从数学史上的三大悖论看悖论的驱动功能

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数学史上的三次危机促进了数学的理性进步

数学史上的三次危机促进了数学的理性进步数学史上的三次危机促进了数学的理性进步无理数的发现──第一次数学危机大约公元前５世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。

当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为“四艺”，在其中追求宇宙的和谐规律性。

他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为１的直角三角形就是如此。

这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的“危机”，从而产生了第一次数学危机。

到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。

他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第５卷中。

欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致。

今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处。

第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击。

这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了。

危机也表明，直觉和续就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。

直到19世纪20年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。

从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到威尔斯特拉斯、戴德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了严格的基础。

悖论的产生---第三次数学危机数学史上的第三次危机，是由1897年的突然冲击而出现的，到现在，从整体来看，还没有解决到令人满意的程度。

这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。

由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。

数学历史上：三次数学悖论,引发三次数学危机

数学历史上：三次数学悖论,引发三次数学危机1 什么是悖论日本波岩书店《数学百科辞典》关于悖论辞条是这样说的：能够导出与一般判断相反的结论，而要推翻它又很难给出正当的根据时，这种论证称为悖论。

特别是，如果一个命题及其否定均可用逻辑上等效的推理加以证明，而其推导又无法明确指出错误时，这种矛盾，便称为悖论。

即是说，所谓悖论，是指这样一个命题A，由A出发，可以推出一个命题B，但从这个命题B，却会出现如下自相矛盾的现象：若B为真，则推出B为假；若B为假，又会推出B为真。

2 悖论的三种主要形式（1）一个论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）；（2）一个论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）；（3）一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导出了逻辑上的自相矛盾。

3 悖论存在的意义悖论是一个涉及数学、哲学、逻辑学、语义学等非常广泛的论题，是一种现时的科学理论体系所解释不了的矛盾。

正因为如此，悖论在“荒诞”中蕴涵着哲理，可以给人以启迪，给人以奇异的美感，沿着它所指引的推理思路，可以使您走上一条繁花似锦的羊肠小道，而又使用您在不知不觉中陷入自相矛盾的泥潭。

但经过破译，将会使您感到回味无穷，并且能从中启发思维，提高能力。

逻辑学家赫兹贝格说：“悖论之所以具有重大意，是由于它能使我们看到对于某些根本概念的理解存在多大的局限，……事实证明，它是产生逻辑和语言中新概念的重要源泉。

”4 悖论举例1. 上帝全能悖论甲说：“上帝是全能的。

”乙说：“全能就是世界上任何事都能办到。

请问：上帝能创造出一个对手来击败他自己吗？”如果说能，则上帝可以被对手击败，并非全能的；如果说不能，则说明上帝并非是全能的。

2. 唐·吉诃德悖论著名小说《唐·吉诃德》里描写了一个残酷的国王，在他所能统治的国家里有一条法律：每个旅游者都要回答一个问题：“您来这里干什么？”如果回答对了，一切事情都好办；如果回答错了，立刻被绞死。

悖论对科学发展的作用

（2）阿基里斯追龟悖论：阿基里斯和乌龟赛跑，乌龟先出发。阿基里斯总是首
先必须到达乌龟的出发点，因而乌龟必定总是跑在前头。所以，阿基里斯永远不能追上乌龟。所以，运动不存在。
（3）飞矢悖论：箭在运动过程中的பைடு நூலகம்一瞬时间必在某一确定的时间点上，因而
在每一个时间点运动都是是静止的，所以箭就不能处于运动状态。
2、危机的解决
约公元前 370 年，柏拉图的学生攸多克萨斯解决了关于无理数的问题。他纯粹用公理化方法创立了新的比例理论，微妙地处理了可公度和不可公度。他处理不可公度的办法，被欧几里得《几何原本》第二卷（比例论）收录。并且和狄德金于 1872 年绘出的无理数的现代解释基本一致。
(二)悖论对第二次数学危机的影响 1、危机背景
三、三次数学危机 (一)悖论对第一次数学危机的影响 1、危机的产生及发展
第一次数学危机，发生于约公元前 400 年左右的古希腊时期，到公元前 370 年左右，以无理数的定义出现为结束标志。这次危机的出现标志着西方世界关于无理数的研究的开始。毕达哥拉斯学派认为万物都是由有理数构成的。毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现了：等腰直角三角形的直角边与其斜边不可由有理数表示，即找不到一个有理数来表示第三边的平方和。希帕索斯最后找到了 2这个无理数。它违背了毕达哥拉斯派的信条，而且进一步冲击了当时希腊人持有的“一切量都可以用有理数表示” 的信仰。所以，通常人们就把希帕索斯发现的这个矛盾，叫做希帕索斯悖论。
（4）运动的相对性悖论：A、B 两件物体以等速向相反方向运动。从静止的 c
来看，比如说 A、B 都在 1 小时内移动了 2 公里，可是从 A 看来，则 B 在 1 小时内就移动了 4 公里。运动是矛盾的，所以运动是不可能的。芝诺揭示的矛盾是深刻而复杂的。前两个悖论诘难了关于时间和空间无限可分，因而运动是连续的观点，后两个悖论诘难了时间和空间不能无限可分，因而运动是间断的观点。它们说明了希腊人已经看到“无穷小”与“很小很小”的矛盾，但他们无法解决这些矛盾。其后果是，希腊几何证明中从此就排除了无穷小。

悖论与数学危机

悖论与数学危机悖论是一种认识矛盾，它既包括逻辑矛盾、语义矛盾，也包括思想方法上的矛盾。

数学悖论作为悖论的一种，主要发生在数学研究中。

按照悖论的广义定义，所谓数学悖论，是指数学领域中既有数学规范中发生的无法解决的认识矛盾，这种认识矛盾可以在新的数学规范中得到解决。

数学的发展史中，并不是那么一帆风顺的，其中历史上曾发生过三大危机，危机的发生促使了数学本生的发展，因此我们应该辨证地看待这三大危机。

第一次数学危机：公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家毕达哥拉斯曾创立的合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派，以毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。

而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。

然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。

毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之比，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。

该学派的成员希伯索斯根据勾股定理（西方称为毕达哥拉斯定理）通过逻辑推理发现，边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示。

希伯索斯的发现被认为是“荒谬”和违反常识的事。

它不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人的传统见解，使当时希腊数学家们深感不安。

最后，这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。

两个几何线段，如果存在一个第三线段能同时量尽它们，就称这两个线段是可通约的，否则称为不可通约的。

正方形的一边与对角线，就不存在能同时量尽它们的第三线段，因此它们是不可通约的。

很显然，只要承认不可通约量的存在使几何量不再受整数的限制，所谓的数学危机也就不复存在。

第一次危机的产生最大的意义在于导致了无理数地产生。

引入新的数来刻画当前不能解决的数学问题，这样无理数便产生了，正是有这种思想，当我们将负数开方时，人们引入了虚数i（虚数的产生导致复变函数等学科的产生，并在现代工程技术上得到广泛应用）。

