三角代换的经典例题

三角代换的经典例题

若实数y x 、满足145422=+-y xy x ，设22y x S +=， 求min max 1

1S S +的值． 【分析】 由于所给式子为一个齐次式，所以，由22y x S +=联

想到1sin cos 2

2=+αα,于是进行三角换元，可以设⎪⎩⎪⎨⎧==αS y αS x sin cos 代入145422=+-y xy x ，求min max S S 和的值．

解：设⎪⎩⎪⎨⎧==α

S y αS x sin cos ，代入145422=+-y xy x ，得： 1cos sin 54=⋅-ααS S

解得 α

S 2sin 582-=； ∵ -1≤α2sin ≤1

∴ 3≤α2sin 58-≤13

∴ 13

1≤α2sin 581-≤31 ∴ 132≤α2sin 582-≤3

2 ∴

min max 11S S +＝82

1323=+． 类似练习： 若实数y x 、满足157522=++y xy x ，设22y x S +=， 求min max 1

1S S +的值．

解：设⎪⎩⎪⎨⎧==α

S y αS x sin cos ，代入157522=++y xy x ，得： 1cos sin 75=⋅+ααS S

解得 α

S 2sin 7102+=； ∵ -1≤α2sin ≤1

∴ 3≤α2sin 710+≤17

∴ 17

1≤α2sin 7101+≤31 ∴ 17

2≤α2sin 7102+≤32 ∴

min max 11S S +＝1021723=+．