关于高等数学等价无穷小替换_极限的计算()
浅谈等价无穷小替换在求极限中的应用
浅谈等价无穷小替换在求极限中的应用
于荣娟;陈红红;梁显丽
【期刊名称】《黑龙江科技信息》
【年(卷),期】2012(000)028
【摘要】在高等数学中，极限的计算是一个很重要的问题。
本文主要针对一种求
极限的方法——应用等价无穷小及无穷小替换定理求极限。
在无穷小及等价无穷
小替换定理的基础上，研究了和它有关的几个性质、结论，并以某些类型题为例，对其性质进行了举例和应用；同时本文对等价无穷小替换求极限问题进行了总结归纳，扩大了等价无穷小替换在极限计算中的范围，使一些复杂的求极限问题简单化。
【总页数】1页(P198-198)
【作者】于荣娟;陈红红;梁显丽
【作者单位】内蒙古农业大学职业技术学院,内蒙古包头014109;内蒙古农业大学
职业技术学院,内蒙古包头014109;内蒙古农业大学职业技术学院,内蒙古包头014109
【正文语种】中文
【中图分类】O13
【相关文献】
1.浅谈用等价无穷小替换法求极限 [J], 赵文菊;张秀全
2.泰勒公式在用等价无穷小量替换求极限中的应用 [J], 郑瑞根
3.等价无穷小替换在求极限中的应用及推广 [J], 马艳丽;聂东明
4.浅析"等价无穷小替换"在求函数极限中的应用 [J], 杨录胜
5.等价无穷小替换求极限的推广及应用 [J], 苏燕玲;
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谈等价无穷小的替换求函数的极限
谈等价无穷小的替换求函数的极限孟庆人【摘要】本文讨论了等价无穷小在求函数极限中的应用及适用条件,及求函数极限的罗比达法则、泰勒公式与等价无穷小应用之比较.【期刊名称】《产业与科技论坛》【年(卷),期】2012(011)023【总页数】2页(P145-146)【关键词】等价无穷小;罗比达法则;泰勒公式;函数的极限【作者】孟庆人【作者单位】无锡科技职业学院理科教学部【正文语种】中文极限的概念是高等数学的重要概念之一，高等数学的许多概念是通过极限的方式加以定义的，因此学好极限的概念对学好高等数学具有重要的意义，而极限的计算又是学好极限的基础，因此在教学中重视极限的计算教学显得尤为重要，运用等价无穷小的替换求型函数的极限，往往能起到简化计算的作用。
一、等价无穷小的概念设α、β是同一变化过程的无穷小，且α≠0，而也是在这个变化过程中的极限。
如果)，就说α、β是同阶无穷小，如果，就说β与α是同阶无穷小，记作β～α。
二、定理1(等价无穷小的替换定理)在自变量的同一变化过程中，α、β、α＇、β＇都是无穷小量，且α ～α＇，β ～β＇，如果极限存在，那么证明，在求两个无穷小之比的极限时，分子分母都可以用各自的等价无穷小来替换，也可分子或分母单独替换，常用的几个等价无穷小为:在x→0时，x～arcsinx～arctanx～1～αx，定理表明在求商式的极限过程中，分子或分母中积的因子(在这个变化过程中的无穷小)可用其等价的无穷小替换，只要无穷小的替换恰当，某些型的极限计算将变得简单易解，省去了比较复杂的计算。
三、实际应用例1求的极限解:原式=分子和分母都是x→0+时的无穷小，因此可用等价无穷小的替换定理求解，此题若直接用罗必达法则求解则显得很麻烦。
例2求的极限解:原式分子有理化后，可利用等价无穷小的替换定理做简单些，这题直接用罗必达法则求解也显得更加麻烦。
例3求的极限解:原式=，此题的分子分母中的因子洽为x→0+时的无穷小，因此可直接用等价无穷小的替换定理解，若直接用罗比达法则更为麻烦，可见用等价无穷小的替换求某些函数的极限还是很有优势的，但也不能绝对化，有时偏好用等价无穷小的替换还会导致错误，我们看下面的例题例4求的极限解:原式=，这种解法是错误的。
等价无穷小函数求极限
等价无穷小求函数极限1绪论1.1研究背景和意义极限的概念是微积分学重要概念之一，是微积分学的基础。
现有的极限问题的求解方法主要有以下几种: 定义法、利用两个重要极限、利用等价无穷小、函数极限四则运算和洛必达法则。
函数极限是描述函数变化趋势的重要概念，是从近似认识精确、从有限认识无限、从量变认识质变的一种数学方法。
其中，运用等价无穷小来替换函数中的无穷小因子是求函数极限中一种非常普遍、非常快捷的方法，由于这一方法运用起来比较方便，并且能在很大程度上简化计算。
虽说无穷小量分离、约零因子、利用重要极限、罗比达法则等常用求极限的方法都有其自身的价值，但等价无穷小代换求极限以其快捷、简便、适用性强等优点成为一类代表算法,用它可以求解某些用其他方法难以求解的极限问题，使之化繁为简，化难为易。
等价无穷小是高等数学中最基本的概念之一，同时又是高等数学的重要组成部分，因此它的应用的深入发展对于数学的发展具有及其深远的意义。
研究等价无穷小量在求极限中的应用,有助于人们更系统，更全面的认识等价无穷小量在数学计算中的作用。
等价无穷小量做代换是计算极限的一种常用、方便、有效的方法,用它可以求到某些用其它方法难以求到的极限问题,达到化繁为简目的。
生产和实验的很多计算过程中的变量都可以用等价无穷小来替换,从而简化计算。
等价无穷小可以把繁琐的实际问题化为一种简单的形式，从而引导人们用更简便的方法解决实际问题。
用等价无穷小求极限是高等数学中的一个重要工具，它在生活中的应用是理论和实际相联系的强有力的纽带。
因此，等价无穷小在函数求极限的问题中具有十分重要的应用，本文中将对等价无穷小函数求极限的方法进行研究，并通过实例对方法进行介绍。
等价无穷小量代换是指在极限运算过程中，将一些无穷小量用与其等价的无穷小量来替代，从而达到简化计算的目的。
利用等价无穷小量求极限，只对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来代替，而对极限式中的相加或相减部分则说明不能随意替代。
考研高数中求极限的几种特殊方法
考研高数中求极限的几种特殊方法在数学分析中，极限是研究函数的重要工具。
通过极限，我们可以研究函数的性质，进行函数的计算，以及解决与函数相关的问题。
求函数极限的方法有很多种，以下是几种常见的方法。
对于一些简单的初等函数，我们可以直接根据函数的定义代入特定的x值来求得极限。
例如，求lim (x→2) (x-2)，我们可以直接代入x=2，得到极限为0。
当函数在某一点处的极限存在时，如果从该点趋近的数列是无穷小量，则此函数在该点处的极限就等于该数列的极限。
例如，求lim (x→0) (1/x)，我们可以令x=1/t，当t→∞时，x→0，而t=1/x趋近于无穷小量，所以lim (x→0) (1/x) = lim (t→∞) (t) = ∞。
洛必达法则是求未定式极限的重要方法。
如果一个极限的形式是0/0或者∞/∞，那么我们可以通过对函数同时取微分的方式来找到极限的值。
例如，求lim (x→+∞) (x^2+3)/(2x^2+1)，分子分母同时求导，得到lim (x→+∞) (2x/4x) = lim (x→+∞) (1/2) = 1/2。
对于一些复杂的函数，我们可以通过泰勒展开的方式将其表示为无限多项多项式之和的形式。
通过选取适当的x值，我们可以使得多项式的和尽可能接近真实的函数值。
例如，求lim (x→0) ((1+x)^m-1)/x，我们可以使用泰勒展开得到lim (x→0) ((1+x)^m-1)/x = lim (x→0) m(1+x)^(m-1) = m。
夹逼定理是一种通过构造两个有界序列来找到一个数列的极限的方法。
如果一个数列的项可以划分为三部分，而每一部分都分别被两个有界序列所夹逼，那么这个数列的极限就等于这两个有界序列的极限的平均值。
