四年级奥数十进制的数字问题(位值原理)2

数的进制与位值原理

知识框架

一、位值原理

当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十。我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算。这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同。既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值。最右边的五表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十。但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三大法宝给同学们。希望同学们在做题中认真体会。

1.位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。

2.位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。

3.解位值一共有三大法宝：（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式

（2）利用十进制的展开形式，列等式解答

（3）把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答

二、数的进制

我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。比如二进制，八进制，十六进制等。

二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。因此，二进制中只用两个数字0和1。二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。

二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。注意：对于任意自然数n，我们有n0=1。

n进制：n进制的运算法则是“逢n进一，借一当n”，n进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。

进制间的转换：如右图所示。

八进制

十进制二进制

十六进制

例题精讲

【例 1】某三位数abc和它的反序数cba的差被99除，商等于______与______的差；

【例 2】把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数．如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少？

【例 3】 有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三位数的和是1554，那么这3

个数字分别是多少？

【例 4】 在两位自然数的十位与个位中间插入0～9中的一个数码，这个两位数就变成了三位数，有些两

位数中间插入某个数码后变成的三位数，恰好是原来两位数的9倍。求出所有这样的三位数。

【例 5】 已知1370,abcd abc ab a abcd +++=求.

【例 6】 有一个两位数，如果把数码3加写在它的前面，则可得到一个三位数，如果把数码3加写在它的

后面，则可得到一个三位数，如果在它前后各加写一个数码3，则可得到一个四位数．将这两个

三位数和一个四位数相加等于3600．求原来的两位数．

【例 7】 一个六位数abcdef ，如果满足4abcdef fabcde ⨯=，则称abcdef 为“迎春数”(例如4102564⨯=

410256，则102564就是“迎春数”)．请你求出所有“迎春数”的总和．

【例 8】 记四位数abcd 为X ，由它的四个数字a,b,c,d 组成的最小的四位数记为X *

，如果*999X X -=，

那么这样的四位数X 共有_______个．

【例 9】 将4个不同的数字排在一起，可以组成24个不同的四位数(432124⨯⨯⨯=)．将这24个四位数

按从小到大的顺序排列的话，第二个是5的倍数；按从大到小排列的话，第二个是不能被4整除

的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000～4000之间．求这24个四位数中最大

的那个．

【例 10】 ① 222(101)(1011)(11011)⨯-=________；

② 2222(11000111(10101(11(-÷=））） ）；

③ 4710(3021)(605)()+=

； ④ 88888(63121)(1247)(16034)(26531)(1744)----=________；

⑤ 若(1030)140n =，则n =________．

【例 11】 在几进制中有413100⨯=？

【例 12】 将二进制数(11010.11)2 化为十进制数为多少？

【例 13】 现有1克，2克，4克，8克，16克的砝码各1枚，在天平上能称多少种不同重量的物体？

【例 14】 在6进制中有三位数abc ，化为9进制为cba ，求这个三位数在十进制中为多少?

【例 15】 试求(2

2006-1)除以992的余数是多少?

【例 16】 已知正整数N 的八进制表示为8(12345654321)N ，那么在十进制下，N 除以7的余数与N 除以

9的余数之和是多少？

家庭作业

【作业1】一本书，已看了30页，剩下的准备8天看完，如果每天看的页数相等，3天看的页数恰好为全书的5/22，这本书共有多少页？

【作业2】从1～9九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数。若这六个三位数之和是3330，则这六个三位数中最小的可能是几？最大的可能是几？

【作业3】a，b，c分别是09中不同的数码，用a，b，c共可组成六个三位数，如果其中五个三位数之和是2234，那么另一个三位数是几？

【作业4】一辆汽车进入高速公路时，入口处里程碑上是一个两位数，汽车匀速行使，一小时后看到里程碑上的数是原来两位数字交换后的数。又经一小时后看到里程碑上的数是入口处两个数字中间多一

个0的三位数，请问：再行多少小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换

所得的三位数。