对偶单纯形法
对偶单纯形法的原理和应用
对偶单纯形法的原理和应用一、原理介绍对偶单纯形法是线性规划的一种求解方法，通过对原问题的对偶问题进行迭代求解，来达到求解原问题的目的。
下面详细介绍对偶单纯形法的原理。
1. 线性规划问题的对偶性在线性规划问题中，我们常常需要求解最小化或最大化线性目标函数的问题，同时满足一系列线性约束条件。
对于这样的问题，可以通过定义对偶问题来求解。
2. 对偶问题的定义对于原问题的最小化形式，可以定义对偶问题的最大化形式。
对于原问题的最大化形式，可以定义对偶问题的最小化形式。
对偶问题和原问题之间具有很强的对称性。
3. 对偶单纯形法的基本思想对偶单纯形法的基本思想是通过迭代求解对偶问题来达到求解原问题的目的。
在每一次迭代中，首先确定最优解是否已经找到，如果找到最优解，则结束算法；否则，确定要改进的变量，通过计算改变最变量之前对应的对偶变量的值，然后再进行下一次迭代。
二、应用场景对偶单纯形法在实际应用中有着广泛的应用场景。
下面列举几个典型的应用场景。
1. 生产计划问题在生产计划问题中，常常需要确定各个生产线的产量，以最小化总成本或最大化总利润。
对偶单纯形法可以应用于该问题的求解，通过定义对偶问题，并通过迭代求解对偶问题，来确定生产线的产量。
2. 项目调度问题在项目调度问题中，需要确定各个项目的开始时间和结束时间，以最小化总工期或最大化资源利用率。
对偶单纯形法可以应用于该问题的求解，通过定义对偶问题，并通过迭代求解对偶问题，来确定项目的调度方案。
3. 运输问题在运输问题中，需要确定各个供应商到各个销售点的运输量，以最小化总运输成本。
对偶单纯形法可以应用于该问题的求解，通过定义对偶问题，并通过迭代求解对偶问题，来确定每个供应商和销售点的运输量。
4. 资源分配问题在资源分配问题中，需要确定各个资源的分配比例，以最大化总效益或最小化总成本。
对偶单纯形法可以应用于该问题的求解，通过定义对偶问题，并通过迭代求解对偶问题，来确定资源的分配比例。
(完整版)对偶单纯形法详解
一、什么是对偶单纯形法？
对偶单纯形法是应用对偶原理求解原始 线性规划的一种方法——在原始问题的单 纯形表格上进行对偶处理。
注意：不是解对偶问题的单纯形法！
二、对偶单纯形法的基本思想 1、对“单纯形法”求解过程认识的提升— —
从更高的层次理解单纯形法 初始可行基（对应一个初始基本可行解）
3 4
x1, x2 , x3, x4, x5 0
以此形式进行列表求解，满足对偶单纯形 法的基本条件，具体如下：
CB
XB
0
x4
0
x5
cj -2 -3 -4 0 0
xj b
x1 x2 x3 x4 x5
-3
-1 -2 -1 1 0
-4
-2 1 -3 0 1
-Z
0
-2 -3 -4 0 0
比
值 -2/-2 --- -4/-3 --- ---
2/5
11/5
-2 -3 -4 0 0 x1 x2 x3 x4 x5
0 1 -1/5 -2/5 1/5 1 0 7/5 -1/5 -2/5
cj-zj
0
0 0 -3/5 -8/5 -1/5
最优解: X*=（11/5，2/5, 0, 0, 0）T，
最优值: minW= -maxZ* = -[11/5×(-2)+2/5×(-3)]= 28/5
将三个等式约束两边分别乘以-1，然后
列表求解如下：
CB
XB
0
y3
0
y4
0
y5
-Z
比
cj yj b
-3 -9 0 y1 y2 y3
00 y4 y5
-2
-1 -1 1 0 0
第三章对偶单纯形法
··
≥ (c1,c2,…,cn)
y1，y2，…，ym≥0
m个变量，n个约束条件
2﹒约束条件全部为“=”的对偶
原问题：
max z=CX
max z=CX
max z=CX
AX＝b
等价
AX≤b AX≥b
