平行四边形知识点总结及对应例题.

平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结

定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形

平行四边形的性质：

（1）：平行四边形对边相等(即：AB=CD,AD=BC)；

（2）：平行四边形对边平行(即：AB//CD,AD//BC)；

（3）：平行四边形对角相等(即：∠A=∠C,∠B=∠D)；

（4）：平行四边形对角线互相平分(即：O A=OC，OB=OD)；

判定方法：1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）；

2. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

3. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

4. 对角线互相平分的四边形是平行四边形；

5.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

考点1 特殊的平行四边形的性质与判定

1．矩形的定义、性质与判定

（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

（2）矩形的性质：矩形的对角线_________；矩形的四个角都是________角。矩形具有________的一切性质。矩形是轴对称图形，对称轴有_____________条，矩形也是中心对称图形，对称中心为_____________的交点。矩形被对角线分成了____________个等腰三角形。

（3）矩形的判定

有一个是直角的平行四边形是矩形；有三个角是_____________的四边形是矩形；对角线_____的平行四边形是矩形。

温馨提示：矩形的对角线是矩形比较常用的性质，当对角线的夹角中，有一个角为60度时，则构成一个等边三角形；在判定矩形时，要注意利用定义或对角线来判定时，必须先证明此四边形为平行四边形，然后再请一个角为直角或对角线相等。很多同学容易忽视这个问题。

2．菱形的定义、性质与判定

（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

（2）菱形的性质

菱形的_______都相等；菱形的对角线互相_______，并且每一条对角线______一组对角；菱形也具有平行四边形的一切性质。菱形即是轴对称图形，对称轴有____条。

（3）菱形的面积

菱形的面积=底×高，菱形的面积=2

1

ab ，其中a ，b 分别为菱形两条对角线的长。菱形被对角线分成了4个全等的直角三角形。

（4）菱形的判定：______________都相等的四边形是菱形；对角线____________的平行四边形是菱形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

温馨提示：在利用菱形的判定时，也要注意所要证明的四边形是不是平行四边形，而你用的判定定理需不需要证明它是平行四边形，有对角线时，通常考虑利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形来证明，否则一般不利用此定理。

3．正方形的性质及判定方法

（1）正方形的性质：正方形的四个角都是_____________，四条边都_____________；

正方形的两条对角线____________，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形即是轴对称图形也是中心对称图形。

正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

（2）正方形的判定方法：有一组邻边相等的____是正方形；对角线互相____的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形；对角线________的菱形是正方形。

温馨提示：无论是正方形的性质还是正方形的判定，它的中心思想就是正方形即是矩形，又是菱形，如果都从这个出发，则一切的性质与判定就都有了。但要注意在利用对角线判定正方形时，“平分”这个前提，因为只有对角线平分了，此四边形才是平行四边形了，然后再证明是矩形又是菱形。

一．正确理解定义

（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法．

（2）表示方法：用“ABCD 记作 ，读作“平行四边形ABCD ”． 2．熟练掌握性质

平行四边形的有关性质和判定都是从 边、角、对角线 三个方面的特征进行简述的． （1）角：平行四边形的邻角互补，对角相等； （2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等； （3）对角线：平行四边形的 对角线互相平分；

（4）面积：①S ==⨯底高ah ； ②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形． 3．平行四边形的判别方法

①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ②方法1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ③方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ④方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形 ⑤方法4：一组平行且相等的四边形是平行四边形 二、．几种特殊四边形的有关概念

（1）矩形：有一个角是直角 的平行四边形 是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：① 平行四边形； ② 一个角是直角，两者缺一不可．

（2）菱形：有一组邻边相等 的平行四边形 是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：① 平行四边形；② 一组邻边相等，两者缺一不可．

（3）正方形：有一组邻边相等且有一个直角 的平行四边形 叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形．

（4）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，对于这个定义，要注意把握：①一组对边平行； ② 一组对边不平行，同时要注意和平行四边形定义的区别，还要注意腰、底、高等概念以及梯形的分类等问题． （5）等腰梯形：是一种特殊的梯形，它是两腰相等 的梯形，特殊梯形还有直角梯形． 2．几种特殊四边形的有关性质