高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第4节函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数的简单应用学案文北
高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第四节 y=Asin(ωx+φ)的图象及应用课件
3 2
，排除B、D.由f
－π3
＝
0，fπ6＝0，排除C.
答案：A
4．(2016·高考全国卷Ⅲ)函数y＝sin x－ 3cos x的图象可由函 数y＝sin x＋ 3cos x的图象至少向右平移________个单位长度 得到．
解析：因为y＝sin x＋ 3cos x＝2sinx＋π3，y＝sin x－ 3cos x
[小题诊断]
1．(2016·高考全国卷Ⅰ)将函数y＝2sin 2x＋π6 的图象向右平移 14个周期后，所得图象对应的函数为( )
A．y＝2sin2x＋π4
B．y＝2sin2x＋π3
C．y＝2sin2x－π4
D．y＝2sin2x－π3
解析：函数y＝2sin 2x＋π6 的周期为π，将函数y＝2sin 2x＋π6
核心考点 互动探究
[典例] (1)(2017·高考全国卷Ⅰ)已知曲线 C1：y＝cos x，C2：y
＝sin2x＋23π，则下面结论正确的是标不变，再
把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线 C2
B．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次 连接得到y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象． (3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝Asin(ωx＋φ) 在R上的图象．
[必记结论] 由 y＝Asin(ωx＋φ)的图象确定第一个零点的方法 确定 φ 值时，往往以寻找“五点法”中的第一零点－ωφ，0作 为突破口．具体如下： “第一点”为 ωx＋φ＝0；“第二点”为 ωx＋φ＝π2；“第三点” 为 ωx＋φ＝π；“第四点”为 ωx＋φ＝32π；“第五点”为 ωx＋ φ＝2π.
高考数学一轮复习 第三章三角函数 解三角形第四节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型
_
_______．
π 解析：函数 y＝sin2x 的图象向右平移 个单位后得到 y＝sin2(x 4 π π － )＝sin(2x－ )＝－cos2x 的图象，再向上平移 1 个单位可以 4 2 得到 y＝－cos2x＋1 的图象，由二倍角公式知 y＝2sin2x.
1 法二：将 y＝sinx 的图象上每一点的横坐标 x 缩短为原来的 倍， 2 纵坐标不变，得到 y＝sin2x 的图象； π π 再将 y＝ sin2x 的图象向左平移 个单位，得到 y＝ sin2(x＋ )＝ 6 6 π π sin(2x＋ )的图象；再将 y＝sin(2x＋ )的图象上每一点的横坐标保 3 3 π 持不变，纵坐标伸长为原来的 2 倍，得到 y＝2sin(2x＋ )的图象． 3
1 π 解：(1)y＝3sin( x－ )的周期 T＝4π. 2 4 π 振幅为 3，初相为－ . 4
(2)在x∈[0,4π]上确定关键点列表：
x 1 π x－ 2 4 1 π 3sin( x－ ) 2 4 0 － － π 4 π 2 0 0 3π 2 π 2 3 5π 2 π 0 7π 2 3π 2 4π
π (3)法一：把 y＝sinx 的图象上所有的点向左平移 个单位，得到 y＝ 3 π π sin(x＋ )的图象， 再把 y＝sin(x＋ )的图象上的点的横坐标缩短到原 3 3 1 π 来的 倍(纵坐标不变)， 得到 y＝sin(2x＋ )的图象，最后把 y＝sin(2x 2 3 π ＋ )上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)，即可得到 y 3 π ＝2sin(2x＋ )的图象． 3
答案：0
1. y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx 振幅 ＋φ)(A>0， ω>0)，
高考数学一轮总复习 第3章 三角函数、解三角形 第4节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数
定的五个点是______、______、______、______、______.
答案：π6，0 23π，1 76π，0 53π，－1 136π，0
解析
3．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的最大值为4，最小
值为0，最小正周期为
π 2
，直线x＝ π3 是其图象的一条对称轴，
则下面各式中符合条件的解析式为
()
A．y＝4sin4x＋π6
B．y＝2sin2x＋π3＋2
C．y＝2sin4x＋π3＋2
π 6
，
数据补全如下表：
ωx＋φ
0
π 2
π
3π 2
2π
x
ππ
7π
5π
13π
12 3
12
6
12
Asin(ωx＋φ) 0 5
0
－5
0
且函数解析式为f(x)＝5sin2x－π6. (2)由(1)知f(x)＝5sin2x－π6， 因此g(x)＝5sin2x＋π6－π6＝5sin2x＋π6. 因为y＝sin x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z， 令2x＋π6＝kπ，k∈Z，解得x＝k2π－1π2，k∈Z， 即y＝g(x)图象的对称中心为k2π－1π2，0，k∈Z， 其中离原点O最近的对称中心为－1π2，0.
ωx＋φ
_0__
π
__2_
y＝Asin(ωx＋φ) 0
A
_π _
3π _2_π_
__2_
0
－A
0
1．若函数 y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图
高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第4讲函数y=习题sin(ωx+φ)的图象及应用
6．[2018·海南模拟]把函数 y＝sinx 的图象上所有点的横 坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图
象向左平移π4个单位，得到的函数图象的解析式是(
)
A．y＝cos2x
B．y＝－sin2x
C．y＝sin2x－π4
D．y＝sin2x＋π4
解析 由 y＝sinx 图象上所有点的横坐标缩小到原来的 一半，纵坐标保持不变，所得图象的解析式为 y＝sin2x，再 向左平移π4个单位得 y＝sin2x＋π4，即 y＝cos2x.
