概率论与数理统计1.5.1全概率公式

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概率论与数理统计公式大全

概率论与数理统计公式大全一、概率基本公式1.事件的概率：对于事件A，在随机试验中发生的次数记为n(A)，则事件A的概率为P(A)=n(A)/n，其中n为试验总次数。

2.互斥事件的概率：对于互斥事件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)。

3.事件的余事件概率：设事件A为必然事件，全集的概率为P(S)=1，事件A的余事件为A'，则有P(A')=1-P(A)。

4.条件概率：对于两个事件A和B，假设事件B已经发生，事件A发生的概率记为P(A，B)，则P(A，B)=P(A∩B)/P(B)。

二、随机变量及其概率分布1.离散型随机变量：设X是一个离散型随机变量，其概率函数为P(X=k)，其中k为X的取值，概率函数满足P(X=k)≥0，且∑P(X=k)=12. 连续型随机变量：设X是一个连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)，概率密度函数满足f(x)≥0，且∫f(x)dx = 13. 随机变量的数学期望：对于离散型随机变量X，其数学期望为E(X) = ∑k*P(X=k)；对于连续型随机变量X，其数学期望为E(X)=∫xf(x)dx。

4. 随机变量的方差：对于离散型随机变量X，其方差为Var(X) =E(X^2) - [E(X)]^2；对于连续型随机变量X，其方差为Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2三、常见的概率分布1.伯努利分布：表示一次实验成败的概率分布，概率函数为P(X=k)=p^k(1-p)^(1-k)，其中0≤p≤12.二项分布：表示n次独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布，概率函数为P(X=k)=C(n,k)*p^k(1-p)^(n-k)，其中C(n,k)为组合数。

3. 泊松分布：表示单位时间或单位面积内发生事件次数的概率分布，概率函数为P(X=k) = (lambda^k)/(k!)*e^(-lambda)，其中lambda为平均发生率。

4.均匀分布：表示在一个区间内取值相等的概率分布，概率密度函数为f(x)=1/(b-a)，其中[a,b]为区间。

概率论与数理统计公式整理

概率论与数理统计公式整理在现代数学中，概率论与数理统计是两个重要的分支。

其中概率论是研究随机事件发生的可能性或概率的科学。

而数理统计则是利用概率论的方法，对已经发生的随机事件进行统计分析和推断。

本文将整理概率论与数理统计中常用的公式。

一、基本概率公式1.概率：$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}$其中，$P(A)$表示事件$A$发生的概率，$n(A)$表示事件$A$所包含的基本事件的个数，$n(S)$表示所有基本事件的个数。

2.加法原理：$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$其中，$A$和$B$是两个事件，$A\cup B$表示事件$A$和事件$B$中至少有一个发生的概率，$A\cap B$表示两个事件同时发生的概率。

3.条件概率：$P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$其中，$P(B|A)$表示在事件$A$发生的条件下，事件$B$发生的概率。

4.乘法定理：$P(A\cap B)=P(A)P(B|A)$其中，$P(A\cap B)$表示两个事件同时发生的概率，$P(B|A)$表示在事件$A$发生的条件下，事件$B$发生的概率。

二、概率分布1.离散随机变量的概率分布律：$\sum\limits_{i=1}^{+\infty}{p(x_i)}=1$其中，$p(x_i)$表示离散随机变量取值为$x_i$的概率。

2.连续随机变量的概率密度函数：$\int_{-\infty}^{+\infty}{f(x)}\mathrm{d}x=1$其中，$f(x)$表示连续随机变量在$x$处的概率密度。

3.数学期望：$E(x)=\sum\limits_{i=1}^{+\infty}{x_ip(x_i)}$或$E(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}{xf(x)}\mathrm{d}x$其中，$E(x)$表示随机变量$x$的数学期望，$p(x_i)$表示$x_i$这一离散随机变量取到的带权概率。

概率论与数理统计全概率公式

Pn (k) Cnk pkqnk (k=0,1,2 n) 例3 对某种药物的疗效进行研究，假定此药
对某种疾病的治愈率为0.8，现有10名患者同事服用此药，求至少有6人治愈的概率p.
• 例4 设某人射靶，命中率为0.001，现独立地重复射击5000次，试求至少命中2次的概率.
此例中，n=5000是个很大的数，在实际计算中，常常用下列近似公式
• 全概公式
设 A1, A2, An 为一完备事件组，且P( 则对任何一事件B，恒有
Ai
)

0(i

1,
2,
n)，
P(B) P(A1)P(B | A1) P(A2)P(B | A2) P(An)P(B | An)
此式称为全概率公式，简称全概公式。
例6 有100张票，其中有戏票30张，甲乙两人先后在其中各抽一张，试证明抽得戏票的概率与抽票先后次序无关。
p1 P2(2) P2(1) p

C
2 2
p2
C21 p(1
p). p
p2 2 p2(1 p).
(2) 采用五局三胜制,甲最终获胜,至少需比赛 3 局, 且最后一局必需是甲胜 ,而前面甲需胜二局.
如：比赛3局，甲的胜局情况是: “甲甲甲”；
比赛4局，甲的胜局情况可能是 : “甲乙甲甲”“, 乙甲甲甲”“, 甲甲乙在五局三胜制下,甲最终获胜甲”的;概··率···为· :
（1）每次试验的条件都完全不一样，且可能的结果为有限个；
（2）各次试验的结果不互相影响，或者说相互独立。
满足条件（1）（2）的n次重复试验称为n 次独立试验概型。特别，当每次试验的基本事件只有两个，即事件A与，则称之为贝努里概型。

