三角代换的经典例题
三角恒等变换经典例题
三角恒等变换1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式：(1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βαβαβαsin co cos sin )sin(s -=- (2）βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-(3）βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ ⇒ ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-(4）βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- ⇒ ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+(7) sin cos a b αα+=)αϕ+(其中,辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 所在的象限决定,sin tan ba ϕϕϕ=== ，该法也叫合一变形). (8))4tan(tan 1tan 1θπθθ+=-+ )4tan(tan 1tan 1θπθθ-=+-2. 二倍角公式（1）a a a cos sin 22sin = （2）1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=a a a a a（3）aaa 2tan 1tan 22tan -=3. 降幂公式：（1）22cos 1cos 2a a +=（2） 22cos 1sin 2a a -=4. 升幂公式（1）2cos 2cos 12αα=+ （2）2sin2cos 12αα=-（3）2)2cos 2(sin sin 1ααα±=± （4）αα22cos sin 1+= （5）2cos2sin 2sin ααα=5. 半角公式（符号的选择由2θ所在的象限确定） （1）2cos 12sinaa -±=， （2）2cos 12cos a a +±= ， （3）a a a a a a a sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan-=+=+-±=6. 万能公式:（1）2tan 12tan2sin 2ααα+=, （2）2tan 12tan 1cos 22ααα+-=,（3）.2tan 12tan2tan 2ααα-=7，辅角公式)sin(cos sin 22ϕθθθ++=+b a b a 其中2222sin ,cos b a bb a a +=+=ϕϕ，比如：xx y cos 3sin +=)cos )3(13sin )3(11()3(1222222x x ++++=)cos 23sin 21(2x x +=)3sin cos 3cos (sin 2ππx x +=)3sin(2π+=x10.常见数据：sin15cos75cos15︒=︒=︒=︒= 3215tan -=︒, 3275tan +=︒,专题四 三角恒等变形各类题命题点1 和差公式的直接应用1．(2015课标1,2) 0000sin 20cos10cos160sin10-=（ ）.AB 1.2C - 1.2D2．（2017江苏，5）若1tan()46πα-=，则tan α=_____________ . 3．(2016·杭州模拟)已知sin α＝35，α∈(π2，π)，则cos 2α2sin (α＋π4)＝________.4．在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C 的值为( ) A ．－22 B.22 C.12 D ．－125．(2016·全国丙卷)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α等于( )A.6425B.4825 C ．1 D.16256．(2016·宁波期末考试)已知θ∈(0，π4)，且sin θ－cos θ＝－144，则2cos 2θ－1cos (π4＋θ)等于( )A.23B.43C.34D.327．(2017浙江高考模拟训练冲刺卷四，4)已知4sin25θ=-，3cos 25θ=，则θ属于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 命题点2 角的变换8．设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于( ) A.2525 B.255 C.2525或255 D.55或5259．已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是________．10．设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为________．11．(2016·浙江五校联考)已知3tan α2＋tan 2α2＝1，sin β＝3sin(2α＋β)，则tan(α＋β)等于( )A.43 B ．－43 C ．－23 D ．－3 命题点3 三角函数式的化简12．（2013重庆，9）004cos50tan 40-=（）BC 1 13．化简：(1＋sin θ＋cos θ)(sin θ2－cos θ2)2＋2cos θ (0<θ<π)；化简4cos 2sin 22+-14．求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°(1tan 5°－tan 5°)．15． 化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝________.16．(2017·嘉兴第一中学调研)若sin(π＋α)＝35，α是第三象限角，则sin π＋α2－cosπ＋α2sin π－α2－cosπ－α2等于A.12 B ．－12C ．2D ．－2 命题点4 给值求值问题17．（2017课标全国3文，4）已知4sin cos 3αα-=，则sin2α=（ ） 7.9A - 2.9B - 2.9C 7.9D18．(2016·合肥联考)已知α，β为锐角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，则cos β＝________.19．（2013浙江，6）已知R α∈，sin 2cos αα+=则tan 2α=（ ） 4.3A 3.4B 3.4C - 4.3D - 20．（2014江苏，15）已知(,)2παπ∈，sin α=（1）求sin()4πα+的值；（2）求5cos(2)6πα-的值。
三角形等量代换数学题
三角形等量代换数学题摘要：1.三角形等量代换的基本概念2.三角形等量代换的应用场景3.三角形等量代换的解题步骤与方法4.实战演练与题目解析5.提高解题效率的技巧与策略正文：三角形等量代换是数学中的一种基本思维方法，它在解决三角形相关问题中发挥着重要作用。
本文将介绍三角形等量代换的基本概念、应用场景、解题步骤与方法，并通过实战演练与题目解析帮助大家更好地掌握这一方法。
一、三角形等量代换的基本概念三角形等量代换是指在解决三角形问题时，将已知条件中的某个量用其他量来表示，从而将问题转化为更容易解决的形式。
这个过程需要注意替换的量之间应满足一定的数学关系，例如比例关系、和差关系等。
二、三角形等量代换的应用场景1.求解三角形中的角度、边长、面积等未知量。
2.证明三角形性质，如三角形全等、相似等。
3.解决与三角形相关的几何问题，如计算三角形内的最值问题、最短路径问题等。
三、三角形等量代换的解题步骤与方法1.分析题目，找出可以进行等量代换的条件。
2.选择合适的等量替换关系，进行替换。
3.利用替换后的关系式进行计算或证明。
4.检验替换过程中是否引入了新的未知量，如有需要，继续进行等量代换，直至解决问题。
四、实战演练与题目解析例1：已知等腰三角形ABC，AB=AC，BD为中线，求BD的长度。
解：设AD=DC=x，则有AB=AC=2x，根据等腰三角形的性质，有∠BAD=∠DAC。
利用正弦定理，得到：sin∠BAD = sin∠DACBD/AB = AD/DBBD/2x = x/DBDB = 2x^2 / (x + 2x) = x所以，BD的长度为x。
例2：已知三角形ABC，AB=5，AC=6，BC=4，求∠BAC的度数。
解：设∠BAC=x，根据余弦定理，有：cos∠BAC = (AB^2 + AC^2 - BC^2) / (2 * AB * AC)cosx = (25 + 36 - 16) / (2 * 5 * 6) = 1/2由于0 < x < 180°，所以∠BAC=60°。
三角代换公式讲解例题
三角代换公式讲解例题三角代换公式是在三角函数中常用的一个技巧，可以将复杂的三角函数表达式转化为简单的代数表达式，从而简化计算过程。
本文将通过讲解例题来详细解释三角代换公式的应用方法。
例题1：计算函数$f(x) = \sin^3x \cos^2x$的不定积分。
解析：首先，我们注意到$f(x)$中包含了$\sin x$和$\cos x$的高次方，这使得我们很难直接计算其不定积分。
因此，我们可以考虑使用三角代换公式来简化问题。
我们可以令$u = \sin x$，则$\cos x = \sqrt{1 - \sin^2 x} = \sqrt{1 - u^2}$。
通过这个代换，我们可以将$f(x)$转化为关于$u$的代数表达式。
将代换关系带入$f(x)$，我们得到：$f(x) = \sin^3x \cos^2x = u^3(1 - u^2)$现在，我们可以计算$f(x)$的不定积分。
