距离之积为d2,若|FP|=2d,则该双曲线的离心率是()A.B.2 C.3 D.411.已知棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1,球O与该正方体的各个面相切,则平面ACB1截此球所得的截面的面积为()A. B. C. D.12.已知函数f(x)=,x≠0,e为自然对数的底数,关于x的方程+﹣λ=0有四个相异实根,则实数λ的取值范围是()A.(0,)B.(2,+∞)C.(e+,+∞)D.(+,+∞)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分,将答案填在答题纸上13.已知向量=(1,2),=(x,3),若⊥,则|+|=.14.(﹣)5的二项展开式中,含x的一次项的系数为(用数字作答).15.若实数x,y满足不等式组,目标函数z=kx﹣y的最大值为12,最小值为0,则实数k=.16.已知数列{a n}满足na n﹣(n+2)a n=λ(n2+2n),其中a1=1,a2=2,若a n<+2a n对∀n∈N*恒成立,则实数λ的取值范围是.+1三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知2a=csinA﹣acosC.(1)求C;(2)若c=,求△ABC的面积S的最大值.18.如图,四边形ABCD为菱形,四边形ACEF为平行四边形,设BD与AC相交于点G,AB=BD=2,AE=,∠EAD=∠EAB.(1)证明:平面ACEF⊥平面ABCD;(2)若AE与平面ABCD所成角为60°,求二面角B﹣EF﹣D的余弦值.19.某市为了鼓励市民节约用电,实行“阶梯式”电价,将该市每户居民的月用电量划分为三档,月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费,超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费,超过400度的部分按1.0元/度收费.(1)求某户居民用电费用y(单位:元)关于月用电量x(单位:度)的函数解析式;(2)为了了解居民的用电情况,通过抽样,获得了今年1月份100户居民每户的用电量,统计分析后得到如图所示的频率分布直方图,若这100户居民中,今年1月份用电费用不超过260元的点80%,求a,b的值;(3)在满足(2)的条件下,若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率,且同组中的数据用该组区间的中点值代替,记Y为该居民用户1月份的用电费用,求Y的分布列和数学期望.20.已成椭圆C: +=1(a>b>0)的左右顶点分别为A1、A2,上下顶点分别为B2/B1,左右焦点分别为F1、F2,其中长轴长为4,且圆O:x2+y2=为菱形A1B1A2B2的内切圆.(1)求椭圆C的方程;(2)点N(n,0)为x轴正半轴上一点,过点N作椭圆C的切线l,记右焦点F2在l上的射影为H,若△F1HN的面积不小于n2,求n的取值范围.21.已知函数f(x)=xlnx,e为自然对数的底数.(1)求曲线y=f(x)在x=e﹣2处的切线方程;(2)关于x的不等式f(x)≥λ(x﹣1)在(0,+∞)上恒成立,求实数λ的值;(3)关于x的方程f(x)=a有两个实根x1,x2,求证:|x1﹣x2|<2a+1+e﹣2.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.在直角坐标系中xOy中,已知曲线E经过点P(1,),其参数方程为(α为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线E的极坐标方程;(2)若直线l交E于点A、B,且OA⊥OB,求证: +为定值,并求出这个定值.[选修4-5:不等式选讲]23.已知f(x)=|x+a|,g(x)=|x+3|﹣x,记关于x的不等式f(x)<g(x)的解集为M.