学而思奥数计算专题12-分数计算之拆分、裂项与通项归纳强化_综述
六年级奥数-分数裂项
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：知识点拨教学目标分数裂项计算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a ba b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯（2）2222a b a b a ba b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
分数拆项与裂项
分数的速算与巧算1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。
3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨 一、裂项综合 （一）、“裂差”型运算(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有：裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。
（二）、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
三、整数裂项(1) 122334...(1)n n ⨯+⨯+⨯++-⨯1(1)(1)3n n n =-⨯⨯+ (2) 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⨯-⨯=--+二、换元解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简． 三、循环小数化分数 1、循环小数化分数结论：0.9a =； 0.99ab =； 0.09910990ab =⨯=； 0.990abc =，…… 2、单位分数的拆分：例：110=112020+=()()11+=()()11+=()()11+=()()11+ 分析：分数单位的拆分，主要方法是： 从分母N 的约数中任意找出两个m 和n,有：11()()()()m n m n N N m n N m n N m n +==++++=11A B+ 本题10的约数有:1,10,2,5.。
小学奥数—分数裂项
分数裂项计算教学目标本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
知识点拨分数裂项一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即形式的，这里我们把较小的数写在前面，即，1a b ⨯a b <那么有 1111(a b b a a b=-⨯-(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： ，形式的，我们有： 1(1)(2)n n n ⨯+⨯+1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+ 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） （2） 11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
奥赛小学数学竞赛：分数裂项.教师版解题技巧培优易错难
18 2
90
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46
3
1
8=23
24
4
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9
36
【答案】23
36
【例7】计算：
1
2
1
1
4
1
L
20
1
1
6
3
20
2
12
420
【考点】分数裂项
【难度】3星
【题型】计算
【要点词】小数报，初赛
【分析】原式
123L 20
1
1
1
1
L
1
2
6
12
20
提拿出来即可转变为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，而且知足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：
常有的裂和型运算主要有以下两种形式：
（1）a
b
ab1
1
（2）a2
b2
a2
b2
a
b
a
b
a b a b b
a
a b
a b a b b
的计算， 一般都是中间部分消去的过程，
这样的话， 找到相邻两项的相像部分，
让它们消去才是最根本的。
(1)关于分母能够写作两个因数乘积的分数，
六年级奥数-分数裂项
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：知识点拨教学目标分数裂项计算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a ba b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯（2）2222a b a b a ba b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
