矩阵特征值求解

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矩阵特征值的计算

矩阵特征值的计算一、特征值的定义和性质矩阵A的特征值是指满足下列条件的数λ：存在一个非零向量x，使得Ax=λx，即为矩阵A作用在向量x上的结果是该向量的数量倍，其中λ为特征值。

定义特征值之后，可以证明如下性质：1.相似矩阵具有相同的特征值；2.矩阵的特征值个数等于矩阵的阶数；3.特征值可以是实数也可以是复数；4.如果一个矩阵的特征向量独立，则该矩阵可对角化。

二、特征值的计算方法特征值的计算方法有多种，包括直接计算、特征向量迭代法等。

以下介绍两种常用的方法，分别是雅可比法和幂法。

1.雅可比法雅可比法是最基本和最直接的求解特征值和特征向量的方法。

首先，构造一个对称阵J，使其主对角线元素等于矩阵A的主对角线元素，非对角线元素等于矩阵A的非对角线元素的平方和的负数。

然后，对J进行迭代计算，直到满足迭代终止条件。

最终得到的J的对角线元素就是矩阵A 的特征值。

雅可比法的优点是计算量相对较小，算法比较简单，可以直接计算特征值和特征向量。

但是，雅可比法的收敛速度较慢，对于大规模矩阵的计算效率较低。

2.幂法幂法是一种迭代算法，用于计算矩阵的最大特征值和对应的特征向量。

首先，随机选择一个非零向量b作为初值。

然后，迭代计算序列b,A*b,A^2*b,...，直到序列趋向于收敛。

最终，特征值是序列收敛时的特征向量的模长，特征向量是序列收敛时的向量。

幂法的优点是可以计算矩阵的最大特征值和对应的特征向量。

此外，幂法对于大规模矩阵的计算效率较高。

然而，幂法只能计算最大特征值，对于其他特征值的计算不适用。

三、特征值的应用1.特征值分解特征值分解是将一个矩阵分解为特征值和特征向量构成的对角矩阵的乘积。

特征值分解是一种重要的矩阵分解方法，它在信号处理、图像压缩、最优化等领域有广泛应用。

通过特征值分解，可以对矩阵进行降维处理、数据压缩和特征提取等操作。

2.矩阵的谱半径矩阵的谱半径是指矩阵的所有特征值的模的最大值。

谱半径在控制系统、网络分析和量子力学等领域有广泛的应用。

矩阵特征值快速求法

矩阵特征值快速求法矩阵特征值是矩阵分析中十分重要的概念。

它在物理、工程、数学等许多领域都有着广泛的应用。

矩阵特征值是指矩阵运动时特殊的运动状态，是一种宏观量度矩阵运动的指标。

求解矩阵特征值是一项复杂的任务，通常需要使用高级算法来完成。

本文将介绍几种常用的求解矩阵特征值的算法，其中包括幂法、反幂法、QR算法、分裂Broyden算法等。

一、幂法幂法是求解矩阵特征值的一种基础算法，其基本思想是通过迭代来逐步逼近矩阵的最大特征值。

幂法的核心公式如下：x_(k+1)=A*x_k/||A*x_k||其中，x_k表示第k次迭代中得到的特征向量，A表示原始矩阵。

幂法通过不断的迭代来逼近A的最大特征值，当迭代次数趋近于无限大时，得到的特征向量就是A的最大特征值所对应的特征向量。

幂法的运算量较小，适用于比较简单的矩阵。

反幂法与幂法类似，不同之处在于每次迭代时采用的是A的逆矩阵来进行计算。

其核心公式如下：x_(k+1)=(A-λI)^(-1)*x_k其中，λ表示要求解的特征值。

反幂法能够求解非常接近于特征值λ的特征向量，并且对于奇异矩阵同样适用。

需要注意的是，在实际计算中，如果A-λI的秩不满，那么反幂法就无法使用。

三、QR算法1. 将原矩阵A进行QR分解，得到A=Q*R。

2. 计算A的近似特征矩阵A1=R*Q。

5. 重复步骤3-4，直到A的对角线元素全部趋近于所求特征值为止。

QR算法的计算量较大，但其具有收敛速度快、精度高等优点，广泛应用于科学计算中。

四、分裂Broyden算法分裂Broyden算法是QR算法的一种改进算法，其基本思想是将矩阵分解成上下三角形式，然后再对其进行QR分解，以减少QR算法中的乘法运算量。

具体实现过程如下：2. 构造一个倒数矩阵B=U^(-1)*L^(-1)。

4. 计算A的近似特征矩阵A1=Q^(-1)*L^(-1)*A*R^(-1)*U^(-1)*Q。

分裂Broyden算法的计算量较小，能够有效地解决QR算法中的乘法运算量过大的问题。

矩阵特征值计算公式(二)

矩阵特征值计算公式(二)矩阵特征值计算公式什么是矩阵的特征值？矩阵在线性代数中起到非常重要的作用，其中一个重要的概念就是矩阵的特征值。

矩阵的特征值可以用来描述矩阵在变换中的行为，是一种非常重要的指标。

简单来说，矩阵的特征值是指在某个矩阵变换下，仍保持原向量方向的特定向量。

矩阵特征值计算公式计算矩阵的特征值通常使用特征多项式方法。

特征多项式是一个关于变量λ 的多项式，其次数等于矩阵的阶数 n。

根据特征多项式，可以得到矩阵的特征值。

以下是计算矩阵特征值的公式：1.特征多项式公式：|A−λI|=0–其中 A 表示待求特征值的矩阵，λ是特征多项式的根，I 是单位矩阵。

–|A−λI|表示矩阵 A 减去特征值λ乘以单位矩阵后的行列式。

–解上述方程，即可得到矩阵 A 的特征值。

2.特征值计算公式：det(A−λI)=0–其中det表示行列式，A 表示待求特征值的矩阵，λ是特征值，I 是单位矩阵。

–det(A−λI)表示矩阵 A 减去特征值λ乘以单位矩阵后的行列式。

–解上述方程，即可得到矩阵 A 的特征值。

计算特征值的例子假设有一个 2x2 的矩阵 A，其元素为：A = [[2, 5], [1, 3]]我们可以按照上述公式计算矩阵 A 的特征值。

1.通过特征多项式公式计算特征值：–|A−λI|=0–将矩阵 A 减去特征值λ乘以单位矩阵后的行列式等于 0。

–根据上面的矩阵 A，我们得到公式：|(2−λ)(3−λ|=0–化简求解得：λ2−5λ+1=0–解上述方程得到两个特征值：$_1 $ 和 $_2 $2.通过特征值计算公式计算特征值：–det(A−λI)=0–将矩阵 A 减去特征值λ乘以单位矩阵后的行列式等于 0。

–根据上面的矩阵 A，我们得到公式：det[2−λ513−λ]=0–化简求解得：(2−λ)(3−λ)−(1)(5)=0–解上述方程得到两个特征值：$_1 $ 和 $_2 $ 综上所述，根据矩阵 A 的特征多项式或特征值计算公式，我们可以得到矩阵 A 的特征值。

第章矩阵特征值的计算

第章矩阵特征值的计算矩阵特征值是矩阵理论中的一个重要概念，它在很多领域中都有广泛的应用，如物理、化学、工程等。

本文将从特征值的定义、计算方法和应用举例等方面进行阐述。

一、特征值的定义对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=kx，其中k 是一个常数，那么k称为A的特征值，x称为A的对应于特征值k的特征向量。

从定义可以看出，矩阵A的特征值和特征向量是成对出现的，特征向量可以是一个实数或是一个向量，特征值可以是实数或是复数。

二、特征值的计算方法1.直接计算法此方法适合于较小的矩阵。

给定一个n阶矩阵A，首先构造特征方程det(A-λI)=0，其中I是n阶单位矩阵，λ是未知数，然后求解特征方程得到特征值，将特征值代入(A-λI)x=0求解对应的特征向量。

