2023高三数学第一次月考试题
2023-2024学年天津市南开中学高三上学期第一次月考数学试题及答案
南开中学2024届高三第一次月检测数学学科试卷考试时间：120分钟本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共150分.考试结束后，请交回答题卡.第Ｉ卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知集合{}2|230A x x x =-->，{}1,2,3,4B =，则()A B ⋂=Rð（）A. {}1,2 B. {}1,2,3 C. {}3,4 D. {}42. “sin 0x =”是“cos 1x =”的（ ）A 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件3. 函数()||sin 2f x x x =的部分图象可能是（ ）AB. C. D.4. 下列函数中，是奇函数且在()0,∞+上单调递减的是（ ）A. 2y = B. sin xy x=C. )lg2y x=- D. e e 2x xy --=5. 计算：0ln 228241.1e log 1lg10ln e log +-+++的值（ ）A. 0B.152C. 2D. 36. 已知1sin 3a =，0.913b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，271log 92c =，则（ ）A. a c b<< B. a b c << C. b a c << D. c a b<<7.π2cos 63αα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）..A. 19-B.19C.13D.898. 将函数()π3sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象对应的函数为()y g x =，有下列命题：①函数()g x 的图象关于直线πx =对称 ②函数()g x 图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称③函数()g x 在π5π,2424⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 ④函数()g x 在[]0,2π上恰有5个极值点其中正确命题个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 49. 设函数ln 2,0()π1sin ,π042x x x f x x x ω⎧+->⎪=⎨⎛⎫+--≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩有7个不同的零点，则正实数ω的取值范围为（ ）A. 131744⎡⎫⎪⎢⎣⎭，B. 174⎡⎢⎣C. 49121652⎡⎫⎪⎢⎣⎭， D. 65121732⎡⎫⎪⎢⎣⎭，第II 卷二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）10. 已知i 是虚数单位，化简32i12i-+的结果为____________．11.在代数式521x ⎫-⎪⎭的展开式中，常数项为_____________．12. 函数()()ππ2sin 0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则π=3f ⎛⎫⎪⎝⎭__________．的的13. 在亚运会女子十米跳台决赛颁奖礼上，五星红旗冉冉升起，在坡度15 的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60 和30 ，第一排A 点和最后一排E 点的距离为（如图所示），则旗杆的高度为____________米．14. 已知定义在[)0+∞，上的函数()f x ，当[0,2)x ∈时，()()1611f x x =--，且对任意的实数1[2222)n n x +∈--，（*2N n n ∈，≥），都有()1122x f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若函数()()log a g x f x x =-有且仅有五个零点，则a 的取值范围__________.15. 记()ln f x x ax b =++（0a >）在区间[],2t t +（t 为正数）上的最大值为(),t M a b ，若{|(,)ln 3}R t b M a b a ≥+=，则实数t 的最大值为__________.三、解答题（本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16. 已知函数()()2π2sin πcos 2f x x x x ⎛⎫=+-+-⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期及对称轴方程；（2）当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最大值和最小值.17. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其中2C π≠，已知cos 2cos cos b c A a B C -=.（1）求角B 的大小；（2）若223125b c ac +=-，求ABC 面积的最大值.18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，E 为棱PC 的中点.（1）证明：//BE 平面PAD ；（2）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）求点D 到平面PBC 的距离.19. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，短轴长为.（1）求C 的方程；（2）如图，经过椭圆左顶点A 且斜率为()0k k ≠的直线l 与C 交于A ，B 两点，交y 轴于点E ，点P 为线段AB 的中点，若点E 关于x 轴的对称点为H ，过点E 作OP （O 为坐标原点）垂直的直线交直线AH 于点M ，且APM △，求k 的值.20. 已知函数()11lnx aF x x x =--+.（Ⅰ）设函数()()()1h x x F x =-，当2a =时，证明：当1x >时，()0h x >；（Ⅱ）若()0F x >恒成立，求实数a 取值范围；（Ⅲ）若a 使()F x 有两个不同的零点12,x x，证明：21a a x x e e -<-<-.的南开中学2024届高三第一次月检测数学学科试卷考试时间：120分钟本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共150分.考试结束后，请交回答题卡.第Ｉ卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知集合{}2|230A x x x =-->，{}1,2,3,4B =，则()A B ⋂=Rð（）A. {}1,2 B. {}1,2,3 C. {}3,4 D. {}4【答案】B 【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合A ，再根据补集、交集的定义计算可得.【详解】由2230x x -->，即()()130x x +->，解得3x >或1x <-，所以{}2|230{|1A x x x x x =-->=<-或3}x >，所以{}|13A x x =-≤≤R ð，又{}1,2,3,4B =，所以(){}1,2,3A B ⋂=R ð.故选：B2. “sin 0x =”是“cos 1x =”的（ ）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分性和必要性的定义结合同角三角函数的关系即可得出结论.【详解】解：因为sin 0x =，根据三角函数的基本关系式，可得cos 1x ==±，反之：若cos 1x =，根据三角函数的基本关系式，可得sin 0x ==，所以“sin 0x =”是“cos 1x =”的必要不充分条件.故选：C.3. 函数()||sin 2f x x x =的部分图象可能是（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据()f x 是奇函数，排除B ，再取特殊值验证.【详解】因为()()||sin 2||sin 2()f x x x x x f x -=--=-=-所以()f x 是奇函数，排除B ，由02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π，排除A ，由44f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，排除D ．故选：C ．【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于基础题.4. 下列函数中，是奇函数且在()0,∞+上单调递减的是（ ）A. 2y = B. sin x y x=C. )lg2y x=- D. e e 2x xy --=【答案】C 【解析】【分析】根据奇偶性定义、对数函数、指数函数单调性，结合复合函数的单调性依次判断各个选项即可.【详解】A 选项：()()2f x f x -==，不是奇函数，故A 选项错误；B 选项：()()()sin sin sin x x xf x f x x x x---====--，不是奇函数，故B 选项错误；C 选项：因为()f x 的定义域为R ，且()()))()22lg 2lg2lg 414lg10f x f x x x x x -+=++=+-==，∴()f x 是奇函数．设2t x ==因为t =()0,∞+上单调递减，lg y t =在()0,∞+上单调递增，由复合函数单调性知，()f x 在()0,∞+上单调递减，故C 选项正确；D 选项：()11e 2e x xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为1e e ,xxy y ==-在()0,∞+上都单调递增，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，故D 选项错误，故选：C ．5. 计算：0ln 228241.1e log 1lg10ln e log +-+++的值（ ）A. 0B.152C. 2D. 3【答案】B 【解析】【分析】根据指数及对数的运算法则计算可得；【详解】0ln 222423151.1e log 1lg10ln e log 812012log 222+-+++=+-+++=.故选：B6. 已知1sin 3a =，0.913b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，271log 92c =，则（ ）A. a c b <<B. a b c <<C. b a c <<D. c a b<<【答案】A 【解析】【分析】化简得13c =，构造函数()sin ,0,2πf x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，通过导数可证得sin ,0,2πx x x ⎛⎫<∈ ⎪⎝⎭，可得a c <，而0.91133b c ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭，从而可得答案．【详解】2711lg 912lg 31log 922lg 2723lg 33c ==⨯=⨯=.设()sin ,0,2πf x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，则有()cos 10f x x '=-<，()f x 单调递减，从而()(0)0f x f <=，所以sin ,0,2πx x x ⎛⎫<∈ ⎪⎝⎭，故11sin 33<，即a c <，而0.91133b c ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭，故有a c b <<．故选：A ．7.π2cos63αα⎛⎫--=⎪⎝⎭，则πsin26α⎛⎫-=⎪⎝⎭（）A.19- B.19C.13D.89【答案】A【解析】【分析】利用三角恒等变换化简已知条件，结合诱导公式、二倍角公式求得正确答案.π2cos63αα⎛⎫--=⎪⎝⎭，12sin cos23ααα⎫+-=⎪⎪⎭，1π2cos sin263ααα⎛⎫+=+=⎪⎝⎭.πππsin2cos2626αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2ππcos2cosπ233αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2ππcos22sin136αα⎛⎫⎛⎫=-+=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2212139⎛⎫=⨯-=-⎪⎝⎭.故选：A8. 将函数()π3sin26f x x⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象对应的函数为()y g x=，有下列命题：①函数()g x的图象关于直线πx=对称②函数()g x的图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称③函数()g x在π5π,2424⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增④函数()g x 在[]0,2π上恰有5个极值点其中正确的命题个数为（ ）A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】根据函数图象平移变换的特点，利用正弦弦函数的对称性、单调性、最值，结合函数的极值点定义逐项判断即可求解.【详解】函数()π3sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象对应的函数为()πππ3sin 23sin 2666y g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，对于①，当πx =时，()π3π3sin 2π62g ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，不是函数()y g x =的最值，故①错误；对于②，当π12x =时，πππ3sin 2012126g ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故②正确；对于③，当π5π,2424x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，πππ2,644x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故函数在该区间上单调递增，故③正确；对于④，令(ππ2πZ 62x k k -=+∈，解得()ππZ 23k x k =+∈，当0,1,2,3k =时，π5π4π11π,,,3636x =，在[]0,2π上有4个极值点，故④错误．故选：B.9. 设函数ln 2,0()π1sin ,π042x x x f x x x ω⎧+->⎪=⎨⎛⎫+--≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩有7个不同的零点，则正实数ω的取值范围为（ ）A. 131744⎡⎫⎪⎢⎣⎭， B. 172144⎡⎫⎪⎢⎣⎭， C. 49121652⎡⎫⎪⎢⎣⎭， D. 65121732⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【答案】C 【解析】【分析】分段函数分段处理，在1x >，01x <<各有1个零点，所以π0x -≤≤有5个零点，利用三角函数求出所有的零点，保证π0x -≤≤之间有5个零点即可.【详解】由题，当1x ≥时，()ln 2f x x x =+-，显然()f x 在()1,+∞上单调递增，且()110f =-<，()22ln 220f =+->，此时()f x 在()1,+∞在有一个零点；当01x <<时，()ln 2f x x x =--，1()10f x x'=-<，所以()f x 在()0,1上单调递减，2211()220e ef =+->，此时()f x 在()0,1上只有一个零点；所有当π0x -≤≤时，()π1sin 42f x x ω⎛⎫+- ⎪⎝⎭=有5个零点，令()0f x =，则π1sin 42x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即ππ2π46x k ω+=+，或π5π2π46x k ω+=+，k ∈Z ，解得π2π12k x ω-+=，或7π2π12k x ω-+=，k ∈Z ，当0k =时，12π7π1212,x x ωω--==；当1k =时，34π7π2π2π1212,x x ωω----==；当2k =时，56π7π4π4π1212,x x ωω----==；由题可得π0x -≤≤区间内的5个零点，即π4π12π7π4π12πωω⎧--⎪≥-⎪⎪⎨⎪--⎪<-⎪⎩，解得54912126ω≤<，即49651212ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，.故选：C.【点睛】分段函数的零点问题点睛：根据函数的特点分别考虑函数在每段区间上的单调性，结合零点存在性定理，得到每一段区间上的零点的个数，从而得出函数在定义域内的零点个数.第II 卷二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）10. 已知i 是虚数单位，化简32i12i-+的结果为____________．【答案】18i 55--【解析】分析】运用复数运算法则计算即可.【【详解】2232i (32i)(12i)36i 2i 4i 38i 418i 12i (12i)(12i)14i 1455-----+--====--++--+.故答案为：18i 55--.11.在代数式521x ⎫-⎪⎭的展开式中，常数项为_____________．【答案】-5【解析】【分析】写出二项式定理的通项，化简后，使得x 的指数幂为0，即可求得k 的值.【详解】521x ⎫-⎪⎭的展开式的通项为：()51552215521C C 1rrrr r r r T x x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令5502r -=，解得1r =，所以()11215C 15T +=-=-，521x ⎫⎪⎭的展开式中的常数项为5-.故答案为：-512. 函数()()ππ2sin 0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则π=3f ⎛⎫⎪⎝⎭__________．【解析】【分析】根据函数()f x 的图象结合正弦函数的图象及性质，求得函数的解析式，再代入求值即可.【详解】由函数()f x 的图象可知，35ππ3π41234T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则2π=πT ω=，2ω=.把5π12x =代入()f x ，则5ππ22π122k ϕ⨯+=+，而ππ22ϕ-<<，所以π3ϕ=-，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以ππππ=2sin 22sin 3333f ⎛⎫⎛⎫⨯-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.13. 在亚运会女子十米跳台决赛颁奖礼上，五星红旗冉冉升起，在坡度15 的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60 和30 ，第一排A 点和最后一排E 点的距离为（如图所示），则旗杆的高度为____________米．【答案】27【解析】【分析】根据已知可得30ECA ∠= ，在EAC 中由正弦定理可得AC ，再利用t ABC R 中计算可得答案.【详解】由图可得3609012012030∠=---= ECA ，在EAC sin 30= EA，即sin 452sin 30===EA AC ，在t ABC R 中，60CAB ∠= ，可得sin 6027=⨯== BC AC 米.故答案为：27.14. 已知定义在[)0+∞，上的函数()f x ，当[0,2)x ∈时，()()1611f x x =--，且对任意的实数1[2222)n n x +∈--，（*2N n n ∈，≥），都有()1122x f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若函数()()log a g x f x x =-有且仅有五个零点，则a 的取值范围__________.【答案】1410⎛ ⎝【解析】【分析】写出()f x 的解析式并画出()f x 的图象，结合已知条件将问题转化为()y f x =图象与log a y x =图象在(0,)+∞上有且仅有5个交点，结合图象分析即可求得结果.【详解】当[0,2)x ∈，()16(1|1|)f x x =--，当2n =时，[2,6)x ∈，此时1[0,2)2x -∈，则11()(1)16(1|2|)8(1|2|)22222x x xf x f =-=⨯--=--，当3n =时，[6,14)x ∈，此时1[2,6)2x -∈，则1155()(1)8(1||)4(1||)2224242x x x f x f =-=⨯--=--，当4n =时，[14,30)x ∈，此时1[6,14)2x-∈，则111111()(1)4(1||)2(1||)2228484x x x f x f =-=⨯--=--，……因为()()log a g x f x x =-有且仅有5个零点，所以()y f x =图象与log a y x =图象在(0,)+∞上有且仅有5个交点，如图所示，由图可知，当log a y x =经过点(10,4)A 时，两函数图象有4个交点，经过点(22,2)B 时，两函数图象有6个交点，所以当()y f x =图象与log a y x =图象在(0,)+∞上有且仅有5个交点时，则1log 104log 222a aa >⎧⎪<⎨⎪>⎩，解得1410a <<.故答案为：1410（.15. 记()ln f x x ax b =++（0a >）在区间[],2t t +（t 为正数）上的最大值为(),t M a b ，若{|(,)ln 3}R t b M a b a ≥+=，则实数t 的最大值为__________.【答案】14##0.25【解析】【分析】由函数单调性性质及图象变换可画出()f x 的图象，进而可得(,)()t M a b f t ≥，结合已知条件可知只需()ln 3f t a ≥+，即(ln )ln 3t at b a -++≥+，由()(2)f t f t =+可得ln(2)ln 2(1)2t t a t b ++++=-，联立两者进而可求得结果.【详解】设()ln g x x ax b =++，（0a >），定义域为(0,)+∞，由单调性性质可知，()g x 在(0,)+∞上单调递增，当x 趋近于0时，()g x 趋近于-∞；当x 趋近于+∞时，()g x 趋近于+∞，设0()0g x =，则()g x 的图象如图所示，所以()f x 的图象如图所示，则由图象可知，{}max (),()(2)()(,)max (),(2)(2),()(2)t f t f t f t f x M a b f t f t f t f t f t ≥+⎧==+=⎨+<+⎩，所以(,)()t M a b f t ≥，如图所示，当()(2)f t f t =+时，有(ln )ln(2)(2)t at b t a t b -++=++++，则ln(2)ln 2(1)2t t a t b ++++=-，①又因为{|(,)ln 3}R t b M a b a ≥+=，所以()ln 3f t a ≥+，即(ln )ln 3t at b a -++≥+，所以ln ln 3b t at a ≤----，②由①②得ln(2)ln 2(1)ln ln 32t t a t t at a ++++≤-----，整理得ln(2)ln 2ln 3ln 9t t t +≥+=，即29t t +≥，所以14t ≤.故t 的最大值为14.故答案为：14【点睛】恒成立问题解题方法指导：方法1：分离参数法求最值.(1)分离变量．构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．(2)()a f x ≥恒成立⇔max ()a f x ≥；()a f x ≤恒成立⇔min ()a f x ≤；()a f x ≥能成立⇔min ()a f x ≥；()a f x ≤能成立⇔max ()a f x ≤.方法2：根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求解．三、解答题（本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16. 已知函数()()2π2sin πcos 2f x x x x ⎛⎫=+-+-⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期及对称轴方程；（2）当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最大值和最小值.【答案】（1）πT =，()5ππ122k x k =+∈Z （2）min 1y =，max 2y =.【解析】【分析】（1）根据诱导公式以及二倍角公式化简，再根据周期公式、对称轴公式进行求解；（2）由x 的取值范围求出整体角的取值范围，再结合正弦型函数图像及性质得出结果.【小问1详解】()()2πcos 2sin πcos 2f x x x x ⎤⎛⎫=+-+⋅ ⎪⎥⎝⎭⎦)22sin cos 1cos2sin2x x x x x =+⋅=-+sin22sin 23x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故周期为2ππ2T ==，令2π,32x k k ππ-=+∈Z ，解得()5ππ122k x k =+∈Z ，对称轴方程()5ππ122k x k =+∈Z ，【小问2详解】()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭∵ππ42x ≤≤，∴ππ2π2,363t x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，当π6t =时，即π4x =时，()min π1sin sin 62t ==，此时min 1y =，当π2t =时，即5π12x =时，()max πsin sin 12t ==，此时max 2y =.17. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其中2C π≠，已知cos 2cos cos b c A a B C -=.（1）求角B 的大小；（2）若223125b c ac +=-，求ABC 面积的最大值.【答案】（1）3π（2【解析】【分析】（1）根据正弦定理边化角或余弦定理化简原式，根据2C π≠，所以cos 0C ≠或2222a b c b+-≠，化简即可得出1cos 2B =，即可得出答案；（1）根据余弦定理结合第一问得出的角B 的大小得出222a c b ac +-=，结合已知223125b c ac +=-，得出224412a ac c ++=，根据基本不等式得出22412422a c ac a c +=-≥⋅⋅即32ac ≤，即可由三角形面积公式得出答案；或将224412a ac c ++=化简为2(2)12a c +=，由三角形面积公式结合基本不等式得出ABC 的面积212sin 222a c S ac B c +⎫===⋅≤=⎪⎭，即可得出答案.【小问1详解】方法一：由cos 2cos cos b c A a B C -=根据正弦定理边化角得：sin sin cos 2sin cos cos B C A A B C -=，即()sin sin cos 2sin cos cos A C C A A B C +-=，所以sin cos 2sin cos cos A C A B C =，因为2C π≠，所以cos 0C ≠，又sin 0A >，所以1cos 2B =，又0πB <<，所以3B π=.方法二：由cos 2cos cos b c A a B C -=根据余弦定理：得2222222cos 22b c a a b c b c a B bc ab+-+--=⋅，即2222222cos 22b c a a b c B b b -++-=⋅，因为2C π≠，所以22202a b c b+-≠，所以1cos 2B =，又0πB <<，得3B π=.小问2详解】方法一：由（1）及余弦定理知2221cos 22a cb B ac +-==，所以222a c b ac +-=，因为223125b c ac +=-，所以()2221235a c c ac ac +---=，化简得224412a ac c ++=，因为0,0a c >>，所以22412422a c ac a c +=-≥⋅⋅，所以32ac ≤，当且仅当2a c ==a c ==时取等号，所以ABC的面积1sin 2S ac B ==≤，所以ABC方法二：由（1）及余弦定理知2221cos 22a cb B ac +-==，所以222a c b ac +-=.因为223125b c ac +=-，所以()2221235a c c ac ac +---=，化简得224412a ac c ++=，即2(2)12a c +=，所以ABC的面积212sin 222a c S ac B c +⎫===⋅≤=⎪⎭，【当且仅当2a c ==a c ==时取等号，所以ABC 18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，E 为棱PC 的中点.（1）证明：//BE 平面PAD ；（2）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）求点D 到平面PBC 的距离.【答案】（1）证明见解析（2（3【解析】【分析】（1）以A 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法证明线面平行；（2）求出平面PBD 的一个法向量，再由向量法求解；（3）求出平面PBC 的法向量()2111,,n x y z =，再由向量法求解.【小问1详解】解：以点A 为原点，AB ，AD ，AP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系.可得()1,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D ，()002P ,,，由E 为棱PC 的中点，得()1,1,1E ，向量()0,1,1BE = ，()1,0,0AB =，故0BE AB ⋅= ，又AB为平面PAD 的一个法向量，又BE ⊄面PAD ，所以//BE 平面PAD .【小问2详解】向量()1,2,0BD =-，()1,0,2PB =- ，()0,1,1BE = 设(),,n x y z = 为平面PBD 的法向量，则0n BD n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020x y x z -+=⎧⎨-=⎩，令1y =，得()2,1,1n =为平面PBD 的一个法向量，所以cos ,n BE n BE n BE⋅===⋅所以直线BE 与平面PBD【小问3详解】向量()1,2,0BC = ，设平面PBC 的法向量()2111,,n x y z =，220n BC n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11112020x y x z +=⎧⎨-=⎩，令11y =-，得()22,1,1n =- 为平面PBC 的一个法向量，则22BD n d n ⋅===.19. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，短轴长为..（1）求C 的方程；（2）如图，经过椭圆左顶点A 且斜率为()0k k ≠的直线l 与C 交于A ，B 两点，交y 轴于点E ，点P 为线段AB 的中点，若点E 关于x 轴的对称点为H ，过点E 作OP （O 为坐标原点）垂直的直线交直线AH 于点M ，且APM △，求k 的值.【答案】（1）22142x y += （2）【解析】【分析】（1）根据题意得出,a b 的值，进而可得结果；（2）设直线l 的方程为()2y k x =+，将其与椭圆方程联立，得出EM 斜率，联立方程组得出M 点的坐标，利用点到直线距离公式式，结合韦达定理以及三角形面积公式将面积表示为关于k 的方程，解出即可得结果.小问1详解】由题意可得2222c e a b a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2a =，b =，c =∴椭圆C 的方程为22142x y +=.【小问2详解】易知椭圆左顶点()2,0A -，设直线l 的方程为()2y k x =+，则()0,2E k ，()0,2H k -，由()222142y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消y 可得()2222128840k x k x k +++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，∴()()422644841216k k k ∆=--+=，【则有2122812k x x k +=-+，21228412k x x k-=+，∴()2012214212k x x x k =+=-+，()0022212=+=+k y k x k ，∴0012OP y k x k ==-，∴直线EM 的斜率2EM k k =，∴直线EM 的方程为22y kx k =+，直线AH 的方程为()2y k x =-+，∴点42,33M k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴点M 到直线:20l kx y k -+=的距离d =，∴AB ==∴1||2AP AB ==∴241132212APM k S AP d k =⋅=⨯==+△，解得k =.20. 已知函数()11lnx a F x x x =--+.（Ⅰ）设函数()()()1h x x F x =-，当2a =时，证明：当1x >时，()0h x >；（Ⅱ）若()0F x >恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若a 使()F x 有两个不同的零点12,x x ，证明：21a a x x e e -<-<-.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）2a ≤；（Ⅲ）证明见解析.【解析】分析】（Ⅰ）当2a =时对()h x 求导，证明1x >时，()0h x '>即可.（Ⅱ）设函数()()1ln 1a x f x x x -=-+，根据函数的单调性判断ln x 与()11a x x -+的关系，根据()0F x >恒成立，确定a 的取值范围；（Ⅲ）根据函数的单调性求出2121a a t t x x e e --<-<-，得到【21t t -==，证明结论成立即可.【详解】（Ⅰ）()()ln 111x a h x x x x ⎛⎫=--⎪-+⎝⎭当2a =时，()()()21ln 21ln 111x x h x x x x x x -⎛⎫=--=- ⎪-++⎝⎭()()()()()()()()2222221211111114x x x x h x x x x x x x x +---+-'=-==+++，当1x >时，()0h x '>，所以()h x 在()1,+∞上为单调递增函数，因为()10h =，所以()()10h x h >=，（Ⅱ）设函数()()1ln 1a x f x x x -=-+，则()()()222111x a x f x x x +-+'=+，令()()2211g x x a x =+-+，当1a ≤时，当0x >时，()0g x >，当12a <≤时，2480a a ∆=-≤，得()0g x ≥，所以当2a ≤时，()f x 在()0,∞+上为单调递增函数，且()10f =，所以有()101f x x >-，可得()0F x >．当2a >时，有2480a a ∆=->，此时()g x 有两个零点，设为12,t t ，且12t t <.又因为()12210t t a +=->，121t t =，所以1201t t <<<，在()21,t 上，()f x 为单调递减函数，所以此时有()0f x <，即()1ln 1a x x x -<+，得ln 011x a x x -<-+，此时()0F x >不恒成立，综上2a ≤．（Ⅲ）若()F x 有两个不同的零点12, x x ，不妨设12x x <，则12, x x 为()()1ln 1a x f x x x -=-+的两个零点，且11x ≠，21x ≠，由（Ⅱ）知此时2a >，并且()f x 在()10,t ，()2,t +∞为单调递增函数，在()12,t t 上为单调递减函数，且()10f =，所以()10f t >，()20f t <，因为()201a a a f e e -=-<+，()201aa a f e e =>+，1a a e e -<<，且()f x 图象连续不断，所以()11,a x e t -∈，()22,a x t e∈，所以2121a a t t x x e e--<-<-，因为21t t -==综上得:21||a a x x e e -<-<-.【点睛】方法点睛：求不等式恒成立问题的方法（1）分离参数法若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）恒成立，将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或()()g x x D λ≤∈恒成立，进而转化为()max g x λ≥或()()min g x x D λ≤∈，求()g x 的最值即可.（2）数形结合法结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点的函数值或函数图象的位置关系（相对于x 轴）求解.此外，若涉及的不等式转化为一元二次不等式，可结合相应一元二次方程根的分布解决问题.（3）主参换位法把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解，一般情况下条件给出谁的范围，就看成关于谁的函数，利用函数的单调性求解.。
2023届河北省邢台市第二中学高三上学期第一次月考数学试题(解析版)