例如，求lim (n→∞) (n!/(n^n))^(1/n)，令a_n=(n!/(n^n))^(1/n)，则a_n ≤ a_{n+1}且a_n ≥ a_{n-1}，因此由夹逼定理可知lim a_n=lim a_{n+1}=lim a_{n-1}=1。
用等价无穷小代换求幂指函数的极限
Science &Technology Vision 科技视界1问题提出在大学高等数学中,对于幂指函数求极限的问题,共有两处提到,包括重要极限和洛必达法则。
但是,关于等价无穷小代换求幂指函数极限的问题大多都没有特别讲解。
一般得,只针对于分式型的函数如何用等价无穷小代换求极限做了讲解。
在教学过程中,有学生在一开始的学习中就遇到较为复杂的幂指函数求极限的问题,就不知道如何计算了。
课本中有一道极限求解题目,具体如下:lim x →0(1+tan x 1+sin x)1x这是一个典型的1∞型的幂指函数求极限问题。
大多数学生在这里第一反应就是用重要极限来求解,但此题用重要极限不太容易看出来。
如果了解等价无穷小的相关定理,那么这道题就迎刃而解了。
鉴于此种情况,本文在前人研究的基础上,总结了幂指函数的求极限的方法,着重提出了等价无穷小求解幂指函数极限的看法。
2幂指函数求极限的其他方法幂指函数的极限类型很多,有确定型和不定式之分。
对于确定型的幂指函数可以直接底数与指数求极限。
而对于不定式型的幂指函数,通常采用重要极限和洛必达法则两种方法。
2.1重要极限对1∞型的幂指函数极限问题,考虑利用重要极限lim x →∞(1+1x )x =e及其变形公式lim x →0(1+x )1x=e 求极限。
例1求极限lim x →0(cos x )csc 2x .解:lim x →0(cos x )csc 2x =lim x →0[1+(cos x -1)]1sin 2x=lim x →0[1+(cos x -1)]1cos x -1·cos x -1sin x=elim-12x x=e-122.2洛必达法则另外,对00型,∞0型,1∞型幂指函数的极限,可以通过将幂指函数化为对数恒等式y=e ln y 的形式,转换为00型或∞∞型不定式,然后再利用洛必达法则进行求解。
例2求极限lim x →∞(1+a x)x .解:lim x →∞(1+a x )x =lim x →∞ex ln(1+a x)=elimln(1+a x )1x因为lim x →∞(1+a x)=0,lim x →∞1x =0由洛必达法则,得:lim x →∞(1+a x)x=e lim[ln(1+a x )]′(1x)′=elim axx+a=ea3用等价无穷小代换求幂指函数的极限幂指函数00型,∞0型,1∞型这三种类型不定式的求极限问题,除了运用前两种方法外,还可以使用等价无穷小的代换。
极限计算方法总结
极限计算方法总结《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。
求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。
下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。
一、极限定义、运算法则和一些结果1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。
说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的 极限严格定义证明，例如：)0,(0lim≠=∞→a b a an bn 为常数且；5)13(lim 2=-→x x ；⎩⎨⎧≥<=∞→时当不存在，时当，1||1||0lim q q q nn ；等等 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。
2．极限运算法则定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1）B A x g x f ±=±)]()(lim[（2）B A x g x f ⋅=⋅)()(lim（3）)0(,)()(lim成立此时需≠=B BAx g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。
3．两个重要极限 （1）1sin lim0=→xxx（2）e x xx =+→1)1(lim ； e x xx =+∞→)11(lim说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。
例如：133sin lim 0=→xx x ，e x xx =--→210)21(lim ，e x xx =+∞→3)31(lim ；等等。
4．等价无穷小定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。
高等数学等价交换分式
高等数学等价交换分式
等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。
求极限时，使用等价无穷小的条件
1、被代换的量，在取极限的时候极限值为0；
2、被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。
在同一点上，这两个无穷小之比的极限为1，称这两个无穷小是等价的。
等价无穷小也是同阶无穷小。
从另一方面来说，等价无穷小也可以看成是泰勒公式在零点展开到一阶的泰勒展开公式。
常用等价无穷小公式是什么
常用等价无穷小公式=1-cosx。
等价无穷小是无穷小之间的一种关系，指的是在同一自变量的趋向过程中，若两个无穷小之比的极限为1，则称这两个无穷小是等价的。
无穷小等价关系刻画的是两个无穷小趋向于零的速度是相等的。
等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。
当x趋近于0时：
e^x-1~x；
ln(x+1)~x；
1-cosx~(x^2)/2；
(1+bx)^a-1~abx。
高等数学中几种求极限的方法
豆俊梅 河南工业大学 ４５０００８
摘 要 文章对贯穿于整个高等数学教材中的极限、 求极限的方法做了一定的概括与总结。 关键词 极限；极限方法
极限的概念是高等数学中最重要、 最基本的概念之一，它是研究分析方法的 重要理论基础，许多重要的概念如连续、 导数、定积分、无穷级数的和及广义积分 等都是用极限来定义的。 掌握好求极限的 方法对学好高等数学是十分重要的。但 极限定义并未直接提供如何去求极限。 求极限的方法因题而异，变化多端，有 时甚至感到变幻莫测无从下手，本文总 结几种常用的求极限的方法以供参考。
ｃ ｏ ｓ ｘ ～ ，（１ ＋ ｘ ）ａ － １ ～α ｘ 等等。
例１求 解
－２２７－
科技教育创新 中国科技信息 ２００６ 年第 １５ 期 ＣＨＩＮＡ ＳＣＩＥＮＣＥ ＡＮＤ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ Ａｕｇ．２００６
错在对加减中的某一项进行了等价无 穷小代换。
五、利用两个重要极限
，
等七种未
定式均可用洛必达法则求解。
九、利用定积分求极限
由于定积分是一个有特殊结构和式的 极限，这样又可利用定积分的值求出某一 和数的极限．若要利用定积分求极限，其关 键在于将和数化成某一特殊结构的和式。
参考文献 ［１］裘卓明编．研究生入学考试指导．山东科 学技术出版社 ［２］初等数学论丛．上海教育出版社出版 ［３］高等数学．同济大学数学教研室主编．高 等教育出版社 ［４］数学分析．华东师范大学数学系编．高等 教育出版社
即利用①
＝ １ ，②
＝ｅ 和
＝ｅ，其中的 ｘ