A．关于点π3，0对称 B．关于直线 x＝π4对称 C．关于点π4，0对称 D．关于直线 x＝π3对称 解析 2ωπ＝π 得 ω＝2，函数 f(x)的对称轴满足 2x＋π3＝
kπ(k∈Z)，解得 x＝k2π－π6(k∈Z)，当 k＝1 时，x＝π3.选 D.
5．已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2 的部分图象如图所示，则 f(x)的解析式是( )
[考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) (1)将 y＝sin2x 的图象向右平移π3个单位长度，得到 y＝ sin2x－π3的图象．( × ) (2)函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为 A，最小值 为－A.( × )
(3)把 y＝sin12x 的图象上点的横坐标伸长为原来的 2 倍， 得到 y＝sinωx 的图象，则 ω 的值为14.( √ )
解析 函数 y＝2sin2x＋π6的周期为 π，所以将函数 y ＝2sin2x＋π6的图象向右平移π4个单位长度后，得到函数图 象对应的解析式为 y＝2sin2x－π4＋π6＝2sin2x－π3.故选 D.
4．[2018·西安模拟]已知函数 f(x)＝cosωx＋π3(ω>0)的最 小正周期为 π，则该函数的图象( )
2019届高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第四
D．向左平移π3个单位长度
解析：函数 y＝2sin2x－π3＝2sin2x－π6，可由函数 y＝
2sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到．故选 A. 答案：A
5．用五点法作函数y＝sin x－π6 在一个周期内的图象时，主要 确定的五个点是______、______、______、______、_____.
标缩短到原来的
1 2
倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin
2x＋π2
的图
象，再把所得函数的图象向左平移 1π2 个单位长度，可得函数y＝
sin2x＋1π2＋π2＝sin2x＋23π的图象，即曲线C2. 答案：D
[解题师说] 1．掌握三角函数的图变换的2方法 (1)平移变换[典题领悟] (2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin2x＋23π，则
下面结论正确的是
()
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把
得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把
得到的曲线向左平移1π2个单位长度，得到曲线C2
∵0<φ<π，∴φ＝π6，∴f(x)＝2sin2x＋π6， 则 f π4＝2sinπ2＋π6＝2cosπ6＝ 3. 答案： 3
课 堂 考点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
考点一 函数y＝Asinωx＋φ的图象与变换 [考什么·怎么考]
三角函数图象的变换多出现在选择题中，以 y＝sin x， y＝cos x，y＝tan x 的图象为基础，进行横向伸缩变换及 纵向伸缩变换，或者由正弦型、余弦型、正切型函数图象 为基础进行逆向变换.属于必得分题.
y＝Asin(ωx＋φ) 振幅 周期
高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 第4节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模
第四节函数y ＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用1．y ＝A sin (ωx＋φ)的有关概念 y ＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)，表示一个振动量时振幅周期频率相位初相A T ＝2πω f ＝1T ＝ω2πωx ＋φφx－φω π2－φωπ－φω32π－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2π3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A先平移后伸缩 先伸缩后平移⇓ ⇓1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．( )(2)将y ＝3sin 2x 的图象左移π4个单位后所得图象的解析式是y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.( )(3)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．( ) (4)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向上平行移动π3个单位长度D ．向下平行移动π3个单位长度A [把函数y ＝sin x 的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度就得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象．]3．若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图象341如图，则ω＝( )图341A ．5B ．4C ．3D ．2B [由图象可知，T 2＝x 0＋π4－x 0＝π4，所以T ＝π2＝2πω，所以ω＝4.]4．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4C ．0D ．－π4B [把函数y ＝sin(2x ＋φ)沿x 轴向左平移π8个单位后得到函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋φ2＋π8＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π4为偶函数，则φ的一个可能取值是π4.] 5．(教材改编)电流I (单位：A)随时间t (单位：s)变化的函数关系式是I ＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3，t ∈[0，＋∞)，则电流I 变化的初相、周期分别是________. 【导学号：51062109】π3，150 [由初相和周期的定义，得电流I 变化的初相是π3，周期T ＝2π100π＝150.]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，x ∈R .(1)画出函数f (x )在一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？ [解] (1)列表取值：xπ2 32π 52π 72π 92π 12x －π40 π2 π 32π 2π f (x )3－3(2)先把y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f (x )的图象.15分[规律方法] 1.变换法作图象的关键是看x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx ＋φ＝ω⎝⎛⎭⎪⎫x ＋φω确定平移单位．2．用“五点法”作图，关键是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，描点得出图象．如果在限定的区间内作图象，还应注意端点的确定．[变式训练1] (1)(2016·全国卷Ⅰ)将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 (2)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向右平移________个单位长度得到. 【导学号：51062110】(1)D (2)π3 [(1)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位长度，所得图象对应的函数为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，故选D.(2)∵y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，∴函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝2sin x 的图象向右平移π3个单位长度得到．]求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式y A ωx φ图342A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3(2)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2 (1)A (2)D [(1)由图象知T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，故T ＝π，因此ω＝2ππ＝2.又图象的一个最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2，所以A ＝2，且2×π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，故φ＝2k π－π6(k ∈Z )，结合选项可知y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.故选A.(2)由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的最大值为4，最小值为0，可知b ＝2，A ＝2.由函数的最小正周期为π2，可知2πω＝π2，得ω＝4.由直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，可知4×π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，从而φ＝k π－5π6，k ∈Z ，故满足题意的是y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2.][规律方法] 确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法 (1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m2，b ＝M ＋m2；(2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT；(3)求φ：常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2；“第五点”时ωx ＋φ＝2π.[变式训练2] (2017·浙江名校(镇海中学)交流卷一)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图343所示，则A ＝________，ω＝________，φ＝________.图3431 3π4 [显然A ＝1；周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－π4＝2π3，则ω＝2πT ＝3； 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×5π12＋φ＝－1和|φ|<π2，得φ＝π4.]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象与性质的应用已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．[解] (1)f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z.2分 f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.7分 (2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z .由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .12分设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4.所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减.15分[规律方法] 讨论函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数．[变式训练3] 设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值． [解] (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.4分因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω＞0，所以2π2ω＝4×π4，因此ω＝1.7分(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.9分当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，则－1≤f (x )≤32.13分故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.15分三角函数模型的简单应用f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？ [解] (1)因为f (t )＝10－2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t＝10－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，2分又0≤t ＜24，所以π3≤π12t ＋π3＜7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1.4分当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.7分 (2)依题意，当f (t )＞11时实验室需要降温． 由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＞11，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＜－12.12分 又0≤t ＜24，因此7π6＜π12t ＋π3＜11π6，即10＜t ＜18.故在10时至18时实验室需要降温.15分[规律方法] 1.三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：一是用已知的模型去分析解决实际问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型解决问题，其关键是合理建模．2．建模的方法是认真审题，把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程．[变式训练4] 如图344，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )图344A．5 B．6 C．8 D．10C[根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.][思想与方法]1．由图象确定函数解析式由图象确定y＝A sin(ωx＋φ)时，φ的确定是关键，尽量选择图象的最值点代入；若选零点代入，应根据图象升降确定“五点法”作图中的第几个零点．2．对称问题函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象与x轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x，±A)的点与x轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻对称中心的距离)．[易错与防范]1．要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象．2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．3．由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x 而言的．4．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在x ∈[m ，n ]上的最值可先求t ＝ωx ＋φ的范围，再结合图象得出y ＝A sin t 的值域．课时分层训练(十八) 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( )A ．向右平移π12个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移π12个单位D ．向左平移π4个单位A [由于y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4，y ＝2cos 3x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π2，因此只需将y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位，即可得到y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图象．]2．(2017·浙江测试卷)为得到函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象，只需将函数y ＝2cos 2x的图象( ) 【导学号：51062111】A ．向左平移π4个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移π8个单位D ．向右平移π8个单位D [将函数y ＝2cos 2x 的图象向右平移π8个单位，可得函数y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π8＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象．]3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图345所示，则ω，φ的值分别是( )图345A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3A [∵T 2＝1112π－512π，∴T ＝π.由T ＝2πω＝π，得ω＝2.∵5π12×2＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝－π3＋2k π.又∵φ∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝－π3.]4．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈ZC [由题设知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，f (x )的周期为T ＝π，所以ω＝2， 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 得，k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .]5．若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z )B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z ) C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z ) D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z ) B [将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到函数y ＝2sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象．由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，即平移后图象的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．]二、填空题6．若函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________.0 [由f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为π2，得ω＝4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫4×π3－π3＝0.]7．已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ＜π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．π6 [由题意cos π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝12，2π3＋φ＝k π＋(－1)k·π6(k ∈Z )．因为0≤φ＜π，所以φ＝π6.] 8．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －6(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________ ℃.【导学号：51062112】20．5 [依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，∴y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －6，当x ＝10时，y ＝23＋5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×4＝20.5.]三、解答题9．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1.(1)求它的振幅、最小正周期、初相；(2)画出函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的图象． [解] (1)振幅为2，最小正周期T ＝π，初相为－π4.6分(2)图象如图所示．15分10．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，图象上与点P 最近的一个最高点是Q ⎝⎛⎭⎪⎫π3，5.(1)求函数的解析式；(2)求函数f (x )的递增区间. 【导学号：51062113】[解] (1)依题意得A ＝5，周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝π，2分∴ω＝2ππ＝2.故y ＝5sin(2x ＋φ)，又图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，4分 ∴5sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝0，由已知可得π6＋φ＝0，∴φ＝－π6，∴y ＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.7分 (2)由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，10分故函数f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ).15分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 向左平移s (s >0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图象上，则( )A ．t ＝12，s 的最小值为π6B ．t ＝32，s 的最小值为π6C ．t ＝12，s 的最小值为π3D ．t ＝32，s 的最小值为π3A [因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象上，所以t ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－π3＝sinπ6＝12.所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，12.将点P 向左平移s (s >0)个单位长度得P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ，12.因为P ′在函数y ＝sin 2x 的图象上，所以sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ＝12，即cos 2s ＝12，所以2s＝2k π＋π3或2s ＝2k π＋53π，即s ＝k π＋π6或s ＝k π＋5π6(k ∈Z )，所以s 的最小值为π6.]2．若函数y ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋a 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为________．(－2，－1] [由题意可知y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ，该函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的零点，即y ＝－a ，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的交点．结合函数的图象可知1≤－a ＜2，所以－2＜a ≤－1.]3．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的部分图象如图346所示．图346(1)求f (x )的解析式；(2)设g (x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π122，求函数g (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上的最大值，并确定此时x 的值． [解] (1)由题图知A ＝2，T 4＝π3，则2πω＝4×π3，2分∴ω＝32.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ＝0， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π4＝0.4分∵0＜φ＜π2，∴－π4＜φ－π4＜π4，∴φ－π4＝0，即φ＝π4，∴f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π4.7分(2)由(1)可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π8，10分 ∴g (x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π122＝4×1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π42＝2－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.12分∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，∴－π4≤3x ＋π4≤5π4， ∴当3x ＋π4＝π，即x ＝π4时，g (x )max ＝4.15分。