六年级奥数-分数裂项与分拆(教师版)
第十三讲 分数裂项与分拆1. “裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
①对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- ②对于分母上为3个或4个自然数乘积形式的分数，我们有：1111[]()(2)2()()(2)n n k n k k n n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+++1111[]()(2)(3)3()(2)()(2)(3)n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+③对于分子不是1的情况我们有：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+k n n k n n k 11)(()11h h n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭()()()()()21122k n n k n k n n k n k n k =-+++++()()()()()()()()31123223k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++()()()()()11222hh n n k n k kn n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦()()()()()()()()11233223h hn n k n k n k kn n k n k n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥++++++++⎣⎦()()()221111212122121n n n n n ⎛⎫=+- ⎪-+-+⎝⎭2. 裂差型裂项的三大关键特征：①分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
小学奥数：分数裂项.专项练习及答案解析
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：知识点拨教学目标分数裂项计算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
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【最新整理，下载后即可编辑】学而思小学奥数知识点梳理概述 一、 计算1． 四则混合运算繁分数 ⑴ 运算顺序⑵ 分数、小数混合运算技巧一般而言：① 加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式； ② 乘除运算中，统一以分数形式。
⑶带分数与假分数的互化 ⑷繁分数的化简 2． 简便计算 ⑴凑整思想 ⑵基准数思想 ⑶裂项与拆分 ⑷提取公因数 ⑸商不变性质 ⑹改变运算顺序① 运算定律的综合运用 ② 连减的性质 ③ 连除的性质④ 同级运算移项的性质 ⑤ 增减括号的性质 ⑥ 变式提取公因数形如：1212......(......)n n a b a b a b a a a b ÷±÷±±÷=±±±÷3． 估算求某式的整数部分：扩缩法 4． 比较大小 ① 通分a. 通分母b. 通分子 ② 跟“中介”比 ③ 利用倒数性质若111a b c>>，则c>b>a.。
形如：312123m m m n n n >>，则312123n n n m m m <<。
5．定义新运算 6．特殊数列求和 运用相关公式： ①()21321+=++n n n ②()()612121222++=+++n n n n③()21n a n n n n =+=+ ④()()412121222333+=++=+++n n n n⑤131171001⨯⨯⨯=⨯=abc abc abcabc⑥()()b a b a b a -+=-22⑦1+2+3+4…（n-1）+n+（n-1）+…4+3+2+1=n 2二、 数论1． 奇偶性问题奇±奇=偶 奇×奇=奇 奇±偶=奇 奇×偶=偶 偶±偶=偶 偶×偶=偶 2． 位值原则形如：abc =100a+10b+c3． 数的整除特征：①如果c|a、c|b，那么c|(a b)。
学而思小学奥数知识点梳理