2.幂法幂法是一种迭代方法，适用于大型矩阵。

假设特征值的绝对值最大，那么从非零向量b开始迭代过程，令x0=b，求解x1=A*x0，然后再将x1作为初始值，求解x2=A*x1，以此类推，直到收敛为止。

最后，取最终得到的向量xn，其模即为特征值的近似值。

3.QR方法QR方法是一种迭代方法，可以用于寻找特征值和特征向量。

首先将矩阵A分解为QR，其中Q是正交矩阵，R是上三角矩阵，然后对R进行迭代，重复进行QR分解，直到收敛。

最后，得到的上三角矩阵的对角元素即为特征值的近似值，在QR分解的过程中，特征向量也可以得到。

三、特征值的应用举例1.物理学中的量子力学量子力学中的哈密顿算符可以表示为一个矩阵，物理量的测量值就是对应的特征值。

例如，电子的自旋可以有上自旋和下自旋两种状态，上自旋对应的特征值为1，下自旋对应的特征值为-12.工程中的振动问题在工程中，矩阵特征值可以用来求解振动问题。

例如，振动系统的自由度决定了特征向量的个数，而特征值则表示了振动的频率。

通过计算矩阵的特征值和特征向量，可以预测系统的振动频率和振型。

3.网络分析中的中心性度量在网络分析中，矩阵特征值可以用来计算节点的中心性度量。

矩阵的特征值计算

矩阵的特征值计算
矩阵的特征值在线性代数中起着重要的作用，它不仅与矩阵的本质特
性有关，也是各种计算任务的基础。

一、什么是矩阵特征值？
矩阵的特征值是指矩阵在一定条件下满足的特定方程的解，也可视为
一个复数。

（lambda - λ）
二、如何计算矩阵特征值？
通常有以下两种方法：
1. 主对角线法：通过找到一个行列式，然后求解其根，即可得到矩阵
的特征值。

该方法的优点是易于计算和理解，但对于复杂的矩阵计算
较为繁琐。

2. 幂法：通过不断迭代一个向量和矩阵的乘积，从而得到矩阵的特征值。

该方法的优势在于能够处理大型矩阵，同时也能计算复数特征值。

三、矩阵特征值的应用
通过矩阵的特征值计算，可以进行以下应用：
1. 求解线性方程组，例如：Ax=b，其中A为矩阵，b为向量。

2. 深度学习中的主成分分析（PCA）算法，通过计算特征向量和特征值，对高维数据进行降维处理。

3. 常用于计算机图像处理，通过计算特征向量和特征值，进行图像压缩、模式识别等操作。

四、总结
矩阵的特征值计算是线性代数的重要内容，通过计算特定的方程组，可以得到矩阵的特征值和特征向量，从而应用于各种计算任务中。

选用主对角线法或者幂法进行计算，根据实际需要选择适当的方法。

求矩阵特征值的方法

求矩阵特征值的方法矩阵特征值是矩阵理论中的一个重要概念，它在许多领域中都有着广泛的应用，如物理学、工程学、计算机科学等。

求矩阵特征值的方法有多种，下面将介绍其中的三种常用方法。

一、特征多项式法特征多项式法是求矩阵特征值的一种常用方法。

它的基本思想是将矩阵A与一个未知数λ相乘，得到一个新的矩阵B=A-λI，其中I为单位矩阵。

然后求解矩阵B的行列式，得到一个关于λ的多项式，称为特征多项式。

矩阵A的特征值就是使特征多项式等于零的λ值。

具体步骤如下：1. 构造矩阵B=A-λI。

2. 求解矩阵B的行列式det(B)。

3. 解特征多项式det(B)=0，得到矩阵A的特征值λ。

二、幂法幂法是求矩阵特征值的一种迭代方法。

它的基本思想是从一个任意的非零向量开始，不断地将其乘以矩阵A，直到向量的方向趋于特征向量的方向，同时向量的模长趋于特征值的绝对值。

具体步骤如下：1. 选择一个任意的非零向量x0。

2. 迭代计算xn+1=Axn/||Axn||，其中||Axn||为Axn的模长。

3. 当xn+1与xn的差值小于某个预设的精度时，停止迭代，此时xn 的模长即为矩阵A的最大特征值，xn/||xn||即为对应的特征向量。

三、QR分解法QR分解法是求矩阵特征值的一种数值方法。

它的基本思想是将矩阵A 分解为QR，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵。

然后对R进行迭代，得到一个对角矩阵，对角线上的元素即为矩阵A的特征值。

具体步骤如下：1. 对矩阵A进行QR分解，得到A=QR。

2. 对R进行迭代，得到一个对角矩阵D，对角线上的元素即为矩阵A的特征值。

以上三种方法都有其优缺点，具体选择哪种方法取决于实际应用场景和计算需求。

在实际应用中，还可以结合多种方法进行求解，以提高计算精度和效率。

求矩阵特征值的方法

求矩阵特征值的方法矩阵特征值是线性代数中一个非常重要的概念，对于矩阵的特征值和特征向量的求解是解线性代数问题和应用的关键之一。

下面将从基本概念、性质、求解方法等方面全面介绍矩阵特征值的方法。

一、基本概念矩阵特征值是指对于一个n阶矩阵A，存在常数λ，使得线性方程组(A-λI)x = 0有非零解x存在。

其中，I是n阶单位矩阵。

λ称为矩阵A的特征值，而满足(A-λI)x = 0的非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。

二、性质1. 矩阵A和其转置矩阵A^T具有相同的特征值，但对应的特征向量不同。

2. 矩阵的特征值是与矩阵的倍数无关的。

3. n阶矩阵A的特征值个数不超过n个，包括相同特征值重数。

即重特征值可以有多个线性无关的特征向量。

4. 矩阵的特征向量是线性无关的。

三、求解方法1. 特征值的定义法根据特征值的定义，我们将(A-λI)x = 0进行变换，得到(A-λI)x = 0，即(A-λI)x = 0。

利用行列式的性质求解此方程，得到特征值λ的值，再带入方程组中求解特征向量。

2. 特征值的代数重数和几何重数特征值λ是使(A-λI)x = 0有非零解的λ值，λ称为矩阵的代数重数。

而对应特征值λ的解向量x称为矩阵的特征多项式的零空间，零空间的维数称为矩阵的几何重数。

通常，代数重数大于等于几何重数。

3. 矩阵的特征向量特征向量是矩阵A与特征值λ的关联，通过求解(A-λI)x = 0可以得到特征向量。

特征向量是在特征值确定的情况下，通过解方程组取出的非零向量。

4. 特征值和特征向量的计算法常用的计算特征值和特征向量的方法有幂法、反幂法、QR方法、稀疏特征问题求解方法等。

（1）幂法幂法是求解矩阵最大特征值和特征向量的一种迭代方法。

首先初始化一个非零向量b0，然后进行迭代计算，直到满足迭代终止条件。

迭代过程为：b(k+1) = A*b(k)，其中b(k)表示第k次迭代后的向量。

最后得到的向量b即为矩阵A的最大特征值对应的特征向量。

矩阵特征值求法的十种求法(非常经典)

矩阵特征值求法的十种求法(非常经典)以下是矩阵特征值求法的十种经典求法：1. 幂法（Power Method）幂法（Power Method）幂法是求解特征值的常用方法之一。