数学悖论与三次数学危机读后感400字

数学悖论与三次数学危机读后感400字今天我看了纪录片《数学的三次危机》，我特别有感触。

它主要讲述的是数学研究史上出现的三个悖论，分别是：毕达哥拉斯悖论、贝克莱悖论、罗素悖论。

这三个悖论，促进了数学研究继续向未知的领域探索，在数学发展史上是有积极的意义的。

在数学研究的路上，因为有了这些不同的声音，才使我们人类不满足于现在，继续向未知的领域探索。

数学在生活当中的应用给我们带来了越来越多的便利。

这些都要归功于数学家的不断研究。

这就好像我们一个人，在成长的过程当中，有人会对我们做的不好的地方，进行指正，指出我们的不足。

这样我们才能够向更完美的自己发展。

结合着我自身的情况，如我的字写得不好。

妈妈和老师都会对我进行有效的教育和指正。

我要虚心接受，要重视起来，认真改正，坚持练字，把字写工整。

而不是无视这个缺点任由其自由发展，这样只会害了我自己。

良药苦口利于病，忠言逆耳利于行。

我们不应该排斥对我们的批评，应该虚心接受，有则改之，无则加勉。

我们在成长的路上经历的一些风雨一定会是我们人生的宝贵财富。

悖论与数学史上的三次危机

悖论历史悠久，它的出现，本来并没有引起人们的重视，可是由于19世纪末20世纪初，在集合论中出现了3个著名的悖论，引起了当时数学界、逻辑学界以至于哲学界的震惊，触发了数学史上的第三次危机，才引起了现代数学界和逻辑学界的极大注意。

本文试图对悖论的定义、成因以及由于数学悖论引起的数学史上的三次危机作以简要分析。

1 悖论的历史与悖论的定义悖论的历史源远流长，它的起源可以一直追溯到古希腊和我国先秦时代。

“悖论”一词源于希腊文，意为“无路可走”，转义是“四处碰壁，无法解决问题”。

在古希腊时代，克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯（约公元前6世纪）发现的“撒谎者悖论”可以算作人们最早发现的悖论。

公元前4世纪的欧布里德将其修改为“强化了的撒谎者悖论”。

在此基础上，人们构造了一个与之等价的“永恒的撒谎者悖论”。

埃利亚学派的代表人物芝诺（约490B.C.—430B.C.）提出的有关运动的四个悖论（二分法悖论、阿基里斯追龟悖论、飞矢不动悖论与运动场悖论）尤为著名，至今仍余波未息。

在中国古代哲学中也有许多悖论思想，如战国时期逻辑学家惠施（约370B.C.—318B.C.）的“日方中方睨，物方生方死”、“一尺之棰，日取其半，万世不竭”；《韩非子》中记载的有关矛与盾的悖论思想等，这些悖论式的命题，表面上看起来很荒谬，实际上却潜伏着某些辨证的思想内容。

