负二项分布NB (r, P)-描述统计
负二项分布(研究生)
负二项分布均数和方差
k 1
2 k 1
2
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5
若令P=μ/k,q=1+P 则
P0 qk
X=0
PX k X 1p PX 1 X≥1
也可变为
Xq
kp
2 2
k
7张
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6
负二项分布的参数估计
负二项分布有两个参数即μ和k。
检验条件: (1) f0/N=30/60=0.5>1/3
(2) X 1.033 10
均数
X 0.17 f0 0.32 0.217 0.20 条件
N
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13
零频数法
先尝试K1=0.90
k1
lg1
X k1
0.90lg1
1.033Leabharlann 0.900.299下一张
22
步骤:
计算两组的均数和方差
X1
X
N
7 10
0.70...................X. 2
X
N
4 0.40 10
S12
X2
X
N 1
2/N
0.90...S2 2
X2
X 2/N
0.49
N 1
计算Kc KC
计算转按值
X1 S12 X1 X 2 S22 X 2 S12 X1 2 S22 X 2 2
X f X 62 1.033
S 2
N
60
fX2
fX 2 / N
N 1
186 622 / 60 2.067 60 1
负二项分布(研究生)
2 2
k
2
1
k
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7
矩法
K的估计：
2 2
k
kˆ
2
kˆ
2
X
2 X
S2 X
计算
5张
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8
例---矩法
在研究某种毒物的致死作用时，对60 只小白鼠进行了显性致死试验,得到资 料见表.若服从负二项分布,试估计参 数μ和K.
lg
N f0
lg
60 30
0.301
K2取1.1
k2
lg1
X k2
1.1lg1
1.033 1.1
0.316
lg
N f0
lg
60 30
0.301
计算K
kˆ 1.1 0.90 1.1 0.301 0.316 0.924
0.299 0.316
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14
最大似然法
2.34
Yi=ln(Xi+0.5Kc)
对转换值进行t检验: t=0.827 ν=20-2=18
P>0.05 不拒绝H0,尚不能认为两组胚胎死亡
数有差别
上一张
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23
End of slides for Lectures
Autumn, 2004
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X
负二项分布均数和方差
k 1
2 k 1
2
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负二项分布的分布函数
负二项分布的分布函数
负二项分布是一种离散概率分布，常用于描述重复独立的伯努利试验中，第r个成功事件出现时所需要进行的试验次数X的概率分布。
其概率质量函数为：
P(X=k) = (k-1)C(r-1) * p^r * (1-p)^(k-r)
其中p为单次试验成功的概率，k为成功事件出现时所需要进行的试验次数，C为组合数。
负二项分布的分布函数可以表示为：
F(X=k) = 1 - B(k-r+1, r, 1-p)
其中B为不完全贝塔函数。
在实际应用中，负二项分布可用于预测需要进行多少次试验才能达到一定的成功次数，例如预测需要进行多少次购买才能获得一定数量的优惠券等。
- 1 -。
茆诗松《概率论与数理统计教程》(第2版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第4~5章【圣才出品】
（1）|φ （t）|≤φ （0）＝1．
——————
——————
（2）φ （－t）＝φ （t），其中φ （t）表示 φ （t）的共轭．
（3）若 y＝aX＋b，其中 a，b 是常数，则 φ Y（t）＝eibtφ X（at）．
（4）独立随机变量和的特征函数为每个随机变量的特征函数的积．即设 X 与 Y 相互独
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P
Xn a
P
Yn b
则有 ①
P
X n Yn a b
②
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P
X n Yn a b
③
P
Xn Yn a b(b 0)
2．按分布收敛、弱收敛
（1）按分布收敛
设随机变量 X，X1，X2，…的分布函数分别为 F（X），F1（X），F2（X），…．若对 F（x）
p(x) x e n/21 x/2 ，x 0 Γ (n / 2)2n/2
exp
it
2t 2
2
(1 it )1
(1 it )
(1 2it )n / 2
贝塔分布
Be(a，b)
p(x) Γ (a b) xa1 (1 x)b1，0 x 1 Γ (a)Γ (b)
Γ (a b)
(it)k Γ (a k)
P
Xn x
或者说，绝对偏差|Xn－x|小于任一给定量的可能性将随着 n 增大而愈来愈接近于 1， 即等价于 P（|Xn－x|＜ε）→1（n→∞）．
特别当 x 为退化分布时，即 P（X－c）＝1，则称序列{Xn}依概率收敛于 C． （2）依概率收敛于常数的四则运算性质如下： 设{Xn}，{Yn}是两个随机变量序列，a，b 是两个常数．如果
13个期望计算公式
13个期望计算公式期望是概率论中的一个重要概念，它描述了一个随机变量的平均值。
在现实生活中，我们经常需要计算某种随机变量的期望，以便更好地理解和预测各种现象。
本文将介绍13个常见的期望计算公式，帮助读者更好地理解和运用期望的概念。
1. 离散型随机变量的期望计算公式。
对于离散型随机变量X，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = Σx P(X=x)。
其中，x表示随机变量X可能取的值，P(X=x)表示X取值为x的概率。
2. 连续型随机变量的期望计算公式。
对于连续型随机变量X，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = ∫x f(x) dx。
其中，f(x)表示X的概率密度函数。
3. 二项分布的期望计算公式。
对于二项分布B(n,p)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = n p。
其中，n表示试验的次数，p表示每次试验成功的概率。
4. 泊松分布的期望计算公式。
对于泊松分布P(λ)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = λ。
其中，λ表示单位时间（或单位面积）内事件发生的平均次数。
5. 几何分布的期望计算公式。
对于几何分布G(p)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = 1/p。
其中，p表示每次试验成功的概率。
6. 均匀分布的期望计算公式。
对于均匀分布U(a,b)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = (a+b)/2。
其中，a和b分别表示随机变量X的取值范围的下限和上限。
7. 指数分布的期望计算公式。
对于指数分布Exp(λ)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = 1/λ。
其中，λ表示事件发生的速率。
8. 正态分布的期望计算公式。
对于正态分布N(μ,σ²)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = μ。
其中，μ表示分布的均值。
9. 超几何分布的期望计算公式。
对于超几何分布H(N,M,n)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = n (M/N)。
其中，N表示总体容量，M表示总体中具有成功属性的个体数量，n表示抽取的样本容量。
贝叶斯统计老师划的课后习题精选.