它基于一个重要的数学原理：对于一个非零向量$x$，当它连续乘以矩阵$A$的$k$次幂后，$Ax$的方向将趋于特征向量相应的特征值。

这种方法通常需要进行归一化，以防止向量过度增长。

2. 反幂法（Inverse Power Method）反幂法（Inverse Power Method）反幂法是幂法的一种变体。

它通过计算矩阵$A$的逆来求解最小的特征值。

使用反幂法时，我们需要对矩阵$A$进行LU分解，以便更高效地求解线性方程组。

3. QR方法QR方法QR方法是一种迭代方法，可以通过将矩阵$A$分解为$QR$形式来逐步逼近特征值。

这种方法是通过多次应用正交变换来实现的，直到收敛为止。

QR方法不仅可以求解特征值，还可以求解特征向量。

4. Jacobi方法Jacobi方法Jacobi方法是一种迭代方法，通过施加正交相似变换将矩阵逐步变为对角矩阵。

在每个迭代步骤中，Jacobi方法通过旋转矩阵的特定元素来逼近特征值。

这种方法适用于对称矩阵。

5. Givens旋转法Givens旋转法Givens旋转法是一种用于特征值求解的直接方法。

它通过施加Givens旋转矩阵将矩阵逐步变为对角矩阵。

这种方法是通过旋转矩阵的特定元素来实现的。

6. Householder变换法Householder变换法Householder变换法是一种用于特征值求解的直接方法。

它通过施加Householder变换将矩阵逐步变为Hessenberg形式，然后再进一步将其变为上三角形式。

这种方法是通过对矩阵的列向量进行反射来实现的。

7. Lanczos方法Lanczos方法Lanczos方法是一种迭代方法，用于对称矩阵的特征值求解。

该方法创建一个Krylov子空间，并使用正交投影找到最接近特征值的Krylov子空间中的特征值。

矩阵特征值的计算

矩阵特征值的计算
物理、力学和工程技术中的许多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值和特征向量问题。
� 计算方阵 A 的特征值，就是求特征多项式方程：
| A − λI |= 0 即 λn + p1λn−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + pn−1λ + pn = 0
的根。求出特征值 λ 后，再求相应的齐次线性方程组：
(13)
为了防止溢出，计算公式为
⎧ Ay k = xk −1
⎪ ⎨
m
k
=
max(
yk )
( k = 1, 2, ⋅ ⋅⋅)
⎪ ⎩
x
k
=
yk
/ mk
(14)
相应地取
⎧ ⎪
λ
n
⎨
≈
1 mk
⎪⎩ v n ≈ y k ( 或 x k )
(15)
9
(13)式中方程组有相同的系数矩阵 A ，为了节省工作量，可先对
11
11
≤ ≤ ⋅⋅⋅ ≤
<
λ1 λ2
λn −1
λn
对应的特征向量仍然为 v1, v2 ,⋅⋅⋅, vn 。因此，计算矩阵 A 的按模
最小的特征值，就是计算 A−1 的按模最大的特征值。
� 反幂法的基本思想：把幂法用到 A−1 上。
任取一个非零的初始向量 x0 ，由矩阵 A−1 构造向量序列：
xk = A−1xk−1 , k = 1, 2, ⋅⋅⋅
如果 p 是矩阵 A 的特征值 λi 的一个近似值，且
| λi − p |<| λ j − p | , i ≠ j
1 则 λ i − p 是矩阵 ( A − pI )−1 的按模最大的特征值。因此，当给

矩阵特征值问题的数值计算

矩阵特征值问题的计算方法特征值问题：A V=λV¾直接计算：A的阶数较小,且特征值分离得较好特征值：det(λI-A)=0,特征向量：(λI-A)V=0¾迭代法：幂法与反幂法¾变换法：雅可比方法与QR方法内容：一、特征值的估计及其误差问题二、幂法与反幂法三、雅可比方法四、 QR方法一、特征值的估计及其误差问题（一）特征值的估计结论 1.1：n 阶矩阵()ij n n A a ×=的任何一个特征值必属于复平面上的n 个圆盘：1,||||,1,2,ni ii ij j j i D z z a a i n =≠⎧⎫⎪⎪=−≤=⎨⎬⎪⎪⎩⎭∑"（10.1）的并集。

结论1.2：若（10.1）中的m个圆盘形成一个连通区域D，且D与其余的n-m个圆盘不相连，则D中恰有A的m个特征值。

（二）特征值的误差问题结论1.3：对于n 阶矩阵()ij n n A a ×=，若存在n 阶非奇异矩阵H ，使得11(,,)n H AH diag λλ−=Λ="，（10.2）则11min ||||||||||||||i p p p i nH H A λλ−≤≤−≤∆ （10.3）其中λ是A A +∆的一个特征值，而(1,,)i i n λ="是A 的特征值，1,2,p =∞。

结论1.4：若n 阶矩阵A 是实对称的，则1min ||||||i p i nA λλ≤≤−≤∆。

（10.4）注：（10.4）表明，当A 是实对称时，由矩阵的微小误差所引起的特征值摄动也是微小的。

但是对于非对称矩阵而言，特别是对条件数很大的矩阵，情况未必如此。

二、幂法与反幂法（一）幂法：求实矩阵按模最大的特征值与特征向量假设n 阶实矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量,1,iV i n ="，则对于任意的0nX R ∈，有 01ni ii X a V ==∑，从而有01111112((/))n nk k k i i i i ii i nk k i i i i A X a A V a V a V a V λλλλ======+∑∑∑.若A 的特征值分布如下：123||||||||n λλλλ>≥≥≥"，则有01111()k kk A X a V λλ→∞⎯⎯⎯→为对应的特征向量须注意的是，若1||1λ<，则10kλ→，出现“下溢”，若1||1λ>，则1kλ→∞，出现“上溢”，为避免这些现象的发生，须对0kA X 进行规范化。

矩阵特征值的求法举例

矩阵特征值的求法举例矩阵的特征值是矩阵在特征向量上的变化率，可以用于矩阵的分析和求解问题。

在数学中，特征值的求法有不同的方法，下面举例介绍其中几种常用的方法。

1. 幂迭代法幂迭代法是求解矩阵最大特征值的一种常用方法。

假设A是一个n阶方阵，且有一个特征值λ1使得|λ1|>|λ2|≥|λ3|≥...≥|λn|，那么在随机选取的一个m维向量x0上进行迭代操作，可以得到一个序列x1、x2、…、xm，最终收敛到特征值为λ1的特征向量。

具体迭代过程如下：(1) 选取一个初始向量x0，进行归一化处理： x0 = x0 / ||x0||(2) 迭代计算xm的值： xm = Axm-1(3) 对xm进行归一化处理： xm = xm / ||xm||(4) 判断结束条件：判断向量xm与xm-1的差别是否小于一个给定的阈值，如果是则结束迭代，返回最终结果。

2. Jacobi方法Jacobi方法是一种迭代方法，用于求解对称矩阵的全部特征值和特征向量。

假设有一个n阶实对称矩阵A，那么Jacobi方法的步骤如下：(1) 将A初始化为对角矩阵，即通过旋转操作将非对角元素都变为0： A' = R^TAR(2) 计算A'的非对角线元素的绝对值之和，如果小于一个给定的阈值，则结束迭代，返回矩阵A'的对角线元素作为矩阵A的特征值的近似解。

(3) 否则，选择一个非对角元素a_ij的绝对值最大的位置(i,j)，对矩阵A'进行旋转操作，使a_ij=0。

(4) 返回步骤(2)。

(1) 初始化矩阵A： A0 = A(2) 对矩阵A0进行QR分解，得到A0=Q1R1。

(3) 计算A0的近似第一特征值λ1的估计值：λ1 = R1(n,n)。

(4) 将A0更新为A1： A1 = R1Q1。

(5) 判断矩阵A1是否满足结束条件，如果是则迭代结束，返回A1的对角线元素作为矩阵A的特征值的近似解。

(6) 否则，返回步骤(2)。

矩阵特征值的求法举例

矩阵特征值的求法举例特征值是线性代数中一个重要的概念，它能够描述一个矩阵对应的线性变换的特性。

在实际应用中，我们经常需要计算一个矩阵的特征值。

本文将通过举例来讲解矩阵特征值的求法。

我们来介绍一下什么是特征值。

给定一个n×n的矩阵A，如果存在一个非零向量v，使得Av=λv，其中λ为常数，那么我们称λ为矩阵A的特征值，而v称为矩阵A对应于特征值λ的特征向量。

计算矩阵特征值的方法有很多，包括特征值分解、幂法、反幂法、QR方法等。

下面我们来逐一介绍这些方法，并通过具体的例子进行说明。

1. 特征值分解法特征值分解是指将一个矩阵分解成特征值和特征向量的乘积的形式，即A=QΛQ^-1，其中Q是特征向量组成的矩阵，Λ是对角矩阵，其对角线上的元素是矩阵A的特征值。