在近代，著名的悖论有伽利略悖论、贝克莱悖论、康德的二律背反、集合论悖论等。

在现代，则有光速悖论、双生子佯谬、EPR悖论、整体性悖论等。

这些悖论从逻辑上看来都是一些思维矛盾，从认识论上看则是客观矛盾在思维上的反映。

尽管悖论的历史如此悠久，但直到本世纪初，人们才真正开始专门研究悖论的本质。

在此之前，悖论只能引起人们的惊恐与不安；此后，人们才逐渐认识到悖论也有其积极作用。

特别是本世纪60、70年代以来，出现了研究悖论的热潮。

悖论的定义有很多说法，影响较大的有以下几种，如“悖论是指这样一个命题A,由A出发可以找到一语句B，然后，若假定B真，就可推出←B真,亦即可推出B假。

关于数学悖论

引言数学常被视为严格、和谐、精确的学科.但纵观数学发展史的，数学的发展从来不是完全直线式的，它的体系不是永远和谐的，常常出现悖论. “悖论”一词来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”. 这个词的意义比较丰富，是指在某一一定的理论体系的基础上，根据合理的推理原则推出了两个互相矛盾的结论.数学悖论在数学发展史中占据了重要的地位，可以这样说：数学也正是在不断消除悖论，解决矛盾中向前发展的，这体现了矛盾是事物发展的基本动力这一原理.这里，首先对数学悖论进行一个概述，然后介绍数学史中三个著名的悖论产生、消除及其对数学发展的历史意义.1 数学悖论的概述值得注意的是，我们所说的悖论与通常的诡辩或谬论的含义是不同的，诡辩或谬论不仅从公认的理论明显看出它的错误，而且一般地还可以运用已有的理论、逻辑论述其错误的原因；而悖论就与此不同了，悖论虽然感到它是不妥的，但是从它所在的理论体系中，却不能自圆其说.1.1 悖论的产生背景及定义悖论问题是一个古老而又常新的话题.“悖论”由来已久，它的起源可以追溯到古希腊和中国的先秦时代.但严格意义下的悖论是在19世纪末、20世纪初的数学家在研究数学基础过程中发现的.当集合论成为数学的基础之后，随着人类对无穷集合认识的不断深入，就产生了许多悖论.1897年意大利数学家不拉里——弗蒂在超穷序数理论中发现了第一悖论，接着，集合论的创始人康托尔于1899年在基数理论中又发现了另一个悖论，1902年罗素在集合论概括原则的基础上又引出著名的“罗素悖论”.1918年，罗素在此基础上又提出一种通俗形式的悖论，即“理发师悖论”.由于一连串悖论的出现，使得许多科学家、数学家忧心忡忡.那么，究竟什么是悖论呢？对此，当前流行的说法是：“悖论是一种导致逻辑矛盾的命题.这种命题，如果承认它是真的，那么它又是假的，如果承认它是假的，那么它又是真的.”又如“一个命题构成一个悖论，如果由它的真可以推出它的假，而由它的假又可以推出它的真.”诸如此类的定义法，有它合理的一面，又有不够全面的一面.这里认为，在研究悖论的准确定义时，以下几点必须加以明确：(1）任何悖论总是相对于一定的理论系统而言的.例如，罗素悖论和说谎者悖论，就是分别相对朴素集合论和真理性理论而言的；(2）悖论的最终表现总是体现为一定逻辑矛盾的揭示.这里所说的“逻辑矛盾”包括两种情况：一种是借助于语义学上的概念（真、假）而构成的，称为“语义学悖论”；另一种是借助于数学和逻辑符号得到的，称之为“逻辑-数学悖论”.例如：古代的说谎者悖论，现代集合论中的理查德悖论、格里林悖论等就属于第一类悖论；而康托尔悖论、罗素悖论就属于第二类悖论；(3）对于悖论，不能仅从字面上把它理解为“悖理”或“诡辩”.因为悖论与诡辩有含义上的不同.后者不仅从公认的理论明显看出是错误的，而且通过已有的理论逻辑可以论述其错误的原因，而前者虽感到其是不妥的，却不能阐明其错误的原因.我们认为，布拉里——弗蒂与希尔伯特关于悖论的陈述是精确的，如果某一理论的公理和推理规则看上去是合理的，但是这个理论中推出了两个互相矛盾的命题，或者证明了这样一个复合命题，它表现为两个矛盾命题的等价式，那么，我们就说这个理论包含一个悖论.数学悖论也叫“逆论”或“反论”，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学悖论.这些结论会让你无比的惊讶：他们有的看起来肯定是错了，但实际却是对的；有的看起来是对的，但实际是错的；还有的会让你陷入对也不是、错也不是的困境.数学悖论的出现，开始引起一些人们的好奇与思考，以后的逐步发展又动摇了某些数学基础，由于萌发了其内部的矛盾，进而引起人们的争辩.历史上人民对于数学危机的一次又一次解决或克服，往往给数学带来了新的内容，甚至引起革命性的变革.1.2研究数学悖论的意义数学科学历来视为严格、和谐、精确的典型学科，但是数学的发展从来不是直线式的，它的体系并不是永远和谐的，而常常出现悖论，特别是一些重要悖论的产生，自然引起人们对数学基础的怀疑以及对数学可靠信仰的动摇.数学史上的三次数学危机皆由数学产生悖论而引起.悖论虽然看似荒诞，但却在数学史上产生过重要影响，一些著名的悖论曾使那些著名数学家和逻辑学家为之震惊，并引发人们长期艰难而深入的思考.可以说是悖论的研究对促进数学科学的发展是立过汗马功劳的.悖论是一种思辨的方法，是研究问题的一种方式，也是历史上一种旧理论被新理论替代的前奏，数学少不了悖论，数学公理系统没有悖论就是不完备的，我们不是去容忍悖论，而是去消除悖论，在消除悖论的过程中提高认知水平.消除悖论的过程常常是完善、发展原有理论的过程.悖论是一个涉及数理科学、哲学、逻辑学、语义学等非常广泛的论题，对科学发展的意义不言而喻.从数学方面来看，悖论对数学发展的影响是深刻的、巨大的.因而研究悖论的定义、悖论产生背景、解决方案以及对数学发展是非常必要的.数学悖论是一种特殊的逻辑矛盾，它的形成与客观对象的复杂性、多样性，每一代人认识的有限性和局限性，以及人类的主观认识与客观现实的不一致性相关.在数学发展的过程中，人的认识是不断深化的.在不同的历史阶段，人的认识具有一定的片面性和相对性，就会出现“悖论”.因此，它的发生是必然的、不可避免的.数学悖论的发现改变了人们以往的思维方式，迫使人们重新构建理论，从而，在数学认识史中具有积极的意义.2 数学史上三个著名的悖论出现、消除及历史意义数学拥有“美”的内容，也存在着“丑”的东西，数学悖论就是一种“丑”的表现，追求数学美能促进数学发展，同样的，为了消除它的“丑”必然也能推动数学自身的发展，数学三次危机的克服对数学发展的推动作用，就是历史事实.数学发展是矛盾运动的结果.爱因斯坦指出：“提出问题比解决问题更重要.”问题就是矛盾，解决问题就是促使矛盾转化.数学探索与研究起源于数学问题，数学问题的源泉存在于自然科学、社会科学及数学自身的矛盾运动.数学问题一经提出，数学家一般要先经过各种尝试（如类比、归纳、演绎、分析、综合、试验等），经过长时期（甚至几代人）的不懈努力，最终目的促使数学问题得以解决，或说促使数学矛盾得以转化，从而创造出新的数学理论、新的数学成果及新的数学思想方法.数学的历史，就是不断解决数学矛盾又产生新的数学矛盾的过程.从哲学上看，数学是现实世界量的侧面在人们头脑中的反映，因为现实世界是充满着矛盾的，所以数学也必然充满了矛盾.正像恩格斯所指出的：不仅高等数学充满着矛盾，连初等数学也充满着矛盾.