对偶问题及对偶单纯形法完整
合集下载
运筹学对偶问题
原问题变为
则，
max Z 4x1 5x2 s.t.
（A）
3x1 2x2 20
4x1 3x2 10
x1 x2 5
x1
0,
x
为自由
2
变量
max Z ' 4x1 5x3 5x4 s.t. （A‘） 3x1 2x3 2x4 20 4x1 3x3 3x4 10 x1 x3 x4 5 x1 x3 x4 5 x1 0, x3 0, x4 0
∴ 对偶规划问题为
min W 48y1 60 y2 s.t. y1 y2 6 4 y1 2 y2 14 2 y1 4 y2 13 y1 0, y2 0
比较
max F 6x1 14x2 13x3 s.t. x1 4x2 2x3 48 x1 2x2 4x3 60 x1 0, x2 0, x3 0
对比结果
以上对偶问题（B‘）并非原问题（A）的对偶问题， 它是线性规划问题（A’）的对偶问题。
（A）
（B‘）
max Z 4x1 5x2 s.t.
3x1 2x2 20 4x1 3x2 10 x1 x2 5 x1 0, x2为自由变量
min W ' 20y1 '10y2 '5y3 '5 y4 ' s.t. 3y1 '4 y2 ' y3 ' y4 ' 4 2 y1 '3y2 ' y3 ' y4 ' 5 2 y1 '3y2 ' y3 ' y4 ' 5 y1 ' 0, y2 ' 0, y3 ' 0, y4 ' 0
4_4对偶单纯形法
例、用对偶单纯形法求解线性规划问题：
m w i1 n y 5 2y4 5 y
1
2
3
s.t
6y y 2
2
3
5y 2y y 1
1
2
3
y,y ,y 0 123
对偶问题的 初初始始可可行行基基
m m w w a a 1 1 x x y 1 1 5 2y 2 2 4 5 y 3 3 s.ts-.5t5yy11y1y66,221yyy,yy222y22,2 , yyy,y333y3,5yy5y440yy0552211
练习
用对偶单纯形法求解线性规划问题：
m s.t.inwx1 22x1x2 3xx2343x3 2xxi1 0x,2i31x,23 ,3 4
对 偶 问 题
上页 下页 返回
若 b ~ i0,i1,2,,m ，即表中原问题和
对偶问题均为最优解，否则换基。
换基方法：
•确定换出基变量
~
~~
br m i { ibn i bi 0}
对应变量x r 为换出基的变量
•确定换入基变量
m j ic njarjzj arj0 csa rszs
a rs 为主元素，x s 为换入基变量
24 y2 6 2
24 1 0 0 1 0 0
5 y3 1 1 5 1/ 6 2/3 1 0 1 0
0 y4 1 0 0 1/ 6 1/ 3 4 1/ 4 1/ 2 7/2
0 y5 0 1 0 0 1 0 1/ 4 3/2 3/2
使对偶问题基变量可行,
a 14 1 , 4 0 , 0
24 60 4 50 5
y 2 换入
例、用对偶单纯形法求解线性规划问题：
8对偶LP及对偶单纯形法
原问题 对偶问题 （对偶问题）
原始规划与对偶规划是同一组数 据参数,只是位置有所不同,所描 述的问题实际上是同一个问题从 另一种角度去描述.
（原问题）
线性规划的对偶模型
Page 10
特点：目标函数求极大值时，所有约束条件为≤ 号，变量非负; 目标函数求极小值时，所有约束条件 为≥号，变量非负.
LP：min Z C X
如何安排生产， 使获利最多？
最优解为 x (4, 2)T 最优值为 zmax 14
Page 6
反过来问：若厂长决定不生产甲和乙型产品，决定 出租机器用于接受外加工，只收加工费，那么４种 机器的机时如何定价才是最佳决策？
付出的代价最小， 且对方能接受。
出让代价应不低于 用同等数量的资源 自己生产的利润。
本节主要内容
线性规划的对偶模型 对偶性质
Page 2
对偶单纯形法
学习要点： 1. 掌握线性规划的对偶形式
2. 掌握对偶单纯形法的解题思路及求解步骤
对偶现象普遍存在
Page 3
“对偶”，在不同的领域有着不同的诠释。在词 语中，它是一种修辞方式，指两个字数相等、结构 相似的语句，旨表达出相关或相反的意思。如： “下笔千言，离题万里” “横眉冷对千夫指，俯首甘为孺子牛” “天高任鸟飞，海阔凭鱼跃” 数学上也有如下对偶例子： 周长一定，面积最大的矩形是正方形； 面积一定，周长最小的矩形是正方形。
0T Y Xs 0 T 0 Ys X 0
互补松弛条件
其中：Xs为松弛变量、Ys为剩余变量.
对偶性质的应用
Page 21
借助以上性质可以证明，在用单纯形法求解原问题的迭代 过程中，单纯形表右列中的元素对应于原问题的基本可行解， 底行中松弛变量对应的元素恰好构成对偶问题的基本解。逐次 迭代下去，当底行对应于对偶问题的解也变成基本可行解（底 行元素全非负）时，原问题和对偶问题同时达到最优解. 即此 时对偶问题的这个基本可行解就是它的最优解。 用单纯形方法求解原线性规划的过程中，每次迭代都保证 得到原问题的一个基本可行解，底行某些元素对应于对偶问题 的基本解. 单纯形法的迭代的过程既可以看作使原问题的基本 可行解逐步变为最优解（此时底行元素非负)的过程，也可看 作使对偶问题的基本解逐步变成基本可行解的过程。
原始规划与对偶规划是同一组数 据参数,只是位置有所不同,所描 述的问题实际上是同一个问题从 另一种角度去描述.
（原问题）
线性规划的对偶模型
Page 10
特点：目标函数求极大值时，所有约束条件为≤ 号，变量非负; 目标函数求极小值时，所有约束条件 为≥号，变量非负.
LP：min Z C X
如何安排生产， 使获利最多？
最优解为 x (4, 2)T 最优值为 zmax 14
Page 6
反过来问：若厂长决定不生产甲和乙型产品，决定 出租机器用于接受外加工，只收加工费，那么４种 机器的机时如何定价才是最佳决策？
付出的代价最小， 且对方能接受。
出让代价应不低于 用同等数量的资源 自己生产的利润。
本节主要内容
线性规划的对偶模型 对偶性质
Page 2
对偶单纯形法
学习要点： 1. 掌握线性规划的对偶形式
2. 掌握对偶单纯形法的解题思路及求解步骤
对偶现象普遍存在
Page 3
“对偶”，在不同的领域有着不同的诠释。在词 语中，它是一种修辞方式，指两个字数相等、结构 相似的语句，旨表达出相关或相反的意思。如： “下笔千言，离题万里” “横眉冷对千夫指，俯首甘为孺子牛” “天高任鸟飞，海阔凭鱼跃” 数学上也有如下对偶例子： 周长一定，面积最大的矩形是正方形； 面积一定，周长最小的矩形是正方形。
0T Y Xs 0 T 0 Ys X 0
互补松弛条件
其中：Xs为松弛变量、Ys为剩余变量.