代换$u$的导数$du = \cos x dx$，可以将$x$的微元$dx$用$du$表示。
将代换和微元代入$f(x)$的不定积分中，我们得到：$\int f(x)dx = \int u^3(1 - u^2)du$对于这个简化后的代数表达式，我们可以使用常规的代数技巧来计算不定积分。
首先，我们可以将积分式展开：$\int u^3(1 - u^2)du = \int (u^3 - u^5)du$然后，我们可以分别计算每一项的不定积分：$\int u^3(1 - u^2)du = \frac{1}{4}u^4 - \frac{1}{6}u^6 + C$其中，$C$为常数项。
最后，我们将代换$u = \sin x$带回原来的变量$x$，即可得到原函数$f(x)$的不定积分：$\int f(x)dx = \frac{1}{4}\sin^4x - \frac{1}{6}\sin^6x + C$这样，我们通过使用三角代换公式成功地计算出了函数$f(x)$的不定积分。
解三角形常用变换公式及经典例题
解三角形知识点：1〃正弦定理:2sin sin sin a b cR A B C===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =. 2〃余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 或 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩.3〃（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.（1）三角形内角和等于0180，即0180=++C B A ,灵活变形，如)(1800C B A +-=等 （2）大边对大角,即若c b a >>，则C B A >>2.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即：R CcB b A a 2sin sin sin ===（R 为三角形外接圆半径） 变形：(1)C B A c b a sin :sin :sin ::= (2)R a A 2sin =,R b B 2sin =,Rc C 2sin =（角化边） (3)A R a sin 2=, B R b sin 2=,C R c sin 2=（边化角）3.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
即：A bc c b a cos 2222-+= ；B ac c a b cos 2222-+= ；C ab b a c cos 2222-+= 变形： bc a c b A 2cos 222-+= ； ac b c a B 2cos 222-+= ； ab c b a C 2cos 222-+=条件角角边边边角边边边边角边适用定理正弦定理 正弦定理（注意解的个数） 余弦定理余弦定理 余弦定理4.三角形的面积公式C ab S sin 21=，B ac S sin 21=，A bc S sin 21= 5.三角形形状的判断 ： 若0cos >A ，A 为锐角；若0cos =A ，A 为直角；若0cos <A ，A 为钝角例1．在△ABC 中，若B A sin sin >，则A 与B 的大小关系为（ ）A. B A >B. B A <C. A ≥BD. A 、B 的大小关系不能确定例2．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于( ) A ．30° B ．30°或150° C ．60°D ．60°或120°例3．已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( ) A ．9 B ．18C ．93D ．183例4．在△ABC 中，sin A :sin B :sin C =3:2:4，则cos C 的值为（ ）A ．23B ．－23C ．14D ．－14例5．在ABC ∆中，若,cos sin bBa A =则B 的值为( ) A. 30 B. 45 C. 60 D. 90例6．在ABC ∆中，若,sin 23A b a =则B 为（ ） A.3π B. 6π C. 3π或32π D.6π或65π例7．在ABC ∆中，,sin sin sin 222C B A =+求证ABC ∆为直角三角形。
三角函数恒等变换含答案及高考题
三角函数恒等变形的基本策略。
（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ·cotx=tan45°等。
（2）项的分拆与角的配凑。
如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x ；配凑角：α=（α+β）－β，β=2βα+－2βα-等。
（3）降次与升次。
（4）化弦（切）法。
（4）引入辅助角。
asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ=ab确定。
1．已知tan x =2，求sin x ，cos x 的值． 解：因为2cos sin tan ==xxx ，又sin 2x ＋cos 2x =1， 联立得⎩⎨⎧=+=，1cos sin cos 2sin 22x x xx 解这个方程组得.55cos 552sin ,55cos 552sin ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==x x x x 2．求)330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan(----的值．解：原式)30360cos()150sin()30720tan()120360sin()30180cos()180120tan(o--+---++-= .3330cos )150sin (30tan )120sin )(30cos (60tan -=---=3．若,2cos sin cos sin =+-xx xx ，求sin x cos x 的值．解：法一：因为,2cos sin cos sin =+-xx xx所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )，得到sin x =－3cos x ，又sin 2x ＋cos 2x =1，联立方程组，解得 ，，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==1010cos 10103sin 1010cos 10103sin x x x x 所以⋅-=103cos sin x x 法二：因为,2cos sin cos sin =+-xx xx 所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )，所以(sin x －cos x )2=4(sin x ＋cos x )2， 所以1－2sin x cos x =4＋8sin x cos x ， 所以有⋅-=103cos sin x x 4．求证：tan 2x ·sin 2x =tan 2x －sin 2x ．证明：法一：右边＝tan 2x －sin 2x =tan 2x －(tan 2x ·cos 2x )=tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x ·sin 2x ，问题得证． 法二：左边=tan 2x ·sin 2x =tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x －tan 2x ·cos 2x =tan 2x －sin 2x ，问题得证． 5．求函数)6π2sin(2+=x y 在区间[0，2π ]上的值域． 解：因为0≤x ≤2π，所以,6π76π26π,π20≤+≤≤≤x x 由正弦函数的图象， 得到],1,21[)6π2sin(-∈+x所以y ∈[－1，2]． 6．求下列函数的值域．(1)y ＝sin 2x －cos x +2； (2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )． 解：(1)y =sin 2x －cos x ＋2＝1－cos 2x －cos x ＋2=－(cos 2x ＋cos x )＋3，令t =cos x ，则,413)21(413)21(3)(],1,1[222++-=++-=++-=-∈t t t t y t利用二次函数的图象得到].413,1[∈y (2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )=(sin x ＋cos x )2－1－(sin x ＋cos x )，令t =sin x ＋cos x 2=，)4πsin(+x ，则]2,2[-∈t 则，,12--=t t y 利用二次函数的图象得到].21,45[+-∈y7．若函数y =A sin(ωx +φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为)2,2(，它到其相邻的最低点之间的图象与x 轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式．解：由最高点为)2,2(，得到2=A ，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x 轴交点的间隔是41个周期，这样求得44=T ，T =16，所以⋅=8πω又由)28πsin(22ϕ+⨯=，得到可以取).4π8πsin(2.4π+=∴=x y ϕ8．