人教版八年级数学下册第18章平行四边形章节知识点和常考易错点归纳

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人教版八年级数学下册第十八章-平行四边形- 小结与复习-课件PPT

PMEN为正方形．(请直接写出结果)
解：(1)证明：∵M、N、E分别是PD、PC、CD的
中点，
∴ME∥PC，EN∥PD. ∴四边形PMEN是平行四边形．
(2)解：当点P运动到AB的中点时，四边形PMEN是菱形．
理由如下：
∵P是AB中点，∴PA＝PB.
∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠B＝90°，AD＝BC. ∴△PAD≌△PBC(SAS).∴PD＝PC.
1.两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做两条平行线之间的距离.
2.三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
3.直角三角形斜边上的中线：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
考点讲练
考点一平行四边形的性质与判定
例1 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°， AG∥CD交BC于点G，点E、F分别为AG、CD的中点，连接DE、FG.
D．8cm
2.在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四个
条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD.从中任选
两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有( B )
A．3种
B．4种
C．5种
D．6种
3.如图是某公交汽车挡风玻璃的雨刮器，其工作原理如图
．雨刷EF⊥AD，垂足为A，AB=CD，且AD=BC，这样能使雨刷EF在运动时，始终垂直于玻璃窗下沿BC，请证明这一结
∵CF= 12BC， 2
2
∴DE∥FC，DE=FC，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DC=EF， ∴EF= 1 AB=6．
2
针对训练
4.如图，等边三角形ABC中，点D，E分别为AB，AC 的中点，则∠DEC的度数为（ B ）

年八年级数学第十八章---平行四边形知识点复习总结

10．已知：如图，⊿ABC 中，∠BAC＝90°，AD 是高，BE 平分∠ABC 交 AD 于 M，AN 平分∠DAC，求证：平行四
边形 AMNE 是菱形。
B D
N M
A
E
C
--
-第十八章平行四边形知识点总结
四边形经典证明题
知识点 1：平行四边形性质（3 条）
1．平行四边形 ABCD 中，点 E、F 分别在 BC、AD 上，且 AF=CE，,求证：四边形 AECF 是平行四边形.
①平行四边形对边平行且相等。 ②平行四边形对角相等。 ③平行四边形对角线互相平分。知识点:2：平行四边形的判定（5 条）
AF
D
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形。②两组对边分别相等的四边形是平行四边形。③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
B
EC
④两组对角分别相等的四边形是平行四边形。⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形。
2.如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O,E、F 是直线 AC 上的两点，并且 AE=CF,求证：四边形
①正方形的四边相等，四个角都是直角。②正方形的对角线相等且互相垂直平分并且每条对角线平分每一 ①求证：CD=AN；
组对角。
②若∠AMD=2∠MCD，求证：四边形 ADCN 是矩形．
知识点 8：正方形的判定（4 条)
①有一组邻边相等的矩形是正方形。②对角线互相垂直的矩形是正方形。③有一个角是直角的菱形是正方
12.如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，CB=CD，E 是 CD 上一点，BE 交 AC 于 F，连接 DF．（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．（2）若 AB∥CD，试证明四边形 ABCD 是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定 E 点的位置，使∠EFD=∠BCD，并说明理由．

人教版八年级数学下册-第18章-平行四边形-章节知识点和常考易错点归纳

平行四边形章节知识梳理一.知识点：1、定义两组对边分别平行的四边形是平行四边形．定义中的“两组对边平行”是它的特征，抓住了这一特征，记忆理解也就不困难了．平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法．同学们要在理解的基础上熟记定义．2、性质平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角对称性四个方面的特征进行简述的．（1）角：平行四边形的邻角互补，对角相等；（2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等；（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分；（4）对称性：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心；（5）面积：①=底×高=ah；②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形．3．平行四边形的判别方法①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形②方法1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形③方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形④方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形⑤方法4：一组平行且相等的四边形是平行四边形4、．几种特殊四边形的有关概念（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：1.平行四边形；2.一个角是直角，两者缺一不可．（2）菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：1.平行四边形；2.一组邻边相等，两者缺一不可．（3）正方形：一组邻边相等的矩形叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形．（4）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，对于这个定义，要注意把握：1.一组对边平行；2.一组对边不平行，同时要注意和平行四边形定义的区别，还要注意腰、底、高等概念以及梯形的分类等问题．5．几种特殊四边形的有关性质（1）矩形：1.边：对边平行且相等；2.角：对角相等、邻角互补；3.对角线：对角线互相平分且相等；4.对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形．（2）菱形：1.边：四条边都相等；2.角：对角相等、邻角互补；3.对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；4.对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形．（3）正方形：1.边：四条边都相等；2.角：四角相等；3.对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为450；4.对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形．6、几种特殊四边形的判定方法（1）矩形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形；③四个角都相等（2）菱形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一组邻边相等的平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形；③四条边都相等．（3）正方形的判定：满足下列条件之一的四边形是正方形．①有一个角是直角的菱形；②有一组邻边相等的矩形；③对角线相等的菱形；④对角线互相垂直的矩形．7、几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析（1）识别矩形的常用方法①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角．②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等．③说明四边形ABCD的三个角是直角．（2）识别菱形的常用方法①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任一组邻边相等．②先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明对角线互相垂直．③说明四边形ABCD 的四条边相等．（3）识别正方形的常用方法①先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的一个角为直角且有一组邻边相等．②先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明对角线互相垂直且相等． ③先说明四边形ABCD 为矩形，再说明矩形的一组邻边相等．④先说明四边形ABCD 为菱形，再说明菱形ABCD 的一个角为直角．二、几种特殊四边形的面积问题（1）设矩形ABCD 的两邻边长分别为a,b ，则 S 矩形=ab ．（2）设菱形ABCD 的一边长为a ，高为h ，则 S 菱形=ah ；若菱形的两对角线的长分别为a,b ，则 S 菱形=2ab 。

人教版八年级下册第十八章平行四边形小结与复习课件

方程思想
解：（1）由题意得AF=AD=10cm，在Rt△ABF中，∵AB=8，∴BF=6cm，∴FC=BC-BF=10-6=4(cm)．（2）由题意可得EF=DE，可设DE的长为x，在Rt△EFC中，(8-x)2+42=x2，解得x=5，即EF的长为5cm．
例10 如图，平行四边形ABCD中，AC、BD为对角线，其交点为O，若BC=6，BC边上的高为4，试求阴影部分的面积．
3.直角三角形斜边上的中线：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
考点讲练
例1 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AG∥CD交BC于点G，点E、F分别为AG、CD的中点，连接DE、FG.(1)求证：四边形DEGF是平行四边形；(2)如果点G是BC的中点，且BC＝12，DC＝10，求四边形AGCD的面积．
例3 如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）求证：∠DHF=∠DEF．
例3 如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）求证：∠DHF=∠DEF．
∴EC＝AE，∴BE＝AE.∵CF＝AE，∴BE＝EC＝CF＝BF，∴四边形BECF是菱形.(2)当∠A＝45°时，菱形BECF是正方形．证明如下：∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，∴∠CBA＝45°，∴∠EBF＝2∠CBA＝90°，∴菱形BECF是正方形．
正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角；③还可以先判定四边形是平行四边形，再用①或②进行判定．
例4 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF= BC．若AB=12，求EF的长．

(完整版)第十八章平行四边形知识点总结

nd Sufferin 一、计算题
a 1. 如图，在菱形 ABCD 中，∠A=60°, AB =4,O 为对角线 BD 的中点，过 O 点作 OE⊥AB，垂足为 E．
ing (1) 求∠ABD 的度数； th (2)求线段 BE 的长．
D
C
me 60 o A
O EB
6. 如图，将矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠，使点 A 与点 C 重合，点 D 落在点 G 处， EF 为折痕．（1）求证： △≌FG△C EBC ；（2）若 AB 8，AD 4 ，求四边形 ECGF （阴影部分）的面积．
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
th （1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 in 注意条件：① 平行四边形； ② 一个角是直角，两者缺一不可．
（2）矩形性质：①边：对边平行且相等； ②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相平分且相等；
gs ④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2 条）． in （3）矩形的判定及证明四边形是矩形：方法有（3 种）
④ 设梯形 ABCD 的上底为 a，下底为 b，高为 h，则 S 梯形= 1 (a b)h ． 2
re ①定义：两组对边分别平行 a ②方法 1：两组对角分别相等 ing ③方法 2：两组对边分别相等
e ④方法 3：对角线互相平分
b ⑤方法 4：一组对边平行且相等
的四边形是平行四边形

八年级数学下册第十八章平行四边形重点归纳笔记(带答案)