对偶性质的应用
Page 21
借助以上性质可以证明，在用单纯形法求解原问题的迭代 过程中，单纯形表右列中的元素对应于原问题的基本可行解， 底行中松弛变量对应的元素恰好构成对偶问题的基本解。逐次 迭代下去，当底行对应于对偶问题的解也变成基本可行解（底 行元素全非负）时，原问题和对偶问题同时达到最优解. 即此 时对偶问题的这个基本可行解就是它的最优解。 用单纯形方法求解原线性规划的过程中，每次迭代都保证 得到原问题的一个基本可行解，底行某些元素对应于对偶问题 的基本解. 单纯形法的迭代的过程既可以看作使原问题的基本 可行解逐步变为最优解（此时底行元素非负)的过程，也可看 作使对偶问题的基本解逐步变成基本可行解的过程。
对偶单纯性法
0
x5
-4
-1
-4
5
2
6
0
0
b
x4
x5
1
0 -24
0
1
-8
0
0
0
θ
2
x2
0
x5
-5/-2 -2/-4
1/2
1
-7/2
0
4
0
θ
-4/(-7/2) 0
2
x2
-316x37/401/2
0
-6/-8 2
[-2] 2
-2/-2 0 1 0
0
-1/4 -1/4
1/2
(-1/2)/(1/4) -1/2 1/8
1/4
B-1 l
检验数为：
cT u ' A cT cBT
B 1 A
B-1 A l
分量：
cj
cBT
B 1
A j
B-1 A
l
j
当1 j m且j l时，B-1 A ＝0，所以检验数为零。
l
j
j l时 ，检验数为 ,大于0。
当n j m 1, 且j k时,检验数为：
0
0
6
1
-2
0 -120
0
1
4
-1/2 1
0
-32 21
最后一个单纯形表中，已得到一个可行的正则解，因 而得到问题的最优解为
X*=（0，4，1）T 最优值为z*=14 对偶单纯形法在以下情况下较为方便。
对于形如min z=CX，AX≥b，X≥0，且C≥0的线性规划 问题。因为将其改写为max (－z) =－CX，－AX+XS=－b， X≥0，则立即可以得到初始正则解；
(完整版)对偶单纯形法详解
2.3 对偶单纯形法
一、什么是对偶单纯形法？
对偶单纯形法是应用对偶原理求解原始 线性规划的一种方法——在原始问题的单 纯形表格上进行对偶处理。
注意：不是解对偶问题的单纯形法！
二、对偶单纯形法的基本思想 1、对“单纯形法”求解过程认识的提升— —
从更高的层次理解单纯形法 初始可行基（对应一个初始基本可行解）
3 4
x1, x2 , x3, x4, x5 0
以此形式进行列表求解，满足对偶单纯形 法的基本条件，具体如下：
CB
XB
0
x4
0
x5
cj -2 -3 -4 0 0
xj b
x1 x2 x3 x4 x5
-3
-1 -2 -1 1 0
-4
-2 1 -3 0 1
-Z
0
-2 -3 -4 0 0
比
值 -2/-2 --- -4/-3 --- ---
2/5
11/5
-2 -3 -4 0 0 x1 x2 x3 x4 x5
0 1 -1/5 -2/5 1/5 1 0 7/5 -1/5 -2/5
cj-zj
0
0 0 -3/5 -8/5 -1/5
最优解: X*=（11/5，2/5, 0, 0, 0）T，
最优值: minW= -maxZ* = -[11/5×(-2)+2/5×(-3)]= 28/5
将三个等式约束两边分别乘以-1，然后
列表求解如下：
CB
XB
0
y3
0
y4
0
y5
-Z
比
cj yj b
-3 -9 0 y1 y2 y3
00 y4 y5
-2
-1 -1 1 0 0
一、什么是对偶单纯形法？
对偶单纯形法是应用对偶原理求解原始 线性规划的一种方法——在原始问题的单 纯形表格上进行对偶处理。
注意：不是解对偶问题的单纯形法！
二、对偶单纯形法的基本思想 1、对“单纯形法”求解过程认识的提升— —
从更高的层次理解单纯形法 初始可行基（对应一个初始基本可行解）
3 4
x1, x2 , x3, x4, x5 0
以此形式进行列表求解，满足对偶单纯形 法的基本条件，具体如下：
CB
XB
0
x4
0
x5
cj -2 -3 -4 0 0
xj b
x1 x2 x3 x4 x5
-3
-1 -2 -1 1 0
-4
-2 1 -3 0 1
-Z
0
-2 -3 -4 0 0
比
值 -2/-2 --- -4/-3 --- ---
2/5
11/5
-2 -3 -4 0 0 x1 x2 x3 x4 x5
0 1 -1/5 -2/5 1/5 1 0 7/5 -1/5 -2/5
cj-zj
0
0 0 -3/5 -8/5 -1/5
最优解: X*=（11/5，2/5, 0, 0, 0）T，
最优值: minW= -maxZ* = -[11/5×(-2)+2/5×(-3)]= 28/5
将三个等式约束两边分别乘以-1，然后
列表求解如下：
CB
XB
0
y3
0
y4
0
y5
-Z
比
cj yj b
-3 -9 0 y1 y2 y3
00 y4 y5
-2
-1 -1 1 0 0
[经济学]单纯形法与对偶问题
![[经济学]单纯形法与对偶问题](https://img.taocdn.com/s3/m/0043005331b765ce05081479.png)
’小于0，可知
c1≤50时，也就是x1的 目标函数c1’在0≤c1’≤100时最优解不变。
j ' min a 1 j 0 50 。这样可以知道当-50≤Δ a ' 1 j
3 50 j ' 50，有 max a 0 1 j 50 同样有 a13 1 a'1 j
δj δj Max a'kj 0 ΔCk Min a'kj 0（其中 k是某个固定的值， j是1到n的所有数） a' a' kj kj
管 理 运 筹 学
7
§1
单纯形表的灵敏度分析
例： 目标函数：Max z=50X1+100X2 约束条件：X1+X2≤300 2X1+X2≤400 X2≤250 X1，X2≥0 最优单纯形表如下 迭代次数 基变量 X1 S2 X2 ZJ CJ -ZJ
管 理 运 筹 学
2
第六章 单纯形法的灵敏度分析与对偶问题
• §1 • §2 • §3 • §4
单纯形表的灵敏度分析 线性规划的对偶问题 对偶规划的基本性质 对偶单纯形法
管
理
运
筹
学
3
单纯形表
管
理
运
筹
学
4
§1
单纯形表的灵敏度分析
一、目标函数中变量系数Ck灵敏度分析（在什么范围内变化， 最优解不变，与第二章，第三章联系起来） 在线性规划的求解过程中，目标函数系数的变动将会影响检 验数的取值，但是，当目标函数的系数的变动不破坏最优判 别准则时，原最优解不变，否则，原最优解将发生变化，要 设法求出新的最优解。下面我们具体的分析 1.在最终的单纯形表里，X k是非基变量 由于约束方程系数增广矩阵在迭代中只是其本身的行的初等 变换与Ck没有任何关系， 所以当Ck变成Ck+ Ck时，在最终单纯形表中其系数的增广 矩阵不变，又因为Xk是非基变量，所以基变量的目标函数的 系数不变，即CB不变，可知Zk也不变，只是Ck变成了Ck+ Ck。这时 K= Ck-Zk就变成了 Ck+ Ck- Zk= K+ Ck。 要使原来的最优解仍为最优解，只要 K+ Ck≤0即可，也 就是Ck的增量 Ck≤ - K。