已知函数f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin 4x ．(Ⅰ)求f (x )的最小正周期； (Ⅱ)若],2π,0[∈x 求f (x )的最大值、最小值． 数xxy cos 3sin 1--=的值域．解：(Ⅰ)因为f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin4x ＝(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )－sin2x )4π2sin(2)24πsin(22sin 2cos 2sin )sin (cos 22--=-=-=--=x x x x x x x所以最小正周期为π．(Ⅱ)若]2π,0[∈x ，则]4π3,4π[)4π2(-∈-x ，所以当x =0时，f (x )取最大值为;1)4πsin(2=--当8π3=x 时，f (x )取最小值为.2-1． 已知2tan =θ，求（1）θθθθsin cos sin cos -+；（2）θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值.解：（1）2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-+=++θθθθθθθθθ； (2) θ+θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ222222cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin 324122221cos sin 2cos sin cos sin 222-=++-=+θθ+θθ-θθ=. 说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。
三角形等量代换数学题
三角形等量代换数学题摘要：一、三角形等量代换数学题的概念与意义1.三角形等量代换的定义2.在数学中的重要性二、三角形等量代换数学题的解题方法1.传统解法2.基于等量代换的解法3.两种解法的比较与优劣三、三角形等量代换数学题的应用实例1.在几何学中的应用2.在物理学中的应用3.在工程学中的应用四、对三角形等量代换数学题的深入研究1.相关定理与性质2.与其他数学概念的联系五、结论正文：三角形等量代换数学题是数学领域中一种十分重要且常见的题目类型。
它主要涉及到三角形的相关概念，如边长、角度、面积等，要求通过等量代换的方式，求解未知量。
此类题目在几何学、物理学以及工程学等领域中都有着广泛的应用。
对于三角形等量代换数学题的解题方法，通常有两种：传统解法和基于等量代换的解法。
传统解法主要包括使用三角形相似、全等等性质，通过逐步推导，最终求解未知量。
而基于等量代换的解法则更为直接，它通过将已知量代入三角形中，利用三角形内角和、面积公式等直接求解未知量。
相比之下，基于等量代换的解法更为简便快捷，适用于大多数题目。
在实际应用中，三角形等量代换数学题涉及到的领域非常广泛。
例如，在几何学中，它常常被用来证明一些定理，或求解复杂图形的性质；在物理学中，它常常被用来求解力学问题，如求解受力平衡的物体形状；在工程学中，它常常被用来设计建筑物的结构，以满足各种受力要求。
对三角形等量代换数学题的深入研究，我们不仅可以发现许多有趣的定理和性质，如角平分线定理、梅涅劳斯定理等，还可以将它与其他许多数学概念联系起来，如向量、矩阵等。
这将进一步丰富我们的数学知识体系。
总的来说，三角形等量代换数学题是一种十分重要且有趣的题目类型。
三角恒等变换(八大题型+精准练习)(学生版)-2025届高三数学
三角恒等变换(八大题型+精准练习)题型归类题型一、两角和与差的三角函数公式的应用题型二、两角和与差的三角函数公式的逆用与变形题型三、角的变换问题题型四、二倍角公式的应用题型五、给角求值题型六、给值求值题型七、给值求角题型八、三角恒等变换的综合应用题型一、两角和与差的三角函数公式的应用知识要点两角和与差的正余弦与正切①sin (α±β)=sin αcos β±cos αsin β；②cos (α±β)=cos αcos β∓sin αsin β；③tan (α±β)=tan α±tan β1∓tan αtan β；精准练习1.(24-25高三·山东泰安·开学考试)已知sin α+β =13，sin α-β =12，则tan αtan β=()A.15B.-15C.5D.-52.(24-25高三上·安徽·开学考试)已知sin α+β =-35,1tan α+1tan β=2，则sin αsin β=()A.-310B.15C.-15D.3103.(24-25高三·重庆·阶段练习)已知cos α+β =13，cos αcos β=12，则cos 2α-2β =()A.23B.19C.-19D.-134.(2025·广东·一模)已知sin α+π3 -sin α=23，则cos 2α+π3 =()A.-59B.-19C.19D.595.(2024·江西九江·二模)已知α,β∈0,π2 ，cos α-β =56，tan α⋅tan β=14，则α+β=()A.π3B.π4C.π6D.2π36.(24-25高三上·江苏徐州·开学考试)已知sin α-β =2cos α+β ,tan α-β =13，则tan α-tan β=()A.47 B.74C.45D.767.(2025·黑龙江大庆·一模)已知0<α<β<π，且sin α+β +cos α+β =0,sin αsin β=6cos αcos β，则tan α-β =()A.-1B.-12C.-16D.-178.(24-25高三上·河北张家口·开学考试)已知sin (α-β)=13,tan αtan β=4，则sin (α+β)=.题型二、两角和与差的三角函数公式的逆用与变形知识要点1、两角和与差的正切公式的变形tan α±tan β=tan (α±β)(1∓tan αtan β)；tan α⋅tan β=1-tan α+tan βtan (α+β)=tan α-tan βtan (α-β)-1．2、辅助角公式a sin α+b cos α=a 2+b 2sin (α+ϕ)(其中sin ϕ=ba 2+b2，cos ϕ=aa 2+b2，tan ϕ=ba精准练习9.(23-24高一·黑龙江齐齐哈尔·期末)tan13°+tan32°+tan13°tan32°=()A.tan19°B.1C.-tan19°D.-110.(2024·福建泉州·模拟预测)若sin θ+3cos θ=2，则tan θ=()A.-3B.-33C.33D.3题型三、角的变换问题知识要点拆分角问题：①α=2⋅α2；α=(α+β)-β；②α=β-(β-α)；③α=12[(α+β)+(α-β)]；④β=12[(α+β)-(α-β)]；⑤π4+α=π2-π4-α ．注意：特殊的角也看成已知角，如常用的拆角、配角技巧：2α=(α+β)+(α-β)；α=(α+β)-β=(α-β)+β；β=α+β2-α-β2=(α+2β)-(α+β)；α-β=(α-γ)+(γ-β)；15°=45°-30°；π4+α=π2-π4-α 等．11.(24-25高三·安徽·阶段练习)若cosα+βcosβ=1m,tanα+β=3cosβsinβ，则cos2α=()A.32m2-1 B.16m2-1 C.4m2-1 D.2m2-112.(2024·江苏镇江·三模)已知角α，β满足tanα=2，2sinβ=cos(α+β)sinα，则tanβ=()A.13B.17C.16D.213.(24-25高三·福建福州·开学考试)已知α，β∈(0,π)，且cosα=35，sin(α-β)=513，则cosβ=()A.5665B.1665C.3365D.636514.(23-24高一·江苏南京·期末)若sin(α+β)=cos2αsin(α-β)，则tan(α+β)的最大值为()A.62B.64C.22D.2415.(2024·黑龙江双鸭山·模拟预测)已知α,β∈0,π4，cos2α-sin2α=17，且3sinβ=sin(2α+β)，则α+β的值为()A.π12B.π6C.π4D.π316.(23-24高三·天津·阶段练习)已知角α，β为锐角，tanα=32，sin(α-β)=2114，则tan2α-β的值为．17.(24-25高三·福建·阶段练习)已知tanα+β=4，tanα-β=-3，则tan2β=．题型四、二倍角公式的应用知识要点1、二倍角公式①sin2α=2sinαcosα；②cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α；③tan2α=2tanα1-tan2α；2、降次(幂)公式sinαcosα=12sin2α;sin2α=1-cos2α2;cos2α=1+cos2α2;3、半角公式sinα2=±1-cosα2;cosα2=±1+cosα2;tanα2=sinα1+cosα=1-cosαsin a.18.(2025·安徽·模拟预测)sin 2π12-sin 27π12=( )．A.32B.12C.-12D.-3219.(24-25高三·安徽亳州·开学考试)已知a ∈0,π2 ,sin3α=5sin a cos2α，则tan α值为()A.3B.32C.22D.120.(24-25高三·广西·阶段练习)已知sin π4+α =3sin π4-α ，则cos2α=()A.-45B.-35C.35D.4521.(24-25高三·云南昆明·阶段练习)已知3sin θ+π3 =cos θ+π6 ，则cos2θ=()A.-12B.17C.12D.3222.(23-24高一·江苏无锡·阶段练习)已知函数f (x )=cos 2ωx +sin ωx cos ωx -12(ω>1)的一个零点是π2，且f (x )在-π6,π16 上单调，则ω=()A.54B.74C.94D.11423.