6 利用三角函数测高
九下第一章直角三角形的边角关系6利用三角函数测高作业新版北师大版
解：在Rt△AOC中，∵∠AOC＝90°，∠ACO＝30°，AC＝8 km，∴AO＝ AC＝ ×8＝4(km)．
10. 【2023·长沙】2023年5月30日9时31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8 km，仰角为30°；10 s后飞 船到达B处，此时测得仰角为45°. (2)求飞船从A处到B处的平均速度．(结果精确到0.1 km/s，参考数据： ≈1.73)
课题
测量“永泰寺塔”
成员
组长：×××；组员：×××，×××，×××
工具
测倾器、皮尺等
设计方案
方案一
说明：线段AB表示“永泰寺塔”，线段CD表示测倾器，CD的高度为1.2 m，点E在AB上，点A，B，C，D，E在同一平面内，需要测量的数据有BC的长度，∠ADE的度数
设计方案
方案二
说明：线段AB表示“永泰寺塔”，线段CD，FG表示测倾器，CD，FG的高度为1.2 m，点E在AB上，点A，B，C，D，E，F，G在同一平面内，需要测量的数据有CF的长度，∠ADE，∠AGE的度数
10. 【2023·长沙】2023年5月30日9时31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8 km，仰角为30°；10 s后飞 船到达B处，此时测得仰角为45°. (1)求点A离地面的高度AO；
实施方案
方案二 的测量 数据
∠ADE的平均值
利用三角函数测高
3. 如图所示，某数学活动小组要测量山坡上的电线杆PQ 的高度．他们采取的方法是：先在地面上的点A处测 得电线杆顶端点P的仰角是45°，再向前走到B点，测 得电线杆顶端点P和电线杆底端点Q的仰角分别是60° 和30°，这时只需要测出AB的长度就能通过计算求出 电线杆PQ的高度．若测出AB的长度为1 m， 3＋ 3 则电线杆PQ的高度是___6____m_.
解：若选择条件①，由题意得CCDE＝BACB，∴11..28＝A9B， 解得 AB＝13.5 m，∴旗杆 AB 的高度为 13.5 m. 若选择条件②，如图，过点 D 作 DF⊥AB，垂足为 F， 则易得四边形 BCDF 是矩形，∴BF＝CD＝1.8 m，DF＝BC＝9 m， 在 Rt△ADF 中，∠ADF＝52.46°， ∴AF＝DF·tan 52.46°≈9×1.30＝11.7(m)， ∴AB＝AF＋BF≈11.7＋1.8＝13.5(m)， ∴旗杆 AB 的高度约为 13.5 m.
(参考数据：sin 67.38°≈1123，cos 67.38°≈153，tABC 中，
∵∠ABC＝90°，∠ACB＝67.38°，∴BC＝tan∠ABACB≈1x2＝152x(米)， 5
∴BD＝BC＋CD≈152x＋11米．由题意得 AD∥EF， 则∠FED＝∠ADB，∴tan∠FED＝tan∠ADB，即DDEF＝BADB， ∴21..48≈152x＋x 11，解得 x≈12，经检验，符合题意．
变式3 [2024西安高新一中模拟]如图，小明想测量 城墙AB的高度，他在围栏点C处测量城墙顶 点A的仰角为67.38°，在阳光的照射下，他 发现城墙上点A的影子落在了他身后11米的 点D处，于是他站在D点发现他的影子落在 地上的点E处，测量得ED长为2.4米，小明身 高为1.8米，E，D，C，B在一条直线上，且 FD⊥ED，AB⊥BE，请你根据以上数据帮助 小明算出城墙AB的高．
北师大版数学九年级下册《6 利用三角函数测高》教案
北师大版数学九年级下册《6 利用三角函数测高》教案一. 教材分析北师大版数学九年级下册《6 利用三角函数测高》这一节主要让学生了解利用三角函数测量物体高度的方法，理解三角函数在实际生活中的应用。
通过这一节的学习，学生能够掌握用三角板和皮尺测量物体高度的基本方法，培养学生的实际操作能力和解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角函数的基本知识，对三角板和皮尺等测量工具也有一定的了解。
但是，学生可能对如何将理论运用到实际问题中还有一定的困难，因此，在教学过程中，教师需要引导学生将所学的知识与实际问题相结合，提高学生的实践能力。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握利用三角函数测量物体高度的基本方法。
2.过程与方法：通过实际操作，培养学生解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队协作精神。
四. 教学重难点1.重点：让学生掌握利用三角函数测量物体高度的方法。
2.难点：如何将所学的三角函数知识运用到实际问题中。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
通过实际案例引导学生思考，激发学生的学习兴趣；以小组合作的形式，让学生在实际操作中解决问题，培养学生的实践能力。
六. 教学准备1.准备三角板、皮尺等测量工具。
2.准备相关案例材料。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个生活中的实例引入课题，如：如何测量旗杆的高度。
让学生思考如何解决这个问题，引发学生对利用三角函数测高的兴趣。
2.呈现（10分钟）呈现旗杆高度测量案例，引导学生分析问题，提出解决方案。
让学生尝试用所学的三角函数知识解决问题，教师给予指导。
3.操练（10分钟）学生分组进行实际操作，用三角板和皮尺测量旗杆的高度。
教师巡回指导，纠正学生在操作过程中可能出现的问题。
4.巩固（10分钟）让学生总结在测量过程中所用的方法和技巧，教师点评并总结。
让学生复述所学的知识点，加深对利用三角函数测高的理解。
6 利用三角函数测高
6 利用三角函数测高知识点 1 测量底部可以到达的物体的高度1.[2020·达州]如图1-6-1,小明为测量校园里一棵大树AB的高度,在树底部B所在的水平面内,将测角仪CD竖直放在与B相距8 m的位置,在D处测得树顶A的仰角为52°.若测角仪的高度是 1 m,则大树AB的高度约为.(结果精确到 1 m,参考数据:sin52°≈0.79,cos52°≈0.62,tan52°≈1.28)图1-6-12.[2019·丹东]如图1-6-2,在某街道的路边有相距10 m、高度相同的两盏路灯(灯杆垂直地面),小明为了测量路灯的高度,在地面A处测得路灯PQ顶端的仰角为14°,向前行走25 m 到达B处,此时测得路灯MN顶端的仰角为24.3°,已知点A,B,Q,N在同一条直线上,请你利用所学知识帮助小明求出路灯的高度.(结果精确到0.1 m,参考数据:sin14°≈0.24,cos14°≈0.97,tan14°≈0.25,sin24.3°≈0.41,cos24.3°≈0.91,tan24.3°≈0.45)图1-6-2知识点 2 测量底部不能到达的物体的高度3.当地时间2019年4月15日下午,法国巴黎圣母院发生火灾,大火烧毁了巴黎圣母院后塔的塔顶.在此之前,某小组为测量此塔塔顶B 的高度,在地面选取了与塔底D 共线的两点A ,C ,点A ,C 在点D 的同侧,在A 处测得塔顶B 的仰角为27°,在C 处测得塔顶B 的仰角为45°,点A到点C 的距离是89.5 m(如图1-6-3).设BD 的高为x m,则下列关系式正确的是( )图1-6-3A .tan27°=xx+89.5 B .cos27°=xx+89.5 C .sin27°=x x+89.5 D .tan27°=x+89.5x4.如图1-6-4,大楼AB 底部右侧有一障碍物,在障碍物的旁边有一栋小楼DE ,在小楼的顶端D 处测得障碍物边缘点C 的俯角为30°,测得大楼顶端点A 的仰角为45°(点B ,C ,E 在同一水平直线上).已知AB=40 m,DE=10 m,则障碍物B ,C 两点间的距离为 m .(结果保留根号)图1-6-45.如图1-6-5,某小区1号楼与11号楼隔河相望,李明家住在1号楼,他很想知道11号楼的高度,于是他做了一些测量,他先在1号楼的底部点B 处测得11号楼的顶部点C 的仰角为60°,然后到42 m 高的楼顶A 处,测得点C 的仰角为30°,请你帮助李明计算11号楼的高度CD.图1-6-56.如图1-6-6,学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度,他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°,然后在坡顶D处测得树顶B的仰角为30°,已知斜坡CD的长度为20 m,DE 的高为10 m,则树AB的高度为()图1-6-6A.20√3 mB.30 mC.30√3 mD.40 m7.如图1-6-7,A,B,C表示修建在一座山上的三个缆车站的位置,线段AB,BC表示连接缆车站的钢缆.已知A,B,C所处位置的海拔AA1,BB1,CC1分别为130米,400米,1000米.