人教版八下数学家之平行四边形(提高)知识讲解

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八年级下册数学平行四边形知识点

八年级下册数学平行四边形知识点平行四边形是我们在数学学习中会遇到的一个重要概念。

它具备一些特殊的性质和规律，对于我们解题和解析几何的能力有很大的帮助。

本文将详细介绍八年级下册数学平行四边形的知识点，包括定义、性质、判定方法及相关定理。

一、平行四边形的定义平行四边形是指具有两组对边平行的四边形。

四边形的两组对边分别是平行边，而对边之间的两组夹角分别是对顶角。

平行四边形的定义为：如果一个四边形的对边互相平行，则它是一个平行四边形。

平行四边形的对边长度相等，对角线互相等长。

二、平行四边形的性质平行四边形有一些独特的性质，掌握这些性质对于解题非常重要。

1. 对边性质：平行四边形的对边互相平行且相等长，即两对对边分别平行且长度相等。

2. 对角性质：平行四边形的对角线互相平分且相等长，即两条对角线分别相等长且平分。

3. 额角性质：平行四边形的一个内角与外角之和为180度，即内外角互为补角。

4. 同底角性质：平行四边形的两组对边夹角相等，即对等长的两边相对应的角相等。

5. 对顶角性质：平行四边形的两组对角之和为180度，即对等长的两个对角之和为180度。

三、平行四边形的判定方法对于给定的四边形，我们可以利用以下判定方法来确定它是否为平行四边形。

1. 判定方法一：如果一个四边形的对边长度相等，那么它是一个平行四边形。

2. 判定方法二：如果一个四边形的对角线互相相等，那么它是一个平行四边形。

3. 判定方法三：如果一个四边形的一个内角与外角之和为180度，那么它是一个平行四边形。

利用这些判定方法，我们可以轻松地确定一个四边形是否是平行四边形。

四、平行四边形的相关定理平行四边形还有一些重要的定理，它们进一步扩展了平行四边形的性质和应用。

1. 对角线分割定理：平行四边形的对角线把它分割成两个面积相等的三角形。

2. 对角线互补定理：平行四边形的对角线相交于一点，这个点将对角线分成互补角。

3. 等腰三角形定理：平行四边形的对边相等，则它是一个等腰三角形。

人教版八年级数学下册《平行四边形的性质》平行四边形PPT优质教学课件

10 ●O
∴AC= AB2−BC2= 102−82=6
∵OA=OC，∴OA=12AC=3
B
C
∴S ABCD= BC×AC=8×6=48．
随堂检测
1．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若 AC＝14，BD＝8，AB＝10，则△OAB的周长为 21 ．
2．如图，平行四边形ABCD中，AD＝5cm，AB⊥BD，点O是两条对角线的交点，OD＝2cm，则AB＝ 3 cm．
叫做这两条平行线之间的距离．
如图，直线a∥b，A是直线a上的任意
A
a
一点，AB ⊥b ，B是垂足，线段AB的
b
长就是a、b之间的距离．
B
随堂检测
1．如图，在 ABCD中，
A
D
A：基础知识：
B
C
若∠A=130°，则∠B=_5_0_°___ 、∠C=_1_3_0_°__ 、∠D=__5_0_°__．
B：变式训练：（1）若∠A+ ∠C= 200°，则∠A=__1_0_0_°_ 、∠B=__8_0_°__；（2）若∠A：∠B= 5：4，则∠C=__1_0_0_°_ 、∠D=___8_0_°_．
随堂检测
C:拓展延伸：
A
D
如图，在 ABCD中，
B
C
（1）∠A：∠B ： ∠C ： ∠D的度数可能是( B )
A． 1 ： 2 ： 3 ： 4
B．3 ： 2 ： 3 ： 2
C．2 ： 3 ： 3 ： 2
D．2 ： 2 ： 3 ： 3
（2）连接AC，若∠D=60°， ∠DAC=40°，则 ∠B=_6_0_°_，
一条直线的距离相等．
已知：如图，EF∥MN，A，D是直线

人教版八年级下册数学平行四边形知识点总结

人教版八年级下册数学平行四边形知识点总结本文介绍了平行四边形、矩形、菱形、正方形等几种四边形的知识点。

首先，平行四边形是两组对边分别平行的四边形，表示为ABCD。

它不仅是平行四边形的一条性质，还是一个判定方法。

其有关性质和判定从边、角、对角线三个方面进行简述，包括邻角互补、对角相等、对角线互相平分、面积等。

其次，平行四边形的判别方法有五种，包括定义、两组对角分别相等、两组对边分别相等、对角线互相平分、一组平行且相等。

掌握这些方法可以更好地判断平行四边形。

除了平行四边形，还有矩形、菱形、正方形和梯形等特殊四边形。

矩形是有一个角是直角的平行四边形，而菱形是有一组邻边相等的平行四边形。

正方形是有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形，是最特殊的平行四边形，兼有平行四边形、菱形和矩形的特征。

梯形是一组对边平行而另一组对边不平行的四边形，还有等腰梯形和直角梯形等特殊梯形。

最后，这些特殊四边形还有各自的性质和判定方法，如矩形的对边平行且相等，对角线互相平分且相等，等等。

掌握这些知识点可以更好地理解和应用这些图形。

2.几种特殊四边形的定义菱形：四条边相等，对角相等且邻角互补，对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角，具有轴对称性（对角线所在直线，2条）。

正方形：四条边相等，四角相等，对角线互相垂直平分相等，对角线与边的夹角为45度，具有轴对称性（4条）。

等腰梯形：上下底平行但不相等，两腰相等，同一底边上的两个角相等且对角互补，对角线相等，具有轴对称性（上下底中点所在直线）。

3.几种特殊四边形的判定方法矩形的判定：①有一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形；③四个角都相等。

菱形的判定：①有一组邻边相等的平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形；③四条边都相等。

正方形的判定：①有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形；②有一组邻边相等的矩形；③对角线互相垂直的矩形；④有一个角是直角的菱形；⑤对角线相等的菱形。