c1≤50时，也就是x1的 目标函数c1’在0≤c1’≤100时最优解不变。
j ' min a 1 j 0 50 。这样可以知道当-50≤Δ a ' 1 j
3 50 j ' 50，有 max a 0 1 j 50 同样有 a13 1 a'1 j
δj δj Max a'kj 0 ΔCk Min a'kj 0（其中 k是某个固定的值， j是1到n的所有数） a' a' kj kj
管 理 运 筹 学
7
§1
单纯形表的灵敏度分析
例： 目标函数：Max z=50X1+100X2 约束条件：X1+X2≤300 2X1+X2≤400 X2≤250 X1，X2≥0 最优单纯形表如下 迭代次数 基变量 X1 S2 X2 ZJ CJ -ZJ
管 理 运 筹 学
2
第六章 单纯形法的灵敏度分析与对偶问题
• §1 • §2 • §3 • §4
单纯形表的灵敏度分析 线性规划的对偶问题 对偶规划的基本性质 对偶单纯形法
管
理
运
筹
学
3
单纯形表
管
理
运
筹
学
4
§1
单纯形表的灵敏度分析
一、目标函数中变量系数Ck灵敏度分析（在什么范围内变化， 最优解不变，与第二章，第三章联系起来） 在线性规划的求解过程中，目标函数系数的变动将会影响检 验数的取值，但是，当目标函数的系数的变动不破坏最优判 别准则时，原最优解不变，否则，原最优解将发生变化，要 设法求出新的最优解。下面我们具体的分析 1.在最终的单纯形表里，X k是非基变量 由于约束方程系数增广矩阵在迭代中只是其本身的行的初等 变换与Ck没有任何关系， 所以当Ck变成Ck+ Ck时，在最终单纯形表中其系数的增广 矩阵不变，又因为Xk是非基变量，所以基变量的目标函数的 系数不变，即CB不变，可知Zk也不变，只是Ck变成了Ck+ Ck。这时 K= Ck-Zk就变成了 Ck+ Ck- Zk= K+ Ck。 要使原来的最优解仍为最优解，只要 K+ Ck≤0即可，也 就是Ck的增量 Ck≤ - K。
对偶与对偶单纯形法的应用
y1+2y2
≥50
y1 + y2+y3 ≥100
其中y1，y2，y3均≥0
其对偶问题是？
17
• Max z=50x1 +100x2 • x1 +x2 ≤300 • 2x1+x2 ≤400 • x2 ≤250 • x1，x2≥0
18
（二）若原问题为（弱对偶性定理） maxZ=CX AX ≤b X ≥0 其对偶问题为 Minw=Yb YA ≥C Y ≥0 若X为原问题任一可行解，Y为对偶问题任一 可行解，则必有CX ≤Yb
3}=-3;
确定进基变量：θ=min{δ/akj,akj<0}={-15/-5} 从而确定主元素akr，以此为中心做初等行变换。
39
对偶单纯性表2
ci
-12 -16 -15 0 0
CB B b y1 y2 y3 y4 y5
0 y4 -2 -2 -4 0 1 0
-15 y3 3/5 2/5 0 1 0 -1/5
9
记忆宝典： 1、Max——Min 2、C ——b
3、无约束等于0，个数m变n。 4、max就反正，min就正反。（约束条 件——变量）
10
示例：转化为对偶问题
mz a 3 x x 1 4 x 2 6 x 3
2 x1 3 x 2 6 x3 440 , 6 x1 4 x 2 x3 100 , 5 x1 3 x 2 x3 200 , x1 , x 2 , x3 0
δ -6 -16 0 0 -3
确定出基变量：bk=min{bi , bi<0}=min{15}=-15;
确定进基变量：θ=min{δ/akj,akj<0}={-6/-2, -16/-4}=3
应用运筹学基础：线性规划（4）-对偶与对偶单纯形法
应⽤运筹学基础：线性规划（4）-对偶与对偶单纯形法这⼀节课讲解了线性规划的对偶问题及其性质。
引⼊对偶问题考虑⼀个线性规划问题：$$\begin{matrix}\max\limits_x & 4x_1 + 3x_2 \\ \text{s.t.} & 2x_1 + 3x_2 \le 24 \\ & 5x_1 + 2x_2 \le 26 \\ & x \ge0\end{matrix}$$ 我们可以把这个问题看作⼀个⽣产模型：⼀份产品 A 可以获利 4 单位价格，⽣产⼀份需要 2 单位原料 C 和 5 单位原料 D；⼀份产品 B 可以获利 3 单位价格，⽣产⼀份需要 3 单位原料 C 和 2 单位原料 D。
现有 24 单位原料 C，26 单位原料 D，问如何分配⽣产⽅式才能让获利最⼤。
但假如现在我们不⽣产产品，⽽是要把原料都卖掉。
设 1 单位原料 C 的价格为 $y_1$，1 单位原料 D 的价格为 $y_2$，每种原料制定怎样的价格才合理呢？⾸先，原料的价格应该不低于产出的产品价格（不然还不如⾃⼰⽣产...），所以我们有如下限制：$$2y_1 + 5y_2 \ge 4 \\ 3y_1 + 2y_2 \ge3$$ 当然也不能漫天要价（也要保护消费者利益嘛- -），所以我们制定如下⽬标函数：$$\min_y \quad 24y_1 + 26y_2$$ 合起来就是下⾯这个线性规划问题：$$\begin{matrix} \min\limits_y & 24y_1 + 26y_2 \\ \text{s.t.} & 2y_1 + 5y_2 \ge 4 \\ & 3y_1 + 2y_2 \ge 3 \\ & y \ge 0\end{matrix}$$ 这个问题就是原问题的对偶问题。
对偶问题对于⼀个线性规划问题（称为原问题，primal，记为 P） $$\begin{matrix} \max\limits_x & c^Tx \\ \text{s.t.} & Ax \le b \\ & x \ge 0\end{matrix}$$ 我们定义它的对偶问题（dual，记为 D）为 $$\begin{matrix} \min\limits_x & b^Ty \\ \text{s.t.} & A^Ty \ge c \\ & y \ge 0\end{matrix}$$ 这⾥的对偶变量 $y$，可以看作是对原问题的每个限制，都⽤⼀个变量来表⽰。
线性规划的对偶理论(第2部分)
在某些情况下，求解对偶问题可能比直接求解原问题更简单。通过对偶转化，可以将复杂的问题 转化为相对简单的问题进行求解。
灵敏度分析（Sensitivity Analysis）
对偶问题的解可以用于分析原问题参数变化对最优解的影响。通过对偶问题的灵敏度分析，可以 了解原问题解的稳定性以及参数调整对最优解的影响程度。
Part
05
目标规划与多目标决策
目标规划基本概念
目标函数
在目标规划中，目标函数表示决策者希望优化的目标，可以是最 大化或最小化某个或多个变量的函数。
约束条件
约束条件限制了决策变量的取值范围，确保解在实际可行域内。
