初一数学压轴题
初一数学期末压轴题汇编
初一期末压轴题汇编1．在数轴上，点A表示的数为1，点B表示的数为3．对于数轴上的图形M，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为线段AB上任意一点，如果线段PQ的长度有最小值，那么称这个最小值为图形M关于线段AB的极小距离，记作d1（M，线段AB）；如果线段PQ的长度有最大值，那么称这个最大值为图形M关于线段AB的极大距离，记作d2（M，线段AB）．例如：点K表示的数为4，则d1（点K，线段AB）＝1，d2（点K，线段AB）＝3．已知点O为数轴原点，点C，D为数轴上的动点．（1）d1（点O，线段AB）＝，d2（点O，线段AB）＝；（2）若点C，D表示的数分别为m，m+2，d1（线段CD，线段AB）＝2．求m的值；（3）点C从原点出发，以每秒2个单位长度沿x轴正方向匀速运动；点D从表示数﹣2的点出发，第1秒以每秒2个单位长度沿x轴正方向匀速运动，第2秒以每秒4个单位长度沿x轴负方向匀速运动，第3秒以每秒6个单位长度沿x轴正方向匀速运动，第4秒以每秒8个单位长度沿x轴负方向匀速运动，…，按此规律运动，C，D两点同时出发，设运动的时间为t秒，若d2（线段CD，线段AB）小于或等于6，直接写出t的取值范围．（t 可以等于0）2．对于数轴上的点A，B，C，D，点M，N分别是线段AB，CD的中点，若MN＝（AB+CD），则将e的值称为线段AB，CD的相对离散度．特别地，当点M，N重合时，规定e＝0．设数轴上点O表示的数为0，点T表示的数为2．（1）若数轴上点E，F，G，H表示的数分别是﹣3，﹣1，3，5，则线段EF，OT的相对离散度是，线段FG，EH的相对离散度是；（2）设数轴上点O右侧的点S表示的数是s，若线段OS，OT的相对离散度为e＝，求s的值；（3）数轴上点P，Q都在点O的右侧（其中点P，Q不重合），点R是线段PQ的中点，设线段OP，OT的相对离散度为e1，线段OQ，OT的相对离散度为e2，当e1＝e2时，直接写出点R所表示的数r的取值范围．3．定义：对于一个有理数x，我们把{x}称作x的相伴数；若x≥0，则{x}＝x﹣1；若x＜0，则{x}＝﹣x+1．例：{1}＝×1﹣1＝﹣．（1）求{}，{﹣1}的值；（2）当a＞0，b＜0时，有{a}＝{b}，试求代数式（a+b）2﹣2a﹣2b的值．4．阅读下列材料：我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A，B，若数轴上存在一点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点B的“平衡点”．解答下列问题：（1）若点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1，点M为点A与点B的“平衡点”，则点M表示的数为；（2）若点A表示的数为﹣3，点A与点B的“平衡点M”表示的数为1，则点B表示的数为；（3）点A表示的数为﹣5，点C，D表示的数分别是﹣3，﹣1，点O为数轴原点，点B为线段CD上一点．①设点M表示的数为m，若点M可以为点A与点B的“平衡点”，则m的取值范围是；②当点A以每秒1个单位长度的速度向正半轴方向移动时，点C同时以每秒3个单位长度的速度向正半轴方向移动．设移动的时间为t（t＞0）秒，求t的取值范围，使得点O可以为点A与点B的“平衡点”．5．对于数轴上给定的两点M，N（M在N的左侧），若数轴上存在点P，使得MP+2NP＝k，则称点P为点M，N 的“k和点”．例如，如图1，点M，N表示的数分别为0，2，点P表示的数为1，因为MP+2NP＝3，所以点P 是点M，N的“3和点”．（1）如图2，已知点A表示的数为﹣2，点B表示的数为2．①若点C在线段AB上，且点C是点A，B的“5和点”，则点C表示的数为；②若点D是点A，B的“k和点”，且AD＝2BD，则k的值为；（2）数轴上点E表示的数为a，点F在点E的右侧，EF＝4，点T是点E，F的“6和点”，请求出点T表示的数t的值（用含a的代数式表示）．6．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点到另外两个点的距离恰好满足n（n是大于1的整数）倍的数量关系，则称该点是另外两个点的“n倍和谐点”．例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，2，4，此时点B是点A，C的“2倍和谐点”；（1）若点A表示数是﹣1，点C表示的数是5，点B1，B2，B3，依次表示﹣4，，7各数，其中是点A，C的“3倍和谐点”的是；（2）点A表示的数是﹣20，点C表示的数是40，点Q是数轴上一个动点．①若点Q是点A，C的“4倍和谐点”，求此时点Q表示的数；②若点Q在点A的右侧，且点Q是点A，C的“n倍和谐点”，用含有n的式子直接写出此时点Q所表示的数．7．小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若x0是关于x的一元一次方程ax+b＝0（a≠0）的解，y0是关于y的方程的所有解的其中一个解，且x0，y0满足x0+y0＝100，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“友好方程”．例如：一元一次方程3x﹣2x﹣99＝0的解是x0＝99，方程y2+1＝2的所有解是y＝1或y＝﹣1，当y0＝1时，x0+y0＝100，所以y2+1＝2为一元一次方程3x﹣2x﹣99＝0的“友好方程”．（1）已知关于y的方程：①2y﹣2＝4，②|y|＝2，以上哪个方程是一元一次方程3x﹣2x﹣102＝0的“友好方程”？请直接写出正确的序号是．（2）若关于y的方程|2y﹣2|+3＝5是关于x的一元一次方程x﹣＝a+1的“友好方程”，请求出a的值．（3）如关于y的方程2m|y﹣49|+＝m+n是关于x的一元一次方程mx+45n＝54m的“友好方程”，请直接写出的值．8．【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方．例如2÷2÷2，记作2③，读作“2的圈3次方”；再例如（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3），记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”；一般地，把（a≠0，n为大于等于2的整数）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．【初步探究】（1）直接写出计算结果：7③＝；（）⑤＝；（2）关于除方，下列说法错误的是；A．任何非零数的圈2次方都等于1；B．对于任何大于等于2的整数c，1©＝1；C.8⑨＝9⑧；D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数；【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？除方→2④＝2÷2÷2÷2＝2×××＝（）2→乘方幂的形式（1）仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：（﹣5）⑥＝；（）⑨＝；（2）将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式为；（3）将（）ⓜ•（）ⓝ（m为大于等于2的整数）写成幂的形式为．9．阅读下面材料，回答问题．已知点A，B在数轴上分别表示有理数a，b．A，B两点之间的距离表示AB．（一）当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，AB＝OB＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|．（二）当A，B两点都不在原点时，①如图2，点A，B都在原点的右边，AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|．②如图3，点A，B都在原点的左边，AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝a﹣b＝|a﹣b|．③如图4，点A，B在原点的两边，AB＝OA+OB＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝a﹣b＝|a﹣b|．综上，数轴A，B两点的距离AB＝|a﹣b|．利用上述结论，回答以下几个问题：（1）数轴上点A表示的数是1，点B表示的数是x，且点B与点A在原点的同侧，AB＝3，则x＝．（2）数轴上点A到原点的距离是1，点B表示的数绝对值是3，则AB＝．（3）若点A、B在数轴上表示的数分别是﹣4、2，设P在数轴上表示的数是x，当|P A|+|PB|＝8时，直接写x的值．10．阅读材料：小兰在学习数轴时发现：若点M、N表示的数分别为﹣1、3，则线段MN的长度可以这样计算：|﹣1﹣3|＝4或|3﹣（﹣1）|＝4，那么当点M、N表示的数分别为m、n时，线段MN的长度可以表示为|m﹣n|或|n ﹣m|．请你参考小兰的发现，解决下面的问题．在数轴上，点A、B、C分别表示数a、b、c．给出如下定义：若|a﹣b|＝2|a﹣c|，则称点B为点A、C的双倍绝对点．（1）如图1，a＝﹣1．①若c＝2，点D、E、F在数轴上分别表示数﹣3、5、7，在这三个点中，点是点A、C的双倍绝对点；②若|a﹣c|＝2，则b＝；（2）若a＝3，|b﹣c|＝5，B为点A、C的双倍绝对点，则c的最小值为；（3）线段PQ在数轴上，点P、Q分别表示数﹣4、﹣2，a＝3，|a﹣c|＝2，线段PQ与点A、C同时沿数轴正方向移动，点A、C的速度是每秒1个单位长度，线段PQ的速度是每秒3个单位长度．设移动的时间为t（t＞0），当线段PQ上存在点A、C的双倍绝对点时，求t的取值范围．11．对数轴上的点P进行如下操作：将点P沿数轴水平方向，以每秒m个单位长度的速度，向右平移n秒，得到点P′．称这样的操作为点P的“m速移”，点P′称为点P的“m速移”点．（1）当m＝1，n＝3时，①如果点A表示的数为﹣5，那么点A的“m速移”点A′表示的数为；②点B的“m速移”点B'表示的数为4，那么点B表示的数为；③数轴上的点M表示的数为1，如果CM＝2C′M，那么点C表示的数为；（2）数轴上E，F两点间的距离为2，且点E在点F的左侧，点E，F通过“2速移”分别向右平移t1，t2秒，得到点E'，F'，如果E'F'＝2EF，请直接用等式表示t1，t2的数量关系．12．点M，N是数轴上的两点（点M在点N的左侧），当数轴上的点P满足PM＝2PN时，称点P为线段MN的“和谐点”．已知，点O，A，B在数轴上表示的数分别为0，a，b，回答下面的问题：（1）当a＝﹣1，b＝5时，求线段AB的“和谐点”所表示的数；（2）当b＝a+6且a＜0时，如果O，A，B三个点中恰有一个点为其余两个点组成的线段的“和谐点”，直接写出此时a的值．13．我们把称为二阶行列式，且＝ad﹣bc．如：＝1×（﹣4）﹣3×2＝﹣10．（1）计算：＝；＝；（2）小明观察（1）中两个行列式的结构特点及结果，归纳总结，猜想：若行列式中的某一行（列）的所有数都乘以同一个数k，等于用数k乘以此行列式．即＝＝＝＝k，你认为小明的猜想正确吗？若正确请说明理由，若错误请举出反例．（3）若k≠1，且＝，求x的值．14．在数轴上，表示数0的点记作点O．点A，B是该数轴上不重合的两点，点B关于点A的联动点定义如下：若射线AB上存在一点C，满足线段AB+AC＝2AO，则称点C是点B关于点A的联动点．如图是点B关于点A的联动点的示意图．当点C与点A重合时，规定AC＝0．（1）当点A表示的数为1时，①点B表示的数为1.5，则其关于点A的联动点C表示的数为；②若点B与O重合，则其关于点A的联动点C表示的数为；③若点B关于点A存在联动点，则点B表示的数x的取值范围是．（2）当点A表示的数为a时，点B关于点A的联动点为C，点B表示的数为﹣1，点C表示的数为1，则a的取值范围是．15．如图1，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC＝2BC时，则称点C是线段AB的内二倍分割点；如图2，如果BC＝2AC时，则称点C是线段BA的内二倍分割点．例如：如图3，数轴上，点A、B、C、D分别表示数﹣1、2、1、0，则点C是线段AB的内二倍分割点；点D是线段BA内二倍分割点．（1）如图4，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣2，点N所表示的数为7．MN的内二倍分割点表示的数是；NM的内二倍分割点表示的数是．（2）如图5，数轴上，点A所表示的数为﹣30，点B所表示的数为20．点P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t（t＞0）秒．①线段BP的长为；（用含t的式子表示）②求当t为何值时，P、A、B三个点中恰有一个点为其余两点的内二倍分割点．16．对于数轴上的点M，线段AB，给出如下定义：P为线段AB上任意一点，如果M，P两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为点M，线段AB的“近距”，记作d1（点M，线段AB）；如果M，P两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点M，线段AB的“远距”，记作d2（点M，线段AB）．特别的，若点M与点P重合，则M，P两点间的距离为0．已知点A表示的数为﹣2，点B表示的数为3．例如，如图，若点C表示的数为5，则d1（点C，线段AB）＝2，d2（点C，线段AB）＝7．（1）若点D表示的数为﹣3，则d1（点D，线段AB）＝，d2（点D，线段AB）＝；（2）若点E表示的数为x，点F表示的数为x+1．d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍．求x的值．17．我们规定：若有理数a，b满足a+b＝ab，则称a，b互为“等和积数”，其中a叫做b的“等和积数”，b也叫a 的“等和积数”．例如：因为+（﹣1）＝﹣，×（﹣1）＝﹣，所以+（﹣1）＝×（﹣1），则与﹣1互为“等和积数”．请根据上述规定解答下列问题：（1）有理数2的“等和积数”是；（2）有理数1（填“有”或“没有”）“等和积数”；（3）若m的“等和积数”是，n的“等和积数”是，求3m+4n的值．18．给定一个十进制下的自然数x，对于x每个数位上的数，求出它除以2的余数，再把每一个余数按照原来的数位顺序排列，得到一个新的数，定义这个新数为原数x的“模二数”，记为M2（x）．如M2（735）＝111，M2（561）＝101．对于“模二数”的加法规定如下：将两数末位对齐，从右往左依次将相应数位上的数分别相加，规定：0与0相加得0；0与1相加得1；1与1相加得0，并向左边一位进1．如735、561的“模二数”111、101相加的运算过程如图所示．根据以上材料，解决下列问题：（1）M2（9653）的值为，M2（58）+M2（9653）的值为；（2）如果两个自然数的和的“模二数”与它们的“模二数”的和相等，则称这两个数“模二相加不变”．如M2（124）＝100，M2（630）＝010，因为M2（124）+M2（630）＝110，M2（124+630）＝110，所以M2（124+630）＝M2（124）+M2（630），即124与630满足“模二相加不变”．①判断12，65，97这三个数中哪些与23“模二相加不变”，并说明理由；②与23“模二相加不变”的两位数有个．19．阅读材料，并回答问题钟表中蕴含着有趣的数学运算，不用负数也可以作减法，例如现在是10点钟，4小时以后是几点钟？虽然10+4＝14，但在表盘上看到的是2点钟，如果用符号“⊕”表示钟表上的加法，则10⊕4＝2．若问2点钟之前4小时几点钟，就得到钟表上的减法概念，用符号“㊀”表示钟表上的减法．（注：我用0点钟代替12点钟）由上述材料可知：（1）9⊕6＝；2㊀4＝．（2）在有理数运算中，相加得零的两个数互为相反数，如果在钟表运算中沿用这个概念，则5的相反数是，举例说明有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，在钟表运算中是否仍然成立．（3）规定在钟表运算中也有0＜1＜2＜3＜4＜5＜6＜7＜8＜9＜10＜11，对于钟表上的任意数字a，b，c，若a ＜b，判断a⊕c＜b⊕c是否一定成立，若一定成立，说明理由；若不一定成立，写出一组反例，并结合反例加以说明．20．数学是一门充满思维乐趣的学科，现有3×3的数阵A，数阵每个位置所对应的数都是1，2或3．定义a*b为数阵中第a行第b列的数．例如，数阵A第3行第2列所对应的数是3，所以3*2＝3．（1）对于数阵A，2*3的值为；若2*3＝2*x，则x的值为；（2）若一个3×3的数阵对任意的a，b，c均满足以下条件：条件一：a*a＝a；条件二：（a*b）*c＝a*c；则称此数阵是“有趣的”．①请判断数阵A是否是“有趣的”．你的结论：（填“是”或“否”）；②已知一个“有趣的”数阵满足1*2＝2，试计算2*1的值；③是否存在“有趣的”数阵，对任意的a，b满足交换律a*b＝b*a？若存在，请写出一个满足条件的数阵；若不存在，请说明理由．21．阅读下面材料：小聪遇到这样一个问题：如图1，∠AOB＝α，请画一个∠AOC，使∠AOC与∠BOC互补．小聪是这样思考的：首先通过分析明确射线OC在∠AOB的外部，画出示意图，如图2所示：然后通过构造平角找到∠AOC的补角∠COD，如图3所示：进而分析要使∠AOC与∠BOC互补，则需∠BOC＝∠COD．因此，小聪找到了解决问题的方法：反向延长射线OA得到射线OD，利用量角器画出∠BOD的平分线OC，这样就得到了∠BOC与∠AOC互补．（1）小聪根据自己的画法写出了已知和求证，请你完成证明：已知：如图3，点O在直线AD上，射线OC平分∠BOD．求证：∠AOC与∠BOC互补．（2）参考小聪的画法，请在图4中画出一个∠AOH，使∠AOH与∠BOH互余．（保留画图痕迹）（3）已知∠EPQ和∠FPQ互余，射线PM平分∠EPQ，射线PN平分∠FPQ．若∠EPQ＝β（0°＜β＜90°），直接写出锐角∠MPN的度数是．22．已知直线AB∥直线CD，直线EF分别交直线AB，CD于点E，F，∠EFD＝60°，过点E的直线l从与直线AB重合开始，以2°/秒的速度绕点E逆时针旋转，设旋转时间为t（0＜t＜90°），直线l与直线CD交于点G．（1）如图1，当t＝20时，请直接写出∠FEG的度数．（2）已知∠MFN＝90°，射线FM与射线FD重合，射线FN在直线CD的上方，∠MFN以1°/秒的速度绕点F逆时针旋转，设旋转时间为t（0＜t＜90°），射线FN交直线AB于点P．①如图2，猜想∠APN与∠CGE之间的数量关系，并证明．②在旋转过程中，直线EG交直线NF于点H，Q为直线EG上且位于点E上方的一点，射线EK为∠QEF的角平分线，若2∠EHF＝∠AEK+48°，请直接写出此时t的值．23．如图：点O为直线上一点，过点O作射线OP，使∠AOP＝60°，将一直角三角板的直角顶角放在点O处．（1）如图1，一边OM为射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，那么钝角∠PON的度数为多少．（2）如图2，将图1中三角板绕点O逆时针旋转，使边OM在∠BOP的内部，且OM恰好平分∠BOP，此时∠BON的度数．（3）如图3，继续将图2中的三角板绕点O逆时针旋转α度，使得ON在∠AOP内部，且满足∠AOM＝3∠NOP 时，求α的度数．24．如图1，在平面内，已知点O在直线AB上，射线OC、OE均在直线AB的上方，∠AOC＝α（0°＜α＜30°），∠COE＝2α，OD平分∠COE，∠DOF与∠AOC互余．（1）若∠AOE：∠BOE＝1：5，则∠α＝°；（2）当OF在∠BOC内部时，①若α＝20°，请在图2中补全图形，求∠EOF的度数；②判断射线OF是否平分∠BOD，并说明理由；（3）若∠EOF＝4∠AOC，请直接写出α的值．25．对于同一平面内以O为端点的射线与∠MON，其中∠MON＝60°，给出如下定义：OP1，OP2，…，OP n﹣1，OP n是∠MON内或与射线OM，ON重合的n条不同的射线（n≥3），这些射线与射线l形成的小于平角的角的大小分别为α1，α2，…αn﹣1，αn，若这n条射线满足α1+α2+…+αn﹣1＝αn，则称这n条射线为∠MON关于射线l 的一个基准射线族，其中αn为该基准射线族的基准角度．（1）如图1，当射线OA与射线l恰为∠MON的两条三等分线时，判断射线OM，OA，ON是否为∠MON关于射线l的一个基准射线族？如果是，求出它的基准角度；如果不是，请说明理由；（2）如图2，∠MON的边ON与射线l重合，固定射线l的位置不动，将∠MON以每秒5°的速度绕着点O逆时针转动一周．当转动时间为t秒时，OP1，OP2，…，OP n﹣1，OP n是∠MON关于射线l的一个基准射线族．①若t＝8，求该基准射线族的基准角度αn的最大值；②若n的最大值等于6，直接写出t的取值范围．26．已知：点A在直线DE上，点B、C都在PQ上（点B在点C的左侧），连接AB，AC，AB平分∠CAD，且∠ABC＝∠BAC．（1）如图1，求证：DE∥PQ；（2）如图2，点K为AB上一点，连接CK，若∠EAC＝2∠ACK，求∠AKC的度数；（3）在（2）的条件下，点F在直线DE上，连接FK，且∠DAB＝∠AFK+∠KCB，若∠FKA＝∠AKC，求∠ACB的度数．（要求：在备用图中画出图形后，再计算）27．已知，点O在直线AB上，在直线AB外取一点C，画射线OC，OD平分∠BOC．射线OE在直线AB上方，且OE⊥OD于O．（1）如图1，如果点C在直线AB上方，且∠BOC＝30°，①依题意补全图1；②求∠AOE的度数（0°＜∠AOE＜180°）；（2）如果点C在直线AB外，且∠BOC＝α，请直接写出∠AOE的度数．（用含α的代数式表示，且0°＜∠AOE ＜180°）28．对于平面内给定射线OA，射线OB及∠MON，给出如下定义：若由射线OA、OB组成的∠AOB的平分线OT 落在∠MON的内部或边OM、ON上，则称射线OA与射线OB关于∠MON内含对称．例如，图1中射线OA与射线OB关于∠MON内含对称．已知：如图2，在平面内，∠AOM＝10°，∠MON＝20°．（1）若有两条射线OB1，OB2的位置如图3所示，且∠B1OM＝30°，∠B2OM＝15°，则在这两条射线中，与射线OA关于∠MON内含对称的射线是；（2）射线OC是平面上绕点O旋转的一条动射线，若射线OA与射线OC关于∠MON内含对称，设∠COM＝x°，求x的取值范围；（3）如图4，∠AOE＝∠EOH＝2∠FOH＝20°，现将射线OH绕点O以每秒1°的速度顺时针旋转，同时将射线OE和OF绕点O都以每秒3°的速度顺时针旋转．设旋转的时间为t秒，且0＜t＜60．若∠FOE的内部及两边至少存在一条以O为顶点的射线与射线OH关于∠MON内含对称，直接写出t的取值范围．29．已知∠AOB＝120°，射线OC在∠AOB的内部，射线OM是∠AOC靠近OA的三等分线，射线ON是∠BOC 靠近OB的三等分线．（1）若OC平分∠AOB，①依题意补全图1；②∠MON的度数为．（2）当射线OC绕点O在∠AOB的内部旋转时，∠MON的度数是否改变？若不变，求∠MON的度数；若改变，说明理由．30．对于同一平面内的∠AOB及内部的射线OC，给出如下定义：若组成的3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC中，一个角的度数是另一个角度数的两倍时，则称射线OC是∠AOB的“牛线”．（1）图1中，OC平分∠AOB，则射线OC∠AOB的一条“牛线”．（填“是”或“不是”）（2）当射线OC是∠AOB的“牛线”时，直接写出所有满足条件的∠AOB与∠BOC的关系．（3）已知：如图2，在平面内，∠AOB＝60°，若射线OC绕点O从射线OB的位置开始，以每秒5°的速度逆时针方向旋转．同时射线OA绕点O以每秒1°的速度逆时针方向旋转，当射线OC与射线OA碰撞后，射线OA 的速度发生变化，以每秒5°的速度继续旋转，此时的射线OC则以每秒1°的速度继续旋转，当射线OA与射线OB的反向延长线重合时，所有旋转皆停止，若旋转的时间记为t秒，当射线OC是∠AOB的“牛线”时，直接写出所有满足条件的t的值．初一期末压轴题汇编参考答案1．在数轴上，点A表示的数为1，点B表示的数为3．对于数轴上的图形M，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为线段AB上任意一点，如果线段PQ的长度有最小值，那么称这个最小值为图形M关于线段AB的极小距离，记作d1（M，线段AB）；如果线段PQ的长度有最大值，那么称这个最大值为图形M关于线段AB的极大距离，记作d2（M，线段AB）．例如：点K表示的数为4，则d1（点K，线段AB）＝1，d2（点K，线段AB）＝3．已知点O为数轴原点，点C，D为数轴上的动点．（1）d1（点O，线段AB）＝1，d2（点O，线段AB）＝3；（2）若点C，D表示的数分别为m，m+2，d1（线段CD，线段AB）＝2．求m的值；（3）点C从原点出发，以每秒2个单位长度沿x轴正方向匀速运动；点D从表示数﹣2的点出发，第1秒以每秒2个单位长度沿x轴正方向匀速运动，第2秒以每秒4个单位长度沿x轴负方向匀速运动，第3秒以每秒6个单位长度沿x轴正方向匀速运动，第4秒以每秒8个单位长度沿x轴负方向匀速运动，…，按此规律运动，C，D两点同时出发，设运动的时间为t秒，若d2（线段CD，线段AB）小于或等于6，直接写出t的取值范围．（t 可以等于0）解：（1）d1（点O，线段AB）＝OA＝1﹣0＝1，d2（点O，线段AB）＝OB＝3﹣0＝3，故答案为：1，3；（2）∵点C，D表示的数分别为m，m+2，∴点D在点C的右侧，CD＝2，当CD在AB的左侧时，d1（线段CD，线段AB）＝DA＝1﹣（m+2）＝2，解得：m＝﹣3，当CD在AB的右侧时，d1（线段CD，线段AB）＝BC＝m﹣3＝2，解得：m＝5，综上所述，m的值为﹣3或5；（3）当t＝0时，点C表示的数为0，点D表示的数为﹣2，则d2＝5，当0＜t≤1时，点C表示的数为2t，点D表示的数为﹣2+2t，则d2＝5﹣2t＜6，当1＜t≤2时，点C表示的数为2t，点D表示的数为﹣2t﹣2，则d2＝3﹣（﹣2﹣2t）≤6，解得：t≤，当2＜t≤3时，点C表示的数为2t，点D表示的数为6t﹣16，则d2＝19﹣6t≤6，解得：t≥，当3＜t≤4时，点C表示的数为2t，点D表示的数为﹣8t+26，则d2＝8t﹣23≤6或2t﹣1≤6，解得：t≤，当t＝5时，点C表示的数为10，点D表示的数为4，则d2＝AC＝10﹣1＝9＞6，当4＜t≤5时，点C表示的数为2t（8＜2t≤10），点D表示的数为10t﹣46，（﹣6＜10t﹣46≤4），∴0≤BD≤9，7≤AC≤9，∴d2＞6，不符合题意，综上所述，d2（线段CD，线段AB）小于或等于6时，0≤t≤或≤t≤．2．对于数轴上的点A，B，C，D，点M，N分别是线段AB，CD的中点，若MN＝（AB+CD），则将e的值称为线段AB，CD的相对离散度．特别地，当点M，N重合时，规定e＝0．设数轴上点O表示的数为0，点T表示的数为2．（1）若数轴上点E，F，G，H表示的数分别是﹣3，﹣1，3，5，则线段EF，OT的相对离散度是，线段FG，EH的相对离散度是0；（2）设数轴上点O右侧的点S表示的数是s，若线段OS，OT的相对离散度为e＝，求s的值；（3）数轴上点P，Q都在点O的右侧（其中点P，Q不重合），点R是线段PQ的中点，设线段OP，OT的相对离散度为e1，线段OQ，OT的相对离散度为e2，当e1＝e2时，直接写出点R所表示的数r的取值范围．解：（1）∵点E，F表示的数分别是﹣3，﹣1，∴EF＝2，EF的中点M对应的数为﹣2．∵数轴上点O表示的数为0，点T表示的数为2，∴OT＝2，OT的中点N所对应的数为1．∴MN＝3．∵MN＝（EF+OT），∴3＝（2+2）．∴e＝；∵数轴上点E，F，G，H表示的数分别是﹣3，﹣1，3，5，∴FG＝4，FG的中点J对应的数为1，EH＝8，EH的中点K对应的数为1，∴JK＝0，∴e＝0．故答案为：；0；（2）设线段OS，OT的中点为L，K，∵数轴上点O右侧的点S表示的数是s，点T表示的数为2，∴OS＝s，OT＝2．∴点L，K在数轴上表示的数为，1，∴LK＝|1﹣|．∵线段OS，OT的相对离散度为e＝，∴|1﹣|＝×（s+2）．∴s+2＝|4﹣2s|．解得：s＝或s＝6．答：s的值为或6．（3）r≥2．理由：数轴上点P，Q在数轴上对应的数为m，n，∵数轴上点P，Q都在点O的右侧（其中点P，Q不重合），∴m＞0，n＞0，且m≠n．∵点R是线段PQ的中点，∴点R所表示的数r＝．设线段OP，OT的中点为M，N，则M对应的数为，N点对应的数为1，∵线段OP，OT的相对离散度为e1，∴|﹣1|＝（m+2）．∴e1＝．同理可得：e2＝．∵e1＝e2，∴．①当m﹣2＞0，n﹣2＞0时，解得：m＝n，∵点P，Q不重合，∴m≠n，舍去；②当m﹣2＜0，n﹣2＜0时，解得：m＝n，同样，不合题意舍去；③当m﹣2＞0，n﹣2＜0时，解得：mn＝4．④当m﹣2＜0，n﹣2＞0时，解得：mn＝4．综上，mn＝4．∵m2﹣2mn+n2＝（m﹣n）2≥0，∴（m﹣n）2+4mn≥4mn．∴（m+n）2≥16．∴≥4．即≥4．∴≥2．即r≥2．3．定义：对于一个有理数x，我们把{x}称作x的相伴数；若x≥0，则{x}＝x﹣1；若x＜0，则{x}＝﹣x+1．例：{1}＝×1﹣1＝﹣．（1）求{}，{﹣1}的值；（2）当a＞0，b＜0时，有{a}＝{b}，试求代数式（a+b）2﹣2a﹣2b的值．解：（1）{}＝﹣1＝﹣，{﹣1}＝＝；（2）a＞0，b＜0，{a}＝{b}，即a﹣1＝﹣+1，解得：a+b＝4，故（a+b）2﹣2a﹣2b＝（a+b）2﹣2（a+b）＝42﹣8＝8．4．阅读下列材料：我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A，B，若数轴上存在一点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点B的“平衡点”．解答下列问题：（1）若点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1，点M为点A与点B的“平衡点”，则点M表示的数为﹣1；（2）若点A表示的数为﹣3，点A与点B的“平衡点M”表示的数为1，则点B表示的数为5；（3）点A表示的数为﹣5，点C，D表示的数分别是﹣3，﹣1，点O为数轴原点，点B为线段CD上一点．①设点M表示的数为m，若点M可以为点A与点B的“平衡点”，则m的取值范围是﹣4≤m≤﹣3；②当点A以每秒1个单位长度的速度向正半轴方向移动时，点C同时以每秒3个单位长度的速度向正半轴方向移动．设移动的时间为t（t＞0）秒，求t的取值范围，使得点O可以为点A与点B的“平衡点”．解：（1）点M表示的数＝＝﹣1；故答案为：﹣1；（2）点B表示的数＝1×2﹣（﹣3）＝5；故答案为：5；（3）①点B表示的数范围﹣3≤B≤﹣1，m的取值范围﹣4≤m≤﹣3；故答案为：﹣4≤m≤﹣3；②点A表示的数为t﹣5；点C表示的数为3t﹣3，根据题意可知，点O为点A与点B的平衡点，∴点B表示的数为5﹣t，∵点B在线段CD上，当点B与点C相遇时，t＝2，当点B与点D相遇时，t＝6，∴2≤t≤6，且t≠5，综上所述，当2≤t≤6且t≠5时，点O可以为点A与点B的“平衡点”．5．对于数轴上给定的两点M，N（M在N的左侧），若数轴上存在点P，使得MP+2NP＝k，则称点P为点M，N 的“k和点”．例如，如图1，点M，N表示的数分别为0，2，点P表示的数为1，因为MP+2NP＝3，所以点P 是点M，N的“3和点”．（1）如图2，已知点A表示的数为﹣2，点B表示的数为2．①若点C在线段AB上，且点C是点A，B的“5和点”，则点C表示的数为1；②若点D是点A，B的“k和点”，且AD＝2BD，则k的值为或16；（2）数轴上点E表示的数为a，点F在点E的右侧，EF＝4，点T是点E，F的“6和点”，请求出点T表示的数t的值（用含a的代数式表示）．解：（1）AB＝2﹣（﹣2）＝4，①点C表示的数为2﹣{5﹣[2﹣（﹣2）]}＝1．故答案为：1；②点D在AB之间，∵AD＝2BD，∴BD＝4×＝，∴k＝4+＝；点D位于点B右侧，∵AD＝2BD，∴BD＝4×＝4，∴AD＝2×4＝8，∴k＝8+2×4＝16．故k的值为或16；（2）①当点T位于点E左侧，即t＜a时，显然不满足条件．②当点T在线段EF上，即a＜t＜a+4时，∵EF＝4，∴ET+TF＝4．又∵点T是点E，F的“6和点”，∴ET+2FT＝6，∴ET＝FT＝2，即点T是线段EF的中点，∴t＝a+2．③当点T位于点F右侧，即t＞a+4时，∵EF＝4，∴ET﹣FT＝4，又∵点T是点E，F的“6和点”，∴ET+2FT＝6，∴FT＝，∴t＝a+4+＝a+．综上，t的值为a+2或a+．6．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点到另外两个点的距离恰好满足n（n是大于1的整数）倍的数量关系，则称该点是另外两个点的“n倍和谐点”．例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，2，4，此时点B是点A，C的“2倍和谐点”；（1）若点A表示数是﹣1，点C表示的数是5，点B1，B2，B3，依次表示﹣4，，7各数，其中是点A，C的“3倍和谐点”的是B1，B2；（2）点A表示的数是﹣20，点C表示的数是40，点Q是数轴上一个动点．①若点Q是点A，C的“4倍和谐点”，求此时点Q表示的数；②若点Q在点A的右侧，且点Q是点A，C的“n倍和谐点”，用含有n的式子直接写出此时点Q所表示的数．解：（1）∵[5﹣（﹣4）]÷[﹣1﹣（﹣4）]＝3，∴B1是点A，C的“3倍和谐点”，∵（5﹣）÷[﹣（﹣1）]＝3，∴B2是点A，C的“3倍和谐点”，∵[7﹣（﹣1）]÷（7﹣5）]＝4，。
人教版(七年级)初一上册数学 压轴题 期末复习测试题及答案
人教版(七年级)初一上册数学 压轴题 期末复习测试题及答案一、压轴题1．数轴上A 、B 两点对应的数分别是﹣4、12，线段CE 在数轴上运动，点C 在点E 的左边，且CE ＝8，点F 是AE 的中点．（1）如图1，当线段CE 运动到点C 、E 均在A 、B 之间时，若CF ＝1，则AB ＝ ，AC ＝ ，BE ＝ ；（2）当线段CE 运动到点A 在C 、E 之间时,①设AF 长为x ，用含x 的代数式表示BE ＝ （结果需化简．．．．．）； ②求BE 与CF 的数量关系；（3）当点C 运动到数轴上表示数﹣14的位置时，动点P 从点E 出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，抵达B 后，立即以原来一半速度返回，同时点Q 从A 出发，以每秒2个单位长度的速度向终点B 运动，设它们运动的时间为t 秒（t ≤8），求t 为何值时，P 、Q 两点间的距离为1个单位长度． 2．综合试一试（1）下列整数可写成三个非0整数的立方和：45=_____；2=______．（2）对于有理数a ，b ，规定一种运算：2a b a ab ⊗=-．如2121121⊗=-⨯=-，则计算()()532-⊗⊗-=⎡⎤⎣⎦______． （3）a 是不为1的有理数，我们把11a-称为a 的差倒数．如：2的差倒数是1112=--，1-的差倒数是()11112=--．已知12a =，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，……，以此类推，122500a a a ++⋅⋅⋅+=______．（4）10位裁判给一位运动员打分，每个人给的分数都是整数，去掉一个最高分，再去掉一个最低分，其余得分的平均数为该运动员的得分．若用四舍五入取近似值的方法精确到十分位，该运动员得9.4分，如果精确到百分位，该运动员得分应当是_____分． （5）在数1.2.3...2019前添加“+”，“-”并依次计算，所得结果可能的最小非负数是______（6）早上8点钟，甲、乙、丙三人从东往西直行，乙在甲前400米，丙在乙前400米，甲、乙、丙三人速度分别为120米/分钟、100米/分钟、90米/分钟，问：______分钟后甲和乙、丙的距离相等.3．问题：将边长为的正三角形的三条边分别等分，连接各边对应的等分点，则该三角形中边长为1的正三角形和边长为2的正三角形分别有多少个？探究：要研究上面的问题，我们不妨先从最简单的情形入手，进而找到一般性规律.探究一：将边长为2的正三角形的三条边分别二等分，连接各边中点，则该三角形中边长为1的正三角形和边长为2的正三角形分别有多少个？如图①，连接边长为2的正三角形三条边的中点，从上往下看：边长为1的正三角形，第一层有1个，第二层有3个，共有个；边长为2的正三角形一共有1个.探究二：将边长为3的正三角形的三条边分别三等分，连接各边对应的等分点，则该三角形中边长为1的正三角形和边长为2的正三角形分别有多少个？如图②，连接边长为3的正三角形三条边的对应三等分点，从上往下看：边长为1的正三角形，第一层有1个，第二层有3个，第三层有5个，共有个；边长为2的正三角形共有个.探究三：将边长为4的正三角形的三条边分别四等分（图③），连接各边对应的等分点，则该三角形中边长为1的正三角形和边长为2的正三角形分别有多少个？（仿照上述方法，写出探究过程）结论：将边长为的正三角形的三条边分别等分，连接各边对应的等分点，则该三角形中边长为1的正三角形和边长为2的正三角形分别有多少个？ （仿照上述方法，写出探究过程）应用：将一个边长为25的正三角形的三条边分别25等分，连接各边对应的等分点，则该三角形中边长为1的正三角形有______个和边长为2的正三角形有______个. 4．已知数轴上两点A 、B ，其中A 表示的数为-2，B 表示的数为2，若在数轴上存在一点C ，使得AC+BC=n ，则称点C 叫做点A 、B 的“n 节点”．例如图1所示：若点C 表示的数为0，有AC+BC=2+2=4，则称点C 为点A 、B 的“4节点”． 请根据上述规定回答下列问题：（1）若点C 为点A 、B 的“n 节点”，且点C 在数轴上表示的数为-4，求n 的值； （2）若点D 是数轴上点A 、B 的“5节点”，请你直接写出点D 表示的数为______； （3）若点E 在数轴上（不与A 、B 重合），满足BE=12AE ，且此时点E 为点A 、B 的“n 节点”，求n 的值．5．如图，在平面直角坐标系中，点M 的坐标为（2，8），点N 的坐标为（2，6），将线段MN 向右平移4个单位长度得到线段PQ （点P 和点Q 分别是点M 和点N 的对应点），连接MP 、NQ ，点K 是线段MP 的中点． （1）求点K 的坐标；（2）若长方形PMNQ 以每秒1个单位长度的速度向正下方运动，（点A 、B 、C 、D 、E 分别是点M 、N 、Q 、P 、K 的对应点），当BC 与x 轴重合时停止运动，连接OA 、OE ，设运动时间为t 秒，请用含t 的式子表示三角形OAE 的面积S （不要求写出t 的取值范围）； （3）在（2）的条件下，连接OB 、OD ，问是否存在某一时刻t ，使三角形OBD 的面积等于三角形OAE 的面积？若存在，请求出t 值；若不存在，请说明理由．6．如图，数轴上有A ， B 两点，分别表示的数为a ，b ，且()225350a b ++-=．点P从A 点出发以每秒13个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当它到达B 点后立即以相同的速度返回往A点运动，并持续在A，B两点间往返运动．在点P出发的同时，点Q从B点出发以每秒2个单位长度向左匀速运动，当点Q达到A点时，点P，Q停止运动．（1）填空：a=，b=；（2）求运动了多长时间后，点P，Q第一次相遇，以及相遇点所表示的数；（3）求当点P，Q停止运动时，点P所在的位置表示的数；（4）在整个运动过程中，点P和点Q一共相遇了几次．（直接写出答案）7．射线OA、OB、OC、OD、OE有公共端点O．（1）若OA与OE在同一直线上（如图1），试写出图中小于平角的角；（2）若∠AOC＝108°，∠COE＝n°（0＜n＜72），OB平分∠AOE，OD平分∠COE（如图2），求∠BOD的度数；（3）如图3，若∠AOE＝88°，∠BOD＝30°，射OC绕点O在∠AOD内部旋转（不与OA、OD重合）．探求：射线OC从OA转到OD的过程中，图中所有锐角的和的情况，并说明理由．8．在数轴上，图中点A表示－36，点B表示44，动点P、Q分别从A、B两点同时出发，相向而行，动点P、Q的运动速度比之是3∶2（速度单位：1个单位长度/秒）．12秒后，动点P到达原点O，动点Q到达点C，设运动的时间为t（t＞0）秒．（1）求OC的长；（2）经过t秒钟，P、Q两点之间相距5个单位长度，求t的值；（3）若动点P到达B点后，以原速度立即返回，当P点运动至原点时，动点Q是否到达A点，若到达，求提前到达了多少时间，若未能到达，说明理由．9．如图，直线l上有A、B两点，点O是线段AB上的一点，且OA=10cm，OB=5cm．（1）若点C是线段AB的中点，求线段CO的长．（2）若动点P、Q分别从 A、B同时出发，向右运动，点P的速度为4c m/s，点Q的速度为3c m/s，设运动时间为x秒，①当x=__________秒时，PQ=1cm；②若点M从点O以7c m/s的速度与P、Q两点同时向右运动，是否存在常数m，使得4PM +3OQ ﹣mOM 为定值，若存在请求出m 值以及这个定值；若不存在，请说明理由． （3）若有两条射线 OC 、OD 均从射线OA 同时绕点O 顺时针方向旋转，OC 旋转的速度为6度/秒，OD 旋转的速度为2度/秒.当OC 与OD 第一次重合时，OC 、OD 同时停止旋转，设旋转时间为t 秒，当t 为何值时，射线 OC ⊥OD ？10．如图①，点C 在线段AB 上，图中共有三条线段AB 、AC 和BC ，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C 是段AB 的“2倍点”． （1）线段的中点__________这条线段的“2倍点”；（填“是”或“不是”） （2）若AB ＝15cm ，点C 是线段AB 的“2倍点”．求AC 的长；（3）如图②，已知AB ＝20cm ．动点P 从点A 出发，以2c m ／s 的速度沿AB 向点B 匀速移动．点Q 从点B 出发，以1c m/s 的速度沿BA 向点A 匀速移动．点P 、Q 同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t （s ），当t ＝_____________s 时，点Q 恰好是线段AP 的“2倍点”．（请直接写出各案）11．如图，12cm AB =，点C 是线段AB 上的一点，2BC AC =.动点P 从点A 出发，以3cm /s 的速度向右运动，到达点B 后立即返回，以3cm /s 的速度向左运动；动点Q 从点C 出发，以1cm/s 的速度向右运动. 设它们同时出发，运动时间为s t . 当点P 与点Q 第二次重合时，P Q 、两点停止运动. （1）求AC ，BC ；（2）当t 为何值时，AP PQ =； （3）当t 为何值时，P 与Q 第一次相遇； （4）当t 为何值时，1cm PQ =.12．如图，在数轴上从左往右依次有四个点,,,A B C D ，其中点,,A B C 表示的数分别是0,3,10，且2CD AB =.(1)点D 表示的数是 ；（直接写出结果）(2)线段AB 以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时线段CD 以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间是t （秒），当两条线段重叠部分是2个单位长度时. ①求t 的值;②线段AB 上是否存在一点P ，满足3BD PA PC -=?若存在，求出点P 表示的数x ；若不存在，请说明理由.13．已知：如图，点M 是线段AB 上一定点，12AB cm =，C 、D 两点分别从M 、B 出发以1/cm s 、2/cm s 的速度沿直线BA 向左运动，运动方向如箭头所示（C 在线段AM 上，D 在线段BM 上）()1若4AM cm =，当点C 、D 运动了2s ，此时AC =________，DM =________；（直接填空）()2当点C 、D 运动了2s ，求AC MD +的值．()3若点C 、D 运动时，总有2MD AC =，则AM =________（填空）()4在()3的条件下，N 是直线AB 上一点，且AN BN MN -=，求MN AB的值．14．问题一：如图1，已知A ，C 两点之间的距离为16 cm ，甲，乙两点分别从相距3cm 的A ，B 两点同时出发到C 点，若甲的速度为8 cm/s ，乙的速度为6 cm/s ，设乙运动时间为x （s ）， 甲乙两点之间距离为y （cm ）． (1)当甲追上乙时，x = ． (2)请用含x 的代数式表示y ． 当甲追上乙前，y = ；当甲追上乙后，甲到达C 之前，y = ； 当甲到达C 之后，乙到达C 之前，y = ．问题二：如图2，若将上述线段AC 弯曲后视作钟表外围的一部分，线段AB 正好对应钟表上的弧AB （1小时的间隔），易知∠AOB=30°．(1)分针OD 指向圆周上的点的速度为每分钟转动 cm ；时针OE 指向圆周上的点的速度为每分钟转动 cm ．(2)若从4：00起计时，求几分钟后分针与时针第一次重合．15．如图所示，已知数轴上A ，B 两点对应的数分别为－2，4，点P 为数轴上一动点，其对应的数为x .(1)若点P 到点A ，B 的距离相等，求点P 对应的数x 的值．(2)数轴上是否存在点P ，使点P 到点A ，B 的距离之和为8？若存在，请求出x 的值；若不存在，说明理由．(3)点A ，B 分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P 以5个单位长度/分的速度从O 点向左运动．当遇到A 时，点P 立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A 与点B 之间．当点A 与点B 重合时，点P 经过的总路程是多少？