高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 第4节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模
第四节 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用[考纲传真] 1.了解函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的物理意义；能画出函数的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ≥0)表示一个简谐运动振幅周期 频率 相位 初相AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φ φ2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：x－φωπ2－φωπ－φω32π－φω2π－φωωx ＋φ 0 π2π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A3.由y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0)的图象[常用结论]1．“五点法”作图中，相邻两点的横向距离均为T4.2．在正弦函数图象、余弦函数图象中，相邻的两个对称中心以及相邻的两条对称轴之间的距离均为半个周期．3．正弦函数和余弦函数一定在对称轴处取得最值．4．由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．( )(2)将y ＝3sin 2x 的图象左移π4个单位后所得图象的解析式是y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.( )(3)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象是由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象向右平移π2个单位得到的．( )(4)函数y ＝Acos (ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )[答案](1)× (2)× (3)√ (4)√2．(教材改编)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的振幅、频率和初相分别为( )A ．2,4π，π3B ．2，14π，π3C ．2，14π，－π3D ．2,4π，－π3C [由题意知A ＝2，f ＝1T ＝ω2π＝14π，初相为－π3.]3．为了得到y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π8的图象，只需把y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8图象上的所有点的( ) A ．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变 B ．横坐标伸长到原来的3倍 ，纵坐标不变 C ．纵坐标缩短到原来的13，横坐标不变D ．横坐标缩短到原来的13，纵坐标不变D [由题意可知，要得到y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π8的图象，只需把y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8的图象横坐标缩短到原来的13，纵坐标不变．]4．已知直线x ＝5π12和点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0恰好是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2图象的相邻的对称轴和对称中心，则ω，φ的值分别是( ) A ．2，－π6B ．2，－π3C ．4，π3D ．4，π6B [T 4＝5π12－π6＝π4，∴T ＝π.∴ω＝2πT ＝2ππ＝2.∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝0，∴π3＋φ＝k π，φ＝k π－π3，k ∈Z，又|φ|＜π2， ∴φ＝－π3.故选B.]5．用五点法作函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是________、________、________、________、________.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0；⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，1；⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6，0；⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，－1；⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6，0[分别令x －π6＝0，π2，π，32π，2π，即可得五个点的横坐标(纵坐标分别为0,1,0，－1,0)．]三角函数的图象及变换1．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －π4的图象，只需将函数y ＝cos 5x 的图象( )A ．向左平移3π20个单位B ．向右平移3π20个单位C ．向左平移3π4个单位D ．向右平移3π4个单位B [函数y ＝cos 5x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋π2＝sin 5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π10， y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫5x －π4＝sin 5⎝⎛⎭⎪⎫x －π20，设平移φ个单位，则π10＋φ＝－π20， 解得φ＝－3π20，故把函数y ＝cos 5x 的图象向右平移3π20个单位，可得函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －π4的图象．]2．将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3的图象向左平移φ(φ＞0)个单位后，得到的图象关于直线x ＝π12对称，则φ的最小值为( ) A.π6B.5π24 C.π4D.7π24B [把函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3的图象向左平移φ(φ＞0)个单位后，可得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4x ＋φ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋4φ＋π3的图象，∵所得图象关于直线x ＝π12对称，∴4×π12＋4φ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z)，∴φ＝k π4－π24(k ∈Z)，∵φ＞0，∴φmin ＝5π24.]3．已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，x ∈R.(1)画出函数f (x )在一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？ [解](1)列表取值：xπ2 32π 52π 72π 92π 12x －π4π2π32π 2πf (x ) 0 3 0 －3 0描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图．(2)先把y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f (x )的图象．[规律方法] 1.y ＝A sin ωx ＋φ的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z＝ωx ＋φ计算五点坐标.2.由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin ωx ＋φ图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式【例1】 (1)(2019·某某模拟)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图所示，则f (0)＝( )A ．－ 3B ．－32C ．－1D ．－12(2)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 其中A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2.①求f (x )的解析式；②当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2时，求f (x )的值域．(1)A [因为T 2＝11π12－5π12＝π2，所以T ＝π，所以ω＝2.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝2，所以5π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z，所以φ＝－π3＋2k π，k ∈Z.因为φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以φ＝－π3，所以f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－3，故选A.] (2)[解] ①由最低点为M ⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－2，得A ＝2.由x 轴相邻两个交点之间的距离为π2，得T 2＝π2，即T ＝π，所以ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－2在图象上，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π3＋φ＝－2，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1， 所以4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z)，即φ＝2k π－11π6(k ∈Z)．因为φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以φ＝π6.故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.②因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2， 所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6.当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取最小值－1.故f (x )的值域为[－1,2]． [规律方法] 确定y ＝A sinωx ＋φ＋b A ＞0，ω＞0的步骤和方法1求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则. 2求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT.3求φ：常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入此时A ，ω，b 已知或代入图象与直线y ＝b 的交点求解此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上.②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口.“第一点”即图象上升时与x 轴的交点时ωx ＋φ＝0；“第二点”即图象的“峰点”时ωx ＋φ＝π2；“第三点”即图象下降时与x 轴的交点时ωx ＋φ＝π；“第四点”即图象的“谷点”时ωx ＋φ＝3π2；“第五点”时ωx ＋φ＝2π.(2019·辽南五校联考)函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(ω＞0，－π＜φ＜0)的部分图象如图所示，则关于函数g (x )＝A sin(ωx －φ)的下列说法正确的是( )A ．图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0中心对称 B ．图象关于直线x ＝π6对称C ．