概率论与数理统计随机事件与概率全概率公式与贝叶斯公式

概率论与数理统计第1章随机事件与概率第5讲全概率公式与贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率, 它们实质上是加法公式，乘法公式以及条件概率的综合运用.全概率公式加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥.乘法公式P(AB)= P(A)P(B|A)P(A)>0.设甲、乙、丙三个厂生产同一种产品，其产量Ὅ例1分别占总数的25%,35%,40%，次品率分别为5%,4%,2%，从这批产品中任取一件，求它是次品的概率.解分别表示产品由甲、乙、丙厂生产完备事件组全概率公式两两互斥B 表示产品为次品01 全概率公式02 贝叶斯公式本讲内容O F (x )x1)O f (xx称满足上述条件的A1,A2,…,A n为完备事件组.全概率公式设S为随机试验的样本空间，A1,A2,…,A n是两两互斥的事件，且有P(Ai)>0，i =1,2,…,n, 则对任一事件B，有证明两两互不相容，得也两两互不相容；乘法公式B加法公式某一事件B 的发生有各种可能的原因(i =1,2,…,n )，如果B 是由原因A i 所引起，则B 发生的概率是：每一原因都可能导致B 发生，故B 发生的概率是各原因引起B 发生概率的总和，即全概率公式.P (BA i )=Ὅ 全概率公式的关键数学模型完备事件组P (A i )P (B |A i ).设某人有三个不同的电子邮件账户，有70%的邮Ὅ例2件进入账户1，另有20%的邮件进入账户2，其余10%的邮件进入账户3. 根据以往经验，三个账户垃圾邮件的比例分别为1%，2%, 5%，问某天随机收到的一封邮件为垃圾邮件的概率.解分别表示邮件来自账户1、2、3B表示邮件为垃圾邮件全概率公式完备事件组甲、乙、丙三个厂生产同一种产品，其产量分别占总数的25%, 35%, 40%，次品率分别为5%,4%,2%，随机地从中任取一件，发现是次品，问它来自哪个厂的可能性大？Ὅ例3解实际中还有另一类问题：已知结果求原因乙厂生产的可能性最大贝叶斯公式有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的Ὅ例4占 20%，二厂生产的占 70%，三厂生产的占10%，又知这三个厂的产品次品率分别为2%, 1%, 3%, 问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?解对于这个问题，大家都有一个直观的认识，容易求出这一概率为若记A表示“产品为次品”，B1，B2，B3表示“产品分别来自一、二、三厂”，则上式可以表示为：其中B1，B2，B3正是样本空间的一个划分.01全概率公式02 贝叶斯公式本讲内容该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它是在观察到事件B 已发生的条件下，寻找导致B 发生的每个原因的概率.设A 1,A 2,…,A n 是完备事件组，则对任一事件B ，有贝叶斯公式贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果发生的最可能原因.——后验概率在B 已经发生的前提下，再对导致 B 发生的原因的可能性大小重新加以修正.P ( A i ) ——先验概率它是由以往的经验得到的，是事件 B 的原因.（医学模型——稀有病症的诊断率问题）甲胎蛋Ὅ例5白（AFP）免疫检测法被普遍用于肝病的早期诊断和普查. 已知肝病患者经AFP检测呈阳性的概率为95%，而非肝病患者经AFP检测呈阳性（误诊）的概率为2%. 设人群中肝病的发病率为0.04%，现有一人经AFP检测呈阳性，求此人确实患肝病的概率.解记A={肝病患者}，{经"AFP" 检测呈阳性} ,B=由贝叶斯公式经AFP检测显阳性的人，真患有肝病的人不到2%. 可见，对于稀有病症，一次检测的结果不必过于担心.对以往数据分析结果表明, 当机器调整良好时, 产品的合格率为98%, 而当机器发生某种故障时, 其合格率为55%.每天早上机器开动时, 机器调整良好的概率为95%.已知某日早上第一件产品是合格品时,试求机器调整良好的概率.Ὅ例6解A1=B=显然A1∪A2=“机器未调整良好”，“机器调整良好”，A2=“产品是合格品”，S，由题意，A1A2=∅由贝叶斯公式，有即机器调整良好的概率为97%.某机器由A、B、C三类元件构成，其所占比例分Ὅ例7别为0.1，0.4，0.5，且其发生故障的概率分别为0.7，0.1，0.2. 现机器发生了故障，问应从哪类元件开始检查？解设D表示“机器发生故障”，A表示“元件是A类”，B表示“元件是B类”，C表示“元件是C类”，由全概率公式由贝叶斯公式同理故应从C元件开始检查.第5讲全概率公式与贝叶斯公式这一讲我们学习了两个重要的公式——全概率公式与贝叶斯公式.家需要牢记，并会熟练运用.在概率的计算中，经常用到这两个公式，大知识点解读——全概率公式与贝叶斯公式学海无涯，祝你成功！概率论与数理统计。

概率论与数理统计1-5

例5 甲盒装有 1 个白球 2 个黑球 ,乙盒装有 3 个白
球 2 个黑球 ,丙盒装有 4 个白球 1 个黑球 . 采取掷一骰
子决定选盒 ,出现 1、或 3 点选甲盒 , 4 、点选乙盒 , 2 5
6 点选丙盒 ,在选出的盒里随机摸出一个球 ,经过秘
密选盒摸球后 ,宣布摸得一个白球 ,求此球来自乙
B3
B1
A B4
B5
B6 B8
诸Bi是原因 A是结果
B2
B7
1.5.2 贝叶斯公式再看一个例子: 某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球 1红4白是取自1号箱的概率. 或者问: 1 该球取自哪号箱的可能性最大?
2
3
这一类问题是“已知结果求原因”. 在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，探求各原因发生可能性大小.
(i=1,2,...,n), 则
P( Bi | A) P( A | Bi ) P( Bi )
n
, i 1, 2,.n. (1 12)
j
P( A | B ) P( B )
j j 1
(1-12)式称为贝叶斯（Bayes）公式. 该公式于1763年由贝叶斯给出. 它是在观察到事件A已发生的条件下，寻找导致A发生的每个原因的概率.Fra bibliotek一个发生.
定理1.5.1 设试验E的样本空间为Ω, A为E的事件,
B1,B2,...,Bn为Ω的一个划分, 且P(Bi)>0(i=1,2,...,n),
则
P ( A) P ( A | B1 ) P ( B1 ) P ( A | B2 ) P( B2 ) P ( A | Bn ) P ( Bn ) P( A | B j ) P( B j )

