2019年福建九地市质检-压轴解析汇总(1)

2019年福建三明九下质检试题倒二压轴-------------（动点与三角形、最值）【图文解析】（1）结合【题干解读】，可得解法如下：【法一】如下图示：【法二】如下图示：（2）问题再现：若∠B=45°，∠C=75°，AB=6√2，连接DE，求△MDE周长的最小值.【支题干解读】题中已给出△ABC的三个具体条件（∠B=45°，∠C=75°，AB=6√2），因此△ABC是确定的三角形，所有与△ABC 相关的结论均可解，解决思路：通过添加“高线”，构造直角三角形，解直角三角形即可．下图是求BC边上的高AH的求法（也是本题需要的结论），其他相关的结论的求法相同．【图文解析】【法一】DE＝2EN＝2Rsin∠EMN＝√3R．得△MDE的周长＝(2+√3)R．所以当R最小，即AP最小时，△MDE的周长最小．根据"垂线段最短"知：当AP⊥BC时，AP最小，此时AP（＝AH）＝6，R＝3．因此△MDE的周长的最小值为(2+√3)×3＝6+3√3．【法二】△MDE的周长＝MD+ME+DE＝NE+NE×sin60°＝（1+√3/2）NE＝（1+√3/2）AP．……2019年福建三明九下质检试题倒一压轴（纯函数，多参数）【图文解析】（1）法一（利用判别式，常法、通法）：所以该抛物线与x轴必有交点．法二（直接求出两根法）：由【题干解读】知：y1=(x-1)(mx+m-n)．当y1=0时，x1=1，x2=(n-m)/m．因此该抛物线与x轴必有交点．（2）问题再现：若m－n=3，(ⅰ)当－m≤x<1时，二次函数的最大值小于0，求m的取值范围；【图文解析】首先：当m－n=3时，由题干解读，得：y1=mx2-（m-3）-3(m>0)＝(x-1)(mx+3)．当y1=0，得x1=1，x2=-3/m＜0（m＞0）．∴抛物线与x轴的两交点坐标为（1，0）和（-3/m，0）．其次：由“当－m≤x<1时，二次函数的最大值小于0”，结合图象（如下图示），问题再现：(Ⅱ)若m－n=3，(ⅱ)点A(p，q)为函数y2=|mx2-nx-m+n|图象上的动点，当－4<p<－1时，点A在直线y=－x+4的上方，求m的取值范围.【图文解析】化简y2，结合（2），得由于“点A(p，q)为函数y1=|mx2-nx-m+n|图象上的动点，当－4<p<－1时，点A在直线y=－x+4的上方”，分两种情况，分别画出题意的草图．情况一：如下图示：结合图象，得：2019年南平九下质检试题倒二压轴-------------（圆与全等相似及45°相关）【图文解析】（1）【题干解读】中已有说明．如下图示．（2）问题再现：若AB＝AO，求AF/BQ的值．【法一】如下图示．【法二】如图示．由sin∠N＝sin∠BAQ，得AF/AN＝BQ/AB，得AF/BQ＝AN/AB＝2．【法三】如图示．延长BQ至H，使QH＝BQ，连接AH，易证△OAF≌△ABH，……（3）问题再现：连接OF，∠EOF的平分线交射线AF于点P，若OA＝2，cos∠PAB=4/5，求OP的长.【图文解析】可得∠POM＝45°，得OP＝√2OM．如下图示，进一步，得OM＝OAcos∠AOM＝OAcos∠PAB＝2×4/5＝8/5．2019年南平九下质检试题倒一压轴-------------（纯函（代）数相关）【题干解读】由”m、n分别是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=a与ax2+bx+c=b的一个根”得am2+bm+c=a与an2+bn+c=b，两式相减（常法：可将c消掉），得a(m+n)(m-n)+b(m-n)=a-b．再将m=n+1，代入，得a(2n+1) +b=a-b．整理，得b=-na．进一步，将b=-2na，x=n代入方程ax2+bx+c=b，得an2-na×n+c=-na，整理，得c=-na．得b=c．（1）问题再现：当m=2，a=－1时，求b与c的值；【解析】当m=2，a=－1时，n=1，原方程为-x2+bx+c=-1与-x2+bx+c=b，再将方程的一个根m=2，n=1分别代入，得：（2）问题再现：用只含字母a、n的代数式表示b；【解析】题干解读中已详细解析，答案：b=-2na．