都可以看作整体来对待。其中第一个重要
极限是“ ”型；第二个重要极限是
“ ”型，在“ ”型中满足“外大内 小，内外互倒”。在利用重要极限求函数极 限时，关键在于把要求的函数极限化成重 要极限的标准型或它们的变形，这就要抓 住它们的特征，并且能够根据它们的特征， 辨认它们的变形。
浅析等价无穷小替换在求函数极限中的应用
万方数据万方数据浅析"等价无穷小替换"在求函数极限中的应用作者：杨录胜， Yang Lusheng作者单位：山西农业大学文理学院,山西太谷,030801刊名：山西科技英文刊名：SHANXI SCIENCE AND TECHNOLOGY年，卷(期)：2009，""(2)被引用次数：0次1.崔克俭应用数学 20042.华中理工大学数学系高等数学 19923.冯跃例说等价无穷小替换求极限 2000(03)1.期刊论文梁海滨等价无穷小替换的推广及其理论依据分析-总裁2009,""(8)等价无穷小替换在求不定式极限过程中起着很重要的作用.但多数教材中对其使用的条件要求都很苛刻,即无穷小的等价代换只能对分子、分母的无穷小因子进行, 在实际应用中存在一定的局限性.如何将把等价无穷小的替换原理推广到无穷小的和与差的等价替换、密指函数的等价替换呢?它成立的理论依据又是什么呢?2.期刊论文周宏辉等价无穷小替换应用的总结-现代企业文化2009,""(15)文章就多种类型的未定型极限,求极限时可用无穷小等价替换,所求的极限值不变,回答了在有加减的情况下有条件地使用等价无穷小替换来求极限.3.期刊论文魏国祥.张隆辉.成明山关于等价无穷小替换求极限方法的推广-四川教育学院学报2008,24(5)将求极限时无穷小的因子可用其等价无穷小代替的结论推广到幂指函数的情形,给出了"和或差中的项"可用等价无穷小代替的条件.4.期刊论文谢黎东.XIE Li-dong利用"等价无穷小的替换"求函数的极限-新疆职业大学学报2007,15(3)求函数极限的方法较多,利用"等价无穷小的替换"求函数的极限是一种有效的、重要的方法.5.期刊论文杨保华浅谈等价无穷小替换求极限-世界华商经济年鉴·高校教育研究2008,""(15)通过对等价无穷小量代换定理的条件以及结论的讨论,说明了如何正确而合理地运用等价无穷小量代换方法计算函数的极限.＃6.期刊论文江枫运用等价无穷小求极限的新技巧-硅谷2009,""(21)众所周知,在求极限过程中和差是不能用等价无穷小替换的.因此,补充一些新的等价无穷小.同时开辟一条新途径把不能用等价无穷小替换的和差极限问题,通过恒等变形的方法直接转化成能用等价无穷小替换,把利用等价无穷小求极限的方法大大推进一步.7.期刊论文赵文菊.张秀全浅谈用等价无穷小替换法求极限-天中学刊2003,18(2)讨论了如何利用等价无穷小替换的方法求极限.该方法可以简化某些极限的求解过程.8.期刊论文王思聪利用等价无穷小替换求极限的解题技巧-遵义师范学院学报2002,4(1)在极限运算过程中,尤其对未定式1∞型的极限运算,利用等价无穷小代换,可使问题变得简单易解.9.期刊论文董梅等价无穷小替换法的几种特殊用法-科技资讯2006,""(25)分析并证明了利用等价无穷小替换法求解极限的几种类型.特别对于相减及做出了证明.10.期刊论文鲍红梅极限运算中等价无穷小替换错误剖析-洛阳师范学院学报2009,28(5)函数极限时常常要进行等价无穷小替换,但练习者在进行等价无穷小替换时却往往会出现这样那样的错误.要避免这些错误,必须对产生这些错误的根源进行探寻和分析,透彻理解并掌握等价无穷小替换要遵循的基本原则.本文链接：/Periodical_sxkj200902041.aspx授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：d1e71f7b-e90f-4c27-8a85-9dca00fdde57下载时间：2010年8月6日。
对等价无穷小代换与洛必达法则求极限的探讨_吴维峰
=
lim exx y ] 1+
ee-
2x 2x
=
1
2. 3 过分依赖洛必达法则的 优越性
洛必达 法则在求不定式 的极 限时 有其优 越性, 但 如果不
结合其它求极限的方法, 也会使某些极限的 计算陷入复 杂, 得 不到结果, 甚至会出现错误。
例 6 xliym2Pxtatnan3xx
错解: 有些同学一看该题属于/
存在,
根据
乘法
法则
,
则可
得到
结果。而
极限
lim
x
y
P 2
cos 3x cos x
是/
0 0
0型,
可以使用洛必达法则。故:
原式=
l
x
iym2Pxs isnin3xx
#
l
x
iym2P((
cos3x )c cosx )c
=
-
P2 # ( -
3) =
3P 2
P2 #
lim -
x
y
P 2
3 -
s in 3x sin x
ln(
1+ sin e c osx
x
)
=
limln( 1+ sin
0 e
=
0
x y0
所以lim
x y0
ln(
e cos x 1+ sin
x
)
=
]
有时, 这种错误会出 现在连 续/ 使用0 洛必 达法则 的过 程
中。如:
例3
lim
xy]
x x
2 3
+
xx+
1 1
错解:
等价无穷小函数求极限
等价无穷小求函数极限1绪论1.1研究背景和意义极限的概念是微积分学重要概念之一，是微积分学的基础。
现有的极限问题的求解方法主要有以下几种: 定义法、利用两个重要极限、利用等价无穷小、函数极限四则运算和洛必达法则。
函数极限是描述函数变化趋势的重要概念，是从近似认识精确、从有限认识无限、从量变认识质变的一种数学方法。
其中，运用等价无穷小来替换函数中的无穷小因子是求函数极限中一种非常普遍、非常快捷的方法，由于这一方法运用起来比较方便，并且能在很大程度上简化计算。
虽说无穷小量分离、约零因子、利用重要极限、罗比达法则等常用求极限的方法都有其自身的价值，但等价无穷小代换求极限以其快捷、简便、适用性强等优点成为一类代表算法,用它可以求解某些用其他方法难以求解的极限问题，使之化繁为简，化难为易。
等价无穷小是高等数学中最基本的概念之一，同时又是高等数学的重要组成部分，因此它的应用的深入发展对于数学的发展具有及其深远的意义。
研究等价无穷小量在求极限中的应用,有助于人们更系统，更全面的认识等价无穷小量在数学计算中的作用。
等价无穷小量做代换是计算极限的一种常用、方便、有效的方法,用它可以求到某些用其它方法难以求到的极限问题,达到化繁为简目的。
生产和实验的很多计算过程中的变量都可以用等价无穷小来替换,从而简化计算。
等价无穷小可以把繁琐的实际问题化为一种简单的形式，从而引导人们用更简便的方法解决实际问题。
用等价无穷小求极限是高等数学中的一个重要工具，它在生活中的应用是理论和实际相联系的强有力的纽带。
因此，等价无穷小在函数求极限的问题中具有十分重要的应用，本文中将对等价无穷小函数求极限的方法进行研究，并通过实例对方法进行介绍。
等价无穷小量代换是指在极限运算过程中，将一些无穷小量用与其等价的无穷小量来替代，从而达到简化计算的目的。
利用等价无穷小量求极限，只对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来代替，而对极限式中的相加或相减部分则说明不能随意替代。
等价无穷小替换应用的总结
等价无穷小替换应用的总结作者：周宏辉来源：《现代企业文化·理论版》2009年第10期摘要：文章就多种类型的未定型极限，求极限时可用无穷小等价替换，所求的极限值不变，回答了在有加减的情况下有条件地使用等价无穷小替换来求极限。
关键词：等价无穷小；未定型极限；等价替换；泰勒公式中图分类号：G649文献标识码：A文章编号：1674-1145（2009）15-0168-02等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。