(24-25高三·江苏徐州·阶段练习)已知sin2α=23,α∈0,π4 ，则cos α+π4 =()A.66B.56C.306D.15324.(24-25高三·全国·阶段练习)已知4tan π121+tan2π12cos αsin β+π3=1，则tan (β-α)=()A.3B.33C.1D.23325.(多选)(2024·辽宁·模拟预测)已知α∈π2,π ,β∈0,π ,cos2α=-35,cos β-α =-210，则()A.tan α=-12B.sin β-α =-7210C.α+β=5π4D.cos αcos β=-3210题型五、给角求值知识要点(1)给角求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法．(2)给角求值问题的一般步骤①化简条件式子或待求式子；②观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手；③将已知条件代入所求式子，化简求值．精准练习26.(23-24高三·甘肃·阶段练习)计算12cos 35π+cos 25πcos 45π()A.2B.-12C.-1D.-227.(多选)(23-24高三·安徽合肥·阶段练习)下列代数式的值为14的是()A.cos 275°-sin 275°B.tan15°1+tan 215°C.cos36°cos72°D.2cos20°cos40°cos80°28.(23-24高三·吉林长春·阶段练习)cos20°1+cos20°tan20°+3 =.29.(2024·广东深圳·模拟预测)计算：cos72°cos -36° =.30.(23-24高三·安徽·期中)tan20°+4sin20°=．31.(2024高三·全国·专题练习)化简求值：cos36°cos72°+sin50°1+3tan10° -cos20°cos80°1-cos20°.32.(2024高一·湖南株洲·竞赛)1-2sin 25°2sin10°-2cos10°=．33.(11-12高一·全国·课后作业)3tan12°-34cos 212°-2 sin12°=．题型六、给值求值知识要点给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这些关系来选择公式精准练习34.(2024·河南新乡·模拟预测)设cos20°=a ，则13tan50°-1=()A.1-a 23B.a 2+12C.aD.a 235.(24-25高三上·江苏徐州·开学考试)已知sin α+π3 +sin α=23，则cos 2α+π3=()A.-1927B.-19C.19D.192736.(24-25高三·湖南衡阳·开学考试)已知cosα+β=6-24,sinα⋅sinβ=24，则cos2α-2β=()A.12B.22C.32D.137.(24-25高三·云南昆明·阶段练习)若sin160°=m，则sin40°=()A.-2mB.-2m1-m2C.-2m1+m2D.2m1-m238.(24-25高三·四川绵阳·开学考试)已知sin4θ2-cos4θ2=35,θ∈0,π，则1+sin2θcos2θ-sin2θ+cosθ=()A.-2635B.-325C.-314D.-172839.(24-25高三·安徽·阶段练习)若cosα+βcosβ=1m,tanα+β=3cosβsinβ，则cos2α=()A.32m2-1 B.16m2-1 C.4m2-1 D.2m2-140.(24-25高三·贵州黔东南·开学考试)已知α∈0,π，且cosα+π4=13，则cos2α=()A.429B.±429C.79D.±7941.(2024·山东淄博·二模)设β∈0,π2，若sinα=3sin(α+2β)，tanβ=22，则tan(α+2β)=()A.-24B.24C.-22D.2242.(2024·江西宜春·模拟预测)已知α∈π2,3π4，tanπ4+α=12tanπ4-α，则1-sin2α4cos2α=() A.6+42 B.6-42 C.17+122 D.17-12243.(2024·湖南衡阳·模拟预测)已知cosπ5-α=13，则sin11π10+2α=()A.79B.-79C.429D.-42944.(2024·安徽合肥·三模)已知2sinα=1+23cosα，则sin2α-π6=()A.-18B.-78C.34D.7845.(2024·河北保定·三模)已知锐角α，β(α≠β)满足sin α+2cos α=sin β+2cos β，则sin (α+β)的值为()A.31010B.255C.35D.4546.(2024·福建泉州·模拟预测)已知α，β均为锐角，sin 2α-β =253cos α+sin β，则sin α-β =()A.255B.55C.23D.5347.(2024·重庆·三模)已知α∈0,π3，且2sin2α=4cos α-3cos 3α，则cos2α=()A.29B.13C.79D.22348.(2024·山西·三模)若sin2α=33,sin β-α =66，且α∈π4,π ,β∈π,3π2 ，则cos α+β =()A.5+26B.306C.63D.25-26题型七、给值求角知识要点给值求角：解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角．精准练习49.(23-24高一·江苏盐城·期中)已知tan α=-13，tan β=2，且α,β∈0,π ，则α+β的值为()A.π4B.3π4C.5π4D.7π450.(23-24高一·河南·阶段练习)已知0<α<π2，1+sin2α sin π7=2cos 2π14cos2α，则α=()A.3π14B.5π28C.π7D.π1451.(多选)(2023·山西·模拟预测)已知0<β<α<π4，且sin α-β =13,tan α=5tan β，则()A.sin αcos β=56B.sin βcos α=112C.sin2αsin2β=536D.α+β=π352.(2024·陕西铜川·模拟预测)若α∈-π2,π2 ，且cos2α=sin π4-α ，则α的值为．53.(2024高三·江苏·专题练习)已知α为锐角，且sin α+sin α+π3 +sin α+2π3=3，则α=.54.(23-24高三·河北石家庄·阶段练习)若α，β∈0,π2 ，cos α-β2=32，sin α2-β =-12，则α+β=.题型八、三角恒等变换的综合应用知识要点(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．(2)形如y =a sin x +b cos x 化为y =a 2+b 2sin (x +φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．精准练习55.(2024·广东珠海·一模)函数f x =23sin 2ωx +sin 2ωx +2π3，其中ω>0，其最小正周期为π，则下列说法错误的是()A.ω=1B.函数f x 图象关于点π3,3对称C.函数f x 图象向右移φφ>0 个单位后，图象关于y 轴对称，则φ的最小值为5π12D.若x ∈0,π2，则函数f x 的最大值为3+156.(22-23高三上·河北唐山·开学考试)已知α,β∈0,π2 ，且1+sin βcos β=tan π4+α ，则()A.2α=βB.α=βC.α+β=π2D.α+β=π57.(2024·宁夏吴忠·模拟预测)下列四个函数中，最小正周期为2π的是()A.f x =cos 2x +sin x cos xB.f x =1-cos2x2sin x cos xC.f x =cos x +π3+cos x -π3 D.f x =sin x +π6cos x +π6 58.(多选)(2023·河北保定·三模)已知f x =23cos 2x +2sin x cos x -3，则()A.f x =2cos 2x -π6B.f x 的图象的对称轴方程为x =2k π-π3k ∈Z C.f 2023π =3D.f x 在-3π2,-π2上单调递减59.(2024高三·全国·专题练习)设f x =2sin x cos x -2sin 2x -π4.当x ∈0,π2 时，f x +π6 =-13，则cos2x 的值为.60.(24-25高三上·河南·开学考试)已知函数f x =sin2x +sin 2x -π3在区间0,m 上有且仅有2个零点，则实数m 的取值范围为.61.(24-25高三·福建·阶段练习)已知函数f x =22cos 2x +22sin x cos x ．(1)将f x 化成f x =A cos ωx +φ +B A >0,ω>0,φ <π 的形式；(2)求f x 的单调区间；(3)若f x 在α,α+π4上的值域为a ,b ，求b -a 的取值范围．62.(24-25高三·北京·开学考试)已知函数f x =cos x 23sin x +cos x -sin 2x .(1)求函数f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)若f (x )在区间[0,m ]上有且只有两个零点，求m 的取值范围.63.(22-23高三·陕西榆林·阶段练习)已知平面向量m =sin x -π6 ,12 ,n =cos x ,12.(1)若m ⊥n ,x ∈0,π2，求实数x 的值；(2)求函数f (x )=m ⋅n的单调递增区间.64.(24-25高一·全国·期末)设f (x )=2sin x cos x +2sin x +π4 ⋅sin π4-x ．(1)当x ∈-π2,0时，求f (x )的最大值和最小值；(2)已知f -α2 =33，且当π2≤α≤2π时，求f (α)的值．。
三角恒等变换例题讲解