优先级与权重
不同目标之间可能存在冲突，通过设定优先级和权重可以权衡各 个目标的重要性。
分支定界法的步骤
分支定界法主要包括分支、定界和剪枝三个步骤。首先，将原问题分解为若干个子问题；其次，对每个子问题分别求 解，并更新上下界；最后，通过剪枝策略删除不可能得到最优解的子问题，以减少计算量。
分支定界法的优缺点
分支定界法具有适用范围广、可求得全局最优解等优点；但同时也存在计算量大、求解效率不高等缺点。 因此，在实际应用中需要根据问题的特点和要求选择合适的算法。
多目标决策方法
线性加权法
将多个目标函数线性加权为一个综合目标函数，通过求解该综合目 标函数的最优解来实现多目标决策。
理想点法
先确定每个目标的理想值，然后构造一个评价函数来衡量实际解与 理想解之间的差距，通过最小化该评价函数来求解多目标决策问题。
分层序列法
将多个目标按照重要程度排序，依次求解各层目标的最优解，最终得 到综合考虑所有目标的满意解。
要点三
混合整数规划的应用 案例
混合整数规划在实际应用中有着广泛 的应用，如生产调度中的任务分配问 题、物流运输中的路径优化问题等。 通过运用混合整数规划方法，可以有 效地解决这些问题，提高生产效率和 运输效率。
灵敏度分析（Sensitivity Analysis）
对偶问题的解可以用于分析原问题参数变化对最优解的影响。通过对偶问题的灵敏度分析，可以 了解原问题解的稳定性以及参数调整对最优解的影响程度。
Part
05
目标规划与多目标决策
目标规划基本概念
目标函数
在目标规划中，目标函数表示决策者希望优化的目标，可以是最 大化或最小化某个或多个变量的函数。
约束条件
约束条件限制了决策变量的取值范围，确保解在实际可行域内。
优先级与权重
不同目标之间可能存在冲突，通过设定优先级和权重可以权衡各 个目标的重要性。
分支定界法的步骤
分支定界法主要包括分支、定界和剪枝三个步骤。首先，将原问题分解为若干个子问题；其次，对每个子问题分别求 解，并更新上下界；最后，通过剪枝策略删除不可能得到最优解的子问题，以减少计算量。
分支定界法的优缺点
分支定界法具有适用范围广、可求得全局最优解等优点；但同时也存在计算量大、求解效率不高等缺点。 因此，在实际应用中需要根据问题的特点和要求选择合适的算法。
多目标决策方法
线性加权法
将多个目标函数线性加权为一个综合目标函数，通过求解该综合目 标函数的最优解来实现多目标决策。
理想点法
先确定每个目标的理想值，然后构造一个评价函数来衡量实际解与 理想解之间的差距，通过最小化该评价函数来求解多目标决策问题。
分层序列法
将多个目标按照重要程度排序，依次求解各层目标的最优解，最终得 到综合考虑所有目标的满意解。
要点三
混合整数规划的应用 案例
混合整数规划在实际应用中有着广泛 的应用，如生产调度中的任务分配问 题、物流运输中的路径优化问题等。 通过运用混合整数规划方法，可以有 效地解决这些问题，提高生产效率和 运输效率。
运筹学第2章 对偶理论01-对偶问题及影子价格、对偶单纯形法
第2章对偶理论及灵敏度分析主要内容对偶理论⏹线性规划对偶问题⏹对偶问题的基本性质⏹影子价格⏹对偶单纯形法灵敏度分析⏹灵敏度问题及其图解法⏹灵敏度分析⏹参数线性规划线性规划的对偶问题⏹对偶问题的提出⏹原问题与对偶问题的数学模型⏹原问题与对偶问题的对应关系实例：某家电厂家利用现有资源生产两种产品，有关数据如下表：设备A设备B 调试工序利润（元）612521115时24时5时产品Ⅰ产品ⅡD一、对偶问题的提出如何安排生产，使获利最多？厂家设Ⅰ产量–––––Ⅱ产量–––––1x 2x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤+=052426155 2max 212121221x x x x x x x s.t.x x z ,设设备A ——元／时设备B ––––元／时调试工序––––元／时1y 2y 3y 收购付出的代价最小，且对方能接受。
出让代价应不低于用同等数量的资源自己生产的利润。
设备A 设备B 调试工序利润（元）0612521115时24时5时ⅠⅡD ⏹厂家能接受的条件：⏹收购方的意愿：32152415min yy y w ++=单位产品Ⅰ出租收入不低于2元单位产品Ⅱ出租收入不低于1元出让代价应不低于用同等数量的资源自己生产的利润。
1252632132≥++≥+y y y y y52426155 2212121221⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤+=x x x x x x x s.t.x x z ,max ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥++≥+++=0y 125265241532132132321y y y y y y y t s y y y w ,,.min 对偶问题原问题收购厂家一对对偶问题⎩⎨⎧≥≥=⇒⎩⎨⎧≥≤=00bY C YA s.t.Yb w X AX t s CX z min ..max ),(21c c C =⎪⎪⎫ ⎛=1x x X )(ij a A =()321,y ,y y Y =⎪⎪⎪⎫ ⎛=321b b b b 3个约束2个变量2个约束3个变量原问题对偶问题其它形式的对偶问题?特点：1.原问题的约束个数（不包含非负约束）等于对偶问题变量的个数；2.原问题的价值系数对应于对偶问题右端项；3.原问题右端项对应于对偶问题的价值系数；4.原问题约束矩阵转置就是对偶问题约束矩阵；5.原问题为求最大，对偶问题是求最小问题；6.原问题不等约束符号为“≤”，对偶问题不等式约束符号为“≥”;二、原问题与对偶问题的数学模型1．对称形式的对偶当原问题对偶问题只含有不等式约束时，称为对称形式的对偶。
对偶问题(三)——对偶单纯形法
1、确定出基变量： 设br =min{bi | bi <0} 则取br所在行的基变量 为出基变量 即取X4为出基变量 2、确定入基变量： 原则： 保持检验行系数≤0
λi λ i0 设 min | a ri < 0 = a ri a ri 0
1 21 3
X1 检 -2/3 X3 -5/3 X2 4/3 X5 -5/3 X3 X4 0 -1/3 1 0 0
max Z = −4 x1 − 3 x 2 − 8 x 3 − x1 − x 3 + x 4 = −2 不可行− x 2 − 2 x 3 + x 5 = −5 s.t x ，x ，x , x , x ≥ 0 1 2 3 4 5
若取初始基 B1 = (P4， P5 ) 则关于 B1的典则形式为
-1/3 0 -1/3 0 2/3 1
X1 检 0 X3 0 X2 0 X1 1
X3 X4 X5 0 -3/5 -2/5 Z+12/5 1 0 0 -1 -1 0 1/5 4/5 6/5 -2/5 -3/5 3/5
3 6 最优解X = ，，0， （ 0，0 ） 5 5 最优值Z = −12 5