学而思小学奥数知识点梳理学而思教材编写组前言小学奥数知识点梳理,对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要,不过,对于知识点的概括很可能出现以偏概全挂一漏万的现象,为此,本人参考了单尊主编的小学数学奥林匹克、中国少年报社主编的华杯赛教材、华杯赛集训指南以及学而思的寒假班系列教材和华罗庚学校的教材共五套教材,力图打破原有体系,重新整合划分,构建十七块体系其第十七为解题方法汇集,可补充相应杂题,原则上简明扼要,努力刻画小学奥数知识的主树干;概述一、计算1．四则混合运算繁分数⑴运算顺序⑵分数、小数混合运算技巧一般而言：①加减运算中,能化成有限小数的统一以小数形式；②乘除运算中,统一以分数形式;⑶带分数与假分数的互化⑷繁分数的化简2．简便计算⑴凑整思想⑵基准数思想⑶裂项与拆分⑷提取公因数⑸商不变性质⑹改变运算顺序①运算定律的综合运用②连减的性质③连除的性质④同级运算移项的性质⑤增减括号的性质⑥变式提取公因数形如：3．估算求某式的整数部分：扩缩法4．比较大小①通分a. 通分母b. 通分子②跟“中介”比③利用倒数性质若 ,则c>b>a.;形如： ,则 ;5．定义新运算6．特殊数列求和运用相关公式：①②③④⑤⑥⑦1+2+3+4…n-1+n+n-1+…4+3+2+1=n二、数论1．奇偶性问题奇奇=偶奇×奇=奇奇偶=奇奇×偶=偶偶偶=偶偶×偶=偶2．位值原则形如： =100a+10b+c3．数的整除特征：整除数特征2 末尾是0、2、4、6、83 各数位上数字的和是3的倍数5 末尾是0或59 各数位上数字的和是9的倍数11 奇数位上数字的和与偶数位上数字的和,两者之差是11的倍数4和25 末两位数是4或25的倍数8和125 末三位数是8或125的倍数7、11、13 末三位数与前几位数的差是7或11或13的倍数4．整除性质①如果c|a、c|b,那么c|a b;②如果bc|a,那么b|a,c|a;③如果b|a,c|a,且b,c=1,那么bc|a;④如果c|b,b|a,那么c|a.⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除;5．带余除法一般地,如果a是整数,b是整数b≠0,那么一定有另外两个整数q和r,0≤r＜b,使得a=b×q+r 当r=0时,我们称a能被b整除;当r≠0时,我们称a不能被b整除,r为a除以b的余数,q为a除以b的不完全商亦简称为商;用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r, 0≤r＜b a=b×q+r6. 唯一分解定理任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积,即n= p1 × p2 ×...×pk7. 约数个数与约数和定理设自然数n的质因子分解式如n= p1 × p2 ×...×pk 那么：n的约数个数：dn=a1+1a2+1....ak+1n的所有约数和：1+P1+P1 +…p1 1+P2+P2 +…p2 …1+Pk+Pk +…pk8. 同余定理①同余定义：若两个整数a,b被自然数m除有相同的余数,那么称a,b对于模m同余,用式子表示为a≡bmod m②若两个数a,b除以同一个数c得到的余数相同,则a,b的差一定能被c整除;③两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和;④两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差;⑤两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积;9．完全平方数性质①平方差： A -B =A+BA-B,其中我们还得注意A+B, A-B同奇偶性;②约数：约数个数为奇数个的是完全平方数;约数个数为3的是质数的平方;③质因数分解：把数字分解,使他满足积是平方数;④平方和;10．孙子定理中国剩余定理11．辗转相除法12．数论解题的常用方法：枚举、归纳、反证、构造、配对、估计三、几何图形1．平面图形⑴多边形的内角和N边形的内角和=N-2×180°⑵等积变形位移、割补①三角形内等底等高的三角形②平行线内等底等高的三角形③公共部分的传递性④极值原理变与不变⑶三角形面积与底的正比关系S1︰S2 =a︰b ； S1︰S2=S4︰S3 或者S1×S3=S2×S4⑷相似三角形性质份数、比例① ; S1︰S2=a2︰A2②S1︰S3︰S2︰S4= a2︰b2︰ab︰ab ; S=a+b2⑸燕尾定理S△ABG：S△AGC＝S△BGE：S△GEC＝BE：EC；S△BGA：S△BGC＝S△AGF：S△GFC＝AF：FC；S△AGC：S△BCG＝S△ADG：S△DGB＝AD：DB；⑹差不变原理知5-2=3,则圆点比方点多3;⑺隐含条件的等价代换例如弦图中长短边长的关系;⑻组合图形的思考方法①化整为零②先补后去③正反结合2．立体图形⑴规则立体图形的表面积和体积公式⑵不规则立体图形的表面积整体观照法⑶体积的等积变形①水中浸放物体：V升水=V物②测啤酒瓶容积：V=V空气+V水⑷三视图与展开图最短线路与展开图形状问题⑸染色问题几面染色的块数与“芯”、棱长、顶点、面数的关系;四、典型应用题1．植树问题①开放型与封闭型②间隔与株数的关系2．方阵问题外层边长数-2=内层边长数外层边长数-1×4=外周长数外层边长数2-中空边长数2=实面积数3．列车过桥问题①车长+桥长=速度×时间②车长甲+车长乙=速度和×相遇时间③车长甲+车长乙=速度差×追及时间列车与人或骑车人或另一列车上的司机的相遇及追及问题车长=速度和×相遇时间车长=速度差×追及时间4．年龄问题差不变原理5．