恒等变换【例1】求值：(1)sin73°cos47°+sin17°cos43° (2)1＋tan 15°1－tan 15°变式训练1：1．计算：sin46°cos29°－cos61°cos134°2．求值：tan10°tan70°tan70°－tan10°＋tan120°3．化简求值：(1)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17° (2)sin 50°(1＋3tan 10°)【例2】已知α∈(π2，π)，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈(π2，π)，求cos β的值．变式训练2：1．若0<α<π2，－π2<β<0，cos(π4＋α)＝13，cos(π4－β2)＝33，则cos(α＋β2)＝________．2．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13，求值：(1) sin(α－β)； (2) cos β.【例3】已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210.(1)求sin(2α－β)的值； (2)求β的值．变式训练3：1．若锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β＝_____．2．△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A ·tan B ，则C＝_____．【例4】求证：cos 2α1tan α2－tan α2＝14sin 2α变式训练4：化简：cos2α1＋sin2α·1＋tan α1－tan α【例5】已知函数f (x )＝cos x sin(x ＋π3)－3cos 2x ＋34，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值和最小值．变式训练5：1．函数y ＝2cos 2x2＋sin x 的最小正周期是________．2．函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x 在x ∈(0，π2)的最大值为_____．3．cos π9·cos 2π9·cos(－23π9)＝( )A ．－18B ．－116C ．116 \D ．184．若f (x )＝2tan x －2sin 2x2－1sin x 2cos x 2，则f (π12)的值为_______．5．设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π26．化简：3cos 10°－1sin 170°＝( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4 7．设函数f (x )＝3sin x cos x +cos x sin(x ＋3π2)－12.(1)求f (x )的最小正周期；(2)当x ∈[0，π2]时，求函数f (x )的最大值和最小值．补充例题例6若2()sin()(0)6f x x x x πωωωω=->在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B ，C 为图象与x 轴的交点，且ABC ∆为正三角形．（1）求ω的值及函数()f x 的单调递减区间；（2）若0()f x 且04(3x ∈-，2)3，求01()2f x +的值；（3）若对任意的[2x ∈-，0]，恒有)()3x kf x ππ++…成立，求实数k 的取值范围．例7．已知函数2()cos cos 1f x x x x b ωωω+++． （1）若函数()f x 的图象关于直线6x π=对称，且[0ω∈，3]时，求函数()f x 的单调增区间；（2）在（1）的条件下，当7[0,]12x π∈时，函数()f x 有且只有一个零点，求实数b 的取值范围．例8．已知函数 2()4sin ()sin (cos sin )(cos sin )142x f x x x x x x π=+++--． （1）化简()f x ；（2）常数0ω>，若函数()y f x ω=在区间2[,]23ππ-上是增函数，求ω的取值范围；（3）若函数1()[(2)()()]122g x f x af x af x a π=+----在[,]42ππ-的最大值为2，求实数a 的值．。
高一三角恒等变换经典例题
高一三角恒等变换经典例题以下是一个简单的高一三角恒等变换例题:已知函数 $f(x) = x^2 + 2x + 1$,它在 $0$ 处取得极值 $f(0) = 1$,求函数 $g(x) = frac{f(x)}{x}$ 的值。
下面是解题思路和步骤:首先,我们可以使用三角恒等变换将函数 $f(x)$ 的图像转换为一个关于 $x=0$ 对称的函数 $h(x)$,使得 $g(x)$ 可以表示为$g(x) = frac{h(x)}{x}$。
即:$$h(x) = x^2 + 2x + 1 = f(x) cdot f(-x)$$接下来,我们对 $h(x)$ 进行因式分解,得到 $h(x) = x^2 - 4x + 4$。
现在,我们可以使用三角恒等变换将 $h(x)$ 的图像转换为一个关于 $x=1$ 对称的函数 $k(x)$,使得 $g(x)$ 可以表示为 $g(x) = frac{k(x)}{x}$。
即:$$k(x) = h(x) - 2h(x-1) = x^2 - 4x + 4 - 2(x^2 + 2x + 1) = x^2 - 3x + 3$$最后,我们可以使用三角恒等变换将 $k(x)$ 的图像转换为一个关于 $x=1$ 对称的函数 $l(x)$,使得 $g(x)$ 可以表示为 $g(x) = frac{l(x)}{x}$。
即:$$l(x) = k(x) + 3 = x^2 - 3x + 3 + 3 = (x+1)^2 - 2(x+1)$$综合以上步骤,得到 $g(x) = frac{f(x)}{x} = frac{x^2 + 2x + 1}{x} = frac{1}{x^2 + 2x + 1}$。
因此,答案为 $frac{1}{1^2 + 2times 1 + 1} = frac{1}{3}$。
方法技巧专题19 三角恒等变换(解析版)
方法技巧专题19 三角恒等变换解析版一、三角恒等变换问题知识框架【一】公式顺用、逆用及其变形用1.例题 【例1】计算：(1)cos(－15°)； (2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°. 【解析】(1)方法一 原式＝cos(30°－45°)＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°＝32×22＋12×22＝6＋24. 方法二 原式＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝22×32＋22×12＝6＋24. (2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0. 【例2】(1)计算：cos 2π12－sin 2π12； 【解析】原式＝cos π6＝32.(2)计算：1－tan 275°tan 75°；【解析】 1－tan 275°tan 75°＝2·1－tan 275°2tan 75°＝2·1tan 150°＝－2 3.(3)计算：cos 20°cos 40°cos 80°.【解析】原式＝12sin 20°·2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°＝12sin 20°·sin 40°·cos 40°cos 80°＝122sin 20°sin 80°cos 80°＝123sin 20°·sin 160°＝sin 20°23sin 20°＝18.【例3】(1)1＋tan 15°1－tan 15°＝________.【解析】3 原式＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝ 3.(2)化简：tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°. 【解析】方法一 tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37° ＝tan(23°＋37°)(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37° ＝tan 60°(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37°＝ 3. 方法二 ∵tan(23°＋37°)＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°，∴3＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°，∴3－3tan 23°tan 37°＝tan 23°＋tan 37°， ∴tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°＝ 3. （3）已知sin θ＝45，5π2＜θ＜3π，求cos θ2和tan θ2.【解析】 ∵sin θ＝45，且5π2＜θ＜3π，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35.由cos θ＝2cos 2θ2－1，得cos 2θ2＝1＋cos θ2＝15.∵5π4＜θ2＜3π2，∴cos θ2＝－ 1＋cos θ2＝－55. tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝2.2.巩固提升综合练习【练习1】化简cos 15°cos 45°＋cos 75°sin 45°的值为( )A.12B.32 C ．