1.1设θ是一批产品的不合格率，已知它不是0.1就是0.2，且其先验分布为π（0.1）=0.7 π（0.2）=0.3.假如从这批产品中随机抽取8个进行检查，发现有两个不合格品。
求θ的后验分布。
解：令120.1,0.2θθ==设A 为从产品中随机取出8个，有2个不合格，则22618()0.10.90.1488P A C θ== 22628()0.20.80.2936P A C θ== 从而有1111122()()()0.4582()()()()P A A P A P A θπθπθθπθθπθ==+2221122()()()0.5418()()()()P A A P A P A θπθπθθπθθπθ==+1.2 设一卷磁带上的缺陷数服从泊松分布P （λ），其中λ可取1和1.5中的一个，又设λ的先验分布为π（1）=0.4 π（1.5）=0.6.假如检查一卷磁带发现了3个缺陷，求λ的后验分布。
解：令121, 1.5λλ==设X 为一卷磁带上的缺陷数，则()X P λ:∴3(3)3!e P X λλλ-==1122(3)(3)()(3)()0.0998P X P X P X λπλλπλ∴===+== 从而有111222(3)()(3)0.2457(3)(3)()(3)0.7543(3)P X X P X P X X P X λπλπλλπλπλ==========1.3 设θ是一批产品的不合格率，从中抽取8个产品进行检验，发现3个不合格品，假如先验分布为 （1）θ～u(0,1) (2)θ~π(θ)={10 )1(2else0<<-θθ解：设A 为从产品中随机取出8个，有3个不合格，则3358()(1)P A C θθθ=-（1） 由题意知 ()1,01πθθ=<< 从而有 351()()()504(1),01()()P A A P A d θπθπθθθθθπθθ==-<<⎰（2）361()()()47040(1),01()()P A A P A d θπθπθθθθθπθθ==-<<⎰1.10 从正态总体N （0，4）中随机抽取容量为100的样本，又设θ的先验分布为正态分布。
负二项分布与二项分布
负二项分布
满足以下条件的称为负二项分布
1. 实验包含一系列独立的实验;
2. 每个实验都有成功、失败两种结果
3. 成功的概率是恒定的
4. 实验持续到r次成功，r为正整数。
当r是整数时，负二项分布又称帕斯卡分布，它表示，已知一个事件在伯努利试验中每次的出现概率是p，在一连串伯努利试验中，一件事件刚好在第r + k次试验出现第r次的概率。
二项分布
如果：
1．在每次试验中只有两种可能的结果，而且是互相对立的；
2．每次实验是独立的，与其它各次试验结果无关；
3．结果事件发生的概率在整个系列试验中保持不变，则这一系列试验称为伯努力试验。
在这试验中，事件发生的次数为一随机事件，它服从二次分布。
R语言的各种统计分布函数
R语言的各种统计分布函数来源于我的R语言读书笔记：/1656.html首先推荐一个博客：下面是正文1.二项分布Binomial distribution：binom二项分布指的是N重伯努利实验，记为X ~ b(n,p)，E(x)=np,Var(x)=np(1-p)pbinom(q,size,prob)，q是特定取值，比如pbinom(8,20,0.2)指第8次伯努利实验的累计概率。
size指总的实验次数，prob指每次实验成功发生的概率dbinom(x,size,prob), x同上面的q同含义。
dfunction()对于离散分布来说结果是特定值的概率，对连续变量来说是密度（Density）rbinom(n, size, prob)，产生n个b(size,prob)的二项分布随机数qbinom(p, size, prob),quantile function 分位数函数。
分位数：若概率0<><1，随机变量x或它的概率分布的分位数za。
是指满足条件p(x>Za)=α的实数。
如t分布的分位数表，自由度f=20和α=0.05时的分位数为1.7247。
--这个定义指的是上侧α分位数α分位数：实数α满足0 <><1>1>< xα}="">双侧α分位数是使P{Xλ2}=1-F(λ2)=0.5α的数λ2。
qbinom是上侧分位数，如qbinom(0.95,100,0.2)=27,指27之后P(x>=27)>=0.95。
即对于b(100,0.2)为了达到0.95的概率至少需要27次重复实验。
2.负二项分布negative binomial distribution （帕斯卡分布）nbinom掷骰子，掷到一即视为成功。
则每次掷骰的成功率是1/6。
要掷出三次一，所需的掷骰次数属于集合 { 3, 4, 5, 6, ... } 。
负二项分布的性质特征及在流行病学研究中的应用
负二项分布的性质特征及在流行病学研究中的应用负二项分布的性质特征及在流行病学研究中的应用【摘要】给出了负二项分布的分解定理，进一步研究了负二项分布的有关性质及参数的无偏一致估计，以及在流行病学该分布的生物学意义。
【关键词】负二项分布；无偏一致估计；应用负二项分布是概率论中常用的重要的离散型随机分布，它在医学中主要用于聚集性疾病及生物、微生物、寄生虫分布模型等的研究。
具体地说，当个体间发病概率不相等可以拟合负二项分布，如单位人数内某传染病的发病人数，某地方病、遗传病的发病人数等，这些均可通过负二项分布进行处理。
本文从概率论的角度阐述负二项分布的性质及参数的最小方差无偏估计，并且以该分布在流行病学中应用为例证讨论了其生物学意义。
1 负二项分布的概率模型负二项分布又称帕斯卡分布（Pascal）,它有两种基本模型［1］：模型Ⅰ：假定每次试验可能的结果只有两个：可归结为成功或失败，每次试验之间是独立，每次成功的概率均为π，直到恰好出现r （指定的一个自然数）次成功所需试验次数X,则X的概率分布为：p(X=K)=πCr-1k-1πk-1(1-π)k-r=Cr-1k-1π-(1-π)k-rk=r,r+1 (1)模型Ⅱ：假定每次试验可能的结果只有两个：可归结为成功或失败，每次试验之间是独立，每次成功的概率均为π，试验进行到r次成功为止，记X为试验共进行的次数,则X 的概率分布为［3］：p(X=k)=Cr-1k+r-1πk(1-π)k k=0,1,2, (2)此分布的概率是πr(1-(1-π))-r 的幂级数展开式的项，负二项分布由此而得名记作 X～f(k,r,π) ，或 X～NB(r,π)一个重要的特例是 r=1。