八年级数学下册第十八章平行四边形重点归纳笔记单选题1、如图，将矩形纸片ABCD 的两个直角进行折叠，使CB ，AD 恰好落在对角线AC 上，B ′，D ′分别是B ，D 的对应点，折痕分别为CF ，AE ．若AB ＝4，BC ＝3，则线段B ′D ′的长是（）A ．52B ．2C ．32D ．1答案：D分析：先利用矩形的性质与勾股定理求解AC, 再利用轴对称的性质求解AB ′,CD ′，从而可得答案.解：∵ 矩形纸片ABCD ，∴AD =BC =3,AB =DC =4,∠B =∠D =90°,∴AC =√32+42=5,由折叠可得：∠CB ′F =∠B =90°,CB ′=CB =3,∴AB ′=AC −CB ′=2,同理：CD ′=2,∴B ′D ′=AC −AB ′−CD ′=5−2−2=1,故选：D.小提示：本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，矩形的性质，掌握以上知识是解题的关键.2、如图，▱ ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AB 中点，且AE +EO =4，则▱ABCD 的周长为( )A ．20B ．16C ．12D ．8答案：BBC，由AE+EO=4，推出AB+BC=8即可解决问题；分析：首先证明：OE=12解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，∵AE=EB，∴OE=1BC，2∵AE+EO=4，∴2AE+2EO=8，∴AB+BC=8，∴平行四边形ABCD的周长=2×8=16，故选B．小提示：本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理，属于中考常考题型．3、如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交CD于点E，若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为（）D．2A．√2B．2√2C．32答案：A分析：过D作AE的垂线交AE于F，交AC于D′，再过D′作AP′⊥AD，由角平分线的性质可得出D′是D关于AE 的对称点，进而可知D′P′即为DQ+PQ的最小值．作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，∵DD′⊥AE，∴∠AFD=∠AFD′，∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，∴△DAF≌△D′AF，∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=2，∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAD′=45°，∴AP′=P′D′，∴在Rt△AP′D′中，P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=4，∵AP′=P′D’，2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=4，∴P′D′=√2，即DQ+PQ的最小值为√2，故A正确．故选：A．小提示：本题考查了正方形的性质以及角平分线的性质和全等三角形的判定和性质和轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．4、如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为AC＝6，BD＝8，点P是BC边上的一动点，则AP的最小值为（）A ．4B ．4.8C ．5D ．5.5答案：B分析：由垂线段最短，可得AP ⊥BC 时，AP 有最小值，由菱形的性质和勾股定理可求BC 的长，由菱形的面积公式可求解．如图，设AC 与BD 的交点为O ，∵点P 是BC 边上的一动点，∴AP ⊥BC 时，AP 有最小值，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO ＝CO ＝12AC ＝3，BO ＝DO ＝12BD ＝4， ∴BC ＝√BO 2+CO 2=√9+16=5， ∵S 菱形ABCD ＝12×AC×BD ＝BC×AP ，∴AP ＝245＝4.8，故选：B ．小提示：本题考查了菱形的性质，勾股定理，确定当AP ⊥BC 时，AP 有最小值是本题关键．5、如图，矩形OABC 的顶点B 的坐标为(2,3)，则AC 长为（）A．√13B．√7C．5D．4答案：A分析：首先连接OB，根据两点间距离公式即可求得OB，再根据矩形的性质可得OB=AC，即可求得AC的长．解：如图：连接OB∵点B的坐标为(2,3)，∴OB=√22+32=√13，又∵四边形OABC是矩形，∴AC=OB=√13，故选：A．小提示：本题考查了两点间距离公式，矩形的性质，作出辅助线是解决本题的关键．6、如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC=120°，则MA+MB+MD的最小值是（）A．√27B．3+√27C．6+√3D．6√3答案：D分析：过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出DE的长，进而可得结论．解：过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，如图所示：∵四边形ABCD为菱形，∴AD=AB=DC=BC，AD∥BC，∵∠ABC=120°，∴∠DAB=60°，∴△ADB是等边三角形，∴∠MAE=30°，∴AM=2ME，∵MD=MB，∴MA+MB+MD=2ME+2DM=2DE，根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，∵菱形ABCD的边长为6，∴DE=√AD2−AE2=√62−32=3√3，∴2DE=6√3，∴MA+MB+MD的最小值是6√3，故D正确．故选：D．小提示：本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，解决本题的关键是掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质．7、一块直角三角板按如图所示方式放置在一张长方形纸条上，若∠1=28°，则∠2的度数为（）A．28°B．56°C．36°D．62°答案：D分析：根据矩形的性质得出EF∥GH，过点C作CA∥EF，利用平行线的性质得出∠2=∠MCA，∠1=CAN，然后代入求解即可．解：如图所示标注字母，∵四边形EGHF为矩形，∴EF∥GH，过点C作CA∥EF，∴CA∥EF∥GH，∴∠2=∠MCA，∠1=∠NCA，∵∠1=28°，∠MCN=90°，∴∠2=∠MCA=90°-∠1=62°，故选：D．小提示：题目主要考查矩形的性质，平行线的性质，角度的计算等，理解题意，作出相应辅助线是解题关键．8、如图，已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值是（）A．5B．10C．6D．8答案：A分析：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，求出CP、BP，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP=QN=BC，即可得出答案．解：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，则P是AC中点，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，即Q在AB上，∵MQ⊥BD，∴AC∥MQ，∵M为BC中点，∴Q为AB中点，∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，∴BQ∥CD，BQ=CN，∴四边形BQNC是平行四边形，∴PQ∥AD，而点Q是AB的中点，故PQ是△ABD的中位线，即点P是BD的中点，同理可得，PM是△ABC的中位线，故点P是AC的中点，即点P是菱形ABCD对角线的交点，∵四边形ABCD是菱形，则△BPC为直角三角形，CP=12AC=3,BP=12BD=4,在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC=5，即NQ=5，∴MP+NP=QP+NP=QN=5，故选：A．小提示：本题考查了轴对称-最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置．9、如图，在▱ABCD中，AC平分∠DAB，AB=2，则▱ABCD的周长为（）A．4B．6C．8D．12答案：C分析：在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，则四边形ABCD为菱形，根据菱形的性质求周长．解：∵在▱ABCD中，AC平分∠DAB，∴四边形ABCD为菱形，∴四边形ABCD的周长＝4×2＝8．故选C．小提示：本题考查了菱形的判定定理，注意：菱形的判定定理有：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②四条边都相等的四边形是菱形，③对角线互相垂直的平行四边形是菱形，④对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．10、如图，点P是矩形ABCD的对角线上一点，过点P作EF//BC，分别交AB,CD于E,F，连接PB,PD，若AE= 1,PF=3，则图中阴影部分的面积为（）A．3B．6C．9D．12答案：A分析：先根据矩形的性质证得S△DFP=S△PBE，然后求解即可．解：作PM⊥AD于M，交BC于N，∴四边形AEPM、四边形DFPM、四边形CFPN和四边形BEPN都是矩形，∵S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PBE=S△PBN，S△PFD=S△PDM，S△PFC=S△PCN，∴S矩形DFPM=S矩形BEPN，∵PM=AE=1，PF=NC=3，∴S△DFP=S△PBE=12×1×3=32，∴S阴=32+32=3，故选：A．小提示：本题主要考查矩形的性质、三角形的面积等知识，证得S△DFP=S△PBE是解答本题的关键．填空题11、若正方形的边长为a，则它的对角线长为__________．答案：√2a分析：根据题意，可得正方形的相邻两边与对角线正好构成一个等腰直角三角形，对角线是斜边，结合勾股定理计算可得答案．解：∵正方形的相邻两边与对角线正好构成一个等腰直角三角形，对角线是斜边；∵正方形的边长为a，∴对角线长是√a2+a2=√2a．所以答案是：√2a小提示：本题考查了正方形的性质和勾股定理，熟知正方形的两邻边与对角线构成一个等腰直角三角形是解题的关键．12、如图，在等腰Rt△ABC中，CA=BA，∠CAB=90°，点M是AB上一点，点P为射线CA（除点C外）上一个动点，直线PM交射线CB于点D，若AM=1，BM=3，ΔCPD的面积的最小值为________．答案：6分析：设点M是PD的中点，过点M作直线P′D′与射线CA、CB分别交于点P′,D′，得到当点M是PD的中点时，△CPD的面积最小，再根据直角三角形的性质及三角形的面积公式求解即可．设点M是PD的中点，过点M作直线P′D′与射线CA、CB分别交于点P′,D′，则点M不是P′D′的中点当MD′>MP′时，在MD′上截取ME=MP′，连接DE∵∠PMP′=∠DME∴△PMP′≅△DME(SAS)=S△PCD∴S△P′CD′>S四边形P′CDE当MD′<MP′时，同理可得S△P′CD′>S△PCD∴当点M是PD的中点时，△CPD的面积最小如图，作DH⊥AB于H则△DHM≌△PAM∴AM=MH,∠DHM=∠PAM=90°,AP=DH∴∠BHD=90°∵AM=1，BM=3∴AM=1=MH∴BH=2在等腰Rt△ABC中，CA=BA=3+1=4∴∠B=45°=∠C∴∠B=∠BDH=45°∴BH=DH=2=AP∴CP=AC+AP=4+2=6过点D作DK⊥PC交于K∴四边形AKDH是矩形∴DK=AH=AM+HM=2∴S△CDP=12CP⋅DK=12×6×2=6所以答案是：6小提示：本题考查了全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．13、如图，在▱ABCD中，DB=CD，∠C=70°,AE⊥BD于E，则∠DAE=_______．答案：20°分析：要求∠DAE，就要先求出∠ADE，要求出∠ADE，就要先求出∠DBC．利用DB＝DC，∠C＝70°即可求出．解：∵DB＝DC，∠C＝70°，∴∠DBC＝∠C＝70°，又∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DBC＝70°，∵AE⊥BD，∴∠AEB＝90°，∴∠DAE＝90°−∠ADE＝20°．故答案是：20°．小提示：此题考查平行四边形的性质，解决本题的关键是利用三角形内角和定理，等边对等角等知识得到和所求角有关的角的度数．14、如图，将一个长方形纸片ABCD沿EF折叠，使C点与A点重合，若AB=2,AD=4，则线段DF的长是_________．答案：32分析：根据折叠的性质和勾股定理即可求得DF．解：∵长方形纸片ABCD，∴CD=AB=2，∠C=90°，根据折叠的性质可得AD′=CD=AB=2，∠AD′F=∠C=90°，D′F=DF，设D′F=DF=x，AF=AD−DF=4−x，根据勾股定理D′F+AD′=AF，即x2+2=(4−x)2，，解得x=32．所以答案是：32小提示：本题考查折叠与勾股定理．能正确表示直角三角形的三边是解题关键．15、如图，四边形ABCD为正方形，点E是BC的中点，将正方形ABCD沿AE折叠，得到点B的对应点为点F，延长EF交线段DC于点P，若AB=6，则DP的长度为___________．答案：2分析：连接AP，根据正方形的性质和翻折的性质证明Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），可得PF＝PD，设PF＝PD＝x，则CP＝CD−PD＝6−x，EP＝EF＋FP＝3＋x，然后根据勾股定理即可解决问题．解：连接AP，如图所示，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝AD＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵点E是BC的中点，∴BE＝CE＝1AB＝3，2由翻折可知：AF＝AB，EF＝BE＝3，∠AFE＝∠B＝90°，∴AD＝AF，∠AFP＝∠D＝90°，在Rt△AFP和Rt△ADP中，{AP=AP，AF=AD∴Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），∴PF＝PD，设PF＝PD＝x，则CP＝CD−PD＝6−x，EP＝EF＋FP＝3＋x，在Rt△PEC中，根据勾股定理得：EP2＝EC2＋CP2，∴（3＋x）2＝32＋（6−x）2，解得x＝2，则DP的长度为2，所以答案是：2．小提示：本题考查了翻折变换，正方形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．解答题16、如图，二次函数y=-x2 +2x+m的图象与x轴的一个交点为A(3，0)，另一个交点为B．且与y轴交于点C．（1）求m的值；（2）求点B的坐标；（3）该二次函数图象上有一点D(x，y)(其中x>0，y>0)，且S△ABD=S△ABC，求点D的坐标；（4）若点P在直线AC上，点Q是平面内一点，是否存在点Q，使以点A、B、P、Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．答案：（1）m=3；（2）B（-1，0）；（3）点D的坐标为（2，3）；（4）点Q的坐标为（3，4）或（1，-2）．分析：（1）直接将点A的坐标代入到二次函数的解析式即可求出m的值，写出二次函数的解析式；（2）分别计算当x=0和y=0时的值，写出B、C两点的坐标；（3）因为S△ABD=S△ABC，则根据同底等高的两个三角形的面积相等，所以只要高与OC的长相等即可，因此要计算y=3时对应的点即可；（4）分AB是矩形的边、AB是矩形的对角线两种情况，通过画图，利用数形结合即可求解．解：（1）把A（3，0）代入二次函数y=-x2+2x+m得：-9+6+m=0，∴m=3；（2）由（1）可知，二次函数的解析式为：y=-x2+2x+3；当x=0时，y=3，∴C（0，3），当y=0时，-x2+2x+3=0，x2-2x-3=0，（x+1）（x-3）=0，∴x=-1或3，∴B（-1，0）；（3）∵S△ABD=S△ABC，当y=3时，-x2+2x+3=3，-x2+2x=0，x2-2x=0，x（x-2）=0，x=0或2，∴只有（2，3）符合题意．综上所述，点D的坐标为（2，3）；（4）存在，理由：①当AB是矩形的边时，此时，对应的矩形为ABP′Q′，∵AO=OC=3，故∠PAB=45°，∴矩形ABP′Q′为正方形，故点Q′的坐标为（3，4）；②当AB是矩形的对角线时，此时，对应的矩形为APBQ，同理可得，矩形APBQ为正方形，故点Q的坐标为（1，-2），故点Q的坐标为（3，4）或（1，-2）．小提示：本题是二次函数综合题，主要考查的是一次函数的性质、矩形的性质、正方形的性质，面积的计算等，其中（4），要注意分类求解，避免遗漏．17、如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=AD．(1)求证：AC⊥BD；(2)若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，EF=3，AO=2，求BD的长及四边形ABCD的周长．2答案：(1)见解析(2)BD=6，四边形ABCD的周长为4√13分析：（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得证；（2）根据三角形中位线的性质可得OD=2EF=3，进而可得BD的长，Rt△AOD中，勾股定理求得AD，根据菱形的性质即可求解．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边，AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD；（2）解：∵点E，F分别为AD，AO的中点，∴EF是△AOD的中位线，OD，∴EF=12，∵EF=32∴OD=3，∵四边形ABCD是菱形，∴BD=2OD=6，∵AC⊥BD，在Rt△AOD中，AO=2，OD=3，∴AD=√AO2+OD2=√22+32=√13，∴菱形形ABCD的周长为4√13．小提示：本题考查了菱形的性质与判定，三角形中位线的性质，勾股定理，掌握菱形的性质与判定是解题的关键．18、如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE.过点A作AF⊥DE，垂足为F.⊙O经过点C、D、F，与AD相交于点G.（1）求证△AFG∽△DFC；（2）若正方形ABCD的边长为4，AE=1，求⊙O的半径.答案：（1）证明见解析；（2）52.分析：分析：（1）先根据∠ADC=90∘,AF⊥DE证出∠DAF=∠CDF,再根据四边形GFCD是⊙O的内接四边形,得到∠FGA=∠FCD,从而证出结论;(2) 连接CG,根据△EDA∽△ADF得到EADA =AFDF,根据△AFG∽△DFC得AGDC=AFDF,从而AGDC=EADA,再根据DA=DC得AG=EA=1,DG=3,利用勾股定理得CG=5,即可求出⊙O的半径. （1）证明：在正方形ABCD中，∠ADC=90∘.∴∠CDF+∠ADF=90∘.∵AF⊥DE.∴∠AFD=90∘.∴∠DAF+∠ADF=90∘.∴∠DAF=∠CDF.∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，∴∠FCD+∠DGF=180∘.又∠FGA+∠DGF=180∘，∴∠FGA=∠FCD.∴△AFG∽△DFC.（2）解：如图，连接CG.∵∠EAD=∠AFD=90∘，∠EDA=∠ADF，∴△EDA∽△ADF.∴EAAF =DADF，即EADA=AFDF.∵△AFG∽△DFC，∴AGDC =AFDF.∴AGDC =EADA.在正方形ABCD中，DA=DC，∴AG=EA=1，DG=DA−AG=4−1=3.∴CG=√DG2+DC2=√32+42=5.∵∠CDG=90∘，∴CG是⊙O的直径.∴⊙O的半径为52.小提示：本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理的推论，正方形的性质．关键是利用正方形的性质证明相似三角形，利用线段，角的关系解题.。

人教版八年级数学下册知识点第十八章《平行四边形》

第十八章平行四边形【思维导图】【平行四边形】(1)平行四边形的定义与表示定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

表示：平行四边形用“□”表示。

2)符号“□”必须与表示顶点的字母同时使用，不能单独使用。

的顺序依次排列。

点拨：1)在用“□”表示平行四边形时，应把表示顶点的字母按顺时针或逆时针边形。

平行四边形ABCD 记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。

如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ∥BC ，那么四边形ABCD 是平行四(2)平行四边形的基本元素如图，在□ABCD 中，邻边：AD 和AB ，AD 和DC ，DC 和BC ，BC 和AB对边：AB 和DC ，AD 和BC邻角：∠BAD 和∠ADC ，∠ADC 和∠DCB ，∠DCB 和∠ABC ，∠ABC 和∠BAD 对角：∠BAD 和∠BCD ，∠ABC 和∠ADC对角线：AC 和BD【平行四边形的性质】性质1：平行四边形的对边相等几何语言：如图1，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，AD=BC性质2：平行四边形的对角相等几何语言：如图1，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A=∠C ，∠B=∠D下面证明性质1和2证明：如图2，连接AC。

∵AD∥BC，AB∥CD∴∠1=∠2，∠3=∠4.又∵AC=CA，∴△ABC≌△CDA∴AD=BC，AB=CD，∠B=∠D∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠4=∠2+∠3，即∠BAD=∠BCD性质3：平行四边形的对角线互相平分几何语言：如图3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=0C=1/2AC，OB=OD=1/2BD【典例】(中考)在□ABCD中，下列结论一定正确的是(）A.AC⊥BDB.∠A+∠B=1800C.AB=ADD.∠A≠∠C解析：平行四边形的对角线互相平分但不一定垂直，所以选项A错误；@简单初中生平行四边形的邻角互补，所以选项B正确；平行四边形的对边相等但邻边不一定相等，所以选项C错误；平行四边形的对角相等，所以∠A=∠C，所以选项D错误。

八年级数学下册初中数学中考知识点聚焦第十八章平行四边形

八年级数学下册初中数学中考知识点聚焦第十八章平行四边形第十八章平行四边形高频考点1.平行四边形的定义及性质考情2.平行四边形的判定分3.平行线间的距离析4.三角形的中位线5.平行四边形中的有关计算6.矩形、菱形、正方形的判定和性质知能图谱考查频率★★★★★★★★★★★★★所占分值12～20分平行四边形平行四边形的定义、表示法平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心对边平行且相等平行四边形的性质对角相等，邻角互补对角线互相平分平行四边形|夹在两条平行线间的平行线段相等：平行线间的距离推论|边平行四边形的判定角对角线定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形性质：四个角都是直角，对角线相等矩形有关推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半定义判定对角线相等的平行四边形是矩形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形特殊的平四边相等行四边形菱形性质两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角定义判定四条边相等的四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形定义：一组邻边相等的矩形是正方形正方形性质：具有矩形、菱形的一切性质判定三角形的中位线第42讲平行四边形知识能力解读知能解读（一）平行四边形的概念两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

注意（1）只有一组对边平行的四边形不一定是平行四边形。

（2）平行四边形的概念具有性质和判定的双重作用。

知能解读（二）平行四边形的性质元素性质边对边平行且相等角对角相等，邻角互补对角线对角线互相平分中心对称图形，对称中心是对角对称性的交点知能解读（三）平行四边形的判定（识别）元素判定方法两组对边分别平行四边形是平行四边形（定义）两组对边分别相等的四边形是平边行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平角行四边形对角线互相平分的四边形是平行对角线四边形知能解读（四）平行线的距离（1）两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.（2）两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离.知能解读（五）三角形的中位线（1）定义：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线.（2）定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.注意与三角形的中位线有关的三个结论：（1）三条中位线组成一个三角形，其周末长为原三角形周长的一半，面积为原三角形面积的四分之一；（2）三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形；（3）三角形的一条中位线与第三条边上的中线互相平分.。