人教版数学八年级下册平行四边形全章复习与巩固(提高)知识讲解

平行四边形全章复习与巩固（提高）【学习目标】1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算.3. 掌握三角形中位线定理. 【知识网络】【要点梳理】要点一、平行四边形1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2．性质：（1）对边平行且相等；（2）对角相等；邻角互补；（3）对角线互相平分；（4）中心对称图形. 3．面积：高底平行四边形⨯=S4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形. 要点诠释：平行线的性质：（1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等. 要点二、矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积：宽＝长矩形⨯S４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形. 要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．要点三、菱形1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；（2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：2对角线对角线高＝＝底菱形⨯⨯S4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边相等的四边形是菱形.要点四、正方形1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 2．性质：（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：=S 正方形边长×边长＝12×对角线×对角线 4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线相等的菱形是正方形；（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.【典型例题】类型一、平行四边形1、（2015•海淀区二模）如图1，在△ABC 中，AB=AC ，∠ABC=α，D 是BC 边上一点，以AD 为边作△ADE，使AE=AD ，∠DAE+∠BAC=180°．（1）直接写出∠ADE的度数（用含α的式子表示）；（2）以AB，AE为边作平行四边形ABFE，①如图2，若点F恰好落在DE上，求证：BD=CD；②如图3，若点F恰好落在BC上，求证：BD=CF．【思路点拨】（1）由在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，可求得∠BAC=180°﹣2α，又由AE=AD，∠DAE+∠BAC=180°，可求得∠DAE=2α，继而求得∠ADE的度数；（2）①由四边形ABFE是平行四边形，易得∠EDC=∠ABC=α，则可得∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°，证得AD⊥BC，又由AB=AC，根据三线合一的性质，即可证得结论；②由在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，可得∠B=∠C=α，四边形ABFE是平行四边形，可得AE∥BF，AE=BF．即可证得：∠EAC=∠C=α，又由（1）可证得AD=CD，又由AD=AE=BF，证得结论．【答案与解析】解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，∴∠BAC=180°﹣2α，∵∠DAE+∠BAC=180°，∴∠DAE=2α，∵AE=AD，∴∠ADE=90°﹣α；（2）①证明：∵四边形ABFE是平行四边形，∴AB∥EF．∴∠EDC=∠ABC=α，由（1）知，∠ADE=90°﹣α，∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°，∴AD⊥BC．∵AB=AC，∴BD=CD；②证明：∵AB=AC，∠ABC=α，∴∠C=∠B=α．∵四边形ABFE是平行四边形，∴AE∥BF，AE=BF．∴∠EAC=∠C=α，由（1）知，∠DAE=2α，∴∠DAC=α，∴∠DAC=∠C．∴AD=CD．∵AD=AE=BF，∴BF=CD．∴BD=CF．【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的性质与判定．注意（2）①中证得AD⊥BC是关键，（2）②中证得AD=CD是关键．举一反三：【变式】已知△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，分别以AB、AC、BC为一边在BC边同侧作正△ABD、正△ACE和正△BCF，求以A、E、F、D四点为顶点围成的四边形的面积．【答案】证明：∵ AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴∠BAC＝90°∵△ABD、△ACE和△BCF为正三角形，∴AB＝BD＝AD，AC＝AE＝CE，BC＝BF＝FC ,∠1＋∠FBA＝∠2＋∠FBA＝60°∴∠1＝∠2易证△BAC≌△BDF（SAS），∴DF＝AC＝AE＝4，∠BDF＝90°同理可证△BAC≌△FEC∴AB＝AD＝EF＝3∴四边形AEFD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）∵DF∥AE，DF⊥BD延长EA交BD于H点，AH⊥BD，则H为BD中点∴平行四边形AEFD的面积＝DF×DH＝4×32＝6.类型二、矩形2、如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，且D G⊥AC，OF＝2cm，求矩形ABCD的面积．【答案与解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝0B＝OC＝OD，∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AO－AE ＝OB －BF ＝CO －CG ＝DO －DH ，即：OE ＝OF ＝OG ＝OH ， ∴四边形EFGH 是矩形；（2）解：∵G 是OC 的中点，∴GO＝GC ， ∵DG⊥AC，∴∠DGO＝∠DGC＝90°，又∵DG＝DG ， ∴△DGC≌△DGO， ∴CD＝OD ，∵F 是BO 中点，OF ＝2cm ， ∴BO＝4cm ，∵四边形ABCD 是矩形， ∴DO＝BO ＝4cm ，∴DC＝4cm ，DB ＝8cm ，∴CB＝2243DB DC -=，∴矩形ABCD 的面积＝4×243163cm =．【总结升华】本题主要考查矩形的判定，首先要判定四边形是平行四边形，然后证明对角线相等．举一反三：【变式】（2015秋•抚州校级期中）在平行四边形ABCD 中，过点D 作DE⊥AB 于点E ，点F 在边CD 上，DF=BE ，连接AF ，BF ．（1）求证：四边形BFDE 是矩形；（2）若CF=9，BF=12，DF=15，求证：AF 平分∠DAB．【答案】证明：（1）∵四边形ABCD 为平行四边形，∴DC∥AB，即DF∥BE，又∵DF=BE，∴四边形DEBF 为平行四边形，又∵DE⊥AB， ∴∠DEB=90°，∴四边形DEBF 为矩形；（2）∵四边形DEBF 为矩形，∴∠BFC=90°， ∵CF=9，BF=12，∴BC==15，∴AD=BC=15， ∴AD=DF=15， ∴∠DAF=∠DFA， ∵AB∥CD，∴∠FAB=∠DFA， ∴∠FAB=∠DFA， ∴AF 平分∠DAB．3、在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=4．过点A 作AE⊥AB 且AB=AE ，过点E 分别作EF⊥AC，ED⊥BC，分别交AC 和BC 的延长线与点F ，D ．若FC=5，求四边形ABDE 的周长．【思路点拨】首先证明△ABC≌△EAF，即可得出BC=AF ，AC=EF ，再利用勾股定理得出AB 的长，进而得出四边形EFCD 是矩形，求出四边形ABDE 的周长即可．