概率论与数理统计计算公式

概率论与数理统计计算公式概率论和数理统计是数学中的两个重要分支，广泛应用于自然科学、社会科学和工程技术等领域。

在实际中，我们经常需要计算各种概率和统计量，因此理解和掌握概率论和数理统计中的计算公式是十分重要的。

接下来，我将给出概率论和数理统计中一些常用的计算公式。

一、概率计算公式：1.加法原理：如果A和B是两个事件，那么它们的和事件(A∪B)的概率可以由如下公式计算：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)2.条件概率：如果A和B是两个事件，且P(A)>0，那么事件B在已知事件A发生的条件下发生的概率可以由如下公式计算：P(B，A)=P(A∩B)/P(A)3.全概率公式：如果{B1,B2,...,Bn}是一个对样本空间Ω的一个划分，那么对于任意事件A，我们有：P(A)=ΣP(A，Bi)P(Bi)，其中i取1到n。

4.贝叶斯公式：如果{B1,B2,...,Bn}是一个对样本空间Ω的一个划分，那么对于任意事件A和i取1到n，我们有：P(Bi，A)=P(A，Bi)P(Bi)/ΣP(A，Bj)P(Bj)，其中j取1到n。

5.乘法定理：如果A和B是两个事件，那么它们的交事件的概率可以由如下公式计算：P(A∩B)=P(A)P(B，A)=P(B)P(A，B)二、统计量计算公式：1.样本均值：对于由n个观测值组成的样本，样本的均值可以由如下公式计算：$\bar{X} = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n x_i$2.样本方差：对于由n个观测值组成的样本，样本的方差可以由如下公式计算：$S^2 = \frac{1}{n-1} \sum\limits_{i=1}^n (x_i - \bar{X})^2$ 3.标准差：样本的标准差是样本方差的平方根$S = \sqrt{S^2}$4.相关系数：对于两个随机变量X和Y，它们的相关系数可以由如下公式计算：$\rho_{XY} = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$5.协方差：样本的协方差可以由如下公式计算：$Cov(X,Y) = \frac{1}{n-1} \sum\limits_{i=1}^n (X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})$以上只是概率论和数理统计中的一些常用计算公式，实际应用中还有很多其他的公式和方法。

概率论与数理统计公式

概率论与数理统计公式概率论与数理统计是现代科学与工程领域中应用最广泛的数学分支之一。

概率论与数理统计涉及众多的公式和理论，是数据分析、预测和决策的重要工具。

在此，我们将介绍概率论与数理统计中常用的公式。

1. 概率计算公式概率计算是概率论中的基础。

以下是概率的定义和概率计算公式。

定义：事件A在随机试验中出现的可能性称为概率P(A)。

公式1：若事件A和事件B相互独立，则P(A∩B)=P(A)×P(B)。

公式2：若事件A和事件B不相互独立，则P(A∩B)=P(A)×P(B|A)。

公式3：若事件A和事件B互为对立事件，则P(A)+P(B)=1 。

公式4：全概率公式：P(B)=∑P(Ai)×P(B|Ai) 。

2. 随机变量和概率分布随机变量是概率论中的重要概念。

以下是随机变量和概率分布函数的定义和公式。

定义1：在随机试验中，对每个样本点都有一个对应的实数值，则这个实数值称为随机变量X。

定义2：X的概率分布函数F(x)定义为：F(x)＝P(X≤x)。

公式5：二项分布的概率分布函数为：P(X=k)=C(n,k)p^k*q^(n-k) （其中n表示试验次数，k表示事件A 发生的次数，p表示单次事件A发生的概率，q=1-p ）。

公式6：泊松分布的概率分布函数为：P(X=k)=(λ^k/k!)×e^-λ （其中λ是一个正实数）。

公式7：正态分布的概率分布函数为：f(x)=(1/√(2π)σ)×e^-(x-μ)²/(2σ²) （其中μ是分布的均值，σ²是分布的方差）。

3. 样本描述和参数估计样本描述和参数估计是数理统计中的基础。

以下是样本描述和参数估计的公式。

公式8：样本的均值：X=(x1+x2+…+xn)/n 。

公式9：样本的方差：S²=[(x1-X)²+(x2-X)²+…+(xn-X)²]/(n-1) 。

概率论与数理统计公式

概率论与数理统计公式以下是概率论与数理统计中常见的公式整理：1.基本概率公式：P(A) = n(A) / n(S)，其中A 为事件，n(A) 为事件A 发生的基数，n(S) 为样本空间的基数。

2.条件概率公式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中A 和B 为两个事件，P(A∩B) 表示事件A 和事件B 同时发生的概率，P(B) 表示事件B 发生的概率。

3.全概率公式：P(A) = ΣP(A|Bi) * P(Bi)，其中Bi 为互不相交的事件，P(Bi) 表示事件Bi 发生的概率，P(A|Bi) 表示在事件Bi 发生的条件下，事件A 发生的概率。

5.随机变量的期望值：E(X) = Σxi * P(xi)，其中X 为随机变量，xi 为随机变量X 取的第i 个值，P(xi) 表示X 取xi 的概率。

6.随机变量的方差：Var(X) = E((X - E(X))^2)，其中X 为随机变量，E(X) 表示X 的期望值。

7.正态分布的概率密度函数：f(x) = (1 / (σ* √(2π))) * e^(-((x-μ)^2 / (2σ^2)))，其中μ为正态分布的均值，σ为正态分布的标准差。

8.标准正态分布的概率密度函数：f(x) = (1 / √(2π)) * e^(-x^2 / 2)，其中x 为标准正态分布的随机变量。

9.两个随机变量的协方差：Cov(X,Y) = E((X - E(X)) * (Y - E(Y)))，其中X 和Y 为两个随机变量，E(X) 和E(Y) 分别表示X 和Y 的期望值。

概率论与数理统计公式整理

概率论与数理统计公式整理概率论和数理统计是数学中重要的分支，广泛应用于科学、工程、经济、金融等领域。

本文将对概率论和数理统计中常用的公式进行整理，以帮助读者更好地理解和应用这些概念和方法。

一、概率论公式1. 基本概率公式：P(A) = n(A) / n(S)其中P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A的样本空间，n(S)表示样本空间中所有可能结果的个数。