由点A测得点B的仰角为30°,由点B测得点C的仰角为45°,那么AB和BC的总长度是 ()图1-6-7A.(1200+270√2)米B.(800+270√2)米C.(540+600√2)米D.(800+600√2)米8.如图1-6-8,某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度.该楼底层为车库,高2.5 m;上面五层居住,每层高度相等.测角仪支架离地1.5 m,在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°,在B处测得四楼顶部点E的仰角为30°,AB=14 m.求居民楼的高度.(结果精确到0.1 m,参考数据:√3≈1.73)图1-6-89.[2019·山西] 某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动.他们制订了测量方案,并利用课余时间完成了实地测量.他们在该旗杆底部所在的平地上选取两个不同测点,分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差,小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时,都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果,测量数据如下表(不完整): 课题 测量旗杆的高度成员 组长:××× 组员:×××,×××,×××测量工具测量角度的仪器,皮尺等测量示意图说明:线段GH 表示学校旗杆,测量角度的仪器的高度AC=BD=1.5 m,测点A ,B 与H 在同一条水平直线上,A ,B 之间的距离可以直接测得,且点G ,H ,A ,B ,C ,D 都在同一竖直平面内,点C ,D ,E 在同一条直线上,点E 在GH 上测量 数据测量项目第一次 第二次 平均值 ∠GCE 的度数 25.6° 25.8° 25.7° ∠GDE 的度数31.2° 30.8° 31° A ,B 之间的距离5.4 m5.6 m……任务一:两次测量A ,B 之间的距离的平均值是 m;任务二:根据以上测量结果,请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆GH 的高度; (参考数据:sin25.7°≈0.43,cos25.7°≈0.90,tan25.7°≈0.48,sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60)任务三:该“综合与实践”小组在制订方案时,讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案,但未被采纳.你认为其原因可能是什么?(写出一条即可)教师详解详析6 利用三角函数测高1.11 m [解析] 如图,过点D 作DE ⊥AB ,垂足为E.由题意得,BC=DE=8 m,∠ADE=52°,BE=CD=1 m .在Rt △ADE 中,AE=DE ·tan ∠ADE=8×tan52°≈10.24(m),∴AB=AE+BE ≈10.24+1≈11(m).故答案为11 m .2.解:设PQ=MN=x m .在Rt △APQ 中,tan A=PQAQ ,则AQ=PQ tanA ≈x0.25=4x (m). 在Rt △MBN 中,tan ∠MBN=MN BN,则BN=MNtan∠MBN≈x 0.45=209x (m). ∵AQ+QN=AB+BN ,∴4x+10=25+209x ,解得x ≈8.4.故路灯的高度约为8.4 m . 3.A4.(30-10√3)5.解:如图,过点A 作AE ⊥CD 于点E ,则四边形ABDE 为矩形,∴AE=BD ,AB=DE.∵CD=BD ·tan60°=√3BD ,CE=AE ·tan30°=BD ·tan30°=√33BD , ∴AB=DE=CD -CE=2√33BD=42 m,∴BD=21√3 m,∴CD=√3BD=63 m .故11号楼的高度CD 为63 m .6.B [解析] 过点D 作DF ⊥AB 于点F ,交BC 于点G.在Rt △CDE 中,∵CD=20 m,DE=10 m,∴sin ∠DCE=1020=12, ∴∠DCE=30°.又∵∠ACB=60°,∴∠DCB=90°.∵DF ∥AE ,∴∠BGF=∠BCA=60°. ∵∠BDF=30°,∴∠DBC=30°, ∴BC=CD tan30°=√33=20√3(m),∴AB=BC ·sin60°=20√3×√32=30(m).7.C [解析] 如图,过点B 作BB 2⊥CC 1于点B 2,过点A 作AA 2⊥CC 1于点A 2,交BB 1于点D.由题意得,BD=400-130=270(米),CB 2=1000-400=600(米).在Rt △ABD 中,AB=BD sin∠BAD=540(米), 在Rt △BCB 2中,BC=CB 2sin∠CBB 2=600√2(米),∴AB+BC=(540+600√2)米.故选C .8.解:设每层居民楼的高度为x m .由题意,得MC'=MC-CC'=2.5-1.5=1(m),∴DC'=(5x+1)m,EC'=(4x+1)m .在Rt △DC'A'中,∠DA'C'=60°,∴C'A'=DC 'tan60°=√33(5x+1)m .在Rt △EC'B'中,∠EB'C'=30°,∴C'B'=EC 'tan30°=√3(4x+1)m . ∵A'B'=C'B'-C'A'=AB=14 m, ∴√3(4x+1)-√33(5x+1)=14,解得x=2√3-27,∴CD=DM+MC=5×2√3-27+2.5≈18.4(m),故居民楼的高度约为18.4 m . 9.解:任务一:12×(5.4+5.6)=5.5(m).故答案为5.5. 任务二:设EG=x m .在Rt △DEG 中,∠DEG=90°,∠GDE=31°,∵tan31°=EG DE ,∴DE=xtan31°.在Rt △CEG 中,∠CEG=90°,∠GCE=25.7°,∵tan25.7°=EG CE ,∴CE=xtan25.7°. ∵CD=CE -DE ,∴xtan25.7°-xtan31°=5.5,解得x ≈13.2,∴GH=EG+EH ≈13.2+1.5=14.7(m).故学校旗杆GH 的高度约为14.7 m .任务三:没有太阳光,或旗杆底部不可到达,测量旗杆影子的长度遇到困难等.(答案不唯一,合理即可)。
1.6 利用三角函数测高(教案)-北师大版数九年级下册
第6节利用三角函数测高1.经历设计活动方案、自制仪器或运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告的过程.2.能够对得到的数据进行分析,能够对仪器进行调整和对测量的结果进行矫正,进而得出所要求的结果.3.能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题.让学生经历设计活动方案、自制仪器的过程,通过综合运用直角三角形边角关系的知识,利用数形结合思想解决实际问题,提高学生解决实际问题的能力.通过积极参与数学活动过程,培养学生不怕困难的品质,发展合作意识和科学精神.【重点】综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题.【难点】设计活动方案、运用仪器的过程及学生学习品质的培养.【教师准备】测倾器、皮尺等测量工具;多媒体课件.【学生准备】复习三角函数的概念和解直角三角形的相关知识.导入一:一天课外活动课,数学兴趣小组的同学想去操场上测量学校旗杆的高度(如图所示).以下是两位同学设计的测量方案:方案1:用皮尺和标杆能测出旗杆的高度.方案2:用皮尺和小平面镜能测出旗杆的高度.【问题】你认为这两位同学提出的方案可行吗?如果是阴天没有太阳光怎么办?[设计意图]通过生活中的实际问题引入课题,使学生认识到数学源于生活,增加学生学习数学的兴趣,并让学生带着问题走进今天的学习.导入二:如图所示展示的是山东省青岛市电视塔夜晚的美丽景色,青岛电视塔坐落于市中心榉林公园内116m高的太平山上.由上海同济大学马人乐先生设计.由于其创意新、选点好、功能布局合理、色调协调及综合规模宏大等,1995年被国务院发展研究中心选入《中华之最大荣誉》,认为是“中国第一钢塔”.某数学兴趣小组的同学想测量该电视塔的高度.【问题】测量电视塔的高度和测量旗杆的高度的方法一样吗?两者有什么区别?[设计意图]通过青岛市电视塔的介绍,既让学生增长了课外知识,又引出了新的疑问——测量方法的区别,激发了学生的学习兴趣,为新知的探究奠定了良好的基础.课件出示:(一)测倾器的认识:如图所示的是一个测倾器的外观图,它是测量倾斜角的仪器.简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成.【教师活动】制作测倾器时应注意什么?【学生活动】学生观察、交流后得出:支杆的中心线、铅垂线、0°刻度线要重合,否则测出的角度不准确.度盘的顶线PQ与支杆的中心线、铅垂线、0°刻度线要互相垂直,并且度盘有一个旋转中心是铅垂线与PQ的交点.