八年级数学下册第十八章平行四边形必考知识点归纳(带答案)

八年级数学下册第十八章平行四边形必考知识点归纳单选题1、如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件仍不能判断四边形ABCD是矩形的是( )A．AB+BC=AC B．AB= AD C．OA= OD D．∠ABC+∠ADC=180°答案：B分析：由勾股定理的逆定理证得∠ABC=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断A；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可判断B；根据对角线相等的平行四边形是矩形可判断C；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断D．解：A．∵AB2+BC2=AC2，∴∠ABC=90°，∴▱ABCD为矩形，故本选项不符合题意；B．∵AB=AD，∴▱ABCD为菱形，故本选项符合题意；C．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵OA=OD，∴AC=BD，∴▱ABCD是矩形，故本选项不符合题意；D．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴▱ABCD为矩形，故本选项不符合题意；故选：B．小提示：本题考查了矩形的判定定理，勾股定理的逆定理，平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键．2、如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，点E是DA中点，F是对角线AC上一点，且∠DEF=45°，则AF:FC的值是（）A．3B．√5+1C．2√2+1D．2+√3答案：D分析：取AC的中点M，连接EM设CD=2x,由中位线性质可得EM//CD,EM=12CD,EM=x,再根据∠DAB= 60°，∠DEF=45°可得出FM=EM=x,从而得到FC的长，即可得到AF:FC的结果．解：如图所示：取AC的中点M，连接EM，DM，设CD=2x,∵点E是DA中点，∴EM是△ACD的中位线，∴EM//CD,EM=12 CD,∴EM=x,∵∠DAB=60°,四边形ABCD是菱形，∴∠DAC=∠DCA=∠EMA=30°，∠AMD=90°，∵∠DEF=45°∴∠EFM=45°−30°=15°,∠FEM=30°−15°=15°，∴∠EFM=∠FEM=15°,∴FM=EM=x,∵CD=DA=2x,∠CAD=∠ACD=30°,∴DM=12AD=x，∴AM=√AD2−AM2=√3x∴AC=2√3x,∴AM=√3x,∴FC=2√3x−√3x−x=√3x−x,∴AFFC=√3x√3x−x=√3√3−1=2+√3,故选：D．小提示：本题主要考查了菱形的性质和中位线的性质，熟练掌握这些性质是解此题的关键．3、如图，菱形ABCD中，过顶点C作CE⊥BC交对角线BD于E点，已知∠A=134°，则∠BEC的大小为( )A．23°B．28°C．62°D．67°答案：D分析：先说明ABD=∠ADC=∠CBD，然后再利用三角形内角和180°求出即可∠CBD度数，最后再用直角三角形的内角和定理解答即可.解：∵菱形ABCD∴AB=AD∴∠ABD=∠ADC∴∠ABD=∠CBD又∵∠A =134°∴∠CBD=∠BDC=∠ABD=∠ADB=12(180°-134°)=23° ∴∠BEC =90°-23°=67°故答案为D.小提示：本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的对角线平分每一组对角和三角形内角和定理.4、如图所示，在矩形纸片ABCD 中，AB =3,BC =6，点E 、F 分别是矩形的边AD 、BC 上的动点，将该纸片沿直线EF 折叠．使点B 落在矩形边AD 上，对应点记为点G ，点A 落在M 处，连接EF 、BG 、BE,EF 与BG 交于点N ．则下列结论成立的是（）①BN =AB ；②当点G 与点D 重合时EF =3√52； ③△GNF 的面积S 的取值范围是94≤S ≤72； ④当CF =52时，S △MEG =3√134．A ．①③B ．③④C ．②③D ．②④答案：D分析：①根据题意可知四边形BFGE 为菱形，所以EF ⊥BG 且BN=GN ，若BN=AB ，则BG=2AB=6，又因为点E 是AD 边上的动点，所以3<BG<3√5．从而判断①不正确；②如图，过点E 作EH ⊥BC 于点H ，再利用勾股定理求解即可；③当点E 与点A 重合时，△GNF 的面积S 有最小值94，当点G 与点D 重合时△GNF 的面积S 有最大值4516．故94<S <4516． ④因为CF =52，则EG=BF=6-52=72．根据勾股定理可得ME=√(72)2−(62)2=√132 ，从而可求出△MEG 的面积．解：①根据题意可知四边形BFGE 为菱形，∴EF ⊥BG 且BN=GN ，若BN=AB ，则BG=2AB=6，又∵点E 是AD 边上的动点，∴3<BG<3√5．故①错误；②如图，过点E 作EH ⊥BC 于点H ，则EH=AB=3，在Rt △ABE 中AE 2+AB 2=(AD −AE )2即AE 2+32=(6−AE )2解得：AE=94，∴BF=DE=6-94=154． ∴HF=154-94=32．在Rt △EFH 中EF =√EH 2+FH 2 =3√52；故②正确；③当点E 与点A 重合时，如图所示，△GNF 的面积S 有最小值=14S 正方形ABFG =14×3×3 =94，当点G 与点D 重合时△GNF 的面积S 有最大值=14S 菱形EBFG =14×154×3=4516．故94<S <4516．故③错误．④因为CF =52，则EG=BF=6-52=72．根据勾股定理可得ME=√(72)2−(62)2=√132 ， ∴S △MEG =12×√132×3=3√134．故④正确．故选D ．小提示：本题考查了矩形的性质和判定，菱形的判定与性质，勾股定理，翻折的性质等知识，掌握相关知识找到临界点是解题的关键．5、如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ．点E 为BC 的中点，连接EO 并延长交AD 于点F ，∠ABC =60°，BC =2AB ．下列结论：①AB ⊥AC ；②AD =4OE ；③四边形AECF 是菱形；④S △BOE =14S △ABC．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1答案：A分析：通过判定ΔABE为等边三角形求得∠BAE=60°，利用等腰三角形的性质求得∠EAC=30°，从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱形的性质和含30°直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④．解：∵点E为BC的中点，∴BC=2BE=2CE，又∵BC=2AB，∴AB=BE，∵∠ABC=60°，∴ΔABE是等边三角形，∴∠BAE=∠BEA=60°，∴∠EAC=∠ECA=30°，∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°，即AB⊥AC，故①正确；在平行四边形ABCD中，AD//BC，AD=BC，AO=CO，∴∠CAD=∠ACB，在ΔAOF和ΔCOE中，{∠CAD=∠ACBOA=OC∠AOF=∠COE，∴ΔAOF≅ΔCOE(ASA)，∴AF=CE，∴四边形AECF是平行四边形，又∵AB⊥AC，点E为BC的中点，∴AE=CE，∴平行四边形AECF是菱形，故③正确；∴AC⊥EF，在RtΔCOE中，∠ACE=30°，∴OE=12CE=14BC=14AD，故②正确；在平行四边形ABCD中，OA=OC，又∵点E为BC的中点，∴SΔBOE=12SΔBOC=14SΔABC，故④正确；综上所述：正确的结论有4个，故选：A．小提示：本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，掌握菱形的判定是解题关键．6、如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边AD、DC的中点，则PE + PF的最小值是（）A．2B．√3C．1.5D．√5答案：A分析：取AB中点G点，根据菱形的性质可知E点、G点关于对角线AC对称，即有PE=PG，则当G、P、F三点共线时，PE+PF=PG+PF最小，再证明四边形AGFD是平行四边形，即可求得FG=AD．解：取AB中点G点，连接PG，如图，∵四边形ABCD是菱形，且边长为2，∴AD=DC=AB=BC=2，∵E点、G点分别为AD、AB的中点，∴根据菱形的性质可知点E、点G关于对角线AC轴对称，∴PE=PG，∴PE+PF=PG+PF，即可知当G、P、F三点共线时，PE+PF=PG+PF最小，且为线段FG，如下图，G、P、F三点共线，连接FG，∵F点是DC中点，G点为AB中点，∴DF=12DC=12AB=AG，∵在菱形ABCD中，DC∥AB，∴DF∥AG，∴四边形AGFD是平行四边形，∴FG=AD=2，故PE+PF的最小值为2，故选：A．小提示：本题考查了菱形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质等知识，找到E点关于AC的对称点是解答本题的关键．7、如图，将矩形纸片ABCD 的两个直角进行折叠，使CB ，AD 恰好落在对角线AC 上，B ′，D ′分别是B ，D 的对应点，折痕分别为CF ，AE ．若AB ＝4，BC ＝3，则线段B ′D ′的长是（）A ．52B ．2C ．32D ．1答案：D分析：先利用矩形的性质与勾股定理求解AC, 再利用轴对称的性质求解AB ′,CD ′，从而可得答案.解：∵ 矩形纸片ABCD ，∴AD =BC =3,AB =DC =4,∠B =∠D =90°,∴AC =√32+42=5,由折叠可得：∠CB ′F =∠B =90°,CB ′=CB =3,∴AB ′=AC −CB ′=2,同理：CD ′=2,∴B ′D ′=AC −AB ′−CD ′=5−2−2=1,故选：D.小提示：本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，矩形的性质，掌握以上知识是解题的关键.8、如图，菱形ABCD ，点A 、B 、C 、D 均在坐标轴上，∠ABC =120°，点A (−3,0)，点E 是CD 的中点，点P 是OC 上的一动点，则PD +PE 的最小值是（）A．3B．5C．2√2D．3√32答案：A分析：直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小属“将军饮马”模型，由D关于直线AC的对称点B，连接BE，则线段BE的长即是PD+PE的最小值．如图：连接BE，，∵菱形ABCD，∴B、D关于直线AC对称，∵直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小∴根据“将军饮马”模型可知BE长度即是PD+PE的最小值．，∵菱形ABCD，∠ABC=120°，点A(−3,0)，∴∠CDB=60°,∠DAO=30°，OA=3，∴OD=√3,AD=DC=CB=2√3∴△CDB是等边三角形∴BD=2√3∵点E是CD的中点，∴DE=1CD=√3,且BE⊥CD，2∴BE=√BD2−DE2=3故选：A．小提示：本题考查菱形性质及动点问题，解题的关键是构造直角三角形用勾股定理求线段长．9、如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交CD于点E，若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为（）D．2A．√2B．2√2C．32答案：A分析：过D作AE的垂线交AE于F，交AC于D′，再过D′作AP′⊥AD，由角平分线的性质可得出D′是D关于AE 的对称点，进而可知D′P′即为DQ+PQ的最小值．作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，∵DD′⊥AE，∴∠AFD=∠AFD′，∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，∴△DAF≌△D′AF，∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=2，∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAD′=45°，∴AP′=P′D′，∴在Rt△AP′D′中，P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=4，∵AP ′=P ′D ’，2P ′D ′2=AD ′2，即2P ′D ′2=4，∴P ′D ′=√2，即DQ +PQ 的最小值为√2，故A 正确．故选：A ．小提示：本题考查了正方形的性质以及角平分线的性质和全等三角形的判定和性质和轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．10、如图，菱形ABCD 的两条对角线长分别为AC ＝6，BD ＝8，点P 是BC 边上的一动点，则AP 的最小值为（）A ．4B ．4.8C ．5D ．5.5答案：B分析：由垂线段最短，可得AP ⊥BC 时，AP 有最小值，由菱形的性质和勾股定理可求BC 的长，由菱形的面积公式可求解．如图，设AC 与BD 的交点为O ，∵点P 是BC 边上的一动点，∴AP ⊥BC 时，AP 有最小值，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO ＝CO ＝12AC ＝3，BO ＝DO ＝12BD ＝4，∴BC＝√BO2+CO2=√9+16=5，∵S菱形ABCD＝1×AC×BD＝BC×AP，2∴AP＝24＝4.8，5故选：B．小提示：本题考查了菱形的性质，勾股定理，确定当AP⊥BC时，AP有最小值是本题关键．填空题11、如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝_____，平行四边形CDEB为菱形．答案：75分析：首先根据勾股定理求得AB=5；然后利用菱形的对角线互相垂直平分、邻边相等推知OD=OB，CD=CB；最后Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB的值，则AD=AB−2OB．解：如图,连接CE交AB于点O．∵Rt△ABC中,∠ACB=90°，AC=4，BC=3∴AB=√AC2+BC2=5 (勾股定理)若平行四边形CDEB为菱形时，CE⊥BD，且OD=OB，CD=CB．∵12AB ⋅OC =12AC ⋅BC ， ∴OC =125.∴在Rt △BOC 中,根据勾股定理得，OB =√BC 2−OC 2=32−(125)2=95，∴AD =AB −2OB =75 故答案是：75．小提示：本题考查菱形的判定与性质,解题的关键是熟记菱形的判定方法．12、如图所示，六边ABCDEF 中，AB 平行且等于ED ，AF 平行且等于CD ，BC 平行且等于FE ，对角线FD ⊥BD ．已知FD ＝24cm ，BD ＝18cm ．则六边形ABCDEF 的面积是______.答案：432分析：连接AC 交BD 于G ，AE 交DF 于H ．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得平行四边形AEDB 和AFDC ．易得AC=FD ，EH=BG ．计算该六边形的面积可以分成3部分计算，即平行四边形AFDC 的面积+三角形ABC 的面积+三角形EFD 的面积．解：连接AC 交BD 于G ，AE 交DF 于H ．∵AB 平行且等于ED ，AF 平行且等于CD ，∴四边形AEDB 是平行四边形，四边形AFDC 是平行四边形，∴AE=BD ，AC=FD ，∴EH=BG ．平行四边形AFDC的面积+三角形ABC的面积+三角形EFD的面积=FD•BD=24×18=432，故答案为432.小提示：此题要熟悉平行四边形的判定和性质．注意求不规则图形的面积可以分割成规则图形，根据面积公式进行计算．13、如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A坐标为(3,0)，顶点B的横坐标为−1，点E是AD的中点，则侧OE=_________．答案：52分析：作BF⊥AF交于点F，交y轴于点G，作DH⊥AH交于点H，连接AE，首先根据题意证明出ΔDHA≌ΔAFB(AAS)，然后利用勾股定理求出AD的长度，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可．解：如图所示，作BF⊥AF交于点F，交y轴于点G，作DH⊥AH交于点H，连接AE，∵BF⊥AF，∴∠HDA+∠DAH=90°，∵∠DAB=90°，∴∠FAB+∠DAH=90°，∴∠HDA=∠FAB，又∵∠H=∠F=90°，AD=AB，∴ΔDHA≌ΔAFB(AAS)，∴AH=BF，由题意可得，四边形DOAH和四边形OGFA都是矩形，∵正方形ABCD的顶点A坐标为(3,0)，∴DH=GF=OA=3，∵顶点B的横坐标为−1，∴BG=1，∴BF=BG+GF=4，∴AH=BF=4，∵∠H=90°，∴AD=√DH2+AH2=5，∵点E是AD的中点，∠DOA=90°，∴OE=12AD=52．所以答案是：52．小提示：此题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定定理．14、如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝________．答案：1分析：连接AG，EG，根据线段垂直平分线性质可得AG=EG，由点E是CD的中点，得CE=4，设BG=x，则CG=8-x，由勾股定理，可得出（8-x）2+42=82+x2，求解即可．解：连接AG，EG，如图，∵HG垂直平分AE，∴AG=EG，∵正方形ABCD的边长为8，∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD=8，∵点E是CD的中点，∴CE=4，设BG=x，则CG=8-x，由勾股定理，得EG2=CG2+CE2=（8-x）2+42，AG2=AB2+BG2=82+x2，∴（8-x）2+42=82+x2，解得：x=1，所以答案是：1．小提示：本题考查正方形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理及其运用是解题的关键．15、如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，若△DEF的周长为18，则△ABC的周长为________．答案：36分析：根据中位线定义得DF=12BC,DE=12AC,EF=12AB,再表示出三角形ABC 的周长即可求解. 解：∵D ，E ，F 分别是△ABC 各边的中点，∴DF=12BC,DE=12AC,EF=12AB,（中位线性质）, ∵△DEF 的周长为18，即DE+DE+EF=18,∴△ABC 的周长=2（DE+DE+EF ）=36.小提示：本题考查了中位线的应用,属于简单题,熟悉中位线的性质是解题关键.解答题16、在平行四边形ACBO 中，AO ＝5，点B 的坐标为（﹣2，4）．（1）写出点A 、C 的坐标；（2）求出平行四边形ACBO 的面积．答案：（1）点A 坐标（﹣5，0），点C 坐标（﹣7，4）；（2）20分析：（1）首先过点C 作CE ⊥x 轴于E ，过点B 作BD ⊥x 轴于D ，根据平行四边形的性质，可得OA ＝BC ＝5，OA ∥BC ，AC ＝OB ，易得CE ＝BD ＝4，AE ＝OD ＝2，则点A 坐标，点C 坐标即可求出；（2）利用平行四边形的面积公式直接计算即可．解：（1）∵四边形OACB 是平行四边形，∴OA ＝BC ＝5，OA ∥BC ，AC ＝OB ，过点C 作CE ⊥x 轴于E ，过点B 作BD ⊥x 轴于D ，∴CE ＝BD ＝4，∴AE ＝OD ＝2，∴点A坐标（﹣5，0），点C坐标（﹣7，4）；（2）∵AO＝5，BD＝4，∴S▱AOBC＝5×4＝20．小提示：此题考查了平行四边形的性质以及平行四边形面积公式的运用，解题的关键是利用数形结合思想解题．17、如图①，四边形ABCD是正方形，点E是BC上一点，连接AE，以AE为一边作正方形AEFG，连接DG．(1)求证：DG=BE；(2)如图②，连接AF交CD于点H，连接EH，求证：EH=BE+DH；(3)在（2）的条件下，若AB=4，点H恰为CD中点，求△CEH的面积．答案：(1)证明见解析(2)证明见解析(3)S△CEH=83分析：（1）由正方形的性质得AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°，AE＝AG，再证∠BAE＝∠DAG，然后证△ADG≌△ABE（SAS即可得出结论；（2）证△AEH≌△AGH（SAS），得EH＝GH，再证C、D、G三点共线，然后由GH＝DG＋DH＝BE＋DH，即可得出结论；（3）设BE＝x，则CE＝4−x，DG＝BE＝x，EH＝BE＋DH＝x＋2，再由勾股定理得出方程，求出x＝43，则CE＝4−x＝83，然后由三角形面积公式即可得出答案．（1）∵四边形ABCD是正方形∴∠BAD=90°,AB=AD∴∠BAE+∠EAD=90°∵四边形AEFG是正方形∴∠EAG=90°,AE=AG∴∠EAD+∠DAG=90°∴∠BAE=∠DAG在△BAE和△DAG中{AB=AD∠BAE=∠DAG AE=AG∴△BAE≌△DAG∴DG=BE．（2）由（1）知△BAE≌△DAG∴∠ADG=∠B−90°,BE=DG∵∠ADC=90°∴∠CDG=∠ADC+∠ADG=90°+90°=180°∴H，D，G三点共线∵四边形AEFG是正方形∴AE=AG,∠EAF=∠GAF=45°在△BAE和△DAG中{AE=AG∠EAF=∠GAFAH=AH，∴△EAH≌△GAH∴EH=HG∵HG=DG+DH∴EH=BE+DH（3）∵四边形ABCD是正方形，AB=4∴CD=AB=4∵H恰CD中点∴DH=HC=12CD=2∵△BAE≌△DAG∴BE=DG设BE=x，则DG=x,EC=4−x由（2）知EH=BE+DH=2+x在Rt△ECH中，由勾股定理知EC2+CH2=EH2∴(4−x)2+22=(2+x)2解得，x=43∴EC=83∴S△CEH=12EC⋅CH=12×83×2=83．小提示：本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三点共线等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．18、（1）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45°．直接写出BE、DF、EF之间的数量关系；（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=1∠BAD，求证：EF=BE+DF；2（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，延长BC到点E，延长CD到点F，使得∠BAD，则结论EF=BE+DF是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并∠EAF=12证明．答案：（1）EF=BE+DF，理由见详解；（2）见详解；（3）结论EF＝BE＋FD不成立，应当是EF＝BE−FD．理由见详解．分析：（1）在CD的延长线上截取DM＝BE，连接AM，证出△ABE≌△ADM，根据全等三角形的性质得出BE＝DM，再证明△AEF≌△AMF，得EF＝FM，进而即可得出答案；（2）在CD的延长线上截取DG＝BE，连接AG，证出△ABE≌△ADG，根据全等三角形的性质得出BE＝DG，再证明△AEF≌△AGF，得EF＝FG，即可得出答案；（3）按照（2）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．根据（2）的证法，我们可得出DF＝BG，GE＝EF，那么EF＝GE＝BE−BG＝BE−DF．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的．（1）解：EF=BE+DF，理由如下：延长CD，使DM=BE，连接AM，∵在正方形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADM=90°，∴△ABE≌△ADM，∴∠BAE=∠DAM，AE=AM，∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=∠DAM+∠DAF =90°-45°=45°，∴∠EAF=∠MAF=45°，又∵AF=AF，AE=AM，∴△AEF≌△AMF，∴EF=MF=MD+DF=BE+DF；（2）在CD的延长线上截取DG＝BE，连接AG，如图，∵∠ADF＝90°，∠ADF＋∠ADG＝180°，∴∠ADG＝90°，∵∠B＝90°，∴∠B＝∠ADG＝90°，∵BE＝DG，AB＝AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AG＝AE，∴∠EAG＝∠EAD＋∠DAG＝∠EAD＋∠ABE＝∠BAD，∵∠EAF=1∠BAD，2∠EAG,∴∠EAF=12∴∠EAF＝∠FAG，又∵AF＝AF，AE＝AG，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG＝DF＋DG＝EB＋DF；（3）结论EF＝BE＋FD不成立，应当是EF＝BE−FD．理由如下：如图，在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADF＋∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．∵在△ABG与△ADF中，{AB =AD∠ABG =∠ADF BG =DF，∴△ABG ≌△ADF （SAS ）．∴∠BAG ＝∠DAF ，AG ＝AF ．∴∠BAG ＋∠EAD ＝∠DAF ＋∠EAD ＝∠EAF ＝12∠BAD =12∠GAF ．∴∠GAE ＝12∠BAD =∠EAF ．∵AE ＝AE ，AG ＝AF ．∴△AEG ≌△AEF ．∴EG ＝EF ，∵EG ＝BE −BG∴EF ＝BE −FD ．小提示：本题考查了三角形综合题，三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转变换的思想添加辅助线，构造全等三角形解决问题，解题时注意一些题目虽然图形发生变化，但是证明思路和方法是类似的，属于中考压轴题．。