【答案与解析】解：∵∠ACB=90°，AE⊥AB，∴∠1+∠B=∠1+∠2=90°．∴∠B=∠2． ∵EF⊥AC，∴∠4=∠5=90°． ∴∠3=∠4．在△A BC 和△EAF 中，∵342B AB AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，， ∴△ABC≌△EAF（AAS ）． ∴BC=AF，AC=EF ． ∵BC=4， ∴AF=4． ∵FC=5， ∴AC=EF=9．在Rt△ABC 中，AB=22224997CB AC +=+=. ∴AE=97．∵ED⊥BC，∴∠7=∠6=∠5=90°． ∴四边形EFCD 是矩形．∴CD=EF=9，ED=FC=5．∴四边形ABDE的周长=AB+BD+DE+EA=97+4+9+5+97=18+297．【总结升华】此题主要考查了全等三角形的判定以及矩形的判定与性质和勾股定理等知识，根据已知得出AC=EF=9是解题关键．类型三、菱形4、如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝5．对角线AC，BD 相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F.（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．【思路点拨】（1）当旋转角为90°时，∠AOF=90°，由AB⊥AC，可得AB∥EF，即可证明四边形ABEF为平行四边形；（2）证明△AOF≌△COE即可；（3）当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形，又由AB⊥AC，AB=1，BC=5，易求得OA=AB，即可得∠AOB=45°，求得∠AOF=45°，则可得此时AC绕点O顺时针旋转的最小度数为45°．【答案与解析】（1）证明：当∠AOF＝90°时，AB∥EF，又AF∥BE，∴四边形ABEF为平行四边形．（2）证明：四边形ABCD为平行四边形，∴AO＝CO，∠FAO＝∠ECO，∠AOF＝∠COE.∴△AOF≌△COE∴AF＝CE（3）四边形BEDF可以是菱形．理由：如图，连接BF，DE，由（2）知△AOF≌△COE，得OE＝OF，∴EF与BD互相平分．∴当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形．AC=-=，在Rt△ABC中，512∴OA＝1＝AB，又AB⊥AC，∴∠AOB＝45°，∴∠AOF＝45°，∴AC绕点O顺时针旋转45°时，四边形BEDF为菱形．【总结升华】要证明四边形是菱形，先证明这个四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂直的特征证明该平行四边形是菱形.举一反三：【变式】已知:如图所示，BD是△ABC的角平分线，EF是BD的垂直平分线，且交AB于E，交BC于点F.求证:四边形BFDE是菱形.【答案】证明：∵EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED，∠EBD=∠EDB.又∵∠EBD= ∠FBD，∴∠FBD=∠EDB，ED∥BF. 同理，DF∥BE，∴四边形BFDE是平行四边形.又∵EB=ED，∴四边形BFDE是菱形.5、在口ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AB，点E、F分别是OA、BC的中点．连接BE、EF．（1）求证：EF=BF；（2）在上述条件下，若AC=BD，G是BD上一点，且BG：GD=3：1，连接EG、FG，试判断四边形EBFG的形状，并证明你的结论．【思路点拨】（1）根据平行四边形性质推出BD=2BO，推出AB=BO，根据三线合一定理得出BE⊥AC，在△BEC 中，根据直角三角形斜边上中线性质求出EF=BF=CF即可；（2）根据矩形性质和已知求出G为OD中点，根据三角形中位线求出EG∥AD，EG=12BC，求出EG∥BC，EG=12BC，求出BF=EG，BF∥EG，EG=GF，得出平行四边形，根据菱形的判定推出即可．【答案与解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BD=2BO，∵BD=2AB，∴AB=BO，∵E为OA中点，∴BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∵F为BC中点，∴EF=BF=CF，即EF=BF；（2）四边形EBFG是菱形，证明：连接CG，∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC，BD=2BO=2OD，∴BD=2AB=2CD，∴OC=CD，∵BG：GD=3：1，OB=OD，∴G为OD中点，∴CG⊥OD（三线合一定理），即∠CGB=90°，∵F为BC中点，∴GF=12BC=12AD，∵E为OA中点，G为OD中点，∴EG∥AD，EG=12 AD，∴EG∥BC，EG=12 BC，∵F为BC中点，∴BF=12BC，EG=GF，即EG∥BF，EG=BF，∴四边形EBFG是平行四边形，∵EG=GF，∴平行四边形EBFG是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形性质，菱形性质，三角形的中位线，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形的性质等知识点，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，注意：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半．类型四、正方形6、正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°．将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．（1）求证：EF＝FM；（2）当AE ＝1时，求EF 的长．【答案与解析】解：（1）证明：∵△DAE 逆时针旋转90°得到△DCM，∴DE＝DM ，∠EDM＝90°， ∴∠EDF＋∠FDM＝90°， ∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝∠EDF ＝45°，在△DEF 和△DMF 中，DE DM EDF MDF DF DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEF≌△DMF（SAS ）， ∴EF＝MF ；（2）设EF ＝MF ＝x ，∵AE＝CM ＝1，且BC ＝3， ∴BM＝BC ＋CM ＝3＋1＝4，∴BF＝BM －MF ＝BM －EF ＝4－x ， ∵EB＝AB －AE ＝3－1＝2，在Rt△EBF 中，由勾股定理得EB 2＋BF 2＝EF 2，即()22224x x +-=，解得：52x =，则EF ＝52．【总结升华】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，利用了转化及方程的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．举一反三：【变式】如图（1），正方形ABCD 和正方形CEFG 有一公共顶点C ，且B 、C 、E 在一直线上，连接BG 、DE ．（1）请你猜测BG 、DE 的位置关系和数量关系？并说明理由．（2）若正方形CEFG 绕C 点向顺时针方向旋转一个角度后，如图（2），BG 和DE 是否还存在上述关系？若存在，试说明理由；若不存在，也请你给出理由．2020年人教版初二数学下学期【答案】解：(1)BG＝DE，BG⊥DE；理由是：延长BG交DE于点H，因为BC＝DC，CG ＝CE，∠BCG＝∠DCE所以△BCG≌△DCE，所以BG＝DE，∠GBC＝∠CDE．由于∠CDE＋∠CED＝90°，所以∠GBC＋∠DEC＝90°，得∠BHE＝90°．所以BG⊥DE.(2)上述结论也存在．理由：设BG交DE于H，BG交DC于K，同理可证△BCG≌△DCE，得BG＝ED，∠KBC＝∠KDH．又因为∠KBC＋∠BKC＝90°，可得∠DKH＋∠KDH ＝90°，从而得∠KHD＝90°．所以BG⊥DE.。

