高一立体几何证明专题练习一

高一立体几何证明专题练习一

1. 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1 中，E，F，G，H分别是AB，

AC，A1B1，A1C1 的中点，求证：

(1) B，C，H，G四点共面；

(2) 平面EFA1∥平面BCHG.

2. 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1 中，AB＝AC＝5，BB1＝BC＝6，D，E 分别是AA1 和B1C 的中点．

(1) 求证：DE∥平面ABC；

(2) 求三棱锥E－BCD的体积．

3. 如图，多面体ABFEDC的直观图及三视图如图所示，M，N分别为AF，BC的中点．

(1) 求证：MN∥平面CDE；F

(2) 求多面体A－CDEF的体积．

4.如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点．

(1) 求证：MN⊥CD；

(2) 若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.

5.如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝4，AB＝2DC＝2 5.

(1) 求证：BD⊥平面PAD；

(2) 求三棱锥A－PCD的体积．

6.已知正方体ABCD－A1B1C1D1 中，E为棱CC1 上的动点．

(1) 求证：A1E⊥BD；

(2) 当E 恰为棱CC1 的中点时，求证：平面A1BD⊥平面

EBD.

7.如图，直角梯形ACDE与等腰直角△ABC所在平面互相垂直， F 为BC的中点，∠BAC ＝∠ACD＝90°，AE∥CD，DC＝AC＝2AE＝2.

(1) 求证：AF∥平面BDE；

(2) 求四面体B－CDE的体积．

8.如图所示，已知ABCD－A1B1C1D1 是棱长为 3 的正方体，点E在AA1 上，点F在CC1 上，G在BB1 上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1 的中点．

(1) 求证：E、B、F、D1 四点共面；

(2) 求证：平面A1GH∥平面BED1F.

9.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1 中，D，E分别是AB，BB1 的中点．

(1) 证明：BC1∥平面A1CD；

(2) 若AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2 2，求三棱锥C－A1DE的体积．

10.在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1 和ACC1A1都为矩形．

(1) 若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；

(2) 设D，E分别是线段BC，CC1 的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．

11.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1 中(侧棱垂直于底面的三棱柱叫直三棱柱) ，AB＝BB1 ，AC1⊥平面A1BD，D为AC的中点．求证：

(1) B1C∥平面A1BD；

(2) B1C1⊥平面ABB1A1.

12.如图所示，在正方体ABCD－A1 B1C1D1 中，E、F分别是CD、A1D1 的中点．

(1) 求证：AB1⊥BF；

(2) 求证：AE⊥BF；

(3) 棱CC1 上是否存在点P，使BF⊥平面AEP，若存在，确定点P的位置，若不存在，说

明理由．

13.如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为8 的正方形，四条侧棱长均为 2 17. 点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.

(1) 证明：GH∥EF；

(2) 若EB＝2，求四边形GEFH的面积．

14.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．

(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；

(2)求证：C1F∥平面ABE；

(3)求三棱锥E－ABC的体积．