人教版八年级数学下册第十八章平行四边形全章考点例析(一)

人教版八年级数学下册第十八章平行四边形全章考点例析（一）知识框架考点例析知识点一：平行四边形的定义及性质【例1】：如图，在平行四边形ABCD中，AB＞BC，按以下步骤作图：以A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AB、CD于E、F；再分别以E、F为圆心，大于EF的长半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交CD于点H．则下列结论：①AG平分∠DAB，②CH=DH，③△ADH是等腰三角形，④S△ADH =S四边形ABCH．其中正确的有（）A．①②③B．①③④C．②④D．①③【例2】：如图，平行四边形ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm【例3】：如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠FED′的大小为．【例4】：如图，△ACE是以▱ABCD的对角线AC为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称．若E点的坐标是（7，﹣3），则D点的坐标是．【例5】：如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC 的延长线于点E．（1）求证：BE=CD；（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．变式训练1．平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，则图中全等三角形的对数为（）A．2 B．3 C．4 D．52．下面平行四边形不具有的性质是（）A．对角线互相平分 B．两组对边分别相等C．对角线相等 D．相邻两角互补3．平行四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比有可能是（）A．1∶2∶3∶4 B．2∶2∶3∶3 C．2∶3∶2∶3 D．2∶3∶3∶24．如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC长为（）A．8 B．10 C．12 D．145．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD=8，BD=12，AC=6，则△OBC的周长为（）A．13 B．17 C．20 D．26BD F6．如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（）A．66° B．104° C．114°D．124°7．在四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠D＝1∶2∶4，∠C＝108°，则∠A＝ . 8．如图，平行四边形ABCD中，AC=4cm，BC=5cm，CD=3cm，则▱ABCD的面积．9．如图，▱ABCD与▱DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE的度数为．10．如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D1，折痕为EF，若∠BAE=55°，则∠D1AD= ．11．如图，在▱ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD=5，AP=8，则△APB的周长是．12.□ABCD 中，∠A 的平分线分 BC 为长是4cm 和5cm的两条线段，则□ABCD的周长是________________.13.在平面直角坐标系中，□ OBCD 的顶点 O，B，D 的坐标分别为（0，0），（5，0），（2，3），则顶点 C 的坐标为_____________.14.若平行四边形的周长为 54 cm ，两邻边之差为 5 cm ，则这两边的长度分别为______.15.已知：如图，在□ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，EF过点O分别交AD,BC于点E,F求证:OE=OF.16.已知：如图，在□ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，且BF DE=．求证：AE CF=．17．如图，E是▱ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F．（1）求证：△ADE≌△FCE．（2）若∠BAF=90°，BC=5，EF=3，求CD的长．18．如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．（1）求证：AB=CF；（2）连接DE，若AD=2AB，求证：DE⊥AF．19．已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC于点F．（1）求证：△ABF≌△CDE；（2）如图，若∠1=65°，求∠B的大小．知识点二：平行四边形的判定【例1】：四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，给出下列四个条件： ①AD ∥BC ；②AD=BC ；③OA=OC ；④OB=OD从中任选两个条件，能使四边形ABCD 为平行四边形的选法有（） A ．3种 B ．4种 C ．5种D ．6种【例2】：已知直角坐标系内有四个点O （0，0），A （3，0），B （1，1），C （x ，1），若以O ，A ，B ，C 为顶点的四边形是平行四边形，则x= ．【例3】：如图，四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别在OA ，OC 上（1）给出以下条件；①OB=OD ，②∠1=∠2，③OE=OF ，请你从中选取两个条件证明△BEO ≌△DFO ；（2）在（1）条件中你所选条件的前提下，添加AE=CF ，求证：四边形ABCD 是平行四边形．变式训练1．下列说法错误的是（）A ．对角线互相平分的四边形是平行四边形B ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C ．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D ．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形2．小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（）A．①，② B．①，④ C．③，④ D．②，③3.如图，在□ABCD中，E,F分别为边AB,CD的中点，则图中共有个平行四边形. 4．如图所示，四边形ABCD的对角线相交于点O，若AB∥CD，请添加一个条件__________________（写一个即可），使四边形ABCD是平行四边形．5．如图，▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于M、N．（1）求证：四边形CMAN是平行四边形．（2）已知DE=4，FN=3，求BN的长．6．如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF．求证：（1）DE=BF；（2）四边形DEBF是平行四边形．7．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE=CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．8．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．9．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F．试判断四边形ABFC的形状，并证明你的结论．知识点二：三角形的中位线连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线.三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.【例1】：如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为．【例2】：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN= ．【例3】：如图，在△ABC中，点D,E分别是AB,AC的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C的度数为________.【例4】：如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）若M为EF的中点，OM=3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．变式训练1．如图，在△ABC中，AB=4，BC=6，DE、DF是△ABC的中位线，则四边形BEDF的周长是（）A．5 B．7 C．8 D．102．如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F，则下列结论正确的是（）A．EF=CF B．EF=DE C．CF＜BD D．EF＞DE3．如图，在△ABC中，∠A BC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（）A．7 B．8 C．9 D．104．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE=30°，DF=4，则BF的长为（）A．4 B．8 C．2 D．45．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，且AB=6cm，AC=8cm，则四边形ADEF的周长等于___________cm．6．如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF= BC，连接CD和EF．（1）求证：DE=CF；（2）求EF的长．7．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．（1）求证：BM=MN；（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．8．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；。