AX≤b 等价 －AX≤－b
X≥0
min ω=(Y1,Y2) A
(Y1,Y2) －A Y1,Y2≥0
b －b
承租
出让代价应不低于 用同等数量的资源 自己生产的利润。
厂家能接受的条件：
出 用同让6等代y数价2量应的不y资低3 源于 2 5 y自1 己生2产y2的利y润3。 1
收购方的意愿：
min w 15 y 24 y 5 y
1
2
3
Ⅰ
Ⅱ
D
设备A
0
设备B
6
调试工序
1
5 15时 2 24时 1 5时
利润（元） 2
x1 0, x2 , x3 0, x4无限制max变S量个数5n y1 约4束y方2 程个6数yn3
2、求下列问题的对偶问题 min Z 2x1 3x2 5x3 x4
4x1 x2 3x3 2x4 5
s.t
3x1 2x2 7x4 2x1 3x2 4x3
4 x4
6
s.t
3﹒约束条件为“≥”的对偶
原问题：
max z=CX
max z=CX
对
AX≥b
等价
－AX≤ － b
偶
X≥0 min ω=Yb
对偶 问题
X≥0
问
题
min ω=Y1 (－ b)
YA ≥C Y≤0
令Y= － Y1
对偶单纯形法
1. 换出变量的确定原则
常数列中最小的负元素所在的行所对应的基变量为换出变量.
p11-1
§3.4 灵敏度分析
运筹学
灵敏度分析——研究系数变化对最优解的影响.
一、改变价值向量
在最终表内, cr的变化只引起检验数的变化, 需重新计算检验数.
§3.3 对偶单纯形法
运筹学
一、对偶单纯形法与单纯形法的区别
对 运用对偶单纯形法时, 不需要引入人工变量, 但必须先给 定原问题的一个对偶可行基本解.
二、对偶单纯形法的求解方法
▲ 以求解下述线性规划 问题为例
min z 2x1 3x2 4x3 s.t. x1 2x2 x3 3
二、改变资源向量
在最终表内, br的变化只引起右端项的变化, 需重新计算右端项. 利用B-1(b+b).
三、改变A中的一列
通常是非基变量所对应的列, 需重新计算检验数.
四、增加一个新的约束条件
五、增加一个新的变量
p11-2
运筹学
作业：P81第1.12题之（2）； 第1.13题
p11-3
对偶单纯形法的条件
对偶单纯形法的条件
首先，对偶单纯形法的条件包括：
1. 对偶可行性条件，对偶单纯形法要求原始问题和对偶问题都是可行的。
也就是说，原始问题的约束条件和对偶问题的变量非负条件都必须满足。
2. 对偶非退化条件，这个条件要求对偶单纯形表中的对偶变量都是非负的，且对偶问题的最优解是非退化的。
3. 对偶互补松弛条件，这个条件指的是原始问题的最优解和对偶问题的最优解之间存在一种互补关系，即原始问题的最优解和对偶问题的最优解必须满足一组互补松弛条件。
其次，对偶单纯形法的条件还涉及到对偶单纯形表的构建和迭代计算的条件：
1. 对偶单纯形表的构建需要满足对偶问题的约束条件和非负条件，通过构建对偶单纯形表，可以进行对偶单纯形法的迭代计算。
2. 对偶单纯形法的迭代计算需要满足一定的迭代规则和条件，
包括选择合适的进入变量和离开变量，进行主元素的换入换出操作，更新对偶单纯形表等操作。
最后，对偶单纯形法的条件还包括了对原始问题和对偶问题的
理解和转化能力：
1. 需要理解原始问题和对偶问题之间的对偶关系，以及如何通
过对偶问题来求解原始问题的最优解。
2. 需要具备将原始问题转化为对偶问题的能力，以及对对偶问
题的理解和求解能力。
总的来说，对偶单纯形法的条件涉及到对原始问题和对偶问题
的理解、对偶单纯形表的构建和迭代计算条件，以及对偶问题的可
行性、非退化性和互补松弛条件的满足。
这些条件是对偶单纯形法
顺利求解线性规划问题的基础，需要严格满足和理解。
对偶单纯形法
y1, y2 0
Min w 2 y1 3y2
解:
先将原问题化为下列形式
s.t.
