数学必修2红对勾答案(1)
必修2红对勾2-1-8
图 11
2.1 第8课时
红对勾系列丛书
解：取 AC 的中点 F，连结 EF，BF，在△ACD 中，E，F 分别是 AD，AC 的中点，所以 EF∥CD， 所以∠BEF 即为所求的异面直线 BE 与 CD 所成的角 1 1 或其补角．在 Rt△EAB 中，AB＝1，AE＝ AD＝ ， 2 2 5 1 所以 BE＝ .在 Rt△AEF 中，AC＝1，AF＝ ，AE 2 2 1 2 ＝ ，所以 EF＝ . 2 2
分别是AB、BC、CD、DA的中点，则 (1)四边形EFGH是________． (2)当AC＝BD时，四边形EFGH是________． (3)当AC⊥BD时，四边形EFGH是________．
2.1 第8课时
红对勾系列丛书
(4) 当 AC 与 BD 满足 ________ 时，四边形 EFGH 是正
红对勾系列丛书
解析：如图 6 所示，取 BC 的中点 E，连结 ME、 1 1 1 NE，则 ME＝ AC，NE＝ BD，所以 ME＋NE＝ (AC 2 2 2 1 ＋BD)．在△MNE 中，有 ME＋NE>MN，所以 MN< 2 (AC＋BD)．
答案：D
图6
2.1 第8课时
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二、填空题(每小题5分，共15分)
B1EDF是平行四边形．
图9
2.1 第8课时
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证明：设Q是DD1的中点，连结EQ，QC1.
∵E是AA1的中点，
∴EQ綊A1D1.
又在矩形A1B1C1D1 中A1D1綊B1C1. ∴EQ綊B1C1(平行公理)． ∴四边形EQC1B1为平行四边形，
图 10
2.1 第8课时
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∴B1E綊C1Q.又∵Q、F是矩形DD1C1C的两边中点，
必修2红对勾2-2-15
(1) 求证：当 F 、 A 、 D 不共线时， MN 总平行于平面
FAD； (2) 不管怎样翻折矩形 ABEF ，直线 MN 总和 FD 平行， 这个结论对吗？如果对，请证明；如果不对，请说明能 否改变个别已知条件使上述结论成立．
2.2 第15课时
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证明：(1)如题图 7(2)，连接 BM 并延长交 FA 于 G，连接 DG. ∵ AF＝AD， 矩形 ABCD 和 ABEF 有公共边 AB， AM DN ∴ AE＝DB.又 AM＝ DN，∴ ＝ . ME NB AM GM DN GM 又 ＝ ，∴ ＝ . ME MB NB MB
方形，则在下列命题中，错误的为( A．AC⊥BD B．AC∥截面PQMN C．AC＝BD D．异面直线PM与 BD所成的角为45°
图1
)
2.2 第15课时
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解析 ： ∵ MN∥PQ ，由 线面 平行 的性 质定理 可 得
MN∥AC， 从而AC∥截面PQMN，B正确； 同理可得MQ∥BD， 故AC⊥BD，A正确； 又∠PMQ＝45°，故D正确． 答案：C
2.2 第15课时
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8．已知正方体AC1的棱长为1，点P是面AA1D1D的
中心，点Q是面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ∥ 平面AA1B1B，则线段PQ的长为________．
图4
2.2 第15课时
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解析：因为 P 是 AD 的中点，PQ∥平面 AA1B1B， 所以 Q 是 B1D1 的中点， 故 PQ 是三角形 D1AB1 的中位 2 线，|PQ|＝ . 2
∵a∥b，a⊄γ，b⊂γ，∴a∥γ.
又∵a⊂β，β∩γ＝c，
∴a∥c.∴a∥b∥c. 答案：D
必修2红对勾1-3-6
C．只有(4)是错误的
D．只有(1)(2)是正确的
1.3 第6课时
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解析：正三棱锥内接于球，而其各个顶点在球面上，
过球心的截面，如果是三角形的话，根据其端点是否在 圆上，有如下讨论： ①当过圆心作某底面的平行线，则截面近似图(1)， 三个点都不在圆上； ②当截面是过圆心和三棱锥两个顶点的平面，它交 对棱于中点，中点不在球上，也就不在截面圆上，近似
答案：B
1.3 第6课时
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二、填空题(每小题5分，共15分)
7．已知体积相等的正方体、球、等边圆柱的全面积
分别为S1，S2，S3，则它们之间的关系是________．
1.3 第6课时
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解析：设正方体的棱长为 a，球半径为 r，圆 柱的底面半径为 R. 4 3 则 a ＝ πr ＝πR2· 2R＝2πR3＝V. 3
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第一章
空间几何体
第一章 空间几何体
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1.3 空间几何体的表面积与体积 第6课时 球的体积和表面积
1.3 第6课时
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1.进一步认识球的结构特征，了解它的有关概念. 2.记住球的体积计算公式，并能灵活应用. 3.知道球的表面积公式的推导方法，熟记公式内容 并能灵活应用.
答案：4
1.3 第6课时
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9．(2010·湖北高考，理)圆柱形容器内部盛有高度
为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的 底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图4所示)， 则球的半径是________cm.
图4
1.3 第6课时
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解析：设球的半径为 r， 4 3 则 6r· πr ＝8πr ＋3× πr ⇒r＝4(cm)． 3
高中数学必修2红对勾的习题答案1-1-1.ppt
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9．一个正方体的每个面上都写有一个汉字，其平面展 开图如图所示，那么在该正方体中，和“超”相对的字是 ________．
第一章 立体几何初步
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解析：将平面图形还原成空间图形即可判断． 答案：自
第一章 立体几何初步
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三、解答题(本大题共3小题，共40分，解答应写出文 字说明，证明过程或演算步骤)
第一章 立体几何初步
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或直线AC混淆，故是错误的，错误的答案只有③⑤，所 以选D.
答案：D
第一章 立体几何初步
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5．下列不属于构成几何体的基本元素的是( ) A．点 B．线段 C．曲面 D．多边形(不含内部的点)
第一章 立体几何初步
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解析：因为一个几何体是由点、线、面组成的，且线 有直线和曲线之分，面有平面和曲面之分，所以只有D不 属于构成几何体的基本元素．点、线、面是构成几何体的 基本元素，任何一个几何体都是由这些基本元素组成 的．虽然其他图形有时也能构成另外复杂的几何体，但是 不能称之为构成几何体的基本元素．
第一章 立体几何初步
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①平面ABCD；②平面BD；③平面AD；④平面ABC；
⑤AC；⑥平面α.
A．②④
B．②③⑥
C．④⑤⑥
D．③⑤
第一章 立体几何初步
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解析：平面的表示除了用平面图形的顶点字母，如平 面ABCD来表示外，还可用希腊字母α、β、γ等来表示，对 于前一种情况也可简单的用一条对角线上的两个顶点字母 表示，但前面要加“平面”两字．显然①②⑥是正确的， ③用一条边的顶点字母表示不符合要求，④用了三角形的 顶点字母表示平面是完全可以的，⑤虽然用对角线AC的 顶点字母表示，但没加“平面”两字，易与线段AC
必修2红对勾2-2-13
答案：B
2.2 第13课时
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4．如图 2 ，有一木块，点 P 在平面 A1C1 内，棱 BC 平
行平面A1C1，要经过P和棱BC将木料锯开，锯开的面必 须平整，则不同的锯法种数是( A．0 B．1 C．2 D．无数
图2
2.2 第13课时
)
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解 析 ： 锯 法 是 ， 过 P 作 一 条 直 线 平 行 于 B1C1 ， 交
)
①AB 为平面 α 外的线段，若 A 、 B 到平面 α 的距离相
等，则AB∥α；
②若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则 这两个角相等； ③若直线a∥直线b，则a平行于过b的所有平面； ④若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则a∥b.