图象可由y ＝2cos 2x 的图象向左平移π6个单位长度得到D ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12上单调递减D [由图象可得A ＝2，T 2＝π3＋π6＝π2，则最小正周期T ＝π＝2πω，得ω＝2，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝2，－π＜φ＜0，则φ＝－2π3，所以g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin4π3≠0，A 错误；g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin π＝0，B 错误；g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象可由y ＝2cos 2x 的图象向左平移π12个单位长度得到，C 错误；x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12时，2x ＋2π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，3π2，g (x )单调递减，D 正确，故选D.]三角函数模型的简单应用【例2】 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．(1)某某验室这一天的最大温差；(2)若要某某验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？[解](1)因为f (t )＝10－2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，又0≤t ＜24，所以π3≤π12t ＋π3＜7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，当f (t )＞11时实验室需要降温． 由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＞11，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＜－12.又0≤t ＜24，因此7π6＜π12t ＋π3＜11π6，即10＜t ＜18.故在10时至18时实验室需要降温．[规律方法] 三角函数模型的实际应用类型及解题关键1已知函数解析式，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及函数的对应关系.2函数解析式未知时，需把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模.如图所示，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10C [根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.]1．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2D [因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3－π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以曲线C 1：y ＝cos x 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线y ＝cos 2x ，再把得到的曲线y ＝cos 2x向左平移π12个单位长度，得到曲线y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 故选D.]2．(2016·全国卷Ⅱ)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( ) A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z) B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z) C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z)D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z) B [将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到函数y ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象．由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z)，即平移后图象的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z)．]3.(2015·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A ．k π－14，k π＋34，k ∈ZB ．2k π－14，2k π＋34，k ∈ZC ．k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z D [由图象知，周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z.故选D.]4.(2016·全国卷Ⅲ)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．2π3 [因为y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，所以把y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象至少向右平移2π3个单位长度可得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3word 的图象．]- 11 - / 11。
全国近年高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第4讲函数y=asin(ωx+φ)的图象及应用增分
（全国版）2019版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第4讲函数y＝asin(ωx＋φ)的图象及应用增分练编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国版）2019版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第4讲函数y＝asin(ωx＋φ)的图象及应用增分练）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第4讲函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用板块四模拟演练·提能增分［A级基础达标]1．要得到函数y＝sin错误!x的图象，只需将函数y＝sin错误!的图象( ）A．向左平移错误!个单位B．向右平移错误!个单位C．向左平移错误!个单位D．向右平移错误!个单位答案C解析∵y＝sin错误!＝sin错误!，∴要得到y＝sin错误!x的图象，只需将y＝sin错误!的图象向左平移错误!个单位即可．2．[2018·沧州模拟]若ω＞0，函数y＝cos错误!的图象向右平移错误!个单位长度后与原图象重合，则ω的最小值为（)A。
错误! B.错误! C．3 D．4答案C解析将y＝cos错误!的图象向右平移错误!个单位后为y＝cos错误!＝cos错误!，所以有错误!＝2kπ，即ω＝3k，k∈Z，又ω〉0，所以k≥1，故ω＝3k≥3。
故选C。
3．［2018·临沂模拟］已知函数f(x）＝A cos(ωx＋θ）的图象如图所示，f错误!＝－错误!,则f错误!＝( ）A．－错误! B．－错误! C.错误! D。
高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第4节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模
第三章 第4节 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用[基础训练组]1．(导学号14577313)(2018·潍坊市一模)将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π6的图象向左平移π4个单位，再向上平移3个单位，得到函数g (x )的图象，则g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π4－3 B ．g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π4＋3 C ．g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π12＋3 D ．g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π12－3 解析：B [将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π6的图象向左平移π4个单位，再向上平移3个单位，得到函数g (x )的图象，则g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π6＋3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π4＋3.故选B.]2．(导学号14577314)(2018·某某市二模)要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( )A ．向左平移π12单位B ．向右平移π12单位C ．向左平移π3单位D ．向右平移π3单位解析：B [因为函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3 ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12， 要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数 y ＝sin 4x 的图象向右平移π12单位．故选B.]3．(导学号14577315)(2018·某某市三诊)已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)，函数f (x )的图象如图所示，则f (2016π)的值为( )A. 2 B ．－ 2 C. 3D ．－ 3解析：A [由函数的图象可得A ＝2，T ＝2πω＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－π2＝4π，解得ω＝12.又图象经过⎝⎛⎭⎪⎫π2，0，0＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π2＋φ，0＜φ＜π，φ＝3π4，故f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3π4，所以f (2 016π)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2 016π＋3π4＝ 2.故选A.]4．(导学号14577316)(2018·某某市三校联考)若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位后与原函数的图象关于x 轴对称，则ω的最小正值是( )A.12 B ．1 C ．2D ．3解析：D [根据函数的平移法则可得，把已知函数的图象向右平移π3个单位的函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3－ωπ3与f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象关于x 轴对称则有sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3－ωπ3，解方程可得，ω＝6k ＋3，k ∈Z ，故当k ＝0时ω的最小值为3.故选D.]5．(导学号14577317)(2018·某某市二测)将函数f (x )＝－cos 2x 的图象向右平移π4个单位后得到函数g (x )，则g (x )具有性质( )A ．最大值为1，图象关于直线x ＝π2对称B ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减，为奇函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8，π8上单调递增，为偶函数D ．周期为π，图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫3π8，0对称解析：B [由题意得，g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－π2＝sin(2x －π)＝－2sin 2x .对于选项A ：最大值为1正确，而g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，不关于直线x ＝π2对称，故A 错误；选项B ：当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4时，2x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，满足单调递减，显然g (x )也是奇函数，故B 正确；选项C ：当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8，π8时，2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－34π，π4，不满足单调递增，也不满足偶函数，故C错误；选项D ：周期T ＝2π2＝π，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫38π＝－22，故不关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0对称，故D 错误．] 