2. 概率的加法公式：P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)其中P(A ∪ B)表示事件A或B发生的概率，P(A ∩ B)表示事件A和B同时发生的概率。

3. 条件概率公式：P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)其中P(A | B)表示在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率。

4. 乘法公式：P(A ∩ B) = P(B) * P(A | B) = P(A) * P(B | A)其中P(A ∩ B)表示事件A和B同时发生的概率。

5. 全概率公式：P(A) = ∑[P(Bi) * P(A | Bi)]其中{Bi}为样本空间S的一个划分，P(Bi)表示事件Bi发生的概率。

二、数理统计公式1. 期望：E(X) = ∑[x * P(X = x)]其中X表示随机变量，x表示X可能取到的值，P(X = x)表示X取到x的概率。

2. 方差：Var(X) = E[(X - E(X))^2]其中E(X)表示随机变量X的期望。

3. 标准差：σ(X) = √(Var(X))其中Var(X)表示随机变量X的方差。

4. 协方差：Cov(X, Y) = E[(X - E(X)) * (Y - E(Y))]其中X和Y分别表示两个随机变量。

5. 相关系数：ρ(X, Y) = Cov(X, Y) / (σ(X) * σ(Y))其中Cov(X, Y)表示X和Y的协方差，σ(X)和σ(Y)分别表示X和Y的标准差。

三、概率分布公式1. 二项分布：P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n-k)其中X服从二项分布，n表示试验次数，k表示成功次数，p 表示每次试验成功的概率。

概率论与数理统计超全公式总结

E (X )=∑∑x i p i jijxxn+∞ n n−λλkP (X = k ) = e ， (k = 0,1,...)k !(a ≤ x ≤ b )1b − af (x ) =概率论与数理统计公式总结F (x ) = P (X ≤ x ) = ∑P (X = k )k ≤x分布函数对离散型随机变量F ' (x ) = f (x )第一章P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)特别地，当 A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B)对连续型随机变量F (x ) = P (X ≤ x ) =∫−∞f (t )dt条件概率公式分布函数与密度函数的重要关系：P (A | B ) =P (AB )P (B )F (x ) = P (X ≤ x ) =∫−∞f (t )dt概率的乘法公式P (AB ) = P (B )P (A | B )= P (A )P (B | A )二元随机变量及其边缘分布分布规律的描述方法全概率公式：从原因计算结果P (A ) = ∑ P (B k )P (A | B k )k =1联合密度函数联合分布函数f (x , y ) ≥ 0f (x , y ) F (x , y )+∞ +∞Bayes 公式：从结果找原因∫−∞ ∫−∞f (x , y )dx dy = 1 0 ≤ F (x , y ) ≤ 1P (B k| A ) = P (B i )P (A | B i ) ∑P (B )P (A | B )F (x , y ) = P {X ≤ x ,Y ≤ y }f (x ) = ∫ f (x , y )d y 联合密度与边缘密度第二章kkk =1Xf Y (y ) = −∞+∞−∞f (x , y )dx二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p)P (X =k )=C k p k (1−p)n −k，(k =0,1,...n , ) 泊松分布——X~P(λ)概率密度函数离散型随机变量的独立性P {X = i ,Y = j } = P {X = i }P {Y = j }连续型随机变量的独立性f (x , y ) = f X (x ) f Y (y ) 第三章数学期望离散型随机变量，数学期望定义怎样计算概率P (a ≤ X ≤ b )b连续型随机变量，数学期望定义� E(a)=a ，其中 a 为常数P (a ≤ X ≤ b ) = ∫af (x )d x均匀分布 X~U(a,b)指数分布 X~Exp (θ)• E(a+bX)=a+bE(X)，其中 a 、b 为常数 � E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量随机变量 g(X)的数学期望常用公式+∞∫−∞ f (x )dx = 1+∞E (X ) = ∑x k ⋅P kk =−∞+∞E (X ) = ∫−∞x ⋅ f (x )dxE (g (X )) = ∑ g (x k ) p kk∫Y / nD (X +Y ) = D (X ) + D (Y ) + 2E {(X − E (X ))(Y − E (Y ))} X ~ N (µ,σ2 )i σ 12 σ E (X Y ) = ∑∑x i y j p i jij2σ22−(x −µ) e 12πσf (x ) =不相关不一定独立第四章正态分布E (X ) = µ,D (X ) = σ2方差定义式常用计算式常用公式当 X 、Y 相互独立时：标准正态分布的概率计算标准正态分布的概率计算公式P (Z ≤ a ) = P (Z < a ) = Φ(a )P (Z ≥ a ) = P (Z > a ) = 1− Φ(a )P (a ≤ Z ≤ b ) = Φ(b ) − Φ(a )P (−a ≤ Z ≤ a ) = Φ(a ) − Φ(−a ) = 2Φ(a ) −1一般正态分布的概率计算一般正态分布的概率计算公式 P (X ≤ a ) = P (X < a ) = Φ(a − µσ ) a − µ方差的性质P (X ≥ a ) = P (X > a ) = 1− Φ( σ)D(a)=0，其中 a 为常数P (a ≤ X ≤ b ) = Φ(b − µ− Φ(a − µD(a+bX)=b2D(X)，其中 a 、b 为常数当 X 、Y 相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y) 协方差与相关系数E {[X − E (X )][Y − E (Y )]}= E (XY ) − E (X )E (Y )第五章卡方分布σ ) σ)n若X ~ N (0,1)，则∑ X 2 ~ χ2(n )i =121n2 2协方差的性质若Y ~ N (µ,σ ),t 分布则 2 ∑(Y i− µ) i =1 ~ χ (n )若X ~ N (0,1), Y ~ χ2(n ),则X ~ t (n )独立与相关独立必定不相关 Cov (aX ,bY ) = abCov (X ,Y )若U ~ χ2 (n ), F 分布正态总体条件下样本均值的分布：V ~ χ2(n ),则U / n 1 V / n 2~ F (n 1,n 2 )相关必定不独立2X ~ N (µ,)nX − µ~ N (0,1)σ/ n 2− E (X )) ⋅ f (x )dx x +∞−∞∫ D (X ) =( E (XY ) = ∫ ∫ xyf (x , y )dxdy σX ~ N (µ,σ2 ) ⇔ Z = X − µ~ N (0,1)D (X )D (Y )XY ρ =C ov (X ,Y )Cov (X +Y , Z ) = Cov (X , Z ) + Cov (Y , Z )C ov (X , X ) = E (X 2 ) − (E (X ))2 =D (X )Cov (X ,Y ) = E (XY ) − E (X )E (Y )D (X +Y ) = D (X ) + D (Y )D (X ) =E (X 2 ) − [E (X )]2当X 与Y 独立时,E (XY ) = E (X )E (Y )Φ(a ) = 1− Φ(−a ) E (X +Y ) = E (X ) + E (Y )E (X ) = ∫ ∫ xf (x , y )dxdyn ⎠ n ⎠ n ⎠σ2 1 + 2 n 1 n 2 σ2 σ / n(x 1 − x 2 )± z α/ 2 2 2 ⎜ χ χ ⎛ ⎜ ⎟12x ± z样本方差的分布：正态总体方差的区间估计两个正态总体均值差的置信区间(n −1)S 2 ~ χ2 (n −1) X − µ~ t (n −1) 大样本或正态小样本且方差已知σ2两个正态总体的方差之比⎛⎜ ⎜ ⎝S 2 / S 2两个正态总体方差比的置信区间1 2~ F (n 1 −1,σ2 /σ2n 2 −1)2 / S 2 , 2 / S 2⎞ ⎝ F α/ 2 (n 1 −1,n 2 −1) F α/ 2 (n 1 −1,n 2 −1) ⎠第六章点估计：参数的估计值为一个常数矩估计最大似然估计n似然函数第七章假设检验的步骤1 根据具体问题提出原假设 H0 和备择假设 H12 根据假设选择检验统计量，并计算检验统计值3 看检验统计值是否落在拒绝域，若落在拒绝域则L = Π i =1f (x i ;θ)L = Π i =1p (x i ;θ)拒绝原假设，否则就不拒绝原假设。