2023届河北省邢台市第二中学高三上学期第一次月考数学试题一、单选题1．设集合{}{}{}0,1,2,3,4,(3)0,24,U A x x x B x x x *==-==≤≤∈N ，则()U A B =（ ） A ．{2,4} B ．{2,3,4} C ．{2} D ．{1,2,3,4}【答案】A【分析】解出集合A ，再进行补集交集运算即可. 【详解】12(3)00,3x x x x -=⇒==，则{}{}0,3,1,2,4UA A ==，又{}2,3,4B =，所以(){}24UA B =，.故选：A. 2．已知复数21iz =-，复数z 是复数z 的共轭复数，则z z ⋅=（ ）A ．1BC ．2D ．【答案】C【分析】根据复数的运算性质，得到2z z z ⋅=，即可求解.【详解】根据复数的运算性质，可得2222221i 1i z z z ⎛⎫⋅==== ⎪ ⎪--⎝⎭. 故选；C ．3．设1z 、2z 是复数，则下列说法中正确的是（ ） A ．若120z z +=，则12z z = B ．若12z z +∈R ，则1z 、2z 互为共轭复数C ．若12=z z ，则1122z z z z ⋅=⋅D ．若12=z z ，则2212z z =【答案】C【分析】求出12z z =-可判断A 选项；利用共轭复数的定义可判断B 选项；利用复数的乘法可判断C 选项；利用特殊值法可判断D 选项.【详解】对于A 选项，若120z z +=，则120z z +=，可得12z z =-，A 错； 对于B 选项，设111i z a b =+，()2221212i ,,,z a b a a b b =+∈R ，则()()121212i z z a a b b +=+++，由题意可得120b b +=，则12b b =-， 但1a 、2a 不一定相等，故1z 、2z 不一定互为共轭复数，B 错；对于C 选项，设()i ,z a b a b =+∈R ，则i z a b =-，222z z a b z ∴⋅=+=，若12=z z ，22111222z z z z z z ⋅===⋅，C 对；对于D 选项，取11i z =+，21i z =-，则12z z =但()2211i 2i z =+=，()2221i 2i z =-=-，则2212z z ≠，D 错. 故选：C. 4．记函数2log 2xy x=-的定义域为集合A ，若“x A ∈”是关于x 的不等式()22200x mx m m +-<>成立”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()2,+∞B ．[)2,+∞C ．()0,2D ．(]0,2【答案】B【分析】求出函数2log 2x y x=-的定义域得集合A ，解不等式()22200x mx m m +-<>得m 的范围，根据充分不必要条件的定义可得答案.【详解】函数2log 2xy x =-有意义的条件为02x x>-，解得02x <<， 所以{}02A x x =<<，不等式()22200x mx m m +-<>，即()()20x m x m +-<，因为0m >，所以2m x m -<<，记不等式()22200x mx m m +-<>的解集为集合B ，所以A B ⊆，所以220≥⎧⎨-≤⎩m m ，得2m ≥.故选：B ．5．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且在区间()1,+∞上单调递增，则满足()()13f x f x ->+的x 的取值范围为（ ） A ．()1,-+∞ B ．(),1-∞- C ．()1,1- D ．(),1-∞【答案】B【分析】先求出函数()f x 的对称轴，再根据单调性和对称性可知，自变量离对称轴越远，其函数值越大，由此结论列式可解得结果.【详解】因为函数()f x 满足()()2f x f x +=-，所以()f x 的图象关于直线1x =对称， 又()f x 在区间()1,+∞上单调递增，所以在(,1)-∞上单调递减， 因为()()13f x f x ->+，()()|11||31|x x -->+-， 即2x x ->+，平方后解得1x <-. 所以x 的取值范围为(,1)-∞-. 故选：B.6．如图，在△ABC 中，D 是AB 的中点，O 是CD 上一点，且2CO OD =，则下列说法中正确的个数是（ ）①0OA OB OC ++=；②过点O 作一条直线与边,AC BC 分别相交于点,E F ，若34CE CA =，CF CB μ=(01)μ≤≤，则34μ=； ③若△ABC 是边长为1的正三角形，M 是边AC 上的动点，则BM MD ⋅的取值范围是323,464⎡⎤--⎢⎥⎣⎦A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【分析】由1122CD CA CB =+，2,3OC CD OA OD DA =-=+，OB OD DA =-，结合向量的运算判断①；由,,E O F 三点共线结合向量的数乘运算判断②；建立坐标系，利用坐标运算结合二次函数的性质判断③.【详解】对于①：1122CD CA CB =+，2,3OC CD OA OD DA =-=+，OB OD DB =+OD DA =-，故22220333OA OB OC CD OD CD CD ++=-+=-+=，故①正确；对于②：1351()34123OE OC CE CA CB CA CA CB =+=-++=-，111()333OF OC CF CA CB CB CA CB μμ⎛⎫=+=-++=-+- ⎪⎝⎭，因为,,E O F 三点共线，所以OF OEλ=，即511231133λμλ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得4,355λμ=-=，故②错误；对于③：以点D 作为坐标原点，建立如下图所示的直角坐标系，113,0,,0,0,,(0,0)222A B C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，13,,(1,0)22AC AB ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，设,[0,1]AM t AC t =∈，因为1313,(1,0)1,2222BM AM AB t t t t ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，113113,0,,222222MD AD AM t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以221113311222442BM MD t t t t t ⎛⎫⎛⎫⋅=---=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当1t =时，43BM MD ⋅=-，当38t =时，2364BM MD ⋅=-，即BM MD ⋅的取值范围是323,464⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故③正确；故选：C7．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也称取整函数，例如：[ 3.7]4,[2.3]2-=-=.已知()[ln ]f x x x =，当()0f x =时，x 的取值集合为A ，则下列选项为x A ∈的充分不必要条件的是（ ） A ．(0,1)x ∈ B ．e)x ∈C ．(1,2)x ∈D ．()2,e x ∈【答案】B【分析】令()ln g x x x =，根据高斯函数知()0f x =时，0()1g x ≤<，利用导数分析不等式的解集，即可得解.【详解】令()ln ,0g x x x x =>， 由题意()0f x =时，0()1g x ≤<，()ln 1g x x '=+，1e x ∴<时，()0g x '<，1e x >时，()0g x '>，所以()g x 在1(0,)e上单调递减，在1(,)e +∞上单调递增，显然1(0,)ex ∈时，()0g x <，又(1)0g =，所以0()1g x ≤<的解为0[1,)x x ∈，其中0()1g x =，因为(2)2ln 2ln 41g ==>，1g ==<，(e)eln e e 1g ==>，所以 0[1,)x ，故选：B8．设a R ∈，函数()2229,1163,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩，若()f x 的最小值为()1f ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]1,2 B ．[]1,3C ．[]0,2D ．[]2,3【答案】A【分析】当1x >时，结合不等式求得其最小值为123a -，当1x ≤时，()()229f x x a a =-+-，根据函数()f x 的最小值为()1f ，列出不等式组，即可求解.【详解】当1x >时，221688333123x a x a a a x x x +-=++-≥=-， 当且仅当28x x=时，等号成立； 即当1x >时，函数()f x 的最小值为123a -， 当1x ≤时，()()222299f x x ax x a a =-+=-+-，要使得函数()f x 的最小值为()1f ，则满足()11102123a f a a ≥⎧⎨=-≤-⎩，解得12a ≤≤，即实数a 的取值范围是[]1,2. 故选：A.二、多选题9．下列命题正确的是（ ）A ．函数2()ln f x mx x =-在(1,2)上单调递增的一个必要不充分条件是1|4m m ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭B ．“2a b +>”是“2a b +>”充分不必要条件C ．“1a > ”是“11a<”的必要不充分条件 D ．命题“[]22,3,10x mx mx ∃∈-+≥”是假命题，则实数m 的取值范围为1{|}6m m ≤-【答案】AB【分析】求得1()2f x mx x '=-，转化为212mx x≥在(1,2)x ∈上恒成立，可判定A 正确；由绝对值三角不等式，结合充要条件的判定，可判定B 正确；由分式不等式的解法，结合充要条件的判定，可判定C 不正确；转化为命题“[]22,3,10x mx mx ∀∈-+<””是真命题，结合分离参数法，可判断D 错误.【详解】对于A 中，由函数2()ln f x mx x =-，可得1()2f x mx x'=-，若函数()f x 在(1,2)上单调递增，即当(1,2)x ∈时，1()20f x mx x'=-≥恒成立， 即212mx x ≥在(1,2)x ∈上恒成立， 又由当(1,2)x ∈时，max 211()22x <，即12m ≥， 函数()f x 在(1,2)上单调递增的一个必要不充分条件是1|4m m ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭，所以A 正确；对于B 中，由绝对值三角不等式，可得2a b a b +≥+>，所以充分性成立； 反之：例如：当1,3a b ==-时，满足2a b +>，此时2a b +=，即必要性不成立， 所以“2a b +>”是“2a b +>”充分不必要条件，所以B 正确； 对于C 中，由1110aa a--=<，解得1a >或0a <， 所以“1a > ”是“11a<”的充分不必要条件，所以C 不正确； 对于D 中，由命题“[]22,3,10x mx mx ∃∈-+≥”是假命题，可得命题“[]22,3,10x mx mx ∀∈-+<””是真命题，当[]2,3x ∈时，20x x ->恒成立，所以只需21m x x<--在[]2,3x ∈上恒成立， 当2x =时，min 211()3x x -=--，所以13m <-，所以D 错误. 故选：AB.10．用()C A 表示非空集合A 中元素的个数，定义()()*A B C A C B =-，已知集合()()2222,,,2x y y x a A x y B x y x y y x ⎧⎧+==+⎧⎫⎧⎫⎪==⎨⎨⎬⎨⎨⎬+==⎩⎭⎩⎭⎪⎩⎩∣∣，若*1A B =，则实数a 的取值可能为（ ） A ．14-B ．21-C ．1003D ．2021【答案】BCD【分析】先求出()1C A =，从而得到()0C B =或()2C B =，利用()1C B =即方程有一个根得到14a =-，那么排除掉A 选项，其他三个选项为正确结果.【详解】由(){}1,1A =，可得()1C A =，若*1A B =，有()0C B =或()2C B =.当()1C B =时，方程组2,y x a y x=+⎧⎨=⎩中消去y 有：20x x a --=，则Δ140a =+=，解得：14a =-，可得若*1A B =，则实数a 的取值范围为14aa ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭∣，可知选项为:BCD . 故选：BCD11．下列说法中错误的有（ ） A ．两个非零向量,a b ，若||||||a b a b ，则a 与b 共线且反向B ．已知13(2,3),(,)24a b =-=-不能作为平面内所有向量的一个基底C ．已知向量(2,1),(3,1)a b ==-，向量b 在向量a 上的投影向量是D ．若非零向量a ，b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角是60 【答案】CD【分析】由||||||a b a b 计算判断A ；由共线向量的坐标表示判断B ；求出向量b 在向量a 上的投影向量判断C ；求出向量a 与a b +的夹角判断D 作答. 【详解】对于A ，由||||||a b a b 两边平方得：||||a b a b -⋅=，而,a b 是非零向量，则a 与b 共线且反向，A 正确；对于B ，13(2,3),(,)24a b =-=-，且有312()(3)042⨯---⨯=，则//a b ，,a b 不能作为平面内所有向量的一个基底，B 正确；对于C ，向量(2,1),(3,1)a b ==-，向量b 在向量a 上的投影向量是2||a ba a a ⋅=-，C 错误； 对于D ，a ，b 是非零向量，作,OA a OB b ==，因||||||a b a b ==-，则OAB 是正三角形，如图，取线段AB 中点D ，则30DOA ∠=，有2+=a b OD ，即a 与a b +的夹角是30，D 错误. 故选：CD12．设函数()2101,0lg ,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则()()1234x x x x +-的值可能是（ ）A ．0B ．1C ．99D ．100【答案】BC【分析】首先根据题意画出图象，根据二次函数的性质得到1210x x +=-，根据对数函数的性质得到431x x =，从而得到()()123433110x x x x x x ⎛⎫+-=-- ⎪⎝⎭，再根据函数单调性求解即可.【详解】如图所示：因为关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<， 所以01a <≤.2101y x x =++的对称轴为5x =-，所以1210x x +=-.因为34lg lg x x =，所以34lg lg 0x x +=，即341x x =，431x x=.因为3lg 1x ≤，所以31110x ≤<. 所以()()123433110x x x x x x ⎛⎫+-=-- ⎪⎝⎭，因为110y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，1110x ≤<为减函数，所以()()(]1234330110,99x x x x x x ⎛⎫∈ ⎪⎭-⎝+-=-.故选：BC三、填空题13．已知向量a ，b ，c 满足，0a b c ++=，2a =，3b =，5c =，则⋅=a b _________. 【答案】6【分析】由0a b c ++=，得a b c +=-，两边平方化简可得答案 【详解】由0a b c ++=，得a b c +=-， 两边平方，得2222a a b b c +⋅+=， 因为235a b c ===，，， 所以42925a b +⋅+=，得·6a b =. 故答案为：6.14．若函数()f x 与()g x 同在一个区间内取同一个自变量时，同时取得相同的最小值，则称这两个函数为“兄弟函数”，已知函数()()2,f x x bx c b c =++∈R 与()21x x g x x-+=是定义在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的“兄弟函数”，那么()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是___________. 【答案】2【分析】利用基本不等式求出()g x 的最小值及对应的x 的值，根据“兄弟函数”的定义可知()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最小值为()11f =，根据二次函数的性质求出b 、c 的值，即可得到()f x 的解析式，最后根据二次函数的性质计算可得；【详解】解：211()111x x g x x x x -+==+-≥=，当且仅当1x x=即1x =时取等号， ∴当1x =时，()g x 取最小值()11g =．函数()f x 与()g x 同在一个区间内取同一个自变量时，同时取得相同的最小值，则称这两个函数为“兄弟函数”，∴函数()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最小值为()11f =．∴点()1,1为抛物线2()f x x bx c =++的顶点．∴212414b c b ⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，∴22b c =-⎧⎨=⎩． 2()22f x x x ∴=-+．()y f x∴=在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在区间[]1,2上单调递增．1524f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()22f =， ()f x ∴在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是2．故答案为：2．15．已知0a >，0b >，下面四个结论：①22ab a b a b +≤+；②若0a b >>，则241()ab b b a b ++-的最小值为4；③若a b >，则22c c a b≤；④若11111a b +=++，则2+a b 的最小值为 其中正确结论的序号是______．（把你认为正确的结论的序号都填上） 【答案】①③④【分析】对于①，由222a b ab +≥，得2224a b ab ab ++≥，然后变形后判断，对于②，变形后利用基本不等式判断，对于③，由不等式的性质判断，对于④，将11(122)11a b a b ⎛⎫++++ ⎪++⎝⎭展开由基本不等式可推导出结果【详解】对于①，因为222a b ab +≥，所以2224a b ab ab ++≥，即2()4a b ab +≥，因为0a >，0b >，所以22ab a ba b +≤+，所以①正确， 对于②，因为0a b >>，所以0a b ->， 所以2224141()()()ab b b a b b b a b b b a b ⎛⎫++=++-+ ⎪--⎝⎭ 6≥=，当且仅当224b b =，1()()b a b b a b -=-，即a b ==②错误， 对于③，因为0a b >>，所以110a b <<，因为2c ≥0，所以22c c a b≤，所以③正确，对于④，因为112(1)1(122)3331111b a a b a b a b ++⎛⎫++++=++≥+=+ ⎪++++⎝⎭当且仅当2(1)111b a a b ++=++，即a b ==因为11111a b +=++，所以1223a b +++≥+2a b +≥，当且仅当a b ==④正确， 故答案为：①③④16．已知函数(),0ln ,0x e x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，()()1g x f x mx =--，当实数m 的取值范围为________时，()g x 的零点最多. 【答案】210m e <<【分析】作出函数()f x 的图象，由()0g x =得() +1f x mx =，设+1y mx =，分0m =，0m <，>0m 分别讨论+1y mx =与()f x 的交点个数，当>0m 时，求得+1y mx =与xy e =相切时切线的斜率，+1y mx =与ln y x =相切时切线的斜率，由此可求得实数m 的取值范围.【详解】解：作出函数()f x 的图象如图： 由()0g x =得() +1f x mx =，设+1y mx =， 当0m =时，+1y mx =与()f x 有2个交点； 当0m <时，+1y mx =与()f x 有2个交点；. 当>0m 时，设+1y mx =与x y e =相切，切点为()11,x x e ，则'e x y =，所以切线的斜率为11x k e =，其切线方程为：()111x xy e e x x -=-，又因切线恒过点()01，，所以()11110x x e e x -=-，解得10x =，所以切线的斜率为011k e ==，当>0m 时，设+1y mx =与ln y x =相切，切点为()22,ln x x ，则'1y x=，所以切线的斜率为221k x =， 其切线方程为：()2221ln y x x x x -=-， 又因切线恒过点()01，，所以()22211ln 0x x x -=-，解得22x e =，所以切线的斜率为221k e =， 所以当m 1≥时，+1y mx =与()f x 有1个交点； 当211m e <<时，+1y mx =与()f x 有2个交点； 当21m e=时，+1y mx =与()f x 有3个交点； 当210m e <<时，+1y mx =与()f x 有4个交点； 所以实数m 的取值范围为210m e <<时，()g x 的零点最多， 故答案为：210m e <<.四、解答题17．已知函数()22f x x mx n =++的图象过点()1,1-，且满足()()23f f -=．(1)求函数()f x 的解析式：(2)求函数()f x 在[],2a a +上的最小值；(3)若0x 满足()00f x x =，则称0x 为函数()y f x =的不动点，函数()()g x f x tx t =-+有两个不相等且正的不动点，求t 的取值范围．【答案】(1)()2221f x x x =--；(2)()2min23263,,2331,,2221221,2a a a f x a a a a ⎧++≤-⎪⎪⎪⎡⎤=--<<⎨⎣⎦⎪⎪--≥⎪⎩；(3)1t >.【分析】(1)根据f (x )图像过点()1,1-，且满足()()23f f -=列出关于m 和n 的方程组即可求解；(2)讨论对称轴与区间的位置关系，即可求二次函数的最小值； (3)由题可知方程x ＝g (x )有两个正根，根据韦达定理即可求出t 的范围. 【详解】(1)∵()f x 的图象过点()1,1-， ∴21m n ++=-① 又()()23f f -=， ∴82183m n m n -+=++② 由①②解2m =-，1n =-，∴()2221f x x x =--；(2)()2213221222f x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，[],2x a a ∈+， 当122a +≤，即32a ≤-时，函数()f x 在[],2a a +上单调递减，∴()()2min 2263f x f a a a ⎡⎤=+=++⎣⎦；当122a a <<+，即3122a -<<时，函数()f x 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,22a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦单调递增，∴()min1322f x f ⎛⎫⎡⎤==- ⎪⎣⎦⎝⎭； 当12a ≥时，函数()f x 在[],2a a +上单调递增， ∴()()2min221f x f a a a ⎡⎤==--⎣⎦． 综上，()2min23263,,2331,,2221221,2a a a f x a a a a ⎧++≤-⎪⎪⎪⎡⎤=--<<⎨⎣⎦⎪⎪--≥⎪⎩．(3)设()()g x f x tx t =-+有两个不相等的不动点1x 、2x ，且1>0x ，20x >，∴()g x x =，即方程()22310x t x t -++-=有两个不相等的正实根1x 、2x ．∴()()21212Δ3810,30,2102t t t x x t x x ⎧⎪=+-->⎪+⎪+=>⎨⎪-⎪=>⎪⎩，解得1t >． 18．在①323n n b T =+，②{}n b 为等比数列，且13b =，23143T T T =+这两组条件中任选一组，补充在下面横线处，并解答下列问题．已知数列21n a n =-，数列{}n b 的前n 项和是n T ，______． (1)求数列{}n b 的通项公式；(2)若数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n M ，证明：对任意n *∈N 均有1n M ≤恒成立．【答案】(1)3nn b =(2)证明见解析【分析】（1）若选①，利用退一相减法可得通项公式；若选②，直接可得数列的首项及公比，进而可得通项公式；（2）利用错位相减法可得n M ，进而得证.【详解】(1)解：若选①，当1n =时，11132323b T b =+=+，即13b =； 当2n ≥时，323n n b T =+，11323n n b T --=+， 作差可得1332n n n b b b --=，即13n n b b -=，所以数列{}n b 为等比数列，其首项为13b =，公比3q =，所以1333n nn b -=⨯=；若选②，23143T T T =+，则121231443b b b b b b +=+++，即323b b =， 又数列{}n b 为等比数列，所以3q =，且13b =，所以1333n nn b -=⨯=；(2)证明：由（1）得3nn b =，所以()2112133nn n n a n n b -⎛⎫==-⋅ ⎪⎝⎭，所以()()23111111135232133333n nn M n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()23411111113523213333313n n n n n M +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()2311111111122222133333233n nn n M n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()211112133112113313n n n -+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯⨯-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+--⨯ ⎪⎝⎭- ()121121333n n n +⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1212233n n +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以()1113nn M n ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭，又n *∈N ，所以()11113nn M n ⎛⎫=-+⋅< ⎪⎝⎭恒成立.19．第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行.本届进博会有4000多项新产品､新技术､新服务.某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，生产x 千台空调，需另投入资金R 万元，且2210,040901945010000,40x ax x R x x x x ⎧+≤<⎪=⎨-+≥⎪⎩.经测算，当生产10千台空调时需另投入的资金R =4000万元.现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完. (1)求2022年该企业年利润W （万元）关于年产量x （千台）的函数关系式； (2)2022年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？注：利润=销售额-成本.【答案】(1)2210600260,040919010000,40x x x W x x x x ⎧-+-≤<⎪=⎨-+-≥⎪⎩(2)当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元【分析】（1）由题意可知10x =时，R =4000，代入函数中可求出a ，然后由年利润等于销售总额减去投入资金，再减去固定成本，可求出年利润W （万元）关于年产量x （千台）的函数关系式，（2）分别当040x ≤<和40x ≥求出函数的最大值，比较即可得答案【详解】(1)由题意知，当10x =时，()21010104000R x a =⨯+=，所以a =300. 当040x ≤<时，()229001030026010600260W x x x x x =-+-=-+-；当40x ≥时，22901945010000919010000900260x x x x W x x x-+-+-=--=. 所以2210600260,040919010000,40x x x W x x x x ⎧-+-≤<⎪=⎨-+-≥⎪⎩，(2)当040x ≤<时，()210308740W x =--+，所以当30x =时，W 有最大值，最大值为8740；当40x ≥时，10000100009190291908990W x x x x ⎛⎫=-++≤-⋅+= ⎪⎝⎭， 当且仅当10000x x=，即x =100时，W 有最大值，最大值为8990. 因为87408990<，所以当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元. 20．为了使更多人参与到冰雪运动中，某校组织了一次简易冰壶比赛.每场比赛由两支队伍对抗进行，每队由2名成员组成，共进行3局.每局比赛时，两队成员交替发球，每名成员只能从发球区（MN 左侧）掷冰壶一次.当所有成员全部掷完冰壶后，开始计分.若冰壶未到达营垒区，计1-分；若冰壶能准确到达营垒区，计2分，整场比赛累计得分多者获得比赛胜利.已知A 队两名成员甲､乙每次将冰壶投掷到营垒区的概率分别为12和13，B 队两名成员丙､丁每次将冰壶投掷到营垒区的概率均为12.假设两队投掷的冰壶在运动过程中无碰撞，每名成员投掷冰壶相互独立，每局比赛互不影响.(1)求A 队每局得分X 的分布列及期望；(2)若第一局比赛结束后，A 队得1分，B 队得4分，求A 队最终获得本场比赛胜利且总积分比B 队高3分的概率.【答案】(1)分布列见解析，期望为12；(2)43576.【分析】（1）根据题设写出X 的所有可能取值及对应概率，即可得到分布列，再根据分布列求期望即可；（2）同（1）写出B 的分布列，根据题设写出A 队获胜且总积分比B 队高3分所有可能情况，再求出各情况的概率，最后加总即可得结果.【详解】(1)由题设，X 的所有可能取值为2-，1，4，且X 的分布列如下：所以()21413262E X =-++=.(2)设B 队每局得分为Y ，同理Y 的分布列为记A 队､B 队在后两局总得分分别为x ､y ，则所包含的情况如下：()111111132,42362244576P x y ⎛⎫==-=⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，()111115,122264224P x y ==-=⨯⨯⨯⨯⨯=， ()11111168,22662244576P x y ⎛⎫===⨯⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭，故A 队最终获得本场比赛胜利且总积分比B 队高3分的概率为13164357624576576++=.21．如图所示：已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的长轴长为4，离心率e =A 是椭圆的右顶点，直线l 过点()1,0M -交椭圆于C ，D 两点，交y 轴于点P ，PC CM λ=，PD DM μ=．记ACD △的面积为S ．(1)求椭圆E 的标准方程； (2)求S 的取值范围； (3)求证：λμ+为定值． 【答案】(1)2214x y +=；(2)33； (3)证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，求出半焦距c 及b 即可作答.（2）设出直线l 的方程，与椭圆E 的方程联立，结合韦达定理求出面积S 的表达式即可求解作答.（3）由（2）中信息，用点C ，D 的坐标表示出,λμ即可计算作答. 【详解】(1)令椭圆E 的半焦距为c ，依题意，2a =，3c e a ==3c =2221b a c =-=，所以椭圆E 的标准方程为2214x y +=.(2)依题意，直线l 不垂直于坐标轴，设直线l ：1x ty =-，0t ≠，设1122(,),(,)C x y D x y ，由22144x ty x y =-⎧⎨+=⎩消去x 并整理得：22(4)230t y ty +--=，则12224t y y t +=+，12234y y t =-+， 2222121212122221243||()()4()44t t y y y y y y y y t t +--=+-+=++由（1）知(2,0)A，则有1216||||12S AM y y =⋅-==，令u >1y u u =+在)+∞则0S <<所以S的取值范围是. (3)由（2）知，1(0,)P t ，由PC CM λ=得111()y y tλ-=-，即111ty λ=-+，而PD DM μ=，同理211u ty =-+，因此，2121212221184222334t y y t t ty ty ty y t λμ+++=-++=-+=-+=--+， 所以83λμ+=-为定值.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答. 22．已知函数2()ln f x ax x x =--． (1)当1a =时，求()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 在定义域内有两个不相等的零点12,x x ． ①求实数a 的取值范围；②证明：()()12122ln +>-+f x x x x ．【答案】(1)单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞ (2)① 01a <<；②证明见解析【分析】（1）求导得(21)(1)()x x f x x+-'=，判断导函数符号确定原函数单调性，注意函数定义域；（2）①利用参变分离得2ln x x a x +=，即y a =与2ln x x y x +=有两个交点，判断函数单调性理解计算；②()()12122ln +>-+f x x x x 等价于()()212122+-+>a x x x x ，借助于函数零点整理得()121212ln ln 2⎛⎫-+> ⎪-⎝⎭x x x x x x ，即证1ln 21t t t +⋅>-，构建函数结合导数证明．【详解】(1)当1a =时，函数2()ln f x x x x =--，定义域为(0,)+∞．2121(21)(1)()21x x x x f x x x x x--+-'=--==． 由()0f x '=，得1x =．当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，所以()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞． (2)①若函数()f x 在定义域内有两个不相等的零点12,x x ， 则方程2ln 0ax x x --=有两个不等的实根． 即方程2ln x xa x +=有两个不等的实根． 记2ln ()(0)+=>x x g x x x ，则32(n )l 1x x xg x --'=，记()12ln (0)=-->m x x x x ，则()m x 在(0,)+∞上单减，且(1)0m =， ∴当01x <<时，()0,()0'>>m x g x ；当1x >时，()0,()0'<<m x g x ， ∴()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞单调递减． ∴max ()(1)1g x g ==．又∵10g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭且当1x >时，()0>g x ，∴方程为()g x a =有两个不等的实根时，01a <<．∴当01a <<时函数()f x 在定义域内有两个不相等的零点12,x x ． ②要证()()12122ln +>-+f x x x x ，只需证()()()()212121212ln 2ln +-+-+>-+a x x x x x x x x ， 只需证()()212122+-+>a x x x x ，因为22111222ln 0,ln 0--=--=ax x x ax x x ，两式相减得： ()()()22121212ln ln 0-----=a x x x x x x ．整理得()121212ln ln 1-+=+-x x a x x x x ．所以只需证()()12121212ln ln 12⎛⎫-++-+> ⎪-⎝⎭x x x x x x x x ，即证()121212ln ln 2⎛⎫-+> ⎪-⎝⎭x x x x x x ，即1121221ln 21+⋅>-x x x xx x ，不妨设120x x <<，令12(01)x t t x =<<，第 21 页 共 21 页 只需证1ln 21t t t +⋅>-， 只需证(1)ln 2(1)0+--<t t t ，设()(1)ln 2(1)=+--n t t t t ，只需证当01t <<时，()0<n t 即可． ∵221111()ln 1,()0(01)-=+-='''-=<<<t n t t n t t t t t t， ∴()n t '在（(0,1)单调递减，∴当01t <<时，()(1)0''>=n t n ，∴()n t 在(0,1)单调递增，当01t <<时()(1)0n t n <=， ∴原不等式得证．【点睛】在证明()()212122+-+>a x x x x ，利用函数零点得()121212ln ln 1-+=+-x x a x x x x ，代入消去a 得()121212ln ln 2⎛⎫-+> ⎪-⎝⎭x x x x x x ，进一步处理得1121221ln 21+⋅>-x x x x x x 换元分析．。
江苏省盐城2024-2025学年高三上学期10月月考试题 数学含答案