一、等价无穷小的概念及性质定义：极限为零的变量称为无穷小量，简称无穷小。
如果，就称为当时的无穷小。
当，则称与是等价无穷小，记作∽。
无穷小的性质有：定理1：若∽，∽，且，则证：定理告诉我们，在求未定型“ ”、“”的极限时，式中的无穷小可用等价的无穷小来替换，其极限值不变。
定理可作如下推广：推论1：设是任意函数，∽，且存在，则解：此极限是“0、”型，由推论1，可得在求其他类型的未定型“”、“ ”、“ ”、“ ”的极限时，也可直接利用等价无穷小进行替换，其求的极限值不变。
推论2：设∽，∽，且存在，则有例2：求解：由推论2及、∽x、∽x可得定理2：若，则∽例3：求解：由泰勒公式例4：求解：由泰勒公式在应用定理3与定理4时一定要注意它们的条件。
二、等价无穷小替换的应用常用的等价无穷小有：当x∽∽∽∽∽∽∽∽例5：求解1：该极限为未定型（）型，可用洛比达法则求解，也可用等价无穷小的性质求解。
（洛比达法则）此处运用∽例6：解1：该极限为未定型，用洛比达法则原式解2：运用等价无穷小的性质原式此处运用了∽∽例7：解1：此极限为未定型，用洛比达法则此处不能运用，∽，因解3：由泰勒公式解1：原式（洛比达法则）出现循环，用洛比达法则求不出结果，用等价无穷小替换。
， x∽∽原式由此可看到洛比达法则并不是万能，它有它的局限性，只要充分地掌握好等价无穷小的性质，这些原本复杂的问题就会变得非常简单。
x-lnx等价无穷小替换公式
x-lnx等价无穷小替换公式摘要：1.等价无穷小替换公式的概念与意义2.等价无穷小替换公式的应用步骤3.等价无穷小替换公式在极限计算中的作用4.举例说明等价无穷小替换公式的运用5.总结与展望正文：一、等价无穷小替换公式的概念与意义在高等数学中，等价无穷小替换公式是一种求极限的方法，它将复杂函数的极限问题转化为简单函数的极限问题。
所谓等价无穷小，指的是当自变量趋于某个值时，两个函数的比值趋于1。
在这种情况下，我们可以说这两个函数是等价无穷小的。
等价无穷小替换公式就是利用这种等价关系，将原函数中的部分替换为与之等价的函数，从而简化极限问题的求解。
二、等价无穷小替换公式的应用步骤1.分析原函数，找出可能的等价无穷小项。
2.验证等价无穷小关系，即验证两个函数的比值趋于1。
3.用等价无穷小替换原函数中的部分，得到一个新的函数。
4.求解新函数的极限，得到原函数的极限。
三、等价无穷小替换公式在极限计算中的作用等价无穷小替换公式在极限计算中的作用主要体现在以下几点：1.简化极限问题：通过将复杂函数替换为简单函数，降低了求解难度。
2.提高计算效率：利用等价无穷小替换公式，可以避免复杂的数学推导和计算。
3.拓宽求解范围：对于一些直接求解困难的极限问题，通过等价无穷小替换公式，可以转化为更容易求解的问题。
四、举例说明等价无穷小替换公式的运用例如，求极限：当x趋于0时，sinx/x的极限为1。
解析：1.分析原函数，找出可能的等价无穷小项：sinx和x。
2.验证等价无穷小关系：当x趋于0时，sinx/x的极限为1，满足等价关系。
3.用等价无穷小替换原函数中的部分：将sinx替换为x，得到新函数x/x。
4.求解新函数的极限：当x趋于0时，x/x的极限为1。
因此，原函数sinx/x的极限也为1。
五、总结与展望等价无穷小替换公式是高等数学中求解极限的一种重要方法。
通过寻找合适的等价无穷小项，将原函数简化，从而降低求解难度。
在实际应用中，掌握好等价无穷小替换公式，能够帮助我们更快地解决各种极限问题。
考研高等数学真题归纳
专题一:极限与连续1、极限计算（等价无穷小替换，两个重要极限）()40sin sin sin sin lim x x x x x →-⎡⎤⎣⎦= 0ln(1)lim1cos x x x x→+=-.142e sin lim().1exx xxx→∞+++= )1ln(12)(cos lim x x x +→ = .2lim ()()xx x x a x b →∞⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦= 110))1ln((lim -→+e x xx = 例、求极限()[]401cos ln(1tan )limsin x x x x x→--+例、当0x →时,()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-等价无穷小,则(A)11,6a b ==-(B)11,6a b ==(C)11,6a b =-=-(D)11,6a b =-=例、设函数)(x f 在0x =的某邻域具有一阶连续导数,且0)0()0(≠'f f ,当0→h 时,若)()0()2()(h o f h bf h af =-+,试求b a ,的值.例、已知两曲线)(x f y =与2arctan 0e x t y dt -=⎰在点(0,0)处的切线相同.求此切线的方程,并求极限)2(lim nnf n ∞→.例、当0x +→时,(A)1-(B)1(D)1-例、把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===302sin ,tan ,cos 2γβα,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A)γβα,, (B)βγα,, (C)γαβ,,(D)αγβ,,例、已知函数()11sin x f x x x+=-，记()0lim x a f x →=，(I)求a 的值;(II)若0x →时，()f x a -与kx 是同阶无穷小，求常数k 的值.2、两个极限收敛准则（夹逼准则，单调有界准则） 夹逼准则例、设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列,且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A)n n b a <对任意n 成立 (B)n n c b <对任意n 成立 (C)极限n n n c a ∞→lim 不存在(D)极限n n n c b ∞→lim 不存在例、①证明：对任意的正整数n ，都有nn n 1)11ln(11<+<+成立； ②设......)2,1(ln 1............211=-+++=n n na n ，证明数列{}n a 收敛.单调有界准则例、设数列{}n x 满足()110,sin 1,2,...n x x x n ππ+<<==.求:(1)证明lim n x x →∞存在,并求之.