数学必修2红对勾答案(1)
必修2红对勾2-1-8
图 11
2.1 第8课时
红对勾系列丛书
解：取 AC 的中点 F，连结 EF，BF，在△ACD 中，E，F 分别是 AD，AC 的中点，所以 EF∥CD， 所以∠BEF 即为所求的异面直线 BE 与 CD 所成的角 1 1 或其补角．在 Rt△EAB 中，AB＝1，AE＝ AD＝ ， 2 2 5 1 所以 BE＝ .在 Rt△AEF 中，AC＝1，AF＝ ，AE 2 2 1 2 ＝ ，所以 EF＝ . 2 2
分别是AB、BC、CD、DA的中点，则 (1)四边形EFGH是________． (2)当AC＝BD时，四边形EFGH是________． (3)当AC⊥BD时，四边形EFGH是________．
2.1 第8课时
红对勾系列丛书
(4) 当 AC 与 BD 满足 ________ 时，四边形 EFGH 是正
红对勾系列丛书
解析：如图 6 所示，取 BC 的中点 E，连结 ME、 1 1 1 NE，则 ME＝ AC，NE＝ BD，所以 ME＋NE＝ (AC 2 2 2 1 ＋BD)．在△MNE 中，有 ME＋NE>MN，所以 MN< 2 (AC＋BD)．
答案：D
图6
2.1 第8课时
红对勾系列丛书
二、填空题(每小题5分，共15分)
B1EDF是平行四边形．
图9
2.1 第8课时
红对勾系列丛书
证明：设Q是DD1的中点，连结EQ，QC1.
∵E是AA1的中点，
∴EQ綊A1D1.
又在矩形A1B1C1D1 中A1D1綊B1C1. ∴EQ綊B1C1(平行公理)． ∴四边形EQC1B1为平行四边形，
图 10
2.1 第8课时
红对勾系列丛书
∴B1E綊C1Q.又∵Q、F是矩形DD1C1C的两边中点，
必修2红对勾2-2-15
(1) 求证：当 F 、 A 、 D 不共线时， MN 总平行于平面
FAD； (2) 不管怎样翻折矩形 ABEF ，直线 MN 总和 FD 平行， 这个结论对吗？如果对，请证明；如果不对，请说明能 否改变个别已知条件使上述结论成立．
2.2 第15课时
红对勾系列丛书
证明：(1)如题图 7(2)，连接 BM 并延长交 FA 于 G，连接 DG. ∵ AF＝AD， 矩形 ABCD 和 ABEF 有公共边 AB， AM DN ∴ AE＝DB.又 AM＝ DN，∴ ＝ . ME NB AM GM DN GM 又 ＝ ，∴ ＝ . ME MB NB MB
方形，则在下列命题中，错误的为( A．AC⊥BD B．AC∥截面PQMN C．AC＝BD D．异面直线PM与 BD所成的角为45°
图1
)
2.2 第15课时
红对勾系列丛书
解析 ： ∵ MN∥PQ ，由 线面 平行 的性 质定理 可 得
MN∥AC， 从而AC∥截面PQMN，B正确； 同理可得MQ∥BD， 故AC⊥BD，A正确； 又∠PMQ＝45°，故D正确． 答案：C
2.2 第15课时
红对勾系列丛书
8．已知正方体AC1的棱长为1，点P是面AA1D1D的
中心，点Q是面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ∥ 平面AA1B1B，则线段PQ的长为________．
图4
2.2 第15课时
红对勾系列丛书
解析：因为 P 是 AD 的中点，PQ∥平面 AA1B1B， 所以 Q 是 B1D1 的中点， 故 PQ 是三角形 D1AB1 的中位 2 线，|PQ|＝ . 2
∵a∥b，a⊄γ，b⊂γ，∴a∥γ.