2.2 第13课时
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A．0个
B．1个
C．2个
答案：A
解析：设截面四边形为EFGH，F、G、H分别是BC、
CD、DA的中点， ∴EF＝GH＝4，FG＝HE＝6， ∴周长为2×(4＋6)＝20. 答案：B
2.2 第13课时
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6．三条异面直线 a，b， c两两异面，它们所成的角
都相等且存在一个平面与这三条直线都平行，则a与b所 成的角的度数为( A．30° C．60° ) B．45° D．90°
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一、选择题(每小题5分，共30分)
1．如果直线a∥平面α，则( )
A．平面α内有且只有一条直线与a平行
B．平面α内有无数条直线与a平行 C．平面α内不存在与a垂直的直线 D．平面α内有且仅有一条与a垂直的直线 答案：B
2.2 第13课时
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2．给出四个命题，其中正确的个数是(
必修2红对勾3-3-27
3.3 第27课时
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1＋ x－－ 1 － 1 解析： 设 N(x,1＋ x)，则有 · ＝－ 1， 2 x－ 0 ∴ x＝ 2，则 N(2,3)．
答案：C
3.3 第27课时
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6．若直线 l：y＝ kx－ 3与直线 2x＋ 3y－ 6＝ 0 的交 点位于第一象限， 则直线 l 的倾斜角的取值范围为( A． [30° ， 60° ] C． (60° ， 90° ) B． (30° ， 90° ) D． [30° ， 90° ] )
＋y＋2＝0的交点且与直线 3x＋y－1＝ 0平行的直线方 程．
3.3 第27课时
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解：∵直线 l 过两直线 2x－3y－ 3＝ 0 和 x＋ y＋ 2＝ 0 的交点，∴ 设直线 l 的方程为 2x－ 3y－3＋λ(x＋ y＋ 2)＝0.即(λ＋ 2)x＋(λ－3)y＋ 2λ－ 3＝ 0.∵直线 l 与直线 3x λ＋ 2 λ－ 3 2λ－ 3 11 ＋ y－ 1＝ 0 平行，∴ ＝ ≠ .解得 λ＝ . 3 1 2 －1 从而所求直线方程为 15x＋ 5y＋16＝ 0.
可得交点 (2，
－ 1)．
答案：C
3.3 第27课时
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2．经过直线 l1： x－ 3y＋4＝ 0 和 l2： 2x＋ y＋ 5＝ 0 的交点，并且经过原点的直线方程是 ( A． 19x－9y＝0 C． 3x＋ 19y＝0 B． 9x＋ 19y＝0 D． 19x－ 3y＝0 )
19 3 解析：l1 与 l2 交点为(－ ， )，故所求为 3x 7 7 ＋19y＝0.
3.3 第27课时
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图1
3.3 第27课时
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高中数学必修2红对勾答案1-1-2-2
A．三棱锥 ． C．五棱锥 ．
第一章 立体几何初步
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解析：解法一 看正棱锥各侧面顶角之和 看正棱锥各侧面顶角之和) 解析：解法一(看正棱锥各侧面顶角之和 由正棱锥几何直观图知： 由正棱锥几何直观图知： 正棱锥各侧面顶角之和小于 360° ， 当选 、 B、 C时 ， 侧面顶角之和分别为 ° 当选A、 、 时 侧面顶角之和分别为180° 、 ° 240°、300°，而当是 时，为360°，故应选 ° ° 而当是D时 ° 故应选D.
第一章 立体几何初步
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本大题共3小题 二、填空题(本大题共 小题，每小题 分，共24分) 填空题 本大题共 小题，每小题8分 分 7．如图是一个立体图形的展开图，则该立体图形是 ．如图是一个立体图形的展开图， ________． ．
第一章 立体几何初步
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解析：底面是正五边形， 解析 ： 底面是正五边形， 其余各面是有公共顶点的等 腰三角形，故几何体为五棱锥． 腰三角形，故几何体为五棱锥． 答案：正五棱锥 答案：
1．了解、认识和研究棱锥、棱台的结构特征，并结合 ．了解、认识和研究棱锥、棱台的结构特征， 这些结构特征认识日常生活中见到的几何体． 这些结构特征认识日常生活中见到的几何体． 2．了解棱锥和棱台的分类，学会表示它们的方法，初 ．了解棱锥和棱台的分类，学会表示它们的方法， 步了解它们的一些性质． 步了解它们的一些性质． 3．认识正棱锥、正棱台这些特殊多面体的结构特征和 ．认识正棱锥、 性质， 性质，认识和研究正棱锥或正棱台中可以称之为核心图形 的那些直角三角形或直角梯形． 的那些直角三角形或直角梯形．
第一章 立体几何初步
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8．一个正四棱台上、下底面的边长分别是a、b，高为 ．一个正四棱台上、下底面的边长分别是 、 ， h，则经过相对两侧棱的截面面积是________． ，则经过相对两侧棱的截面面积是 ．
红对勾45分钟RJ数学A版必修2综合测评(一)
必修二模块综合测评(一)限时：120分钟满分：150分答题表1．下列说法中正确的是()A．棱柱的侧面可以是三角形B．正方体和长方体都是特殊的四棱柱C．所有的几何体的表面都能展成平面图形D．棱柱的各条棱都相等2．在原来的图形中，两条线段平行且相等，则在直观图中对应的两条线段()A．平行且相等B．平行不相等C．相等不平行D．既不平行也不相等3．菱形ABCD在平面α内，PC⊥α，则P A与对角线BD的位置关系是()A．平行B．相交但不垂直C．垂直相交D．异面垂直4.已知M、N分别是正方体AC1的棱A1B1、A1D1的中点，如图是过M、N、A和D、N、C1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的正视图为()5．设长方体的对角线长是4，过每一顶点有两条棱与对角线的夹角都是60°，则此长方体的体积是()A.39B．8 2C．8 3 D．16 36．已知点A、B、C、D为同一球面上的四点，且AB＝AC＝AD ＝2，AB⊥AC，AC⊥AD，AD⊥AB，则这个球的表面积是() A．16π B．20πC．12π D．8π7．一圆过圆x2＋y2－2x＝0与直线x＋2y－3＝0的交点，且圆心在y轴上，则这个圆的方程是()A．x2＋y2－4x－4y＋6＝0B．x2＋y2＋4y－6＝0C．x2＋y2－2x＝0D ．x 2＋y 2＋4x －6＝08．设直线过点(0，a )，其斜率为1，且与圆x 2＋y 2＝2相切，则a 的值为( )A ．±4B ．±2 2C ．±2D ．±29．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y －2x －1的最小值等于( )A.14B.34C.32D ．210．圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于1的点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11.在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，BB 1＝4，长为1的线段PQ 在棱AA 1上移动，长为3的线段MN 在棱CC 1上移动，点R 在棱BB 1上移动，则四棱锥R －PQMN 的体积是( )A ．