比如：正与负、直与曲、平行与相交、已知与未知、常量与变量、有限与无限、连续与不连续、精确与近似、必然与或然、加法与减法、乘法与除法、乘方与开方、微分与积分、几何变换与其逆变换、数学算子与逆算子、实在的与虚构理性的，等等.当然在整个数学发展过程中还有许多深刻的矛盾.例如：有穷与无穷、连续与离散，乃至存在与构造、逻辑与直观、具体对象与抽象对象、概念与计算，等等.他们可以说贯穿了整个数学发展史，而这些大大小小矛盾的产生，发展到激化，到解决，总是不断为数学产生新的概念、新的方法、新的理论，也可能产生新的概念、新的方法、新的理论，也可能产生新的危机.危机实际上是一种激化的、非解决不可的矛盾，而这些矛盾的消除、危机的解决，往往给数学带来新的内容、新的进展，甚至引起革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力的基本原理.纵观数学与数学文化的发展史，数学问题是数学中的一种疑难和矛盾，它的提出和解决是推动数学发展的重要力量.2.1“毕达哥拉斯悖论”与第一次数学危机的化解2.1.1“毕达哥拉斯悖论”与第一次数学危机的出现在古希腊毕达哥拉斯时期,数学思维尚处于刚刚形成有理数观念的早期阶段.由于数量概念源于测量,而测量得到的任何量在任何精确度的范围内都可以表示成有理数,所以,人们普遍相信一切量均可用有理数表示.这种认识反映到历史上第一个数学共同体——毕达哥拉斯学派的理论体系中,便凝练为可公度原理,即“一切量均可表示为整数与整数之比”.毕氏学派深信数的和谐与数是万物的本源,而宇宙间的一切现象都归纳为整数和整数比的信条.然而，毕达哥拉斯定理（勾股定理）却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”.毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新的数来表示.希帕索斯的发现的诞生.这却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴.它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌.实际上，这一伟大发现不但对毕达哥拉斯学派是致命打击，对于当时所有古希腊人的观念也是一个极大的冲击.这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数.这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它竟然把以前所知道的事情从根本上推翻了.更糟糕的是，面对这一“荒谬”人们竟然毫无办法.这在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”.也就是著名的“毕达哥拉斯悖论”.2.1.2 第一次数学危机的解决第一次数学危机出现后，古希腊人陷入了“失乐园”的彷徨之中.为了摆脱危机，当时的学者作了种种努力.在这方面贡献最大的是柏拉图、欧多克索斯、欧几里得.在大约公元前370年，这个矛盾被希腊数学家欧多克索斯给出的两个比相等的新定义所解决，当然从理论上彻底克服这一危机还有待于实数理论的建立.欧几里得则在柏拉图、欧多克索斯、亚里士多德等人工作的基础上,总结了以前全部几何学知识，建立起第一个几何公理系统，并编写出《几何原本》一书.这无疑是数学思想上的一次巨大革命，古典逻辑与欧氏几何就是第一次数学危机的产物.第一次数学危机后承认除了整数和分数外还存在另外的数.由于对这种“怪数”的接受很不情愿，于是就给它起了一个难听的名字—无理数.不可通约量(即无理数)的发现引起人们思想上的困惑.甚至直到十九世纪，无理数也没有一个名正言顺的地位，但随着分析学的飞速发展，它(或整个实数理论)已不得不被人们摆在前台，到十九世纪下半叶，数学分析的进一步发展需要有逻辑严谨的实数理论作为其基础，于是两种实数理论几乎在同一时期产生了，这两种实数理论分别是由戴德金与康托尔建立的，它有一个共同点，即都是将实数定义为有理数的某些类型的“集合”.戴德金方法可以称为序完备化方法，康托尔方法可以称为度量完备化方法.这些方法在近现代数学中都已成为典型的构造方法，被后人不断推广发展成为数学理论中的有力工具.第一次数学危机也随之化解.这一危机的化解，使“数”真正具有了表达一切量的可能，不仅是无理数，还使数的概念不断扩大和发展.复数、四元数、超限数、理想数、非标准数等各种各样的数都被创造出来了.第一次数学危机持续了两千多年. 1872年,数学家戴德金通过他的“戴德金分割”从有理数扩展到实数，建立起无理数理论.十分有趣的是，在同一年，维尔斯特拉斯通过有界单调序列理论、康托尔通过有理数序列理论完成了同一目标：他们都从有理数出发定义出无理数，从而建立起了实数理论.实数的这三大派理论，从不同方面深刻揭示了无理数的本质.实数域的构造成功，使得2000多年来存在于算术与几何之间的鸿沟得以完全填平，无理数不再是“无理的数”了.直到此时，我们才可以说由毕达哥拉斯悖论引发的第一次数学危机圆满而彻底地解决了！2.1.3 “毕达哥拉斯悖论”的历史意义这次危机导致了数学史上第一个无理数的诞生，之后，许多数学家正式研究了无理数，直到19世纪下半叶，给出了无理数的严格定义，提出了一个含有有理数和无理数的新的数类——实数，并建立了完整的实数理论.无理数本质才被彻底搞清，无理数在数学中的合法地位才被真正确立，同时也为数学分析的发展奠定了基础.第一次数学危机还表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示.反之，数却可以由几何量表示出来.整数的尊崇地位受到挑战，古希腊的数学观点受到极大的冲击.于是，几何学开始在希腊数学中占有特殊地位.同时也反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的，证明的思想在希腊人的心中扎下了根.进一步，古希腊人发展了逻辑思想并加深了对数学抽象性、理想化等本质特征的认识，古典逻辑学应运而生.从此希腊人开始从“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系.这是数学思想上的一次革命，是第一次数学危机的自然产物.第一次数学危机的影响是巨大的.首先，它推动了数学及相关学科的发展.例如，欧几里得几何就是在第一次数学危机中产生的.其次，虽然第一次数学危机在一定程度上引发了数学思想上的混乱，但数学并没有在危机面前停滞，反而在克服危机的过程中产生了逻辑学和公理几何学，极大地促进了几何学的发展,使几何学在此后两千年间几乎成为是全部严密数学的基础，这不得不说是数学思想史上的一次巨大革命.当然，这种将整个数学捆绑在几何上的狭隘做法，对数学的发展也产生了不利的影响.不可公度量的发现，使希腊人把几何看成了全部数学的基础，在数的研究过程中割裂了它们之间的密切关系.这样做的最大弊端是放弃了对无理数本身的研究，使算术和代数的发展受到很大的限制，从而导致了基本理论变的十分薄弱.这种畸形发展的局面在欧洲持续了2000多年.