又∵a⊂β，β∩γ＝c，
∴a∥c.∴a∥b∥c. 答案：D
必修2红对勾1-3-6
C．只有(4)是错误的
D．只有(1)(2)是正确的
1.3 第6课时
红对勾系列丛书
解析：正三棱锥内接于球，而其各个顶点在球面上，
过球心的截面，如果是三角形的话，根据其端点是否在 圆上，有如下讨论： ①当过圆心作某底面的平行线，则截面近似图(1)， 三个点都不在圆上； ②当截面是过圆心和三棱锥两个顶点的平面，它交 对棱于中点，中点不在球上，也就不在截面圆上，近似
答案：B
1.3 第6课时
红对勾系列丛书
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．已知体积相等的正方体、球、等边圆柱的全面积
分别为S1，S2，S3，则它们之间的关系是________．
1.3 第6课时
红对勾系列丛书
解析：设正方体的棱长为 a，球半径为 r，圆 柱的底面半径为 R. 4 3 则 a ＝ πr ＝πR2· 2R＝2πR3＝V. 3
红对勾系列丛书
第一章
空间几何体
第一章 空间几何体
红对勾系列丛书
1.3 空间几何体的表面积与体积 第6课时 球的体积和表面积
1.3 第6课时
红对勾系列丛书
1.进一步认识球的结构特征，了解它的有关概念. 2.记住球的体积计算公式，并能灵活应用. 3.知道球的表面积公式的推导方法，熟记公式内容 并能灵活应用.
答案：4
1.3 第6课时
红对勾系列丛书
9．(2010·湖北高考，理)圆柱形容器内部盛有高度
为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的 底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图4所示)， 则球的半径是________cm.
图4
1.3 第6课时
红对勾系列丛书
解析：设球的半径为 r， 4 3 则 6r· πr ＝8πr ＋3× πr ⇒r＝4(cm)． 3
高中数学必修2红对勾的习题答案1-1-1.ppt
红对勾系列丛书
9．一个正方体的每个面上都写有一个汉字，其平面展 开图如图所示，那么在该正方体中，和“超”相对的字是 ________．
第一章 立体几何初步
红对勾系列丛书
解析：将平面图形还原成空间图形即可判断． 答案：自
第一章 立体几何初步
红对勾系列丛书
三、解答题(本大题共3小题，共40分，解答应写出文 字说明，证明过程或演算步骤)
第一章 立体几何初步
红对勾系列丛书
或直线AC混淆，故是错误的，错误的答案只有③⑤，所 以选D.
答案：D
第一章 立体几何初步
红对勾系列丛书
5．下列不属于构成几何体的基本元素的是( ) A．点 B．线段 C．曲面 D．多边形(不含内部的点)
第一章 立体几何初步
红对勾系列丛书
解析：因为一个几何体是由点、线、面组成的，且线 有直线和曲线之分，面有平面和曲面之分，所以只有D不 属于构成几何体的基本元素．点、线、面是构成几何体的 基本元素，任何一个几何体都是由这些基本元素组成 的．虽然其他图形有时也能构成另外复杂的几何体，但是 不能称之为构成几何体的基本元素．
第一章 立体几何初步
红对勾系列丛书
①平面ABCD；②平面BD；③平面AD；④平面ABC；
⑤AC；⑥平面α.
A．②④
B．②③⑥
C．④⑤⑥
D．③⑤
第一章 立体几何初步
红对勾系列丛书
解析：平面的表示除了用平面图形的顶点字母，如平 面ABCD来表示外，还可用希腊字母α、β、γ等来表示，对 于前一种情况也可简单的用一条对角线上的两个顶点字母 表示，但前面要加“平面”两字．显然①②⑥是正确的， ③用一条边的顶点字母表示不符合要求，④用了三角形的 顶点字母表示平面是完全可以的，⑤虽然用对角线AC的 顶点字母表示，但没加“平面”两字，易与线段AC
必修2红对勾2-2-13
答案：B
2.2 第13课时
红对勾系列丛书
4．如图 2 ，有一木块，点 P 在平面 A1C1 内，棱 BC 平
行平面A1C1，要经过P和棱BC将木料锯开，锯开的面必 须平整，则不同的锯法种数是( A．0 B．1 C．2 D．无数
图2
2.2 第13课时
)
红对勾系列丛书
解 析 ： 锯 法 是 ， 过 P 作 一 条 直 线 平 行 于 B1C1 ， 交
)
①AB 为平面 α 外的线段，若 A 、 B 到平面 α 的距离相
等，则AB∥α；
②若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则 这两个角相等； ③若直线a∥直线b，则a平行于过b的所有平面； ④若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则a∥b.