则取xi0 为入基变量
a11x1 + a12x2 +L+ a1n xn ≥ b1 a x + a x +L+ a x ≥ b 21 1 22 2 2n n 2 s.t L L L am1x1 + am2 x2 +L+ amnxn ≥ bm x1 , x 2 L , x n ≥ 0
若 c j ≥ 0 ( j = 1, 2 , L , n )
max Z ′ = − 2 x 1 − x 2 3 x1 + x 2 − x 3 = 3 4x + 3x − x = 6 1 2 4 s .t 基B的典则形式 x1 + 2 x 2 + x 5 = 3 x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ≥ 0
对偶单纯形法详解课件
终止准则
算法终止的准则有多种，如达到预设的 最大迭代次数、解的变化小于预设阈值 等。
VS
终止判断
在每次迭代后，需要判断是否满足终止准 则，如果满足则算法终止，否则继续迭代 。
04 对偶单纯形法的优化策略
预处理技术
预处理技术
通过预处理，可以消除原问题中的冗 余约束，简化问题规模，提高求解效 率。
线性规划问题的转化
对偶单纯形法详解课 件
目录
CONTENTS
• 对偶单纯形法简介 • 对偶单纯形法的基本原理 • 对偶单纯形法的实现步骤 • 对偶单纯形法的优化策略 • 对偶单纯形法的案例分析 • 对偶单纯形法的展望与未来发展方向
01 对偶单纯形法简介
对偶问题的定义
对偶问题是指原问题的一个等价形式，其目标函数和约束条 件与原问题互为对偶。在优化问题中，对偶问题通常用于求 解原问题的最优解。
对偶单纯形法的应用场景
对偶单纯形法广泛应用于各种优化问题，如线性规划、整数规划、二次规划等。 它适用于求解大规模优化问题，并且具有较高的计算效率和精度。
在实际应用中，对偶单纯形法可以与其他优化算法结合使用，如梯度下降法、共 轭梯度法等，以提高求解效率和精度。同时，对偶单纯形法也可以用于解决一些 复杂的组合优化问题，如旅行商问题、背包问题等。
对偶问题的形式取决于原问题的类型和约束条件。例如，线 性规划的对偶问题就是将原问题的目标函数和约束条件进行 线性变换，得到一个新的优化问题。
对偶单纯形法的概念
对偶单纯形法是一种求解线性规划的方法，它利用对偶问 题的性质，通过迭代和交换变量的方式，逐步逼近最优解 。
在对偶单纯形法中，每次迭代都包括两个步骤：一是根据 对偶问题的最优解更新原问题的解；二是根据原问题的最 优解更新对偶问题的解。这两个步骤交替进行，直到达到 最优解或满足一定的停止准则。
[经济学]单纯形法与对偶问题
管 理 运 筹 学
17
§1
单纯形表的灵敏度分析
单纯形表中的Zj跟对偶价格的关系：
对于含有小于等于号的约束条件，添加松弛变量转化为标准型。这时这个 约束条件的对偶价格就和松弛变量的Zj有关。对偶价格应取松弛变量的Zj 的值。 对于含有大于等于号的约束条件，添加剩余变量化为标准型。这时 这个约束条件的对偶价格就和这个剩余变量的 z j有关了。这时约束条件的 对偶价格应取 z j值的相反数- z j 。 对于含有等于号的约束条件，其约束条件的对偶价格就和该约束方 程的人工变量有关了。其约束条件的对偶价格就等于此约束方程的人工变 量的 z j值。
管
理
运
筹
学
18
§1
约束条件 ≤ ≥
单纯形表的灵敏度分析
对偶价格的取值
最终单纯形表对于不同约束类型的对偶价格的取值。
等于这个约束条件对应的松弛变量的 等于这个约束条件对应的剩余变量的 等于这个约束条件对应的人工变量的
z j 值,即为 j 的相反数 z j 值的相反数 zj 值
=
常数项的灵敏度分析-》使对偶价格不变的bj灵敏度分析-》知道对偶价格Zj等于Cb*Pj的转置。 我们知道单纯型法是增广矩阵的行的初等变换，bj的变化并不影响系数矩阵的变化。所以Pj 是不变的。 所以要使对偶价格不变，只要使Cb不变就可以，就是最终单纯形表中的最优基不变，即最终 单纯型表中的基变量还是基变量，怎么保证基变量还是基变量？（即最优基不变，所得 到的基本解是可行解，也就是基变量的值仍然大于等于零） 所以原问题转化为：使最优解的所有基变量不变，且所得的最优解仍然是可行的Bj的变 化范围。
管
理
运
筹
学
19
§1
单纯形表的灵敏度分析
17
§1
单纯形表的灵敏度分析
单纯形表中的Zj跟对偶价格的关系：
对于含有小于等于号的约束条件，添加松弛变量转化为标准型。这时这个 约束条件的对偶价格就和松弛变量的Zj有关。对偶价格应取松弛变量的Zj 的值。 对于含有大于等于号的约束条件，添加剩余变量化为标准型。这时 这个约束条件的对偶价格就和这个剩余变量的 z j有关了。这时约束条件的 对偶价格应取 z j值的相反数- z j 。 对于含有等于号的约束条件，其约束条件的对偶价格就和该约束方 程的人工变量有关了。其约束条件的对偶价格就等于此约束方程的人工变 量的 z j值。
管
理
运
筹
学
18
§1
约束条件 ≤ ≥
单纯形表的灵敏度分析
对偶价格的取值
最终单纯形表对于不同约束类型的对偶价格的取值。
等于这个约束条件对应的松弛变量的 等于这个约束条件对应的剩余变量的 等于这个约束条件对应的人工变量的
z j 值,即为 j 的相反数 z j 值的相反数 zj 值
=
常数项的灵敏度分析-》使对偶价格不变的bj灵敏度分析-》知道对偶价格Zj等于Cb*Pj的转置。 我们知道单纯型法是增广矩阵的行的初等变换，bj的变化并不影响系数矩阵的变化。所以Pj 是不变的。 所以要使对偶价格不变，只要使Cb不变就可以，就是最终单纯形表中的最优基不变，即最终 单纯型表中的基变量还是基变量，怎么保证基变量还是基变量？（即最优基不变，所得 到的基本解是可行解，也就是基变量的值仍然大于等于零） 所以原问题转化为：使最优解的所有基变量不变，且所得的最优解仍然是可行的Bj的变 化范围。
管
理
运
筹
学
19
§1
单纯形表的灵敏度分析
4第四章 对偶单纯形法和对偶问题
例如
原 : max Z = x1 + 2x2 −x1 + x2 + x3 ≤ 2 −2x1 + x2 − x3 ≤ 1 x , x , x ≥ 0 1 2 3
对 : min W = 2 y1 + y2 − y1 − 2 y2 ≥ 1 y + y ≥2 1 2 y1 − y2 ≥ 0 y1, y2 ≥ 0
A 工 时 材 料 单件利润
总价格最小 1 1 2
B
1 4 3
C
1 7 3
拥有量 3 9
min W=3y1+9y2 y1+y2≥2 y1+4y2≥3 y1+7y2≥3 y1≥0 y2≥0
保证获利大于A产品利润 保证获利大于 产品利润 保证获利大于 产品利润 保证获利大于B产品利润 获利大于 保证获利大于 产品利润 保证获利大于C产品利润 获利大于 售价非负
θj
对 偶 问 题
0 6 20
σj = cj-zj Cj→
CB YB Y4 Y2 Y1