（3）问题再现：当a<0时，函数y=ax2+bx+c满足b2－4ac=a，b+c≥2a，n≤－1/2，求a的取值范围.【解析】由题干解读知：b=c=-na．y=ax2+bx+c=ax2-nax-na．由b+c≥2a，得-2na≥2a．因a<0，得n≥-1．又n≤-1/2，所以-1≤n≤-1/2．由b2－4ac=a，得(-na)2-4a(-na)=a．即n2a2-4na2=a.因为a＜0，所以1/a=n2+4n．即1/a=(n+2)2-4．根据函数的性质，知：当-1≤n≤-1/2时，1/a随n的增大而增大．又当x=-1或-1/2时，a=-1/3或-4/7．所以-4/7≤a≤-1/3．2019年宁德九下质检试题倒二压轴-------------（等边三角形、矩形折叠与面积最值）【法八】直接通过计算（不止下列方法，实际上本图中的任意线段均利用三角函数的定义求解，）【法十七】建立坐标系——较繁杂，只做简单说明（以图中的A、B、C、D中的任意一点为坐标原点，建立相应的平面直角坐标系，均可通过计算相应的线段的解析式，再求交点坐标……）（3）问题再现：在点E的运动过程中，求△AC′D′面积的最小值．【图文解析】由于C’D’的长已经固定，只需求该边上的高最小即可．由（2）的法八解析中可以发现，本题图的任意线段均可用AE的长表示，因已经不存在特殊角，虽其中的任意角的三角函数值可以用AE的长表示，但均繁琐，最理想的解法是：将C‘D’上的高进行转化求解。

【法一】如下图示：由AN＝MN－AN＝6-AN，得当AN最大时，AM最小．当点E运动时，根据“垂线段最短“知AN≤AB＝4，所以AN的最大值为4，所以AM的最小值为6-4＝2，所以△AC′D′面积的最小值为1/2×4×2＝4．【法二】如下图示：由于BA‘＝BA＝4为定值，当BA’+A’G最小时，A’G最小，根据“垂线段最短“知：当点A’落在BC上时，BA’+A’G最短，且等于BC＝6，所以A’G的长的最小值为6-4＝2．……2019年泉州九下质检试题倒二压轴-------------（菱形与圆、最值相关）【泉州二检】如图，在菱形ABCD中，点E是BC边上一动点（不与点C 重合）对角线AC与BD相交于点O，连接AE，交BD于点G．（1）根据给出的△AEC，作出它的外接圆⊙F，并标出圆心F（不写作法和证明，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，连接EF．①求证：∠AEF＝∠DBC；②记t＝GF2+AG×GE，当AB＝6，BD＝6√3时，求t的取值范围．图文解析】（1）如下图示，⊙F就是所求作的圆．（2）【问题再现】在（1）的条件下，连接EF．①求证：∠AEF＝∠DBC；【图文解析】应该第一想到的结论：由于所证的结论与圆有密切关系，同时△AEC的外接圆的圆心是F，FA＝FE（半径相等），因此要想方设法利用圆的相关定理进行联系．【法一】【法三】（法一至法三，本质相同）【法四】作AM＝BM交BD于点M，如下图示，不难证得∠AMB＝∠BCD ＝∠AFE，进一步，得∠AEF＝∠DBC．（此法添加辅助线时虽然麻烦，但第三问的解决却是最快的）（2）【问题再现】在（1）的条件下，连接EF．②记t＝GF2+AG×GE，当AB＝6，BD＝6√3时，求t的取值范围．【图文解析】由已知条件（AB＝6，BD＝6√3）的特殊性，也应该第一反应是：【法一】由t＝GF2+AG×GE的结构特点，自然想到的是将t化简，其中式子的构成为线段的乘积形式，不难想到相似，如下图示：通过两彩色部分的三角形相似，可得到AG×GE＝BG×GF，得t＝GF2+AG×GE＝GF2+ BG×GF＝BF×GF．同时，还可得到△EFG与△BEF相似，得到EF2＝BF×GF，如下图示．所以t=EF2．【法二】通过△AQG∽△EQG，可证得AG×GE＝PG×QG＝（R+GF）（R-GF）＝R2-GF2，所以t＝GF2+AG×GE＝GF2+ R2-GF2＝R2＝EF2．【法三】如下图示：GF2＝…＝3a2+(a+b)2＝4a2+2ab+b2．AG×GE=…=（2√3a+√3b）×√3b＝6ab+3b2．