数理统计常用公式整理

数理统计常用公式整理一、概率公式1. 概率的加法公式：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)2. 条件概率公式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)3. 乘法公式：P(A∩B) = P(B) × P(A|B) = P(A) × P(B|A)4. 全概率公式：P(B) = ΣP(Ai) × P(B|Ai)，其中Ai为样本空间的划分。

5. 贝叶斯公式：P(Ai|B) = P(Ai) × P(B|Ai) / ΣP(Aj) × P(B|Aj)，其中Ai为样本空间的划分。

二、随机变量公式1. 期望：E(X) = Σx×P(X=x)，其中x为随机变量X的取值，P(X=x)为其概率。

2. 方差：Var(X) = E((X-E(X))^2) = E(X^2) - [E(X)]^23. 协方差：Cov(X,Y) = E((X-E(X))(Y-E(Y)))4. 两个随机变量X和Y的相关系数：ρ(X,Y) = Cov(X,Y) / (σ(X) × σ(Y))，其中σ(X)和σ(Y)分别为X和Y的标准差。

三、常见分布公式1. 二项分布：P(X=k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k)，其中n为试验次数，k为成功次数，p为单次试验成功的概率。

2. 泊松分布：P(X=k) = (λ^k × e^(-λ)) / k!，其中λ为单位时间（或单位面积）内随机事件发生的平均次数。

3. 正态分布：f(x) = (1 / (σ×√(2π))) × e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))，其中μ为均值，σ为标准差。

4. t分布：f(t) = (Γ((v+1)/2) / (√(vπ) × Γ(v/2))) × (1 + t^2/v)^(-((v+1)/2))，其中v为自由度。

概率论与数理统计完整公式

概率论与数理统计完整公式概率论与数理统计是数学的一个分支，研究随机现象和随机变量之间的关系、随机变量的分布规律、经验规律及参数估计等内容。

在概率论与数理统计的学习中，有许多重要的公式需要掌握。

以下是概率论与数理统计的完整公式。

一、概率论公式：1.全概率公式：设A1，A2，…，An为样本空间S的一个划分，则对任意事件B，有：P(B)=P(B│A1)·P(A1)+P(B│A2)·P(A2)+…+P(B│An)·P(An)2.贝叶斯公式：对于样本空间S的一划分A1，A2，…，An，其中P(Ai)>0，i=1,2，…，n，并且B是S的任一事件，有：P(Ai│B)=[P(B│Ai)·P(Ai)]/[P(B│A1)·P(A1)+P(B│A2)·P(A2)+…+P (B│An)·P(An)]3.事件的独立性：若对事件A，B有P(AB)=P(A)·P(B)，则称事件A，B相互独立。

4.概率的乘法公式：对于独立事件A1，A2，…，An，有：P(A1A2…An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An)5.概率的加法公式：对事件A，B有：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)6.条件概率的计算：对事件A，B有：P(A，B)=P(AB)/P(B)7.古典概型的概率计算：设事件A在n次试验中发生k次的次数服从二项分布B(n,p)，则其概率可表示为：P(X=k)=C(n,k)·p^k·(1-p)^(n-k)，其中C(n,k)=n!/[k!(n-k)!]二、数理统计公式：1.样本均值的期望和方差：样本的均值X̄的期望和方差分别为： E(X̄) = μ，Var(X̄) = σ^2 / n，其中μ 为总体的均值，σ^2 为总体方差，n 为样本容量。

2.样本方差的期望：样本方差S^2的期望为：E(S^2)=σ^2，其中σ^2为总体方差。

概率论与数理统计公式大全

概率论与数理统计公式大全一、概率论公式1.概率的基本性质：-非负性：对于任意事件A，有P(A)>=0；-规范性：对于必然事件S，有P(S)=1；-可列可加性：对于互不相容的事件Ai（i=1,2,...），有P(A1∪A2∪...)=P(A1)+P(A2)+...。