当度盘转动时,铅垂线始终垂直向下.(二)测倾器的使用方法和步骤:【教师活动】用测倾器如何测仰角?【师生活动】学生思考后,师生共同总结:使用测倾器测量倾斜角的步骤如下:1.把支杆竖直插入地面,使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合,这时度盘的顶线PQ 在水平位置.2.转动度盘,使度盘的直径对准目标M,记下此时铅垂线所指的度数.(三)测倾器的运用:课件出示:【做一做】根据刚才测量的数据,你能求出目标M的仰角或俯角吗?说说你的理由.【师生活动】根据操作步骤:当度盘的直径对准目标M时,铅垂线指向一个度数,即∠BOA的度数.根据图形我们不难发现:∵∠BOA+∠NOA=90°,∠MON+∠NOA=90°,∴∠BOA=∠MON.因此读出∠BOA的度数也就读出了仰角∠MON的度数.∴测倾器上铅垂线所示的度数就是物体仰角的度数.【思考】根据上面的做法,如何用测倾器测量一个低处物体的俯角呢?【学生活动】生类比操作:和测量仰角的步骤是一样的,只不过测量俯角时,转动度盘,使度盘的直径对准低处的目标,记下此时铅垂线所指的度数,同样根据“同角的余角相等”,铅垂线所指的度数就是低处的俯角.[设计意图]了解测倾器的构造,学习其使用方法.目的是在测量时能正确地使用,特别注意测量【教师提示】所谓“底部可以到达”,就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离.师引导学生观察并思考下面的问题:1.如图所示,要测量物体MN的高度,需测量哪些数据?2.请说出测量物体MN的高度的一般步骤,需要测得的数据用字母表示.【学生活动】学生思考后与同伴交流,统一答案:1.测量A点到物体底部N点的距离AN、测倾器的高度AC的长以及测量仰角∠MCE的度数.2.测量底部可以到达的物体的高度的步骤:(1)在测点A处安置测倾器,测得M的仰角∠MCE=α.(2)量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l.(3)量出测倾器的高度AC=a(即顶线PQ成水平位置时,它与地面的距离).【做一做】根据上面测量的数据,你能求出物体MN的高度吗?说说你的理由.【学生活动】生独立解答后,代表展示:解:在Rt△MCE中,ME=EC·tanα=AN·tanα=l·tanα,∴MN=ME+EN=ME+AC=l·tanα+a.[设计意图]通过小组合作设计方案,培养学生科学的思维方式及归纳总结的能力,并积累“做数学”经验.【活动三】测量底部不可以到达的物体的高度【教师提示】所谓“底部不可以到达”,就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离.师引导学生观察,小组交流,思考下面的问题:1.要测量物体MN的高度,使用测倾器测一次仰角够吗?2.如图所示,你能类比活动二的方法得出测量底部不可以到达的物体的高度的一般步骤吗?需要测得的数据用字母表示.【师生活动】学生交流后代表发言,师生共同订正:1.要测量物体MN的高度,测一次仰角是不够的.2.测量底部不可以到达的物体的高度的步骤:(1)在测点A处安置测倾器,测得此时M的仰角∠MCE=α.(2)在测点A与物体之间的B处安置测倾器(A,B与N都在同一条直线上),测得此时M的仰角∠MDE=β.(3)量出测倾器的高度AC=BD=a,以及测点A,B之间的距离AB=b.【做一做】根据刚才测量的数据,你能求出物体MN的高度吗?说说你的理由.【学生活动】生独立解答后,代表展示:解:∵在Rt△MDE中,ED=,在Rt△MCE中,EC=,∴EC-ED=b,∴=b,∴ME=,∴MN=+a.【议一议】同学们知道了底部不可以到达的物体高度的测量方案,利用这种方案你们可以测量哪些物体的高度?【学生活动】生发挥想象力,并分组讨论这些高度的测量方案和计算方法.【议一议】问题(1):到目前为止,有哪些测量物体高度的方法?【师生小结】测量物体的高度的方法:(1)利用三角函数;(2)利用三角形相似;(3)利用全等三角形.问题(2):如果一个物体的高度已知或容易测量,那么如何测量某测点到该物体的水平距离?【师生小结】以活动三中的图为例,可以测得M的仰角∠MCE=α,以及测倾器的高AC=a,然后根据AN=EC即可求出测点A到物体MN的水平距离AN.[设计意图]引导学生设计测量底部不可以到达的物体的高度,在交流、展示自己设计的方案的过程中完善方案,判断其可行性,为下面的实际操作做准备,同时培养学生科学、严谨的做事态度.【活动四】设计测量方案,撰写活动报告你能根据我们学过的测量物体高度的方法完成下面的问题吗?课件出示:某校学生去春游,在风景区看到一棵汉柏树,不知这棵汉柏树有多高,下面是两位同学的一段对话:小明:我站在此处看树顶仰角为45°.小华:我站在此处看树顶仰角为30°.小明:我们的身高都是1.6m.小华:我们相距20m.请你根据这两位同学的对话,计算这棵汉柏树的高度.(参考数据:≈1.414,≈1.732,结果保留三个有效数字)【教师活动】引导学生判断是测量底部可以到达的物体的高度还是测量底部不可以到达的物体的高度,然后从两名学生的对话中分析得到的信息:∠ABE=30°,∠ACE=45°,ED=1.6m,BC=20m.【师生活动】生独立解答后,同伴交流.代表展示,师生共同订正.解:如图所示,延长BC交DA于E.设AE的长为x m.在Rt△ACE中,∠ACE=45°,∠AEB=90°,则∠CAE=45°,∴CE=AE=x.在Rt△ABE中,∠B=30°,AE=x,tan B=,即tan30°=,∴BE=x.∵BE-CE=BC,BC=20m,∴x-x=20,解得x=10+10,∴AD=AE+DE=10+10+1.6≈28.9(m).答:这棵汉柏树的高度约为28.9m.【学生活动】撰写活动报告.[设计意图]在解决问题的过程中再一次验证测量方案的可行性,巩固新知的同时,利用生活情境设计问题,培养学生的应用意识,提高分析问题、解决问题的能力.1.利用三角函数的知识可以测量物体的高度:(1)测量倾斜角的方法.(2)测量底部可以到达的物体的高度的方法和步骤.(3)测量底部不可以到达的物体的高度的方法和步骤.2.测量物体的高度的方法:(1)利用三角函数;(2)利用三角形相似;(3)利用全等三角形.1.(2015·长沙中考)如图所示,为测量一棵与地面垂直的树OA的高度,在距离树的底端30m的B处,测得树顶A的仰角∠ABO为α,则树OA的高度为()A.mB.30sinαmC.30tanαmD.30cosαm解析:在Rt△ABO中,∵BO=30m,∠ABO为α,∴AO=BO tanα=30tanα(m).故选C.2.某市进行城区规划,工程师需测某楼AB的高度,工程师在D点用高2m的测角仪CD,测得楼顶端A的仰角为30°,然后向楼前进30m到达E,又测得楼顶端A的仰角为60°,则楼AB的高为.解析:在Rt△AFG中,∠AFG=60°,∠AGC=90°,tan∠AFG=,∴FG==.在Rt△ACG中,∠ACG=30°,tan ∠ACG=,∴CG==AG.∵CG-FG=30m,∴AG-=30,解得AG=15,∴AB=(15+2)m.故填(15+2)m.3.在一次综合实践活动中,小明要测某地一座古塔AE的高度,如图所示,已知塔基AB的高为4m,他在C处测得塔基顶端B的仰角为30°,然后沿AC方向走5m到达D点,又测得塔顶E的仰角为50°.(人的身高忽略不计)(1)求AC的距离;(结果保留根号)(2)求塔高AE.(结果保留整数)解:(1)在Rt△ABC中,∠ACB=30°,AB=4,tan∠ACB=,∴AC===4(m).答:AC的距离为4m.(2)在Rt△ADE中,∠ADE=50°,AD=5+4,tan∠ADE=,∴AE=AD·tan∠ADE=(5+4)×tan50°≈14(m).答:塔高AE约为14m.6利用三角函数测高1.利用三角函数的知识可以测量物体的高度:(1)测量倾斜角的方法.(2)测量底部可以到达的物体的高度的方法和步骤.(3)测量底部不可以到达的物体的高度的方法和步骤.2.利用三角形相似的知识可以测量物体的高度.3.利用全等三角形的知识也可以测量物体的高度.一、教材作业【必做题】教材第23页习题1.7第1,2题.【选做题】教材第23页习题1.7第3题.二、课后作业【基础巩固】1.已知A,B两点,如果A对B的俯角为α,那么B对A的仰角为()A.αB.90°-αC.90°+αD.180°-α2.如图所示,为了测量电线杆AB的高度,小明将测倾器放在与电线杆的水平距离为9m的D处.若测倾器CD的高度为1.5m,在C处测得电线杆顶端A的仰角为36°,则电线杆AB的高度约为m(精确到0.1m).(参考数据:sin36°≈0.59,cos36°≈0.81,tan36°≈0.73)3.如图所示,两建筑物的水平距离BC为18m,从A点测得D点的俯角α为30°,测得C点的俯角β为60°.则建筑物CD的高度为m.(结果不作近似计算)4.(2014·云南中考)如图所示,小明在M处用高1m(DM=1m)的测角仪测得旗杆AB的顶端B的仰角为30°,再向旗杆方向前进10m到F处,又测得旗杆顶端B的仰角为60°,请求出旗杆AB的高度.