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）16,6,2；（2）①162x -②2BE CF =；（3）t=1或3或487或527 【解析】 【分析】(1)由数轴上A 、B 两点对应的数分別是-4、12，可得AB 的长;由CE ＝8，CF ＝1，可得EF 的长，由点F 是AE 的中点，可得AF 的长，用AB 的长减去2倍的EF 的长即为BE 的长；(2)设AF ＝FE ＝x ，则CF ＝8-x ，用含x 的式子表示出BE ，即可得出答案 (3)分①当0＜t ≤6时； ②当6＜t ≤8时，两种情况讨论计算即可得解 【详解】（1）数轴上A 、B 两点对应的数分别是-4、12， ∴AB=16，∵CE=8，CF=1，∴EF=7， ∵点F 是AE 的中点，∴AF=EF=7，,∴AC=AF ﹣CF=6，BE=AB ﹣AE=16﹣7×2=2， 故答案为16，6，2；(2)∵点F 是AE 的中点，∴AF=EF ， 设AF=EF=x,∴CF=8﹣x ， ∴BE=16﹣2x=2（8﹣x ）， ∴BE=2CF.故答案为①162x -②2BE CF =；(3) ①当0＜t ≤6时，P 对应数：-6+3t ，Q 对应数-4+2t ，=4t t =2t =1PQ ﹣＋2﹣（﹣6＋3）﹣，解得：t=1或3；②当6＜t ≤8时，P 对应数()33126t 22t ---＝21 ， Q 对应数-4+2t ， 37=4t =t 2=12t PQ -﹣＋2﹣（）25﹣21，解得：48t=7或527； 故答案为t=1或3或487或527. 【点睛】本题考查了一元一次方程在数轴上的动点问题中的应用，根据题意正确列式，是解题的关健2．（1）23+(-3)3+43，73+(-5)3+(-6)3；（2）100；（3）25032；（4）9.38；（5）0；（6）24或40 【解析】 【分析】（1）把45分解为2、-3、4三个整数的立方和，2分解为7、-5、-6三个整数的立方和即可的答案；（2）按照新运算法则，根据有理数混合运算法则计算即可得答案；（3）根据差倒数的定义计算出前几项的值，得出规律，计算即可得答案；（4）根据精确到十分位得9.4分可知平均分在9.35到9.44之间，可求出总分的取值范围，根据裁判打分是整数即可求出8个裁判给出的总分，再计算出平均分，精确到百分位即可；（5）由1+2-3=0，连续4个自然数通过加减运算可得0，列式计算即可得答案；（6）根据题意得要使甲和乙、甲和丙的距离相等就可以得出甲在乙、丙之间，设x 分钟后甲和乙、甲和丙的距离相等，就有甲走的路程-乙走的路程-400=丙走的路程+800-甲走的路程建立方程求出其解，就可以得出结论．当乙追上丙时，甲和乙、丙的距离相等，求出乙追上丙的时间即可.综上即可的答案. 【详解】（1）45=23+(-3)3+43，2=73+(-5)3+(-6)3， 故答案为23+(-3)3+43，73+(-5)3+(-6)3 （2）∵2a b a ab ⊗=-，∴()()532-⊗⊗-=⎡⎤⎣⎦(-5)⊗[32-3×(-2)]=(-5)⊗15 =(-5)2-(-5)×15 =100. （3）∵a 1=2， ∴a 2=1112=--， a 3=11(1)--=12， 412112a ==-a 5=-1 ……∴从a 1开始，每3个数一循环， ∵2500÷3=833……1， ∴a 2500=a 1=2，∴122500a a a ++⋅⋅⋅+=833×(2-1+12)+2=25032. （4）∵10个裁判打分，去掉一个最高分，再去掉一个最低分， ∴平均分为中间8个分数的平均分， ∵平均分精确到十分位的为9.4， ∴平均分在9.35至9.44之间， 9.35×8=74.8，9.44×8=75.52，∴8个裁判所给的总分在74.8至75.52之间， ∵打分都是整数， ∴总分也是整数， ∴总分为75，∴平均分为75÷8=9.375， ∴精确到百分位是9.38. 故答案为9.38（5）2019÷4=504……3，∵1+2-3=0，4-5-6+7=0，8-9-10+11=0，…… ∴(1+2-3)+(4-5-6+7)+……+(2016-2017-2018+2019)=0 ∴所得结果可能的最小非负数是0， 故答案为0（6）设x 分钟后甲和乙、丙的距离相等，∵乙在甲前400米，丙在乙前400米，速度分别为120米/分钟、100米/分钟、90米/分钟，∴120x-400-100x=90x+800-120x解得：x=24.∵当乙追上丙时，甲和乙、丙的距离相等，∴400÷(100-90)=40(分钟)∴24分钟或40分钟时甲和乙、丙的距离相等.故答案为24或40.【点睛】本题考查数字类的变化规律、有理数的混合运算、近似数及一元一次方程的应用，熟练掌握相关知识是解题关键.3．探究三：16,6；结论：n²,;应用：625，300.【解析】【分析】探究三：模仿探究一、二即可解决问题；结论：由探究一、二、三可得：将边长为的正三角形的三条边分别等分，连接各边对应的等分点，边长为1的正三角形共有个；边长为2的正三角形共有个；应用：根据结论即可解决问题.【详解】解：探究三：如图3，连接边长为4的正三角形三条边的对应四等分点，从上往下看：边长为1的正三角形，第一层有1个，第二层有3个，第三层有5个，第四层有7个，共有个；边长为2的正三角形有个.结论：连接边长为的正三角形三条边的对应等分点，从上往下看：边长为1的正三角形，第一层有1个，第二层有3个，第三层有5个，第四层有7个，……，第层有个，共有个；边长为2的正三角形，共有个.应用：边长为1的正三角形有=625（个），边长为2的正三角形有（个）.故答案为探究三：16,6；结论：n², ;应用：625，300.【点睛】本题考查规律型问题，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题．4．（1）n= 8；（2）-2.5或2.5；（3）n=4或n=12．【解析】【分析】（1）根据“n节点”的概念解答；（2）设点D表示的数为x，根据“5节点”的定义列出方程分情况，并解答；（3）需要分类讨论：①当点E在BA延长线上时，②当点E在线段AB上时，③当点E在AB延长线上时，根据BE=12AE，先求点E表示的数，再根据AC+BC=n，列方程可得结论．【详解】（1）∵A表示的数为-2，B表示的数为2，点C在数轴上表示的数为-4，∴AC=2，BC=6，∴n=AC+BC=2+6=8．（2）如图所示：∵点D是数轴上点A、B的“5节点”，∴AC+BC=5，∵AB=4，∴C在点A的左侧或在点A的右侧，设点D表示的数为x，则AC+BC=5，∴-2-x+2-x=5或x-2+x-（-2）=5，x=-2.5或2.5，∴点D表示的数为2.5或-2.5；故答案为-2.5或2.5；（3）分三种情况：①当点E在BA延长线上时，∵不能满足BE=12 AE，∴该情况不符合题意，舍去；②当点E在线段AB上时，可以满足BE=12AE，如下图，n=AE+BE=AB=4；③当点E在AB延长线上时，∵BE=12 AE，∴BE=AB=4，∴点E表示的数为6，∴n=AE+BE=8+4=12，综上所述：n=4或n=12．【点睛】本题考查数轴，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握“n节点”的概念和运算法则，找出题中的等量关系，列出方程并解答，难度一般．5．（1）（4，8）（2）S△OAE＝8﹣t（3）2秒或6秒【解析】【分析】（1）根据M和N的坐标和平移的性质可知：MN∥y轴∥PQ，根据K是PM的中点可得K 的坐标；（2）根据三角形面积公式可得三角形OAE的面积S；（3）存在两种情况：①如图2，当点B在OD上方时②如图3，当点B在OD上方时，过点B作BG⊥x轴于G，过D作DH⊥x轴于H，分别根据三角形OBD的面积等于三角形OAE的面积列方程可得结论．【详解】（1）由题意得：PM＝4，∵K是PM的中点，∴MK＝2，∵点M的坐标为（2，8），点N的坐标为（2，6），∴MN∥y轴，∴K（4，8）；（2）如图1所示，延长DA交y轴于F，则OF⊥AE，F（0，8﹣t），∴OF＝8﹣t，∴S△OAE＝12OF•AE＝12（8﹣t）×2＝8﹣t；（3）存在，有两种情况：，①如图2，当点B在OD上方时，过点B作BG⊥x轴于G，过D作DH⊥x轴于H，则B（2，6﹣t），D（6，0），∴OG＝2，GH＝4，BG＝6﹣t，DH＝8﹣t，OH＝6，S△OBD＝S△OBG+S四边形DBGH+S△ODH，＝12OG•BG+12（BG+DH）•GH﹣12OH•DH，＝12×2（6-t）+12×4（6﹣t+8﹣t）﹣12×6（8﹣t），＝10﹣2t，∵S△OBD＝S△OAE，∴10﹣2t＝8﹣t，t＝2；②如图3，当点B在OD上方时，过点B作BG⊥x轴于G，过D作DH⊥x轴于H，则B（2，6﹣t），D（6，8﹣t），∴OG＝2，GH＝4，BG＝6﹣t，DH＝8﹣t，OH＝6，S△OBD＝S△ODH﹣S四边形DBGH﹣S△OBG，＝12OH•DH﹣12（BG+DH）•GH﹣12OG•BG，＝12×2（8-t）﹣12×4（6﹣t+8﹣t）﹣12×2（6﹣t），＝2t﹣10，∵S△OBD＝S△OAE，∴2t﹣10＝8﹣t，t＝6；综上，t的值是2秒或6秒．【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、三角形的面积、一元一次方程等知识，解题关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．6．（1）25-，35（2）运动时间为4秒，相遇点表示的数字为27 ；（3）5;(4) 一共相遇了7次.【解析】【分析】（1）根据0+0式的定义即可解题；（2）设运动时间为x秒,表示出P,Q的运动路程,利用路程和等于AB长即可解题；（3）根据点Q达到A点时，点P，Q停止运动求出运动时间即可解题；（4）根据第三问点P运动了6个来回后，又运动了30个单位长度即可解题.【详解】解：（1）25-，35（2）设运动时间为x秒13x2x2535+=+解得x4=352427-⨯=答：运动时间为4秒，相遇点表示的数字为27（3）运动总时间：60÷2=30（秒），13×30÷60=6…30即点P运动了6个来回后，又运动了30个单位长度,∵25305-+=，∴点P所在的位置表示的数为5 .（4）由（3）得：点P运动了6个来回后，又运动了30个单位长度,∴点P和点Q一共相遇了6+1=7次.【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用,数轴的应用,难度较大,熟悉路程,时间,速度之间的关系是解题关键.7．（1）图1中小于平角的角∠AOD，∠AOC，∠AOB，∠BOE，∠BOD，∠BOC，∠COE，∠COD，∠DOE；（2）∠BOD＝54°；（3）∠AOE+∠AOB+∠AOC+∠AOD+∠BOC+∠BOD+∠BOE+∠COD+∠COE+∠DOE＝412°．理由见解析. 【解析】【分析】（1）根据角的定义即可解决；（2）利用角平分线的性质即可得出∠BOD=12∠AOC+12∠COE，进而求出即可；（3）将图中所有锐角求和即可求得所有锐角的和与∠AOE、∠BOD和∠BOD的关系，即可解题．【详解】（1）如图1中小于平角的角∠AOD，∠AOC，∠AOB，∠BOE，∠BOD，∠BOC，∠COE，∠COD，∠DOE．（2）如图2，∵OB平分∠AOE，OD平分∠COE，∠AOC＝108°，∠COE＝n°（0＜n＜72），∴∠BOD＝12∠AOD﹣12∠COE+12∠COE＝12×108°＝54°；（3）如图3，∠AOE＝88°，∠BOD＝30°，图中所有锐角和为∠AOE+∠AOB+∠AOC+∠AOD+∠BOC+∠BOD+∠BOE+∠COD+∠COE+∠DOE＝4∠AOB+4∠DOE＝6∠BOC+6∠COD＝4（∠AOE﹣∠BOD）+6∠BOD＝412°．【点睛】本题考查了角的平分线的定义和角的有关计算，本题中将所有锐角的和转化成与∠AOE、∠BOD和∠BOD的关系是解题的关键，8．（1）20；（2）t=15s或17s （3）4 3 s.【解析】【分析】（1）设P、Q速度分别为3m、2m，根据12秒后，动点P到达原点O列方程，求出P、Q 的速度，由此即可得到结论．（2）分两种情况讨论：①当A、B在相遇前且相距5个单位长度时；②当A、B在相遇后且相距5个单位长度时；列方程，求解即可．（3）算出P运动到B再到原点时，所用的时间，再算出Q从B到A所需的时间，比较即可得出结论．【详解】（1）设P、Q速度分别为3m、2m，根据题意得：12×3m=36，解得：m=1，∴P、Q速度分别为3、2，∴BC=12×2=24，∴OC=OB－BC=44－24=20．（2）当A、B在相遇前且相距5个单位长度时：3t＋2t＋5=44＋36，5t=75，∴t=15（s）；当A、B在相遇后且相距5个单位长度时：3t＋2t－5=44＋36，5t=85，∴t=17（s）．综上所述：t=15s或17s．（3）P运动到原点时，t=3644443++=1243s，此时QB=2×1243=2483＞44+38=80，∴Q点已到达A点，∴Q点已到达A点的时间为：3644804022+==（s），故提前的时间为：1243－40=43（s）．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用-行程问题以及数轴上的动点问题．解题的关键是找出等量关系，列出方程求解．9．（1）CO=2.5；（2）①14和16 ；②定值55，理由见解析；（3）t=22.5和67.5【解析】【分析】（1）先求出线段AB的长，然后根据线段中点的定义解答即可；（2）①由PQ=1，得到|15-（4x-3x）|=1，解方程即可；②先表示出PM、OQ、OM的长，代入4PM+3OQ﹣mOM得到55+（21-7m）x，要使4PM+3OQ﹣mOM为定值，则21-7m=0，解方程即可；（3）分两种情况讨论，画出图形，根据图形列出方程，解方程即可．【详解】（1）∵OA=10cm，OB=5cm，∴AB=OA+OB=15cm．∵点C是线段AB的中点，∴AC=AB=7.5cm，∴CO=AO-AC=10-7.5=2.5（cm）．（2）①∵PQ=1，∴|15-（4x-3x）|=1，∴|15-x|=1，∴15-x=±1，解得：x=14或16．②∵PM=10+7x-4x=10+3x，OQ=5+3x，OM=7x，∴4PM+3OQ﹣mOM=4（10+3x）+3（5+3x）-7mx=55+（21-7m）x，要使4PM+3OQ﹣mOM为定值，则21-7m=0，解得：m=3，此时定值为55．（3）分两种情况讨论：①如图1，根据题意得：6t-2t=90，解得：t=22.5；②如图2，根据题意得：6t+90=360+2t，解得：t=67.5．综上所述：当t =22.5秒和67.5秒时，射线 OC ⊥OD ．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题的关键是分类讨论．10．（1）是；（2）5cm 或7.5cm 或10cm ；（3）10或607． 【解析】 【分析】（1）根据“2倍点”的定义即可求解；（2）分点C 在中点的左边，点C 在中点，点C 在中点的右边三种情况，进行讨论求解即可；（3）根据题意画出图形，P 应在Q 的右边，分别表示出AQ 、QP 、PB ，求出t 的范围．然后根据（2）分三种情况讨论即可．【详解】（1）∵整个线段的长是较短线段长度的2倍，∴线段的中点是这条线段的“2倍点”． 故答案为是；（2）∵AB ＝15cm ，点C 是线段AB 的2倍点，∴AC ＝1513⨯=5cm 或AC ＝1512⨯=7.5cm 或AC ＝1523⨯=10cm ． （3）∵点Q 是线段AP 的“2倍点”，∴点Q 在线段AP 上．如图所示：由题意得：AP =2t ，BQ =t ，∴AQ =20-t ，QP =2t -（20-t ）=3t -20，PB =20-2t ．∵PB =20-2t ≥0，∴t ≤10．∵QP =3t -20≥0，∴t ≥203，∴203≤t ≤10． 分三种情况讨论：①当AQ ＝13AP 时，20-t ＝13×2t ，解得：t ＝12＞10，舍去； ②当AQ ＝12AP 时，20-t ＝12×2t ，解得：t ＝10； ③当AQ ＝23AP 时，20-t ＝23×2t ，解得：t 607=；答：t 为10或607时，点 Q 是线段AP 的“2倍点”． 【点睛】 本题考查了一元一次方程的解法、线段的和差等知识点，题目需根据“2倍点”的定义分类讨论，理解“2倍点”的定义是解决本题的关键．11．（1）AC=4cm, BC=8cm ；(2)当45t =时，AP PQ =；(3)当2t =时，P 与Q 第一次相遇；(4)35191cm.224t PQ =当为，，时， 【解析】【分析】（1）由于AB=12cm ，点C 是线段AB 上的一点，BC=2AC ，则AC+BC=3AC=AB=12cm ，依此即可求解；（2）分别表示出AP 、PQ ，然后根据等量关系AP=PQ 列出方程求解即可；（3）当P 与Q 第一次相遇时由AP AC CQ =+得到关于t 的方程，求解即可； （4）分相遇前、相遇后以及到达B 点返回后相距1cm 四种情况列出方程求解即可．【详解】（1）AC=4cm, BC=8cm.(2) 当AP PQ =时，AP 3t,PQ AC AP CQ 43t t ==-+=-+,即3t 43t t =-+,解得4t 5=. 所以当4t 5=时，AP PQ =. (3) 当P 与Q 第一次相遇时，AP AC CQ =+,即3t 4t =+,解得t 2=.所以当t 2=时，P 与Q 第一次相遇.(4)()()P,Q 1cm,4t 3t 13t 4t 1+-=-+=因为点相距的路程为所以或，35t t 22解得或==， P B P,Q 1cm 当到达点后时立即返回，点相距的路程为，193t 4t 1122,t 4+++=⨯=则解得， 3519t PQ 1cm.224所以当为，，时，= 【点睛】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握行程问题中的基本数量关系以及分类讨论思想是解决问题的关键．12．（1）16；（2）①t 的值为3或143秒；②存在，P 表示的数为314.【解析】【分析】（1）由数轴可知，AB=3,则CD=6,所以D 表示的数为16，（2）①当运动时间是t 秒时，在运动过程中，B 点表示的数为3+2t,A 点表示的数为2t, C 点表示的数为10-t ，D 点表示的数为16-t ，分情况讨论两条线段重叠部分是2个单位长度解答即可；②分情况讨论当t=3秒, t=143秒时，满足3BD PA PC -=的点P , 注意P 为线段AB 上的点对x 的值的限制.【详解】（1）16（2）①在运动过程中，B 点表示的数为3+2t,A 点表示的数为2t,C 点表示的数为10-t ，D 点表示的数为16-t.当BC ＝2，点B 在点C 的右边时，由题意得：32-10-2BC t t =+=（），解得：t ＝3，当AD=2，点A 在点D 的左边时，由题意得：16--22AD t t ==，解得：t ＝143． 综上，t 的值为3或143秒 ②存在，理由如下:当t=3时，A 点表示的数为6，B 点表示的数为9，C 点表示的数为7，D 点表示的数为13. 则13-94-6|-7|BD PA x PC x ====，，，-3BD PA PC =，()4--6|-7|x x ∴=， 解得：314x =或112， 又P 点在线段AB 上，则69x ≤≤314x ∴=. 当143t =时，A 点表示的数为283，B 点表示的数为373，C 点表示的数为163，D 点表示的数为343. 则37343816-1-|-|3333BD PA x PC x ====，，， -3BD PA PC =，∴ 28161--|-|33x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 解得：7912x =或176， 又283733x ≤≤， x ∴无解综上，P 表示的数为314. 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，解题的关键是：(1)由路程=速度×时间结合运动方向找出运动t 秒时点A 、B 、C 、D 所表示的数,(2)根据3BD PA PC -=列出关于t 的含绝对值符号的一元一次方程．13．（1）2AC cm =，4DM cm =；（2）6AC MD cm +=；（3）4AM =；（4）13MN AB =或1． 【解析】【详解】（1）根据题意知，CM=2cm ，BD=4cm ．∵AB=12cm ，AM=4cm ，∴BM=8cm ，∴AC=AM ﹣CM=2cm ，DM=BM ﹣BD=4cm ．故答案为2，4；（2）当点C 、D 运动了2 s 时，CM=2 cm ，BD=4 cm ．∵AB=12 cm ，CM=2 cm ，BD=4 cm ，∴AC+MD=AM ﹣CM+BM ﹣BD=AB ﹣CM ﹣BD=12﹣2﹣4=6 cm ；（3）根据C 、D 的运动速度知：BD=2MC ．∵MD=2AC ，∴BD+MD=2（MC+AC ），即MB=2AM ．∵AM+BM=AB ，∴AM+2AM=AB ，∴AM=13AB=4． 故答案为4；（4）①当点N 在线段AB 上时，如图1．∵AN ﹣BN=MN ．又∵AN ﹣AM=MN ，∴BN=AM=4，∴MN=AB ﹣AM ﹣BN=12﹣4﹣4=4，∴MN AB =412=13； ②当点N 在线段AB 的延长线上时，如图2．∵AN ﹣BN=MN ．又∵AN ﹣BN=AB ，∴MN=AB=12，∴MN AB =1212=1． 综上所述：MN AB =13或1． 【点睛】本题考查了两点间的距离，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点．14．问题一、(1)32；（2）3-2x ；2x -3；13-6x ；问题一、（1）35；120；24011. 【解析】【分析】问题一根据等量关系，路程=速度⨯时间，路程差=路程1-路程2，即可列出方程求解。
(完整版)初一数学上册压轴题测试卷及答案
(完整版)初一数学上册压轴题测试卷及答案一、压轴题1．已知ABC ，P 是平面内任意一点（A 、B 、C 、P 中任意三点都不在同一直线上）．连接 PB 、PC ，设∠PBA ＝s°，∠PCA ＝t°，∠BPC ＝x°，∠BAC ＝y°．（1）如图，当点 P 在ABC 内时，①若 y ＝70，s ＝10，t ＝20，则 x ＝ ；②探究 s 、t 、x 、y 之间的数量关系，并证明你得到的结论．（2）当点 P 在ABC 外时，直接写出 s 、t 、x 、y 之间所有可能的数量关系，并画出相应的图形．2．如图，ABC ∆在平面直角坐标系中，60BAC ∠=︒，()0,43A ，8AB =，点B 、C 在x 轴上且关于y 轴对称．（1）求点C 的坐标；（2）动点P 以每秒2个单位长度的速度从点B 出发沿x 轴正方向向终点C 运动，设运动时间为t 秒，点P 到直线AC 的距离PD 的长为d ，求d 与t 的关系式；（3）在（2）的条件下，当点P 到AC 的距离PD 为33AP ，作ACB ∠的平分线分别交PD 、PA 于点M 、N ，求MN 的长．3．已知在△ABC 中，AB ＝AC ，射线BM 、BN 在∠ABC 内部，分别交线段AC 于点G 、H ． （1）如图1，若∠ABC ＝60°，∠MBN ＝30°，作AE ⊥BN 于点D ，分别交BC 、BM 于点E 、F ．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF ＝2AF ，连接CF ，求证：BF ⊥CF ；（2）如图3，点E 为BC 上一点，AE 交BM 于点F ，连接CF ，若∠BFE ＝∠BAC ＝2∠CFE ，求ABF ACF S S 的值．4．（阅读材科）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的项角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC =∠DAE ，AB =AC ，AD =AE ，则△ABD ≌△ACE ．（材料理解）（1）在图1中证明小明的发现．（深入探究）（2）如图2，△ABC 和△AED 是等边三角形，连接BD ，EC 交于点O ，连接AO ，下列结论：①BD =EC ；②∠BOC =60°；③∠AOE =60°；④EO =CO ，其中正确的有 ．(将所有正确的序号填在横线上)．（延伸应用）（3）如图3，AB =BC ，∠ABC =∠BDC =60°，试探究∠A 与∠C 的数量关系．5．问题情景：数学课上，老师布置了这样一道题目，如图1，△ABC 是等边三角形，点D 是BC 的中点，且满足∠ADE ＝60°，DE 交等边三角形外角平分线于点E ．试探究AD 与DE 的数量关系．操作发现：（1）小明同学过点D 作DF ∥AC 交AB 于F ，通过构造全等三角形经过推理论证就可以解决问题，请您按照小明同学的方法确定AD 与DE 的数量关系，并进行证明．类比探究：（2）如图2，当点D是线段BC上任意一点(除B、C外)，其他条件不变，试猜想AD与DE之间的数量关系，并证明你的结论．拓展应用：（3）当点D在线段BC的延长线上，且满足CD＝BC，在图3中补全图形，直接判断△ADE的形状(不要求证明)．6．学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边的其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．（初步思考）我们不妨将问题用符号语言表示为：在△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．（深入探究）第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．（1）如图①，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E＝90°，根据______，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．第二种情况：当∠B 是钝角时，△ABC ≌△DEF ．（2）如图②，在△ABC 和△DEF 中，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，且∠B 、∠E 都是钝角．求证：△ABC ≌△DEF ．第三种情况：当∠B 是锐角时，△ABC 和△DEF 不一定全等．（3）在△ABC 和△DEF 中，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，且∠B 、∠E 都是锐角．请你用直尺在图③中作出△DEF ，使△DEF 和△ABC 不全等，并作简要说明．7．如图，若要判定纸带两条边线a ，b 是否互相平行，我们可以采用将纸条沿AB 折叠的方式来进行探究．（1）如图1，展开后，测得12∠=∠，则可判定a//b ，请写出判定的依据_________； （2）如图2，若要使a//b ，则1∠与2∠应该满足的关系是_________；（3）如图3，纸带两条边线a ，b 互相平行，折叠后的边线b 与a 交于点C ，若将纸带沿11A B （1A ，1B 分别在边线a ，b 上）再次折叠，折叠后的边线b 与a 交于点1C ，AB//11A B ，137BB AC ==，，求出1AC 的长．8．如图，在等边ABC ∆中，线段AM 为BC 边上的中线．动点D 在直线AM 上时，以CD 为一边在CD 的下方作等边CDE ∆，连结BE ．（1）求CAM ∠的度数；（2）若点D 在线段AM 上时，求证：ADC BEC ∆≅∆；（3）当动点D 在直线AM 上时，设直线BE 与直线AM 的交点为O ，试判断AOB ∠是否为定值？并说明理由．9．在△ABC 中，∠BAC =45°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，M 为线段DB 上一动点（不包括端点），点N 在直线AC 左上方且∠NCM =135°，CN =CM ，如图①．（1）求证：∠ACN =∠AMC ；（2）记△ANC 得面积为5，记△ABC 得面积为5．求证：12S AC S AB=； （3）延长线段AB 到点P ，使BP =BM ，如图②．探究线段AC 与线段DB 满足什么数量关系时对于满足条件的任意点M ，AN =CP 始终成立？（写出探究过程）10．如图，△ABC 是等边三角形，△ADC 与△ABC 关于直线AC 对称，AE 与CD 垂直交BC 的延长线于点E ，∠EAF ＝45°，且AF 与AB 在AE 的两侧，EF ⊥AF ．（1）依题意补全图形．（2）①在AE 上找一点P ，使点P 到点B ，点C 的距离和最短；②求证：点D 到AF ，EF 的距离相等．11．如图，以直角三角形AOC 的直角顶点O 为原点，以OC ，OA 所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，点A （0，a ），C （b ，0a 6b 80--=．（1）a = ；b = ；直角三角形AOC 的面积为 ．（2）已知坐标轴上有两动点P ，Q 同时出发，P 点从C 点出发以每秒2个单位长度的速度向点O 匀速移动，Q 点从O 点出发以每秒1个单位长度的速度向点A 匀速移动，点P 到达O 点整个运动随之结束．AC 的中点D 的坐标是（4，3），设运动时间为t 秒．问：是否存在这样的t ，使得△ODP 与△ODQ 的面积相等？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，若∠DOC =∠D CO ，点G 是第二象限中一点，并且y 轴平分∠GOD ．点E 是线段OA 上一动点，连接接CE 交OD 于点H ，当点E 在线段OA 上运动的过程中，探究∠GOD ，∠OHC ，∠ACE 之间的数量关系，并证明你的结论(三角形的内角和为180)．12．数学活动课上，老师出了这样一个题目：“已知：MF NF ⊥于F ，点A 、C 分别在NF 和MF 上，作线段AB 和CD （如图1），使90FAB MCD ∠-∠=︒．求证：//AB CD ”．（1）聪聪同学给出一种证明问题的辅助线：如图2，过A 作//AG FM ，交CD 于G ．请你根据聪聪同学提供的辅助线（或自己添加其它辅助线），给出问题的证明． （2）若点E 在直线CD 下方，且知30BED ∠=︒，直接写出ABE ∠和CDE ∠之间的数量关系．13．在△ABC 中，AB =AC ，D 是直线BC 上一点，以AD 为一条边在AD 的右侧作△ADE ，使AE =AD ，∠DAE =∠BAC ，连接CE ．（1）如图，当点D 在BC 延长线上移动时，若∠BAC =40°，则∠ACE = ，∠DCE = ，BC 、DC 、CE 之间的数量关系为 ；（2）设∠BAC =α，∠DCE =β．①当点D 在BC 延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由； ②当点D 在直线BC 上（不与B ，C 两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．（3）当CE ∥AB 时，若△ABD 中最小角为15°，试探究∠ACB 的度数（直接写出结果，无需写出求解过程）．14．（1）如图1，ABC 和DCE 都是等边三角形，且B ，C ，D 三点在一条直线上，连接AD ，BE 相交于点P ，求证：BE AD =．（2）如图2，在BCD 中，若120BCD ∠<︒，分别以BC ，CD 和BD 为边在BCD 外部作等边ABC ，等边CDE △，等边BDF ，连接AD 、BE 、CF 恰交于点P ． ①求证：AD BE CF ==；②如图2，在（2）的条件下，试猜想PB ，PC ，PD 与BE 存在怎样的数量关系，并说明理由．15．探究发现：如图①，在ABC 中，内角ACB ∠的平分线与外角ABD ∠的平分线相交于点E ．（1）若80A ∠=︒，则E ∠= ；若50A ∠=︒，则E ∠= ；（2）由此猜想：A ∠与E ∠的关系为 (不必说明理由)．拓展延伸：如图②，四边形ABCD 的内角DCB ∠与外角ABE ∠的平分线相交于点F ，//BF CD ．（3）若125A ∠=︒，95D ∠=︒，求F ∠的度数，由此猜想F ∠与A ∠，D ∠之间的关系，并说明理由．16．已知//,MN GH 在Rt ABC 中，90,30ACB BAC ∠=︒∠=︒，点A 在MN 上，边BC 在GH 上，在Rt DEF △中，90,DFE ∠=︒边DE 在直线AB 上，45EDF ∠=︒； （1）如图1，求BAN ∠的度数；（2）如图2，将Rt DEF △沿射线BA 的方向平移，当点F 在M 上时，求AFE ∠度数； （3）将Rt DEF △在直线AB 上平移，当以A D F 、、为顶点的三角形是直角三角形时，直接写出FAN ∠度数．17．完全平方公式：()2222a b a ab b ±=±+适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若3,1a b ab ，求22a b +的值． 解：因为3,1a b ab 所以()29,22a b ab +==所以2229,22a b ab ab ++==得227a b +=．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若228,40x y x y +=+=，求xy 的值；（2）①若()45x x -=,则()224x x -+= ； ②若()()458x x --=则()22()45x x -+-= ； （3）如图，点C 是线段AB 上的一点，以AC BC 、为边向两边作正方形，设6AB =，两正方形的面积和1218S S +=，求图中阴影部分面积．18．（1）在等边三角形ABC 中，①如图①，D ，E 分别是边AC ，AB 上的点且AE=CD ，BD 与EC 交于点F ，则∠BFE 的度数是 度；②如图②，D ，E 分别是边AC ，BA 延长线上的点且AE=CD ，BD 与EC 的延长线交于点F ，此时∠BFE 的度数是 度；（2）如图③，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB 是锐角，点O 是AC 边的垂直平分线与BC 的交点，点D ，E 分别在AC ，OA 的延长线上，AE=CD ，BD 与EC 的延长线交于点F ，若∠ACB=α，求∠BFE 的大小．（用含α的代数式表示）．19．如图，在ABC ∆中，90,,8ACB AC BC AB cm ∠=︒==，过点C 做射线CD ，且//CD AB ，点P 从点C 出发，沿射线CD 方向均匀运动，速度为3/cm s ；同时，点Q 从点A 出发，沿AB 向点B 匀速运动，速度为1/cm s ，当点Q 停止运动时，点P 也停止运动．连接,PQ CQ ，设运动时间为()()08t s t <<．解答下列问题：（1）用含有t 的代数式表示CP 和BQ 的长度；（2）当2t =时，请说明//PQ BC ；（3）设BCQ ∆的面积为()2S cm ，求S 与t 之间的关系式． 20．在ABC ∆中，若存在一个内角角度，是另外一个内角角度的n 倍（n 为大于1的正整数），则称ABC ∆为n 倍角三角形．例如，在ABC ∆中，80A ∠=︒，75B ∠=︒，25C ∠=︒，可知3∠=∠B C ，所以ABC ∆为3倍角三角形．（1）在ABC ∆中，55A ∠=︒，25B ∠=︒，则ABC ∆为________倍角三角形；（2）若DEF ∆是3倍角三角形，且其中一个内角的度数是另外一个内角的余角的度数的13，求DEF ∆的最小内角． （3）若MNP ∆是2倍角三角形，且90M N P ∠<∠<∠<︒，请直接写出MNP ∆的最小内角的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）①100；②x=y+s+t；（2）见详解．【解析】【分析】（1）①利用三角形的内角和定理即可解决问题；②结论：x=y+s+t．利用三角形内角和定理即可证明；（2）分6种情形分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）①∵∠BAC=70°，∴∠ABC+∠ACB=110°，∵∠PBA=10°，∠PCA=20°，∴∠PBC+∠PCB=80°，∴∠BPC=100°，∴x=100，故答案为：100．②结论：x=y+s+t．理由：∵∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+∠PBA+∠PCA+∠PBC+∠PCB=180°，∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，∴∠A+∠PBA+∠PCA=∠BPC，∴x=y+s+t．（2）s、t、x、y之间所有可能的数量关系：如图1：s+x=t+y；如图2：s+y=t+x；如图3：y=x+s+t；如图4：x+y+s+t=360°；如图5：t=s+x+y ；如图6：s=t+x+y ；【点睛】本题考查三角形的内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．2．（1）C （4，0）；（2）433d t =；（3）103MN =【解析】【分析】（1）根据对称的性质知ABC ∆为等边三角形，利用直角三角形中30度角的性质即可求得答案；（2）利用面积法可求得AC PD PC OA ⋅=⋅，再利用坐标系中点的特征即可求得答案； （3）利用(2)的结论求得2BP =，利用角平分线的性质证得ABO CBQ ∆∆≌，求得43CQ AO ==，利用面积法求得437QN =，再利用直角三角形中30度角的性质即可求得答案．【详解】（1）∵点B 、C 关于y 轴对称，∴12OB OC BC ==， ∴AB AC =，∵60BAC ∠=︒，∴ABC ∆为等边三角形，∴8AB BC AC ===，∴142OC BC ==， ∴点C 的坐标为：()4,0C ；（2）连接AP ，∵1122APC S AC PD PC OA ∆=⋅=⋅， ∴AC PD PC OA ⋅=⋅，∵(0,43A ，∴43OA =∵2BP t =，∴82PC t =-，∵8AC =， ∴433PC OA PD t AC ⋅==-， 即：433d t =-；（3）∵点P 到AC 的距离为33，∴43333d t =-=，∴1t =，∴2BP =，延长CN 交AB 于点Q ，过点N 作NE x ⊥轴于点E ，连接PQ 、BN ，∵CQ 为ACB ∠的角平分线，ABC ∆为等边三角形，∴1302BCQ ACB ∠=∠=︒，CQ AB ⊥， ∵1302BAO BAC ∠=∠=︒，AB BC =， ∴ABO CBQ ∆∆≌，∴43CQ AO ==设2QN a =，在Rt CNE ∆中，30QCB ∠=︒，∴11(432)2322NE CN a a ===， ∵ABP ABN BPN S S S ∆∆∆=+，∴111222BP OA AB QN BP NE ⋅=⋅+⋅，∴1112822)222a a ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯，∴a =∴QN =， ∵60ACB ∠=︒，90PDC ∠=︒，∴30DPC ∠=︒，∵30BCQ ∠=︒，∴PM CM =，在Rt CDM ∆中，90MDC ∠=︒，30MCD ∠=︒， ∴12MD MC =，∴12MD PM =，PD =∴PM CM ==∴MN CQ QN CM =--== 【点睛】本题是三角形综合题，涉及的知识有：含30度直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，外角性质，角平分线的性质，等边三角形的判定和性质，坐标与图形性质，熟练掌握性质及定理、灵活运用面积法求线段的长是解本题的关键．3．（1）①见解析；②见解析；（2）2【解析】【分析】（1）①只要证明∠2+∠BAF ＝∠1+∠BAF ＝60°即可解决问题；②只要证明△BFC ≌△ADB ，即可推出∠BFC ＝∠ADB ＝90°；（2）在BF 上截取BK ＝AF ，连接AK ．只要证明△ABK ≌CAF ，可得S △ABK ＝S △AFC ，再证明AF ＝FK ＝BK ，可得S △ABK ＝S △AFK ，即可解决问题；【详解】（1）①证明：如图1中，∵AB＝AC，∠ABC＝60°∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD⊥BN，∴∠ADB＝90°，∵∠MBN＝30°，∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，∴∠1＝∠2②证明：如图2中，在Rt△BFD中，∵∠FBD＝30°，∴BF＝2DF，∵BF＝2AF，∴BF＝AD，∵∠BAE＝∠FBC，AB＝BC，∴△BFC≌△ADB，∴∠BFC＝∠ADB＝90°，∴BF⊥CF（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．∵∠BFE＝∠2+∠BAF，∠CFE＝∠4+∠1，∴∠CFB ＝∠2+∠4+∠BAC ，∵∠BFE ＝∠BAC ＝2∠EFC ，∴∠1+∠4＝∠2+∠4∴∠1＝∠2，∵AB ＝AC ，∴△ABK ≌CAF ，∴∠3＝∠4，S △ABK ＝S △AFC ，∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE ＝∠AKB ，∠BAC ＝2∠CEF ，∴∠KAF ＝∠1+∠3＝∠AKF ，∴AF ＝FK ＝BK ，∴S △ABK ＝S △AFK ， ∴ABF AFCS 2S ∆∆=． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是能够正确添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．4．（1）证明见解析；（2）①②③；（3）∠A +∠C =180°．【解析】【分析】（1）利用等式的性质得出∠BAD=∠CAE ，即可得出结论；（2）同（1）的方法判断出△ABD ≌△ACE ，得出BD=CE ，再利用对顶角和三角形的内角和定理判断出∠BOC=60°，再判断出△BCF ≌△ACO ，得出∠AOC=120°，进而得出∠AOE=60°，再判断出BF ＜CF ，进而判断出∠OBC ＞30°，即可得出结论；（3）先判断出△BDP 是等边三角形，得出BD=BP ，∠DBP=60°，进而判断出△ABD ≌△CBP （SAS ），即可得出结论．【详解】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE ，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD ，∴∠BAD=∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△ABD ≌△ACE ；（2）如图2，∵△ABC 和△ADE 是等边三角形，∴AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△ABD ≌△ACE ，∴BD=CE ，①正确，∠ADB=∠AEC ，记AD 与CE 的交点为G ，∵∠AGE=∠DGO ，∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE ，∴∠DOE=∠DAE=60°，∴∠BOC=60°，②正确，在OB 上取一点F ，使OF=OC ，∴△OCF 是等边三角形，∴CF=OC ，∠OFC=∠OCF=60°=∠ACB ，∴∠BCF=∠ACO ，∵AB=AC ，∴△BCF ≌△ACO （SAS ），∴∠AOC=∠BFC=180°-∠OFC=120°，∴∠AOE=180°-∠AOC=60°，③正确，连接AF ，要使OC=OE ，则有OC=12CE ， ∵BD=CE ，∴CF=OF=12BD ， ∴OF=BF+OD ，∴BF ＜CF ，∴∠OBC ＞∠BCF ，∵∠OBC+∠BCF=∠OFC=60°，∴∠OBC ＞30°，而没办法判断∠OBC 大于30度，所以，④不一定正确，即：正确的有①②③，故答案为①②③；（3）如图3，延长DC 至P ，使DP=DB ，∵∠BDC=60°，∴△BDP 是等边三角形，∴BD=BP ，∠DBP=60°，∵∠BAC=60°=∠DBP ，∴∠ABD=∠CBP ，∵AB=CB ，∴△ABD ≌△CBP （SAS ），∴∠BCP=∠A ，∵∠BCD+∠BCP=180°，∴∠A+∠BCD=180°．【点睛】此题考查三角形综合题，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形是解题的关键．5．（1）AD ＝DE ，见解析；（2）AD ＝DE ，见解析；（3）见解析，△ADE 是等边三角形，【解析】【分析】（1）根据题意，通过平行线的性质及等边三角形的性质证明ADF EDC ∆∆≌即可得解； （2）根据题意，通过平行线的性质及等边三角形的性质证明AFD DCE ∆∆≌即可得解； （3）根据垂直平分线的性质及等边三角形的判定定理进行证明即可.【详解】（1）如下图，数量关系：AD ＝DE .证明：∵ABC ∆是等边三角形∴AB ＝BC ，60B BAC BCA ∠∠∠︒＝＝＝∵DF ∥AC∴BFD BAC ∠∠＝，∠BDF ＝∠BCA∴60B BFD BDF ∠∠∠︒＝＝＝∴BDF ∆是等边三角形，120AFD ∠︒＝∴DF ＝BD∵点D 是BC 的中点∴BD ＝CD∴DF ＝CD∵CE 是等边ABC ∆的外角平分线∴120DCE AFD ∠︒∠＝＝ ∵ABC ∆是等边三角形，点D 是BC 的中点∴AD ⊥BC∴90ADC ∠︒＝∵60BDF ADE ∠∠︒＝＝∴30ADF EDC ∠∠︒＝＝在ADF ∆与EDC ∆中AFD ECD DF CDADF EDC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ∴()ADF EDC ASA ∆∆≌∴AD ＝DE ；（2）结论：AD ＝DE .证明：如下图，过点D 作DF ∥AC ，交AB 于F∵ABC ∆是等边三角形∴AB ＝BC ，60B BAC BCA ∠∠∠︒＝＝＝∵DF ∥AC∴BFD BAC BDF BCA ∠∠∠∠＝，＝∴60B BFD BDF ∠∠∠︒＝＝＝∴BDF ∆是等边三角形，120AFD ∠︒＝∴BF ＝BD∴AF ＝DC∵CE 是等边ABC ∆的外角平分线∴120DCE AFD ∠︒∠＝＝ ∵∠ADC 是ABD ∆的外角∴60ADC B FAD FAD ∠∠∠︒∠＝＋＝＋∵60ADC ADE CDE CDE ∠∠∠︒∠＝＋＝＋∴∠FAD ＝∠CDE在AFD ∆与DCE ∆中AFD DCE AF CDFAD EDC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ∴()AFD DCE ASA ∆∆≌∴AD ＝DE ；（3）如下图，ADE ∆是等边三角形.