人教版八年级数学下《平行四边形的性质》知识全解

《平行四边形的性质》知识全解课标要求1．探索并证明平行四边形的性质，培养学生简单的推理能力和逻辑思维能力．2．在探索平行四边形的性质过程中，知道解决平行四边形问题的基本思想是化为三角形问题来解决，渗透转化思想．通过平行四边形性质的应用，体会用代数方法解几何问题的数学思想方法．知识结构内容解析1．平行四边形的有关概念（1）平行四边形的定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的表示：平行四边形用符号“□”表示，比如平行四边形ABCD 记作“□ABCD ”：读作平行四边形ABCD ．（3）平行四边形定义的作用：①由定义知道平行四边形的对边分别平行．这是平行四边形的基本性质．②由定义知道只要两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形．这是平行四边形的基本判定方法．2．平行四边形的性质（1）平行四边形的对边相等．用符号语言表示：若四边形ABCD 是平行四边形，则AB ＝DC ，AD ＝BC ．（2）平行四边形的对角相等．用符号语言表示：若四边形ABCD 是平行四边形，则∠A ＝∠C ，∠B ＝∠D ．（3）平行四边形的对角线互相平分．用符号语言表示：若□ABCD 的两条对角线AC 与BD 相交于点O ，则AO ＝CO ，BO ＝DO ．（4）平行四边形是中心对称图形将□ABCD 绕对角线的交点O 旋转180°，能够与自身重合，所以□ABCD 是中心对称图形，点O 是对称中心．平行四边形平行四边形的定义平行四边形的性质平行四边形的对边相等平行四边形的对角相等平行四边形的对角线互相平分注意：（1）平行四边形的性质可归结为从三个方面看．即从边看：对边平行且相等；从角看：邻角互补，对角相等；从对角线看：对角线互相平分；（2）由平行四边形的性质可以得到以下两个重要的结论：①平行四边形相邻两边之和等于周长的一半；②平行四边形被对角线分成的四个小三角形中，相邻两个三角形的周长之差等于相邻两边之差．重点难点重点：理解并掌握平行四边形的概念及其性质．教学重点的解决方法：直观操作和逻辑推理的有机结合，通过多种手段，如观察度量．实验操作．图形变换．逻辑推理等来解决重点．难点：平行四边形性质的说理．教学难点的解决方法：引导学生在研究图形性质时，学会从图形的基本元素（边．角．对角线）之间关系入手分析，用度量．拼凑．旋转．折叠等方法，找到其数量关系，更好地理解几何中做辅助线的合理性．必要性．同时，注重师生互动，提高学生的思维效率；针对学生的盲区，利用相应的练习巩固．教法导引通过学生们自己动手操作，自己推导，自己发现从而得到平行四边形的有关知识，充分发挥学生们的探究意识和合作交流习惯．先让学生看图片，体会到平行四边形在日常生活中的广泛应用，给出平行四边形的定义，从定义出发得到第一个性质，再由学生动手操作平移和旋转得到其他性质．为了突出平行四边形性质的探索过程，要注重直观操作和逻辑推理的有机结合，通过多种手段，如观察度量．实验操作．图形变换．逻辑推理等来实现教学目标．将整个性质的探究分两步走，第一步先引导学生通过观察大胆“猜一猜”，再“画一画”，进一步感受图形特征，接着“量一量”，初步验证猜想．第二步激发学生“剪一剪”，引导他们以小组合作的方式进一步探究．将所画的平行四边形沿其中一条对角线剪开，学生将不难发现所得到的两三角形全等，而全等三角形的对应边相等．对应角相等，这样很自然地进一步验证了猜想，与此同时，通过引导，学生还将发现，连接一条对角线，平行四边形的问题便转化成了全等三角形的问题．这样，既让学生品尝了探究成功之乐，也为性质的推理论证扫清了障碍，轻松突破难点．采用多媒体辅助教学，利用信息技术工具，很方便地制作图形，并让图形动起来．同时，计算机的测量功能，也有利于学生在图形的运动变化过程中发现其中不变的位置关系和数量关系，更好地理解平行四边形的性质．学法建议有效的数学学习过程，不能单纯地依赖于模仿和记忆，要注意培养学生的学习能力和创新能力．通过创设情境，激发学生的兴趣，准备适当的教具（两个全等的三角形．平行四边形等）引导学生在研究图形性质时，学会从图形的基本元素（边．角．对角线）之间关系入手分析，用度量．拼凑．旋转．折叠等方法，找到其数量关系，更好地理解几何中做辅助线的合理性．必要性，为今后做辅助线解决几何问题提供方法依据．合理．有梯度地设计问题，让学生逐步进入探究轨道，培养其自主探究问题的能力．鼓励和提倡解决问题策略的多样化，引导学生与他人合作交流，取长补短，丰富数学活动经验，提高思维水平．。

人教版八年级数学下册知识点第十八章《平行四边形》

第十八章平行四边形【思维导图】【平行四边形】(1)平行四边形的定义与表示定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

表示：平行四边形用“□”表示。

2)符号“□”必须与表示顶点的字母同时使用，不能单独使用。

的顺序依次排列。

点拨：1)在用“□”表示平行四边形时，应把表示顶点的字母按顺时针或逆时针边形。

平行四边形ABCD 记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。

如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ∥BC ，那么四边形ABCD 是平行四(2)平行四边形的基本元素如图，在□ABCD 中，邻边：AD 和AB ，AD 和DC ，DC 和BC ，BC 和AB对边：AB 和DC ，AD 和BC邻角：∠BAD 和∠ADC ，∠ADC 和∠DCB ，∠DCB 和∠ABC ，∠ABC 和∠BAD 对角：∠BAD 和∠BCD ，∠ABC 和∠ADC对角线：AC 和BD【平行四边形的性质】性质1：平行四边形的对边相等几何语言：如图1，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，AD=BC性质2：平行四边形的对角相等几何语言：如图1，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A=∠C ，∠B=∠D下面证明性质1和2证明：如图2，连接AC。

∵AD∥BC，AB∥CD∴∠1=∠2，∠3=∠4.又∵AC=CA，∴△ABC≌△CDA∴AD=BC，AB=CD，∠B=∠D∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠4=∠2+∠3，即∠BAD=∠BCD性质3：平行四边形的对角线互相平分几何语言：如图3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=0C=1/2AC，OB=OD=1/2BD【典例】(中考)在□ABCD中，下列结论一定正确的是(）A.AC⊥BDB.∠A+∠B=1800C.AB=ADD.∠A≠∠C解析：平行四边形的对角线互相平分但不一定垂直，所以选项A错误；@简单初中生平行四边形的邻角互补，所以选项B正确；平行四边形的对边相等但邻边不一定相等，所以选项C错误；平行四边形的对角相等，所以∠A=∠C，所以选项D错误。

人教版八年级数学下册第十八章平行四边形知识点复习总结

平行四边形知识点复习总结四边形按两组对边是否平行可分为普通四边形（两组都不平行）、梯形（一组对边平行，另一组对边不平行）和平行四边形（两组对边分别平行），矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。

一、平行四边形1 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2 平行四边形的性质：0平行四边形对边平行1平行四边形的对边相等2平行四边形的对角相等3平行四边形的两条对角线互相平分4平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点3 平行四边形的判定（5种判定方法）：0两组对边分别平行的四边形是平行四边形1两组对边分别相等的四边形是平行四边形2一组对边平行且相等的四边形是平行四边形3对角线互相平分的四边形是平行四边形4两组对角分别相等的四边形是平行四边形二、矩形1 定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。