举例：假设有一个2×2的矩阵A=[4, 2; 1, 3]，我们来计算其特征值。

首先我们要求解方程det(A-λI)=0，其中I是单位矩阵，λ是待求的特征值。

展开方程可得(4-λ)(3-λ)-2·1=0，解这个二次方程可得λ1=5，λ2=2。

2. 幂法幂法是一种迭代法，用于求解特征值模最大的特征值和对应的特征向量。

举例：假设有一个3×3的矩阵A=[1, 2, 3; 1, 3, 2; 3, 2, 1]，我们来计算其特征值和特征向量。

首先我们随机选取一个初始向量x^(0)，计算向量序列x^(k+1)=Ax^(k)，迭代到收敛后，我们取得到的向量x^(k+1)的模最大的分量作为矩阵A的特征值模最大的特征向量。

然后，我们将这个特征向量归一化，即除以特征值模最大的分量，得到单位特征向量。

我们将单位特征向量与矩阵A相乘，可得到特征值l。

通过幂法计算可得矩阵A的特征值l≈2.863，以及对应的特征向量v≈[0.618, 0.618, 0.486]。

3. QR方法QR方法是一种迭代法，用于求解特征值。

举例：假设有一个5×5的矩阵A=[3, -1, 0, 0, 0; -1, 3, -1, 0, 0; 0, -1, 3, -1, 0; 0, 0, -1, 3, -1; 0, 0, 0, -1, 3]，我们来计算其特征值。