6．(导学号14577318)(2016·高考新课标全国卷Ⅲ)函数y ＝sin x － 3 cos x 的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向右平移 ______ 个单位长度得到．解析：∵y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，f (x )＝2sin x ，∴f (x －φ)＝2sin (x －φ)(φ＞0)，依题意可得2sin(x －φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3， ∴－φ＝2k π－π3(k ∈Z )，∴φ＝－2k π＋π3(k ∈Z )，当k ＝0时，正数φmin ＝π3.答案：π37．(导学号14577319)(2018·某某市实战考试)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG (点G 在图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f (1)＝ __________ .解析：由题意得，A ＝3，T ＝4＝2πω⇒ω＝π2.又∵f (x )＝A cos(ωx ＋φ)为奇函数，∴φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∴取k ＝0，φ＝π2，∴f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π2，∴f (1)＝－ 3.答案：－ 38．(导学号14577320)(2018·某某市一模)已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，把f (x )的图象按向量v ＝(m,0)(m ＞0)平移后，所得图象恰好为函数y ＝f ′(x )，则m 的最小值为___________ .解析：图象按向量v ＝(m,0)(m ＞0)平移后， 得到函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －m ＋π4；函数y ＝f ′(x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3π4. 因为两个函数的图象相同，所以－m ＋π4＝3π4＋2k π，k ∈Z ，所以m 的最小值为3π2.答案：3π29．(导学号14577321)已知定义在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，3π2上的函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π4对称，当x ≥π4时，f (x )＝－sin x .(1)作出y ＝f (x )的图象； (2)求y ＝f (x )的解析式． 解：(1)y ＝f (x )的图象如图所示．(2)任取x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π4，则π2－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π2，由于函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称，所以f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x .又当x ≥π4时，f (x )＝－sin x ，所以f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－cos x ， 即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π，π4－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π2.10．(导学号14577322)设函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)的周期为π.(1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到． 解：(1)f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx ＋32cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，又∵T ＝π，∴2πω＝π，即ω＝2.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. ∴函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx 的振幅为2，初相为π3.(2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2sin X . 列表，并描点画出图象：x －π6 π12 π3 7π12 5π6 X 0 π2 π 3π2 2π y ＝sin X 01 0 －1 0 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π32－2(3)法一：把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，再把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，最后把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．法二：将y ＝sin x 的图象上每一点的横坐标x 缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y＝sin 2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位，得到y ＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；再将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．[能力提升组]11．(导学号14577323)(2018·某某市模拟)定义一种运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1a 2a 3a 4＝a 1·a 4－a 2·a 3，那么函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 cos x 1 sin x 的图象向左平移k (k ＞0)个单位后，所得图象关于y 轴对称，则k 的最小值应为( )A.2π3B.5π6C.π3D.π4解析：A [由新定义可得，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 cos x 1 sin x＝ 3 sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6.图象向左平移k 个单位后，所得函数解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋k －π6.∵所得图象关于y 轴对称，∴k －π6＝n π＋π2，即k ＝n π＋2π3，n ∈Z .∵k ＞0，∴k 的最小值应为2π3.故选A.] 12．(2018·某某市模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期为π，且其图象向右平移π6个单位后得到函数g (x )＝sin ωx 的图象，则函数f (x )的图象( )A ．关于直线x ＝π12对称B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点⎝⎛⎭⎪⎫π12，0对称D ．关于点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0对称解析：A [由函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期为π，可得2πω＝π，求得ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋φ)，其图象向右平移π6个单位后得到函数g (x )＝sin 2x的图象，所以有sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋φ＝sin 2x ，故可取φ＝π3，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.令2x ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，求得x ＝k π2＋π12，故函数f (x )的图象的对称轴方程为x＝k π2＋π12，k ∈Z . 令2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，求得x ＝k π2－π6，故函数f (x )的图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π6，0，k ∈Z ，故选A.]13．(导学号14577324)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，m ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－32，则m 的取值X 围是 ______ . 解析：画出函数的图象．由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，m ，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos 5π6＝－32且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π9＝cos π＝－1，要使f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－32，只要2π9≤m ≤5π18，即m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π9，5π18.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π9，5π18 14．(导学号14577325)(2018·潍坊市一模)已知函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4·cos ωx在x ＝π4处取得最值，其中ω∈(0,2)．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)将函数f (x )的图象向左平移π36个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象．若α为锐角．g (α)＝43－2，求cos α.解：(1)化简可得f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4·cos ωx ＝4⎝⎛⎭⎪⎫22sin ωx －22cos ωx cos ωx＝22sin ωx cos ωx －22cos 2ωx ＝2sin 2ωx －2cos2ωx － 2 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π4－2， ∵函数f (x )在x ＝π4处取得最值，∴2ω×π4－π4＝k π＋π2，解得ω＝2k ＋32，k ∈Z ，又∵ω∈(0,2)，∴ω＝32，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4－2，∴最小正周期T ＝2π3； (2)将函数f (x )的图象向左平移π36个单位得到y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π36－π4－2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π6－2的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )＝2sin⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6－2的图象． ∵α为锐角，g (α)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6－2＝43－2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝23， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝53，∴cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6＝32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝32×53－12×23＝15－26.。
高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 第4节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模