人教版八年级数学下册第十八章《平行四边形》单元复习课件

第5题图
6.(人教8下P62改编)如图，在△ABC中，中线BD，CE相交
于O，F，G分别为BO，CO的中点，则四边形EFGD的形状
是平行四边形
.
第6题图
7.【例1】(全国视野)(2022丹东模拟)如图，在▱ABCD中，点
O是AD的中点，连接CO并延长交BA的延长线于点E，连接
AC，DE.求证：四边形ACDE是平行四边形.
AF于点G.
(1)求证：四边形ABCF是矩形；
(2)若EA＝EG，求证：ED＝EC.
或对角线相等.
2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE，DF是△ABC
的中位线，连接EF，CD.求证：EF＝CD.
证明：∵DE，DF是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，∴四边形DECF
是矩形，
∴EF＝CD.
知识点三：菱形
(1)菱形的特殊性质：菱形的四条边相等、对角线互相垂直
＝
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
，
＝
∴△ABG≌△AFG(HL).
(2)解：∵△ABG≌△AFG，∴BG＝FG，
设BG＝FG＝x，则GC＝6－x，
∵E为CD的中点，∴CE＝EF＝DE＝3，
∴EG＝3＋x，∴在Rt△CEG中，32＋(6－x)2＝(3＋x)2，
解得x＝2，∴BG＝2.
的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点
G，连接AG.
(1)求证：△ABG≌△AFG；
(2)求BG的长.
(1)证明：在正方形ABCD中，AD＝AB＝BC＝CD，
∠D＝∠B＝∠BCD＝90°，
∵将△ADE沿AE对折至△AFE，

人教版八年级数学下册：第18章平行四边形归纳总结

1 文字语言数学语言平行四边形矩形菱形正方形定义常转化为以下知识来解决问题： 1、等腰三角形（三线合一） 2、直角三角形（勾股定理）3、等腰加60°转化成等边三角形4、角平分线、中垂线的性质有两组平边分别平行的四边形平行四边形+直角平行四边形+邻边相等矩形+邻边相等菱形+直角图形角对角相等邻角互补特有性质边对边平行且相等邻边特有性质对角线1、互相平分2、相等3、互相垂直4、平分一组对角对称性中心对称轴对称面积的不同求法ABCD 类似：菱形的面积：推广：对角线垂直的任意四边形面积。

F E D C B A OD CBA OAB CDODCB AS ABC =12AD ⋅BC=12AB ⋅AC D C B A S 菱形ABCD =12AC ⋅BDO DC B A S ABCD =12AC ⋅BD O C B A22）S ΔABC = S ΔDBC S 1=S 2 3）1234S S S S === 4）二等分平行四边形类比：三角形面积的二等分 5) 12S S =阴四边形平行四边形矩形菱形正方形定义有两组平边分别平行的四边形平行四边形+直角平行四边形+邻边相等矩形+邻边相等菱形+直角图形文字语言数学语言文字语言数学语言文字语言数学语言文字语言数学语言判定1判定2 判定3 判定4ODCBADBAPDACPS 1S 1=S 2S 2中点D BA OD CBA OAB CDODCB AOD CBA3判定5关于平行四边形面积二等这个图形的再利用： 1、如图，平行四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，AB=1，5BC，对角线AC 、BD 交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转，分别交BC 、AD 于点E 、F 。

（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF 是平行四边形。

（2）试说明在旋转过程中，线段AF 与EC 总保持相等。

（3）在旋转过程中，四边形BEDF 可能是菱形吗？如果不能请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O 顺时针旋转的角度。

人教版八年级数学下册第十八章平行四边形【知识梳理素材】

第十八章平行四边形【知识梳理】第18章平行四边形18.1 平行四边形三角形中位线定理（1）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半．（2）几何语言：如图,∵点D、E分别是AB、AC的中点平行四边形的性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．（3）平行线间的距离处处相等．（4）平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．平行四边形的判定（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC,AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB=DC,AD=BC∴四边行ABCD是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC,AB=DC∴四边行ABCD是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵∠ABC=∠ADC,∠DAB=∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA=OC,OB=OD∴四边行ABCD是平行四边形．平行四边形的判定与性质的作用平行四边形对应边相等,对应角相等,对角线互相平分及它的判定,是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法,若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等,可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上,通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．运用定义,也可以判定某个图形是平行四边形,这是常用的方法,不要忘记平行四边形的定义,有时用定义判定比用其他判定定理还简单．凡是可以用平行四边形知识证明的问题,不要再回到用三角形全等证明,应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．平行线之间的距离（1）平行线之间的距离从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线,垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．（2）平行线间的距离处处相等．18.2 特殊的平行四边形直角三角形斜边上的中线（1）性质：在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）（2）定理：一个三角形,如果一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．该定理可以用来判定直角三角形．菱形的性质（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（2）菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形,它有2条对称轴,分别是两条对角线所在直线．（3）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式．菱形的判定①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）；②四条边都相等的四边形是菱形．几何语言：∵AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．几何语言：∵AC⊥BD,四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形菱形的判定与性质（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变,中点四边形的形状始终是平行四边形．（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形,对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的,首先它是平行四边形,但它是特殊的平行四边形,特殊之处就是“有一组邻边相等”,因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．（4）正方形是特殊的菱形,菱形不一定是正方形,所以,在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形,又是中心对称图形．它有2条对称轴,分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质,可以得到直角三角形的一个重要性质,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．矩形的判定（1）矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）（2）①证明一个四边形是矩形,若题设条件与这个四边形的对角线有关,通常证这个四边形的对角线相等．②题设中出现多个直角或垂直时,常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．矩形的判定与性质（1）关于矩形,应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形,进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．在处理许多几何问题中,若能灵活运用矩形的这些性质,则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB=∠OBA,∠OCB=∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．（2）正方形的性质①正方形的四条边都相等,四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等,互相垂直平分,并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形,同时,正方形又是轴对称图形,有四条对称轴．正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形,再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形,再判定这个菱形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形,再用1或2进行判定．正方形的判定与性质（1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．正方形的判定没有固定的方法,只要判定既是矩形又是。

整理八年级数学下册第十八章平行四边形带答案重点归纳笔记

(名师选题)整理八年级数学下册第十八章平行四边形带答案重点归纳笔记单选题1、如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB=2，∠ABC=60°，E，F是对角线BD上的动点，且BE=DF，M，N分别是边AD，边BC上的动点．下列四种说法：①存在无数个平行四边形MENF；②存在无数个矩形MENF；③存在无数个菱形MENF；④存在无数个正方形MENF．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．42、菱形的周长为8cm，高为1cm，则菱形两邻角度数比为（）A．4：1B．5：1C．6：1D．7：13、如图，已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值是（）A．5B．10C．6D．84、如图，四边形ABCD是矩形纸片，AB=6，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF．展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在EF上的点N，折痕为BM，再次展平，连接BN，MN，延长MN交BC于点G．有如下结论：①∠ABN=60°；②AM=3；③△BMG是等边三角形；④EN=3√3；⑤P为线段BM上一动点，H是线段BN上的动点，则PN+PH的最小值是3√3．其中正确结论有（）A ．①②③⑤B ．①②③④C ．①③④⑤D ．①②③④⑤5、如图，点A ，B 的坐标分别为A(2,0),B(0,2)，点C 为坐标平面内一点，BC =1，点M 为线段AC 的中点，连接OM ，则OM 的最大值为（）A ．√2+1B ．√2+12C ．2√2+1D ．2√2−126、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5，点E 为CB 上一动点（不与点C 重合），将△CDE 沿DE 所在直线折叠，点C 的对应点C '恰好落在AE 上，则CE 的长是（）A ．√2B ．1C ．2D ．√37、图，在△ABC 中，AB ＝AC ，四边形ADEF 为菱形，O 为AE ，DF 的交点，S △ABC ＝8√3 ，则S 菱形ADEF ＝（）A ．4B ．4√6C ．4√3D ．4√28、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4cm ，对角线AC 与BD 相交于点O ，DE ⊥AC ，垂足为E ，AE ＝3CE ，则DE 的长为（）A．√3cm B．2cmC．2√2cm D．2√3cm9、某街区街道如图所示，其中CE垂直平分AF,AB//CD,BC//DF．从B站到E站有两条公交线路；线路1是B→D→A→E，线路2是B→C→F→E，则两条线路的长度关系为（）A．路线1较短B．路线2较短C．两条路线长度相等D．两条线路长度不确定10、如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件仍不能判断四边形ABCD是矩形的是( )A．AB+BC=AC B．AB= AD C．OA= OD D．∠ABC+∠ADC=180°解答题11、如图，四边形ABCD是一个正方形花园，E、F是它的两个门，且DE=CF，要修建两条路BE和AF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？请证明你的猜想．12、如图，在矩形ABCD中，AB＝15，E是BC上的一点，将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处；BE，点F在DG上，将△ADF沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，且CE＝45（1）求AD的长；（2）求FG的长13、如图，已知以△ABC的三边为边，在BC的同侧分别作等边三角形ABD、BCE和ACF．