12B ．10C ．6D ．不确定12．若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞二、填空题(每小题5分，共20分)13．如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是半径为2的半圆，俯视图是半径为2的圆，则该几何体的体积等于________．答案1．B 2.A3．D 菱形ABCD 中，AC ⊥BD .又PC ⊥平面α. ∴PC ⊥BD ，∴BD ⊥平面P AC . 又P A ⊂平面P AC ，∴BD ⊥P A .显然P A 与BD 异面，故P A 与BD 异面垂直． 4．B 由正视图的性质知，几何体的正投影为一正方形，正面有可见的一棱和背面有不可见的一棱，故选B.5．B 设长方体的过一顶点的三条棱长为a ，b ，c ，并且长为a ，b 的两条棱与对角线的夹角都是60°，则a ＝4cos60°＝2，b ＝4cos60°＝2.根据长方体的对角线性质，有a 2＋b 2＋c 2＝42，即22＋22＋c 2＝42.∴c ＝2 2.因此长方体的体积V ＝abc ＝2×2×22＝8 2.6．C 把这四点再补四点可作为一个正方体的顶点，则这八个顶点都在球面上，球为正方体的外接球，所以23＝2R ，R ＝3，S ＝4πR 2＝12π，故选C.7．B 设所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋λ(x ＋2y －3)＝0，即x 2＋y 2＋(λ－2)x ＋2λy －3λ＝0.依题意，－λ－22＝0，λ＝2. 故圆的方程为x 2＋y 2＋4y －6＝0. 8．C9．B y －2x －1表示圆x 2＋y 2＝1上的点P (x ，y )与A (1,2)连线的斜率．由A (1,2)作圆的两条切线，较小的斜率即为所求．10．C 圆心(3,3)到直线3x ＋4y －11＝0的距离为d ＝|3×3＋4×3－11|5＝2，圆的半径是3. ∴圆上的点到直线3x ＋4y －11＝0的距离为1的点有3个． 11．C 设四棱锥R －PQMN 的高为d ，则d ＝322，S四边形PQMN＝12(1＋3)×32＝62，V R －PQMN ＝13S 四边形PQMN ·d ＝13×62×322＝6，故选C.12．B ∵y (y －mx －m )＝0， ∴y ＝0或y －mx －m ＝0.当y ＝0时，显然与圆x 2＋y 2－2x ＝0有两个不同的交点，要使两曲线有四个不同的交点，只需y －mx －m ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＝0有两个不同的交点，且m ≠0.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －mx －m ＝0，x 2＋y 2－2x ＝0，消去y ，得关于x 的一元二次方程，再令Δ>0，解得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，33.13.16π3解析：由三视图知该几何体是半径为2的半球，所以其体积为12×43π×23＝16π3.14.直线ax －y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点且|AB |＝23，则实数a ＝________.15．一个横放的圆柱形水桶，桶内的水漫过底面周长的四分之一，那么当桶直立时，水的高度与桶的高度的比为________．16.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1垂直于底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是________．①CC1与B1E是异面直线；②AC⊥平面ABB1A1；③AE与B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1；④A1C1∥平面AB1E.三、解答题(写出必要的计算步骤，解答过程，只写最后结果的不得分，共70分)17．(10分)已知一个组合体的三视图，如图所示，请根据具体的数据，计算该组合体的体积．18．(12分)在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠BAC 的角平分线所在的直线方程为y ＝0.若点B 的坐标为(1,2)，求点A 和点C 的坐标．答案14.0解析：因为圆的圆心坐标为(1,2)，半径r ＝2，且|AB |＝23，故圆心到直线的距离d ＝r 2－(|AB |2)2＝4－(3)2＝1，即|a －2＋3|a 2＋1＝1，所以|a ＋1|＝a 2＋1，平方得a 2＋2a ＋1＝a 2＋1，解得a ＝0.15．(π－2)4π解析：设圆柱形水桶的底面半径为R ，高为h ，桶直立时，水的高度为x .横放时水桶底面在水内的面积为(14πR 2－12R 2)，水的体积为V 水＝(14πR 2－12R 2)h .直立时水的体积不变，则有V 水＝πR 2x ， ∴x h ＝(π－2)4π. 16．③解析：①中，直线CC 1与B 1E 都在面BCC 1B 1中，不是异面直线；②中，面ABC ⊥面ABB 1A 1，而AC 与AB 不垂直，则AC 与平面ABB 1A 1不垂直；③中，AE 与B 1C 1不平行也不相交，是异面直线，又由已知得面ABC ⊥面BCC 1B 1，由△ABC 为正三角形，且E 为BC 的中点知AE ⊥BC ，所以AE ⊥面BCC 1B 1，则AE ⊥B 1C 1；④中，A 1C 1与平面AB 1E 相交，故错误．17．解：由三视图可知此组合体的结构为：上部是一个圆锥，中部是一个圆柱，下部也是一个圆柱，由题图中的尺寸可知：V 圆锥＝13πr 2h 1＝13π×22×2＝8π3，V 圆柱＝πr 2h 2＝π×22×10＝40π，V 圆柱′＝πr 2h 3＝π×42×1＝16π，所以此组合体的体积为V ＝8π3＋40π＋16π＝1763π.18．解：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0，y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0.所以点A 的坐标为(－1,0)．所以直线AB 的斜率k AB ＝1，又x 轴是∠BAC 的角平分线，所以k AC ＝－1，则AC 边所在直线的方程为y ＝－(x ＋1)． ① 又已知BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0， 故直线BC 的斜率k BC ＝－2， 所以BC 边所在的直线方程为 y －2＝－2(x －1)． ②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－6，即点C 的坐标为(5，－6)．19.(12分)已知圆C 经过A (2,4)、B (3,5)两点，且圆心C 在直线2x －y －2＝0上．(1)求圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx ＋3与圆C 总有公共点，求实数k 的取值范围．20．(12分)如图，AA 1B 1B 是圆柱的轴截面，C 是底面圆周上异于A 、B 的一点，AA 1＝AB ＝2.(1)求证：平面A 1AC ⊥平面BA 1C ；(2)求VA 1－ABC 的最大值．答案19.解：(1)由于AB 的中点坐标为(52，92)，k AB ＝1，则线段AB 的垂直平分线的方程为y ＝－x ＋7，圆心C 是直线y ＝－x ＋7与直线2x －y －2＝0的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋7，2x －y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，即圆心C (3,4)， 又半径为|CA |＝(2－3)2＋(4－4)2＝1，故圆C 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝1.