2025届高三年级第一次阶段性考试数学（答案在最后）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合{}{2,,A y y x x B x y ==∈==R ，则A B = （）A.∅B.RC.0,1D.−∞,12.已知条件:12p x -≤<，条件:q x a >，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为（）A.{2}a a >∣B.{2}a a ≥∣C.{1}a a <-∣D.{1}aa ≤-∣3.设函数()f x x x =，则不等式()()332log 3log 0f x f x +-<的解集是（）A .1,2727⎛⎫⎪⎝⎭B.10,27⎛⎫⎪⎝⎭C.()0,27 D.()27,+∞4.已知tan 2θ=，则πsin cos24πsin 4θθθ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（）A.15-B.73-C.15D.735.在ABC V 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且()cos 2cos a B c b A c +-=，则ABC V 的形状为（）A .等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形6.已知函数()f x 满足()()22f x f x --=-+，对任意(]12,,2x x ∈-∞-，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，且()00f =，则()0f x >的解集是（）A.()(),22,∞∞--⋃+ B.()2,2-C.()(),40,-∞-+∞ D.()4,0-7.函数()ln f x x =与函数()212g x mx =+有两个不同的交点，则m 的取值范围是（）A .21,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B.21,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C.210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.210,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭8.在锐角三角形ABC 中，2A B ∠=∠，则2b cb+的范围是（）A.1,32⎛⎫⎪⎝⎭B.1,43⎛⎫⎪⎝⎭ C.43,32⎛⎫⎪⎝⎭D.12,2⎛⎫⎪⎝⎭二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9.若函数()2101xy a b a a =-->≠且的图象过第一，三，四象限，则（）A.01a << B.1a > C.0b > D.0b <10.下列说法正确的是（）A.函数()2f x 的定义域为()0,1，则函数()1f x -的定义域为()1,1-B.y =与y x =表示同一个函数C.关于x 的不等式()()10ax a x -+>的解集为{},1A B xx =≥∣，若A B ⊆，则0a =D.若13,24a b a b -<+<<-<，则23a b +的取值范围为913,22⎛⎫-⎪⎝⎭11.设1a >，0b >，且ln 2a b =-，则下列关系式可能成立的是（）A.a b= B.eb a -= C.2024a b= D.eab ≤三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡的相应位置．12.不等式312x ≥--的解集为________．13.化简：()()()()sin 180cos 180tan 90sin 270αααα︒-︒-︒-=︒+______.14.在ABC V ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，BD BC ⊥交AC 于点D ，且1BD =，则2a c +的最小值为___________．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.（1）设命题p ：实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a <；命题q ：实数x 满足23100x x +->，且q 是p 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．（2）已知不等式210ax bx -->的解集是1123x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭，求不等式20x bx a --≥的解集．16.函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()f x 的图象先向右平移π4个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，求()g x 在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；17.已知函数()e xf x =与函数()lng x x =，函数()()()11x g x g x ϕ=++-的定义域为D .（1）求()x ϕ的定义域和值域；（2）若存在x D ∈，使得(2)1()mf x f x ≥-成立，求m 的取值范围；（3）已知函数()y h x =的图象关于点(),P a b 中心对称的充要条件是函数()y h x a b =+-为奇函数.利用上述结论，求函数()1ey f x =+的对称中心.18.设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()()sin sin sin sin b a ABC BAC c ABC C +∠-∠=∠-，BC ，AC 边上的两条中线AD ，BE 相交于点P ．（1）求BAC ∠；（2）若AD =，BE ＝2，cos 14DPE ∠=，求ABC 的面积．19.已知函数2()e 31x a f x ax ax -=+-+，a ∈R .（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处切线的方程；（2）当1a >时，试判断()f x 在[1,)+∞上零点的个数，并说明理由；（3）当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.2025届高三年级第一次阶段性考试数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】A二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．【9题答案】【答案】BC【10题答案】【答案】ACD【11题答案】【答案】ACD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡的相应位置．【12题答案】【答案】(](),12,-∞-+∞ 【13题答案】【答案】cos α【14题答案】【答案】3四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）(,5]-∞-；（2）{2x x ≤或}3x ≥.【16题答案】【答案】（1）()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）最大值为2-【17题答案】【答案】（1）定义域为()1,1-，值域为(],0-∞（2）14m ≥-（3）11,2e ⎛⎫⎪⎝⎭【18题答案】【答案】（1）π3（2）【19题答案】【答案】（1）0y =（2）1个，理由见解析（3）(,1]-∞。
宁夏银川一中2023届高三上学期第一次月考数学(理)试题含答案
得曲线C的直角坐标方程为x2+y2=6x+2y，即（x-3）2+（y-1）2=10，．．．．．．．．．．．2分
由 ，消去参数t，得直线l的普通方程为x+y-3=0．．．．．．．．．．．．4分
（2）由（1）知直线l的参数方程可化为 （t为参数），．．．．．．．．．．．6分
A．0.2481B．0.3471C．0.4582D．0.7345
5．记 为等差数列 的前n项和．若 ， ，则
A．18B．36
C．-18D．-54
6．相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的
竹管，吹出不同的音调．“三分损益”包含“三分损一”和“三分益
一”，用现代数学的方法解释如下，“三分损一”是在原来的长度
银川一中2023届高三年级第一次月考
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
A．127B．129C．131D．133
8．已知函数 ，则不等式 的解集为
A． B． C． D．
9．已知 ,且 ,则
A． B． C． D．
10．实数 中值最大的是
A． B． C． D．
11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．设 ，用 表示不超过x的最大整数，则 称为高斯函数．已知数列 满足 ，且 ，若 ,数列 的前n项和为 ，则
湖南省常德市第一中学2024-2025学年高三上学期第一次月考 数学试题
常德市第一中学2025届高三第一次月水平检测数学时量：120分钟满分：150分一、单选题。
（本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
）1．已知集合{}{}21,24A x x B x x =-≤=-<≤，则A B = （）A ．{}4x x ≤B ．{}34x x ≤≤C ．{}23x x -<≤D ．{}24x x -<≤2．命题“x ∃∈R ，ln e 0x x x ++>”的否定是（）A ．x ∃∈R ，ln e 0x x x ++≤B ．x ∀∈R ，ln e 0x x x ++≤C ．x ∀∉R ，ln e 0x x x ++≤D ．x ∃∉R ，ln e 0x x x ++<3．设5log 2a =，25log 3b =，0.20.6c =，则（）A ．c b a>>B ．c a b>>C ．b a c>>D ．a c b>>4．近年，“人工智能”相关软件以其极高的智能化水平引起国内关注，深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为181425G L ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，其中L 表示每一轮优化时使用的学习率，G 表示训练迭代轮数，则学习率衰减到0.2及以下所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：lg20.301≈）（）A ．16B ．72C ．74D ．905．“1m £”是“函数()()22log 1f x x mx =--在()1,+∞单调递增”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．对于三次函数()()³²0f x ax bx cx d a =+++≠给出定义:设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数32115()33212f x x x x =-+-，请你根据上面探究结果，计算12320202021202120212021f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）A ．1010B ．2020C ．2023D ．20247．()1212,[1,e]x x x x ∀∈≠，均有122121ln ln x x x x a x x -<-成立，则a 的取值范围为（）A ．(],0-∞B ．[)1,+∞C ．[]0,1D ．[)0,+∞8．已知函数()()22e ,e xf x x x ag x x =-+=-，若(][]12,0,1,e x x ∞∀∈-∃∈，使()()12g x f x ≤成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[)2e 1,-+∞B ．12e 1,e ∞⎡⎫+-+⎪⎢⎣⎭C ．)2e ,⎡+∞⎣D ．21e ,e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭二、多选题（本题有3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分）9．下列选项中正确的有（）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若集合{}{}20|1,2,A B x ax =-=+=，且B A ⊆，则实数a 的取值所组成的集合是{}1,2-．C ．若不等式20ax bx c ++>的解集为{}3|1x x <<，则不等式20cx bx a ++<的解集为1{3x x <或1}x >D ．已知函数()1y f x =+的定义域是[]2,3-，则()1y f x =-的定义域是[]0,5．10．已知0,0a b >>，且1a b +=，则（）A ．ab 的最小值是14B ．222a b +最小值为23CD ．12aa b+的最小值是111．已知函数()1e ,01ln ,04x x x f x x x +⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，下列选项中正确的是（）A ．()f x 在(),1-∞-上单调递增，在()1,0-上单调递减B ．()f x 有极大值C ．()f x 无最小值D ．若函数()()()()2[]24h x f x af x a =-+∈R 恰有6个零点，则实数a 的取值范围是5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知命题“[]1,5x ∃∈，使得1e 0xa x--<”是假命题，则实数a 的取值范围是.13．已知函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数，偶函数，且()()e xf xg x +=，则()()22f xg x -=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.14．设函数()2e e xf x ax x =--，若在()0,∞+上满足()0f x <的正整数至多有两个，则实数a 的取值范围是．四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤）15．（13分）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知向量,m n 满足(2,6m a =-，)2sin ,n B b =，且m n ⊥．(1)求角A ；(2)若ABC 是锐角三角形，且3a =，求ABC 周长的取值范围．16．（15分）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，11113PD A D =，11123QC C D =，M 为线段BD 上的动点，M '是点M 关于AD 所在直线的对称点.(1)求证：1MB PQ ⊥；(2)求三棱锥1Q PMB -的体积；(3)当2BM DM =时，求二面角M PQ M '--的余弦值的绝对值.17．（15分）数列{}n a 满足321212222n n a a a a n -+++⋯+=．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若n nnb a =，求{}n b 的前n 项和n T ．18．（17分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点与点3,12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭连线的斜率为2，且点()1,e 在椭圆C 上(其中e 为C 的离心率)．(1)求椭圆C 的标准方程．(2)已知点(2,0)D ，过点P 的直线l 与C 交于A ，B 两点，直线DA ，DB 分别交C 于M ，N 两点，试问直线MN 的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．19．（17分）已知()2ln x ax x bf x x++=(1)当3,1a b =-=-时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)已知()f x 有两个极值点12,x x ，且满足()()120f x f x +=，求b 的值；(3)在(2)的条件下，若()1f x x ≥-+在[)1,+∞上恒成立，求a 的取值范围．参考答案：1．C 2．B3．B4．C5．B 6．B 7．B 8．B9．CD10．BC 11．ABD 12．(],e 1∞--13．1-14．3e 3e ,9⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦11．【详解】对于A ，当0x ≤时，1()e x f x x +=-，则111()(e e )e (1)x x x f x x x +++'=-+=-+，当1x <-时，()0f x '>，当10x -<<时，()0f x '<，所以()f x 在(),1∞--上单调递增，在()1,0-上单调递减，所以A 正确，对于B ，由选项A 可知()f x 在(),1∞--上单调递增，在()1,0-上单调递减，所以()f x 在=1x -处取得极大值，所以B 正确，对于C ，当0x >时，14141ln ,e 14()ln 41ln ,0e 4x x f x x x x ⎧-≥⎪⎪=-=⎨⎪-<<⎪⎩，当14e x ≥时，1ln 04x -≥，当140e x <<时，1ln 04x ->，所以当0x >时，()0f x ≥，因为()f x 在(),1∞--上单调递增，在()1,0-上单调递减，且当0x ≤时，()0f x ≥恒成立，综上，()f x 的值域为[0,)+∞，所以()f x 有最小值0，所以C 错误，对于D ，因为()f x 在(),1∞--上单调递增，在()1,0-上单调递减，()11f -=，(0)0f =，14141ln ,e 14()ln 41ln ,0e 4x x f x x x x ⎧-≥⎪⎪=-=⎨⎪-<<⎪⎩所以()f x 的大致图象如图所示由()0h x =，得()()2[]240f x af x -+=，令()f x t =，则2240t at -+=，由()f x 的图象可知，要使()h x 有6个零点，则方程2240t at -+=有两个不相等的实数根12,t t ，不妨令12t t <，若120,01t t =<<，则由图可知()h x 有6个零点，但202040a -⨯+≠，所以不符合题意，所以1201,1t t <<>，因为2020440a -⨯+=>，所以21240a -+<，解得52a >，即实数a 的取值范围是5,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选：ABD 14．3e 3e ,9⎛⎤--∞ ⎝⎦【详解】由在()0,∞+上满足()2e e 0xf x ax x =--<的正整数至多有两个，即在()0,∞+上满足2e e x x a x ->的正整数至多有两个，设()2e e x xg x x -=，0x >，则()()3e 2e xx x g x x -+'=，设()()e 2e x h x x x =-+，0x >，则()()e 1e x h x x '=-+，0x >，设()()e 1e x m x x =-+，0x >，则()e 0xm x x '=>恒成立，则()m x 在()0,∞+上单调递增，即()()0e 10m x m >=->，即()0h x '>，所以()h x 在()0,∞+上单调递增，又()10h =，所以当()0,1x ∈时，()0h x <，即()0g x '<，()g x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0h x >，即()0g x '>，()g x 单调递增；所以当1x =时，()g x 取最小值，又在()0,∞+上满足()2e e x x a g x x ->=的正整数至多有两个，则()3e 3e39a g -≤=，即3e 3e ,9a ⎛⎤-∈-∞ ⎥⎝⎦，故答案为：3e 3e ,9⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦.15．(1)π3A =或2π3.(2)(333,9]+【详解】（1）解：∵m n ⊥，∴22sin 60a B b =，即22sin 6a B b =.由正弦定理得2sin sin 3A B B .∵sin 0B ≠，∴3sin 2A =，∵(0,π)A ∈，∴π3A =或2π3.（2）∵3a =，且三角形ABC 为锐角三角形，∴π3A =.∴由正弦定理得23sin sin sin 32a b cA B C====.∴23sin b B =，23sin c C =.∴)2π23sin sin 3sin sin 3b c B C B B⎤⎛⎫+=+=+- ⎪⎥⎝⎭⎦，31333sin cos sin 3sin 2222B B B B B ⎫⎫=++=+⎪⎪⎪⎪⎭⎭)331π33sin cos 32sin cos 6sin 2226B B B B B ⎛⎫⎛⎫=+=⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.又∵ABC 为锐角三角形，∴π02B <<，∴2π0π32B <-<，得ππ62B <<，ππ2π363B <+<.∴3πsin()126B <+≤，336sin 66B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，∴336b c <+≤，又∵3a =，∴3339a b c +<++≤.∴ABC 的周长的取值范围为(333,9]+.16．(1)证明见解析(2)52(3)1719【详解】（1）证明：连接1111,AC B D .由11123QC C D =，得11113QD C D =，又11113PD A D =，则有11//PQ AC ，正方体1111ABCD A B C D -中，1BB ⊥平面1111D C B A ，11AC ⊂平面1111D C B A ，得111BB A C ⊥，又正方形1111D C B A 中，1111B D AC ⊥，1111BB B D B ⋂=，111,BB B D ⊂平面11BB D D ，所以11AC ⊥平面11BB D D ，由1MB ⊂平面11BB D D ，得111AC MB ⊥.又11//PQ A C ，所以1PQ MB ⊥.（2）111D P D Q ==，22112PQ D P D Q =+=，111111,A B C B A P C Q ==，1111Rt Rt A B P C B Q ≅ ，222222*********B P B Q A P A B ==+=+=，有1113B P B Q ==1221111521322222PQB PQ S PQ PB ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，∴11115332Q PMB M PQB PQB V V S --==⨯⨯= .（3）如图所示，以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，1DD 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系.则(0,0,0)D ，(3,0,0)A ，(1,0,3)P ，(0,1,3)Q ，当2BM DM =时，有(1,1,0)M ，则(1,1,0)M -'，(1,1,0)PQ =- ，(1,2,3)QM -'=- .(0,1,3)PM =-设()111,,m x y z = 为平面QPM '的一个法向量，∴111110230PQ m x y QM m x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅='--=⎪⎩ ，令13x =，得113,1y z ==-，可得()3,3,1m =- .设()222,,n x y z = 为平面QPM 的一个法向量，∴2222030PQ n x y PM n y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令23x =，得223,1y z ==，可得(3,3,1)n = .设M PQ M '--所成的角为θ∴17cos 19991991m n m n θ⋅==⋅++⨯++ .17．(1)2nn a =(2)222n nn T +=-【详解】（1）数列{}n a 满足321212222n n a a a a n -++++= ，当2n ≥时，()31212221222n n a a a a n --+++⋯+=-，两式相减可得，122nn a -=，所以2n n a =，当1n =时，1122a ==也满足上式，所以2n n a =；（2）由（1）得2n n n b =，所以231232222nn nT =++++ ，则234111*********n n n n n T +-=+++++ ，两式相减的，2311111(1)11111222112222222212n n n n n n n n n T +++-+=++++-=-=-- ，所以222n nn T +=-．18．(1)2212x y +=(2)是定值，定值为2-（1）由题意可得22222221023211c c a a b a b c-⎧=⎪-⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎪⎩，解得222211a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩故椭圆C 的标准方程为2212xy +=；（2）由题意可知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为()312x m y =-+，()11,A x y ，()22,B x y ，()33,M x y ，()44,N x y ，则直线DA 的方程为1122x x y y -=+．联立11222212x x y y x y -⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理得()()22111132220x y x y y y -+-+=则2113132y y y x =-，即13132y y x =-．代入1122x x y y -=+，得()13112312322232x x x x -=+=---．同理可得()2442231,322232y y x x x ==---．因为()()()()21211213214312123232323211232232MNy y y x y x y y x x k x x x x x x -------===-----()()()21112112123332322222,y my m y my m m y y m y y m y y ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+---+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦===---所以直线MN 的斜率为定值，且定值为2-．19．(1)1y x =-+(2)1b =-(3)[)3,2--【详解】（1）当3,1a b =-=-时，()()13ln ,10f x x x f x =--=，所以()2311f x x x '=-+，所以()11f '=-．所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =-+．（2）因为()()ln ,0,b f x x a x x x =++∈+∞，所以()2221a b x ax bf x x x x +-=+-='，因为()f x 有两个极值点12,x x ，所以()f x '有两个大于0的变号零点，所以方程20x ax b +-=有两个不等正根，所以21212Δ4000a b x x b x x a ⎧=+>⎪=->⎨⎪+=->⎩，解得2400a bb a ⎧>-⎪<⎨⎪<⎩，又因为()()120f x f x +=，即有112212ln ln 0b b x a x x a x x x +++++=，整理得()()12121212ln 0x x x x a x x bx x ++++=，代入1212,x x b x x a =-+=-，可得()()ln 0aa ab b b--+-+=-，解得1b =-，又因为240a ba ⎧>-⎨<⎩，所以可得2a <-，经检验，符合题意．（3）由(2)可知1b =-且2a <-，从而()1ln f x x a x x=+-，因为()1f x x ≥-+在[)1,+∞上恒成立，令()()[)112ln 1,1,g x f x x x a x x x=+-=+--∈+∞，则有()0g x ≥在[)1,+∞上恒成立，易得()12ln1110g a =+--=，因为()2221212a x ax g x x x x ++=++='，所以()13g a '=+，令()[)()221,1,,13h x x ax x h a =++∈+∞=+，对称轴4a x =-，①当32a -≤<-时，()3130,44a h a x =+≥=-≤，所以()h x 在[)1,+∞单调递增，从而()()130h x h a ≥=+≥恒成立，所以()()20h x g x x ='≥在[)1,+∞也恒成立，所以()g x 在[)1,+∞单调递增，从而()()10g x g ≥=恒成立．②当3a <-时，()130h a =+<，所以2210x ax ++=有两个不等实根34,x x （不妨设34x x <），所以341x x <<，且当()41,x x ∈时，()0h x <，从而()()20h x g x x='<，所以()g x 在[]41,x 上单调递减，所以()()410g x g <=，与“()0g x ≥在[)1,+∞上恒成立”矛盾，综上，a 的取值范围是[)3,2--。
宁夏回族自治区银川一中2024-2025学年高三上学期第一次月考试题-数学(含答案)
银川一中2025届高三年级第一次月考数 学 试 卷命题教师：注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．命题p ：x ∀∈R ，2210x mx -+>的否定是A ．x ∀∈R ，2210x mx -+≤B ．x ∃∈R ，2210x mx -+<C ．x ∃∈R ，2210x mx -+>D ．x ∃∈R ，2210x mx -+≤2．已知函数21(1),()2(1).x x f x x x x -+<⎧=⎨-≥⎩则((1))f f -的值为A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．33．“3a > ”是“函数2()(2)2f x a x x =-- 在(1,+)∞上单调递增”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知2081.5.12,,log 42a b c -⎛⎫ ⎝⎭=⎪==，则,,a b c 的大小关系为A ．c<a<bB ．c b a<<C ．b a c <<D ．b<c<a 5．在同一个坐标系中，函数()log a f x x =，()x g x a -=，()a h x x =的图象可能是A ．B ．C ．D ．6．函数()f x ax x =的图象经过点(1,1)-，则关于x 的不等式29()(40)f x f x +-<解集为 A ．(,1)(4,)-∞-+∞ B ．(1,4)-C ．(,4)(1,)∞∞--⋃+D ．(4,1)-7．中国宋代数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个边长分别为a,b,c的三角形，其面积S 可由公式S =1=)2p a b c ++（，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的三边长满足14,6a b c +==，则 此三角形面积的最大值为A ．6B ．C ．12D ．8．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()1f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()21f x x =-+，设函数()()11132x g x x -⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，则函数()f x 与()g x 的图象所有交点的横坐标之和为A ．2B ．4C ．6D ．8二．多项选择题（共3小题，满分18分，每小题6分）9．下列运算正确的是A=B ．()326a a =C ．42log 32log 3=D ．2lg5lg2log 5÷=10. 已知函数()y f x =是定义域为R 上的奇函数，满足(2)()f x f x +=-，下列说法正确的有A ．函数()y f x =的周期为4B ．(0)0f =C ．(2024)1f =D ．(1)(1)f x f x -=+11．已知函数()24,0,31,0,x x x x f x x -⎧-≥=⎨-<⎩其中()()()f a f b f c λ===，且a b c <<，则A ．()232f f -=-⎡⎤⎣⎦B ．函数()()()g x f x f λ=-有2个零点C ．314log ,45a b c ⎛⎫++∈+ ⎪⎝⎭D ．()34log 5,0abc ∈-三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）12．已知集合A ＝{}01x x ≤≤，B ＝{}13x a x -≤≤，若A B 中有且只有一个元素，则实数a 的值为 ．13．已知函数()()231m f x m m x +=+-是幂函数，且该函数是偶函数，则f 的值是 ．14．已知函数()34x f x x =--在区间[1,2]上存在一个零点，用二分法求该零点的近似值，其参考数据如下：(1.6000)0.200f ≈，(1.5875)0.133f ≈，(1.5750)0.067f ≈，(1.5625)0.003f ≈，(1.5562)0.029f ≈-，(1.5500)0.060f ≈-，据此可得该零点的近似值为 ．（精确到0.01）四、解答题（共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．(13分)已知x ，y ，z 均为正数，且246x y z ==.(1)证明：111x y z+>；(2)若6log 4z =，求x ，y 的值，并比较2x ，3y ，4z 的大小.16．(15分)已知函数()121(0),,R 4x f x m x x m =>∈+，当121x x =+时，()()1212f x f x +=. (1)求m 的值；(2)已知()120n n a f f f f n n n ⎫⎫⎫⎛⎛⎛=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎝⎭⎭⎭，求n a 的解析式.17．(15分)已知函数2ln(),0,()23,0,a x x f x x x x +-<⎧=⎨-++≥⎩且(e)3f -=．(1)求实数a 的值； (2)若函数()()=-g x f x k 在R 上恰有两个零点，求实数k 的取值范围．18．(17分)已知函数()e x f x =与函数()ln g x x =，函数()()()11x g x g x ϕ=++-的定义域为D ．(1)求()x ϕ的定义域和值域；(2)若存在x D ∈，使得)(1)2(x f x mf -≥成立，求m 的取值范围； (3)已知函数()y h x =的图象关于点(),P a b 中心对称的充要条件是函数()y h x a b =+-为奇函数．利用上述结论，求函数()1ey f x =+的对称中心． 19．(17分)银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利．现在某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案：一次性向银行贷款10万元，技术改造后第一年可获得利润1万元，以后每年比上年增加30%的利润；乙方案：每年向银行贷款1万元，技术改造后第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元．(1)设技术改造后，甲方案第n 年的利润为n a （万元），乙方案第n 年的利润为n b （万元），请写出n a 、n b 的表达式；(2)假设两种方案的贷款期限都是10年，到期一次性归还本息．若银行贷款利息均以年息10%的复利计算，试问该企业采用哪种方案获得的扣除本息后的净获利更多？（精确到0.1）（净获利=总利润-本息和）（参考数据101.1 2.594≈，101.313.79)≈2025届高三第一次月考试卷答案一、单选题1． D 2． C 3． A 4． B5． C 6． B 7． B 8． B二、多选题9． BD 10. ABD 11． ACD.三、填空题12．2. 13．4 14．1.56.四、解答题15．已知x ，y ，z 均为正数，且246x y z ==.(1)证明：111x y z+>；(2)若6log 4z =，求x ，y 的值，并比较2x ，3y ，4z 的大小.【详解】（1）令2461x y z k ===>，则2log x k =，4log y k =，6log z k =，11log 2log 4log 8k k k x y ∴+=+=，1log 6k z=.1k > ，log 8log 6k k ∴>，111x y z∴+>.（2）6log 4z = ，64z ∴=，则244x y ==，2x ∴=，1y =，4664log 4log 256z ∴==.3462566<< ，63log 2564∴<<，342y z x ∴<<.16．已知函数()121(0),,R 4x f x m x x m =>∈+，当121x x =+时，()()1212f x f x +=.(1)求m 的值；(2)已知()120n n a f f f f n n n ⎫⎫⎫⎛⎛⎛=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎝⎭⎭⎭，求n a 的解析式.【详解】（1）()()1212111442x x f x f x m m +=+=++，即()()()()2112242444x x x x m m m m +++=++()()121212242444444x x x x x x m m m +⋅++=+⇒+()()()12122224444442x x x x m m m m ⇒=++=+---，()()()()()121222442024420x x x x m m m m ⇒---+=⇒-++-=，12444x x +≥== ，当且仅当1244x x =，即12x x =取等号，又0m >，124420,2x x m m ∴++->∴=.（2）由()120n n a f f f f n n n ⎫⎫⎫⎛⎛⎛=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎝⎭⎭⎭，得 ()10n n n a f f f n n -⎫⎫⎛⎛=+++ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭，又当121x x =+时，()()1212f x f x +=所以两式相加可得 ()()1112002n n n n n a f f f f f f n n n n ⎡⎤⎡-⎤⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以 14n n a +=17．已知函数2ln(),0,()23,0,a x x f x x x x +-<⎧=⎨-++≥⎩且(e)3f -=．(1)求实数a 的值；(2)若函数()()=-g x f x k 在R 上恰有两个零点，求实数k 的取值范围．【详解】（1）因为2ln(),0,()23,0,a x x f x x x x +-<⎧=⎨-++≥⎩且(e)3f -=，所以()(e)ln e 3f a -=+=，解得2a =；（2）由（1）可得22ln(),0()23,0x x f x x x x +-<⎧=⎨-++≥⎩，当0x <时()2ln()f x x =+-，函数()f x 在(),0∞-上单调递减，且()R f x ∈；当0x ≥时()22()2314f x x x x =-++=--+，则()f x 在[]0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减，且()14f =，()03f =，即()(],4f x ∞∈-；所以()f x 的图象如下所示：因为函数()()=-g x f x k 在R 上恰有两个零点，即函数()y f x =与y k =在R 上恰有两个交点，由图可知3k <或4k =，即实数k 的取值范围为(){},34∞-⋃.18．已知函数()e x f x =与函数()ln g x x =，函数()()()11x g x g x ϕ=++-的定义域为D ．(1)求()x ϕ的定义域和值域；(2)若存在x D ∈，使得()()21mf x f x -…成立，求m 的取值范围；(3)已知函数()y h x =的图象关于点(),P a b 中心对称的充要条件是函数()y h x a b =+-为奇函数．利用上述结论，求函数()1ey f x =+的对称中心． 【详解】（1）由题意可得()()()()()11ln 1ln 1x g x g x x x ϕ=++-=++-．由1010x x +>⎧⎨->⎩，得11x -<<，故()1,1D =-．又()()2ln 1x x ϕ=-，且(]210,1x -∈，()x ϕ∴的值域为(],0-∞；（2）()()21mf x f x -…，即2e 1e x x m -…，则211e e x xm -…． 存在x D ∈，使得()()21mf x f x -…成立，2min 11ee x x m ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭…．而2211111e e e24x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，∴当11e 2x =，即ln2x D =∈时，211e ex x -取得最小值14-，故14m -…；（3）设()()1ey h x f x ==+的对称中心为(),a b ，则函数()()t x h x a b =+-是奇函数，即()1e e x a t x b +=-+是奇函数，则()()110e e e e x a x a t x t x b b -++-+=-+-=++恒成立，()()()()1122e e 2e 2e e e e 0e e e e x a x a x a x a a x a x ab +-+-+++-++++-+++∴=++恒成立，所以()()1122e e 2e 2e e e e 0x a x a x a x a a b +-+-+++++-+++=恒成立，所以22(12e)(e e )2(e e e )0x a x a a b b b +-+-++--=，因为上式对任意实数x 恒成立，所以2212e 0e e e 0a b b b -=⎧⎨--=⎩，得12e 1b a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以函数()1e y f x =+图象的对称中心为11,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．19．银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利．现在某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案：一次性向银行贷款10万元，技术改造后第一年可获得利润1万元，以后每年比上年增加30%的利润；乙方案：每年向银行贷款1万元，技术改造后第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元．(1)设技术改造后，甲方案第n 年的利润为n a （万元），乙方案第n 年的利润为n b （万元），请写出n a 、n b 的表达式；(2)假设两种方案的贷款期限都是10年，到期一次性归还本息．若银行贷款利息均以年息10%的复利计算，试问该企业采用哪种方案获得的扣除本息后的净获利更多？（精确到0.1）（净获利=总利润-本息和）（参考数据101.1 2.594≈，101.313.79)≈【答案】(1)11.3n n a -=，0.50.5n b n =+,N n *∈(2)采用甲方案获得的扣除本息后的净获利更多【详解】（1）对于甲方案，1年后，利润为1（万元）．2年后，利润为111(10.3) 1.3+=⨯，3年后，利润为211.3(10.3) 1.3+=⨯（万元），……故n 年后，利润为11.3n -（万元），因此11.3n n a -=，N n *∈对于乙方案，1年后，利润为1（万元）．2年后，利润为10.5+，3年后，利润为0.50.510.521++=+⨯（万元），……故n 年后，利润为()10.51n +⨯-（万元），因此()10.510.50.5n b n n =+⨯-=+，N n *∈（2）甲方案十年共获利109(1.3)11(130%)(130%)42.631.31-+++⋯++==-（万元），10年后，到期时银行贷款本息为1010(10.1)25.94+=（万元），故甲方案的净收益为42.6325.9416.7-≈（万元），乙方案十年共获利1 1.5(190.5)32.5++⋯++⨯=（万元），贷款本息为119101111(110%)(110%)(110%)17.530.1⋅-+++⋯++++=≈（万元），故乙方案的净收益为32.517.5315-=（万元），由16.715>，故采用甲方案获得的扣除本息后的净获利更多。