(1)若a﹣3∈M,求实数a的取值范围;(2)若[﹣1,1]⊆M,求实数a的取值范围.2017年广东省深圳市高考数学一模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合A={2,4,6,8},B={x|x2﹣9x+18≤0},则A∩B=()A.{2,4}B.{4,6}C.{6,8}D.{2,8}【考点】交集及其运算.【分析】求出B中不等式的解集确定出B,找出A与B的交集即可.【解答】解:∵A={2,4,6,8},B={x|x2﹣9x+18≤0}={x|(x﹣3)(x﹣6)≤0}={x|3≤x≤6},∴A∩B={4,6},故选:B.2.若复数(a∈R)为纯虚数,其中i为虚数单位,则a=()A.2 B.3 C.﹣2 D.﹣3【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数,根据已知条件列出方程组,求解即可得答案.【解答】解:==,∵复数(a∈R)为纯虚数,∴,解得:a=﹣2.故选:C.3.袋中装有大小相同的四个球,四个球上分别标有数字“2”,“3”,“4”,“6”,现从中随机选取三个球,则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是()A.B.C.D.【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.【分析】现从中随机选取三个球,基本事件总数n==4,所选的三个球上的数字能构成等差数列包含的基本事件的个数,由此能求出所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率.【解答】解:袋中装有大小相同的四个球,四个球上分别标有数字“2”,“3”,“4”,“6”,现从中随机选取三个球,基本事件总数n==4,所选的三个球上的数字能构成等差数列包含的基本事件有:(2,3,4),(2,4,6),共有2个,∴所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是p==.故选:B.4.等比数列{a n}的前n项和为S n=a•3n﹣1+b,则=()A.﹣3 B.﹣1 C.1 D.3【考点】等比数列的通项公式.【分析】由等比数列{a n}的前n项和求出前3项,由此能求出利用等比数列{a n}中,,能求出.【解答】解:∵等比数列{a n}的前n项和为S n=a•3n﹣1+b,∴a1=S1=a+b,a2=S2﹣S1=3a+b﹣a﹣b=2a,a3=S3﹣S2=9a+b﹣3a﹣b=6a,∵等比数列{a n}中,,∴(2a)2=(a+b)×6a,解得=﹣3.故选:A.5.直线l:kx+y+4=0(k∈R)是圆C:x2+y2+4x﹣4y+6=0的一条对称轴,过点A (0,k)作斜率为1的直线m,则直线m被圆C所截得的弦长为()A.B.C.D.2【考点】直线与圆的位置关系.【分析】求出圆的标准方程可得圆心和半径,由直线l:kx+y+4=0经过圆C的圆心(﹣2,2),求得k的值,可得点A的坐标,求出圆心到直线的距离,即可得出结论.【解答】解:∵圆C:x2+y2+4x﹣4y+6=0,即(x+2)2+(y﹣2)2 =2,表示以C(﹣2,2)为圆心、半径等于的圆.由题意可得,直线l:kx+y+4=0经过圆C的圆心(﹣2,2),故有﹣2k+2+4=0,∴k=3,点A(0,3).直线m:y=x+3,圆心到直线的距离d==,∴直线m被圆C所截得的弦长为2=.故选:C.6.祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家,他在实践的基础上提出了体积计算的原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是,如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等,那么这两个几何体的体积相等.