Y4 Y5 Y6 1 -10 4 -4 -1 2 -4 -16
θj
σj = cj-zj
第四章 对偶问题及对偶单纯形法
§4.4 对偶单纯形法
一、原理
当一个线性规划问题是求目标函数值最 小，约束方程是≥时，求解时用大M法或两阶 段法比较麻烦，此时较有效的算法是将要介绍 的对偶单纯形法 对偶单纯形法并不是求解对偶问题解的 方法，而是利用对偶理论求解原问题的解的方 法。
（1）目标函数在一个问题中是求最大值在另 ） 一问题中则为求最小值 （2）一个问题中目标函数的系数是另一个问 ） 题中约束条件的右端项 （3）一个问题中的约束条件个数等于另一个 ） 问题中的变量数 （4）原问题的约束系数矩阵与对偶问题的约 ） 束系数矩阵互为转置矩阵
运筹学对偶单纯形法
j = 1, 2 , … , n i = 1, 2 , … , m
8. 最优松紧性 设
= (XT, XTs) = ( x1 , x2 , … , xn , … , xn+m )T
T = (YT，Ys ) = ( y1 , y2 , … , ym , … , ym+n )T
分别是(P1) (D1)的可行解，那么 和 分别是(P1) (D1)最优解的充分必要条件是： ⑴ xj >0 → ym+j = 0 ⑵ ym+j>0 → xj = 0 ⑶ xn+i > 0 → yi = 0 ⑷ yi > 0 → xn+i = 0
关系3：一般对偶关系
对偶问题 目标要求
规范不等式 约束的式号
(P) max ≤ (aij)m×n
第 k 个约束 约束个数 第 k 个右端常数 (非)规范不等式约束 等式约束
(D) min ≥ (aji)n×m
第 k 个变量 变量个数 第 k 个价值系数 非负(正)变量 自由变量
系数阵 函数 约束 与 变量
(2) 对资源 i 现行分配量的评估。当资源 i 在市场上脱销时， 其总存量无法增加，但可酌情调整其在企业内部的现行分配量， 以便获得最佳经济效益。 二、 当 yi* 代表影子利润（即企业的目标是实现最大总利 润）时： (1) 对资源 i 总存量的评估。 (2) 对资源 i 现行分配量的评估。
对偶问题的经济解释
工时利润 （百元/工时） y1 y2 y3
产品 车间
单耗（工时/件）
甲
乙
最大生产能力 （工时/天）
A B C
单位利润 （百元/件）
1 0 2 3
0 2 3 2
8. 最优松紧性 设
= (XT, XTs) = ( x1 , x2 , … , xn , … , xn+m )T
T = (YT，Ys ) = ( y1 , y2 , … , ym , … , ym+n )T
分别是(P1) (D1)的可行解，那么 和 分别是(P1) (D1)最优解的充分必要条件是： ⑴ xj >0 → ym+j = 0 ⑵ ym+j>0 → xj = 0 ⑶ xn+i > 0 → yi = 0 ⑷ yi > 0 → xn+i = 0
关系3：一般对偶关系
对偶问题 目标要求
规范不等式 约束的式号
(P) max ≤ (aij)m×n
第 k 个约束 约束个数 第 k 个右端常数 (非)规范不等式约束 等式约束
(D) min ≥ (aji)n×m
第 k 个变量 变量个数 第 k 个价值系数 非负(正)变量 自由变量
系数阵 函数 约束 与 变量
(2) 对资源 i 现行分配量的评估。当资源 i 在市场上脱销时， 其总存量无法增加，但可酌情调整其在企业内部的现行分配量， 以便获得最佳经济效益。 二、 当 yi* 代表影子利润（即企业的目标是实现最大总利 润）时： (1) 对资源 i 总存量的评估。 (2) 对资源 i 现行分配量的评估。
对偶问题的经济解释
工时利润 （百元/工时） y1 y2 y3
产品 车间
单耗（工时/件）
甲
乙
最大生产能力 （工时/天）
A B C
单位利润 （百元/件）
1 0 2 3
0 2 3 2
运筹学第4章 单纯形法的对偶问题
管理运筹学
3
§1 线性规划的对偶问题
如果我们把求目标函数最大值的线性规划问题看成原问题，则把求目标函数最小值的线 性规划问题看成对偶问题。下面来研究这两个问题在数学模型上的关系。
1 求目标函数最大值的线性规划问题中有n 个变量 m个约束条件，它的约束条件都是小于 等于不等式。而其对偶则是求目标函数为最小值的线性规划问题，有m个变量n个约束条件， 其约束条件都为大于等于不等式。
5x1 3x2 x3 200
管理运筹学
10
§1 线性规划的对偶问题
通过上面的一些变换，我们得到了一个和原线性规划等价的线性规划 问题：
max z 3x1 4x2 6x3
s.t. 2x1 3x2 6x3 440,
6x1 4x2 x3 100, 5x1 3x2 x3 200 5x1 3x2 x3 200 x1, x2 , x3 0
进一步，我们可以令y3
y
' 3
y
'' 3
，这时当
y
' 3
y
'' 3
时，y
0，当
y
' 3
y
'' 3
时， y3 0 。这也就是说，尽管
y
' 3
,
y
'' 3
0,
但 y3 的取值可以为正，可以为0，
可以为负，即 y3 没有非负限制。
这样我们把原规划的对偶问题化为
min f 440 y1 100 y2 200 y3
这样第二个约束条件也就符合要求。对于第三个约束条件，我们可以 用小于等于和大于等于两个约束条件来替代它。即有
2.4 对偶单纯形法
步骤3 若所有aιj≥0,则原问题无可行解，计算停；否则， 计算 θ=min｛σj / aιj│ aιj ＜0 ｝=σk/aιk 确定对应的xk为旋入变量。
步骤4 以aιk为主元作（L，K）旋转变换，得新的单纯形表， 转步骤2。
可以证明，按上述方法进行迭代，所得解始终是对偶可行
解。
例2 用对偶单纯形法求解下述问题
2.4 对偶单纯形法
对偶单纯形法计算步骤如下：
步骤1 确定原问题（L）的初始基B，使所有检验 数形表σ j 。Cj-CBB1Pj0，即Y=CBB-1是对偶可行解，建立初始单纯
步骤2 检查基变量的取值，若XB=B-1b≥0，则已得最优解， 计算停；否则求
min{(B-1b)i│(B-1b)i＜0｝=(B-1b)ι 确定单纯形表第L行对应的基变量为旋出变量。
minZ=12x1+8x2+16x3 +12x4 2x1+ x2 +4x3 ≥2
2x1+2x2+4x4 ≥3 x1,x2,x3,x4≥0 解：令Z =-Z，则问题可变为 maxZ =-12x1-8x2-16x3-12x4 - 2x1- x2 -4x3 +x5 =-2
-2x1-2x2 -4x4 +x6=-3
x1,x2,x3,x4,x5,x6≥0 取B=（P5,P6）为初始基，易见所有检验数σj≤0， 从而可建立单纯形表，计算结果如下：
L=பைடு நூலகம்，K=4
L=1，K=2
L=2，K=1
最优解： X1=1/2， X2=1， X3=X4=0, minZ=14