2 y1 y1
y1 y2 y3 4 3y2 y4 6 y2 y5 3
y1, y2 , y3, y4 , y5 0
对偶单纯形法举例(例2-2) 则第一个基为B1=(P3,P4,P5)=I 基变量为y3,y4,y5 第一个对偶可行基对应的单纯形表如下
5
-w 8 -15 0 -1 -4 0
对偶单纯形法举例(例1-4)
T(B2) XB b Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y2 1/3 0 1 1/6 -1/6 0
Y -1/3 -5 0
5
-w 8 -15 0
-2/3 -1/3 1 -1 -4 0
T(B3)
Y2 1/4 -5/4 1 Y3 1/2 15/2 0 -w 17/2 -15/2 0
5
w 0 -2 -3 0 0 0
Y3 -2 -5/3 0 Y2 2 1/3 1 Y5 -1 -2/3 0
1 -1/3 -1/3 0 -1/3 -1/3 0 -1/3 2/3
w 6 -1 0 0 -1 -1
对偶单纯形法举例(例3-1)
例3：用对偶单纯形法解下列线性规划
Min w x1 x2
3x1 x2 x3 1
s.t.
x1 x2 2x1 2x2
x4 2 x5 4
x j 0 j 1,2,3,4,5
解: 取B1=(P3，P4，P5)=I
为对偶可行基
因此其对应的单纯形表如下
对偶单纯形法举例(例3-2)
T(B1)
x1 x2 x3 x4
x5
x3 -1 3 -1 1 0 0
x4 -2 -1 1 0 1
介绍对偶单纯型算法
介绍对偶单纯型算法
对偶单纯形法是一种求解线性规划问题的算法。
它基于线性规划问题的对偶理论，从对偶可行性出发，通过迭代搜索，逐步找出原始问题的最优解。
在具体操作上，对偶单纯形法首先需要设定一个初始基和对应的最优解。
然后，它会根据对偶问题的约束条件进行迭代，每次迭代都会根据一定规则（如“进基”和“出基”规则）更新基和对应的最优解。
当无法找到能使目标函数值更优的可行解时，算法结束，此时得到的解即为原始问题的最优解。
对偶单纯形法具有一些优点。
例如，它可以处理一些不可行或无界的情况，这些情况可能会让原始单纯形法束手无策。
此外，对偶单纯形法还可以提供对偶问题的信息，这些信息可能有助于理解原始问题的性质。
然而，对偶单纯形法也有一些缺点。
例如，它需要处理的是对偶问题而非原始问题，这可能会导致一些计算上的复杂性。
此外，虽然对偶单纯形法可以找到最优解，但它不能提供任何关于解的可行性和最优性的证明。
总的来说，对偶单纯形法是一种有效的求解线性规划问题的算法，但使用时需要注意其可能存在的局限性。
对偶单纯形法
2 2
x1 x1
+x2 + 4x3 2 +2x2 + 4x4 3
x
j
0,
j
= 1, 2,3
MinS =1200x1 +800x2 +1600x3 +1200x4 + 0x5 + 0x6
−−22xx11
− −
x 2
−
2
x2
4x3 + − 4x4
x
+
=
5
x6
−2 = −3
K
Min{-1200/-2; -800/-2; -1200/-4}=300
Cj
CB
XB
0
X5
1200
X4
Zj
cj-zj
1200 800 1600 1200 0
0
b
x1
x2
x3x4x5Fra bibliotekx6L
-2
-2
--11
-4
0
1
0
3/4
1/2 1/2
0
1
0
-1/4
600 600
0 1200
0
-300
600 200 1600 0
即：保持对偶问 题可行，将原问 题由不可行化为 可行
➢算法流程：
? 找出初始基本解，满足cj-zj≤0 （MaxZ）
bi>0? N
Y
最优解
i=L
Y
aLj 0 ?