－12 D ．－32【解析】Bcos 15°cos 45°＋cos 75°sin 45°＝cos 15°cos 45°＋sin 15°sin 45°＝cos(15°－45°)＝cos(－30°)＝32.【练习2】1－3tan 75°3＋tan 75°＝________.【解析】－1原式＝33－tan 75°1＋33tan 75°＝tan 30°－tan 75°1＋tan 30°tan 75°＝tan(30°－75°)＝－tan 45°＝－1.【练习3】在△ABC 中，A ＋B ≠π2，且tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则角C 的值为( )A.π3B.2π3C.π6D.π4 【解析】A∵tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ⇔tan(A ＋B )·(1－tan A tan B )＝3(tan A tan B －1)．(*) 若1－tan A tan B ＝0，则cos A cos B －s in A sin B ＝0，即cos(A ＋B )＝0. ∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝π2与题设矛盾．∴由(*)得tan(A ＋B )＝－3，即tan C ＝ 3.又∵0<C <π，∴C ＝π3.【练习4】若sin α＋cos α＝13，则sin 2α= .【解析】由题意，得(sin α＋cos α)2＝19，∴1＋2sin αcos α＝19，即1＋sin 2α＝19，∴sin 2α＝－89.1.例题【例1】已知31)3sin(=-πα，则)6cos(πα+ 的值为( ) A ．－13 B.13 C.223 D ．－223【答案】A 【解析】∵sin )3(πα-＝13，∴cos )6(πα+＝cos )]3(2[παπ-+＝－sin )3(πα-＝－13.【例2】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点⎪⎭⎫⎝⎛--54,53P . 若角β满足sin(α＋β)＝513，则cos β的值为________．【答案】 －5665或1665【解析】 由角α的终边过点⎪⎭⎫⎝⎛--54,53P ，得sin α＝－45，cos α＝－35. 由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以cos β＝－5665或cos β＝1665.【例3】若1sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．13 B ．13-C ．79D ．79-【答案】D 【解析】222πππcos 22cos 12cos 13326πααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2π272sin 11699α⎛⎫=--=-=- ⎪⎝⎭2.巩固提升综合练习 【练习1】已知33)6tan(=-απ，则=+)65tan(απ________. 【答案】－33【解析】tan )65(απ+＝tan )6(αππ+-＝tan )]6([αππ--＝－tan )6(απ-＝－33. 【练习2】若1027)4sin(=+πA ，A ∈),4(ππ，则sin A 的值为( ) A.35 B.45C.35或45D.34【答案】B 【解析】∵A ∈),4(ππ，∴A ＋π4∈)45,2(ππ， ∴cos （A ＋π4）＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝－210， ∴sin A ＝sin[（A ＋π4）- π4]＝sin （A ＋π4）cos π4－cos （A ＋π4）sin π4＝45.【练习3】已知sin(α−3π10)=35，则cos(α+π5)=（ ） A.−45 B.45C.−35D.35【答案】C【解析】因为sin(α−3π10)=35，则cos(α+π5)=cos[π2+(α−3π10)]=−sin(α−3π10)=−35．故应选C ． 【练习4】若sin （3x π-）=23，则cos （23x π+）=（ ）A ．79B ．19C ．19-D ．79-【答案】C 【解析】令3x πθ=-，则223x ππθ+=-，所以()21cos 2cos 2cos 22sin 139x ππθθθ⎛⎫+=-=-=-=- ⎪⎝⎭，故选C ．【练习5】已知3sin 245x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 4x 的值为（ ） A ．1825B ．1825±C ．725D ．725±【答案】C【解析】由题意得：297cos 412sin 212242525x x ππ⎛⎫⎛⎫-=--=-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7sin 4cos 4225x x π⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭本题正确选项：C1.例题【例1】已知02απ<<，cos()4απ+= （1）求tan()4απ+的值； （2）求sin(2)3απ+的值．【解析】（1）∵02απ<<，cos()4απ+= ∴sin()4απ+==， ∴sin()4tan()24cos()4αααπ+π+==π+． （2）∵tan 1tan()241tan αααπ++==-，∴1tan 3α=， ∴2222sin cos 2tan 3sin 2sin cos tan 15ααααααα===++，2222cos sin cos 2sin cos ααααα-=+221tan 4tan 15αα-==+，3sin(2)sin 2cos cos 2sin 33310αααπππ++=+=．【例2】已知△ABC 中,137cos sin -=+A A ,则tanA= . 【解析】解法一：列出方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+1cos sin 137cos sin 22A A A A由第一个方程得,A A sin 137cos --=,代入第二个方程得1)sin 137(sin 22=--+A A ， 即016960sin 137sin 2=-+A A ， 解得135sin =A 或1312sin -=A ， 因为△ABC 中0<A<π, 所以sinA>0,135sin =A ，1312cos -=A ，所以125tan -=A . 答案:125-. 解法二：由已知得sinA>0, cosA<0, |sin A|<|cos A|, tanA>-1, 由137cos sin -=+A A 两边平方,整理得16960cos sin -=⋅A A ，即16960cos sin cos sin 22-=+⋅A A A A ， 分子分母同除以A 2cos 得169601tan tan 2-=+A A ， 解得125tan -=A .2.巩固提升综合练习【练习1】已知a ∈R ，sina +2cosa =√102，则tan2a =（ ）A ．−34或−35 B ．−34C ．34D ．−35【答案】B 【解析】因为sina +2cosa =√102，所以(sina +2cosa )2=52，所以sin 2a +4cos 2a +4sinacosa =52， 所以sin 2a+4cos 2a+4sin acosasin 2a+cos 2a=52，即tan 2a+4+4tanatan 2a+1=52，解得tana =3或者tana =−13，当tana =3时，tan2a =2tana1−tan 2a =−34，当tana =−13时，tan2a =2tana 1−tan 2a =−34， 综上所述，tan2a =−34，故选B 。
高中数学三角恒等变换精选题目
高中数学三角恒等变换精选题目一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos αβ-= ；⑵()cos αβ+= ； ⑶()sin αβ-= ；⑷()sin αβ+= ； ⑸()tan αβ-= ⇒ tan tan αβ-= ； ⑹()tan αβ+= ⇒tan tan αβ+= ．二、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin2α= 1sin 2α⇒±= 。
⑵cos2α= = = 。
⇒降幂公式2cos α= ，2sin α= ，αα=sin cos ． ⑶tan 2α= ．三、辅助角公式：sin cos a b θθ±= （其中0,0,a b >> ）四、三角变换中对角的变形如：①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4α的二倍； ②2304560304515o oo o o o =-=-=；③ββαα-+=)(；④)4(24αππαπ--=+； ⑤)4()4()()(2απαπβαβαα--+=-++=五.两角和差的余弦、正弦 1．cos15= ；sin 105= 。
2．sin70cos25cos65sin 20-= ；cos82.5cos 52.5cos7.5cos 37.5+= 。
3．cos()αβ+=13，cos()αβ-=15，则tan tan αβ⋅= 。