2023-2024学年龙岩市一中高三数学上学期第一次月考卷附答案解析
2023-2024学年龙岩市一中高三数学上学期第一次月考卷（考试时间：120分钟满分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}{}223,N ,18400A xx n n B x x x ==+∈=--<∣∣，则A B ⋂中的元素个数为（）A ．8B ．9C ．10D ．112．已知(),()f x g x 是定义在R 上的函数，则“()()y f x g x =+是R 上的偶函数”是“(),()f x g x 都是R 上的偶函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列命题中，错误的命题有（）A ．函数()f x x =与()()2g x x =不是同一个函数B ．命题“[]00,1x ∃∈，2001x x +≥”的否定为“[]0,1x ∀∈，21x x +<”C ．设函数()22020x x x f x x +<⎧=⎨≥⎩，则()f x 在R 上单调递增D ．设,R x y ∈，则“x y <”是“2()0x y y -⋅<”的必要不充分条件4．已知函数()ln ,01,0x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则使得()()12f x f x +≥成立的x 的取值范围是（）A ．(],1-∞-B ．[]1,1-C ．[)1,+∞D ．(](],10,1-∞- 5．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少14，要使产品达到市场要求，则至少应过滤的次数为（已知：lg2=0.3010，lg3=0.4771）（）A ．8B ．9C ．10D ．116．设定义在R 上的奇函数()f x 在（0，+∞）上单调递增，且()10f =，则不等式()()0x f x f x ⎡⎤--<⎣⎦的解集为（）A ．{}10>1x x x -<<或B ．{}101x x x <-<<或C ．{}1>1x x x <-或D ．{}1001x x x -<<<<或7．已知6ln1.25a =，0.20.2e b =，13c =，则（）A ．a b c<<B ．c b a <<C ．c<a<b D ．a c b<<8．定义在()0,4上的函数()f x 满足()()22f x f x -=+，02x <≤时()ln f x x =，若()f x kx >的解集为{}04x x a b x <<<<或，其中a b <，则实数k 的取值范围为（）A ．ln 2,2+∞⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．ln 2,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知A B 、为实数集R 的非空集合，则A B 的必要不充分条件可以是（）A ．AB A= B ．R A B =∅ ðC ．R B ðR A ðD ．R RB A = ð10．已知,,a b c ∈R ，下列命题为真命题的是（）A ．若0a b <<，则22a ab b <<B ．若a b >，则ac 2>bc 2C ．若22ac bc >，则a b >D ．若1a b >>，则11b b a a+>+11．已知()f x 是定义在R 上的函数，且满足()32-f x 为偶函数，()21f x -为奇函数，则下列说法正确的是（）A ．函数()f x 的周期为2B ．函数()f x 的周期为4C ．函数()f x 关于点()1,0-中心对称D ．()20230f =12．函数()e x ax f x =和()ln x g x ax=有相同的最大值b ，直线y m =与两曲线()y f x =和()y g x =恰好有三个交点，从左到右三个交点横坐标依次为123,,x x x ，则下列说法正确的是（）A ．1a =B ．1b e =C ．1322x x x +=D ．2132x x x =三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知实数集R ，集合{}{}22log 1,Z 45A x x B x x x =<=∈+≤，则()R A B ⋂=ð14．已知正实数a ，b 满足3ab a b ++=，则2a b +的最小值为．15．已知()24,1,log ,2,ax x f x x x +≤⎧=⎨≥⎩则()()0f f =；若函数()f x 的值域为[)1,+∞，则a 的最小值为．16．已知函数2019sin ,10()|log ,0x x f x x x π--≤≤⎧=⎨⎩，若a b c d <<<，且()()()()f a f b f c f d ===，则a b cd +的值为.三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．已知集合{}2680A x x x =-+<，{}22430B x x ax a =-+<．（1）若1a =，求()R B A ð；（2）若0a >，设:p x A ∈，:q x B ∈，已知p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18．已知函数()121xf x a =+-是奇函数．（1）求a ；（2）若()1ln 0f x x ⋅⎡⎤⎣⎦-<，求x 的范围．19．已知函数321(1)()32k f x x x +=-，1()3g x kx =-，且()f x 在区间(2,)+∞上为增函数.(1)求实数k 的取值范围；(2)若函数()f x 与()g x 的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围.20．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出(N )x x *∈名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为310()500x a -万元()0a >，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2%x .(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？(2)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？21．已知函数()()22log f x x a x =+-是R 上的奇函数，()2g x t x a =--.(1)若函数()f x 与()g x 有相同的零点，求t 的值；(2)若13,,24e x x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，()()12f x g x ≤，求t 的取值范围.22．已知函数()()2122e x f x x a x a -⎡⎤=+-+-⎣⎦，a ∈R ．(1)讨论函数()f x 单调性；(2)当0a =时，若函数()()()11g x f x m x =---在[)0,∞+有两个不同零点，求实数m 的取值范围．1．B【分析】解一元二次不等式化简集合B ，再根据已知列出不等式，求解判断作答.【详解】解不等式218400x x --<得：220x -<<，即{|220}B x x =-<<，而{}23,N A xx n n ==+∈∣，由22320n -<+<解得：51722n -<<，又N n ∈，显然满足51722n -<<的自然数有9个，所以A B ⋂中的元素个数为9.故选：B2．B【分析】根据偶函数的定义，从(),()f x g x 是定义在R 上的偶函数出发去推导()()y f x g x =+的奇偶性，然后再进行反向推理即可.【详解】由(),()f x g x 都是R 上的偶函数，得()(),()()f x f x g x g x -=-=，设()()()(R)c x f x g x x =+∈，()()()()()()c x f x g x f x g x c x ∴-=-+-=+=，()y c x ∴=为偶函数，即“(),()f x g x 都是R 上的偶函数时，则()()f x g x +必为偶函数”，反之，“若()()f x g x +为偶函数，则不一定能推出(),()f x g x 都是R 上的偶函数”，例如：取222(),(),()()2f x x x g x x x f x g x x =-=++=，则()()f x g x +是R 上的偶函数，而(),()f x g x 都不具备奇偶性，故“()()y f x g x =+是R 上的偶函数”是“(),()f x g x 都是R 上的偶函数”的必要不充分条件.故选：B ．3．C【分析】对于A 选项，定义域不同，函数不同，故A 正确；对于B 选项，由存在量词命题与全称量词命题否定关系，可判断B 正确；对于C 选项，举反例否定其是增函数，可得C 错误；对于D 选项，举反例说明不充分，并且可证明其是必要条件，故D 正确.【详解】对于A 选项，因为两个函数的定义域不同，所以两个函数是不同的函数，故A 正确；对于B 选项，因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以B 正确；对于C 选项，因为0.10-<，但是()()0.1 1.810f f -=>=，与增函数定义矛盾，所以C 错误；对于D 选项，若x y <，当0y =时，推不出2()0x y y -⋅<，当2()0x y y -⋅<时，0y ≠且x y <，所以D 正确.故选：C.4．D【分析】当120x x +≥>时有()()12f x f x +>成立；当10,20x x +<<时有()()12f x f x +=成立，故x 的取值范围可求.【详解】当0x >时()ln f x x =为增函数，故120x x +≥>时有()()12f x f x +>成立所以01x <≤；当0x <时()1f x =，故10,20x x +<<时有()()12f x f x +=成立，所以1x <-综上所述：(](],10,1x ∈-∞- 故选：D5．D【分析】设至少需要过滤n 次，则10.0210.0014n⎛⎫⨯-≤ ⎪⎝⎭，结合指数与对数的互化解不等式，由此可得结论．【详解】设至少需要过滤n 次，则10.0210.0014n ⎛⎫⨯-≤ ⎪⎝⎭，即31420n ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,所以3lg204nlg≤-，即lg2010.301010.42lg4lg320.30100.4471n +≥=≈-⨯-，又n N ∈，所以11n ≥，所以至少过滤11次才能使产品达到市场要求,故选D ．【点睛】本题主要考查指数与对数的运算，考查学生的阅读能力，考查学生的建模能力，属于中档题．与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.6．D【分析】分析出函数()f x 在(),0∞-上是增函数，由()()0x f x f x ⎡⎤--<⎣⎦得出()0xf x <，分0x <和0x >解不等式()0xf x <，即可得出原不等式的解集.【详解】解：由于奇函数()f x 在()0,∞+上是增函数，则该函数在(),0∞-上也是增函数，且()()f x f x -=-，()10f = ，()()110f f ∴-=-=，由()()0x f x f x ⎡⎤--<⎣⎦可得()20xf x <，即()0xf x <.当0x <时，得()()01f x f >=-，解得10x -<<；当0x >时，可得()()01f x f <=，解得01x <<.因此，原不等式的解集为{10x x -<<或}01x <<.故选：D.7．A【分析】0.20.20.20.2e e ln e b ==，令()ln f x x x =，利用导数求出函数()f x 的单调区间，令()e 1x g x x =--，利用导数求出函数()g x 的单调区间，从而可得出0.2e 和1.2的大小，从而可得出,a b 的大小关系，将,b c 两边同时取对数，然后作差，从而可得出,b c 的大小关系，即可得出结论.【详解】解：0.20.20.20.2e e ln e b ==，6ln1.2 1.2ln1.25a ==，令()ln f x x x =，则()ln 1f x x '=+，当10e x <<时，()0f x '<，当1ex >时，()0f x ¢>，所以函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，令()e 1x g x x =--，则()e 1x g x '=-，当0x <时，()0g x '<，当0x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在(),0∞-上递减，在()0,∞+上递增，所以()()0.200g g >=，即0.21e 10.2 1.2e>+=>，所以()()0.2e 1.2f f >，即0.20.2e e 1.22ln ln1.>，所以b a >，由0.20.2e b =，得()0.211ln ln 0.2e ln 55b ==+，由13c =，得1ln ln 3c =，11151ln ln ln ln ln 35535c b -=--=-，因为55625510e 3243⨯⎛⎫=>> ⎪⎝⎭，所以155e 3>，所以51ln 35>，所以ln ln 0c b ->，即ln ln c b >，所以c b >，综上所述a b c <<.故选：A.【点睛】本题考查了比较大小的问题，考查了同构的思想，考查了利用导数求函数的单调区间，解决本题的关键在于构造函数，有一定的难度.8．B【分析】根据题意可知：函数()f x 关于2x =对称，作出函数()f x 在区间(0,4)上的图象，然后根据函数的图象和不等式的解集确定实数k 的取值范围即可.【详解】因为函数()f x 满足()()22f x f x -=+，所以函数()f x 关于2x =对称，作出函数()f x 在区间(0,4)上的图象，又因为不等式()f x kx >的解集为{}04x x a b x <<<<或，其中a b <，根据图象可知：当直线y kx =过点(2,ln 2)时为临界状态，此时ln 22k =，故要使不等式()f x kx >的解集为{}04x x a b x <<<<或，其中a b <，则ln 22k ≥，故选：B .9．ABD【分析】根据集合间的关系与运算及充分必要条件的判定一一判定选项即可.【详解】由A B A =⇒ A B ⊆¿AB ，而A B ⇒A B A = ，即选项A 符合题意；由R A B =∅ ðA B ⇒⊆¿AB ，而A B ⇒R A B =∅ ð，即选项B 符合题意；由R B ðR A ð⇒A B ，故选项C 不符合题意；由R R B A =⇒ ðA B ⊆¿AB ，而A B ⇒R R B A = ð，即选项D 符合题意.故选：ABD.10．CD 【分析】由不等式的性质可判断ABC ，由作差法可判断D.【详解】对于A ，若0a b <<，则22a ab b >>，A 错误；对于B ，若a b >,且0c =时，则22ac bc =，B 错误；对于C ，若22ac bc >，则0c ≠，故20c >，则必有a b >，C 正确；对于D ，若1a b >>，则+1(1)(1)0+1(1)(1)b b a b b a a b a a a a a a +-+--==>++，所以11b b a a +>+，D 正确.故选：CD11．BCD【分析】利用函数的奇偶性、对称性与周期性对选项逐一分析即可.【详解】解：因为()32-f x 为偶函数，所以()()3232f x f x -=--，所以()()22f x f x -=--，则()()4f x f x =--，所以函数()f x 关于直线2x =-对称，因为()21f x -为奇函数，所以()()2121f x f x -=---，所以()()11f x f x -=---，所以()()2f x f x =---，所以函数()f x 关于点()1,0-中心对称，故C 正确，由()()4f x f x =--与()()2f x f x =---得()()24f f x x =-----，即()()24f f x x -=--，故()()4f x f x -=，所以函数()f x 的周期为4，故A 不正确，B 正确；()()()20235064110f f f =⨯-=-=，故D 正确.故选：BCD.12．ABD【分析】利用导数的性质，根据最大值的定义，结合数形结合思想、指数与对数恒等式进行求解即可.【详解】()()(1)e e x xax a x f x f x -'=⇒=，当0a >时，当1x >时，()()0,f x f x '<单调递减，当1x <时，()()0,f x f x '>单调递增，所以当1x =时，函数()f x 有最大值，即()()max 1ea f x f ==；当a<0时，当1x >时，()()0,f x f x '>单调递增，当1x <时，()()0,f x f x '<单调递减，所以当1x =时，函数()f x 有最小值，没有最大值，不符合题意，由()()2ln 1ln x x g x g x ax ax -'=⇒=，当0a >时，当e x >时，()()0,g x g x '<单调递减，当0e x <<时，()()0,g x g x '>单调递增，所以当ex =时，函数()g x 有最大值，即()()max 1e eg x g a ==；当a<0时，当e x >时，()()0,g x g x '>单调递增，当0e x <<时，()()0,g x g x '<单调递减，所以当e x =时，函数()g x 有最小值，没有最大值，不符合题意，于是有111,0,1,e ea a a ab ae =⇒=±>∴== ，因此选项AB 正确，两个函数图象如下图所示：由数形结合思想可知：当直线y m =经过点M 时，此时直线y m =与两曲线()y f x =和()y g x =恰好有三个交点，不妨设12301e x x x <<<<<，且12312223ln ln e e x x x x x x m x x ====，由()()1212212ln 2ln ln ln e ex x x x x f x f x x ==⇒=，又121,ln ln e 1x x <<=，又当1x <时，()f x 单调递增，所以12ln x x =，又()()3233223ln 3ln ln ln e ex x x x x f x f x x ==⇒=，又231,ln ln e 1x x >>=，又当1x >时，()f x 单调递减，所以23ln x x =，332222ln 1ln ln x x x x x x m===，22121ln x x x x m ==，于是有23213212x x x x x x x =⇒=，所以选项D 正确，故选：ABD【点睛】关键点睛：利用数形结合思想，结合等式log b a a b =是解题的关键.13．{}2,3,4【分析】根据对数函数的性质及一元二次不等式的解法可求集合A 、B ，后求出R A ð再计算交集即可.【详解】由2log 1x <，解得02x <<，故()(][)R 0,2,02,A A =⇒=-∞+∞ ð，由245x x +≤，可解得14x ≤≤，又Z x ∈，所以{}1,2,3,4B =．故(){}R 2,3,4A B ⋂=ð.故答案为：{}2,3,414．423-【分析】化简得()()114a b ++=，()()22113a b a b +=+++-，再将1,1a b ++看成整体，利用基本不等式求解最小值即可【详解】由3ab a b ++=有()()114a b ++=，则()()22113a b a b +=+++-()()22113423a b ≥+⋅+-=-，当且仅当()()211a b +=+，即21a =-，221b =-时取等号.故答案为：423-15．23-【分析】根据函数的解析式，结合()21f =和一次函数的性质，列出不等式组，即可求解.【详解】()()()204log 42f f f ===，要使得函数()f x 的值域为[)1,+∞，则满足041a a ≤⎧⎨+≥⎩，解得30a -≤≤，所以实数a 的最小值为3-．故答案为：①2；②-3.【点睛】本题考查了分段函数的性质，解题的关键点是画出函数的图象，考查了学生的识图能力和计算能力.16．1-【分析】先画出函数()f x 的图象，令()()()()f a f b f c f d k ====，根据三角函数的对称性，以及对数函数的性质，求出a b +和cd ，即可得出结果.【详解】解：作出函数2019sin ,10()|log ,0x x f x x x π--≤≤⎧=⎨⎩的图象如下：令()()()()f a f b f c f d k ====，则01k <<，由题意，结合图象可得，122a b +=-，20192019log log c k d k=-⎧⎨=⎩，所以1a b +=-，2019k c -=，2019k d =，因此112019k ka b cd -++-==-.故答案为：1-.17．（1）()[3,4)R B A ⋂=ð；（2）4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）将1a =代入题干，解不含参数的一元二次不等式，进而结合补集和交集的概念即可求出结果；（2）解含参数的一元二次不等式，进而由题意可得2,43a a ≤⎧⎨≤⎩且等号不能同时成立，即可得到结果.【详解】（1）当1a =时，{}2430(1,3)B x x x =-+<=，可得(,1][3,)R B =-∞⋃+∞ð，又由{}2680(2,4)A x x x =-+<=，所以()[3,4)R B A ⋂=ð．（2）当0a >时，可得(,3)B a a =．因为p 是q 的充分不必要条件，则A B Ü，可得2,43a a ≤⎧⎨≤⎩等号不能同时成立，解得423a ≤≤，所以实数a 的取值范围为4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦．18．（1）12a =；（2）()()20,1log 3,⋃+∞【解析】（1）由()f x 是奇函数可得()()f x f x -=-，即可列出等式求解a ；（2）原不等式等价于()ln 010x f x >⎧⎨-<⎩或()ln 010x f x <⎧⎨->⎩，分别解两个不等式组，结果取并集即可.【详解】（1） ()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-，即112121x xa a -⎛⎫+=-+ ⎪--⎝⎭，211212x x x a a +=---，12211212xx xa =-=--，解得12a =；（2）若()1ln 0f x x ⋅⎡⎤⎣⎦-<，则()ln 010x f x >⎧⎨-<⎩或()ln 010x f x <⎧⎨->⎩，()()1ln 011110231212x x x x x f x f x >⎧>>⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨-<>=+<⎩⎩⎪-⎩，解得2log 3x >；()()01ln 0011110231212x x x x x f x f x <<⎧<<<⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨-><=+>⎩⎩⎪-⎩，解得01x <<.综上所述，()()20,1log 3,x ∈⋃+∞.【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，利用指数函数、对数函数的单调性解不等式，属于中档题.19．(1)(,1]-∞(2)(,13)-∞-【分析】（1）结合已知条件利用函数的单调性转化为2()(1)0f x x k x '=-+≥在(2,)+∞上恒成立，然后分离参数即可求解；（2）结合已知条件，将问题转化为()()()h x f x g x =-的零点问题，通过导函数求()h x 的单调性，进而通过零点个数即可求解.【详解】（1）由题意2()(1)f x x k x '=-+，因为()f x 在区间(2,)+∞上为增函数，所以2()(1)0f x x k x '=-+≥在(2,)+∞上恒成立，即1k x +≤在(2,)+∞上恒成立，所以12k +≤，即1k ≤，故k 的取值范围为(,1]-∞.（2）设()()()()3211323k x h x f x g x x kx +=-=-+-，则2()(1)()(1)h x x k x k x k x '=-++=--，结合已知条件，函数()f x 与()g x 的图象有三个不同的交点可转化为()h x 有三个零点，由（1）知1k ≤，①当1k =时，2()(1)0h x x '=-≥，故()h x 在R 上递增，则()h x 最多只有一个零点，不合题意；②当1k <时，()h x ，()h x '随x 的变化情况如下表：x(),k -∞k(,1)k 1(1,)+∞()h x '+0－0+()h x ↗极大值321623k k -+-↘极小值12k -↗由于102k -<，且当+x →∞时，()h x →+∞；当x →-∞时，()h x →-∞，欲使()h x 有三个零点，需3210623k k -+->，即()()21220k k k ---<，因为10k -<，所以2220k k -->，即13k <-，从而实数k 的取值范围(,13)-∞-.20．(1)500名(2)(]0,5【分析】（1）根据题意列出不等式()()10100010.2%101000x x ⋅-+≥⨯，即可求解；（2）根据题意得到3110()10(1000)(1)500500x a x x x -≤-+，转化为210001500x a x≤++在(0,500)x ∈上恒成立，结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）解：由题意，可得()()10100010.2%101000x x ⋅-+≥⨯，即25000x x -≤，又因为0x >，解得0500x <≤，所以最多调整500名员工从事第三产业.（2）解：从事第三产业的员工创造的年总利润为310()500xa x -万元，从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)(1)500x x -+万元，则3110()10(1000)(1)500500x a x x x -≤-+，所以223110002500500-≤+--x ax x x x ，所以221000500x ax x ≤++，即210001500x a x ≤++在(0,500)x ∈上恒成立，因为21000210002244500500x x x x+≥⨯==，当且仅当21000500x x=时，即500x =时等号成立，所以5a ≤，又因为0a >，所以05a <≤，即实数a 的取值范围是(]0,5.21．（1）1t =；（2）[)4,+∞【分析】（1）根据题干得到()00f =，2log 0a =，解得1a =，0x =是函数()f x 的零点，所以()010g t =-=，进而求得t 值；（2）13,,24e x x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，()()12f x g x ≤等价于()()max min f x g x ≤,根据函数的单调性得到函数的最值，即可求出结果.【详解】(1)因为()()22log f x x a x =+-是R 上的奇函数，所以()00f =，即2log 0a =，解得1a =.因为0x =是函数()f x 的零点，所以()010g t =-=，则1t =.(2)由(1)可得()()22log 1f x x x =+-，()121,221121,2x t x g x t x x t x ⎧-++≥⎪⎪=--=⎨⎪+-<⎪⎩，因为奇函数()()22221log 1log 1f x x x x x =+-=++，所以()f x 在3,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，则()f x 在3,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为()22max 333log 11444f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪=-=-+--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因为()121,2121,2x t x g x x t x ⎧-++≥⎪⎪=⎨⎪+-<⎪⎩，所以()g x 在31,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数.则()g x 的最小值为34g ⎛⎫- ⎪⎝⎭和()2g 中的较小的一个.因为33521442g t t ⎛⎫⎛⎫-=⨯-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22213g t t =-⨯++=-.所以()()min 23g x g t ==-.因为123,,24x x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，()()12f x f x ≤，所以13t ≤-.解得4t ≥.故t 的取值范围为[)4,+∞.【点睛】恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为()min 0f x >，若()0f x <恒成立()max 0f x ⇔<；（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为()()min max f x g x >（需在同一处取得最值）.22．(1)答案见解析(2)112e m -≥-且1m ≠【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，对参数a 分0a >、0a =、a<0三种情况讨论，分别求出函数的单调区间；（2）首先求出()g x 解析式，求出导函数()g x '，再构造函数利用导数说明()g x '的单调性，从而对m 分四种情况讨论，利用导数说明函数的单调性，即可求出满足函数在[)0,∞+有两个不同零点的条件，从而求出参数的取值范围.【详解】（1）解：因为()()2122e x f x x a x a -⎡⎤=+-+-⎣⎦定义域为R ，所以()()()211e e x x f x x ax x x a --'=+=+，当0a >时，令()0f x ¢>，解得0x >或x a <-，令()0f x '<，解得0a x -<<，所以()f x 在(),0a -上单调递减，在(),a -∞-和()0,∞+上单调递增，当0a =时()21e 0xf x x -'=≥恒成立，所以()f x 在R 上单调递增，当a<0时，令()0f x ¢>，解得x a >-或0x <，令()0f x '<，解得0x a <<-，所以()f x 在()0,a -上单调递减，在(),0∞-和(),a -+∞上单调递增，综上可得，当0a >时，()f x 在(),0a -上单调递减，在(),a -∞-和()0,∞+上单调递增；当0a =时，()f x 在R 上单调递增；当a<0时，()f x 在()0,a -上单调递减，在(),0∞-和(),a -+∞上单调递增；（2）解：当0a =时，()()()()()211122e 11x g x f x m x x x m x -=---=-+---，所以()21e x g x x m -'=-，令()()21e x P x g x x m -'==-，则()()212e 0x P x x x -'=+>，所以()21e x g x x m -'=-在[)0,∞+上单调递增，所以()()0g x g m ''≥=-，①当0m -≥，即0m ≤时()()00g x g m ''≥=-≥，所以()g x 在[)0,∞+上单调递增，又()10g =，所以函数()g x 只有一个零点，不符合题意，舍去；②当0m -<，即0m >时()()00g x g m ''≥=-<，又()()211e 0m g m m m '+=+->，所以存在唯一的()00,1x m ∈+，使得()00g x '=，当()00,x x ∈时，'()0g x <，当()0,x x ∈+∞时，'()0g x >所以()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，又()11g m '=-，当1m =时()10g '=，此时01x =，所以()()10g x g ≥=，函数()g x 只有一个零点，不符合题意，舍去；当1m ≠时()110g m '=-≠，01x ≠，此时有两个零点时，应满足()()0000g g x ⎧≥⎪⎨<⎪⎩，即()()()011200002e 1022e 110x m g x x x m x --⎧+-≥⎪⎨=-+---<⎪⎩，其中()()()()()0001112220000000022e 1122e e 11x x x g x x x m x x x x x ---=-+---=-+---()0132000222e 1x x x x -=-+-+-，设()()321222e 1x h x x x x -=-+-+-，()0,1x m ∈+，则()()()121e x h x x x x -'=+-，令()()()121e 0x h x x x x -'=+-=，解得1x =，所以当01x <<时()0h x '>，当11x m <<+时()0h x '<，所以()h x 在()0,1上单调递增，在()1,1m +上单调递减，所以()()10h x h ≤=，即()()()012000022e 110x g x x x m x -=-+---<恒成立，所以112e m -≥-且1m ≠.【方法点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理。
2023-2024学年福建省龙岩市第一中学高三上学期第一次月考数学试题及答案