这时（2）成为p(X=k)=π(1-π)k k=0,1,2, (3)称为几何分布。
2 性质特征为研究负二项分布的性质，我们先给出一个重要的结论：引理：设X～NB(r,π)，则其特征函数为ψx(t)=πr(1-(1-π)eit)-r 证明：ψx(t)=E（eitx)=∑∞i=0Cr-1i+r-1πr(1-π)i eitr=∑∞i=0Cr-1i+r-1πr((1-π) e)rti=πr∑∞i=0Cr-1i+r-1((1-π) ert)i=πr(1-(1-π)eit)-r定理1 设: X1,X2,…,Xr（3）的iid样本，如果X=∑ri=1Xi, 则X=∑ri=1Xi～NB(r,π)证明：因为X1，X2，…，Xr独立同分布，又有引理知X=∑ri=1Xi 的特征函数为：φ(t)=πr(1-(1-π) eit)-r=πr∑∞k=0(-r)(-r01)…(-r-k+1)k! ((1-π) eit)k(-1)keitr=πr∑∞k=0(r+k-1)!(r-1)!k! (1-π)k eit(k+1)=∑∞k=0πr(1-π)k eit(k+r) Cr-1r+k-1这正是 p(X=k)=Cr-1r+k-1(1-π)k 的概率分布则X=∑ri=1Xi～NB(r,π)定理2 设：X=X1,X2,…,Xn)是（1）的iid样本，则T（X）=∑ni=0Xi～NB(nr,π),则有p(T=k)=Cnr-1k-1πnr(1-π)k-nr k=nr,nr+1, (4)证明：设ξ的特征函数为f(t) ，那么f(t)=∑∞x=reitxCr-1N-1πN(1-π)N-r =πeit1-(1-π)eitr因为x是ξ的iid样本，所以Xi 的特征函数fi(t)=f(t),i=1,2,…,n 有特征函数的性质得T的特征函数为:∏ni=1fi(t)πeit1-(1-π)eitr由于特征函数与概率分布唯一对应，所以T～f(k,nr,π) ，其概率分布便是（4）。
负二项分布的数学期望和方差的一种求法
（上接第 54 页）
参考文献：
[1] 刘春麟．构造性方法在矩阵证明题中的应用[J]．数学学习与研究，2017（19）：14-15 [2] 史秀英．构造法在高等代数中的应用研究[J]．赤峰学院学报：自然科学版，2013，29（6）：11-13 [3] 王玉华．高等代数中构造方法的应用[J]．乐山师范学院学报，2013，28（12）：14-15 [4] 姚裕丰．高等代数中的几类数学思想方法[J]．高师理科学刊，2016，36（5）：62-65 [5] 北京大学数学系．高等代数[M]．3 版．北京：高等教育出版社，2003 [6] 同济大学应用数学系．高等代数与解析几何[M]．北京：高等教育出版社，2005 [7] 于增海．高等代数考研选讲[M]．北京：国防工业出版社，2016 [8] 周金土．高等代数解题思想与方法[M]．杭州：浙江大学出版社，2008 [9] 李志慧，李永明．高等代数中的典型问题与方法[M]．北京：科学出版社，2008 [10] 刘洪星．考研高等代数辅导——精选名校真题[M]．北京：机械工业出版社，2013
rpr Crri (1 p)i i0
令 k r i ，则 E( X ) rpr
C r11 r 1i1
(1
p)i
i0
rpr
1 (1 p)
(r 1)
rpr p(r1)
r p
．
E X2
k
C 2 r1 k 1
pr
(1
p)kr
kr
k(k 1 1)Ckr11 pr (1 p)kr
(1 r)!
p)kr
E( X
)
r(r 1) pr Ckr11(1 p)k r E( X )
k r
令 i k r ，有 k r i, i 0, 1, 2, L ，则 E X 2 r(r 1) pr
二项分布与负二项分布
第四周常见随机变量这一周我们介绍几种常见的随机变量。
我们希望能够从各种随机变量产生的机理角度进行说明，从而使它们的性质展开更加自然，同时也能更深入地理解它们之所以常见的内在原因。
本周学习的分布包括：二项分布，负二项分布，泊松分布，几何分布，指数分布，正态分布。
************************************************************4.1二项分布与负二项分布伯努利（Bernoulli）试验一个随机试验只有“成功”和“失败”两种可能的结果，其中出现“成功”的概率为()01p p <<，则称此随机试验为一个参数为p 的伯努利试验。
由参数为p 的伯努利试验定义一个随机变量X ，,,10X ⎧=⎨⎩伯努利试验成功否则则称X 是参数为p 的伯努利随机变量，或称X 服从参数为p 的伯努利分布。
************************************************************例4.1.1抛一颗均匀色子，如果出现偶数点称为试验“成功”，出现奇数点为试验“失败”，则随机变量,,,10X ⎧=⎨⎩抛出的点数为偶数抛出的点数为奇数.是一个参数为12p =的伯努利随机变量。
************************************************************************二项分布将参数为p 的伯努利试验独立地重复n 次，定义随机变量X 为试验成功的次数，则X 的分布律为:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n kp p p p p n k 210210，其中()k p P X k ==k n C =()1n k k p p --,0,1,,k n = 。
此分布即称为二项分布，记为()~,X B n p ，也称X 服从参数为(),n p 的二项分布。