(取≈1.73,结果保留整数)【能力提升】5.(2015·衡阳中考)如图所示,为了测得电视塔的高度AB,在D处用高为1m的测角仪CD,测得电视塔顶端A的仰角为30°,再向电视塔方向前进100m达到F处,又测得电视塔顶端A的仰角为60°,则这个电视塔的高度AB(单位:m)为()A.50B.51C.50+1D.1016.在一次实践活动中,某课题学习小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度,他们设计了如下的方案(如图(1)所示):(1)在测点A处安置测倾器,测得旗杆顶部M的仰角∠MCE=α;(2)量出测点A到旗杆底部N的水平距离AN=m;(3)量出测倾器的高度AC=h.根据上述测量数据,即可求出旗杆的高度MN.如果测量工具不变,请仿照上述过程,设计一个测量某小山(如图(2)所示)高度的方案:(1)在图(2)中,画出你测量小山高度MN的示意图(标上适当的字母);(2)写出你的设计方案.【拓展探究】7.如图所示,某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度,他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°,朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处,测得树顶端D的仰角为60°.已知A点的高度AB为3m,台阶AC的坡度为1∶(即AB∶BC=1∶),且B,C,E三点在同一条直线上.请根据以上条件求出树DE的高度(测倾器的高度忽略不计).【答案与解析】1.A2.8.1(解析:在Rt△ACE中,AE=CE·tan36°=BD·tan36°=9×tan36°≈6.57,∴AB=AE+EB=AE+CD ≈6.57+1.5≈8.1(m).故填8.1.)3.12(解析:首先过点D作DE⊥AB于点E,可得四边形BCDE是矩形,然后分别在Rt△ABC与Rt△ADE 中,利用正切函数的知识,求得AB与AE的长,进而可求得答案.)4.解:∵∠BDE=30°,∠BCE=60°,∴∠CBD=60°-∠BDE=30°=∠BDE,∴BC=CD=10m,在Rt△BCE中,sin 60°=,即=,∴BE=5,AB=BE+AE=5+1≈10(m).答:旗杆AB的高度大约是10m.5.C(解析:设AG=x,在Rt△AEG中,∵tan∠AEG=,∴EG==x.在Rt△ACG中,∵tan∠ACG=,∴CG==x,∵CG-EG=100,∴x-x=100,解得x=50,则AB=50+1(m).故选C.)6.解:(1)画出示意图如图所示.(2)①在测点A处安置测倾器,测得此时M的仰角∠MCE=α.②在测点B处安置测倾器(A,B与N在同一条直线上),测得此时山顶M的仰角∠MDE=β.③量出测倾器的高度AC=BD=h,以及测点A,B之间的距离AB=m.根据上述测量数据,即可求出小山的高度MN.7.解:如图所示,过点A作AF⊥DE于F,则四边形ABEF为矩形,∴AF=BE,EF=AB=3.设DE=x,在Rt△CDE 中,∠DCE=60°,∴CE==x.在Rt△ABC中,∵=,AB=3,∴BC=3.在Rt△AFD中,DF=DE-EF=x-3,∠DAF=30°,∴AF==(x-3).∵AF=BE=BC+CE,∴(x-3)=3+x,解得x=9.∴DE=9m.答:树的高度为9m.这节课采用了学生分组活动与全班交流研讨相结合的方法探究测量物体高度的方案,并利用探索出的方案解决生活问题.本节课给了学生足够多的活动空间,通过师生互动、生生互动等活动,让学生积极参与到活动中来,激发学生学习的兴趣,让学生自主探究利用三角函数测高的步骤和方法,并会对测量物体的高度的方案进行设计.让学生用已有的知识解决生活实际问题,体验数学来源于生活,应用于生活,进一步掌握从实际问题到解直角三角形的建模过程.另外,通过小组合作交流形式,让学生积极参与数学活动,对数学产生好奇心,培养学生独立思考问题的习惯,并在数学活动中获得成功的体验,建立自信心.在探究时给学生充分的自主讨论交流时间,导致后面的当堂检测题处理得比较仓促,部分学生接受起来可能有些困难.针对每种测量方案都给出具体的事例让学生去实践,以检验自己所设计方案的可行性.复习题(教材第24页)1.解:(1).(2)0.(3).2.解:(1)0.7841.(2)0.0374.(3)0.7566.3.解:(1)∠A=45°.(2)a=4,∠A=60°.(3)a=b=4.4.sin A=,tan A=.5.(1)∠A≈42°27'15″.(2)∠B≈85°28'29″.(3)∠C≈88°23'28″.6.解:(1)==1.(2)原式=+2×+1-+=++1-+=2.(3)原式=-tan60°=tan60°-1-tan60°=-1.7.解:AC=2,BC=2,sin A=,cos A=.9.解:(1)tan∠ABC=tan∠ADC.(2)tan∠ABC=tan∠ADC.(3)tan∠ABC=·tan∠ADC.10.CD≈5.82m[提示:CD=BD-BC=20tan56°-20tan50°≈5.82(m).]11.船与观测者之间的水平距离约为173.2m.[提示:水平距离=≈173.2(m).]12.解:(1)如图所示,由两直线平行,内错角相等得∠ABD=60°.∵∠CBE=30°,∴∠ABC=90°.∵AB=BC=10km,∴AC==10≈14.1(km).(2)∵AB=BC,∴∠CAB=∠C=45°,∴C港在A港北偏东60°-45°=15°的方向上.13.解:依题意知PQ=180m,∠PTQ=50°,∴∠PQT=40°.∵tan∠PQT=,∴PT=PQ·tan40°≈180×0.839≈151(m).14.解:在Rt△ABC中,AC=6.3,BC=9.8,∴tan B==.∴∠B≈32°44'7″.因此射线与皮肤的夹角为32°44'7″.15.解:(1)在Rt△ACB中,∵AB=4m,∠ABC=60°,cos∠ABC=,∴BC=AB·cos60°=4×=2(m).(2)在Rt △DCE中,∵CD=2.3m,ED=4m,∴sin∠DEC===0.575,∴∠DEC≈35°5'58.68″.16.解:如图所示,在Rt△ACB中,∵AC=30m,∠BAC=30°,tan∠BAC=,∴BC=AC·tan30°=30×=10≈17.3(m).∵CE=AD=40m,∴BE=BC+CE=17.3+40≈57(m),∴乙楼高约57m.17.解:在Rt△BED 中,tan∠BDE =.在Rt△ACB 中,tan∠BAC =.∵∠BDE =30°,∠BAC =60°,DE =AC ,EC =AD =30m ,∴tan 30°=,即BC -30=AC ·tan 30°.又tan 60°=,即BC =AC ·tan 60°,∴AC -30=AC ,∴AC =30,∴AC ==15≈25.98(m ),∴BC ≈25.98×≈45.00(m ).18.解:设渔船到海岛A 的最近距离为x n mile ,由题意得(x -12)=x ,解得x =6>8,所以渔船没有触礁的危险.19.解:过点C 作CF ⊥AB 于F ,则△ADE ∽△ACF ,∴=,即=,∴CF =2.7m .∵BC =2.8m ,∴sin α==≈0.9643,∴α≈74°38'39.14″.20.解:如图所示,连接BD ,过点B 作BE ⊥CD 于E ,过点D 作DF ⊥AB 于F ,在Rt△BEC 中,sin C =,∴BE =BC ·sin 60°=20×=10(m ).在Rt△AFD 中,sin A =,∴DF =AD ·sin 60°=30×=15(m ),∴S 四边形ABCD =S △ABD +S △CBD =AB ·DF +CD ·BE =×50×15+×50×10=625≈1082.53(m 2).21.解:(1)如图所示,过A 作AG ⊥CD 于G ,过E 作EF ⊥CD 于F ,依题意知AB =5m ,BC =30m ,∠DEF =30°,EB =1.4m .在Rt△DFE 中,∵tan∠DEF =,∴DF =BC ·tan30°=30×=10(m ),∴DC =DF +FC =DF +EB =10+1.4≈18.72(m ).(2)∵GC =AB =5m ,∴DG =DC -GC ≈18.72-5=13.72(m ).∵AG =BC =30m ,∴AD =≈≈32.99(m ).22.提示:各边长约为0.34m ,0.34m ,0.66m .23.解:(1)由勾股定理可知OA 1=,OA 2=,OA 3=,…,OA n =.∵tan∠A 0OA 1==,∴∠A 0OA 1=45°.∵tan∠A 1OA 2==,∴∠A 1OA 2≈35°15'51.8″.∵tan ∠A 2OA 3==,∴∠A 2OA 3=30°.(2)∵tan 20°≈0.3640,tan∠A n -1OA n ==<tan 20°,∴>≈2.7473,∴n >7.5477,∴n 的值为8.