总而言之，第一次数学危机的结果是产生了无理数概念，并取得重大飞跃，使人们对实数有了完整的认识，同时，这也为后来欧几里得、阿基米德等人在数学上取得杰出成就，甚至牛顿、莱布尼兹创建微积分奠定了数的基础.2.2“贝克莱悖论”与第二次数学危机的化解2.2.1 “贝克莱悖论”与第二次数学危机的出现在希腊的后期，除了研究直线、折线的长度、直线形的面积外，还讨论过曲线的长度和曲线形的面积问题.经过中世纪和文艺复兴，直到十七、八世纪，人们发现下列问题需要处理：(1)知路程函数，求速度以及它的逆问题；(2)求——曲线的切线；(3)求——函数的极值.在研究上述问题过程中逐步产生了微积分.牛顿和莱布尼茨是微积分的创立者，他们把有关运动、切线、极值和求积等各种问题的解决统一成微积分方法，有计算微分的明确步骤，确立它是(不定)积分的逆运算，得到牛顿——莱布尼茨公式，这一新生而有力的数学方法，受到数学家们的欢迎，解决了大量过去无法解决的问题，同时，微积分基础的问题也越来越严重了.这就是如何解释“无穷小”的问题，牛顿给出瞬时速度的定义，又给出有效的计算方法：第一步，他用无穷小作分母进行除法运算；第二步，他又把无穷小看作零，以去掉那些包含着它的项，而得到所要的公式.这时的微积分只有方法，没有严密的理论作为基础，许多地方存在着漏洞，还不能自圆其说.例如，牛顿当时是这样求函数n y x =的导数的：()()()212()12nn n n n x x x n x x n n x x x --+∆=+⋅⋅∆+-⋅⋅∆+⋅⋅⋅+∆ 然后把函数的增量△y 除以自变量的增量△x ，得到：()()()()211212n n n n n n x x x y x x n n x x nx x x x x ----+∆-∆==⋅+-⋅⋅∆+⋅⋅⋅+∆+∆∆∆ 最后，扔掉其中所有含 x ∆的项，就得到函数n y x =的导数为1n nx - .“无穷小”在逻辑推理上是零与非零的矛盾，而牛顿却不能在逻辑上说清楚，他说：“量在其中消失的终极比，严格地说来，不是终极量的比，而且它与无限减小的这些量所趋近的极限之差虽然能比任意给出的差更小，但是在这些量无限缩小以前即不能超越也不能达到这个极限.”无论牛顿用数学语言，还是利用物理意义，他都没有说清楚无穷小量是什么.科学家们相信它，因为它使用起来十分有效，得出的结果总是对的，但是由于逻辑上的漏洞，遭到一些人指责，甚至嘲讽与攻击.如1695年，荷兰数学家纽汶蒂在其著作《无限小分析》中指责牛顿的流数术叙述“模糊不清”，莱布尼茨的高阶微分“缺乏根据”等.法国数学家罗尔（罗尔中值定理以他的名字命名）也对微积分表示怀疑.然而，对新生的微积分攻击得最厉害的是爱尔兰主教贝克莱，他的观点是“存在即被感知”，认为一切事物不过是人的感知的综合，他的哲学目的是论证上帝的存在.贝克莱在1734 年写了题为《分析学家》，副标题“致不信神的数学家”一书，该书对微积分大肆攻击：“既不是有限量，也不是无穷小，但又不是无”、“是消失了的量的鬼魂”.尽管一些数学家对贝克莱的攻击进行反驳，但没有在逻辑上说清楚无穷小量引起的数学逻辑基础的混乱.贝克莱是出于恐惧当时自然科学发展所造成对宗教信仰的威胁，也是由于当时的微积分理论缺乏牢固基础，所以当时的微积分遭到攻击和非难在所难免. 历史上，人们就把微积分自诞生以来数学界出现的混乱情形叫做“第二次数学危机”，也把贝克莱的攻击称为“贝克莱悖论”.2.2.2 第二次数学危机的解决贝克莱悖论的提出与第二次数学危机的出现，使微积分基础问题引起了更大的重视.十七、十八世纪，数学家们不顾贝克莱们的挑剔和攻击，受微积分有大用的鼓舞，继续在不牢固的基础上建筑微积分的大厦.在英国，数学家马克劳林对贝克莱悖论做出最重要的回应.虽然马克劳林巨大的努力回答了贝克莱的质疑，但十八世纪的大多数数学家对他这种用几何方法严格论证微积分的工作并不欣赏.后来欧拉、达朗贝尔、拉格朗日等为微积分的基础严密化做了重大贡献，但是微积分逻辑基础在十八世纪结束的时候仍然是一个悬而未决的问题.十九世纪初，许多迫切的问题基本上得到解决，一种追求严密性的风尚开始在数学界蔓延开来.一些数学家开始沿着正确的途径建立微积分的严格基础.例如波尔查诺、阿贝尔、柯西、魏尔斯特拉斯等，波尔查诺给出了连续性的正确定义；阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和；柯西抓住极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量，而是变量，无穷小量是以零为极限的变量，并且定义了导数和积分；狄利克雷给出了函数的现代定义.在这些工作的基础上，魏尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方，完成了一套被认为是天衣无缝的()N ξξσ--语言，严格刻画了极限的定义.人们放弃了无穷小，而以一个无限过程刻画的极限理论统一了导数和积分概念.由于这个理论用不着“无穷小”，一切都按程序操作,“无穷小”引起的混乱被消除了.十九世纪八十年代初，魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限理论的基本定理，这样，数学分析中微积分的理论基础——严格的极限理论建立起来了，微积分的发展从此进入了一个新的阶段.原有的悖论在新的体系下可以圆满地予以清除，第一次数学危机和第二次数学危机几乎同时在十九世纪消除.第二次数学危机的消除，与第一次数学危机的消除，两者实际上是密不分的.为解决微积分问题，必须建立严密的无理数定义以及完整的实数理论.有了实数理论，加上柯西和维尔斯特拉斯的极限理论，这样，第一、二次数学危机就相继消除.2.2.3 “贝克莱悖论”的历史意义“贝克莱数学上的悖论”源于他的哲学上的悖论认知.比如,他的著名观点“存在就是被感知”,就包含了存在、感知、观念、精神以及上帝.这里就潜藏着悖论因子:如果从上帝开始,那么,那是《创世纪》的方向,一切以经文为准,即“信仰之道”；相反,如从观念开始,就成了逆式的“哲学之路”了.这样他就混淆了这两条路:论证的路一再被信仰打破；而论证的困境一次又一次地因信仰而解决.事实上,贝克莱的思想处处充满逻辑悖论.对于他的“物质”观念化,我们就有理由追问:他的上帝似乎在虚无中创世,而创造的也是虚无.尽管作为抽象概念的物质并不存在,但在感知的另一头,是否会有某些不可名状的东西?但如果没有被动的观念,哪来主动的精神?既然没有物质实体,精神实体又在何处?如果没有精神实体,无限精神又当如何?最后的归宿就是:没有上帝,他的哲学注定漂无定所,假设有上帝,哲学又将变得可疑；如果哲学的虚拟性贯穿始终,则上帝将止于空洞的说词.可见,他的矛盾式的、悖论式的哲学思想就为微积分的缺口的批判——无穷小悖论做了伏笔.虽然从贝克莱本人的目的来看,他试图通过对微积分的批判,曲解数学而为神学辩护.但从客观上看,微积分的理论体系还是具有高度的精确性(虽然不十分严谨)和广泛的应用性.贝克莱悖论的出现只是从一个更高层次上对新生的微积分理论体系所提出的更高的要求,这样迫使数学家认真对待这一悖论：柯西用极。