利用二项式定理可验证：()()00111n n n n k k k k n k k p C p p p p -===-=+-=⎡⎤⎣⎦∑∑，************************************************************例4.1.2甲、乙两棋手约定进行10局比赛，每局棋甲获胜的概率是0.6，乙获胜的概率为0.4。
负二项分布的两个不同定义
负二项分布的两个不同定义康殿统【摘要】给出了负二项分布的两个不同定义，给出了两类负二项随机变量的期望、方差与矩母函数。
从直观上对这两类负二项随机变量做了描述。
%Two definitions of the nega tive binomial distributions are introduced. The expectations, variances and moment generating functions for two types of the negative binomial random variables are computed. Intuitive and descriptive explanations are made for the negative binomial random variables.【期刊名称】《河西学院学报》【年(卷),期】2014(000)005【总页数】9页(P22-30)【关键词】负二项分布;伽玛分布;泊松分布;矩母函数;泊松过程【作者】康殿统【作者单位】河西学院数学与统计学院，甘肃张掖 734000【正文语种】中文【中图分类】O211.5在应用概率论与经济学中，负二项分布(Negative Binomial Distribution)以其重要而有趣的性质居于一个重要的位置.关于负二项分布的研究，国内外已有大量的文献，有兴趣的读者可参阅文献［1-3］.本文中，我们对负二项分布做进一步的研究，一方面，我们给出负二项分布的两个不同的定义，通过这两个定义揭示负二项分布的一些特征性质.另一方面，揭示负二项分布与泊松分布、伽玛分布之间的联系.我们将展示负二项分布是伽玛分布的离散化，伽玛分布是负二项分布的连续化，离散的负二项分布与连续的伽玛分布具有对等的性质.定义1.1称函数LX(t)=E(e−tX),t≥0为非负随机变量X的Laplace变换.定义1.2称函数MX(t)=E(etX),t≥0为非负随机变量X的矩母函数.注记1.1文［1］中定义非负随机变量X的矩母函数为MX(t)=E(etX),t∈,这个定义包括了上述定义中的Laplace变换和矩母函数两种情形，这也是一非常好的处理方法.注记1.2若随机变量X与Y独立.则有MX+Y(t)=MX(t)MY(t),t≥0.定义1.3设X为一非负离散随机变量.如果X具有概率质量函数则称X服从参数为n与p的二项分布，记做X～B(n,p),这里n为正整数，0＜p＜1.当n=1时，X～B(1,p)=0−1(p),这时二项变量即为伯努利变量.伯努利变量X～0−1(p)的期望与方差分别为E(X)=p,D(X)=p(1−p).矩母函数为设X～B(n,p),Xi～B(1,p)=0−1(p),诸Xi相互独立.则有由(1)式易有二项随机变量的期望与方差分别为矩母函数为注记1.3由(2)式可以看出，对二项随机变量X～B(n,p)来说，有D(X)＜E(X).二项随机变量X～B(n,p)可以表示在n重伯努利实验中，事件“成功”发生的次数.众所周知，二项随机变量具有可加性.设X～B(n1,p),Y～B(n2,p),X与Y独立.则有定义1.4设X为一非负离散随机变量.如果X具有概率质量函数则称X服从参数为λ的泊松分布，记做X～P(λ),这里λ＞0为实数.注记1.4泊松变量的数学期望与方差均为参数λ,即X～P(λ),E(X)=D(X)=λ.由矩母函数的定义直接计算可得泊松随机变量的矩母函数为称函数为伽玛函数.定义1.5如果非负连续随机变量具有概率密度函数X则称X服从参数为α与λ的伽玛分布，记作X～G(α,λ),其中α＞0为形状参数，λ＞0为尺度参数.设θ＞0,称随机变量θX为X的尺度变换.考虑伽玛分布类在尺度变换下的行为.根据定义容易证明如下的结论成立.命题1.1若X～G(α,λ),则对任意的θ＞0,有注记1.5命题1.1表明，伽玛分布类在尺度变换下具有封闭性.众所周知，伽玛随机变量具有可加性.设X～G(α1,λ),Y～G(α2,λ),X与Y独立.则有注记1.6(4)式是一个非常有用的公式.在积分学中也常用来计算形如的积分.容易算出，伽玛随机变量的期望与方差分别为当α=1,λ=1时，X～G(1,1)=E(1),这里E(1)是均值为1的指数分布.下面我们用E1记均值为1的指数随机变量，称它为标准指数随机变量.引理1.1非负连续随机变量X 服从参数为λ＞0的指数分布的充要条件是：对任意正实数r和s，有下面我们给出(6)式的一个可靠性方面的直观解释.考虑一个泊松事件流.设某个特定事件按照泊松分布规律相继到达.设N(t)为时间区间(0,t]内该事件发生的次数，则N(t)为一泊松过程，即N(t)～P(λt),t＞0,λ＞0为事件的到达速率.两个相继到达的事件之间的时间间隔称为到达间隔.由随机过程的相关知识知道，诸到达间隔服从独立同分布的参数为λ的指数分布.第n个事件的到达时刻Tn服从参数为n和λ的伽玛分布，即Tn～G(n,λ).该模型把泊松分布，指数分布和伽玛分布完美地结合在了一起.设X为一非负随机变量.称非负随机变量Xt=[X−t|X>t]为寿命X在年龄t处的剩余寿命.设X的可靠性函数为X(x),则剩余寿命Xt的可靠性函数为成立，则称寿命具有无记忆性.而等式(8)等价于X这就是(6)式.所以(6)式是在说：对一个连续寿命来说，如果剩余寿命和完整寿命一样可靠，则该寿命一定是指数寿命.注记1.7指数随机变量是唯一的具有无记性的连续随机变量.同样，它的对应物几何随机变量也是唯一的具有无记忆性的离散随机变量.无记忆性是指数随机变量和几何随机变量的特征性质.本文结构如下：在第2节中，给出负二项分布的两个定义.在第3节中给出涉及负二项随机变量的两个计算实例.2.1 负二项分布NBi(r,p)的定义及其特征定义2.1［1］设Y为一非负离散随机变量.