(2)计算211lim n x n x n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 例、设1230(1,2,3),n n n a n S a a a a >==++++，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要例、设函数()f x 在(0, +∞)上具有二阶导数,且"()0f x >, 令()1,2,,,n u f n n ==则下列结论正确的是(A)若12u u >,则{n u }必收敛(B)若12u u >,则{n u }必发散 (C)若12u u <,则{n u }必收敛(D)若12u u <,则{n u }必发散例、设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界,{}n x 为数列,下列命题正确的是(A)若{}n x 收敛,则{}()n f x 收敛 (B)若{}n x 单调,则{}()n f x 收敛 (C)若{}()n f x 收敛,则{}n x 收敛(D)若{}()n f x 单调,则{}n x 收敛例、(I)证明方程1x x x ++=n n-1+()1n >的整数，在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个实根；(II)记(I)中的实根为n x ，证明lim n n x →∞存在，并求此极限.3、含极限的函数例、设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→,则()f x 在),(+∞-∞内(A)处处可导 (B)恰有一个不可导点 (C)恰有两个不可导点(D)至少有三个不可导点4、函数的连续与间断点例、设()F x 是连续函数()f x 的一个原函数,""N M ⇔表示"M 的充分必要条件是",N 则必有(A)()F x 是偶函数()f x ⇔是奇函数 (B)()F x 是奇函数()f x ⇔是偶函数 (C)()F x 是周期函数()f x ⇔是周期函数 (D)()F x 是单调函数()f x ⇔是单调函数例、函数()3sin x x f x nx-=的可去间断点的个数（ ）()A 1.()B 2. ()C 3.()D 无穷多个.5、函数图象的渐近线例、曲线122+=x x y 的斜渐近线方程为 _____________.例、曲线1ln(1e)xyx=++,渐近线的条数为(A)0 (B)1 (C)2 (D)3例、曲线221x xyx+=-渐近线的条数为（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3专题二：导数与可微1、可导、可微定义与几何意义例、设0)0(=f 则)(x f 在x =0处可导⇔(A)20(1cos )lim h f h h→-存在(B) 0(1e )lim h h f h→-存在(C)2(sin )limh f h h h→-存在(D)hh f h f h )()2(lim-→存在例、设函数()f x 在0x =处连续,下列命题错误的是(A)若0()limx f x x →存在,则(0)0f = (B)若0()()lim x f x f x x→+- 存在,则(0)0f =(C)若0()lim x f x x → 存在,则(0)0f '= (D)若0()()lim x f x f x x→-- 存在,则(0)0f '=例、设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ∆为自变量x 在0x 处的增量,y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ∆>,则(A)0dx y <<∆ (B)0y dy <∆< (C)0y dy ∆<<(D)0dy y <∆<例、设函数2()(1)(2)()xxnx f x e e e n =---，其中n 为正整数，则'(0)f =（A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!n n -例、已知2e 610yxy x ++-=,则(0)y ''=_____________.例、设()y y x =是由方程xy 1ye x +=+确定的隐函数，则2x=0d y=dx2例、设()y y x =是由方程21yx y e -+=所确定的隐函数，则202x d ydx== .例、设20e ,ln(1),ttx y u du -==+⎰求220t d ydx == .2、导数的应用应用一：切线，法线，曲率例、曲线ln y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程为__________ .例、曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 .例、曲线2221-x=0ln(2)u t e duy t t -⎧⎪⎨⎪=-⎩⎰在（0，0）处的切线方程为 例、曲线()20y x x x =+<上曲率为2的点的坐标是 . 例、若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=，则()f x 在区间()1,2内（ ）()A 有极值点，无零点. ()B 无极值点，有零点.()C 有极值点，有零点. ()D 无极值点，无零点.应用二：判断单调性、凹凸性例、函数2x y x =在区间(]01，上的最小值为例、设函数)(x f 在定义域内可导,)(x f y =的图形如右图所示,则)(x f y '=的图形为(A) (B)(C) (D)例、设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为(A)(B)(C)(D)例、设函数()f x 在),(+∞-∞内连续,其导函数的图形如图所示,则()f x 有(A)一个极小值点和两个极大值点 (B)两个极小值点和一个极大值点 (C)两个极小值点和两个极大值点 (D)三个极小值点和一个极大值点例、设()f x 、()g x 是恒大于零的可导函数,且()()()()0f x g x f x g x ''-<,则当a x b <<时,有(A)()()()()f x g b f b g x > (B)()()()()f x g a f a g x >(C)()()()()f x g x f b g b >(D)()()()()f x g x f a g a >例、曲线432)4()3()2)(1(----=x x x x x y 的拐点是（ ）A （1，0）B （2，0）C （3，0）D （4，0） 例、设函数()f x 连续,且,0)0(>'f 则存在0>δ,使得(A)()f x 在(0,)δ内单调增加(B)()f x 在)0,(δ-内单调减少(C)对任意的),0(δ∈x 有()(0)f x f > (D)对任意的)0,(δ-∈x 有()(0)f x f > 例、设函数)(x f 在+R 上有界且可导,则(A)当0)(lim =+∞→x f x 时,必有0)(lim ='+∞→x f x(B)当)(lim x f x '+∞→存在时,必有0)(lim ='+∞→x f x(C) 当0)(lim 0=+→x f x 时,必有0)(lim 0='+→x f x(D) 当)(lim 0x f x '+→存在时,必有0)(lim 0='+→x f x .应用三：判断不等式例、证明：21ln cos 1,1112x x x x x x ++≥+-<<-应用四：讨论零点的个数例、设函数2()ln(2)x f x t dt =+⎰则()f x '的零点个数(A)0 (B)1(C)2(D)3例、求方程0arctan =-x x k 的不同实根的个数，其中k 为参数。
高等数学,求极限时等价无穷小替换的问题
高等数学,求极限时等价无穷小替换的问题高等数学，求极限时等价无穷小替换的问题极限是数学中非常重要的概念，在求解数学问题时经常被使用。
它的性质之一就是求解极限的过程中，有时数值会改变，但最终答案却不会改变。
为了更好地求取极限，我们常常会将极限中有无穷小的量用一个相同或相近的数值来替换。
这就是所谓的“等价无穷小替换”。
等价无穷小替换是一种常见的数学技巧，它可以帮助我们更好地求取极限。
下面就来详细讨论这一技巧。
首先，要理解等价无穷小替换，首先要明白极限的概念。
极限是数学中一个指的是一个数列中元素取值的极限的概念，它表示的就是某一数列的取值将要趋向于某一值，但又不会实际到达这一值，这一值称为极限。