证明：∵BC CD =∴AC CD =∵CE 平分ACD ∠∴CE 垂直平分AD∴AE =DE∵60ADE ∠=︒∴ADE ∆是等边三角形.【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质及判定，三角形全等的判定及性质，平行线的性质，垂直平分线的性质等相关内容，熟练掌握三角形综合解决方法是解决本题的关键.6．（1）HL ；（2）见解析；（3）如图②，见解析；△DEF 就是所求作的三角形，△DEF 和△ABC 不全等．【解析】【分析】（1）根据直角三角形全等的方法“HL”证明；（2）过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，根据等角的补角相等求出∠CBG=∠FEH，再利用“角角边”证明△CBG和△FEH全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=FH，再利用“HL”证明Rt△ACG和Rt△DFH全等，根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠D，然后利用“角角边”证明△ABC和△DEF全等；（3）以点C为圆心，以AC长为半径画弧，与AB相交于点D，E与B重合，F与C重合，得到△DEF与△ABC不全等；（4）根据三种情况结论，∠B不小于∠A即可．【详解】（1）在直角三角形中一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等运用的是HL．（2）证明：如图①，分别过点C、F作对边AB、DE上的高CG、FH，其中G、H为垂足．∵∠ABC、∠DEF都是钝角∴G、H分别在AB、DE的延长线上．∵CG⊥AG，FH⊥DH，∴∠CGA＝∠FHD＝90°．∵∠CBG＝180°－∠ABC，∠FEH＝∠180°－∠DEF，∠ABC＝∠DEF，∴∠CBG＝∠FEH．在△BCG和△EFH中，∵∠CGB＝∠FHE，∠CBG＝∠FEH，BC＝EF，∴△BCG≌△EFH．∴CG＝FH．又∵AC＝DF．∴Rt△ACG≌△DFH．∴∠A＝∠D．在△ABC和△DEF中，∵∠ABC＝∠DEF，∠A＝∠D，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF．（3）如图②，△DEF就是所求作的三角形，△DEF和△ABC不全等．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，阅读量较大，审题要认真仔细．7．（1）内错角相等，两直线平行；（2）∠1+2∠2=180°；（3）4或10【解析】【分析】（1）根据平行线的判定定理，即可得到答案；（2）由折叠的性质得：∠3=∠4，若a ∥b ，则∠3=∠2，结合三角形内角和定理，即可得到答案；（3）分两种情况：①当B 1在B 的左侧时，如图2，当B 1在B 的右侧时，如图3，分别求出1AC 的长，即可得到答案．【详解】（1）∵12∠=∠，∴a ∥b （内错角相等，两直线平行），故答案是：内错角相等，两直线平行；（2）如图1，由折叠的性质得：∠3=∠4，若a ∥b ，则∠3=∠2，∴∠4=∠2，∵∠2+∠4+∠1=180°，∴∠1+2∠2=180°，∴要使a ∥b ，则1∠与2∠应该满足的关系是：∠1+2∠2=180°．故答案是：∠1+2∠2=180°；（3）①当B 1在B 的左侧时，如图2，∵AB//11A B ，a ∥b ，∴AA 1=BB 1=3，∴1AC =AC- AA 1=7-3=4；②当B 1在B 的右侧时，如图3，∵AB//11A B ，a ∥b ，∴AA 1=BB 1=3，∴1AC =AC+AA 1=7+3=10．综上所述：1AC =4或10．【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质定理，折叠的性质以及三角形的内角和定理，掌握“平行线间的平行线段长度相等”是解题的关键．8．（1）30°；（2）证明见解析；（3）AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒.【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC AC =，DC EC =，，60ACB DCE ∠=∠=︒，由等式的性质就可以BCE ACD ∠=∠，根据SAS 就可以得出ADC BEC ∆≅∆；（3）分情况讨论：当点D 在线段AM 上时，如图1，由（2）可知ACD BCE ≅∆∆，就可以求出结论；当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2，可以得出ACD BCE ≅∆∆而有30CBE CAD ∠=∠=︒而得出结论；当点D 在线段MA 的延长线上时，如图3，通过得出ACD BCE ≅∆∆同样可以得出结论．【详解】（1）ABC ∆是等边三角形，60BAC ∴∠=︒．线段AM 为BC 边上的中线，12CAM BAC ∴∠=∠， 30CAM ∴∠=︒．（2）ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，ACD DCB DCB BCE ∴∠+∠=∠+∠，ACD BCE ∠∠∴=．在ADC ∆和BEC ∆中AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ACD BCE SAS ∴∆≅∆；（3）AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒，理由如下：①当点D 在线段AM 上时，如图1，由（2）可知ACD BCE ≅∆∆，则30CBE CAD ∠=∠=︒，又60ABC ∠=︒，603090CBE ABC ∴∠+∠=︒+︒=︒，ABC ∆是等边三角形，线段AM 为BC 边上的中线AM ∴平分BAC ∠，即11603022BAM BAC ∠=∠=⨯︒=︒ 903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．②当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2，ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，ACB DCB DCB DCE ∴∠+∠=∠+∠，ACD BCE ∠∠∴=，在ACD ∆和BCE ∆中AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，30CBE CAD ∴∠=∠=︒，同理可得：30BAM ∠=︒，903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．③当点D 在线段MA 的延长线上时，ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，60ACD ACE BCE ACE ∴∠+∠=∠+∠=︒，ACD BCE ∠∠∴=，在ACD ∆和BCE ∆中AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，CBE CAD ∴∠=∠，同理可得：30CAM ∠=︒150CBE CAD ∴∠=∠=︒30CBO ∴∠=︒，∵30BAM ∠=︒，903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．综上，当动点D 在直线AM 上时，AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒．【点睛】此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形三线合一的性质，解题中注意分类讨论的思想解题.9．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）当AC =2BD 时，对于满足条件的任意点N ，AN =CP 始终成立，证明见解析．【解析】【分析】（1）由三角形的内角和定理可求∠ACN=∠AMC=135°-∠ACM ；（2）过点N 作NE ⊥AC 于E ，由“AAS ”可证△NEC ≌△CDM ，可得NE=CD ，由三角形面积公式可求解；（3）过点N 作NE ⊥AC 于E ，由“SAS ”可证△NEA ≌△CDP ，可得AN=CP ．【详解】（1）∵∠BAC=45°，∴∠AMC=180°﹣45°﹣∠ACM=135°﹣∠ACM ．∵∠NCM=135°，∴∠ACN=135°﹣∠ACM ，∴∠ACN=∠AMC ；（2）过点N 作NE ⊥AC 于E ，∵∠CEN=∠CDM=90°，∠ACN=∠AMC ，CM=CN ，∴△NEC ≌△CDM （AAS ），∴NE=CD ，CE=DM ；∵S 112=AC•NE ，S 212=AB•CD ， ∴12S AC S AB=； （3）当AC=2BD 时，对于满足条件的任意点N ，AN=CP 始终成立，理由如下：过点N 作NE ⊥AC 于E ，由（2）可得NE=CD ，CE=DM ．∵AC=2BD ，BP=BM ，CE=DM ，∴AC ﹣CE=BD+BD ﹣DM ，∴AE=BD+BP=DP ．∵NE=CD ，∠NEA=∠CDP=90°，AE=DP ，∴△NEA ≌△CDP （SAS ），∴AN=PC ．【点睛】本题三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形面积公式等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．10．（1）详见解析；（2）①详见解析；②详见解析．【解析】【分析】（1）本题考查理解题意能力，按照题目所述依次作图即可．（2）①本题考查线段和最短问题，需要通过垂直平分线的性质将所求线段转化为其他等量线段之和，以达到求解目的．②本题考查垂直平分线的判定以及全等三角形的证明，继而利用角的平分线性质即可得出结论．【详解】（1）补全图形，如图1所示（2）①如图2，连接BD，P为BD与AE的交点∵等边△ACD，AE⊥CD∴PC=PD,PC+PB最短等价于PB+PD最短故B,D之间直线最短，点P即为所求．②证明：连接DE，DF．如图3所示∵△ABC，△ADC是等边三角形∴AC＝AD，∠ACB＝∠CAD＝60°∵AE⊥CD∴∠CAE＝12∠CAD＝30°∴∠CEA＝∠ACB﹣∠CAE＝30°∴∠CAE＝∠CEA∴CA＝CE∴CD垂直平分AE∴DA＝DE∴∠DAE＝∠DEA∵EF⊥AF，∠EAF＝45°∴∠FEA＝45°∴∠FEA＝∠EAF∴FA ＝FE ，∠FAD ＝∠FED∴△FAD ≌△FED （SAS ）∴∠AFD ＝∠EFD∴点D 到AF ，EF 的距离相等．【点睛】本题第一问作图极为重要，要求对题意有较深的理解，同时对于垂直平分线以及角平分线的定义要清楚，能通过题目文字所述转化为考点，信息转化能力需要多做题目加以提升．11．（1）6；8；24；（2）存在 2.4t =时，使得△ODP 与△ODQ 的面积相等；（3）∠GOD+∠ACE=∠OHC ，见解析【解析】【分析】（1）利用非负性即可求出a ，b 即可得出结论,即可求出△ABC 的面积；（2）先表示出OQ ，OP ，利用那个面积相等，建立方程求解即可得出结论；（3）先判断出∠OAC=∠AOD ，进而判断出OG ∥AC ，即可判断出∠FHC=∠ACE ，同理∠FHO=∠GOD ，即可得出结论．【详解】解：(1) 解：（1）∵b 80-=， ∴a-6=0，b-8=0，∴a=6，b=8，∴A （0，6），C （8，0）；∴S △ABC=6×8÷2=24,故答案为（0，6），（8，0）； 6；8；24(2) ∵114222ODQ D S OQ x t t ∆=⋅=⋅⋅= 11(82)312322ODP D S OP y t t ∆=⋅=⋅-⋅=- 由2123t t =-时, 2.4t =∴存在 2.4t =时,使得△ODP 与△ODQ 的面积相等(3) ）∴2∠GOA+∠ACE=∠OHC ，理由如下：∵x 轴⊥y 轴，∴∠AOC=∠DOC+∠AOD=90°∴∠OAC+∠ACO=90°又∵∠DOC=∠DCO∴∠OAC=∠AOD∵y 轴平分∠GOD∴∠GOA=∠AOD∴∠GOA=∠OAC∴OG ∥AC ，如图，过点H 作HF ∥OG 交x 轴于F ，∴HF ∥AC∴∠FHC=∠ACE同理∠FHO=∠GOD ，∵OG ∥FH ，∴∠GOD=∠FHO ，∴∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC即∠GOD+∠ACE=∠OHC ，∴2∠GOA+∠ACE=∠OHC ．∴∠GOD+∠ACE=∠OHC ．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了非负性的性质，三角形的面积公式，角平分线的定义，平行线的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．12．（1）见解析；（2）30ABE CDE ∠-∠=︒【解析】【分析】（1）根据聪聪提供的辅助线作法进行证明，先由平行线的性质得：AGC MCD ∠=∠，90F GAF ∠+∠=︒，再证明MCD BAG ∠=∠，可得结论；（2）根据平行线的性质和三角形的外角性质可得结论．【详解】解：（1）证明：如图2，过A 作//AG FM ，交CD 于G ，AGC MCD ∴∠=∠，90F GAF ∠+∠=︒，FN FM ⊥，90F ∴∠=︒，90GAF ∴∠=︒，90FAB MCD ∠-∠=︒，FAB GAF MCD BAG ∴∠-∠=∠=∠，//AB CD ∴；（2）解：30ABE CDE ∠-∠=︒，理由如下：如图3，//AB CD ，BPD ABE ∴∠=∠，BPD CDE BED ∠=∠+∠，30BED ∠=︒，30BPD CDE ∴∠-∠=︒，∴30ABE CDE ∠-∠=︒．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定以及三角形外角性质的运用，熟练掌握平行线的性质和判定是解决问题的关键．13．（1）70°，40°，BC +DC =CE ；（2）①α=β；②当点D 在BC 上移动时，α=β或α+β=180°；（3）∠ACB =60°．【解析】【分析】（1）证△BAD ≌△CAE ，推出∠B=∠ACE ，根据三角形外角性质和全等三角形的性质求出即可；（2）①证△BAD ≌△CAE ，推出∠B=∠ACE ，根据三角形外角性质求出即可；②分三种情况：（Ⅰ）当D 在线段BC 上时，证明△ABD ≌△ACE （SAS ），则∠ADB=∠AEC ，∠ABC=∠ACE ，推出∠DAE+∠DCE=180°，即α+β=180°；（Ⅱ）当点D 在线段BC 反向延长线上时，α=β，同理可证明△ABD ≌△ACE （SAS ），则∠ABD=∠ACE ，推出∠BAC=∠DCE ，即α=β；（Ⅲ）当点D 在线段BC 的延长线上时，由①得α=β；（3）当点D 在线段BC 的延长线上或在线段BC 反向延长线上移动时，α=β，由CE ∥AB ，得∠ABC=∠DCE ，推出∠ABC=∠BAC ，易证∠ABC=∠ACB=∠BAC ，则△ABC 是等边三角形，得出∠ACB=60°；当D 在线段BC 上时，α+β=180°，由CE ∥AB ，得∠ABC+∠DCE=180°，推出∠ABC=∠BAC ，易证∠ABC=∠ACB=∠BAC ，则△ABC 是等边三角形，得出∠ACB=60°．【详解】（1）如图1所示：∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE．在△BAD和△CAE中，AB ACBAD CAE AD AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE=∠B12=（180°﹣40°）=70°，BD=CE，∴BC+DC=CE．∵∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE，∴∠BAC=∠DCE．∵∠BAC=40°，∴∠DCE=40°．故答案为：70°，40°，BC+DC=CE；（2）①当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间的数量关系是α=β．理由如下：∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE．在△BAD和△CAE中，AB ACBAD CAE AD AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠B=∠ACE．∵∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE，∴∠BAC=∠DCE．∵∠BAC=α，∠DCE=β，∴α=β；②分三种情况：（Ⅰ）当D在线段BC上时，α+β=180°，如图2所示．理由如下：同理可证明：△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ADB=∠AEC，∠ABC=∠ACE．∵∠ADC+∠ADB=180°，∴∠ADC+∠AEC=180°，∴∠DAE+∠DCE=180°．∵∠BAC=∠DAE=α，∠DCE=β，∴α+β=180°；（Ⅱ）当点D在线段BC反向延长线上时，α=β，如图3所示．理由如下：同理可证明：△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE．∵∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠ABD=∠ACD+∠BAC，∴∠ACD+∠DCE=∠ACD+∠BAC，∴∠BAC=∠DCE．∵∠BAC=α，∠DCE=β，∴α=β；（Ⅲ）当点D在线段BC的延长线上时，如图1所示，α=β；综上所述：当点D在BC上移动时，α=β或α+β=180°；（3）∠ACB=60°．理由如下：∵当点D在线段BC的延长线上或在线段BC反向延长线上移动时，α=β，即∠BAC=∠DCE．∵CE∥AB，∴∠ABC=∠DCE，∴∠ABC=∠BAC．∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB =∠BAC ，∴△ABC 是等边三角形，∴∠ACB =60°；∵当D 在线段BC 上时，α+β=180°，即∠BAC +∠DCE =180°．∵CE ∥AB ，∴∠ABC +∠DCE =180°，∴∠ABC =∠BAC ．∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB =∠BAC ，∴△ABC 是等边三角形，∴∠ACB =60°；综上所述：当CE ∥AB 时，若△ABD 中最小角为15°，∠ACB 的度数为60°．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的外角性质和多边形内角和等知识．本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．14．（1）详见解析；（2）①详见解析；②PB PC PD BE ++=，理由详见解析【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得出BC=AC ，CE=CD ，∠ACB=∠DCE=60°，进而得出∠BCE=∠ACD ，判断出BCE ACD ≌（SAS ），即可得出结论；（2）①同（1）的方法判断出≌ACD BCE （SAS ），ABD CBF ≌（SAS ），即可得出结论； ②先判断出∠APB=60°，∠APC=60°，在PE 上取一点M ，使PM=PC ，证明CPM △是等边三角形， 进而判断出PCD MCE ≌（SAS ），即可得出结论．【详解】（1）证明：∵ABC 和DCE 都是等边三角形，∴BC=AC ，CE=CD ，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ABC+∠ACE=∠DCE+∠ACE ，即∠BCE=∠ACD ，∴BCE ACD ≌（SAS ），∴BE=AD ；（2）①证明：∵ABC 和DCE 是等边三角形，∴AC=BC ，CD=CE ，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD ，即∠ACD=∠BCE ，∴≌ACD BCE （SAS ），∴AD=BE ，同理：ABD CBF≌（SAS），∴AD=CF，即AD=BE=CF；②解：结论：PB+PC+PD=BE，理由：如图2，AD与BC的交点记作点Q，则∠AQC=∠BQP，由①知，≌ACD BCE，∴∠CAD=∠CBE，在ACQ中，∠CAD+∠AQC=180°-∠ACB=120°，∴∠CBE+∠BQP=120°，在BPQ中，∠APB=180°-（∠CBE+∠BQP）=60°，∴∠DPE=60°，同理：∠APC=60°，60,CPE∴∠=︒∠CPD=120°，在PE上取一点M，使PM=PC，∴CPM△是等边三角形，∴CP CM PM==，∠PCM=∠CMP=60°，∴∠CME=120°=∠CPD，∵CDE△是等边三角形，∴CD=CE，∠DCE=60°=∠PCM，∴∠PCD=∠MCE，∴PCD MCE≌（SAS），∴PD=ME，∴BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键．15．（1）40°25°；（2）12∠=∠E A(或2E∠=∠Ａ)（3）F∠=()1902A D∠+∠-︒【解析】【分析】（1）先根据两角平分线写出对应的等式关系，再分别写出两个三角形内角和的等式关系，最后联立两等式化解，将A ∠的角度带入即可求解；（2）由（1）可得，即可求解；（3）在DCB ∠与ABE ∠的平分线相交于点F ，可知1==2BCF DCF BCD ∠∠∠12EBF ABE ∠=∠，又因为//BF CD ，两直线平行内错角相等，得出F DCF ∠=∠，再根据三角形一外角等于不相邻的两个内角的和，得出+EBF F BCF ∠=∠∠，再由四边形的内角和定理得出++360ABC BCD A D ∠+∠∠∠=，最后在FBC 中：++180F FBC BCF ∠∠∠=，代入整理即可得出结论．【详解】解：（1）由题可知：BE 为DBA ∠的角平分线，CE 为BCA ∠的角平分线，∴DBA ∠=2EBA ∠=2EBD ∠，BCA ∠=2BCE ∠，∴1802ABC EBA ∠=-∠，三角形内角和等于180，∴在ABC 中：+180A ABC BCA ∠∠+∠=，即：+(1802)2180A EBA BCE ∠-∠+∠=，220A EBA BCE ∠-∠+∠=①，在EBC 中：+180E EBC BCE ∠∠+∠=，即：+180-180E EBA BCE ∠∠+∠=（），-0E EBA BCE ∠∠+∠=②，综上所述联立①②，由①-②×2可得 ：22-2-0A EBA BCE E EBA BCE ∠-∠+∠∠∠+∠=（），22-2+2-20A EBA BCE E EBA BCE ∠-∠+∠∠∠∠=，-20A E ∠∠=，1=2E A ∠∠， 当80A =∠，则E ∠=40；当50A ∠=，则E ∠=25；故答案为40，25；（2）由（1）知：12∠=∠E A (或2A E ∠=∠)； （3）∵DCB ∠与ABE ∠的平分线相交于点F ， ∴1==2BCF DCF BCD ∠∠∠，12EBF ABE FBA ∠=∠=∠ ， 又∵//BF CD ，∴F DCF ∠=∠（两直线平行，内错角相等）BCF =∠，。
初一数学压轴题
一．解答题（共19小题）1．（2013•扬州）如果10b=n，那么b 为n 的劳格数，记为b=d（n），由定义可知：10b=n 与b=d（n）所表示的b、n 两个量之间的同一关系．（1）根据劳格数的定义，填空：d（10）= ，d（10﹣2）= ；（2）劳格数有如下运算性质：若m、n 为正数，则d（mn）=d（m）+d（n），d（）=d（m）﹣d（n）．根据运算性质，填空：= （a 为正数），若d（2）=0.3010，则d（4）= ，d（5）= ，d（0.08）= ；（32．（2012•安庆一模）先阅读下列材料，再解答后面的问题．一般地，若a n=b（a>0 且a≠1，b>0），则n 叫做以a 为底b 的对数，记为log a b（即log a b=n）．如34=81，则4 叫做以3 为底81 的对数，记为log381（即log381=4）．（1）计算以下各对数的值：log24= ，log216= ，log264= ．（2）观察（1）中三数4、16、64 之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264 之间又满足怎样的关系式；（3）猜想一般性的结论：log a M+log a N= （a>0且a≠1，M>0，N>0），并根据幂的运算法则：a m•a n=a m+n以及对数的含义证明你的猜想．3．（2012•沈阳模拟）认真阅读材料，然后回答问题：我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：（a+b）1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，… 下面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式：上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：（1）多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数；（2）请你预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和．（3）结合上述材料，推断出多项式（a+b）n（n 取正整数）的展开式的各项系数之和为S，（结果用含字母n 的代数式表示）．4．（2009•佛山）阅读材料：把形如ax2+bx+c 的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+ x2是x2﹣2x+4 的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方；（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c 的值．5．（2007•东营）根据以下10个乘积，回答问题：11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．（1）试将以上各乘积分别写成一个“□2﹣∅2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；（2）将以上10 个乘积按照从小到大的顺序排列起来；（3）若用a1b1，a2b2，…，anbn 表示n 个乘积，其中a1，a2，a3，…，a n，b1，b2，b3，…，b n 为正数．试由（1）、（2）猜测一个一般性的结论．（不要求证明）6．（2006•浙江）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4=22﹣02，12=42 ﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20 都是“神秘数”（1）28 和2012 这两个数是“神秘数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2 和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是 4 的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差（k 取正数）是神秘数吗？为什么？8．（2015•于洪区一模）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（①1当）点如果D 在AB线=段AC B，C∠上B时AC（=与90点°，B 不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为，线段CF、BD的数量关系为；②当点D 在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB 满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并9．（2015•菏泽）如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．（1）如图1，过点A 作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF 的形状并证明；（2）如图2，E 是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．10．（2015•铁岭一模）已知：△ABC 中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BQ=AC，点F在CE的延长线上，CF=AB，11．（2013•庐阳区校级模拟）如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE 拼在一起（图1）．△ABD 不动，（1）若将△ACE 绕点A 逆时针旋转，连接DE，M 是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB=MC．（2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图3），判断并直接写出M （B3）、在MC（的2）数中量，关若系∠．C AE 的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由．12．（2012•昌平区模拟）（1）如图，在四边形ABCD 中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F 分别是边BC、CD 上的点，且∠EAF= ∠BAD ． 求证：EF=BE+FD ； （2）如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B+∠D=180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF= ∠BAD ，（ 1） 中的结论是否仍然成立？（3）如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B+∠ADC=180°，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且∠EAF= ∠BAD ，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．1（3．1（）2直01线1•B 泰F 安垂）直已于知直：线在C △EA 于B 点C 中F ，，交ACC=DBC 于，点∠GA （CB 如=9图0°1，），点求D 证是：AABE 的=C 中G 点；， 点E 是AB 边上一点．2）直线AH 垂直于直线CE ，垂足为点H ，交CD 的延长线于点M （如图2），找出图中与BE 相等的线段，并证明．14．（ 2005•扬州）（本题有 3 小题，第（1）小题为必答题，满分 5 分；第（2）、（3）小题为选答题，其中，第（2）小 题满分 3 分，第（3）小题满分 6 分，请从中任选 1 小题作答，如两题都答，以第（2）小题评分．） 在（1△）AB 当C 直中线，M ∠N AC 绕B 点=90C °，旋A 转C 到=B 图C ，1的直位线置M 时N ，经求过证点：C （①2△）A 当DC 直≌线△C M EB N ；绕②点D C E 旋=A 转D 到+B 图E ；2 的位置时，求证：DE=AD ﹣BE ；（3）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加 15．（ 2012•淮安）阅读理解如图 1，△ABC 中，沿∠BAC 的平分线 AB 1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B 1A 1C 的平分线 A 1B 2折叠，剪掉 重复部分；…；将余下部分沿∠B n A n C 的平分线 A n B n+1折叠，点B n 与点C 重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰 小丽展示了确定∠BAC 是△ABC 的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC 顶角∠BAC 的平分线AB 1 好重合，∠BAC 是△ABC 的好角．折叠，点B 与点C 重合；情形二：如图3，沿∠BAC 的平分线AB 1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B 1A 1C 的平，且 AD ⊥MN 于 D ，BE ⊥MN 于 E ．分（1线）A△1A B B2折C 中叠，，∠此B时=2点∠C B，1与经点过C两重次合折．叠，∠BAC 是不是△ABC 的好角？（填“是”或“不是”）．2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC 是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B>∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n 次折叠∠BAC 是△ABC 的好角，则∠B 与∠C（不妨设∠B>∠C）之间的等量关系为（3 ）小丽找到一．个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．16．（2011•房山区一模）已知：等边三角形ABC1）如图1，P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°．试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系，并证明你的猜想；2）如图2，P 为等边△ABC 内一点，且∠APD=120°．求证：PA+PD+PC>BD．17．（2010•丹东）如图，已知等边三角形ABC 中，点D，E，F 分别为边AB，AC，BC的中点，M 为直线BC上一动点，△DMN 为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN 也随之整体移动）．（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图2，当点M 在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2 证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M 在点C 右侧时，请你在图 3 中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．18．（2006•西岗区）如图，以△ABC 的边AB、AC为直角边向外作等腰直角△ABE和△ACD，M是BC的中点，请你探究线段DE 与AM 之间的关系．说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写 3 步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．①画出将△ACM 绕某一点顺时针旋转180°后的图形；②∠BAC=90°（如图）附加题：如图，若以△ABC 的边AB、AC为直角边，向内作等腰直角△ABE和△ACD，其它条件不变，试探究线段DE与AM之间的关系．19．（2006•大连）如图1，Rt△ABC中AB=AC，点D、E是线段AC上两动点，且AD=EC，AM垂直BD，垂足为M，AM的延长线交BC于点N，直线BD与直线NE相交于点F．试判断△DEF 的形状，并加以证明．说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写 3 步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或者更换已知条件，完成你的证明．1、画出将△BAD 沿BA方向平移BA长，然后顺时针旋转90°后图形；△DEF 的形状，并说明理由．2016 年06 月26 日842051969 的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共19小题）1．（2013•扬州）如果10b=n，那么b 为n 的劳格数，记为b=d（n），由定义可知：10b=n 与b=d（n）所表示的b、n 两个量之间的同一关系．（1）根据劳格数的定义，填空：d（10）= 1 ，d（10﹣2）= ﹣2 ；（2）劳格数有如下运算性质：若m、n 为正数，则d（mn）=d（m）+d（n），d（）=d（m）﹣d（n）．根据运算性质，填空：= 3 （a 为正数），若d（2 ）=0.3010 ，则d（4 ）= 0.6020 ，d（5 ）= 0.6990 ，d（0.08）= ﹣1.0970 ；（3考点】整式的混合运算；反证法．菁优网版权所有专题】压轴题．分析（1）根据定义可知，d（10）和d（10﹣2）就是指10 的指数，据此即可求解；（2）根据d（a3）=d（a•a•a）=d（a）+d（a）+d（a）即可求得的值；（3）通过9=32，27=33，可以判断d（3）是否正确，同理以依据5=10÷2，假设d（5）正确，可以求得d（2）的值，即可通过d（8），d（12）作出判断．【解答】解：（1）d（10）=1，d（10﹣2）=﹣2；故答案为：1，﹣2；表中也有三个劳格数是错误的，与题设矛盾．∴d（5）=a+c．2）d（12）=d（3）+2d（2）=2﹣b﹣2c．【点评】本题考查整式的运算，正确理解规定的新的运算法则是关键．2．（2012•安庆一模）先阅读下列材料，再解答后面的问题．=3；因为d（2）=0.3010故 d （ 4 ）=d（ 2 ）+d（2 ）=0.6020 ，d（5）=d（10）﹣d（2）=1﹣0.3010=0.6990，d（0.08）=d（8×10﹣2）=3d（2）+d（10﹣2）=﹣1.0970；（3）若d（3）≠2a﹣b，则d（9）=2d（3）≠4a﹣2b，d（27）=3d（3）≠6a﹣3b，从而表中有三个劳格数是错误的，与题设矛盾，∴若d（5）≠a+c，则d（2）=1﹣d（5）≠1﹣a﹣c，d∴（d（6）8）=d=（3d3（）2+）d（≠32﹣）3≠a1﹣+a3﹣c，b﹣c，一般地，若a n=b（a>0 且a≠1，b>0），则n 叫做以a 为底b 的对数，记为log a b（即log a b=n）．如34=81，则4 叫做以3 为底81 的对数，记为log381（即log381=4）．（1）计算以下各对数的值：log24= 2 ，log216= 4 ，log264= 6 ．（2）观察（1）中三数4、16、64 之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264 之间又满足怎样的关系式；（3）猜想一般性的结论：log a M+log a N= log a（MN）（a>0 且a≠1，M>0，N>0），并根据幂的运算法则：a m•a n=a m+n 以及对数的含义证明你的猜想．【考点】同底数幂的乘法．菁优网版权所有【专题】压轴题；新定义．【分析（1）根据材料叙述，结合22=4，24=16，26=64即可得出答案；（2）根据（1）的答案可得出log24、log216、log264 之间满足的关系式；（3）设log a M=b1，log a N=b2，则a b1=M，a b2=N，分别表示出MN 及b1+b2 的值，即可得出猜想．【解答】解：（1）log24=2，log216=4，log264=6；（2）log24+log216=log264；（3）猜想log a M+log a N=log a（MN）．证明：设log a M=b1，log a N=b2，则a b1=M，a b2=N，故可得MN=a b1•a b2=a b1+b2，b1+b2=log a（MN），即log a M+log a N=log a（MN）．【点评】本题考查了同底数幂的乘法运算，题目出得比较新颖，解题思路以材料的形式给出，需要同学们仔细阅读，理解并灵活运用所给的信息．3．（2012•沈阳模拟）认真阅读材料，然后回答问题：我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：（a+b）1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，…下面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式：上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：（1）多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数；（2）请你预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和．（3）结合上述材料，推断出多项式（a+b）n（n 取正整数）的展开式的各项系数之和为S，（结果用含字母n 的代数式表示）．【考点】完全平方公式．菁优网版权所有【专题】压轴题；阅读型；规律型．【分析（1）由题意可求得当n=1，2，3，4，…时，多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式，第三项的系数是多少，然后找规律，即可求得答案；（2）首先求得当n=1，2，3，4…时，多项式（a+b）n展开式的各项系数之和，即可求得答案；（3）结合（2），即可推断出多项式（a+b）n（n 取正整数）的展开式的各项系数之和．【解答】解：（1）∵当n=1 时，多项式（a+b）1的展开式是一次二项式，此时第三项的系数为：0= ，当n=2 时，多项式（a+b ）2的展开式是二次三项式，此时第三项的系数为：1= ，当n=3 时，多项式（a+b ）3的展开式是三次四项式，此时第三项的系数为：3= ，当n=4 时，多项式（a+b ）4的展开式是四次五项式，此时第三项的系数为：6= ，∴多项式（a+b）n的展开式是一个n 次n+1 项式，第三项的系数为：；2）预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和为：2n；当（3n）=2∵时当，n=多1项时式，（多a项+b式）（2展a+开b）式1的展各开项式系的数各之项和系为数：之1和+2为+1：=14+=122=，2= 21，当n=3 时，多项式（a+b ）3展开式的各项系数之和为：1+3+3+1=8=23，当n=4 时，多项式（a+b）4展开式的各项系数之和为：1+4+6+4+1=16=24，4．（2009•佛山）阅读材料：把形如ax2+bx+c 的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+ x2是x2﹣2x+4 的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+2 三种不同形式的配方；（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c 的值．【考点】完全平方公式．菁优网版权所有【专题】压轴题；阅读型．【分析（1）（2）本题考查对完全平方公式的灵活应用能力，由题中所给的已知材料可得x2﹣4x+2和a2+ab+b2的配方也可分别常数项、一次项、二次项三种不同形式；（3）通过配方后，求得a，b，c 的值，再代入代数式求值．【解答】解：（1）x2﹣4x+2 的三种配方分别为：x2﹣4x+2=（x﹣2）2﹣2，x2﹣4x+2=（x+ ）2﹣（2 +4）x，x2﹣4x+2=（x﹣）2﹣x2；（2）a2+ab+b2=（a+b）2﹣ab，a2+ab+b2=（a+ b）2+ b2；3）a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4，（a2﹣ab+ b2）+（b2﹣3b+3）+（c2﹣2c+1），（a2﹣ab+ b2）+ （b2﹣4b+4）+（c2﹣2c+1），a﹣b）2+ （b﹣2）2+（c﹣1）2=0，从而有a﹣b=0，b﹣2=0，c﹣1=0，即a=1，b=2，c=1，【点评】本．题考查了根据完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2进行配方的能力．5．（2007•东营）根据以下10个乘积，回答问题：11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．（1）试将以上各乘积分别写成一个“□2﹣∅2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；（2）将以上10 个乘积按照从小到大的顺序排列起来；（3）若用a1b1，a2b2，…，a n b n 表示n 个乘积，其中a1，a2，a3，…，a n，b1，b2，b3，…，b n 为正数．试由（1）、（2）猜测一个一般性的结论．（不要求证明）【考点】平方差公式．菁优网版权所有【专题】压轴题．【分析】利用两数的和与这两数的差的积，就是它们的平方差．如11×29；可想几加几等于29，几减几等于11，可得20+9 和20﹣9，可得11×29=202﹣92，同理思考其它的．【解答】解：（1）11×29=202﹣92；12×28=202﹣82；13×27=202﹣72；14×26=202﹣62；15×25=202﹣52；16×24=202﹣42；17×23=202﹣32；18×22=202﹣22；19×21=202﹣12；20×20=202﹣02．