如果Y具有概率质量函数则称Y服从参数为r与p的负二项分布，记做Y～NBi(r,p),这里r＞0,0＜p＜1,Γ(⋅)为伽玛函数.当r为正整数时，负二项分布称为帕斯卡分布.以后我们均考虑r为正整数的情形.这时NBi(r,p)的概率质量函数为当r=1时，负二项随机变量的概率质量函数为这时称Y服从参数为p的几何分布，记作Y～Ge(p).几何随机变量Y～Ge(p)表示在独立同分布的伯努利试验序列中，首次成功出现前总的失败次数.由(11)式，经直接计算可得几何随机变量Y～Ge(p)的期望和方差分别为这里，q=1−p.注记2.1由数学期望的定义可以看出，对几何随机变量Y～Ge(p)来说，虽然原点处聚集的概率质量最大，但是这些概率质量却对几何随机变量Y～Ge(p)的期望和方差没有“贡献”！Y的矩母函数为注记2.2由(12)式可以看出，对负二项随机变量Y～NBi(r,p)来说，有D(Y)＞E(Y).负二项变量Y～NBi(r,p)的期望和方差也可以分别利用Y的矩母函数来求出.命题2.1设Y～NBi(r,p),则有证明对(13)式求导并令t=0,得当r为正整数时，设Y～NBi(r,p),Yi～Ge(p),i=1,2,…,r,Yi相互独立.由于Y=Y1+Y2+…+Yr,利用这个等式可以容易求出负二项变量Y～NBi(r,p)的矩母函数当r为正整数时，Y～NBi(r,p)的概率质量函数为这时，负二项变量Y表示在独立伯努利试验序列中，第r个成功发生前的失败次数.则Y的概率质量函数可以由如下方法求出.2.2 负二项分布NB(r,p)的定义及其特征2.2.1 定义及特征定义2.2设X为一非负离散随机变量.如果X具有概率质量函数则称X服从参数为r与p的负二项分布分布，记做X～NB(r,p)，这里r为正整数，0＜p＜1.当r=1时，X～NB(1,p)=G(p),这时称X服从参数为p的几何分布，X具有概率质量函数由(18)式，经直接计算可得几何随机变量X的均值和方差分别为矩母函数为设X～NB(r,p)，Xi～NB(1,p)=G(p),i=1,2,…,r,Xi表示在独立同分布的伯努利试验序列中，第i−1个成功之后，到第i个成功发生时的试验次数，则有由(19)，(20)，和(21)式，得X～NB(r,p)的期望和方差分别为注记2.3负二项变量Y～NBi(r,p)相对于X～NB(r,p)来说具有如下三个特点：(1)Y～NBi(r,p)的取值从0开始而不是从r开始，这能更好的满足如保险等方面的需要；(2)Y～NBi(r,p)可以表为泊松分布按照伽玛权重的连续混合，而X～NB(r,p)不行；(3)我们这里Y～NBi(r,p)的定义与数学软件Mathematica中负二项分布的定义一致.鉴于Y～NBi(r,p)的上述三个特点，比起X～NB(r,p)来，有些学者更喜欢Y～NBi(r,p).2.2.2 直观解释现在考虑给出定义2.2中的负二项变量X～NB(r,p)一个直观的解释.设在独立同分布的伯努利试验序列中，以事件A表示“成功”，表示“失败”，有P(A)=p,P()=1−p.设随机变量X表示第r(r=1,2,…)次成功出现时总的试验次数.则X的所有可能取值为r,r+1,….现在求X的概率质量函数P{X=k},k=r,r+1,….这个问题可以这样描述：第r次成功正好出现在第k次试验，且前k−1次试验中共有r−1次成功.若记Y为前k−1次试验中成功的次数.显然Y～B(k−1,p).则且第k次正好是成功，概率为p,所以,即这正好是(17)式中负二项分布的概率质量函数.注记2.4因为所以故有值得注意的是(22)式的左边恰好是二项分布B(k,p)的概率质量函数，而右边是负二项分布NB(r,p)的概率质量函数.当r=1时，负二项分布的概率质量函数为这时称X服从参数为p的几何分布，记作X～G(p).它因p(1−p)k−1是几何级数的一般项而得名.几何分布G(p)是负二项分布NB(r,p)的一个特例.设X～G(p),则X表示在独立同分布的伯努利试验序列中，首次成功出现时总的试验次数.与指数随机变量相类似，无记忆性也是几何随机变量的一个特征性质.2.2.3 两种负二项变量间的关系定理2.1设X～NB(r,p),Y～NBi(r,p),r为正整数，0＜p＜1.则有证明由定义2.2有X～NB(r,p)的概率质量函数为这里r为正整数，0＜p＜1.而由(19)式，Y～NBi(r,p)的概率质量函数为因此Y+r的概率质量函数为所以(23)成立.定理得证.注记2.5由(23)式知，用两种不同方式定义的负二项变量X～NB(r,p),Y～NBi(r,p)的概率质量函数可以相互确定，并且期望与方差之间也可以相互换算.注记2.6对(23)式我们可以这样理解：设X表示独立伯努利试验序列中第r个成功发生时总的试验次数，Y表示第r个成功发生前总的失败次数，则有X=Y+r.命题2.1设X1～NB(r1,p),X2～NB(r2,p),X1与X2独立.则有注记2.7命题2.1表明，负二项随机变量X～NB(r,p)具有可加性.2.2.4 负二项随机变量X～NB(r,p)与伽玛随机变量的关系负二项随机变量与伽玛变量具有共性.事实上，负二项随机变量为伽玛变量的离散化.这种关系可有如下的推导过程看出.考虑如下的模型［1］.令Tr表示在时间区间[0,t)内直到第r顾客到达某一服务窗口的等待时间，我们试图用微元法求出Tr的概率密度函数fTr(t).把区间[0,t)等分为个子区间由于设t给定，k为大正整数.k的取值要足够大，使得上述的每个子区间内至多有一个顾客到达.令指示随机变量Ij表示第j个子区间内到达的顾客数，即令λ为单位时间内到达的顾客数的数学期望.为考虑问题方便起见，作如下假设：(H1)在上述的每个子区间内有一个顾客到达的概率相等.(H2)Ij，j=1,2,…,k,相互独立.即某个子区间内有无顾客到达对其他子区间内有无顾客到达的概率没有影响.(H3)在区间(0,s)内到达顾客的期望个数为λs.令p=P(Ij=1),j=1,2,…,k.可以证明：所以，由(24)式看出，伽玛分布是负二项分布NB(r,p)的连续化.因而也可以知道，指数分布是几何分布G(p)的连续化.参考文献:［1］Bean,M.A.著.概率论及其在投资、保险、工程中的应用(英文版)［M］.北京：机械工业出版社,2003.