2.2 第13课时
红对勾系列丛书
A．0个
B．1个
C．2个
答案：A
解析：设截面四边形为EFGH，F、G、H分别是BC、
CD、DA的中点， ∴EF＝GH＝4，FG＝HE＝6， ∴周长为2×(4＋6)＝20. 答案：B
2.2 第13课时
红对勾系列丛书
6．三条异面直线 a，b， c两两异面，它们所成的角
都相等且存在一个平面与这三条直线都平行，则a与b所 成的角的度数为( A．30° C．60° ) B．45° D．90°
红对勾系列丛书
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．如果直线a∥平面α，则( )
A．平面α内有且只有一条直线与a平行
B．平面α内有无数条直线与a平行 C．平面α内不存在与a垂直的直线 D．平面α内有且仅有一条与a垂直的直线 答案：B
2.2 第13课时
红对勾系列丛书
2．给出四个命题，其中正确的个数是(
必修2红对勾3-3-27
3.3 第27课时
红对勾系列丛书
1＋ x－－ 1 － 1 解析： 设 N(x,1＋ x)，则有 · ＝－ 1， 2 x－ 0 ∴ x＝ 2，则 N(2,3)．
答案：C
3.3 第27课时
红对勾系列丛书
6．若直线 l：y＝ kx－ 3与直线 2x＋ 3y－ 6＝ 0 的交 点位于第一象限， 则直线 l 的倾斜角的取值范围为( A． [30° ， 60° ] C． (60° ， 90° ) B． (30° ， 90° ) D． [30° ， 90° ] )
＋y＋2＝0的交点且与直线 3x＋y－1＝ 0平行的直线方 程．
3.3 第27课时
红对勾系列丛书
解：∵直线 l 过两直线 2x－3y－ 3＝ 0 和 x＋ y＋ 2＝ 0 的交点，∴ 设直线 l 的方程为 2x－ 3y－3＋λ(x＋ y＋ 2)＝0.即(λ＋ 2)x＋(λ－3)y＋ 2λ－ 3＝ 0.∵直线 l 与直线 3x λ＋ 2 λ－ 3 2λ－ 3 11 ＋ y－ 1＝ 0 平行，∴ ＝ ≠ .解得 λ＝ . 3 1 2 －1 从而所求直线方程为 15x＋ 5y＋16＝ 0.
可得交点 (2，
－ 1)．
答案：C
3.3 第27课时
红对勾系列丛书
2．经过直线 l1： x－ 3y＋4＝ 0 和 l2： 2x＋ y＋ 5＝ 0 的交点，并且经过原点的直线方程是 ( A． 19x－9y＝0 C． 3x＋ 19y＝0 B． 9x＋ 19y＝0 D． 19x－ 3y＝0 )
19 3 解析：l1 与 l2 交点为(－ ， )，故所求为 3x 7 7 ＋19y＝0.
3.3 第27课时
红对勾系列丛书
图1
3.3 第27课时
红对勾系列丛书
高中数学必修2红对勾答案1-1-2-2
A．三棱锥 ． C．五棱锥 ．
第一章 立体几何初步
红对勾系列丛书
解析：解法一 看正棱锥各侧面顶角之和 看正棱锥各侧面顶角之和) 解析：解法一(看正棱锥各侧面顶角之和 由正棱锥几何直观图知： 由正棱锥几何直观图知： 正棱锥各侧面顶角之和小于 360° ， 当选 、 B、 C时 ， 侧面顶角之和分别为 ° 当选A、 、 时 侧面顶角之和分别为180° 、 ° 240°、300°，而当是 时，为360°，故应选 ° ° 而当是D时 ° 故应选D.