（ 4 分）例如，11×29；假设11×29=□2﹣○2，因为□2﹣○2=（□+○）（□﹣○）；所以，可以令□﹣○=11，□+○=29．解得，□=20，○=9．故11×29=202﹣92．（ 5 分）（或11×29=（20﹣9）（20+9）=202﹣92．5 分）（2）这10 个乘积按照从小到大的顺序依次是：11×29<12×28<13×27<14×26<15×25<16×24<17×23<18×22<19×21 <20×20．（7 分）（3）①若a+b=40，a、b 是自然数，则ab≤202=400．（8 分）②若a+b=40，则ab≤202=400．（8 分）③若a+b=m，a、b 是自然数，则ab≤．（9 分）④若a+b=m，则ab≤．（9 分）⑤若a1+b1=a2+b2=a3+b3=a n+b n=40．且|a1﹣b1|≥|a2﹣b2|≥|a3﹣b3|≥≥|a n﹣b n|，则a1b1≤ a2b2≤a3b3 ≤≤a n b n．（10 分）⑥若a1+b1=a2+b2=a3+b3=a n+b n=m．且|a1﹣b1|≥|a2﹣b2|≥|a3﹣b3|≥…≥|a n﹣b n|，则a1b1≤ a2b2≤a3b3 ≤…≤ a n b n．（10 分）说明：给出结论①或②之一的得（1分）；给出结论③或④之一的得（2 分）；给出结论⑤或⑥之一的得（3 分）．【点评】此题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式．6．（2006•浙江）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4=22﹣02，12=42 ﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20 都是“神秘数”（1）28 和2012 这两个数是“神秘数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2 和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是 4 的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差（k 取正数）是神秘数吗？为什么？【考点】平方差公式．菁优网版权所有【专题】压轴题；新定义．【分析（1）试着把28、2012 写成平方差的形式，解方程即可判断是否是神秘数；（2）化简两个连续偶数为2k+2 和2k的差，再判断；（3）设两个连续奇数为2k+1 和2k﹣1，则（2k+1）2﹣（2k﹣1）2=8k=4×2k，即可判断两个连续奇数的平方差不是神秘数．【解答】解：（1）设28 和 2012 都是“神秘数”，设28 是x 和 x ﹣2两数的平方差得到，则 x 2﹣（x ﹣2）2=28，即解得28：=8x 2=﹣8，62∴，x ﹣2=6，设 2012 是 y 和 y ﹣ 2 两数的平方差得到，则 y 2﹣（y ﹣2）2=2012，解得：y=504，y ﹣2=502，即 2012=5042 ﹣5022 ， 所以 28，2012 都是神秘数．（2）（ 2k+2）2﹣（2k ）2=（2k+2﹣2k ）（ 2k+2+2k ）=4（2k+1），∴由 2k+2 和 2k 构造的神秘数是 4 的倍数，且是奇数倍．（3）设两个连续奇数为 2k+1 和 2k ﹣1， 则（2k+1）2﹣（2k ﹣1）2=8k=4×2k ， 即：两个连续奇数的平方差是 4的倍数，是偶数倍，不满足连续偶数的神秘数为 4的奇数倍这一条件．【点评】续此奇题数首的先平考方查差了不阅是读神能秘力数、．探 究推理能力．对知识点的考查，主要是平方差公式的灵活应用．7．（ 2007•淄博）根据以下 10个乘积，回答问题：11×29； 12×28； 13×27； 14×26； 15×25；16×24； 17×23； 18×22； 19×21； 20×20． （1）试将以上各乘积分别写成一个“□2﹣○2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；（2）将以上 10 个乘积按照从小到大的顺序排列起来；（3）试由（1）、（2）猜测一个一般性的结论．（不要求证明）【考点】整式的混合运算；绝对值．菁优网版权所有 【专题】压轴题；规律型．【分析 （1）根据要求求出两数的平均数，再写成平方差的形式即可． （2）减去的数越大，乘积就越小，据此规律填写即可．（3）根据排列的顺序可得，两数相差越大，积越小． 【解答】解：（1）11×29=202﹣92；12×28=202﹣82；13×27=202﹣72； 14×26=202﹣62；15×25=202﹣52；16×24=202﹣42；17×23=202﹣32；18×22=202﹣22；19×21=202﹣12；20×20=202﹣02 …（4 分） 例如，11×29；假设 11×29=□2﹣○2， 因为□2﹣○2=（□+○）（ □﹣○）； 所以，可以令□﹣○=11，□+○=29．解得，□=20，○=9．故 11×29=202﹣92．（或 11×29=（20﹣9）（ 20+9）=202﹣92（2）这 10 个乘积按照从小到大的顺序依次是：11×29<12×28<13×27<14×26<15×25<16×24<17×23<18×22<19×21 <20×20（3）①若 a+b=40，a ，b 是自然数，则 ab ≤202=400．②若 a+b=40，则 ab ≤202=400． …（8 分） ③若 a+b=m ，a ，b 是自然数，则 ab ≤ ．④ 若 a+b=m ，则 ab ≤ ．⑤若a，b的和为定值，则ab的最大值为．⑥若a1+b1=a2+b2=a3+b3=…=a n+b n=40．且|a1﹣b1|≥|a2﹣b2|≥|a3﹣b3|≥…≥|a n﹣b n|，则a1b1≤ a2b2≤a3b3 ≤…≤ a n b n．…（10 分）⑦若a1+b1=a2+b2=a3+b3=…=a n+b n=m．且|a1﹣b1|≥|a2﹣b2|≥|a3﹣b3|≥…≥|a n﹣b n|，则a1b1≤ a2b2≤a3b3 ≤…≤ a n b n．⑧若a+b=m，a，b 差的绝对值越大，则它们的积就越小．说明：给出结论①或②之一的得（1分）；给出结论③、④或⑤之一的得（2 分）；给出结论⑥、⑦或⑧之一的得（3 分）．点评】本题主要考查整式的混合运算，找出规律是解答本题的关键．8．（2015•于洪区一模）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF．（①1当）点如果D 在AB线=段AC B，C∠上B时AC（=与90点°，B 不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为垂直，线段CF、BD 的数量关系为相等；②当点D 在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB 满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并考点】全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有专题】压轴题；开放型．分析（1）当点 D 在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF 的性质可推出△DAB≌△FAC，所以CF=BD，∠（A2C）F当=∠A BCDB=．4结5°时合，∠过BA点C=A90作°，AAGB⊥=AC，交得C到B∠的B延CF长=线∠A于C点B+G∠，A则CF∠=G9A0°C．=即90°C，F可⊥推BD出．∠ ACB=∠AGC，所以AC=AG，【解答】证可明知：（C1F）⊥①BD正．方形ADEF中，AD=AF，∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，又∵AB=AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF=BD，∠B=∠ACF，由正方形ADEF 得AD=AF，∠DAF=90 度．∵∠BAC=90°，∴∠DAF=∠BAC，∴∠DAB=∠FAC，又∵AB=AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF=BD，∠ACF=∠ABD．∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=45°，∴∠ACF=45°，∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90 度．即CF⊥BD．（2）当∠ACB=45°时，CF⊥BD（如图）．理由：过点A 作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC=90°，∵∠ACB=45°，∠AGC=90°﹣∠ACB，∴∠AGC=90°﹣45°=45°，∴∠ACB=∠AGC=45°，∴AC=AG，∵∠DAG=∠FAC（同角的余角相等），AD=AF，∴△GAD≌△CAF，∴∠ACF=∠AGC=45°，∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，即CF⊥BC．【点评】本题考查三角形全等的判定和直角三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．9．（2015•菏泽）如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．（1）如图1，过点A 作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF 的形状并证明；（2）如图2，E 是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，考点】全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有专题】压轴题．分析（1）利用SAS 证明△AFD 和△BDC 全等，再利用全等三角形的性质得出FD=DC，即可判断三角形的形状；2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，利用SAS证明△AFD 和△BDC全等，再利用全等三角形的性质得【解答】C解，：∠（F1D）C△=9C0D°，F∵AF⊥AD，∠ABC=90°，∴在∠△FFAADD=∠与D△BDCB，C 中，，∴△FAD≌△DBC（SAS），∴FD=DC，∴△CDF 是等腰三角形，∵△FAD≌△DBC，∴∠FDA=∠DCB，∵∠BDC+∠DCB=90°，∴∠BDC+∠FDA=90°，∴△CDF 是等腰直角三角形；（2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，如图，∵AF⊥AD，∠ABC=90°，∴在∠△F F A A D D=∠与D△B D C B，C 中，，∴△FAD≌△DBC（SAS），∴FD=DC，∴△CDF 是等腰三角形，∵△FAD≌△DBC，∴∠FDA=∠DCB，∵∠BDC+∠DCB=90°，∴∠BDC+∠FDA=90°，∴△CDF 是等腰直角三角形，∴∠FCD=45°，∵AF∥CE，且AF=CE，∴四边形AFCE 是平行四边形，∴AE∥CF，∴∠APD=∠FCD=45°．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，等腰直角三角形的判定及性质的运用．解答时证明三角形全等是关键．10．（2015•铁岭一模）已知：△ABC 中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BQ=AC，点F在CE的延长线上，CF=AB，求证：AF⊥AQ．考点】全等三角形的判定与性质．专题】证明题；压轴题．分析】首先证明出∠ABD=∠ACE，再有条件BQ=AC，CF=AB 可得△ABQ≌△ACF，进而得到∠F=∠BAQ，然后【解答】证+∠明FA：E∵=B9D0°、，C可E得分∠别BA是QA+C∠、FAAEB═9边0°上，的进高而，证出AF⊥AQ．∴∠ADB=90°，∠AEC=90°，∴∠ABQ+∠BAD=90°，∠BAC+∠ACE=90°，∴∠ABD=∠ACE，在△ABQ 和△ACF 中，∴△ABQ≌△ACF（SAS），∴∠F=∠BAQ，∵∠F+∠FAE=90°，∴∠BAQ+∠FAE═90°，点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定方法，以及全等三角形的性质定理．11．（2013•庐阳区校级模拟）如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE 拼在一起（图1）．△ABD 不动，（1）若将△ACE 绕点A 逆时针旋转，连接DE，M 是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB=MC．（2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系．（3）在（2）中，若∠CAE 的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理【考点】全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有【专题】证明题；几何综合题；压轴题．【分析（1）连接AM，根据全等三角形的对应边相等可得AD=AE，AB=AC，全等三角形对应角相等可得∠BAD=∠CAE，再根据等腰三角形三线合一的性质得到∠MAD=∠MAE，然后利用“边角边”证明△ABM 和△ACM 全等，根据全等三（2）延长DB、AE相交于E′，延长EC交AD于F，根据等腰三角形三线合一的性质得到BD=BE′，然后求出MB∥AE′，再根据两直线平行，内错角相等求出∠MBC=∠CAE，同理求出MC∥AD，根据两直线平行，同位角相等求出（3）延长BM交CE于F，根据两直线平行，内错角相等可得∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE，然后利用“角角边” ∠证B明C△M M=∠D B B A和D△，M然E后F 全求等出，∠M根B据C=全∠等BC三M角，形再对根应据边等相角等对可等得边M即B可=M得F证，；然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的【解答】证即明可：．（1）如图2，连接AM，由已知得△ABD≌△ACE，∴AD=AE，AB=AC，∠BAD=∠CAE，∵MD=ME，∴∠MAD=∠MAE，∴∠MAD﹣∠BAD=∠MAE﹣∠CAE，即∠BAM=∠CAM，在△ABM 和△ACM 中，，∴△ABM≌△ACM（SAS），∴MB=MC；（2）MB=MC．理由如下：如图3，延长DB、AE相交于E′，延长EC交AD于F，∴BD=BE′，CE=CF，∵M是ED的中点，B是DE′的中点，∴MB∥AE′，∴∠MBC=∠CAE，同理：MC∥AD，∴∠BCM=∠BAD，∵∠BAD=∠CAE，∴∠MBC=∠BCM，∴MB=MC；（3）MB=MC 还成立．如图4，延长BM交CE于F，∵CE∥BD，∴∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE，又∵M是DE的中点，∴MD=ME，在△MDB 和△MEF 中， ，∴△MDB ≌△MEF （AAS ），∴MB=MF ，∵∠ACE=90°，∴∠BCF=90°， ∴MB=MC．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等角对等边的性质，直角三角形斜边上 的中线等于斜边的一半的性质，以及三角形的中位线定理，综合性较强，但难度不大，作辅助线构造出等腰三角形或 全等三角形是解题的关键．12．（ 2012•昌平区模拟）（1）如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD ，∠B=∠D=90°，E 、F 分别是边 BC 、CD 上的点， 且∠EAF= ∠BAD ．求证：EF=BE+FD ；（2）如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B+∠D=180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF= ∠BAD ，（ 1） 中的结论是否仍然成立？3）如图，在四边形ABCD 中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF= ∠BAD，1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．【考点】全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有【专题】证明题；压轴题；探究型．【分析（1）可通过构建全等三角形来实现线段间的转换．延长EB到G，使BG=DF，连接AG．目的就是要证明三角形AGE和三角形AEF全等将EF转换成GE，那么这样EF=BE+DF了，于是证明两组三角形全等就是解题的关键．三角形ABE 和AEF 中，只有一条公共边AE，我们就要通过其他的全等三角形来实现，在三角形ABG和AFD中，已知了一组直角，BG=DF，AB=AD，因此两三角形全等，那么AG=AF，∠1=∠2，那么∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF= ∠BAD．由此就构成了三角形ABE 和AEF 全等的所有条件（SAS），那么就能得出EF=GE 了．（2）思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，只不过证明三角形ABG 和ADF全等中，证明∠ABG=∠ADF 时，用（到3的）等按角照的（补1角）的相等思路，其，他我们的都应该一样通．过因全等此三与角（1形）来的实结现果相完等全线一段样的．转换．就应该在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．根据（1）的证法，我们可得出DF=BG，GE=EF，那么EF=GE=BE﹣BG=BE﹣DF．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的．【解答】证明：（1）延长EB到G，使BG=DF，连接AG．∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，∴△ABG≌△ADF．∴AG=AF，∠1=∠2．∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF= ∠BAD．∴△AEG≌△AEF．∴EG=EF．∵EG=BE+BG．∴EF=BE+FD（2）（1）中的结论EF=BE+FD 仍然成立．（3）结论EF=BE+FD 不成立，应当是EF=BE﹣FD．证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADF．∵AB=AD，∴△ABG≌△ADF．∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF= ∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．∵AE=AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG=EF∵EG=BE﹣BG【点评】﹣本F题D．考查了三角形全等的判定和性质；本题中通过全等三角形来实现线段的转换是解题的关键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联全等三角形．2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．【分析（1）首先根据点D 是AB中点，∠ACB=90°，可得出∠ACD=∠BCD=45°，判断出△AEC≌△CGB，即可得出A（E2=）C根G据垂直的定义得出∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，再根据AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，得出【解答（CA1）M证，明进：而∵证点明D出是BEA=BC中M．点，AC=BC，∠ACB=90°，∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，∴∠CAD=∠CBD=45°，∴∠CAE=∠BCG，又∵BF⊥CE，∴∠CBG+∠BCF=90°，又∵∠ACE+∠BCF=90°，∴在∠△AACEEC=∠和C△BCGG，B 中，∴△AEC≌△CGB（ASA），∴AE=CG，（2）解：BE=CM．证明：∵CH⊥HM，CD⊥ED，∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，∴∠CMA=∠BEC，又∵∠ACM=∠CBE=45°，在△BCE 和△CAM 中，，∴△BCE≌△CAM（AAS），∴BE=CM．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定方法以及全等三角形对应边相等的性质，难度适中．。
数学初一超难压轴题
数学初一超难压轴题一、若a、b、c为实数，且a = x2 - 2y + π/2, b = y2 - 2z + π/3, c = z2 - 2x + π/6，则下列说法正确的是？A. a、b、c都大于0B. a、b、c中至少有一个大于0C. a、b、c都小于0D. a、b、c中至多有一个大于0（答案：B）二、甲、乙两人进行象棋比赛，约定先连胜两局者赢得比赛。
若甲在每局比赛中获胜的概率均为2/3，乙在每局比赛中获胜的概率均为1/3，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得比赛胜利时，比赛进行的局数X的期望是？A. 2B. 5/2C. 8/3D. 3（答案：C）三、已知关于x的方程x2 + 2(k - 1)x + k2 - 1 = 0有两个实数根x1和x2。
若x1和x2满足0 < x1 < 1 < x2 < 2，则实数k的取值范围是？A. -1 < k < 0B. 0 < k < 1C. 1 < k < 2D. 2 < k < 3（答案：A）四、已知线段AB的长度为1，点C为线段AB的黄金分割点（AC > BC），则AC的长度为？A. (√5 - 1)/2B. (3 - √5)/2C. (√5 + 1)/2D. (3 + √5)/2（答案：A）五、在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC的中点，AE⊥BD交BD的延长线于点E。
若BD=2，则△ADE的周长为？A. 2 + √2B. 4C. 4 + √2D. 4 + 2√2（答案：C）六、已知多项式x2 + ax + b与2x2 - 3x + 1的乘积不含x的一次项，也不含x的三次项，则a、b的值为？A. a = -3, b = 2B. a = 3, b = -2C. a = -3, b = -2D. a = 3, b = 2（答案：D）七、已知a、b、c为非负实数，且满足3a + 2b + c = 4，2a + b + 3c = 5。
初一上学期数学压轴题期末复习试卷带答案
初一上学期数学压轴题期末复习试卷带答案一、压轴题1 .如图1,0为直线A8上一点,过点0作射线OC, N40C= 30° ,将一直角三角板〔其中NP=30°〕的直角顶点放在点O处,一边OQ在射线O八上,另一边OP与OC都在直线48的上方.将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周.〔1〕如图2,经过t秒后,OP恰好平分N8OC.①求f的值：②此时OQ是否平分NAOC?请说明理由；〔2〕假设在三角板转动的同时,射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周,如图3,那么经过多长时间OC平分NPOQ?请说明理由：〔3〕在〔2〕问的根底上,经过多少秒OC平分NPO8?〔直接写出结果〕.2 .如图1,己知面积为12的长方形ABCD, 一边AB在数轴上.点A表示的数为一2,点B 表示的数为1,动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,设点P运动时间为t 〔t>0〕秒.图1 图2〔1〕长方形的边AD长为单位长度；〔2〕当三角形ADP而积为3时,求P点在数轴上表示的数是多少；〔3〕如图2,假设动点Q以每秒3个单位长度的速度,从点A沿数轴向右匀速运动,与P点出发时间相同.那么当三角形BDQ,三角形BPC两者面积之差为,时,直接写出运动时2间t的值.3 .如图,数轴上点A表示的数为8, B是数轴上位于点A左侧一点,且AB=22,动点P从A点出发,以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,设运动时间为t 〔t>0〕秒. 〔1〕出数轴上点B表示的数；点P表示的数—〔用含t的代数式表示〕〔2〕动点Q从点B出发,以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,假设点P、Q同时出发,问多少秒时P、Q之间的距离恰好等于2?〔3〕动点Q从点B出发,以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,假设点P、Q同时出发,问点P运动多少秒时追上点Q?〔4〕假设M为AP的中点,N为BP的中点,在点P运动的过程中,线段MN的长度是否发生变化？假设变化,请说明理由,假设不变,请你画出图形,并求出线段MN的长.B O A0 84 .己知多项式3x6-2x2-4的常数项为a,次数为b.〔1〕设.与b分别对应数轴上的点4点8,请直接写出, b=,并在数轴上确定点4、点8的位置；〔2〕在〔1〕的条件下,点P以每秒2个单位长度的速度从点八向8运动,运动时间为t 秒：①假设%-P8=6,求t的值,并写出此时点P所表示的数：②假设点P从点4出发,到达点8后再以相同的速度返回点4在返回过程中,求当0P=3 时,t为何值？-8 0；85 .有理数a, b, c在数轴上对应的点分别为A, B, C,且满足〔a-1〕2+|ab+3|=0, c=-2a+b.।।।।।।।।।； ,-4-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5〔1〕分别求a, b, c的值；〔2〕假设点A和点B分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时相向运动,设运动时间为t秒.i〕是否存在一个常数k,使得3BC-k・AB的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变？假设存在,求出k的值：假设不存在,请说明理由.ii〕假设点C以每秒3个单位长度的速度向右与点A, B同时运动,何时点C为线段AB的三等分点？请说明理由.6 .如图,数轴上点A表示的数为6, B是数轴上在A左侧的一点,且A, B两点间的距离为10.动点P从点A出发,以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,动点Q从点B出发,以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动.〔1〕设运动时间为t0〕秒,数轴上点B表示的数是,点P表示的数是〔用含t的代数式表示〕：〔2〕假设点P、Q 同时出发,求：①当点P运动多少秒时,点P与点Q相遇？②当点P运动多少秒时,点P与点Q 间的距离为8个单位长度？7 .如图,在平面直角坐标系中,点M的坐标为〔2, 8〕,点N的坐标为〔2, 6〕,将线段MN向右平移4个单位长度得到线段PQ 〔点P和点Q分别是点M和点N的对应点〕,连接MP、NQ,点K 是线段MP的中点.〔1〕求点K的坐标：〔2〕假设长方形PMNQ以每秒1个单位长度的速度向正下方运动,〔点A、B、C、D、E分别是点M、N、Q、P、K的对应点〕,当BC与x轴重合时停止运动,连接OA、0E,设运动时间为t 秒,请用含t的式子表示三角形OAE的面积S 〔不要求写出t的取值范围〕；〔3〕在〔2〕的条件下,连接OB、0D,问是否存在某一时刻t,使三角形OBD的面积等于三角形OAE的面积,？假设存在,请求出t值；假设不存在,请说明理由.8 .我国著名数学家华罗庚曾经说过,“数形结合百般好,隔裂分家万事非.〞数形结合的思想方法在数学中应用极为广泛.观察以下根据一定规律堆砌的钢管的横截面图：用含n的式子表示第n个图的钢管总数.〔分析思路〕图形规律中暗含数字规律,我们可以采用分步的方法,从图形排列中找规律;把图形看成几个局部的组合,并保持结构,找到每一局部对应的数字规律,进而找到整个图形对应的数字规律.如:要解决上而问题,我们不妨先从特例入手：〔统一用S表示钢管总数〕〔解决问题〕⑴如图,如果把每个图形根据它的行来分割观察,你发现了这些钢管的堆砌规律了吗?像n=l、n=2的情形那样,在所给横线上,请用数学算式表达你发现的规律.S=l+2 S=2+3+4 __________________________________⑵其实,对同一个图形,我们的分析眼光可以是不同的.请你像⑴那样保持结构的、对每一个所给图形添加分割线,提供与⑴不同的分割方式;并在所给横线上,请用数学算式表达你发现的规律：⑶用含n的式子列式,并计算第n个图的钢管总数.9 .如图,P是定长线段A8上一点,C、.两点分别从P、8出发以lcm/s、2cm/s的速度沿直线48向左运动〔C在线段AP上,.在线段8P上〕〔1〕假设C、.运动到任一时刻时,总有PD=〃C,请说明P点在线段A8上的位置：III 1 1 A CP D3〔2〕在〔1〕的条件下,Q是直线48上一点,且4Q-8Q=PQ,求丝的值.AB। ____________ । --------------------------------------------------------------- 1A P B〔3〕在〔1〕的条件下,假设C、.运动5秒后,恰好有CD =,AB.此时C点停止运动, 2.点继续运动〔.点在线段P8上〕,M、A/分别是CD、P.的中点,以下结论：①PM - PNMN的值不变；②一二的值不变,可以说明,只有一个结论是正确的,请你找出正确的结论并AB求值.111 1 1A CP D310.点A在数轴上对应的数为-3,点8对应的数为2.⑴如图1点C在数轴上对应的数为x,且x是方程2x+l二;x-5的解,在数轴上是否存在点P使PA+PB==BC+A8?假设存在,求出点P对应的数：假设不存在,说明理由：2⑵如图2,假设P点是8点右侧一点,%的中点为N为P8的三等分点且靠近于P点, 13 .问题一：如图1,4, C两点之间的距离为16 cm,甲,乙两点分别从相距3cm的A, 8两点同时出发到C点,假设甲的速度为8cm/s,乙的速度为6cm/s,设乙运动时间为x〔s〕,甲乙两点之间距离为y〔 cm〕 .⑴当甲追上乙时,x=.〔2〕请用含x的代数式表示y.当甲追上乙前,y=；当甲追上乙后,甲到达C之前,y=；当甲到达C之后,乙到达C之前,y=.R乙问题二：如图2,假设将上述线段4c弯曲后视作钟表外国的一局部,线段48正好对应钟表上的弧4B 〔1小时的间隔〕,易知/408=30..⑴分针0D指向圆周上的点的速度为每分钟转动—cm；时针0E指向圆周上的点的速度为每分钟转动cm .⑵假设从4 ：00起计时,求几分钟后分针与时针第一次重合.图214.：如图,点A、B分别是NMON的边OM、ON上两点,0C平分NMON,在NCON的内部取一点P 〔点A、P、B三点不在同一直线上〕,连接PA、PB .〔1〕探索NAPB与NMON、NPAO、NPBO之间的数量关系,并证实你的结论：〔2〕设NOAP二x.,NOBP=y.,假设NAPB的平分线PQ交0C于点Q,求NOQP的度数〔用含有x、y的代数式表示〕.15.数轴上三点A, 0, B表示的数分别为6, 0,-4,动点P从A出发,以每秒6个单位的速度沿数轴向左匀速运动.〔1〕当点P到点A的距离与点P到点B的距离相等时,点P在数轴上表示的数是(2)另一动点R从B出发,以每秒4个单位的速度沿数轴向左匀速运动,假设点P、R同时出发,问点P运动多少时间追上点R?(3)假设M为AP的中点,N为PB的中点,点P在运动过程中,线段MN的长度是否发生变化？假设发生变化,请你说明理由；假设不变,请你画出图形,并求出线段MN的长度.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、压轴题1. (1)①5；②0Q平分NA9C,理由详见解析：(2) 5秒或65秒时0C平分NPOQ：70 ,(3) t=——秒.3【解析】【分析】(1)①由N4OC=30.得到N80c=150.,借助角平分线定义求出NPOC度数,根据角的和差关系求出NCOQ度数,再算出旋转角NAOQ度数,最后除以旋转速度3即可求出t 值：②根据NAOQ和NCOQ 度数比拟判断即可：(2)根据旋转的速度和起始位置,可知NAOQ=3t, N4OC=30° +63根据角平分线定义可知NCOQ=45°,利用乙4OQ、NAOC、NCOQ角之间的关系构造方程求出时间t；(3)先证实NAOQ与NPO8互余,从而用t表示出NPO8=90° -33根据角平分线定义再用t表示N8OC度数：同时旋转后N4OC=30' +6t,那么根据互补关系表示出N8OC度数,同理再把N8OC度数用新的式子表达出来.先后两个关于N8OC的式子相等,构造方程求解.【详解】(1) ©V ZAOC=30" ,A ZBOC= 180° - 30° =150° ,9：0P^^ZB0C,：.ZCOP=- ZBOC=75° , 2：.ZCOQ=900 - 75° =15° ,：.ZAOQ= ZAOC - ZCOQ=30° -15° =15° , t=15-？3=5；②是,理由如下：VZCOQ=15° , 4OQ=15° ,：.OQ平分NAOC：(2) 9：0C^^ZP0Q.,NCOQ=1/POQ=45° .2设NA0Q=3t, Z/AOC=300 +6t,由NAOC- N4OQ=45° ,可得30+6t - 3t=45,解得：t=5,当30+6L 3t=225,也符合条件,解得：t=65 ,,5秒或65秒时,OC平分NPOQ：(3)设经过t秒后OC平分NPO8,•「OC 平分NPO8,1；./BOC=- NBOP, 2•••/40Q+N 80P=90 ° ,A ZBOP= 90° -3t,又N8OC=180口- ZAOC= 180" -300 - 63,180 - 30 - 6t=1 ( 90- 3t),2, 70解得t= ——・3【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用,根据角度的和差倍分关系,列出方程,是解题的关键.2. (1) 4； (2) —3.5 或一0・5： (3)1的值为口、— . U 或16 16 8 8【解析】【分析】(1)先求出A8的长,由长方形八8c .的面积为12,即可求出4)的长；(2)由三角形4DP 面积为3,求出AP 的长,然后分两种情况讨论：①点P 在点八的左边：②点P 在点4的右边.(3)分两种情况讨论：①假设Q 在8的左边,贝lj8Q=3-3t.由IS/aa-SrePck ］,解方程即可：②假设Q 在8的右边,那么8Q=3L3.由|S,,BOQ -S.田c| = ；,解方程即可.【详解】(1) AB=1- (-2) =3.・二长方形 48CD 的面枳为 12, ：.ABXAD=12, ：.AD=12^3=4.故答案为：4.(2)三角形 4DP 面积为：-AP^AD=-APX^3, 2 2解得:4P=1.5,点P 在点4的左边：-2-1.5=35, P 点在数轴上表示-3.5：点P 在点A 的右边：-2+L5=-0.5, P 点在数轴上表示-05 综上所述：P 点在数轴上表示-3.5或-0.5. (3)分两种情况讨论：①假设Q 在8的左边,贝8Q=A8 - 4Q=3-3t.S ABOQU ：8Q ・AD= )(3-31)x4 = 6-6/,S.,.BPC =；8P ・4D=；/x4 = 2l,|(6-6/)-2r| = ^-, 6-8/ = ±0.5,解得：g ■^或g ：②假设Q 在8的右边,那么8Q=4Q-A8=3t —3.S A BOQ = — BQ9AD= — (3/ -3)X4 = 6r -6, S .田C 」8P ・4D=L X 4 = 21, 2 2 22 |(6/-6)-2/| = —, 4,一6 = ±0.5,解得：仁匚或U. 28 8 综上所述：t 的值为二、二、F 或1.16 16 8 8【点睛】此题考查了数轴、一元一次方程的应用,用到的知识点是数轴上两点之间的距离公式.3. (1) - 14, 8-5t ： (2) 2.5或3秒时P 、Q 之间的距离恰好等于2： (3)点P 运动 11秒时追上点Q: (4)线段MN 的长度不发生变化,其值为11,见解析.【解析】【分析】(1)根据可得B 点表示的数为8-22：点P 表示的数为8-5t ： (2)设t 秒时P 、Q 之间的距离恰好等于2.分①点P 、Q 相遇之前和②点P 、Q 相遇之后两种情况求t 值即 可：(3)设点P 运动x 秒时,在点C 处追上点Q,那么AC=5x, BC=3x,根据AC-BC 二AB, 列出方程求解即可；(3)分①当点P 在点A 、B 两点之间运动时,②当点P 运动到点B 的 左侧时,利用中点的定义和线段的和差求出MN的长即可.【详解】(1)•••点A表示的数为8, B在A点左边,AB=22,,点B表示的数是8-22二-14,•二动点P从点A出发,以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,设运动时间为t (t>0)秒, ・•・点P表示的数是8-5t.故答案为：-14, 8 - 5t；(2)假设点P、Q同时出发,设t秒时P、Q之间的距离恰好等于2.分两种情况：①点P、Q相遇之前,由题意得3t+2+5t=22,解得"2. 5；②点P、Q相遇之后,由题意得3t-2+5t=22,解得13.答：假设点P、Q同时出发,2. 5或3秒时P、Q之间的距离恰好等于2：(3)设点P运动x秒时,在点C处追上点Q,c B Qd )0 6那么AC=5x, BC=3x,VAC - BC二AB....5x - 3x=22,解得：x=ll,・•.点P运动11秒时追上点Q：(4)线段MN的长度不发生变化,都等于11：理由如下：①当点P在点A、B两点之间运动时：U 01 1 1 1 1MN=MP+NP二一AP+-BP二一(AP+BP)二一AB二一X22=ll； 2 2 2 2 2②当点P运动到点B的左侧时：p N B M O A•1—110 81 1 1 1MN = MP-NP 二一AP- - BP 二一 (AP・BP)二一AB 二11, 2 2 2 2・•・线段MN的长度不发生变化,其值为11.【点睛】此题考查了数轴一元一次方程的应用,用到的知识点是数轴上两点之间的距离,关键是根据题意画出图形,注意分两种情况进行讨论.13 194. (1) -4, 6： (2)①4：②一,或一 2 2【解析】【分析】(1)根据多项式的常数项与次数的定义分别求出a, b的值,然后在数轴上表示即可：(2)①根据PA - PB = 6列出关于t的方程,解方程求出t的值,进而得到点P所表示的数：②在返回过程中,当0P = 3时,分两种情况：(I) P在原点右边；(口) P在原点左边.分别求出点P运动的路程,再除以速度即可.【详解】(1)•••多项式3x6-2x2-4的常数项为a,次数为b,.\a= - 4, b = 6.如下图：A B_I ------- _I_I ------- !~!~~! ----- !~~!•-------8 -4 0 6 8故答案为-4, 6：(2)①:3=23 AB=6- ( - 4) =10,.\PB=AB - PA=10 - 2t.VPA- PB = 6,A 2t - (10-2t ) =6,解得t=4,此时点P所表示的数为-4+2t= - 4+2x4=4：②在返回过程中,当OP=3时,分两种情况：13(I )如果P在原点右边,那么AB+BP=10+ (6 - 3) =13, t=—；219(II)如果P 在原点左边,那么AB+BP=10+ (6+3) =19, t=—.【点睛】此题考查了一元一次方程的应用,路程、速度与时间关系的应用,数轴以及多项式的有关定义,理解题意利用数形结合是解题的关键.5. (1) 1, -3, -5 (2) i)存在常数m, m=6这个不变化的值为26, ii) 11.5s【解析】【分析】(1)根据非负数的性质求得a、b、c的值即可：(2) i)根据3BC-k・AB求得k的值即可：ii)当AC=,AB时,满足条件.3【详解】(1)Ya、b 满足(a-1) 2+|ab+3|=0,Aa-l=0 且ab+3=0.解得a=l, b=-3.c=-2a+b=-5.故a, b, c的值分别为1, -3, 5(2)i)假设存在常数k,使得3BC-k・AB不随运动时间t的改变而改变.那么依题意得：AB=5+t, 2BC=4+6t.所以m・AB-2BC=m (5+t) - (4+6t) =5m+mt-4-6t 与t 的值无关,即m-6=0,解得m=6,所以存在常数m, m=6这个不变化的值为26.Ii) AC」AB,3AB=5+t, AC=-5+3t- (l+2t) =t-6,t-6=l (5+t),解得t=ll.5s.3【点睛】此题考查了一元一次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元一次方程是解题的关键.6. (1) -4, 6-5t； (2)①当点P运动5秒时,点P与点Q相遇：②当点P运动1或9 秒时,点P与点Q 间的距离为8个单位长度.【解析】【分析】(1)根据题意可先标出点A,然后根据B在A的左侧和它们之间的距离确定点B,由点P 从点A出发向左以每秒5个单位长度匀速运动,表示出点P即可；〔2〕①由于点P和Q都是向左运动,故当P追上Q时相遇,根据P比Q多走了10个单位长度列出等式,根据等式求出t的值即可得出答案；②要分两种情况计算：第一种是点P追上点Q之前,第二种是点P追上点Q之后.【详解】解：〔1〕•・•数轴上点A表示的数为6,...OA=6,那么OB = AB - OA=4, 点B在原点左边,・•・数轴上点B所表示的数为-4：点P运动t秒的长度为53・・•动点P从点A出发,以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,・2所表示的数为：6-53故答案为-4, 6-5t；〔2〕①点P运动t秒时追上点Q,根据题意得5t=10+3t,解得t=5,答：当点P运动5秒时,点P与点Q相遇：②设当点P运动a秒时,点P与点Q间的距离为8个单位长度,当P不超过Q,贝10+3a - 5a=8,解得a = L当P超过Q,那么10+3a+8 = 5a,解得a = 9：答：当点P运动1或9秒时,点P与点Q间的距离为8个单位长度.【点睛】在数轴上找出点的位置并标出,结合数轴求追赶和相遇问题是此题的考点,正确运用数形结合解决问题是解题的关键,注意不要漏解.7. 〔1〕〔4, 8〕⑵％oAE = 8-t ⑶ 2 秒或 6 秒【解析】【分析】〔1〕根据M和N的坐标和平移的性质可知：MN〃y轴〃PQ,根据K是PM的中点可得K 的坐标；〔2〕根据三角形面积公式可得三角形OAE的而积S ；〔3〕存在两种情况：①如图2,当点B在OD上方时②如图3,当点B在OD上方时,过点B作BG_Lx轴于G,过D作DHJ_x轴于H,分别根据三角形OBD的面积等于三角形OAE的面积列方程可得结论.【详解】〔1〕由题意得：PM = 4,•.•K是PM的中点,AMK = 2 ,■1点M的坐标为(2 , 8),点N的坐标为(2,6), ,MN〃y 轴,-,K (4, 8)；(2)如图1所示,延长DA交y轴于F ,,0F = 8 - t ,1 1 z/.S A OAE =— OF・AE = — ( 8 - t ) x2 = 8 - t ；2 2(3)存在,有两种情况：,①如图2,当点B在0D上方时,过点B作BG±x轴于G,过D作DH±x轴于H ,那么B ( 2 , 6 - t ) ,0(6,0), AOG = 2 , GH=4 , BG = 6 - t , DH = 8 - t , OH =6 ,S^OBD =S AOBG+S /边形DBGH+S AODH ,1 1 z、 1=-OG・BG+— ( BG+DH )・GH — -OH,DH r2 2 ' 2=—x2 ( 6-t ) + — x4 ( 6 - t+8 - t ) - - x6 ( 8 - t ), 2 2 2=10 - 2t ,V S A.OBD - S AOA E/A10 - 2t = 8 - t , t = 2 ；②如图3,当点B在OD上方时,11 , 、 =-OH>DH- - ( B G+DH )・GH - 2 21 , 、 1 , =—x2 ( 8-t ) - - x4( 6 - t+8 - t 2 2 =2t - io ,,*, S AOBD = S AOAE i.\2t - 10 = 8 - t ,t = 6 ；综上,t 的值是2秒或6秒.【点睛】此题考查四边形综合题、矩形的性质、三角形的而积、一元一次方程等知识,解题关键是 灵活运用所学知识解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题.8 . ( 1) S =3 + 4 + 5 + 6;S = 4 + 5 + 6 + 7 + 8 ；(2)方法不唯一,见解析：(3 )方法不唯 一,见解析【解析】【分析】先找出前几项的钢管数,在推出第n 项的钢管数.【详解】(1) S = 3 + 4 + 5 + 6;S =4 + 5 + 6 + 7+8(2)方法不唯一,例如：S = l+2 S = l + 2+3+3 S = l + 2+3+4+4+4 S = 1 + 2+3+4+5+5+5+51 一OG ・BG ,2 4鑫S A OBD = S A ODH -S 四边形 DBGH - S^OBG ,(3)方法不唯一,例如：S = 〃+(〃 +1)+(〃+ 2)+•….