鸡兔同笼假设法的解题思想6．牛吃草问题原有草量=牛吃速度-草长速度×时间7．平均数问题8．盈亏问题分析差量关系9．和差问题10．和倍问题11．差倍问题12．逆推问题还原法,从结果入手13．代换问题列表消元法等价条件代换五、行程问题1．相遇问题路程和=速度和×相遇时间2．追及问题路程差=速度差×追及时间3．流水行船顺水速度=船速+水速逆水速度=船速-水速船速=顺水速度+逆水速度÷2水速=顺水速度-逆水速度÷24．多次相遇线型路程：甲乙共行全程数=相遇次数×2-1环型路程：甲乙共行全程数=相遇次数其中甲共行路程=单在单个全程所行路程×共行全程数5．环形跑道6．行程问题中正反比例关系的应用路程一定,速度和时间成反比;速度一定,路程和时间成正比;时间一定,路程和速度成正比;7．钟面上的追及问题;①时针和分针成直线；②时针和分针成直角;8．结合分数、工程、和差问题的一些类型;9．行程问题时常运用“时光倒流”和“假定看成”的思考方法;六、计数问题1．加法原理：分类枚举2．乘法原理：排列组合3．容斥原理：①总数量=A+B+C-AB+AC+BC+ABC②常用：总数量=A+B-AB4．抽屉原理：至多至少问题5．握手问题在图形计数中应用广泛①角、线段、三角形,②长方形、梯形、平行四边形③正方形七、分数问题1．量率对应2．以不变量为“1”3．利润问题4．浓度问题倒三角原理例：5．工程问题①合作问题②水池进出水问题6．按比例分配八、方程解题1．等量关系①相关联量的表示法例：甲 + 乙 =100 甲÷乙=3x 100-x 3x x ②解方程技巧恒等变形2．二元一次方程组的求解代入法、消元法3．不定方程的分析求解以系数大者为试值角度4．不等方程的分析求解九、找规律⑴周期性问题①年月日、星期几问题②余数的应用⑵数列问题①等差数列通项公式 an=a1+n-1d求项数： n=求和： S=②等比数列求和： S=③裴波那契数列⑶策略问题①抢报30②放硬币⑷最值问题①最短线路a.一个字符阵组的分线读法b.在格子路线上的最短走法数②最优化问题a.统筹方法b.烙饼问题十、算式谜1．填充型2．替代型3．填运算符号4．横式变竖式5．结合数论知识点十一、数阵问题1．相等和值问题2．数列分组⑴知行列数,求某数⑵知某数,求行列数3．幻方⑴奇阶幻方问题：杨辉法罗伯法⑵偶阶幻方问题：双偶阶：对称交换法单偶阶：同心方阵法十二、二进制1．二进制计数法①二进制位值原则②二进制数与十进制数的互相转化③二进制的运算2．其它进制十六进制十三、一笔画1．一笔画定理：⑴一笔画图形中只能有0个或两个奇点；⑵两个奇点进必须从一个奇点进,另一个奇点出；2．哈密尔顿圈与哈密尔顿链3．多笔画定理笔画数=十四、逻辑推理1．等价条件的转换2．列表法3．对阵图竞赛问题,涉及体育比赛常识十五、火柴棒问题1．移动火柴棒改变图形个数2．移动火柴棒改变算式,使之成立十六、智力问题1．突破思维定势2．某些特殊情境问题十七、解题方法结合杂题的处理1．代换法2．消元法3．倒推法4．假设法5．反证法6．极值法7．设数法8．整体法9．画图法10．列表法11．排除法12．染色法13．构造法14．配对法15．列方程⑴方程⑵不定方程⑶不等方程另外补充说明：在华校课本六年级中有“棋盘上的数学”三讲,其实是找规律类型,知识点涉及棋盘格,几何,数论等,属于综合性问题;。
分数裂项法总结
裂项法的注意事项
在使用裂项法时，需要注意以下几点：首先，要确保拆分 的分数是正确的，即拆分后的分数之差或商等于原分数； 其次，要注意运算的优先级，确保计算的准确性；最后， 要注意简化计算过程，尽可能减少计算的复杂度。
此外，对于一些特殊的分数，如分母为平方数或立方数的 分数，可以使用特定的裂项法进行计算，以简化计算过程 。
分数裂项法之立方差法
立方差法的概念
立方差法是一种将分数拆分成易于计算的形式的方法。通过将一个分数拆分成两个或多个分数的立方差，可以简化计 算过程。
立方差法的应用
立方差法在数学和工程等领域中都有广泛的应用。例如，在解决几何问题时，立方差法可以帮助我们更好地理解和计 算立体图形的体积。
立方差法技巧
在使用立方差法时，需要注意选择合适的拆分方式，以使计算过程更加简便。同时，还需要注意保持拆 分后的分数与原分数相等，以避免出现计算错误。
平方差法是一种将分数拆分成易于计算的形式的方法。通过将一个分数拆分成两个或多个 分数的平方差，可以简化计算过程。
平方差法的应用
平方差法在数学和物理等领域中都有广泛的应用。例如，在解决代数问题时，平方差法可 以帮助我们更好地理解和计算表达式的值。
平方差法的技巧
在使用平方差法时，需要注意选择合适的拆分方式，以使计算过程更加简便。同时，还需 要注意保持拆分后的分数与原分数相等，以避免出现计算错误。
分数裂项法在日常生活中的应用
在日常生活中，我们也会遇到许多涉及到分 数的问题，如时间、金钱等。通过运用分数 裂项法，我们可以更好地理解和处理这些问 题。
例如，在时间管理中，可以将一天的时间拆 分成小时、分钟等部分，以便更好地安排工 作和休息时间；在理财中，可以将一笔钱拆 分成不同的用途和投资方式，以便更好地实
(word完整版)分数裂项
分数裂项
分数裂项知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了.