矩阵特征值计算

第五章矩阵特征值计算与线性方程组的求解问题一样，矩阵特征值与特征向量的计算也是数值线性代数的重要内容. 在理论上，矩阵的特征值是特征多项式方程的根，因此特征值的计算可转化为单个多项式方程的求解. 然而对于高阶矩阵，这种转化并不能使问题得到简化，而且在实际应用中还会引入严重的数值误差. 因此，正如第二章指出的，我们一般将多项式方程求解转化为矩阵特征值计算问题，而不是反过来.本章介绍有关矩阵特征值计算问题的基本理论和算法. 与非线性方程求根问题类似，计算矩阵特征值的算法也是迭代方法①.5.1基本概念与特征值分布本节先介绍矩阵特征值、特征向量的基本概念和性质，然后讨论对特征值分布范围的简单估计方法.5.1.1基本概念与性质定义5.1：矩阵A=(a kj)∈ℂn×n，(1) 称φ(λ)=det(λI−A)=λn+c1λn−1+⋯+c n−1λ+c n为A的特征多项式(characteristic polynomial)；n次代数方程φ(λ)=0为A的特征方程(characteristic equation)，它的n个根：λ1,⋯,λn，被称为A的特征值（eigenvalue）. 此外，常用λ(A)表示A的全体特征值的集合，也称为特征值谱(spectrum of eigenvalue).(2) 对于矩阵A的一个给定特征值λ，相应的齐次线性方程组(λI−A)x=0 , (5.1)有非零解（因为系数矩阵奇异），其解向量x称为矩阵A对应于λ的特征向量（eigenvector）.根据方程(5.1)，我们得出矩阵特征值与特征向量的关系，即Ax=λx .(5.2)第三章的定义3.5就利用公式(5.2)对矩阵特征值和特征向量进行了定义，它与定义5.1是等价的. 另外，同一个特征值对应的特征向量一定不唯一，它们构成线性子空间，称为特征子空间(eigenspace).我们一般讨论实矩阵的特征值问题. 应注意，实矩阵的特征值和特征向量不一定是实数和实向量，但实特征值一定对应于实特征向量（方程(5.1)的解），而一般的复特征值对应的特征向量一定不是实向量. 此外，若特征值不是实数, 则其复共轭也一定是特征值（由于特征方程为实系数方程）. 定理3.3表明，实对称矩阵A∈ℝn×n的特征值均为实数，存在n个线性无关、且正交的实特征向量，即存在由特征值组成的对角阵Λ和特征向量组成的正交阵Q，使得:A=QΛQ T.(5.3)例5.1（弹簧－质点系统）：考虑图5-1的弹簧－质点系统，其中包括三个质量分别为m1、m2、m3的物体，由三个弹性系数分别为k1,k2,k3的弹簧相连，三个物体的位置均为时间的函数，①如果用有限次运算能求得一般矩阵的特征值，则多项式方程求根问题也可用有限次运算解决，这与阿贝尔证明的“高于4次的多项式并不都有用初等运算表示的求根公式”的理论矛盾.这里考查三个物体偏离平衡位置的位移，分别记为y 1(t), y 2(t), y 3(t). 因为物体在平衡状态所受的重力已经和弹簧伸长的弹力平衡，所以物体的加速度只和偏离平衡位置引起的弹簧伸长相关. 根据牛顿第二定律以及胡克定律（即弹簧的弹力与拉伸长度成正比）可列出如下微分方程组②： My ′′(t)+Ky(t)=0 ,其中y (t )=[y 1(t)y 2(t)y 3(t)]T ,M =[m 1000m 2000m 3],K =[k 1+k 2−k 20−k 2k 2+k 3−k 30−k 3k 3] . 在一般情况下，这个系统会以自然频率ω做谐波振动，而y 的通解包含如下的分量： y j (t )=x j e iωt ,(j =1,2,3)其中i =√−1，根据它可求解出振动的频率ω及振幅x j . 由这个式子可得出：y j ′′(t )=−ω2x j e iωt ,(j =1,2,3)代入微分方程，可得代数方程:−ω2Mx +Kx =0,或Ax =λx ,其中A =M −1K ，λ=ω2. 通过求解矩阵A 的特征值便可求出这个弹簧－质点系统的自然频率（有多个）. 再结合初始条件可确定这三个位移函数，它们可能按某个自然频率振动（简正振动），也可能是若干个简正振动的线性叠加.例5.2（根据定义计算特征值、特征向量）：求矩阵A =[5−1−131−14−21]的特征值和特征向量.[解]: 矩阵A 的特征方程为：det (λI −A )=|λ−511−3λ−11−42λ−1|=(λ−3)(λ−2)2=0故A 的特征值为λ1=3，λ2=2（二重特征值）.当λ=λ1=3时，由(λI −A)x =0，得到方程[−211−321−422][x 1x 2x 3]=[000]它有无穷多个解，若假设x 1=1, 则求出解为x =[1,1,1]T ，记为x 1，则x 1是λ1对应的一个特征向量.当λ=λ2=2时，由(λI −A)x =0，得到方程[−311−311−421][x 1x 2x 3]=[000]它有无穷多个解，若假设x 1=1, 则求出解为x =[1,1,2]T ，记为x 2，则x 2是λ2对应的一个特② 本书第八章将介绍这种常微分方程组的数值求解方法.图5-1 弹簧－质点系统.征向量.下面概括地介绍有关矩阵特征值、特征向量的一些性质，它们可根据定义5.1，以及公式(5.2)加以证明.定理5.1：设λj (j =1,2,…,n)为n 阶矩阵A 的特征值，则(1) ∑λj n j=1=∑a jj n j=1=tr(A) ;(2) ∏λj n j=1=det(A) .这里tr(A)表示矩阵对角线上元素之和，称为矩阵的迹（trace ）.从上述结论(2)也可以看出，非奇异矩阵特征值均不为0, 而0一定是奇异矩阵的特征值. 定理5.2：矩阵转置不改变特征值，即λ(A )=λ(A T ).定理5.3：若矩阵A 为对角阵或上(下)三角阵，则其对角线元素即为矩阵的特征值.定理5.4：若矩阵A 为分块对角阵，或分块上(下)三角阵，例如A =[A 11A 12⋯A 1m A 22⋯A 2m ⋱⋮A mm] , 其中每个对角块A jj 均为方阵，则矩阵A 的特征值为各对角块矩阵特征值的合并，即λ(A )=⋃λ(A jj )m j=1.定理5.5：矩阵的相似变换(similarity transformation)不改变特征值. 设矩阵A 和B 为相似矩阵，即存在非奇异矩阵X 使得B =X −1AX ，则(1) 矩阵A 和B 的特征值相等，即 λ(A )=λ(B ) ;(2) 若y 为B 的特征向量，则相应地，Xy 为A 的特征向量.通过相似变换并不总能把矩阵转化为对角阵，或者说矩阵A 并不总是可对角化的(diagonalizable). 下面给出特征值的代数重数、几何重数，和亏损矩阵的概念，以及几个定理..定义5.2: 设矩阵A ∈ℝn×n 有m 个（m n ）不同的特征值λ̃1,⋯,λ̃m ，若λ̃j 是特征方程的n j 重根，则称n j 为λ̃j 的代数重数(algebraic multiplicity)，并称λ̃j 的特征子空间(ℂn 的子空间)的维数为λ̃j 的几何重数(geometric multiplicity). 定理5.6：设矩阵A ∈ℝn×n 的m 个不同的特征值为λ̃1,⋯,λ̃m ，特征值λ̃j ,(j =1,⋯,m)的代数重数为n j ，几何重数为k j ，则(1) ∑n j m j=1=n ，且任一个特征值的几何重数不大于代数重数，即∀j ，n j ≥k j .(2) 不同特征值的特征向量线性无关，并且将所有特征子空间的∑k j m j=1个基(特征向量)放在一起，它们构成一组线性无关向量.(3) 若每个特征值的代数重数等于几何重数，则总共可得n 个线性无关的特征向量，它们是全空间ℂn 的基.定义5.3：若矩阵A ∈ℝn×n 的某个代数重数为k 的特征值对应的线性无关特征向量数目少于k （即几何重数小于代数重数），则称A 为亏损阵（defective matrix ），否则称其为非亏损阵（nondefective matrix ）.定理5.7：设矩阵A ∈ℝn×n 可对角化，即存在非奇异矩阵X ∈ℂn×n 使得X −1AX =Λ,其中Λ∈ℂn×n 为对角阵, 的充要条件是A 为非亏损矩阵. 此时，Λ的对角线元素为矩阵A 的特征值，而矩阵X 的列向量为n 个线性无关的特征向量.定理5.7中方程的等价形式为A =XΛX −1, 它被称为特征值分解，也叫谱分解(spectrum decomposition). 特征值分解存在的充要条件是A 为非亏损矩阵. 但现实中还有很多矩阵是亏损矩阵，例如例5.2中的矩阵，它的特征值2的代数重数为2，而几何重数仅为1. 这种矩阵不能相似变换为对角阵，但存在下面的若当分解(Jordan decomposition).定理5.8：设矩阵A ∈ℝn×n , 存在非奇异矩阵X ∈ℂn×n 使得A =XJX −1,矩阵J 为形如[J 1⋱J p ]的分块对角阵（称为若当标准型），其中J k =[ λk 1λk ⋱⋱1λk ] 称为若当块，其对角线元素为矩阵A 的特征值. 设矩阵A 有m 个不同的特征值为λ̃1,⋯,λ̃m ，特征值λ̃j ,(j =1,⋯,m)的代数重数为n j ，几何重数为k j ，则p =∑k j m j=1, λ̃j 对应于k j 个若当块, 其阶数之和等于n j .在若当分解中，如果所有若当块都是1阶的，则J 为对角阵，这种分解就是特征值分解，相应的矩阵为非亏损阵. 若当分解是很有用的理论工具，利用它还可证明下面关于矩阵运算结果的特征值的定理.定理5.9：设λj (j =1,2,…,n)为n 阶矩阵A 的特征值，则(1) 矩阵cA, c 为常数, 的特征值为cλ1,cλ2,⋯,cλn .(2) 矩阵A +pI, p 为常数, 的特征值为λ1+p,λ2+p,⋯,λn +p.(3) 矩阵A k , k 为正整数, 的特征值为λ1k ,λ2k ,⋯,λn k .(4) 设p (t )为一多项式函数，则矩阵p (A )的特征值为p (λ1),p (λ2),⋯ ,p (λn ) .(5) 若A 为非奇异矩阵，则λj ≠0,(j =1,2,…,n), 且矩阵A −1的特征值为λ1−1,λ2−1,⋯,λn −1.5.1.2特征值分布范围的估计估计特征值的分布范围或它们的界，无论在理论上或实际应用上，都有重要意义. 比如，本书前面的内容曾涉及两个问题：(1). 计算矩阵的2-条件数：cond (A )2=√λmax (A T A)λmin (A T A) ;(2). 考察一阶定常迭代法x (k+1)=Bx (k)+f 的收敛性、收敛速度：收敛的判据是谱半径ρ(B)=max 1≤j≤n |λj (B)|<1 ; 收敛速度为R =−log 10ρ(B) .其中都需要对矩阵特征值分布范围的了解.上一章的定理4.4说明谱半径的大小不超过任何一种算子范数，即ρ(A )≤‖A ‖ ,这是关于特征值的上界的一个重要结论.下面先给出定义5.4，再介绍有关特征值的界的另一个重要结论.定义5.4：设A =(a kj )∈ℂn×n ，记r k =∑|a kj |n j=1j≠k ,(k =1,⋯,n)，则集合D k ={z||z −a kk |≤r k ,z ∈ℂ},(k =1,⋯,n)在复平面为以a kk 为圆心、r k 为半径的圆盘，称为A 的Gerschgorin （格什戈林）圆盘.图5-2显示了一个3⨯3复矩阵的格什戈林圆盘.定理5.10 (圆盘定理)：设A =(a kj )∈ℂn×n ，则：(1) A 的每一个特征值必属于A 的格什戈林圆盘之中，即对任一特征值λ必定存在k,1≤k ≤n ，使得：|λ−a kk |≤∑|a kj |nj=1j≠k .(5.4)图5-2 复坐标平面，以及3⨯3矩阵A 的格什戈林圆盘.用集合的关系来说明，这意味着λ(A)⊆⋃D k n k=1.(2) 若A 的格什戈林圆盘中有m 个组成一连通并集S ，且S 与余下的n −m 个圆盘分离，则S内恰好包含A 的m 个特征值（重特征值按重数计）.对图5-2所示的例子，定理5.10的第(2)个结论的含义是：D 1中只包含一个特征值，而另外两个特征值在D 2,D 3的并集中. 下面对定理5.10的结论(1)进行证明，结论(2)的证明超出了本书的范围.[证明]: 设λ为A 的任一特征值，则有Ax =λx ，x 为非零向量. 设x 中第k 个分量最大，即|x k |=max 1≤j≤n|x j |>0 , 考虑方程(5.2)中第k 个方程：∑a kj x j nj=1=λx k , 将其中与x k 有关的项移到等号左边，其余到右边，再两边取模得：|λ−a kk ||x k |=|∑a kj x j n j=1j≠k |≤∑|a kj ||x j |n j=1j≠k ≤|x k |∑|a kj |nj=1j≠k .(5.5)最后一个不等式的推导利用了“x 中第k 个分量最大”的假设. 将不等式(5.5)除以|x k |，即得到(5.4)式，因此证明了定理 5.10的结论(1). 上述证明过程还说明，若某个特征向量的第k 个分量的模最大，则相应的特征值必定属于第k 个圆盘中.根据定理5.2，还可以按照矩阵的每一列元素定义n 个圆盘，对于它们定理5.10仍然成立. 下面的定理是圆盘定理的重要推论，其证明留给感兴趣的读者.定理5.11：设A ∈ℝn×n ，且A 的对角元均大于0，则(1) 若A 严格对角占优，则A 的特征值的实部都大于0.(2) 若A 为对角占优的对称矩阵，则A 一定是对称半正定矩阵，若同时A 非奇异，则A 为对称正定矩阵.例5.3 (圆盘定理的应用)：试估计矩阵A =[41010−111−4]的特征值范围.[解]: 直接应用圆盘定理，该矩阵的三个圆盘如下:D 1: |λ−4|≤1, D 2: |λ|≤2, D 3: |λ+4|≤2.D 1与其他圆盘分离，则它仅含一个特征值，且必定为实数（若为虚数则其共轭也是特征值，这与D 1仅含一个特征值矛盾）. 