+ 2〃=(〃 + 〃 + + 〃) + (1 + 2 + + 〃) 23 / 八【点睛】此题主要考察代数式的规律探索及求和,需要仔细分析找到规律.9. (1)点P在线段AB上的1处：(2)1；(3)②丝的值不变. 3 3 AB【解析】【分析】(1)根据c、D的运动速度知BD=2PC,再由条件PD=2AC求得PB=2AP,所以点P在线段AB上的g 处：(2)由题设画出图示,根据AQ-BQ=PQ求得AQ=PQ+BQ：然后求得AP=BQ,从而求得PQ 与AB的关系：(3)当点C停止运动时,有CD二;AB,从而求得CM与AB的数量关系：然后求得以AB表示的PM与PN的值,所以MN = PN-PM = — AB . 12【详解】解：(1)由题意：BD=2PCVPD=2AC , ABD+PD=2 ( PC+AC),即PB=2AP.・•.点P在线段AB上的1处：(2)如图：«----------- 1------------ 1 1A P 0 EVAQ-BQ=PQ ,,AQ=PQ+BQ ,VAQ=AP+PQ ,AAP=BQ , 1 ,PQ二一AB ,.尸._1..南一3z .与MN.比T士〔3 〕②——的值不变.AB理由：如图, 当点C停止运动时,有CD=±AB,21,CM二一AB ,41APM=CM-CP=-AB-5 ,42VPD=-AB-10 ,31 z2 、 1APN=-〔-AB-10 〕 =-AB-5 , 2 3 31AMN=PN-PM= —AB ,12当点C停止运动,D点继续运动时,MN的值不变,所以MW _石1~AB~ AB _12【点睛】此题考查了比拟线段的长短.利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键,在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法,有利于解题的简洁性.同时,灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点.9 7 310 . 〔1〕存在满足条件的点P,对应的数为-—和一；〔2〕正确的结论是：PM- -8N的值不 2 2 4变,且值为2.5 .【解析】【分析】〔1〕先利用数轴上两点间的距离公式确定出入8的长,然后求得方程的解,得到C表示的点,由此求得;8C+48=8设点P在数轴上对应的数是.,分①当点P在点a的左侧时〔a V-3〕、②当点P在线段八8上时〔-3AV2〕和③当点P在点8的右侧时〔a>2〕三种情况求点P所表示的数即可；〔2〕设P点所表示的数为〃,就有%;"3, P8=〃-2,根3 1 3据条件表示出PM、8/V的长,再分别代入①PM- -8/V和②7PM+ - 8N求出其值即4 2 4可解答.【详解】⑴丁点A在数轴上对应的数为-3,点8对应的数为2 ,48 = 5 .解方程2x+l=Lx - 5得x=-4. 2 所以8c =2 - ( -4)=6 .所以.设存在点P满足条件,且点P在数轴上对应的数为a , ①当点P在点.的左侧时,a < - 3 ,PA=- 3- a,P8 = 2-.,所以4P+P8 =-2a - 1 = 8 ,解得a=--y , -£< - 3满足条件：②当点P 在线段48 上时,-3<a<2 t PA = a- ( - 3 )= a+3 , PB = 2 -.,所以%+P8=a+3+2 - a=508,不满足条件：③当点P 在点8 的右侧时,a>2 , PA = a- ( -3)= a+3 , PB = a- 2 .,77所以%+P8 =.+3+.- 2=2.+1= 8,解得：a 二十,彳>2,9 7所以,存在满足条件的点P,对应的数为-手咕.⑵设P点所表示的数为.,PA = n+3 , P8 =.-2 . ,「雨的中点为M,/. PM= -PA = ^-.2 2N为PB的三等分点且靠近于P点,2 2..BA/ = -PB = -x(n-2). sJ %J3 n+3 3 2 , 、PM - - 8/V = -x—x ( n - 2 ),4 / 4 §r =77 (不变).②！PM+；8N=呼+ g 乂*(n - 2 ) = yn - (随P点的变化而变化).2 4 4 434 4・•.正确的结论是：PM-*/V的值不变,且值为2.5.【点睛】此题考查了一元一次方程的解,数轴的运用,数轴上任意两点间的距离公式的运用,去绝对值的运用,解答时了灵活运用两点间的距离公式求解是关键.11. (1) 45°； (2) 45°；(3)45°或135°.【解析】【分析】(1)由NBOC的度数求出NAOC的度数,利用角平分线定义求出NCOD与NCOE的度数, 相加即可求出NDOE的度数：〔2〕ND0E度数不变,理由为：利用角平分线定义得到/COD为/AOC的一半,NCOE为NCOB的一半,而NDOE=NCOD+NCOE,即可求出NDOE度数为45度；〔3〕分两种情况考虑,同理如图3,那么NDOE为45.：如图4,那么NDOE为135..【详解】〔1〕如图,ZAOC=90° - ZBOC=20°zVOD X OE分别平分NAOC和NBOC ,AZCOD=ZAOC=10o r NCOE」ZBOC=35°f 2AZDOE=ZCOD+ZCOE=45°；(2) NDOE的大小不变,理由是：1 1 1 z、 1ZDOE= ZCOD+ ZCOE= - ZAOC+ - ZCOB= - ( ZAOC+ZCOB ) =- ZAOB=45°； 2 2 2 2(3 ) NDOE的大小发生变化情况为：如图③,那么NDOE为45.：如图④,那么NDOE为135.,分两种情况：如图3所示,VOD. 0E分别平分NAOC和NBOC,1 1AZCOD=-ZAOC , ZCOE=- ZBOC , 2 2AZDOE=ZCOD - ZCOE=- ( ZAOC - ZBOC ) =45°； 2如图4所示,VOD S OE分别平分NAOC和NBOC ,I I,ZCOD=-ZAOC , ZCOE=- ZBOC , 2 2A ZDOE=ZCOD+ZCOE=- ( ZAOC+ZBOC ) = - x270°=135° . 2 2【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及角的有关计算,正确作图,熟记角的特点与角平分线的定义是解决此题的关键.12. ( 1)2或10；(2)当t为5秒、10秒或7.5秒时,P、A和B中恰有一个点为其余两点的优点. 【解析】【分析】(1)设所求数为X,根据优点的定义分优点在M、N之间和优点在点N右边,列出方程解方程即可；(2)根据优点的定义可知分三种情况：①P为(A. B)的优点；②P为(B, A)的优点：③B为(A, P)的优点.设点P表示的数为X,根据优点的定义列出方程, 进而得出t的值.【详解】解：(1)设所求数为X,当优点在M、N之间时,由题意得x - ( -2)=2 (4-x),解得x=2；当优点在点N右边时,由题意得x- ( -2)=2(x-4),解得：x=10；故答案为：2或10；(2)设点P 表示的数为x,贝lj PA=x+20 , PB=40 - x , AB=40 - ( - 20 ) =60 , 分三种情况：①P为(A , B)的优点.由题意,得PA=2PB,即x- ( - 20 ) =2 ( 40 - x ),解得x=20 ,/. t= ( 40 - 20 ) +4=5 (秒)；②P为(B , A)的优点.由题意,得PB=2PA,即40 - x=2 ( x+20 ),解得x=0 ,/. t= ( 40 - 0 ) 4-4=10 (秒)：③B为(A, P)的优点.由题意,得AB=2PA,即60=2 ( x+20 )解得x=10 ,此时,点P为AB的中点,即A也为(B, P)的优点,/. t=30M=7.5 (秒)；综上可知,当t为5秒、10秒或7.5秒时,P、A和B中恰有一个点为其余两点的优点.【点睛】此题考查了一元一次方程的应用及数轴,解题关键是要读懂题目的意思,理解优点的定义,找出适宜的等量关系列出方程,再求解.3 3 1 24013.问题一、(1)二；(2) 3-2x： 2廿3； 13-6* 问题一、(1)-；—；-—.2 5 20 11【解析】【分析】问题一根据等量关系,路程=速度x时间,路程差=路程1-路程2,即可列出方程求解.【详解】问题一：(1)当甲追上乙时,甲的路程二乙的路程+3所以,8x = 6x+32x = 33 x = —23 故答案为大.2(2)当甲追上乙前,路程差=乙所行的路程+3-甲所行的路程；所以,y = 6x + 3-8K =3-2X.当甲追上乙后,甲到达c之前,路程差二甲所行的路程-3-乙所行的路程；所以,y = 8x-3-6x = 2x-3.当甲到达C之后,乙到达C之前,路程差=总路程-3-乙所行的路程；所以,y = 16—3 - 6x = 13—6x.问题二：(1)由题意AB为钟表外围的一局部,且NAO8=30°可知,钟表外围的长度为3x12 = 360〃分针OD的速度为364-60 = -cn/nin时针OE的速度为3^60 = —203 1故OD每分钟转动,OE每分钟转动一cm . 5 20(2 ) 4点时时针与分针的路程差为4x3 = 12cm设“分钟后分针与时针第一次重合.3 1由题意得,-= u x +12解得,x = —.11240即—分钟后分针与时针第一次重合.11【点睛】此题考查了一元一次方程中的行程问题,解题的关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件找出等量关系,列出方程求解即可.14 . ( 1)见解析：(2 ) ZOQP=180o+-x°-,丫°或/0(^=,乂° - -y° .2 2 2 2【解析】【试题分析】(1)分下面两种情况进行说明；①如图1,点P 在直线AB 的右侧,ZAPB+Z MON+Z PAO+Z PBO=360°f②如图2,点P在直线AB的左侧,ZAPB=Z MON+Z PAO+Z PBO ,(2)分两种情况讨论,如图3和图4.【试题解析】(1)分两种情况：①如图1,点P 在直线AB 的右侧,ZAPB+Z MON+z PAO+Z PBO=360° ,证实::四边形AOBP的内角和为(4 - 2 ) xl80°=360°r••. Z APB=3600 - Z MON - Z PAO - Z PBO ；②如图2,点P在直线AB的左侧,ZAPB=Z MON+Z PAO+Z PBO ,证实：延长AP交ON于点D,ADB是aAOD的外角,/. Z ADB=Z PAO+Z AOD ,••,N ABB是4PDB的外角,Z APB=Z PDB+Z PBO ,/. Z APB=Z MON+Z PAO+Z PBO ；(2)设NM0N=2m° , Z APB=2n°,,/ OC 平分NMON ,/. Z AOC=i-Z M0N=m° ,•「PQ 平分NAPB ,「・Z APQ二;N APB=n° ,分两种情况：第一种情况：如图 3 , N OQP=Z MOC+Z PAO+Z APQ, RPZOQP=m°+x o+n°©Z OQP+Z CON+Z OBP+Z BPQ=360°fZ OQP=360° - Z CON - Z OBP - Z BPQ,即NOQP=360° - m° - y° - n°②,①+②得2Z OQP=360°+x° - y°r04第二种情况：如图 4 f / Z OQP+Z APQ=Z MOC+Z PAO f即NOQP+n°=m°+x° ,/. 2Z OQP+2n o=2m o+2x°© ,: Z APB=Z MON+Z PAO+Z PBO , 2n o=2m°+x o+y0@ ,①-②得2Z OQP=x° - y° ,:乙 OQP=~x°-聂,综上所述,ZOQP=180o+-^x° -泰.或NOQP M*.- -1y° .15 . 〔1〕1；〔 2〕点P运动5秒时,追上点R；〔 3〕线段MN的长度不发生变化,其长度为5.【解析】试题分析：〔1〕由条件得到AB=10,由PA=PB,于是得到结论：〔2〕设点P运动x秒时,在点C处追上点R,于是得到AC=6x BC=4x, AB=10,根据RC-BC=AB,列方程即可得到结论：〔3〕线段MN的长度不发生变化,理由如下分两种情况：①当点P在A、B之间运动时②当点P运动到点B左侧时,求得线段MN的长度不发生变化.试题解析：解：〔1〕〔1〕VA, B表示的数分别为6, 4, AAB=10>VPA=PB,・••点p表示的数是1,〔2〕设点P运动x秒时,在点C处追上点R 〔如图〕那么：AC = 6x BC = 4x AB = 10VAC - BC = AB,6x - 4x = 10解得,x = 5,点P运动5秒时,追上点R.〔3〕线段MN的长度不发生变化,理由如下:分两种情况: 点P在A、B之间运动时：MN = MP + NP=^AP+^BP = j 〔 AP + BP 〕 = jAB = 5点P运动到点B左侧时：• 一•——S. _____________ S _____________________ iP N6MN = MP-NP 二：AP-；BP二;〔AP-BP〕 = |A B = 5综上所述,线段MN的长度不发生变化,其长度为5.点睛：此题主要考查了一元一次方程的应用、数轴,以及线段的计算,解决问题的关键是根据题意正确画出图形,要考虑全面各种情况,不要漏解.。
初一数学考试压轴题
1、在一个班级中，男生的人数是女生人数的2倍。
如果班级总人数是45人，那么男生有多少人？A. 15人B. 20人C. 30人（答案）D. 35人2、小明从家到学校的距离是2公里，他每天步行上学，往返一次。
一周五天上学，他总共步行多少公里？A. 10公里B. 20公里C. 30公里（答案）D. 40公里3、一个长方形的花坛，长是10米，宽是4米。
现在要在花坛周围铺一条1米宽的小路，这个小路的面积是多少平方米？A. 24平方米B. 32平方米C. 40平方米（答案）D. 48平方米4、小红和小华一起去买书，小红带了40元，小华带了50元。
他们买了一本书，共花了60元，那么他们一共节省了多少元？A. 20元B. 30元C. 40元（答案）D. 50元5、一个正方形的面积是64平方米，那么它的周长是多少米？A. 16米B. 24米C. 32米（答案）D. 40米6、小明有20本书，他送了5本书给小华，剩下的书他又分成了两份，每份有多少本书？A. 5本B. 7本C. 10本（答案）D. 15本7、一桶水重50公斤，如果倒入一个空桶中，两桶水的重量是100公斤。
如果只倒出一半的水，那么两桶水的重量是多少公斤？A. 75公斤B. 80公斤C. 90公斤D. 95公斤（答案）8、小明有5个苹果，小红有3个苹果。
小明给小红2个苹果后，小明和小红各有多少个苹果？A. 小明有3个，小红有5个（答案）B. 小明有2个，小红有6个C. 小明有4个，小红有4个D. 小明有1个，小红有7个。
初一数学压轴题
一．解答题（共19 小题）1．（2013?扬州）若是 10b =n，那么 b 为 n 的劳格数，记为b=d（ n），由定义可知： 10b =n 与b=d（ n）所表示的 b、n 两个量之间的同一关系．（ 1）依照劳格数的定义，填空：d（10）=，d（10﹣2）=；（2）劳格数有以下运算性质：若 m、 n 为正数，则 d（mn）=d（ m）+d（n）， d（） =d（m）﹣ d（ n）．依照运算性质，填空：=（a为正数），若（d 2）=，则（d4）=，d（5）=，d（）=；（3）如表中与数 x 对应的劳格数 d（ x）有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明原由并改正．x356891227d（x）3a﹣b+c 2a﹣b a+c1+a﹣b﹣c 3﹣3a﹣ 3c 4a﹣2b3﹣b﹣2c6a﹣ 3b 2．（2012?安庆一模）先阅读以下资料，再解答后边的问题．一般地，若 a n=b（a＞0 且 a≠1，b＞0），则 n 叫做以 a 为底 b 的对数，记为 log a（b即 loga b=n）．如34=81，则 4 叫做以 3 为底 81 的对数，记为 log 381（即 log 381=4）．（ 1）计算以下各对数的值：log 24=，log 216=，log 2 64=．（2）察（ 1）中三数 4、 16、64 之足怎的关系式， log 2 4、 log 216、 log 2 64 之又足怎的关系式；（ 3）猜想一般性的： log a M+log a N=（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0），并根据的运算法： a m?a n=a m+n以及数的含明你的猜想．3．（2012?沈阳模）真资料，尔后回答：我初中学了多式的运算法，相的，我能够算出多式的张开式，如：（a+b）1 =a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（ a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，⋯下面我依次（ a+b）n张开式的各系数一步研究，当 n 取正整数能够独列成表中的形式：上面的多式张开系数表称“ 三角形”；仔察“ 三角形”，用你的律回答以下：（1）多式（ a+b）n的张开式是一个几次几式？并第三的系数；（2）你一下多式（ a+b）n张开式的各系数之和．（3）合上述资料，推断出多式（ a+b）n（ n 取正整数）的张开式的各系数之和 S，（果用含字母 n 的代数式表示）．4．（2009?佛山）资料：把形如ax2+bx+c 的二次三式（或其一部分）配成完好平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完好平方公式的逆写，即a2±2ab+b2 =（a±b）2 ．比方：（ x 1）2+3、（ x 2）2 +2x、（x 2）2+ x2是 x22x+4 的三种不相同形式的配方（即“余”分是常数、一次、二次横上的部分）．依照资料解决以下：（1）对照上面的例子，写出 x24x+2 三种不相同形式的配方；（2）将 a2+ab+b2配方（最少两种形式）；（3）已知 a2+b2+c2 ab 3b 2c+4=0，求 a+b+c 的．5．（2007?）依照以下10 个乘，回答：11×29；12×28；13×27；14×26；15×25； 16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．（1）将以上各乘分写成一个“□ 2 ?2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思虑程；（2）将以上 10 个乘依照从小到大的序排列起来；（3）若用 a1b1，a2b2，⋯，anbn 表示 n 个乘，其中 a1，a2，a3，⋯，a n，b1，b2，b3，⋯，b n正数．由（ 1）、（2）猜一个一般性的．（不要求明）6．（2006?浙江）若是一个正整数能表示两个偶数的平方差，那么称个正整数“神秘数”．如： 4=2202，12=4222， 20=6242，因此 4，12， 20 都是“奇特数”（1） 28 和 2012 两个数是“奇特数” ？什么？（2）两个偶数 2k+2 和 2k（其中 k 取非整数），由两个偶数构造的奇特数是 4 的倍数？什么？（ 3）两个奇数的平方差（k 取正数）是奇特数？什么？8．（2015?于洪区一模）如图 1，在△ ABC中，∠ ACB为锐角，点 D为射线 BC上一点，连接AD，以 AD为一边且在 AD的右侧作正方形 ADEF．（1）若是 AB=AC，∠ BAC=90°，①当点 D在线段 BC上时（与点 B 不重合），如图 2，线段 CF、 BD所在直线的地址关系为，线段 CF、BD的数量关系为；②当点 D在线段 BC的延长线上时，如图3，①中的结论可否依旧成立，并说明原由；（ 2）若是 AB≠AC，∠ BAC是锐角，点 D在线段 BC上，当∠ ACB满足什么条件时，CF⊥BC （点 C、F 不重合），并说明原由．9．（2015?菏泽）如图，已知∠ ABC=90°， D 是直线 AB上的点， AD=BC．（1）如图 1，过点 A 作 AF⊥AB，并截取 AF=BD，连接 DC、 DF、CF，判断△ CDF的形状并证明；（2）如图 2，E 是直线 BC上一点，且 CE=BD，直线 AE、CD订交于点 P，∠ APD的度数是一个固定的值吗？若是，央求出它的度数；若不是，请说明原由．10．（ 2015?铁岭一模）已知：△ ABC中， BD、CE分别是 AC、 AB边上的高， BQ=AC，点 F 在CE的延长线上， CF=AB，求证： AF⊥AQ．11．（ 2013?庐阳区校级模拟）如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ ACE拼在一起（图1）．△ ABD不动，（ 1）若将△ ACE绕点 A 逆时针旋转，连接 DE，M是 DE的中点，连接 MB、MC（图 2），证明：MB=MC．（ 2）若将图 1 中的 CE向上平移，∠ CAE不变，连接 DE，M是 DE的中点，连接 MB、MC（图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系．（3）在（ 2）中，若∠ CAE的大小改变（图 4），其他条件不变，则（ 2）中的 MB、MC的数量关系还成立吗？说明原由．12．（ 2012?昌平区模拟）（1）如图，在四边形ABCD中， AB=AD，∠ B=∠D=90°， E、F 分别是边 BC、CD上的点，且∠ EAF= ∠BAD．求证： EF=BE+FD；（2）如图，在四边形 ABCD中， AB=AD，∠ B+∠D=180°， E、F 分别是边 BC、CD上的点，且∠ EAF= ∠BAD，（ 1）中的结论可否依旧成立？（3）如图，在四边形 ABCD中， AB=AD，∠ B+∠ADC=180°， E、F 分别是边 BC、CD延长线上的点，且∠ EAF= ∠BAD，（1）中的结论可否依旧成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．13．（ 2011?泰安）已知：在△ ABC中， AC=BC，∠ ACB=90°，点 D 是 AB的中点，点 E 是 AB 边上一点．（1）直线 BF垂直于直线 CE于点 F，交 CD于点 G（如图 1），求证： AE=CG；（2）直线 AH垂直于直线 CE，垂足为点 H，交 CD的延长线于点 M（如图 2），找出图中与BE相等的线段，并证明．14．（ 2005?扬州）（此题有 3 小题，第（1）小题为必答题，满分 5 分；第（2）、（3）小题为选答题，其中，第（2）小题满分 3 分，第（ 3）小题满分 6 分，请从中任选 1 小题作答，2在△ ABC中，∠ ACB=90°， AC=BC，直 MN点 C，且 AD⊥MN于 D，BE⊥MN于 E．（ 1）当直 MN点 C旋到 1 的地址，求：①△ ADC≌△ CEB；② DE=AD+BE；（2）当直 MN点 C旋到 2 的地址，求： DE=AD BE；（3）当直 MN点 C 旋到 3 的地址， DE、AD、BE拥有怎的等量关系？写出个等量关系，并加以明．注意：第（ 2）、（3）小你答的是第 2 小．15．（ 2012?淮安）理解如1，△ABC中，沿∠BAC的均分AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C 的均分A1B2折叠，剪掉重复部分；⋯；将余下部分沿∠B n A n C的均分 A n B n+1折叠，点 B n与点 C 重合，无折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠ BAC是△ ABC的好角．小显现了确定∠ BAC是△ ABC的好角的两种状况．状况一：如 2，沿等腰三角形 ABC 角∠ BAC 的均分 AB1折叠，点 B 与点 C重合；状况二：如 3，沿∠ BAC的均分 AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B 1 A1C的均分A1B2 折叠，此点B1 与点C重合．研究（ 1）△ ABC中，∠ B=2∠C，两次折叠，∠BAC是否是△ ABC的好角？（填“是”或“不是”）．（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请研究∠B与∠C（不如设∠B＞∠C）之间的等量关系．依照以上内容猜想：若经过n 次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不如设∠ B＞∠ C）之间的等量关系为．应用提升（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为 15°、 60°、 105°，发现 60°和 105°的两个角都是此三角形的好角．请你完成，若是一个三角形的最小角是 4°，试求出三角形别的两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．16．（ 2011?房山区一模）已知：等边三角形ABC（1）如图 1，P 为等边△ ABC外一点，且∠ BPC=120°．试猜想线段 BP、 PC、AP之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）如图 2，P 为等边△ ABC内一点，且∠ APD=120°．求证： PA+PD+PC＞ BD．17．（2010?丹东）如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F 分别为边AB，AC，BC的中点，M 为直线 BC上一动点，△DMN为等边三角形（点 M的地址改变时，△DMN也随之整体搬动）．（1）如图 1，当点 M在点 B 左侧时，请你判断 EN与 MF如同何的数量关系？点 F 可否在直线 NE上？都请直接写出结论，不用证明或说明原由；（2）如图 2，当点 M在 BC上时，其他条件不变，（1）的结论中 EN与 MF的数量关系可否依旧成立？若成立，请利用图 2 证明；若不成立，请说明原由；（ 3）若点 M在点 C右侧时，请你在图 3 中画出相应的图形，并判断（1）的结论中 EN与MF的数量关系可否依旧成立？若成立，请直接写出结论，不用证明或说明原由．18．（ 2006?西岗区）如图，以△ ABC的边 AB、AC为直角边向外作等腰直角△A BE和△ ACD，M是 BC的中点，请你研究线段DE与 AM之间的关系．说明：（1）若是你经历屡次研究，没有找到解决问题的方法，请你把研究过程中的某种思路写出来（要求最少写 3 步）；（2）在你经历说明（ 1）的过程此后，能够从以下①、②中采用一个补充或更换已知条件，完成你的证明．①画出将△ ACM绕某一点顺时针旋转180°后的图形；②∠ BAC=90°（如图）附加题：如图，若以△ ABC的边 AB、AC为直角边，向内作等腰直角△ ABE和△ ACD，其他条件不变，试试究线段 DE与 AM之间的关系．19．（ 2006?大连）如图 1，Rt△ABC中 AB=AC，点 D、E 是线段 AC上两动点，且 AD=EC，AM垂直 BD，垂足为 M，AM的延长线交 BC于点 N，直线 BD与直线 NE订交于点 F．试判断△DEF 的形状，并加以证明．说明：（1）若是你经历屡次研究，没有找到解决问题的方法，请你把研究过程中的某种思路写出来（要求最少写 3 步）；（ 2）在你经历说明（ 1）的过程此后，能够从以下①、②中采用一个补充也许更换已知条件，完成你的证明．1、画出将△ BAD沿 BA方向平移 BA长，尔后顺时针旋转90°后图形；2、点 K 在线段 BD上，且四边形 AKNC为等腰梯形（ AC∥KN，如图 2）．附加题：如图 3，若点 D、E 是直线 AC上两动点，其他条件不变，试判断△ DEF的形状，并说明原由．参照答案与试题解析一．解答题（共19 小题）1．（2013?扬州）若是 10b =n，那么 b 为 n 的劳格数，记为 b=d（ n），由定义可知： 10b =n 与b=d（ n）所表示的 b、n 两个量之间的同一关系．（1）依照劳格数的定义，填空： d（10）= 1 ，d（10﹣2） = ﹣2 ；（2）劳格数有以下运算性质：若 m、n 为正数，则 d（ mn）=d（m）+d（ n），d（）=d（m）﹣ d（n）．依照运算性质，填空：= 3（a为正数），若d（2）=，则d（4）=，d（5）=，d（）=﹣；（3）如表中与数 x 对应的劳格数 d（ x）有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明原由并改正．x356891227d（x）3a﹣b+c 2a﹣b a+c1+a﹣b﹣c 3﹣3a﹣ 3c 4a﹣2b3﹣b﹣2c6a﹣ 3b【考点】整式的混杂运算；反证法．【专题】压轴题．【解析】（1）依照定义可知， d（10）和 d（ 10﹣2）就是指 10 的指数，据此即可求解；（ 2）依照 d（a3） =d（a?a?a）=d（ a） +d（a）+d（ a）即可求得的值；（3）经过 9=32，27=33，能够判断 d（3）可否正确，同理以依照 5=10÷2，假设 d（5）正确，能够求得 d（2）的值，即可经过 d（8），d（12）作出判断．【解答】解：（ 1） d（ 10）=1，d（10﹣2） =﹣ 2；故答案为： 1，﹣ 2；（2）==3；因为 d（2）=故 d（4）=d（2）+d（2）=，d（5）=d（10）﹣ d（ 2） =1﹣=，d（） =d（8×10﹣2） =3d（2）+d（ 10﹣2）=﹣；（3）若 d（3）≠ 2a﹣ b，则 d（ 9） =2d（3）≠ 4a﹣ 2b，d（27）=3d（3）≠ 6a﹣ 3b，进而表中有三个劳格数是错误的，与题设矛盾，∴d（ 3） =2a﹣ b，若 d（5）≠ a+c，则 d（2）=1﹣ d（ 5）≠ 1﹣ a﹣ c，∴d（ 8） =3d（ 2）≠ 3﹣ 3a﹣ 3c，d（6）=d（3） +d（2）≠ 1+a﹣ b﹣c，表中也有三个劳格数是错误的，与题设矛盾．∴d（ 5） =a+c．∴表中只有 d（）和 d（12）的值是错误的，应纠正为：d（） =d（3）+d（ 5）﹣ 1=3a﹣b+c﹣1，d（12）=d（3）+2d（ 2） =2﹣b﹣2c．【谈论】此题观察整式的运算，正确理解规定的新的运算法规是重点．2．（2012?安庆一模）先阅读以下资料，再解答后边的问题．一般地，若 a n=b（a＞0 且 a≠1，b＞0），则 n 叫做以 a 为底 b 的对数，记为 log a（b即 log a b=n）．如34=81，则 4 叫做以 3 为底 81 的对数，记为 log 381（即 log 381=4）．（ 1）计算以下各对数的值：log 24= 2，log216=4，log264=6．（2）观察（ 1）中三数 4、 16、64 之间满足怎样的关系式， log 2 4、 log 216、 log 2 64 之间又满足怎样的关系式；（ 3）猜想一般性的结论： log a M+log a N= log a（MN）（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0），并依照幂的运算法规： a m?a n=a m+n以及对数的含义证明你的猜想．【考点】同底数的乘法．【】；新定．【解析】（1）依照资料表达，合22=4，24=16，26=64 即可得出答案；（2）依照（ 1）的答案可得出 log 24、log 216、log 264 之足的关系式；（3） log a M=b1，log a N=b2， a b1=M，a b2=N，分表示出 MN及 b1+b2的，即可得出猜想．【解答】解：（ 1） log 24=2，log 216=4， log 264=6；（2） log 24+log 216=log 2 64；（3）猜想 log a M+log a N=log a（MN）．明： log a M=b1， log a N=b2， a b1=M，a b2=N，b1b2b1+b2故可得 MN=a?a =a，b1+b2=log a（MN），即 log a M+log a N=log a（ MN）．【点】本考了同底数的乘法运算，目出得比新，解思路以资料的形式出，需要同学仔，理解并灵便运用所的信息．3．（2012?沈阳模）真资料，尔后回答：我初中学了多式的运算法，相的，我能够算出多式的张开式，如：（a+b）1 =a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（ a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，⋯下面我依次（ a+b）n张开式的各系数一步研究，当 n 取正整数能够独列成表中的形式：上面的多式张开系数表称“ 三角形”；仔察“ 三角形”，用你的律回答以下：（1）多式（ a+b）n的张开式是一个几次几式？并第三的系数；（2）你一下多式（ a+b）n张开式的各系数之和．（3）合上述资料，推断出多式（ a+b）n（ n 取正整数）的张开式的各系数之和 S，（果用含字母 n 的代数式表示）．【考点】完好平方公式．【】；型；律型．【解析】（1）由意可求适合 n=1，2，3，4，⋯，多式（ a+b）n的张开式是一个几次几式，第三的系数是多少，尔后找律，即可求得答案；（2）第一求适合 n=1，2，3，4⋯，多式（ a+b）n张开式的各系数之和，即可求得答案；（3）合（ 2），即可推断出多式（ a+b）n（n 取正整数）的张开式的各系数之和．【解答】解：（ 1）∵当 n=1 ，多式（ a+b）1的张开式是一次二式，此第三的系数： 0=，当 n=2 ，多式（ a+b）2的张开式是二次三式，此第三的系数：1=，当 n=3 ，多式（ a+b）3的张开式是三次四式，此第三的系数：3=，当 n=4 ，多式（ a+b）4的张开式是四次五式，此第三的系数：6=，⋯∴多式（ a+b）n的张开式是一个 n 次 n+1 式，第三的系数：；（ 2）一下多式（ a+b）n张开式的各系数之和： 2n；11（ 3）∵当 n=1 ，多式（ a+b）张开式的各系数之和：1+1=2=2，2张开式的各系数之和：2当 n=2 ，多式（ a+b）1+2+1=4=2，3张开式的各系数之和：3当 n=3 ，多式（ a+b）1+3+3+1=8=2，4张开式的各系数之和：4当 n=4 ，多式（ a+b）1+4+6+4+1=16=2，⋯∴多式（ a+b）n张开式的各系数之和：S=2n．【点】此属于律性、性目．此度大，由特别到一般的方法的用是解此的关．4．（2009?佛山）资料：把形如ax2+bx+c 的二次三式（或其一部分）配成完好平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完好平方公式的逆写，即a2±2ab+b2 =（a±b）2 ．比方：（ x﹣ 1）2+3、（ x﹣ 2）2 +2x、（x﹣2）2+ x2是 x2﹣ 2x+4 的三种不相同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．请依照阅读资料解决以下问题：（1）对照上面的例子，写出 x2﹣4x+2 三种不相同形式的配方；（2）将 a2+ab+b2配方（最少两种形式）；（3）已知 a2+b2+c2﹣ab﹣ 3b﹣2c+4=0，求 a+b+c 的值．【考点】完好平方公式．【专题】压轴题；阅读型．【解析】（1）（ 2）此题观察对完好平方公式的灵便应用能力，由题中所给的已知资料可得222的配方也可分别常数项、一次项、二次项三种不相同形式；x﹣ 4x+2 和 a +ab+b（ 3）经过配方后，求得a，b，c 的值，再代入代数式求值．【解答】解：（ 1） x2﹣4x+2 的三种配方分别为：x2﹣ 4x+2=（x﹣2）2﹣ 2，x2﹣ 4x+2=（x+）2﹣（2+4）x，x2﹣ 4x+2=（x﹣）2﹣x2；（2） a2 +ab+b2=（a+b）2﹣ab，a2+ab+b2=（a+ b）2+ b2；（3） a2 +b2+c2 ab 3b 2c+4，=（a2ab+ b2） +（b23b+3） +（ c22c+1），=（a2ab+ b2） + （b24b+4） +（ c22c+1），=（a b）2+ （b 2）2+（c 1）2=0，进而有 a b=0， b 2=0，c 1=0，即 a=1，b=2，c=1，∴a+b+c=4．【点】本考了依照完好平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2行配方的能力．5．（2007?）依照以下10 个乘，回答：11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．（1）将以上各乘分写成一个“□2 ?2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思虑程；（2）将以上 10 个乘依照从小到大的序排列起来；（3）若用 a1b1， a2b2，⋯， a n b n表示 n 个乘，其中 a1，a2， a3，⋯， a n， b1，b2，b3，⋯，b n正数．由（ 1）、（2）猜一个一般性的．（不要求明）【考点】平方差公式．【专题】压轴题．【解析】利用两数的和与这两数的差的积，就是它们的平方差．如11×29；可想几加几等于 29，几减几等于 11，可得 20+9 和 20﹣9，可得 11×29=202﹣ 92，同理思虑其他的．【解答】解：（ 1）11×29=202﹣92；12×28=202﹣82；13×27=202﹣72；14×26=202﹣62；15×25=202﹣ 52；16×24=202﹣42；17×23=202﹣32；18×22=202﹣ 22；19×21=202﹣12；20×20=202﹣02．（ 4 分）比方， 11×29；假设 11×29=□2﹣○2，因为□2﹣○2=（□ +○）（□﹣○）；因此，能够令□﹣○ =11，□ +○=29．解得，□ =20，○ =9．故 11×29=202﹣92．（5 分）（或 11×29=（ 20﹣ 9）（20+9）=202﹣92．5 分）（ 2）这 10 个乘积依照从小到大的序次依次是：11×29＜12×28＜13×27＜14×26＜15×25＜16×24＜17×23＜18×22＜19×21＜20×20．（7 分）（3）①若 a+b=40， a、 b 是自然数，则 ab≤202=400．（ 8 分）②若 a+b=40，则 ab≤202=400．（8 分）③若 a+b=m，a、 b 是自然数，则 ab≤．（9分）④若 a+b=m， ab≤．（9 分）⑤若 a1+b1=a2+b2=a3+b3=a n+b n =40．且|a 1b1| ≥|a 2b2| ≥|a 3b3| ≥≥ |a n b n| ，a1b1≤a2b2≤a3b3≤≤a n b n．（10 分）⑥若a1+b1=a2+b2=a3+b3=a n+b n =m．且|a 1b1| ≥|a 2b2| ≥|a 3b3| ≥⋯≥ |a n b n| ，a1b1≤a2b2≤a3b3≤⋯≤a n b n．（10 分）明：出①或②之一的得（ 1 分）；出③或④之一的得（ 2 分）；出⑤或⑥之一的得（ 3 分）．【点】此主要考了乘法的平方差公式．即两个数的和与两个数的差的等于两个数的平方差，个公式就叫做乘法的平方差公式．6．（2006?浙江）若是一个正整数能表示两个偶数的平方差，那么称个正整数“神秘数”．如： 4=2202，12=4222， 20=6242，因此 4，12， 20 都是“奇特数”（1） 28 和 2012 两个数是“奇特数” ？什么？（2）两个偶数 2k+2 和 2k（其中 k 取非整数），由两个偶数构造的奇特数是 4 的倍数？什么？（ 3）两个奇数的平方差（k 取正数）是奇特数？什么？【考点】平方差公式．【专题】压轴题；新定义．【解析】（1）试着把 28、2012 写成平方差的形式，解方程即可判断是否是奇特数；（2）化简两个连续偶数为 2k+2 和 2k 的差，再判断；（3）设两个连续奇数为 2k+1 和 2k﹣ 1，则（ 2k+1）2﹣（ 2k﹣ 1）2=8k=4×2k，即可判断两个连续奇数的平方差不是奇特数．【解答】解：（ 1）设 28 和 2012 都是“奇特数”，设28 是 x 和 x﹣ 2 两数的平方差获取，则 x2﹣（ x﹣2）2 =28，解得： x=8，∴ x﹣ 2=6，即 28=82﹣62，设 2012 是 y 和 y﹣2 两数的平方差获取，则 y2﹣（ y﹣2）2 =2012，解得： y=504，y﹣2=502，即 2012=5042﹣ 5022，因此 28，2012 都是奇特数．（2）（2k+2）2﹣（ 2k）2=（2k+2﹣2k）（2k+2+2k）=4（ 2k+1），∴由 2k+2 和 2k 构造的奇特数是 4 的倍数，且是奇数倍．（3）设两个连续奇数为 2k+1 和 2k﹣ 1，则（ 2k+1）2﹣（ 2k﹣1）2=8k=4×2k，即：两个连续奇数的平方差是 4 的倍数，是偶数倍，不满足连续偶数的奇特数为 4 的奇数倍这一条件．∴两个连续奇数的平方差不是奇特数．【谈论】此题第一观察了阅读能力、研究推理能力．对知识点的观察，主若是平方差公式的灵便应用．7．（2007?淄博）依照以下10 个乘积，回答以下问题：11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．（1）试将以上各乘积分别写成一个“□2﹣○2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思虑过程；（2）将以上 10 个乘积依照从小到大的序次排列起来；（3）试由（ 1）、（ 2）猜想一个一般性的结论．（不要求证明）【考点】整式的混杂运算；绝对值．【专题】压轴题；规律型．【解析】（1）依照要求求出两数的平均数，再写成平方差的形式即可．（2）减去的数越大，乘就越小，据此律填写即可．（3）依照排列的序可得，两数相差越大，越小．【解答】解：（ 1）11×29=20292；12×28=20282；13×27=20272；14×26=20262；15×25=20252；16×24=20242；17×23=20232；18×22=20222；19×21=20212；20×20=20202⋯（4分）比方， 11×29；假 11×29=□2○2，因□2○2=（□ +○）（□ ○）；因此，能够令□ ○ =11，□ +○=29．解得，□ =20，○ =9．故 11×29=20292．（或 11×29=（ 20 9）（20+9）=20292（ 2） 10 个乘依照从小到大的序依次是：11×29＜12×28＜13×27＜14×26＜15×25＜16×24＜17×23＜18×22＜19×21＜20×20（3）①若 a+b=40， a， b 是自然数， ab≤202=400．②若 a+b=40， ab≤202=400．⋯（8分）③若 a+b=m，a， b 是自然数， ab≤．④若 a+b=m， ab≤．⑤若 a，b 的和定，ab 的最大．⑥若 a1+b1=a2+b2=a3+b3=⋯=a n+b n =40．且|a 1b1| ≥|a 2b2| ≥ |a 3b3| ≥⋯≥ |a n b n| ，a b ≤a b ≤a b ≤⋯≤a b ．⋯（ 10 分）112233n n⑦若 a1+b1=a2+b2=a3+b3=⋯=a n+b n =m．且|a 1b1| ≥|a 2b2| ≥|a 3b3| ≥⋯≥ |a n b n| ，a1b1≤a2b2≤a3b3≤⋯≤a n b n．⑧若 a+b=m，a，b 差的越大，它的就越小．明：出①或②之一的得（ 1 分）；出③、④或⑤之一的得（ 2 分）；出⑥、⑦或⑧之一的得（ 3 分）．【点】本主要考整式的混杂运算，找出律是解答本的关．8．（2015?于洪区一模）如 1，在△ ABC中，∠ ACB角，点 D射 BC上一点，接AD，以 AD一且在 AD的右作正方形 ADEF．（1）若是 AB=AC，∠ BAC=90°，①当点 D在线段 BC上时（与点 B 不重合），如图 2，线段 CF、BD所在直线的地址关系为垂直，线段 CF、 BD的数量关系为相等；②当点 D在线段 BC的延长线上时，如图3，①中的结论可否依旧成立，并说明原由；（ 2）若是 AB≠AC，∠ BAC是锐角，点 D在线段 BC上，当∠ ACB满足什么条件时，CF⊥BC （点 C、F 不重合），并说明原由．【考点】全等三角形的判断与性质．【专题】压轴题；开放型．【解析】（1）当点 D在 BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△ FAC，因此 CF=BD，∠ ACF=∠ABD．结合∠ BAC=90°， AB=AC，获取∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即 CF⊥BD．（2）当∠ ACB=45°时，过点 A 作 AG⊥AC交 CB的延长线于点 G，则∠ GAC=90°，可推出∠ACB=∠AGC，因此 AC=AG，由（ 1）①可知 CF⊥BD．【解答】证明：（1）①正方形 ADEF中， AD=AF，∵∠ BAC=∠DAF=90°，∴∠ BAD=∠CAF，又∵ AB=AC，∴△ DAB≌△ FAC，∴CF=BD，∠ B=∠ACF，∴∠ ACB+∠ACF=90°，即 CF⊥BD．②当点 D在 BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形 ADEF得 AD=AF，∠ DAF=90度．∵∠ BAC=90°，∴∠ DAF=∠BAC，∴∠ DAB=∠FAC，又∵ AB=AC，∴△ DAB≌△ FAC，∴CF=BD，∠ ACF=∠ABD．∵∠ BAC=90°， AB=AC，∴∠ ABC=45°，∴∠ ACF=45°，∴∠ BCF=∠ACB+∠ACF=90度．即 CF⊥BD．（2）当∠ ACB=45°时， CF⊥BD（如图）．原由：过点 A 作 AG⊥AC交 CB的延长线于点 G，则∠ GAC=90°，∵∠ ACB=45°，∠ AGC=90°﹣∠ ACB，∴∠ AGC=90°﹣ 45°=45°，∴∠ ACB=∠AGC=45°，∴AC=AG，∵∠ DAG=∠FAC（同角的余角相等），AD=AF，∴△ GAD≌△ CAF，∴∠ ACF=∠AGC=45°，∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，即CF⊥BC．【谈论】此题观察三角形全等的判断和直角三角形的判断，判断两个三角形全等的一般方法有： SSS、SAS、 ASA、AAS、HL．判断两个三角形全等，先依照已知条件或求证的结论确定三角形，尔后再依照三角形全等的判断方法，看缺什么条件，再去证什么条件．9．（2015?菏泽）如图，已知∠ ABC=90°， D 是直线 AB上的点， AD=BC．（1）如图 1，过点 A 作 AF⊥AB，并截取 AF=BD，连接 DC、 DF、CF，判断△C DF的形状并证明；（2）如图 2，E 是直线 BC上一点，且 CE=BD，直线 AE、CD订交于点 P，∠ APD的度数是一个固定的值吗？