本节课探究学习的主要任务是掌握利用测倾器测倾斜角和测量物体高度的方法,所以前提条件是要对测倾器有足够的了解,学生在课前可以自己制作一个简单的测倾器,这样就会非常熟悉其操作原理,对于活动一,测量倾斜角就会感觉非常容易;对于活动二、三的探究,分组讨论和全班的交流讨论就显得尤为重要,要积极投身其中,区分测量底部可以到达的物体的高度和底部不可以到达的物体的高度的方法,熟练掌握各种方案的步骤,并利用所学知识解决实际问题,达到学以致用.测量物体的高度时容易漏掉测倾器的高度.李明带领小组成员做了测量电线杆高度的活动,在离电线杆21m 的D 点,用高1.2m 的测角仪CD 测得电线杆顶端A 的仰角α=30°,则电线杆AB 的高为m .【错解】7【错解分析】在利用三角函数计算出AE 的长度后,忽略测倾器的高度,漏加CD ,造成错误.【正解】7+1.2【正解分析】CE =DB =21m ,BE =CD =1.2m .在Rt△ACE 中,∠α=30°,CE =21m ,∴AE =CE ·tan 30°=7(m ),∴AB =AE +BE =(7+1.2)m .(2014·绍兴中考)九(1)班同学在上学期的社会实践活动中,对学校旁边的山坡护墙和旗杆进行了测量.(1)如图(1)所示,第一小组用一根木条CD斜靠在护墙上,使得DB与CB的长度相等,如果测量得到∠CDB=38°,求护墙与地面的倾斜角α的度数.(2)如图(2)所示,第二小组用皮尺量得EF为16m(E为护墙上的端点),EF的中点离地面FB的高度为1.9m,请你求出E点离地面FB的高度.(3)如图(3)所示,第三小组利用第一、第二小组的结果来测量护墙上旗杆的高度,在点P测得旗杆顶端A的仰角为45°,向前走4m到达Q点,测得A的仰角为60°,求旗杆AE的高度(精确到0.1 m).备用数据:tan60°≈1.732,tan30°≈0.577,≈1.732,≈1.414.〔解析〕(1)根据∠α=2∠CDB即可得出答案.(2)设EF的中点为M,过M作MN⊥BF,垂足为点N,过点E作EH⊥BF,垂足为点H,如图所示,根据EH=2MN即可求出E点离地面FB的高度.(3)延长AE,交PB的延长线于点C,设AE=x,则AC=x+3.8,CQ=x-0.2,根据=得出=,求出x即可.解:(1)∵BD=BC,∴∠CDB=∠DCB,∴∠α=2∠CDB=2×38°=76°.(2)设EF的中点为M,如图所示,过M作MN⊥BF,垂足为点N,过点E作EH⊥BF,垂足为点H,∵MN∥EH,MN=1.9,∴EH=2MN=3.8(m),∴E点离地面FB的高度是3.8m.(3)延长AE,交PB于点C,如图所示,设AE=x,则AC=x+3.8,∵∠APB=45°,∴PC=AC=x+3.8.∵PQ=4,∴CQ=x+3.8-4=x-0.2,∴tan∠AQC==tan60°=,∴=,解得x=≈5.7,∴AE≈5.7m.答:旗杆的高度约是5.7m.[解题策略]此题考查了解直角三角形的应用,用到的知识点是仰角的定义,能作出辅助线并借助仰角构造直角三角形是解本题的关键.。
北师大版九年级下册1.6利用三角函数测高教学设计
为了巩固学生对三角函数测高知识点的掌握，提高其运用数学知识解决实际问题的能力，特布置以下作业：
1.请同学们结合课堂所学，思考并完成以下问题：
（1）如何利用三角函数测量学校附近某建筑物的高度？
（2）在实际测量过程中，可能会遇到哪些困难？如何克服？
（3）计算器在三角函数计算中起到了什么作用？如何正确使用计算器进行三角函数的计算？
4.通过讲解、示范、指导等方法，帮助学生掌握计算器在三角函数计算中的应用，提高计算速度和准确性。
5.引导学生运用已学的几何知识，结合三角函数解决测高问题，培养其综合运用知识的能力。
（三）情感态度与价值观
1.增强对数学学科的兴趣，认识到数学知识在解决实际问题中的价值。
2.形成主动探究、合作学习的良好习惯，培养勇于挑战、积极进取的精神风貌。
2.鼓励学生积极参与小组合作，培养团队合作精神和沟通能力。
3.关注学生的个体差异，作业布置要有梯度，使每个学生都能在完成作业的过程中得到提高。
4.引导学生关注作业的完成质量，培养良好的学习习惯和责任感。
（二）讲授新知
在导入新课之后，我会系统地讲授三角函数的相关知识。首先，回顾正弦、余弦和正切函数的定义，并通过图示和实例让学生理解这些函数的几何意义。接着，我会详细解释三角函数在测高问题中的应用原理，即如何通过测量角度和已知距离来计算未知高度。我会用生动的语言和直观的教具，比如三角板、直角三角形模型等，来帮助学生形象地理解这些概念。此外，我还会指导学生如何使用计算器来快速准确地计算出三角函数的值，并应用于解决实际问题。
2.完成课后习题：请同学们完成教材第1.6节后的练习题，巩固三角函数测高的相关知识点。
3.小组合作实践作业：
（1）分组进行实际测量，测量学校旗杆的高度，并记录测量过程和结果。
北师大版数学九年级下册1.6利用三角函数测高课件
楼顶的旗杆
的高度吗？
教学过程
新
知
新
授
议一议
利用三角函数可以测量物体的高度，我们需要
用到一种仪器——侧倾器，侧倾器的构造如下
图：
刻度盘
铅垂线
枝干
教学过程
新
知
新
授
做一做
活动一、用侧倾器测倾斜角
使用测倾器测量倾斜角的步骤如下：
1.把支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂
线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在
水平位置.
2.转动度盘，使度盘的直径对准目标M，记下此
时铅垂线所指的度数
教学过程
新
知
新
授
做一做
M
根据测量数据，你能求出目标
M的仰角或俯角吗？说说你的
理由.
Q
O
N
P
B
A
教学过程
新
知
新
授
做一做
活动二、测量底部可以到达的物体的高度
测量工具：测倾器（或经纬仪、测角仪
等）、皮尺等
测量步骤：1.在测点A处安置测倾器，
素的过程，叫做解直角三角形.
2.解直角三角形时至少要知道几个元素？
直角三角形中，除了直角外的5个元素中只要知
道其中两个元素（其中至少要有一边），就可以
求出其余的三个元素.
教学过程
新
课
引
入
议一议
我们学过了用全等三角形、类似三角形测量物
体高度的方法，我们学了三角函数后，可不可
以利用三角函数测量物体的高度呢？
α.
2.在测点A与物体之间的B处安置测倾器（A、B与
N在一条直线上，且A，B之间的距离可以直接测
《第一章6利用三角函数测高》作业设计方案-初中数学北师大版12九年级下册
《利用三角函数测高》作业设计方案（第一课时）一、作业目标1. 使学生能够理解并掌握三角函数的基本概念及意义。
2. 通过实践活动，让学生学会利用三角函数解决实际问题，特别是测高问题。
3. 培养学生的观察能力、实践能力和问题解决能力。
二、作业内容本节课的作业内容主要围绕三角函数测高的实际应用展开。
具体内容如下：（一）基本理论学习学生需认真阅读教材，掌握三角函数的基本概念、正弦、余弦和正切的定义及其在直角三角形中的应用。
理解角度与边长的关系，并能够用三角函数表示这些关系。
（二）实践活动1. 实地测量：学生需在安全的环境下，选择合适的参照物（如建筑物、树木等），利用直角三角尺和角度计测量目标的高度。
记录测量数据，并绘制出简单的测量示意图。
2. 数据分析：学生需根据测量的数据，运用三角函数知识，计算出目标的高度。
并分析误差产生的原因，思考如何提高测量的准确性。
3. 实验报告：学生需将上述过程以书面形式进行记录和整理，包括测量的地点、目标物、使用的工具、测量步骤和计算结果等，同时需写出自己对测量过程和结果的反思与感悟。
（三）理论应用练习完成一组与三角函数测高相关的练习题，加深对理论知识的理解和应用能力。
三、作业要求1. 学生在进行实地测量时，需注意安全，遵循老师的指导。
2. 实验报告需字迹清晰、内容完整，体现出学生的思考和总结。
3. 练习题需独立完成，不得抄袭他人答案。
4. 作业需在规定时间内提交，并按时参加课堂讲解和讨论。
四、作业评价1. 老师将根据学生的实验报告内容、格式、字迹等方面进行评价。
2. 对于实地测量和理论应用练习部分，老师将根据学生的正确性、准确性和解题思路进行评价。
3. 鼓励学生相互评价和讨论，取长补短，共同进步。
五、作业反馈1. 老师将对每位学生的作业进行详细批改，指出存在的问题和不足。
2. 在课堂上进行作业讲解和讨论，针对学生的疑惑进行解答和指导。
3. 根据作业情况，对学生的学习情况进行总结和分析，为后续教学提供参考和依据。
第一章 直角三角形的边角关系6 利用三角函数测高
AD ， 【解析】设CD =x 米．在Rt△ACD中，tan 37 CD 3 3 AD 则 AD x. ， 4 4 x BD . 在Rt△BCD，tan48°= CD 11 BD 11 BD x. 则 10 x 10 ∵AD＋BD = AB，
议一议
根据刚才测量的数据,你能求出物体MN的高度吗?说说你的
理由. 在Rt△MCE中，
ME=EC·tanα=AN·tanα =l·tanα MN=ME+EN=ME+AC=l·tanα+ a 和同伴交流一下你的发现.