龙岩一中2024届高三上学期第一次月考数学试题（考试时间：120分钟 满分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一一次可使杂质含量减少1/4，要使产品达到市场要求，则至少应过滤的次数为（已知：lg2=0.3010，lg3=0.4771）（ ）目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知A B 、为实数集R 的非空集合，则A B ≠⊂的必要不充分条件可以是（ ）A ．AB A ⋂=B ．A ∩C R B =C ．C R B ≠⊂C R AD ．B ∪C R A=R三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知实数集R ，集合A ＝{x|log 2x<1}，B ＝{x ∈Z |x 2＋4≤5x}，则(C R A)∩B ＝ 15. 已知()24,1,log ,2,ax x f x x x +≤⎧=⎨≥⎩则()()0f f =______；若函数()f x 的值域为[)1,+∞，则a 的最小值为______．17.（本题满分10分）已知集合{}2680A x x x =-+<，{}22430B x x ax a =-+<.（1）若a =1，求（C R B ）∩A ；（2）若a >0，设命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，已知命题p 是命题q 的充分不必要条件，求实数a 的取值围.18. （本题满分12分）已知函数1(=21xf x a +-）是奇函数.（1）求a ；（2）若[](1ln 0f x x -⋅<），求x 的范围.19．（本题满分12分）已知函数232)1(31)(x k x x f +-=，kx x g -=31)(，且)(x f 在区间),2(+∞上为增函数．（1）求实数k 的取值范围；（2）若函数)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围．20. （本题满分12分）某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出()*x x N∈名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为310500x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元()0a >，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2%x .（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？21. （本题满分12分）已知函数())2log f x x =-是R 上的奇函数，()2g x t x a =--.(1)若函数()f x 与()g x 有相同的零点，求t 的值；(2)若123,,24x x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，()()12f x g x ≤，求t 的取值范围.22. （本题满分12分）已知函数()()2122e x f x x a x a -⎡⎤=+-+-⎣⎦，a ∈R ．(1)讨论函数()f x 单调性；(2)当0a =时，若函数()()()11g x f x m x =---在[)0,∞+有两个不同零点，求实数m 的取值范围．龙岩一中2024届高三上学期第一次月考数学参考答案题号123456789101112答案BBCDDDABABDCDBCDABD13.{2，3，4}143-15.2, -316.-1两个函数图象如下图所示：121,ln ln e 1x x <<=，又当1x <时，()f x 单调递增，所以又由{}2680(2,4)A x x x =-+<=，所以()[)3,4B A ⋂=R ð.. ........5分（2）当0a >时，可得(),3B a a =.因为命题p 是命题q 的充分不必要条件，则A ≠⊂B ，可得243a a≤⎧⎨≤⎩，等号不能同时成立，解得423a ≤≤，所以实数a 的取值范围为4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ......10分18. .......1分.....................6分 （用特殊值没检验的，扣2分）................8分.....................12分19．解：（1）由题意xk x xf )1()(2+-=' ∵)(x f 在区间),2(+∞上为增函数，≥0在区间（2，+∞）上恒成立..........2分即k+1≤x 恒成立，又2>x ，∴21≤+k ，故1≤k ∴k 的取值范围为1≤k ..........4分 ( 没有等号扣2分)（2）设312)1(3)()()(23-++-=-=kx x k x x g x f x h ，)1)(()1()(2--=++-='x k x k x k x x h ...........6分令0)(='x h 得k x =或1=x 由（1）知1≤k ，①当1=k 时，0)1()(2≥-='x x h ，)(x h 在R 上递增，显然不合题意...........7分②当1<k 时，)(x h ，)(x h '随x 的变化情况如下表：x ),(k -∞k )1,(k 1),1(+∞)(x h '+0—0+)(x h ↗极大值312623-+-k k ↘极小值21-k ↗由于021<-k ，欲使)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，即方程0)(=x h 有三个不同的实根，故需0312623>-+-k k ，即0)22)(1(2<---k k k ...........10分∴⎩⎨⎧>--<02212k k k ，解得31-<k ,综上，所求k 的取值范围为31-<k ...........12分20. 解：（1）由题意，得()()10100010.2%101000x x -+≥⨯，..................3分即25000x x -≤，又0x >，所以0500x <≤.即最多调整500名员工从事第三产业. ..........5分（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为310500⎛⎫- ⎪⎝⎭x a x 万元，从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)1500⎛⎫-+⎪⎝⎭x x 万元，..............7分21. 解:(1)因为())2log f x x =-是R 上的奇函数，所以()00f =，即log 0=解得1a =..................2分因为0x =是函数()f x 的零点，所以()010g t =-=，则1t =....................4分(2)由(1)可得())2log f x x =-，()121,221121,2x t x g x t x x t x ⎧-++≥⎪⎪=--=⎨⎪+-<⎪⎩， (6)分因为奇函数())2log log f x x ==()f x 在3,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，则()f x 在3,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为()2max 33log 144f x f ⎫⎛⎫⎛⎫⎪=-=-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭.......8分因为()121,2121,2x t x g x x t x ⎧-++≥⎪⎪=⎨⎪+-<⎪⎩，所以()gx 在31,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数.则()g x 的最小值为34g ⎛⎫-⎪⎝⎭和()2g 中的较小的一个.因为33521442g t t ⎛⎫⎛⎫-=⨯-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22213g t t =-⨯++=-.所以()()min 23g x g t ==-.............10分因为123,,24x x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，()()12f x f x ≤，所以13t ≤-.解得4t ≥.故t 的取值范围为[)4,+∞.....................12分22. 解（1）：因为()()2122e x f x x a x a -⎡⎤=+-+-⎣⎦定义域为R ，所以()()()211e e x xf x x ax x x a --'=+=+，..........1分当0a >时，令()0f x ¢>，解得0x >或x a <-，令()0f x '<，解得0a x -<<，所以()f x 在(),0a -上单调递减，在(),a -∞-和()0,∞+上单调递增，..........2分当0a =时()21e 0xf x x -'=≥恒成立，所以()f x 在R 上单调递增， ..........3分当a<0时，令()0f x ¢>，解得x a >-或0x <，令()0f x '<，解得0x a <<-，所以()f x 在()0,a -上单调递减，在(),0∞-和(),a -+∞上单调递增，..........4分综上可得，当0a >时，()f x 在(),0a -上单调递减，在(),a -∞-和()0,∞+上单调递增；当0a =时，()f x 在R 上单调递增；当a<0时，()f x 在()0,a -上单调递减，在(),0∞-和(),a -+∞上单调递增；..........5分解（2）：当0a =时，()()()()()211122e 11x g x f x m x x x m x -=---=-+---，所以()21e x g x x m -'=-，令()()21e x P x g x x m -'==-，则()()212e 0x P x x x -'=+>，所以()21e x g x x m -'=-在[)0,∞+上单调递增，所以()()0g x g m ''≥=-，①当0m -≥，即0m ≤时()()00g x g m ''≥=-≥，所以()g x 在[)0,∞+上单调递增，又()10g =，所以函数()g x 只有一个零点，不符合题意，舍去；..........6分②当0m -<，即0m >时()()00g x g m ''≥=-<，又()()211e 0m g m m m '+=+->，所以存在唯一的()00,1x m ∈+，使得()00g x '=，当()00,x x ∈时，'()0g x <，当()0,x x ∈+∞时，'()0g x >所以()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，又()11g m '=-，当1m =时()10g '=，此时01x =，所以()()10g x g ≥=，函数()g x 只有一个零点，不符合题意，舍去；当1m ≠时()110g m '=-≠，01x ≠，此时有两个零点时，应满足()()0000g g x ⎧≥⎪⎨<⎪⎩，..........8分即()()()011200002e 1022e 110x m g x x x m x --⎧+-≥⎪⎨=-+---<⎪⎩，其中()()()()()0001112220000000022e 1122e e 11x x x g x x x m x x x x x ---=-+---=-+---()0132000222e 1x x x x -=-+-+-，..........9分设()()321222e 1x h x x x x -=-+-+-，()0,1x m ∈+，则()()()121e x h x x x x -'=+-，令()()()121e 0x h x x x x -'=+-=，解得1x =，所以当01x <<时()0h x '>，当11x m <<+时()0h x '<，所以()h x 在()0,1上单调递增，在()1,1m +上单调递减，所以()()10h x h ≤=，..........11分即()()()012000022e 110x g x x x m x -=-+---<恒成立，所以112e m -≥-且1m ≠...........12分【方法点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．龙岩一中2024届高三上学期第一次月考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一故选：D5．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少1/4，要使产品达到市场要求，则至少应过滤的次数为（已知：lg2=0.3010，lg3=0.4771）（ ）A．8B．9C．10D．11【答案】D【详解】设至少需要过滤n次，则10.0210.0014n⎛⎫⨯-≤⎪⎝⎭，即31420n⎛⎫≤⎪⎝⎭,所以3lg204nlg≤-，即lg2010.301010.42lg4lg320.30100.4471n+≥=≈-⨯-，又n N∈，所以11n≥，所以至少过滤11次才能使产品达到市场要求,故选D．【点睛】本题主要考查指数与对数的运算，考查学生的阅读能力，考查学生的建模能力，属于中档题．与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际【点睛】本题考查了比较大小的问题，考查了同构的思想，考查了利用导数求函数的单调区ln二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知A B 、为实数集R 的非空集合，则A B ≠⊂的必要不充分条件可以是（ ）⊂-x 121,ln ln e 1x x <<=，又当1x <时，()f x 单调递增，所以()()3233223ln 3ln ln ln e ex x x x x f x f x x ==⇒=，又2x 所以23ln x x =，332222ln 1ln ln x x x x x x m ===，21ln x x =确，故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知实数集R ，集合A ＝{x|log 2x<1}，B ＝{x ∈Z |x 2＋4≤5x}，则(C R A)∩B ＝ 【答案】{2，3，4}解析 由log 2x<1，解得0<x<2，故A ＝(0，2)，故C R A ＝(－∞，0]∪[2，＋∞)，由x 2＋4≤5x ，即x 2－5x ＋4≤0，解得1≤x ≤4，又x ∈Z ，所以B ＝{1，2，3，4}．15. 已知()24,1,log ,2,ax x f x x x +≤⎧=⎨≥⎩则()()0f f =______；若函数()f x 的值域为[)1,+∞，则a 的最小值为______．【答案】23- 【详解】()()()204log 42f f f ===，要使得函数()f x 的值域为[)1,+∞，则满足041a a ≤⎧⎨+≥，解得30a -≤≤，所以实数a 的最小值为3-．出文字说明、证明过程和演算步骤．17.（本题满分10分）已知集合{}2680A x x x =-+<，{}22430B x x ax a =-+<.（1）若a =1，求（C R B ）∩A ；（2）若a >0，设命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，已知命题p 是命题q 的充分不必要条件，求实数a 的取值围.17解：（1）当1a =时，{}2430(1,3)B x x x =-+<=，可得][(),13,=-∞⋃+∞R B ð，又由{}2680(2,4)A x x x =-+<=，所以()[)3,4B A ⋂=R ð.. ........5分（2）当0a >时，可得(),3B a a =.因为命题p 是命题q 的充分不必要条件，则A ≠⊂B ，可得243a a≤⎧⎨≤⎩，等号不能同时成立，解得423a ≤≤，所以实数a 的取值范围为4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (10)分18. （本题满分12分）已知函数1(=21x f x a +-）是奇函数.（1）求a ；（2）若[](1ln 0f x x -⋅<），求x 的范围........1分.....................6分 （用特殊值没检验的，扣2分）.....................8分.....................12分19．（本题满分12分）已知函数232)1(31)(x k x x f +-=，kx x g -=31)(，且)(x f 在区间),2(+∞上为增函数．（1）求实数k 的取值范围；（2）若函数)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围．解：（1）由题意x k x x f )1()(2+-=' ∵)(x f 在区间),2(+∞上为增函数，≥0在区间（2，+∞）上恒成立..........2分即k+1≤x 恒成立，又2>x ，∴21≤+k ，故1≤k ∴k 的取值范围为1≤k ..........4分 ( 没有等号扣2分)（2）设312)1(3)()()(23-++-=-=kx x k x x g x f x h ，)1)(()1()(2--=++-='x k x k x k x x h ...........6分令0)(='x h 得k x =或1=x 由（1）知1≤k ，②当1=k 时，0)1()(2≥-='x x h ，)(x h 在R 上递增，显然不合题意...........7分②当1<k 时，)(x h ，)(x h '随x 的变化情况如下表：x ),(k -∞k )1,(k 1),1(+∞)(x h '+0—0+)(x h ↗极大值312623-+-k k ↘极小值21-k ↗由于021<-k ，欲使)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，即方程0)(=x h 有三个不同的实根，故需0312623>-+-k k ，即0)22)(1(2<---k k k ...........10分∴⎩⎨⎧>--<02212k k k ，解得31-<k ,综上，所求k 的取值范围为31-<k ...........12分20. （本题满分12分）某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出()*x x N∈名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为310500x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元()0a >，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2%x .（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？解：（1）由题意，得()()10100010.2%101000x x -+≥⨯，..................3分即25000x x -≤，又0x >，所以0500x <≤.即最多调整500名员工从事第三产业. ..........5分（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为310500⎛⎫-⎪⎝⎭x a x 万元，从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)1500⎛⎫-+ ⎪⎝⎭x x 万元，..............7分21. （本题满分12分）已知函数())2log f x x =是R 上的奇函数，()2g x t x a =--.(1)若函数()f x 与()g x 有相同的零点，求t 的值；(2)若123,,24x x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，()()12f x g x ≤，求t 的取值范围.解:(1)因为())2log f x x =是R 上的奇函数，所以()00f =，即log 0=解得1a =..................2分因为0x =是函数()f x 的零点，所以()010g t =-=，则1t =....................4分(2)由(1)可得())2log f x x =-，()121,221121,2x t x g x t x x t x ⎧-++≥⎪⎪=--=⎨⎪+-<⎪⎩，............6分因为奇函数())22log log f x x =-=()f x 在3,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，则()f x 在3,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为()2max 33log 144f x f ⎫⎛⎫⎛⎫⎪=-=-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭.......8分因为()121,2121,2x t x g x x t x ⎧-++≥⎪⎪=⎨⎪+-<⎪⎩，所以()g x 在31,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数.则()g x 的最小值为34g ⎛⎫- ⎪⎝⎭和()2g 中的较小的一个.因为33521442g t t ⎛⎫⎛⎫-=⨯-+-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22213g t t =-⨯++=-.所以()()min 23g x g t ==-.............10分因为123,,24x x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，()()12f x x ，所以13t ≤-.解得4t ≥.故t 的取值范围为[)4,+∞.....................12分22. （本题满分12分）已知函数()()2122e x f x x a x a -⎡⎤=+-+-⎣⎦，a ∈R ．(1)讨论函数()f x 单调性；(2)当0a =时，若函数()()()11g x f x m x =---在[)0,∞+有两个不同零点，求实数m 的取值范围．解（1）：因为()()2122e x f x x a x a -⎡⎤=+-+-⎣⎦定义域为R ，所以()()()211e e x xf x x ax x x a --'=+=+，..........1分当0a >时，令()0f x ¢>，解得0x >或x a <-，令()0f x '<，解得0a x -<<，所以()f x 在(),0a -上单调递减，在(),a -∞-和()0,∞+上单调递增，..........2分当0a =时()21e 0xf x x -'=≥恒成立，所以()f x 在R 上单调递增， ..........3分当a<0时，令()0f x ¢>，解得x a >-或0x <，令()0f x '<，解得0x a <<-，所以()f x 在()0,a -上单调递减，在(),0∞-和(),a -+∞上单调递增，..........4分综上可得，当0a >时，()f x 在(),0a -上单调递减，在(),a -∞-和()0,∞+上单调递增；当0a =时，()f x 在R 上单调递增；当a<0时，()f x 在()0,a -上单调递减，在(),0∞-和(),a -+∞上单调递增；..........5分解（2）：当0a =时，()()()()()211122e 11x g x f x m x x x m x -=---=-+---，所以()21e x g x x m -'=-，令()()21e x P x g x x m -'==-，则()()212e 0x P x x x -'=+>，所以()21e x g x x m -'=-在[)0,∞+上单调递增，所以()()0g x g m ''≥=-，①当0m -≥，即0m ≤时()()00g x g m ''≥=-≥，所以()g x 在[)0,∞+上单调递增，又()10g =，所以函数()g x 只有一个零点，不符合题意，舍去；..........6分②当0m -<，即0m >时()()00g x g m ''≥=-<，又()()211e 0m g m m m '+=+->，所以存在唯一的()00,1x m ∈+，使得()00g x '=，当()00,x x ∈时，'()0g x <，当()0,x x ∈+∞时，'()0g x >所以()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，又()11g m '=-，当1m =时()10g '=，此时01x =，所以()()10g x g ≥=，函数()g x 只有一个零点，不符合题意，舍去；当1m ≠时()110g m '=-≠，01x ≠，此时有两个零点时，应满足()()0000g g x ⎧≥⎪⎨<⎪⎩，..........8分即()()()011200002e 1022e 110x m g x x x m x --⎧+-≥⎪⎨=-+---<⎪⎩，其中()()()()()0001112220000000022e 1122e e 11x x x g x x x m x x x x x ---=-+---=-+---()0132000222e 1x x x x -=-+-+-，..........9分设()()321222e 1x h x x x x -=-+-+-，()0,1x m ∈+，则()()()121ex h x x x x -'=+-，令()()()121e0x h x x x x -'=+-=，解得1x =，所以当01x <<时()0h x '>，当11x m <<+时()0h x '<，所以()h x 在()0,1上单调递增，在()1,1m +上单调递减，所以()()10h x h ≤=，..........11分即()()()012000022e 110x g x x x m x -=-+---<恒成立，所以112e m -≥-且1m ≠...........12分【方法点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。
2023-2024学年辽宁省沈阳市重点学校高三(上)月考数学试卷(一模)(含解析)
2023-2024学年辽宁省沈阳市重点学校高三（上）月考数学试卷（一模）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）l 非空集合A = (x E N IO < x < 3}, B ={yENI沪－my+l<O,mER},AnB=AUB,则实数m的取值范围为（）A.合，早］B.(0,节C.(2，早］D.合，导2．设mER，则＇＇m=2"是“复数z= (m + 2i)(l + i )为纯虚数”的（）A充分而不必要条件C充分必要条件B 必要而不充分条件D既不充分也不必要条件亢173.若0＜ a <-2< /J ＜亢，且cos/J ＝－－,sin(a +/J) ＝ － 39' 则si n"的值是（） 1-27A 5-27B 1-3c D.23 274函数f(x) = (x 2 -4x)(e x -2 -e 2-x ) + x + l 在区间(-1,5]的值域为[m,M]，则m +M =( ) A.2B. 4C. 6D. 85．美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为f(x)= � (P > 0, a > l, k < 0)的形式已知f (x) = � (x E N )描述的是一种果树的高度随着栽种时间x（单位：年）变化的规律，若刚栽种(x = 0)时1+3kx+b 该果树的商为1.Sm,经过2年，该果树的商为4.Sm,则该果树的商度不低千5.4m,至少需要（）A .3年B. 4年C . 5年D. 6年6设函数f(x) = s in(wx +<f)）甘(w> 0)，若对千任意实数<f),函数f(x)在区间(0,2rr]上至少有3个零点，至多有4个零点，则w的取值范围是（））4-3，1 ．．A ）5-3，4-3''B）2，5-3，「c 、＼丿7-3，2f 1D 7.下列不等式正确的是（其中e ""2.718为自然对数的底数，兀～3.14,ln2 "" 0.69)( ) A 兀一3·e2<rr B 4丘<e ln2 c e cosl ·—<2石D.sinl<::2cos2+1亢8已知空间向盘a,b, e两两夹角均为60°,且顷I=lbl = 1, I 引＝2．若向量艾，了满足了＠＋句＝x·b,歹G ＋石）＝歹·c,则戌－了I 的最小值是（）A. 1.'- 2B罕C. 0D.石－1二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。
广东省揭阳市2025届高三上学期第一次月考数学试题(含答案)
广东省揭阳市2025届高三上学期第一次月考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|x>1},B={x|(x+1)(x−3)<0}，则(∁R A)∩B=( )A. (3,+∞)B. (−1,+∞)C. (−1,3)D. (−1,1]2.若复数(1−3i)z=3−i(i为虚数单位)，则|z|−z在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.双曲线x2−y23=1的两条渐近线的夹角的大小等于( )A. π6B. π3C. 2π3D. 5π64.在△ABC中，D是BC上一点，满足BD=3DC，M是AD的中点，若BM=λBA+μBC，则λ+μ=( )A. 54B. 1 C. 78D. 585.若两个等比数列{a n}，{b n}的公比相等，且b1=4，a2=2a3，则{b n}的前6项和为( )A. 578B. 638C. 124D. 2526.若函数f(x)=sinωx+3cosωx(ω>0)在区间[a,b]上是减函数，且f(a)=1，f(b)=−1，b−a=π，则ω=( )A. 13B. 23C. 1D. 27.已知点A(−1,0)，B(0,3)，点P是圆(x−3)2+y2=1上任意一点，则▵PAB面积的最小值为( )A. 6B. 112C. 92D. 6−1028.已知函数y=f(x)的定义域为R，且f(−x)=f(x)，若函数y=f(x)的图象与函数y=log2(2x+2−x)的图象有交点，且交点个数为奇数，则f(0)=( )A. −1B. 0C. 1D. 2二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设A，B为随机事件，且P(A)，P(B)是A，B发生的概率．P(A)，P(B)∈(0,1)，则下列说法正确的是( )A. 若A，B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)B. 若P(AB)=P(A)P(B)，则A，B相互独立C. 若A，B互斥，则A，B相互独立D. 若A，B独立，则P(B|A)=P(B)10.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b=c cos A，内角A的平分线交BC于点D，AD=1，cos A=18，以下结论正确的是( )A. AC=34B. AB=8C. CDBD =18D. ▵ABD的面积为37411.设函数f(x)=(x−1)2(x−4)，则( )A. x=1是f(x)的极小值点B. f(2+x)+f(2−x)=−4C. 不等式−4<f(2x−1)<0的解集为{x|1<x<2}D. 当0<x<π2时，f(sin x)>f(sin2x)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2023-2024学年天津市耀华中学高三上学期第一次月考数学试题及答案
天津市耀华中学2024届高三年级第一次月考数学学科试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共45分）一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请把正确答案填涂在答题卡上.1 已知集合{}220A x x x =+-<，{}lg 1B x x =<，A B = （ ）A. ()2,10-B. ()0,1C. ()2,1-D. (),10-∞2. 设x ∈R ，则“11||22x -<”是“31x <”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 函数()3ln xf x x=的部分图象是A. B.C. D.4. 5G 技术在我国已经进入调整发展的阶段，5G 手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：.时间x12345销售量y （千只）0.50.81.01.21.5若x 与y 线性相关，且线性回归方程为 0.24y x a=+，则下列说法不正确的是（ ）A. 由题中数据可知，变量y 与x 正相关，且相关系数1r <B. 线性回归方程 0.24y x a=+中 0.26a =C. 当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量 y 平均增加0.24个单位D. 可以预测6x =时，该商场5G 手机销量约为1.72（千只）5. 已知0.20.212log 0.5,0.5,log 0.4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. a b c <<B. a c b<< C. b<c<a D. c<a<b6. 已知4log a a =，则2log a a +=（ ）A 11或238-B. 11或218-C. 12或238-D. 10或218-7. “送出一本书，共圆读书梦”，某校组织为偏远乡村小学送书籍的志愿活动，运送的卡车共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书．到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下9箱中任意打开2箱都是英语书的概率为（ ）A.29B.18C.112D.588. 将函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像上所有点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，有下述四个结论：①()π2sin 6g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭②函数()g x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增③点4π,03⎛⎫⎪⎝⎭是函数()g x 图像的一个对称中心④当ππ,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的最大值为2其中所有正确结论的编号是（ ）A. ①②③B. ②③C. ①③④D. ②④.9. 已知函数()()()()()()22121,1,11,1,1a x a x x f x a x ax x x ⎧-++-∈-⎪=⎨-++∉-⎪⎩有且只有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()0,1 B. ()(),80,1-∞- C. [)0,1 D. (][),80,1-∞- 第Ⅱ卷（非选择题 共105分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，请将答案填写在答题卡上.10. 复数()21i 1iz -=+（i 为虚数单位），则z =______.11.在6的二项展开式中，2x 的系数为___________．12.若2sin sin αβ+=3π2αβ+=，则sin α=________；cos 2β=________.13. 某专业资格考试包含甲､乙､丙3个科目，假设小张甲科目合格的概率为34，乙､丙科目合格的概率均为23，且3个科目是否合格相互独立.设小张3科中合格的科目数为X ，则(2)P X ==___________；()E X =___________.14. 已知0a >，0b >的最大值为________.15. 设R ω∈，函数()2π2sin ,0,6314,0,22x x f x x x x ωω⎧⎛⎫+≥ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪++<⎪⎩()g x x ω=.若()f x 在1π,32⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，且函数()f x 与()g x 图象有三个交点，则ω的取值范围是________.三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答案卡上.16. 已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a，b ，c ，满足22cos c b A =+.（1）求角B ；（2）若1cos 4A =，求sin(2)A B +的值；（3）若7c =，sin b A =b 的值.的17. 已知底面ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，//PA DQ ，33PA AD DQ ===，点E 、F 分别为线段PB 、CQ 的中点．（1）求证：//EF 平面PADQ ；（2）求平面PCQ 与平面CDQ 夹角的余弦值；（3）线段PC 上是否存在点M ，使得直线AM 与平面PCQ，若存在求出PM MC 的值，若不存在，说明理由．18. 已知{}n a 为等差数列，6,2,n n n a n b a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数，记n S ，n T 分别为数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，432S =，316T =．（1）求{}n a 通项公式；（2）证明：当5n >时，n n T S >．19. 如图，已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>()F 且斜率为k 的直线交椭圆E 于,A B 两点，线段AB 的中点为M ，直线l ：40x ky +=交椭圆E 于,C D 两点.（1）求椭圆E 的方程；（2）求证：点M 在直线l上；的（3）是否存在实数k ，使得3BDM ACM S S ∆∆=？若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由.20 已知函数()()1211222x f x x ex x -=--++，()()24cos ln 1g x ax x a x x =-+++，其中a ∈R ．（1）讨论函数()f x 的单调性，并求不等式()0f x >的解集；（2）用{}max ,m n 表示m ，n 的最大值，记()()(){}max ,F x f x g x =，讨论函数()F x 的零点个数．.天津市耀华中学2024届高三年级第一次月考数学学科试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共45分）一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请把正确答案填涂在答题卡上.1. 已知集合{}220A x x x =+-<，{}lg 1B x x =<，A B = （ ）A. ()2,10-B. ()0,1C. ()2,1-D. (),10-∞【答案】B 【解析】【分析】根据解一元二次不等式的解法，结合对数函数的单调性、集合交集的定义进行求解即可.【详解】因为{}()2202,1A x x x =+-<=-，{}()lg 10,10B x x =<=，所以A B = ()0,1，故选：B2. 设x ∈R ，则“11||22x -<”是“31x <”的A. 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】分析：首先求解绝对值不等式，然后求解三次不等式即可确定两者之间的关系.详解：绝对值不等式1122x -<⇔111222x -<-<⇔01x <<，由31x <⇔1x <..据此可知1122x -<是31x <的充分而不必要条件.本题选择A 选项.点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3. 