第一章 立体几何初步
红对勾系列丛书
本大题共3小题 二、填空题(本大题共 小题，每小题 分，共24分) 填空题 本大题共 小题，每小题8分 分 7．如图是一个立体图形的展开图，则该立体图形是 ．如图是一个立体图形的展开图， ________． ．
第一章 立体几何初步
红对勾系列丛书
解析：底面是正五边形， 解析 ： 底面是正五边形， 其余各面是有公共顶点的等 腰三角形，故几何体为五棱锥． 腰三角形，故几何体为五棱锥． 答案：正五棱锥 答案：
1．了解、认识和研究棱锥、棱台的结构特征，并结合 ．了解、认识和研究棱锥、棱台的结构特征， 这些结构特征认识日常生活中见到的几何体． 这些结构特征认识日常生活中见到的几何体． 2．了解棱锥和棱台的分类，学会表示它们的方法，初 ．了解棱锥和棱台的分类，学会表示它们的方法， 步了解它们的一些性质． 步了解它们的一些性质． 3．认识正棱锥、正棱台这些特殊多面体的结构特征和 ．认识正棱锥、 性质， 性质，认识和研究正棱锥或正棱台中可以称之为核心图形 的那些直角三角形或直角梯形． 的那些直角三角形或直角梯形．
第一章 立体几何初步
红对勾系列丛书
8．一个正四棱台上、下底面的边长分别是a、b，高为 ．一个正四棱台上、下底面的边长分别是 、 ， h，则经过相对两侧棱的截面面积是________． ，则经过相对两侧棱的截面面积是 ．
红对勾45分钟RJ数学A版必修2综合测评(一)
必修二模块综合测评(一)限时：120分钟满分：150分答题表1．下列说法中正确的是()A．棱柱的侧面可以是三角形B．正方体和长方体都是特殊的四棱柱C．所有的几何体的表面都能展成平面图形D．棱柱的各条棱都相等2．在原来的图形中，两条线段平行且相等，则在直观图中对应的两条线段()A．平行且相等B．平行不相等C．相等不平行D．既不平行也不相等3．菱形ABCD在平面α内，PC⊥α，则P A与对角线BD的位置关系是()A．平行B．相交但不垂直C．垂直相交D．异面垂直4.已知M、N分别是正方体AC1的棱A1B1、A1D1的中点，如图是过M、N、A和D、N、C1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的正视图为()5．设长方体的对角线长是4，过每一顶点有两条棱与对角线的夹角都是60°，则此长方体的体积是()A.39B．8 2C．8 3 D．16 36．已知点A、B、C、D为同一球面上的四点，且AB＝AC＝AD ＝2，AB⊥AC，AC⊥AD，AD⊥AB，则这个球的表面积是() A．16π B．20πC．12π D．8π7．一圆过圆x2＋y2－2x＝0与直线x＋2y－3＝0的交点，且圆心在y轴上，则这个圆的方程是()A．x2＋y2－4x－4y＋6＝0B．x2＋y2＋4y－6＝0C．x2＋y2－2x＝0D ．x 2＋y 2＋4x －6＝08．设直线过点(0，a )，其斜率为1，且与圆x 2＋y 2＝2相切，则a 的值为( )A ．±4B ．±2 2C ．±2D ．±29．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y －2x －1的最小值等于( )A.14B.34C.32D ．210．圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于1的点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11.在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，BB 1＝4，长为1的线段PQ 在棱AA 1上移动，长为3的线段MN 在棱CC 1上移动，点R 在棱BB 1上移动，则四棱锥R －PQMN 的体积是( )A ．12B ．10C ．6D ．不确定12．若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞二、填空题(每小题5分，共20分)13．如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是半径为2的半圆，俯视图是半径为2的圆，则该几何体的体积等于________．答案1．B 2.A3．D 菱形ABCD 中，AC ⊥BD .又PC ⊥平面α. ∴PC ⊥BD ，∴BD ⊥平面P AC . 又P A ⊂平面P AC ，∴BD ⊥P A .显然P A 与BD 异面，故P A 与BD 异面垂直． 4．B 由正视图的性质知，几何体的正投影为一正方形，正面有可见的一棱和背面有不可见的一棱，故选B.5．B 设长方体的过一顶点的三条棱长为a ，b ，c ，并且长为a ，b 的两条棱与对角线的夹角都是60°，则a ＝4cos60°＝2，b ＝4cos60°＝2.根据长方体的对角线性质，有a 2＋b 2＋c 2＝42，即22＋22＋c 2＝42.∴c ＝2 2.因此长方体的体积V ＝abc ＝2×2×22＝8 2.6．C 把这四点再补四点可作为一个正方体的顶点，则这八个顶点都在球面上，球为正方体的外接球，所以23＝2R ，R ＝3，S ＝4πR 2＝12π，故选C.7．