M
E N l
α
C a A
活动三
测量底部不可以到达的物体的高度.
所谓“底部不可以到达”,就是在地面上不能直接测
90° 90°
60°
30° 30°
60° 0°
使用测倾器测量倾斜角的步骤如下:
1.把支杆竖直插入地 面,使支杆的中心线. 铅垂线和度盘的0° 刻度线重合,这时度 盘的顶线PQ在水平位 置. 2.转动度盘,使度盘 的直径对准目标M,记 下此时铅垂线所指的 度数.
M
水平线
90°
Q
90°
P
60° 30° 30° 60°
0°
活动二
测量底部可以到达的物体的高度.
所谓“底部可以到达”,就是在地面上可以无障碍地直接 测得测点与被测物体的底部之间的距离. 如图,要测量物体MN的高度, 可按下列步骤进行： 1.在测点A处安置测倾器, 测得M的仰角∠MCE=α.
E N C A M
2.量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l. 3.量出测倾器的高度AC=a(即顶线PQ成水平位置时， 它与地面的距离).
《第一章6利用三角函数测高》作业设计方案-初中数学北师大版12九年级下册
《利用三角函数测高》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本课时作业的主要目标是通过实操和实践的方式，使学生掌握三角函数的基本知识，理解如何利用三角函数解决实际问题——测高。
通过本次作业，期望学生能够达到：1. 掌握正弦、余弦等基本三角函数概念；2. 理解三角函数在测高问题中的应用；3. 学会使用简单的测量工具进行实际测高操作。
二、作业内容作业内容主要分为以下几个部分：1. 理论学习学生需认真阅读教材中关于三角函数的基本概念和性质，特别是正弦、余弦等函数在测高问题中的应用。
同时，需完成相关概念的填空题和选择题练习，以检验对理论知识的掌握情况。
2. 实践操作学生需准备必要的测量工具（如卷尺、角度计等），按照课堂所授方法，自行选择一个合适的物体（如树木、建筑物等），进行实地测量。
具体操作步骤如下：- 选择合适的观测点，并使用卷尺测量出观测点到目标物的高度；- 使用角度计测量观测点与目标物之间的角度；- 根据所学三角函数知识，计算出目标物的高度。
3. 数据分析与总结在完成实践操作后，学生需记录下所有数据，包括观测点到目标物的实际高度、观测角度以及通过三角函数计算得出的目标物高度。
通过对比实际高度与计算高度，分析误差产生的原因，并撰写总结报告。
三、作业要求1. 理论学习要求学生在阅读教材时需认真思考，对于每个概念都要有深入的理解。
完成填空题和选择题时，要确保答案准确无误。
2. 实践操作要求在实地测量时，学生需确保测量的数据准确可靠，测量角度时需使用正确的测量方法，确保数据的准确性。
同时，学生还需注意安全，避免在测量过程中发生意外。
3. 数据分析与总结要求学生在分析数据时需客观公正，对于误差产生的原因要有准确的判断。
总结报告需条理清晰，内容详实，能够反映出学生对本次作业的深入理解和掌握情况。
四、作业评价教师将根据学生的理论学习情况、实践操作及数据分析与总结报告进行评价。
评价标准包括知识掌握的准确性、实践操作的规范性以及总结报告的完整性和深度。
6 利用三角函数测高
解：过点E作EH⊥AC于点H，则EH＝FC＝12 m， 在Rt△AEH中，AH＝EH·tan∠AEH≈12×1.28＝15.36(m)． ∵∠BEH＝45°， ∴BH＝EH＝12 m. ∴AB＝AH－BH＝3.36≈3.4 m. 答：旗杆AB的高度约为3.4 m.
知识点2 测量底部不可以到达的物体的高度
A．asinα＋asinβ B．acosα＋acosβ C．atanα＋atanβ D.taanα＋taanβ
2．如图，王师傅在楼顶上A点处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为 60°.若水平距离BD＝10 m，楼高AB＝24 m，则树CD高约为( C )
A．5 m C．7 m
B．6 m D．8 m
(1)求古树BH的高； (2)求教学楼CG的高．(参考数据： 2≈1.4， 3≈1.7)
解：(1)在Rt△EFH中，∠HEF＝90°，∠HFE＝45°， ∴HE＝EF＝10. ∴BH＝BE＋HE＝1.5＋10＝11.5. 答：古树的高为11.5米．
(2)在Rt△EDG中，∠GED＝60°， ∴DG＝DE·tan60°＝ 3DE. 设DE＝x米，则DG＝ 3x米， 在Rt△GFD中，∠GDF＝90°，∠GFD＝45°， ∴GD＝DF＝EF＋DE. ∴ 3x＝10＋x. 解得x＝5 3＋5. ∴CG＝DG＋DC＝ 3x＋1.5＝ 3(5 3＋5)＋1.5＝16.5＋5 3≈25. 答：教学楼CG的高约为25米．
课题 成员 测量工具
测量 示意图
测量旗杆的高度 组长：××× 组员：×××，×××，×××
测量角度的仪器，皮尺等 说明：线段GH表示学校旗杆，测量角度的仪器 的高度AC＝BD＝1.5 m，测点A，B与H在同一 条水平直线上，A，B之间的距离可以直接测 得，且点G，H，A，B，C，D都在同一竖直平 面内，点C，D，E在同一条直线上，点E在GH 上.
北师大版数学九年级下册1.6《利用三角函数测高》教案
北师大版数学九年级下册1.6《利用三角函数测高》教案一. 教材分析《利用三角函数测高》这一节主要让学生了解和掌握利用三角函数测量物体高度的方法。
通过前面的学习，学生已经掌握了锐角三角函数的概念和性质，本节内容是在此基础上进一步应用三角函数解决实际问题。
利用三角函数测高是初中数学中重要的应用题类型，也是中考的热点题型，对于培养学生的数学应用能力和解决实际问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了锐角三角函数的基本概念和性质，对于运用三角函数解决实际问题有一定的基础。
但学生在解决实际问题时，往往因为对实际情况理解不深，而导致解题思路不清晰。
因此，在教学本节内容时，要注重让学生理解实际问题的背景，引导学生运用三角函数解决实际问题。
三. 教学目标1.让学生了解和掌握利用三角函数测高的方法。
2.培养学生运用三角函数解决实际问题的能力。
3.培养学生的合作交流能力和创新思维能力。
四. 教学重难点1.重点：让学生掌握利用三角函数测高的方法。
2.难点：如何引导学生运用三角函数解决实际问题，特别是对于复杂问题的解决。
五. 教学方法采用问题驱动法，情境教学法，合作交流法，引导发现法等。
通过设置具体的问题情境，引导学生运用已学的三角函数知识解决实际问题，培养学生的应用能力和解决实际问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的问题情境和案例，用于引导学生进行实际问题的解决。
2.准备多媒体教学设备，用于展示问题和案例。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾已学的三角函数知识，如：什么是锐角三角函数？它们之间有什么关系？然后提出本节课的主题：如何利用三角函数测高？2.呈现（15分钟）教师通过多媒体展示一些实际问题，如：如何测量电视塔的高度？如何测量树的高度？让学生思考如何利用三角函数解决这些问题。
3.操练（20分钟）教师学生进行小组合作，让学生通过实际操作，运用三角函数解决呈现的问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
利用三角函数测高优秀教案
利用三角函数测高优秀教案课题名称：利用三角函数测高教学目标：1.理解正弦、余弦和正切的概念及其在三角函数测高中的应用；2.掌握使用正弦定理和余弦定理测量不可直接测量的高度；3.能够灵活运用三角函数测高的方法解决实际问题。
教学重点：1.正弦、余弦和正切的概念及其在三角函数测高中的应用；2.正弦定理和余弦定理的应用。
教学难点：教学准备：教具：直尺、测量工具、投影仪；课件：包含三角函数和其应用的相关知识点。
教学过程：一、导入（5分钟）1.引入三角函数的概念，复习正弦、余弦和正切的定义和计算方法。
2.提问学生：在实际生活中，我们如何使用三角函数来测量高度？二、讲解（15分钟）1.三角函数测高的原理：利用正弦、余弦和正切的性质通过测量已知边长和角度的方式求解未知高度。
2.正弦定理的应用：利用三角形中任意两边的长度和它们夹角的正弦比，求解不可直接测量的高度。
3.余弦定理的应用：利用三角形中三边的长度和它们之间的夹角余弦，求解不可直接测量的高度。
三、示范（15分钟）1.示范测量不可直接测量的高度的步骤，例如使用正弦定理：a.给出一个实际问题，如：如何测量一栋建筑物的高度？b.画出相应的示意图，标注已知边长和角度。
