对偶单纯形法
对偶单纯形法的原理和应用
对偶单纯形法的原理和应用一、原理介绍对偶单纯形法是线性规划的一种求解方法，通过对原问题的对偶问题进行迭代求解，来达到求解原问题的目的。
下面详细介绍对偶单纯形法的原理。
1. 线性规划问题的对偶性在线性规划问题中，我们常常需要求解最小化或最大化线性目标函数的问题，同时满足一系列线性约束条件。
对于这样的问题，可以通过定义对偶问题来求解。
2. 对偶问题的定义对于原问题的最小化形式，可以定义对偶问题的最大化形式。
对于原问题的最大化形式，可以定义对偶问题的最小化形式。
对偶问题和原问题之间具有很强的对称性。
3. 对偶单纯形法的基本思想对偶单纯形法的基本思想是通过迭代求解对偶问题来达到求解原问题的目的。
在每一次迭代中，首先确定最优解是否已经找到，如果找到最优解，则结束算法；否则，确定要改进的变量，通过计算改变最变量之前对应的对偶变量的值，然后再进行下一次迭代。
二、应用场景对偶单纯形法在实际应用中有着广泛的应用场景。
下面列举几个典型的应用场景。
1. 生产计划问题在生产计划问题中，常常需要确定各个生产线的产量，以最小化总成本或最大化总利润。
对偶单纯形法可以应用于该问题的求解，通过定义对偶问题，并通过迭代求解对偶问题，来确定生产线的产量。
2. 项目调度问题在项目调度问题中，需要确定各个项目的开始时间和结束时间，以最小化总工期或最大化资源利用率。
对偶单纯形法可以应用于该问题的求解，通过定义对偶问题，并通过迭代求解对偶问题，来确定项目的调度方案。
3. 运输问题在运输问题中，需要确定各个供应商到各个销售点的运输量，以最小化总运输成本。
对偶单纯形法可以应用于该问题的求解，通过定义对偶问题，并通过迭代求解对偶问题，来确定每个供应商和销售点的运输量。
4. 资源分配问题在资源分配问题中，需要确定各个资源的分配比例，以最大化总效益或最小化总成本。
对偶单纯形法可以应用于该问题的求解，通过定义对偶问题，并通过迭代求解对偶问题，来确定资源的分配比例。
(完整版)对偶单纯形法详解
一、什么是对偶单纯形法？
对偶单纯形法是应用对偶原理求解原始 线性规划的一种方法——在原始问题的单 纯形表格上进行对偶处理。
注意：不是解对偶问题的单纯形法！
二、对偶单纯形法的基本思想 1、对“单纯形法”求解过程认识的提升— —
从更高的层次理解单纯形法 初始可行基（对应一个初始基本可行解）
3 4
x1, x2 , x3, x4, x5 0
以此形式进行列表求解，满足对偶单纯形 法的基本条件，具体如下：
CB
XB
0
x4
0
x5
cj -2 -3 -4 0 0
xj b
x1 x2 x3 x4 x5
-3
-1 -2 -1 1 0
-4
-2 1 -3 0 1
-Z
0
-2 -3 -4 0 0
比
值 -2/-2 --- -4/-3 --- ---
2/5
11/5
-2 -3 -4 0 0 x1 x2 x3 x4 x5
0 1 -1/5 -2/5 1/5 1 0 7/5 -1/5 -2/5
cj-zj
0
0 0 -3/5 -8/5 -1/5
最优解: X*=（11/5，2/5, 0, 0, 0）T，
最优值: minW= -maxZ* = -[11/5×(-2)+2/5×(-3)]= 28/5
将三个等式约束两边分别乘以-1，然后
列表求解如下：
CB
XB
0
y3
0
y4
0
y5
-Z
比
cj yj b
-3 -9 0 y1 y2 y3
00 y4 y5
-2
-1 -1 1 0 0
对偶单纯形法
把上述思想移植到对偶问题上。
对偶单纯形法迭代过程的实质是：保持对偶问题的可行性（只要检验数≤0即可）， 通过改变对偶问题的可行基，使原问题由不可行变为可行。根据对偶理论，这两 个可行解就是原始和对偶问题的最优解。
例2.4.1 用对偶单纯形法求解下列线性规划问题。 min z = 15x1+24 x2 +5 x3
6 x2 + x3 ≥2
st.