因此，求取极限并不是实际到达极限值，而是求取在某种条件下，数列元素将趋于某个值，虽然不能够实际取到这个值，但是可以通过极限的性质来近似的求取这个值。
而在求取极限的过程中，有时数值会发生改变，但最终答案却不会改变，此时，就可以用等价无穷小替换的方式来帮助我们求取极限值。
所谓等价无穷小替换，就是将无穷小的或接近无穷小的量用一个等价的数值来代替，而这个等价的数值往往要比无穷小要大得多，这样就可以再计算中省去大量的计算量，从而达到求取极限的目的。
例如，求取极限∫ x*dx当x=1时，积分项为1/2如果我们使用等价无穷小替换的思想，就可以将x替换成接近1的数值。
比如x=1.001，这时积分项为1.0005，可以看出，即使把x 取值替换成1.001，最终积分结果也快准确，而且这种操作大大缩减了计算量。
上述就是等价无穷小替换的一般思想，即求取极限时，如果遇到无穷小或接近无穷小的量，就可以使用等价无穷小替换的思想，用一个小的数字来替代，从而达到节省计算量和提高精度的效果。
等价无穷小替换也有一定的局限性，它并不是永远可靠的。
在某些情况下，它会导致计算结果的误差变大。
因此，当使用等价无穷小替换时，需要谨慎细致，以免造成计算错误。
综上所述，等价无穷小替换是一种非常有用的数学技巧，它可以帮助我们更好地求取极限。
高等数学等价无穷小替换_极限的计算
＊
定义:当在给定的 ＊下, 以零为极限,则称 就是 ＊下的无穷小,即 。
例如,
【注意】不能把无穷小与很小的数混淆;零就是可以作为无穷小的唯一的数,任何非零常量都不就是无穷小。
定义:当在给定的 ＊下, 无限增大,则称 就是 ＊下的无穷大,即 。显然, 时, 都就是无穷大量,
难点就是未定式的极限的求法。
【教学设计】首先介绍无穷小与无穷大的概念与性质(30分钟),在理解无穷小与无穷大的概念与性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法(20分钟)。最后归纳总结求极限的常用方法与技巧(25分钟),课堂练习(15分钟)。
【授课内容】
一、无穷小与无穷大
1、定义
前面我们研究了 数列 的极限、 ( 、 )函数 的极限、 ( 、 )函数 的极限这七种趋近方式。下面我们用
6、 利用两个重要极限求极限(例题参见§1、4例3—例5)
7、 分段函数、复合函数求极限
例如,
解:
左右极限存在且相等,
【启发与讨论】
思考题1:
解:
无界,
不就是无穷大.
结论:无穷大就是一种特殊的无界变量,但就是无界变量未必就是无穷大、
思考题2:若 ,且 ,问:能否保证有 的结论？试举例说明、
解:不能保证、例
(7) ～ (8) ～ (9) ～
用等价无穷小可给出函数的近似表达式:
例如
3.等价无穷小替换
定理:
证:
例3(1) ; (2)
解:(1) 故原极限 = 8
(2)原极限= =
例4
错解: =0
正解:
故原极限
【注意】与、差形式一般不能进行等价无穷小替换,只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。
等价无穷小替换,极限的计算[资料]
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无穷小 极限的简单计算【教学目的】1、理解无穷小与无穷大的概念；2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限；3、不同类型的未定式的不同解法。
【教学内容】1、无穷小与无穷大；2、无穷小的比较；3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换；4、求极限的方法。
【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。
难点是未定式的极限的求法。
【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。
最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。
【授课内容】一、无穷小与无穷大1.定义前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极限、0x x →（+→0x x 、-→0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。
下面我们用→x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即＊{}-+→→→-∞→+∞→∞→∞→∈000x x x x x x x x x n定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊。
例如, ,0sin lim 0=→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x,01lim=∞→x x .1时的无穷小是当函数∞→∴x x,0)1(lim =-∞→n n n .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n nn 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。
定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无穷大，即()∞=→x f x ＊lim 。
显然，∞→n 时， 、、、32n n n 都是无穷大量，【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。
关于大学高等数学等价无穷小
关于大学高等数学等价无穷小这个问题很多人都搞不明白，很多自认为明白的人也不负责任地说一句“乘除可以，加减不行”，包括不少高校教师。
其实这种讲法是不对的！关键是要知道其中的道理，而不是记住结论。
1.做乘除法的时候一定可以替换，这个大家都知道。
如果f(x)～u(x)，g(x)～v(x)，那么lim f(x)/g(x) = lim u(x)/v(x)。
关键要记住道理lim f(x)/g(x) = lim f(x)/u(x) * u(x)/v(x) * v(x)/g(x)其中两项的极限是1，所以就顺利替换掉了。
2.加减法的时候也可以替换！但是注意保留余项。
f(x)～u(x)不能推出f(x)+g(x)～u(x)+g(x)，这个是很多人说不能替换的原因，但是如果你这样看：f(x)～u(x)等价于f(x)=u(x)+o(f(x))，那么f(x)+g(x)=u(x)+g(x)+o(f(x))，注意这里是等号，所以一定是成立的！问题就出在u(x)+g(x)可能因为相消变成高阶的无穷小量，此时余项o(f(x))成为主导，所以不能忽略掉。
当u(x)+g(x)的阶没有提高时，o(f(x))仍然是可以忽略的。
比如你的例子，ln(1+x)+x是可以替换的，因为ln(1+x)+x=[x+o(x)]+x=2x+o(x)，所以ln(1+x)+x和2x是等价无穷小量。
但是如果碰到ln(1+x)-x，那么ln(1+x)+x=[x+o(x)]-x=o(x)，此时发生了相消，余项o(x)成为了主导项。
此时这个式子仍然是成立的！只不过用它来作为分子或分母的极限问题可能得到不定型而无法直接求出来而已。
碰到这种情况也不是说就不能替换，如果你换一个高阶近似：ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2)那么ln(1+x)-x=-x^2/2+o(x^2)这个和前面ln(1+x)-x=o(x)是相容的，但是是更有意义的结果，此时余项o(x^2)可以忽略。