c.利用正弦定理的公式，求解未知的高度。
d.明确解题思路和计算步骤，进行计算。
2.呈现示范的解题过程，详细讲解每一步骤的计算方法和答案。
四、练习（20分钟）1.分发练习题，让学生独立完成。
2.讲解练习题答案，帮助学生纠正错误，巩固和理解三角函数测高的方法。
五、应用（15分钟）1.提供一些实际问题，要求学生运用三角函数测高的方法解决。
2.分组讨论并呈现解决方案，交流思路和讨论结果。
六、总结（10分钟）1.对本节课的要点进行总结，强调正弦、余弦和正切的应用。
2.核对课程目标，评估学生的学习情况。
七、作业（5分钟）布置作业：完成课后练习题，巩固三角函数测高的知识。
教学延伸：可以引导学生使用三角函数测高解决其他实际问题，并探究其他测高方法的应用。
1.6 利用三角函数测高 -九年级下册数学教案教学设计(北师大版)
1.6 利用三角函数测高 -九年级下册数学教案教学设计（北师大版）一、教学目标1.了解三角函数的定义和性质。
2.学会使用正弦、余弦、正切函数测量高度。
3.掌握解决与高度和角度相关的实际问题的方法和步骤。
二、教学内容1.三角函数的定义和性质。
2.正弦、余弦、正切函数的用法。
3.利用三角函数测量高度的实际问题。
三、教学重点1.理解三角函数的定义和性质。
2.掌握正弦、余弦、正切函数的用法。
3.运用三角函数解决实际问题。
四、教学难点1.学习如何应用三角函数测量高度。
2.解决与高度和角度相关的实际问题。
五、教学方法1.讲解与演示相结合的教学方法。
2.视频和实物模型展示三角函数测高的应用。
3.组织学生进行实际操作和练习。
六、教学过程1. 导入新知识通过提问和引导，导入三角函数的概念和性质，引起学生的兴趣，并激发学生对测量高度的需求。
2. 讲解三角函数的定义和性质利用教材和课件，详细讲解正弦、余弦、正切函数的定义和性质，并与实际问题联系起来，解释三角函数与高度的关系。
3. 演示三角函数测高的方法通过播放视频或展示实物模型，演示如何使用三角函数测量高度的方法和步骤，并让学生观察和思考。
4. 实际操作和练习将学生分成小组，配备测量工具，进行实际操作和练习，例如利用三角函数测量树木高度、建筑物高度等。
教师和助教进行指导和解答疑惑。
5. 总结与归纳让学生整理笔记，总结三角函数测高的方法和步骤，并与实际问题进行对比，并解答学生的问题。
七、教学评价1.在实际操作中，观察学生是否能正确使用三角函数测量高度。
2.组织小组讨论，评价学生对三角函数测高方法的理解和应用能力。
3.布置练习题，检查学生对三角函数测高的掌握情况。
八、教学延伸利用三角函数测高的方法，引出其他与高度和角度相关的实际问题，如建筑物的倾斜角度、塔吊的工作范围等。
并鼓励学生进行独立思考和解答。
九、板书设计1.6 利用三角函数测高- 三角函数的定义和性质- 正弦、余弦、正切函数的用法- 测量高度的实际问题十、教学反思本节课将数学知识与实际问题相结合，培养了学生的测量和解决问题的能力。
北师大版数学九年级下册《6 利用三角函数测高》教学设计
北师大版数学九年级下册《6 利用三角函数测高》教学设计一. 教材分析北师大版数学九年级下册《6 利用三角函数测高》这一节主要介绍了利用三角函数测量物体高度的方法。
通过本节课的学习，学生能够理解利用三角函数测高的原理，掌握用三角板和尺子测量物体高度的方法，并能够运用到实际生活中。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的三角函数知识，对三角板和尺子的使用也有一定的了解。
但是，学生可能对实际应用三角函数测量高度的方法还不够熟悉，需要通过实例的讲解和操作来加深理解。
三. 教学目标1.理解利用三角函数测高的原理。
2.学会使用三角板和尺子测量物体高度的方法。
3.能够将三角函数知识应用到实际生活中。
四. 教学重难点1.教学重点：利用三角函数测高的原理和方法。
2.教学难点：如何将三角函数知识应用到实际测量中。
五. 教学方法采用讲授法、演示法、实践法、讨论法等多种教学方法，引导学生通过自主学习、合作交流，提高解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备三角板、尺子等测量工具。
2.准备相关的多媒体教学课件。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的内容：如何测量学校旗杆的高度？让学生思考如何利用三角函数来解决这个问题。
2.呈现（10分钟）讲解利用三角函数测高的原理，并通过多媒体课件展示具体的测量方法和步骤。
同时，引导学生理解三角函数在测量中的作用。
3.操练（10分钟）学生分组进行实际操作，使用三角板和尺子测量教室内的物体高度。
教师巡回指导，解答学生遇到的问题。
4.巩固（10分钟）学生汇报测量结果，并交流在操作过程中遇到的问题和解决方法。
教师总结测量的高度计算公式，并强调注意事项。
5.拓展（10分钟）引导学生思考：除了测量物体高度，三角函数还可以应用到哪些实际问题中？让学生举例说明，并进行讨论。
6.小结（5分钟）教师总结本节课的主要内容，强调利用三角函数测高的方法和注意事项。
7.家庭作业（5分钟）布置一道实际问题作业：测量家里电视的高度。
06-第一章6利用三角函数测高
6 利用三角函数测高
栏目索引
发挥直观想象,构造直角三角形 素养解读 直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变 化,利用空间形式特别是图形,理解和解决数学问题的素养.主要包括:借助 空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描述、分 析数学问题;建立形与数的联系,构建数学问题的直观模型,探索解决问题 的思路. 直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段,是探索和形成 论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础. 直观想象主要表现为:建立形与数的联系,利用几何图形描述问题,借助几 何直观理解问题,运用空间想象认识事物.
知识点二 测量底部不可以到达的物体的高度
工具
步骤
图例
测量底部不可以到达 的物体的高度
测倾器、皮尺(卷尺)
如图,测量物体MN的高 度:(1)在测点A处安置 测倾器,测得此时M的 仰角∠MCE=α.(2)在测 点A与物体之间的B处 安置测倾器(A、B与N 在同一条直线上),测得 此时M的仰角∠MDE= β.(3)量出测倾器的高度 AC=BD=a,以及测 点A、B之间的距离AB =b.(4)根据三角函数求 出物体MN的高度,MN=
在Rt△CDE中, CD =tan∠CED,即
x
= 3,
DE
30 3- 3x-10 3
图1-6-5
解得x=15-
5
3 3
.答:立柱CD的高为15-
5
3 3
米.
6 利用三角函数测高
栏目索引
素养呈现 (1)了解角之间的关系,找到与已知和未知相关联的直角三角 形,当图形中没有直角三角形时,要通过作高或垂线构造直角三角形,作CH ⊥AB于H,得到Rt△AHC和矩形BDCH. (2)由矩形BDCH得到BD=CH,设CD=x米,根据正切的定义用x表示出HC,根 据题意用x表示出ED. (3)在△CDE中,根据正切的定义列出方程,解方程即可.
6利用三角函数测高
2、测量底部不可以直接到达的物体的高度:
MN b tan tan a tan tan
北师大版初中数学九年级下册Leabharlann 测量底部可以直接到M
达的物体的高度:
MN b tan a
Cα
a
E
a
A
b
N
1、在测点A安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α；
2、量出测点A到物体底部N的水平距离AN=b；
3、量出测倾器的高度AC=a，可求出MN的高度。
测量底部不可以直接到
M
达的物体的高度:
C αD β
E
A
B
N
1、在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE=α；
tan tan ME tan ME tan b tan tan ME(tan tan ) b tan tan ME b tan tan
tan tan MN ME a b tan tan a
tan tan
小结课堂
1、测量底部可以直接到达的物体的高度：
2、在测点A与物体之间的B处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MDE=β；
3、量出测倾器的高度AC=BD=a，以及测点A,B之间的距离AB=b. 根据测量数据,可求出物体MN的高度.