2 矩形的性质（矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质）：1矩形的四个角都是直角。

2矩形的两条对角线相等。

3矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形。

对称中心是两条对角线的交点，对称轴是对边的中点的连线所在的直线（有两条）。

3 矩形的判定（3种判定方法）：0有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。

（先证平行四边形，再证一个角为直角）1有三个内角是直角的四边形是矩形。

（直接证三个内角是直角）2对角线相等的平行四边形是矩形。

（先证平行四边形，再证对角线相等）三、菱形1 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

2 菱形的性质（菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质）：1菱形的四条边都相等。

2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

3菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形。

对称中心是两条对角线的交点，对称轴是对角线所在的直线（有两条）。

3 菱形的判定（3种判定方法）：0有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

（先证平行四边形，再证一组邻边相等）1四条边都相等的四边形是菱形。

（直接证四条边相等）2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

人教版八年级数学下册第十八章《平行四边形》单元复习课件

第5题图
6.(人教8下P62改编)如图，在△ABC中，中线BD，CE相交
于O，F，G分别为BO，CO的中点，则四边形EFGD的形状
是平行四边形
.
第6题图
7.【例1】(全国视野)(2022丹东模拟)如图，在▱ABCD中，点
O是AD的中点，连接CO并延长交BA的延长线于点E，连接
AC，DE.求证：四边形ACDE是平行四边形.
AF于点G.
(1)求证：四边形ABCF是矩形；
(2)若EA＝EG，求证：ED＝EC.
或对角线相等.
2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE，DF是△ABC
的中位线，连接EF，CD.求证：EF＝CD.
证明：∵DE，DF是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，∴四边形DECF
是矩形，
∴EF＝CD.
知识点三：菱形
(1)菱形的特殊性质：菱形的四条边相等、对角线互相垂直
＝
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
，
＝
∴△ABG≌△AFG(HL).
(2)解：∵△ABG≌△AFG，∴BG＝FG，
设BG＝FG＝x，则GC＝6－x，
∵E为CD的中点，∴CE＝EF＝DE＝3，
∴EG＝3＋x，∴在Rt△CEG中，32＋(6－x)2＝(3＋x)2，
解得x＝2，∴BG＝2.
的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点
G，连接AG.
(1)求证：△ABG≌△AFG；
(2)求BG的长.
(1)证明：在正方形ABCD中，AD＝AB＝BC＝CD，
∠D＝∠B＝∠BCD＝90°，
∵将△ADE沿AE对折至△AFE，

八年级数学下平行四边形性质知识点

平行四边形是初中数学中非常重要的一个图形，它具有独特的性质和特点。

下面我将详细介绍平行四边形的性质知识点，帮助你更好地理解和掌握这一内容。

一、平行四边形的定义及性质：1.定义：平行四边形是具有两组对边平行的四边形。

2.性质1：对角线互相平分平行四边形的对角线互相平分，也即对角线相交于各自的中点。

这一性质可以用几何证明的方法得到。

3.性质2：对角线长相等平行四边形的对角线长相等，也即两条对角线的长度相等。

4.性质3：对边相等且对边平行平行四边形的对边相等，也即对边的长度相等；同时对边也是平行的。

5.性质4：同一边界的两角互补平行四边形的同一边界的两个内角和为180度，也即两个内角互补。

6.性质5：同一边界的两个内角相等平行四边形的同一边界的两个内角相等。

7.性质6：对角线的交点是连线两点的中点平行四边形的对角线的交点是连线两点的中点。

8.性质7：与原四边形的其他边平行且等长的线段的两内角相等对平行四边形，如果有一条与原四边形的其他边平行且等长的线段，那么这两条线段的两个内角也相等。

二、平行四边形的基本性质：1.平行四边形的对边相等，也即两组对边的长度相等。

2.平行四边形的对边平行，也即两组对边都是平行的。

3.平行四边形的任意一组对角线互相平分，也即对角线相交于各自的中点。

4.平行四边形的对角线相等，也即两条对角线的长度相等。

5.平行四边形的同一边界的两个内角和为180度，也即两个内角互补，并且同一边界的两个内角相等。

6.平行四边形的对角线的交点是连线两点的中点。

7.任意一条与平行四边形的一条边平行且等长的直线经过对角线交点后，就把平行四边形分成两个全等的三角形。

8.平行四边形的俄拉斯问题：通过平行四边形的顶点引较平行四边形的边，再连接对边的中点，可以得到四个全等的平行四边形。

三、平行四边形的几何性质应用：1.判断四边形是否为平行四边形：-判断对边是否平行-判断两组对边是否相等-判断对角线是否相等2.已知平行四边形的性质求解问题：-求平行四边形的面积-求平行四边形的周长-判断平行四边形的类型（正方形、长方形、菱形等）3.平行四边形的构造：-已知连线两点构造平行四边形-已知对角线长度构造平行四边形四、平行四边形的证明：在证明平行四边形的性质时，一般需要用到平移、对称、重叠等几何变换，以及线段的相等关系、角的性质等几何知识。

人教版八年级数学下册第十八章平行四边形第十八章平行四边形单元解读课件(课件)

会用数学眼光观察
能进行简单的几何猜想
逻辑推理会数学思维分析
能推演出几何证明，归纳出结论
演绎推理抽象概括
会数学语言表达
运用几何图形的基本性质进行推理证明逻辑推理
一个图形中介入其他图形后的影响与作用，图形形成后的拆分
添加辅助线的能力
识图能力
会用数学眼光观察; 会数学思维分析;
移动图形的能力会数学语言表达.
（数形结合）
在坐标系中认识平行四边形及特殊的平行四边形
本章难点
学习方法
平行四边形与矩形、菱形、正方形等特殊平行四边形之间的联系与区别.
内容梳理，绘制结构图或图表（思维导图）
本章核心素养
学习环节探索发现提出假设验证假设得出结论
理解运用
活动目标
基本技能
核心素养
从实际情况抽象几何模型
数学抽象直观想象
形
第1课时平行四边形的概念及边、角的性质
第2课时平行四边形对角线的性质第3课时平行四边形的判定1 第4课时平行四边形的判定2 第5课时三角形的中位线（借助平行四边形研究三角形的性质）第6课时矩形的概念及性质
（借助矩形研究直角三角形斜边中线的性质）
第7课时矩形的判定第8课时菱形的概念及性质第9课时菱形的判定第10课时正方形的概念及性质第11课时正方形的判定第12课时数学活动第13~14课时平行四边形单元复习
正方形,主要考查正方形的性质与判定,经常与其他特殊四边形的性质和判定等知识综合在一起考查,多以选择题、证明题的形式出现,有时也会出现在阅读理解题中.
本章知识结构
一组对边平行
梯形
一个角是直角
一组邻边相等