5x1+2 x2 + x3 ≥1
x1 , x2 , x3 ≥0
解：把线性规划问题化为标准形式。
max z′ = －15x1－24 x2 － x3 +0 x4 +0 x5
-2/3是主元素， x3是换入变量。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱj
－15 －24 － 5
CB
XB
b
x1
x2
x3
-24
x2 1/4
-5/4
1
0
表 11
0
0
x4
x5
-1/4 1/4
5
x3 1/2 15/2
0
1
1/2 -3/2
(cj－zj) 或 j
-15/2 0
0
-7/2 -3/2
由于原始，对偶都已经可行，所以，表11对应的解是最优解。
求极大为标准形式时
min j
c
j
arj
z
j
arj
0
cs zs ars
求极小为标准形式时
min j
z
j c arj
j
arj
0
第三章对偶单纯形法
··
≥ (c1,c2,…,cn)
y1，y2，…，ym≥0
m个变量，n个约束条件
2﹒约束条件全部为“=”的对偶
原问题：
max z=CX
max z=CX
max z=CX
AX＝b
等价
AX≤b AX≥b
AX≤b 等价 －AX≤－b
X≥0
min ω=(Y1,Y2) A
(Y1,Y2) －A Y1,Y2≥0
b －b
承租
出让代价应不低于 用同等数量的资源 自己生产的利润。
厂家能接受的条件：
出 用同让6等代y数价2量应的不y资低3 源于 2 5 y自1 己生2产y2的利y润3。 1
收购方的意愿：
min w 15 y 24 y 5 y
1
2
3
Ⅰ
Ⅱ
D
设备A
0
设备B
6
调试工序
1
5 15时 2 24时 1 5时
利润（元） 2
x1 0, x2 , x3 0, x4无限制max变S量个数5n y1 约4束y方2 程个6数yn3
2、求下列问题的对偶问题 min Z 2x1 3x2 5x3 x4
4x1 x2 3x3 2x4 5
s.t
3x1 2x2 7x4 2x1 3x2 4x3
4 x4
6
s.t
3﹒约束条件为“≥”的对偶
原问题：
max z=CX
max z=CX
对
AX≥b
等价
－AX≤ － b
偶
X≥0 min ω=Yb
对偶 问题
X≥0
问
题
min ω=Y1 (－ b)
YA ≥C Y≤0
令Y= － Y1
对偶单纯形法
1. 换出变量的确定原则
常数列中最小的负元素所在的行所对应的基变量为换出变量.
p11-1
§3.4 灵敏度分析
运筹学
灵敏度分析——研究系数变化对最优解的影响.
一、改变价值向量
在最终表内, cr的变化只引起检验数的变化, 需重新计算检验数.
§3.3 对偶单纯形法
运筹学
一、对偶单纯形法与单纯形法的区别
对 运用对偶单纯形法时, 不需要引入人工变量, 但必须先给 定原问题的一个对偶可行基本解.
二、对偶单纯形法的求解方法
▲ 以求解下述线性规划 问题为例
min z 2x1 3x2 4x3 s.t. x1 2x2 x3 3
二、改变资源向量
在最终表内, br的变化只引起右端项的变化, 需重新计算右端项. 利用B-1(b+b).
三、改变A中的一列
通常是非基变量所对应的列, 需重新计算检验数.
四、增加一个新的约束条件
五、增加一个新的变量
p11-2
运筹学
作业：P81第1.12题之（2）； 第1.13题
p11-3
对偶单纯形法
y1, y2 0
Min w 2 y1 3y2
解:
先将原问题化为下列形式
s.t.
2 y1 y1
y1 y2 y3 4 3y2 y4 6 y2 y5 3
y1, y2 , y3, y4 , y5 0
对偶单纯形法举例(例2-2) 则第一个基为B1=(P3,P4,P5)=I 基变量为y3,y4,y5 第一个对偶可行基对应的单纯形表如下
5
-w 8 -15 0 -1 -4 0
对偶单纯形法举例(例1-4)
T(B2) XB b Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y2 1/3 0 1 1/6 -1/6 0
Y -1/3 -5 0
5
-w 8 -15 0
-2/3 -1/3 1 -1 -4 0
T(B3)
Y2 1/4 -5/4 1 Y3 1/2 15/2 0 -w 17/2 -15/2 0
5
w 0 -2 -3 0 0 0
Y3 -2 -5/3 0 Y2 2 1/3 1 Y5 -1 -2/3 0
1 -1/3 -1/3 0 -1/3 -1/3 0 -1/3 2/3
w 6 -1 0 0 -1 -1
对偶单纯形法举例(例3-1)
例3：用对偶单纯形法解下列线性规划
Min w x1 x2
3x1 x2 x3 1
s.t.