B 设所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋λ(x ＋2y －3)＝0，即x 2＋y 2＋(λ－2)x ＋2λy －3λ＝0.依题意，－λ－22＝0，λ＝2. 故圆的方程为x 2＋y 2＋4y －6＝0. 8．C9．B y －2x －1表示圆x 2＋y 2＝1上的点P (x ，y )与A (1,2)连线的斜率．由A (1,2)作圆的两条切线，较小的斜率即为所求．10．C 圆心(3,3)到直线3x ＋4y －11＝0的距离为d ＝|3×3＋4×3－11|5＝2，圆的半径是3. ∴圆上的点到直线3x ＋4y －11＝0的距离为1的点有3个． 11．C 设四棱锥R －PQMN 的高为d ，则d ＝322，S四边形PQMN＝12(1＋3)×32＝62，V R －PQMN ＝13S 四边形PQMN ·d ＝13×62×322＝6，故选C.12．B ∵y (y －mx －m )＝0， ∴y ＝0或y －mx －m ＝0.当y ＝0时，显然与圆x 2＋y 2－2x ＝0有两个不同的交点，要使两曲线有四个不同的交点，只需y －mx －m ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＝0有两个不同的交点，且m ≠0.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －mx －m ＝0，x 2＋y 2－2x ＝0，消去y ，得关于x 的一元二次方程，再令Δ>0，解得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，33.13.16π3解析：由三视图知该几何体是半径为2的半球，所以其体积为12×43π×23＝16π3.14.直线ax －y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点且|AB |＝23，则实数a ＝________.15．一个横放的圆柱形水桶，桶内的水漫过底面周长的四分之一，那么当桶直立时，水的高度与桶的高度的比为________．16.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1垂直于底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是________．①CC1与B1E是异面直线；②AC⊥平面ABB1A1；③AE与B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1；④A1C1∥平面AB1E.三、解答题(写出必要的计算步骤，解答过程，只写最后结果的不得分，共70分)17．(10分)已知一个组合体的三视图，如图所示，请根据具体的数据，计算该组合体的体积．18．(12分)在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠BAC 的角平分线所在的直线方程为y ＝0.若点B 的坐标为(1,2)，求点A 和点C 的坐标．答案14.0解析：因为圆的圆心坐标为(1,2)，半径r ＝2，且|AB |＝23，故圆心到直线的距离d ＝r 2－(|AB |2)2＝4－(3)2＝1，即|a －2＋3|a 2＋1＝1，所以|a ＋1|＝a 2＋1，平方得a 2＋2a ＋1＝a 2＋1，解得a ＝0.15．(π－2)4π解析：设圆柱形水桶的底面半径为R ，高为h ，桶直立时，水的高度为x .横放时水桶底面在水内的面积为(14πR 2－12R 2)，水的体积为V 水＝(14πR 2－12R 2)h .直立时水的体积不变，则有V 水＝πR 2x ， ∴x h ＝(π－2)4π. 16．③解析：①中，直线CC 1与B 1E 都在面BCC 1B 1中，不是异面直线；②中，面ABC ⊥面ABB 1A 1，而AC 与AB 不垂直，则AC 与平面ABB 1A 1不垂直；③中，AE 与B 1C 1不平行也不相交，是异面直线，又由已知得面ABC ⊥面BCC 1B 1，由△ABC 为正三角形，且E 为BC 的中点知AE ⊥BC ，所以AE ⊥面BCC 1B 1，则AE ⊥B 1C 1；④中，A 1C 1与平面AB 1E 相交，故错误．17．解：由三视图可知此组合体的结构为：上部是一个圆锥，中部是一个圆柱，下部也是一个圆柱，由题图中的尺寸可知：V 圆锥＝13πr 2h 1＝13π×22×2＝8π3，V 圆柱＝πr 2h 2＝π×22×10＝40π，V 圆柱′＝πr 2h 3＝π×42×1＝16π，所以此组合体的体积为V ＝8π3＋40π＋16π＝1763π.18．解：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0，y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0.所以点A 的坐标为(－1,0)．所以直线AB 的斜率k AB ＝1，又x 轴是∠BAC 的角平分线，所以k AC ＝－1，则AC 边所在直线的方程为y ＝－(x ＋1)． ① 又已知BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0， 故直线BC 的斜率k BC ＝－2， 所以BC 边所在的直线方程为 y －2＝－2(x －1)． ②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－6，即点C 的坐标为(5，－6)．