人教版八年级数学下册第十八章平行四边形【知识梳理素材】

第十八章平行四边形【知识梳理】第18章平行四边形18.1 平行四边形三角形中位线定理（1）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半．（2）几何语言：如图,∵点D、E分别是AB、AC的中点平行四边形的性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．（3）平行线间的距离处处相等．（4）平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．平行四边形的判定（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC,AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB=DC,AD=BC∴四边行ABCD是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC,AB=DC∴四边行ABCD是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵∠ABC=∠ADC,∠DAB=∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA=OC,OB=OD∴四边行ABCD是平行四边形．平行四边形的判定与性质的作用平行四边形对应边相等,对应角相等,对角线互相平分及它的判定,是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法,若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等,可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上,通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．运用定义,也可以判定某个图形是平行四边形,这是常用的方法,不要忘记平行四边形的定义,有时用定义判定比用其他判定定理还简单．凡是可以用平行四边形知识证明的问题,不要再回到用三角形全等证明,应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．平行线之间的距离（1）平行线之间的距离从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线,垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．（2）平行线间的距离处处相等．18.2 特殊的平行四边形直角三角形斜边上的中线（1）性质：在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）（2）定理：一个三角形,如果一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．该定理可以用来判定直角三角形．菱形的性质（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（2）菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形,它有2条对称轴,分别是两条对角线所在直线．（3）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式．菱形的判定①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）；②四条边都相等的四边形是菱形．几何语言：∵AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．几何语言：∵AC⊥BD,四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形菱形的判定与性质（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变,中点四边形的形状始终是平行四边形．（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形,对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的,首先它是平行四边形,但它是特殊的平行四边形,特殊之处就是“有一组邻边相等”,因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．（4）正方形是特殊的菱形,菱形不一定是正方形,所以,在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形,又是中心对称图形．它有2条对称轴,分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质,可以得到直角三角形的一个重要性质,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．矩形的判定（1）矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）（2）①证明一个四边形是矩形,若题设条件与这个四边形的对角线有关,通常证这个四边形的对角线相等．②题设中出现多个直角或垂直时,常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．矩形的判定与性质（1）关于矩形,应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形,进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．在处理许多几何问题中,若能灵活运用矩形的这些性质,则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB=∠OBA,∠OCB=∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．（2）正方形的性质①正方形的四条边都相等,四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等,互相垂直平分,并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形,同时,正方形又是轴对称图形,有四条对称轴．正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形,再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形,再判定这个菱形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形,再用1或2进行判定．正方形的判定与性质（1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．正方形的判定没有固定的方法,只要判定既是矩形又是。

【最新版】八年级数学下册课件：18.1.1平行四边形的性质

同前面易得AB=CD=EF
两条平行线间的距离相等.
巩固练习
18.1 平行四边形/
4.如图，AB∥CD，BC⊥AB，若AB=4cm，S△ABC=12cm2，求△ABD中AB边上的高．
解：∵S△ABC
= =
1 2
AB•BC,
1 2
×4
×BC=12cm2，
∴BC=6cm.
∵AB∥CD，
∴点D到AB边的距离等于BC的长度，
又∵AD∥BC（平行四边形的对边平行）
∴∠A+∠B=180°∠C+∠D=180° （两直线平行，同旁内角互补）
∴∠B=∠D= 180 °－∠A= 180º－ 52°=128 °
巩固练习
18.1 平行四边形/
3.如图：在 ABCD中，∠A+∠C=200° A
则：∠A= 100 ，∠B= 80 °.
探究新知
18.1 平行四边形/
四边形
两组对边分别平行 A
D
平行
四
B
C
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
边形
A
D 记作： ABCD
读作：平行四边形ABCD
B
C
∵ AB∥CD
∵四边形ABCD是平行四边形
AD∥BC
∴ AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形
AD∥BC
注：图形中字母的标识顺序应为顺时针方向或逆时针方向。
1. 理解并掌握平行四边形的概念及掌握平行四边形的定义和对边相等、对角相等的两条性质.
探究新知
18.1 平行四边形/
知识点 1 平行四边形的定义
下列常见的四边形它们的边之间有什么关系呢？
探究新知

八年级数学下册第十八章平行四边形本章总结提升导学课件新人教版

本章总结提升
∴∠NMC＝180°－∠AMN－∠AMB＝180°－∠B－
∠AMB＝∠MAB＝∠MAE.
(下面请你完成余下的证明过程)
图18－T－9
本章总结提升
(2)如图18－T－9②，若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”，N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN＝60° 时，结论AM＝MN是否还成立？请说明理由；
本章总结提升
[解析] (1)只要作出点B关于直线AE的对称点B′，连接AB′， EB′即可． (2)由对称的性质和条件，知B′E＝BE＝EC，因而有∠EBB′ ＝∠EB′B，∠EB′C＝∠ECB′.由三角形内角和定理可得到
∠BB′C＝90°，这时△BB′C为直角三角形，在Rt△ABE中利
用勾股定理和面积公式求出BF的长，易得Rt△BB′C的直角边 BB′的长，再利用勾股定理不难求出B′C的长．
＝90°，AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠CAB＝45°. 又∵EF⊥AC， ∴∠DAC＝∠AFE＝45°，
∴AE＝EF.
在Rt△CEF和Rt△CDF中， CE＝CD，CF＝CF， ∴Rt△CEF≌Rt△CDF(HL)， ∴EF＝DF，∴AE＝EF＝DF.
本章总结提升
[点评] 本题考查的是正方形的性质，解题中易忽视△AEF
应角相等；(3)计算时常利用勾股定理来建立方程或由面
积求解.
本章总结提升
例3
现有一张矩形纸片ABCD，如图18－T－6所示，其中AB＝4
cm，BC＝6 cm，E是BC的中点．实际操作：将纸片沿直线AE折叠，使点B落在四边形AECD内，记为点B′. (1)请用尺规，在图中作出△AEB′(保留作图痕迹)； (2)试求B′，C两点之间的距离．

《平行四边形》配套知识讲解人教初中八下(2022)