此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时,需要构造一个满足条件的几何体,已知该几何体三视图如图所示,用一个与该几何体的下底面平行相距为h(0<h<2)的平面截该几何体,则截面面积为()A.4πB.πh2C.π(2﹣h)2D.π(4﹣h)2【考点】由三视图求面积、体积.【分析】由题意,首先得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥,得到截面为圆,明确其半径求面积.【解答】解:由已知得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥,底面半径为2高为2,设截面的圆半径为r,则,得到r=h,所以截面圆的面积为πh2;故选B.7.函数f(x)=•cosx的图象大致是()A.B.C.D.【考点】函数的图象.【分析】先判断函数的奇偶性,再判断函数值,问题得以解决.【解答】解:f(﹣x)=•cos(﹣x)=•cosx=﹣f(x),∴f(x)为奇函数,∴函数f(x)的图象关于原点对称,当x∈(0,)时,cosx>0,>0,∴f(x)>0在(0,)上恒成立,故选:C8.已知a>b>0,c<0,下列不等关系中正确的是()A.ac>bc B.a c>b cC.log a(a﹣c)>log b(b﹣c)D.>【考点】不等式的基本性质.【分析】根据不等式的性质求出a(b﹣c)>b(a﹣c)以及a﹣c>b﹣c>0,从而求出答案.【解答】解:∵a>b>0,c<0,﹣c>0,∴a﹣c>b﹣c>0,ac<bc,故a(b﹣c)>b(a﹣c),故>,故选:D.9.执行如图所示的程序框图,若输入p=2017,则输出i的值为()A.335 B.336 C.337 D.338【考点】程序框图.【分析】根据题意,模拟程序框图的运行过程,即可得出输出i的值.【解答】解:模拟程序的运行,可得程序框图的功能是统计1到2017这些数中能同时被2和3整除的数的个数i,由于:2017=336×6+1,故程序框图输出的i的值为336.故选:B.10.已知F是双曲线E:﹣=1(a>0,b>0)的右焦点,过点F作E的一条渐近线的垂线,垂足为P,线段PF与E相交于点Q,记点Q到E的两条渐近线的距离之积为d2,若|FP|=2d,则该双曲线的离心率是()A.B.2 C.3 D.4【考点】双曲线的简单性质.【分析】E上任意一点Q(x,y)到两条渐近线的距离之积为d1d2===d2,F(c,0)到渐近线bx﹣ay=0的距离为=b=2d,求出可求双曲线的离心率.【解答】解:E上任意一点Q(x,y)到两条渐近线的距离之积为d1d2===d2,F(c,0)到渐近线bx﹣ay=0的距离为=b=2d,∴,∴e==2,故选B.11.已知棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1,球O与该正方体的各个面相切,则平面ACB1截此球所得的截面的面积为()A. B. C. D.【考点】球的体积和表面积.【分析】求出平面ACB1截此球所得的截面的圆的半径,即可求出平面ACB1截此球所得的截面的面积.【解答】解:由题意,球心与B的距离为=,B到平面ACB1的距离为=,球的半径为1,球心到平面ACB1的距离为﹣=,∴平面ACB1截此球所得的截面的圆的半径为=,∴平面ACB1截此球所得的截面的面积为=,故选A.12.已知函数f(x)=,x≠0,e为自然对数的底数,关于x的方程+﹣λ=0有四个相异实根,则实数λ的取值范围是()A.(0,)B.(2,+∞)C.(e+,+∞)D.(+,+∞)【考点】根的存在性及根的个数判断.【分析】求导数,确定函数的单调性,可得x=2时,函数取得极大值,关于x 的方程+﹣λ=0有四个相异实根,则t+﹣λ=0的一根在(0,),另一根在(,+∞)之间,即可得出结论.【解答】解:由题意,f′(x)=,∴x<0或x>2时,f′(x)<0,函数单调递减,0<x<2时,f′(x)>0,函数单调递增,∴x=2时,函数取得极大值,关于x的方程+﹣λ=0有四个相异实根,则t+﹣λ=0的一根在(0,),另一根在(,+∞)之间,∴,∴λ>e+,故选:C.