若是，央求出它的度数；若不是，请说明原由．【考点】全等三角形的判断与性质．【专题】压轴题．【解析】（1）利用 SAS证明△ AFD和△ BDC全等，再利用全等三角形的性质得出 FD=DC，即可判断三角形的形状；（2）作 AF⊥AB于 A，使 AF=BD，连接 DF， CF，利用 SAS证明△ AFD和△ BDC全等，再利用全等三角形的性质得出 FD=DC，∠ FDC=90°，即可得出∠ FCD=∠APD=45°．【解答】解：（ 1）△ CDF是等腰直角三角形，原由以下：∵AF⊥AD，∠ ABC=90°，∴∠ FAD=∠DBC，在△ FAD与△ DBC中，，∴△ FAD≌△ DBC（ SAS），∴FD=DC，∴△ CDF是等腰三角形，∵△ FAD≌△ DBC，∴∠ FDA=∠DCB，∵∠ BDC+∠DCB=90°，∴∠ BDC+∠FDA=90°，∴△ CDF是等腰直角三角形；（2）作 AF⊥AB于 A，使 AF=BD，连接 DF，CF，如图，∵AF⊥AD，∠ ABC=90°，∴∠ FAD=∠DBC，在△ FAD与△ DBC中，，∴△ FAD≌△ DBC（ SAS），∴FD=DC，∴△ CDF是等腰三角形，∵△ FAD≌△ DBC，∴∠ FDA=∠DCB，∵∠ BDC+∠DCB=90°，∴∠ BDC+∠FDA=90°，∴△ CDF是等腰直角三角形，∴∠ FCD=45°，∵AF∥CE，且 AF=CE，∴四边形 AFCE是平行四边形，∴AE∥CF，∴∠ APD=∠FCD=45°．【谈论】此题观察了全等三角形的判断与性质的运用，平行四边形的判断及性质的运用，等腰直角三角形的判断及性质的运用．解答时证明三角形全等是重点．10．（ 2015?铁岭一模）已知：△ ABC中， BD、CE分别是 AC、 AB边上的高， BQ=AC，点 F 在CE的延长线上， CF=AB，求证： AF⊥AQ．【考点】全等三角形的判断与性质．【专题】证明题；压轴题．【解析】第一证明出∠ ABD=∠ACE，再有条件 BQ=AC， CF=AB可得△ ABQ≌△ ACF，进而获取∠F=∠BAQ，尔后再依照∠ F+∠FAE=90°，可得∠ BAQ+∠FAE═90°，进而证出 AF⊥AQ．【解答】证明：∵ BD、CE分别是 AC、AB边上的高，∴∠ ADB=90°，∠ AEC=90°，∴∠ ABQ+∠BAD=90°，∠ BAC+∠ACE=90°，∴∠ ABD=∠ACE，在△ ABQ和△ ACF中，∴△ ABQ≌△ ACF（ SAS），∴∠ F=∠BAQ，∵∠ F+∠FAE=90°，∴∠ BAQ+∠FAE═90°，∴AF⊥AQ．【谈论】此题主要观察了全等三角形的判断与性质，重点是掌握全等三角形的判断方法，以及全等三角形的性质定理．11．（ 2013?庐阳区校级模拟）如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ ACE拼在一起（图1）．△ ABD不动，（ 1）若将△ ACE绕点 A 逆时针旋转，连接 DE，M是 DE的中点，连接 MB、MC（图 2），证明：MB=MC．（ 2）若将图 1 中的 CE向上平移，∠ CAE不变，连接 DE，M是 DE的中点，连接 MB、MC（图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系．（3）在（ 2）中，若∠ CAE的大小改变（图 4），其他条件不变，则（ 2）中的 MB、MC的数量关系还成立吗？说明原由．【考点】全等三角形的判断与性质．【专题】证明题；几何综合题；压轴题．【解析】（1）连接AM，依照全等三角形的对应边相等可得AD=AE，AB=AC，全等三角形对应角相等可得∠BAD=∠CAE，再依照等腰三角形三线合一的性质获取∠MAD=∠MAE，尔后利用“边角边”证明△ ABM和△ ACM全等，依照全等三角形对应边相等即可得证；（ 2）延长 DB、AE订交于 E′，延长 EC交 AD于 F，依照等腰三角形三线合一的性质获取BD=BE′，尔后求出 MB∥AE′，再依照两直线平行，内错角相等求出∠MBC=∠CAE，同理求出MC∥AD，依照两直线平行，同位角相等求出∠BCM=∠BAD，尔后求出∠MBC=∠BCM，再依照等角同等边即可得证；（3）延长BM交CE于F，依照两直线平行，内错角相等可得∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE，尔后利用“角角边”证明△MDB和△MEF全等，依照全等三角形对应边相等可得 MB=MF，尔后依照直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明即可．【解答】证明：（1）如图 2，连接 AM，由已知得△ ABD≌△ ACE，∴AD=AE，AB=AC，∠ BAD=∠CAE，∵MD=ME，∴∠ MAD=∠MAE，∴∠ MAD﹣∠ BAD=∠MAE﹣∠ CAE，即∠ BAM=∠CAM，在△ ABM和△ ACM中，，∴△ ABM≌△ ACM（ SAS），∴MB=MC；（2） MB=MC．原由以下：如图3，延长 DB、AE订交于 E′，延长 EC交 AD于 F，∴BD=BE′， CE=CF，∵M是 ED的中点， B 是 DE′的中点，∴MB∥AE′，∴∠ MBC=∠CAE，同理： MC∥AD，∴∠ BCM=∠BAD，∵∠ BAD=∠CAE，∴∠ MBC=∠BCM，∴MB=MC；（3） MB=MC还成立．如图 4，延长 BM交 CE于 F，∵CE∥BD，∴∠ MDB=∠MEF，∠ MBD=∠MFE，又∵M是 DE的中点，∴MD=ME，在△ MDB和△ MEF中，，∴△ MDB≌△ MEF（ AAS），∴MB=MF，∵∠ ACE=90°，∴∠ BCF=90°，∴MB=MC．【谈论】此题观察了全等三角形的判断与性质，等腰三角形三线合一的性质，等角同等边的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及三角形的中位线定理，综合性较强，但难度不大，作辅助线构造出等腰三角形或全等三角形是解题的重点．12．（ 2012?昌平区模拟）（1）如图，在四边形ABCD中， AB=AD，∠ B=∠D=90°， E、F 分别是边 BC、CD上的点，且∠ EAF= ∠BAD．求证： EF=BE+FD；（2）如图，在四边形 ABCD中， AB=AD，∠ B+∠D=180°， E、F 分别是边 BC、CD上的点，且∠ EAF= ∠BAD，（ 1）中的结论可否依旧成立？（3）如图，在四边形 ABCD中， AB=AD，∠ B+∠ADC=180°， E、F 分别是边 BC、CD延长线上的点，且∠ EAF= ∠BAD，（1）中的结论可否依旧成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．【考点】全等三角形的判断与性质．【专题】证明题；压轴题；研究型．【解析】（1）可经过成立全等三角形来实现线段间的变换．延长EB到 G，使 BG=DF，连接AG．目的就是要证明三角形AGE和三角形 AEF全等将 EF变换成 GE，那么这样 EF=BE+DF了，于是证明两组三角形全等就是解题的重点．三角形ABE和 AEF中，只有一条公共边AE，我们就要经过其他的全等三角形来实现，在三角形ABG和 AFD中，已知了一组直角， BG=DF，AB=AD，因此两三角形全等，那么 AG=AF，∠1=∠2，那么∠ 1+∠3=∠2+∠3=∠EAF= ∠BAD．由此就构成了三角形ABE和 AEF全等的所有条件（ SAS），那么就能得出EF=GE了．（2）思路和作辅助线的方法与（ 1）完好相同，只但是证明三角形 ABG和 ADF全等中，证明∠ ABG=∠ADF时，用到的等角的补角相等，其他的都相同．因此与（ 1）的结果完好相同．（3）依照（ 1）的思路，我们应该经过全等三角形来实现相等线段的变换．就应该在BE上截取 BG，使 BG=DF，连接 AG．依照（1）的证法，我们可得出 DF=BG，GE=EF，那么 EF=GE=BE ﹣BG=BE﹣DF．因此（ 1）的结论在（ 3）的条件下是不成立的．【解答】证明：（1）延长 EB到 G，使 BG=DF，连接 AG．∵∠ ABG=∠ABC=∠D=90°， AB=AD，∴△ ABG≌△ ADF．∴AG=AF，∠ 1=∠2．∴∠ 1+∠3=∠2+∠3=∠EAF= ∠BAD．∴∠ GAE=∠EAF．又 AE=AE，∴△ AEG≌△ AEF．∵EG=BE+BG．∴EF=BE+FD（2）（1）中的结论 EF=BE+FD依旧成立．（3）结论 EF=BE+FD不成立，应该是 EF=BE﹣FD．证明：在 BE上截取 BG，使 BG=DF，连接 AG．∵∠ B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，∴∠ B=∠ADF．∵AB=AD，∴△ ABG≌△ ADF．∴∠ BAG=∠DAF， AG=AF．∴∠ BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF= ∠BAD．∴∠ GAE=∠EAF．∵AE=AE，∴△ AEG≌△ AEF．∵EG=BE﹣ BG∴EF=BE﹣ FD．【谈论】此题观察了三角形全等的判断和性质；此题中经过全等三角形来实现线段的变换是解题的重点，没有明确的全等三角形时，要经过辅助线来成立与已知和所求条件相关系全等三角形．13．（ 2011?泰安）已知：在△ ABC中， AC=BC，∠ ACB=90°，点 D 是 AB的中点，点 E 是 AB 边上一点．（1）直线 BF垂直于直线 CE于点 F，交 CD于点 G（如图 1），求证： AE=CG；（2）直线 AH垂直于直线 CE，垂足为点 H，交 CD的延长线于点 M（如图 2），找出图中与BE相等的线段，并证明．【考点】全等三角形的判断与性质；等腰直角三角形．【专题】几何综合题；压轴题．【解析】（1）第一依照点 D是 AB中点，∠ ACB=90°，可得出∠ ACD=∠BCD=45°，判断出△AEC≌△ CGB，即可得出 AE=CG，（2）依照垂直的定义得出∠ CMA+∠MCH=90°，∠ BEC+∠MCH=90°，再依照AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，得出△ BCE≌△ CAM，进而证明出 BE=CM．【解答】（1）证明：∵点 D是 AB中点， AC=BC，∠ACB=90°，∴CD⊥AB，∠ ACD=∠BCD=45°，∴∠ CAD=∠CBD=45°，∴∠ CAE=∠BCG，又∵ BF⊥CE，∴∠ CBG+∠BCF=90°，又∵∠ ACE+∠BCF=90°，∴∠ ACE=∠CBG，在△ AEC和△ CGB中，∴△ AEC≌△ CGB（ ASA），∴AE=CG，（2）解： BE=CM．证明：∵ CH⊥HM，CD⊥ED，∴∠ CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，∴∠ CMA=∠BEC，又∵∠ ACM=∠CBE=45°，在△ BCE和△ CAM中，，∴△ BCE≌△ CAM（ AAS），∴BE=CM．【谈论】此题主要观察了全等三角形的判断方法以及全等三角形对应边相等的性质，难度适中．14．（ 2005?扬州）（此题有 3 小题，第（ 1）小题为必答题，满分5 分；第（ 2）、（ 3）小题为选答题，其中，第（ 2）小题满分 3 分，第（ 3）小题满分 6 分，请从中任选 1 小题作答，如两题都答，以第（ 2）小题评分．）在△ ABC中，∠ ACB=90°， AC=BC，直线 MN经过点 C，且 AD⊥MN于 D，BE⊥MN于 E．（1）当直线 MN绕点 C旋转到图 1 的地址时，求证：①△ ADC≌△ CEB；② DE=AD+BE；（2）当直线 MN绕点 C旋转到图 2 的地址时，求证： DE=AD﹣BE；（3）当直线 MN绕点 C 旋转到图 3 的地址时，试问 DE、AD、BE拥如同何的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．注意：第（ 2）、（3）小题你选答的是第2 小题．【考点】全等三角形的判断与性质．【专题】证明题；压轴题；研究型．。
初一数学期中考试压轴题
初一数学期中考试压轴题一、选择题1. 计算 13 + 27 + 38 + 42 的和。
A) 99 B) 108 C) 120 D) 1242. 某商品原价为120元，现正进行打折促销，打折后的价格为原价的80%。
请问打折后的价格是多少元？A) 80 B) 96 C) 100 D) 1043. 在一个正方形花园的四条边上各栽了几棵树，每棵相邻的两棵树之间的距离相同，如图所示。
请问共栽了几棵树？（图）A) 16 B) 18 C) 20 D) 224. 计算：35 ÷ (2 × 5) - 6 × 3 + 8 ÷ 4。
A) 10 B) 11 C) 13 D) 155. 已知 a = -3，b = 5，则下列四个数中最大的是：A) a - b B) b - a C) a × b D) a ÷ b二、填空题1. 某班共有60名学生，其中有⅓的学生选择了音乐课，⅙的学生选择了美术课，剩下的学生选择了体育课。
体育课报名的学生有____人。
2. 某村庄有农民和鸡，农民数目是鸡数目的3倍，而且农民还养了4只鸽子。
鸡和鸽子的总数是___。
3. 一根绳子长100米，房子在绳子的中央，绳子的两端系着两只狗。
两只狗同时向绳子的两端跑，狗速度是3米/秒，绳子被拉断时，离每只狗最近的绳子长度分别是____米。
三、解答题1. 某代步车行驶了80公里，耗油8升。
那么它每行驶____公里要消耗____升油。
2. 一辆公交车白天从A地出发，间隔11分钟发车一次，到达B 地需要2小时10分钟。
在这段时间内，该公交车从A地发车多少次？以上就是初一数学期中考试的压轴题，希望同学们能够认真答题，发挥自己的数学能力，取得优异的成绩！祝各位同学考试顺利！。
初一数学压轴题
一．解答题〔共19小题〕1．〔2021•XX〕如果10b=n，那么b为n的劳格数，记为b=d〔n〕，由定义可知：10b=n与b=d〔n〕所表示的b、n两个量之间的同一关系．〔1〕根据劳格数的定义，填空：d〔10〕=，d〔10﹣2〕=；〔2〕劳格数有如下运算性质：假设m、n为正数，那么d〔mn〕=d〔m〕+d〔n〕，d〔〕=d〔m〕﹣d〔n〕．根据运算性质，填空：=〔a为正数〕，假设d〔2〕=0.3010，那么d〔4〕=，d〔5〕=，d〔0.08〕=；〔3〕如表中与数x对应的劳格数d〔x〕有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明理由并改正．x 1.5 3 5 6 8 9 12 27d〔x〕3a﹣b+c 2a﹣b a+c 1+a﹣b﹣c 3﹣3a﹣3c 4a﹣2b 3﹣b﹣2c 6a﹣3b2．〔2021•XX一模〕先阅读以下材料，再解答后面的问题．一般地，假设a n=b〔a＞0且a≠1，b＞0〕，那么n叫做以a为底b的对数，记为log a b〔即log a b=n〕．如34=81，那么4叫做以3为底81的对数，记为log381〔即log381=4〕．〔1〕计算以下各对数的值：log24=，log216=，log264=．〔2〕观察〔1〕中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；〔3〕猜测一般性的结论：log a M+log a N=〔a＞0且a≠1，M＞0，N＞0〕，并根据幂的运算法那么：a m•a n=a m+n以及对数的含义证明你的猜测．3．〔2021•XX模拟〕认真阅读材料，然后答复以下问题：我们初中学习了多项式的运算法那么，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：〔a+b〕1=a+b，〔a+b〕2=a2+2ab+b2，〔a+b〕3=〔a+b〕2〔a+b〕=a3+3a2b+3ab2+b3，…下面我们依次对〔a+b〕n展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式：上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形〞；仔细观察“杨辉三角形〞，用你发现的规律答复以下问题：〔1〕多项式〔a+b〕n的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数；〔2〕请你预测一下多项式〔a+b〕n展开式的各项系数之和．〔3〕结合上述材料，推断出多项式〔a+b〕n〔n取正整数〕的展开式的各项系数之和为S，〔结果用含字母n的代数式表示〕．4．〔2021•XX〕阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式〔或其一局部〕配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的根本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=〔a±b〕2．例如：〔x﹣1〕2+3、〔x﹣2〕2+2x、〔x﹣2〕2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方〔即“余项〞分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的局部〕．请根据阅读材料解决以下问题：〔1〕比照上面的例子，写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方；〔2〕将a2+ab+b2配方〔至少两种形式〕；〔3〕a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．5．〔2007•东营〕根据以下10个乘积，答复以下问题：11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．〔1〕试将以上各乘积分别写成一个“□2﹣∅2〞〔两数平方差〕的形式，并写出其中一个的思考过程；〔2〕将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；〔3〕假设用a1b1，a2b2，…，anbn表示n个乘积，其中a1，a2，a3，…，a n，b1，b2，b3，…，b n为正数．试由〔1〕、〔2〕猜测一个一般性的结论．〔不要求证明〕6．〔2006•XX〕如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数〞．如：4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数〞〔1〕28和2021这两个数是“神秘数〞吗？为什么？〔2〕设两个连续偶数为2k+2和2k〔其中k取非负整数〕，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？〔3〕两个连续奇数的平方差〔k取正数〕是神秘数吗？为什么？8．〔2021 •于洪区一模〕如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．〔1〕如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时〔与点B不重合〕，如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为，线段CF、BD的数量关系为；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；〔2〕如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC〔点C、F不重合〕，并说明理由．9．〔2021 •XX〕如图，∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．〔1〕如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；〔2〕如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？假设是，请求出它的度数；假设不是，请说明理由．10．〔2021 •XX一模〕：△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BQ=AC，点F在CE的延长线上，CF=AB，求证：AF⊥AQ．11．〔2021•庐阳区校级模拟〕如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起〔图1〕．△ABD不动，〔1〕假设将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC〔图2〕，证明：MB=MC．〔2〕假设将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC〔图3〕，判断并直接写出MB、MC的数量关系．〔3〕在〔2〕中，假设∠CAE的大小改变〔图4〕，其他条件不变，那么〔2〕中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由．12．〔2021•昌平区模拟〕〔1〕如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE+FD；〔2〕如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD，〔1〕中的结论是否仍然成立？〔3〕如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，〔1〕中的结论是否仍然成立？假设成立，请证明；假设不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．13．〔2021•XX〕：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．〔1〕直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G〔如图1〕，求证：AE=CG；〔2〕直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M〔如图2〕，找出图中与BE相等的线段，并证明．14．〔2005•XX〕〔此题有3小题，第〔1〕小题为必答题，总分值5分；第〔2〕、〔3〕小题为选答题，其中，第〔2〕小题总分值3分，第〔3〕小题总分值6分，请从中任选1小题作答，如两题都答，以第〔2〕小题评分．〕在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．〔1〕当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；〔2〕当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；〔3〕当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．注意：第〔2〕、〔3〕小题你选答的是第2小题．15．〔2021•XX〕阅读理解如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复局部；将余下局部沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复局部；…；将余下局部沿∠B n A n C的平分线A n B n+1折叠，点B n与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复局部；将余下局部沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．探究发现〔1〕△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？〔填“是〞或“不是〞〕．〔2〕小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C〔不妨设∠B＞∠C〕之间的等量关系．根据以上内容猜测：假设经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，那么∠B与∠C〔不妨设∠B＞∠C〕之间的等量关系为．应用提升〔3〕小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．16．〔2021•房山区一模〕：等边三角形ABC〔1〕如图1，P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°．试猜测线段BP、PC、AP之间的数量关系，并证明你的猜测；〔2〕如图2，P为等边△ABC内一点，且∠APD=120°．求证：PA+PD+PC＞BD．17．〔2021•XX〕如图，等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形〔点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动〕．〔1〕如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；〔2〕如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，〔1〕的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？假设成立，请利用图2证明；假设不成立，请说明理由；〔3〕假设点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断〔1〕的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？假设成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．18．〔2006•西岗区〕如图，以△ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角△ABE和△ACD，M是BC的中点，请你探究线段DE与AM之间的关系．说明：〔1〕如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来〔要求至少写3步〕；〔2〕在你经历说明〔1〕的过程之后，可以从以下①、②中选取一个补充或更换条件，完成你的证明．①画出将△ACM绕某一点顺时针旋转180°后的图形；②∠BAC=90°〔如图〕附加题：如图，假设以△ABC的边AB、AC为直角边，向内作等腰直角△ABE和△ACD，其它条件不变，试探究线段DE与AM之间的关系．19．〔2006•XX〕如图1，Rt△ABC中AB=AC，点D、E是线段AC上两动点，且AD=EC，AM垂直BD，垂足为M，AM的延长线交BC于点N，直线BD与直线NE相交于点F．试判断△DEF的形状，并加以证明．说明：〔1〕如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来〔要求至少写3步〕；〔2〕在你经历说明〔1〕的过程之后，可以从以下①、②中选取一个补充或者更换条件，完成你的证明．1、画出将△BAD沿BA方向平移BA长，然后顺时针旋转90°后图形；2、点K在线段BD上，且四边形AKNC为等腰梯形〔AC∥KN，如图2〕．附加题：如图3，假设点D、E是直线AC上两动点，其他条件不变，试判断△DEF的形状，并说明理由．2021年06月26日842051969的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题〔共19小题〕1．〔2021•XX〕如果10b=n，那么b为n的劳格数，记为b=d〔n〕，由定义可知：10b=n与b=d〔n〕所表示的b、n两个量之间的同一关系．〔1〕根据劳格数的定义，填空：d〔10〕=1，d〔10﹣2〕=﹣2；〔2〕劳格数有如下运算性质：假设m、n为正数，那么d〔mn〕=d〔m〕+d〔n〕，d〔〕=d〔m〕﹣d〔n〕．根据运算性质，填空：=3〔a为正数〕，假设d〔2〕=0.3010，那么d〔4〕=0.6020，d〔5〕=0.6990，d〔0.08〕=﹣1.0970；〔3〕如表中与数x对应的劳格数d〔x〕有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明理由并改正．x 1.5 3 5 6 8 9 12 27d〔x〕3a﹣b+c 2a﹣b a+c 1+a﹣b﹣c 3﹣3a﹣3c 4a﹣2b 3﹣b﹣2c 6a﹣3b【考点】整式的混合运算；反证法．【专题】压轴题．【分析】〔1〕根据定义可知，d〔10〕和d〔10﹣2〕就是指10的指数，据此即可求解；〔2〕根据d〔a3〕=d〔a•a•a〕=d〔a〕+d〔a〕+d〔a〕即可求得的值；〔3〕通过9=32，27=33，可以判断d〔3〕是否正确，同理以依据5=10÷2，假设d〔5〕正确，可以求得d〔2〕的值，即可通过d〔8〕，d〔12〕作出判断．【解答】解：〔1〕d〔10〕=1，d〔10﹣2〕=﹣2；故答案为：1，﹣2；〔2〕==3；因为d〔2〕=0.3010故d〔4〕=d〔2〕+d〔2〕=0.6020，d〔5〕=d〔10〕﹣d〔2〕=1﹣0.3010=0.6990，d〔0.08〕=d〔8×10﹣2〕=3d〔2〕+d〔10﹣2〕=﹣1.0970；〔3〕假设d〔3〕≠2a﹣b，那么d〔9〕=2d〔3〕≠4a﹣2b，d〔27〕=3d〔3〕≠6a﹣3b，从而表中有三个劳格数是错误的，与题设矛盾，∴d〔3〕=2a﹣b，假设d〔5〕≠a+c，那么d〔2〕=1﹣d〔5〕≠1﹣a﹣c，∴d〔8〕=3d〔2〕≠3﹣3a﹣3c，d〔6〕=d〔3〕+d〔2〕≠1+a﹣b﹣c，表中也有三个劳格数是错误的，与题设矛盾．∴d〔5〕=a+c．∴表中只有d〔1.5〕和d〔12〕的值是错误的，应纠正为：d〔1.5〕=d〔3〕+d〔5〕﹣1=3a﹣b+c﹣1，d〔12〕=d〔3〕+2d〔2〕=2﹣b﹣2c．【点评】此题考察整式的运算，正确理解规定的新的运算法那么是关键．2．〔2021•XX一模〕先阅读以下材料，再解答后面的问题．一般地，假设a n=b〔a＞0且a≠1，b＞0〕，那么n叫做以a为底b的对数，记为log a b〔即log a b=n〕．如34=81，那么4叫做以3为底81的对数，记为log381〔即log381=4〕．〔1〕计算以下各对数的值：log24=2，log216=4，log264=6．〔2〕观察〔1〕中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；〔3〕猜测一般性的结论：log a M+log a N=log a〔MN〕〔a＞0且a≠1，M＞0，N＞0〕，并根据幂的运算法那么：a m•a n=a m+n 以及对数的含义证明你的猜测．【考点】同底数幂的乘法．【专题】压轴题；新定义．【分析】〔1〕根据材料表达，结合22=4，24=16，26=64即可得出答案；〔2〕根据〔1〕的答案可得出log24、log216、log264之间满足的关系式；〔3〕设log a M=b1，log a N=b2，那么a b1=M，a b2=N，分别表示出MN及b1+b2的值，即可得出猜测．【解答】解：〔1〕log24=2，log216=4，log264=6；〔2〕log24+log216=log264；〔3〕猜测log a M+log a N=log a〔MN〕．证明：设log a M=b1，log a N=b2，那么a b1=M，a b2=N，故可得MN=a b1•a b2=a b1+b2，b1+b2=log a〔MN〕，即log a M+log a N=log a〔MN〕．【点评】此题考察了同底数幂的乘法运算，题目出得比拟新颖，解题思路以材料的形式给出，需要同学们仔细阅读，理解并灵活运用所给的信息．3．〔2021•XX模拟〕认真阅读材料，然后答复以下问题：我们初中学习了多项式的运算法那么，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：〔a+b〕1=a+b，〔a+b〕2=a2+2ab+b2，〔a+b〕3=〔a+b〕2〔a+b〕=a3+3a2b+3ab2+b3，…下面我们依次对〔a+b〕n展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式：上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形〞；仔细观察“杨辉三角形〞，用你发现的规律答复以下问题：〔1〕多项式〔a+b〕n的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数；〔2〕请你预测一下多项式〔a+b〕n展开式的各项系数之和．〔3〕结合上述材料，推断出多项式〔a+b〕n〔n取正整数〕的展开式的各项系数之和为S，〔结果用含字母n的代数式表示〕．【考点】完全平方公式．【专题】压轴题；阅读型；规律型．【分析】〔1〕由题意可求得当n=1，2，3，4，…时，多项式〔a+b〕n的展开式是一个几次几项式，第三项的系数是多少，然后找规律，即可求得答案；〔2〕首先求得当n=1，2，3，4…时，多项式〔a+b〕n展开式的各项系数之和，即可求得答案；〔3〕结合〔2〕，即可推断出多项式〔a+b〕n〔n取正整数〕的展开式的各项系数之和．【解答】解：〔1〕∵当n=1时，多项式〔a+b〕1的展开式是一次二项式，此时第三项的系数为：0=，当n=2时，多项式〔a+b〕2的展开式是二次三项式，此时第三项的系数为：1=，当n=3时，多项式〔a+b〕3的展开式是三次四项式，此时第三项的系数为：3=，当n=4时，多项式〔a+b〕4的展开式是四次五项式，此时第三项的系数为：6=，…∴多项式〔a+b〕n的展开式是一个n次n+1项式，第三项的系数为：；〔2〕预测一下多项式〔a+b〕n展开式的各项系数之和为：2n；〔3〕∵当n=1时，多项式〔a+b〕1展开式的各项系数之和为：1+1=2=21，当n=2时，多项式〔a+b〕2展开式的各项系数之和为：1+2+1=4=22，当n=3时，多项式〔a+b〕3展开式的各项系数之和为：1+3+3+1=8=23，当n=4时，多项式〔a+b〕4展开式的各项系数之和为：1+4+6+4+1=16=24，…∴多项式〔a+b〕n展开式的各项系数之和：S=2n．【点评】此题属于规律性、阅读性题目．此题难度较大，由特殊到一般的归纳方法的应用是解此题的关键．4．〔2021•XX〕阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式〔或其一局部〕配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的根本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=〔a±b〕2．例如：〔x﹣1〕2+3、〔x﹣2〕2+2x、〔x﹣2〕2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方〔即“余项〞分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的局部〕．请根据阅读材料解决以下问题：〔1〕比照上面的例子，写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方；〔2〕将a2+ab+b2配方〔至少两种形式〕；〔3〕a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．【考点】完全平方公式．【专题】压轴题；阅读型．【分析】〔1〕〔2〕此题考察对完全平方公式的灵活应用能力，由题中所给的材料可得x2﹣4x+2和a2+ab+b2的配方也可分别常数项、一次项、二次项三种不同形式；〔3〕通过配方后，求得a，b，c的值，再代入代数式求值．【解答】解：〔1〕x2﹣4x+2的三种配方分别为：x2﹣4x+2=〔x﹣2〕2﹣2，x2﹣4x+2=〔x+〕2﹣〔2+4〕x，x2﹣4x+2=〔x﹣〕2﹣x2；〔2〕a2+ab+b2=〔a+b〕2﹣ab，a2+ab+b2=〔a+b〕2+b2；〔3〕a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4，=〔a2﹣ab+b2〕+〔b2﹣3b+3〕+〔c2﹣2c+1〕，=〔a2﹣ab+b2〕+〔b2﹣4b+4〕+〔c2﹣2c+1〕，=〔a﹣b〕2+〔b﹣2〕2+〔c﹣1〕2=0，从而有a﹣b=0，b﹣2=0，c﹣1=0，即a=1，b=2，c=1，∴a+b+c=4．【点评】此题考察了根据完全平方公式：a2±2ab+b2=〔a±b〕2进展配方的能力．5．〔2007•东营〕根据以下10个乘积，答复以下问题：11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．〔1〕试将以上各乘积分别写成一个“□2﹣∅2〞〔两数平方差〕的形式，并写出其中一个的思考过程；〔2〕将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；〔3〕假设用a1b1，a2b2，…，a n b n表示n个乘积，其中a1，a2，a3，…，a n，b1，b2，b3，…，b n为正数．试由〔1〕、〔2〕猜测一个一般性的结论．〔不要求证明〕【考点】平方差公式．【专题】压轴题．【分析】利用两数的和与这两数的差的积，就是它们的平方差．如11×29；可想几加几等于29，几减几等于11，可得20+9和20﹣9，可得11×29=202﹣92，同理思考其它的．【解答】解：〔1〕11×29=202﹣92；12×28=202﹣82；13×27=202﹣72；14×26=202﹣62；15×25=202﹣52；16×24=202﹣42；17×23=202﹣32；18×22=202﹣22；19×21=202﹣12；20×20=202﹣02．〔4分〕例如，11×29；假设11×29=□2﹣○2，因为□2﹣○2=〔□+○〕〔□﹣○〕；所以，可以令□﹣○=11，□+○=29．解得，□=20，○=9．故11×29=202﹣92．〔5分〕〔或11×29=〔20﹣9〕〔20+9〕=202﹣92．5分〕〔2〕这10个乘积按照从小到大的顺序依次是：11×29＜12×28＜13×27＜14×26＜15×25＜16×24＜17×23＜18×22＜19×21＜20×20．〔7分〕〔3〕①假设a+b=40，a、b是自然数，那么ab≤202=400．〔8分〕②假设a+b=40，那么ab≤202=400．〔8分〕③假设a+b=m，a、b是自然数，那么ab≤．〔9分〕④假设a+b=m，那么ab≤．〔9分〕⑤假设a1+b1=a2+b2=a3+b3=a n+b n=40．且|a1﹣b1|≥|a2﹣b2|≥|a3﹣b3|≥≥|a n﹣b n|，那么a1b1≤a2b2≤a3b3≤≤a n b n．〔10分〕⑥假设a1+b1=a2+b2=a3+b3=a n+b n=m．且|a1﹣b1|≥|a2﹣b2|≥|a3﹣b3|≥…≥|a n﹣b n|，那么a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤a n b n．〔10分〕说明：给出结论①或②之一的得〔1分〕；给出结论③或④之一的得〔2分〕；给出结论⑤或⑥之一的得〔3分〕．【点评】此题主要考察了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式．6．〔2006•XX〕如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数〞．如：4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数〞〔1〕28和2021这两个数是“神秘数〞吗？为什么？〔2〕设两个连续偶数为2k+2和2k〔其中k取非负整数〕，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？〔3〕两个连续奇数的平方差〔k取正数〕是神秘数吗？为什么？【考点】平方差公式．【专题】压轴题；新定义．【分析】〔1〕试着把28、2021写成平方差的形式，解方程即可判断是否是神秘数；〔2〕化简两个连续偶数为2k+2和2k的差，再判断；〔3〕设两个连续奇数为2k+1和2k﹣1，那么〔2k+1〕2﹣〔2k﹣1〕2=8k=4×2k，即可判断两个连续奇数的平方差不是神秘数．【解答】解：〔1〕设28和2021都是“神秘数〞，设28是x和x﹣2两数的平方差得到，那么x2﹣〔x﹣2〕2=28，解得：x=8，∴x﹣2=6，即28=82﹣62，设2021是y和y﹣2两数的平方差得到，那么y2﹣〔y﹣2〕2=2021，解得：y=504，y﹣2=502，即2021=5042﹣5022，所以28，2021都是神秘数．〔2〕〔2k+2〕2﹣〔2k〕2=〔2k+2﹣2k〕〔2k+2+2k〕=4〔2k+1〕，∴由2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数，且是奇数倍．〔3〕设两个连续奇数为2k+1和2k﹣1，那么〔2k+1〕2﹣〔2k﹣1〕2=8k=4×2k，即：两个连续奇数的平方差是4的倍数，是偶数倍，不满足连续偶数的神秘数为4的奇数倍这一条件．∴两个连续奇数的平方差不是神秘数．【点评】此题首先考察了阅读能力、探究推理能力．对知识点的考察，主要是平方差公式的灵活应用．7．〔2007•XX〕根据以下10个乘积，答复以下问题：11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．〔1〕试将以上各乘积分别写成一个“□2﹣○2〞〔两数平方差〕的形式，并写出其中一个的思考过程；〔2〕将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；〔3〕试由〔1〕、〔2〕猜测一个一般性的结论．〔不要求证明〕【考点】整式的混合运算；绝对值．【专题】压轴题；规律型．【分析】〔1〕根据要求求出两数的平均数，再写成平方差的形式即可．〔3〕根据排列的顺序可得，两数相差越大，积越小．【解答】解：〔1〕11×29=202﹣92；12×28=202﹣82；13×27=202﹣72；14×26=202﹣62；15×25=202﹣52；16×24=202﹣42；17×23=202﹣32；18×22=202﹣22；19×21=202﹣12；20×20=202﹣02…〔4分〕例如，11×29；假设11×29=□2﹣○2，因为□2﹣○2=〔□+○〕〔□﹣○〕；所以，可以令□﹣○=11，□+○=29．解得，□=20，○=9．故11×29=202﹣92．〔或11×29=〔20﹣9〕〔20+9〕=202﹣92〔2〕这10个乘积按照从小到大的顺序依次是：11×29＜12×28＜13×27＜14×26＜15×25＜16×24＜17×23＜18×22＜19×21＜20×20〔3〕①假设a+b=40，a，b是自然数，那么ab≤202=400．②假设a+b=40，那么ab≤202=400．…〔8分〕③假设a+b=m，a，b是自然数，那么ab≤．④假设a+b=m，那么ab≤．⑤假设a，b的和为定值，那么ab的最大值为．⑥假设a1+b1=a2+b2=a3+b3=…=a n+b n=40．且|a1﹣b1|≥|a2﹣b2|≥|a3﹣b3|≥…≥|a n﹣b n|，那么a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤a n b n．…〔10分〕⑦假设a1+b1=a2+b2=a3+b3=…=a n+b n=m．且|a1﹣b1|≥|a2﹣b2|≥|a3﹣b3|≥…≥|a n﹣b n|，那么a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤a n b n．⑧假设a+b=m，a，b差的绝对值越大，那么它们的积就越小．说明：给出结论①或②之一的得〔1分〕；给出结论③、④或⑤之一的得〔2分〕；给出结论⑥、⑦或⑧之一的得〔3分〕．【点评】此题主要考察整式的混合运算，找出规律是解答此题的关键．8．〔2021 •于洪区一模〕如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．〔1〕如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时〔与点B不重合〕，如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为垂直，线段CF、BD 的数量关系为相等；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；〔2〕如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC〔点C、F不重合〕，并说明理由．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】压轴题；开放型．〔1〕当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，所以CF=BD，【分析】∠ACF=∠ABD．结合∠BAC=90°，AB=AC，得到∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．〔2〕当∠ACB=45°时，过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，那么∠GAC=90°，可推出∠ACB=∠AGC，所以AC=AG，由〔1〕①可知CF⊥BD．【解答】证明：〔1〕①正方形ADEF中，AD=AF，∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，又∵AB=AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF=BD，∠B=∠ACF，∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD．②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90度．