函数()3ln xf x x =的部分图象是A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据奇偶性排除B ，当1x >时，()3ln 0xf x x =>，排除CD ，得到答案.【详解】()()()33ln ln ,x xf x f x f x x x =-==--， ()f x 为奇函数，排除B 当1x >时，()3ln 0xf x x=>恒成立，排除CD 故答案选A【点睛】本题考查了函数图像的判断，通过奇偶性，特殊值法排除选项是解题的关键.4. 5G 技术在我国已经进入调整发展的阶段，5G 手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：时间x12345销售量y （千只）0.50.8 1.0 1.2 1.5若x 与y 线性相关，且线性回归方程为 0.24y x a=+，则下列说法不正确的是（ ）A. 由题中数据可知，变量y 与x 正相关，且相关系数1r <B. 线性回归方程 0.24y x a=+中 0.26a =C. 当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量 y 平均增加0.24个单位D. 可以预测6x =时，该商场5G 手机销量约为1.72（千只）【答案】ACD 【解析】【分析】根据已知数据，分析总体单调性，结合增量的变化判断A 选项；根据已知数据得到样本中心点，代入回归方程求解即可判断B 选项；根据回归方程判断CD 选项.【详解】从数据看y 随x 的增加而增加，故变量y 与x 正相关，由于各增量并不相等，故相关系数1r <，故A 正确；由已知数据得()11234535=++++=，()10.50.8 1.0 1.2 1.515y =++++=，代入ˆˆ0.24yx a =+中得到ˆ130.240.28a =-⨯=，故B 错；根据线性回归方程ˆ0.240.28yx =+可得x 每增加一个单位时，预报变量ˆy 平均增加0.24个单位，故C 正确.将6x =代入ˆ0.240.28yx =+中得到ˆ0.2460.28 1.72y =⨯+=，故D 正确.故选：ACD.5. 已知0.20.212log 0.5,0.5,log 0.4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. a b c << B. a c b<< C. b<c<a D. c<a<b【答案】A 【解析】【分析】由指数函数与对数函数的单调性求解即可【详解】因为0.20.20.21log 0.5log log 2a ==<=，而150.2110.522b ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，且0.20.51<，所以a b <.又12225log 0.4log log 212c ==>>，所以a b c <<，故选：A.6. 已知4log a a =，则2log a a +=（ ）A. 11或238-B. 11或218-C. 12或238-D. 10或218-【答案】A 【解析】【分析】对4log a a =43log 2a =或32-，讨论43log 2a =或32-时2log a a+的值，即可得出答案.【详解】由4log aa =()(4log 44log log aa=()49249log log4a ==，所以43log 2a =或32-.当43log 2a =时，33242a ===8，所以22log 8log 811a a +=+=；当43log 2a =-时，32148a -==，所以221123log log 888a a +=+=-，综上，a +2log 11a =或238-，故选：A.7. “送出一本书，共圆读书梦”，某校组织为偏远乡村小学送书籍的志愿活动，运送的卡车共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书．到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下9箱中任意打开2箱都是英语书的概率为（ ）A.29B.18C.112D.58【答案】A 【解析】【分析】剩下9箱中任意打开2箱都是英语书的情况整体分为三种情况：丢失的英语书、数学书和语文书，计算出每种情况的概率即可.【详解】设事件A 表示丢失一箱后任取两箱是英语书，事件k B 表示丢失的一箱为,1,2,3k k =分别表示英语书、数学书、语文书．由全概率公式得()()()2223554222219999C C C 11382|2C 5C 10C C 9k k k P A P B P A B ===⨯+⨯+⨯==∑．故选：A8. 将函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像上所有点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，有下述四个结论：①()π2sin 6g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭②函数()g x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增③点4π,03⎛⎫⎪⎝⎭是函数()g x 图像的一个对称中心④当ππ,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的最大值为2其中所有正确结论的编号是（ ）A. ①②③ B. ②③C. ①③④D. ②④【答案】B 【解析】【分析】根据图象变换可得()π2sin 3g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，结合正弦函数的性质逐项分析判断.【详解】由题意可得：()π2sin 3g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，故①错误；因为π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πππ,336x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，且sin y x =在ππ,36⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以函数()g x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故②正确；因为4π4ππ2sin 2sin π0333g ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点4π,03⎛⎫⎪⎝⎭是函数()g x 图像的一个对称中心，故③正确；因为ππ,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则π4ππ,336x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦-，所以当π4π33x -=-，即πx =-时，函数()g x 的最大值为()4ππ2sin 3g ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，故④错误；故选：B.9. 已知函数()()()()()()22121,1,11,1,1a x a x x f x a x ax x x ⎧-++-∈-⎪=⎨-++∉-⎪⎩有且只有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()0,1 B. ()(),80,1-∞- C. [)0,1 D. (][),80,1-∞- 【答案】B【解析】【分析】先求1a =时函数()f x 的零点，再考虑1a ≠时，函数()f x 在(][),11,-∞+∞ 的零点，由此确定函数()f x 在()1,1-上的零点个数，结合二次函数性质求a 的取值范围.【详解】当1a =时，()()[)(]31,1,1,1,0,,1x x f x x x x x ∞∞⎧-∈-⎪=+∈+⎨⎪∈--⎩，所以区间(],1-∞-内的任意实数和13都为函数()f x 的零点，不满足要求；当1a ≠时，若(],1x ∈-∞-，则()()21f x a x ax x =-+-，令()0f x =，可得0x =(舍去)，或=1x -，所以=1x -为函数()f x 的一个零点；若[)1,x ∞∈+，则()()21f x a x ax x =-++，令()0f x =，则()210a x ax x -++=，所以11a x a +=-，若111a a+≥-，即01a ≤<，则函数()f x 在[)1,+∞上有一个零点；若1a >或a<0时，则函数()f x 在[)1,+∞上没有零点；当01a ≤<时，函数()f x 在(][),11,-∞-⋃+∞上有两个零点；当1a >或a<0时，函数()f x 在(][),11,-∞-⋃+∞上有一个零点，因为当01a ≤<时，函数()f x 在(][),11,-∞-⋃+∞上有两个零点；又函数()f x 在R 上有3个零点，所以函数()f x 在()1,1-上有且只有一个零点，即方程()()21210a x a x -++-=在()1,1-上有一个根，由()()()22418a a a a ∆=++-=+，当0a =时，方程()()21210a x a x -++-=的根为1x =(舍去)，故0a =时，方程()()21210a x a x -++-=在()1,1-上没有根，矛盾当01a <<时，0∆>，设()()()[]2121,1,1g x a x a x x =-++-∈-，函数()()()2121g x a x a x =-++-的对称轴为2122a x a+=>-，函数()g x 的图象为开口向下的抛物线，由方程()()21210a x a x -++-=在()1,1-上有一个根可得()()10,10g g >-<，所以()()()()1210,1210a a a a -++->--+-<，所以01a <<，当1a >时，则函数()f x 在(][),11,-∞-⋃+∞上有一个零点；又函数()f x 在R 上有3个零点，所以函数()f x 在()1,1-上有且只有两个零点，即方程()()21210a x a x -++-=在()1,1-上有两个根，由()()()[]2121,1,1g x a x a x x =-++-∈-可得函数()g x 的图象为开口向上的抛物线，函数()()()2121g x a x a x =-++-的对称轴为222a x a+=-，则()()()224180a a a a ∆=++-=+>，21122a a+-<<-， ()()10,10g g >->，所以4a >，()()()()1210,1210a a a a -++->--+->，满足条件的a 不存在，当a<0时，则函数()f x 在(][),11,-∞-⋃+∞上有一个零点；又函数()f x 在R 上有3个零点，所以函数()f x 在()1,1-上有且只有两个零点，即方程()()21210a x a x -++-=在()1,1-上有两个根，由()()()[]2121,1,1g x a x a x x =-++-∈-可得函数()g x 的图象为开口向下的抛物线，函数()()()2121g x a x a x =-++-的对称轴为222a x a+=-，则()()()224180a a a a ∆=++-=+>，21122a a +-<<-， ()()10,10g g <-<，所以8a <-，a<0，()()()()1210,1210a a a a -++-<--+-<，所以8a <-，故实数a 的取值范围是()(),80,1-∞- .故选：B【点睛】关键点睛：含绝对值函数的相关问题的解决的关键在于去绝对值，将其转化为不含绝对值的函数，分段函数的性质的研究可以分段研究.第Ⅱ卷（非选择题 共105分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，请将答案填写在答题卡上.10. 复数()21i 1iz -=+（i 为虚数单位），则z =______.【解析】【分析】先利用复数的运算化简复数，再利用模长的公式求解模长.【详解】()()()()()21i 2i 1i 2i i 1i 1i 1i 1i 1i 1i z ----====--=--+++-.所以z ==.11. 在6的二项展开式中，2x 的系数为___________．【答案】38-【解析】【详解】试题分析：因为6263166((1)2r r r r r r r r T C C x ---+==-，所以由32r -=得1r =，因此2x 的系数为1463(1)28C --=-考点：二项式定理【方法点睛】1．求特定项系数问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n≥r ）；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项的系数．2．有理项是字母指数为整数的项．解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解．12. 若2sin sin αβ+=3π2αβ+=，则sin α=________；cos 2β=________.【答案】 ①. ②. 35##0.6【解析】【分析】由2sin sin αβ+=3π2αβ+=，可得出2sin cos αα-=，再结合同角平方关系即可求出sin α=，从而算出sin β=3cos 25β=.【详解】 2sin sin αβ+=3π2αβ+=，3π2sin sin()2αα∴+-=2sin cos αα-=，cos 2sin αα∴=-，又22sin cos 1αα+= ，∴(22sin 2sin 1,αα+=解得sin α=∴2sin β+=，解得sin β=，23cos 212sin 5ββ∴=-=.综上，sin α=3cos 25β=.，35.13. 某专业资格考试包含甲､乙､丙3个科目，假设小张甲科目合格的概率为34，乙､丙科目合格的概率均为23，且3个科目是否合格相互独立.设小张3科中合格的科目数为X ，则(2)P X ==___________；()E X =___________.【答案】①. 49； ②. 2512##1212.【解析】【分析】根据独立事件概率的公式，结合数学期望的公式进行求解即可.【详解】3223223224(2)(1(1(1)4334334339P X ==-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-=；3221(0)(1)(1(1)43336P X ==-⨯-⨯-=，3223223227(1)(1(1)(1)(1)(1)(143343343336P X ==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=，3221(3)4333P X ==⨯⨯=，所以174125()012336369312E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，故答案为：49；251214. 已知0a >，0b >的最大值为________.【解析】【分析】利用基本不等式可得答案.【详解】因为0a >，0b >，所以=≤==，当且仅当2a a b=+即a b=等号成立..15. 设Rω∈，函数()2π2sin,0,6314,0,22x xf xx x xωω⎧⎛⎫+≥⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪++<⎪⎩()g x xω=.若()f x在1π,32⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，且函数()f x与()g x的图象有三个交点，则ω的取值范围是________.【答案】23⎤⎥⎦.【解析】【分析】利用()f x在1π,32⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增可得1243ω≤≤，函数()f x与()g x的图象有三个交点，可转化为方程23610x xω++=在(),0x∈-∞上有两个不同的实数根可得答案.【详解】当π0,2x⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，πππ,626ωω⎡⎫++⎪⎢⎣⎭x，因为()f x在1π,32⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以()π0ππ2624133π12sin62ω⎧+≤⎪⎪⎪-≤-⎨⎪⎪≥⎪⎩，解得1243ω≤≤，又函数()f x与()g x图象有三个交点，所以在(),0x∈-∞上函数()f x与()g x的图象有两个交点，即方程231422x x xωω++=在(),0x∈-∞上有两个不同的实数根，即方程23610x xω++=在(),0x∈-∞上有两个不同的实数根，的所以22Δ3612003060102ωωω⎧=->⎪⎪-<⎨⎪⨯+⨯+>⎪⎩，解得ω>当0x ≥时，令()()π2sin 6ωω⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭f xg x x x ，由0x =时，()()10f x g x -=>，当π5π66ω+=x 时，7π3ω=x ，此时，()()7π203-=-<f x g x ，结合图象，所以0x ≥时，函数()f x 与()g x 的图象只有一个交点，综上所述，23ω⎤∈⎥⎦.故答案为：233⎤⎥⎦.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是转化为方程23610x x ω++=在(),0x ∈-∞上有两个不同的实数根.三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答案卡上.16. 已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，满足22cos c b A =+.（1）求角B ；（2）若1cos 4A =，求sin(2)AB +的值；（3）若7c =，sin b A =b 的值.【答案】（1）6π.（2.（3【解析】【分析】（1）由正弦定理化边为角后，由诱导公式和两角和的正弦公式化简后可求得B ；（2）由二倍角公式求得sin 2,cos 2A A 后再由两角和的正弦公式可求值；（3）由正弦定理求得a ，再由余弦定理求得b ．【详解】（1）∵22cos c b A =+，由正弦定理得，2sin 2sin cos C A B A=+∴2(sin cos cos sin )2sin cos A B+A B A B A =+，即2sin cos A B A =.∵sin 0A ≠，∴cos B =又0B π<<，∴6B π=（2）由已知得，sin A ==∴sin 22sin cos A A A ==，27cos 22cos 18A A =-=-∴sin(2)sin(2sin 2cos cos 2sin 666A B A A A πππ+++==.（3）由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin b A a B =.由（1）知，6B π=，∴a =由余弦定理得，2222cos 19b a c ac B =+-=.∴b =【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、考查两角和的正弦公式、二倍角公式、诱导公式，同角间的三角函数关系，考查公式较多，解题关键是正确选择应用公式的顺序．在三角形中出现边角关系时，常常用正弦定理进行边角转换．17. 已知底面ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，//PA DQ ，33PA AD DQ ===，点E 、F 分别为线段PB 、CQ 中点．（1）求证：//EF 平面PADQ ；（2）求平面PCQ 与平面CDQ 夹角的余弦值；（3）线段PC 上是否存在点M ，使得直线AM 与平面PCQ，若存在求出PM MC 的值，若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2（3）存在；1PM MC =或15PM MC =【解析】【分析】（1）法一：分别取AB 、CD 的中点G 、H ，连接EG 、GH 、FH ，证明出平面//EGHF 平面ADQP ，利用面面平行的性质可证得结论成立；法二：以点A 为坐标原点，以AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立；（2）利用空间向量法可求得平面PCQ 与平面CDQ 夹角的余弦值；（3）假设存在点M ，使得PM PC λ= ，其中[]0,1λ∈，求出向量AM 的坐标，利用空间向量法可得出关于λ的方程，解之即可.【小问1详解】的证明：法一：分别取AB 、CD 的中点G 、H ，连接EG 、GH 、FH ，由题意可知点E 、F 分别为线段PB 、CQ 的中点．所以//EG PA ，//FH QD ，因为//PA DQ ，所以//EG FH ，所以点E 、G 、H 、F 四点共面，因为G 、H 分别为AB 、CD 的中点，所以//GH AD ，因为AD ⊂平面ADQP ，GH ⊄平面ADQP ，所以//GH 平面ADQP ，又因为//FH QD ，QD ⊂平面ADQP ，FH ⊄平面ADQP ，所以//FH 平面ADQP ，又因为FH GH H = ，FH 、GH Ì平面EGHF ，所以平面//EGHF 平面ADQP ，因为EF ⊂平面EGHF ，所以//EF 平面ADQP ；法二：因为ABCD 为正方形，且PA ⊥平面ABCD ，所以AP 、AB 、AD 两两互相垂直，以点A 为坐标原点，以AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,3P 、()3,3,0C 、()0,3,1Q 、()3,0,0B 、33,0,22E ⎛⎫⎪⎝⎭、31,3,22F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()0,3,1EF =- ，易知平面PADQ 的一个法向量()1,0,0a = ，所以0a EF ⋅= ，所以E F a ⊥ ，又因为EF ⊄平面ADQP ，所以//EF 平面ADQP ．【小问2详解】解：设平面PCQ 的法向量(),,m x y z = ，()3,3,3PC =- ，()3,0,1CQ =- ，则333030m PC x y z m CQ x z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取1x =，可得()1,2,3m = ，所以平面PCQ 的一个法向量为()1,2,3m = ，易知平面CQD 的一个法向量()0,1,0n = ，设平面PCQ 与平面CQD 夹角为θ，则cos cos ,m n m n m n θ⋅=====⋅ ，所以平面PCQ 与平面CQD【小问3详解】解：假设存在点M ，使得()3,3,3PM PC λλλλ==- ，其中[]0,1λ∈，则()()()0,0,33,3,33,3,33AM AP PM λλλλλλ=+=+-=- ，由（2）得平面PCQ 的一个法向量为()1,2,3m = ，由题意可得c os ,AM = ，整理可得212810λλ-+=．即()()21610λλ--=，因为01λ≤≤，解得16λ=或12，所以，15PM MC =或1PM MC=．18. 已知{}n a 为等差数列，6,2,n n na nb a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数，记n S ，n T 分别为数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，432S =，316T =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）证明：当5n >时，n n T S >．【答案】（1）23n a n =+；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，用1,a d 表示n S 及n T ，即可求解作答.（2）方法1，利用（1）的结论求出n S ，n b ，再分奇偶结合分组求和法求出n T ，并与n S 作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出n S ，n b ，再分奇偶借助等差数列前n 项和公式求出n T ，并与n S 作差比较作答.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，而6,21,N 2,2n n n a n k b k a n k*-=-⎧=∈⎨=⎩，则112213316,222,626b a b a a d b a a d =-==+=-=+-，于是41314632441216S a d T a d =+=⎧⎨=+-=⎩，解得15,2a d ==，1(1)23n a a n d n =+-=+，所以数列{}n a 的通项公式是23n a n =+.【小问2详解】方法1：由（1）知，2(523)42n n n S n n ++==+，23,21,N 46,2n n n k b k n n k*-=-⎧=∈⎨+=⎩，当n 为偶数时，12(1)34661n n b b n n n -+=--++=+，213(61)372222n n n T n n ++=⋅=+，当5n >时，22371()(4)(1)0222n n T S n n n n n n -=+-+=->，因此n n T S >，当n 奇数时，22113735(1)(1)[4(1)6]52222n n n T T b n n n n n ++=-=+++-++=+-，当5n >时，22351(5)(4)(2)(5)0222n n T S n n n n n n -=+--+=+->，因此n n T S >，所以当5n >时，n n T S >.方法2：由（1）知，2(523)42n n n S n n ++==+，23,21,N 46,2n n n k b k n n k*-=-⎧=∈⎨+=⎩，当n 为偶数时，21312412(1)3144637()()222222n n n n n n n T b b b b b b n n --+--++=+++++++=⋅+⋅=+ ，当5n >时，22371()(4)(1)0222n n T S n n n n n n -=+-+=->，因此n n T S >，当n 为奇数时，若3n ≥，则为132411231144(1)61()()2222n n n n n n n T b b b b b b --+-++-+-=+++++++=⋅+⋅ 235522n n =+-，显然111T b ==-满足上式，因此当n 为奇数时，235522n T n n =+-，当5n >时，22351(5)(4)(2)(5)0222n n T S n n n n n n -=+--+=+->，因此n n T S >，所以当5n >时，n n T S >.19. 如图，已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>()F 且斜率为k 的直线交椭圆E 于,A B 两点，线段AB 的中点为M ，直线l ：40x ky +=交椭圆E 于,C D 两点.（1）求椭圆E 的方程；（2）求证：点M 在直线l 上；（3）是否存在实数k ，使得3BDM ACM S S ∆∆？若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由.【答案】（1）22141x y +=（2）详见解析（3）存在，且k =【解析】【分析】（1）根据离心率和焦点坐标列方程组，解方程组求得,a b 的值，进而求得椭圆E 的方程.（2）写出直线AB 的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，求得中点M 的坐标，将坐标代入直线l 的方程，满足方程，由此证得点M 在直线l 上.（3）由（2）知,A B 到l 的距离相等，根据两个三角形面积的关系，得到M 是OC 的中点，设出C 点的坐标，联立直线l 的方程和椭圆的方程，求得C 点的坐标，并由此求得k 的值.【详解】解：(1)解：由c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得2a =，1b =所以所求椭圆的标准方程为22141x y +=（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y，(2244y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消x 得，()2222411240k x x k +-+-=，解得12012022x x x y y y ⎧+==⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩将()00,M x y 代入到40x ky +=中，满足方程所以点M 在直线l 上.（3）由（2）知,A B 到l 的距离相等，若BDM ∆的面积是ACM ∆面积的3倍，得3DM CM =，有DO CO =，∴M 是OC 的中点，设()33,C x y ，则302y y =，联立224044x ky x y +=⎧⎨+=⎩，解得3y =，=解得218k =，所以k =.【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查根与系数关系，考查方程的思想，属于中档题.要证明一个点在某条直线上，那么先求得这个点的坐标，然后将点的坐标代入直线方程，如果方程成立，则这个点在直线上，否则不在这条直线上.20. 已知函数()()1211222x f x x e x x -=--++，()()24cos ln 1g x ax x a x x =-+++，其中a ∈R ．（1）讨论函数()f x 的单调性，并求不等式()0f x >的解集；（2）用{}max ,m n 表示m ，n 的最大值，记()()(){}max ,F x f x g x =，讨论函数()F x 的零点个数．【答案】（1）增函数；()1,+∞；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）先对函数求导，得到()()()111x f x x e-'=--，根据导数的方法，即可判定其单调性，进而可求出不等式的解集.（2）1x >时，()0F x >恒成立，当11x -<<时，()0f x <恒成立，故()F x 的零点即为函数()g x 的零点，讨论()g x 在11x -<<的零点个数得到答案.【详解】（1）()()()()111111x x f x x e x x e --'=--+=--，当1x >时，10x ->，110x e -->，∴()0f x ¢>，当1x <时，10x -<，110x e --<，∴()0f x ¢>，当1x =时，()0f x '=，所以当x ∈R 时，()0f x '≥，即()f x 在R 上是增函数；又()10f =，所以()0f x >的解集为()1,+∞．（2））函数()F x 的定义域为(1,)-+∞由（1）得，函数()f x 在x ∈R 单调递增，()10f =当1x >时，()0f x >，又()max{(),()}F x f xg x =，所以1x >时，()0F x >恒成立，即1x >时，()0F x =无零点.当11x -<<时，()0f x <恒成立，所以()F x 零点即为函数()g x 的零点下面讨论函数()g x 在11x -<<的零点个数：1()214sin 1g x ax a x x '=--++，所以21()24cos (11)(1)g x a a x x x ''=---<<+①当0a >时，因为11x -<<，cos (cos1,1)x ∈又函数cos y x =在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，所以π1cos1cos 32>=即当11x -<<时，12cos 0x -<，21()2(12cos )0(1)g x a x x ''=--<+所以()g x '单调递减，由()00g '=得：当10x -<<时()0g x '>，()g x 递增的当01x <<时()0g x '<，()g x 递减当1x →-时ln(1)x +→-∞，()g x ∴→-∞，当0x =时(0)40g a =>又(1)14cos1ln 2g a a =-++，()10f =当1ln 2(1)014cos1g a ->⇒>+时，函数()F x 有1个零点；当1ln 2(1)014cos1g a -=⇒=+时，函数()F x 有2个零点；当1ln 2(1)0014cos1g a -<⇒<<+时，函数()F x 有3个零点；②当0a =时，()ln(1)g x x x =+-，由①得：当10x -<<时，()0g x '>，()g x 递增，当01x <<时，()0g x '<，()g x 递减，所以max ()(0)0g x g ==，(1)ln 210g =-<，所以当0a =时函数()F x 有2个零点③当a<0时，()2()4cos ln(1)g x a x x x x =+-++()24cos 0a x x +<，ln(1)0x x -++≤，即()0g x <成立，由()10f =，所以当a<0时函数()F x 有1个零点综上所述：当1ln 214cos1a ->+或a<0时，函数()F x 有1个零点；当1ln 214cos1a -=+或0a =时，函数()F x 有2个零点；当1ln 2014cos1a -<<+时，函数()F x 有3个零点.【点睛】思路点睛：导数的方法研究函数的零点时，通常需要对函数求导，根据导数的方法研究函数单调性，极值或最值等，有时需要借助数形结合的方法求解.。
浙江省杭州第二中学2023-2024学年高三上学期第一次月考数学试题
浙江省杭州第二中学2023-2024学年高三上学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题二、多选题．．．．已知点()1,0A -，(B 268170y x y --+=．PAB 面积的最小值为AP 的最小值为2∠PAB 的最大值为．AB AP ⋅的最大值为．过平面内一点P 作曲线两条互相垂直的切线1l 、2l ，切点为不重合)，设直线1l、2l分别与y轴交于点A、B，则（）PP的斜率为定值A．1P、2P两点的纵坐标之积为定值B．直线12C．线段AB的长度为定值D．ABP面积的取值范围为()0,1三、填空题四、解答题(1)证明：平面PDE ⊥平面BCDE ；(2)若点M 在棱PD 上，当MB 与平面PDE 所成角最大时，求MB 的长．20．甲､乙两名运动员进行乒乓球比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得双方均得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛已知每局比赛中，甲获胜的概率为α，乙获胜的概率为β，两人平局的概率为(1,0,0,0)γαβγαβγ++=>>≥，且每局比赛结果相互独立.(1)若111,,236αβγ===，求甲学员恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率；(2)当0γ=时，若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X 的分布列及期望最大值.21．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，点O 为坐标原点，C 的右支相交于,A B 两点.(1)当直线l 与x 轴垂直时，OA OB ⊥，求C 的离心率；(2)当C 的焦距为2时，AOB ∠恒为锐角，求C 的实轴长的取值范围.22．已知函数()sin f x x k x =+，其中01k <≤．（1）设函数21()()2g x x f x =-，证明：①()g x 有且仅有一个极小值点；②记0x 是()g x 的唯一极小值点，则()0012g x x <-；（2）若1k =，直线l 与曲线()y f x =相切，且有无穷多个切点，求所有符合上述条件的直线l 的方程．。
2023届安徽省阜阳市第二中学高三下学期第一次月考数学试题(解析版)