(2)圆心C (3,4)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|3k －4＋3|1＋k2，由题意d ≤1，化简得4k 2－3k ≤0，解得0≤k ≤34. 20．解：(1)证明：∵C 是底面圆周上异于A 、B 的一点，且AB 为底面圆的直径，∴BC ⊥AC .又AA 1⊥底面ABC ，∴BC ⊥AA 1，∴BC ⊥平面A 1AC .由面面垂直的判定定理知，平面A 1AC ⊥平面BA 1C .(2)在Rt △ACB 中，设AC ＝x ，则BC ＝AB 2－AC 2＝4－x 2(0<x <2)．故VA 1－ABC ＝13S △ABC ×AA 1＝13×12AC ×BC ×AA 1＝13x 4－x 2(0<x <2)．VA 1－ABC ＝13x 4－x 2＝13x 2(4－x 2) ＝13－(x 2－2)2＋4.∵0<x <2，∴0<x 2<4.∴当x 2＝2，即x ＝2时，VA 1－ABC 的值最大，即(VA 1－ABC )max ＝23.21.(12分)已知动点M 到点A (2,0)的距离是它到点B (8,0)的距离的一半，求：(1)动点M 的轨迹方程；(2)若N 为线段AM 的中点，试求点N 的轨迹．22．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．(1)求证：PB∥平面ACM；(2)求证：AD⊥平面P AC；(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．答案21.解：(1)设动点M (x ，y )为轨迹上任意一点，则点M 的轨迹就是集合P ＝{M ||MA |＝12|MB |}．由两点间距离公式，点M 适合的条件可表示为(x －2)2＋y 2＝12(x －8)2＋y 2.平方后再整理，得x 2＋y 2＝16.可以验证，这就是动点M 的轨迹方程．(2)设动点N 的坐标为(x ，y )，M 的坐标是(x 1，y 1)．由于A (2,0)，且N 为线段AM 的中点，所以x ＝2＋x 12，y ＝0＋y 12.所以有x 1＝2x －2，y 1＝2y .①由(1)知，M 是圆x 2＋y 2＝16上的点，所以M 的坐标(x 1，y 1)满足x 21＋y 21＝16.②将①代入②整理，得(x －1)2＋y 2＝4.所以N 的轨迹是以(1,0)为圆心，2为半径的圆．22．解：(1)证明：连接BD ，MO ，在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点．又M 为PD 的中点，所以PB ∥MO .因为PB ⊄平面ACM ，MO ⊂平面ACM ，所以PB ∥平面ACM .(2)证明：因为∠ADC ＝45°，且AD ＝AC ＝1，所以∠DAC ＝90°，即AD ⊥AC .又PO ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， 所以PO ⊥AD .而AC ∩PO ＝O ，所以AD ⊥平面P AC .(3)取DO 的中点N ，连接MN ，AN .因为M 为PD 的中点，所以MN ∥PO ，且MN ＝12PO ＝1.由PO ⊥平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ，所以∠MAN 即是直线AM 与平面ABCD 所成的角．在Rt △DAO 中，AD ＝1，AO ＝12，所以DO ＝52，从而AN ＝12DO ＝54.在Rt △ANM 中，tan ∠MAN ＝MN AN ＝154＝455， 即直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值为455.。
【红对勾】2016-2017学年高中数学必修二(人教A版)课件：1-3-1柱体、锥体、台体的表面积与体积
柱体、锥体、台体的体积
[填一填] 1．柱体的体积：V 柱体＝ Sh (S 表示柱体的底面面积， h 表示柱体的高)．
1 2．锥体的体积：V 锥体＝ 3Sh (S 表示锥体的底面面积， h 表示锥体的高)．
3．台体的体积：V台体＝ 13(S′＋ S′S＋S)h (S′， S分别表示台体的上、下底面面积，h表示台体的高)．
[解] 将四边形ABCD绕AD边所在的直线旋转一周形成一 个被挖去一个圆锥的圆台，如图(2)．
由题意可得CD＝2 2 ，AD＝2，CE＝ED＝2，AB＝5， AE＝4，BC＝5，所以S＝π·EC·DC＋π(EC＋AB)·BC＋π·AB2＝ 4 2π＋35π＋25π＝60π＋4 2π，V＝13π(CE2＋AB2＋CE·AB)·AE －13π·CE2·DE＝52π－83π＝1438π.
[答一答] 3．柱体的体积与哪些量有关？ 提示：柱体的体积仅与它的底面积和高有关，而与底面 的形状以及是斜棱柱或直棱柱无关． 4．对于三棱锥在求体积时，底面固定吗？怎样确定哪 个面为底面？ 提示：不固定，三棱锥的任何一个面都可以作为它的底 面，关键是哪个底面的面积和相应的高容易求出，就选哪个 面为底面．
EA1B＝13·a42·a＝1a23 ，所以VA1－EBFD1＝2×1a23 ＝a63.
3．构造法 对于某些几何体性质的探究较困难时，我们可以将它放置 在我们熟悉的几何体中，如正方体等这些对称性比较好的几何 体，以此来研究所求几何体的性质．
[典例3] 如下图，在等腰梯形ABCD中，AB＝2CD＝2， ∠DAB＝60°，E是AB的中点，将△ADE，△BEC分别沿ED， EC向上折起，使A，B重合于点P，求三棱锥P－CDE的体积．
解析：作出长、宽、高分别为2、1、1的长方体，该四 面体是如图所示的三棱锥P—ABC，表面积为 12 ×1×2×2＋ 43×( 2)2×2＝2＋ 3.
必修2红对勾3-2-23
3.2 第23课时
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1 3 3 |(2k＋ 3)(－ －2)|＝ 4，即(2k＋ 3)( ＋2)＝± 8. 2 k k 3 若 (2k＋ 3)( ＋ 2)＝ 8，则整理得 4k2＋ 4k＋ 9＝ 0， k 无解， 3 若 (2k＋ 3)( ＋ 2)＝－ 8，则整理得 4k2＋ 20k＋ 9＝ k 0，
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第三章 直线与方程
第三章 直线与方程
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3.2 第23课时
直线的方程 直线的点斜式方程
3.2 第23课时
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1.理解直线方程的含义. 2.掌握并能熟练应用直线的点斜式方程 及使用条件. 3.掌握并能熟练应用直线的斜截式方程 及使用条件.
3.2 第23课时
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3.2 第23课时
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(3)由 y＝－ 2x＋ 7 得 k1＝－ 2， 由两直线垂直知 k1k2＝－ 1， 1 ∴ k2＝ . 2 ∴利用点斜式得所求的直线方程为 1 y－ 1＝ (x＋ 1)，即 x－ 2y＋ 3＝ 0. 2
3.2 第23课时
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(4)由 y＝ 3x－ 5 得 k1＝ 3，由两直线垂直知 k1k2＝ － 1， 1 ∴ k2＝－ . 3 1 利用斜截式得所求直线方程为 y＝－ x－ 2，即 x 3 ＋ 3y＋ 6＝ 0.
3.2 第23课时
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1 9 解之得 k＝－ 或 k＝－ ， 2 2 1 9 ∴ l 的方程为 y－ 3＝－ (x＋ 2)或 y－3＝－ (x＋ 2 2 2)， 即 x＋ 2y－ 4＝ 0 或 9x＋ 2y＋12＝ 0.