本例如果用单纯形法计算，确定初始基可行解时 需引入两个人工变量，计算量要多于对偶单纯形法。 一般情况下，如果问题能够用对偶单纯形法计算，计 算量会少于单纯形法。但是，对偶单纯形法并不是一 种普遍算法，它有一定的局限性，不是任何线性规划 问题都能用对偶单纯形法计算的。当线性规划问题具 备下面条件时，可以用对偶单纯形法求解：
步骤4 以aιk为主元作（L，K）旋转变换，得新的单纯形表， 转步骤2。
可以证明，按上述方法进行迭代，所得解始终是对偶可行
解。
例2 用对偶单纯形法求解下述问题
2.4 对偶单纯形法
对偶单纯形法计算步骤如下：
步骤1 确定原问题（L）的初始基B，使所有检验 数形表σ j 。Cj-CBB1Pj0，即Y=CBB-1是对偶可行解，建立初始单纯
步骤2 检查基变量的取值，若XB=B-1b≥0，则已得最优解， 计算停；否则求
min{(B-1b)i│(B-1b)i＜0｝=(B-1b)ι 确定单纯形表第L行对应的基变量为旋出变量。
minZ=12x1+8x2+16x3 +12x4 2x1+ x2 +4x3 ≥2
2x1+2x2+4x4 ≥3 x1,x2,x3,x4≥0 解：令Z =-Z，则问题可变为 maxZ =-12x1-8x2-16x3-12x4 - 2x1- x2 -4x3 +x5 =-2
-2x1-2x2 -4x4 +x6=-3
x1,x2,x3,x4,x5,x6≥0 取B=（P5,P6）为初始基，易见所有检验数σj≤0， 从而可建立单纯形表，计算结果如下：
L=பைடு நூலகம்，K=4
L=1，K=2
L=2，K=1
最优解： X1=1/2， X2=1， X3=X4=0, minZ=14
本例如果用单纯形法计算，确定初始基可行解时 需引入两个人工变量，计算量要多于对偶单纯形法。 一般情况下，如果问题能够用对偶单纯形法计算，计 算量会少于单纯形法。但是，对偶单纯形法并不是一 种普遍算法，它有一定的局限性，不是任何线性规划 问题都能用对偶单纯形法计算的。当线性规划问题具 备下面条件时，可以用对偶单纯形法求解：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
产品的利润： y1 y2 3
乙产m 品in 同理w ：6y1 y18 y2 2 y23 y3 y34
把s企.t.业 y所1 有原y 2 料出让 的3 总收入：
y1
2
y2
y3
4
y1 , y 2 , y3 0
w6y18y23y3
只能在满足≥所有产品的 利润的条件下,其总收入尽
可能少,才能成交.
第5页
一、对偶问题的提出
任何一个求极大的线性规划问题都有一个求极小的线性 规划问题与之对应，反之亦然.
把其中一个叫原问题，则另一个就叫做它的对偶问题， 这一对互相联系的两个问题就称为一对对偶问题。
LP1 max z3x14x2
s.t. x 1 x 2 6
x1
2
x2
8
x2 3
x 1 , x 2 0
第2页
一、对偶问题的提出
对同一问题从不同角度考虑，有两种对立的描述。
例例如1：、平应面如中何矩安形排的面生积产与计周划长，的关使系一天的总利润最大？
周某长企一业定生面产积甲最、大乙的两矩种形产是品正，方要形用: 面A、积B一、定C周三长种最不短同的的矩原形料是。正每方生形产1 吨甲产品，需耗用三种原料分别为1，1，0单位；生产1吨乙产品，需耗用三 种原料分别为1，2，1单位。每天原料供应的能力分别为6，8，3单位。又知 道每生产1吨甲产品企业利润为300元，每生产1吨乙产品企业利润为400元。
矩阵形式：
max z (3
4)
x1 x2
s.t. 1
1 0
1
6
2 1
x1 x2
8 3
x1 x2
0
max z=CX s.t. AX ≤b
X≥0
D m inw 6y18y23y3
s.t. y1 y 2 3
y1
2
y2
y3
4
y1 , y 2 , y 3 0
其中 yi ≥ 0 （i = 1,2,…,m）称为对偶变量。
第8页
(二)非对称型对偶问题
max z = c1x1 + c2x2 + c3x3 s.t. a11x1 + a12x2 + a13x3 ≤ b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 ≥ b3 x1≥0, x2≤0, x3无约束 分析：化为对称形式。令 x2 x2，x3x3x3(x30,x30)
max z = c1x1 + c2x2 + c3x3 s.t. a11x1 + a12x2 + a13x3 ≤ b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 ≥ b3 x1≥0, x2≤0, x3无约束 设 yj 表示第 j 种原料的收费单价
把生产一吨甲产品所用的原料出让，所得净收入应不低于生产一吨甲
max z = c1x1 + c2x2 + c3x3 s.t. a11x1 + a12x2 + a13x3 ≤ b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 ≥ b3 x1≥0, x2≤0, x3无约束
第3页
假设该企业决策者决定不生产甲、乙产品，而是将厂
原问题（P）
LP2 m inw 6y18y23y3
s.t. y1 y 2 3
y1
2
y2
y3
4
y1 ,
y2,
y3
0
对偶问题（D）
第6页
二、原问题与对偶问题的对应关系
P max z3x14x2
s.t. x 1 x 2 6 y 1
x1
2
x2 x2
8 3
y2 y3
x 1 , x 2 0
X≥0
Y≥0
max z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn
s.t. a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ≤ b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ≤ b2
(P)
……
am1x1 + am2x2 + … + amnxn ≤bm xj ≥ 0 （j = 1,2,…,n）
min w = b1 y1 + b2 y2 + … +bm ym
s.t. a11y1 + a21 y2 + … + am1ym ≥ c1
a12y1 + a22y2 + … + am2 ym ≥ c2
(D)
……
a1ny1 + a2ny2 + … + amnym ≥ cn yi≥ 0 （i = 1,2,…,m）
里的例现1有、资应源如外何售安。排决生策产者计应划怎，样使制一定天每的种总资源利的润收最费大？
标准才合理？
max z = c1x1 + c2x2 + c3x3 s.t. a11x1 + a12x2 + a13x3 ≤ b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 ≥ b3 x1≥0, x2≤0, x3无约束
yj 表示对第 j 种资源的估价
y1
min
w 6
8
3
y2
s.t.