所以t＝4a2+8ab+4b2=4(a+b)2 = [2√3(a+b)]/3=AE2/3．下面求t的取值范围【法一】如图示，必须对“顶角为120°或底角为30°的等腰三角形”需特别敏感（常见结论），其结论是：底边＝腰长的√3倍．）由于E点在BC边上运动，所以当点E与B或C点重合时，AE最大（为6）；当AE⊥BC时，AE最小（此时AE＝AB×sin60°＝3√3）．因此t=AE2/3的取值范围为9≤t≤12．【反思】顶角为120°（准特殊角）的等腰三角形的三边关系能有感觉和感受，会给解题会带来极大的便捷．同样对150°，105°，75°、15°，22.5°、67.5°等也应该有所了解其中的相关特性．当然若本题不存在特殊角（或准特殊角），则解法与本文仍然完全一样．2019年泉州九下质检试题倒一压轴（二次函数与圆）2019年泉州九下质检试题倒一压轴【泉州二检】如图，二次函数y=x2+bx-3的图象与x轴分别相交于A、B 两点，点B的坐标为（3，0），与y轴的交点为C，动点T在射线AB上运动，在抛物线的对称轴l上有一定点D，其纵坐标为2√3，l与x轴的交点为E，经过A、T、D三点作⊙M．（1）求二次函数的表达式；（2）在点T的运动过程中，①∠DMT的度数是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；②若MT＝1/2AD，求点M的坐标；（3）当动点T在射线EB上运动时，过点M作MH⊥x轴于点H，设HT ＝a，当OH≤x≤OT时，求y的最大值与最小值（用含a的式子表示）．【图文解析】（1）直接将点B（3，0）代入y=x2+bx-3，即可求得b=-2，所以抛物线的解析式为y=x2-2x-3．（2）如下图示，图中的A、B、D点均为定点，不难求得A（-1，0）、D （1，2√3）、E（1，0）．在Rt△ADE中，由tan∠DAE＝DE/AE＝√3，得∠DAB＝60°．①由圆周角定理，得∠DMT＝2∠BAD＝120°．即∠DMT为定值；②如下图示，容易证得点F为AD的中点，且F（0，√3）．由于△ADT的外接圆的圆心M必在线段AD的垂直平分线上，同时当半径MT＝1/2AD时，AD就是⊙M的直径，因此圆心M就是AD的中点F，即M（0，√3）（此时圆心M与AD的中点F重合）．也可用以下图形说明：当半径DM＝MT＝1/2AD＝DF时，F点必与点M 重合（3）如下图示，可得H（a-1，0），T(2a-1，0)，即a-1≤x≤2a-1．又T点在射线EB上运动，得2a-1≥1，进一步，得a≥1．下面分三种情况考虑：情况一：当1-(a-1)≥(2a-1)-1（即H点与对称轴的距离大于或等于T点与对称轴的距离），且a≥1，即当1≤a≤4/3时，如下图示：此时当x=a-1时，y max=（a-1）2-2(a-1)-3=a2-4a．y min=y顶点＝-4．此时当x=2a-1时，y max=…＝4a2-8a．y min=y顶点＝-4．情况三：当a-1>1时，y max=（2a-1）2-2(2a-1)-3=4a2-8a．当x=a-1时，y min==（a-1）2-2(a-1)-3=a2-4a．综上所述，……【反思】结合函数图象，注意分类讨论．分类时，不但要注意取值范围，更要注意对称轴对此函数值的影响．分类的本质就是根据x 的取值受对称轴的（增减性）影响情况确定分类．2019年福州九下质检试题倒二压轴-------（正方形与旋转全等）【原题再现】（1）如图1，当AE＜1/2AC时，过点E作EF⊥BE交CD于点F，连接GF并延长交AC于点H．①求证：EB＝EF；【图文解析】法一法二（与法一其实是同一种思路）法三法四法五法六其实本题方法远不止这些，一个“正方形”的条件有着太多太多“完美”的结论，足够让我们产生无数的联想，比如：可以通过旋转、对称、平移、建系、三角法（利用三角函数的定义）等，这里略去．有兴趣的朋友可以试试．【原题再现】（1）如图，当AE＜1/2AC时，过点E作EF⊥BE交CD于点F，连接GF 并延长交AC于点H．②判断GH与AC的位置关系，并证明；先梳理一下从已知条件和第1小题证明中得到的相关结论，如下图示．