分数裂项是整个奥数知识体系中的一个精华部分,列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现,对学生要求较高。
将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项,常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系,找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程,这样的话，找到相邻两项的相似部分,让它们消去才是最根本的。
小学奥数：分数裂项.专项练习及答案解析[汇编]
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本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b形式的，这里我们把较小的数写在前面，即ab ，那么有1111()a bba a b(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n，1(1)(2)(3)n n nn形式的，我们有：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n nn n n n1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n nnnn n nn n n裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：知识点拨教学目标分数裂项计算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11aba b a ba ba bba（2）2222ababa b a b a b a bba裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
小学数学奥数举一反三——分数拆项与裂项
• （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数
“首尾相接”
• （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 • （二）、“裂和”型运算： • 常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
ab a b 1 1 ab ab ab b a
12
22
1
10 2
换元与公式的应用
13 33 53 73 93 113 133 153
换元与公式的应用
换元与公式的应用
换元与公式的应用
换元与公式的应用
换元与公式的应用
换元与公式的应用
换元与公式的应用
换元与公式的应用
换元与公式的应用
2007 8.5 8.5 1.5 1.5 10 160 0.3
不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化
目的。
• 三、整数裂项
12 23 34 ... (n 1)n
1 (n 1) n (n 1) 3
1 23 23 4 3 45 ... (n 2) (n 1) n 1 (n 2)(n 1)n(n 1) 4
2 23 234
2 3 L 50
分数裂项
12 13
12 13
22 23
12 13
22 23
32 33
12 13
22 23
32 33
42 43
12 13
22 23
262 263
分数裂项
分数裂项
小学奥数整数裂项与通项归纳
小学奥数整数裂项与通项归纳以《小学奥数整数裂项与通项归纳》为标题，写一篇3000字的中文文章整数裂项和通项归纳是小学奥数中一个重要的知识点，遇到这类题目要求的多，因此正确的掌握这两种方法是小学生正确解题的关键。
本文就整数裂项与通项归纳的概念及其在小学奥数中的应用展开讨论。
一、整数裂项、通项归纳概念及其特点整数裂项是指将一个整体分解，将复杂的东西分解成若干个简单的组成部分，比如将一个数字分解成最小单位，比如将一个数学表达式分解成元素，便可以理解为整数裂项。
通项归纳是指从一组具有一定规律的数据出发，从抽象的角度分析求出这组数据的总体规律，并根据总体规律推出此类数据的其他情况。
整数裂项和通项归纳都是在数学中应用很广泛的概念。
整数裂项是用简单的单元拆分一个复杂的整体，而通项归纳则是从多个例子中总结归纳出一个共同的规律，从而用简单的规律给出复杂的回答。
二、整数裂项、通项归纳在小学奥数中的应用（一）整数裂项小学时期学习过分数，可知，其实分数本质上是一种整数裂项。
要正确掌握分数的形式，必须学会用整数的形式表示，比如1/3=3/9,3/4=9/12，以此类推。
当出现一些更复杂的题目时，要正确解答，就要正确掌握整数裂项。
（二）通项归纳很多小学数学题目中都有连续等差数列及其等比数列的概念，而掌握这些规律要用通项归纳的方法，从一组已知的数据中，抽象出每一项与其他项之间的联系，总结出这组数据的总体规律，从而解决更多的有关等差数列、等比数列的问题。
三、学习整数裂项、通项归纳的要点1.持练习：学会整数裂项、通项归纳的关键在于坚持练习，以达到运用此知识点解决实际问题的能力。
2.意步骤：一边练习，一边注意完成每一步时应当掌握的内容，比如在整数裂项时应当注意拆分最小单位，在通项归纳时应当注意总结出连续等差数列及其等比数列的抽象规律。
3.思考：一旦遇到一个题目，应当多一些算法思考，比如在遇到一组数据时，应当首先审题，判断题目的性质，比如数据是否存在连续等差数列或者等比数列，这样才能正确找出解题思路。
(完整)六年级奥数-分数裂项
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：分数裂项计算教学目标知识点拨（1）11a b a ba b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯（2）2222a b a b a ba b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
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15、机会是不守纪律的。——雨果
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26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
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27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
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28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
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29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
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30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华ห้องสมุดไป่ตู้
小学数学奥数举一反三——分 数拆项与裂项
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
谢谢！
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