平行四边形（提高）【学习目标】1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理和判定定理；2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题．3. 能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算．4. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．【要点梳理】要点一、平行四边形的定义平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条. 要点二、平行四边形的性质1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.要点诠释：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.要点三、平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法.（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.要点四、三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的12，每个小三角形的面积为原三角形面积的14.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.要点五、平行线间的距离1.两条平行线间的距离：（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.（2）平行线间的距离处处相等任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度. 两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.2.平行四边形的面积：平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等.【典型例题】类型一、平行四边形的性质1、如图，平行四边形ABCD的周长为60cm，对角线交于O，△AOB的周长比△BOC•的周长大8cm，求AB，BC的长．【答案与解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形．∴ AB＝CD，AD＝BC，AO＝CO，∵□ABCD的周长是60．∴2AB＋2BC＝60，即AB＋BC＝30，①又∵△ AOB的周长比△BOC的周长大8．即（AO＋OB＋AB）－（BO＋OC＋BC）＝AB－BC＝8，②由①②有解得∴AB，BC的长分别是19cm和11cm．【总结升华】根据平行四边形对角线互相平分，利用方程的思想解题.举一反三：【变式】如图：在平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的平分线，F是AB的中点，AB＝6，BC ＝4.求AE：EF：FB的值.【答案】解：∵ ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，∠ECD＝∠CEB∵CE为∠DCB的角平分线，∴∠ECD＝∠ECB，∴∠ECB＝∠CEB，∴BC＝BE∵BC＝4，所以BE＝4∵AB＝6，F为AB的中点，所以BF＝3∴EF＝BE－BF＝1，AE＝AB－BE＝2∴AE：EF：FB＝2：1：3.类型二、平行四边形的判定2、如图所示，ABCD中，延长AB到E，延长CD到F，使得BE＝DF．求证：AC与EF互相平分．【思路点拨】要证明AC、EF互相平分，只需证明AC、EF是某一平行四边形的两条对角线即可，这样，本题就转化为证明四边形AECF是平行四边形的问题了．【答案与解析】证明：方法一：连接AF、CE，ABCD中，AB＝DC，AE∥CF．∴∠CFE＝∠AEF．又∵ DF＝BE，∴ CF＝AE，而EF＝FE，∴△CFE≌△AEF，∴∠CEF＝∠AFE，∴ CE∥AF，∴四边形AECF是平行四边形．即AC与EF互相平分．方法二：连接AF、CE，在ABCD中，DC AB．∵ DF＝BE，∴ CF＝AE，∴ CF AE，∴四边形AECF为平行四边形，即AC、EF互相平分．【总结升华】(1)本题也可直接证△COF≌△AOE，利用其他的判定方法来证，在本题中，证法二相对来说比较简单．(2)由于平行四边形的判定方法较多，所以经常出现可用多种方法证明，此时应选择简单的方法．举一反三：【变式】以锐角△ABC的边AC、BC、AB向形外作等边△ACD、等边△BCE，作等边△ABF，连接DF、CE如图所示．求证：四边形DCEF是平行四边形．【答案】证明：在等边△ADC和等边△AFB中∠DAC＝∠FAB＝60°．∴∠DAF＝∠CAB．又∵ AD＝AC，AF＝AB．∴△ADF≌△ACB(SAS)．∴ DF＝CB＝CE．同理，△BAC≌△BFE，∴ EF＝AC＝DC．∴四边形DCEF是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．类型三、构造平行四边形，应用性质3、在等边三角形ABC中，P为ΔABC内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF//AC，D，E，F分别在AC，AB和BC上，试说明：PD＋PF＋PE＝BA.【答案与解析】解：延长FP交AB于G, 延长DP交BC于H，∵四边形AGPD ，EBHP 为平行四边形，∴PD ＝AG ，PH ＝BE.∵PD ∥AB ，PE ∥BC ，PF//AC ，△ABC 是等边三角形，∴∠GEP ＝∠EGP ＝∠EPG ＝∠PHF ＝∠PFH ＝∠HPF ＝60°，∴ΔGEP ，ΔPHF 为等边三角形∴PF ＝PH ＝BE, PE ＝GE,∴PD ＋PF ＋PE ＝AG ＋BE ＋GE ＝AB.【总结升华】添加辅助线构造平行四边形是当题目中有平行关系的条件时经常使用的方法. 类型四、三角形的中位线4、如图所示，在△ABC 中，M 为BC 的中点，AD 为∠BAC 的平分线，BD ⊥AD 于D ，AB ＝12，AC ＝18，求MD 的长．【思路点拨】本题中所求线段MD 与已知线段AB 、AC 之间没有什么联系，但由M 为BC 的中点联想到中位线，另有AD 为角平分线和垂线，根据等腰三角形“三线合一”构造等腰三角形ABN ，D 为BN 的中点，DM 即为中位线，不难求出MD 的长度．【答案与解析】解：延长BD 交AC 于点N ．∵ AD 为∠BAC 的角平分线，且AD ⊥BN ，∴∠BAD ＝∠NAD ，∠ADB ＝∠ADN ＝90°，又∵ AD 为公共边，∴△ABD ≌△AND(ASA)∴ AN ＝AB ＝12，BD ＝DN ．∵ AC ＝18，∴ NC ＝AC －AN ＝18－12＝6，∵ D 、M 分别为BN 、BC 的中点，∴ DM ＝12CN ＝162⨯＝3．【总结升华】当条件中含有中点的时候，可以将它与等腰三角形的“三线合一”、三角形的中线、中位线等联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线等图形．举一反三：【变式】如图所示，四边形ABCD 中，Q 是CD 上的一定点，P 是BC 上的一动点，E 、F 分别是PA 、PQ 两边的中点；当点P 在BC 边上移动的过程中，线段EF 的长度将( )．A ．先变大，后变小B ．保持不变C ．先变小，后变大D ．无法确定【答案】B ；解：连接AQ ．∵ E 、F 分别是PA 、PQ 两边的中点，∴ EF 是△PAQ 的中位线，即AQ ＝2EF ．∵ Q 是CD 上的一定点，则AQ 的长度保持不变，∴ 线段EF 的长度将保持不变．【巩固练习】一.选择题1. 将方程37x y +=全部的解写成坐标（x ，y ）的形式，那么用全部的坐标描出的点都在直线（）上．A ．1733y x =-B ．1733y x =+C ．1733y x =-+D ．