3.2 第23课时
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12 ． ( 本小题 15 分 ) 在直线 l 的方程 y ＝ kx ＋ b 中，当 x∈[－3,4]时，恰好y∈[－8,13]．求此直线的方程． 解：∵直线l的方程为y＝kx＋b，
必修2红对勾第一章 单元评估题(一)
第一章单元评估题(一)时限：120分钟满分：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．下列说法中正确的是()A．直角梯形绕其一边旋转形成圆台B．直角三角形绕其一边旋转形成圆锥C．圆柱不是旋转体D．圆台可以看作是平行于底面的平面截一个圆锥而得到的解析：圆台是直角梯形绕垂直于底边的腰旋转而得到的．故A不正确；圆锥是直角三角形绕其直角边旋转而得到的，故B不正确；而圆柱、圆锥、圆台、球都是旋转体．故C不正确．答案：D2．下面有关三视图的说法中，错误的是()A．正方体的三视图中不可能有三角形B．正四面体的三视图均为正三角形C．球的三视图都是圆D．圆柱的三视图有可能是两个正方形和一个圆解析：A中无论正方体如何摆放，其三视图均不可能有三角形；B中由于摆放位置的不同，则正四面体的三视图有可能不为正三角形；C显然正确；D中当底面直径长度等于母线长度时，则圆柱竖直放置的三视图为正方形、正方形、圆．答案：B3．在棱长为1的正方体中，分别用过公共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是()A.23B.76C.45D.56解析：用正方体的体积减去8个小三棱锥的体积就是剩下的多面体的体积，每个小三棱锥的体积是正方体体积的148，V ＝1－148×8＝56.答案：D4．一个圆锥的底面直径和高都同一个球的直径相等，那么圆锥与球的体积之比是( )A ．1∶3B ．2∶3C ．1∶2D ．2∶9答案：C5．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积之比为( )A.1＋2π2πB.1＋4π4πC.1＋2ππD.1＋4π2π解析：设圆柱底面半径为r ，则高为2πr ，S 表S 侧＝2πr ·2πr ＋2·πr 22πr ·2πr ＝1＋2π2π.答案：A6．有一个几何体的三视图及其尺寸如图1(单位：cm)，则该几何体的表面积及体积分别为( )图1A．24πcm2,12π cm3B．15π cm2,12π cm3C．24π cm2,36π cm3D．15π cm2,36π cm3解析：如图2所示，由三视图可知该几何体为圆锥，并且底面直径为6，母线长为5，∴底面半径r＝3，母线l＝5，圆锥的高h＝l2－r2＝4，∴S表面积＝πr2＋πrl＝24π(cm2)，V体积＝13·πr2·h＝12π(cm3)，故选A.图2答案：A7．设长方体的体对角线长度为4，过每一顶点有两条棱，与对角线的夹角都是60°，则此长方体的体积是() A．8 2 B．8 3C.39D ．16 3图3解析：如图3所示，对角线AC ′，由于过每一顶点都有两条棱与对角线夹角为60°，则此两条棱关于对角线对称．如图2所示，设棱AB 、AD 与AC ′夹角为60°，则可以算出AB ＝2，BC ′＝2 3.设棱D ′C ′，B ′C ′与AC ′的夹角为60°，则可以算出B ′C ′＝2，故长方体的高BB ′＝BC ′2－B ′C ′2＝12－4＝22，故长方体的体积V ＝AB ·BC ·BB ′＝2×2×22＝8 2.答案：A8．已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于( )A ．2 2 B.233C.433D.33解析：正方体的外接球的直径为正方体的体对角线．设正方体的棱长为a ，则其体对角线长为3a 2＝3a ，外接球的半径R ＝32a ，则其体积V ＝43πR 3＝43π(32a )3＝323π，∴a ＝433. 答案：C9．(2009·山东高考)一空间几何体的三视图如图4所示，则该几何体的体积为( )图4A ．2π＋2 3B ．4π＋2 3C ．2π＋233D ．4π＋233解析：由几何体的三视图可知，该几何体是由一个底面直径和高都是2的圆柱和一个底面边长为2，侧棱长为2的正四棱锥叠放而成．故该几何体的体积为V ＝π×12×2＋13×(2)2×3＝2π＋233，故选C.答案：C10．某工厂用圆台形缸盛满食油，已知油缸上、下底面半径分别为40 cm 、20 cm ，用了37天后，油的高度下降为原来的一半．若每天用油量相等，则剩余的油还能用( )A ．18天B ．19天C ．20天D ．21天答案：B图511．(2010·北京高考，理)如图5，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，动点E，F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上．若EF＝1，A1E ＝x，DQ＝y，DP＝z(x，y，z大于零)，则四面体PEFQ的体积() A．与x，y，z都有关B．与x有关，与y，z无关C．与y有关，与x，z无关D．与z有关，与x，y无关解析：∵DC∥A1B1，EF＝1，∴S△EFQ＝12×1×22＝2(定值)．四面体PEFQ中面EFQ上的高为P到面A1DCB1的距离，为DP·sin45°＝22z.图6∴V 四面体PEFQ ＝13×2×22z ＝13z .答案：D12．向高为H 的水瓶中匀速注水，注满为止，如果注水时间t 与水深h 的函数关系的图象如图6所示，那么水瓶的形状是( )解析：首先排除C ，由于圆柱的注水时间与高度是一次函数关系；刚开始时，水高度增加较快，则应为A 或D.在曲线的末端，水深在短时间有一个激增，A 的注水高度随时间应该越来越缓，而只有D 的形状才会在最后快注满时，水深有一个激增．故应选D.答案：D二、填空题(每小题5分，共20分)13．内接于半径为2 cm 的球的正方体的表面积为________． 解析：内接于半径为2 cm 的球的正方体的体对角线长等于球的直径，设正方体的边长为a cm ，所以3a ＝2×2，a ＝43.S 表＝6×(43)2＝32(cm 2)．答案：32 cm 214．正四棱锥P —ABCD 的五个顶点在同一个球面上，若该正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为6，则此球的体积为________．解析：如图7所示，设底面中心为O ′，球心为O ，设球半径为R ，∵AB ＝2，则AO ′＝2，PO ′＝PA 2－AO ′2＝2，OO ′＝PO ′－PO ＝2－R .在Rt △AOO ′中，AO 2＝AO ′2＋OO ′2⇒R 2＝(2)2＋(2－R )2，∴R＝32，∴V球＝43πR3＝92π.图7答案：92π15．关于“斜二测”直观图的画法，有如下说法：①原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的12；②等腰三角形的直观图仍为等腰三角形；③梯形的直观图仍然是梯形；④正三角形的直观图一定为等腰三角形．其中说法正确的序号是________．