论科学悖论对思维发展和科学进步的推动作用

论科学悖论对思维发展和科学进步的推动作用摘要从悖论的定义可以看出科学悖论是一种思维矛盾的体现，它揭示本来作为事物发展阻碍力量的科学悖论之矛盾性，但它并不是通常所理解的是思维发展的障碍；相反，它是人类思维发展和科学进步的驱动力。

三次数学悖论虽然引发数学危机，但它最终也推动了数学学科发展的历史进程。

关键词：科学悖论；思维发展；科学发展引言对于悖论的定义一直是讨论的焦点。

历史上对于悖论的解释可谓众说纷纭，一直没有形成明确的共识。

悖论(paradox)一词是两个希腊词的合成词，para意味着超越，doxos意指相信[1]。

悖论是指在现有的、公认的理论基础上，经过严格的逻辑推理，却得出互相矛盾的、截然相反的结论。

悖论是一种似是而非或似非而是的论点，是思维中出现的困惑[2]。

最早出现的悖论，大都是语义悖论，据史料大约在公元前6世纪就有流传。

如说谎者悖论：“我在说这句话时正在说谎”。

如这句话真，则是说谎，即它为假；如果这句话假，则并非说谎，而是真话[3]。

古今中外都有很多著名的悖论例子：如追光悖论、波拉二象悖论、双生子悖论等。

战国末年，我国著名哲学家公孙龙(约公元前325—250年)也提出“白马非马”和“坚白石离”悖论[4]。

悖论的一个突出特征就是其自身所体现的矛盾性，如1935 年的“EPR 悖论”论战，引出了定域实在论与量子力学完备性之间的矛盾[4]。

但是这样一种揭示着思维矛盾的性质不但没有成为人类思维发展的桎梏，反而成为了推动思维发展和科学进步的一个重要动因。

1.科学悖论是人类思维发展的驱动力悖论的产生是辩证思维的必然结果，它是基础理论研究的焦点，认识飞跃的关键。

科学悖论是一种矛盾的思维体现，它往往会对在此之前形成的各种思维产物提出挑战，进而引发思维危机。

它的出现导致了思维危机的爆发，进而催生了解决危机的思维进步[5]。

也正因如此，科学悖论的矛盾性成为了人类思维发展不可或缺的一个重要动因。

这从历史上的三次数学悖论所引发的危机中可以看出[6]。

数学悖论

数学悖论、数学危机及其对数学的推动作用悖论是让数学家无法回避的问题。

悖论出现使得数学体系出现不可靠性和失真理性，这就逼迫数学家投入最大的热情去解决它。

而在解决悖论的过程中，各种理论应运而生了，因而悖论在推动数学发展中的巨大作用。

现在我作如下简单阐述：毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”。

毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。

希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2 的诞生。

这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。

二百年后，欧多克索斯提出的新比例理论暂时消除悖论。

一直到18世纪，当数学家证明了圆周率是无理数时，拥护无理数存在的人才多起来。

到十九世纪下半叶，现在意义上的实数理论建立起来后，一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数，另一方面也真正彻底解决了第一次数学危机。

伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪微积分诞生，但是微积分理论是不严格的。

理论都建立在无穷小分析之上，作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。

因而，从微积分诞生时就遭到了英国大主教贝克莱等人的反对与攻击。

数学史上把贝克莱的问题称之为“贝克莱悖论”。

贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题：就无穷小量在当时实际应用而言，它必须既是0，又不是0，这无疑是一个矛盾。

这一问题的提出在当时的数学界引起了一定的混乱，由此导致了第二次数学危机的产生。

十八世纪开始微积分理论获得了空前丰富。

当时数学中出现的混乱局面了。

尤其到十九世纪初，傅立叶理论直接导致了数学逻辑基础问题的彻底暴露。

这样把分析重新建立在逻辑基础之上就成为数学家们迫在眉睫的任务。

柯西于1821年开始给出了分析学一系列基本概念的严格定义。

后来，德国数学家魏尔斯特拉斯给出更为完善的我们目前所使用的“ε-δ”方法。

从数学史上的三大悖论看悖论的驱动功能

从数学史上的三大悖论看悖论的驱动功能作者：邹世龙来源：《中学课程辅导·教师通讯》2018年第02期一切事物都是在矛盾中生存、矛盾中发展的，数学的发展也离不开这样的规律；数学史上三大悖论对数学发展的驱动也印证了这一点。

一、毕达哥拉斯悖论1. 毕达哥拉斯悖论不管度量单位取得多么小，都不可能成为正方形的边与对角线的共同度量单位。

也就是说，正方形的边和对角线不可公度；这与毕达哥拉斯学派关于任何两条线段都可公度的理论构成了一个悖论。

2. 受毕达哥拉斯悖论驱动的数学成果（1）发现了无理数，催生了相关的数学方法。

产生了一个新的数类——实数；更重要的是，人们在证明无理数存在和探索无理数性质的过程中得到了多种重要的数学方法。

如，辗转相截的方法、反证法、分析法、欧几里得奇偶数证法等等。

（2）形成了以逻辑演义为代表的一系列数学思想。

毕达哥拉斯悖论使人们认识到，直觉、经验乃至实验都不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演绎推理，并加深了对数学抽象性、理想化等本质特征的认识。

如柏拉图强调要把数学奠基于逻辑之上。

亚里士多德的经典著作《工具论》把逻辑规律典范化、系统化，阐述了逻辑学理论，创立了古典逻辑学。

（3）催生欧几里得《几何原本》。

欧几里得在前人准备的“木石砖瓦”材料的基础上，天才般地按照逻辑系统把几何命题整理起来，建成一座几何大厦，完成了数学史上的光辉著作《几何原本》。

《几何原本》的产生离不开亚里士多德的逻辑思想，而亚里士多德的逻辑思想源自柏拉图推理论证的思想，柏拉图推理论证的思想则是在毕达哥拉斯悖论的驱动下产生的。

二、贝克莱悖论1.贝克莱悖论贝克莱分析了牛顿求xn的流数的方法。

在这一方法中，为了求xn的流数，牛顿假设在相同的时间内，x通过流动变化为x+0，同时xn变化为（x+0）n……，在得到增量0与增量n0xn-1+n2-n202xn-2+…之比等于1和nxn-1+n（n-1）2xn-20+…之比后，牛顿令增量等于0，得到最后的比等于1：nxn-1.贝克莱指出这个推理中先取一个非零的增量0并用它计算，然而在最终却又让0“消失”，即令增量为零得出结果，这里关于0的假设前后矛盾，是“分明的诡辩”。

数学悖论浅析

浅谈数学悖论悖论是创新思维的一种体现。

悖论在整个数学发展史中，起到了着不可磨灭的作用，它的作用主要表现在检验，完善某一理论体系，推动了数学的发展，引发了三次数学危机。

在数学与人类文明课堂上，老师就通过阿基里斯追龟的悖论故事讲述了三次数学危机。

通过进一步的阅读，我得知第一次数学危机是“毕达哥托斯悖论”。

早在古希腊时期，著名哲学家和数学家毕达哥拉斯就提出了一切的现象均可表示为整数或整数之比的形式。

但与此同时，希帕索斯发现了一些直角三角形的斜边不能表示为整数或整数之比的情形，例如直角边长均为1的直角三角形就是如此.这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条, 导致了当时认识上的“危机”，从而产生了第一次数学危机，因而使得数学家们正式研究了无理数，给出了无理数的严格定理，引出了无理数和实数的概念，并建立了完整的实数理论。