∵∠BAC=90°，∴∠DAF=∠BAC，∴∠DAB=∠FAC，又∵AB=AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF=BD，∠ACF=∠ABD．∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=45°，∴∠ACF=45°，∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度．即CF⊥BD．〔2〕当∠ACB=45°时，CF⊥BD〔如图〕．理由：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，那么∠GAC=90°，∵∠ACB=45°，∠AGC=90°﹣∠ACB，∴∠AGC=90°﹣45°=45°，∴∠ACB=∠AGC=45°，∴AC=AG，∵∠DAG=∠FAC〔同角的余角相等〕，AD=AF，∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，即CF⊥BC．【点评】此题考察三角形全等的判定和直角三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定两个三角形全等，先根据条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．9．〔2021 •XX〕如图，∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．〔1〕如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；〔2〕如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？假设是，请求出它的度数；假设不是，请说明理由．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】〔1〕利用SAS证明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性质得出FD=DC，即可判断三角形的形状；〔2〕作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，利用SAS证明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性质得出FD=DC，∠FDC=90°，即可得出∠FCD=∠APD=45°．【解答】解：〔1〕△CDF是等腰直角三角形，理由如下：∵AF⊥AD，∠ABC=90°，∴∠FAD=∠DBC，在△FAD与△DBC中，，∴△FAD≌△DBC〔SAS〕，∴FD=DC，∴△CDF是等腰三角形，∵△FAD≌△DBC，∴∠FDA=∠DCB，∵∠BDC+∠DCB=90°，∴∠BDC+∠FDA=90°，∴△CDF是等腰直角三角形；∴∠FAD=∠DBC，在△FAD与△DBC中，，∴△FAD≌△DBC〔SAS〕，∴FD=DC，∴△CDF是等腰三角形，∵△FAD≌△DBC，∴∠FDA=∠DCB，∵∠BDC+∠DCB=90°，∴∠BDC+∠FDA=90°，∴△CDF是等腰直角三角形，∴∠FCD=45°，∵AF∥CE，且AF=CE，∴四边形AFCE是平行四边形，∴AE∥CF，∴∠APD=∠FCD=45°．【点评】此题考察了全等三角形的判定与性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，等腰直角三角形的判定及性质的运用．解答时证明三角形全等是关键．10．〔2021 •XX一模〕：△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BQ=AC，点F在CE的延长线上，CF=AB，求证：AF⊥AQ．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题；压轴题．【分析】首先证明出∠ABD=∠ACE，再有条件BQ=AC，CF=AB可得△ABQ≌△ACF，进而得到∠F=∠BAQ，然后再根据∠F+∠FAE=90°，可得∠BAQ+∠FAE═90°，进而证出AF⊥AQ．【解答】证明：∵BD、CE分别是AC、AB边上的高，∴∠ADB=90°，∠AEC=90°，∴∠ABQ+∠BAD=90°，∠BAC+∠ACE=90°，在△ABQ和△ACF中，∴△ABQ≌△ACF〔SAS〕，∴∠F=∠BAQ，∵∠F+∠FAE=90°，∴∠BAQ+∠FAE═90°，∴AF⊥AQ．【点评】此题主要考察了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定方法，以及全等三角形的性质定理．11．〔2021•庐阳区校级模拟〕如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起〔图1〕．△ABD不动，〔1〕假设将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC〔图2〕，证明：MB=MC．〔2〕假设将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC〔图3〕，判断并直接写出MB、MC的数量关系．〔3〕在〔2〕中，假设∠CAE的大小改变〔图4〕，其他条件不变，那么〔2〕中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题；几何综合题；压轴题．〔1〕连接AM，根据全等三角形的对应边相等可得AD=AE，AB=AC，全等三角形对应角相等可得∠BAD=∠CAE，【分析】再根据等腰三角形三线合一的性质得到∠MAD=∠MAE，然后利用“边角边〞证明△ABM和△ACM全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；〔2〕延长DB、AE相交于E′，延长EC交AD于F，根据等腰三角形三线合一的性质得到BD=BE′，然后求出MB∥AE′，再根据两直线平行，内错角相等求出∠MBC=∠CAE，同理求出MC∥AD，根据两直线平行，同位角相等求出∠BCM=∠BAD，然后求出∠MBC=∠BCM，再根据等角对等边即可得证；〔3〕延长BM交CE于F，根据两直线平行，内错角相等可得∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE，然后利用“角角边〞证明△MDB和△MEF全等，根据全等三角形对应边相等可得MB=MF，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明即可．【解答】证明：〔1〕如图2，连接AM，由得△ABD≌△ACE，∴AD=AE，AB=AC，∠BAD=∠CAE，∵MD=ME，∴∠MAD﹣∠BAD=∠MAE﹣∠CAE，即∠BAM=∠CAM，在△ABM和△ACM中，，∴△ABM≌△ACM〔SAS〕，∴MB=MC；〔2〕MB=MC．理由如下：如图3，延长DB、AE相交于E′，延长EC交AD于F，∴BD=BE′，CE=CF，∵M是ED的中点，B是DE′的中点，∴MB∥AE′，∴∠MBC=∠CAE，同理：MC∥AD，∴∠BCM=∠BAD，∵∠BAD=∠CAE，∴∠MBC=∠BCM，∴MB=MC；〔3〕MB=MC还成立．如图4，延长BM交CE于F，∵CE∥BD，∴∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE，又∵M是DE的中点，∴MD=ME，在△MDB和△MEF中，，∴△MDB≌△MEF〔AAS〕，∴MB=MF，∵∠ACE=90°，∴∠BCF=90°，∴MB=MC．【点评】此题考察了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等角对等边的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及三角形的中位线定理，综合性较强，但难度不大，作辅助线构造出等腰三角形或全等三角形是解题的关键．12．〔2021•昌平区模拟〕〔1〕如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE+FD；〔2〕如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD，〔1〕中的结论是否仍然成立？〔3〕如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，〔1〕中的结论是否仍然成立？假设成立，请证明；假设不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】〔1〕可通过构建全等三角形来实现线段间的转换．延长EB到G，使BG=DF，连接AG．目的就是要证明三角形AGE和三角形AEF全等将EF转换成GE，那么这样EF=BE+DF了，于是证明两组三角形全等就是解题的关键．三角形ABE和AEF中，只有一条公共边AE，我们就要通过其他的全等三角形来实现，在三角形ABG和AFD中，了一组直角，BG=DF，AB=AD，因此两三角形全等，那么AG=AF，∠1=∠2，那么∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．由此就构成了三角形ABE和AEF全等的所有条件〔SAS〕，那么就能得出EF=GE了．〔2〕思路和作辅助线的方法与〔1〕完全一样，只不过证明三角形ABG和ADF全等中，证明∠ABG=∠ADF时，用到的等角的补角相等，其他的都一样．因此与〔1〕的结果完全一样．〔3〕按照〔1〕的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．根据〔1〕的证法，我们可得出DF=BG，GE=EF，那么EF=GE=BE﹣BG=BE﹣DF．所以〔1〕的结论在〔3〕的条件下是不成立的．【解答】证明：〔1〕延长EB到G，使BG=DF，连接AG．∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，∴△ABG≌△ADF．∴AG=AF，∠1=∠2．∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．又AE=AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG=EF．∵EG=BE+BG．∴EF=BE+FD〔2〕〔1〕中的结论EF=BE+FD仍然成立．〔3〕结论EF=BE+FD不成立，应当是EF=BE﹣FD．证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．∴∠B=∠ADF．∵AB=AD，∴△ABG≌△ADF．∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．∵AE=AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG=EF∵EG=BE﹣BG∴EF=BE﹣FD．【点评】此题考察了三角形全等的判定和性质；此题中通过全等三角形来实现线段的转换是解题的关键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与和所求条件相关联全等三角形．13．〔2021•XX〕：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．〔1〕直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G〔如图1〕，求证：AE=CG；〔2〕直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M〔如图2〕，找出图中与BE相等的线段，并证明．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【专题】几何综合题；压轴题．【分析】〔1〕首先根据点D是AB中点，∠ACB=90°，可得出∠ACD=∠BCD=45°，判断出△AEC≌△CGB，即可得出AE=CG，〔2〕根据垂直的定义得出∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，再根据AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，得出△BCE≌△CAM，进而证明出BE=CM．【解答】〔1〕证明：∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，∴∠CAD=∠CBD=45°，∴∠CAE=∠BCG，又∵BF⊥CE，∴∠CBG+∠BCF=90°，又∵∠ACE+∠BCF=90°，∴∠ACE=∠CBG，在△AEC和△CGB中，。
初一数学动点问题压轴题
以下是一个初一数学动点问题的压轴题：
题目：点P是数轴上的一个动点，它从原点O开始向数轴正方
向运动，运动速度为每秒3个单位长度。
当点P运动了t秒时，它
到达点P_t。
1. 当t=1时，求点P_1所表示的数。
2. 当t=3时，求点P_3所表示的数。
3. 若A、B两点分别表示-1和3，当t为何值时，点P_t到A、B两点的距离之和为5？
答案：
1. 当t=1时，点P_1所表示的数为0+3×1=3。
2. 当t=3时，点P_3所表示的数为0+3×3=9。
3. 设当t为x秒时，点P_t到A、B两点的距离之和为5。
根
据题意，我们可以列出以下方程：
|P_x - (-1)| + |P_x - 3| = 5
即：
|3x - 1| + |3x - 3| = 5
解这个方程，我们得到x=1或x=2。
所以，当t为1或2秒时，点P_t到A、B两点的距离之和为5。
初一上册数学月考压轴题
1、在一个班级中，有20名男生和15名女生。
如果老师随机抽取一名学生参加活动，抽到女生的概率是多少？
A. 1/4
B. 3/7
C. 1/2
D. 4/7
2、一个长方形的长是15厘米，宽是10厘米。
如果将这个长方形的宽增加5厘米，那么它的面积增加了多少平方厘米？
A. 50
B. 75
C. 100
D. 125
3、小明有50元钱，他买了一本书花了25元，剩下的钱他打算用来买每支价格为2元的笔，他最多可以买几支笔？
A. 10支
B. 12支
C. 15支
D. 20支
4、一个正方形的周长是40厘米，那么这个正方形的面积是多少平方厘米？
A. 40
B. 80
C. 100
D. 120
5、在下列各数中，哪个数是一个完全平方数？
A. 27
B. 32
C. 36
D. 42
6、一辆汽车从A地到B地需要3小时，从B地返回A地需要4小时，那么这辆汽车往返一次的平均速度是多少公里/小时？
A. 35
B. 40
C. 45
D. 50
7、小华和小明分别从家出发，小华每分钟走50米，小明每分钟走60米，如果他们在同一时间出发并且方向相同，那么15分钟后他们之间的距离是多少米？
A. 75米
B. 100米
C. 150米
D. 200米
8、在下列各数中，哪个数是一个立方数？
A. 36
B. 49
C. 64
D. 81
答案：
1、B
2、B
3、B
4、C
5、C
6、B
7、C
8、C。
初一上册数学难题压轴题
人教版初一上册数学期末难题压轴题训练1．已知：数轴上点A 、C 对应的数分别为a 、c ，且满足20227(1)0a c ++-=，点B 对应的数为3-．(1)求数=a _________，c =_________；(2)若动点P 、Q 分别从A 、B 两点同时出发相向而行，点P 的速度为3个单位长度/秒，点Q 的速度为1个单位长度/秒，求经过多长时间P ，Q 两点的距离为1；(3)在（2）的条件下，若点Q 运动到点A 立刻原速返回，到达点B 后停止运动，点P 运动至点C 处又以原速返回，到达点A 后又折返向C 运动，当点Q 停止运动时，点P 也随之停止运动．求在整个运动过程中，两点P ，Q 同时到达的点在数轴上表示的数．2．如图，数轴上的两点A 、B 所对应的数分别是10-、6，数轴上有两动点P 和Q ，点P 从点A 出发向点B 运动，到达点B 后立即返回点A ，点Q 从点B 出发向点A 运动，点P 的运动速度是每秒4个单位，点Q 的运动速度是每秒2个单位．点P 、Q 同时出发，设运动时间为t 秒．(1)数轴上，A 、B 两点之间的相距_______个单位长度．(2)当点P 从点A 向点B 运动时，点P 所表示的数是_______；在点Q 的整个运动过程中，点Q 所表示的数是______．（均用含t 的代数式表示）(3)当点P 从点A 向点B 运动时，若P 、Q 两点在数轴上的点C 相遇，求点C 所表示的数是多少？(4)在整个运动过程中，当点Q 到原点O 的距离是点P 到原点O 的距离的2倍时，直接写出t 的值．3．如图，线段15cm A B =，点C 是线段AB 上的点，且3cm AC =．动点P 从点A 出发向点B 运动，到达点B 后再返回终点C ，点P 在线段AB 上的速度为3cm/s ，在返回时在BC 上的速度为4cm/s ；动点P 运动的同时，另一动点Q 从点C 出发，以2cm/s 的速度向终点B 运动．设点P 运动的时间为t 秒．(1)点P 运动______秒达到点B ．点Q 运动______秒到达点B ．(2)当点P 由C 向B 运动时，C P =______cm （用含t 的代数式表示）．当点P 由B 向C 运动时，BP =______cm ，C P =______cm （用含t 的代数式表示）．(3)当点P 与点Q 相遇时，求t 的值．(4)当C 、P 、Q 三点中任意一点是以其他两点为端点的线段的中点时，直接写出t 的值．4．如图，数轴上点O 为原点，点A 所表示的数为a ，点B 所表示的数为b ，且a 、b 满足()2420a b ++-=．(1)请直接写出点A 所表示的数：______，点B 所表示的数：______．(2)如图1，点P 从A 出发以2个单位/秒的速度沿数轴向右运动，点P 运动的同时，点Q 从B 出发以1个单位/秒的速度沿数轴向右运动，在运动过程中，数轴上动点M 到点P 、原点O 的距离始终相等，设点Q 到点M 之间的距离为d ，求d 的值．(3)如图2，在（2）的条件下，当点P 、Q 之间的距离等于14d 时，N 从点C 出发（点C 所表示的数为14），以2个单位/秒的速度沿数轴向左运动，此时P 、Q 仍按原速度、原方向运动，当N 与P 、Q 都未相遇之前，是否存在点M ，使点N 到点P 、Q 距离之和等于点M 到原点O 距离，若存在，求点M 所表示的数，若不存在，请说明理由．-．有一动点P从点A出发第一次向右运5．如图，数轴上A，B两点对应的数分别4,8动1个单位长度；然后在新的位置第二次运动，向左运动2个单位长度；在此位置第三次运动，向右运动3个单位长度，…按照如此规律不断地左右运动．(1)当点P运动到第5次时，求点P所对应的有理数；(2)当点P运动到第2021次时，求点P所对应的有理数；(3)琪琪发现：点P在线段AB之间运动时，恰好存在某一个位置，使点P到点B的距离是点P到点A的距离的3倍．请你验证琪琪的说法是否正确？6．数轴上点A表示-8，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O 和点B、C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点A和点D在折线数轴上的和谐距离为--=个单位长度．动点M从点A出发，以2个单位/秒的速度沿着折线数轴的正81826方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以1.5个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒．(1)当2t=秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离M N为_________；当点M、N 都运动到折线段O B C--上时，O、M两点间的和谐距离OM=_________（用含有t 的代数式表示）；C、N两点间的和谐距离C N=_________（用含有t的代数式表示）；t=_________时，M、N两点相遇；(2)当M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等时，求t的值．7．如图，已知线段AB =18cm ，点C 为AB 上的一个动点，点D 、E 分别是AC 和BC 的中点．(1)若点C 恰好是AB 中点，则DE =______cm ；(2)若AC =8cm ，求DE 的长．(3)说明不论AC 取何值（不超过18cm ），DE 的长不变．8．如图，数轴上有一动点Q 从A 出发，沿正方向移动．(1)当AQ ＝2QB 时，则Q 点在数轴上所表示的数为；(2)数轴上有一点C ，且点C 满足AC ＝m •BC （其中m ＞1），则点C 在数轴上所表示的数为（用含m 的代数式表示）；(3)点P 1为线段AB 的中点，点P 2为线段BP 1的中点，点P 3为线段BP 2的中点，…依此类推，点Pn 为线段BPn ﹣1的中点，它们在数轴上表示的数分别为p 1，p 2，p 3，…，pn （n 为正整数）．①请问：当n ≥2时，2pn ﹣pn ﹣1是否恒为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．②记S ＝p 1+p 2+p 3+…+pn ﹣1+2pn ，求当n ＝2019时S 的值．9．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝4cm ，点E 是AD 边上的一点，AE 、DE 分别长a cm 、b cm ，满足()23290a a b -++-=．动点P 从B 点出发，以2cm/s 的速度沿B →C →D 运动，最终到达点D ．设运动时间为t s ．(1)a＝______cm，b＝______cm；(2)t为何值时，EP把四边形BCDE的周长平分？(3)另有一点Q从点E出发，按照E→D→C的路径运动，且速度为1cm/s，若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．求t为何值时，△BPQ的6cm．面积等于210．（1）已知：如图1，P是直角三角板ABC斜边AB上的一个动点，CD、CE分别是∠ACP和∠BCP的平分线．当点P在斜边AB上移动时，∠DCE＝°；（2）把直角三角板的直角顶点C放在直尺的一边MN上：①点A和点B在直线MN的上方（如图2），此时∠ACM与∠BCN的数量关系是∠ACM+∠BCN＝；②当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A在直线MN的下方、点B仍然在直线MN 的上方时（如图3），∠ACM与∠BCN的数量关系是；③当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A和点B都在直线MN的下方时（如图4），∠ACM与∠BCN的数量关系是．11．如图，已知数轴上有A、B、C三点，点O为原点，点A、点B在原点的右侧，点C在原点左侧，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a与b满足()2-+-=，244100a bA C=．(1)直接写出a、b的值，=a___________，b=___________；(2)动点P从点C出发，以每秒6个单位的速度沿数轴的正方向运动，同时动点Q从点Bt t>秒，请用含t 出发，以每秒3个单位的速度沿数轴的正方向运动，设运动时间为()0的式子表示线段PQ的长度；(3)在（2）的条件下，若点M为AP的中点，点R为PQ的中点，求t为何值时，满足=．2M O M R12．如图，在数轴上点A、C、B表示的数分别是-2、1、12．动点P从点A出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向终点B匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动，设点Q的运动时间为t秒．(1)AB的长为_______；(2)当点P与点Q相遇时，求t的值．(3)当点P与点Q之间的距离为9个单位长度时，求t的值．(4)若PC+QB=8，直接写出t点P表示的数．13．如图，已知数轴上的点A、B对应的数分别是－5和1．(1)若P到点A、B的距离相等，求点P对应的数；(2)动点P从点A出发，以2个长度单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，问：是否存在某个时刻t，恰好使得P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；(3)若动点P从点A出发向点B运动，同时，动点Q从点B出发向点A运动，经过2秒相遇；若动点P从点A出发向点B运动，同时，动点Q从点B出发与点P同向运动，经过6秒相遇，试求P点与Q点的运动速度（长度单位/秒）14．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”．(1)若点A表示数﹣2，点B表示的数4，下列各数，3，2，0所对应的点分别C1，C2，C3，其中是点A，B的“联盟点”的是；(2)点A表示数﹣10，点B表示的数30，P在为数轴上一个动点：①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数；②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，直接写出此时点P表示的数为．15．如图，在数轴上有A、B两点，点C是线段AB的中点，AB=12，OA=8．(1)求点C所表示的数；(2)动点P、Q分别从A、B同时出发，沿着数轴的正方向运动，点P、Q的运动速度分别是每秒3个单位和每秒2个单位（当P与Q相遇，运动停止），点M是线段PQ的中点，设运动时间为t秒，请用含t的式子表示CM的长；(3)在（2）的条件下，试问t为何值时，CM=5PC216．如图，数轴上点A，B所表示的数分别是4，8.(1)请用尺规作图的方法确定原点O的位置(不写做法，保留作图痕迹)；(2)已知动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点t t> N从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为()0秒．①运动1秒后，点M表示的数是________，点N表示的数为________；②运动t秒后，点M表示的数是________，点N表示的数为________；③若线段2B N=，求此时t的大小以及相应的M所表示的数.17．如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A 表示-10，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位．动点P、Q同时出发，点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；动点Q从点C 出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．问：(1)动点P从点A运动至点C需要多少时间？(2)求P、Q两点相遇时，t的值和相遇点M所对应的数．18．数轴上有A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”．例如，数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“关联点”．(1)若点A表示数2-，点B表示数1，下列各数1-，2，4，6所对应的点分别是1C，2C，C，4C，其中是点A，B的“关联点”的是；3(2)点A表示数10-，点B表示数15，P为数轴上一个动点：①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“关联点”，求此时点P表示的数；②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，请求出此时点P表示的数．19．如图所示，已知数轴上点A表示的数为140，B是数轴上一点，且AB=210．动点M从A出发，以x（单位长度∕秒）的速度沿数轴向左匀速运动．(1)如图1，数轴上点B 表示的数是；运动4秒时动点M 表示的数是（用含x 的代数式表示）；(2)如图2，在点M 从A 向左运动的同时，动点P 、N 同时从B 、A 出发向右运动，已知点P 的速度是M 速度的2倍，点N 的速度是M 速度的3倍，经过y 秒，点P 、N 之间的距离为，点M 、N 之间的距离为(3)如图2，若经过6秒时，点P 、N 之间的距离是点M 、N 之间的距离的2倍，求动点M 的速度．20．如图，在数轴上点A 表示的数为a ，点B 表示的数为b ，且a ，b 满足()2250a b ++-=，O 为原点，若动点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动的时间为t （秒）．(1)求a ，b 的值．(2)当点P 运动到线段OB 上时，分别取OB 和AP 的中点E ，F ，试探究下列结论：①AB OP EF -的值为定值；②AB OP EF+的值为定值，其中有且只有一个是正确的，请将正确的选出来并求出该值．(3)当点P 从点A 出发运动到点O 时，另一动点Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度在OB 间往返运动，当PQ ＝1时，求动点P 运动的时间t 的值．参考答案：1．(1)-7，1(2)34s 或54s (3)-4或-5或-62．(1)16；(2)410t -，62t -；(3)23；(4)135t =或73或193或5．3．(1)5，6(2)（3t -3），（4t -20），（32-4t ）(3)3或163(4)35或32或1324．(1)点A 表示的数是4-，点B 表示的数是2(2)4(3)存在，92或1125．(1)-1(2)1007(3)琪琪的说法正确；理由见解析6．(1)19，t -4，1.5t -6，8.8；(2)t 为6.4秒或16秒7．(1)9(2)9cm(3)见解析8．(1)2或23；(2)1m m +或1m m -；(3)①2pn ﹣pn ﹣1为定值为1；②20199．(1)3，3；(2)2秒(3)32t =秒或113秒或5秒10．（1）45；（2）①90°；②∠BCN ﹣∠ACM ＝90°；③∠ACM +∠BCN ＝270°11．(1)4；10(2)330PQ t =-+(3)当2615t =或389时，满足2M O M R =12．(1)14(2)当t 为145秒时，点P 与点Q 相遇；(3)当t 为1秒或235秒时，点P 与点Q 间的距离为9个单位长度；(4)存在某一时刻使得PC +QB =8，此时点P 表示的数为235．13．(1)2-；(2)存在；2或6；(3)2单位长度/秒；1单位长度/秒14．(1)C 2或C 3(2)①103或503或﹣50；②70或50或11015．(1)－2(2)CM=52t(3)t =32或316．(1)见解析(2)①3；6②4-t ；4+2t③t =1秒时，点M 表示的数是3；t =3秒时，点M 表示的数是1．17．(1)动点P 从点A 运动至点C 需要19秒；(2)P 、Q 两点相遇时，t 的值为313秒，相遇点M 所对应的数是163．18．(1)13,C C (2)①35-或53-或203；②40或65或27.519．(1)－70，140－4x(2)210+xy 4xy(3)5单位长度/秒20．(1)25a b =-⎧⎨=⎩(2)①正确，该定值为2(3)P 运动的时间103t =或t ＝4或t ＝6或223=t。
【压轴题】初一数学上期中试卷(带答案)
【压轴题】初一数学上期中试卷(带答案)一、选择题1．有理数a、b、c在数轴上的对应点如图，下列结论中，正确的是（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．a＜c＜b D．a＜b＜c 2．一个数的绝对值是3，则这个数可以是（）A．3B．3-C．3或者3-D．1 33．如图，O在直线AB上，OC平分∠DOA（大于90°），OE平分∠DOB，OF⊥AB，则图中互余的角有（）对．A．6B．7C．8D．94．用科学记数方法表示0.0000907，得（）A．49.0710-⨯B．59.0710-⨯C．690.710-⨯D．790.710-⨯5．x＝5是下列哪个方程的解（）A．x+5＝0B．3x﹣2＝12+xC．x﹣15x＝6D．1700+150x＝24506．有理数 a，b 在数轴上的点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a＜﹣4B．a+ b＞0C．|a|＞|b|D．ab＞0 7．小王利用计算机设计了一个程序，输入和输出的数据如下表：输入…12345…输出 (1)225310417526…那么，当输入数据8时，输出的数据是（）A．861B．863C．865D．8678．实数a，b，c，d在数轴上的位置如图所示，下列关系式不正确的是（）A ．|a|＞|b|B ．|ac|=acC ．b ＜dD ．c+d ＞0 9．一周时间有604800秒，604800用科学记数法表示为（ ） A ．2604810⨯ B ．56.04810⨯ C ．66.04810⨯ D ．60.604810⨯ 10．我国第六次全国人口普查数据显示，居住在城镇的人口总数达到665 575 306人．将665 575 306用科学记数法表示（保留三个有效数字）约为（ ）A ．66.6×107B ．0.666×108C ．6.66×108D ．6.66×107 11．已知，OA ⊥OC ，且∠AOB ：∠AOC ＝2：3，则∠BOC 的度数为（ ）A ．30°B ．150°C ．30°或150°D ．90° 12．下列各图经过折叠后不能围成一个正方体的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．填在下列各图形中的三个数之间都有相同的规律，根据此规律，a 的值是____．14．某校春游，若包租相同的大巴13辆，那么就有14人没有座位；如果多包租1辆，那么就多了26个空位，若设春游的总人数为x 人，则列方程为_____15．近似数2.30万精确到________位，用科学记数法表示为__________.16．若数轴上表示互为相反数的两点之间的距离是16，则这两个数是____.17．一组数：2，1，3，x ，7，y ，23，…，满足“从第三个数起，前两个数依次为a 、b ，紧随其后的数就是2a b -”，例如这组数中的第三个数“3”是由“221⨯-”得到的，那么这组数中y 表示的数为______.18．太阳半径约为696000千米，数字696000用科学记数法表示为 千米．19．已知12,2x y =-=，化简 2(2)()()x y x y x y +-+- = _______． 20．比较大小：123-________ 2.3-.(“>”“<”或“=”) 三、解答题21．用简便方法计算下列各式的值：（1）()151 2.7 1.5 4.8 1.522⎛⎫-⨯+-⨯+⨯- ⎪⎝⎭（2）12345678979899100--++--+++--+…22．已知直线AB 和CD 交于点O ，∠AOC 的度数为x ，∠BOE=90°，OF 平分∠AOD ． （1）当x=19°48′，求∠EOC 与∠FOD 的度数．（2）当x=60°，射线OE 、OF 分别以10°/s ，4°/s 的速度同时绕点O 顺时针转动，求当射线OE 与射线OF 重合时至少需要多少时间？（3）当x=60°，射线OE以10°/s的速度绕点O顺时针转动，同时射线OF也以4°/s的速度绕点O逆时针转动，当射线OE转动一周时射线OF也停止转动．射线OE在转动一周的过程中当∠EOF=90°时，求射线OE转动的时间．23．将一副三角板按如图所示位置摆放，其中∠α与∠β一定互余的是（）A．B．C．D．24．试根据图中信息，解答下列问题.（1）一次性购买6根跳绳需_____元，一次性购买12根跳绳需______元；（2）小红比小明多买2根，付款时小红反而比小明少5元，你认为有这种可能吗？若有，请求出小红购买跳绳的根数；若没有，请说明理由.25．先化简，再求值：2（x2y+3xy）﹣3（x2y﹣1）﹣2xy﹣2，其中x＝﹣2，y＝2．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】根据数轴上的数，右边的总比左边的大写出后即可选择答案．【详解】根据题意得，a ＜c ＜b ．故选C ．【点睛】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，熟记数轴上的数右边的总比左边的大是解题的关键．2．C解析：C【解析】试题解析：∵一个数的绝对值是3，可设这个数位a ，∴|a|=3，∴a=±3 故选C ．3．D解析：D【解析】【分析】根据角平分线的定义、垂直的定义、角互余的定义、角的和差即可得．【详解】∵OC 平分DOA ∠ ∴12AOC COD DOA ∠=∠=∠ ∵OE 平分DOB ∠∴DOE BOE ∠=∠ ∴11()1809022COE COD DOE DOA DOB ∠=∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒ ∴90AOC DOE ∠+∠=︒，90AOC BOE ∠+∠=︒，90COD BOE ∠+∠=︒ ∵OF AB ⊥∴90AOF BOF ∠=∠=︒∴90AOC COF ∠+∠=︒，90BOE EOF ∠+∠=︒，90BOD DOF ∠+∠=︒ ∴90COD COF ∠+∠=︒，90DOE EOF ∠+∠=︒综上，互余的角共有9对故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线的定义、垂直的定义、角互余的定义、角的和差，熟记角的运算是解题关键．4．B解析：B【解析】【分析】【详解】解：根据科学记数法的表示—较小的数为10n a ，可知a=9.07，n=-5，即可求解. 故选B【点睛】本题考查科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．5．D解析：D【解析】【分析】依次解各个选项中的方程，找出解为x=5的选项即可．【详解】A ．解方程x+5=0得：x=-5，A 项错误，B ．解方程3x-2=12+x 得：x=7，B 项错误，C ．解方程x-12x=6得：x=152，C 项错误， D ．解方程1700+150x=2450得：x=5，D 项正确，故选D ．【点睛】本题考查了一元一次方程的解，正确掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．6．C解析：C【解析】由数轴得：-4＜a ＜-3，1＜b ＜2，∴a+b ＜0，|a|＞|b|，ab ＜0，则结论正确的选项为C ，故选C.7．C解析：C【解析】【分析】根据图表找出输出数字的规律：输出的数字中，分子就是输入的数，分母是输入的数字的平方加1，直接将输入数据代入即可求解．【详解】 输出数据的规律为2+1n n ， 当输入数据为8时,输出的数据为288+1=865.故答案选：C .【点睛】本题考查的知识点是有理数的混合运算，解题的关键是熟练的掌握有理数的混合运算. 8．B解析：B【解析】【分析】先弄清a,b,c 在数轴上的位置及大小，根据实数大小比较方法可以解得.【详解】从a 、b 、c 、d 在数轴上的位置可知：a ＜b ＜0，d ＞c ＞1；A 、|a|＞|b|，故选项正确；B 、a 、c 异号，则|ac|=-ac ，故选项错误；C 、b ＜d ，故选项正确；D 、d ＞c ＞1，则c+d ＞0，故选项正确．故选B.【点睛】本题考核知识点：实数大小比较. 解题关键点：记住数轴上右边的数大于左边的数;两个负数，绝对值大的反而小.9．B解析：B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110,a n ≤<为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值1>时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数．【详解】604800的小数点向左移动5位得到6.048，所以数字604800用科学记数法表示为56.04810⨯，故选B ．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110,a n ≤<为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．10．C解析：C【解析】665 575 306≈6.66×108．故选C ．11．C解析：C【解析】【分析】【详解】解：∵OA⊥OC，∴∠AOC=90°．∵∠AOB：∠AOC=2：3，∴∠AOB=60°．因为∠AOB的位置有两种：一种是在∠AOC内，一种是在∠AOC外．①当在∠AOC内时，∠BOC=90°﹣60°=30°；②当在∠AOC外时，∠BOC=90°+60°=150°．故选C．【点睛】本题主要考查了垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直．同时做这类题时一定要结合图形．12．D解析：D【解析】【分析】由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题．只要有“田”“凹”“一线超过四个正方形”字格的展开图都不是正方体的表面展开图．【详解】解：A、是正方体的展开图，不符合题意；B、是正方体的展开图，不符合题意；C、是正方体的展开图，不符合题意；D、不是正方体的展开图，缺少一个底面，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了正方体的展开图，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．二、填空题13．【解析】寻找规律：上面是1234…；左下是14=229=3216=42…；右下是：从第二个图形开始左下数字减上面数字差的平方：（4－2）2（9－3）2（16－4）2…∴a=（36－6）2=900解析：【解析】寻找规律：上面是1，2 ，3，4，…，；左下是1，4=22，9=32，16=42，…，；右下是：从第二个图形开始，左下数字减上面数字差的平方：（4－2）2，（9－3）2，（16－4）2，…∴a=（36－6）2=900．14．x-1413=x+2614【解析】【分析】设春游的总人数是x 人由包租相同的大巴13辆有14人没有座位可得一辆大巴所坐的人数为x-1413人；由多包租1辆就多了26个空位可得一辆大巴所坐的人数为x+2 解析：． 【解析】【分析】设春游的总人数是x 人，由包租相同的大巴13辆，有14人没有座位可得一辆大巴所坐的人数为人；由多包租1辆，就多了26个空位可得一辆大巴所坐的人数为人，由此即可得方程． 【详解】设春游的总人数是x 人． 根据题意可列方程为：， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意表示出一辆大巴所坐的人数是解决问题的关键.15．百【解析】解析：百 42.3010【解析】16．－88【解析】因为互为相反数的两个数表示在数轴上是关于原点对称的两个点到原点的距离相等所以互为相反数的两个数到原点的距离为8故这两个数分别为8和-8故答案为－88解析：－8、8【解析】因为互为相反数的两个数表示在数轴上是关于原点对称的，两个点到原点的距离相等，所以互为相反数的两个数到原点的距离为8，故这两个数分别为8和-8.故答案为－8、8.17．－9【解析】【分析】根据题中给出的运算法则按照顺序求解即可【详解】解：根据题意得：故答案为：－9【点睛】本题考查了有理数的运算理解题意弄清题目给出的运算法则是正确解题的关键解析：－9.【解析】【分析】根据题中给出的运算法则按照顺序求解即可.【详解】解：根据题意，得：2131x =?=-，2(1)79y =?-=-.故答案为：－9.【点睛】本题考查了有理数的运算，理解题意、弄清题目给出的运算法则是正确解题的关键. 18．【解析】试题分析：696000=696×105故答案为696×105考点：科学记数法—表示较大的数解析：56.9610⨯ .【解析】试题分析：696000=6.96×105，故答案为6.96×105．考点：科学记数法—表示较大的数．19．-【解析】【分析】先根据完全平方公式和平方差公式去括号再合并同类项最后把xy 的值代入计算即可【详解】∵把代入得：原式故答案为：﹣【点睛】本题考查代数式的化简求值快速解题的关键是先利用完全平方公式和平解析：-114【解析】【分析】 先根据完全平方公式和平方差公式去括号，再合并同类项，最后把x ，y 的值代入计算即可．【详解】∵2(2)()()x y x y x y +-+- 222244x xy y x y =++-+245xy y =+ 把12,2x y =-=代入得： 原式()21142522⎛⎫=⨯-⨯+⨯ ⎪⎝⎭ 544=-+114=- 故答案为：﹣114 【点睛】本题考查代数式的化简求值，快速解题的关键是先利用完全平方公式和平方差公式化简原式．20．＜【解析】【分析】直接根据负数比较大小的法则进行比较即可【详解】∵||=≈233|−23|=23233>23∴−233<−23∴<−23故答案为：<【点睛】本题考查有理数的大小比较解题突破口是根据负解析：＜【解析】【分析】直接根据负数比较大小的法则进行比较即可．【详解】∵|123-|=123≈2.33，|−2.3|=2.3，2.33>2.3，∴−2.33<−2.3， ∴123-<−2.3.故答案为：<.【点睛】本题考查有理数的大小比较，解题突破口是根据负数比较大小的法则进行比较. 三、解答题21．（1）-15；（2）0．【解析】【分析】（1）可把原式变形为()()1.5 2.7 1.5 4.8 1.5 2.5-⨯+-⨯+-⨯，再逆用乘法分配律计算； （2）可将原式变形为()()()12345678979899100--++--+++--+…，进一步即可求出结果．【详解】 解：()151 2.7 1.5 4.8 1.522⎛⎫-⨯+-⨯+⨯- ⎪⎝⎭=()()1.5 2.7 1.5 4.8 1.5 2.5-⨯+-⨯+-⨯=()1.5 2.7 4.8 2.5-⨯++= 1.510-⨯=-15；（2）12345678979899100--++--+++--+…=()()()12345678979899100--++--+++--+…=000+++L=0．【点睛】本题考查了有理数的加法和乘法运算律，属于常见题型，熟练掌握有理数的运算律和混合运算法则是解题关键．22．（1）∠EOC=70°12′，∠FOD=80°6′；（2）射线OE 与射线OF 重合时至少需要35秒；（3）射线OE 转动的时间为t=607或1507或2407． 【解析】【分析】（1）利用互余和互补的定义可得：∠EOC 与∠FOD 的度数．（2）先根据x=60°，求∠EOF=150°，则射线OE 、OF 第一次重合时，则OE 运动的度数-OF 运动的度数=360-150，列式解出即可；（3）分三种情况：①OE 不经过OF 时，②OE 经过OF ，但OF 在OB 的下方时；③OF 在OB 的上方时；根据其夹角列方程可得时间．【详解】（1）∵∠BOE=90°，∴∠AOE=90°，∵∠AOC=x=19°48′，∴∠EOC=90°-19°48′=89°60°-19°48′=70°12′， ∠AOD=180°-19°48′=160°12′， ∵OF 平分∠AOD ，∴∠FOD=12∠AOD=12×160°12′=80°6′； （2）当x=60°，∠EOF=90°+60°=150°设当射线OE 与射线OF 重合时至少需要t 秒，10t-4t=360-150，t=35，答：当射线OE 与射线OF 重合时至少需要35秒；（3）设射线OE 转动的时间为t 秒，分三种情况：①OE 不经过OF 时，得10t+90+4t=360-150，解得，t=607； ②OE 经过OF ，但OF 在OB 的下方时，得10t-（360-150）+4t=90 解得，t=1507;③OF在OB的上方时，得：360-10t=4t-120解得，t=2407．所以，射线OE转动的时间为t=607或1507或2407．【点睛】本题考查了对顶角相等，邻补角互补的定义，角平分线的定义，角的计算，第三问有难度，熟记性质是解题的关键，难点在于要分情况讨论．23．C【解析】【分析】先根据图形结合互余的定义进行一一判断，然后综合即可得出符合题意的选项.【详解】解：A、∠α与∠β不一定互余，故本选项错误；B、∠α与∠β不互余，故本选项错误；C、∠α与∠β互余，故本选项正确；D、∠α与∠β不互余，∠α和∠β互补，故本选项错误；故选：C．【点睛】本题考查的知识点是对顶角、余角和补角.解题关键是熟记“互余的两个角的和等于90°”. 24．(1)150；240；（2）11根.【解析】【分析】（1）根据单价×数量=总价，求出6根跳绳需多少元；购买12根跳绳，超过10根，打八折是指现价是原价的80%，用单价×数量×0.8即可求出购买12根跳绳需多少元；（2）有这种可能，可以设小红购买x跳绳根，那么小明购买x-2根跳绳，列出方程25x×0.8=25（x-2）-5，解答即可．【详解】解：（1）一次性购买6根跳绳需25×6=150（元）；一次性购买12根跳绳需25×12×0.8=240（元）；故答案为：150；240．（2）设小红购买x跳绳根，那么小明购买（x-2）根跳绳，25x×0.8=25（x-2）-5，解得：x=11；小明购买了：11-2=9根.答：小红购买11根跳绳．【点睛】解答的关键是读懂题意，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程进行解答即可．25．﹣x2y+4xy+1，-23【解析】【分析】原式去括号再合并即可得到最简结果，将x与y的值代入计算即可求出值．【详解】原式=2x2y+6xy﹣3x2y+3﹣2xy﹣2=﹣x2y+4xy+1，当x=﹣2、y=2时，原式=﹣（﹣2）2×2+4×（﹣2）×2+1=﹣4×2﹣16+1=﹣8﹣16+1=﹣23．【点睛】本题考查了整式的加减运算-化简求值，解题的关键是熟练的掌握整式的加减运算.。