x1 x2 2x1 2x2
x4 2 x5 4
x j 0 j 1,2,3,4,5
解: 取B1=(P3，P4，P5)=I
为对偶可行基
因此其对应的单纯形表如下
对偶单纯形法举例(例3-2)
T(B1)
x1 x2 x3 x4
x5
x3 -1 3 -1 1 0 0
x4 -2 -1 1 0 1
对偶单纯形法
2 2
x1 x1
+x2 + 4x3 2 +2x2 + 4x4 3
x
j
0,
j
= 1, 2,3
MinS =1200x1 +800x2 +1600x3 +1200x4 + 0x5 + 0x6
−−22xx11
− −
x 2
−
2
x2
4x3 + − 4x4
x
+
=
5
x6
−2 = −3
K
Min{-1200/-2; -800/-2; -1200/-4}=300
Cj
CB
XB
0
X5
1200
X4
Zj
cj-zj
1200 800 1600 1200 0
0
b
x1
x2
x3x4x5Fra bibliotekx6L
-2
-2
--11
-4
0
1
0
3/4
1/2 1/2
0
1
0
-1/4
600 600
0 1200
0
-300
600 200 1600 0
即：保持对偶问 题可行，将原问 题由不可行化为 可行
➢算法流程：
? 找出初始基本解，满足cj-zj≤0 （MaxZ）
bi>0? N
Y
最优解
i=L
Y
aLj 0 ?
N
无解
? 找出新的基本解，满足cj-zj≤0
例题： 解：标准型为
Min S = 1200x1 +800x2 + 1600x3 + 1200x4
对偶单纯形法
j1 n
c
j
0
n i 1, 2, , m a ij x j bi j1 x 0, j 1, 2, , n j
在引入松弛变量化为标准型之后，约束等 式两侧同乘-1，能够立即得到检验数全部非正 的原规划基本解，可以直接建立初始对偶单纯 形表进行求解，非常方便。
对偶单纯形法求解线性规划问题过程：
1.建立初始单纯形表,检查b列中的各分量，若都为非 负，且检验数均非正,则已得到最优解，若b列中至 少有一个负分量，检验数非正,则转2； 2.确定换出变量
min
(bi 0)
确定对应的基变量xi为出基变量,转3 3.在单纯形表中检查xi所在行的各系数，若所有 aij≥0，则原问题无可行解,停止;否则,若有aij<0 则选 =min{j/aij┃ aij<0}=k/aik 那么xk为进基变量,转4； 4.以aik为主元，进行迭代运算，得到新的单纯形表； 5.重复上述步骤，直到求得最优解。
（2） 影子价格表明资源增加对总效益产生 的影响。根据推论“设x0和y0分别为原规划（P） 和对偶规划（D）的可行解，当cx0=y0b时，x0、 y0 分别是两个问题的最优解”可知，在最优解 的情况下，有关系
Z w b y b2 y bm y
* * * 1 1 * 2
* m
因此，可以将z*看作是bi,i=1,2，… ,m的函数， 对bi求偏导数可得到
影子价格y2 0的经济意义：原料 的供应量b2增加 个单位 B 1 时，最大利润将不变化 .