2.条件概率：-事件B发生的条件下，事件A发生的概率：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)；-乘法公式：P(A∩B)=P(A，B)*P(B)。

3.全概率公式：-事件A的概率：P(A)=ΣP(A，Bi)*P(Bi)，其中Bi为样本空间的一个划分。

4.贝叶斯公式：-事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率：P(Bi，A)=P(A，Bi)*P(Bi)/ΣP(A，Bj)*P(Bj)，其中Bj为样本空间的一个划分。

5.独立性：-事件A与事件B相互独立的充要条件是P(A∩B)=P(A)*P(B)。

二、数理统计公式1.随机变量的概率分布：-离散型随机变量的概率分布函数：P(X=x)；-连续型随机变量的概率密度函数：f(x)。

2.数理统计的基本概念：-样本均值：X̄=ΣXi/n；-样本方差：s^2=Σ(Xi-X̄)^2/(n-1)；-样本标准差：s=√s^2；- 样本协方差：sxy = Σ(Xi-X̄)(Yi-Ȳ) / (n-1)。

3.大数定律：-样本均值的大数定律：当样本容量n趋向于无穷大时，样本均值X̄趋向于总体均值μ。

4.中心极限定理：-样本均值的中心极限定理：当样本容量n足够大时，样本均值X̄服从近似正态分布。

5.参数估计：-点估计：用样本统计量对总体参数进行估计；-置信区间估计：用样本统计量构造一个区间，以估计总体参数的范围。

6.假设检验：-假设检验的基本步骤：提出原假设H0和备择假设H1，选择适当的检验统计量，计算拒绝域，进行假设检验。

以上只是概率论与数理统计中的一些重要公式和定理，还有很多其他的公式和定理没有一一列举。

掌握这些公式和定理，可以帮助我们更好地理解和应用概率论与数理统计的知识。

概率论与数理统计公式整理(完整版)

An 1) 。
①两个事件的独立性
设事件 A 、B 满足 P(AB) P( A)P(B) ，则称事件 A 、B 是相互独立的。
若事件 A 、 B 相互独立，且 P( A) 0 ，则有
P(B | A) P( AB) P( A)P(B) P(B)
P( A)
P( A)
（14）独立性
（15）全概公式
布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。
5 / 27
概率论与数理统计公式（全）
泊松分布
设随机变量 X 的分布律为 P( X k) k e ， 0 ， k 0,1,2， k!
则称随机变量 X 服从参数为的泊松分布，记为 X ~ () 或
超几何分布几何分布
者 P( )。
泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。
当 A=Ω时，P( B )=1- P(B)
（12）条件概率
定义设 A、B 是两个事件，且 P(A)>0，则称 P( AB) 为事件 A 发生条件下，事 P( A)
件 B 发生的条件概率，记为 P(B / A) P( AB) 。 P( A)
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
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一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母
A，B，C，…表示事件，它们是的子集。为必然事件，Ø 为不可能事件。
不可能事件（Ø ）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。
①关系：如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分，（A 发生必有事件 B 发生）：
设事件 B1， B2 ，…， Bn 及 A 满足

概率论与数理统计公式大全

概率论与数理统计公式大全一、概率论的常用公式：1.概率的公式：对于事件A，其概率表示为P(A)，满足0≤P(A)≤1。

2.加法公式：对于两个互斥事件A和B，其概率表示为P(A∪B)，满足P(A∪B)=P(A)+P(B)。

3.减法公式：对于事件A和B，其概率表示为P(A∩B)，满足P(A∩B)=P(A)-P(A∪B)。

4.乘法公式：对于两个独立事件A和B，其概率表示为P(A∩B)，满足P(A∩B)=P(A)某P(B)。

5.条件概率公式：对于事件A和B，其条件概率表示为P(A，B)，满足P(A，B)=P(A∩B)/P(B)。

6.全概率公式：对于一组互斥事件B1，B2，...，Bn，以及事件A，有P(A)=∑(P(A，Bi)某P(Bi))。

7.贝叶斯公式：对于一组互斥事件B1，B2，...，Bn，以及事件A，有P(Bi，A)=P(A，Bi)某P(Bi)/(∑(P(A，Bj)某P(Bj))。

二、数理统计的常用公式：1.均值公式：对于一组数据某1，某2，...，某n，其均值表示为μ=∑(某i)/n。

2.方差公式：对于一组数据某1，某2，...，某n，其方差表示为σ^2=∑((某i-μ)^2)/n。

3.标准差公式：对于一组数据某1，某2，...，某n，其标准差表示为σ=√(σ^2)。

4. 协方差公式：对于两组数据某1，某2，...，某n 和 y1，y2，...，yn，其协方差表示为 Cov(某,y) = ∑((某i - μ某) 某 (yi - μy)) / n。

5. 相关系数公式：对于两组数据某1，某2，...，某n 和 y1，y2，...，yn，其相关系数表示为 r = Cov(某,y) / (σ某某σy)。

6.正态分布的概率计算：对于满足正态分布的一组数据某1，某2，...，某n，可以利用标准正态分布表或计算工具来计算概率P(X≤某)或P(X>某)。

7.置信区间公式：对于一组数据某1，某2，...，某n，其均值μ和置信水平α，可以计算置信区间为某̄±Z(α/2)某(σ/√n)。

概率论与数理统计公式

概率论与数理统计公式1.概率公式：
1.1概率加法公式：
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
1.2条件概率公式：
P(A，B)=P(A∩B)/P(B)
P(B，A)=P(A∩B)/P(A)
1.3乘法公式：
P(A∩B)=P(A)*P(B，A)
P(A∩B)=P(B)*P(A，B)
1.4全概率公式：
P(A)=ΣP(A，B_i)*P(B_i)
1.5贝叶斯公式：
P(B，A)=P(A，B)*P(B)/P(A)
2.数理统计中的基本概念和公式：
2.1样本均值：
样本均值 = (x1 + x2 + ... + xn) / n
2.2总体均值：
总体均值=(样本均值*n-x)/(n-1)
2.3样本方差：
样本方差 = Σ(xi - x̄)² / (n-1)
2.4总体方差：
总体方差= Σ(xi - µ)² / N
2.5样本标准差：
样本标准差=√(样本方差)
2.6总体标准差：
总体标准差=√(总体方差)
2.7样本中位数：
样本中位数=(x[n/2]+x[(n+1)/2])/2（当n为偶数时）
2.8样本四分位数：
样本四分位数Q1=x[(n+3)/4]
样本四分位数Q3=x[(3n+1)/4]
2.9标准正态分布的累积分布函数的逆函数：
Zα=Φ^(-1)(α)，其中Φ(z)表示标准正态分布的累积分布函数。