N
无解
? 找出新的基本解，满足cj-zj≤0
例题： 解：标准型为
Min S = 1200x1 +800x2 + 1600x3 + 1200x4
运筹学对偶单纯形法
-4 x3
1/2 3/2
0 x4 1 0 0
0 x5
-1/2 -1/2
x4换出变量
CB 0
-2 x1 cj-zj
2
-4 8/5
-1
-1
min{σj/αlj|αlj<0}
2
x2换入变量
cj CB -3 -2 cj-zj XB x2 x1 b
2/5 11/5
-2 x1 0
-3 x2
1
当bl<0，而对所有j=1,…,n，有alj0，
则原问题无可行解。
证明：xl+al,m+1xm+1+…+al,nxn=bl
CB c1 … cl … cm 基 x1 ba x0(j=m+1, xl xm ，又 xm+1 1 因 … ,n) bl<0， lj …，0 1 <0 b 故有 x l
1
第三步 先确定换出变量 解答列（b 列）中的负元素对应的基变量出基， 相应的行为主元行。 一般选最小的负元素出基， 即若min { ( B -1 b )i| (B -1b )I < 0 } = ( B–1 b )l 则选取 x l 为换出变量.
检验第l 行中非基变量 xj 的系数 αlj , 若所有的αlj ≥ 0，则LP 问题 无可行解， （下面进行说明），此时计算结束。 否则转下步
cj
CB XB x4 x5 b -3 -4
-2 x1
-3 x2
-4 x3
0 x4
0 x5
x5换出变量
0
-1
-2 -2
2 1 2
-2
1 -3
-1
-3 -4
对偶单纯形法
3x2 2x2
x4 x5
x7 3
6
用单纯形 法求解
x1, x2 , x3 , x4 , x5 0
对偶单纯形法的优点：
1、不需要人工变量；
2、当变量多于约束时，用对偶单 纯形法可减少迭代次数；
3、在灵敏度分析中，有时需要用对 偶单纯形法处理简化。
注意：对偶单纯形法仅限于初始基B对应
X（0）为基本可行 解的X（条0）件为？最优解的 条件？
B-1b≥0 C CBB1 A 0
原问题最优解条件
令Y=CBB-1，代入原问题最优解条件，→YA≥C
min Yb
YA C Y无符号限制
取基本解X1 B1b,0
保证对偶问题的可行性，逐
步改进原问题的可行性，求
x1 x3 2
s.t
x2
2x3
5
x1，x2，x3 0
若取初始基B1 P4，P5
则关于B1的标准型为
max Z 4x1 3x2 8x3
不s可.t 行 x1x2
x3 2x3
x4
2 x5 5
x1，x2，x3 , x4 , x5 0
且由对偶理论知，Y0 CB B 1为（D）的最优解
对偶单纯形法步骤：
1. 列出初始单纯形表，检查b 列的数字若都为非负， 则已得到最优解，停止计算，若b列的数字中至少 有一个负分量，转第二步。
2. 确定出基变量
按 min B1b i B1b i 0 B1b l ,对应的基变量法： 求max Z x6 Mx9
2x2 x3 x4 x5
x9 1
对偶问题(三)——对偶单纯形法
1、确定出基变量： 设br =min{bi | bi <0} 则取br所在行的基变量 为出基变量 即取X4为出基变量 2、确定入基变量： 原则： 保持检验行系数≤0
λi λ i0 设 min | a ri < 0 = a ri a ri 0
1 21 3
X1 检 -2/3 X3 -5/3 X2 4/3 X5 -5/3 X3 X4 0 -1/3 1 0 0
max Z = −4 x1 − 3 x 2 − 8 x 3 − x1 − x 3 + x 4 = −2 不可行− x 2 − 2 x 3 + x 5 = −5 s.t x ，x ，x , x , x ≥ 0 1 2 3 4 5
若取初始基 B1 = (P4， P5 ) 则关于 B1的典则形式为
-1/3 0 -1/3 0 2/3 1
X1 检 0 X3 0 X2 0 X1 1