影子价格y3 50的经济意义：原料 的供应量b2增加 个单位 C 1 时，最大利润将增加 个单位. 50
(3)设该厂将A, B, C三种原料的价格分别定 y1, y2 , y3 , 为
对偶单纯形法
§6 对偶单纯形法在介绍对偶单纯形法之前，让我们先利用对偶理论来重温一下单纯形法的基本思想，以便给单纯形法一种新的解释。
考虑线性规划（LP ）和其对偶规划（DP ）：x c T min b w T max(LP) s.t ⎩⎨⎧≥=0x b Ax (DP) s.t TT c A w ≤我们已经知道，（LP ）的单纯形表为基变量 x 1 x 2 ┄ x nx B B -1 A B -1bf c B T B -1 A – c T c B T B –1b定理1 设(LP)的任一基本解为x 0，它对应于基B ，并作(w 0 )T = c B T B –1。
若x 0 和w 0 分别是(LP)和（DP ）的可行解，则x 0 和w 0 也分别是(LP)和（DP ）的最优解。
证明 因w 0 是（DP ）的可行解，即 (w 0 )T A ≤ c T从而有 c B T B –1A - c T ≤ 0 此式说明，x 0是对应于基B 的基本可行解，且所有的检验数λj ≤ 0故x 0是（LP ）的最优解。
此外，还有(w 0 )T b = c B T B –1 b = c B T x B 0 = c x 0从而由线性规划的对偶定理知，w 0 也是（DP ）的最优解。
证毕。
由以上证明过程可看到：x 0（（LP ）的任一基本解）的检验数全部非正与(w 0 )T = c B T B –1是对偶问题（DP ）的可行解等价。
据此我们可对单纯形法作如下解释：从一个基本解x 0出发迭代到另一个基本解，在迭代过程中始终保持解的可行性（基本可行解），同时使它所对应的对偶规划的解w 0（满足（w 0 ）T = c B T B –1 ）的不可行性逐步消失（即检验数逐步变为非正）；直到w 0是（DP ）的可行解，x 0就是（LP ）的最优解。
因（LP ）和（DP ）互为对偶问题，故基于对称的想法，我们也可以把迭代过程建立在满足对偶问题（DP ）的可行解上，即在迭代过程中保持对应的对偶问题的解w 0的可行性（从而x 0的检验数全部非正），逐步消除原问题（LP ）的基本解x 0的不可行性（即使x 0非负），最后达到双方同时为可行解，x 0和w 0也就同时为最优解了。
对偶单纯形法
3x2 2x2
x4 x5
x7 3
6
用单纯形 法求解
x1, x2 , x3 , x4 , x5 0
对偶单纯形法的优点：
1、不需要人工变量；
2、当变量多于约束时，用对偶单 纯形法可减少迭代次数；
3、在灵敏度分析中，有时需要用对 偶单纯形法处理简化。
注意：对偶单纯形法仅限于初始基B对应
X（0）为基本可行 解的X（条0）件为？最优解的 条件？
B-1b≥0 C CBB1 A 0
原问题最优解条件
令Y=CBB-1，代入原问题最优解条件，→YA≥C
min Yb
YA C Y无符号限制
取基本解X1 B1b,0
保证对偶问题的可行性，逐
步改进原问题的可行性，求
x1 x3 2
s.t
x2
2x3
5
x1，x2，x3 0
若取初始基B1 P4，P5
则关于B1的标准型为
max Z 4x1 3x2 8x3
不s可.t 行 x1x2
x3 2x3
x4
2 x5 5
x1，x2，x3 , x4 , x5 0
且由对偶理论知，Y0 CB B 1为（D）的最优解
对偶单纯形法步骤：
1. 列出初始单纯形表，检查b 列的数字若都为非负， 则已得到最优解，停止计算，若b列的数字中至少 有一个负分量，转第二步。
2. 确定出基变量
按 min B1b i B1b i 0 B1b l ,对应的基变量法： 求max Z x6 Mx9
2x2 x3 x4 x5
x9 1
python对偶单纯形法
python对偶单纯形法好的，下面为你介绍Python对偶单纯形法的相关内容。
对偶单纯形法是一种求解线性规划问题的方法。
其基本步骤如下：1. 将原问题化成标准形式，并将不等式符号化为“≤”，只添加松弛变量。
2. 如果该基本解不是最优解，那么进行换基迭代。