所以对矩阵特征值的范围的估计是：3≤λ1≤5,λ2,λ3∈D 2∪D 3 .再对矩阵A T 应用圆盘定理，则可以进一步优化上述结果. 矩阵A T 对应的三个圆盘为： D ’1: |λ−4|≤2, D ’2: |λ|≤2, D ’3: |λ+4|≤1.这说明D ’3中存在一个特征值，且为实数，它属于区间[-5, -3]，经过综合分析可知三个特征值均为实数，它们的范围是：λ1∈[3,5],λ2∈[−2,2],λ3∈[−5,−3].事实上，使用Matlab 的eig 命令可求出矩阵A 的特征值为：4.2030, -0.4429, -3.7601.根据定理5.5，还可以对矩阵A 做简单的相似变换，例如取X 为对角阵，然后再应用圆盘定理估计特征值的范围.例5.4 (特征值范围的估计)：选取适当的矩阵X ，应用定理5.5和5.10估计例5.3中矩阵的特征值范围.[解]: 取X−1=[100010000.9] , 则A 1=X −1AX =[41010−109⁄0.90.9−4]的特征值与A 的相同. 对A 1应用圆盘定理，得到三个分离的圆盘，它们分别包含一个实特征值，由此得到特征值的范围估计：λ1∈[3,5],λ2∈[−199,199],λ3∈[−5.8,−2.2]. 此外，还可进一步估计ρ(A)的范围，即3≤ρ(A)≤5.8 .上述例子表明，综合运用圆盘定理和矩阵特征值的性质（如定理5.2, 定理5.5），可对特征值的范围进行一定的估计. 对具体例子，可适当设置相似变换矩阵，尽可能让圆盘相互分离，从而提高估计的有效性.5.2幂法与反幂法幂法是一种计算矩阵最大的特征值及其对应特征向量的方法. 本节介绍幂法、反幂法以及加快幂法迭代收敛的技术.5.2.1幂法定义5.5：在矩阵A 的特征值中，模最大的特征值称为主特征值，也叫“第一特征值”，它对应的特征向量称为主特征向量.应注意的是，主特征值有可能不唯一，因为模相同的复数可以有很多. 例如模为5的特征值可能是5,−5,3+4i,3−4i , 等等. 另外，请注意谱半径和主特征值的区别.如果矩阵A 有唯一的主特征值，则一般通过幂法能方便地计算出主特征值及其对应的特征向量. 对于实矩阵，这个唯一的主特征值显然是实数，但不排除它是重特征值的情况. 幂法(power iteration)的计算过程是，首先任取一非零向量v 0∈ℝn ，再进行迭代计算：v k =Av k−1,(k =1,2,⋯)得到向量序列{v k }，根据它即可求出主特征与特征向量. 下面用定理来说明.定理5.12: 设A ∈ℝn×n ，其主特征值唯一，记为λ1，且λ1的几何重数等于代数重数，则对于非零向量v 0∈ℝn ，v 0不与主特征值对应的特征向量正交，按迭代公式进行计算：v k =Av k−1,(k =1,2,⋯),存在如下极限等式：lim k→∞v k λ1k =x 1 , (5.6) lim k→∞(v k+1)j (v k )j =λ1 , (5.7)其中x 1为主特征向量，(v k )j 表示向量v k 的第j 个分量(k =1,2,⋯).[证明]: 为了推导简便，不妨设主特征值λ1不是重特征值，并且假设矩阵A 为非亏损矩阵. 设A 的n 个特征值按模从大到小排列为: |λ1|>|λ2|≥⋯≥|λn |，它们对应于一组线性无关的单位特征向量x ̂1,⋯,x ̂n . 向量v 0可写成这些特征向量的线性组合：v 0=α1x̂1+⋯+αn x ̂n 根据已知条件，α1≠0，则v k =Av k−1=A k v 0=α1λ1k x ̂1+α2λ2k x̂2+⋯+αn λn k x ̂n =λ1k [α1x ̂1+∑αj (λj λ1)kx ̂j n j=2] =λ1k (α1x̂1+εk ) 其中εk =∑αj (λj λ1)k x ̂j n j=2. 由于|λj λ1|<1,(j =2,…,n), 则 lim k→∞εk =0 ⟹lim k→∞v kλ1k =α1x̂1 . 由于特征向量放大、缩小任意倍数后仍是特征向量，设x 1=α1x̂1，则它是主特征对应的一个特征向量. 上式说明，随k 的增大， v k 越来越趋近于主特征值的对应的特征向量.设j 为1到n 之间的整数，且(v k )j ≠0，则(v k+1)j (v k )j =λ1(α1x ̂1+εk+1)j (α1x̂1+εk )j 由于lim k→∞εk =0，随k 的增大上式等号右边趋于一个常数: λ1. 这就证明了定理的结论.若矩阵A 为亏损矩阵，可利用矩阵的若当分解证明这个定理，这里略去. 在这种情况下，“主特征值的几何重数等于代数重数”这一条件很重要，例如，若A =[310030001] ,它的主特征值为3，但其几何重数为1，不满足条件. 对这个矩阵A 进行实验显示无法用幂法求出主特征值.关于定理5.12，再说明几点：● 当主特征值λ1为重特征值时，应要求其几何重数等于代数重数，此时特征子空间维数大于1，向量序列{v k λ1k ⁄}的收敛值是其特征子空间中的某一个基向量.● 公式(5.7)式的含义是相邻迭代向量分量的比值收敛到主特征值. 因此在实际计算时，可任意取j 的值，只需保证比值的分母不为零.● 证明中假设了α1≠0，在实际应用中往往随机选取v 0，由于存在舍入误差，它一般都能满足. 感兴趣的读者也可思考一下，若初始向量v 0恰好与主特征向量都正交，那么幂法中的迭代向量序列会有什么结果？直接使用幂法，还存在如下两方面问题：(1) 溢出：由于v k ≈λ1k x 1，则|λ1|>1时，实际计算v k 会出现上溢出（当k 很大时）；|λ1|<1时，实际计算v k 会出现下溢出（当k 很大时）.(2) 可能收敛速度很慢. 由于εk =∑αj (λj λ1)kx j n j=2， εk →0的速度取决于求和式中衰减最慢的因子|λ2λ1|，当|λ2λ1|≈1时，收敛很慢. 由此导致v k →λ1k α1x 1, (v k+1)j (v k )j →λ1的收敛速度都将很慢，严重影响计算的效率.下面采用规格化向量的技术防止溢出，导出实用的幂法. 关于加速收敛技术的讨论，见下一小节.定义 5.6：记max ̅̅̅̅̅̅(v )为向量v ∈ℝn 的绝对值最大的分量， max ̅̅̅̅̅̅(v )=v j ，其中j 满足|v j |=max 1≤k≤n |v k |, 若j 的值不唯一，则取最小的那个. 并且，称u =v/max ̅̅̅̅̅̅(v )为向量v 的规格化向量(normalized vector).例5.5（规格化向量）：设v =[3,−5,0]T ，max ̅̅̅̅̅̅(v )=−5，对应的规格化向量为u =[−35,1,0]T .根据定义5.6，容易得出规格化向量的两条性质.定理5.13: 定义5.6中的规格化向量满足如下两条性质：(1) 若u 为规格化向量，则‖u ‖ =1，并且max ̅̅̅̅̅̅(u )=1.(2) 设向量v 1和v 2的规格化向量分别为u 1和u 2，若v 1=αv 2, 实数α≠0，则u 1= u 2.在幂法的每一步增加向量规格化的操作可解决溢出问题. 先看第一步，v 1=Av 0，此时计算v 1的规格化向量u 1=v 1max ̅̅̅̅̅̅(v 1)=Av 0max ̅̅̅̅̅̅(Av 0). 然后使用规格化向量计算v 2:v 2=Au 1=A 2v 0max ̅̅̅̅̅̅(Av 0), (5.8) 再进行向量规划化操作，u 2=v 2max ̅̅̅̅̅̅(v 2)=A 2v 0max ̅̅̅̅̅̅(A 2v 0). (5.9) 公式(5.9)的推导，利用了(5.8)式和定理5.13的结论(2). 依次类推，我们得到： { v k =Au k−1=A k v 0max ̅̅̅̅̅̅(A k−1v 0) u k =v k max ̅̅̅̅̅̅(v k )=A k v 0max ̅̅̅̅̅̅(A k v 0) , k =1,2,⋯. (5.10) 根据定理5.12的证明过程， A k v 0=λ1k [α1x ̂1+∑αj (λj λ1)k x ̂j n j=2] ⟹u k =A k v 0max ̅̅̅̅̅̅(A k v 0)=α1x ̂1+∑αj (λj λ1)k x ̂j n j=2max ̅̅̅̅̅̅(α1x ̂1+∑αj (λj λ1)k x ̂j n j=2)k→∞→ x 1max ̅̅̅̅̅̅(x 1) , 即u k 逐渐逼近规格化的主特征向量. 同理，v k =Au k−1=A k v 0max ̅̅̅̅̅̅(A k−1v 0)=λ1k [α1x ̂1+∑αj (λj λ1)k x ̂j n j=2]max ̅̅̅̅̅̅(λ1k−1[α1x ̂1+∑αj (λj λ1)k−1x̂j n j=2]) =λ1α1x ̂1+∑αj(λj λ1)kx ̂j n j=2max ̅̅̅̅̅̅(α1x ̂1+∑αj (λj λ1)k−1x ̂j n j=2) 因此，根据定理5.13的结论(1)有：lim k→∞v k=λ1x1max̅̅̅̅̅̅(x1)⟹limk→∞max̅̅̅̅̅̅(v k)=λ1.基于上述推导，我们得到如下定理，以及如算法5.1描述的实用幂法.定理5.14: 设A∈ℝn×n，其主特征值唯一（且几何重数等于代数重数），记为λ1，取任意非零初始向量v0=u0，它不与主特征值对应的特征向量正交，按迭代公式(5.10)进行计算，则lim k→∞u k=x1max̅̅̅̅̅̅(x1),(5.11)lim k→∞max̅̅̅̅̅̅(v k)=λ1 ,(5.12)其中x1为主特征向量.算法5.1：计算主特征值λ1和主特征向量x1的实用幂法输入：v,A; 输出：x1,λ1.u:=v;While不满足判停准则dov:=Au;λ1:=max̅̅̅̅̅̅(v); {主特征值近似值}u:=v/λ1; {规格化}Endx1:=u. {规格化的主特征向量}在算法5.1中，可根据相邻两步迭代得到的主特征值近似值之差来判断是否停止迭代. 每个迭代步的主要计算是算一次矩阵与向量乘法，若A为稀疏矩阵则可利用它的稀疏性提高计算效率. 实用的幂法保证了向量序列{v k},{u k}不溢出，并且向量v k的最大分量的极限就是主特征值.最后，针对幂法的适用范围再说明两点：(1). 若实矩阵A对称半正定或对称半负定，则其主特征值必唯一（而且是非亏损阵）. 有时也可以估计特征值的分布范围，从而说明主特征值的唯一性. 只有满足此条件，才能保证幂法的收敛性.(2). 对一般的矩阵，幂法的迭代过程有可能不收敛，此时序列{u k}有可能包括多个收敛于不同向量的子序列，它趋向于成为多个特征向量的线性组合. 但是，一旦幂法的迭代过程收敛，向量序列的收敛值就一定是特征向量，并可求出相应的特征值.例5.6 (实用的幂法)：用实用的幂法求如下矩阵的主特征值：A=[3113] ,[解]: 取初始向量为v0=u0=[01]T . 按算法5.1的迭代过程，计算结果列于表5-1中.表5-1 实用幂法的迭代计算过程从结果可以看出，在每次迭代步中做的规格化操作避免了分量的指数增大或缩小. 经过9步迭代，特征值max ̅̅̅̅̅̅(v k )已非常接近主特征值的准确值4，特征向量也非常接近[1 1]T .5.2.2加速收敛的方法加速幂法迭代收敛过程的方法主要有两种：原点位移技术和瑞利商（Rayleigh quotient ）加速. 下面做些简略的介绍.一. 原点位移技术原点位移技术，也叫原点平移技术，它利用定理5.9的结论(2)，即矩阵A −pI 的特征值为A 的特征值减去p 的结果. 对矩阵B =A −pI 应用幂法有可能得到矩阵A 的某个特征值λj 和相应的特征向量. 要使原点位移达到理想的效果，首先要求λj −p 是B 的主特征值，其次还要使幂法尽快收敛，即比例|λ2(B)λj −p |要尽量小，这里的λ2(B)表示矩阵B 的（按模）第二大的特征值. 在某种情况下设置合适的p 值，矩阵A,B 可同时取到主特征值. 图5-3显示了这样一个例子，矩阵A 的特征值分布在阴影区域覆盖的实数轴上，λ1为其主特征值. 按图中所示选取的p 值，将使得λ1−p 是矩阵B =A −pI 的主特征值，并且显然有|λ2(B)λ1−p |<|λ2(A)λ1| . 此时用幂法计算B 的主特征值能更快地收敛，进而得到矩阵的A 的主特征值. 图5-3也解释了原点位移法名字的由来，即将原点（或虚数坐标轴）移到p 的位置上，原始矩阵A 的特征值分布变成了矩阵B 的特征值分布.采用原点位移技术后，执行幂法仅带来很少的额外运算，而且仍然能利用矩阵A 的稀疏性. 它的关键问题是，如何选择合适的参数p 以达到较好的效果？这依赖于具体矩阵的情况，以及对其特征值分布的了解. 在后面，我们还会看到原点位移技术的其他用途.二. 瑞利商加速首先给出瑞利商的定义，以及它与特征值的关系，然后介绍瑞利商加速技术.定义5.7：设A ∈ℝn×n ，且为对称矩阵，对任一非零向量x ≠0，称R (x )=〈Ax,x 〉〈x,x 〉为对应于向量x 的瑞利商（Rayleigh quotient ）. 这里符号〈,〉代表向量内积.定理5.15：设A ∈ℝn×n ，且为对称矩阵，其n 个特征值依次为：λ1≥λ2≥⋯≥ λn ，则矩阵A 有关的瑞利商的上下确界分别为λ1和λn . 即∀x ≠0,λn ≤R (x )≤λ1,且当x 为λ1对应的特征向量时R (x )=λ1，当x 为λn 对应的特征向量时R (x )=λn .[证明]: 根据实对称矩阵的特点，即可正交对角化（定理3.3），设特征值λ1,λ2,⋯,λn 对应的单位特征向量为x 1,x 2,⋯,x n ，设x =∑αj x j n j=1，则〈x,x 〉=〈∑αj x j n j=1,∑αj x j n j=1〉=∑αj 2n j=1，而图5-3 原点位移技术示意图.。