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分,将答案填在答题纸上13.已知向量=(1,2),=(x,3),若⊥,则|+|=5.【考点】平面向量的坐标运算.【分析】⊥,可得=0,解得x.再利用向量模的计算公式即可得出.【解答】解:∵⊥,∴=x+6=0,解得x=﹣6.∴=(﹣5,5).∴|+|==5.故答案为:5.14.(﹣)5的二项展开式中,含x的一次项的系数为﹣5(用数字作答).【考点】二项式系数的性质.【分析】写出二项展开式的通项,由x的指数等于1求得r值,则答案可求.【解答】解:(﹣)5的二项展开式中,通项公式为:=••=(﹣1)r••,T r+1令=1,得r=1;∴二项式(﹣)5的展开式中含x的一次项系数为:﹣1•=﹣5.故答案为:﹣5.15.若实数x,y满足不等式组,目标函数z=kx﹣y的最大值为12,最小值为0,则实数k=3.【考点】简单线性规划.【分析】先画出可行域,得到角点坐标.利用k与0的大小,分类讨论,结合目标函数的最值求解即可.【解答】解:实数x,y满足不等式组的可行域如图:得:A(1,3),B(1,﹣2),C(4,0).①当k=0时,目标函数z=kx﹣y的最大值为12,最小值为0,不满足题意.②当k>0时,目标函数z=kx﹣y的最大值为12,最小值为0,当直线z=kx﹣y过C(4,0)时,Z取得最大值12.当直线z=kx﹣y过A(3,1)时,Z取得最小值0.可得k=3,满足题意.③当k<0时,目标函数z=kx﹣y的最大值为12,最小值为0,当直线z=kx﹣y过C(4,0)时,Z取得最大值12.可得k=﹣3,当直线z=kx﹣y过,B(1,﹣2)时,Z取得最小值0.可得k=﹣2,无解.综上k=3故答案为:3.16.已知数列{a n}满足na n﹣(n+2)a n=λ(n2+2n),其中a1=1,a2=2,若a n<+2a n对∀n∈N*恒成立,则实数λ的取值范围是[0,+∞).+1【考点】数列递推式.【分析】把已知递推式变形,可得数列{}的奇数项与偶数项均是以λ为公差的等差数列,分类求其通项公式,代入a n<a n+1,分离参数λ求解.﹣(n+2)a n=λ(n2+2n)=λn(n+2),【解答】解:由na n+2得,∴数列{}的奇数项与偶数项均是以λ为公差的等差数列,∵a1=1,a2=2,∴当n为奇数时,,∴;当n为偶数时,,∴.当n为奇数时,由a n<a n+1,得<,即λ(n﹣1)>﹣2.若n=1,λ∈R,若n>1则λ>,∴λ≥0;当n为偶数时,由a n<a n+1,得<,即3nλ>﹣2,∴λ>,即λ≥0.综上,λ的取值范围为[0,+∞).故答案为:[0,+∞).三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知2a=csinA﹣acosC.(1)求C;(2)若c=,求△ABC的面积S的最大值.【考点】正弦定理;余弦定理.【分析】(1)由正弦定理,三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin(C ﹣)=1,结合C的范围,可得C的值.(2)由余弦定理,基本不等式可求ab≤1,进而利用三角形面积公式可求△ABC 面积的最大值.【解答】(本题满分为12分)解:(1)∵2a=csinA﹣acosC,∴由正弦定理可得:2sinA=sinCsinA﹣sinAcosC,…2分∵sinA≠0,∴可得:2=sinC﹣cosC,解得:sin(C﹣)=1,∵C∈(0,π),可得:C﹣∈(﹣,),∴C﹣=,可得:C=.…6分(2)∵由(1)可得:cosC=﹣,∴由余弦定理,基本不等式可得:3=b2+a2+ab≥3ab,即:ab≤1,(当且仅当b=a 时取等号)…8分=absinC=ab≤,可得△ABC面积的最大值为.…12分∴S△ABC18.