1
1
1 2
0 1
Байду номын сангаас
y1 y2 y3
y3
3
4
y1
y2 y3
0
min w =bTY s.t. ATY ≥CT
Y ≥ 0 第7页
(一)对称型对偶问题
均取变“≤量”均号具s，m.t有.a当xA非目zX=负≤C标bX约函束数，求且极约小束时条均件取：“s当m≥.t”.i目nA号w标TY=。函≥bTCY数T 求极大时
第四章 线性规划的对偶理论
Duality Theory ➢ 线性规划的对偶问题 ➢ 对偶问题的基本性质 ➢ 对偶问题的经济解释——影子价格 ➢ 对偶单纯形法 ➢ 灵敏度分析
第1页
第四章 线性规划的对偶理论
Duality Theory ➢ 线性规划的对偶问题 ➢ 对偶问题的基本性质 ➢ 对偶问题的经济解释——影子价格 ➢ 对偶单纯形法 ➢ 灵敏度分析
设 xj 表示第 j 种产品每天的产量
max z = 3x1 + 4x2 s.t. x1 + x2 ≤ 6
x1 + 2x2 ≤ 8 x2 ≤ 3
x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
第4页
分析问题：
1、出让例每1、种资应源怎的样收制入定不收能费低标于准自才己合生理产时？的可获利润；
2、定价不能太高，要使对方能够接受。
max zc 1x 1 c2x2 c3x3 c3x3 s.t. a 1 1 x 1 a 1 2 x 2 a 1 3 x 3 a 1 3 x 3 b 1
乙产m 品in 同理w ：6y1 y18 y2 2 y23 y3 y34
把s企.t.业 y所1 有原y 2 料出让 的3 总收入：
y1
2
y2
y3
4
y1 , y 2 , y3 0
w6y18y23y3
只能在满足≥所有产品的 利润的条件下,其总收入尽
可能少,才能成交.
第5页
一、对偶问题的提出
任何一个求极大的线性规划问题都有一个求极小的线性 规划问题与之对应，反之亦然.
把其中一个叫原问题，则另一个就叫做它的对偶问题， 这一对互相联系的两个问题就称为一对对偶问题。
LP1 max z3x14x2
s.t. x 1 x 2 6
x1
2
x2
8
x2 3
x 1 , x 2 0
第2页
一、对偶问题的提出
对同一问题从不同角度考虑，有两种对立的描述。
例例如1：、平应面如中何矩安形排的面生积产与计周划长，的关使系一天的总利润最大？
周某长企一业定生面产积甲最、大乙的两矩种形产是品正，方要形用: 面A、积B一、定C周三长种最不短同的的矩原形料是。正每方生形产1 吨甲产品，需耗用三种原料分别为1，1，0单位；生产1吨乙产品，需耗用三 种原料分别为1，2，1单位。每天原料供应的能力分别为6，8，3单位。又知 道每生产1吨甲产品企业利润为300元，每生产1吨乙产品企业利润为400元。
矩阵形式：
max z (3
4)
x1 x2
s.t. 1
1 0
1
6
2 1
x1 x2
8 3
x1 x2
0
max z=CX s.t. AX ≤b
X≥0
D m inw 6y18y23y3
s.t. y1 y 2 3
y1
2
y2
y3
4
y1 , y 2 , y 3 0
其中 yi ≥ 0 （i = 1,2,…,m）称为对偶变量。
第8页
(二)非对称型对偶问题
max z = c1x1 + c2x2 + c3x3 s.t. a11x1 + a12x2 + a13x3 ≤ b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 ≥ b3 x1≥0, x2≤0, x3无约束 分析：化为对称形式。令 x2 x2，x3x3x3(x30,x30)
max z = c1x1 + c2x2 + c3x3 s.t. a11x1 + a12x2 + a13x3 ≤ b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 ≥ b3 x1≥0, x2≤0, x3无约束 设 yj 表示第 j 种原料的收费单价
把生产一吨甲产品所用的原料出让，所得净收入应不低于生产一吨甲
max z = c1x1 + c2x2 + c3x3 s.t. a11x1 + a12x2 + a13x3 ≤ b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 ≥ b3 x1≥0, x2≤0, x3无约束
第3页
假设该企业决策者决定不生产甲、乙产品，而是将厂
原问题（P）
LP2 m inw 6y18y23y3
s.t. y1 y 2 3
y1
2
y2
y3
4
y1 ,
y2,
y3
0
对偶问题（D）
第6页
二、原问题与对偶问题的对应关系
P max z3x14x2
s.t. x 1 x 2 6 y 1
x1
2
x2 x2
8 3
y2 y3
x 1 , x 2 0
X≥0
Y≥0
max z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn
s.t. a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ≤ b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ≤ b2
(P)
……
am1x1 + am2x2 + … + amnxn ≤bm xj ≥ 0 （j = 1,2,…,n）
min w = b1 y1 + b2 y2 + … +bm ym
s.t. a11y1 + a21 y2 + … + am1ym ≥ c1
a12y1 + a22y2 + … + am2 ym ≥ c2
(D)
……
a1ny1 + a2ny2 + … + amnym ≥ cn yi≥ 0 （i = 1,2,…,m）
里的例现1有、资应源如外何售安。排决生策产者计应划怎，样使制一定天每的种总资源利的润收最费大？
标准才合理？
max z = c1x1 + c2x2 + c3x3 s.t. a11x1 + a12x2 + a13x3 ≤ b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 ≥ b3 x1≥0, x2≤0, x3无约束
yj 表示对第 j 种资源的估价
y1
min
w 6
8
3
y2
s.t.
1
1
1 2
0 1
Байду номын сангаас
y1 y2 y3
y3
3
4
y1
y2 y3
0
min w =bTY s.t. ATY ≥CT
Y ≥ 0 第7页
(一)对称型对偶问题
均取变“≤量”均号具s，m.t有.a当xA非目zX=负≤C标bX约函束数，求且极约小束时条均件取：“s当m≥.t”.i目nA号w标TY=。函≥bTCY数T 求极大时
第四章 线性规划的对偶理论
Duality Theory ➢ 线性规划的对偶问题 ➢ 对偶问题的基本性质 ➢ 对偶问题的经济解释——影子价格 ➢ 对偶单纯形法 ➢ 灵敏度分析
第1页
第四章 线性规划的对偶理论
Duality Theory ➢ 线性规划的对偶问题 ➢ 对偶问题的基本性质 ➢ 对偶问题的经济解释——影子价格 ➢ 对偶单纯形法 ➢ 灵敏度分析
设 xj 表示第 j 种产品每天的产量
max z = 3x1 + 4x2 s.t. x1 + x2 ≤ 6
x1 + 2x2 ≤ 8 x2 ≤ 3
x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
第4页
分析问题：
1、出让例每1、种资应源怎的样收制入定不收能费低标于准自才己合生理产时？的可获利润；
2、定价不能太高，要使对方能够接受。
max zc 1x 1 c2x2 c3x3 c3x3 s.t. a 1 1 x 1 a 1 2 x 2 a 1 3 x 3 a 1 3 x 3 b 1