X3 X4 X5 0 -3/5 -2/5 Z+12/5 1 0 0 -1 -1 0 1/5 4/5 6/5 -2/5 -3/5 3/5
3 6 最优解X = ，，0， （ 0，0 ） 5 5 最优值Z = −12 5
则取xi0 为入基变量
a11x1 + a12x2 +L+ a1n xn ≥ b1 a x + a x +L+ a x ≥ b 21 1 22 2 2n n 2 s.t L L L am1x1 + am2 x2 +L+ amnxn ≥ bm x1 , x 2 L , x n ≥ 0
若 c j ≥ 0 ( j = 1, 2 , L , n )
max Z ′ = − 2 x 1 − x 2 3 x1 + x 2 − x 3 = 3 4x + 3x − x = 6 1 2 4 s .t 基B的典则形式 x1 + 2 x 2 + x 5 = 3 x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ≥ 0
对偶单纯形法详解课件
终止准则
算法终止的准则有多种，如达到预设的 最大迭代次数、解的变化小于预设阈值 等。
VS
终止判断
在每次迭代后，需要判断是否满足终止准 则，如果满足则算法终止，否则继续迭代 。
04 对偶单纯形法的优化策略
预处理技术
预处理技术
通过预处理，可以消除原问题中的冗 余约束，简化问题规模，提高求解效 率。
线性规划问题的转化
对偶单纯形法详解课 件
目录
CONTENTS
• 对偶单纯形法简介 • 对偶单纯形法的基本原理 • 对偶单纯形法的实现步骤 • 对偶单纯形法的优化策略 • 对偶单纯形法的案例分析 • 对偶单纯形法的展望与未来发展方向
01 对偶单纯形法简介
对偶问题的定义
对偶问题是指原问题的一个等价形式，其目标函数和约束条 件与原问题互为对偶。在优化问题中，对偶问题通常用于求 解原问题的最优解。
对偶单纯形法的应用场景
对偶单纯形法广泛应用于各种优化问题，如线性规划、整数规划、二次规划等。 它适用于求解大规模优化问题，并且具有较高的计算效率和精度。
在实际应用中，对偶单纯形法可以与其他优化算法结合使用，如梯度下降法、共 轭梯度法等，以提高求解效率和精度。同时，对偶单纯形法也可以用于解决一些 复杂的组合优化问题，如旅行商问题、背包问题等。
对偶问题的形式取决于原问题的类型和约束条件。例如，线 性规划的对偶问题就是将原问题的目标函数和约束条件进行 线性变换，得到一个新的优化问题。
对偶单纯形法的概念
对偶单纯形法是一种求解线性规划的方法，它利用对偶问 题的性质，通过迭代和交换变量的方式，逐步逼近最优解 。
在对偶单纯形法中，每次迭代都包括两个步骤：一是根据 对偶问题的最优解更新原问题的解；二是根据原问题的最 优解更新对偶问题的解。这两个步骤交替进行，直到达到 最优解或满足一定的停止准则。
对偶单纯形法
对偶单纯形法一. 对偶单纯形的思想：考虑线性规划问题..min ≥= x bAx t s xc T基本思想：从线性规划问题的一个基本解出发，迭代过程中 不要求基本解满足可行性（即允许基本解中存在负分量），但要求始终保持基本解的检验数小于等于0（即始终保持T T B B c )(1−为其对偶线性规划问题的可行解，逐步减少基本解中的负分量的个数，直至基本解中没有负分量为止就得到了问题的最优解。
这种迭代方法即为对偶单纯形法。
注：对偶单纯形法是根据对偶原理求解线性规划问题的 另一种单纯形法。
对偶单纯形法的迭代依然是以主元lk b 为主元的转轴运算，但它也有自己的特点。
它是先确定离开基的变量，即先确定l x ，然后确定进入基的变量，即确定k x 。
1. 最优性的判别已知线性规划问题的一个基矩阵B 及与它对应的基本 解⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛0B x ，且此基本解的所有判别数0≤。
若01≥=−b B x B ，则所得到的基本解为最优解.(3) 以lk b 为主元进行转轴运算，返回（1）。