如图,四边形ABCD为菱形,四边形ACEF为平行四边形,设BD与AC相交于点G,AB=BD=2,AE=,∠EAD=∠EAB.(1)证明:平面ACEF⊥平面ABCD;(2)若AE与平面ABCD所成角为60°,求二面角B﹣EF﹣D的余弦值.【考点】二面角的平面角及求法;平面与平面垂直的判定.【分析】(1)连接EG,由四边形ABCD为菱形,可得AD=AB,BD⊥AC,DG=GB,可证△EAD≌△EAB,进一步证明BD⊥平面ACEF,则平面ACEF⊥平面ABCD;(2)法一、过G作EF的垂线,垂足为M,连接MB,MG,MD,可得∠EAC为AE与面ABCD所成的角,得到EF⊥平面BDM,可得∠DMB为二面角B﹣EF﹣D 的平面角,在△DMB中,由余弦定理求得∠BMD的余弦值,进一步得到二面角B﹣EF﹣D 的余弦值;法二、在平面ABCD内,过G作AC的垂线,交EF于M点,由(1)可知,平面ACEF⊥平面ABCD,得MG⊥平面ABCD,则直线GM、GA、GB两两互相垂直,分别以GA、GB、GM为x、y、z轴建立空间直角坐标系G﹣xyz,分别求出平面BEF与平面DEF的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得二面角B﹣EF﹣D的余弦值.【解答】(1)证明:连接EG,∵四边形ABCD为菱形,∴AD=AB,BD⊥AC,DG=GB,在△EAD和△EAB中,AD=AB,AE=AE,∠EAD=∠EAB,∴△EAD≌△EAB,∴ED=EB,则BD⊥EG,又AC∩EG=G,∴BD⊥平面ACEF,∵BD⊂平面ABCD,∴平面ACEF⊥平面ABCD;(2)解法一:过G作EF的垂线,垂足为M,连接MB,MG,MD,易得∠EAC为AE与面ABCD所成的角,∴∠EAC=60°,∵EF⊥GM,EF⊥BD,∴EF⊥平面BDM,∴∠DMB为二面角B﹣EF﹣D的平面角,可求得MG=,DM=BM=,在△DMB中,由余弦定理可得:cos∠BMD=,∴二面角B﹣EF﹣D的余弦值为;解法二:如图,在平面ABCD内,过G作AC的垂线,交EF于M点,由(1)可知,平面ACEF⊥平面ABCD,∵MG⊥平面ABCD,∴直线GM、GA、GB两两互相垂直,分别以GA、GB、GM为x、y、z轴建立空间直角坐标系G﹣xyz,可得∠EAC为AE与平面ABCD所成的角,∴∠EAC=60°,则D(0,﹣1,0),B(0,1,0),E(),F(),,,设平面BEF的一个法向量为,则,取z=2,可得平面BEF的一个法向量为,同理可求得平面DEF的一个法向量为,∴cos<>==,∴二面角B﹣EF﹣D的余弦值为.19.某市为了鼓励市民节约用电,实行“阶梯式”电价,将该市每户居民的月用电量划分为三档,月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费,超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费,超过400度的部分按1.0元/度收费.(1)求某户居民用电费用y(单位:元)关于月用电量x(单位:度)的函数解析式;(2)为了了解居民的用电情况,通过抽样,获得了今年1月份100户居民每户的用电量,统计分析后得到如图所示的频率分布直方图,若这100户居民中,今年1月份用电费用不超过260元的点80%,求a,b的值;(3)在满足(2)的条件下,若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率,且同组中的数据用该组区间的中点值代替,记Y为该居民用户1月份的用电费用,求Y的分布列和数学期望.【考点】离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图;离散型随机变量及其分布列.【分析】(1)利用分段函数的性质即可得出.(2)利用(1),结合频率分布直方图的性质即可得出.(3)由题意可知X可取50,150,250,350,450,550.结合频率分布直方图的性质即可得出.