第二次是“贝克莱悖论”。

贝克莱提出无穷小是否为零的问题，从而引出了极限理论——穷小是以零为极限但永远不为零的变量。

第三次是“罗素悖论”。

这一问题虽然促进了数理逻辑的发展与一批现代数学的产生，但仍未能从根本上得到解决。

由此可见，数学悖论是指引我们前进的一盏明灯，数学史上的这三次危机不仅对整个数学的发展,而且对现代数学也起着非常重要的作用。

由于每次危机的提出都使数学家们有了新思想的产生，从而形成了数学理论的严谨性。

对数学悖论的认识实际上是对数学这一科学在历史局限性上的认识，而解决数学悖论的过程则是发展和超越历史局限性的过程。

从数学历史上来看，数学悖论不仅仅只是趣味数学的一个分支，每一次悖论的发现都是与数学发展密切相关的，不仅仅推动了数学的发展，更推动了逻辑的演变。

数学悖论的定义是由很多种说法，而我的理解为：在表面上看起来能自圆其说的命题或理论体系，但在逻辑上可以推出互相矛盾的2个结论。

用更简单的说法就是：以一个被认为是真的命题为前提，设为B，进行正确的逻辑推理后，得出一个与前提互为矛盾命题的结论，既为非B；反之，若以非B为前提，亦可推得B。

数学文化9-悖论及其意义

深圳大学综合选修课程——《数学欣赏》
格：我有三个
问题，请你对每个问题只用 “Yes”或“No” 回答，不必多做解释。姑：嗯。
格：第一个问题是：你愿意如实地
回答我的下面两个问题吗？姑：“Yes !” 格：很好，我的第二个问题是，如
果我的第三个问题是‘你愿意和我一道吃晚饭吗’，那么，你对这后两个问题的答案是不是一致的呢？
原理之中还存在着不完善、不准确之处，有待
于数学家们进一步探讨和解决。数学就正是在这不断发现和解决矛盾的过程中发展起来的。
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一次，美国滑稽大师马丁.格登纳根据哈佛大学著名数学教授贝克先生告诉他的办法，成功地邀请了一位年轻姑娘一起吃晚饭。
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第九讲悖论与三次数学危机
在数学史上，有三次数学危机，每一次都使数学陷
入尴尬的境地，或说是危机的境地。而每一次危机都是由数学悖论引起的。
悖论, 就是“自相矛盾的论述”,是一种说不明道不清的“荒谬”理论。悖论的通常形式是:“如果承认某命题正确,就会推出它是错误的;如果认为它不正确,就会推出它是正确的。”从而得出不符合排除律的矛盾命题。即由它的真,可以推出它的假;由它的假,则可推出它的真。由于严格性被公认为是数学的一个主要特点,因此如果数学中出现悖论,就会造成对数学可靠性的怀疑。因而引发人们认识上的危机。因此,在这种情况下,悖论往往会直接导致“数学危机”的产生。
但是，悖论并非无稽之谈,它在荒诞中蕴含着哲理, 给人以启迪。沿着它所指引的推理思路,可以使你走上一条貌似正确,在开始时觉得顺理成章,而后又使您在不知不觉中陷入自相矛盾的泥潭,但经过破译,将会使您感到回味无穷,并从中启迪思维,提高能力,给您以奇异的美感。

(推荐)数学的完美之旅——数学悖论与三次数学危机

数学的完美之旅——数学悖论与三次数学危机摘要：古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精确的思考，也正是悖论直接导致了三次数学危机，并不断推动数学走向完整与完美。

关键词：数学悖论；三次数学危机；数学的完美1 引言“现在我说一句假话。

”这句话是真是假？“悖论(Paradox)”，也可叫“逆论”或“反论”。

悖论是一种认识矛盾，它既包括逻辑矛盾、语义矛盾，也包括思想方法上的矛盾。

“一般而言，悖论的某个答案单独看是很有说服力的，而势均力敌的对手之间的‘拉锯战’则使问题保持了生气。

”1悖论有四种主要形式。

1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。

2．一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）3．某一理论的公理和推理原则看上去是合理的，但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题“悖论是有趣的”是每一个接触过悖论的人的感受；“悖论是极其重要的”接受这一观点的人却少之又少。

但请不要小看悖论，生活中存在悖论，如“涂写一个告示，上书：不准涂写！”2古今中外也有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精确的思考，也正是悖论直接导致了三次数学危机，并不断推动数学走向完美。

2 第一次数学危机“在整个数学发展的历史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。

而在矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就产生数学危机。

”3这句话很精确地道出了三次数学危机的本质。

公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。

这一个小小的2不仅严重触犯了毕达哥拉斯学派的信条，同时也冲击了当时希腊人的普遍见解，这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量都“应该”表示成有理数。

可是这一为人们的经验所确信的常识性论断居然被小小的2的存在而推翻了！希帕索斯的这一发现，史称“希帕索斯悖论”，它成为一场巨大数学风波的导火索，直接触发了第一次数学危机。

悖论与三次数学危机

3. 飞矢不动
“飞着的箭静止着”。飞箭在任一瞬
间必然静止在一个确定的位臵上，所以，运动就是（一些）静止（的总
和）。
问题：什么叫运动？
4. 运动相对性
A B C
三个物体A,B,C依次等距并行排列，B不
动，A以匀速左行，C以同样的速度匀速右
行……,悖论：一半时间等于整个时间。
结论：运动是相对的。
说谎者悖论是一个语义上的悖论。多
注：如果没有前述假定，这句话并不构成悖论。但在公元前三世纪，欧几里得学派
把上述语句修改为：“我正在说谎！”
2. 柏拉图悖论 A: 下面B的话是假的； B: 前面A说了真话。妒忌，是灵魂的肿瘤。
3. 二难论
鳄鱼问孩子的母亲：
你猜我会不会吃掉你的孩子，猜对了我就不吃，猜错了，我就吃掉他。
母亲说：
对间断时空观提出的。
1. 运动不存在
A E D C B
一物体要从A点到达B点，必先抵达其1/2 处之C点；同样，要到达C点…… 问题：要到达无穷多个位臵，是否就需要无限长的时间？
2. 阿里斯追不上乌龟
阿里斯与乌龟赛跑，阿里斯的速度是乌龟
速度的10倍，乌龟先行100米，阿里斯开始
追赶…… , 阿里斯能追上乌龟吗? 问题：无穷多个时间段，是否就是无限长的时间？

答案：可以在任何一点的形而上学性与客观事物的辨证性产生矛盾，而矛盾在“极限”情况下表现为“没有出路”的的程度，就出现悖论。对于具体的悖论，由于科学的不断发展，将在新的理论体系中得到解决，又会在新的情况下出现新的悖论。