例1 用对偶单纯形法求解线性规划问题,, 12 423 32 ..3min 32132121321321≥≥−+≥+≥++++=x x x x x x x x x x x t s x x x f解：引入松弛变量654,,x x x ，将给定的线性规划问题化为标准形式,,,,, 12 423 32 ..3min 65432163215214321321≥=−−+=−+=−++++=x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x f为了得到对偶问题的一个可行解，把每个约束方程两端乘以（-1），变换后的系数置于单纯形表：。
对偶单纯形法(经典运筹学)
解：问题化为标准型 max Z 2 x1 x 2 5 x1 x 2 x3 2 x 2 x3 x 4 5 s.t 6x xx 9 xx 2 2 6 x3 3 5 5 9 44 x1 , x 2 , x3，x 4，x5 0
X1 X2 X3 X4 X 5
2 检 0 1 -1 1 2 -4 0 -2 1 1 -6 0 0 1 0 0 0 0 1
Z Z-10
X1 1 X4 0
5 5 -9
X5 0
4
14 13 X1 X 2 X 3
检
X1 X4
0 1 0 0 0 0 0 1
X4
X5
-1/4 Z-31/4 1/4 1/2 11/4 1/2
所在行的基变量出基 则取br
4、以ari0 为主元素进行换基迭代 ，得一新的单纯形表， 转2
例：用对偶单纯形法 求解下列问题 max Z 2 x1 x 2 x1 x 2 x3 5 2x x 5 11 9 2 3 最优解 X （ ，） s.t 4 4 4 x 6 x 9 2 3 31 x1 , x 2 ,Z x3 0 最优值
-1/2 0 -1/2 0 -2 3/2 1 0
X2
-1/4 9/4
11 9 1 最优解 X （ ，， 0， ， 0 ） 4 4 2 初始基 B （P ） 1，P 4，P 5 31 最优值 Z 不是典则形式 4
注意：对偶单纯形法仅限于初始基B对应 可用对偶单 的典则形式中目标函数的系数（检 纯形法 验数）均≤0的情形。 B的典则形式
对偶单纯形法是求解对偶规划的一种方法 × 对偶单纯形法：利用对偶理论得到的一个 求解线性规划问题的方法
单纯形法（原始单纯形法）的两个条件：
对偶单纯形法bland法则
对偶单纯形法bland法则
偶单纯形法(Duality Simplex Algorithm)是求解线性优化问题的一种常见方法。
这种方法的核心思想是基于线性规划的对偶性的。
它的基础是著名的双重模型(dual problem)，即由原始线性规划问题派生出的等价的对偶线性规划问题。
偶单纯形法是将求解整数规划问题的配套技术，是一种基于可变缩减实现系统设计的启发式方法。
原始线性规划问题通过变量的解除转化为一个对偶的新的线性规划问题。
偶单纯形法比较适用于不约束的线性优化问题，也可以被应用到更加复杂的约束条件下的求解问题。
Bland法则是偶单纯形法的一种变体，该法则提出要在每一步中都选择最“可能”基本变量进行变换，可能意味着从潜在可行性基变量中选择120英寸可行松弛性单纯形变量。
该法则是线性优化中比较重要的最小化技术，可用于执行最优化准则，检查问题的最优解，并在找到最优解前止血处理的可行解。
偶单纯形法与Bland法则的中心思想在于解决线性规划问题，它们最大的优势在于能够解决问题更加迅速和有效，同时在系统推导出算法时，可以更容易理解和实现。
偶单纯形法Bland法则是常用的算法之一，它将精确解决线性优化问题，可以在短时间内找到可行解，可以开发出一类求解工具，帮助企业和机构解决线性规划问题，以获得自己理想的最优解。
对偶单纯形法的条件
对偶单纯形法的条件对偶单纯形法是线性规划中一种重要的求解方法，主要用于解决线性规划问题的对偶问题。
它通过对原问题进行转化和运算，求解出对偶问题的最优解，从而得到原问题的最优解。