【解答】解:(1)当0≤x≤200时,y=0.5x;当200<x≤400时,y=0.5×200+0.8×(x﹣200)=0.8x﹣60,当x>400时,y=0.5×200+0.8×200+1.0×(x﹣400)=x﹣140,所以y与x之间的函数解析式为:y=.(2)由(1)可知:当y=260时,x=400,则P(x≤400)=0.80,结合频率分布直方图可知:0.1+2×100b+0.3=0.8,100a+0.05=0.2,∴a=0.0015,b=0.0020.(3)由题意可知X可取50,150,250,350,450,550.当x=50时,y=0.5×50=25,∴P(y=25)=0.1,当x=150时,y=0.5×150=75,∴P(y=75)=0.2,当x=250时,y=0.5×200+0.8×50=140,∴P(y=140)=0.3,当x=350时,y=0.5×200+0.8×150=220,∴P(y=220)=0.2,当x=450时,y=0.5×200+0.8×200+1.0×50=310,∴P(y=310)=0.15,当x=550时,y=0.5×200×0.8×200+1.0×150=410,∴P(y=410)=0.05.故Y的概率分布列为:Y2575140220310410P0.10.20.30.20.150.05所以随机变量Y的数学期望EY=25×0.1+75×0.2+140×0.3+220×0.2+310×0.15+410×0.05=170.5.20.已成椭圆C: +=1(a>b>0)的左右顶点分别为A1、A2,上下顶点分别为B2/B1,左右焦点分别为F1、F2,其中长轴长为4,且圆O:x2+y2=为菱形A1B1A2B2的内切圆.(1)求椭圆C的方程;(2)点N(n,0)为x轴正半轴上一点,过点N作椭圆C的切线l,记右焦点F2在l上的射影为H,若△F1HN的面积不小于n2,求n的取值范围.【考点】椭圆的简单性质.【分析】(1)由题意求得a,直线A2B2的方程为,利用点到直线的距离公式,即可求得b的值,求得椭圆C的方程;(2)设直线方程,代入椭圆方程,由△=0,求得m和n的关系,利用三角形的面积公式,求得m的取值范围,代入即可求得n的取值范围.【解答】解:(1)由题意知2a=4,所以a=2,所以A1(﹣2,0),A2(2,0),B1(0,﹣b),B2(0,b),则直线A2B2的方程为,即bx+2y﹣2b=0,所以=,解得b2=3,故椭圆C的方程为;(2)由题意,可设直线l的方程为x=my+n,m≠0,联立,消去x得(3m2+4)y2+6mny+3(n2﹣4)=0,(*)由直线l与椭圆C相切,得△=(6mn)2﹣4×3×(3m2+4)(n2﹣4)=0,化简得3m2﹣n2+4=0,设点H(mt+n,t),由(1)知F1(﹣1,0),F2(1,0),则•=﹣1,解得:t=﹣,所以△F1HN的面积=(n+1)丨﹣丨=,代入3m2﹣n2+4=0,消去n化简得=丨m丨,所以丨m丨≥n2=(3m2+4),解得≤丨m丨≤2,即≤m2≤4,从而≤≤4,又n>0,所以≤n≤4,故n的取值范围为[,4].21.已知函数f(x)=xlnx,e为自然对数的底数.(1)求曲线y=f(x)在x=e﹣2处的切线方程;(2)关于x的不等式f(x)≥λ(x﹣1)在(0,+∞)上恒成立,求实数λ的值;(3)关于x的方程f(x)=a有两个实根x1,x2,求证:|x1﹣x2|<2a+1+e﹣2.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】(1)求出函数的导数,计算f′(e﹣2)和f(e﹣2)的值,求出切线方程即可;(2)求出函数g(x)的导数,得到函数的单调区间,求出函数的极小值,从而求出λ的值即可;(3)记h(x)=f(x)﹣(﹣x﹣e﹣2)=xlnx+x+e﹣2,求出h(x)的最小值,得到a=﹣1=f(x2)≥x2﹣1,得到|x1﹣x2|=x2﹣x1≤﹣,从而证出结论.