4．已知,αβ为锐角，sin cosαβ==，求（1）cos()αβ-（2）αβ- 六、拆角与凑角1．已知3cos(),0,,653ππαα⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭求sin α.2．已知3123,cos(),sin()24135ππβααβαβ<<<-=+=-，求cos 2β. 3．求值：（1）2cos 5sin 25cos 25-； （2）sin 9cos 15sin 6cos 9sin 15sin 6+- 七、两角和差的正切 1．tan 42tan 181tan 42tan 18+-= ；cos 15sin 15cos 15sin 15-+= 。
三角恒等变换大题(含详细解答)
三角恒等变换1．已知0＜α＜π4，0＜β＜π4且3sin β＝sin(2α＋β),4tan α2＝1－tan 2α2，求α＋β的值． 2．化简：(1－sinα)(1－sinβ)－⎝⎛⎭⎫sin α＋β2－cos α－β2 2. 3．已知sin(2α－β)＝35，sinβ＝－1213，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求sinα 4．若cos(α＋β)cos(α－β)＝13，求cos2α－sin2β 5．函数y ＝12sin2x ＋sin2x ，x ∈R ，求y 的值域 6．已知0＜α＜π4，0＜β＜π4且3sinβ＝sin(2α＋β),4tan α2＝1－tan2α2，求α＋β的值． 7．化简：(1－sinα)(1－sinβ)－⎝⎛⎭⎫sin α＋β2－cos α－β2 2. 8．已知函数()sin()cos()f x x x θθ=+++的定义域为R ，（1）当0θ=时，求()f x 的单调区间；（2）若(0,)θπ∈，且sin 0x ≠，当θ为何值时，()f x 为偶函数． 9 已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-的值 10 若,22sin sin =+βα求βαcos cos +的取值范围 11 求值：0010001cos 20sin10(tan 5tan 5)2sin 20-+-- 12 已知函数.,2cos 32sinR x x x y ∈+=（1）求y 取最大值时相应的x 的集合；（2）该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到)(sin R x x y ∈=的图象参考答案1. 解：由4tan α2＝1－tan 2α2得tan α＝2tan α21－tan 2α2＝12. 由3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，得3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，∴2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α.∴tan(α＋β)＝2tan α.∴tan(α＋β)＝1.又∵0＜α＜π4，0＜β＜π4，∴0＜α＋β＜π2，∴α＋β＝π4评析：首先由4tan α2＝1－tan 2α2的形式联想倍角公式求得tan α，再利用角的变换求tan(α＋β)，据α、β的范围确定角α＋β.求角的问题的关键是恰当地选择一个三角函数值，再依据范围求角，两步必不可少．2. 分析：本题由于α＋β2＋α－β2＝α，α＋β2－α－β2＝β，因此可以从统一角入手，考虑应用和差化积公式． 解：原式＝1－(sin α＋sin β)＋sin αsin β－⎝⎛ sin 2α＋β2－⎭⎫2sin α＋β2cos α－β2＋cos 2α－β2 ＝1－2sin α＋β2cos α－β2＋sin αsin β－⎣⎡⎦⎤1－cos(α＋β)2＋1＋cos(α－β)2－2sin α＋β2cos α－β2 ＝sin αsin β＋12[cos(α＋β)－cos(α－β)]＝sin αsin β＋12·(－2)sin αsin β＝0. 评析：(1)必须是同名三角函数才能和差化积；(2)若是高次函数必须用降幂公式降为一次．3． 解：∵π2<α<π，∴π<2α<2π.又－π2<β<0，∴0<－β<π2.∴π<2α－β<5π2.而sin(2α－β)＝35>0，∴2π<2α－β<5π2，cos (2α－β)＝45.又－π2<β<0且sin β＝－1213，∴cos β＝513， ∴cos2α＝cos[(2α－β)＋β]＝cos(2α－β)cos β－sin(2α－β)sin β＝45×513－35×⎝⎛⎭⎫－1213＝5665. 又cos2α＝1－2sin 2α，∴sin 2α＝9130，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＝3130130. 评析：由sin(2α－β)求cos(2α－β)、由sin β求cos β，忽视2α－β、β的范围，结果会出现错误．另外，角度变换在三角函数化简求值中经常用到，如：α＝(α＋β)－β，2α＝(α－β)＋(α＋β)，⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎫π4－α＝π2等． 4. 解析：∵cos(α＋β)cos(α－β)＝13， ∴12(cos2α＋cos2β)＝13， ∴12(2cos 2α－1＋1－2sin 2β)＝13， ∴cos 2α－sin 2β＝13. 5． 解析：y ＝12sin2x ＋sin 2x ＝12sin2x －12cos2x ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12 评析：本题是求有关三角函数的值域的一种通法，即将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b 的模式．一般地，a cos x ＋b sin x ＝a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2cos x ＋b a 2＋b 2sin x ＝a 2＋b 2(sin φcos x ＋cos φsin x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝a b，也可以变换如下：a cos x ＋b sin x ＝a 2＋b 2(cos φcos x ＋sin φsin x )＝a 2＋b 2cos(x －φ)，其中tan φ＝b a. 6. 解：由4tan α2＝1－tan 2α2 得tan α＝2tan α21－tan 2α2＝12. 由3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，得3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α， ∴2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α. ∴tan(α＋β)＝2tan α. ∴tan(α＋β)＝1.又∵0＜α＜π4，0＜β＜π4，∴0＜α＋β＜π2， ∴α＋β＝π4. 评析：首先由4tan α2＝1－tan 2α2的形式联想倍角公式求得tan α，再利用角的变换求tan(α＋β)，据α、β的范围确定角α＋β.求角的问题的关键是恰当地选择一个三角函数值，再依据范围求角，两步必不可少．7. 分析：本题由于α＋β2＋α－β2＝α，α＋β2－α－β2＝β，因此可以从统一角入手，考虑应用和差化积公式． 解：原式＝1－(sin α＋sin β)＋sin αsin β－⎝⎛sin 2α＋β2－ ⎭⎫2sin α＋β2cos α－β2＋cos 2α－β2 ＝1－2sin α＋β2cos α－β2＋sin αsin β－ ⎣⎡⎦⎤1－cos(α＋β)2＋1＋cos(α－β)2－2sin α＋β2cos α－β2 ＝sin αsin β＋12[cos(α＋β)－cos(α－β)]＝sin αsin β＋12·(－2)sin αsin β＝0. 评析：(1)必须是同名三角函数才能和差化积；(2)若是高次函数必须用降幂公式降为一次．8. 解：（1）当0θ=时，()sin cos )4f x x x x π=+=+ 322,22,24244k x k k x k πππππππππ-≤+≤+-≤≤+()f x 为递增； 3522,22,24244k x k k x k πππππππππ+≤+≤++≤≤+()f x 为递减 ()f x ∴为递增区间为 3[2,2],44k k k Z ππππ-+∈； ()f x 为递减区间为5[2,2],44k k k Z ππππ++∈。
高中数学三角恒等变换精选题目(附答案)
高中数学三角恒等变换精选题目（附答案）一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sinsin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+⇒()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ⇒()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-二、二倍角的正弦、余弦和正切公式：sin 22sin cos ααα=222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒221cos 2cos1cos 2sin 22αααα+=-=，⇒2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=． ⑶22tan tan 21tan ααα=-．三、辅助角公式：()sin cos α+=+a x b x x ，cos sin ϕϕϕ==其中由决定四、三角变换方法： （1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4α的二倍；②2304560304515oooooo=-=-=；③()ααββ=+-；④()424πππαα+=--； ⑤2()()()()44ππααβαβαα=++-=+--；等等 （2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。