测量底部不可以直接到达的物体的高度:
M
MN b tan tan a tan tan
C αD β
A
B
E
N
ME ME b,
2024北师大版数学九年级下册1.6《利用三角函数测高》教案
2024北师大版数学九年级下册1.6《利用三角函数测高》教案一. 教材分析《利用三角函数测高》这一节主要让学生了解三角函数在实际生活中的应用，学会利用三角函数测量物体的高度。
通过这一节的学习，学生能够理解直角三角形的性质，掌握正弦、余弦函数的定义，并能运用它们解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角函数的基本知识，对直角三角形有一定的了解。
但是，他们可能还没有真正意识到三角函数在实际生活中的应用，对于如何利用三角函数测量物体的高度可能比较陌生。
因此，在教学过程中，我需要注重引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高他们的实践能力。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握利用三角函数测量物体高度的方法，理解正弦、余弦函数在实际问题中的应用。
2.过程与方法：通过实际操作，培养学生解决问题的能力，提高他们的实际动手能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，让他们感受到数学在生活中的重要性。
四. 教学重难点1.重点：让学生掌握利用三角函数测量物体高度的方法。
2.难点：如何引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高他们的实践能力。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
通过设置实际问题，引导学生运用三角函数进行解答，培养他们的实践能力。
同时，学生进行小组合作，让学生在讨论中巩固知识，提高他们的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关案例，用于讲解和引导学生实践。
2.准备测量工具，如尺子、测量仪等，供学生实际操作使用。
3.准备多媒体教学资源，如PPT、视频等，用于辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一个实际问题：如何测量旗杆的高度？引导学生思考如何解决这个问题，激发他们的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解利用三角函数测量物体高度的方法，引导学生理解正弦、余弦函数在实际问题中的应用。
以旗杆测量为例，讲解步骤：（1）建立直角坐标系，确定观测点和旗杆的位置。
（2）测量观测点到旗杆的距离（底边长度）。
北师大版数学九年级下册1.6利用三角函数测高教学设计
-教师在学生探究过程中进行巡回指导，及时解答学生疑问，帮助学生突破难点。
3.例题解析：选择具有代表性的例题，展示解题思路和步骤，强化学生对三学生关注解题过程中的关键步骤和易错点。
-鼓励学生多角度思考问题，培养思维的灵活性和创新性。
-提醒学生关注作业的完成质量，鼓励学生在实际操作中运用所学知识。
五、作业布置
为了巩固本章节所学知识，特布置以下作业：
1.完成课本第1.6节后的练习题，包括基础题和拓展题，基础题要求全体学生完成，拓展题鼓励学有余力的学生尝试。
-基础题主要涉及三角函数的定义、计算和应用，帮助学生巩固课堂所学知识。
-拓展题则侧重于提高学生运用三角函数解决实际问题的能力，激发学生的思维潜能。
2.教学内容：小组展示讨论成果，分享解决问题的方法和经验。
教学过程：
-各小组派代表展示讨论成果，讲解解题过程和关键步骤。
-教师点评，强调正确性和创新性，引导学生相互学习、交流。
（四）课堂练习
1.教学内容：设计具有代表性的课堂练习题，让学生独立完成。
教学过程：
-提供不同难度的练习题，涵盖本节课的知识点，让学生巩固所学知识。
4.学会使用计算器计算三角函数值，并运用到实际测量中。
5.能够运用三角函数知识，分析和解决生活中的高度测量问题，如测量建筑物、树木等的高度。
（二）过程与方法
在本章节的教学过程中，采用以下过程与方法：
1.通过情境导入，激发学生的学习兴趣，引导学生从实际问题中发现三角函数的应用价值。
2.采用探究式教学方法，让学生在小组合作中，通过实际操作、讨论、分析，掌握三角函数测高的方法。
北师大版数学九年级下册1.6利用三角函数测高教学设计
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求出物体MN的高度吗?
说说你的理由.
过程：根据测量数据,物体MN的高度计算过程为： 在Rt△ MDE中， ED=
ME tan
M
在Rt△MCE中，
EC = ME EC-ED=
tan a
ME － ME tan tan a
=b
E N
β
D
α
b
C a
B A ME tan ME tan a b tan a tan b tan a tan β ME (tan tan a ) b tan a tan ME , MN b， a. tan β tan a tan a tan tan tan a
90° 90°
60°
30° 30°
60° 0°
使用测倾器测量倾斜角的步骤如下:
1.把支杆竖直插入地 面,使支杆的中心线. 铅垂线和度盘的0° 刻度线重合,这时度 盘的顶线PQ在水平位 置. 2.转动度盘,使度盘 的直径对准目标M,记 下此时铅垂线所指的 度数.
M
水平线
90°
Q
90°
P
60° 30° 30° 60°
3
3．（呼和浩特·中考）如图，在△ABC中，∠C＝ 90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的角平分线，与BC相交于点 D，且AB＝4
3 ，求AD的长．
【解析】在Rt△ABC中, ∵ ∠B＝30°,
1 1 ∴ AC＝ AB＝ ×4 3 =2 3. 2 2
∵ ∴ ∴
AD平分∠BAC,
在Rt△ACD中，∠CAD＝30°.
3 3 7 11 ， tan37 o ， s in 48 o ，tan48 o 5 4பைடு நூலகம்10 10 ）
AD ， 【解析】设CD =x 米．在Rt△ACD中，tan 37 CD 3 3 AD 则 AD x. ， 4 4 x BD . 在Rt△BCD，tan48°= CD 11 BD 11 BD x. 则 10 x 10 ∵AD＋BD = AB，
3 11 ∴ x x 80. 4 10
解得：x≈43． 答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD大约是43米．
【规律方法】根据实际情况，选择测量方法，画出几何
图形，构造直角三角形，灵活运用三角函数的定义结合 勾股定理等有关知识是进行解题的关键.
本课主要学习测量物体的高度的方法： 1.测量底部可以到达的物体的高度. 2.测量底部不可以到达的物体的高度. 3.目前我们学习的测量物体高度的方法有相似法、 全等法、三角函数法.
议一议
根据刚才测量的数据,你能求出物体MN的高度吗?说说你的
理由. 在Rt△MCE中，
ME=EC·tanα=AN·tanα =l·tanα MN=ME+EN=ME+AC=l·tanα+ a 和同伴交流一下你的发现.
M
E N l
α
C a A
活动三
测量底部不可以到达的物体的高度.
所谓“底部不可以到达”,就是在地面上不能直接测
1．（宿迁·中考）如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°， AM是BC边上的中线， sin CAM ,
3 5
则tan B的值为__________．
2 【答案】 3
2．（孝感·中考）如图，一艘船向正北航行，在A处看
到灯塔S在船的北偏东30°的方向上，航行12海里到达B
点，在B处看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上，此船 继续沿正北方向航行过程中距灯塔S的最近距离是____ 海里（不作近似计算）. 【答案】 6
AD＝
AC 2 3 ＝ ＝4. cos30 3 2
4.小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB，AB＝80米．为
测量居民楼与这座大厦之间的距离，小明从自己家的窗户 C处测得大厦顶部A的仰角为37°，大厦底部B的俯角为
48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度．（结
果保留整数） （参考数据： sin 37 o
视线
B c a A b
a b tan A a tan A b a b tan A
┌ C
活动课题: 利用直角三角形的边角关系测量物体的高度. 活动方式:分组活动、全班交流研讨.
活动工具:
测倾器(或经纬仪、测角仪等)、皮尺等测量工具.
活动一
测量倾斜角（仰角或俯角）
测量倾斜角可以用测倾器,简单的测倾器由度盘、铅 锤和支杆组成(如图).
0°
活动二
测量底部可以到达的物体的高度.
所谓“底部可以到达”,就是在地面上可以无障碍地直接 测得测点与被测物体的底部之间的距离. 如图,要测量物体MN的高度, 可按下列步骤进行： 1.在测点A处安置测倾器, 测得M的仰角∠MCE=α.
E N C A M
2.量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l. 3.量出测倾器的高度AC=a(即顶线PQ成水平位置时， 它与地面的距离).
得测点与被测物体的底部之间的距离. 要测量物体MN的高度,使用测倾器测一次仰角够吗？
M
E N
α
A
C
a
议一议
要测量物体MN的高度,测一次仰角是不够的.
还需哪些条件？测量哪些数据？
M
E
β
N
D
α
b
A
C
a
B
如图,要测量物体MN的高度,可以按下列步骤进行: 1.在测点A处安置测倾器,测得此时M的仰角∠MCE=α. 2.在测点A与物体之间的B处安置测倾器(A,B与N在一条 直线上，且A，B之间的距离可以直接测得), 测得此时 M的仰角∠MDE=β. 3.量出测倾器的高度AC=BD=a,以及测点A,B之间的距离 AB=b. 根据测量数据,你能
人要学会走路，也得学会摔跤，
而且只有经过摔跤才能学会走路。
——马克思
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利用三角函数测高
90° 60° 30° 90°
60° 0°
30°
1.能够设计测量方案，说明测量理由，能够综合运用 直角三角形边角关系的知识解决实际问题. 2.能对所得数据进行分析，对仪器进行调整和对测量 的结果进行矫正，从而得出符合实际的结果.
视线
1.仰角、俯角：
铅 垂 线
仰角 俯角 水平线
2.直角三角形的边角关系：