六年级奥数.杂题.抽屉原理.学生

知识框架

抽屉原理

知识点介绍 抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中

的问题，因此，也被称为狄利克雷原则•抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可 以解决很多有趣的问题， 并且常常能够起到令人惊奇的作用.

许多看起来相当复杂， 甚至无从下手的问题,

在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决. (1) 举例

桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放 两个，有的可以

放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。

(2) 定义

一般情况下，把 n +1或多于n +1个苹果放到n 个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹 果。我们称这种现

象为抽屉原理。

抽屉原理的解题方案

(一)、利用公式进行解题 苹果十抽屉=商……余数 余数：(1)余数=1,

将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我 意”方法、特殊值

方法.

重难点

抽屉原理是一种特殊的思维方法，不但可以根据它来做出许多有趣的推理和判断，同时能够帮助同学 证明很多看似复

杂的问题。本讲的主要教学目标是：

(1) 理解抽屉原理的基本概念、基本用法；

(2) 掌握用抽屉原理解题的基本过程;

抽屉原理的定义

结论：至少有(商+ 1)个苹果在同一个抽屉里 (2)余数=x 1 p xp n 1

结论：至少有(商+ 1)个苹果在同一个抽屉里 (3)余数=0,

(二)、利用最值原理解题

结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里

(3)能够构造抽屉进行解题；

(4)利用最不利原则进行解题；

(5)利用抽屉原理与最不利原则解释并证明一些结论及生活中的一些问题。

例题精讲

(一)、直接利用公式进行解题

(1)求结论

【例1】6只鸽子要飞进5个笼子，每个笼子里都必须有1只，一定有一个笼子里有2只鸽子•对吗?

【巩固】年级一班学雷锋小组有13人•教数学的张老师说：“你们这个小组至少有2个人在同一月过生日•”你知道张老师为什么这样说吗？

【例2】人的头发平均有12万根，如果最多不超过20万根，那么13亿中国人中至少有__________________________ 人的头发的根数相同。

巩固】向阳小学有730 个学生，问：至少有几个学生的生日是同一天？

例3】五年级数学小组共有20 名同学，他们在数学小组中都有一些朋友，请你说明：至少有两名同学，他们的朋友人数一样多．

巩固】“六一”儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人．试说明：在游园的小朋友中，至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等．

例4 】在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被 3 整除？

巩固】四个连续的自然数分别被3除后，必有两个余数相同，请说明理由．

例5 】求证：可以找到一个各位数字都是 4 的自然数，它是1996 的倍数．

巩固】求证：对于任意的8 个自然数，一定能从中找到6 个数a，b，c，d，e，f ，使得(a b)(c d)(e f) 是105 的倍数．

2）求抽屉

例6 】某班有16 名学生，每个月教师把学生分成两个小组．问最少要经过几个月，才能使该班的任意两个学生总有某个月份是分在不同的小组里?

巩固】100 个苹果最多分给多少个学生，能保证至少有一个学生所拥有的苹果数不少于12个.

3）求苹果

例7】一次数学竞赛出了10 道选择题，评分标准为：基础分10 分，每道题答对得3 分，答错扣1 分，不答不得分。

问：要保证至少有4 人得分相同，至少需要多少人参加竞赛？

巩固】一次测验共有10 道问答题，每题的评分标准是：回答完全正确，得5分；回答不完全正确，得3分，回答完全错误或不回答，得0 分．至少__________ 人参加这次测验，才能保证至少有3 人得得分相

同．

二）、构造抽屉利用公式进行解题

例8 】在一只口袋中有红色、黄色、蓝色球若干个，小聪明和其他六个小朋友一起做游戏，每人可以从口袋中随意取出2 个球，那么不管怎样挑选，总有两个小朋友取出的两个球的颜色完全一样．你能说明这是为什么吗？

巩固】幼儿园买来许多牛、马、羊、狗塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，但不能是同样的，问：至

少有多少个小朋友去拿，才能保证有两人所拿玩具相同？

例9】从2、4、6、8、L 、50这25个偶数中至少任意取出多少个数，才能保证有2个数的和是52 ？【巩固】请证明：在1 , 4, 7, 10,…，100中任选20个数，其中至少有不同的两组数其和都等于104.

【例10】从1,2,3……，2010,2011这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差不等于4？

巩固】从1 至2013这2013个自然数中最多能取出多少个数, 使得其中任意的两数都不连续且差不等于4？

【例11】从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11和12中至多选出________________________ 个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的2倍.

【巩固】从1到20这20个数中，任取11个不同的数，必有两个数其中一个是另一个数的倍数.

【例12】有苹果和桔子若干个，任意分成5堆，能否找到这样两堆，使苹果的总数与桔子的总数都是偶数？

【巩固】在20米长的水泥阳台上放12盆花，随便怎样摆放，请你说明至少有两盆花它们之间的距离小于2米.

【例13】时钟的表盘上按标准的方式标着1, 2, 3，…，11, 12这12个数，在其上任意做n个120°的扇形，每一个都恰好覆盖4个数，每两个覆盖的数不全相同•如果从这任做的n个扇形中总能

恰好取出3个覆盖整个钟面的全部12个数，求n的最小值.

【巩固】如图，在时钟的表盘上任意作9个120°的扇形，使得每一个扇形都恰好覆盖4个数，且每两个扇形覆盖的数不全相同，求证：一定可以找到3个扇形，恰好覆盖整个表盘上的数•并举一个反例

说明，作8个扇形将不能保证上述结论成立.

【例14】从1, 2, 3,……,49, 50这50个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除, 则最多能取出多少个数？

（三）、最不利原则

【例15】“走美”主试委员会为三〜八年级准备决赛试题•每个年级12道题，并且至少有8道题与其他各年级都不同.如果每道题出现在不同年级，最多只能出现3次•本届活动至少要准备__________________ 道决赛试题.