对偶法主要目的是要将b值全部化为正数，因此要优先考虑将b值中最小的数做出基处理，然后用检验数除以该行对应的相应列的数，取最小的值做入基处理。
接着进行初等行变换，如果达不到最优解的条件就要继续换基迭代。
3. 当b值全都非负时，得到最优单纯形表，得到原问题的最优解。
下面是一个简单的例子：```python# 标准形式c = [5, 8, 2]A = [[1, 1, 1],[1, 2, 3],[1, 4, 1]]b = [4, 8, 2]# 对偶单纯形法for i in range(len(c)):if c[i] < 0:c[i] = -c[i]for j in range(len(A)):if A[j][i] < 0:A[j][i] = -A[j][i]# 迭代while True:min_b = min(b)for i in range(len(b)):if b[i] == min_b:breakpivot = ifor j in range(len(A)):if A[j][pivot] < 0:breakelse:breaktemp = A[j][pivot] / A[pivot][pivot] A[pivot][j] = A[j][pivot]A[j][pivot] = temp。
对偶单纯形法详解课件
终止准则
算法终止的准则有多种，如达到预设的 最大迭代次数、解的变化小于预设阈值 等。
VS
终止判断
在每次迭代后，需要判断是否满足终止准 则，如果满足则算法终止，否则继续迭代 。
04 对偶单纯形法的优化策略
预处理技术
预处理技术
通过预处理，可以消除原问题中的冗 余约束，简化问题规模，提高求解效 率。
线性规划问题的转化
对偶单纯形法详解课 件
目录
CONTENTS
• 对偶单纯形法简介 • 对偶单纯形法的基本原理 • 对偶单纯形法的实现步骤 • 对偶单纯形法的优化策略 • 对偶单纯形法的案例分析 • 对偶单纯形法的展望与未来发展方向
01 对偶单纯形法简介
对偶问题的定义
对偶问题是指原问题的一个等价形式，其目标函数和约束条 件与原问题互为对偶。在优化问题中，对偶问题通常用于求 解原问题的最优解。
对偶单纯形法的应用场景
对偶单纯形法广泛应用于各种优化问题，如线性规划、整数规划、二次规划等。 它适用于求解大规模优化问题，并且具有较高的计算效率和精度。
在实际应用中，对偶单纯形法可以与其他优化算法结合使用，如梯度下降法、共 轭梯度法等，以提高求解效率和精度。同时，对偶单纯形法也可以用于解决一些 复杂的组合优化问题，如旅行商问题、背包问题等。
对偶问题的形式取决于原问题的类型和约束条件。例如，线 性规划的对偶问题就是将原问题的目标函数和约束条件进行 线性变换，得到一个新的优化问题。
对偶单纯形法的概念
对偶单纯形法是一种求解线性规划的方法，它利用对偶问 题的性质，通过迭代和交换变量的方式，逐步逼近最优解 。
在对偶单纯形法中，每次迭代都包括两个步骤：一是根据 对偶问题的最优解更新原问题的解；二是根据原问题的最 优解更新对偶问题的解。这两个步骤交替进行，直到达到 最优解或满足一定的停止准则。
ch2第四节-对偶单纯形法
二、对偶单纯形法应用前提： 有一个基满足 ① 单纯形表的检验数行全部非正（即对偶问 题可行）； ② 变量取值可有负数（及原问题不可行）。
对偶单纯形法在迭代过程中始终保持对偶问题解 的可行性（即检验数非正），使原问题的基本解 由不可行逐步变为可行，当原问题同对偶问题都 可行时，便得到原问题的最优解。
9
0 -2 -3 -2
单纯形法
对偶单纯形法
典式对应原规划的 基本解是可行的
是 得到 最优解 是
典式对应原规划的基 本解的检验数≤0
所有 否
计算
所有
否
停
是 所有 否 无 界 解 不 可 行
计算 是 所有 否 计算
计算
以aek为中心元素进行迭代
以aek为中心元素进行迭代
单纯形法和对偶单纯形法步骤
注：对偶单纯形法只是单纯形法的一个补 充，是求解线性规划的另一个基本方法， 一般不单独使用。不要简单理解为是求解 对偶问题的单纯形法。 在对线性规划进行灵敏度分析中常 常要用到对偶单纯形方法，可以简化计算。
B-1 b<0
令第 l 行的Xl为换出变量.