［2］蒋仁言,左明健著.可靠性模型与应用［M］.北京：机械工业出版社,1999. ［3］Gupta,R.C.,Ong,S.H.A new generalization of the negative binomial distribution［J］.Computational Statistics&Data Analysis.2004,45:287-300. Abstract：From the perspective of function construction,combining with the practice in teaching mathematical analysis,we dissert the course of mathematical analysis deeply,and give some examples to explain how to run through the thinking into the teaching of mathematical analysis.Key words：Function construction；Whole thinking；Whole and part。
几何分布负二项分布
几何分布负二项分布
几何分布和负二项分布都是描述一系列独立的伯努利试验中成功（或失败）次数的概率分布。
几何分布描述的是在一系列独立的伯努利试验中，首次成功（或失败）出现的次数。
例如，投掷一枚公平硬币，直到出现正面为止，所需的投掷次数就符合几何分布。
几何分布的概率质量函数为：
P(X=k) = (1-p)^(k-1) * p
其中，X是首次成功（或失败）出现的次数，p是每次试验成
功的概率，k是大于等于1的整数。
负二项分布描述的是在一系列独立的伯努利试验中，直到连续
r次成功（或失败）出现的次数。
例如，投掷一枚公平硬币，
直到出现3次正面为止，所需的投掷次数就符合负二项分布。
负二项分布的概率质量函数为：
P(X=k) = C(k-1, r-1) * p^r * (1-p)^(k-r)
其中，X是直到连续r次成功（或失败）出现的次数，p是每
次试验成功的概率，k是大于等于r的整数，C(n, r)是组合数，表示从n个元素中选取r个元素的组合数。
几何分布可以看作是负二项分布在r=1时的特殊情况。
负二项分布的结构研究
负二项分布的结构研究康殿统【摘要】给出了负二项分布的两个不同定义与一个结构性定理.研究了两类负二项随机变量的无穷可分性.给出了求两类负二项随机变量的期望、方差与矩母函数的几种简捷方法.另外给出了涉及负二项随机变量的两个计算实例.【期刊名称】《华中师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(049)003【总页数】5页(P339-343)【关键词】负二项分布;伽玛分布;矩母函数;泊松过程;混合;无穷可分性;因子分解法【作者】康殿统【作者单位】河西学院数学与统计学院,甘肃张掖734000【正文语种】中文【中图分类】O211在应用概率论与经济学中, 负二项分布(Negative Binomial Distribution)以其重要而有趣的性质居于一个重要的位置. 关于负二项分布的研究,国内外已有大量的文献,有兴趣的读者可参阅文献[1-2].本文对负二项分布的结构进行研究,同时也将展示几个求负二项分布的期望、方差及矩母函数的简捷方法.定义1设X为一非负离散随机变量. 如果X具有概率质量函数则称X服从参数为n与p的二项分布,记做X～B(n, p),这里n为正整数,0<p<1. 定义2称函数MX(t)=E(etX), t≥0为非负随机变量X的矩母函数.注1若随机变量X与Y独立.则有MX+Y(t)=MX(t)MY(t), t≥0.定义3设X为一非负离散随机变量. 如果X具有概率质量函数则称X服从参数为λ的泊松分布,记做X～P(λ),这里λ>0为实数.泊松随机变量的矩母函数为:定义4如果非负连续随机变量X具有概率密度函数则称X服从参数为α与λ的伽玛分布,记作X～G(α,λ),其中,α>0为形状参数,λ>0为尺度参数.Γ(α)为Gamma函数.容易算出,伽玛随机变量的矩母函数为:定义5[1]设Y为一非负离散随机变量. 如果Y具有概率质量函数则称Y服从参数为r与p的负二项分布,记做Y～NBi(r,p),这里r>0,0<p<1.Γ(·)为伽玛函数.当r为正整数时,负二项分布NBi(r,p)称为帕斯卡分布.下文中提到负二项分布NBi(r,p)时,均指r为正整数的情形.这时Y～NBi(r,p)的概率质量函数为:当r=1时,负二项随机变量的概率质量函数为:这时称Y服从参数为p的几何分布,记作Y～Ge(p).由定义直接计算可得负二项变量Y～NBi(r,p)的矩母函数为:定义6设X为一非负离散随机变量. 如果X具有概率质量函数则称X服从参数为r与p的负二项分布分布,记做X～NB(r,p),这里r为正整数,0<p<1.当r=1时,X～NB(1,p)=G(p),这时称X服从参数为p的几何分布,X具有概率质量函数X～NB(r,p)的矩母函数为:当r为正整数时,负二项变量Y～NBi(r,p)表示在独立伯努利实验序列中第r个成功发生前的失败次数.然而在保险实务中,负二项变量表示在特定的时期内的索赔次数,索赔频率服从Poisson分布,但参数具有随机性,即参数为一随机变量,且服从伽玛分布.就是说负二项分布看作是是Poisson分布以伽玛分布为权重的连续混合.这种观点可由下面的定理来证实.定理1设Z为一非负离散随机变量. 如果[Z|Λ=λ]～P(λ), Λ～G(r, β),则Z服从参数为r与的负二项分布分布,即Z～NBi(r,p),这里r,β为正实数,0<p<1.证明下面求Z的概率质量函数.设Λ～G(r, β),即Λ具有概率密度函数其中,r,β为正实数.则Z的概率质量函数为:令由于x为非负整数,x!=Γ(x+1),由(4)式得Z的概率质量函数为:由定义5知证毕.当r为正整数时,Γ(r+x)=(r+x-1)!, Γ(r)=(r-1)!,则(5)式化为:由于所以注2(6)式解释了负二项分布这个名词的由来.