课时分层训练(二十)函数y ＝Asin(ωx＋φ)的图象A 组 基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( ) 【导学号：31222120】A ．向右平移π12个单位 B ．向右平移π4个单位C ．向左平移π12个单位D ．向左平移π4个单位A [由于y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4，y ＝2cos 3x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π2，因此只需将y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位，即可得到y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图象．]2．(2017·成都二诊)将函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的解析式为( )A ．g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3B ．g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6C ．g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3D ．g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6 B [由图象变换规则可得g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，故选B.] 3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图345所示，则ω，φ的值分别是( )图345A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3A [∵T 2＝1112π－512π，∴T ＝π.由T ＝2πω＝π，得ω＝2.∵5π12×2＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝－π3＋2k π.又∵φ∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝－π3.]4．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( ) 【导学号：31222121】A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z C [由题设知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，f (x )的周期为T ＝π，所以ω＝2，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 得，k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z.]5．(2016·全国卷Ⅱ)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z)B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z) C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z) D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z) B [将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到函数y ＝2sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象．由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z)，即平移后图象的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z)．]二、填空题6．若函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________.【导学号：31222122】0 [由f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为π2，得ω＝4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫4×π3－π3＝0.]7．已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ＜π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．π6 [由题意cos π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝12，2π3＋φ＝k π＋(－1)k·π6(k ∈Z)．因为0≤φ＜π，所以φ＝π6.] 8．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －6(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________ ℃.20．5 [依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，∴y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －6， 当x ＝10时，y ＝23＋5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×4＝20.5.]三、解答题9．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1.(1)求它的振幅、最小正周期、初相；(2)画出函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的图象． [解] (1)振幅为2，最小正周期T ＝π，初相为－π4.5分(2)图象如图所示．12分10．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，图象上与点P 最近的一个最高点是Q ⎝⎛⎭⎪⎫π3，5.(1)求函数的解析式； (2)求函数f (x )的递增区间．[解] (1)依题意得A ＝5，周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝π，2分∴ω＝2ππ＝2.故y ＝5sin(2x ＋φ)，又图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，4分 ∴5sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝0，由已知可得π6＋φ＝0，∴φ＝－π6，∴y ＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.6分 (2)由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，10分故函数f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z).12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2016·北京高考)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 向左平移s (s >0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图象上，则( )A ．t ＝12，s 的最小值为π6B ．t ＝32，s 的最小值为π6C ．t ＝12，s 的最小值为π3D ．t ＝32，s 的最小值为π3A [因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象上，所以t ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－π3＝sinπ6＝12.所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，12.将点P 向左平移s (s >0)个单位长度得P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ，12.因为P ′在函数y ＝sin 2x 的图象上，所以sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ＝12，即cos 2s ＝12，所以2s＝2k π＋π3或2s ＝2k π＋53π，即s ＝k π＋π6或s ＝k π＋5π6(k ∈Z)，所以s 的最小值为π6.]2．若函数y ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋a 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为________．【导学号：31222123】(－2，－1] [由题意可知y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ，该函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的零点，即y ＝－a ，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的交点．结合函数的图象可知1≤－a ＜2，所以－2＜a ≤－1.]3．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的部分图象如图346所示．图346(1)求f (x )的解析式；(2)设g (x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π122，求函数g (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上的最大值，并确定此时x 的值．[解] (1)由题图知A ＝2，T 4＝π3，则2πω＝4×π3，2分∴ω＝32.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ＝0， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π4＝0.4分∵0＜φ＜π2，∴－π4＜φ－π4＜π4，∴φ－π4＝0，即φ＝π4，∴f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π4.6分(2)由(1)可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π8，8分 ∴g (x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π122＝4×1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π42＝2－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.10分∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，∴－π4≤3x ＋π4≤5π4，∴当3x ＋π4＝π，即x ＝π4时，g (x )max ＝4.12分。
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第四节 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及三角函数的简单应用[考纲传真] 1.了解函数y ＝A sin F (ωx ＋φ)的物理意义；能画出函数的图像，了解参数A ，ω，φ对函数图像变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．(对应学生用书第45页)[基础知识填充]1．函数y ＝A sin (ωx ＋φ)中各量的物理意义y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ≥0)，表示一个振动量时振幅 周期 频率 相位 初相A T ＝2πω f ＝1T ＝ω2πωx ＋φ φx－φω π2－φω π－φω 32π－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A先平移后伸缩 先伸缩后平移⇓ ⇓[知识拓展]1．由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换中，应向左平移φω个单位长度，而非φ个单位长度．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z 确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π，k ∈Z 确定其横坐标．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)利用图像变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．( )(2)将y ＝3sin 2x 的图像左移π4个单位后所得图像的解析式是y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.( ) (3)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图像的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．( ) (4)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图像的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(2016·四川高考)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图像，只需把函数y ＝sin x 的图像上所有的点( )A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向上平行移动π3个单位长度D ．