(1)求证：四边形ADEF是平行四边形；(2)△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？是矩形？并说明理由；(3)这样的平行四边形ADEF是否总是存在？请说明理由．整理八年级数学下册第十八章平行四边形带答案(二十三)参考答案1、答案：C分析：根据题意作出合适的辅助线，然后逐一分析即可．如图，连接AC、与BD交于点O，连接ME，MF，NF，EN，MN，∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC，OB=OD∵BE=DF∴OE=OF∵点E、F时BD上的点，∴只要M，N过点O，那么四边形MENF就是平行四边形∴存在无数个平行四边形MENF，故①正确；只要MN=EF，MN过点O，则四边形MENF是矩形，∵点E、F是BD上的动点，∴存在无数个矩形MENF，故②正确；只要MN⊥EF，MN过点O，则四边形MENF是菱形；∵点E、F是BD上的动点，∴存在无数个菱形MENF，故③正确；只要MN=EF，MN⊥EF，MN过点O，则四边形MENF是正方形，而符合要求的正方形只有一个，故④错误；故选：C小提示：本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定、解答本题的关键时明确题意，作出合适的辅助线．2、答案：B分析：先根据菱形的性质求出边长AB=2，再根据直角三角形的性质求出∠B=30°，得出∠DAB=150°，即可得出结论．如图所示：∵四边形ABCD是菱形，菱形的周长为8，∴AB=BC=CD=DA=2，∠DAB+∠B=180°，∵AE=1，AE⊥BC，∴AE=1AB，2∴∠B=30°，∴∠DAB=150°，∴∠DAB:∠B=5:1；故选B.小提示：本题考查菱形的性质.3、答案：A分析：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，求出CP、BP，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP=QN=BC，即可得出答案．解：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，则P是AC中点，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，即Q在AB上，∵MQ⊥BD，∴AC∥MQ，∵M为BC中点，∴Q为AB中点，∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，∴BQ∥CD，BQ=CN，∴四边形BQNC是平行四边形，∴PQ∥AD，而点Q是AB的中点，故PQ是△ABD的中位线，即点P是BD的中点，同理可得，PM是△ABC的中位线，故点P是AC的中点，即点P是菱形ABCD对角线的交点，∵四边形ABCD是菱形，则△BPC为直角三角形，CP=12AC=3,BP=12BD=4,在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC=5，即NQ=5，∴MP+NP=QP+NP=QN=5，故选：A．小提示：本题考查了轴对称-最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置．4、答案：C分析：①首先根据EF垂直平分AB，可得AN=BN，然后根据折叠的性质，可得AB=BN，据此判断出△ABN为等边三角形，即可判断出∠ABN=60°；②首先根据∠ABN=60°，∠ABM= ∠NBM，求出∠ABM=∠NBM=30°，然后在Rt△ABM中，根据AB=6，求出AM的大小即可；③求出∠AMB=60°，得到∠BMG=60°，根据AD∥BC，求出∠BGM=60°即可；④根据勾股定理求出EN即可；⑤根据轴对称图形的性质得到AP=PN，PN+PH=AH，且当AH⊥BN时，PN+PH最小，应用勾股定理，求出AH的值即可．解：如图，连接AN，∵EF垂直平分AB，∴AN=BN，根据折叠的性质，可得AB=BN，∴AN=AB=BN，∴△ABN为等边三角形，∴∠ABN=60°，∠PBN=1×60°=30°，即结论①正确；2∵∠ABN=60°，∠ABM=∠NBM，∴∠ABM=∠NBM=1×60°=30°，2∴BM=2AM，∵AB=6，AB2+AM2=BM2，∴62+AM2=（2AM）2，解得AM=2√3，即结论②不正确；∵∠AMB=90°-∠ABM=60°，∴∠BMG=∠AMB=60°，∵AD∥BC，∴∠MBG=∠AMB=60°，∴∠BGM=60°，△BMG是等边三角形；即结论③正确；∵BN=AB=6，BN=3，∴EN=√BN2−BE2=√62−32=3√3，即结论④正确；连接AN，∵△ABM与△NBM关于BM轴对称，∴AP=NP，∴PN+PH=AP+PH，∴当点A、P、H三点共线时，AP+PH=AH，且当AH⊥BN时AH有最小值，∵AB=6，∠ABH=60°，∴∠BAH=30°，∴BH=3，∴AH=√AB2−BH2=√62−32=3√3，∴PN＋PH的最小值是3√3，即结论⑤正确；故选：C．小提示：此题考查了矩形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，直角三角形30度角的性质，熟记等边三角形的判定及性质是解题的关键．5、答案：B分析：如图所示，取AB的中点N，连接ON，MN，根据三角形的三边关系可知OM＜ON+MN，则当ON与MN共线时，OM= ON+MN最大，再根据等腰直角三角形的性质以及三角形的中位线即可解答．解：如图所示，取AB的中点N，连接ON，MN，三角形的三边关系可知OM＜ON+MN，则当ON与MN共线时，OM= ON+MN最大，∵A(2,0),B(0,2)，则△ABO为等腰直角三角形，∴AB=√OA2+OB2=2√2，N为AB的中点，∴ON=12AB=√2，又∵M为AC的中点，∴MN为△ABC的中位线，BC=1，则MN=12BC=12，∴OM=ON+MN=√2+12，∴OM的最大值为√2+12故答案选：B．小提示：本题考查了等腰直角三角形的性质以及三角形中位线的性质，解题的关键是确定当ON与MN共线时，OM= ON+MN最大．6、答案：B分析：由矩形的性质得出∠B=∠C=90°，AD=BC=5，CD=AB=3，由折叠的性质得C'D=CD=3，C'E=CE，由勾股定理得出AC'，在Rt△ABE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，AD=BC=5，CD=AB=3，由折叠的性质得：C'D=CD=3，C'E=CE，∠DC'E=∠C=90°，∴∠AC'D=90°，∴AC'=√AD2−C′D2=4，设CE=C'E=x，在Rt△ABE中，BE=5-x，AE=x+4，由勾股定理得：（5-x）2+32=（x+4）2，解得：x=1，故选：B．小提示：本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．7、答案：CBC，从而得出AE为△ABC 分析：根据菱形的性质，结合AB=AC，得出DF为△ABC的中位线，DF∥BC，DF=12的高，得出BC×AE=16√3，再根据菱形的面积公式，即可得出菱形的面积．解：∵四边形ADEF为菱形，∴EF∥AB，DE∥AC，AF=EF=DE=AD，AE⊥DF，∴∠CEF=∠B，∠DEB=∠C，∵AC=AB，∴∠B=∠C，∴∠CEF=∠B=∠C=∠DEB，∴CF=EF，DE=DB，∴CF=AF，AD=DB，∴DF∥BC，DF=1BC，2∵∠AOD=90°，∴∠AEB=∠AOD=90°，∴AE⊥BC，∵S△ABC=8√3，BC×AE=8√3，∴12即BC ×AE =16√3，∴S 菱形ADEF =12DF ×AE =12×12BC ×AE =14×16√3=4√3，故C 正确．故选：C ．小提示：本题主要考查了菱形的性质，中位线的性质，等腰三角形的性质和判断，平行线的性质，菱形的面积，三角形面积的计算，根据菱形的性质和等腰三角形的性质得出DF 为△ABC 的中位线，是解题的关键．8、答案：D分析：由矩形的性质得出OA ＝OD ＝OC ，再根据线段垂直平分线的性质得出OD ＝CD ，最后根据勾股定理计算，即可得到答案．∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝12AC ，OD ＝12BD ，AC ＝BD ，CD ＝AB ＝4cm ，∴OA ＝OD ＝OC ，∵DE ⊥AC ，AE ＝3CE ，AE +CE =2OC∴OE ＝CE =12OC ，∠DEA ＝90°， ∴OD ＝CD ＝4cm ，∴OC ＝OD ＝CD ＝4cm ，∴OE ＝CE =12OC ＝2cm∴DE =√OD 2−OE 2=2√3cm故选：D ．小提示：本题考查了矩形、垂直平分线、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握矩形、垂直平分线的性质，从而完成求解．9、答案：C分析：由于路线1的路程为BD ＋DA ＋AE ，路线2的路程为BC ＋CF ＋FE ，将问题变为比较它们的大小这一数学问题．解：这两条路线路程的长度一样．理由如下：延长FD交AB于点G．∵BC∥DF，AB∥DC，∴四边形BCDG是平行四边形，∴DG＝CB．∵CE垂直平分AF，∴FE＝AE，DE∥AG，∴FD＝DG，∴CB＝FD．又∵BC∥DF，∴四边形BCFD是平行四边形．∴CF＝BD．①∵CE垂直平分AF，∴AE＝FE，FD＝DA．②∴BC＝DA．③路线1的长度为：BD＋DA＋AE，路线2的长度为：BC＋CF＋FE，综合①②③，可知路线1路程长度与路线2路程长度相等．故选C．小提示：本题是一个图形在交通方面的应用题，解此类图形应用题的关键是建立合理的数学模型，并利用图形知识来解决这一模型，从而解决实际问题．考查线段的垂直平分线的性质，平行四边形判定与性质，中位线等知识．10、答案：B分析：由勾股定理的逆定理证得∠ABC=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断A；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可判断B；根据对角线相等的平行四边形是矩形可判断C；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断D．解：A．∵AB2+BC2=AC2，∴∠ABC=90°，∴▱ABCD为矩形，故本选项不符合题意；B．∵AB=AD，∴▱ABCD为菱形，故本选项符合题意；C．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵OA=OD，∴AC=BD，∴▱ABCD是矩形，故本选项不符合题意；D．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴▱ABCD为矩形，故本选项不符合题意；故选：B．小提示：本题考查了矩形的判定定理，勾股定理的逆定理，平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键．11、答案：BE＝AF，BE⊥AF，证明见解析分析：根据正方形性质可得，AB=AD=CD，又有DE=CF，因此可以得到AE=DF，因此可以证明得到△BAE≌ADF，从而证明得到BE＝AF，∠AEB=∠DFA，根据三角形内角和定理可以得到∠EAO+∠DFA=90°，等量代换即可得到∠EAO+∠AEB=90°，因此证明得到∠AOE =90°，从而证明得到结论．解：猜想BE＝AF，BE⊥AF，理由如下：∵四边形ABCD是正方形∴AB=AD=CD，∠D=∠BAD=90°∵DE=CF，∴AD-DE=CD-CF，即AE=DF在△BAE和△ADF中，{AE=DF ∠BAE=∠D AB=AD∴△BAE≌ADF(SAS)∴BE＝AF，∠AEB=∠DFA，∵∠D=90°∴∠EAO+∠DFA=90°∴∠EAO+∠AEB=90°∴∠AOE=90°∴BE⊥AF小提示：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，综合运用知识分析推导结论是本题的关键．12、答案：（1）AD= 9；（2）FG=7.5分析：（1）设CE=4x，则BE=5x，在Rt△CEG和Rt△AGD中，分别求得CG=3x，GD=√152−(9x)2，再利用CG+GD=CD=15，构造方程求得x的值，即可求解；（1）设HF=y，利用S△ADG=S△AFG+S△ADF，构造方程求得y的值，即可求解．（1）∵CE＝45BE，∴设CE=4x，则BE=5x，∴BC=AD=CE+ BE=9x，∵△AGE是由△ABE翻折得到的，∴GE= BE=5x，AG=AB=15，在Rt△CEG中，由勾股定理可知：CG=√EG2−EC2=√(5x)2−(4x)2=3x，在Rt△AGD中，由勾股定理可知：GD=√AG2−AD2=√152−(9x)2，∵CG+GD=CD=15，∴3x+√152−(9x)2=15，解得：x=1，AD=9；（2）由（1）知：CG=3，GD=12，设HF=y，∵△AHF是由△ADF翻折得到的，∴HF=DF=y，∵S△ADG=S△AFG+S△ADF，即12DG×AD=12AG×FH+12DF×AD，∴12×9=15y+9y，解得：y=4.5，即DF=4.5，∴FG=CD−CG−DF=15−3−4.5=7.5．小提示：本题考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．13、答案：(1)证明见解析；(2)当AB＝AC时，四边形ADEF是菱形，当∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形．理由见解析；(3)不总是存在，理由见解析分析：（1）根据等边三角形的性质得出AC＝AF，AB＝BD，BC＝BE，∠EBC＝∠ABD＝60°，求出∠DBE＝∠ABC，根据SAS推出△DBE≌△ABC，根据全等得出DE＝AC，求出DE＝AF，同理AD＝EF，根据平行四边形的判定推出即可；（2）当AB＝AC时，四边形ADEF是菱形，根据菱形的判定推出即可；当∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形，求出∠DAF＝90°，根据矩形的判定推出即可；（3）这样的平行四边形ADEF不总是存在，当∠BAC＝60°时，此时四边形ADEF就不存在．（1）证明：∵△ABD、△BCE和△ACF是等边三角形，∴AC＝AF，AB＝BD，BC＝BE，∠EBC＝∠ABD＝60°，∴∠DBE＝∠ABC＝60°﹣∠EBA，在△DBE和△ABC中{BD=BA∠DBE=∠ABCBE=BC，∴△DBE≌△ABC（SAS），∴DE＝AC，∵AC＝AF，∴DE＝AF，同理AD＝EF，∴四边形ADEF是平行四边形；（2）解：当AB＝AC时，四边形ADEF是菱形，理由是：∵△ABD和△AFC是等边三角形，∴AB＝AD，AC＝AF，∵AB＝AC，∴AD＝AF，∵四边形ADEF是平行四边形，∴四边形ADEF是菱形；当∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形，理由是：∵△ABD和△ACF是等边三角形，∴∠DAB＝∠FAC＝60°，∵∠BAC＝150°，∴∠DAF＝90°，∵四边形ADEF是平行四边形，∴四边形ADEF是矩形；（3）解：这样的平行四边形ADEF不总是存在，理由是：当∠BAC＝60°时，∠DAF＝180°，此时点D、A、F在同一条直线上，此时四边形ADEF就不存在．小提示：本题考查了菱形的判定，矩形的判定，平行四边形的判定，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．。