简单的三角恒等变换专题及答案
简单的三角恒等变换专题及答案简单的三角恒等变换专题一、选择题1.已知sinα＝5115，则cos(π－2α)＝()。
答案：B。
通过sinα和cos(π－2α)的关系，可以得到cos(π－2α)＝－sinα＝－(1/5115)。
2.sin70°/(2cos10°－sin20°)的值是()。
答案：C。
通过三角函数的恒等变换，可以将sin70°/(2cos10°－sin20°)化简为sin70°/cos80°，再使用tan的定义式，得到tan70°=sin70°/cos70°=sin70°/sin10°cos80°=sin70°/sin10°sin10°=1/sin10°=3.3.若sin76°＝m，用含m的式子表示cos7°为()。
答案：B。
通过三角函数的恒等变换，可以得到cos(π/2－76°)＝sin76°＝m，即cos14°＝m，再通过三角函数的恒等变换，可以得到cos7°＝2cos2(7°)－1＝2cos2(14°)cos(π/2－14°)－1＝2(1－sin2(14°))－1＝1－2sin2(14°)＝1－2(cos14°)2＝1－2m2.4.若cos2α＝－2，则sinα＋cosα的值为sin(7π/4)()。
答案：B。
通过cos2α的值可以得到sin2α＝1－cos2α＝3，再通过三角函数的恒等变换，可以得到sinα＋cosα＝√2sin(π/4＋α)＝√2sin(π/4＋α－2π)＝√2sin(7π/4－α)。
5.已知f(x)＝2tanx－2/(x＋π/12)，则f(π/6)的值为()。
答案：D。
解三角形常用变换公式及经典例题.
解三角形常用变换公式及经典例题.20XX年解三角形常用变换公式及经典例题两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-sinBcosA Rcos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) R cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式tan2A = 2tanA/[1-(tanA)^2]cos2a = (cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2 sin2A =2sinA*cosA 三倍角公式sin3a = 3sina-4(sina)^3 cos3a = 4(cosa)^3-3cosatan3a = tana*tan(π/3+a)*tan(π/3-a) 半角公式sin(A/2) = √((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2) =√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2) = √((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) cot(A/2) = √((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) Rtan(A/2) = (1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) 和差化积sin(a)+sin(b) = 2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2) sin(a)-sin(b) =2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2) cos(a)+cos(b) = 2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2) cos(a)-cos(b) = -2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB 积化和差公式sin(a)sin(b) = -1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)] cos(a)cos(b) =1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)] sin(a)cos(b) = 1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)] 诱导公式sin(-a) = -sin(a) cos(-a) = cos(a) sin(pi/2-a) = cos(a) cos(pi/2-a) = sin(a) sin(pi/2+a) = cos(a) cos(pi/2+a) = -sin(a) sin(pi-a) = sin(a) cos(pi-a) = -cos(a) sin(pi+a) = -sin(a) cos(pi+a) = -cos(a) tgA=tanA = sinA/cosA 万能公式sin(a) = (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2)) cos(a) = (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2)) tan(a) = (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2)) 20XX年解三角形常用变换公式及经典例题其它公式a*sin(a)+b*cos(a) = sqrt(a^2+b^2)sin(a+c) [其中，tan(c)=b/a]a*sin(a)-b*cos(a) = sqrt(a^2+b^2)cos(a-c) [其中，tan(c)=a/b] 1+sin(a) = (sin(a/2)+cos(a/2))^2 1-sin(a) = (sin(a/2)-cos(a/2))^2 其他非重点三角函数csc(a) = 1/sin(a) sec(a) = 1/cos(a) 公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）= sinα cos（2kπ＋α）= cosα tan（2kπ＋α）= tanα cot（2kπ＋α）= cotα 公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）= -sinα cos（π＋α）= -cosα tan（π＋α）= tanα cot（π＋α）= cotα 公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（-α）= -sinα cos （-α）= cosα tan（-α）= -tanα cot（-α）= -cotα 公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinα cos（π-α）= -cosα tan（π-α）= -tanα cot（π-α）= -cotα 公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）= -sinα cos（2π-α）= cosα tan（2π-α）= -tanα cot（2π-α）= -cotα 公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2+α）= cosα cos（π/2+α）= -sinα tan（π/2+α）= -cotα cot（π/2+α）= -tanα sin（π/2-α）= cosα20XX年解三角形常用变换公式及经典例题cos（π/2-α）= sinα tan（π/2-α）= cotα cot（π/2-α）= tanα sin （3π/2+α）= -cosα cos（3π/2+α）= sinα tan（3π/2+α）= -cotα cot （3π/2+α）= -tanα sin（3π/2-α）= -cosα cos（3π/2-α）= -sinα tan （3π/2-α）= cotα cot（3π/2-α）= tanα (以上k∈Z)解三角形知识点：abc2R或变形：a:b:c sinA:sinB:sinC. 1．正弦定理:sinAsinBsinCb2 c2 a2cosA 2bc a2 b2 c2 2bccosA2a2 c2 b2 222．余弦定理：b a c 2accosB 或cosB .2ac c2 b2 a2 2bacosCb2 a2 c2cosC2ab3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.（1）三角形内角和等于1800，即A B C 1800,灵活变形，如A 1800(B C)等（2）大边对大角,即若a b c，则A B C2.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即：abc2R（R为三角形外接圆半径）sinAsinBsinC变形：(1)a:b:c sinA:sinB:sinCabc(2)sinA ,sinB ,sinC （角化边）2R2R2R(3)a 2RsinA, b 2RsinB,c 2RsinC（边化角）3.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。