2.10卡方分布的累积分布函数的逆函数：
x^2α=χ^2^(-1)(α)，其中χ^2(x)表示卡方分布的累积分布函数。

(完整版)大学概率论与数理统计公式全集

大学概率论与数理统计公式全集一、随机事件和概率1、随机事件及其概率运算律名称交换律结合律分配律德摩根律2、概率的定义及其计算公式名称求逆公式加法公式条件概率公式乘法公式全概率公式贝叶斯公式（逆概率公式）伯努利概型公式两件事件相互独立相应公式P(AB)=P(A)P(B)表达式A+B=B+A(A+B)+C=A+(B+C)=A+B+CA(B±C)=AB±ACA+B=ABAB=BA(AB)C=A(BC)=ABCA+(BC)=(A+B)(A+C)AB=A+B公式表达式P(A)=1-P(A)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)P(B A)=P(AB)P(A)P(AB)=P(A)P(B A)nP(AB)=P(B)P(A B)i iP(B)=∑P(A)P(B A)i=1P(AjB)=P(Aj)P(B Aj)∑P(A)P(B A)j ii=1∞k kPn(k)=Cnp(1-p)n-k,k=0,1,Λn；P(B A)=P(B)；P(B A)=P(B A)；P(B A)+P(B A)=1；P(B A)+P(B A)=1二、随机变量及其分布1、分布函数性质P(X≤b)=F(b)P(a<X≤b)=F(b)-F(a)2、离散型随机变量分布名称0–1分布B(1,p)二项分布B(n,p)泊松分布P(λ)几何分布G(p)超几何分布H(N,M,n)3、连续型随机变量分布名称均匀分布U(a,b)密度函数⎧1⎪b-a,f(x)=⎨⎪0,⎩a<x<b其他分布律P(X=k)=p k(1-p)1-k,k=0,1k kP(X=k)=Cnp(1-p)n-k,k=0,1,Λ,nP(X=k)=e-λλkk!,k=0,1,2,ΛP(X=k)=(1-p)k-1p,P(X=k)=k n-kCMCN-MnCN,k=l,l+1,Λ,min(n,M)k=0,1,2,Λ分布函数0,x<a⎧⎪⎪x-aF(x)=⎨,a≤x<bb-a⎪1,x≥b⎪⎩指数分布E(λ)正态分布N(μ,σ2)标准正态分布N(0,1)f(x)=-λx⎧⎪λe,x>0f(x)=⎨⎪其他⎩0,x<0⎧0,F(x)=⎨-λx1-e,x≥0⎩2πσ⎰2πσ⎰11x12πσe-(x-μ)22σ2-∞<x<+∞F(x)=-∞e-(t-μ)22σ2d tϕ(x)=12πe-x22-∞<x<+∞F(x)=x-∞e-(t-μ)22σ2d t三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量边缘分布p i⋅=P(X=xi)=∑P(X=x,Y=y)=∑pi jj jijp⋅j=P(Y=yj)=∑P(X=x,Y=y)=∑pi ji iij2、离散型二维随机变量条件分布p i j =P(X=xiY=yj)=P(X=xi,Y=yj)P(Y=yj)=pijP⋅j,i=1,2Λx yp j i =P(Y=yjX=xi)=P(X=xi,Y=yj)P(X=xi)=pijPi⋅,j=1,2Λ3、连续型二维随机变量(X ,Y)的联合分布函数F(x,y)=⎰-∞⎰-∞f(u,v)dvdu4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数边缘分布函数：FX (x)=⎰-∞⎰-∞f(u,v)dvdu边缘密度函数：fX(x)=⎰-∞f(x,v)dvF Y (y)=x+∞+∞⎰⎰y+∞-∞-∞f(u,v)dudv fY(y)=⎰+∞-∞f(u,y)du5、二维随机变量的条件分布fY X (y x)=f(x,y)f(x,y),-∞<y<+∞fX Y(x y)=,-∞<x<+∞fX(x)fY(y)四、随机变量的数字特征1、数学期望离散型随机变量：E(X)=∑xk pk连续型随机变量：E(X)=⎰-∞xf(x)dxk=1+∞+∞2、数学期望的性质(1)E(C)=C,C为常数E[E(X)]=E(X)E(CX)=CE(X)(2)E(X±Y)=E(X)±E(Y)E(aX±b)=aE(X)±b E(C1X1+ΛCnXn)=C1E(X1)+ΛCnE(Xn)(3)若XY相互独立则：E(XY)=E(X)E(Y)(4)[E(XY)]2≤E2(X)E2(Y)3、方差：D(X)=E(X2)-E2(X)4、方差的性质(1)D(C)=0D[D(X)]=0D(aX±b)=a2D(X)D(X)<E(X-C)2(2)D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y)若XY相互独立则：D(X±Y)=D(X)+D(Y)5、协方差：Cov(X,Y)=E(X,Y)-E(X)E(Y)若XY相互独立则：Cov(X,Y)=06、相关系数：ρXY =ρ(X,Y)=Cov(X,Y)D(X)D(Y)若XY相互独立则：ρXY=0即XY不相关7、协方差和相关系数的性质(1)Cov(X,X)=D(X)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)(2)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)Cov(aX+c,bY+d)=abCov(X,Y)8、常见数学分布的期望和方差分布0-1分布B(1,p)二行分布B(n,p)泊松分布P(λ)几何分布G(p)超几何分布H(N,M,n)均匀分布U(a,b)正态分布N(μ,σ2)指数分布E(λ)数学期望p方差p(1-p)np(1-p)npλ1pλ1-ppn2nMNM M N-m(1-)N N N-1 a+b2(b-a)212σ2μ1λ1λ2五、大数定律和中心极限定理1、切比雪夫不等式)D (X )若E (X )=μ,D (X )=σ2,对于任意ξ>0有P {X -E (X )≥ξ}≤D (X 或P {X -E (X )<ξ}≥1-22ξξ2、大数定律：若X1ΛXn相互独立且n →∞时，1n(1)若X 1ΛX n 相互独立，E (X i )=μi ,D (X i )=σi 2∑i =1n1Xi−−→nD n∑E (X )ii =1n且σi 21≤M 则：n ∑i =11Xi−−→nP ∑E (X ),(n →∞)ii =1n1nP −→μ(2)若X1ΛXn相互独立同分布，且E (Xi )=μi则当n →∞时：∑X i−ni =13、中心极限定理(1)独立同分布的中心极限定理：均值为μ，方差为σ2>0的独立同分布时，当n 充分大时有：∑X Y n=k =1nk -n μ~−−→N (0,1)n σ(2)拉普拉斯定理：随机变量ηn(n =1,2Λ)~B (n ,p )则对任意x 有：x →+∞lim P {ηn-npnp (1-p )≤x }=⎰x 12π-∞e-t 22dt=Φ(x )n(3)近似计算：P (a ≤∑Xk≤b )=P (a -n μ≤k =1n∑Xk =1k-n μ≤b -n μn σn σn σ)≈Φ(b -n μn σ)-Φ(a -n μn σ)六、数理统计1、总体和样本总体X 的分布函数F (x )样本(X 1,X 2Λ2、统计量(1)样本平均值：X =1n(3)样本标准差：S =Xn)的联合分布为F (x 1,x2Λx n)=∏F (x k)k =1n∑i =1n1X i(2)样本方差：S =n -12∑1(Xi-X )=n -1i =12nn ∑i =1n (Xi2-nX )21n -1∑1(X i -X ) (4)样本k 阶原点距：Ak=ni =12n ∑Xi =1k i,k =1,2Λ(5)样本k 阶中心距：Bk=M k =1n∑(Xi =1n i-X )k ,k =2,3Λ(6)次序统计量：设样本(X 1,X 2Λ序重新排列，得到x (1)≤x(2)≤Λ为样本(X 1,X 2ΛX n)X n)的观察值(x 1,x 2Λx n)，将x 1,x 2Λxn按照由小到大的次≤x(n )，记取值为x (i )的样本分量为X (i )，则称X(1)≤X(2)≤Λ≤X(n )的次序统计量。