定义7[3]1) 对于任何n=2,3,…,如果一个分布可以表为n个同一概率分布的卷积(或称合成),则称该分布为无穷可分分布;2) 无穷可分分布的特征函数f(t)称为无穷可分的,如果对于任何n,这个特征函数可以表为另一特征函数的n次幂:f(t)=[fn(t)]n;3) 定义在某个概率空间上的随机变量,如果对任何n,它可以表为定义在该空间上的n个独立同分布的随机变量之和,则称该随机变量为无穷可分的.注31)每一个无穷可分随机变量的分布是无穷可分的,但反之不恒真;2)分布的无穷可分性可以用特征函数来检验;3)当随机变量的矩母函数存在时,分布的无穷可分性也可以用矩母函数函数来检验. 定理2负二项随机变量X～NB(r,p)和Y～NBi(r,p)都是无穷可分的.证明设X～NB(r,p), Y～NBi(r,p),Xi～G(p), Yi～Ge(p), i=1,2,…,r,则有由定义7知,负二项随机变量X～NB(r,p)和Y～NBi(r,p)都是无穷可分的.定理3负二项分布NB(r,p)和NBi(r,p)的特征函数和矩母函数都是无穷可分的.证明负二项分布NB(r,p)和NBi(r,p)的特征函数分别为:和显然和而和分别为负二项分布和的特征函数.因此,负二项分布NB(r,p)和NBi(r,p)的特征函数都是无穷可分的.证毕.由上面的注记3的2)可知,下面的定理成立.定理4负二项分布NB(r,p)和NBi(r,p)都是无穷可分的.4.1 求矩母函数的双期望法下面给出一个计算矩母函数的一般方法,这个方法称为混合法.利用此方法,可以容易地算出负二项变量的矩母函数.由矩母函数的定义,MX(t)=E(etX), t≥0.设Y为另一非负随机变量.由双期望公式,有当Y离散时,X是X|Y=yi的离散混合其中,pi=P(Y=yi)为权系数,MXi(t)为随机变量X|Y=yi的矩母函数.当Y连续时,X是X|Y=y的连续混合.设Y的密度函数为fY(x),则有命题1设X～NBi(r,p),则证明设X～NBi(r,p),Λ～G(r, β).由定理1知[X|Λ=β]～P(β).由(1)式有MX|Λ(t)=eΛ(et-1), t≥0.由(3)式有β.由(5)式有令有于是证毕.注4负二项分布这个名词的由来也可以通过如下所述的矩母函数方法来说明.由于二项随机变量X～B(n,p)的矩母函数为:把其中的n和p分别用r和替换,即得而这正是负二项变量X～NBi(r,p)的矩母函数.4.2 求负二项随机变量期望、方差与矩母函数的因子分解法4.2.1 一般方法这个方法对求无穷可分随机变量的期望、方差与矩母函数非常实用.设X为一无穷可分随机变量,由随机变量无穷可分的定义,对任何正整数n,存在n个独立同分布的随机变量Xi, i,=1,2,…,n,X可以分解为这n随机变量之和.即利用这个分解式,容易求出X的数学期望、方差、矩母函数分别为:更一般地,把X分解为任意若干个随机变量之和,只要这些分解出来的随机变量好求数学期望即可,也不要求相互独立,这样X的期望数学就等于这些随机变量数学期望之和.但在求方差与矩母函数时,要求分解出来的这些随机变量要相互独立,最好还是同分布的,这样求X的数学期望期望、方差与矩母函数将变得非常简单.4.2.2 负二项随机变量的因子分解法设X～NB(r,p), Y～NBi(r,p),这里r为正整数,0<p<1.再设Xi～G(p),Yi～Ge(p), i=1, 2, …, r. 诸Xi独立同分布,诸Yi独立同分布.由于X～NB(r,p)与Y～NBi(r,p)都是无穷可分的,因此有由于X1与Y1的数学期望、方差与矩母函数分别为:由(8)式有X～NB(r,p)与Y～NBi(r,p)的数学期望、方差与矩母函数分别为:4.2.3 转换法由定义5与定义6知道,如果X～NB(r,p), Y～NBi(r,p),r为正整数,0<p<1.则有所以有由(9)式知,在X～NB(r,p)与Y～NBi(r,p)两者中,只要知道其中一个的期望、方差与矩母函数,则另一个的期望、方差与矩母函数就可以通过(9)式求得.例如,已有Y～NBi(r,p)的数学期望、方差与矩母函数分别为:则由(9)式有,X～NB(r,p)的数学期望、方差与矩母函数分别为:同理,也可由X～NB(r,p)的数学期望、方差与矩母函数通过(9)式求出Y～NBi(r,p)的数学期望、方差与矩母函数.上面的转换法还可以推广到更一般的情形,限于篇幅在此不再赘述.下面给出两个与负二项分布密切相关的例子.例1设k,r为正整数,k<r,求负二项变量X～NB(k,p)和Y～NB(r,p)的联合分布.只需求X和Y的联合概率质量函数.q=1-p;n=r-k+m,r-k+m+1,…;m=k,k+1,….特别地,取k=1, r=2,则有X的概率质量函数为:即X～G(p).Y的概率质量函数为:即Y～NB(2,p).这就是文献[4]中的例3.3.1.例2一个中等规模的运输公司,管理层在考虑雇员的来年投保问题时需要知道来年发生医疗索赔的人数超过4例的概率[1].设N为来年雇员中发生医疗索赔的人数,根据业内经验,随机变量N服从泊松分布,但参数具有不确定性,即泊松分布具有一个随机参数,记为Λ.因而有[N|Λ=λ]～P(λ).管理者决定用伽玛分布来建模该随机参数.设Λ～G(2, 0.5),由定理1知N～NBi(r,p),这里即则所求概率为:【相关文献】[1] Bean M A. 概率论及其在投资、保险、工程中的应用[M].英文版. 北京:机械工业出版社, 2003.[2] 蒋仁言, 左明健. 可靠性模型与应用[M]. 北京:机械工业出版社,1999.[3] 《数学百科全书》编译委员会. 数学百科全书 [M]. 第3卷. 北京:科学出版社,1997.[4] 马统一, 康殿统, 李劲. 经济应用数学-概率论与数理统计[M]. 北京:高等教育出版社,2004.。
负二项分布的优良特性及其在风险管理中的应用