法一法二法三【原题再现】（2）过点A作AP⊥直线CG于点P，连接BP，若BP＝10，当点E不与AC中点重合时，求PA与PC的数量关系．按点E的位置不同，显然可分为下列两种情况：当AE＜1/2AC时．当AE＞1/2AC时．现将隐藏相关线段，即留下上述图中的粗线部分，可得到：法一当AE＜1/2AC时．当AE＞1/2AC时．结论：PA－PC＝10√2．还原原图为：法二当AE＜1/2AC时．当AE＞1/2AC时．法三当AE＜1/2AC时．PA+PC＝√2b+√2a＝√2（a+b）=√2PB＝10√2．结论：PA+PC＝10√2．还原原图及辅助线，如下图示：当AE＞1/2AC时．PA－PC＝√2b－√2a＝√2（b－a）=√2PB＝10√2．结论：PA-PC＝10√2．还原原图及辅助线，如下图示：法四法五PA+PC＝2PN＝2PT＝2√2PR＝√2PB（另一种情况类似，这里略去）法六（另一种情况类似，这里略去）其实还可以利用三角函数的定义来证明，但计算较繁琐，略去．2019年福州九下质检试题倒一压轴-------（抛物线与直线及线段最值问题）【福州二检】已知抛物线y=-1/2(x+5)(x-m)(m>0)与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C．（1）直接写出点B，C的坐标；（用含m的式子表示）（2）若抛物线与直线y=x/2交于点E，F，且点E，F关于原点对称，求抛物线的解析式；（3）若点P是线段AB上一点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线AC于点N，当线段MN长的最大值为25/8时，求m的取值范围．【图文解析】（1）基本题，不解析，答案为：B（m，0），C（0，5m/2）．（2）法一：由于点E、F在直线y=x/2上，且关于原点对称，因此可设E （2t，t），F(-2t，-t)．又由于点E、F为直线y=x/2与抛物线的交点，因此将E、F点坐标分别代入抛物线的解析成立，得两方程相减、计算，得(4t2-2mt+10t-5m)-(4t2+2mt-10t-5m)=-4t．即-4mt+24t=0．-4t(m-6)=0．∵t≠0，∴m=6．∴抛物线的解析式为得-1/2(x+5)(x-m)=x/2……(*)．整理，得x2+(6-m)x-5m=0．画出相关的草图，如下图示：由图象知，当m＞0时，抛物线与直线必有两个交点（也可用上述方程的△＞0判断）．由于点E、F关于原点对称，所以方程（＊）的两根互为相反数．（下面的解法是为也避开韦达定理，人教版没有要求）设y=x2+(6-m)x-5m（其图象为抛物线），则当对称轴为y轴时，该抛物线与x轴的交点互为相反数，如下图示：【原题再现】（3）若点P是线段AB上一点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线AC于点N，当线段MN长的最大值为25/8时，求m 的取值范围．【图文解析】先求出直线AC的解析式依题意，得A（-5，0），C（0，5m/2），且m>0，设直线AC为y=kx+b，将A、C两点坐标代入，得画出符合题意的草图，显然需分两种情况：情况一：当-5≤m≤0时，如下图示：情况二：当0＜t≤m时，如下图示：由于1/2＞0，对称轴为t=-5/2，所以当0＜t≤m时，MN的长随t的增大而增大，因此当t＝m时，MN的长最大．由于线段MN长的最大值为25/8．2019年漳州九下质检倒二压轴（九种解法）------------------（平行四边形与旋转最值）【图文解析】（1）多种证法，均较易，仅提供一种，如下图示，（2）【原题再现】如图2，点M是BC上的动点，连接AM，把线段AM 绕点M顺时针旋转α得线段MN，连接FN，求FN的最小值（用含α的代数式表示）．【图文解析】典型的旋转相似，本公众号已有多篇文章（至少20篇）．解题思路：连接AN，则△AMN为等腰三角形，则可以选取在运动过程中的任意一特殊位置时的△AMN，将它与一般位置时的△AMN进行比较，利用对应线段构成的两三角形全等或相似（等腰时全等，本题为全等，若原三角形非等腰，则相似）．则可得到定角，进一步得到点N的运动路径在一定直线上。