《易错题》初中八年级数学下册第十八章《平行四边形》知识点复习(专题培优)

一、选择题1．图1中甲、乙两种图形可以无缝隙拼接成图2中的正方形ABCD ．已知图甲中，45F ∠=︒，15H ∠=︒，图乙中 2MN =，则图2中正方形的对角线AC 长为（）A ．22B ．23C ．231+D ．232+D解析：D 【分析】连接HF ，过点G 作GI HF 交HF 于点I ，根据甲、乙两种图形可以无缝隙拼接成图2中的正方形ABCD ，可得EFH △是等腰直角三角形，则可求得45GFI ，30GHI ，根据勾股定理，可得：1GI =，3HI，则有1FI GI ，31EF HF HI FI ，根据正方形的对角线2AC EF =可求出答案．【详解】解：如图示，连接HF ，过点G 作GI HF 交HF 于点I ，∵甲、乙两种图形可以无缝隙拼接成图2中的正方形ABCD ．∴根据题意，根据对称性可得EFH △是等腰直角三角形，则有：90EFH，45EHF HEF ∵45GFE ，15EHG ， ∴45GFI ，30GHI ,又∵GIHF ，2MN =， ∴根据勾股定理，可得：1GI =，3HI，则有1FI GI ，∴31EF HF HI FI ， ∴正方形的对角线2231232ACEF ，故选：D ．【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟悉相关性质是解题的关键． 2．如图，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，已知6AD =（正方形的四条边都相等，四个内角都是直角），2DF =．则AEF 的面积AEF S =（）A ．6B ．12C ．15D ．30C解析：C【分析】延长CD 到G ，使DG=BE ，连接AG ，易证ADG ABE △≌△所以AE=AG ，BAE=DAG ∠∠ ，证AFG AEG △≌△，所以 GF=EF ，设BE=DG=x ，则EF=FG=x+2，在ECF Rt △中，利用勾股定理得222462x x 解得求出x ，最后求AGF S △问题即可求解．【详解】解：延长CD 到G ，使DG=BE ，连接AG ，在正方形ABCD 中，AB=AD ，90ADB B C ADC ∠=∠=∠=∠=︒ 90ADG B ∴∠=∠=︒，ADG ABE(SAS)∴△≌△，,AG AE BAE DAG ∴=∠=∠，45EAF ∠=︒ ，45DAF BAE ∴∠+∠=︒ ，GAF=45DAG DAF ∴∠∠+∠=︒， GAF=EAF ∴∠∠，又AF=AF ，AFG AEG ∴△≌△(SAS)，EF=FG ∴，设BE=DG=x ，则EC=6-x ，FC=4，EF=FG=x+2，在ECF Rt △中，222=FC CE EF +，()()22246=2x x ∴+-+，解得，x=3， GF=DG DF=2+3=5∴+，AEF AGF 11S =S =GF AD=56=1522∴⨯⨯△△，故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确构造辅助线，证三角形全等是解决本题的关键.3．在平面直角坐标系中，长方形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA ＝3，OB ＝4，D 为边OB 的中点，若E 为x 轴上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标（）A ．（一3，0）B ．（3，0）C ．（0，0）D ．（1，0）D解析：D【分析】由于C 、D 是定点，则CD 是定值，如果△CDE 的周长最小，即DE ＋CE 有最小值．为此，作点D 关于x 轴的对称点D′，当点E 在线段CD′上时，△CDE 的周长最小．【详解】如图，作点D 关于x 轴的对称点D′，连接CD′与x 轴交于点E ，连接DE ．若在边OA 上任取点E′与点E 不重合，连接CE′、DE′、D′E′由DE′＋CE′＝D′E′＋CE′＞CD′＝D′E ＋CE ＝DE ＋CE ，∴△CDE 的周长最小．∵OB ＝4，D 为边OB 的中点，∴OD ＝2，∴D （0，2），∵在长方形OACB 中，OA ＝3，OB ＝4，D 为OB 的中点，∴BC ＝3，D′O ＝DO ＝2，D′B ＝6，∵OE ∥BC ，∴Rt △D′OE ∽Rt △D′BC ， ∴OE D O BC D B=''，即：623OE =，即：OE ＝1， ∴点E 的坐标为（1，0）故选：D ．【点睛】此题主要考查轴对称−−最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是：两点之间线段最短． 4．如图，M 是ABC 的边BC 的中点AN 平分BAC ∠．且BN AN ⊥，垂足为N 且6AB =，10BC =．2MN =，则ABC 的周长是（）A ．24B ．25C ．26D ．28C解析：C【分析】延长BN 交AC 于D ，根据等腰三角形的性质得到AD=AB=6，BN=ND ，根据三角形中位线定理得到DC=2MN=4，计算即可．【详解】解：延长BN 交AC 于D ，∵AN 平分∠BAC ，BN ⊥AN ，∴AD=AB=6，BN=ND ，又M 是△ABC 的边BC 的中点，∴DC=2MN=4，∴AC=AD+DC=10，则△ABC 的周长=AB+AC+BC=6+10+10=26，故选C ．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．5．已知平行四边形ABCD 的一边长为5，则对角线AC ，BD 的长可取下列数据中的（）A ．2和4B ．3和4C ．4和5D ．5和6D 解析：D【分析】由三角形三边关系可得三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．【详解】解：由于两条对角线的一半与平行四边形的一边组成一个三角形，所以12（AC-BD ）＜5＜12（AC+BD ），由题中数据可得，AC 和BD 的长可取5和6，故选D ．【点睛】本题考查了平行四边形对角线互相平分及三角形三边关系问题，能够熟练求解此类问题． 6．如图，ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，顺次连接ABCD 各边中点得到一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①AC BD ⊥；②ΔΔABO CBO C C =；③DAO CBO ∠=∠；④DAO BAO ∠=∠，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个C解析：C【分析】根据顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．逐一对四个条件进行判断．【详解】解：顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．①,AC BD ⊥∴新的四边形成为矩形，符合条件； ②四边形ABCD 是平行四边形，,AO OC BO DO ∴==．ΔΔ,ABO CBO C C AB BC =∴=．根据等腰三角形的性质可知,BO AC BD AC ⊥∴⊥．所以新的四边形成为矩形，符合条件； ③四边形ABCD 是平行四边形，CBO ADO ∠∠∴=．,DAO CBO ADO DAO ∠∠∠∠=∴=．AO OD ∴=．,AC BD ∴=∴四边形ABCD 是矩形，连接各边中点得到的新四边形是菱形，不符合条件；④,DAO BAO BO DO ∠∠==，AO BD ∴⊥，即平行四边形ABCD 的对角线互相垂直，∴新四边形是矩形．符合条件．所以①②④符合条件．故选：C ．【点睛】本题考查特殊四边形的判定与性质，掌握矩形、平行四边形的判定与性质是解题的关键． 7．如图，ABE 、BCF 、CDG 、DAH 是四个全等的直角三角形，其中，AE ＝5，AB ＝13，则EG 的长是（）A ．2B ．2C ．7D ．3解析：A【分析】根据勾股定理求出BE ，证明四边形EFGH 为正方形，根据正方形的性质、勾股定理计算，得到答案．【详解】解：在Rt △ABE 中，AE ＝5，AB ＝13，由勾股定理得，BE ＝22AB AE -＝22135-＝12，∵△ABE 、△BCF 、△CDG 、△DAH 是四个全等的直角三角形，∴∠AEB ＝∠BFC ＝∠CGD ＝90°，BF ＝CG ＝DH ＝AE ＝5，∴∠FEB ＝∠EFC ＝∠FGD ＝90°，EF ＝EH ＝12﹣5＝7，∴四边形EFGH 为正方形，∴EG ＝2277+＝72，故选：A ．【点睛】本题考查的是全等三角形的应用，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．8．在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AE 平分BAD ∠交BC 于点E ，15CAE ∠=︒．连接OE ，则下面的结论：①DOC 是等边三角形；②BOE △是等腰三角形；③2BC AB =；④150∠=︒AOE ；⑤AOE COE S S =，其中正确的结论有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个B解析：B【分析】判断出△ABE 是等腰直角三角形，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ACB ＝30°，再判断出△ABO ，△DOC 是等边三角形，可判断①；根据等边三角形的性质求出OB ＝AB ，再求出OB ＝BE ，可判断②，由直角三角形的性质可得BC 3AB ，可判断③，由等腰三角形性质求出∠BOE ＝75°，再根据∠AOE ＝∠AOB ＋∠BOE ＝135°，可判断④；由面积公式可得AOE COE SS =可判断⑤；即可求解．【详解】解：∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE ＝∠DAE ＝45°，∴∠AEB ＝45°，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴AB ＝BE ，∵∠CAE ＝15°，∴∠ACE ＝∠AEB−∠CAE ＝45°−15°＝30°，∴∠BAO ＝90°−30°＝60°，∵矩形ABCD 中：OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∴△ABO 是等边三角形，△COD 是等边三角形，故①正确；∴OB ＝AB ，又∵ AB ＝BE ，∴OB ＝BE ，∴△BOE 是等腰三角形，故②正确；在Rt △ABC 中∵∠ACB=30°∴BC ＝3AB ，故③错误；∵∠OBE ＝∠ABC−∠ABO ＝90°−60°＝30°＝∠ACB ，∴∠BOE ＝12（180°−30°）＝75°， ∴∠AOE ＝∠AOB ＋∠BOE ＝60°＋75°＝135°，故④错误；∵AO ＝CO ，∴AOE COE S S ，故⑤正确；故选：B ．【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．9．如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若△EDF 是等腰三角形，则∠BDC （）A ．45ºB ．60ºC ．67.5ºD ．75ºC解析：C【分析】由翻折可知：△BDF ≌△BCD ，所以∠EBD=∠CBD ，∠E=∠C=90°，由于△EDF 是等腰三角形，易证∠ABF=45°，所以∠CBD=12∠CBE=22.5°，从而可求出∠BDC=67.5°．【详解】解：由翻折的性质得，∠DBC=∠EBD ，∵矩形的对边AD ∥BC ，∠E=∠C=90°，∴∠DBC=∠ADB ，∴∠EBD=∠ADB ，∵△EDF 是等腰三角形，∠E=90°，∴△EDF 是等腰直角三角形，∴∠DFE=45°，∵∠EBD+∠ADB=∠DFE ，∴∠DBF=12∠DFE=22.5°， ∴∠CBD =22.5°，∴∠BDC=67.5°，故选：C ．【点睛】本题考查等腰三角形，涉及矩形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，需要学生灵活运用所学知识．10．如图所示，已知Rt ABC 中，90B ︒∠=，3AB =，4BC =，D F 、分别为AB AC 、的中点，E 是BC 上动点，则DEF 周长的最小值为（）A ．240+B ．213+C ．13D ．6B解析：B【分析】先根据三角形的中位线定理可求得DF 的长为2，然后作出点F 关于BC 的对称点F′，连接DF′交BC 于点E ，此时DEF 周长的最小，由轴对称图形的性质可知EF=EF′，从而可得到ED+EF=DF′，再证明四边形DBMF 为矩形，得出FF′=3，然后在Rt △DFF′中，由勾股定理可求得DF′的长度，从而可求得三角形DEF 周长的最小值．【详解】解：如图，作点F 关于BC 的对称点F′，连接DF′交BC 于点E ．此时DE+EF 最小∵点D 、F 分别是AB 和AC 的中点，BC=4，3AB =，∴DF=12BC=2，DF//BC ，BD=1.5， ∵点F 与点F′关于BC 对称，∴EF=EF′，FF′⊥BC ，FM= F′M ， ∴DE+EF 最小值为DE+ EF′=DF′，90DFF ∠'=︒，∵DF//BC ，90B ∠=︒，∴90B BDF FMB ∠=∠=∠=︒，∴四边形DBMF 为矩形，∴BD=FM=1.5，∴FF′=3，在Rt △DFF′中，2'2222313DF DF FF =+=+='，∴△DEF 周长的最小值=DF+DE+EF=DF+DF′=2+13．故选：B【点睛】本题主要考查的是轴对称路径最短问题，以及勾股定理，矩形的判定，作出点F 关于BC 的对称点，将DE+EF 转化为DF′的长是解题的关键．二、填空题11．点O 是平行四边形ABCD 的对称中心，AD AB >，E 、F 分别是AB 边上的点，且12EF AB =；G 、H 分别是BC 边上的点，且13GH BC =；若1S ，2S 分别表示EOF 和GOH 的面积，则1S ，2S 之间的等量关系是1S =__________2S ．【分析】如图连接OAOBOC 设平行四边形的面积为4S 求出S1S2（用s 表示）即可解决问题【详解】解：如图连接OAOBOC 设平行四边形的面积为4S ∵点O 是平行四边形ABCD 的对称中心∴S △AOB=S △解析：32【分析】如图，连接OA ，OB ，OC ．设平行四边形的面积为4S ．求出S 1，S 2（用s 表示）即可解决问题．【详解】解：如图，连接OA ，OB ，OC ．设平行四边形的面积为4S ．∵点O 是平行四边形ABCD 的对称中心，∴S △AOB =S △BOC =14S 平行四边形ABCD =S ， ∵EF=12AB ，GH=13BC ， ∴S 1=12S ，S 2=13S ， ∴12132123S S S S ==， ∴1232S S =；故答案为：32．【点睛】本题考查中心对称，平行四边形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．12．一个三角形的三边长分别为 6，8，10，则这个三角形最长边上的中线为_____．5【分析】根据勾股定理逆定理判断出三角形是直角三角形然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可【详解】解：∵62+82＝100＝102∴该三角形是直角三角形∴×10＝5故答案为：5【点睛】解析：5【分析】根据勾股定理逆定理判断出三角形是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．【详解】解：∵62+82＝100＝102，∴该三角形是直角三角形， ∴12×10＝5．故答案为：5【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的逆定理，判断出直角三角形是解题的关键．13．如图，Rt ABC △中，90,5∠=︒=B AB ，D 为AC 的中点， 6.5=BD ，则BC 的长为__________．12【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出再根据勾股定理求解即可【详解】解：∵D 为的中点∴∴故答案是：12【点睛】考查了勾股定理和直角三角形斜边上的中线熟悉相关性质是解题的关键解析：12．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出AC ，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵90B ∠=︒，D 为AC 的中点， 6.5=BD∴22 6.513AC BD ==⨯=， ∴222212135BC AC AB ===--，故答案是：12．【点睛】考查了勾股定理和直角三角形斜边上的中线，熟悉相关性质是解题的关键．14．如图，在矩形ABCD 中，连接AC ，按以下步骤作图：分别以点A ，C 为圆心，以大于12AC 的长为半径作弧，两弧分别相交于点M ，N ，作直线MN 交BC 于点E ，连接AE ．若AB ＝1，BC ＝2，则BE ＝_____．【分析】根据作图过程可得MN 是AC 的垂直平分线可得EA=EC 再根据矩形性质和勾股定理即可得到结论【详解】解：在矩形ABCD 中∠B=90°根据作图过程可知：MN 是AC 的垂直平分线∴EA=EC ∴EA=C解析：34【分析】根据作图过程可得MN 是AC 的垂直平分线，可得EA=EC ，再根据矩形性质和勾股定理即可得到结论．【详解】解：在矩形ABCD 中，∠B=90°，根据作图过程可知：MN 是AC 的垂直平分线，∴EA=EC ，∴EA=CE=BC-BE=2-BE ，在Rt △ABE 中，根据勾股定理，得222EA AB BE =+，∴22221BE BE -=+（），解得BE=34，故答案为34．【点睛】本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，矩形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．15．如图，在菱形ABCD 中，6AC =，5AB =，点E 是直线AB ，CD 之间任意一点，连接AE ，BE ，DE ，CE ，则EAB 和ECD 的面积之和是______．12【分析】连接BD 根据菱形对角线的性质利用勾股定理计算BD 的长根据两平行线的距离相等所以△EAB 和△ECD 的面积和等于菱形ABCD 面积的一半再利用菱形面积等于对角线积的一半计算可得结论【详解】如图解析：12【分析】连接BD ，根据菱形对角线的性质，利用勾股定理计算BD 的长，根据两平行线的距离相等，所以△EAB 和△ECD 的面积和等于菱形ABCD 面积的一半，再利用菱形面积等于对角线积的一半计算可得结论．【详解】如图，连接BD 交AC 于O ，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=12AC=12×6=3，∵AB＝5，由勾股定理得：OB=224AB OA-=，∴BD=2OB=8，∵AB∥CD，∴△EAB和△ECD的高的和等于点C到直线AB的距离，∴△EAB和△ECD的面积和=12×ABCDS菱形＝12×12×AC×BD=168=124⨯⨯．故答案为：12．【点睛】本题考查菱形的性质，三角形的面积，平行线的性质，熟知平行线的距离相等，得△EAB 和△ECD的高的和等于点C到直线AB的距离是解题的关键．16．如图，EF过ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若ABCD的周长为19， 2.5OE=，则四边形EFCD的周长为_____．145【分析】根据平行四边形的性质易证三角形全等进而易得AE=CF故四边形的周长=AD+CD+EF根据已知求解即可【详解】解：在平行四边形ABCD中AD∥BCAC与BD互相平分∴AO=OC∠DAC=解析：14.5【分析】根据平行四边形的性质易证三角形全等，进而易得AE=CF，故四边形EFCD的周长=AD+CD+EF，根据已知求解即可．