2023届安徽省阜阳市第二中学高三下学期第一次月考数学试题一、单选题1．设集合{}2023log 0A x x =<，{}2560B x x x =-++>，则A B =（ ）A ．(),6-∞B ．()6,1-C ．()()1,00,1-D ．(),1-∞【答案】C【分析】首先求得集合,A B 的范围，再求交集即可得解. 【详解】对集合:A 2023log 0x <可得20232023log log 1x <， 所以01x <<，10x -<<或01x <<， 所以{|10A x x =-<<或}01x <<， 又{}|16B x x =-<<，所以A B ={|10x x -<<或}01x <<， 故选：C2．i 是虚数单位，设复数z 满足()i 113i z -=+，则z 的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A【分析】先利用模长公式和复数除法计算z ，再根据共轭复数的定义即可知其对应的点所在象限.【详解】因为13i 2+=，所以23i (23i)(i 1)15i 15i i 1(i 1)(i 1)222z +++-+====---+-， 所以15i 22z =+， 所以z 的共轭复数对应的点位于第一象限， 故选：A3．为了解甲、乙两个班级学生的物理学习情况，从两个班学生的物理成绩（均为整数）中各随机抽查20个，得到如图所示的数据图（用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值均取该区间的中点值），关于甲、乙两个班级的物理成绩，下列结论正确的是（ ）A ．甲班众数小于乙班众数B ．乙班成绩的75百分位数为79C ．甲班的中位数为74D ．甲班平均数大于乙班平均数估计值【答案】D【分析】根据已知数据图，判断A ；根据频率分布直方图计算乙班成绩的75百分位数，判断B ；求出甲班的中位数，判断C ；求出两个班级的平均分，即可判断D.【详解】由甲、乙两个班级学生的物理成绩的数据图可知甲班众数为79， 由频率分布直方图无法准确得出乙班众数，A 错误； 对于乙班物理成绩的频率分布直方图，前三个矩形的面积之和为(0.0200.0250.030)100.75++⨯= ， 故乙班成绩的75百分位数为80，B 错误；由甲班物理成绩数据图可知，小于79分的数据有9个，79分的数据有6个， 故甲班的中位数为79，C 错误； 甲班平均数为57258596768269279687882899874.820x ⨯++++⨯+⨯+⨯++⨯++==甲，乙班平均数估计值为10550.02650.025750.03+850.02950.00571.57= 4.8x =⨯+⨯+⨯⨯+⨯=<乙（）， 即甲班平均数大于乙班平均数估计值，D 正确， 故选：D4．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数且满足()32f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()23f -=-，则()()()202220232024f f f ++=（ ）A ．2-B ．0C ．2D ．3【答案】B【分析】由()32f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭且()f x 是奇函数可得3是()f x 的一个周期，根据已知条件利用周期性和奇偶性即可求解.【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()223f f =--=，()00f =， 且()3322f x fx f x ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()332f x f x f x ⎛⎫--=-=- ⎪⎝⎭，即()()3f x f x =-，所以3是()f x 的一个周期，所以()()()()()()202220232024036742367523674f f f f f f ++=+⨯+-+⨯++⨯()()()0220f f f =+-+=， 故选：B5．如图1，四边形ABCD 中，2AB AD ==，2CB CD ==，AB AD ⊥，将ABD △沿BD 翻折至PBD △，使二面角P BD C --的正切值等于2，如图2，四面体PBCD 的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．4πB ．6πC ．8πD ．9π【答案】B【分析】取BD 中点O ，连接,OC OP ，进而证明POC ∠是二面角P BD C --的平面角，再结合题意得3cos POC ∠=2PC =. 【详解】解：如图，取BD 中点O ，连接,OC OP ，因为，在图1中，2AB AD ==2CB CD ==，AB AD ⊥， 所以2BD =，2DP BP ==BCD △为等边三角形， 所以,OP BD OC BD ⊥⊥，所以，POC ∠是二面角P BD C --的平面角，因为二面角P BD C --2，即tan 2POC ∠= 所以3cos POC ∠=所以，在POC △中，1,3OP OC ==22232cos 13232PC OP OC OP OC POC =+-⋅⋅∠=+-=，即2PC =所以2DP BP PC ==2CB CD BD ===，所以,,PD PC PB 两两垂直且相等，所以，四面体PBCD 的外接球的半径即为以,,PD PC PB 为棱的正方体的外接球半径， 所以四面体PBCD 的外接球的半径r 满足2326r =⨯=， 所以，该球的表面积为24π6πr = 故选：B6．双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为1l ，2l ，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交1l ，2l 于A ，B 两点.已知OA 、AB 、OB 成等差数列，且BF 与FA 反向.则双曲线的离心率为（ ） A 5B 7 C 5D 7【答案】A【分析】由题意OAB 为直角三角形，解出三边后再由渐近线斜率求离心率 【详解】设 ,,OA m d AB m OB m d =-==+， 由勾股定理可得：()()222m d m m d -+=+ 得：14d m = ， 14tan ,tan tan 223AB b AOF AOB AOB a OA ⎛⎫∠=∠=∠== ⎪⎝⎭， 由倍角公式 22tan 43t 11212an AOB AOB ∠⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝∠⎭，解得11tan 22AOB ⎛⎫∠= ⎪⎝⎭且1π22AOB AOF ∠+∠=，则tan 2AOF ∠=，即 2ba =，则离心率 215b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选:A7．已知97a =，88b =，79c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c a b << B ．b<c<aC ．b a c <<D ．c b a <<【分析】先构造函数()()()16ln 79f x x x x =-≤≤，求导确定函数单调性，即可判断,,a b c 的大小. 【详解】令()()()16ln 79f x x x x =-≤≤， 则()116()ln 16ln 1f x x x x x x'=-+-⋅=-+-， 显然当79x ≤≤时，()f x '是减函数，又971697ln 7ln e ln 7(7)ln 71777f --'=-+-==， 9797977777e 737369363(92)0-<-<-=⋅-=-<，即97e 7<， 97ln e ln 70∴-<，即(7)0f '<，∴79x ≤≤时，()0f x '<，故()f x 是减函数，()()()987f f f ∴<<，即7ln98ln89ln7<<，789ln 9ln8ln 7∴<<，可得789987<<，即c b a <<.故选：D.8．已知向量,a b 的夹角为60°的单位向量，若对任意的1x ､2x (,)m ∈+∞，且12x x <，122112ln ln x x x x a b x x ->--，则m 的取值范围是（ ）A ．)2e ,⎡+∞⎣B ．[)e,+∞C ．1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭D ．1,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】利用向量的运算，求得模长，整理不等式，构造函数研究其单调性，利用导数，可得答案. 【详解】已知向量,a b 的夹角为60的单位向量，则11cos601122a b a b ⋅=⋅⋅=⨯⨯= 所以222()21a b a b a a b b -=-=-⋅+= 所以对任意的()12,x x m ∞∈+､，且12211212ln ln ,1x x x x x x x x -<>-，则122112ln ln x x x x x x -<-所以212121ln ln 11x x x x x x -<-，即2121ln 1ln 1x x x x --<， 设()ln 1x f x x-=，即()f x 在(),m +∞上单调递减， 又()0,x ∈+∞时，()22ln 0xf x x'-==，解得2e x =， 所以()()()20,e ,0,x f x f x '∈>在()20,e x ∈上单调递增；()()()2e ,,0,x f x f x ∞'∈+<在()2e ,x ∈+∞上单调递减，所以2e m ≥，二、多选题9．已知正方体1111ABCD A B C D -，点P 是1BC 上一点（不包括端点），则（ ） A ．直线BP 与1B D 所成的角为90° B ．直线BP 与1CD 所成的角为90° C ．直线1A P 与1B D 所成的角为90° D ．直线1A P 与平面1ACD 所成的角为90°【答案】AC【分析】以D 为原点，以1,,DA DC DD 边分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，结合空间向量与法向量的坐标运算，逐一判断，即可得到结果.【详解】根据题意，以D 为原点，以1,,DA DC DD 边分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则()()()()()()()()11111,1,0,0,1,1,0,0,0,0,0,1,1,1,1,0,1,0,1,0,1,1,0,0B C D D B C A A 即()11,0,1BC =-，设()1,0,BP BC λλλ==-，其中()0,1λ∈ 所以()1,1,P λλ-对于A ，因为(),0,BP λλ=-，()11,1,1B D =---，且10BP B D λλ⋅=-=， 即1BP B D ⊥，故正确；对于B ，因为()10,1,1CD =-，则10BP CD λ⋅=≠，即BP 与1CD 不垂直，故错误； 对于C ，因为()1,1,1A P λλ=--，()11,1,1B D =---，则11110A P B D λλ⋅=-+-=， 即11A P B D ⊥，故正确；对于D ，因为()1,1,0AC =-，()0,1,1CD =-设平面1ACD 的法向量为(),,n x y z =，则100n AC x y n CD y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，解得x y z ==，令1x =，则1y z == 所以平面1ACD 的一个法向量为()1,1,1n = 且()1,1,1A P λλ=--，因为11111λλ≠≠--，即n 与1A P 不共线，故错误. 故选:AC10．下列命题正确的是（ ）A ．若{}{}n n a b ､均为等比数列且公比相等，则{}n n a b +也是等比数列B ．{}n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，则232,,n n n n n S S S S S --也成等比数列C ．{}n a 为等差数列，则{}2n a为等比数列D ．{}n a 的前n 项和为n S ，则“()*0N n a n >∈”是“{}n S 为递增数列”的充分不必要条件【答案】CD【分析】根据等比数列的概念及特例可判断AB ，根据等比数列的定义可判断C ，根据充分条件必要条件的概念及数列的增减性可判断D.【详解】对于A ，{}{}n n a b ､均为等比数列且公比相等，当110a b +=时,数列{}n n a b +不是等比数列，故选项A 错误；对于B ，当等比数列{}n a 为3,3,3,3,3,3,3,3,----时，当n 为偶数时，0n S =，则232,,n n n n nS S S S S --不能构成等比数列，故选项B 错误；对于C ，设等差数列{}n a 的公差为d ，则112222n n n n a a a d a ++-==常数，所以{}n a 为等差数列，则{}2n a为等比数列，故选项C 正确；对于D ，数列{}n a 中，对任意N*n ∈,0n a >，则11,2n n n n S S a S n --=+>≥；所以数列{}n S 是递增数列，充分性成立；当数列{}n S 是递增数列时，1,2n n S S n ->≥，即11n n n S a S --+>，所以2n ≥时，0n a >，如数列1,2,2,2,-；不满足题意，所以必要性不成立，则“()*0N n a n >∈”是“{}n S 为递增数列”的充分不必要条件，故选项D 正确， 故选：CD .11．设函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在[0，2π]有且仅有5个零点，则（ ）A ．()f x 在（0，2π）有且仅有3个极大值点B ．()f x 在（0，2π）有且仅有2个极小值点C ．()f x 在（0，10π）单调递增 D ．ω的取值范围是[73，176）【答案】AD【分析】由[0,2]π求得3x πω+的范围，结合正弦函数性质得ω的范围，判断D ，利用正弦函数的极大值、极小值判断ABC ． 【详解】0ω>，02x π≤≤时，2333x πππωωπ≤+≤+，()f x 在[0，2π]有且仅有5个零点，则5263ππωππ≤+<，71736ω≤<，D 正确；此时32x ππω+=，52π，92π时，()f x 取得极大值，A 正确； 11232ππωπ+≥，3112ω≥，即3117126ω≤<时，3711,,3222x ππππω+=时，()f x 均取得极小值，B 错；(0,)10x π∈时，(,)33103x ππωππω+∈+，73ω≥，则17103302ωππππ+≥>，因此()f x 在(0,)10π上不递增，C 错．故选：AD ．12．已知函数()3e xf x x a =-⋅+，则下列选项正确的是（ ）A ．()y f x =在()2,3上单调递减B ．()y f x =恰有一个极大值和一个极小值C ．当0a ≥或2e a <-时，()0f x =有一个实数解D ．当0a =时，()()0f f x =有一个实数解 【答案】AB【分析】按绝对值的定义分类讨论去掉绝对值称号后，求导确定函数的单调性、极值，在确定方程的根的个数时，注意函数值的变化趋势．【详解】3x <时，()(3)e x f x x a =-+，()(2)e x f x x '=-， 2x <时，()0f x '>，23x <<时，()0f x '<，()f x 在(,2)-∞上单调递增，在(2,3)上单调递减，A 正确；3x >时，()(3)e x f x x a =-+，()(2)e x f x x '=-0>，()f x 在(3,)+∞上单调递增，2(2)e f a =+，(3)f a =，2x <时，()3e xf x x a a =-+>，所以0a >时，()0f x =无实数解，C 错误；0a =时，()3e x f x x =-，由以上讨论知()03f t t =⇒=，()3f x =有3个实数解，所以(())0f f x =有3个实数解，D 错误． 故选：AB ．【点睛】方法点睛：函数方程根的个数问题，可利用导数确定函数的单调性、极值，从而确定函数的变化趋势，然后结合函数图象，把根的个数转化为函数图象与直线的交点个数．三、填空题 13．在()()5435x y -+的展开式中，33x y 的系数为______．【答案】600-【分析】根据乘积形式分别求出3x 、3y 对应系数，然后相乘即可得33x y 的系数. 【详解】由()43x -中对应3x 系数为143C -⋅，由()55y +中对应3y 系数为355C ⋅，所以33x y 的系数为13453C 5C 600-⋅⨯⋅=-.故答案为：600-14．已知正八边形ABCDEFGH 的边长为2，P 是正八边形ABCDEFGH 边上任意一点，则PA PB ⋅的最大值为______. 【答案】1282+【分析】不妨设()()()1,0,1,0,,A B P x y - ，对PA PB 作几何解释即可求解. 【详解】如图：建立直角坐标系，设()()()1,0,1,0,,A B P x y -，则()()221,1,1PA PB x y x y x y =-----=+- ，即是求正八边形边上的点到原点的最大距离，显然当P 点与E 或F 点重合时最大，连接AF ，过H ，G 分别作AF 的垂线，垂足为N ，M ，则MFG 和ANH △ 都是等腰直角三角形，2AF ∴= ，在AFG 中，AGF ∠ 为钝角，AF AG ∴> ，显然E 和F 点到原点的距离最大，()()222max211313112OE PA PB=+=+⋅=+=+；故答案为：12+.15．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点（点A 位于第一象限），l 与C 的准线交于D 点，F 为线段AD 的中点，过抛物线上点M 的直线与抛物线相切，且与直线l 平行，则MAB △的面积是______.【分析】根据中点坐标公式，结合一元二次方程根与系数关系、抛物线的定义、平行线间距离公式进行求解即可.【详解】由题意可知：(1,0)F ，准线方程为=1x -，设2111(,)(0)4y A y y >，D 点的横坐标为1-， 因为F 为线段AD的中点，所以21211141122y y y -=⇒=⇒=，即(3,A ，于是有l k =，因为过抛物线上点M 的直线与抛物线相切，且与直线l 平行， 所以过M的切线方程为y b =+，代入方程24y x =中，得222234)04)120x x b b b +-+=⇒--=⇒=0y y ⇒-= 直线l的方程为1)y x =-，代入代入方程24y x =中，得 231030x x -+=，设22(,)B x y ，所以有221313x x ⋅=⇒=， 1163(1)(1)33AB =--+--=，由1)0y x y =-⇒-点M 到直线l 的距离为过M 的切线与直线l=因此MAB △的面积是11623故答案为：1639【点睛】关键点睛：利用抛物线的定义，结合一元二次方程根的判别式是解题的关键. 16．对任意正实数a ，记函数()lg f x x =在[),a +∞上的最小值为a m ，函数()sin 2xg x π=在[]0,a 上的最大值为a M ，若12a a M m -=，则a 的所有可能值______. 【答案】13或10【分析】根据()f x 和()g x 函数图像，对a 分类讨论求解即可. 【详解】()f x 和()g x 的图像如图：当01a << 时，0a m = ，sin2a a M π= ，1sin22a a a M m π∴-== ，13a = ； 当1a ≥ 时，1lg lg ,1,1lg ,102a a a a m a a M M m a a ===∴-=-==；故答案为：1310.四、解答题17．已知ABC 中，A ∠，B ∠，C ∠的对边a ，b ，c 成等比数列，()2cos 2cos 1A C B --=，延长BC 至点D ，使5BD =.求：(1)B ∠的大小； (2)AC CD ⋅的取值范围. 【答案】(1)3π (2)250,8⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】（1）首先根据三角形内角和180，()()1cos cos 2A C A C -++=，化简得1cos cos 4A C ⋅= ，又2b ac =，则2sin sin sinB AC =⋅，利用两角和公式即可得解；（2）根据（1）的结论()21cos 4sin 1C B A -=+=，A C ∠=∠，故ABC 为等边三角形，设ABC 的边长为x ， ()1cos6052AC CD AC CD x x ⋅=︒=-，结合x 的范围即可得解. 【详解】（1）()()()111cos cos cos cos cos cos 224A CB AC A C A C --=⇒-++=⇒⋅=.① 又2b ac =，则2sin sin sin B A C =⋅②故()21sin cos cos sin sin cos cos 4B A C A C A C B -=⋅-⋅=+=- 214cos 4cos 30cos 2B B B ⇒+-=⇒=或3cos 2B =-（舍去）.又02B π<∠<，从而，3B π∠=.（2）由（1）结论，①+②得()21cos 4sin 1C B A -=+= 则A C ∠=∠，故ABC 为等边三角形. 设ABC 的边长为x .则05x <<.故()211525cos 6052224AC CD AC CD x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=︒=-=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭250,8⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，当且仅当52x =时，上式等号成立.故AC CD ⋅的取值范围是250,8⎛⎤⎥⎝⎦.18．在数列{}n a ，{}n b 中，111a b ==，对任意*n ∈N ，11n n a +=，等差数列{}n b 及正整数()2m m ≥满足11b =，2m b =，且122311113m mb b b b b b -+++=. (1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)令1956n n C b b a =+-，求{}n C 前n 项和n S .【答案】(1)12n n a -=，56n n b +=(2)2213,721384,82n n n n S n n n ⎧-≤⎪⎪=⎨-+⎪≥⎪⎩．【分析】（1）数列{}n a 的递推关系变形得数列{}n a是等比数列，从而可得其通项公式，等差数列{}n b 的已知式用裂项相消法求和得公差d ，从而易得其通项公式； （2）求出n C ，根据绝对值的定义分类讨论求和． 【详解】（1）由题意知0n a >，因为11n n a +=，所以0=.因为0n a >0==12n na a +=， 所以{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以()12N*n n a n -=∈.设数列{}n b 公差为d ，则1111112*********1111113m m i i i i m m i i i i m b b b b b b b b dbb d b b d b b --+==-++⎛⎫⎛⎫-++==-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑， ∴16d =，56n n b +=. （2）因为19567n n C b b a n =+-=-，所以7,7,7,7,n n n C n n -≤⎧=⎨->⎩ 所以当7n ≤时，数列{}n c 的前n 项和21365(7)2n n n S n -=++-=；当7n >时，数列{}n c 的前n 项和27(6)(7)1384[12(7)]2122n n n n n S S n ---+=++++-=+=. 所以2213,721384,82n n n n S n n n ⎧-≤⎪⎪=⎨-+⎪≥⎪⎩．19．袋中有大小形状完全相同的3个白球，2个黄球，1个红球.现从袋中有放回的取球，每次随机取一个，直到红球出现3次，则停止取球，用X 表示取球停止时取球的次数. (1)求()3P X =和()P X k =；(2)设{}{}min max ,4,5Y X =，求数学期望()E Y . 【答案】(1)1216；()()312526k kk k ---⋅⋅，3k ≥ (2)2153432【分析】（1）根据条件，结合概率的计算公式，代入计算即可得到结果；（2）根据条件，分别求得()4P Y =与()5P Y =，然后由期望的计算公式，即可得到结果.【详解】（1）()31136216P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，当k 次才停止时，必有第k 次取出的是红球，前1k -中有2次取出红球，3k -次取出的是其它颜色球.所以()()()23321125115C 66626k k k kk k P X k -----⋅⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝⎭，3k ≥.（2）当4Y =时，有3X =，4，故()()()157434216432432P Y P X P X ===+==+= 当5Y =时，有5X ≥，故()()()()()42555134432P Y P X P X P X ==≥=-=+== 于是可得()()()21534455432E Y P Y P Y ==+==. 20．在如图所示的多面体中，四边形ABCD 为正方形，A ，E ，B ，F 四点共面，且ABE 和ABF △均为等腰直角三角形，90BAE AFB ∠=∠=︒.平面ABCD ⊥平面AEBF ，2AB =.(1)求多面体AEBFCD 体积；(2)若点P 在直线DE 上，求AP 与平面BCF 所成角的最大值. 【答案】(1)4 (2)4π【分析】（1）多面体分成两个四棱锥E ABCD -和F ABCD -，然后由体积公式计算（注意找到棱锥的高）；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求出线面的正弦值，利用函数性质得最大值． 【详解】（1）在四边形AEBF 中，∵ABE 和ABF △均为等腰直角三角形，且90BAE AFB ∠=∠=︒， ∴45BAF ABE ∠=∠=︒，∴AF BE ∥，∵四边形ABCD 为正方形，∴DA AB ⊥， 又∵平面ABCD ⊥平面AEBF ，DA ⊂平面ABCD ，平面ABCD ⋂平面AEBF AB =， ∴DA ⊥平面AEBF ，同理⊥AE 平面ABCD ，取AB 中点G ，连接FG ，则FG AB ⊥，112FG AB ==，又同理可得FG ⊥平面ABCD ， 221111222143333E ABCDF ABCD ABCD ABCD V V V S EA S FG --=+=⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯=；（2）如图建立空间直角坐标系，设()0,,2P λλ-，则()2,0,0B ，()2,0,2C ，()1,1,0F -，()0,0,0A ，∴()0,0,2BC =，()1,1,0BF =--， 设平面BCF 的一个法向量为(),,n x y z =，则00n BC n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即200z x y =⎧⎨--=⎩，令1x =，则()1,1,0n =-，设AP 与平面BCF 所成角为θ，又()0,,2AP λλ=-， ∴()2222sin 24422n AP n APλλθλλλλ-⋅===-++-， 要使sin θ最大，0λ≠，∴22221212sin 441122442412λθλλλλλ==-+⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭（2λ=时等号成立）， ∴4πθ≤，即AP 与平面BCF 所成角的最大值为4π． 21．已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>3以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为5(1)求椭圆的方程；(2)直线(0y kx m km =+≠）与椭圆C 交于A 、B 两点，与y 轴交于点P ，线段AB 的垂直平分线与AB 交于点M ，与y 轴交于点N ，O 为坐标原点，如果2MOP MNP ∠=∠，求k 的值. 【答案】(1)2214x y +=(2)k =【分析】（1）由题意可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，可得出椭圆C 的方程； （2）分析可知0k ≠，将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，求出线段AB 的中点M 的坐标，求出线段AB 的垂直平分线的方程，可求得点N 的坐标，分析可得=OM ON ，利用两点间的距离公式可求得k 的值.【详解】（1）由题设得222c e a a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩2a =，1b =，c =所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222418440k x kmx m +++-=，由()()()2228441440km k m ∆=-+->，得22410k m -+>.设()11,A x y 、()22,B x y ，则122841kmx x k +=-+，()121222241m y y k x x m k +=++=+， 所以点M 的横坐标1224241M x x km x k +==-+，纵坐标241M m y k =+，所以直线MN 的方程为22144141mkm y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭. 令0x =，则点N 的纵坐标2341N m y k =-+，则230,41m N k ⎛⎫- ⎪+⎝⎭，因为()0,P m ，所以点N 、点P 在原点两侧.因为2MOP MNP ∠=∠，所以MNO OMN ∠=∠，所以=OM ON .又因为()2222222222416414141km m k m m OM k k k +⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+，()222222394141m m ON k k ⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭+， 所以()()222222221694141k m m m kk+=++，解得21619k +=，所以k =.22．若函数()()()()22ln 2322f x x x x a x a =++-+--+.(1)若()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围； (2)若k a ，()1,2k b k n =均为正数，112212n n n a b a b a b b b b +++≤+++.证明：12121n b b b n a a a ≤.【答案】(1)0a ≤ (2)证明见解析【分析】（1）由()0f x ≤恒成立，进行参变分离可得()1ln 2a x x ≤+-+，构造函数()()1ln 2h x x x =+-+，利用导数求出()min h x ，只要()min a h x ≤即可；（2）根据（1）的结论，知()ln 12x x +>+，则ln 1≤-x x ，即ln 1k k a a ≤-，ln k k k k k b a a b b ≤-，ln kb kk k k a a b b ≤-，111ln k n n nb kk k k k k k a a b b ===≤-∑∑∑，结合所给条件即可得解.【详解】（1）（1）()0f x ≤，∴()()()()2ln 212x x x a x ++≤+-+，∴()ln 21x x a +≤+-， ∴()1ln 2a x x ≤+-+设()()1ln 2h x x x =+-+，()12x h x x +'=+， 当()2,1--时，()0h x '<，当()1,-+∞时，()0h x '>，()()min 10h x h =-=，∴0a ≤；（2）由（1），知()ln 12x x +>+，则ln 1≤-x x ，ln 1k k a a ≤-，ln k k k k k b a a b b ≤-，ln k b k k k k a a b b ≤-，累加可得111ln knnnb kk k k k k k a a b b ===≤-∑∑∑，又112212n n n a b a b a b b b b +++≤+++所以1212ln 0n b bbn a a a ≤，即12121nb b b n a a a ≤.【点睛】本题考查了利用导数研究函数，考查了恒成立问题和数列的证明，计算量较大，属于难题. 本题的关键点有：（1）恒成立问题进行参变分离，构造函数后只需()min a h x ≤即可； （2）利用（1）的结论证明数列不等式.。
2023—2024学年黑龙江省高三上学期第一次月考考试数学试题(含答案)
2023-2024学年黑龙江省高三上册第一次月考考试数学试题．．．．．函数()2ln(f x x =--的单调递减区间为（）．(,1)-∞-B (1,1)-D7．若正数x ，y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是（）A ．2B ．3C ．4D ．58．已知定义在R 上的函数()f x ，其导函数()f x '满足：对任意x ∈R 都有()()f x f x '<，则下列各式恒成立的是（）A ．()()()()20181e 0,2018e 0f f f f <⋅<⋅B ．()()()()20181e 0,2018e 0f f f f >⋅>⋅C ．()()()()20181e 0,2018e 0f f f f >⋅<⋅D ．()()()()20181<e 0,2018e 0f f f f ⋅>⋅二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．如图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象，则下列判断正确的是（）A ．()f x 在()4,3--上是减函数B ．()f x 在()1,2-上是减函数C ．3x =-时，()f x 有极小值D ．2x =时，()f x 有极小值10．对于定义在R 上的函数()f x ，下述结论正确的是（）A ．若()()11f x f x =+-，则()f x 的图象关于直线1x =对称B ．若()f x 是奇函数，则()1f x -的图象关于点()1,0A 对称C ．函数()1y f x =+与函数()1y f x =-的图象关于直线1x =对称D ．若函数()1f x -的图象关于直线1x =对称，则()f x 为偶函数16．已知定义在R 上的函数f ()()2log a f x x =+，则(2022f 四、解答题：本题共6小题，共由图象可知：函数12xy=与y∴函数()213 2xf x x=+-的零点个数为故答案为.214．2【分析】根据对数函数的性质求出函数过定点坐标，再代入直线方程，即可得到。
湖南省长沙市雅礼中学2023届高三上学期月考(一)数学试题(解析版)
雅礼中学2023届高三月考试卷（一）数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}22,0,20A B x x x =-=-=，则以下结论正确的是（）A. A B =B. {}0A B ⋂= C. A B A⋃= D. A B⊆【答案】B 【解析】【分析】由题得{0,2}B =, 再判断得解.【详解】由题得{0,2}B =, 所以A B ≠，{}0A B ⋂=，A B A ≠U ，A 不是B 的子集，故选：B2. 已知等比数列{}n a 满足()13541,41a a a a =⋅=-，则7a 的值为A. 2 B. 4 C.92D. 6【答案】B 【解析】【分析】根据题意和等比数列的性质求出4a ，结合2174a a a =计算即可.【详解】根据等比数列的性质可得2354a a a =，∴()24441a a =-，即()2420a -=，解得42a =，又∵11a =，21744a a a ==，故可得74a =，故选：B3. 已知复数()()1i z a a a R =+-∈，则1a =-是1z =的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由1z =求出a 即可得出.【详解】由1z =1=，解得1a =-或0，所以1a =-是1z =的充分不必要条件.故选：A.4. 已知向量()cos ,sin a θθ= ，()2,1b =-r ，若a b ⊥ ，则21cos sin 22θθ+的值为（ ）A. 13B. 35C. 45D.23【答案】B 【解析】【分析】先由a b ⊥得出tan 2θ=，再按照齐次分式化简求值即可.【详解】由a b ⊥得2cos sin 0tan 2θθθ-=⇒=，∴222221cos sin cos 1tan 3cos sin 22sin cos tan 15θθθθθθθθθ+++===++.故选：B.5. 如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱1AA ，1CC 的中点，过BE 的平面α与直线1A F 平行，则平面α截该正方体所得截面的面积为（）A.B. C. 4 D. 5【答案】B 【解析】【分析】首先取1DD 的中点G ，连接EG ，CG ，EC ，易证1//A F 平面EBCG ，从而得到平面EBCG 为所求截面，再计算其面积即可.【详解】取1DD 的中点G ，连接EG ，CG ，EC ，如图所示：因为1//A E FC ，所以四边形1A ECF 为平行四边形，所以1//A F EC .又1⊄A F 平面EBCG ，EC ⊂平面EBCG ，所以1//A F 平面EBCG ，即平面EBCG 为所求截面.所以BE ==，=⨯=EBCG S BE BC .故选：B【点睛】本题主要考查线面平行的判定，同时考查了正方体的截面，属于简单题.6. 某工厂有,A B 两个生产车间，所生产的同一批产品合格率分别是99%和98%，已知某批产品的60%和40%分别是,A B 两个车间生产，质量跟踪小组从中随机抽取一件，发现不合格，则该产品是由A 车间生产的概率为（ ）A.34B.47C.12D.37【答案】D 【解析】【分析】根据贝叶斯公式计算可得.【详解】设B 1，B 2，分别表示事件：任取的产品为甲、乙车间生产，A =“抽取的产品是不合格品”，由条件知120.60.())4(P B P B ＝，＝，120.010.0(|)(|)2P A B P A B ＝，＝，则该产品是由A 车间生产的概率为P (B 1|A )，所以()()()()()()()()()()()11111211221||||||iii P B P A B P B P A B P B A P B P A B P B PA B P B P A B ===+∑0.60.0130.60.010.40.027⨯==⨯+⨯.故选：D.7. 已知椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左、右焦点分别为12,F F ，P 为椭圆上一点，且123F PF π∠=，若1F 关于12F PF ∠平分线的对称点在椭圆C 上，则该椭圆的离心率为（ ）A.B.C.12D.13【答案】B 【解析】【分析】设1F 关于12F PF ∠平分线的对称点为M ，根据题意可得2,,P F M 三点共线，设1PF m =，则1PM MF m ==，在12PF F △中，分别求得12,PF PF ，再利用余弦定理可得,a c 的齐次式，即可得出答案.【详解】解：设1F 关于12F PF ∠平分线的对称点为M ，则2,,P F M 三点共线，设1PF m =，则PM m =，又123F PF π∠=，所以1PF M 为等边三角形，所以1MF m =，又1143PF MF PM a m ++==，所以1242,33PF a PF a ==，在12PF F △中，由余弦定理可得：222121211122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅⋅∠，即222216484999c a a a =+-，所以223a c =，所以c e a==故选：B .8. ABC 中，角,,A B C 所对的三边分别为,,,2a b c c b =，若ABC 的面积为1，则BC 的最小值是（ ）A. 2 B. 3C.D.【答案】C 【解析】【分析】由三角形面积公式得到21sin b A =，利用角A 的三角函数表达出254cos sin A BC A-=，利用数形结合及sin sin 055cos cos 44AA A A -=--的几何意义求出最值.【详解】因为△ABC 的面积为1，所211sin 2sin sin 122bc A b b A b A =⨯==，可得21sin b A=，由BC AC AB =-，可得222222||||||22cos BC AC AB AC AB b c bc A b =+-⋅=+-=+()22254cos 54cos 222cos 54cos sin sin sin A Ab b b A b b A A A A--⨯=-=-=，设sin 1sin 54cos 54cos 4A A m A A ⎡⎤⎢⎥==-⨯⎢⎥-+⎢⎥-⎣⎦，其中(0,π)A ∈，因为sin sin 055cos cos 44A A A A -=--表示点5,04P ⎛⎫ ⎪⎝⎭与点（cos A ，sin A ）连线的斜率，如图所示，当过点P的直线与半圆相切时，此时斜率最小，在直角△OAP 中，51,4OA OP ==，可得34PA =，所以斜率的最小值为4tan 3PAk APO ∠=-=-，所以m 的最大值为141433⎛⎫-⨯-= ⎪⎝⎭，所以2||3BC …，所以||BC …，即BC 故选：C ．【点睛】思路点睛：解三角形中最值问题，要结合基本不等式，导函数或者数形结合，利用代数式本身的几何意义求解.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 某人工智能公司近5第x 年12345利润y /亿元23457已知变量y 与x 之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的回归直线方程为 1.2y x a=+，则下列说法正确的是（ ）A. ˆ0.6a=B. 变量y 与x 之间的线性相关系数0r <C. 预测该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元D. 