对偶单纯形法是基于单纯形法的扩展，具有更广泛的适用性和更高效的求解效果。
对于使用对偶单纯形法求解线性规划问题，需要满足以下条件：1. 原问题必须是标准形式的线性规划问题：目标函数为最小化形式，约束条件为等式形式，并且所有变量的取值范围为非负数。
2. 原问题必须存在可行基本解：可行基本解是指满足所有约束条件的解，可以通过单纯形法或其他方法求得。
3. 原问题的最优解必须有限：即原问题存在最优解，不是无界的。
在满足以上条件的基础上，使用对偶单纯形法求解线性规划问题的步骤如下：步骤一：建立对偶问题根据原问题的约束条件和目标函数，建立对偶问题的目标函数和约束条件。
对偶问题的目标函数为原问题的约束条件的系数构成的向量与对偶变量的乘积之和，约束条件为原问题的目标函数的系数构成的向量与对偶变量之和等于对偶约束条件的系数构成的向量。
步骤二：初始化给定初始对偶变量的取值，通常取为0，然后计算初始对偶解。
步骤三：判断最优性根据当前对偶解，判断原问题的最优性。
如果原问题的最优性条件满足，则停止计算，得到最优解；否则，进行下一步。
步骤四：选择换入变量根据当前对偶解，选择换入变量。
具体方法是在对偶约束条件中，选择不满足约束条件且对偶变量目标函数系数最小的变量作为换入变量。
步骤五：选择换出变量根据换入变量，选择换出变量。
具体方法是在换入变量所对应的约束条件中，选择满足约束条件且使对偶解最小的变量作为换出变量。
步骤六：更新对偶解根据换入、换出变量，更新对偶解。
具体方法是用换入变量替换对应的换出变量，计算新的对偶解。
重复步骤三到六，直到原问题的最优性条件满足为止。
最终得到原问题的最优解和对偶问题的最优解。
对偶单纯形法的优点在于它能够通过解决对偶问题来求解原问题，从而减少了计算量，提高了求解效率。
对偶单纯形法(经典运筹学)
X1 X2 X3 X4 X5 检 X3 -2 -1 0 -3 -1 1 0 0 0 0 Z -3
X4
X5
-4 -3 0
1 2 0
1
0
0
1
-6
3
不 可 行
即max Z 2 x1 x2
3 3x1 x 2 x3 4 x 3x x4 6 1 2 s.t x5 3 x1 2 x 2 x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 0
-1/3 0 -1/3 0 2/3 1
X 3 X4 X5 0 -3/5 -2/5 Z+12/5 1 -1 -1 0
X2 0 X1 1
1 0
0 0
1/5 4/5 6/5 -2/5 -3/5 3/5
3 6 最优解X （ ，， 0， 0， 0 ） 5 5 最优值Z 12 5
则取xi0 为入基变量
1
1
令X N 0 得X B B b 0 得基本可行解 X 1 B b,0
1
1
1 、若所有的检验数 CN B 1 N 0 , 则X 1为最优解
2、检验数 C N C B B 1 N中存在一个分量 0, 且该分量对应的列 向量中所有的分量 0, 则目标函数值在可行解 域内无上界
1、确定出基变量： 设br =min{bi | bi <0} 则取br所在行的基变量 为出基变量 即取X4为出基变量 2、确定入基变量： 原则： 保持检验行系数≤0
i i0 设 min | a ri 0 a ri a ri 0
1 21 3
X1 检 -2/3 X3 -5/3 X2 4/3 X5 -5/3 X1 检 0 X3 0 X3 X4 0 -1/3 1 0 0
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把上述思想移植到对偶问题上。
对偶单纯形法迭代过程的实质是：保持对偶问题的可行性（只要检验数≤0即可）， 通过改变对偶问题的可行基，使原问题由不可行变为可行。根据对偶理论，这两 个可行解就是原始和对偶问题的最优解。
例2.4.1 用对偶单纯形法求解下列线性规划问题。 min z = 15x1+24 x2 +5 x3
6 x2 + x3 ≥2
st.