解析：①斜二测画法中平行关系和相交关系不变，且平行于y轴的直线，其长在y′中变为原来的12，①对；②不一定，因为底边上的高变为原来的12，且与水平轴夹角为45°，故两腰不可能相等，但腰可能与底相等；③平行关系和相交关系不变，故梯形的直观图仍为梯形；④同②一样，不对．答案：①③16．(2010·辽宁高考，理)如图8，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为________．图8解析：将几何体补充出来，如图9所示．最长棱为TG＝4＋8＝2 3.图9答案：2 3三、解答题(共70分)17．(本小题10分)设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶，如图10所示，高是0.85 m，底面的边长是1.5 m，制造这种塔顶需要多少平方米铁板？(保留两位有效数字)图10解：如图11所示，作顶点S 在底面ABCD 的投影O ，过O 作OE ⊥BC 交BC 于E ，连接SE ，由题知SO ＝0.85 m ，BC ＝1.5 m ，故OE ＝0.75 m.图11在Rt △SOE 中，由勾股定理知SE ＝OS 2＋OE 2＝0.752＋0.852≈1.1(m)．故表面积(除底面积)＝4×12·BC ·SE ＝2×1.5×1.1＝3.3(m 2)，即为塔顶需要的铁板面积．18．(本小题12分)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，E 、F 分别是棱AA 1与CC 1的中点，求四棱锥A 1—EBFD 1的体积．解：V A 1－EBFD 1＝V A 1－EFD 1＋V A 1－EBF ，又V A 1－EFD 1＝V F －A 1ED 1＝13·CD ·12A 1E ·A 1D 1＝13·a ·12·a 2·a ＝a 312，∴V A 1－EBFD 1＝a 36.19．(本小题12分)降雨量是指水平地面单位面积上所降水的深度，现用上口直径为32 cm 、底面直径为24 cm 、深为35 cm 的圆台形水桶来测量降雨量．如果在一次降雨过程中，此桶中的雨水深为桶身的四分之一，则此次降雨量为多少？解：作出轴截面图，如图12：图12由题意知，圆台形水桶的水深为O 1O ′＝354cm ， 又因为A 1B 1A 2B 1＝AB A 2B ，所以A 1B 1＝AB ·A 2B 1A 2B＝1.水面半径O 1A 1＝12＋1＝13(cm)，故桶中雨水的体积是V ＝13π×(122＋12×13＋132)×354＝16415π12(cm 3)． 因为水桶上口的面积为S ＝π·162＝256π(cm 2)，设每1 cm 2的降雨量是x cm ，则x ＝V S ＝16415π12×1256π≈5.3(cm)，所以，降雨量约为53 mm. 20．(本小题12分)直角梯形的一个底角为45°，下底长为上底长的32，这个梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的表面积是(5＋2)π，求这个旋转体的体积．图13解：如图13所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＝90°，∠B ＝45°，绕AB 边旋转一周后形成一圆柱和一圆锥的组合体．设CD ＝x ，则AB ＝32x ，AD ＝AB －CD ＝x 2，BC ＝22x . S 表＝S 圆柱底＋S 圆柱侧＋S 圆锥侧＝π·AD 2＋2π·AD ·CD ＋π·AD ·BC＝π·x 24＋2π·x 2·x ＋π·x 2·22x ＝5＋24πx 2. 根据题设，5＋24πx 2＝(5＋2)π， 则x ＝2.所以旋转体体积V ＝π·AD 2·CD ＋π3AD 2·(AB －CD ) ＝π×12×2＋π3×12×(3－2)＝73π. 21．(本小题12分)我们规定：如果一个棱锥的底面是正三角形，顶点在底面的投影是底面三角形中心，这样的棱锥叫正三棱锥．已知在正三棱锥A —BCD 中，底面边长为a ，侧棱长为2a ，过B 点作与侧棱AC 、AD 相交的截面BEF ，在这个截面三角形中，求：(1)周长的最小值；(2)周长最小时的截面面积．解：(1)将三棱锥的侧面展开，如图14②所示．要使周长最小，则三边BE 、EF ，FB ′共线．又△ABB ′为等腰三角形，△ABE ≌△AB ′F ，所以△AEF 为等腰三角形．所以EF ∥CD ，∠1＝∠2＝∠3＝∠4.所以△ABC∽△BCE ∽△AEF .所以AE AB ＝EF BC ，AE BC ＝EF CE .又AB ＝2a ，BC ＝a ，CE ＝AC－AE ＝2a －AE ，代入上述比例式，得AE ＝32a ，EF ＝34a ，且∠3＝∠4，所以BC ＝BE ＝a ，B ′F ＝B ′D ＝BC ＝a .所以BB ′＝BE ＋EF ＋FB ′＝114a ，即最小周长为114a .图14(2)由(1)知BE ＝B ′F ＝a ，所以截面△BEF 为等腰三角形，如图9①所示．过B 作BG ⊥EF 于G ，则BG ＝BE 2－EG 2＝a 2－(38a )2＝558a .所以S △BEF ＝12BG ·EF ＝35564a 2. 即截面三角形周长最小时截面的面积为35564a 2. 22．(本小题12分)图15(1)所示为一实心钢锭，它由两部分组成，下部为一倒置圆台，上部为一半球．圆台上、下底面直径分别为6和4，高为4；球体半径为3.再将此钢锭放入如图15(2)所示的长方体容器中，此容器底面长为8，宽为9. 已知放入后钢锭没入水中且没有水溢出，求放入后水面上升的高度．图15解：设放入后水面上升高度为Δh ，原高为h ，则此时水柱体积V ′＝8×9×(h ＋Δh )，原体积V 0＝8×9h ，则前后体积变化为ΔV ＝72Δh .V 实心＝V 圆台＋12V 球， V 球＝43π×33＝36π. V 圆台＝V 大圆锥－V 小圆锥＝13×π×32(4＋H )－13π×22H ，而H H ＋4＝46＝23，故H ＝8. 故V 圆台＝13π×32×12－13π×4×8＝763π.故V实心＝V圆台＋12V球＝763π＋18π＝1303π.由题知ΔV＝V实心，即72Δh＝1303π，故Δh＝65108π，故放入后水面上升65 108π.。
[高一数学]高中数学必修2红对勾答案1-1-2-1
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故 PC＝2，NC＝45.
答案：三棱锥
8．如图所示，一个正方体的表面展开图的五个正方形 为阴影部分，第六个正方形在编号为1～5的适当位置，则 所有可能的位置编号为________．
答案：1或4或5
9．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，P为AA1的中 点 ， Q 为 棱 BB1 上 任 意 一 点 ， 则 PQ ＋ QC 的 最 小 值 是 ________．
(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2)PC和NC的长．
解析：(1)正三棱柱 ABC－A1B1C1 的侧面展开图是 一个长为 9、宽为 4 的矩形，其对角线长为 92＋42＝ 97.
