平行四边形全章知识点总结

平行四边形

【知识脉络】

【基础知识】

Ⅰ. 平行四边形

(1)平行四边形性质

１）平行四边形的定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

2）平行四边形的性质(包括边、角、对角线三方面） ：

A

B D

O C

边：①平行四边形的两组对边分别平行; ②平行四边形的两组对边分别相等；

角：③平行四边形的两组对角分别相等；

对角线:④平行四边形的对角线互相平分．

【补充】平行四边形的邻角互补；平行四边形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点. (２)平行四边形判定

１)平行四边形的判定（包括边、角、对角线三方面)：

A B D

O C

边:①两组对边分别平行的四边形是平行四边形;

②两组对边分别相等的四边形是平行四边形;

③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

角：④两组对角分别相等的四边形是平行四边形;

对角线：⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形． 2)三角形中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

3)三角形中位线定理:三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.

４）平行线间的距离:

两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离。

两条平行线间的距离处处相等。

Ⅱ. 矩形

（1）矩形的性质

１）矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

２）矩形的性质:

①矩形具有平行四边形的所有性质;

②矩形的四个角都是直角；

③矩形的对角线相等；

④矩形既是轴对称图形,又是中心对称图形，有两条对称轴,对称中心是对角线的交点．

（2)矩形的判定

１）矩形的判定：

①有一个角是直角的平行四边形是矩形；

②对角线相等的平行四边形是矩形；

③有三个角是直角的四边形是矩形．

2）证明一个四边形是矩形的步骤：

方法一:先证明该四边形是平行四边形，再证一角为直角或对角线相等；

方法二：若一个四边形中的直角较多，则可证三个角为直角． 3)直角三角形斜边中线定理:（如右图) 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. Ⅲ. 菱形 (1）菱形的性质

1)菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

２）菱形的性质：

①菱形具有平行四边形的所有性质;

②菱形的四条边都相等;

③菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;

④菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形,有两条对称轴,对称中心是对角线交点.

3)菱形的面积公式：

菱形的两条对角线的长分别为b a ，，则ab S 2

1

菱形 （2）菱形的判定

1)菱形的判定:

①有一组邻边相等的平行四边形是菱形;

②对角线互相垂直的平行四边形是菱形;

③四条边都相等的四边形是菱形．

2)证明一个四边形是菱形的步骤:

方法一：先证明它是一个平行四边形，然后证明“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”; 方法二:直接证明“四条边相等”．

Ⅳ. 正方形

（1）正方形的性质

1）正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. ２)正方形的性质：

正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质，即①正方形的四条边都相等;②四个角

都是直角；③对角线互相垂直平分且相等，并且每条对角线平分一组对角．

3)正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形,它有四条对称轴,对角线

的交点是对称中心．

（２）正方形的判定

１）正方形的判定:

①有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；

②有一组邻边相等的矩形是正方形；

③对角线互相垂直的矩形是正方形；

④有一个角是直角的菱形是正方形；

⑤对角线相等的菱形是正方形;

⑥对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.

中点四边形

1、顺次连接四边形各边中点所围成四边形是平行四边形

2、顺次连接菱形各边中点所围成四边形是矩形

3、顺次连接矩形各边中点所围成四边形是菱形

4、顺次连接等腰梯形各边中点所围成四边形是菱形

５、顺次连接正方形各边中点所围成四边形是正方形

例：如果顺次连接一个四边形各边中点所得新的四边形是菱形，那么对这个四边形的形状描述最准确的是( ）

A．矩形ﻫＢ．等腰梯形ﻫＣ.菱形ﻫD．对角线相等的四边形

解：矩形，等腰梯形均能得到菱形但不够全面，菱形无法得到菱形，即只要对角线相等不管是什么形状均可，故选D.