19.(12分)已知圆C 经过A (2,4)、B (3,5)两点，且圆心C 在直线2x －y －2＝0上．(1)求圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx ＋3与圆C 总有公共点，求实数k 的取值范围．20．(12分)如图，AA 1B 1B 是圆柱的轴截面，C 是底面圆周上异于A 、B 的一点，AA 1＝AB ＝2.(1)求证：平面A 1AC ⊥平面BA 1C ；(2)求VA 1－ABC 的最大值．答案19.解：(1)由于AB 的中点坐标为(52，92)，k AB ＝1，则线段AB 的垂直平分线的方程为y ＝－x ＋7，圆心C 是直线y ＝－x ＋7与直线2x －y －2＝0的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋7，2x －y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，即圆心C (3,4)， 又半径为|CA |＝(2－3)2＋(4－4)2＝1，故圆C 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝1.(2)圆心C (3,4)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|3k －4＋3|1＋k2，由题意d ≤1，化简得4k 2－3k ≤0，解得0≤k ≤34. 20．解：(1)证明：∵C 是底面圆周上异于A 、B 的一点，且AB 为底面圆的直径，∴BC ⊥AC .又AA 1⊥底面ABC ，∴BC ⊥AA 1，∴BC ⊥平面A 1AC .由面面垂直的判定定理知，平面A 1AC ⊥平面BA 1C .(2)在Rt △ACB 中，设AC ＝x ，则BC ＝AB 2－AC 2＝4－x 2(0<x <2)．故VA 1－ABC ＝13S △ABC ×AA 1＝13×12AC ×BC ×AA 1＝13x 4－x 2(0<x <2)．VA 1－ABC ＝13x 4－x 2＝13x 2(4－x 2) ＝13－(x 2－2)2＋4.∵0<x <2，∴0<x 2<4.∴当x 2＝2，即x ＝2时，VA 1－ABC 的值最大，即(VA 1－ABC )max ＝23.21.(12分)已知动点M 到点A (2,0)的距离是它到点B (8,0)的距离的一半，求：(1)动点M 的轨迹方程；(2)若N 为线段AM 的中点，试求点N 的轨迹．22．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．(1)求证：PB∥平面ACM；(2)求证：AD⊥平面P AC；(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．答案21.解：(1)设动点M (x ，y )为轨迹上任意一点，则点M 的轨迹就是集合P ＝{M ||MA |＝12|MB |}．由两点间距离公式，点M 适合的条件可表示为(x －2)2＋y 2＝12(x －8)2＋y 2.平方后再整理，得x 2＋y 2＝16.可以验证，这就是动点M 的轨迹方程．(2)设动点N 的坐标为(x ，y )，M 的坐标是(x 1，y 1)．由于A (2,0)，且N 为线段AM 的中点，所以x ＝2＋x 12，y ＝0＋y 12.所以有x 1＝2x －2，y 1＝2y .①由(1)知，M 是圆x 2＋y 2＝16上的点，所以M 的坐标(x 1，y 1)满足x 21＋y 21＝16.②将①代入②整理，得(x －1)2＋y 2＝4.所以N 的轨迹是以(1,0)为圆心，2为半径的圆．22．解：(1)证明：连接BD ，MO ，在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点．又M 为PD 的中点，所以PB ∥MO .因为PB ⊄平面ACM ，MO ⊂平面ACM ，所以PB ∥平面ACM .(2)证明：因为∠ADC ＝45°，且AD ＝AC ＝1，所以∠DAC ＝90°，即AD ⊥AC .又PO ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， 所以PO ⊥AD .而AC ∩PO ＝O ，所以AD ⊥平面P AC .(3)取DO 的中点N ，连接MN ，AN .因为M 为PD 的中点，所以MN ∥PO ，且MN ＝12PO ＝1.由PO ⊥平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ，所以∠MAN 即是直线AM 与平面ABCD 所成的角．在Rt △DAO 中，AD ＝1，AO ＝12，所以DO ＝52，从而AN ＝12DO ＝54.在Rt △ANM 中，tan ∠MAN ＝MN AN ＝154＝455， 即直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值为455.。