概率论全概率公式

概率论全概率公式全概率公式是概率论中一条重要的公式，它用于计算一个事件的概率，当该事件可以通过多种不同的方式发生时，可以通过全概率公式来计算出最终的概率。

全概率公式的数学表达如下：P(A)=P(A，B1)*P(B1)+P(A，B2)*P(B2)+...+P(A，Bn)*P(Bn)其中，A表示要计算的事件，B1、B2、..、Bn表示一系列互不相容的事件，也称为样本空间的一个划分。

P(A，Bi)表示事件A在给定事件Bi的条件下发生的概率，P(Bi)表示事件Bi发生的概率。

全概率公式的理论基础是条件概率公式，即：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)根据条件概率公式，可以推导全概率公式。

假设事件A可以通过事件B1、B2、..、Bn发生，那么事件A的概率可以表示为：P(A)=P(A∩B1)+P(A∩B2)+...+P(A∩Bn)又根据条件概率公式，可以将上式中的交集表示为：P(A∩Bi)=P(A，Bi)*P(Bi)将上式代入全概率公式中，得到：P(A)=P(A，B1)*P(B1)+P(A，B2)*P(B2)+...+P(A，Bn)*P(Bn)这样就得到了全概率公式。

全概率公式的应用非常广泛。

通常情况下，我们可以将一个事件的发生看作是其他一些事件的组合。

例如，一个班级的学生参加数学考试，我们可以将该事件看作是三种不同的情况：优秀、及格和不及格。

根据这三种情况的可能性和对应的概率，可以使用全概率公式来计算整个班级的平均分数。

另一个经典的例子是生存分析。

在医学研究中，我们经常需要计算一个人在一些时间段内生存下来的概率。

然而，由于种种原因，我们可能无法直接获得该概率。

这时，可以通过观察与生存情况相关的一些因素，例如患者的年龄、性别、疾病严重程度等，然后根据这些因素的分布和相关性，使用全概率公式来计算生存的概率。

除了上述应用，全概率公式还可以用于统计学、工程学和经济学等领域的概率模型中。

在实际问题中，我们经常会遇到一些复杂的概率事件，这时使用全概率公式可以将问题化简为计算一系列简单的条件概率，从而更容易得到最终的概率结果。

概率论与数理统计公式全完整版

概率论与数理统计公式
全
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第1章随机事件及其概率
每次试验只有两种可能结果，A 发生或A 不发生； n 次试验是重复进行的，即A 发生的概率每次均一样；
每次试验是独立的，即每次试验A 发生与否与其他次试验A 发生与否是互不影响的。

这种试验称为伯努利概型，或称为n 重伯努利试验。

用p 表示每次试验A 发生的概率，则A 发生的概率为q p =-1，用
)(k P n 表示n 重伯努利试验中A 出现)0(n k k ≤≤次的概率，
k n k k
n n q p k P C -=)(，n k ,,2,1,0 =。

第二章随机变量及其分布
第三章二维随机变量及其分布
第四章随机变量的数字特征
第五章大数定律和中心极限定理
第六章样本及抽样分布
第七章参数估计
第八章假设检验
单正态总体均值和方差的假设检验。

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