向下平行移动π3个单位长度A [把函数y ＝sin x 的图像上所有的点向左平行移动π3个单位长度就得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图像．]3．(2017·山东高考)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A ．π2B ．2π3C ．πD ．2πC [y ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，T ＝2π2＝π. 故选C ．]4．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为( ) A ．3π4B ．π4C ．0D ．－π4B [把函数y ＝sin(2x ＋φ)沿x 轴向左平移π8个单位后得到函数y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2＋π8＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π4为偶函数，则φ的一个可能取值是π4.]5．(教材改编)电流I (单位：A)随时间t (单位：s)变化的函数关系式是I ＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt＋π3，t ∈[0，＋∞)，则电流I 变化的初相、周期分别是________． 【导学号：00090097】π3，150 [由初相和周期的定义，得电流I 变化的初相是π3，周期T ＝2π100π＝150.](对应学生用书第46页)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及变换(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线 向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线 向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2D [因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3－π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以曲线C 1：y ＝cos x 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线y ＝cos 2x ，再把得到的曲线y ＝cos 2x 向左平移π12个单位长度，得到曲线y ＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.故选D ．](2)已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，x ∈R .①画出函数f (x )在一个周期的闭区间上的简图；②将函数y ＝sin x 的图像作怎样的变换可得到f (x )的图像？ [解] ①列表取值：xπ2 32π 52π 72π 92π 12x －π40 π2 π 32π 2π f (x )3－3②先把y ＝sin x 的图像向右平移π4个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f (x )的图像．[规律方法] 1.变换法作图像的关键是看x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx ＋φ＝ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φω确定平移单位． 2．用“五点法”作图，关键是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，描点得出图像．如果在限定的区间内作图像，还应注意端点的确定．[变式训练1] (1)(2016·全国卷Ⅰ)将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为( ) A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 (2)(2018·长春模拟)要得到函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像，只需将函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像( )【导学号：00090098】A ．向左平移π2个单位长度B ．向右平移π2个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度(1)D (2)C [(1)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像向右平移14个周期即π4个单位长度，所得图像对应的函数为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，故选D ．(2)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6，故把g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向左平移π4个单位，即得函数f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π3的图像，即得到函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像，故选C ．]求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式y A ωx φ所示，则( )图341A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 (2)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图像的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2 (1)A (2)D [(1)由图像知T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，故T ＝π，因此ω＝2ππ＝2.又图像的一个最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2，所以A ＝2，且2×π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，故φ＝2k π－π6(k ∈Z )，结合选项可知y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.故选A ． (2)由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的最大值为4，最小值为0，可知b ＝2，A ＝2.由函数的最小正周期为π2，可知2πω＝π2，得ω＝4.由直线x ＝π3是其图像的一条对称轴，可知4×π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，从而φ＝k π－5π6，k ∈Z ，故满足题意的是y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2.][规律方法] 确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法 (1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2； (2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT ；(3)求φ：常用的方法有：①代入法：把图像上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图像与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．“第一点”(即图像上升时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图像的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图像下降时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图像的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2；“第五点”时ωx ＋φ＝2π.[变式训练2] (2017·石家庄一模)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图像如图342所示，则f ⎝⎛⎭⎪⎫11π24的值为( )图342A ．－62 B ．－32C ．－22D ．－1D [由图像可得A ＝2，最小正周期T ＝4⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，则ω＝2πT ＝2.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫7π6＋φ＝－2，解得φ＝－5π3＋2k π(k ∈Z )，即k ＝1，φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫11π12＋π3＝2sin 5π4＝－1，故选D ．]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图像与性质的应用(2016·天津高考)已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．【导学号：00090099】[解] (1)f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋kπ，k∈Z. 2分f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.6分(2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k ∈Z . 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .8分设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝x ⎪⎪⎪－π12＋kπ≤x≤5π12＋kπ，k ∈Z ，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4.所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上是减少的.12分[规律方法] 讨论函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数． [变式训练3] 设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值． [解] (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx－π3.3分因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω＞0，所以2π2ω＝4×π4，因此ω＝1.5分 (2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.6分当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，则－1≤f (x )≤32.10分 故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1. 12分三角函数模型的简单应用t f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？ [解] (1)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，2分又0≤t ＜24，所以π3≤π12t ＋π3＜7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1.4分当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.6分 (2)依题意，当f (t )＞11时实验室需要降温．由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＞11，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＜－12.9分又0≤t ＜24，因此7π6＜π12t ＋π3＜11π6，即10＜t ＜18.故在10时至18时实验室需要降温.12分[规律方法] 1.三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：一是用已知的模型去分析解决实际问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型解决问题，其关键是合理建模．2．建模的方法是认真审题，把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程．[变式训练4] (2015·陕西高考)如图343，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )图343A．5 B．6C．8 D．10C[根据图像得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.]。