【解答】解(1)对函数f(x)求导得f′(x)=lnx+1,∴f′(e﹣2)=lne﹣2+1=﹣1,又f(e﹣2)=e﹣2lne﹣2=﹣2e﹣2,∴曲线y=f(x)在x=e﹣2处的切线方程为y﹣(﹣2e﹣2)=﹣(x﹣e﹣2),即y=﹣x﹣e﹣2;(2)记g(x)=f(x)﹣λ(x﹣1)=xlnx﹣λ(x﹣1),其中x>0,由题意知g(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,下面求函数g(x)的最小值,对g(x)求导得g′(x)=lnx+1﹣λ,令g′(x)=0,得x=eλ﹣1,当x变化时,g′(x),g(x)变化情况列表如下:x(0,eλ﹣1)eλ﹣1(eλ﹣1,+∞)g′(x)﹣0+g(x)递减极小值递增∴g(x)min=g(x)极小值=g(eλ﹣1)=(λ﹣1)eλ﹣1﹣λ(eλ﹣1﹣1)=λ﹣eλ﹣1,∴λ﹣eλ﹣1≥0,记G(λ)=λ﹣eλ﹣1,则G′(λ)=1﹣eλ﹣1,令G′(λ)=0,得λ=1,当λ变化时,G′(λ),G(λ)变化情况列表如下:λ(0,1)1(1,+∞)G′(λ)+0﹣G(λ)递增极大值递减∴G(λ)max=G(λ)极大值=G(1)=0,故λ﹣eλ﹣1≤0当且仅当λ=1时取等号,又λ﹣eλ﹣1≥0,从而得到λ=1;(3)先证f(x)≥﹣x﹣e﹣2,记h(x)=f(x)﹣(﹣x﹣e﹣2)=xlnx+x+e﹣2,则h′(x)=lnx+2,令h′(x)=0,得x=e﹣2,当x变化时,h′(x),h(x)变化情况列表如下:x(0,e﹣2)e﹣2(e﹣2,+∞)h′(x)﹣0+h(x)递减极小值递增∴h(x)min=h(x)极小值=h(e﹣2)=e﹣2lne﹣2+e﹣2+e﹣2=0,h(x)≥0恒成立,即f(x)≥﹣x﹣e﹣2,记直线y=﹣x﹣e﹣2,y=x﹣1分别与y=a交于(,a),(,a),不妨设x1<x2,则a=﹣﹣e﹣2=f(x1)≥﹣x1﹣e﹣2,从而<x1,当且仅当a=﹣2e﹣2时取等号,由(2)知,f(x)≥x﹣1,则a=﹣1=f(x2)≥x2﹣1,从而x2≤,当且仅当a=0时取等号,故|x1﹣x2|=x2﹣x1≤﹣=(a+1)﹣(﹣a﹣e﹣2)=2a+1+e﹣2,因等号成立的条件不能同时满足,故|x1﹣x2|<2a+1+e﹣2.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.在直角坐标系中xOy中,已知曲线E经过点P(1,),其参数方程为(α为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线E的极坐标方程;(2)若直线l交E于点A、B,且OA⊥OB,求证: +为定值,并求出这个定值.【考点】参数方程化成普通方程.【分析】(1)将点P(1,),代入曲线E的方程,求出a2=3,可得曲线E的普通方程,即可求曲线E的极坐标方程;(2)利用点的极坐标,代入极坐标方程,化简,即可证明结论.【解答】解:(1)将点P(1,),代入曲线E的方程:,解得a2=3,所以曲线E的普通方程为=1,极坐标方程为=1;(2)不妨设点A,B的极坐标分别为A(ρ1,θ),B(ρ2,),则代入曲线E的极坐标方程,可得+==,即+为定值.[选修4-5:不等式选讲]23.已知f(x)=|x+a|,g(x)=|x+3|﹣x,记关于x的不等式f(x)<g(x)的解集为M.(1)若a﹣3∈M,求实数a的取值范围;(2)若[﹣1,1]⊆M,求实数a的取值范围.【考点】绝对值不等式的解法.【分析】(1)将x=a﹣3代入不等式,解关于a的不等式即可;(2)得到|x+a|<3恒成立,即﹣3﹣x<a<3﹣x,当x∈[﹣1,1]时恒成立,求出a的范围即可.【解答】解:(1)依题意有:|2a﹣3|<|a|﹣(a﹣3),若a≥,则2a﹣3<3,∴≤a<3,若0≤a<,则3﹣2a<3,∴0<a<,若a≤0,则3﹣2a<﹣a﹣(a﹣3),无解,综上所述,a的取值范围为(0,3);(2)由题意可知,当x∈[﹣1,1]时,f(x)<g(x)恒成立,∴|x+a|<3恒成立,即﹣3﹣x<a<3﹣x,当x∈[﹣1,1]时恒成立,∴﹣2<a<2.。