高等数学等价替换公式
无穷小 极限的简单计算一、无穷小与无穷大1.定义前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极限、0x x →（+→0x x 、-→0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。
下面我们用→x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即＊{}-+→→→-∞→+∞→∞→∞→∈00x x x x x x x x x n定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊。
例如, ,0sin lim 0=→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x,01lim=∞→x x .1时的无穷小是当函数∞→∴x x,0)1(lim =-∞→n n n .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n nn 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。
定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无穷大，即()∞=→x f x ＊lim 。
显然，∞→n 时， 、、、32n n n 都是无穷大量， 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。
无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如0lim =-∞→x x e ， +∞=+∞→x x e lim ，所以x e 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。
2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大， 则()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则()x f 1为无穷大。
小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。
3.无穷小与函数极限的关系: 定理 1 0lim ()()(),x x xf x A f x A x α其中)(x α是自变量在同一变化过程0x x →（或∞→x ）中的无穷小.证：（必要性）设0lim (),xx f x A 令()(),x f x A α则有0lim ()0,xx x α).()(x A x f α+=∴（充分性）设()(),f x A x α其中()x α是当0xx 时的无穷小，则lim ()lim(())xx xx f x A x α )(lim 0x A x x α→+= .A =【意义】（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);（2）0()(),().f x x f x A x α给出了函数在附近的近似表达式误差为3.无穷小的运算性质定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.是无穷小，时例如nn 1,,∞→ .11不是无穷小之和为个但n n 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.如：01)1(lim =-∞→n n n ，01sin lim 0=→xx x ，0sin 1lim =∞→x x x 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷小的比较例如，2210,,,sin ,sinxx x x x x当时都是无穷小，观察各极限： xx x 3lim 20→,0=;32要快得多比x x xxx sin lim0→,1=;sin 大致相同与x x2201sinlimx x x x →x x 1sin lim 0→=.不存在不可比. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.1．定义: 设,αβ是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且0.α(1)lim0,,();o ββαβαα如果就说是比高阶的无穷小记作 ;),0(lim )2(是同阶的无穷小与就说如果αβαβ≠=C Clim 1,~;ββααβα特殊地如果则称与是等价的无穷小，记作(3)lim (0,0),.k C C k k ββαα如果就说是的阶的无穷小例1 .tan 4,0:3的四阶无穷小为时当证明x x x x →证：430tan 4lim x x x x →30)tan (lim 4xx x →=,4=.tan 4,03的四阶无穷小为时故当x x x x → 例2 .sin tan ,0的阶数关于求时当x x x x -→ 解30sin tan limx x x x -→ )cos 1tan (lim 20x x x x x -⋅=→,21=.sin tan 的三阶无穷小为x x x -∴ 2．常用等价无穷小:,0时当→x（1）x sin ～x ； （2）x arcsin ～x ； （3）x tan ～x ； （4）x arctan ～x ； （5）)1ln(x +～x ； （6）1-x e ～x（7）x cos 1-～22x （8）1)1(-+μx ～x μ （9）1xa ～ln a x用等价无穷小可给出函数的近似表达式:,1lim =αβ ,0lim =-∴αβα),(αβαo =-即).(αβαo +=于是有例如),(sin x o x x +=).(211cos 22x o x x +-= 3．等价无穷小替换定理：.lim lim ,lim ~,~αβαβαβββαα''=''''则存在且设 证：αβlim)lim(αααβββ'⋅''⋅'=αααβββ'⋅''⋅'=lim lim lim .lim αβ''=例3 （1）.cos 12tan lim 20xx x -→求； （2）1cos 1lim 20--→x e x x解: （1）.2~2tan ,21~cos 1,02x x x x x -→时当 故原极限202(2)lim 12x x x = 8 （2）原极限=2lim220x x x -→=21-例4 .2sin sin tan lim30xxx x -→求 错解: .~sin ,~tan ,0x x x x x 时当→30)2(limx xx x -=→原式=0正解: ,0时当→x ,2~2sin x x )cos 1(tan sin tan x x x x -=-,21~3x 故原极限33012lim (2)x xx .161= 【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。
用等价无穷小替换求极限的几点注释
用等价无穷小替换求极限的几点注释
刘颖;陈逸藻
【期刊名称】《高等数学研究》
【年(卷),期】2015(18)5
【摘要】在这篇文章里讨论了几个函数和与差的等价无穷小问题,对高等数学教材中利用等价无穷小替换求极限的适用范围进行了拓广,并得到了可用等价无穷小替换求极限的新的充要条件.