初一期末数学试卷压轴题
一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列各组数中，互为相反数的是（）A. -2和3B. 0和-1C. 1和-1D. 0和02. 已知方程2x-3=5，那么x的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 53. 下列图形中，不是轴对称图形的是（）A. 正方形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 长方形4. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠B=40°，则∠C的度数为（）A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°5. 已知函数y=2x+1，当x=3时，y的值为（）A. 5C. 7D. 8二、填空题（每题5分，共25分）6. 若一个数的绝对值是5，则这个数可能是（）7. 在直角三角形ABC中，∠A=90°，∠B=30°，则∠C的度数为（）8. 已知等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，那么∠ADB的度数为（）9. 已知一次函数y=kx+b（k≠0），当x=1时，y=2；当x=2时，y=4，则这个函数的解析式为（）10. 在数轴上，点A表示的数为-3，点B表示的数为5，则AB之间的距离为（）三、解答题（每题15分，共45分）11. （15分）已知数列{an}中，a1=2，an+1=an+3（n≥1），求：（1）数列{an}的通项公式；（2）数列{an}的前n项和。
12. （15分）已知三角形ABC中，AB=AC，∠B=30°，∠C=75°，求：（1）三角形ABC的面积；（2）BC边上的高。
13. （15分）已知一次函数y=kx+b（k≠0），当x=1时，y=2；当x=2时，y=4，求：（1）这个函数的解析式；（2）当x=3时，y的值。
答案：一、选择题1. C3. C4. B5. C二、填空题6. ±57. 60°8. 90°9. y=2x-110. 8三、解答题11. （1）an=3n-1；（2）S_n=3n^2/2-3n/212. （1）S_ABC=3√3/2；（2）BC边上的高为√313. （1）y=2x-1；（2）y=5。
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初一数学压轴题集团企业公司编码：（LL3698-KKI1269-TM2483-LUI12689-ITT289-一．解答题（共19小题）1．（2013扬州）如果10b=n，那么b为n的劳格数，记为b=d（n），由定义可知：10b=n与b=d（n）所表示的b、n两个量之间的同一关系．（1）根据劳格数的定义，填空：d（10）= ，d（10﹣2）= ；（2）劳格数有如下运算性质：若m、n为正数，则d（mn）=d（m）+d（n），d （）=d（m）﹣d（n）．根据运算性质，填空：= （a为正数），若d（2）=，则d （4）= ，d（5）= ，d（）= ；（3）如表中与数x对应的劳格数d（x）有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明理由并改正．x356891227d（x）3a﹣b+c2a﹣b a+c1+a﹣b﹣c3﹣3a﹣3c4a﹣2b3﹣b﹣2c6a﹣3b 2．（2012安庆一模）先阅读下列材料，再解答后面的问题．一般地，若a n=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为loga b（即logab=n）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381=4）．（1）计算以下各对数的值：log24= ，log216= ，log264= ．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；（3）猜想一般性的结论：loga M+logaN= （a＞0且a≠1，M＞0，N＞0），并根据幂的运算法则：a m a n=a m+n以及对数的含义证明你的猜想．3．（2012沈阳模拟）认真阅读材料，然后回答问题：我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：（a+b）1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，…下面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式：上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：（1）多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式并预测第三项的系数；（2）请你预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和．（3）结合上述材料，推断出多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和为S，（结果用含字母n的代数式表示）．4．（2009佛山）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方；（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．5．（2007东营）根据以下10个乘积，回答问题：11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．（1）试将以上各乘积分别写成一个“□2﹣2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；（2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；（3）若用a1b1，a2b2，…，anbn表示n个乘积，其中a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn为正数．试由（1）、（2）猜测一个一般性的结论．（不要求证明）6．（2006浙江）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗为什么（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗为什么（3）两个连续奇数的平方差（k取正数）是神秘数吗为什么8．（2015于洪区一模）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为，线段CF、BD的数量关系为；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．9．（2015菏泽）如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF 的形状并证明；（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD 的度数是一个固定的值吗若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．10．（2015铁岭一模）已知：△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BQ=AC，点F在CE的延长线上，CF=AB，求证：AF⊥AQ．11．（2013庐阳区校级模拟）如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图1）．△ABD不动，（1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC （图2），证明：MB=MC．（2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系．（3）在（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗说明理由．12．（2012昌平区模拟）（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE+FD；（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD 上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．13．（2011泰安）已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．14．（2005扬州）（本题有3小题，第（1）小题为必答题，满分5分；第（2）、（3）小题为选答题，其中，第（2）小题满分3分，第（3）小题满分6分，请从中任选1小题作答，如两题都答，以第（2）小题评分．）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN 于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系请写出这个等量关系，并加以证明．注意：第（2）、（3）小题你选答的是第2小题．15．（2012淮安）阅读理解如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠BnAnC的平分线An Bn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．探究发现（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角（填“是”或“不是”）．（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为．应用提升（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．16．（2011房山区一模）已知：等边三角形ABC（1）如图1，P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°．试猜想线段BP、PC、AP 之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）如图2，P为等边△ABC内一点，且∠APD=120°．求证：PA+PD+PC＞BD．17．（2010丹东）如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系点F 是否在直线NE上都请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．18．（2006西岗区）如图，以△ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角△ABE和△ACD，M是BC的中点，请你探究线段DE与AM之间的关系．说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．①画出将△ACM绕某一点顺时针旋转180°后的图形；②∠BAC=90°（如图）附加题：如图，若以△ABC的边AB、AC为直角边，向内作等腰直角△ABE和△ACD，其它条件不变，试探究线段DE与AM之间的关系．19．（2006大连）如图1，Rt△ABC中AB=AC，点D、E是线段AC上两动点，且AD=EC，AM垂直BD，垂足为M，AM的延长线交BC于点N，直线BD与直线NE相交于点F．试判断△DEF的形状，并加以证明．说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或者更换已知条件，完成你的证明．1、画出将△BAD沿BA方向平移BA长，然后顺时针旋转90°后图形；2、点K在线段BD上，且四边形AKNC为等腰梯形（AC∥KN，如图2）．附加题：如图3，若点D、E是直线AC上两动点，其他条件不变，试判断△DEF 的形状，并说明理由．参考答案与试题解析一．解答题（共19小题）1．（2013扬州）如果10b=n，那么b为n的劳格数，记为b=d（n），由定义可知：10b=n与b=d（n）所表示的b、n两个量之间的同一关系．（1）根据劳格数的定义，填空：d（10）= 1 ，d（10﹣2）= ﹣2 ；（2）劳格数有如下运算性质：若m、n为正数，则d（mn）=d（m）+d（n），d（）=d（m）﹣d（n）．根据运算性质，填空：= 3 （a为正数），若d（2）=，则d（4）= ，d（5）= ，d （）= ﹣；（3）如表中与数x对应的劳格数d（x）有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明理由并改正．x356891227d（x）3a﹣b+c2a﹣b a+c1+a﹣b﹣c3﹣3a﹣3c4a﹣2b3﹣b﹣2c6a﹣3b 【考点】整式的混合运算；反证法．【专题】压轴题．【分析】（1）根据定义可知，d（10）和d（10﹣2）就是指10的指数，据此即可求解；（2）根据d（a3）=d（aaa）=d（a）+d（a）+d（a）即可求得的值；（3）通过9=32，27=33，可以判断d（3）是否正确，同理以依据5=10÷2，假设d（5）正确，可以求得d（2）的值，即可通过d（8），d（12）作出判断．【解答】解：（1）d（10）=1，d（10﹣2）=﹣2；故答案为：1，﹣2；（2）==3；因为d（2）=故d（4）=d（2）+d（2）=，d（5）=d（10）﹣d（2）=1﹣=，d（）=d（8×10﹣2）=3d（2）+d（10﹣2）=﹣；（3）若d（3）≠2a﹣b，则d（9）=2d（3）≠4a﹣2b，d（27）=3d（3）≠6a﹣3b，从而表中有三个劳格数是错误的，与题设矛盾，∴d（3）=2a﹣b，若d（5）≠a+c，则d（2）=1﹣d（5）≠1﹣a﹣c，∴d（8）=3d（2）≠3﹣3a﹣3c，d （6）=d （3）+d （2）≠1+a﹣b ﹣c ， 表中也有三个劳格数是错误的，与题设矛盾． ∴d（5）=a+c ．∴表中只有d （）和d （12）的值是错误的，应纠正为： d （）=d （3）+d （5）﹣1=3a ﹣b+c ﹣1， d （12）=d （3）+2d （2）=2﹣b ﹣2c ．【点评】本题考查整式的运算，正确理解规定的新的运算法则是关键． 2．（2012安庆一模）先阅读下列材料，再解答后面的问题．一般地，若a n =b （a ＞0且a≠1，b ＞0），则n 叫做以a 为底b 的对数，记为log a b （即log a b=n ）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log 381（即log 381=4）．（1）计算以下各对数的值：log 24= 2 ，log 216= 4 ，log 264= 6 ． （2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log 24、log 216、log 264之间又满足怎样的关系式；（3）猜想一般性的结论：log a M+log a N= log a （MN ） （a ＞0且a≠1，M ＞0，N ＞0），并根据幂的运算法则：a m a n =a m+n 以及对数的含义证明你的猜想． 【考点】同底数幂的乘法． 【专题】压轴题；新定义．【分析】（1）根据材料叙述，结合22=4，24=16，26=64即可得出答案； （2）根据（1）的答案可得出log 24、log 216、log 264之间满足的关系式； （3）设log a M=b 1，log a N=b 2，则a b1=M ，a b2=N ，分别表示出MN 及b 1+b 2的值，即可得出猜想．【解答】解：（1）log 24=2，log 216=4，log 264=6； （2）log 24+log 216=log 264； （3）猜想log a M+log a N=log a （MN ）．证明：设log a M=b 1，log a N=b 2，则a b1=M ，a b2=N ， 故可得MN=a b1a b2=a b1+b2，b 1+b 2=log a （MN ）， 即log a M+log a N=log a （MN ）．【点评】本题考查了同底数幂的乘法运算，题目出得比较新颖，解题思路以材料的形式给出，需要同学们仔细阅读，理解并灵活运用所给的信息． 3．（2012沈阳模拟）认真阅读材料，然后回答问题：我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：（a+b ）1=a+b ，（a+b ）2=a 2+2ab+b 2，（a+b ）3=（a+b ）2（a+b ）=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3，…下面我们依次对（a+b ）n 展开式的各项系数进一步研究发现，当n 取正整数时可以单独列成表中的形式：上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：（1）多项式（a+b ）n 的展开式是一个几次几项式并预测第三项的系数； （2）请你预测一下多项式（a+b ）n 展开式的各项系数之和．（3）结合上述材料，推断出多项式（a+b ）n （n 取正整数）的展开式的各项系数之和为S ，（结果用含字母n 的代数式表示）． 【考点】完全平方公式．【专题】压轴题；阅读型；规律型．【分析】（1）由题意可求得当n=1，2，3，4，…时，多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式，第三项的系数是多少，然后找规律，即可求得答案；（2）首先求得当n=1，2，3，4…时，多项式（a+b）n展开式的各项系数之和，即可求得答案；（3）结合（2），即可推断出多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和．【解答】解：（1）∵当n=1时，多项式（a+b）1的展开式是一次二项式，此时第三项的系数为：0=，当n=2时，多项式（a+b）2的展开式是二次三项式，此时第三项的系数为：1=，当n=3时，多项式（a+b）3的展开式是三次四项式，此时第三项的系数为：3=，当n=4时，多项式（a+b）4的展开式是四次五项式，此时第三项的系数为：6=，…∴多项式（a+b）n的展开式是一个n次n+1项式，第三项的系数为：；（2）预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和为：2n；（3）∵当n=1时，多项式（a+b）1展开式的各项系数之和为：1+1=2=21，当n=2时，多项式（a+b）2展开式的各项系数之和为：1+2+1=4=22，当n=3时，多项式（a+b）3展开式的各项系数之和为：1+3+3+1=8=23，当n=4时，多项式（a+b）4展开式的各项系数之和为：1+4+6+4+1=16=24，…∴多项式（a+b）n展开式的各项系数之和：S=2n．【点评】此题属于规律性、阅读性题目．此题难度较大，由特殊到一般的归纳方法的应用是解此题的关键．4．（2009佛山）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方；（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．【考点】完全平方公式．【专题】压轴题；阅读型．【分析】（1）（2）本题考查对完全平方公式的灵活应用能力，由题中所给的已知材料可得x2﹣4x+2和a2+ab+b2的配方也可分别常数项、一次项、二次项三种不同形式；（3）通过配方后，求得a，b，c的值，再代入代数式求值．【解答】解：（1）x2﹣4x+2的三种配方分别为：x2﹣4x+2=（x﹣2）2﹣2，x 2﹣4x+2=（x+）2﹣（2+4）x ，x 2﹣4x+2=（x ﹣）2﹣x 2；（2）a 2+ab+b 2=（a+b ）2﹣ab ， a 2+ab+b 2=（a+b ）2+b 2； （3）a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣3b ﹣2c+4，=（a 2﹣ab+b 2）+（b 2﹣3b+3）+（c 2﹣2c+1）， =（a 2﹣ab+b 2）+（b 2﹣4b+4）+（c 2﹣2c+1）， =（a ﹣b ）2+（b ﹣2）2+（c ﹣1）2=0， 从而有a ﹣b=0，b ﹣2=0，c ﹣1=0， 即a=1，b=2，c=1， ∴a+b+c=4．【点评】本题考查了根据完全平方公式：a 2±2ab+b 2=（a±b）2进行配方的能力．5．（2007东营）根据以下10个乘积，回答问题： 11×29；12×28；13×27；14×26；15×25； 16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．（1）试将以上各乘积分别写成一个“□2﹣2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；（2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；（3）若用a 1b 1，a 2b 2，…，a n b n 表示n 个乘积，其中a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 为正数．试由（1）、（2）猜测一个一般性的结论．（不要求证明）【考点】平方差公式．【专题】压轴题．【分析】利用两数的和与这两数的差的积，就是它们的平方差．如11×29；可想几加几等于29，几减几等于11，可得20+9和20﹣9，可得11×29=202﹣92，同理思考其它的．【解答】解：（1）11×29=202﹣92；12×28=202﹣82；13×27=202﹣72；14×26=202﹣62；15×25=202﹣52；16×24=202﹣42；17×23=202﹣32；18×22=202﹣22；19×21=202﹣12；20×20=202﹣02．（4分）例如，11×29；假设11×29=□2﹣○2，因为□2﹣○2=（□+○）（□﹣○）；所以，可以令□﹣○=11，□+○=29．解得，□=20，○=9．故11×29=202﹣92．（5分）（或11×29=（20﹣9）（20+9）=202﹣92．5分）（2）这10个乘积按照从小到大的顺序依次是：11×29＜12×28＜13×27＜14×26＜15×25＜16×24＜17×23＜18×22＜19×21＜20×20．（7分）（3）①若a+b=40，a、b是自然数，则ab≤202=400．（8分）②若a+b=40，则ab≤202=400．（8分）③若a+b=m，a、b是自然数，则ab≤．（9分）④若a+b=m，则ab≤．（9分）⑤若a1+b1=a2+b2=a3+b3=an+bn=40．且|a1﹣b1|≥|a2﹣b2|≥|a3﹣b3|≥≥|an﹣bn|，则a1b1≤a2b2≤a3b3≤≤anbn．（10分）⑥若a1+b1=a2+b2=a3+b3=an+bn=m．且|a1﹣b1|≥|a2﹣b2|≥|a3﹣b3|≥…≥|an﹣bn|，则a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤anbn．（10分）说明：给出结论①或②之一的得（1分）；给出结论③或④之一的得（2分）；给出结论⑤或⑥之一的得（3分）．【点评】此题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式．6．（2006浙江）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗为什么（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗为什么（3）两个连续奇数的平方差（k取正数）是神秘数吗为什么【考点】平方差公式．【专题】压轴题；新定义．【分析】（1）试着把28、2012写成平方差的形式，解方程即可判断是否是神秘数；（2）化简两个连续偶数为2k+2和2k的差，再判断；（3）设两个连续奇数为2k+1和2k﹣1，则（2k+1）2﹣（2k﹣1）2=8k=4×2k，即可判断两个连续奇数的平方差不是神秘数．【解答】解：（1）设28和2012都是“神秘数”，设28是x和x﹣2两数的平方差得到，则x2﹣（x﹣2）2=28，解得：x=8，∴x﹣2=6，即28=82﹣62，设2012是y和y﹣2两数的平方差得到，则y2﹣（y﹣2）2=2012，解得：y=504，y﹣2=502，即2012=5042﹣5022，所以28，2012都是神秘数．（2）（2k+2）2﹣（2k）2=（2k+2﹣2k）（2k+2+2k）=4（2k+1），∴由2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数，且是奇数倍．（3）设两个连续奇数为2k+1和2k﹣1，则（2k+1）2﹣（2k﹣1）2=8k=4×2k，即：两个连续奇数的平方差是4的倍数，是偶数倍，不满足连续偶数的神秘数为4的奇数倍这一条件．∴两个连续奇数的平方差不是神秘数．【点评】此题首先考查了阅读能力、探究推理能力．对知识点的考查，主要是平方差公式的灵活应用．7．（2007淄博）根据以下10个乘积，回答问题：11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．（1）试将以上各乘积分别写成一个“□2﹣○2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；（2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；（3）试由（1）、（2）猜测一个一般性的结论．（不要求证明）【考点】整式的混合运算；绝对值．【专题】压轴题；规律型．【分析】（1）根据要求求出两数的平均数，再写成平方差的形式即可．（2）减去的数越大，乘积就越小，据此规律填写即可．（3）根据排列的顺序可得，两数相差越大，积越小．【解答】解：（1）11×29=202﹣92；12×28=202﹣82；13×27=202﹣72；14×26=202﹣62；15×25=202﹣52；16×24=202﹣42；17×23=202﹣32；18×22=202﹣22；19×21=202﹣12；20×20=202﹣02…（4分）例如，11×29；假设11×29=□2﹣○2，因为□2﹣○2=（□+○）（□﹣○）；所以，可以令□﹣○=11，□+○=29．解得，□=20，○=9．故11×29=202﹣92．（或11×29=（20﹣9）（20+9）=202﹣92（2）这10个乘积按照从小到大的顺序依次是：11×29＜12×28＜13×27＜14×26＜15×25＜16×24＜17×23＜18×22＜19×21＜20×20（3）①若a+b=40，a，b是自然数，则ab≤202=400．②若a+b=40，则ab≤202=400． …（8分） ③若a+b=m ，a ，b 是自然数，则ab≤．④若a+b=m ，则ab≤．⑤若a ，b 的和为定值，则ab 的最大值为． ⑥若a 1+b 1=a 2+b 2=a 3+b 3=…=a n +b n =40．且 |a 1﹣b 1|≥|a 2﹣b 2|≥|a 3﹣b 3|≥…≥|a n ﹣b n |，则 a 1b 1≤a 2b 2≤a 3b 3≤…≤a n b n ． …（10分） ⑦若a 1+b 1=a 2+b 2=a 3+b 3=…=a n +b n =m ．且 |a 1﹣b 1|≥|a 2﹣b 2|≥|a 3﹣b 3|≥…≥|a n ﹣b n |， 则a 1b 1≤a 2b 2≤a 3b 3≤…≤a n b n ． ⑧若a+b=m ，a ，b 差的绝对值越大，则它们的积就越小．说明：给出结论①或②之一的得（1分）；给出结论③、④或⑤之一的得（2分）；给出结论⑥、⑦或⑧之一的得（3分）．【点评】本题主要考查整式的混合运算，找出规律是解答本题的关键． 8．（2015于洪区一模）如图1，在△ABC 中，∠ACB 为锐角，点D 为射线BC 上一点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ． （1）如果AB=AC ，∠BAC=90°，①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图2，线段CF 、BD 所在直线的位置关系为 垂直 ，线段CF 、BD 的数量关系为 相等 ；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠AC B满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】压轴题；开放型．【分析】（1）当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，所以CF=BD，∠ACF=∠ABD．结合∠BAC=90°，AB=AC，得到∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．（2）当∠ACB=45°时，过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC=90°，可推出∠ACB=∠AGC，所以AC=AG，由（1）①可知CF⊥BD．【解答】证明：（1）①正方形ADEF中，AD=AF，∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，又∵AB=AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF=BD，∠B=∠ACF，∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD．②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90度．∵∠BAC=90°，∴∠DAF=∠BAC，∴∠DAB=∠FAC，又∵AB=AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF=BD，∠ACF=∠ABD．∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=45°，∴∠ACF=45°，∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度．即CF⊥BD．（2）当∠ACB=45°时，CF⊥BD（如图）．理由：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC=90°，∵∠ACB=45°，∠AGC=90°﹣∠ACB，∴∠AGC=90°﹣45°=45°，∴∠ACB=∠AGC=45°，∴AC=AG，∵∠DAG=∠FAC（同角的余角相等），AD=AF，∴△GAD≌△CAF，∴∠ACF=∠AGC=45°，∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，即CF⊥BC．【点评】本题考查三角形全等的判定和直角三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．9．（2015菏泽）如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF 的形状并证明；（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD 的度数是一个固定的值吗若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】（1）利用SAS证明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性质得出FD=DC，即可判断三角形的形状；（2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，利用SAS证明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性质得出FD=DC，∠FDC=90°，即可得出∠FCD=∠APD=45°．【解答】解：（1）△CDF是等腰直角三角形，理由如下：∵AF⊥AD，∠ABC=90°，∴∠FAD=∠DBC，在△FAD与△DBC中，，∴△FAD≌△DBC（SAS），∴FD=DC，∴△CDF是等腰三角形，∵△FAD≌△DBC，∴∠FDA=∠DCB，∵∠BDC+∠DCB=90°，∴∠BDC+∠FDA=90°，∴△CDF是等腰直角三角形；（2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，如图，∵AF⊥AD，∠ABC=90°，∴∠FAD=∠DBC，在△FAD与△DBC中，，∴△FAD≌△DBC（SAS），∴FD=DC，∴△CDF是等腰三角形，∵△FAD≌△DBC，∴∠FDA=∠DCB，∵∠BDC+∠DCB=90°，∴∠BDC+∠FDA=90°，∴△CDF是等腰直角三角形，∴∠FCD=45°，∵AF∥CE，且AF=CE，∴四边形AFCE是平行四边形，∴AE∥CF，∴∠APD=∠FCD=45°．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，等腰直角三角形的判定及性质的运用．解答时证明三角形全等是关键．10．（2015铁岭一模）已知：△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BQ=AC，点F在CE的延长线上，CF=AB，求证：AF⊥AQ．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题；压轴题．【分析】首先证明出∠ABD=∠ACE，再有条件BQ=AC，CF=AB可得△ABQ≌△ACF，进而得到∠F=∠BAQ，然后再根据∠F+∠FAE=90°，可得∠BAQ+∠FAE═90°，进而证出AF⊥AQ．【解答】证明：∵BD、CE分别是AC、AB边上的高，∴∠ADB=90°，∠AEC=90°，∴∠ABQ+∠BAD=90°，∠BAC+∠ACE=90°，∴∠ABD=∠ACE，在△ABQ和△ACF中，∴△ABQ≌△ACF（SAS），∴∠F=∠BAQ，∵∠F+∠FAE=90°，∴∠BAQ+∠FAE═90°，∴AF⊥AQ．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定方法，以及全等三角形的性质定理．11．（2013庐阳区校级模拟）如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图1）．△ABD不动，（1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC （图2），证明：MB=MC．（2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系．（3）在（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗说明理由．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题；几何综合题；压轴题．【分析】（1）连接AM，根据全等三角形的对应边相等可得AD=AE，AB=AC，全等三角形对应角相等可得∠BAD=∠CAE，再根据等腰三角形三线合一的性质得到∠MAD=∠MAE，然后利用“边角边”证明△ABM和△ACM全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）延长DB、AE相交于E′，延长EC交AD于F，根据等腰三角形三线合一的性质得到BD=BE′，然后求出MB∥AE′，再根据两直线平行，内错角相等求出∠MBC=∠CAE，同理求出MC∥AD，根据两直线平行，同位角相等求出∠BCM=∠BAD，然后求出∠MBC=∠BCM，再根据等角对等边即可得证；（3）延长BM交CE于F，根据两直线平行，内错角相等可得∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE，然后利用“角角边”证明△MDB和△MEF全等，根据全等三角形对应边相等可得MB=MF，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明即可．【解答】证明：（1）如图2，连接AM，由已知得△ABD≌△ACE，∴AD=AE，AB=AC，∠BAD=∠CAE，∵MD=ME，∴∠MAD=∠MAE，∴∠MAD﹣∠BAD=∠MAE﹣∠CAE，即∠BAM=∠CAM，在△ABM和△ACM中，，∴△ABM≌△ACM（SAS），∴MB=MC；（2）MB=MC．理由如下：如图3，延长DB、AE相交于E′，延长EC交AD于F，∴BD=BE′，CE=CF，∵M是ED的中点，B是DE′的中点，∴MB∥AE′，∴∠MBC=∠CAE，同理：MC∥AD，∴∠BCM=∠BAD，∵∠BAD=∠CAE，∴∠MBC=∠BCM，∴MB=MC；（3）MB=MC还成立．如图4，延长BM交CE于F，∵CE∥BD，∴∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE，又∵M是DE的中点，∴MD=ME，在△MDB和△MEF中，，∴△MDB≌△MEF（AAS），∴MB=MF，∵∠ACE=90°，∴∠BCF=90°，∴MB=MC．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等角对等边的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及三角形的中位线定理，综合性较强，但难度不大，作辅助线构造出等腰三角形或全等三角形是解题的关键．12．（2012昌平区模拟）（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE+FD；（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD 上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题；压轴题；探究型．【分析】（1）可通过构建全等三角形来实现线段间的转换．延长EB到G，使BG=DF，连接AG．目的就是要证明三角形AGE和三角形AEF全等将EF转换成GE，那么这样EF=BE+DF了，于是证明两组三角形全等就是解题的关键．三角形ABE和AEF中，只有一条公共边AE，我们就要通过其他的全等三角形来实现，在三角形ABG和AFD中，已知了一组直角，BG=DF，AB=AD，因此两三角形全等，那么AG=AF，∠1=∠2，那么∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．由此就构成了三角形ABE和AEF全等的所有条件（SAS），那么就能得出EF=GE了．（2）思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，只不过证明三角形ABG和ADF 全等中，证明∠ABG=∠ADF时，用到的等角的补角相等，其他的都一样．因此与（1）的结果完全一样．（3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．根据（1）的证法，我们可得出DF=BG，GE=EF，那么EF=GE=BE﹣BG=BE﹣DF．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的．【解答】证明：（1）延长EB到G，使BG=DF，连接AG．∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，∴△ABG≌△ADF．∴AG=AF，∠1=∠2．∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．又AE=AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG=EF．∵EG=BE+BG．∴EF=BE+FD（2）（1）中的结论EF=BE+FD仍然成立．（3）结论EF=BE+FD不成立，应当是EF=BE﹣FD．证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADF．∵AB=AD，∴△ABG≌△ADF．∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．∵AE=AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG=EF∵EG=BE﹣BG∴EF=BE﹣FD．【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质；本题中通过全等三角形来实现线段的转换是解题的关键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联全等三角形．13．（2011泰安）已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【专题】几何综合题；压轴题．【分析】（1）首先根据点D是AB中点，∠ACB=90°，可得出∠ACD=∠BCD=45°，判断出△AEC≌△CGB，即可得出AE=CG，（2）根据垂直的定义得出∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，再根据AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，得出△BCE≌△CAM，进而证明出BE=CM．【解答】（1）证明：∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，∴∠CAD=∠CBD=45°，∴∠CAE=∠BCG，又∵BF⊥CE，。