主观思维方法的形式化特性与客观事物的辨证性产生矛盾，而造成悖论。

1.第一次数学危机

数学上的悖论

数学上的悖论
数学上有很多著名的悖论，以下是其中一些示例：
1. 赛兹悖论（Russell's paradox）：由英国数学家伯特兰·罗素提出的悖论，涉及到集合论中的自指问题。

简而言之，它证明了不存在一个包含所有不包含自己的集合的集合。

2. 卡塔兰数悖论：卡塔兰数是组合数学中的一种数列，用于描述许多组合问题。

然而，当使用相关的递归公式进行计算时，很容易出现负数结果，这与卡塔兰数的定义相矛盾。

3. 第二哥德尔不完备性定理：哥德尔于1931年提出的两个不完备性定理表明，任何基于自然数的形式理论都存在无法被证明或证伪的命题。

这意味着在数学领域中，总会存在无法确定真伪的命题，从而引发了对数学基础和形式系统的思考。

这些悖论都挑战了数学体系的完备性、一致性或者自指性，进一步推动了数学基础研究的发展。

数学悖论与三次数学危机

数学悖论与三次数学危机数学，作为一门精确的科学，自古以来一直受到人们的推崇和喜爱。

然而，数学也并非完美无缺，它也存在着一些悖论和危机，这些问题挑战着人们对数学的认知和理解。

本文将探讨数学悖论与三次数学危机，并着重讨论数学领域中的挑战和问题。

一、数学悖论1. 贝塞尔悖论：贝塞尔曲线在数学和科学领域中广泛应用，它是一种描述曲线形状的数学工具。

然而，贝塞尔悖论指出，贝塞尔曲线的某些性质与直觉相悖。

例如，当贝塞尔曲线被细分为越来越多的段落时，曲线并不会平滑地收敛到给定的目标形状。

这一悖论引发了对曲线近似和计算的许多挑战。

2. 伯克霍夫悖论：伯克霍夫悖论涉及到在无限次迭代的情况下，计算某些概率的困难性。

例如，如果我们有一枚硬币，每次抛掷，正面朝上的概率为1/2。

那么，如果我们连续无限次抛掷硬币，正面朝上的次数相对于总次数的比例又是多少呢？直觉上，这个比例应该是1/2，但根据伯克霍夫悖论，这个比例实际上是一个不确定的值。

3. 瑕疵统计：瑕疵统计是指在无限时间和空间中的某些分布，存在着某些奇怪的性质。

例如，考虑一个线段，我们可以通过在中间随机选择一个点，然后将剩余部分一分为二。

重复此过程，我们将得到一系列长度不断减小的线段。

然而，根据瑕疵统计，最终我们会得到一个长度为零的线段。

这种现象挑战着我们对无穷的理解。

二、三次数学危机1. 黑洞信息悖论：黑洞是宇宙中最神秘而又引人入胜的天体之一。

然而，根据黑洞信息悖论，当物质进入黑洞时，所有关于该物质的信息都将永久性地丢失。

这一结果与量子力学的基本原理相矛盾，其中信息是不可破坏的。

黑洞信息悖论挑战了我们对信息保存和宇宙进化的理解。

2. 艾伦-克拉曼恩悖论：在数学中，一个凯莱集合是指具有类似于实数线的长度，但没有定义的集合。

这种存在令人惊讶，因为对于实数而言，我们可以精确地描述和测量其长度。

然而，艾伦-克拉曼恩悖论指出，某些特殊的凯莱集合存在于一个叫做超计算的理论计算机中。

数学悖论与三次数学危机

数学发展从来不是完全直线式的，而是常常出现悖论。

历史上一连串的数学悖论动摇了人们对数学可靠性的信仰，数学史上曾经发生了三次数学危机。

数学悖论的产生和危机的出现，不单给数学带来麻烦和失望，更重要的是给数学的发展带来新的生机和希望，促进了数学的繁荣。

危机产生、解决、又产生的无穷反复过程，不断推动着数学的发展，这个过程也是数学思想获得重要发展的过程。

数学历来被视为严格、和谐、精确的学科，纵观数学发展史，数学发展从来不是完全直线式的，他的体系不是永远和谐的，而常常出现悖论。

悖论是指在某一一定的理论体系的基础上，根据合理的推理原则，推出了两个互相矛盾的命题，或者是证明了这样一个复合命题，它表现为两个互相矛盾的命题的等价式[1] 。

数学悖论在数学理论中的发展是一件严重的事，因为它直接导致了人们对于相应理论的怀疑，而如果一个悖论所涉及的面十分广泛的话，甚至涉及到整个学科的基础时，这种怀疑情绪又可能发展成为普遍的危机感，特别是一些重要悖论的产生自然引起人们对数学基础的怀疑以及对数学可靠性信仰的动摇。

数学史上曾经发生过三次数学危机，每次都是由一两个典型的数学悖论引起的。

本文回顾了历史上发生的三次数学危机，重点介绍了三次数学危机对数学发展的重要作用。

公元前六世纪，在古希腊学术界占统治地位的毕达哥拉斯学派，其思想在当时被认为是绝对权威的真理，毕达哥拉斯学派倡导的是一种称为“唯数论”的哲学观点，他们认为宇宙的本质就是数的和谐[2] 。

他们认为万物皆数，而数只有两种，就是正整数和可通约的数(即分数，两个整数的比)，除此之外不再有别的数，即是说世界上只有整数或分数。

毕达哥拉斯学派在数学上的一项重大贡献是证明了毕达哥拉斯定理[3] ，也就是我们所说的勾股定理。

勾股定理指出直角三角形三边应有如下关系，即 a2 =b2 +c 2，a 和 b 分别代表直角三角形的两条直角边， c 表示斜边。

然而不久毕达哥拉斯学派的一个学生希伯斯很快便发现了这个论断的问题。

世界三大悖论

世界三大悖论一、毕达哥拉斯悖论鼎盛年约在公元前531年,毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。

他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。

由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。

而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。

然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。

毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。

希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2 的诞生。

小小√2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。

它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰(一切数均可表成整数或整数之比)，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。

实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。

对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。

这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。

这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的√2的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。

更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。

这就在当时直接这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。

与此同时的世界著名悖论：说谎者悖论说谎者悖论是公元前六世纪，哲学家克利特人艾皮米尼地斯（Epimenides）说的话：“所有克利特人都说谎，他们中间的一个诗人这么说。

”如果这名诗人说的是真的，那么，克利特人就是说谎者，这个诗人也不能排除在外；如果这名诗人说谎，那么克利特人就不是说谎的群体，这个诗人也应该不是说谎者，这和诗人说谎矛盾。