【总页数】4页(P57-60)
【作者】刘颖;陈逸藻
【作者单位】沈阳航空航天大学理学院,辽宁沈阳110136;湖北大学数学与统计学学院,湖北武汉430062
【正文语种】中文
【中图分类】O172.2
【相关文献】
1.使用等价无穷小替换求极限的几点注意 [J], 孙茜;刘维峰;
2.等价无穷小替换求极限的推广及应用 [J], 苏燕玲;
3.用等价无穷小替换求极限使用条件的探讨 [J], 冉金花
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5.利用等价无穷小替换求极限时应注意的问题 [J], 黄星;张倩瑶
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讲义无穷小 极限的简单计算【教学目的】1、理解无穷小与无穷大的概念；2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限；3、不同类型的未定式的不同解法。
【教学内容】1、无穷小与无穷大；2、无穷小的比较；3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换；4、求极限的方法。
【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。
难点是未定式的极限的求法。
【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。
最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。
【授课内容】一、无穷小与无穷大1.定义前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极限、0x x →（+→0x x 、-→0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。
下面我们用→x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即＊{}-+→→→-∞→+∞→∞→∞→∈00x x x x x x x x x n定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊。
例如, ,0sin lim 0=→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。
定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无穷大，即()∞=→x f x ＊li m 。
显然，∞→n 时， 、、、32n n n 都是无穷大量， 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。
无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如 0lim =-∞→x x e ， +∞=+∞→x x e lim ，所以x e 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。
2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大， 则()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则()x f 1为无穷大。
小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。
3.无穷小与函数极限的关系: 定理 1 0lim ()()(),x x xf x A f x A x α®=?+其中)(x α是自变量在同一变化过程0x x →（或∞→x ）中的无穷小.证：（必要性）设0lim (),x x f x A ®=令()(),x f x A α=-则有0lim ()0,x x x α®=（充分性）设()(),f x A x α=+其中()x α是当0x x ®时的无穷小，则【意义】（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);（2）0()(),().f x x f x A x α»给出了函数在附近的近似表达式误差为 3.无穷小的运算性质定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.如：01)1(lim =-∞→n n n ，01sin lim 0=→xx x ，0sin 1lim =∞→x x x 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷小的比较例如，2210,,,sin ,sinx x x x x x®当时都是无穷小，观察各极限： 2201sinlimx x x x →x x 1sin lim 0→=.不存在不可比. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.1．定义: 设,αβ是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且0.α¹ 例1 .tan 4,0:3的四阶无穷小为时当证明x x x x →证：430tan 4lim x x x x →30)tan (lim 4xx x →=,4=.tan 4,03的四阶无穷小为时故当x x x x → 例2 .sin tan ,0的阶数关于求时当x x x x -→解30sin tan limx x x x -→ )cos 1tan (lim 20x x x x x -⋅=→,21=.sin tan 的三阶无穷小为x x x -∴ 2．常用等价无穷小:,0时当→x（1）x sin ～x ； （2）x arcsin ～x ； （3）x tan ～x ； （4）x arctan ～x ； （5）)1ln(x +～x ； （6）1-x e ～x（7）x cos 1-～22x （8）1)1(-+μx ～x μ （9）1x a -～ln a x *用等价无穷小可给出函数的近似表达式:例如),(sin x o x x +=).(211cos 22x o x x +-=3．等价无穷小替换 定理：.lim lim ,lim ~,~αβαβαβββαα''=''''则存在且设 证：αβlim)lim(αααβββ'⋅''⋅'=αααβββ'⋅''⋅'=lim lim lim .lim αβ''=例3 （1）.cos 12tan lim 20xx x -→求； （2）1cos 1lim 20--→x e x x 解: （1）.2~2tan ,21~cos 1,02x x x x x -→时当 故原极限202(2)lim 12x x x ®== 8（2）原极限=2lim220x x x -→=21-例4 .2sin sin tan lim30xxx x -→求错解: .~sin ,~tan ,0x x x x x 时当→30)2(limx xx x -=→原式=0正解: ,0时当→x ,2~2sin x x )cos 1(tan sin tan x x x x -=-,21~3x 故原极限33012lim(2)x xx ®=.161= 【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。
例5 .3sin 1cos 5tan lim 0xx x x +-→求解: ),(5tan x o x x += ),(33sin x o x x +=).(21cos 122x o x x +=-原式22015()()2lim 3()x x o x x o x x o x ®+++=+xx o x x o x x x o x )(3)(21)(5lim20++++=→.35= 三、极限的简单计算1. 代入法：直接将0x x →的0x 代入所求极限的函数中去，若()0x f 存在，即为其极限，例如924231232lim 3451=++++-→x x x x x x ；若()0x f 不存在，我们也能知道属于哪种未定式，便于我们选择不同的方法。
例如，39lim 23--→x x x 就代不进去了，但我们看出了这是一个00型未定式，我们可以用以下的方法来求解。
2. 分解因式，消去零因子法例如，()63lim 39lim323=+=--→→x x x x x 。
3. 分子（分母）有理化法 例如，()()()()()()355125125123535lim51235lim222222++++-+++++-+=-+-+→→x x x x xx x x x x又如，()011lim1lim22=++=-++∞→+∞→xx x x x x4. 化无穷大为无穷小法例如，2222173373lim lim 142422x x x x x x x x xx +-+-==-+-+，实际上就是分子分母同时除以2x 这个无穷大量。
由此不难得出又如，12111lim21lim=++=+++∞→+∞→xxx x x x ，（分子分母同除x ）。
再如，1153152lim 5352lim -=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-∞→∞→n nn n n nn n ，（分子分母同除n 5）。
5. 利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限例如，()0131arctan lim 2=+++∞→x x x x x ，（无穷小量乘以有界量）。
又如，.3214lim21-+-→x x x x 求解：)32(lim 21-+→x x x ,0=商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得.3214lim21∞=-+-→x x x x再如，等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3—例5。
6. 利用两个重要极限求极限（例题参见§1.4例3—例5）7. 分段函数、复合函数求极限例如，).(lim ,0,10,1)(02x f x x x x x f x →⎩⎨⎧≥+<-=求设解: 两个单侧极限为是函数的分段点,0=x 左右极限存在且相等, .1)(lim 0=→x f x 故【启发与讨论】 思考题1：110,sin x yx x ?当时是无界变量吗？是无穷大吗？解：),3,2,1,0(221)1(0 =+=k k x ππ取,22)(0ππ+=k x y .)(,0M x y k >充分大时当无界，,,δ<k x k 充分大时当 ππk k x y k 2sin 2)(=但 .0M <=不是无穷大．结论：无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.思考题2：若0)(>x f ，且A x f x =+∞→)(lim ，问：能否保证有0>A 的结论？试举例说明.解：不能保证. 例x x f 1)(=,0>∀x 01)(>=xx f =+∞→)(lim x f x .01lim ==+∞→A x x思考题3：任何两个无穷小量都可以比较吗？解：不能．例如当+∞→x 时,1)(x x f =xxx g sin )(=都是无穷小量但=+∞→)()(limx f x g x x x sin lim +∞→不存在且不为无穷大，故当+∞→x 时)(x f 和)(x g 不能比较. 【课堂练习】求下列函数的极限（1）xxe x x cos lim 0-→；解：原极限=1cos 1lim 1lim cos lim000=-+-=-→→→xxx e x x e x x x x x（2）求)1ln()cos 1(1cossin 3lim20x x x x x x +++→ 【分析】 “0”型，拆项。