(2)如图所示，将侧面沿 A1A 剪开展平，由点 P 沿 棱柱侧面经过棱 CC1 到点 M 的最短路径为线段 MP.设 PC＝x，在 Rt△MAP 中，有(3＋x)2＋22＝( 29)2⇒x＝2，
解析：如下图所示，将侧面AA1B1B和侧面BB1C1C展 开到同一平面内，可知当PQ和QC连成一线时，PQ＋QC 将最小．
PC′＝ 2a2＋a22＝ 217a. 答案： 217a
三、解答题(本大题共3小题，共40分，解答应写出文 字说明，证明过程或演算步骤)
10．(本小题满分12分)长方体的全面积为11，十二条 棱长度之和为24，求这个长方体的体对角线长．
B．1个
C．2个
D．3个
解析：由直棱柱的定义，知①为真命题；正棱柱是底 面为正多边形的直棱柱，②为假命题；由棱柱的定义知其 侧面是平行四边形，故③为真命题．
答案：C
5．下图是一个简单多面体的表面展开图(沿图中虚线 拆叠即可还原)，则这个多面体的顶点数为( )
A．6
B．7
C．8
D．9
【红对勾】2016-2017学年高中数学必修二(人教A版)课时作业12平面与平面平行的判定 Word版含解析
课时作业12平面与平面平行的判定——基础巩固类——1．经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作()A．1个或2个B．0个或1个C．1个D．0个解析：若过两点的直线与平面α相交，则经过这两点不能作平面与平面α平行；若过该两点的直线与平面α平行，则有唯一一个过该直线的平面与平面α平行．故选B.答案：B2．已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么()A．α∥β B．α与β相交C．α与β重合D．α∥β或α与β相交解析：这无数条直线可能平行，如果改为“平面α内任意一条直线都与平面β平行”，则α∥β.答案：D3．已知α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可确定α∥β的是()A．α，β都平行于直线lB．α内有三个不共线的点到β的距离相等C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥βD．l，m是两条异面直线，且l∥β，m∥β，l∥α，m∥α解析：对选项D：∵l∥β，m∥β，∴在β有两条直线l′，m′满足l′∥l，m′∥m，又l∥α，m∥α，∴l′∥α，m′∥α，又l与m异面，所以l′与m′相交，所以α∥β.答案：D4．已知m、n、a、b是四条直线，α，β是两个平面．有以下命题：①m α，n α且直线m与n相交，a β，b β且直线a与b相交，m∥a，n∥b，则α∥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.其中正确命题的个数是() A．0 B．1C．2 D．3解析：把符号语言转换为文字语言或图形语言，可知①正确；②③中平面α、β还有可能相交，所以选B.答案：B5．正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是()A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G解析：正方体中E1F∥H1G，E1G1∥EG，从而可得E1F∥平面EGH1，E1G1∥平面EGH1，所以平面E1FG1∥平面EGH1，故选A.答案：A6．六棱柱的面中，互相平行的面最多有________对．解析：当底面六边形是正六边形时，侧面中有3对互相平行，加上下底面平行，故最多可以有4对互相平行的面．答案：47．平面α内任意一条直线均平行于平面β，则平面α与平面β的位置关系是________．解析：由于平面α内任意一条直线均平行于平面β，则平面α内有两条相交直线平行于平面β，所以α∥β.答案：平行8．已知P是 ABCD所在平面外一点，E，F，G分别是PB，AB，BC的中点．求证：平面PAC∥平面EFG.证明：因为EF是△PAB的中位线，所以EF∥PA.又EF 平面PAC，PA 平面PAC，所以EF∥平面PAC.同理得EG∥平面PAC.又EF 平面EFG，EG 平面EFG，EF∩EG＝E，所以平面PAC∥平面EFG.——能力提升类——9．下列四个正方体图形中，A，B，C为正方体所在棱的中点，则能得出平面ABC∥平面DEF的是()解析：B中，可证AB∥DE，BC∥DF，故可以证明AB∥平面DEF，BC∥平面DEF.又AB∩BC＝B，所以平面ABC∥平面DEF.故选B.答案：B10．如图所示的是正方体的平面展开图．有下列四个命题：①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.其中，正确命题的序号是________．解析：展开图可以折成如图(1)所示的正方体．在正方体中，连接AN，如图(2)所示，因为AB∥MN，且AB＝MN，所以四边形ABMN是平行四边形．所以BM∥AN.因为AN 平面DE，BM 平面DE，所以BM∥平面DE.同理可证CN∥平面AF，所以①②正确；如图(3)所示，可以证明BM∥平面AFN，BD∥平面AFN，进而得到平面BDM∥平面AFN，同理可证平面BDE∥平面NCF，所以③④正确．答案：①②③④11．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是正方体六个面的中心，求证：平面EFG∥平面HMN.证明：连接AB1，AD1，B1D1，CB1，CD1，由三角形中位线定理，易得FG∥B1D1，NH∥B1D1，于是FG∥HN.因为HN 平面HMN，FG 平面HMN，所以FG∥平面HMN.同理可证EF∥平面HMN.又因为FG 平面EFG，EF 平面EFG，且FG∩EF＝F，所以平面EFG∥平面HMN.12．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P 是DD1的中点，设Q是CC1上的动点，问Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?解：如图，设平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，点M在AA1上，由于平面D1BQ∩平面BCC1B1＝BQ，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，所以由面面平行的性质定理可得BQ∥D1M.因为平面D1BQ∥平面PAO，平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，平面PAO∩平面ADD1A1＝AP，所以AP∥D1M，所以BQ∥D1M∥AP.因为P为DD1的中点，所以M为AA1的中点，所以Q为CC1的中点．故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.。
必修2红对勾1-3-5
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12．(本小题15分)王老汉家用圆锥形仓库贮藏粮食， 已建的仓库的底面直径为12 m，高4 m，由于今年粮食 丰收，王老汉拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多 粮食，有人给他提供了两种方案：一是将新建的仓库底 面直径比原来增加4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面 直径不变)．
1.3 第5课时
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(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积； (2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积； (3)请问你将提供哪个方案给王老汉？
1.3 第5课时
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解析：(1)如果按方案一，仓库的底面直径变 成 16 m，则仓库的体积
V1＝13Sh＝13×π×(126)2×4＝2356π(m3) 如果按方案二，仓库的高变成 8 m，则仓库的 体积，V2＝13Sh＝13×π×(122)2×8＝2388π(m3)．
答案：8 cm2
1.3 第5课时
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8．(2010·浙江高考，理)若某几何体的三视图(单位： cm)如图5所示，则此几何体的体积是________cm3.
图5
1.3 第5课时
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解析：由几何体的三视图知该几何体是正四棱台
与长方体的组合体，所以几何体的体积为
V
＝
1 3
×(4×4＋ 16×64＋64)×3＋4×4×2＝144.
V
＝
23
＋
1 2
×(
2 )2×2 ＝
10(cm3)．
1.3 第5课时
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11．(本小题15分)有一根长为10 cm，底面半径是0.5 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕8圈，并使 铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的 最短长度为多少厘米？(精确到0.01 cm)
红对勾45分钟RJ数学A版必修2周卷练(1)