求矩阵特征值的方法

求矩阵特征值的方法矩阵特征值是矩阵在线性代数中的重要概念之一，它在很多数学和物理问题中都有着重要的应用。

求解矩阵特征值的方法有很多种，下面将介绍常见的几种方法。

1. 通过特征方程求解：设A为一个n阶矩阵，I为n阶单位矩阵，如果存在一个非零向量x使得Ax=λx，其中λ为一个常数，则称λ为矩阵A的一个特征值，x 为对应的特征向量。

特征方程为：A-λI =0。

对于一个n阶矩阵，特征方程是一个n次多项式，其根即为特征值。

根据特征方程求解特征值的一般步骤为：(1) 计算特征方程A-λI =0中的行列式；(2) 求解特征方程，得到特征值。

2. 使用特征值分解：特征值分解是将一个矩阵分解成特征值和特征向量的乘积的形式。

对于一个n阶方阵A，如果存在一个可逆矩阵P和一个对角矩阵D，使得A=PDP^ -1，则称D为A的特征值矩阵，P为A的特征向量矩阵。

特征值分解的一般步骤为：(1) 求解矩阵A的特征值和对应的特征向量；(2) 将特征值按降序排列，将对应的特征向量按列排列，得到特征向量矩阵P；(3) 构造对角矩阵D，将特征值按对角线排列；(4) 计算可逆矩阵P的逆矩阵P^ -1；(5) 得到特征值分解A=PDP^ -1。

特征值分解方法对于对称矩阵和正定矩阵特别有用，可以将这些矩阵转化为对角矩阵，简化了矩阵的计算。

3. 使用幂迭代方法：幂迭代法是一种用于估计矩阵的最大特征值和对应特征向量的迭代方法。

它的基本思想是先任意给定一个非零向量，将其标准化得到单位向量，然后通过矩阵不断作用于该向量使其逐渐趋近于所求的特征向量。

幂迭代法的一般步骤为：(1) 随机选择一个初始向量x(0)，其中x(0)的范数为1；(2) 迭代计算向量x(k+1) = A * x(k)，直到x(k)收敛于所求的特征向量；(3) 使用向量x(k)计算特征值λ(k) = (A * x(k)) / x(k)。