5x1+2 x2 + x3 ≥1
x1 , x2 , x3 ≥0
解：把线性规划问题化为标准形式。
max z′ = －15x1－24 x2 － x3 +0 x4 +0 x5
-2/3是主元素， x3是换入变量。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱj
－15 －24 － 5
CB
XB
b
x1
x2
x3
-24
x2 1/4
-5/4
1
0
表 11
0
0
x4
x5
-1/4 1/4
5
x3 1/2 15/2
0
1
1/2 -3/2
(cj－zj) 或 j
-15/2 0
0
-7/2 -3/2
由于原始，对偶都已经可行，所以，表11对应的解是最优解。
求极大为标准形式时
min j
c
j
arj
z
j
arj
0
cs zs ars
求极小为标准形式时
min j
z
j c arj
j
arj
0
zs cs ars
（2-22a） （2-22b）
第s 列所在的变量xs作为换入变量。 (4) 选择 ar s 为主元素，把该列向量变为单位列向量。
这里的旋转运算和单纯形法一样，主元素处变为1，其余变为0即可。 （5）重复步骤（2）—（4），直至原问题变为可行解为止。
0
1
(cj－zj) 或 j
-15
-24
-6
0
0
根据对偶单纯形法，首先选择换出变量：显然常数项列最负的元素是-2，所以
第一行的基变量 x4 作为换出变量。
换入变量的确定利用公式（2-22）。第一行与检验数行对应分量比值的最小值为： 最小比值={—，-24/-6，-6/-1} = 4
-6是主元素， x2是换入变量。
注意： 具有本例题形式的线性规划问题在求最优解时，可以不使用人工变量，对偶 单纯形法能使求解过程更简便。
返回
表 10
cj
－15 －24 － 5
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
-24
x2 1/3
0
1 1/6
-1/6 0
0
x5 -1/3 －5
0 [-2/3] -1/3 1
(cj－zj) 或 j
-15
0 -1
-4
0
选择换出变量。显然负元素是-1/3，所以第二行的基变量 x5 作为换出变量。
换入变量的确定利用公式（2-22）。第二行与检验数行对应分量比值的最小值为： 最小比值={-15/-5，-1/（-2/3），- 4/（-1/3）} = 3/2
6 x2 + x3 － x4
=2
st. 5x1+ 2 x2 + x3 － x5 = 1
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥0
在标准形式里，目标函数系数满足使用对偶单纯形法的一个条件，但是，约束 条件的右端常数项非负，且没有单位矩阵。为此，把约束方程两边都乘以-1， 得
max z′ = －15x1－24 x2 － x3 +0 x4 +0 x5
－6 x2 － x3 + x4 = －2
st. －5x1－ 2 x2 － x3
+ x5 =－ 1
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥0
以此表达式列出单纯形表并求解。
表9
cj
－15 －24 － 5
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
0
x4 － 2
0
[－6] －1
1
0
0
x5 －1 －5 －2 －1
二、对偶单纯形法的计算步骤
使用对偶单纯形法必须满足两个条件： （1）单纯形表中的所有检验数必须符合最优性要求（即对偶可行）； （2）右端常数项列向量必须有负分量（如果原问题可行，则直接用单纯形法）。
对偶单纯形法计算步骤： （1）把线性规划问题化为标准形式，找出对偶问题的初始可行基，列出单纯形 表。表的格式与第一章的单纯形表完全相同。 （2）确定换出基的变量。这一点与单纯形法正好相反，那里是先确定换入变量。 因为常数项有负分量，所以令br = min{bi},第 r 行对应的基变量 xr 作为换出变量。 （3）确定换入基的变量。 这里要注意： 单纯形法确定换出变量时用的是换入变量列向量与常数项列的最小比值； 对偶单纯形法确定换入变量时则用检验数行与换出变量所在行的最小比值。 1）如果所有的arj≥0，则原问题没有可行解。停止计算。 2）如果存在arj ＜0，则计算最小比值。
当目标函数值无法改善时（因退化出现循环的情况除外），所有的检验数都≤0 （求极大时≤0 ，求极小时，检验数≥0）。“检验数 ≤0 ”意味着在获得原问题最 优解的同时，也获得了对偶问题的一个可行解。因为原问题与对偶问题的解都可 行，并且目标函数值相同，根据对偶理论，这个对偶可行解就是对偶问题的最优 解。
一、对偶单纯形法的思路
对偶单纯形法不是解对偶问题的，而是在单纯形表上进行对偶运算的方法。为 了了解对偶单纯形法的实质，我们回顾一下单纯形法。
单纯形法开始于初始基可行解。如果不满足最优性条件，则要转到能使目标函 数值得到改善的邻近顶点上。在这个转换过程中，存在两个原则，一是保持原 问题的解仍是可行的，另一个是要求目标函数值有改善。