周练卷(1)限时：45分钟总分：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．下面四个图形中，可作为三棱柱的平面展开图的是()2．下列说法中正确的是()A．棱柱的侧面可以是三角形B．正方体和长方体都是特殊的四棱柱C．所有的几何体的表面都能展开成平面图形D．棱柱的各条棱都相等3．一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()4．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是() A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为()A．1 B. 2C. 3 D．26．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图的是()二、填空题(每小题5分，共20分)7．如图为一个几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为________．8．水平放置的某三角形的直观图是直角边为2的等腰直角三角形，如图，则原三角形的面积是________．9．如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均2，其正视图如图所示，则此三棱柱侧视图的面积为________．10.一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是：(1)三角形；(2)长方形；(3)正方形；(4)正六边形．其中正确的是________．(把你认为正确的序号都填上)答案1．A A是三棱柱的平面展开图，B是三棱锥的平面展开图，C 是四棱锥的平面展开图，D作为三棱柱的平面展开图，一侧多了一个底，另一侧少了一个底，故选A.2．B棱柱的侧面是平行四边形，不可能是三角形，所以A不正确；球的表面不能展开成平面图形，所以C不正确；棱柱的侧棱与底面边长不一定相等，所以D不正确．故选B.3．B依据几何体的直观图易知选B.4．A圆柱的正视图不可能是三角形，故选A.5．C由题中三视图知，此四棱锥的直观图如图所示，其中侧棱SA⊥底面ABCD，且底面是边长为1的正方形，SA＝1，所以四棱锥最长棱的棱长为SC＝3，选C.6．D 由图知，该三棱锥的底面是直角边分别为1和2的直角三角形，注意到侧视图是从左往右看得到的图形，结合B 、D 选项知，D 选项错误，故选D.7．三棱柱解析：根据三视图易知该几何体为三棱柱．8．4 2解析：根据斜二测画法的规则可知，原三角形为直角三角形，直角边分别为22，4，∴面积为12×22×4＝4 2.9．2 3解析：由正三棱柱及其正视图可知：正三棱柱的侧视图是一个高与正视图的高相同、宽是底面正三角形的高的矩形．由三棱柱的正视图的高为2，可得其侧视图的高也为2，因为底面是边长为2的正三角形，所以其高为3，故此三棱柱侧视图的面积S ＝2×3＝2 3.10.(2)(3)(4)解析：由题意知无论怎样转动，水面总是过正方体的中心．三角形截面不过正方体的中心，故(1)不正确；过正方体的一对棱和中心可作一截面，截面形状为长方形，故(2)正确；过正方体四条互相平行的棱的中点得截面形状为正方体，该截面过正方体的中心，故(3)正确；过正方体一面上相邻两边的中点以及正方体的中心得截面形状为正六边形，故(4)正确．三、解答题(本大题共3小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)11．(本小题15分)如图在一个长方体的容器中，里面装有一些水，现将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中，判断下面的说法是否正确，并说明理由．(1)水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形；(2)水的形状不断变化，可能是棱柱，也可能变为棱台或棱锥．12．(本小题15分)若一个三棱柱的三视图如图所示，正视图与侧视图均为矩形，俯视图为正三角形，求这个三棱柱的底面边长与高．13．(本小题20分)已知底面半径为1 cm，高为 2 cm的圆锥内部有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长．11．解：(1)不对，水面的形状就是用一个与棱(将长方体倾斜时固定不动的棱)平行的平面截长方体时形成的截面，截面的形状可以是矩形，但不可能是其他非矩形的平行四边形．(2)不对，水的形状就是用与棱(将长方体倾斜时固定不动的棱)平行的平面将长方体截去一部分后，剩余部分的几何体，此几何体是棱柱．水比较少时，是三棱柱；水比较多时，可能是四棱柱或五棱柱，但不可能是棱台或棱锥．12．解：由题中三视图可知原三棱柱如图所示，其侧视图应为图中阴影部分．∵侧视图为长是23，宽为2的矩形，∴底面正三角形高为2 3.∴底面边长为4，三棱柱的高为2.13．解：设圆锥的轴截面为△SEF，正方体的对角面为矩形CDD1C1，如图所示．设正方体的棱长为x cm ，则CC 1＝x cm ，C 1D 1＝2x cm ， 作SO ⊥EF 于O 点，则SO ＝ 2 cm ，OE ＝1 cm ，OC 1＝22x cm.因为△ECC 1∽△ESO ，所以CC 1SO ＝EC 1OE ，即x 2＝1－22x 1，解得x ＝22， 即内接正方体的棱长为22 cm.。
高中数学必修2红对勾的习题答案 1-1-1
第一章 立体几何初步
红对勾系列丛书
解析：把握平面的三个特点： 无限延展； 解析 ： 把握平面的三个特点： ①平 ；② 无限延展 ； ③ 没有厚薄，就可知仅有 正确 正确． 没有厚薄，就可知仅有D正确． 答案： 答案：D
第一章 立体几何初步
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2．在空间中，下列说法正确的是( ．在空间中，下列说法正确的是 A．一个点运动形成直线 ． B．直线平行移动形成平面 ． C．直线绕定点转动可以形成锥面 ．
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A．0个 ． 个 C．2个 ． 个
B．1个 ． 个 D．3个 ． 个
解析： 不正确 我们用平行四边形来表示平面， 不正确． 解析：(1)不正确．我们用平行四边形来表示平面，但 不能说平行四边形是一个平面．平行四边形仅是平面上四 不能说平行四边形是一个平面． 条线段构成的图形，它是不能无限延展的． 条线段构成的图形，它是不能无限延展的．
第一章 立体几何初步
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3． 逐步掌握立体几何中的三种语言 文字语言 、 符 ． 逐步掌握立体几何中的三种语言——文字语言 文字语言、 号语言、图形语言，及这三种语言之间的相互转化． 号语言、图形语言，及这三种语言之间的相互转化． 4．培养学习立体几何的兴趣，树立能学好立体几何的 ．培养学习立体几何的兴趣， 信心． 信心．
第一章 立体几何初步
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点、线、面、体之间的生成关系和位置关系，是认识几何 体之间的生成关系和位置关系， 体的结构特征所必需的． 体的结构特征所必需的． 答案： 答案：C
第一章 立体几何初步
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3．下列说法中正确的个数是( ．下列说法中正确的个数是 (1)平行四边形是一个平面； 平行四边形是一个平面； 平行四边形是一个平面
必修2红对勾1-2-3
1.2 第3课时
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2．给出下列命题：
①如果一个几何体的三视图是完全相同的，则这个
几何体是正方体；
②如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则 这个几何体是长方体； ③如果一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何 体是长方体；
1.2 第3课时
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④如果一个几何体的正视图和俯视图都是等腰梯形，
所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位 置小立方体的个数，请画出该几何体的正视图和侧视 图．
图 13
1.2 第3课时
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解：根据此几何体的俯视图，再从每个小方格的数 字，可以抽象出几何体的形状，如图14(1)所示，再根据
这个实物图画出它的正视图和侧视图就比较轻松了．如
图14(2)(3)所示．
图4
1.2 第3课时
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(1)对应__________；(2)对应__________；
(3)对应__________；(4)对应__________；
(5)对应__________．
答案：(D) (A) (E) (C) (B)
1.2 第3课时
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8．如图5所示，为一个简单几何体的三视图，它的
仅有两个视图相同的是( )
图2
1.2 第3课时
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A．①②
C．①④
B．①③
D．②④
解析：由三视图的定义可知为②④，故选D.
答案：D
1.2 第3课时
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5．一个圆台和圆柱的组合体中，上面是圆台，下面
是圆柱，且圆台的下底面与圆柱的上底面重合，则其正 视图的形状为( A．矩形 B．等腰梯形 C．一个矩形与等腰梯形，矩形在下，且矩形上边 与等腰梯形的下底边重合 )
必修2红对勾2-2-12
①若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β ②若m，n相交且都在 α，β外，m∥α，m∥β， n∥α， n∥β，则α∥β
2.2 第12课时
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③若m∥α，m∥β，则α∥β
④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β
A．1
B．2
C．3
D．4
2.2 第12课时
2.2 第12课时
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9．下列各命题中
①平行于同一条直线的两个平面平行；
②平行于同一个平面的两个平面平行；
③一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这 条直线必和另一个相交；
2.2 第12课时
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④α内有不共线的三点到β的距离相等，则这两个平
面α和β平行． 其中不正确的命题的个数是________． 答案：2个
图3
2.2 第12课时
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证明：因为E、F分别是棱D1C1、B1C1的中点，
所以EF∥D1B1，且EF⊂平面EFGH，
B1D1⊄平面EFGH，
所以D1B1∥平面EFGH，
图4
2.2 第12课时
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连结EG，因为D1E∥AG，且D1E＝AG，
所以四边形 D1EGA是平行四边形，所以 D1A∥EG，
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同理： A′ B′ ∥平面 ABC， 又 A′ C′∩ A′ B′＝ A′ . ∴平面 A′ B′ C′∥平面 ABC. 2 1 (2)解：由(1)知 A′C′＝ MN＝ AC. 3 3 1 ∴ S△ A′ B′ C′∶ S△ABC＝ . 9
2.2 第12课时
2.2 第12课时
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三、解答题(共45分) 10 ． ( 本小题 15 分 ) 已知： a 、 b 是异面直线，求证：