幂迭代法的收敛性与初始向量的选择有关，在实际应用中通常需要进行多次迭代并取得多个结果进行比较，以获得较准确的特征值。

矩阵特征值的求法

矩阵特征值的求法
矩阵特征值是矩阵在特定方向上的伸缩比率，或者说是矩阵在某
些方向上的重要程度，因此它在数学中有很多的应用。

在这篇文章中，我们将介绍矩阵特征值的求法。

一、定义
矩阵特征值是矩阵 A 的特征多项式P(λ) 的根，即
P(λ)=det(A-λI)=0，其中 I 是单位矩阵，det 表示行列式。

该多项
式的阶数等于矩阵 A 的阶数。

二、求法
1. 直接计算
对于小阶的矩阵，可以直接求解特征多项式的根，得到特征值。

2. 特征值分解
对于大阶的矩阵，可以通过特征值分解的方式求得矩阵的特征值。

特征值分解是一种将矩阵分解为特征向量和特征值的方法，即矩阵
A=QΛQ^-1，其中 Q 是正交矩阵，Λ 是对角矩阵，其对角线上的元素
就是特征值。

3. 幂迭代法
幂迭代法是一种通过连续迭代计算矩阵 A 的最大特征值和对应
特征向量的方法。

该方法的基本思想是利用矩阵特征值的性质，通过
不断迭代对特征向量进行单调放缩，最终得到矩阵的最大特征值和对
应特征向量。

4. QR 分解法
QR 分解法是一种通过 QR 分解求解矩阵特征值和特征向量的方法。

该方法的基本思想是将矩阵 A 分解为一个正交矩阵 Q 和一个上
三角矩阵 R，即 A=QR，然后对 R 迭代求解特征值和特征向量。

三、总结
矩阵特征值的求法有多种方法，其中直接计算适用于小阶矩阵，
而特征值分解、幂迭代法和 QR 分解法则适用于大阶矩阵。

在实际应
用中，需要根据具体情况选择合适的方法，以便快速、准确地求解矩阵的特征值和特征向量。

求矩阵的特征值的三种方法

求矩阵的特征值的三种方法
设A是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量x，使得Ax=mx成立，则称m是矩阵A的一个特征值。

求矩阵的特征值的方法：计算的特征多项式；求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组。

设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式A x=λx成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。

式A x=λx也可写成(A-λE)X=0。

这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式|A-λE|=0。

矩阵特征值的求法
对于矩阵A，由AX=λ0X，λ0EX=AX，得[λ0E-A]X=0即齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是
即说明特征根是特征多项式|λ0E-A|=0的根，由代数基本定理
有n个复根λ1,λ2,…,λn，为A的n个特征根。

当特征根λi(I=1,2,…,n)求出后，(λiE-A)X=θ是齐次方程，λi均会使|λiE-A|=0，(λiE-A)X=θ必存在非零解，且有无穷个解向量，(λiE-A)X=θ的基础解系以及基础解系的线性组合都是A的特征向量。

矩阵特征值求解

矩阵特征值求解的分值算法12组1．1 矩阵计算的基本问题(1)求解线性方程组的问题.即给定一个n 阶非奇异矩阵A 和n 维向量b ,求一个n 维向量x ,使得b Ax = （(2)线性最小二乘问题,即给定一个n m ⨯阶矩阵A 和m 维向量b ,求一个n 维向量x ,使得},min{n R y b Ay b Ax ∈-=- （(3)矩阵的特征问题,即给定一个n 阶实(复)矩阵A ,求它的部分或全部特征值以及对应的特征向量,也就是求解方程x Ax λ= （一对解(λ,x ),其中)(),(n n C R x C R ∈∈λ,即λ为矩阵A 的特征值,x 为矩阵A 的属于特征值λ的特征向量。

在工程上,矩阵的特征值具有广泛的应用,如大型桥梁或建筑物的振动问题:机械和机件的振动问题；飞机机翼的颤振问题;无线电电子学及光学系统的电磁振动问题;调节系统的自振问题以及声学和超声学系统的振动问题.又如天文、地震、信息系统、经济学中的一些问题都与矩阵的特征值问题密切相关。

在科学上,计算流体力学、统计计算、量子力学、化学工程和网络排队的马尔可夫链模拟等实际问题,最后也都要归结为矩阵的特征值问题.由于特征值问题在许多科学和工程领域中具有广泛的应用,因此对矩阵的特征值问题的求解理论研究算法的开发软件的制作等是当今计算数学和科学与工程计算研究领域的重大课题,国际上这方面的研究工作十分活跃。

1.2 矩阵的特征值问题研究现状及算法概述对一个n n ⨯阶实(复)矩阵A,它的特征值问题,即求方程(,是数值线性代数的一个中心问题.这一问题的内在非线性给计算特征值带来许多计算问题.为了求(λ,一个简单的想法就是显式地求解特征方程0)det(=-I A λ （除非对于个别的特殊矩阵,由于特征方程的系数不能够用稳定的数值方法由行列式的计算来求得,既使能精确计算出特征方程的系数,在有限精度下,其特征多项式)det()(I A f λλ-=的根可能对多项式的系数非常敏感.因此,这个方法只能在理论上是有意义的,实际计算中对一般矩阵是不可行的.首先,若矩阵A 的阶数较大,则行列式)det(I A λ-的计算量将非常大;其次,根据Galois 理论,对于次数大于四的多项式求根不存在一种通用的方法,基于上述原因,人们只能寻求其它途径.因此,如何有效地!精确地求解矩阵特征值问题,就成为数值线性代数领域的一个中心问题.目前,求解矩阵特征值问题的方法有两大类:一类称为变换方法,另一类称为向量迭代方法.变换方法是直接对原矩阵进行处理,通过一系列相似变换,使之变换成一个易于求解特征值的形式,如Jacobi 算法,Givens 算法,QR 算法等。

矩阵特征值求法

矩阵特征值求法在数学中，矩阵特征值是矩阵的一个非常重要的性质。

它可以用来描述矩阵的很多性质，比如矩阵的对角化、矩阵的相似变换等。

矩阵特征值的求法有很多种，其中比较常见的有幂法、Jacobi方法、QR方法等。

本文将介绍这些方法的基本原理和具体实现过程。

一、幂法幂法是一种求解矩阵特征值和特征向量的迭代方法。

其基本思想是：从一个随机的初始向量开始，不断地将矩阵乘上这个向量，并将结果归一化，得到一个新的向量。

这个过程会不断重复，直到向量收敛到某个特征向量为止。

此时，对应的特征值就是矩阵的最大特征值。

具体实现过程如下：1. 初始化一个随机向量 $x_0$，并进行归一化，得到$x_1=frac{x_0}{left|x_0right|}$。

2. 对于 $k=1,2,3,cdots$，重复以下步骤：（1）计算 $y_k=Ax_{k}$。

（2）计算$lambda_k=frac{left|y_kright|}{left|x_kright|}$。

（3）归一化向量 $x_{k+1}=frac{y_k}{left|y_kright|}$。

3. 当 $left|lambda_{k+1}-lambda_kright|<epsilon$，其中$epsilon$ 是一个足够小的数，表示收敛精度时，停止迭代。

此时，向量 $x_{k+1}$ 就是对应的特征向量，特征值为 $lambda_{k+1}$。

幂法的优点是简单易懂，容易实现。

但是，由于它只能得到矩阵的最大特征值和对应的特征向量，因此需要对矩阵进行对角化或者其他方法来得到所有的特征值和特征向量。

二、Jacobi方法Jacobi方法是一种求解实对称矩阵特征值和特征向量的方法。

其基本思想是：通过一系列旋转变换，将实对称矩阵变换为对角矩阵，从而得到特征值和特征向量。

具体实现过程如下：1. 初始化一个实对称矩阵 $A$。

2. 选择一个非对角线元素 $a_{i,j}$，并计算旋转角度$theta$，使得 $a_{i,j}$ 变为 $0$。