1733y x =-- 2. 函数y ax b =+与函数y cx d =+的图象是两条直线，只有一个交点，则二元一次方程组y ax b y cx d =+⎧⎨=+⎩有（）解. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个3. 如图，已知函数y ax b =+和y kx =的图象交于点P ，则根据图象可得，关于x 、y 的二元一次方程组y ax b y kx =+⎧⎨=⎩的解是（） A. 4.53x y =⎧⎨=⎩ B.31x y =-⎧⎨=⎩ C.13x y =⎧⎨=-⎩ D.03x y =⎧⎨=⎩4. 若函数y x a =-+与41y x =-的图象交于x 轴上一点，则a 的值为（）A ．4B ．－4C ．14D ．±4 5.（2020•宜城市模拟）一次函数y=2x+4的图象与坐标轴交点的距离是（）A ．2B ．2C ．2D ．46. 如图，过点A 的一次函数的图象与正比例函数2y x =的图象相交于点B ，能表示这个一次函数的解析式为（）A ．230x y -+=B ．30x y --=C ．230y x -+=D ．30x y +-=二.填空题7．若直线y kx b =+与x 轴交于（6，0）点，那么关于x 的方程0kx b +=的解为_________.8. 直线1y x =-和3y x =+的位置关系是________,由此可知方程组13y x y x =-⎧⎨=+⎩解的情况为________. 9. 如果一次函数y ax b =+和y cx d =+在同一坐标系内的图象如图，并且方程组y ax b y cx d =+⎧⎨=+⎩的解x m y n =⎧⎨=⎩，则m ，n 的取值范围是__________. 10.（2020春•永安市校级月考）一次函数y=kx+b 的图象如图，看图填空：（1）当x=0时，y=；当x=时，y=0；（2）k=，b=（把解答过程写在空白处）；（3）一次函数的解析式为：；（4）当x=5时，y=；当y=6时，x=．11. 一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图，则方程kx b x a +=+的解是________.12.如图，点A 的坐标可以看成是方程组_________的解.三.解答题13．已知：直线1 2.2y x =-- （1）求直线122y x =--与x 轴的交点B 的坐标，并画图；（2）若过y 轴上一点A （0，3）作与x 轴平行的直线l ，求它与直线122y x =--的交点M 的坐标；（3）若过x 轴上一点C （3，0）作与x 轴垂直的直线m ，求它与直线122y x =--的交点N 的坐标． 14．（2020•高青县模拟）直线y=x+2与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，D 是x 轴上一点，坐标为（x ，0），△ABD 的面积为S ．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）求S 与x 的函数关系式；（3）当S=12时，求点D 的坐标．15.甲、乙两人分别乘不同的冲锋舟同时从A 地逆流而上前往B 地．甲所乘冲锋舟在静水中的速度为1112千米/分钟，甲到达B 地立即返回．乙所乘冲锋舟在静水中的速度为712千米/分钟．已知A 、B 两地的距离为20千米，水流速度为112千米/分钟，甲、乙乘冲锋舟行驶的距离y （千米）与所用时间x （分钟）之间的函数图象如图所示．（1）求甲所乘冲锋舟在行驶的整个过程中，y 与x 之间的函数关系式．（2）甲、乙两人同时出发后，经过多少分钟相遇？【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C ；【解析】将37x y +=变形为1733y x =-+. 2. 【答案】B ；【解析】函数所表示的直线的交点即为函数所组成的方程组的解，方程组有几个解就是要看有几个交点．3. 【答案】B ；【解析】方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．4. 【答案】C ；【解析】函数y x a =-+与41y x =-的图象交于x 轴上一点，令两方程中y ＝0，即x ＝a ＝14. 5. 【答案】B ；【解析】解：∵一次函数y=2x+4的图象与坐标轴交于A 、B 两点，令y=0得，x=-2，令x=0得，y=4，∴A（0，4），B （﹣2，0），∴OA=4，OB=2，∴AB==2故选B ．6. 【答案】D ；【解析】过点A 的一次函数的图象过点A （0，3），与正比例函数2y x =的图象相交于点B （1，2），代入一次函数解析式，即可求出．二.填空题7. 【答案】x ＝6；8. 【答案】平行，无解；【解析】直线1y x =-和3y x =+的x 的系数相等，可以得出直线1y x =-和3y x =+的位置关系是平行，从而得出方程组解的情况.9. 【答案】m ＞0，n ＞0；【解析】方程组的解实际上是两个一次函数图象的交点的横纵坐标，而交点在一象限，从而得到m ，n 的范围．10.【答案】(1)4，2；（2）﹣2，4；（3）y=﹣2x+4；（4）﹣6，﹣1．【解析】解：（1）根据图示知，当x=0时，y=4；当x=2时，y=0；故答案是：4，2；（2）根据图示知，该函数图象经过点（0，4），（2，0），则依题意，得，解得，．故答案是：﹣2，4；（3）由（2）知，k=﹣2，b=4．所以该直线的解析式为y=﹣2x+4．故答案是：y=﹣2x+4；（4）由（3）知，该直线的解析式为y=﹣2x+4．所以当x=5时，y=﹣2×5+4=﹣6．当y=6时，6=﹣2x+4，解得，x=﹣1．故答案是：﹣6，﹣1．11.【答案】3；【解析】一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象的交点的横坐标是3，故方程的解是：x ＝3．12.【答案】521y x y x =-+⎧⎨=-⎩【解析】由图象知：两个一次函数过A（2，3），再根据两个一次函数分别过（5，0），（0，－1），即可求出一次函数解析式，从而得出答案．三.解答题13.【解析】解：（1）令y＝0，可得x＝－4所以直线122y x=--与x轴的交点B的坐标为（－4，0）.图略.（2）令y＝3，可得x＝－10所以M点的坐标为（－10，3）（3）令x＝3，代入117232222y x=--=-⨯-=-.所以N点的坐标为（3，72 -）.14.【解析】解：（1）令y=0，则x+2=0，解得x=﹣4，令x=0，则y=2，所以，点A，B的坐标分别为（﹣4，0）和（0，2）；（2）∵A（﹣4，0），D（x，0），∴AD=|x﹣（﹣4）|，∴S=AD•OB=|x﹣（﹣4）|×2=|x+4|；（3）∵S=12，∴|x+4|=12，即x+4=12或x+4=﹣12，解得x=8或x=﹣16，所以，D的坐标为（8，0）或（﹣16，0）．15.【解析】解：（1）甲由A地到B地的函数解析式是：1111212y x⎛⎫=-⎪⎝⎭，即56y x=；甲到达B地所用时间是：20÷1111212⎛⎫-⎪⎝⎭＝24分钟，甲由B地到A地所用时间是：20÷1111212⎛⎫+⎪⎝⎭＝20分钟，设甲由B地到A地的函数解析式是：y kx b=+，∵点（24，20）与（44，0）在此函数图象上，∴2420 440k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：144k b =-⎧⎨=⎩，∴甲由B 地到A 地函数解析式是：44y x =-+，（2）乙由A 地到B 地的函数解析式是：711212y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即12y x =；根据题意得：4412y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：883x =，则经过883分钟相遇．。

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