该人工智能公司这5年的利润的方差小于2【答案】AC 【解析】【分析】首先求出x 、y ，根据回归直线方程必过(),x y ，即可求出 a ，从而得到回归直线方程，根据x与y 成正相关，即可得到相关系数0r >，再令6x =求出 y ，即可预测第6年的利润，最后根据方差公式求出利润的方差，即可判断D ；【详解】解：依题意()11234535x =++++=，()1212345755y =++++=，因为回归直线方程为 1.2y x a =+必过样本中心点()x y ，即 21 1.235a =⨯+，解得 0.6a =，故A 正确；则回归直线方程为 1.20.6y x =+，则x 与y 成正相关，即相关系数0r >，故B 错误，当6x =时 1.260.67.8y =⨯+=，即该人工智能公司第6年的利润约为7.8亿元，故C 正确，该人工智能公司这5年的利润的方差为22222121212121217423457255555525⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+-+-=>⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故D 错误；故选：AC10. 已知抛物线24y x =的焦点为F ，过原点O 的动直线l 交抛物线于另一点P ，交抛物线的准线于点Q ，下列说法正确的是（ ）A. 若O为线段PQ 中点，则2PF = B. 若4PF =，则OP =C. 存在直线l ，使得PF QF ⊥ D. PFQ △面积的最小值为2【答案】AD 【解析】【分析】对于A ，求出P 点的横坐标，再根据抛物线的定义求出PF ，即可判断；对于B ，根据抛物线的定义求出P 点的横坐标，再求出OP ，即可判断，对于C ，()2,2P a a ，则21,Q a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，判断0FP QF ⋅= 是否有解，即可判断；对于D ，根据12P Q PFQ S OF y y =⋅⋅- ，结合基本不等式即可判断.【详解】解：抛物线24y x =的准线为1x =-，焦点()1,0F ，若O 为PQ 中点，所以1P x =，所以12p PF x =+=，故A 正确；若4PF=，则413Px =-=，所以OP ===，故B 错误；设()2,2P a a ，则21,Q a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以()21,2FP a a =- ，22,QF a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以22224220FP QF a a ⋅=-+=+>，所以FP 与FQ 不垂直，故C 错误；212112212PFQ P Q S a OF a y a ay =+=⋅⨯⨯=+⋅-≥ ，当且仅当1a a=，即1a =±时，取等号，所以PFQ △面积的最小值为2，故D 正确.故选：AD .11. 对于函数()sin cos 2f x x x =+，下列结论正确得是（ ）A. ()f x 的值域为90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. ()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增C. ()f x 的图象关于直线4x π=对称D. ()f x 的最小正周期为π【答案】AD 【解析】【分析】先分析函数()f x 的奇偶性与周期性，再利用周期性，选取一个周期来研究即可对每一个选项作出判断.【详解】()sin cos 2f x x x =+，x ∈R ，所以()sin()cos(2)sin cos 2()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以()f x 是偶函数，又()f x π+sin()cos 2()sin cos 2()x x x x f x ππ=+==+++，所以π是函数()f x 的周期，又sin()cos 2(cos cos 2()222f x x x x x f x πππ⎛⎫++++=-≠ ⎝=⎪⎭，故()f x 的最小正周期为π.对于A ，因为()f x 最小正周期为π，令[0,]x π∈，此时sin 0x ≥，所以2()sin 12sin f x x x =+-，令sin ,[0,1]t x t =∈，所以有()221921248g t t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，可知其值域为9[0,8，故A 正确；对于B ，由A 可知，()g t 在1[0,]4上单调递增，在1(,1]4上单调递减，因为sin ,[0,1]t x t =∈，所以()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不是单调递增，故B 不正确；对于C ，因为()01f =，02f π⎛⎫=⎪⎝⎭，所以()π02f f ⎛⎫=≠⎪⎝⎭，所以()f x 的图象不关于直线4x π=对称，故C 不正确；对于D ，前面已证明正确.故选：AD12. 已知正四棱台1111ABCD A B C D -（上下底面都是正方形的四棱台）．下底面ABCD 边长为2，上底面边长为1，则（ ）A.它的表面积为5+B.C. 侧棱与下底面所成的角为60°的D. 的正方体的体积大【答案】ACD 【解析】【分析】分别求得上、下底面面积，再求得侧面等腰梯形11ABB A 的面积，即可判断A 的正误；如图作辅助线，可求得各个长度，根据三角函数的定义，可判断C 的正误；求得12C O 的长，分析可得2O 即为正四棱台1111ABCD A B C D -外接球的球心，且外接球半径R ，代入表面积公式，可判断B 的正误；分别求得正四棱台的体积1V 和正方体的体积2V ，利用作商法比大小，即可判断D 的正误，即可得答案.【详解】由题意得：上底面1111D C B A 的面积1111S =⨯=，下底面ABCD 的面积2224S =⨯=，侧面11ABB A 为等腰梯形，过11A B 、分别做AB 的垂线，垂足为E 、F ，如图所示所以111EF A B ==，则1=2AE BF =，所以1B F ==，所以梯形11ABB A 的面积为31(12)2S =⨯+=，所以正四棱台1111ABCD A B C D -的表面积12345S S S S =++⨯=+A 正确；连接1111,A C B D ，且交于点1O ，连接AC 、BD 交于点2O ，连接12O O ，则12O O 垂直底面ABCD ，过1A 作12A G AO ⊥于G ，则1A G ⊥底面ABCD ，则四边形121A GO O 为矩形，由题意得11AC ==，所以11A O =同理2AC AO ==，又112A O GO ==AG =，在1Rt AGA △中，111cos 2AG A AG A A ∠===，所以160A AG ∠=︒，即侧棱与下底面所成的角为60°，故C 正确所以1A G ==.连接12C O ，在112Rt C O O中，12C O ==，所以点2O 到1111A B C D A B C D 、、、、、、、，所以点2O 即为正四棱台1111ABCD A B C D -外接球的球心，且外接球半径R所以外接球的表面积)248S ππ'=⨯=，故B 错误；正四棱台的体积((1121211+1433V S S O O =⨯+⨯=⨯+=的正方体的体积32V ==所以121V V ===>，所以12V V >，所以正四棱台1111ABCD A B C D -的正方体的体积大，故D 正确；故选：ACD【点睛】解题的关键是熟练掌握棱台的表面积、体积的求法及公式，并灵活应用，难点在于求各个棱长及确定2O 为外接球的球心，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设随机变量X 服从正态分布()22,N σ.若()00.9P X >=，则()24P X <<=______.【答案】0.4##25【解析】【分析】根据正态分布的对称性可求.【详解】因为随机变量X 服从正态分布()22,N σ，所以正态曲线的对称轴为2x =，所以()()()04100.1P X P X P X <=>=->=，所以()04120.10.8P X <<=-⨯=，所以()1240.80.42P X <<=⨯=.故答案为：0.4.14. 若 2022220220122022(12)x a a x a x a x -=++++ ，则20221222022222a a a +++ 的值 ___________________.【答案】1-【解析】【分析】根据赋值法分别令0x =、12x =，然后可得.【详解】令0x =，得01a =，令12x =，得2022120220220222a a a a ++++= ，所以202212220221222a a a +++=- 故答案：1-15. 对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，若点P 到直线1349:0l x y --=和2:340l x y a -+=的距离和都与x ，y 无关，则a 的取值区间为____________．【答案】[6,)+∞【解析】【分析】画出图形，由图可知当2l 在圆左上方时，P 点与直线12,l l 的距离之和均为12,l l 的距离，即此时与 x ，y 的值无关，然后计算出直线2l 与圆相切时a 的值，从而可得a 的取值范围【详解】解：点(,)P x y 到直线1349:0l x y --=和2:340l x y a -+=的距离和为d 因为d 与x ，y 无关，所以距离之和与点(,)P x y 无关，如图所示，当2:340l x y a -+=在圆左上方时，P 点与直线12,l l 的距离之和均为12,l l 的距离，即此时与为x ，y 的值无关，当直线2l 与圆相切时，3415a -+=，化简得15a -=，解得6a =或4a =-（舍去）所以6a ≥故答案为：[6,)+∞【点睛】关键点点睛：此题考查直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，考查数学转化思想，解题的关键是画出图形，由图可知当2l 在圆左上方时，P 点与直线12,l l 的距离之和均为12,l l 的距离，即此时与 x ，y 的值无关，然后计算出直线2l 与圆相切时a 的值，从而可得答案，属于中档题16. 若e e e x y -=,,R x y ∈，则2x y -最小值为_________．【答案】12ln 2+【解析】【分析】把2e x y -表示成e y 的函数，再借助均值不等式求解作答.【详解】依题意，e e e xy=+，e 0y >，则2222e (e e)e ee 2e e e ex y x yy y y y -+===++2e 4e ≥+=，当且仅当2e e eyy =，即1y =时取“=”，此时，min (2)12ln 2x y -=+，所以，当1ln 2,1x y =+=时，2x y -取最小值12ln 2+.故答案为：12ln 2+的四､解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点34,55P ⎛⎫--⎪⎝⎭.（1）求sin 3πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值；（2）若角β满足()5sin 13αβ+=，求cos β的值.【答案】（1）；（2）56cos 65β=-或16cos 65β=.【解析】【分析】（1）由角α的终边经过点P ，结合三角函数的定义可求sin α，cos α，然后结合两角和的正弦公式可求；（2）由()5sin 13αβ+=，结合同角平方关系可求()cos αβ+，然后根据()βαβα=+-，及两角差的余弦公式可求.【详解】（1）∵角α的终边经过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴1OP ==.由三角函数的定义得4sin 5α=-，3cos 5α=-.∴1143sin sin 32255πααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==⨯--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）∵()5sin 13αβ+=，∴12cos()13αβ+===±，∴()cos cos cos()cos sin()sin βαβααβααβα⎡⎤=+-=+++⎣⎦，∴当12cos()13αβ+=时，35451256cos 1313655β⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⨯-⨯--；当12cos()13αβ+=-时，121356cos 131654553β⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=-⨯-⨯- ⎪⎝⎭.综上所述：56cos 65β=-或16cos 65β=.【点睛】思路点睛：先利用三角函数的定义求出sin α，cos α，再利用两角和与差的正余弦公式计算及凑角思想的应用.18. 设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知22n n n S a a =+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）记22cos3n n n a b a π=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求3n T .【答案】（1）n a n =（2）23942n n n T +=【解析】【分析】（1）由1n =可求得1a 的值，令2n ≥，由22n n n S a a =+可得出21112n n n S a a ---=+，两式作差可推导出数列{}n a 为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列{}n a 的通项公式；（2）计算出32313k k k k c b b b --=++，然后利用等差数列求和公式可求得3n T .【小问1详解】解：当1n =时，21112S a a =+，所以211a a =，又10a >，故11a =；当2n ≥时，21112n n n S a a ---=+，而22n n n S a a =+，两式相减得22112n n n n n a a a a a --=-+-，整理得()()1110n n n n a a a a --+--=，因为10n n a a ->+，所以11n n a a --=，故{}n a 是以1为公差的等差数列，从而()111n a a n n =+-⨯=.【小问2详解】解：22cos3n n b n π=，设()()()222323134232cos 231cos 23cos 233k k k k c b b b k k k k k k πππππ--⎛⎫⎛⎫=++=--+--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()222115323199222k k k k =----+=-，其中N k *∈，所以23125599942222n n n n n n T c c c ⎛⎫-+- ⎪+⎝⎭=++⋅⋅⋅+==.19. 如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥底面ABCD ，M 为线段PC 的中点，的PD AD =，N 为线段BC 上的动点．（1）证明：平面MND ⊥平面PBC（2）当点N 在线段BC 的何位置时，平面MND 与平面PAB 所成锐二面角的大小为30°？指出点N 的位置，并说明理由．【答案】（1）证明见解析 （2）点N 在线段BC 的中点【解析】【分析】（1）由PD ⊥底面ABCD ，可得PD BC ⊥，而CD BC ⊥，可证得BC ⊥平面PCD ，从而得BC DM ⊥，而DM PC ⊥，所以DM ⊥平面PBC ，再由面面垂直的判定定理可得结论，（2）设1PD AD ==，以D 为原点，以,,DA DC DP 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解即可【小问1详解】证明：因为PD ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ，所以PD BC ⊥，因为CD BC ⊥，CD PD D = ，所以BC ⊥平面PCD ，因为DM ⊂平面PCD ，所以BC DM ⊥，因为四边形ABCD 为正方形，PD AD =，所以PD CD =，因为在PDC △中，PD CD =，M 为线段PC 的中点，所以DM PC ⊥，因为PC BC C ⋂=，所以DM ⊥平面PBC ，因为DM ⊂平面DMN ，所以平面MND ⊥平面PBC ，【小问2详解】当点N 在线段BC 的中点时，平面MND 与平面PAB 所成锐二面角的大小为30°，理由如下：因为PD ⊥底面ABCD ，,⊂DA DC 平面ABCD ，所以,PD DA PD DC ⊥⊥，因为DA DC ⊥，所以,,DA DC DP 两两垂直，所以以D 为原点，以,,DA DC DP 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，设1PD AD ==，则11(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,0,1),(0,1,0),0,,22D A B P C M ⎛⎫⎪⎝⎭，设(,1,0)(01)N λλ<<，则11(1,0,1),(0,1,0),(,1,0),0,,22AP AB DN DM λ⎛⎫=-=== ⎪⎝⎭ ，设(,,)m x y z =为平面PAB 的法向量，则00m AP x z m AB y ⎧⋅=-+=⎨⋅==⎩，令1x =，则=(1,0,1)m u r ，设(,,)n a b c =为平面MND 的法向量，则01122n DN a b n DM b c λ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1a =，则(1,,)n λλ=- ，因为平面MND 与平面PAB 所成锐二面角的大小为30°，所以cos ,m n m n m n ⋅=== ，化简得24410λλ-+=，得12λ=，所以当点N 在线段BC 的中点时，平面MND 与平面PAB 所成锐二面角的大小为30°20. 最近考试频繁，为了减轻同学们的学习压力，班上决定进行一次减压游戏.班主任把除颜色不同外其余均相同的8个小球放入一个纸箱子，其中白色球与黄色球各3个，红色球与绿色球各1个.现甲、乙两位同学进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分，黄球每个记2分，红球每个记3分，绿球每个记4分，规定摸球人得分不低于8分获胜.比赛规则如下：①只能一个人摸球；②摸出的球不放回；③摸球的人先从袋中摸出1球；若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出2个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出3个球，他的得分为两次摸出的球的记分之和；④剩下的球归对方，得分为剩下的球的记分之和.（1）若甲第一次摸出了绿色球，求甲获胜的概率；（2）如果乙先摸出了红色球，求乙得分ξ的分布列和数学期望()E ξ；（3）第一轮比赛结束，有同学提出比赛不公平，提出你的看法，并说明理由.【答案】（1）37；（2）分布列见解析，607；（3）比赛不公平，理由见解析.【解析】【分析】（1）甲再摸2球至少得4分，分两种情况：一个红球，一个其他球，或者两个黄球，求出方法数，由此根据古典概型公式计算出概率；（2）乙第一次摸出红球，则可以再从袋子里摸出 3个小球，可计算出3个球的得分情况也即乙得分情况，分别计算概率得概率分布列，从而计算出期望.（3）以第一次摸出的球的颜色分类，分别计算获胜的概率，再计算概率的期望，与12比较大小即可.【详解】（1）记“甲第一次摸出了绿色球，求甲获胜”为事件A则()1121632793217C C C P A C +===（2）如果乙第一次摸出红球，则可以再从袋子里摸出3个小球，则得分情况有：6分，7分，8分，9分，10分，11分()33371635C P C ξ===()2133379735C C P C ξ⋅===()1233379835C C P C ξ⋅===()21331333774935C C C P C C ξ⋅==+=()1113313791035C C C P C ξ⋅⋅===()21313731135C C P C ξ⋅===所以ξ的分布列为：所以ξ的数学期望19949360678910113535353535357E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（3）由第（1）问知，若第一次摸出来绿球，则摸球人获胜的概率为137p =由第（2）问知，若第一次摸出了红球，则摸球人获胜的概率为294935357p +++==若第一次摸出了黄球，则摸球人获胜的概率为221162233372235C C C C p C ++==若第一次摸出了白球，则摸球人获胜的概率为2263437(1)1735C C P C -+==则摸球人获胜的概率为1315322317157187878358352802P =⨯+⨯+⨯+⨯=>所以比赛不公平.【点睛】关键点点睛：本题第三问，判断是否公平，即判断任何一方获胜的概率是不是12，但是由于第一次摸出什么球对后面摸球有影响，所以需要对第一摸球进行分类.21. 设01x <<.（1）证明：2sin 116x xx -<<；（2）若3sin 6x ax x -<，求a 取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）(],1-∞.【解析】【分析】（1）设()sin (01)f x x x x =-<<，3()sin (01)6xg x x x x =+-<<，根据函数的单调性证明结论成立；（2）通过讨论a 的范围，求出函数的导数，根据函数的单调性确定a 的取值范围即可．【详解】（1）由题意可设()()sin 01f x x x x =-<<，有'()cos 10f x x =-<，所以()f x 在（0，1）单减，所以()(0)0f x f <=，即sin 1xx<，设3()sin (01)6x g x x x x =+-<<，2'()cos 12x g x x =+-，''()sin 0g x x x =->，则有'()0g x >，()g x 单调递增，得()(0)0g x g >=，所以2sin 16x xx >-得证；（2）由（1）可知1a ≤时，33sin 66x x ax x x -≤-<成立，则当1a >时，设3()sin 6x h x x ax =+-，则2'()cos 2x h x x a =+-，''()sin 0h x x x =->，'()h x 单调递增，则''1()(1)cos12h x h a <=+-，①若1cos12a ≥+，'()0h x <，()h x 单调递减，则有()(0)0h x h <=，此时不符合题意；②若11cos12a <<+，()'010h a =-<，()'11cos102h a =+->，所以'()h x 有唯一零点，可记为0x ，则00x x <<，'()0h x <，此时()h x 单调递减，有()0h x <，则不符合题意；的综上可知1a ≤，即a 的取值范围为(],1-∞.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．22. 已知双曲线22:1C x y -=和点()0,1B .（1）斜率为k 且过原点的直线与双曲线C 交于,E F 两点，求EBF ∠最小时k 的值.（2）过点B 的动直线与双曲线C 交于,P Q 两点，若曲线C 上存在定点A ，使AP AQ k k +为定值λ，求点A 的坐标及实数λ的值.【答案】（1）0（2）),A λ=或者(),A λ=【解析】【分析】（1）由对称性可设(,)E x y ，(,)F x y --，由数量积得221BE BF x y ⋅=--+ ，再由E 点在双曲线C 上，进而可得22(1)0BE BF x ⋅=- …，进而可得EBF ∠最小时k 的值．②设(,)A m n ，过点B 的动直线为1y tx =+，联立直线PQ 与双曲线的方程，结合韦达定理可得12x x +，12x x ，△0>，用坐标表示AP AQ k k λ+=，化简得222(2)2(1)2220m mn t m n t m mn m λλλλ-+--+-+-=，由于上式对无穷多个不同的实数t 都成立，从而列2220102220m mn m n m mn m λλλλ⎧-=⎪--=⎨⎪-+-=⎩①②，解得n ，m ，进而可得答案．【小问1详解】由对称性可设()(),,,E x y F x y --，则()()22,1,11BE BF x y x y x y ⋅=-⋅---=--+ ，因为E 点在双曲线C 上，所以221x y -=，即221y x =-，且1x ≥所以()2210BE BF x ⋅=-≤ ，当1x =时，0,BE BF EBF ∠⋅= 为直角，当1x >时，0,BE BF EBF ∠⋅< 为钝角，所以EBF ∠最小时，1,0x k ==.【小问2详解】设(),A m n ，由题意知动直线一定有斜率，设点B 的动直线为1y tx =+，设()()1122,,,P x y Q x y 联立221,1,x y y tx ⎧-=⎨=+⎩得()221220,t x tx ---=，所以()22212212210,Δ4810,2,12,1t t t t x x t x x t ⎧-≠⎪=+->⎪⎪⎨+=⎪-⎪⎪=--⎩，解得22t <且21t ≠，AP AQ k k λ+=，即1212y n y n x m x mλ--+=--，即121211tx n tx n x m x mλ+-+-+=--，化简得()()()2121221220t x x mt n m x x m mn m λλλ-+-+-++-+-=，()(222212201t mt n m mn m t λλλ--+-+-+-+-=-，化简得()()2222212220m mn t m n t m mn m λλλλ-+--+-+-=，由于上式对无穷多个不同的实数t 都成立，所以2220,10,2220,m mn m n m mn m λλλλ⎧-=⎪--=⎨⎪-+-=⎩①②将①代入②得m λ=，从而322,1.m mn m n ⎧=⎨=+⎩如果0m =时，那么1n =-，此时()0,1A -不在双曲线C 上，舍去，因此0m ≠，从而22m n =，代入21m n =+，解得1,n m ==此时()A 在双曲线上，综上，),A λ=，或者(),A λ=.【点睛】圆锥曲线中的范围或最值或者定值问题，联立直线与曲线的方程是必要手段，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围，利用点的坐标运算得直线的斜率，对计算能力要求较高.。
海南省文昌中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试题
海南省文昌中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知{*|3}A x x =∈≤N ，{}2|40B x x x =-≤，则A B =I （ ）A ．{1,2,3}B ．{1,2}C ．(0,3]D ．(3,4]2．若复数3i2ia ++是纯虚数，则实数a =（ ） A ．32-B ．32C ．23-D ．233．“幂函数()()21mf x m m x =+-在()0,∞+上为增函数”是“函数()222x xg x m -=-⋅为奇函数”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充分必要D ．既不充分也不必要4．已知()1tan 3π2α-=，则()()πsin sin π2πcos cos π2αααα⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭⎛⎫-+- ⎪⎝⎭等于（ ）A ．1B ．－12C ．13D ．－135．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．如图，1F ，2F 为椭圆E ：()222210,0x ya b a b+=>>的左、右焦点，中心为原点，椭圆E，直线4x =上一点P 满足12F PF V 是等腰三角形，且12120F F P ∠=︒，则E 的离心率为（ ）ABC ．15D ．256．将甲、乙等8名同学分配到3个体育场馆进行冬奥会的志愿服务，每个场馆不能少于2人，则不同的安排方法有（ ） A ．2720B ．3160C ．3000D ．29407．已知等边ABC VP 为ABC V 所在平面内的动点，且||1PA =u u u r ，则PB PC ⋅u u u r u u u r的取值范围是（ ） A ．39,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．111,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[1,4]D ．[1,7]8．已知函数()()e xf x x a =+⋅，若对任意121x x >>都有()()12210x f x x f x -<，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)4,-+∞B ．[)3,∞-+C ．[)2,-+∞D ．[)1,-+∞二、多选题9．下列不等式一定成立的有（ ） A ．12x x+≥ B ．12(1)4x x -≤ C．22311x x +≥+ D2≥ 10．已知前n 项和为n S 的正项等比数列{}n a 中，148a a =，322a a =+，2log 1nn n a b S =+，则（ ） A ．65448a a -=- B ．7127S =C ．21n n S a =-D ．数列{}n b 中的最大项为2b11．四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PA 与底面垂直，2PA =，1=AB ，动点M 在线段PC 上，则（ ）A ．不存在点M ，使得AC BM ⊥B ．MB MD +C ．四棱锥P ABCD -的外接球表面积为6π D ．点M 到直线AB的距离的最小值为三、填空题12．已知平面向量a r ，b r 满足||1a =r ，(1,2)b =r ，(2)a a b ⊥-r r r ，则向量a r，b r 夹角的余弦值为.13．设函数()y f x =的定义域为R ，且()1f x +为偶函数，()1f x -为奇函数，当[]1,1x ∈-时，()21f x x =-，则()20231k f k ==∑.14．已知函数()21,1ln ,1x x f x x x x⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，若关于x 的方程()()()22120f x m f x m +--=⎡⎤⎣⎦有5个不同的实数解，则实数m 的取值范围是.四、解答题15．已知a 、b ，c 分别是ΔABC 内角A ，B ，C 的对边，()cos (cos cos )b a C c A B -=-，22b ac =．（1）求cos C ；（2）若ΔABCc ．16．如图，四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，PA ⊥底面ABCD ，AD BC ∥，60ADC ∠=︒，22AP AD BC ===，E 为棱CP 上一点.(1)证明：平面ABE ⊥平面ADP ；(2)若AE BE =，求平面ABE 与平面CDP 所成二面角的平面角的正弦值.17．已知椭圆方程为()222210+=>>x y a b a b，过点(),0A a -，()0,B b 的直线倾斜角为π6，原(1)求椭圆的方程；(2)对于()1,0D -，是否存在实数k ，使得直线2y kx =+分别交椭圆于点P ，Q ，且DP D Q =，若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由． 18．已知函数()()ln 1f x x =+． (1)求曲线y =f x 在3x =处的切线方程. (2)讨论函数()()()F x ax f x a =-∈R 的单调性； (3)设函数()()1111g x x f f x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．证明：存在实数m ，使得曲线y =g x 关于直线x m =对称.19．若有穷数列12,n a a a L （n 是正整数），满足1n a a =，21n a a -=，…，1n a a =即1i n i a a -+=（i 是正整数，且1i n ≤≤），就称该数列为“对称数列”．(1)已知数列 b n 是项数为8的对称数列，且1b ，2b ，3b ，4b 成等差数列，11b =，410b =，试写出 b n 的每一项．(2)已知{}n c 是项数为2k （其中1k ≥，且Z k ∈）的对称数列，且122,,,k k k c c c ++L 构成首项为15，公差为2-的等差数列，数列{}n c 的前2k 项和为2k S ，则当k 为何值时，2k S 取到最大值？最大值为多少？(3)对于给定的正整数1i >，试写出所有项数为21i -的对称数列，使得211,2,22i -K 成为数列中的连续项；当2000i >时，并分别求出所有对称数列的前2024项和2024S ．。
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XX 中学2022-2023学年度第一学期
高三数学月考试题
考试范围：集合与常用逻辑用语；时间：120分钟；命题人：
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写答题卡上；
2.回答选择题时，选出给每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷无效；
3.考试结束后，将本试卷和带卡一并交回。
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.若集合A={x ∈N|x ≤√2 023},a=π,则下列结论正确的是( )
A.{a}⊆A
B.a ⊆A
C.{a}∈A
D.a ∉A
2.某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”,这句话的等价命题是( ) A.不拥有的人们会幸福 B.幸福的人们不都拥有 C.拥有的人们不幸福 D.不拥有的人们不幸福
3.已知集合A={1,2,3},B={x|-1<x+1≤3,且x ∈Z},则A ∪B 等于( ) A.{1,2,3} B.{0,1,2,3} C.{-1,0,1,2,3} D.{-1,0,1,2}
4.已知A={(x,y)|4x-y=0},B={(x,y)|y=x 2+4},则A ∩B 等于( ) A.{(8,2)} B.{(2,4)} C.{(2,8)} D.{(4,2)}
5.已知集合A={x ∈N|x 2≤1},集合B={x ∈Z|-1≤x ≤3},则图中阴影部分表示的集合是( )
A.[1,3]
B.(1,3]
C.{-1,2,3}
D.{-1,0,2,3}
6.命题“∀x ∈R,x 2-x+2 023>0”的否定是( )
A.∃x 0∈R,x 02-x 0+2 023<0
B.∃x 0∈R,x 02
-x 0+2 023≤0
C.∀x ∈R,x 2-x+2 023<0
D.∀x ∈R,x 2
-x+2 023≤0
7.已知集合A={1,2,3},B={-1,0,1,2},若M ⊆A,且M ⊆B,则M 的个数为( ) A.1 B.3 C.4 D.6
8.已知命题p:函数f(x)=2x -2-x 在R 上单调递增,命题q:函数g(x)= sin[2(x+π
4)]为奇函数,则下列命题中真命题为( )
A.p ∧q
B.p ∧﹁q
C.﹁p ∧﹁q
D.﹁p ∨q 9.下列结论错误的是( )
A.“x=1”是“x 2-x=0”的充分不必要条件
B.已知命题p:∀x ∈R,x 2+1>0,则﹁p:∃x 0∈R,x 02
+1≤0 C.若复合命题p ∧q 是假命题,则p,q 都是假命题
D.命题“若x 2-x=0,则x=1”的逆否命题为“若x ≠1,则x 2-x ≠0”
10.设全集U={1,2,3,4,5,6},且U 的子集可表示由0,1组成的6位字符串,如:{2,4}表示的是自左向右的第2个字符为1,第4个字符为1,其余字符均为0的6位字符串010100,并规定,空集表示的字符串为000000;对于任意两集合A,B,我们定义集合运算A-B={x|x ∈A,且x ∉B},A*B=(A-B)∪(B-A).若A={2,3,4,5},B={3,5,6},则A*B 表示的6位字符串是( ) A.101010 B.011001 C.010101 D.000111
11.设m,n 为非零向量,则“m ·n>0”是“存在整数λ,使得m=λ n ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
12.记不等式组{x +y ≥6,
2x -y ≥0
表示的平面区域为D,命题p:∃(x,y)∈D,2x+y ≥9;命题q:∀(x,y)∈
D,2x+y ≤12.给出了四个命题:①p ∨q;②﹁p ∨q;③p ∧﹁q;④﹁p ∧﹁q,这四个命题中,所有真命题的编号是( )
A.①③
B.①②
C.②③
D.③④
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.若“∃x 0∈[-1,2],x 02
-m>1”为假命题,则实数m 的最小值为 . 14.若集合A={x|8≤2-x
2+2x+a
≤12}中恰有唯一的元素,则实数a 的值为 .
15.已知函数f(x)=ln(x 2
+1),g(x)=(12
)x -m,若对∀x 1∈[0,3],∃x 2∈[1,2],使得f(x 1)≥g(x 2),则实
数m 的取值范围是 .
16.下列命题真命题的序号是 . ①∃x 0∈R,sin x 0+cos x 0=√3; ②若p:x
x -1<0,则﹁p:x
x -1≥0; ③lg x>lg y 是√x >√y 的充要条件;
④在△ABC 中,边a>b 是sin A>sin B 的充要条件;
⑤“a=2”是“函数f(x)=|x-a|在区间[2,+∞)上为增函数”的充要条件.
三、解答题（本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(本小题满分10分)
设全集U=R,集合A={x|-1≤x<3},B={x|2x-4≥x-2}.
(1)求B及∁
U
(A∩B);
(2)若集合C={x|2x+a>0},满足B∪C=C,求实数a的取值集合.
18.(本小题满分12分)
设非空集合S具有如下性质:①元素都是正整数;②若x∈S,则10- x∈S.
(1)请你写出符合条件,且分别含有一个、二个、三个元素的集合S各一个;
(2)是否存在恰有6个元素的集合S?若存在,写出所有的集合S;若不存在,请说明理由;
(3)由(1)(2)的解答过程启发我们,可以得出哪些关于集合S的一般性结论?(要求至少写出两个结论)
19.(本小题满分12分)
设p:2≤x<4,q:实数x满足x2-2ax-3a2<0(a>0).
(1)若a=1,且p,q都为真命题,求x的取值范围;
(2)若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
20.(本小题满分12分) 已知a≥1
2
,y=-a2x2+ax+c,其中a,c均为实数.
证明:对于任意的x∈{x|0≤x≤1},均有y≤1成立的充要条件是c≤3
4
.
21.(本小题满分12分)
设t∈R,已知命题p:函数f(x)=x2-2tx+1有零点;命题q:∀x∈[1,+∞),1
x
-x≤4t2-1.
(1)当t=1时,判断命题q的真假;
(2)若p∨q为假命题,求t的取值范围.
22.(本小题满分12分)
已知不等式5
x-3
≥-1的解集为A,集合B={x|2ax2+(2-ab)x-b<0}.
(1)求集合A;
(2)当a>0,b=1时,求集合B;
(3)是否存在实数a,b使得x∈A是x∈B的充分条件,若存在,求出实数a,b满足的条件;若不存在,请说明理由.
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