负二项分布的优良特性及其在风险管理中的应用王丙参;何万生;戴宁【摘要】This article discusses the properties and promotion of the two basic negative binomial distributions,gives closed of conditional probabilities and a non-classical confidence interval estimate under thefirst negative binomial distribution,discusses the relationship between the second negative binomial distribution to poisson distribution.%研究了负二项分布的两个基本模型及推广,得到第一类负二项分布条件概率具有封闭性且给出参数的一个非经典置信区间估计,特别研究了第二类负二项分布与泊松分布的关系。
【期刊名称】《延安大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(030)004【总页数】5页(P14-18)【关键词】负二项分布;索赔次数;估计值;矩母函数【作者】王丙参;何万生;戴宁【作者单位】天水师范学院数学与统计学院,甘肃天水741001;天水师范学院数学与统计学院,甘肃天水741001;郑州大学数学系,河南郑州450002【正文语种】中文【中图分类】O211.3当投保集体同质时，投保次数服从泊松分布，而实际中的投保集体都或多或少地存在一定的非同质性，这就为负二项分布的应用创造了条件，负二项分布的方差越大于其均值，表明投保集体存在的非同质性越严重［1-3］。
导致非同质的原因可能多种多样，譬如，由于保险公司和保单持有人增强了风险防范意识，大多数保单不会发生保险事故；或者因为保险公司应用了免赔额或无赔款折扣等条款，许多被保险人在发生轻微事故时不会提出索赔；在这些情况下，如果仍然使用泊松回归模型，可能会低估参数的标准误差，高估其显著性水平，从而在模型中保留多余的解释变量，最终导致不合理的费率厘定结果。
二项分布与负二项分布
二项分布与负二项分布第四周常见随机变量这一周我们介绍几种常见的随机变量。
我们希望能够从各种随机变量产生的机理角度进行说明，从而使它们的性质展开更加自然，同时也能更深入地理解它们之所以常见的内在原因。
本周学习的分布包括：二项分布，负二项分布，泊松分布，几何分布，指数分布，正态分布。
************************************************************4.1二项分布与负二项分布伯努利（Bernoulli）试验一个随机试验只有“成功”和“失败”两种可能的结果，其中出现“成功”的概率为()01p p <<，则称此随机试验为一个参数为p 的伯努利试验。
由参数为p 的伯努利试验定义一个随机变量X ，,,10X ?=??伯努利试验成功否则则称X 是参数为p 的伯努利随机变量，或称X 服从参数为p 的伯努利分布。
************************************************************ 例4.1.1抛一颗均匀色子，如果出现偶数点称为试验“成功”，出现奇数点为试验“失败”，则随机变量,,,10X ?=??抛出的点数为偶数抛出的点数为奇数.是一个参数为12 p =的伯努利随机变量。
******************************************************************* *****二项分布将参数为p 的伯努利试验独立地重复n 次，定义随机变量X 为试验成功的次数，则X 的分布律为:n kp p p p p n k 210210，其中()k p P X k ==k n C =()1n k k p p--,0,1,,k n = 。
此分布即称为二项分布，记为()~,X B n p ，也称X 服从参数为(),n p 的二项分布。
利用二项式定理可验证：()()00111n n n n k k k k n k k p C p p p p -===-=+-=∑∑，************************************************************例4.1.2甲、乙两棋手约定进行10局比赛，每局棋甲获胜的概率是0.6，乙获胜的概率为0.4。
零膨胀负二项
零膨胀负二项零膨胀负二项是一个在概率论和统计学中常用的离散概率分布。
在本文中，我们将深入探讨零膨胀负二项分布的性质、应用场景以及其与其他概率分布的关系。
通过详细的解释和实例分析，我们将帮助您全面理解这个概念。
1. 什么是零膨胀负二项分布？零膨胀负二项分布（Zero-Inflated Negative Binomial distribution）是一种由两个部分组成的混合分布。
它将两个概率分布结合在一起，以模拟具有过量零值的计数数据。
这个分布通常用于描述稀有事件的发生次数，并且比负二项分布更适合具有过度零值的数据。
2. 零膨胀负二项分布的特点2.1 负二项分布部分：与负二项分布类似，零膨胀负二项分布描述了成功次数的分布，并且具有两个参数：成功次数的期望值（μ）和成功概率（p）。
2.2 零膨胀部分：零膨胀负二项分布引入了一个额外的机制来模拟零值的过度出现。
这部分通常被描述为零膨胀分布，可以是离散分布或连续分布，如泊松分布或正态分布。
3. 零膨胀负二项分布的应用场景3.1 生态学研究：零膨胀负二项分布适用于描述物种的出现次数，特别是在对少见物种进行调查时。
3.2 医学研究：在疾病流行病学研究中，零膨胀负二项分布可用于建模疾病的发病率和传播程度。
3.3 保险和风险管理：零膨胀负二项分布可以用来估计个体保险索赔的分布，以便计算风险和定价保险产品。
4. 零膨胀负二项分布与其他概率分布的关系4.1 负二项分布和泊松分布：与负二项分布类似，在零膨胀负二项分布的零膨胀部分中，泊松分布可以用于描述零值的分布。
4.2 零膨胀负二项分布和二项分布：二项分布是零膨胀负二项分布的一个特例，当零膨胀部分的概率为0时，即不存在过量的零值。
总结和回顾：零膨胀负二项分布是一个用于建模稀有事件发生次数的概率分布。
它结合了负二项分布和零膨胀分布的特点，适用于具有过量零值的计数数据。
在许多领域，如生态学、医学研究和风险管理中，零膨胀负二项分布都具有广泛的应用。