【详解】解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD互相平分∴AO=OC，∠DAC=∠ACB，∠AOE=∠COF∴△AOE≌△COF∴AE=CF，OF=OE=2.5∴四边形EFCD的周长=CF+DE+CD+EF =AE+DE+CD+EF=AD+CD+EF=192.5 2+×2=14.5．故答案为：14.5．【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及三角形全等的证明，将所求线段转化为已知线段是解题的关键．17．在平面直角坐标系xOy中，OABC的三个顶点的坐标分别为()()()0,0,3,0,4,3O A B，则其第四个顶点C的坐标为______．【分析】由题意得出OA=3由平行四边形的性质得出BC∥OABC=OA=3即可得出结果【详解】解：∵O（00）A（30）∴OA=3∵四边形OABC是平行四边形∴BC∥OABC=OA=3∵B （43）∴点解析：()1,3【分析】由题意得出OA=3，由平行四边形的性质得出BC∥OA，BC=OA=3，即可得出结果．【详解】解：∵O（0，0）、A（3，0），∴OA=3，∵四边形OABC是平行四边形，∴BC∥OA，BC=OA=3，∵B（4，3），∴点C的坐标为（4-3，3），即C（1，3）；故答案为：（1，3）．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质；熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．18．菱形有一个内角为120︒，较长的对角线长为，则它的面积为__________．【分析】由题意画出菱形根据菱形的对角线性质得继而解出由含30°角的直角三角形性质解得在中利用勾股定理解得进一步得到最后由菱形的面积公式解题即可【详解】解：如图菱形中在中设则解得菱形的面积故答案为：【解析：【分析】由题意画出菱形ABCD ，根据菱形的对角线性质得160,2BAC BAD AC BD ∠=∠=︒⊥，继而解出30ABO ∠=︒，由含30°角的直角三角形性质解得33BO =，在Rt ABO 中，利用勾股定理解得3AO =，进一步得到6AC =，最后由菱形的面积公式解题即可．【详解】解：如图，菱形ABCD 中，120BAD ∠=︒，160,2BAC BAD AC BD ∴∠=∠=︒⊥ 30ABO ∴∠=︒63BD =33BO ∴=在Rt ABO 中，设AO x =，则2AB x =，222(33)(2)x x ∴+=22274x x +=解得3x =3AO ∴=6AC ∴=∴菱形的面积6362183S =÷=故答案为：183【点睛】本题考查菱形的性质、菱形的面积、含30°角的直角三角形、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．19．如图，矩形ABCD 全等于矩形BEFG ，点C 在BG 上，连接DF ，点H 为DF 的中点，若20AB =，12BC =，则CH 的长为__________．【分析】连接并延长交于Q 由矩形的性质得出由平行线的性质得出由证得得出则是等腰直角三角形得出由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果【详解】如图所示：连接并延长交于Q ∵矩形全等于矩形∴∴∵点H 为的中点解析：42 【分析】连接GH 并延长GH 交CD 于Q ，由矩形的性质得出20AB CD BG ===，12BC FG ==，////,90FG AE CD GCQ ∠=，由平行线的性质得出HFG HDQ ∠=∠，由ASA 证得HFG HDQ ≌，得出12DQ FG ==，HG HQ =，8CG BG BC =-=，8CQ CD DQ =-=，则GCQ 是等腰直角三角形，得出282GQ CQ ==，由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．【详解】如图所示：连接GH 并延长GH 交CD 于Q ，∵矩形ABCD 全等于矩形BEFG ，∴20AB CD BG ===，12BC FG ==，////FG AE CD ，90GCQ ∠=， ∴HFG HDQ ∠=∠，∵点H 为DF 的中点，∴HF HD =，在HFG 和HDQ 中，HFG HDQ HF HD GHF QHD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()HFG HDQ ASA ≌，∴12DQ FG ==，HG HQ =，20128CG BG BC =-=-=，20128CQ CD DQ =-=-=，∴GCQ 是等腰直角三角形， ∴282GQ CQ ==，在Rt GCQ 中，HG HQ =，∴11824222CH GQ ==⨯=，故答案为：42．【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质，通过作辅助线构建全等三角形是解题的关键．20．如图，正方形ABCD 的顶点B 在直线l 上，作AE l ⊥于E ，连结CE ，若4BE =，3AE =，则BCE 的面积________．8【分析】过C 作于点F 根据正方形的性质找出对应相等的边和角求证出得到即可求三角形的面积【详解】如图所示过C 作于点F 四边形ABCD 是正方形又又在和中故答案为8【点睛】此题考查了正方形的性质和三角形全等解析：8【分析】过C 作CF l ⊥于点F ，根据正方形的性质找出对应相等的边和角，求证出ABE BCF ≅得到 4CF BE ==即可求三角形的面积．【详解】如图所示，过C 作CF l ⊥于点F ，四边形ABCD 是正方形，AB BC ∴=，90ABC ∠=︒，又AE BE ⊥，CF BF ⊥，90AEB BFC ∴∠=∠=︒，又18090ABE CBF ABC ∠+∠=︒-∠=︒，18090ABE BAE AEB ∠+∠=︒-∠=︒，CBF BAE ∴∠=∠，∴在ABE △和BCF △中， AEB BFC BAE CBF AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS ABE BCF ∴≅，4CF BE ∴==， 12BCE S BE CF ∴=⨯⨯1442=⨯⨯8=，故答案为8．【点睛】此题考查了正方形的性质和三角形全等的判定，以及三角形面积的公式，难度一般．三、解答题21．如图所示，小明在测量旗杆AB 的高度时发现，国旗的升降绳自然下垂到地面时，还剩余0.3米，小明走到距离国旗底部6米的C 处，把绳子拉直，绳子末端恰好位于他的头顶D 处，假设小明的身高为1.5米，求旗杆AB 的高度是多少米？解析：旗杆AB 的高度为10.6米【分析】过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，可证四边形BCDE 为长方形，可知 1.5BE CD ==米，设旗杆高度为x 米，则绳子长度为(0.3)AD x =+米，( 1.5)AE x =-米，在Rt ADE △中，由勾股定理，得222AE DE AD +=，222( 1.5)6(0.3)x x -+=+，解方程即可．【详解】解：过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，∵AB ⊥BC ，CD ⊥BC∴∠EBC=∠BCD=∠BED=90°，∴四边形BCDE 为长方形，∴ 1.5BE CD ==米，设旗杆高度为x 米，则绳子长度为(0.3)AD x =+米，( 1.5)AE AB BE x =-=-米，在Rt ADE △中，由勾股定理，得222AE DE AD +=，∴222( 1.5)6(0.3)x x -+=+，整理得223 2.25360.60.09x x x x -++=++，即3.638.16x =，解得10.6x =．答：旗杆AB 的高度为10.6米．【点睛】本题考查勾股定理，矩形的判定与性质，一元一次方程的解法，掌握勾股定理，矩形的判定与性质，一元一次方程的解法，利用勾股定理结合旗杆与绳长的关系构造方程是解题关键．22．如图，在四边形ABCD 中//AD BC ，5cm AD =，9cm BC =，M 是CD 的中点，P 是BC 边上的一动点（P 与B ，C 不重合），连接PM 并延长交AD 的延长线于Q ．（1）试说明不管点P 在何位置，四边形PCQD 始终是平行四边形．（2）当点P 在点B ，C 之间运动到什么位置时，四边形ABPQ 是平行四边形？并说明理由．解析：（1）见解析；（2）PC=2时【分析】（1）由“ASA”可证△PCM ≌△QDM ，可得DQ=PC ，即可得结论；（2）得出P 在B 、C 之间运动的位置，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论．【详解】解：（1）∵AD ∥BC ，∴∠QDM=∠PCM ，∵M 是CD 的中点，∴DM=CM ，∵∠DMQ=∠CMP ，DM=CM ，∠QDM=∠PCM ，∴△PCM ≌△QDM （ASA ）．∴DQ=PC ，∵AD ∥BC ，∴四边形PCQD 是平行四边形，∴不管点P 在何位置，四边形PCQD 始终是平行四边形；（2）当四边形ABPQ 是平行四边形时，PB=AQ ，∵BC-CP=AD+QD ，∴9-CP=5+CP ，∴CP=（9-5）÷2=2．∴当PC=2时，四边形ABPQ 是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质和判定方法是解题的关键．23．如图，在ABC 中，AB AC =，10BC =．（1）尺规作图：（要求：保留作图痕迹，不写作法）①作BAC ∠的平分线交BC 于点D ；②作边AC 的中点E ，连接DE ；（2）在（1）所作的图中，若12AD =，则DE 的长为__________．解析：（1）①见解析；②见解析；（2）6.5【分析】（1）①以A 为圆心，小于AB 的长度为半径画圆，交AB 、AC 于两个点，再分别以这两个点为圆心，一样的半径画弧，交于一点，连接这个点与点A ，即可得到BAC ∠的平分线，再画出它与BC 的交点D ；②作线段AC 的垂直平分线，即可找到线段AC 的中点E ，连接DE ；（2）由等腰三角形“三线合一”的性质得152BD BC ==，AD BC ⊥，用勾股定理求出AB 的长，再根据中位线的性质得到DE 的长．【详解】解：（1）①如图所示：②如图所示：（2）∵AB AC =，AD 平分BAC ∠， ∴152BD BC ==，AD BC ⊥，在Rt ABD △中，2213AB AD BD =+=， ∵E 、D 分别是AC 和BC 的中点，∴1 6.52DE AB ==，故答案是：6.5．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，中位线的定理，以及角平分线和垂直平分线的作法，解题的关键是熟练掌握这些几何的性质定理以及作图方法．24．如图，将长方形ABCD 沿着对角线BD 折叠，使点C 落在C '处，BC '交AD 于点E ．（1）试判断BDE 的形状，并说明理由．（2）若4AB =，8AD =，求AE 的长．参考答案解析：（1）BDE 是等腰三角形，证明见解析；（2）3AE =．【分析】（1）根据折叠的性质可知EBD DBC ∠=∠，又因为//AD BC ，可知ADB DBC ∠=∠，即推出ADB EBD ∠=∠，所以BE DE =，BDE 为等腰三角形．（2）设AE x =，则8BE DE x ==-，在Rt ABE △中根据勾股定理列出等式，解出x 即可．【详解】（1）BDE 是等腰三角形，理由是：由折叠得：EBD DBC ∠=∠，∵四边形ABCD 是矩形，∴//AD BC ，∴ADB DBC ∠=∠，∴ADB EBD ∠=∠，∴BE DE =，∴BDE 是等腰三角形．（2）设AE x =，则8BE DE x ==-， ∵四边形ABCD 是矩形，∴90A ∠=︒，∴在Rt ABE △中，222AB AE BE +=，即2224(8)x x +=-，解得：3x =，∴3AE =．【点睛】本题考查翻折的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定以及勾股定理．根据翻折的性质间接证明出BE DE =是解答本题的关键．25．如图，已知点D 在ABC 的BC 边上，//DE AC 交AB 于E ，//DF AB 交AC 于F ．（1）求证：AE DF =；（2）若AD 平分BAC ∠，试判断四边形AEDF 的形状，并说明理由．解析：（1）见解析；（2）菱形，见解析【分析】（1）由DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ，可证得四边形AEDF 是平行四边形，即可证得结论；（2）由AD 平分∠BAC ，DE ∥AC ，易证得△ADE 是等腰三角形，又由四边形AEDF 是平行四边形，即可证得四边形AEDF 是菱形．【详解】（1）证明：∵DE ∥AC ，DF ∥ AB ，∴四边形AEDF 是平行四边形，∴DE=AF ；（2）若AD 平分∠BAC ，则四边形AEDF 是菱形；理由：∵AD 平分∠BAC ，∴∠EAD=∠FAD ，∵DE ∥AC ，∴∠ADE=∠FAD ，∴∠EAD=∠ADE ，∴AE=DE ，∵四边形AEDF 是平行四边形，∴四边形AEDF 是菱形．【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质，菱形的判定与性质．注意熟练掌握菱形的判定方法是解此题的关键．26．如图，在四边形ABCD 中，,E F 分别是,AD BC 的中点，,G H 分别是对角线,BD AC 的中点，依次连接,,,E G F H 连接,EF GH ．（1）求证：四边形EGFH 是平行四边形；（2）当AB CD =时，EF 与GH 有怎样的位置关系？请说明理由；（3）若,20,70AB CD ABD BDC =∠=︒∠=︒，则GEF ∠= ︒．解析：（1）见解析；（2）GH EF ⊥，见解析；（3）25︒【分析】（1）利用中位线性质得//EG AB ，且12GE AB =，//HF AB ，且12HF AB =，可推出//EG HF ，且EG HF =，可证四边形EGFH 是平行四边形；（2由G F 、分别是BD BC 、的中点，可得12GF CD =，由（1）知12GE AB =，由AB CD =，可证GE GF =，由（1）知四边形EGFH 是平行四边形，可证四边形EGFH 是菱形即可；（3）先证四边形EGFH 是平行四边形；再证四边形EGFH 是菱形，由EG ∥AB ，GF ∥CD ，可求∠EGD=∠ABD=20°，∠BGF=∠BDC=70°利用平角可求∠DGF=180°-∠BGF=110°，利用两角和求∠EGF=130°利用菱形性质求∠GEH=180°-∠EGF=50º，由FE 平分∠GEH ，∠GEF=25︒即可．【详解】证明：（1）E G 、分别是AD BD 、的中点，//EG AB ∴，且12GE AB =，同理可证：//HF AB ，且12HF AB =， //EG HF ∴，且EG HF =，∴四边形EGFH 是平行四边形；（2）GH EF ⊥，理由：G F 、分别是BD BC 、的中点，12GF CD ∴=，由（1）知12GE AB =，又AB CD =，GE GF ∴=，又四边形EGFH 是平行四边形，∴四边形EGFH 是菱形，GH EF ∴⊥；（3）E G 、分别是AD BD 、的中点，F H 、分别是BC AC 、的中点，//EG AB ∴，//HF AB ，12GE AB =， //EG HF ∴，同理可证//EH GF ，12GF CD =， ∴四边形EGFH 是平行四边形，∵AB CD =，GE GF ∴=，∴四边形EGFH 是菱形，20,70ABD BDC ∠=︒∠=︒，EG ∥AB ，GF ∥CD ，∴∠EGD=∠ABD=20°，∠BGF=∠BDC=70°，∴∠DGF=180°-∠BGF=110°，∴∠EGF=∠EGD+∠DGF=20°+110°=130°，∴∠GEH=180°-∠EGF=50º，∵FE 平分∠GEH ，∴∠GEF=11502522GEH ∠=⨯︒=︒．故答案为：25︒．【点睛】本题考查平行四边形，菱形判断与性质，求菱形内角，掌握平行四边形的判定方法，菱形的判定与性质，会利用菱形的性质求角度是解题关键．27．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，点M ，N 分别为OA 、OC 的中点，延长BM 至点E ，使EM BM =，连接DE ．（1）求证：AMB CND △≌△；（2）若2BD AB =，且3AM =，4DN =，求四边形DEMN 的面积．解析：（1）见解析；（2）24【分析】（1）依据平行四边形的性质，即可得到△AMB ≌△CND ；（2）依据全等三角形的性质，即可得出四边形DEMN 是平行四边形，再根据等腰三角形的性质，即可得到∠EMN 是直角，进而得到四边形DEMN 是矩形，即可得出四边形DEMN 的面积．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD =，//AB CD ，OA OC =，∴BAC DCA ∠=∠，又点M ，N 分别为OA 、OC 的中点，∴1122===AM AO CO CN ，在AMB 和CND △中， AB CD BAC DCA AM CN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AMB ≌△CND(SAS)（2）∵△AMB ≌△CND ，∴BM=DN ，∠ABM=∠CDN ，又∵BM=EM ，∴DN=EM ，∵AB ∥CD ，∴∠ABO=∠CDO ，∴∠MBO=∠NDO ，∴ME ∥DN ，∴四边形DEMN 是平行四边形，∵BD=2AB ，BD=2BO ，∴AB=OB ，又∵M 是AO 的中点，∴BM ⊥AO ，∴∠EMN=90°，∴四边形DEMN 是矩形，∵AM=3，DN=4，∴AM=MO=3，DN=BM=4，∴MN=6，∴矩形DEMN 的面积=6×4=24．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及矩形的判定和性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．28．如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，中线BD ，CE 相交于点O ，点F ，G 分别为OB ，OC 的中点．（1）求证：//EF DG ，EF DG =；（2）若3AB =，4AC =，求四边形EFGD 的面积．解析：（1）见解析；（2）2【分析】（1）利用中位线性质可得12ED BC =，//ED BC ．12FG BC =，//FG BC ．可证四边形EFGD 是平行四边形．由平行四边形性质可得EF DG =，//EF DG ．（2）由EFGD 和OG GC =，可推得EO OG CG ==．求13462ABC S =⨯⨯=△由点D 是AC 中点，1322DEC AEC S S ==△△．由三等分可求2231332DEG DEC S S ==⨯=△△．根据平行四边形性质可得四边形DEFG 的面积22DEG S ==△．【详解】（1）证明：∵点E ，D 分别是AB ，AC 的中点， ∴12ED BC =，//ED BC ． ∵点F ，G 分别是OB ，OC 的中点， ∴12FG BC =，//FG BC ． ∴FG ED =，//FG ED ．∴四边形EFGD 是平行四边形．∴EF DG =，//EF DG ；（2）解：∵EFGD ，∴EO OG =．又∵OG GC =，∴EO OG CG ==． ∵3AB =，4AC =， ∵13462ABC S =⨯⨯=△， ∵点D 是AC 中点， ∴1322DEC AEC S S ==△△． ∴2231332DEG DEC S S ==⨯=△△． ∴四边形DEFG 的面积22DEG S ==△．【点睛】本题考查中位线性质，平行四边形的判定与性质，中线的性质，掌握中位线性质，平行四边形的判定与性质，中线的性质，注意中线与中位线的区别以及它们性质是解题关键．。