5
(3)、确定换入变量 ① ② 若X l行的alj 全0 ，停，原问题无可行解。 若Xl行的alj 有alj <0 ,
lj
则求 θ=min{ | j |}= k alk a <0 alj
Xk为换入变量
(4)、以alk 为主元，换基迭代
6
作矩阵行变换使其变为1,该列其他元变为0,转（2）。
对偶单纯形法思路
找出一个DP的可行基
LP是否可行 （XB ≥0） 循 环 否
是
最优解
结束
保持DP为可行解情况下转移到LP 的另一个基本解
对偶单纯形法(经典运筹学)
解：问题化为标准型 max Z 2 x1 x 2 5 x1 x 2 x3 2 x 2 x3 x 4 5 s.t 6x xx 9 xx 2 2 6 x3 3 5 5 9 44 x1 , x 2 , x3，x 4，x5 0
X1 X2 X3 X4 X 5
2 检 0 1 -1 1 2 -4 0 -2 1 1 -6 0 0 1 0 0 0 0 1
Z Z-10
X1 1 X4 0
5 5 -9
X5 0
4
14 13 X1 X 2 X 3
检
X1 X4
0 1 0 0 0 0 0 1
X4
X5
-1/4 Z-31/4 1/4 1/2 11/4 1/2
所在行的基变量出基 则取br
4、以ari0 为主元素进行换基迭代 ，得一新的单纯形表， 转2
例：用对偶单纯形法 求解下列问题 max Z 2 x1 x 2 x1 x 2 x3 5 2x x 5 11 9 2 3 最优解 X （ ，） s.t 4 4 4 x 6 x 9 2 3 31 x1 , x 2 ,Z x3 0 最优值
-1/2 0 -1/2 0 -2 3/2 1 0
X2
-1/4 9/4
11 9 1 最优解 X （ ，， 0， ， 0 ） 4 4 2 初始基 B （P ） 1，P 4，P 5 31 最优值 Z 不是典则形式 4
注意：对偶单纯形法仅限于初始基B对应 可用对偶单 的典则形式中目标函数的系数（检 纯形法 验数）均≤0的情形。 B的典则形式
对偶单纯形法是求解对偶规划的一种方法 × 对偶单纯形法：利用对偶理论得到的一个 求解线性规划问题的方法
单纯形法（原始单纯形法）的两个条件：
对偶单纯形法bland法则
对偶单纯形法bland法则
偶单纯形法(Duality Simplex Algorithm)是求解线性优化问题的一种常见方法。
这种方法的核心思想是基于线性规划的对偶性的。
它的基础是著名的双重模型(dual problem)，即由原始线性规划问题派生出的等价的对偶线性规划问题。
偶单纯形法是将求解整数规划问题的配套技术，是一种基于可变缩减实现系统设计的启发式方法。
原始线性规划问题通过变量的解除转化为一个对偶的新的线性规划问题。
偶单纯形法比较适用于不约束的线性优化问题，也可以被应用到更加复杂的约束条件下的求解问题。
Bland法则是偶单纯形法的一种变体，该法则提出要在每一步中都选择最“可能”基本变量进行变换，可能意味着从潜在可行性基变量中选择120英寸可行松弛性单纯形变量。
该法则是线性优化中比较重要的最小化技术，可用于执行最优化准则，检查问题的最优解，并在找到最优解前止血处理的可行解。
偶单纯形法与Bland法则的中心思想在于解决线性规划问题，它们最大的优势在于能够解决问题更加迅速和有效，同时在系统推导出算法时，可以更容易理解和实现。
偶单纯形法Bland法则是常用的算法之一，它将精确解决线性优化问题，可以在短时间内找到可行解，可以开发出一类求解工具，帮助企业和机构解决线性规划问题，以获得自己理想的最优解。
对偶单纯形法的条件
对偶单纯形法的条件对偶单纯形法是线性规划中一种重要的求解方法，主要用于解决线性规划问题的对偶问题。
它通过对原问题进行转化和运算，求解出对偶问题的最优解，从而得到原问题的最优解。
对偶单纯形法是基于单纯形法的扩展，具有更广泛的适用性和更高效的求解效果。
对于使用对偶单纯形法求解线性规划问题，需要满足以下条件：1. 原问题必须是标准形式的线性规划问题：目标函数为最小化形式，约束条件为等式形式，并且所有变量的取值范围为非负数。
2. 原问题必须存在可行基本解：可行基本解是指满足所有约束条件的解，可以通过单纯形法或其他方法求得。
3. 原问题的最优解必须有限：即原问题存在最优解，不是无界的。
在满足以上条件的基础上，使用对偶单纯形法求解线性规划问题的步骤如下：步骤一：建立对偶问题根据原问题的约束条件和目标函数，建立对偶问题的目标函数和约束条件。
对偶问题的目标函数为原问题的约束条件的系数构成的向量与对偶变量的乘积之和，约束条件为原问题的目标函数的系数构成的向量与对偶变量之和等于对偶约束条件的系数构成的向量。
步骤二：初始化给定初始对偶变量的取值，通常取为0，然后计算初始对偶解。
步骤三：判断最优性根据当前对偶解，判断原问题的最优性。
如果原问题的最优性条件满足，则停止计算，得到最优解；否则，进行下一步。
步骤四：选择换入变量根据当前对偶解，选择换入变量。
具体方法是在对偶约束条件中，选择不满足约束条件且对偶变量目标函数系数最小的变量作为换入变量。
步骤五：选择换出变量根据换入变量，选择换出变量。
具体方法是在换入变量所对应的约束条件中，选择满足约束条件且使对偶解最小的变量作为换出变量。
步骤六：更新对偶解根据换入、换出变量，更新对偶解。
具体方法是用换入变量替换对应的换出变量，计算新的对偶解。
重复步骤三到六，直到原问题的最优性条件满足为止。
最终得到原问题的最优解和对偶问题的最优解。
对偶单纯形法的优点在于它能够通过解决对偶问题来求解原问题，从而减少了计算量，提高了求解效率。
对偶单纯形法max变min
对偶单纯形法max变min
（原创实用版）
目录
1.对偶单纯形法简介
2.max 变 min 的含义
3.对偶单纯形法在求解 max 变 min 问题中的应用
4.结论
正文
一、对偶单纯形法简介
对偶单纯形法是一种求解线性规划问题的方法，它的基本思想是先求解对偶问题，然后将对偶问题的最优解映射回原问题，从而得到原问题的最优解。
这种方法在实际应用中具有广泛的应用价值，可以有效地解决许多实际问题。
二、max 变 min 的含义
在数学中，max 变 min 通常指的是将一个最大化问题转化为最小化问题。
这种转化在很多情况下可以帮助我们更方便地求解问题，尤其是在对偶单纯形法中，这种转化可以大大简化问题的求解过程。
三、对偶单纯形法在求解 max 变 min 问题中的应用
对偶单纯形法在求解 max 变 min 问题中的应用主要体现在以下几个步骤：
1.首先，我们需要将原问题的 max 变 min 转化为对偶问题的 min 变 max，这样可以使得问题的求解更加方便。
2.然后，我们利用对偶单纯形法求解对偶问题，得到对偶问题的最优解。
3.最后，我们将对偶问题的最优解映射回原问题，得到原问题的最优解。
四、结论
总的来说，对偶单纯形法是一种非常有效的求解线性规划问题的方法，尤其是当问题转化为 max 变 min 时，它可以大大简化问题的求解过程。
对偶单纯形法
x 1 , x 2 , , x n x
是原问题 LP 的可行解，并且当扩充问题的最优
就是原问题 LP 的最优解． 值与大 M 无关时， x
以上通过构造扩充问题运用对偶单纯形法求解 LP 的做法与 单纯形法中的大 M 法相似。
例 3.3.2
用对偶单纯形法求解下列线性规划问题：
x j 0, j 1, 2, , 6
把扩充问题的数据列入表 3-7 中，并计算各检验数 j ．
2
2
0
0
0
0
基
b
8
x1
1
x2
4
x3
1
x4
1
x5
0
1
x6
0 0
1
x4 x5 x6
6
M
1
2
2
0
0
1
2
1
2
1
0 0
0 0
j
0
0
因 1 2 ，故此时的基本解还不是对偶可行的．选择 x1 为换入变量， x6 为换出 变量，即以 a31 1 为主元素进行变换，得到表 3.8．
j j
am1, j am1,k
k
其中 j 是变换后在新基下的检验数． 当 j n 1 时，am1, j 1 ， 而 am1,k 1 ， 故有 j j k 0 ；而当 j n 1 时， j 0, am1, j 0 ，故有 j 0 ．
min z 2 x1 2 x2 s.t. x1 4 x2 x3 8 x1 2 x2 2 x3 6 x1 , x2 , x3 0
解 式：
引入剩余变量 x4 和松弛变量 x5 ，把问题化为标准形